ÉLÉMENTS DE CALCUL TENSORIEL

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LMENTS DE CALCUL TENSORIELRoland FORTUNIERCentre Micro-lectronique de Provence "Georges Charpak"Avenue des anmones13541 - GARDANNE2Table des matiresIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Chapitre 1. Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1. Espace vectoriel E et espace dual E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Covariance et contravariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Cas pr-euclidien et euclidien : identication de E et E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Le tenseur mtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Chapitre 2. Algbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1. Les tenseurs pr-euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Composantes dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Oprations sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Notions dalgbre extrieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Chapitre 3. Gomtrie diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1. Repre naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Symboles de christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3. Diffrentielle absolue, drive covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4. Les tenseurs de courbure et de torsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Chapitre 4. Expression de quelques oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1. Acclration dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2. Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3. Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4. Rotationel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5. Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25A. Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27B. Coordonnes sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3556IntroductionEn 1900, Ricci et Levi-Civita ont donn le premier expos systmatique relatif au calcul tensoriel. Dans cet ouvrage,les auteurs ont attir lattention des mathmaticiens et des physiciens sur un certain nombre dapplications de cette tho-rie mathmatique. Depuis, lapparition de la thorie de la relativit, qui na t possible que grce lexistence pralabledu calcul tensoriel, lui a fait raliser par contrecoup dimmenses progrs. Ce calcul est devenu lun des instrumentsessentiels de toute la physique thorique moderne.Ltude du calcul tensoriel peut tre ralise au sein dun cadre mathmatique formel, laide de dnitions et dedmonstrations plus ou moins compliques. Mais le calcul tensoriel est aussi un outil trs pratique pour lcriture etltude des quations servant dcrire des phnomnes physiques. En effet, les lois physiques ne sont valables que sielles sont indpendantes de tout systme de coordonnes particulier utilis pour les reprsenter mathmatiquement. Ilest ainsi trs commode dutiliser lanalyse tensorielle en relativit gnrale, en gomtrie diffrentielle, en mcanique,en thermodynamique, et dans de nombreuses autres branches de la science ou de la technologie, et il nest pas ncessairepour cela de connatre lensemble des fondements mathmatiques de la thorie.Dans ce document, nous avons choisi de traiter lanalyse tensorielle comme un outil de description simple et concisdes lois physiques que lingnieur aura sans doute connatre et utiliser au cours de sa vie professionnelle. Le premierchapitre est consacr la dnition des notions lmentaires ncessaires la comprhension du calcul tensoriel. Il donnele cadre mathmatique, volontairement restreint, dans lequel se place ce document. Ensuite, nous dnissons dans lesecond chapitre les tenseurs, leurs composantes, et les diffrentes oprations classiques qui y sont associes. Quelquesnotions dalgbre extrieure sont galement fournies. Dans le troisime chapitre, nous utilisons le calcul tensoriel pourintroduire la gomtrie diffrentielle, qui concrtise cet outil. Enn, dans le quatrime chapitre, quelques oprateursdiffrentiels sont introduits dans un cadre tensoriel. Ces oprateurs sont la base de la plupart des lois physiques. Ilssont explicits dans les annexes A et B pour le cas de systmes de coordonnes cylindriques et sphriques.Le cadre thorique de ce document a t ralis laide des document [LIC 87, RIE 85]. Le lecteur pourra galementtrouver des applications du calcul tensoriel dans [HIL 78, FOR 96] pour la mcanique et la dformation plastique, ainsique dans [HEI 73] pour la cosmologie. Enn, de nombreux exercices rsolus se trouvent dans [MUR 73].78Chapitre 1Notions de base1.1. Espace vectoriel E et espace dual EDans lensemble de ce document, nous considrons un espace vectoriel E de dimension N sur un corps K, dont lesvecteurs de base sont nots ai. Dune faon gnrale, les lments de E seront nots en caractre gras ("vecteurs"), pourles diffrencier des lments deK("scalaires"). Un lmentx deEse dcomposera donc sur la base desai sous laforme de composantes xitelles que x = x1a1 +x2a2 +. . . +xNaN.Nous utiliserons donc frquemment des sommes sur des indices variant de 1 la dimension N de lespace considr.Pour simplier les notations, ces sommes seront rendues implicites lorsque, dans un produit ou sur un seul terme, lemme indice apparatra la fois en position infrieure et suprieure. Par exemple, la dcomposition dun lment x deEsur la base desai scrira de faon condense