Electrotechnique - livre complet

Chapitre 1

Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 2000 1

Chapitre 1

NOTIONS

FONDAMENTALES

Sommaire

• L'électricité• Les formes d'énergies• Les unités et grandeurs SI• Les préfixes SI• Entraînement

Introduction

Le système international, conçu de façon rigoureusement scientifique a pour but que chaque grandeurphysique ne peut se définir que d’une seule manière à l’aide des unités de base.

Dans ce chapitre, nous présentons d’une part le système international d’unités, d’autre part laproduction et le transport de l’énergie électrique.

1.1 L'électricité

L'électricité est une forme d'énergie.

Le tableau de la page suivante nous donne un aperçu des différentes formes d'énergies et des multiplespossibilités de transformer une énergie quelconque en une énergie électrique.

En Europe, les énergies hydraulique, nucléaire et chimique sont utilisées au niveau industriel.

Les autres énergies sont soit: expérimentalesimpropres aux situations géographiquesimpropres aux politiques énergétiques

Ces énergies sont parfois appelées RENOUVELABLES.

L'énergie électrostatique nous mènera, au début, à la découverte de l'électricité et nous permettra derefaire le chemin des différents usages de l'électricité au cours des siècles.

Chapitre 1


1.HYDRAULIQUE 9. ELECTRO-STATIQUE2. NUCLEAIRE 3. CHIMIQUE 4. MARITIME 5. SOLAIRE 6. EOLIENNE 7. CINETIQUE 3'. CHIMIQUE 8. LUMINEUSE

Energiestockable

Energie

calorifique

Energie

stockable

Energie

électrique

Barrage

Energiemécanique

non

alternative

Energie

électriquecontinue

Au fil de

Maréemotrice

Uranium Pétrole

l'eau

Charbon

Réacteur Chaudière

Plomb-zincCd-nickel

Soleil Vent

Cellule

photo-

Rotation

d'un volantd'inertie

Foudre

Turbine

PELTON

Turbine

KAPLANFRANCIS

AlternateurAlternateur

Mot.

Turbine àvapeur

Turbine àvapeur

AlternateurAlternateur

Turbine

Alternateur

Turbine àvapeur

Alternateur Alternateur Alternateur

ConvertisseurRedresseur

ConvertisseurOnduleur

pompe

Perturbations

voltaïque

etc.

pompage

Chaudière

Tableau des énergies

1.2 Transport

Les réseaux électriques sont utilisés pour transporter l'énergie électrique de la centrale jusqu'àl'utilisateur. Ils sont composés de lignes, de postes de transformateurs et de postes de couplages.

Vous êtes tous connectés à un réseau électrique appartenant soit à EDF pour la France, ou à unfournisseur d'énergie (CVE, SEL, SICEL, SEIC, SIN, EEF) pour la Suisse.

Il est bien entendu que tous ces réseaux sont reliés entre eux et portent alors le nom de réseauxinterconnectés. Cette interconnexion touche toute l'Europe.

1.3 Existence de l’électricité

L'énergie électrique, appelée communément électricité, n'est en définitive qu'une énergie secondaire.Seuls ses effets sont connus. Ils sont de forme:

1. calorifique (radiateur, chauffe-eau, four ménager, etc.)2. lumineuse (tube fluorescent, télévision, foudre, etc.)3. magnétique (moteur, téléphone, instrument de mesure, etc.)4. chimique (pile, accumulateur, etc.)

Chapitre 1


1.4 Unités et grandeurs SI

Lors de la résolution d'un problème en électrotechnique, nous devons suivre une méthode de travailrigoureuse pour nous garantir un résultat correct. Pour cela il nous faut utiliser les formules correctes,les unités correspondantes ainsi que les bonnes valeurs.

Une formule peut être simple ou compliquée, sa compréhension en sera facilitée par une bonneconnaissance des symboles utilisés.

Il existe deux types de symboles :

symbole de l'unité : Il représente l'unité utilisée dans le calcul. Il est écrit soit en majuscules, soiten minuscules, suivant son origine.

Il se différencie du symbole de la grandeur car il est toujours entouré de crochets

symbole de la grandeur : Il représente la grandeur utilisée. Comme le symbole de l'unité, il estécrit soit en majuscules, soit en minuscules.

Il n’est jamais entre crochets

Prenons comme exemple la formule de la vitesse constante v :

Elle n'est formée que de symboles de grandeur.Si nous décomposons cette formule nous pouvons dire pour chaque composant :

v est le symbole de grandeur de la vitesse.

Son unité est le mètre par seconde et le symbole de celle-ci est [m ⋅ s-1]

s est le symbole de grandeur du déplacement

Son unité est le mètre et le symbole de celle-ci est [m]

t est le symbole de grandeur du temps

Son unité est la seconde et le symbole de celle-ci est [s]

vst

=

Chapitre 1


Les unités que nous utiliserons sont normalisées et portent le nom de UNITES SI, ce qui signifieSystème International.

Table de quelques symboles et unités SI

GRANDEURS Symboles Symboles UNITES

longueur l [m] mètremasse m [kg] kilogrammesurface A [m

2]

force de pesanteurpoids G [N] newton

accélération g [m/s2]mètre par seconde carrée

vitesse v [m⋅s-1] mètre par secondehauteur h [m] mètretemps t [s] secondefréquence f [Hz] hertzpression p [Pa] pascalénergie, travail W [J] joulepuissance P [W] wattrendement η ( êta ) grandeur sans unitétempérature θ ( thêta

)[°C] degrés Celsius

température absolue T [K] kelvinquantité de chaleur Q [J] joule

chaleur massique c [J⋅kg-1⋅K-1]joule par kilogramme et par

kelvinintensité du courant I [A] ampèrerésistance électrique R [Ω] ohmconductance G [S] siemensimpédance Z [Ω] ohmtension électrique U [V] voltquantité d'électricité Q [C] coulombconductivité γ ( gamma

)[Ω ⋅ m]-1 ohm par mètre

résistivité ρ ( rhô ) [Ω ⋅ m] ohm mètrecapacité C [F] faradinductance L [H] henryflux magnétique Φ ( phi ) [Wb] weberinduction magnétique B [T] teslaintensité lumineuse I [cd] candelaéclairement E [lx] luxflux lumineux Φ ( phi ) [lm] lumen

Chapitre 1


1.5 Préfixes SI

En technique, nous devons exprimer des mesures avec des unités physiques mal appropriées à notredomaine, mais normalisées par le système international d'unité SI.

Par exemple, la tension U du réseau électrique peut être composée de plusieurs valeurs, 380000 [V],125000 [V], ou 20000 [V] et la vitesse d'une moto est donnée en [km ⋅ m-1] , et non pas en [m ⋅ s-1].

Ces nombres sont très longs et ne sont pas représentatifs. Pour des commodités d'emplois, despréfixes se placent devant l'unité, sans intervalle.

380000 [V] = 380 ⋅ 1000 [V]. Le préfixe qui correspond à 1000 est kilo. Nous pouvons donc écrire 380⋅kilo [V]. Dans la règle, kilo est symbolisé par la lettre minuscule k.

380000 [V] = 380 [kV]

Afin de pouvoir bien différencier symbole de la grandeur et symbole de l'unité, dans le livre, tous lessymboles des unités sont entre des crochets,.

Tableau des préfixes

Préfixes Symboles Facteur multiplicateur de l’unité Notion scientifiqueyotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024

zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 000 1021

exa E 1 000 000 000 000 000 000 1018

peta P 1 000 000 000 000 000 1015

tera T 1 000 000 000 000 1012

giga G 1 000 000 000 109

mega M 1 000 000 106

kilo k 1 000 103

unité 1 100

milli m 0,001 10-3

micro µ 0,000 001 10-6

nano n 0,000 000 001 10-9

pico p 0,000 000 000 001 10-12

femto f 0,000 000 000 000 001 10-15

atto a 0,000 000 000 000 000 001 10-18

zepto z 0,000 000 000 000 000 000 001 10-21

yocto y 0,000 000 000 000 000 000 000 001 10-24

Chapitre 1


1.6 Entraînement

1. Donner la définition de l'électricité.

2. Citer les différentes formes d'énergies.

3. Citer les énergies primaires.

4. Comment peut-on constater la présence d'électricité ?

5. Donner le nom de récepteur produisant un effet calorifique.

6. Donner le nom de récepteur produisant un effet chimique.

7. Donner le nom de récepteur produisant un effet lumineux.

8. Donner le nom de récepteur produisant un effet magnétique.

9. Comment distingue-t-on une unité d'une grandeur ?

10. Quelle est la progression utilisée dans la notation scientifique ?

11. Ecrire les valeurs suivantes en puissance de dix et en notation scientifique.

- Un courant de 0.0000593 [A] - Une tension de 15000 [V]

- Une résistance de 27000 [Ω] - Une puissance de 2650000 [W]

- Une fréquence de 32768 [Hz] - Un condensateur de 0.000000015 [F]

12. Ecrire les valeurs suivantes en remplaçant le préfixe par la puissance de dix.

- Une résistance de 3.3 [MΩ] - Une fréquence de 566 [THz]

- Une inductance de 2.8 [µH] - Une quantité d'électricité de 0.16 [aC]

- Un flux magnétique de 53 [mWb] - Une puissance électrique de 40 [GW]

13. Simplifier les valeurs suivantes en utilisant les préfixes.

- Un courant de 320000 [nA] - Une tension de 12.5 ⋅ 105 [mV]

- Une fréquence de 0.000471 [THz] - Une puissance de 48 ⋅ 10-6 [MW]

Chapitre 2


Chapitre 2PHYSIQUE

ELECTRIQUE

Sommaire

• L'atome• Les particules élémentaires• La conductibilité• La résistivité• Entraînement

Introduction

La physique décrit les phénomènes naturels observables dans tous les milieux, que ce soit mécanique,nucléaire, thermique, cosmique, électriques, ou autre.

