el_fini_examen_dec_2006

8/3/2019 el_fini_examen_dec_2006

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Modlisation des Milieux Continus / M1 MK

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________________________________________________________________________________________________el_fini_examen_dec_2006.doc - 1 - Laurent BAILLET / UFR Mcanique UJF Grenoble

Examen crit du 21 Dcembre 2006 DUREE 1h30

Avertissements et conseils

Le barme de chaque problme est approximatif. La prsentation, la qualit de la rdaction, la clw


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o n,...,0iih )f( = est la valeur de la fonction hf au nud n,..,0ii)x( = .

Llment parent est construit dans le repre , avec ]1,0[ (figure 3.).

Figure 3 : Transformation gomtrique entre llment parent et llment rel.

Donner lexpression de la matrice N des fonctions de forme exprimes dans vrifiant

=

j

1j

x

xN)(x

)j(

et

=

jh

1jh

h v

vN)(v

)j(

, n,..,1j = ,

oih

v reprsente le dplacement vertical au nud i (i=j-1 ou i=j) de la fonction)j(

hv

4. Montrer que lquation (2) se met sous les formes

[ ] [ ] [ ]jh

n,...,1j

1

0 jh

1jh

n,...,1j

1

0 jh

1jh

jh

1jhwhd

w

w1)(Md

w

w11

v

v11

h

EI )j(

=

=

=

=

=

=

=

puis

{ } { }j

h

n,...,1j jh

1jh

n,...,1j jh

1jh

jh

1jh wFww

v

vKww

)j()j(

=

=

=

,

o vous expliciterez la matrice de raideur lmentaire)j(

K et le vecteur des forces nodales)j(

F .

5. En prenant un nombre dlments gal deux (n=2) (figure 2), donner lexpression du moment

de flexion )(M)1(

sur chaque lment 2,1j)j( )(

=

6. Montrer que

=

6hF

12

hF

F 2

2

)1( . On admettra que

=

12Fh

6

hF

F2

2

)2( .

7. Calculer1h

v partir du systme global que vous complterez

F

v

v

v

??0

??1

011

h

EI

2h

1h

0h

=

.

La solution analytique de (1) fournit la valeurEI48

FL)hx(v

3

== .

Tracer les dformes relle et numrique de la poutre.

xxj-1 x j

j-1 jj-1 j

0 1


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Problme II (7 pts)

But : Analyser les rsultats issus de diffrentes simulations numriques dun barrage soumis son

poids propre.

Un barrage en terre , triangulaire, soumis son poids propre repose sur un sol (figure 4). Le

calcul numrique est effectu avec un code dlments finis. Le barrage a une hauteurH, unelargeurL=2Het une longueur10L. Le comportement du barrage est donn par un module dYoung

E, un coefficient de Poisson et une masse volumique .

Figure 4: Modle du barrage.

Application numrique :H=100 m, E=20000 MPa, =2000 kg/m3 =0.3.

1. La premire simulation numrique a t effectue avec deux lments finis triangulaires troisnuds (figure 5 et tableau I).

Figure 5 : Gomtrie initiale (----) et

dforme().

Noeud dep/x dep/y

1 0.0000E+00 -2.9727E-03

2 0.0000E+00 0.0000E+00

3 1.2740E-03 0.0000E+00

4 6.3700E-04 -1.4863E-03

Noeud xx yy xy zz

1 0.00 -0.65 0.00 -0.20

2 0.00 -0.65 0.00 -0.20

3 0.00 -0.65 0.00 -0.20

4 0.00 -0.65 0.00 -0.20

Tableau I: Dplacements nodaux (m) et

contraintes nodales (MPa).

1.a. Quelles sont les conditions aux limites qui ont t appliques au barrage?

1.b. Quelle hypothse sur le tenseur des contraintes a t formule ?

1.c. Quelle est lallure du champ des contraintes sur chaque lment triangulaire trois noeuds ?1.d. Le calcul donne une contrainte yy constante dans le barrage (tableau I). Est-ce physique

(justifier) ?

H

L

x

y


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________________________________________________________________________________


2. Une seconde simulation numrique a t effectue avec deux lments finis triangulaires six

nuds (figure 6 et tableau II).

Figure 6: Gomtrie initiale (----) etdforme().