sous la formex=xiai. De mme, en notantAjiles termes dunematrice, les composantes yide llment de E issu du produit de cette matrice par un lment x de E, et la trace de cettematrice, scriront successivement :yi= Aijxj= Ai1x1+. . . +AiNxNAii = A11 +. . . +ANN(1.1)Il sagit de la convention de sommation dite dEinstein.Souvent, cette convention de sommation est tendue tous les indices prsents dans un produit ou sur un seul terme,quelle que soit leur position (infrieure ou suprieure). Dans ce document, nous neffectuerons pas cette extension. Nousverrons en effet que la signication mathmatique dun indice dpend de sa position.La premire notion fondamentale utile en calcul tensoriel est celle despace vectoriel dualE, issue de lanalysevectorielle. Pour simplier, nous citerons simplement la dnition de E. Il sagit de lensemble des formes linaires ude E dans K, qui satisfont les conditions :x E, y E, K,_u(x +y) = u(x) +u(y)u(x) = u(x)(1.2)Dans la suite, les lments de E seront diffrencis des lments de E par un "trait suprieur".Considrons maintenant un certain nombre dlments de lespace E dnis sous la forme :x E, ai(x) = xisi x = xiai(1.3)910 Calcul tensorielOn peut remarquer sur lquation prcdente que les lments aide lespace E sont associs aux lments ai deE. En particulier, ils sont au nombre de N et satisfont la relation :aj(ai) = ji=_1 si i = j0 si i = j(1.4)Les lments aiforment une base de E. Pour dmontrer cela, nous vrions quils forment dans E : une famille libre, en considrant une combinaison linaire nulleiai, o lesisont des lments du corpsK.Limage des vecteurs de base aj de E par cette combinaison linaire est donc galement nulle, et on peut crire :iai(aj) = iij = j = 0 (1.5) une famille gnratrice, en crivant pour tout lment u de E :x E, u(x) = u(xiai) = xiu(ai) = u(ai)ai(x) = uiai(x) (1.6)ce qui montre que les composantes deu sur la base desaisont les images paru des vecteurs de baseaideE(ui = u(ai)).La base des aiest souvent appele "base duale" des ai. Elle est constitue de Ntermes, ce qui montre que E estde dimension N.1.2. Covariance et contravarianceNous considrons maintenant dans E deux systmes de vecteurs de base ai et bj, qui se dduisent lun de lautrepar une combinaison linaire (bj= Bijai et ai = Ajibj, o les termes Bjiet Ajiforment des matrices inverses lune delautre). Les bases duales associes ces deux systmes se dduisent alors lune de lautre par des relations analogues,mais en inversant les deux matrices mises en jeu. On obtient bj=Ajiaiet ai=Bijbj. Ceci se montre facilement parexemple en crivant limage par bjdun lment x de E sous la forme :bj(x) = bj(xiai) = bj(ai)xi= bj(Akibk)xi= Akibj(bk)xi= Akijkxi= Ajixi= Ajiai(x)(1.7)Considrons maintenant un lment quelconque u de E et u de E. Notons xiet yiles composantes de u dans lesdeux systmes de base (u = xiai = yjbj). Notons maintenant fi et gi les composantes de u dans ces deux systmes debase (u = fiai= gjbj). A laide des relations prcdentes, on montre alors facilement que lon a :_xi= Bijyjyj= Ajixiet_fi = Ajigjgj = Bijfi(1.8)Onremarquesurlquationprcdentequelescomposantesfiet gjdeuvoluentdelammefaon(danslemme "sens") que les vecteurs de base deE. On dit quelles voluent de faon covariante par rapport ces vecteurs.Inversement, les composantes xiet yjde u voluent de faon inverse (dans le sens "inverse") des vecteurs de base deE. On dit quelles voluent de faon contravariante par rapport ces vecteurs.Notions de base 111.3. Cas pr-euclidien et euclidien : identication de E et ELorsque E est un espace pr-euclidien, il existe dans cet espace une loi de composition, appele "produit scalaire",qui tout couple dlmentsx ety deE fait correspondre un lment du corpsK(le "scalaire"), que nous noteronsx.y. Ce produit scalaire satisfait de plus les conditions suivantes : x E, y E, x.y = y.x E, x E, y E, (x).y = x.(y) = (x.y) x E, y E, z E, x.(y +z) = x.y +x.z Si x E, x.y = 0, alors y = 0Le caractre pr-euclidien de E a une consquence importante sur E. En effet, chaque lment de base aide Eest une forme linaire de E dans K. On peut donc crire :x E, ai(x) = ai.x (1.9)Pour obtenir les ai, il suft dutiliser la dnition des aipour crire :ai.aj = ij(1.10)Les aisont donc les lments de E orthogonaux aux vecteurs ai. Il sen suit que les aiforment une base de E.Plus gnralement, limage de tout lment x de E par un lment u de E peut tre crite sous la forme u(x) =u.x. En effet, on a :u(x) = fiai(x) = fiai.x = (fiai).x (1.11)Les composantes fi de u dans E sont celles de u dans E, relativement la base des ai(on a donc u =fiai). Onpeut donc identier tout lment u de E avec son vecteur associ u de E, et donc ne considrer quun seul espace E.Dans un espace vectoriel pr-euclidien E, la base des ai est dite "covariante" et celle des aiest dite "contravariante".UnvecteurquelconqueudeEauradoncdescomposantesdanscesdeuxbases. Poursimplierlesnotations, lescomposantes fi sont souvent notes xi et on peut crire :_u = xiaiu = xiaiet_xi = u.aixi= u.ai(1.12)Les composantes xide u sont dites "contravariantes", tandis que les composantes xi (i.e. fi) sont dites "covariantes".La gure 1.1 illustre ce rsultat dans le cas dun espace euclidien de dimension 2.Les espaces euclidiens sont des espaces pr-euclidiens sur le corps des rels, o la dernire condition satisfaite par leproduit scalaire est remplace par la suivante : Si x = 0, alors x.x > 0Il est alors possible de dnir une norme