Des relations mathématiques permettent de quantifier les phénomènes électriques. Il est importantde ne pas perdre de vue que ces relations mathématiques ne sont que des « outils » qui découlent ducomportement de la matière, donc de l’atome.

L’objectif de ce chapitre est de proposer une approche pragmatique de la physique atomique.

2.1 Les atomes

Les physiciens du début du siècle ont montré que la matière est formée de petites entités appeléesatomes.

autour du noyau, leNUAGE ELECTRONIQUE au centre, LE NOYAU

Fig. 2.1 L'atome.

Un atome est un ensemble de minuscules grains de matière , appelés particules élémentaires ouparticules fondamentales. Il y a :

les protonsles neutrons

Ce sont les constituants du noyau d'où leur nom denucléons.

les électronsIls tournent autour du noyau et forment le nuageélectronique.

Chapitre 2


2.2 Particules élémentaires

Les particules se différencient les unes des autres par :

leur masse et leurs charges électriques

Dans le cas de l'électricité, seule leur charge électrique nous intéresse.

Particule symbole charge électriqueproton p+ + 1neutron n 0électron e- - 1

2.3 Le noyau de l'atome

Le noyau de l'atome est formé de : •••• protons charges électriques positives

•••• neutrons sans charges électriques (neutre)

Le noyau de l'atome est toujours positif

2.3.1 Nombre atomique Z

Définition : On appelle nombre atomique ou numéro atomique Z, le nombre de protons du noyau.

Les propriétés chimiques, physique et électrique d'un atomesont liées au nombre de protons du noyau, qui détermine lenombre d'électrons du nuage électronique.

2.3.2 Masse atomique A

Définition : On appelle masse atomique ou nombre de masse atomique A le nombre de protons et deneutrons du noyau.

Remarque : le nombre de neutrons correspond à : A - Z

Exemples :

Eléments chimiquesNuméroatomique

Z

Masseatomique

A

Nombrede protons

Nombrede

neutrons

Nombred'électron

sHydrogène 1 1 1 0 1Hélium 2 4 2 2 2Carbone 6 12 6 6 6Cuivre 29 64 29 35 29Aluminium 13 27 13 14 13Argent 47 108 47 61 47

Exemples : Hydrogène 1 protonHélium 2 protonsCarbone 6 protons

Chapitre 2


2.4 Nuage électronique

Le nuage électronique est formé d'électrons tournant à grandevitesse autour du noyau selon des trajectoires très complexes.Nous devons la représentation ci-dessous au physicien danois NielsBOHR ( 1885 - 1962 ).

Les électrons sont répartis sur les couches selon les quantitéssuivantes :

K 2 N 32 Fig. 2.2 Le nuage électronique.L 8 O 50

M 18 P 72Q 98

Le nuage électronique est composé d'électrons donc sa charge électriqueest toujours négative.

2.4.1 Couches périphériques

Définition : C'est la couche la plus extrême d'un atome. Ses électrons sont appelésELECTRONS PERIPHERIQUES ou ELECTRONS DE VALENCE.

La couche périphérique d'un atome ne peut pas posséder plus de huit électrons.

Les propriétés électriques dépendent desélectrons de la couche périphérique.

conducteurs semi-conducteurs isolants

Fig. 2.3 Représentation des couches périphériques.

Les bons conducteurs ont leur dernière couche incomplète. Ils céderont facilement leurs électrons.

Les isolants ont leur dernière couche saturée ou presque saturée. Ils accepteront peu d'électrons.

Certains matériaux ont autant d'électrons à prendre qu'à donner pour avoir leurs couches saturées. Cesmatériaux portent le nom de semi-conducteurs. Ces matériaux sont des éléments dont la dernièrecouche est formée de 4 électrons. Ils sont dits tétravalents. Le silicium et le germanium sont lessemi-conducteurs les plus utilisés.

K L M N O P Q

Remarque : On ne connaît actuellement aucun atome assez grospour que les couches O , P , Q soient remplies aumaximum.

Conducteurs : 1 à 3 électrons de valenceSemi-conducteurs : 4 électrons de valenceIsolants : 5 à 8 électrons de valence

Chapitre 2


2.4.2 Electrons libres

L'atome possède, dans son état normal, autant de protons que d'électrons. Il est électriquementneutre.

Les électrons, quelle que soit l'orbite sur laquelle ils se situent, sont attirés par les protons du noyau.En effet, les électrons, de charge négative, sont attirés par les protons de charge positive. La forced'attraction est fonction du nombre de protons ainsi que de la distance qui les sépare du noyau.

a ) Plus le diamètre de l'orbite ( K , L , M , N , etc. ) sur laquelle circulent les électrons est grand,plus les forces centripètes et d'attractions sont faibles.

b ) Si le nombre d'électrons de valence est petit ( plus petit ou égal à 3), la force d'attractionexercée par les protons sera relativement faible. Ces phénomènes expliquent qu'un électron de lacouche périphérique puisse être attiré par d'autres atomes. On pourra parler d'électron libre.

Définition : On appelle un électron libre, un électron qui n'est plus lié à un atome.

Il y a donc une circulation d'électrons ( circuit ou pas ) ou de charges négatives.

Remarque : A chaque couche électronique correspond un niveau d'énergie bien déterminé appelé banded'énergie.

La bande de conduction, dans laquelle se trouvent les électrons libres est située au-delà de la bande devalence.

Orbitesatomiques

noyau

1ère orbite

2ème orbite

3ème orbite

Niveauxénergétiques

3ème niveau

2ème niveau

1er niveau

bord du noyau

Bandesd'énergies

Bande devalence

Bande deconduction

1ère bande

2ème bande

Fig. 2.4 Les bandes d'énergie.

2.5 Conductibilité

Définition : Propriété qu'ont les corps ou les milieux de transmettre plus ou moins facilement, d'unpoint à un autre de leur masse, la chaleur ou l'électricité.

Les électrons libres, situés dans la bande de conduction, sont dits électrons de conduction.

Exemple : Le cuivre est un des meilleurs conducteurs de l'électricité et il est aussi le plus utilisé. Ilcontient environ 86⋅1018 électrons libres par [mm3]. Le nickel et le tungstène contiennentenviron 100 fois moins d'électrons libres par [mm3].

Chapitre 2


Dans la pratique, chaque matière va pouvoir être classée en fonction de sa facilité à donner desélectrons libres.

Cette propriété est nommée conductibilité électrique. Lorsqu'on la quantifie, on la nomme conductivité.

Pour symboliser cette grandeur, le système international SI a donné la lettre grecque γ (gamma).

Pour abréger l'unité, le système SI a admis les symbolessuivants :

Par opposition, nous pouvons quantifier la matière selon saretenue au passage des électrons libres. Cette propriété portele nom de résistivité.

Le tableau suivant indique le nombre d'électrons libres pour différentes matières. Voir également untableau périodique.

Matièreset symboles chimiques

Nombre d'électronssur la couche périphérique

Conductivité[ ]Ω ⋅ −m 1

Résistivité[ ]Ω ⋅ m

Cuivre Cu 1 5.71⋅107 1.75⋅10-8

Aluminium Al 3 3.60⋅107 2.78⋅10-8

Argent Ag 1 6.06⋅107 1.65⋅10-8

Les relations mathématiques entre la conductivité et la résistivité sont les suivantes :

conductivitérésistivité

=1

γρ

=1

ργ

= 1

2.5.1 Usage pratique de la conductivité et de la résistivité

Dans la pratique, les unités de la conductivitéγ et de la résistivité ρ sont mal appropriées.En effet, la dimension des fils de cuivreutilisés sont d'un ordre de grandeur dequelques [mm2].

Cela implique que certains formulairestechniques donnent les valeurs de laconductivité et de la résistivité avecd'autres unités. Les symboles de grandeurs γet ρ ne changeant pas.