Noeud xx yy xy zz

1 -0.20 0.11 0.11 -0.03

2 0.11 -1.69 -0.04 -0.48

3 -0.07 -0.06 -0.07 -0.04

4 0.02 -0.68 0.00 -0.20

5 -0.05 -0.98 -0.02 -0.31

6 0.04 -0.12 0.01 -0.02

7 0.03 -0.29 0.13 -0.08

8 -0.14 -0.15 0.14 -0.09

9 0.07 -0.99 0.05 -0.28

Tableau II: Contraintes nodales (MPa).

2.a. Quelle est lallure du champ des contraintes sur chaque lment triangulaire six noeuds ?

2.b. Tracer 0yyy)( = . Quels calculs simples permettent de retrouver une valeur approche de

2noeudyy)( et de la valeur moyenne de 0yyy)( = ?

2.c. Quelle devrait tre la valeur de la contrainte de cisaillement xy en y=0 ? Commenter les

valeurs obtenues de 0yxy)( = dans le tableau II.

3. La dernire simulation numrique a t effectue avec 2152 lments finis triangulaires sixnuds et 4479 noeuds (figure 7 12).

Figure 7: Contrainte xy eny=0. Figure 8 : Contraintes yy eny=0

3.a. Analyser les courbes des figures 7 et 8.

3.b. A partir des courbes des figures 10, 11 et 12, retrouver analytiquement la relation liant les trois

contraintes xx , yy et xy sur la frontire AA.

7

69

8

4

1

352


5/8


________________________________________________________________________________


Figure 9 : Coupe AA effectue suivant la ligne

frontire.

Figure 10 : Contrainte xx suivant AA.

Figure 11 : Contrainte yy suivant AA. Figure 12 : Contrainte xy suivant AA

4. Dans le cas o lon suppose que le sol est rugueux, quelles seraient les conditions aux limites imposer sur le barrage ? Comment se situerait la valeur maximale de la contrainte yy eny=0 par

rapport la valeur de 1.59MPa obtenue pour un sol glissant (figure 8) ? Quel est le signe de la

contrainte xx dans le barrage ?

A

A


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_____________________________ CORRECTION ________________________

Problme I

1. Les forces de raction aux appuis sont gales 2

F . Lquilibre de la poutre permet dobtenir les

expressions du moment

x2

F)x(M = pour ]

2

L,0[x

)xL(2

F)x(M = pour ]L,

2

L[x

2. On multiplie lquation de lquilibre des moments par une fonction test )x(w et on intgre sur

la longueur de la poutre

== =L

0x

L

0x 2

2dx)x(w)x(Mdx)x(w

dx)x(vdEI .

En intgrant par parties le premier terme de lquation obtenue

=== =L

0x

L

0x

L

0x dx)x(w)x(Mdxdx

)x(dw

dx

)x(dvEI])x(w

dx

)x(dv[EI

et en prenant comme conditions aux limites 0)Lx(w)0x(w ==== on obtient

)x(wdx)x(w)x(Mdxdx

)x(dw

dx

)x(dvEIquetel)x(vtrouver

L

0x

L

0x = == .

3. Lexpression de la matrice des fonctions de forme N est donne pour llment )j( par

[ ]

=

=

jh

1jh

jh

1jh

h v

vN

v

v1)(v

)j(

et [ ]

=

jh

1jhh

v

v11

d

)(dv)j(

,

oih

v reprsente le dplacement vertical au nud i.

Linterpolation gomtrique pour llment )j( est

hddxxx

d)(dxxx)1()(x 1jjj1j

)j(

==+=

.

4. En partant de lquation (2) et sachant que =

=

n,...,1j

)j(

)j(

d(.)d(.)