sur cet espace vectoriel sous la forme :x E,x =x.x (1.13)12 Calcul tensorielFigure 1.1. Covariance et contravariance dans un espace de dimension 21.4. Le tenseur mtriqueDans un espace pr-euclidien E, le produit scalaire entre deux vecteurs x et y, de composantes contravariantes xietyi, et covariantes xi et yi, par rapport des vecteurs de base ai et ai, scrit sous la forme :x E, y E, x.y = gjixiyj = gijxiyj= gijxiyj= gijxiyj(1.14)avec :___gij = ai.aj = aj.ai = gjigij= ai.aj= aj.ai= gjigji= ai.aj= ji= ij = ai.aj = gij(1.15)Les termesgij, gij, gji=jiet gij=ijforment les composantes dun tenseur symtrique appel "tenseur m-trique" ou "tenseur fondamental", qui est dune grande importance en calcul tensoriel. En effet, il permet de calculer leproduit scalaire de deux vecteurs quelconques. On peut dailleurs remarquer que les composantes contravariantesgijsont obtenues en "inversant" la matrice forme par les gij, tandis que les composantes "mixtes" gjiforment la matriceidentit.Chapitre 2Algbre tensorielle2.1. Les tenseurs pr-euclidiensLes tenseurs sont construits sur la base dune opration appele "produit tensoriel". Par exemple, si E et F sont deuxespaces vectoriels de dimension Net Prespectivement, sur un mme corps K, on dnit leur produit tensoriel E Fde la faon suivante. Chaque lment de E Fpeut tre crit sous la forme u v, o u et v sont des vecteurs de E etFrespectivement, lopration jouissant des proprits suivantes :_ u E, v1 F, v2 F, u (v1 +v2) = u v1 +u v2u1 E, u2 E, v F, (u1 +u2) v = u1v +u2v K, u E, v F, (u v) = u v = u v SiNvecteursai constituent une base deE etPvecteursbjune base deF, alors lesN Pvecteursai bjconstituent une base de E F.Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels est galement un espace vectoriel. On peut donc son tour le mul-tiplier (de faon tensorielle) par un troisime espace vectoriel G, et on obtiendra lespace vectoriel (E F) G. Enconstatant que loprateur est associatif, on peut noter lespace nal E F G. Dune faon gnrale, on appelletenseur construit sur les espacesE, F, G, ... tout lment de lespace vectorielE F G ... Dans ce qui suit,nous nous limiterons au cas o lespace vectoriel est engendr uniquement par un espace E et son dual E, tous deuxventuellement multiplis plusieurs fois entre eux. Dans ce cas les lments de lespace vectoriel engendr sont appelstenseurs afnes.Considronsparexempleunlment Tdelespacevectoriel E E. Silesvecteursaiet ajconstituentdesbases respectives de E et E, alors les composantes de Tdans lespace vectoriel E E seront notes Tijet on auraT=Tijai aj. Il est vident queTaura des quivalents dans les espacesE E,E E, etE E, mais lesnotations dans ce cas deviennent vite lourdes. Or dans la plupart des applications, lespace vectoriel E est pr-euclidien,de sorte que lon identieE etE. Il sen suit que lon peut identierTet ses quivalents. Dans la suite, nous nouslimiterons au cas dun espace vectoriel pr-euclidien E.Les tenseurs afnes dnis dans des espaces vectoriels issus de produits tensoriels (successifs ou non) entre un espacevectoriel pr-euclidien E et son dual (identi E) sont appels tenseurs pr-euclidiens. En notant ajles vecteurs de labase duale des ai, on peut alors crire :T E E, T= Tijaiaj = Tijaiaj= Tji aiaj = Tijaiaj(2.1)Ceci permet de dnir lordre dun tenseur (nombre dindices sur les composantes), ainsi que le type de ses compo-santes (voir paragraphe suivant).1314 Calcul tensoriel2.2. Composantes dun tenseurNous avons vu que les composantes dun vecteur u de E exprimes par rapport deux systmes de vecteurs de baseai (de dual aj) et bi (de dual bj) se dduisaient les unes des autres par des combinaisons linaires faisant intervenir unematrice ou son inverse suivant leur caractre covariant ou contravariant. Dune faon plus gnrale, on peut dnir destenseurs dordre quelconque qui se transforment de faon mixte (covariante et contravariante). Par exemple,XklmijetYklmijsont les composantes trois fois contravariantes et deux fois covariantes dun mme tenseur Tdordre 5, exprimesrespectivement par rapport aux vecteurs de base ai et bi. Ces composantes respectent donc la relation suivante :T= Xklmijaiajakalam = Yklmijbibjbkblbm(2.2)et se dduisent les unes des autres sous la forme :Yrstpq= AipAjqBrkBslBtmXklmij(2.3)Un tenseur dordre zro est un scalaire invariant par changement de systme de coordonnes. Un tenseur est ditsymtrique par rapport deux indices covariants ou deux indices contravariants si ses composantes restent inchangesdans une permutation des deux indices. Il sera dit antisymtrique par rapport ces indices si ses composantes changentde signe dans une permutation.Le tenseur mtrique permet de relier entre elles les diffrentes composantes dun tenseur. En effet,la multiplicationpar gijpeut tre interprte de la faon suivante : poser i = j (ou j = i) dans tout ce qui suit et lever lindice. De mmenous pouvons donner la multiplication par gij la signication suivante : poser i = j (ou j = i) dans tout ce qui suit etabaisser lindice. Par exemple, les composantes covariantes du tenseur Yde lquation prcdente sont obtenues sous laforme :Ypqrst = grigsjgtkYijkpq(2.4)Il existe enn pour les tenseurs un autre type de composantes, largement utilis en physique, dans les espaces eu-clidiens. Ces composantes sont dailleurs appeles "composantes physiques". Ce sont les projections du tenseur sur lesvecteurs de base de lespace. Nous avons donc pour un vecteur u les composantes physiques uIsuivantes, en fonctionde ses composantes covariantes et contravariantes, et de la mtrique :uI= u.aiai