Matièreset symboles chimiques

Conductivité mmmΩ ⋅

2 Résistivité Ω ⋅

mmm

2

Cuivre Cu 5.71⋅101 1.75⋅10-2

Aluminium Al 3.60⋅101 2.78⋅10-2

Symbole de la grandeur : γ gamma

Symbole de l'unité : [ ]Ω ⋅ −m 1

Symbole de la grandeur :

Symbole de l'unité : [ ]Ω ⋅ m

Conductivité Résistivité

Symboles de grandeurs : γ gamma ρ rhô

Symboles d'unités : mmmΩ ⋅ 2

Ω ⋅

mmm

2

Chapitre 2


2.6 IonDéfinition : On appelle ion, un atome ou un groupe d'atomes ayant perdu ou gagné un ou plusieurs

électrons. L'équilibre des charges n'est donc plus respecté et l'atome n'est plus neutre.

ION POSITIF ou CATION

atome de Sodium NaZ = 11 A = 23

Na Na +a perdu un électron

ION NEGATIF ou ANION

atome de Chlore ClZ = 17 A = 35

Cl Cl -a gagné un électron

Fig. 2.5 Cation et anion.

Le passage d'un atome à l'état de ion se nomme ionisation.

2.7 Déplacement des électrons

Un atome chargé négativement (ion négatif) a un excès d'électrons. Un atome chargé positivement (ionpositif) a un manque d'électrons.

Lorsque deux atomes, de charges opposées sont à une certaine distance l'un de l'autre, il y a unphénomène d'attraction et un courant électrique circule.

Le courant électronique (sens de passage des électrons) va del'atome négatif vers l'atome positif.

Au début de l'étude des phénomènes électriques, il fut convenuque le courant électrique circulait du + vers le - . Malgré ladécouverte de la nature de l'électricité et du sens réel desélectrons, le sens conventionnel du courant fut conservé. Il fautdonc bien prêter attention aux indications qui suivent.

Fig. 2.6 Le courant électrique.

2.8 Electronvolt

L'unité d'énergie couramment utilisée en physique des particules n'est pas le joule mais l'électronvolteV.

Définition : Un électron, charge d'électricité négative e=1.6⋅10-19 [C], possède une énergie cinétique Wc

de 1 eV quand, en supposant au préalable l'électron immobile dans un champ électrique, il aparcouru, sous l'influence du champ, l'intervalle séparant 2 points dont la différence depotentiel est de 1 volt.

circulation des électrons

++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+ +

--

-

--

-

--

-

--

--

-

-

-

-

-

-- - - - - -

-

-

Sens de déplacement des électrons ou sens électronique : - vers le +

Sens conventionnel du courant + vers le -

Chapitre 2


Dans la pratique, on peut dire que 1 eV correspond à l'énergieacquise par un électron accéléré par une différence depotentiel électrique de 1 [V].

2.9 Vitesse de propagation

La vitesse de la lumière c , dans le vide, est la référence de comparaison des phénomènes physiques.

Nous admettrons après développement que :

2.10 Vitesse de l'électron

La vitesse de l'électron est plus faible que celle de la lumière. Elle est de quelques [mm⋅s-1] ou dequelques milliers de [km⋅s-1] ceci en fonction du milieu dans lequel l'électron circule.

-

déplacement de l'électron

- - - - -

conducteur

vitesse de propagationdès qu'un électron entre dans le conducteur,

il en chasse un autre qui en sort.

- - - - - - - -

Fig. 2.7 Déplacement et vitesse de l'électron.

2.11 Formes de dégagement d’énergie

Selon la représentation de Bohr, lorsqu'un électron quitte son orbite pour en rejoindre une autre, ouqu'il y a un mouvement entre orbites, il y a un dégagement d'énergie.

Cette énergie se présente sous plusieurs formes :

1. Agitation des molécules provoquant un échauffement de la matière appelé énergie calorifique.

2. Un photon, particule se déplaçant à la vitesse de la lumière c (voir théorie d'Einstein), peutcéder de l'énergie à un électron. Si l'énergie acquise par l'électron et la direction danslaquelle il se déplace lui permettent de changer d'orbite, cette orbite est instable et le retourde l'électron à sa couche initiale donne un rayon lumineux.

3. Les électrons sont également animés d'une rotation sur eux-mêmes et sur leur orbite. Cephénomène s'appelle le spin de l'électron et il est responsable du magnétisme. Dans la plupartdes cas, les électrons sont groupés par paire. L'un tournant dans le sens trigonométrique(inverse des aiguilles d'une montre) et l'autre tournant dans le sens horaire. La résultante deces rotations est nulle.

4. L'effet chimique est une transformation de l'atome. Nous l'étudierons plus tard par sesapplications pratiques.

Energie cinétique W m vc = ⋅ ⋅12

2

1 électronvolt = 1.6 ⋅10-19 joule

c = 2.997925 ⋅ 108 [m ⋅ s-1]

c = 300'000 [km ⋅ s-1] ou 3 ⋅ 108 [m ⋅ s-1]

La vitesse de la lumière est admise identique dans le vide et dans l'air.

Chapitre 2


2.12 Documentaire

Niels BOHR

Physicien danois

Copenhague, 1885 - Copenhague, 1962

Prix Nobel de physique en 1922

A élaboré une théorie de la structure de l'atome intégrant le modèle planétaire de lord ErnestRutherford (1871-1937) et le quantum d'action de Max Planck (1858-1947).

A établi le "principe de complémentarité" où un objet quantique peut être décrit, selon les conditionsexpérimentales, soit en termes d'ondes, soit en termes de particules.

(Sources : Université Laval, Québec, Canada)

Albert EINSTEIN

Physicien allemand, naturalisé suisse puis américain.

Ulm, 1879 - Pronceton 1955

Prix Nobel de physique en 1921

Créateur de la théorie de la relativité. Il y développe l'idée de l'équivalence entre la masse et l'énergie,d'où la relation : E = m ⋅ c2 .

Chapitre 2


2.13 Entraînement

Quelques questions pour résumer la situation :

1. Qu'est-ce qu'un atome ?

2. De quoi se compose un atome ?

3. Qu'est-ce qu'une orbite ?

4. Quel est le nombre de protons d'un atome de zinc ?

5. Enoncer la relation entre la masse atomique et le numéro atomique.

6. Citer le nom des bandes d'énergies.

7. Citer une application de l'argon

8. Pourquoi les électrons périphériques sont-ils les seuls à pouvoir quitter leur orbite ?

9. Comment s'appelle le savant qui a élaboré la théorie de la relativité ?

10. Qu'est-ce que la conductibilité ?

11. Donner le symbole de la grandeur et le symbole de l'unité de la conductivité

12. Qu'est-ce que la résistivité ?

13. Donner le symbole de la grandeur et le symbole de l'unité de la résistivité.

14. Quelle est la relation mathématique entre la conductivité et la résistivité ?

15. Quelle est la touche de votre machine à calculer qui vous permet d'effectuer la conversion entre γ et ρ ?

16. Donner le nom et la particularité de deux matériaux semi-conducteurs

17. Pourquoi les électrons qui se trouvent sur l'orbite la plus éloignée du noyau s'appellent électronslibres ?

18. Donner la charge électrique de tous les composants d'un atome.

19. Qu'est-ce qu'un ion ?

20. Le plomb a une résistivité de 22⋅10-8 [Ω⋅m] . Calculer sa conductivité.

21. Rechercher la valeur de la résistivité du platine et l'exprimer sous toutes ses formes.

22. Quel est le meilleur conducteur de l'électricité, et pourquoi ?

23. Quelle sera la conséquence du remplacement d'un conducteur de cuivre par un conducteurd'aluminium ?

24. Citer le nom de quatre isolants utilisés couramment en électricité.

Chapitre 3


Chapitre 3ELECTRICITE

STATIQUE

Sommaire• Loi des charges• Charge électrostatique• Le champ électrique• Potentiel et différence de potentiel• Déplacement de charges

IntroductionDès l'Antiquité, les hommes ont constaté des phénomènes d'électricité statique. Certains corps ont lapropriété de s'électriser par frottement. Ce phénomène est lié à un transfert d'électrons par décharge(arc).

Dans ce chapitre, nous allons présenter de manière démonstrative les grandeurs essentielles del’électrostatique. Pour ceux qui désirent de plus amples informations, il existe une abondantelittérature.

3.1 Loi des charges

L'existence de 2 types de charges différentesconstitue une différence de niveau d'énergie. Cescharges peuvent être qualifiées de positives ounégatives.

Nous constatons que:

charge+

+Les corps porteurs decharges de même nom serepoussent

Les corps porteurs decharges de nomsopposés s'attirent charge

-

+

Une expérience de laboratoire peut démontrer les effets que nous venons de décrire. La petiteboule suspendue sera soit repoussée par une pièce chargée positivement, ou attirée par une autrepièce chargée négativement.