)x(wd)x(w)x(Mddx

)x(dw

dx

)x(dvEI h

n,...,1j

)j(

h

n,...,1j

)j(hh

)j(

)j()j(

)j(

)j()j(

= ==

)x(whd)(w)(Mhddx

d

d

)(dw

dx

d

d

)(dv

EI hn,...,1j hn,...,1j

hh

)j(

)j()j(

)j(

)j()j(

=

==


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________________________________________________________________________________


[ ] [ ] [ ]jh

n,...,1j

1

0 jh

1jh

n,...,1j

1

0 jh

1jh

jh

1jhwhd

w

w1)(Md

w

w11

v

v11

h

EI )j(

=

=

=

=

=

=

=

{ } [ ] { }jh

n,...,1j

1

0

jh1jh

n,...,1j jh

1jh1

0

jh1jhwd)(M

1wwh

v

vd11

1

1ww

h

EI )j(

=

=

=

=

=

=

=

{ } { }jh

n,...,1jjh1jh

n,...,1j jh

1jh

jh1jhwFww

v

vKww

)j()j(

=

=

=

,

avec

=

11

11

h

EIK

)j( et =

=

1

0

d)(M1

hF)j()j(

.

5. Si le nombre dlments est gal deux (n=2), sachant que 1jxh)(x)j(

+= , lexpression du

moment est

2hF)(M

)1(

= pour ]1,0[ , et

)1(2

Fh)(M

)2(

= pour ]1,0[ .

6. On en dduit les valeurs des vecteurs forces sur chaque lment

=

=

=

6

hF12

hF

d)1(

2

hFF 2

2

1

0

2

2)1(

,

=

=

=

12

Fh6

hF

d)1(

)1(

2

hFF

2

2

1

0

22)2(

7. Le systme global est donc

=

12

Fh3

Fh12

Fh

v

v

v

110

121

011

h

EI

2

2

2

2h

1h

0h

.

Sachant que 0vv2h0h== , on obtient en dveloppant la seconde ligne

EI48

FL

EI6

Fhv

33

1h==

Solution analytique

A partir de lquilibre des moments et de lexpression du moment de flexion sur [ ]h,0 , on a

xEI16

Fx

EI12

F)x(vx

EI2

F

dx

)x(vd

dx

)x(vdEIx

2

F)x(M

3

2

2

2

2

+==== ,

o les valeurs des deux constantes dintgration sont obtenues par 0)dx

)x(dv

()0(v hx==

= .


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La flche maximale estEI48

FL)h(v

3

= .

Problme II

1.

1.a. On autorise un dplacement horizontal pour les nuds eny=0, et un dplacement vertical pourles nuds enx=0.

1.b. On vrifie que )( yyxxzz += , la simulation a t effectue en dformations planes.

1.c. Le champ des contraintes sur un lment triangulaire trois nuds est constant, le champ de

dplacement est linaire.

1.d. La contrainte yy devrait tre nulle au voisinage de (x=0, y=H) et de (x=H, y=0). La valeur

constante de yy dans le barrage nest donc pas physique, elle est une consquence du nombre trop

faible dlments triangulaires trois nuds utiliss.

2.

2.a. Le champ des contraintes sur un lment triangulaire six nuds est linaire, le champ de

dplacement est quadratique.

2.b. En prenant une tranche de longueursuivantx au voisinage dex=0. Le volume est donc gal eHV = , la force de gravit est gVmgFg == et la contrainte de compression est

2noeudyygg )(MPa96.1gH)e(F === .

La contrainte moyenne sexerant sur le sol est gale

5noeudyy

2

mgmg

)(MPa98.02gH)He2(geH)He(F ==== .

2.c. La valeur de la contrainte de cisaillement xy en y=0 est nulle car il ny a pas de frottement

avec le sol . Les valeurs numriques de 0yxy)( = sont non nulles car elles sont obtenues par

interpolation des valeurs des points de Gauss vers les nuds des lments.

3.

3.a. Sur la figure 7, on observe que 0)( 0yxy = aux erreurs dinterpolation prs. Sur la figure 8,

on a bien le maximum de la contrainte yy enx=0, son minimum enx=H, et une valeur moyenne

autour de -0.98MPa.

3.b. La frontire AA est dfinie par une normale extrieure { }T2/12/1 . Le vecteur des

contraintes est alors

=

+

+=

0

02/1

2/1

2/1

yyxy

xyxx

yyxy

xyxx

,

ce qui permet dobtenir la relation

'AAMxyyyxx )( == .

4. Dans le cas o le sol est rugueux, on encastre les nuds en y=0. La contrainte yy en y=0

sera donc infrieure celle obtenue avec un sol glissant . Ltat de contrainte xx est alors un

tat de compression dans le barrage.

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