=uigii=gijujgii(2.5)De mme, pour un tenseur A dordre 2, les composantes physiques AIJ sobtiennent de la faon suivante :AIJ= A :aiajaiaj

=Aijgiigjj=gikgjlAklgiigjj(2.6)Dans le cas dune base orthogonale, les composantes de la mtriques forment une matrice diagonale, ce qui permetde simplier les relations prcdentes. Dans un systme orthonorm, les composantes du tenseur mtrique concidenttoutes avec la matrice identit. Il sen suit que tous les types de composantes dun tenseur sont identiques. Dans ce cas,les indices sont tous placs "en bas" en ne considrant que les composantes covariantes des tenseurs. En calcul matriciel,ceci est couramment utilis. La convention de sommation dEinstein est alors tendue aux indices rpts en mmeposition (et non en haut et en bas comme cest normalement le cas).Algbre tensorielle 152.3. Oprations sur les tenseursConsidrons deux tenseursXet Ydu mme ordre. Alors, leur sommeZsera un tenseur du mme ordre dontles composantes sont la somme des composantes correspondantes deXetY . Toutefois, il convient de sommer lescomposantes de mme type uniquement. De mme, la soustraction de deux tenseurs X et Ydonne un tenseur dont lescomposantes sont obtenues en soustrayant celles de X et Y .Le produit de deux tenseursXetYse fait galement en multipliant les composantes. Par contre, dans ce cas, letenseur Z=X Yobtenu a un ordre gal la somme des ordres de X et Y . De plus, le produit de composantes detypes diffrents peut tre ralis. Notons enn que lon ne peut pas crire nimporte quel tenseur comme le produit dedeux tenseurs dordres infrieurs. Pour cette raison, la division des tenseurs nest pas toujours possible.Si on pose lgalit entre un indice contravariant et un indice covariant des composantes dun mme tenseur, lersultatindiquequondoitfaireunesommationsurlesindicesgauxdaprslaconventiondEinstein. Lasommersultante est la composante dun tenseur dordre N 2 o Nest lordre du tenseur initial. Le procd sappelle unecontraction. Par exemple, dans un tenseurXdordre 5, si on applique une contraction ses composantesXklmijenposant m =j, on obtient les composantes Yklidun nouveau tenseur Ydordre 3. De plus, en posant l =i, on obtientles composantes contravariantes Zkdun tenseur Z dordre 1.Parunproduittensorieldedeuxtenseurssuividunecontraction,onobtientunnouveautenseurappelproduitcontract des tenseurs donns. Par exemple, le produit dun tenseurXdordre 3 et dun tenseurYdordre 2 fournitun tenseur dordre 5. En effectuant une contraction dindice, on obtient un tenseurZdordre 3 dont les composantessont Zilk= XijkYlj. Un exemple courant de produit contract est le produit matriciel. Ainsi, le produit de deux matrices(dordre 2) donne par contraction une nouvelle matrice (dordre 2x2-2=2).Parfois, on utilise un produit "doublement contract" de deux tenseurs. Il y a alors sommation sur deux indices, etlordre du tenseur nal est diminu de 4. Cest le cas par exemple de lnergie de dformation lastique (scalaire outenseur dordre 0), issue du produit doublement contract entre les tenseurs de contraintes (ordre 2) et de dformations(ordre 2).Notons enn quil existe un critre, dit "critre de tensorialit", pour vrier si une quantit est un tenseur. Si leproduit contract de cette quantit avec un tenseur donne un tenseur, alors cette quantit est elle-mme un tenseur. Cecritre est galement appel "loi du quotient" en anglais.2.4. Notions dalgbre extrieureNous nous intressons ici aux tenseurs dordre p N (o N est la dimension de E) compltement antisymtriques.Soit Tun tel tenseur, alors ses composantes covariantes Ti1i2...ip changent de signe ds que lon permute deux indices.On montrent alors quil en est de mme pour tous ses types de composantes. Si E(p)est lensemble des tenseurs com-pltement antisymtriques dordre p N, alors E(p)est un sous-espace vectoriel de celui des tenseurs dordre p surE.Soit Tun lment de E(p). On dnit ses composantes "strictes" T12...p telles que 1 1< 2< . . . < p N. On a alors :Ti1i2...ip = 12...pi1i2...ipT12...p(2.7)o le terme j1j2...jpi1i2...ipest une gnralisation du symbole de Kroenecker jiqui vaut (1)qsi les deux suites i1i2. . . ipet j1j2. . . jp se dduisent lune de lautre par q permutations dindices, et 0 sinon.Ainsi, tous les types de composantes deTse dduisent de ses composantes strictes, qui sont au nombre deCpn.Parexemple,pourN=3,lestenseursdordre 2compltementantisymtriquesont C23=3composantesstrictes(T12, T23, T13). On reconnat ici les termes indpendants des matrices 3x3 antisymtriques.16 Calcul tensorielOn peut maintenant dnir le "produit extrieur" entre p lments de E (u1, u2, . . . , up), qui est une gnralisationdu produit vectoriel classique, sous la forme du tenseur suivant :u1 u2 . . . up = i1i2...ip12...pui1 ui2 . . . uip(2.8)Si on note ajles vecteurs de base de E, et xjiles composantes contravariantes de ui sur cette base (ui=xjiaj),alors le produit extrieur scrit :u1 u2 . . . up= xj1i1xj2i2. . . xjpipi1i2...ip12...paj1 aj2 . . . ajp= xj11xj22. . . xjppaj1 aj2 . . . ajp(2.9)On montre ainsi que les Cpn tenseurs a1a2. . . ap forment une base de lespace vectoriel E(p)des tenseurscompltement antisymtriques dordre p. Ceci permet de donner la dimension de cet espace, et dexprimer tout tenseurTsous la forme :T = T12...pa1 a2 . . . ap= T12...pa1 a2 . . . ap(2.10)Lors dun changement de base dans E (passage des ai aux bj avec bj=Bijai et ai=Ajibj), on constate que lescomposantes strictes X12...pet Y12...pdun mme tenseur Tde E(p)dans les deux bases issues de celles de Esont relies de la faon suivante :T= X12...pa1 a2 . . . ap = Y12...pb1 b2 . . . bp(2.11)avec :X12...p= 12...pj1j2...jpBj11Bj22 . . . BjppY12...p(2.12)Chapitre 3Gomtrie diffrentielle3.1. Repre naturelNous nous plaons ici dans un espace ponctuel (afne) euclidien E0, dont lespace vectoriel associ E est de dimen-sion N, muni dun repre (R) dorigine O et dun systme de coordonnes curvilignes (xi). Ce systme de coordonnesest caractris par Nfonctions plusieurs fois continuement diffrentiables reliant les coordonnes curvilignes xidunpoint M ses coordonnes Xidans le repre (R). De plus, nous supposerons quil existe autour du point M une relationbi-univoque entre les xiet les Xi. Les coordonnes curvilignes les plus utilises en dimension 3 sont les coordonnescylindriques (r, , z) et les coordonnes sphriques (r, , ).En un point Mde coordonnes curvilignes xi, on dnit un repre naturel de la faon suivante. Lorigine du repreest xe en M, et les vecteurs de base ai sont dnis par :dOM= aidxisoit ai =OMxi(3.1)Figure 3.1. Repre naturel en un point de lespaceCe repre naturel est donc tangent aux lignes de coordonnes (gure 3.1). Lquation prcdente montre que les dxisont les composantes contravariantes de dOM(vecteur de E) dans le repre naturel. Il est donc possible de dnir letenseur mtrique (souvent appel "mtrique") de cet espace. Les composantes covariantes de ce tenseur sont issues durepre naturel (gij= ai.aj). Ce tenseur dpend du point M, origine du repre naturel, et donc de la position laquelleon se trouve dans lespace E0.Supposons maintenant que lon dnisse un nouveau systme de coordonnes curvilignes (yi). Au point M, unnouveau repre naturel sera constitu du point M et de vecteurs de base bi. Daprs la formule de drivation des fonctionscomposes, on peut crire :1718 Calcul tensoriel_ai =OMxi=OMyjyjxi=yjxibj = Ajibj avec Aji=yjxibj =OMyj=OMxixiyj=xiyjai = Bijai avec Bij =xiyj(3.2)Cette quation montre quun changement de coordonnes curvilignes est caractris par un changement de reprenaturel. Les composantes dun tenseurTchangeront donc lorsque, en un pointMx, on changera de systme decoordonnes. Pour obtenir les nouvelles composantes deTdans le repre naturel dni par lesbi, on utilisera doncles relations de changement de base vues prcdemment. Les composantes dun tenseur Tpourront galement changerlorsque lon dplacera le point M, tout en gardant le mme systme de coordonnes, puisque le repre naturel change.On parle alors de "champs de tenseurs".3.2. Symboles de christoffelNous avons vu que, en chaque pointMde lespaceE0, on pouvait caractriser la mtrique de cet espace par untenseur de composantes covariantes gij. Ainsi, si lon se dplace de quantits dxidans le repre naturel des ai, llmentde longueur engendr ds est obtenu par le produit scalaire, dans E, du vecteur dx de composantes dxiavec lui-mme.On obtient alors :ds2= dx.dx = gijdxidxj(3.3)Le problme fondamental en gomtrie diffrentielle rside dans le fait que le repre naturel, et donc la mtrique,dpend du point Mde lespace. Il sen suit que deux tenseurs dnis par leurs composantes par rapport deux represdiffrents (ou en deux points distincts de lespace) ne pourront tre compars que si lon connat le lien entre ces deuxrepres. Lobjectif des symboles de Christoffel est de raliser le lien entre deux repres naturels inniment voisins ai etai +dai.LorsquelondplacelorigineMdureprenatureldunequantitdx, lesvecteursdebaseaidecerepresemodient dune quantit dai. En notant dans le repre naturel initial dxiet dxi les composantes de dx (dx =dxiai,dxi=dx.ai) etdjietdijcelles dedai(dai=djiaj,dij=dai.aj), les symboles de Christoffel relient cesquantits sous la forme :_dkj = ikjdxidkj= kijdxi(3.4)Les fonctions ikj et kij sont appels symboles de Christoffel respectivement de premire et de deuxime espce. Ilsagit de N3fonctions relies entre elles sous la forme ikj=gkllij et kij=gklilj. Pour obtenir ces N3fonctions,on diffrencie les composantes covariantes de la mtrique pour obtenir :_dgjk =gjkxidxidgjk = dak.aj +daj.ak = (ikj + ijk)dxigjkxi= ikj + ijk(3.5)On peutenn interprterles symboles deChristoffel deseconde espcecommeles composantesdans lereprenaturel des drives partielles secondes du vecteur position OM :dai = djiaj = jkidxkaj = (jkiaj)dxkjkiaj =aixk=2OMxkxi(3.6)Gomtrie diffrentielle 19La symtrie des drives secondes croises du vecteurOM(qui sera discute lors de la dnition du tenseur detorsion) implique les relations de symtrie ikj= jki et lij= lji, qui permettent dcrire par permutation circulairedes indices les relations suivantes :___kij + ikj =gjkxiikj + jik =gkixjjik + kji =gijxk(3.7)En effectuant dans lquation prcdente la somme des deux premires relations moins la dernire, on obtient ladnition des termes ikj. On peut nalement crire lexpression des symboles de Christoffel de premire et de secondeespce sous la forme :_ikj =12(gikxj+gjkxigijxk )kij = gklilj(3.8)On remarque sur les quations prcdentes que les symboles de Christoffel peuvent tre exprims directement enfonction des variations des composantes du tenseur mtrique le long des lignes de coordonnes.3.3. Diffrentielle absolue, drive covarianteConsidrons un vecteur quelconqueu dni