Chapitre 3

Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 20002

3.2 Charge électrostatique Q

La charge électrostatique est une quantité d'électricité statique.(à disposition)

La notion de charge étant liée à celle de l'électron, nous pouvonsquantifier cette charge électrostatique Q.

Q = n ⋅ e-

n représente le nombre d'électrons dans une charge

e- représente la charge électrique élémentaire e- = 1.602 ⋅ 10-19 [C]

Le résultat de ces charges électrostatiques a pour effet dedémontrer la présence de forces électrostatiques F .

Comment se représenter la force électrostatique F ?

peigne

peigne

Lorsque vous vous peignez, vos cheveuxse font attirer par le peigne et sedressent. Il y donc bien des forces quisoulèvent vos cheveux.

Nous constatons aussi que nousn'attirons pas de la même manière lescheveux du sommet de la tête, que ceuxproches des oreilles, d'où une notion dedistance.

Vous avez aussi constaté que tous lescheveux ne subissent pas les mêmesforces électrostatiques.

Plus vous vous trouvez éloigné du peigne,plus les forces sont faibles. Non seulementla distance est importante, mais égalementl'angle d'inclinaison du peigne.

Pour mieux comprendre les phénomènes électriques, nous les étudierons comme s'il n'y existait qu'uneforce F représentative de toutes les forces électrostatiques.

Cette unique force F est notée au moyen d'une flèche sur son symbole de grandeur.

Cette remarque restera valable pour les autres phénomènes étudiés plus en avant dans le cours.

Symbole de la grandeur : Q

Symbole de l'unité : [C] coulomb

Symbole de la grandeur : F

Symbole de l'unité : [N] newton

Chapitre 3


3.3 Champ électrique E

Le champ électrique E caractérise l'influence de la chargeélectrostatique Q sur un plan soumis à une forceélectrostatique F .

Le champ électrique est défini par la relation suivante :

L'exemple précédent montre qu'il existe une influence électrique entre le peigne et les cheveux. C'estla preuve qu'il règne un certain champ électrique E .

3.4 Potentiel V

Dans le vide ou dans l'air, le champ électrique Ecréé par une charge Q présente un potentielélectrique V

Le potentiel V exprime la quantité de charges Q àdisposition par rapport à une référence.

Pour illustrer cette notion de potentiel, comparons-la à une différence d'altitude des nuages. Cettedifférence est exprimée par rapport à une référence qui est le niveau de la mer à 0 [m].

3.5 Différence de potentiel

La différence de potentiel est définie comme la présence d'unchamp électrique E entre 2 points A et B. Les chargesélectrostatiques peuvent se déplacer de façon aléatoire enfonction du type de diélectrique (isolant).

Plus la quantité de charges sera importante, plus la différence de potentiel électrique sera grande.

Rappel : Une charge positive est représentée par des atomes en manque d'électrons.

Une charge négative est représentée par des atomes avec un excès d'électrons.

++

--

Symbole de la grandeur : E

Symbole de l'unité : [V⋅m-1]E

FQ

=

Référence

Symbole de la grandeur : V

Symbole de l'unité : [V] volt

A B++

++

-

--

-

Chapitre 3

Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 20004

3.6 Déplacement des charges

Le déplacement des charges Q peut se faire sur unetrajectoire AB de manière constante dans le temps et nepassant pas sous la référence.

Ce déplacement de charges Q est engendré par unpotentiel électrique V appelé :

POTENTIEL CONTINU

Dans la pratique, on le repère par le symbole suivant :

CC (Courant Continu en français) ou DC (pour DirectCurrent en anglais)

Le déplacement des charges peut se faire de manière différente. Elle peut prendre une formeSINUSOIDALE, TRIANGULAIRE, ou quelconque.

Cette trajectoire est une fois au dessus de la référence et ensuite en dessous de la référence.

Ce déplacement de charges Q est engendré par unpotentiel électrique V se variant par rapport à laréférence et appelé :

POTENTIEL SINUSOIDAL ALTERNATIF

Dans la pratique, on le repère par le symbole suivant :

CA (Courant Alternatif en français) AC (pour Alternative Current en anglais)

A B++

++

-

--

-

Référence

charges

Potentiel continu positif(au dessus de la référence)

Potentiel continu négatif(au dessous de la référence)

Potentiel alternatif. Alternativement sur et sous laréférence.

Chapitre 3


3.7 Documentaire

Charles de Coulomb

(1736-1806), physicien français.

En 1777 il publie un livre intitulé " La meilleure manière de fabriquerdes aiguilles aimantées ".

Il établit les lois expérimentales et théoriques du magnétisme vers1779, et de l'électrostatique (1785). Il a notamment introduit lesnotions de moment magnétique et de polarisation.

Sir Isaac Newton(1642 - 1727) physicien, mathématicien et astronome anglais.

On lui doit entre autre : la décomposition de la lumière blanche à l'aided'un prisme (1666); la construction du premier télescope (1671); la théoriede l'attraction universelle (1687); le calcul intégral (1687) en même tempsque Leibniz.

Il déclara à la fin de sa vie : " Je me suis comporté comme un enfant jouant sur le bord de la mer et quis'est amusé à chercher de temps en temps un caillou plus poli et un coquillage plus joli qu'à l'ordinaire,tandis que le grand océan de la vérité s'exposait à moi entièrement inconnu. "

3.8 Entraînement

1. Calculer le nombre d'électrons constituant une charge électrostatique de 100 [C]

2. Citer trois exemples d'électricité statique que l'on rencontre dans la vie courante.

3. Expliquer de façon simple le phénomène de la foudre.

4. Calculer le champ électrique E d'une force F de 10 [N] influencée par une charge électrostatiquede 500 [C] perpendiculaire. (Réponse : 20⋅10-3 [V/m])

Lois électriques


Chapitre 4LOIS

ELECTRIQUES

Sommaire

• La tension électrique• Le courant électrique• Mesures du courant et de la tension• Relation entre la tension U et le courant I• La loi d'Ohm• Propriété de la résistance électrique• L'influence de la température sur la résistance• Le fonctionnement de l'ohmmètre• La densité de courant

Introduction

Dès l'Antiquité, les hommes ont constaté des phénomènes d'électricité statique. Certains corps ont lapropriété de s'électriser par frottement.

Ce phénomène est lié à un transfert d'électrons par décharge (arc).

Dans ce chapitre, nous allons présenter de manière démonstrative les grandeurs essentielles del’électrostatique.

Pour ceux qui désirent de plus amples informations, il existe une abondante littérature.

4.1 Tension électrique U

La tension électrique U représente la différence de potentiel entre le point A et le point B

La relation mathématique est la suivante : UAB = VA - VB

Symbole de la grandeur : U

Symbole de l'unité : [V] volt

Lois électriques


Reprenons l'exemple des nuages pour nous représenter les tensions U .

Données : nuage A a un potentiel de 1000 [V]nuage B a un potentiel de 500 [V]nuage C a un potentiel de -700 [V]

Référence

1000 [V]

- 700 [V]

500 [V]

Les nuages A et B présentent un potentiel positif par rapport à la référence, alors que le nuage Cprésente un potentiel négatif.

Il s'agit ici d'un cas pratique lors de la foudre.

Nous allons calculer les tensions électriques (différences de potentiels) présentes entre les nuages.Les valeurs de la donnée ne nous indiquent que des potentiels par rapport à une référence. Il estaussi utile de pouvoir calculer les potentiels entre-eux, c'est-à-dire la tension électrique présenteentre les nuages.

niveau de

A

B

C

1000 [V]

500 [V]

- 700 [V]

référence

Résolution mathématique :

UBA = VB - VA = 500 - 1000 = - 500 [V] polarité négative

UBC = VB - VC = 500 - ( - 700 ) = 1200 [V] polarité positive

UCB = VC - VB = - 700 - 500 = - 1200 [V] polarité négative

Afin de faciliter la compréhension des calculs ci-dessus, nous allons procéder par analogie avec dessituations de la vie courante, où une différence de xxx ( altitude, température, etc. ) est mise enjeu.

Lois électriques


Dans la suite, nous allons prendre l'altitude comme objet d'étude.

Soit par exemple les lieux géographiques suivants, ainsi que leur altitude :

A : la ville de Lausanne ( bord du lac ) 375 [m]

B : le sommet du Mont Everest : 8848 [m]

C : le niveau de la Mer Morte : - 390 [m]

De manière intuitive nous pouvons dire que la différence d'altitude entre :

Mont Everest et Lausanne est de 8473 [m]

Mont Everest et la Mer Morte est de 9328 [m]

Lausanne et la Mer Morte est de 765 [m]

Les résultats ci-dessus impliquent que nous sachions au départ que le Mont Everest est à unealtitude supérieure de celle de Lausanne, qui est elle-même à une altitude supérieure à celle de laMer Morte.

