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Comparaison analytique vs numeriqueDynamique des plaques de Kirchhoff-Love

Flambement

Elements finis isogeometriques

Nicolas Thiry

Ecole Polytechnique de Louvain

March 26, 2010

Nicolas Thiry Elements finis isogeometriques


FlambementAnalyse de convergence

Plan

1 Comparaison analytique vs numeriqueAnalyse de convergence

2 Dynamique des plaques de Kirchhoff-LoveEquations de la dynamiqueModes et frequences propresVibration libre

3 FlambementGeneralitesPlaques de Von KarmanCoques cylindriques de Von Karman



FlambementAnalyse de convergence

Taux de convergence theorique: || eh ||m= Chp−m+1

0 0.51 1.52 2.53 3.54

00.511.522.533.5405e-111e-10

1.5e-102e-10

2.5e-103e-10

3.5e-104e-10

erreur

1e-11

1e-10

1e-09

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

1 10 100

erro

r(L2

nor

m)

1/h

0 0.51 1.52 2.53 3.54

00.511.522.533.54-8e-05-7e-05-6e-05-5e-05-4e-05-3e-05-2e-05-1e-05

0

solution B-Splines

0 0.51 1.52 2.53 3.54

00.511.522.533.54-8e-05-7e-05-6e-05-5e-05-4e-05-3e-05-2e-05-1e-05

0

solution exacte

Figure: Comparaison entre solution analytique et B-Splines d’ordre 3



Flambement

Equations de la dynamiqueModes et frequences propresVibration libre

Plan






Flambement


Pour passer du cas statique au cas dynamique, il faut effectuer lechangement p ⇒ p − ρwh et considerer que les variables decontrole dependent desormais du temps:

wh = wh(x , y , t)

=

n∑i=1

Wi (t)φi (x , y)

On arrive alors a un systeme de la forme:

MW (t) + KW (t) = F (t)



Flambement


Plan






Flambement


En cherchant une solution homogene a l’equation dynamique, onobtient un probleme aux valeurs propres:

(K − ω2i M)Qi = 0

0 0.51 1.52 2.53 3.54

00.511.522.533.540

0.05

0.1

0.15

0.2

mode 1 ω = 401.48 rad/s

0 0.51 1.52 2.53 3.54

00.511.522.533.54-0.2-0.15

-0.1-0.05

00.050.1

0.150.2

mode 2 ω = 1014.6 rad/s

0 0.51 1.52 2.53 3.54

00.511.522.533.54-0.2-0.15

-0.1-0.05

00.05

0.10.15

0.2

mode 3 ω = 1014.6 rad/s

0 0.51 1.52 2.53 3.54

00.511.522.533.54-0.2-0.15

-0.1-0.05

00.050.1

0.150.2

mode 4 ω = 1618.6 rad/s

Figure: Modes et frequences propres d’une plaque de Kirchhoff-Love



Flambement


Plan






Flambement


Figure: Vibration libre d’une plaque initialement chargee



Flambement

GeneralitesPlaques de Von KarmanCoques cylindriques de Von Karman

Plan






Flambement


Definition

Lorsqu’on parle de l’etat d’equilibre d’une structure, on recherchegeneralement le champ de deplacement qui annule la differentiellede son energie potentielle V pour tout deplacement δu par rapporta cet etat:

δV = 0 ∀δu

Lorsqu’on parle de flambement, on s’interesse a la stabilite d’un teletat d’equilibre, ce qui revient en pratique a repondre a la question:jusqu’a quelle charge de compression un systeme mecanique est-ilstable?



Flambement


Criteres de flambement

Critere de neutralite:

δ2V = 0 ∀δu (1)

Critere de Trefftz:δ(δ2V ) = 0 ∀δu (2)



Flambement


Plan






Flambement


Equations

A partir des hypotheses cinematiques de Von Karman, on arrive al’expression suivante:

δ2V = δ2Um1 + δ2Um2 + δ2Ub

δ2Um1 = A

∫ ∫[δu2

x + δv2y + 2νδuxδ +

1 − ν

2(δuy + δvx )2]dxdy

δ2Um2 = −

∫ ∫[Nxδw

2x + Nyδw2

y + 2Nxyδwxδwy ]dxdy

δ2Ub = D

∫ ∫[δw2

xx + δw2yy + 2νδwxxδwyy + 2(1 − ν)δw2

xy ]dxdy

On remarque le decouplage entre les parties dans le plan et horsplan. En appliquant le critere de Trefftz, on obtient un problemeaux valeurs propres:

(K − NxKPx − NyKPy − NxyKPxy )W = 0



Flambement


Modes et efforts critiques de flambement

00.511.522.533.54

00.511.522.533.54-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

mode 1 Fx = 5.716e+06 Newtons

00.511.522.533.54

00.511.522.533.54-0.2-0.15

-0.1-0.05

00.05

0.10.15

0.2


00.511.522.533.54

00.511.522.533.54-0.15

-0.1-0.05

00.050.1

0.15


00.511.522.533.54

00.511.522.533.54-0.2-0.15-0.1

-0.050

0.050.1

0.150.2


00.511.522.533.54

00.511.522.533.54-0.15

-0.1-0.05

00.05

0.10.15


00.511.522.533.54

00.511.522.533.54-0.15

-0.1-0.05

00.050.1

0.15




Flambement


Plan






Flambement


δ2V = δ2Um1 + δ2Um2 + δ2Um3 + δ2Um4 + δ2Ub

δ2Um1 = A

∫ ∫[u2

x + v2y + w2/r2 + 2vy w/r

+ 2ν(ux vy + ux w/r) +1 − ν

2(v2

x + u2y )]dxdy

δ2Um2 = A

∫ ∫[[ux + ν(vy + w/r)]w2

x + [(vy + w/r) + νux ]w2y

+ (1 − ν)(vx + uy )wx wydxdy

δ2Um3 = 2A

∫ ∫[[ux + ν(vy + w/r)]wx wx + [(vy + w/r) + νux ]wy wy

+1 − ν

2(vx + uy )(wy wx + wywx)]dxdy

δ2Um4 =A

2

∫ ∫[(3w2

x w2x + 3w2

y w2y + w2

x w2y + w2

x w2y + 4wxwy wx wydxdy


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