par ses composantes contravariantesuidans le repre naturel desaiau pointM. Lorsque lon va se dplacer dun quantit innitsimale sur le systme de coordonnes curvilignes, lescomposantes deu vont tre modies dune quantitdui, mais comme le repre naturel change galement, un terme(souvent appel "convectif") va venir sajouter cette variation pour obtenir :du = dujaj +ujdaj(3.9)Lederniertermedecettequationestappel"convectif".Ilestdlavariationdureprenaturelaucoursdudplacement dans lespace. Il est illustr sur la gure 3.2, o un vecteuru est simplement transport dans le systmede coordonnes. On na donc pas de variation de ses coordonnes dans le repre initial (dui= 0), mais ses nouvellescomposantes (dans le nouveau repre naturel) sont tout de mme modies.Figure 3.2. Transport dun vecteur en coordonnes curvilignesEn utilisant les dnitions prcdentes, les composantes contravariantes du vecteur du peuvent tre crites sous laforme :20 Calcul tensorieldu = (uk)ak avec uk= duk+ujdkj(3.10)On donne ukle nom de "diffrentielle absolue" de uk. Il sagit des composantes contravariantes du tenseur du,ce qui nest pas le cas pour les termes duk. Par abus de language, on dit souvent que du est la diffrentielle absolue deu. En introduisant maintenant les drives partielles par rapport aux coordonnes curvilignes xi, on peut crire :uk= uk,idxiavec uk,i =ukxi+ kijuj(3.11)Les termes uk,i sont les composantes mixte dun tenseur appel "drive covariante" de u. Si u avait t donn parses composantes covariantes uk, alors le mme raisonnement nous aurait conduit dnir la drive covariante de u parrapport ses composantes covariantes. On peut rsumer ces rsultats par les formules suivantes :uk,i =ukxi+ kijujuk,i =ukxi jkiuj(3.12)Dune faon plus gnrale, on dnit la drive covariante dun tenseur dordre quelconqueTpar celles de sescomposantes. Par exemple, siTest dordre 5, sa drive covariante sera dordre 6. Ses composantes mixtes (4 foiscovariantes et 2 fois contravariantes) seront donnes par :Tmnijk,l =___TmnijkxlrilTmnrjk rjlTmnirk rklTmnijr+mlrTrnijk + nlrTmrijk(3.13)En applicant par exemple ces formules au tenseur mtrique, et en utilisant les relations prcdentes, on obtient :gij,k =gijxk likglj lkjgli =gijxk (jik + kji) = 0 (3.14)La diffrentielle absolue du tenseur mtrique est donc nulle. Ce rsultat est connu sous la nom de "thorme deRicci".3.4. Les tenseurs de courbure et de torsionLa drive covariante peut tre calcule sur tout tenseur, et donc en particulier sur des tenseurs eux-mme drivecovariante. En utilisant les relations prcdentes, on peut relier la diffrence entre les drives covariantes secondescroises dun vecteur ce vecteur sous la forme :uj,kluj,lk = Rnjklun avec Rnjkl = mjlnmkmjknml +njlxk njkxl(3.15)Les termes Rnjkl sont les composantes dun tenseur. En effet, daprs cette quation, leur produit contract avec untenseur dordre 1 donne une diffrence de tenseurs, et donc un tenseur. Le tenseur R ainsi obtenu est dordre 4. Il estappel "tenseur de Riemann-Christoffel" ou "tenseur de courbure". Ses composantes covariantes sont Rijkl = ginRnjkl.On montre quelles sont :Gomtrie diffrentielle 21 antisymtriques en (k, l) : Rijkl = Rijlk antisymtriques en (i, j) : Rijkl = Rjikl symetriques en (i, j),(k, l) : Rijkl = RklijPar exemple, en dimension 2, ce tenseur ne possde quune seule composante non nulle : R1212. De plus, les pro-prits precdentes montrent que lon peut caractriser ce tenseur laide des seules composantes Rjk = gilRijkl, quiforment un tenseur symtrique dordre 2 appel "tenseur de Ricci". Enn, la trace de ce tenseur est appele "courburescalaire".Dans un espace euclidien, le tenseur de Riemann-Christoffel est nul. En effet, dans ce type despace, le changementde repre naturel ne dpend pas du chemin suivi. Ceci signie que, si en chaque point dun espace une mtrique (cest dire des composantes gij) peut tre choisie de faon arbitraire, celle-ci ne correspondra pas forcment celle dun espaceeuclidien. Pour cela, il faudra quelle annule le tenseur de Riemann-Christoffel. On peut maintenant se poser la question :si le tenseur de Riemann-Christoffel est nul, lespace est-il euclidien ? En fait, lespace nest alors que "localement"euclidien, puisque ce tenseur nest dni quautour dun point M de lespace. Plus gnralement, si ce tenseur nest pasnul, alors lespace est dit "localement" non-euclidien. Nous entrons alors dans le domaine de la gomtrie riemannienne(espaces de Riemann), gomtrie par exemple largement utilise en cosmologie [HEI 73].Les symboles de Christoffel ont t dnis comme des fonctions ikj et kij. Toutefois, ces fonctions ne sont pas lescomposantes dun tenseur. Considrons en effet deux repres naturels en un point Mde lespace, avec des vecteurs debase ai et bi tels que bi = Bjiaj et ai = Ajibj. On montre alors facilement que :_dbi = jibjdai = jiajji= Bki Ajllk +dBki Ajk(3.16)En notant maintenant xiles coordonnes curvilignes associes aux ai, et yicelles associes aux bi, et kij et kij lessymboles de Christoffel associs respectivement ces deux systmes de coordonnes, on obtient la relation suivante detransformation des symboles de Christoffel par changement de coordonnes :kij = AliAmjBknnlm +Bkn2xnyiyj(3.17)Le dernier terme de cette quation montre que les symboles de Christoffel nont pas de caractre tensoriel. Par contre,ce dernier terme est symtrique en (i, j). Il sen suit que les termes :kij = kij kji(3.18)forment les composantes