Nous savons aussi que l'altitude de référence 0 [m] est le niveau des océans.

Par contre, si nous désirons une formulation mathématique de cet exercice, il sera nécessaire denous doter d'une méthode de travail.

Méthodologie :

Méthode Dans l'exemple

a) fixer le sens et la direction dela grandeur considérée l'altitude.

b) poser la référence le niveau des océans

c) poser les valeurs connues les trois altitudes

8848 [m]

375 [m]0 [m]

-390 [m]

Everest

Lausanneréférence

Mer Morte

AB

C

d) flécher la différence de xxxrecherchée

la différence d'altitude entrel'Everest et Lausanne

8848 [m]

375 [m]

Everest

Lausanne

AB

Lois électriques


Méthode Dans l'exemple

e)

poser l'équation de ladifférence

de ........

une différence est symboliséepar la lettre grecque ∆ (

delta )

∆h ( Everest - Lausanne ) =

hEverest - hLausanne

∆hAB = hB - hA

∆hAB = 8848 - 375 = 8473[m]

Remarque : Le nombre est positif, ce qui signifie que l'altitude de l'Everest est plus élevée de 8473[m], par rapport à l'altitude de Lausanne.

Exemple 1

Calculer la différence d'altitude entre la Mer Morte et Lausanne ∆hCA .

∆h Mer Morte - Lausanne , flécher dans le sens Mer Morte - Lausanne.

375 [m]

0 [m]

-390 [m]

Lausanne

Mer Morte

A

C

∆h(Mer Morte - Lausanne) = hMer Morte - hLausanne

∆hCA = hC - hA

∆hCA = - 390 - 375 = - 765 [m]

Remarque : Le nombre est négatif, ce qui signifie que l'altitude de la Mer Morte est moins élevée de765 [m] par rapport à l'altitude de Lausanne.

Exemple 2 :

Calculer la différence d'altitude entre lesommet de l'Everest et la Mer Morte.

∆hMer Morte - Lausanne= ...........

altitude considérée

par rapport à

altitude de

∆h(Everest - Mer Morte) = hEverest - hMer Morte

∆Hbc = hB - hC

∆hBC = 8848 - ( - 390 ) = 9238 [m]

Lois électriques


Exemple 3 :

Calculer l'altitude du sommet de l'Aconcagua si celui-ci se trouve 1889 [m] plus bas que le sommet del'Everest.

Remarque : Les mots plus bas signifient qu'il faut munir la différence d'altitude d'un signe négatif ∆h = - 1889 [m].

∆h(Aconcagua - Everest) = hAconcague - hEverest

∆hEB = hE - hB

hE = ∆hEB + hB = - 1889 + 8848 = 6959 [m]

4.2 Mesure de la tension U

Dans les applications électriques, nous cherchons à quantifier cette tension UAB en la mesurant.Cette mesure est effectuée avec un instrument qui porte le nom de VOLTMETRE.

Dans les schémas, le voltmètre se symbolise comme ceci :

Application pratique du voltmètre :

Au moyen d'un voltmètre, il est possible de mesurer la tension électriqueprésente entre le conducteur polaire et le neutre des prises électriques. EnEurope, cette tension vaut 230 [V].

Attention ! : lorsque vous utilisez un voltmètre, vous devez toujours vous poser les questionssuivantes :

1. Réfléchir aux gestes que vous allez entreprendre.

2. Quel est le genre de tension U que je mesure ?

3. Choisir la valeur la plus grande de l'échelle du voltmètre.

4. Interpréter la mesure

IL Y A DANGER DE MORT SI VOUS NE PRENEZ PAS DE PRECAUTIONS

V

V

Lois électriques


4.3 Courant électrique I

Le courant électrique I est le débit de charges électriques Qs'écoulant dans un conducteur.

La relation mathématique est la suivante :

L'analyse dimensionnelle de la relation est la suivante :

Q = I ⋅ t [C] = [A] ⋅ [s] [C] = [As]

Pour qu'un courant électrique I circule dans un conducteur, il doit obligatoirement exister unedifférence de potentiel V entre les extrémités du conducteur. Il faut également que le circuit soitfermé par une charge. Cette charge peur prendre plusieurs formes, lampes, corps de chauffe,moteurs, etc.

4.4 Mesure du courant I

Dans les applications électriques, nous cherchons à quantifier ce courant I.Cette mesure est effectuée avec un instrument qui porte le nom d'AMPEREMETRE

Dans les schémas, l'ampèremètre se symbolise comme ceci :

Application pratique de l'ampèremètre :

Dans ce circuit, l'ampèremètre mesure le courant électrique quicircule dans la lampe.

Attention ! : lorsque vous utilisez un ampèremètre, vous devez toujours vous poser les questionssuivantes :

1. Réfléchir aux gestes que vous allez entreprendre.

2. Quel est le genre de courant I que je mesure ?

3. Choisir la valeur la plus grande de l'échelle de l'ampèremètre.

4. Interpréter la mesure

IL Y A DANGER DE MORT SI VOUS NE PRENEZ PAS DE PRECAUTIONS

Symbole de la grandeur : I

Symbole de l'unité : [A] ampère

IQt

=

A

AL

N

lampe

Lois électriques


4.5 Relation entre la tension U et le courant I

Nous remarquons que pour obtenir un courant I, 2 conditions sont nécessaires :

1. Avoir une tension U provenant d'une source quelconque.

2. Avoir un circuit électrique fermé, soit constitué d'un fil conducteur et d'unrécepteur.

Schéma correspondant aux deux conditions :

Pour mesurer la tension U, nous placerons unvoltmètre en PARALLELE par rapport à la source etau récepteur, pour déterminer la différence depotentiels qui existe entre les deux conducteurs.

Pour mesurer le courant I, nous placerons un ampèremètre en SERIE dans le circuit pour mesurer lepassage des charges électriques dans le fil conducteur. Pour que notre mesure puisse être réalisée,nous devrons interrompre le fil conducteur pour y placer l'ampèremètre.

4.6 Relation mathématique entre la tension U et le courant I

A partir des valeurs mesurées, nous pouvons établir un rapport entre le voltmètre et l'ampèremètre.

Ce rapport est obtenu de la manière suivante :

opposition faite au passage du courant R = tension Ucourant I

Exemple de mesure de courant et de tension. :

Au laboratoire, nous réalisons un montage composéd'une source de tension (le réseau 230 [V]) dedeux résistances de charge (1[kΩ] et 10 [kΩ]), etde trois instruments de mesure.

Tableau de mesure :U [V] I [A] rapport

résistance 1 0 0 ∞résistance 2 0 0 ∞résistance 1 230 0.23 1000résistance 2 230 0.023 10000

constatations : le courant n'est pas identique dans les deux mesures.La tension reste fixe et ne varie pas.

prise électriquetension U

fil conducteur

fil conducteur

récepteurélectrique

V

A

le voltmètre,placé en parallèle

l'ampèremètre,placé en série

V

A

R2R1

A

Lois électriques


4.7 Représentation graphiqueEn plus du tableau de mesure, nous pouvons également établir une représentation graphique de nosrésultats.

Un graphique est constitué d'un axe horizontal possédant une origine et une graduation (axe X), etd'un axe vertical à la même origine mais décalé de 90° (axe Y). L'axe vertical représente le courantI et l'axe horizontal la tension U. Ce tracé porte le nom de I = f(U).

Dans ce tracé, nous avons relié l'origineaux mesures que nous avons effectuées.Tous les points de cette droitereprésentent toutes les possibilités defonctionnement du circuit.

4.8 RESISTANCE R

La résistance électrique R est l'opposition faite au passage du courant électrique I dans un circuitélectrique fermé et soumis à une tension électrique continue U.


Le symbole graphique de la résistance est:

Exemple : Une lampe est alimentée par une tension de 48 [V]. Dessinez le schéma de ce circuitavec les appareils de mesures. Calculez la résistance électrique R de la lampe.

données : U = 48 [V]I = 24 [mA]

inconnue : R = ?

Application numérique : [ ] [ ]R UI

k=⋅ − = = 2000 48

24 1023 Ω Ω

La résistance a une valeur de 2000 [Ω]. Il est plus aisé d'écrire sa valeur en utilisant la notationscientifique : 2 [kΩ].

I[mA]

U[V]50 100 150 200 250

10

20

résistance 1résistance 2

Symbole de la grandeur : R

Symbole de l'unité : [Ω]

R UI

=

R

A

VU

I

Lois électriques


4.9 Loi d'ohm

La relation vue précédemment s'appelle la loi d'Ohm .

Dans ce cas, elle nous permet de calculer les tensions U à appliquer au montage, en connaissant larésistance R et le courant I.

