ELG3575

8. La modulation d’amplitude en quadrature et SSB

La modulation d’amplitude en quadrature (QAM)

• La modulation d’amplitude en quadrature (« quadrature amplitude modulation » - QAM) est plus efficace dans son utilisation du spectre que le DSB-SC et l’AM conventionnelle parce qu’on transmet deux signaux sur la même bande.

• où m1(t) et m2(t) sont deux signaux indépendants avec largeurs de bandes Bm1 et Bm2. Typiquement Bm1=Bm2=Bm.

tftmAtftmAts ccccQAM 2sin)(2cos)()( 21

Spectre d’un signal QAM

• Le spectre d’un signal QAM est :

)(2

)(2

)(2

)(2

)( 2211 cc

cc

cc

cc

QAM ffMj

AffM

j

AffM

AffM

AfS

Démodulation du signal m1(t)

• Pour la démodulation, si nous multiplions sQAM(t) par Arcos2fct, nous avons :

passante bandeen signal

21

base de bandeen signal

1

22

1

4sin)(2

4cos)(2

)(2

2cos2sin)(2cos)(2cos)(

tftmAA

tftmAA

tmAA

tftftmAAtftmAAtftsA

crc

crcrc

ccrccrccQAMr

(cosAsinA = 0.5sin2A).

Démodulation du signal m2(t)

• Similairement, si nous multiplions sQAM(t) par Arsin2fct, nous avons :

passante bandeen signal

12

base de bandeen signal

2

12

2

4sin)(2

4cos)(2

)(2

2sin2cos)(2sin)(2sin)(

tftmAA

tftmAA

tmAA

tftftmAAtftmAAtftsA

crc

crcrc

ccrccrccQAMr

Système QAM

m1(t)

m2(t)

×

×

Accos(2fct)HT + canal

Km1(t)

Km2(t)

×

×

Arcos(2fct)HT

FPB

FPB

Avantage et désavantage de la QAM

• 2 fois plus d’info sur la même bande• Plus sensible que la DSB-SC aux erreurs de porteuse générée

au récepteur. • Erreur de fréquence ou de phase produit de la diaphonie

(crosstalk).

Rappel: Le spectre d’un signal DSB-SC

f

f

M(f)

Bm-Bm

SDSB-SC(f)

-fc-Bm -fc -fc+Bm fc-Bm fc fc+Bm

mo

(Ac/2)mo

(1/2)M+(f)(1/2)M-(f)

(Ac/4)M+(f-fc)

(Ac/4)M-(f-fc)(Ac/4)M+(f+fc)(Ac/4)M-(f+fc)

Modulation SSB: Motivation

• De la figure precedente, nous voyons que le spectre d’un signal DSB-SC est SDSB-SC(f) = (Ac/4)M+(f-fc) + (Ac/4)M-(f-fc) + (Ac/4)M+

( f+fc) + (Ac/4)M-(f+fc).

• Alors, le spectre d’un signal DSB-SC a deux « copies » de la pre-enveloppe positive de m(t) et deux « copies » de la pre-enveloppe négative de m(t).

• En actualité, il nous faut qu’une « copie » de chaque pour reconstruire le signal m(t).

• En éliminant une bande latérale, nous obtenons la modulation à bande latérale unique (« single sideband » – SSB).

La modulation à bande latérale haute

• La bande latérale haute (« Upper Sideband ») du signal DSB-SC est celui qui a le spectre SUSB(f) suivant :

• Comparé au spectre d’un signal DSB-SC, qui a une largeur de bande de 2Bm, le spectre du signal USB occupe la gamme de fréquences fc < |f| < fc + Bm, donc sa largeur de bande est la moitié de celle du signal DSB-SC.

autrement,0

|| ),()( cSCDSB

USB

fffSfS

Spectre d’un signal USB

f

f

M(f)

Bm-Bm

SUSB(f)

mo

(Ac/2)mo

(1/2)M+(f)(1/2)M-(f)

(Ac/4)M+(f-fc)

(Ac/4)M-(f+fc)

-fc-Bm -fc fc fc+Bm

USB par discrimination de fréquence

• La modulation USB se fait par deux méthodes : la discrimination de fréquence ou la discrimination de phase.

• Pour la modulation par discrimination de fréquence, nous filtrons le signal DSB-SC avec un filtre passe haut qui à la réponse :

m(t) ×

Accos(2fct)

HUSB(f) sUSB(t)m(t) ×

Accos(2fct)

HUSB(f) sUSB(t)

c

cUSB ff

fffH

||0

||1)(

USB par discrimination de phase

• Pour la modulation par discrimination de phase, nous utilisons le spectre du signal USB.

• SUSB(f) = (Ac/4)M+(f-fc) + (Ac/4)M-(f+fc).