dun tenseur Tdu troisime ordre, antisymtrique en (i, j), appel "tenseur de torsion" ou"tenseur de Cartan". Ce tenseur est par exemple utilis dans la description des dfauts linaires (dislocations) dans lescristaux [FOR 96].Nous avions prcdemment reli les symboles de Christoffel aux drives secondes du vecteur positionOM. Ilapparat que la nullit du tenseur de torsion equivaut la permutabilit des drives partielles de fonctions vectorielles(telles que le vecteur position). Elle conduit la symtrie des symboles de Christoffel, et leur expression explicite enfonction des variations de la mtrique le long des lignes de coordonnes.22Chapitre 4Expression de quelques oprateurs4.1. Acclration dun pointNous considrons ici un point M de lespace dont la trajectoire est paramtre par t (que nous interprterons commele temps). Cette trajectoire est donc donne par lvolution au cours du temps des coordonnes du point M, que nous no-terons ui(t). La vitesse instantane du point sera un vecteur v, de composantes contravariantes vi=duidt . Lacclrationinstantane du point M sera galement un vecteur, obtenu comme la drive du vecteur vitesse, soit =dvdt . Commele vecteur dv a pour composantes contravariantes les diffrencielles absolues des vi, alors le vecteur acclration auracomme composantes contravariantes :i=vidt=dvidt+ iklvldukdt=d2uidt2+ ikldukdtduldt(4.1)Considrons maintenant les trajectoires des pointMdacclration nulle. Ces trajectoires sont communment ap-pelesdes"droites". Enfait, lestrajectoiresdacclrationnullesontdonnesdunefaongnraleparlesystmedquations diffrentielles suivant, issu de lquation prcdente :i = 1, ..., N, d2uidt2+ ikldukdtduldt= 0 (4.2)Elles sont appeles "godsiques". Dans un espace dont la mtrique est constante, cest--dire ne dpend pas dupoint M considr, alors les symboles de Christoffel sont par dnition nuls, est on retombe sur lquation dune droite.Notons enn que la distance d qui spare deux points situs sur une courbe paramtre xi=xi(t), aux abscisses t1 ett2, est donne par :d =_t2t1_gijduidtdujdtdt (4.3)On montre que les godsiques rendent extrmale cette distance (minimum ou maximum). Par exemple, la surfacedune sphre peut tre considre comme un espace de dimension 2, dans lequel on peut dnir un systme de coordon-nes curvilignes (lattitude et longitude), et dans lequel les grands cercles joignent deux point avec une distance minimumou maximum. Ces grands cercles sont des courbes paramtres qui satisfont le systme dquations diffrentielles pr-cdent. Ce sont les godsiques de cet espace.2324 Calcul tensoriel4.2. GradientLe gradient dun tenseur T est son tour un tenseur, dont les composantes sont obtenues comme la drive covariantedes composantes deT. Le gradient dun tenseur dordreNest donc un tenseur dordreN+ 1. Sifest un scalaire(tenseur dordre 0, invariant par changement de repre), le gradient de fest un tenseur dordre 1 (un vecteur) dont lescomposantes covariantes sont dnies parf,i=fxi. Siu est un vecteur (tenseur dordre 1), le gradient deu est untenseur dordre 2, dont les composantes covariantes et mixtes sont :ui,j =uixj kijuk et ui,j =uixj+ ijkuk(4.4)Le gradient est largement prsent dans les disciplines scientiques. Il sert par exemple dnir les dformationsen mcanique, et les forces motrices en thermique (gradient thermique) et en chimie minrale (gradients de potentielschimiques ou dactivit). En coordonnes orthonormes (x, y, z), on obtient par exemple :grad(f) =___fxfyfz(4.5)grad(u) =__uxxuxyuxzuyxuyyuyzuzxuzyuzz__ (4.6)4.3. DivergenceLa divergence dun tenseurTest son tour un tenseur, dont les composantes sont obtenues par contraction de sadrive covariante (son gradient) par rapport son dernier indice contravariant. La divergence dun tenseur dordre Nest donc un tenseur dordre N 1. La divergence dun vecteur u est donc le scalaire ui,i, tandis que celle dun tenseurA dordre 2 est un vecteur dont les composantes contravarientes sont Aij,j. Lexpression gnrale de la divergence duntenseur dordre 2 peut tre simplie en utilisant le thorme de Ricci.La divergence est largement prsente dans les quations dquilibre en mcanique, ainsi que dans les quations deconservation en thermique et en transfert de masse. Elle est principalement appliqu sur des tenseurs dordre 1 et 2. Encoordonnes orthonormes (x, y, z), on obtient :div(u) =uxx+uyy+uzz(4.7)div(A) =___Axxx+Axyy+AxzzAyxx+Ayyy+AyzzAzxx+Azyy+Azzz(4.8)Expression de quelques oprateurs 254.4. RotationelLe rotationel appliqu sur un vecteur u (tenseur dordre 1) est un tenseur dordre 2 dont les composantes covariantessontui,j uj,i. Du fait de la symtrie des symboles de Christoffel de seconde espce sur les indices covariants, lescomposantes covariantes du rotationel dun vecteur scrivent simplementuixj ujxi . Le rotationel dun vecteur estun tenseur anti-symtrie. Il est prsent dans les quations de Maxwell en lectromagntisme. Il peut tre crit sous laforme :Rot(u) =__0 R3R2R30 R1R2R10__(4.9)o R1, R2 et R3 sont les composantes dun "vecteur rotation".En coordonnes orthonormes (x, y, z), on obtient :___Rx =uzyuyzRy =uxzuzxRz =uyxuxy(4.10)4.5. LaplacienLe laplacien est la divergence du gradient. Il est souvent not . Cet oprateur conserve donc lordre dun tenseur.Appliqu sur une fonction scalaire f, on obtient le scalaire (f) = (gijf,i),i = gijf,ji. Appliqu sur un vecteur u, onobtient un tenseur dordre 1 dont les composantes covariantes sont gkjui,jk.Le