Exemple: Un radiateur électrique purement résistif possède une résistance de 23 [Ω]. Le fusibleprotégeant les conducteurs est calibré à 10 [A].

Calculez la tension U du montage, et dessinez le schéma du circuit avec les appareils de mesures.

données : R = 23 [Ω]I = 10 [A]

inconnue : U = ?

Application numérique : U R I = ⋅ ⋅= 23 10 = 230 [V]

4.10 CONDUCTANCE G

La conductance G est la facilité qu'a un circuit électrique de laisser passer le courant I lorsqu'unetension continue U est appliquée.


4.11 MESURE DE LA RESISTANCE R

Dans la pratique, il existe un appareil de mesure appelé ohmmètre .

Cet appareil possède une pile (source de tension U continue) et un ampèremètre, dont l'échelle estgraduée en ohm. Sa manipulation demande une attention particulière.

Le symbole graphique de l'ohmmètre est le suivant:

R

A

VU

IF

10 [A]

23 [ ] Ω=

Symbole de la grandeur : G

Symbole de l'unité : [S]

G = 1R

Ω

Lois électriques


4.12 PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT DE L'OHMMETRE

L'ohmmètre est un appareil de mesure, constitué d'un générateur de tension électrique U (pile),indépendant du réseau électrique. C'est pour cette raison qu'il est nécessaire d'interrompre auxmoyens des fusibles ou des disjoncteurs, la tension électrique U du réseau.Comme la tension électrique U d'une pile est de nature continue, il y a un conflit avec la tensionélectrique U du réseau de nature alternative sinusoïdale.

Les symboles graphiques des générateurs de tension U sont :

+ -

générateur de tension pile électrique

L'ohmmètre est équipé d'un micro-ampèremètre.

Schéma équivalent d'un ohmmètre:

Le principe de mesure n'est rien d'autre quel'application de la loi d'Ohm.

Lorsque le circuit est ouvert, la tension électrique U de la pile est présente. Mais le circuitélectrique est ouvert. Donc aucun courant électrique I circule dans le montage.

L'aiguille du micro-ampèremètre est sur le 0 [A].

Appliquons la loi d'Ohm:

R = UI

=> si le courant électrique I est proche de 0 [A], cela signifie que la résistance R est

grande.

Sur le cadran du micro-ampèremètre, nous placerons unegraduation avec l'indication infini grand ∞∞∞∞ [Ω].

Lorsque le circuit est fermé, la tension électrique U de la pile est toujours présente. Un courantélectrique I circule dans le montage.

R

A

U

µ

x

0micro-ampèremètre

max

ohmmètre

0

Lois électriques


L'aiguille du micro-ampèremètre est à fond d'échelle Imax [A].

Appliquons la loi d'Ohm:

R = UI

=> si le courant électrique I est grand Imax [A], cela signifie que la résistance R est

petite. (nulle)

Sur le cadran du micro-ampèremètre, nous placerons unegraduation avec l'indication 0 [Ω].

Lors d'un changement d'échelle sur l'ohmmètre, il est nécessaire de calibrer à nouveaule 0 de l'appareil.

Exemple :

Un ohmmètre fourni une tension de 1.5 [V] sur ses bornes. Lorsque l'on effectue une mesure derésistance, il circule un courant de 3.8 [mA]. Quelle est la valeur de la résistance mesurée ? (réponse : R = 394.7 [Ω] )

Données : U = 1.5 [V] I = 3.8 [mA] inconnue : R = ?

application numérique : R UI

= =⋅

=−15

38 10394 733

..

. [ ]Ω

4.13 PROPRIETE DE LA RESISTANCE R

La résistance électrique R, définie précédemment, est dépendante de 3 paramètres.

• Le premier paramètre est la nature du matériau, c'est-à-dire sa résistivité (rhô) [Ωm].

Exemple pratique:

Un fil de cuivre (conducteur) a une résistivité plus faible qu'un fil de verre qui est un isolant.

MATIERE RESISTIVITE [Ω⋅m] RESISTIVITE [Ω⋅mm2⋅m-1]cuivre 1.75 ⋅ 10-8 0.0175aluminium 2.9 ⋅ 10-8 0.029verre ∞ ∞

0

micro-ampèremètre

max.

ohmmètre

0

Lois électriques


• Le deuxième paramètre est la longueur l du matériau.

Exemple pratique:

Si nous démontrons expérimentalement, qu'un fil de cuivre de longueur l en [m] (mètre), possède unerésistance électrique R. Si nous doublons la longueur l, la résistance électrique R du fil doubleraaussi.

• Le troisième paramètre est la section A du matériau.

Exemple pratique:

Un réservoir d'eau doit être vidé, au moyen d'un tuyau d'arrosage a un certain diamètre d, donc unecertaine section A exprimée en [m2].

Ce réservoir va mettre un temps t1 pour se vider.Si nous remplaçons le tuyau d'arrosage par un autre d'un diamètre d plus grand, le réservoir sevidera dans un temps t2 plus petit que t1.

Nous en déduisons que la résistance au passage de l'eau est plus petite avec le tuyau à granddiamètre.

Electriquement, nous assistons au même phénomène, plus le diamètre d est grand, donc plus lasection A est grande et plus la résistance électrique R est petite. Plus notre conducteur va laisserpasser les électrons de conduction.

On peut considérer que le tube de faible diamètre oppose une grande résistance au passage desélectrons.

On peut considérer que le tube de grand diamètre oppose une faible résistance au passage desélectrons.


R = lA

ρ⋅

Symbole de la grandeur : R

Symbole de l'unité : [Ω]

Lois électriques


Analyse dimensionnelle.

[ ][ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

R

=⋅

=

⋅

⋅

=

⋅ ⋅

= ⋅ =

ρ lA

mmm

m

mm

mm mm

mmmm

mm

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω Ω Ω Ω

2

2

2

2

2

2

Exemple de calcul :

Une bobine de fil de cuivre mesure 100 [m]. Sachant que le diamètre d du fil mesure1.38 [mm], calculer la résistance de cette bobine au point de vue électrique.

Données : l = 100 [m] d = 1.38 [mm] => 1.38 ⋅ 10-3 [m]

ρCu = 1.75 ⋅ 10-6 [Ωm]

Inconnue : R = ?

Relations : R = ρCu lA

⋅ A = d4

2π⋅

Application numérique : A = d4

2π⋅ = π ⋅ ⋅

= ⋅−

−( , ). [ ]

138 104 150 10

3 26 2m

R =ρCu l

A⋅ =

175 10 100150 10

1178

6,

,. [ ]

⋅ ⋅⋅

=−

− Ω

Résistance électrique : R = 1.17 [Ω]

4.14 Influence de la température sur les résistances

Une résistance R, parcourue par un courant I pendant un certain temps t, dissipe une énergiecalorifique (Wjoule)

Cette énergie calorifique Wjoule va modifier la valeur de la résistance R.

Pour mieux comprendre ce phénomène, nous allons prendreune mesure de la valeur de la résistance R de la lampe àtempérature ambiante θ 20 [°C] . (ohmmètre)

Ωlampe àincandescence

Lois électriques


Ensuite, nous allons alimenter une lampe d'une puissance de15 [W], sous différentes tensions U et mesurer le courant I.

Cette mesure effectuée, nous ferons varier la tension U auxbornes de la lampe en y mesurant le courant I.

Tableau de mesure

Mesure au temps t[s]

UAB

[V]I

[mA]Résistance à 20 [°C]

[Ω]0 0 0 1.310 2 470 1.320 4 649 1.330 6 813 1.340 8 918 1.350 10 1057 1.360 12 1174 1.3

4.15 Graphique

A partir de ces mesures, nous allons établir un graphique avec le courant I en fonction de la tensionU. Ce graphique est une représentation de l'opposition faite au passage du courant I, donc larésistance R.

U [ V ]

I[ mA ]

0

250

500

750

1000

1250

2 4 6 8 10 12

Nous constatons que ce n'est pas une droite.

A

V

I

U

A

V

I

U

Lois électriques


Appliquons la loi d'Ohm, à chaque point mesuré :

U = R ⋅ I RUI

=

Complétons notre tableau:

Mesure au temps t[s]

UAB[V]

I [mA]

R à 20 °C[Ω]

R calculée[Ω]

0 0 0 1.310 2 470 1.3 4.2520 4 649 1.3 6.1630 6 813 1.3 7.3840 8 918 1.3 8.7150 10 1057 1.3 9.4660 12 1174 1.3 10.22

Nous pouvons dire que la résistance R n'est pas constante.

Que s'est il passé ?

Notre mesure a duré une minute, nous avons appliqué une tension U et un courant I.

C'est donc une énergie W ou écart d'énergie ∆W pendant un écart de temps ∆t.

W U I t= ⋅ ⋅∆

Cette énergie W a été transformée en énergie lumineuse Wlum, mais aussi en énergie calorifique Qlum.