• Si nous prenons la transformée de Fourier inverse du spectre de la bande latérale haute, nous obtenons :

)2sin)(2cos)((

)2sin2))(cos()((

)2sin2))(cos()((

)()()(

2

4

4

24

24

tftmtftm

tfjtftjmtm

tfjtftjmtm

etmetmts

chcA

cchA

cchA

tfjAtfjAUSB

c

c

c

cccc

tftAmtftAmts chcUSB 2sin)(2cos)()(

Modulateur USB par discrimination de phase

m(t)

×

Trans.Hilbert

×

Acos2fct

HT

+

-

+ sUSB(t)

Asin2fct

mh(t)

La modulation à bande latérale basse

• La bande latérale basse (« Lower Sideband ») du signal DSB-SC est la bande qui contient les composantes spectrales où |f|<fc.

• Alors le spectre d’un signal LSB est SLSB(f) qui est donné par :

autrement,0

|| ),()( cSCDSB

LSB

fffSfS

Spectre du signal LSB

f

f

M(f)

Bm-Bm

SLSB(f)

-fc -fc+Bm fc-Bm fc

mo

(Ac/2)mo

(1/2)M+(f)(1/2)M-(f)

(Ac/4)M-(f-fc)(Ac/4)M+(f+fc)

LSB par discrimination de fréquence

• Pour la modulation par discrimination de fréquence, nous filtrons le signal DSB-SC avec un filtre qui a la réponse en fréquence HLSB(f) qui est donné par :

c

cLSB ff

fffH

||0

||1)(

LSB par discrimination de phase

• Nous pouvons démontrer que le signal qui produit ce spectre est sLSB(t) qui est donné par :

• Pour la modulation par discrimination de phase, nous utilisons le modulateur par discrimination de phase pour la USB en inversant la phase de la composante en quadrature.

tftAmtftAmts chcLSB 2sin)(2cos)()(

Exemples

• Le signal d’information est m(t) = cos(2fmt). Trouvez les signaux USB est LSB pour une porteuse avec amplitude A et fréquence fc >> fm.

• Solution (discrimination de phase)

• sUSB(t) = Acos(2fmt)cos(2fct)-Asin(2fmt)sin(2fct) = (A/2)cos(2(fc-fm)t) + (A/2)cos(2(fc+fm)t) – (A/2)cos(2(fc-fm)t) + (A/2)cos(2(fc+fm)t) = Acos(2(fc+fm)t).

• Similairement, on peut démontrer que sLSB(t) = Acos(2(fc-fm)t).

• Solution (discrimination de fréquence)

• sDSB-SC(t) = Accos(2fmt)cos(2fct).

• SDSB-SC(f) = (Ac/4)(f-fc-fm)+(Ac/4)(f+fc+fm)+(Ac/4)(f-fc+fm) +(Ac/4)(f+fc-fm).

-fc-fm –fc+fm fc-fm fc+fm

(Ac/4)(Ac/4) (Ac/4) (Ac/4)

Alors SUSB(f) = (Ac/4)(f-fc-fm)+(Ac/4)(f+fc+fm) et doncsUSB(t) = (Ac/2)cos(2(fc+fm)t) = Acos(2(fc+fm)t)etSLSB(f) = (Ac/4)(f-fc+fm)+(Ac/4)(f+fc-fm) et doncsLSB(t) = (Ac/2)cos(2(fc+fm)t) = Acos(2(fc+fm)t)

Modulation d’amplitude à bande latérale résiduelle: Motivation

• Pour des signaux à larges bandes, la modulation BLU est difficile.

• Pour la modulation par discrimination de fréquence, il faut que le spectre du signal d’information soit 0 autour de f = 0 et que les bandes soient séparées suffisamment en fréquence.

• Pour utiliser la modulation par discrimination de phase, il faut concevoir un transformateur de Hilbert qui est difficile si la largeur de bande du signal est large.

Modulation VSB

• Dans ces cas, nous utilisons la modulation d’amplitude à bande latérale résiduelle (« vestigial sideband » - VSB).

• La modulation VSB emploie la discrimination de fréquence. Mais pour la modulation VSB, le filtrage n’élimine pas complètement la bande latérale secondaire.

• Aussi, la bande principale n’est pas complètement passée par le filtre.

Modulateur VSB

• Le modulateur VSB ainsi que la réponse en fréquence de son filtre sont démontrés ci-dessous.

• La réponse en fréquence du filtre VSB est donnée par HVSB(f).

• Nous remarquons qu’il y a une bande transitoire autour de la fréquence fc.

m(t) ×

Accos(2fct)

HVSB(f) sVSB(t)

f -fc fc

HVSB(f)

fc-x fc+x

m(t) ×

Accos(2fct)

HVSB(f) sVSB(t)

f -fc fc

HVSB(f)

fc-x fc+x

Spectre d’un signal VSB

• Dans l’exemple nous considérons un système qui utilise la bande latérale haute comme la bande principale et la bande latérale basse comme la bande résiduelle. Mais c’est également possible d’employer la bande latérale basse comme la bande principale.

M(f)

-Bm Bm f

-fc-Bm –fc -fc+Bm fc-Bm fc fc+Bm f

SDSB-SC(f)

SVSB(f)

-fc-Bm –fc-fc+x fc-x fc fc+Bm f

M(f)

-Bm Bm f

-fc-Bm –fc -fc+Bm fc-Bm fc fc+Bm f

SDSB-SC(f)

SVSB(f)

-fc-Bm –fc-fc+x fc-x fc fc+Bm f

• Dans l’exemple de la figure precedante, pour les fréquences supérieures à fc+x, le gain du filtre est constant.