laplacien est largement utilis dans les quations dquilibre ou de bilan, lorsque le comportement du matriauest linaire. En coordonnes orthonormes (x, y, z), on obtient :(f) =2fx2+2fy2+2fz2(4.11)(u) =___2uxx2+2uxy2+2uxz22uyx2+2uyy2+2uyz22uzx2+2uzy2+2uzz2(4.12)26Annexe ACoordonnes cylindriquesFigure A.1. Systme de coordonnes cylindriquesLe systme de coordonnes cylindriques est un systme particulier de coordonnes curvilignes dni de la faonsuivante (gure A.1). Soit un espace vectoriel E de dimension 3 sur le corps des rels, muni dun systme de coordonnesorthonormes (xi) dans un repre (ei). Soit u un vecteur de E joignant les points O et M. Le systme de coordonnescylindriques (r, , z) est gnr par un repre naturel (ai) tel que, au voisinage du point M :du = dx1e1 +dx2e2 +dx3e3 = dra1 +da2 +dza3(A.1)avec la relation suivante entre les coordonnes :___x1= rcosx2= rsinx3= z(A.2)Les vecteurs ai ont donc comme composantes dans le repre orthonorm :a1 =cossin0, a2 =rsinrcos0, a3 =001(A.3)ce qui donne pour la mtrique :2728 Calcul tensorielgij =__1 0 00 r200 0 1__, gij=__1 0 001r200 0 1__, (A.4)Les composantes physiques dun vecteur u sont donc :___ur = u1 = u1u =u2r= ru2uz = u3 = u3(A.5)tandis que celles dun tenseur du second ordre A seront :__Arr = A11 = A11Ar =A12r= rA12Arz = A13 = A13Ar =A21r= rA21A =A22r2= r2A22Az =A23r= rA23Azr = A31 = A31Az =A32r= rA32Azz = A33 = A33__(A.6)Les symboles de Christoffel de premire espce sont obtenus laide de leur dnition et de la mtrique dnieprcdemment sous la forme :i1j =__0 0 00 r 00 0 0__et 1ij =__0 0 00 r 00 0 0__(A.7)i2j =__0 r 0r 0 00 0 0__et 2ij =__01r01r0 00 0 0__(A.8)i3j =__0 0 00 0 00 0 0__et 3ij =__0 0 00 0 00 0 0__(A.9)Lensembledecesquationspermetderetrouverlexpressiondesoprateursphysiquesencoordonnescyclin-driques. On trouve par exemple les composantes physiques suivantes : le gradient dun scalaire f :grad(f) =___fr1rffz(A.10) le gradient dun vecteur u :grad(u) =__urr1r(uru)urzur1r(u+ur)uzuzr1ruzuzz__(A.11)Coordonnes cylindriques 29 la divergence dun vecteur u :div(u) =urr+urr+ 1ru+uzz(A.12) la divergence dun tenseur A du second ordre symtrique :div(A) =___Arrr+1rAr+Arzz+ArrArArr+1rA+Azz+Ar+ArrAzrr+1rAz+Azzz+Azrr(A.13) les composantes du "vecteur rotation" associ au rotationel dun vecteur u :___Rr =1ruzuzR =urzuzrRz =ur1rur+ur(A.14) le laplacien dun scalaire f :(f) =2fr2+1r22f2+2fz2+ 1rfr(A.15)30Annexe BCoordonnes sphriquesFigure B.1. Systme de coordonnes sphriquesLesystmedecoordonnessphriquesestunsystmeparticulierdecoordonnescurvilignesdnidelafaonsuivante (gure B.1). Soit un espace vectoriel E de dimension 3 sur le corps des rels, muni dun systme de coordonnesorthonormes (xi) dans un repre (ei). Soit u un vecteur de E joignant les points O et M. Le systme de coordonnessphriques (r, , ) est gnr par un repre naturel (ai) tel que, au voisinage du point M :du = dx1e1 +dx2e2 +dx3e3 = dra1 +da2 +da3(B.1)avec des coordonnes lies entre elles sous la forme :___x1= rsincosx2= rsinsinx3= rcos(B.2)Les vecteurs ai ont donc comme composantes :a1 =sincossinsincos, a2 =rcoscosrcossinrsin, a3 =rsinsinrsinsin0(B.3)ce qui donne pour la mtrique :3132 Calcul tensorielgij =__1 0 00 r200 0 r2sin2__, gij=__1 0 001r200 01r2sin2__, (B.4)Les composantes physiques dun vecteur u sont donc :___ur = u1 = u1u =u2r= ru2u =u3rsin= rsinu3(B.5)tandis que celles dun tenseur du second ordre A seront :__Arr = A11Ar =A12rAr =A13rsinAr =A21rA =A22r2A =A23r2sinAr =A31rsinA =A32r2sinA =A33r2sin2__(B.6)ou :__Arr = A11Ar = rA12Ar = rsinA13Ar = rA21A = r2A22A = r2sinA23Ar = rsinA31A = r2sinA32A = r2sin2A33__(B.7)Les symboles de Christoffel de premire espce sont obtenus laide de leur dnition et de la mtrique dnieprcdemment :i1j =__0 0 00 r 00 0 rsin2__et 1ij =__0 0 00 r 00 0 rsin2__(B.8)i2j =__0 r 0r 0 00 0 r22sin(2)__et 2ij =__01r01r0 00 0 r2sin(2)__(B.9)i3j =__0 0 rsin20 0r22sin(2)rsin2r22sin(2) 0__et 3ij =__0 01r0 0cossin1rcossin0__(B.10)Ces quations permettent de retrouver les oprateurs diffrentiels classiques en coordonnes sphriques. On trouvepar exemple les composantes physiques des tenseurs suivants :Coordonnes sphriques 33 le gradient dun scalaire f :grad(f) =___fr1rf1rsinf(B.11) le gradient dun vecteur u :grad(u) =__urr1rurur1rsinur urur1ru+urr1rsinu cosrsinuur1ru1rsinu+urr+cosrsinu__ (B.12) la divergence dun vecteur u :div(u) =urr+ 2urr+ 1ru+1rsinu+cosrsinu(B.13) la divergence dun tenseur A symtrique dordre 2 :div(A) =___Arrr+1rAr+1rsinAr+2ArrAAr+cosrsinArArr+1rA+1rsinA+3Arr+cosrsin(AA)Arr+1rA+1rsinA+3Arr+ 2cosrsinA(B.14) le "vecteur rotation" associ au rotationel dun vecteur u :___Rr =1ru1rsinu+cosrsinuR =1rsinur ururR =ur+ur1rur(B.15) le laplacien dun scalaire f :(f) =2fr2+1r22f2+1r2sin22f2+ 2rfr+cosr2sinf(B.16)34Bibliographie[FOR 96] FOREST S., Modles mcaniques de la dformation htrogne des monocristaux, Thse de Doctorat, Ecole des Mines deParis, 1996.[HEI 73] HEIDMANN J., Introduction la cosmologie, PUF, 1973.[HIL 78] HILL R., Aspects of invariance in solid mechanics , Advances in applied mechanics, vol. 18, Academic Press, p. 175,1978.[LIC 87] LICHNEROWICZ A., Elments de calcul tensoriel, Jacques Gabay, 1987, rimpression de Armand Colin (1946).[MUR 73] MURRAY, SPIEGEL R., Analyse vectorielle : cours et problemes, McGraw-Hill Inc, New-York, 1973, traduit de theoryand problems of vector analysis.[RIE 85] RIEU-BTRMA C., Elements de calcul tensoriel, cours ENSM-SE, 1985.35