Cette énergie calorifique Q a eu comme effet d'augmenter la température θ aux environs de larésistance R de la lampe.

Cette résistance R est composée d'une matière à haut point de fusion, cette matière possédantcertaines caractéristiques au point de vue thermique.

4.17 Coefficient de température αααα

Le coefficient de température α (alpha) est obtenu expérimentalement.

Il est l'expression mathématique se rapprochant le plusde la constatation pratique lors d'un échauffement de lamatière. Il peut être positif ou négatif et non linéaire.

La valeur α donnée dans les tables est valable pour une température de 20 [°C] .

exemples : αCu = 4 ⋅ 10-3 [K-1] αAl = 4 ⋅ 10-3 [K-1]

αAg = 4 ⋅ 10-3 [K-1] αAu = 4 ⋅ 10-3 [K-1]

Symbole de la grandeur : α

Symbole de l'unité : [K-1] ou [°C-1]

Lois électriques


Nous pouvons donc établir une relation de la résistance R, exprimée en fonction de :

• l'augmentation de température θ• le coefficient de température α• la valeur initiale de la résistance R

Relation :

R R Rfin ini= + ∆

mais cette différence de résistance ∆R est due à la différence de température et aux propriétésd'échange thermique α de la résistance Rini

( )R R Rfin ini ini= + ⋅ ⋅∆θ α

nous pouvons mettre en évidence le terme Rini

( ) R Rfin ini= ⋅ + ⋅1 ∆θ α

Exemple de notation:

Pour différencier les résistances R, nous noterons la température θ en indice.

( )( ) R R100 20 100 201= ⋅ + ⋅ −α θ θ

R100 signifie résistance finale à 100 [°C]

R20 signifie résistance initiale à 20 [°C]

Si nous cherchons une des résistances, nous utiliserons Rx qui signifie résistance soit finale soitinitiale à x [°C]

Prenons un exemple:

Une résistance de 42 [Ω] à 20 [°C] est placée dans une chaufferie où il règne une température de 74[°C] en permanence. En mesurant cette résistance à l'intérieur de la chaufferie, nous trouvons unevaleur de 41.32 [Ω]. Donner le nom de la matière constituant cette résistance.

Données : R20 = 42 [Ω] θini = 20 [°C] R74 = 41.32 [Ω] θfin = 74 [°C]

Inconnue : nom de la matière de la résistance ?

Relation : ( ) R Rfin ini= ⋅ + ⋅1 ∆θ α

Nous devons chercher le nom de la matière. Cela implique qu'il nous faut trouver son coefficient detempérature α.

α =−

RR

fin

ini1

∆θ

Remplaçons les indices par notre convention, ainsi que ∆θ :

[ ]αθ θ

=−

= − ⋅ °− −

RR

C

74

20

74 20

4 11 41 32

421

74 20300 10

( )

,

( ).

- =

-

-

Lois électriques


Nous remarquons que notre coefficient de température α est négatif.

Ce qui signifie que, contrairement à la résistance R de la lampe vue précédemment, la résistance àchaud est plus petite qu'à température ambiante.

Cherchons dans une tabelle et d'après la valeur du coefficient de température α, le nom de lamatière de la résistance.

Nous trouvons le CARBONE.

4.18 DENSITE DE COURANT J

La densité de courant J est, par définition, le courant électrique I par unité de section A duconducteur.

La relation mathématique est la suivante : J = IA

Dans les métiers de l'électricité, des prescriptions réglementent la manière de réaliser desinstallations électriques.

Dans ces prescriptions il est spécifié que les circuits électriques doivent être protégés par un coupe-surintensité. Ces coupe-surintensité peuvent être des fusibles.

Le fusible fonctionne selon l'effet thermique du courant électrique I. Cet effet thermique reposesur la densité de courant J. Dans les cours d'installations vous trouverez le principe du fusible.

Point de consigne du fusibleprotégeant les conducteurs.

[A]

Section minimum desconducteurs

[mm2]

densité de courant.A

mm2

10 1.5 6.6715 2.5 6.0020 4.0 5.0025 6.0 4.16

Exemple:

Données : I = 10 [A] A = 1.5 [mm2] Inconnue : J = ?

Relation: [ ]J = IA

= 101,5

= 6,67 Amm2

Remarque: Il est possible de définir la densité de courant J avec des unités non normalisées ( [cm2

ou [mm2] ), comme nous venons de le faire ici.

Symbole de la grandeur : J

Symbole de l'unité : Am2

A

mm2

Lois électriques


4.19 Documentaire

Alessandro Volta physicien italien (1745-1827), professeur à l'universitéde Pavie. Inventeur de la pile électrique en 1800.

André Marie Ampère (1775 - 1836), physicien et mathématicienfrançais. Auteur de travaux en mathématique et en chimie. Inventeurdu galvanomètre, du télégraphe électrique, de l'électroaimant. Il est àla base du langage moderne sur l'électricité. Théorie del'électrodynamique en 1827.

Georg Simon Ohm, physicien allemand (1789 - 1854). Il a découvert en1827 les lois fondamentales des courants électriques et introduit lesnotions de quantité d'électricité et de tension induite.

Werner von Siemens (Allemand 1816-1892 ) a effectué de nombreuxtravaux pratiques sur l'utilisation de l'électricité. Il a fondé avecJohann Georg Halske (1814-1890) la firme Siemens et Halske dont lesactivités permirent le développement de la technique des hautestensions.

Wilhelm, frère de Werner (1823-1883), naturalisé Anglais mit aupoint le four Martin Siemens pour la fabrication de l'acier.

Lois électriques


4.20 Entraînement

1. Donner la définition d'une tension électrique.

2. Donner la différence entre une tension et un potentiel.

3. Comment peut-on mesurer une tension électrique ?

4. Donner la relation qui définit le rapport entre U et I

5. Comment s'appelle et comment se place l'instrument qui sert à mesurer le courant ?

6. Quelle est la relation mathématique entre la conductance et la résistance ?

7. De quelle nationalité est le physicien qui a déterminé les lois sur la résistivité ?

8. Comment s'appelle l'instrument qui permet de mesurer la résistance ?

9. Donner la valeur de la tension d'une batterie de voiture.

10. Dans le circuit de mesure de la résistance, quelle sera l'indication des deux instruments si ondébranche la résistance ?

11. Quel est l'avantage de tracer une courbe avec les résultats d'une mesure ?

12. De quoi est composé l'instrument de mesure des résistances ?

13. Que se passe-t-il si la pile de l'ohmmètre est déchargée ?

14. Quelle est l'indication de l'aiguille de l'ohmmètre lorsqu'il mesure un circuit ouvert ?

15. Un ohmmètre mesure un circuit. Sa mesure indique une très faible résistance.Quel est le courant dans circuit ? (nul, très faible, grand, très grand)

16. Une barre de cuivre possède les dimensions suivantes 100 ⋅ 50 [mm].Sachant que la barre de cuivre est longue de 3 [dm], calculer sa résistance électrique.

17. La résistance d'une torche de fil de cuivre est de 3.12 [Ω]. A l'aide d'un pied à coulisse, nousmesurons le diamètre du fil. Le résultat de notre mesure est 4.15 [mm]. Calculer la longueurde cette torche.

18. Avec un ohmmètre, nous mesurons une bobine de fil d'aluminium. La résistance est de 1450 [mΩ].La longueur de cette bobine est de 35000 [cm]. Calculer le diamètre du fil d'aluminium.

19. Calculez le courant I d'un circuit alimenté sous une tension U de 0,23 [kV] et dont la résistance Rest 2,23 [Ω].

Lois électriques


20. Une résistance électrique R est parcourue par un courant de 560 [mA]. Cette résistance estalimentée par une tension de 230 [V].Sachant que la résistance électrique R est un fil constitué de graphite, calculerla longueur du fil, si son diamètre est de 0.15 [cm].

21. Calculer la perte de tension U aux bornes d'un conducteur en cuivre d'un rayon r de 1 [mm],parcouru par un courant I = 10000 [mA] et reliant une maison à un cabanon de jardin distant de15000 [cm].

22. Un câble de cuivre, d'une longueur de 1.6 [km], est composé de 2 fils d'un diamètre de 10 [mm].Ce câble est posé en Sibérie, où il règne une température de -18 [°C]. Calculer la résistancemesurée à l'ohmmètre.

23. Un câble de cuivre, d'une longueur de 1.6 [km], est composé de 2 fils d'un diamètre de 10 [mm].Ce câble est posé au Sahara, où il règne une température de 38 [°C]. Calculer la résistancemesurée à l'ohmmètre.