• Pour les fréquences fc < |f| < fc+x, qui résident dans la bande principale, il y a une perte par rapport à la passe bande du filtre.

• Pour les fréquences fc-x < |f| < fc, le gain du filtre n’est pas zéro, alors une partie de la bande latérale basse est passée par le filtre et le signal sVSB(t) contient une bande résiduelle.

SVSB(f)

)()(4

)()(4

)()(4

)()(4

)()(2

)()(2

)()()(

fHffMA

fHffMA

fHffMA

fHffMA

fHffMA

fHffMA

fHfSfS

VSBcc

VSBcc

VSBcc

VSBcc

VSBcc

VSBcc

VSBSCDSBVSB

où

00

0)()(

f

ffHfH VSB

VSBet

0)(

00)(

ffH

ffH

VSBVSB

Il faut noter que dû à la symétrie Hermitienne de la réponse en fréquence des systèmes réels.

)()( * fHfH VSBVSB

La démodulation d’un signal VSB

• Se fait de la même manière que le DSB-SC

• Pour que z(t) = Gm(t), il faut imposer une contrainte sur la réponse de filtre HVSB(f) du modulateur.

sVSB(t)SVSB(f)

×

Arcos(2fct)

x(t)X(f)

Filtre passe bas z(t) = Gm(t)

Z(f)

X(f)

)(2

)(2

)( cVSBr

cVSBr ffS

AffS

AfX

)()2(8

)()2(8

)()(8

)()(8

)()(8

)()(8

)()2(8

)()2(8

cVSBcrc

cVSBcrc

cVSBrc

cVSBrc

cVSBrc

cVSBrc

cVSBcrc

cVSBcrc

ffHffMAA

ffHffMAA

ffHfMAA

ffHfMAA

ffHfMAA

ffHfMAA

ffHffMAA

ffHffMAA

Bande de base

Z(f)

)()(8

)()(8

)()(8

)()(8

)(

cVSBrc

cVSBrc

cVSBrc

cVSBrc

ffHfMAA

ffHfMAA

ffHfMAA

ffHfMAA

fZ

))()()((8

))()()((8

)(

cVSBcVSBrc

cVSBcVSBrc

ffHffHfMAA

ffHffHfMAA

fZ

Nous voulons que Z(f) = GM(f), où G est une constante. Si

KffHffH cVSBcVSB )()(

)(4

)(8

)(8

)( fMKAA

fMKAA

fMKAA

fZ rcrcrc

• Alors z(t) = (AcArK/4)m(t).

• Si nous remplaçons et et f par f nous obtenons

• (ce critère est nécessaire sur la bande du signal VSB).

)(par )( * fHfH VSBVSB

KffHffH cVSBcVSB )()(*

fc

K

fc-ffc+f

x1

x2

x1*+x2 = K

(***)

Filtres VSB

• Filtres à bandes transitoires linéaires• Filtres à réponse en cosinus carré

fcfc-x fc+x

Exemple

• Le signal m(t) = 2cos(210t)+3cos(230t). Nous transmettons ce signal en utilisant la modulation VSB avec une porteuse c(t) = 5cos(2500t). La réponse du filtre VSB est démontrée ci-dessous. Trouvez le signal sVSB(t) ainsi que sa largeur de bande

480 500 520

1

Solution

• Parce que la modulation VSB est faite par discrimination de fréquence, c’est mieux d’essayer de trouver la solution dans le domaine de fréquence.

• On commence en trouvant M(f) et SDSB-SC(f).

M(f)

-30 -10 10 30

1.51

SDSB-SC(f)

470 490 510 530

3.752.5

-530 -510 -490 -470

• Après, on trouve SVSB(f) = SDSB-SC(f)HVSB(f).

SDSB-SC(f)HVSB(f)

470 490 510 530

3.752.5

-530 -510 -490 -470

HVSB(470)=0HVSB(490)=1/4HVSB(510)=3/4HVSB(530)=1

SVSB(f)

470 490 510 530

3.7515/8

-530 -510 -490 -470

5/85/815/83.75

sVSB(t) = 7.5cos(2530t)+3.75cos(2510t)+ 1.25cos(2490t)

40

Exemple 2

• Démontrez qu’on peut démoduler sVSB(t) de l’exemple précedante.

• sVSB(t)cos(2500t) = 7.5cos(2530t) cos(2500t) +3.75cos(2510t)cos(2500t) + 1.25cos(2490t)cos(2500t) = 3.75cos(230t) + 3.75cos(21030t) + 1.875cos(210t) + 1.875cos(21010t) + 0.625cos(210t) + 0.625cos(2990t) .

• Après filtrage z(t) = 3.75cos(230t) + 1.875cos(210t) + 0.625cos(210t) = 3.75cos(230t) + 2.5cos(210t) = 1.25m(t).