24. Une résistance de nickel nécessite 2 [A] sous 230[V], après avoir fonctionné pendant une longuedurée. Si l'élévation de température est de 75 [°C] au dessus de la température ambiante de20 [°C], calculer la valeur de la résistance qu'il faut insérer en série dès l'origine pour limiter lecourant à 2 [A]. (voir tabelle)

25. Une lampe de 100 [W] fonctionne sous 230 [V]. Elle comporte un filament en alliage dont lecoefficient de température vaut α = 0.0055 [°C-1] à 0 [°C]. La température normale defonctionnement est de 2000 [°C]. Quel sera le courant qui traversera cette lampe au moment deson allumage dans une pièce où la température ambiante est de 20 [°C] ?

Réponses : 16. R = 1.05 [µΩ] 17. l = 2.4 [km] 18. d = 3 [mm]19. I = 103.14 [A] 20. l = 90.7 [m] 21. U = 3.34 [V]22. R = 0.6 [Ω] 23. R = 0.768 [Ω] 24. R = 1.7 [Ω]25. I = 5.16 [A]

Circuits électriques simples


Chapitre 5CIRCUITS ELECTRIQUES

SIMPLES

Sommaire

Circuits électriquesLois des nœuds et des mailles KirchhoffCouplages parallèles, sériesCouplages mixtesCode des couleurs des résistancesEntraînement

Introduction

Les lois de Kirchhoff sont des outils simples et efficaces pour la résolution des circuits électriquessimples et complexes.

Dans ce chapitre, nous allons présenter les circuits électriques parallèles, séries et mixtes, commemodèle d'application des lois des mailles et des nœuds. Nous aborderons ces types de montages aumoyen d'exemples simples et de résolutions détaillées.

5.1 Circuits électriques

Dans les installations électriques, les circuits électriques sont constitués de divers éléments.

Le nœud n est le point de convergence de 3 conducteurs ou plus.

La branche b regroupe les éléments situés entre 2 nœuds n et traversés par un mêmecourant I.

La maille m est formée d'un ensemble de branches parcourues en partant d'un nœud npour y revenir, sans passer 2 fois par la même branche.

noeud n

maille m

noeud n

maille m



5.2 Loi de Kirchhoff pour les nœuds

Cette loi exprime la conservation des courants au niveau d'un nœud n.

Cette loi s'exprime comme suit:

La somme des courants au niveau du nœud est égale àzéro.

Traduite mathématiquement par:

Σ (sigma) signifie ou exprime la notion de somme algébrique, compte tenu du sens des courants I.

Le sens convergent (direction extérieur -> nœud) est défini ou décrété comme positif.

I 1 I

2 I 3I

4

n

Ce schéma nous donne l'équation suivante :

I1 + I2 + (-I3 + (-I4 = 0) )

Pour effectuer l'addition des courants, il faut être particulièrement attentif au sens des flèches.

Flèche qui rentre : signe positif Flèche qui sort : signe négatif

5.3 Loi de Kirchhoff pour les mailles

Cette loi exprime la conservation du potentiel électrique (défini à l'aide de 2 points de tensionélectrique U) au niveau de la maille. (en l'absence de phénomène induit, comparé à des parasites)

Cette loi s'exprime comme suit:

La somme algébrique des différences depotentiel est égale à ZERO, au niveau dela maille.

Traduitemathématiquement par :

Le sens horaire est défini comme positif.

Exemple d'équation de la maille 1 du circuit : U1 + U2 + U3 + (-U4) + (-U5) = 0

I 1 I 2

I 3

I 4I 5 noeud

Σ I = 0n

+

U3U4

U5

U1

U2

Σ U = 0m



5.4 Application des lois de Kirchhoff

Dans les installations électriques, il est important de maîtriser les lois de Kirchhoff, dans le but dedimensionner les fusibles ou disjoncteurs protégeant les récepteurs électriques.

Récepteurs

fusible

F1

sectionneurde neutre

L

N

Dans la pratique, il existe 3 types de couplages de récepteurs. Nous appelons un récepteur, unappareil électrique transformant l'énergie électrique W en une autre énergie W de type calorifique,magnétique, lumineuse et chimique.

Les couplages portent le nom de : →→→→ parallèle→→→→ série→→→→ mixte

5.5 Couplage parallèle

Le couplage parallèle est une association de récepteurs soumis à la même tension électrique U.

En pratique, toutes les prises électriques domestiques possèdent une tension électrique U de 230 [V].

Le schéma électrique d'une installation électriquecomprenant, par exemple, une lampe de chevet, un spotlumineux bleu, se dessine ainsi.

Les 2 bornes supérieures sont reliées entre elles (nœud A)et les 2 bornes inférieures sont reliées entre elles (nœud B).

Les tensions électriques U à leurs bornes sont égales puisqu'elles sont prises entre les mêmes points(nœud A et nœud B)

Récepteurs

A

B

+

-



5.6 Application de la loi de Kirchhoff des mailles

Σ Utotales = Σ Upartielles

tension électrique Utotale de la prise = 230 [V]

tension électrique Upartielle appliquée aux récepteurs = 230[V]

Application numérique : Utotale = UCD = 230 [V]Upartielle = UAB = 230 [V]

ceci implique d'après Kirchhoff : UCD = UAB 230 [V] = 230 [V] cqfd

5.7 Application de la loi de Kirchhoff des nœuds

Σ Itotales = Σ Ipartielles

Le schéma possède 2 nœuds appelés A et B.

Au nœud A, le courant électrique I se partage dans les conducteurs électriques formant lesbranches.

Au nœud B, les courants de branches I1 et I2 se regroupent.

L'application de la loi de Kirchhoff des nœudsse traduit par:

Itotal = I1 + I2

Le courant électrique total Itotal représente la somme algébrique des courants partiels au nœud A.

Exemple d'application numérique:

Une lampe possède une résistance R de 800 [Ω]. La tension électrique U doit être de 230 [V](tension nominale).Un spot lumineux bleu possède une résistance R de 32 [Ω]. La tension électrique U est de 230 [V].

Calculer le courant électrique I circulant dans les conducteurs reliant la prise électrique (source detension U) aux récepteurs.

Récepteurs

+

-

Itotal I1 I2

Itotal

U



Données: R1 = 800 [Ω] R2 = 32 [Ω]U = 230 [V]

Inconnue: I = ?

Relations: Σ Utotales = Σ Upartielles

Σ Itotales = Σ Ipartielles R = UI

En premier, il faut placer des points de repères pour faciliter la résolution du problème.(nœuds,courant électrique I, tension électrique U)

Nous devons rechercher d'abord les courants I1 et I2 Σ Itotales = Σ Ipartielles

tension électrique Utotale de la prise = 230 [V]

tension électrique Upartielle appliquée aux récepteurs = 230[V]

Utotale = UCD = 230 [V] Upartielle = UAB = 230 [V]

UCD = UAB 230 [V] = 230 [V]

I1 = UR

= 230 800

= 0,2875 [A]AB

1

I2 = UR

= 230 32

= 7,1875 [A]AB

2

Somme des courants au nœud A

Itotal = I1 + I2 =0,2875 + 7,1875 = 7,475 [A]

Cette méthode de calcul permet de dimensionner les fusibles ou disjoncteurs protégeant lesrécepteurs électriques, ainsi que la dimension des conducteurs.

Symbole des fusibles dans les schémas électriques:

Symbole des disjoncteurs dans les schémas électriques:

Dans notre cas, le courant électrique I sera de 10 [A] et les conducteurs de cuivre de 1.5 [mm²].

Récepteurs

F2

sectionneurde neutre

L

N

disjoncteurthermique

F1

+

-

Itotal I1 I2

Itotal

U R 1 R 2

C A

D B



5.8 Résistance équivalente Réq d'un montage en parallèle

Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs en parallèle, nous pouvons utiliserl'ohmmètre pour connaître la résistance équivalente Réq de plusieurs récepteurs.

L'ohmmètre va travailler selon le principe des lois de Kirchhoff, nous allons développer une méthodede calcul permettant d'obtenir cette résistance équivalente Réq.

+

-

U

A

B

A

B

Ω

Schéma électrique mesuré à l'ohmmètre. Schéma électrique équivalent obtenupar lecture du cadran de l'ohmmètre.


La résistance électrique d'un récepteur possède une valeur de 800 [Ω]. La tension électrique U doitêtre de 230 [V] (tension nominale).

Un spot lumineux bleu à chaud possède une résistance R de 32 [Ω]. La tension électrique U est de230 [V].

Le courant électrique I circulant dans les conducteurs reliant la prise électrique (source de tensionU) aux récepteurs est de 7.15 [A].

Calculer la résistance équivalente Réq de ce montage.

Données : R11 = 800 [Ω] R12 = 32 [Ω] U = 230 [V] Itotal = 7.47 [A]

Inconnue : Réq = ?

Relations: Σ Utotales = Σ Upartielles Σ Itotales = Σ Ipartielles R = UI

[ ]Req = UI

= UI

= 2307.47total

AB

total= 3077. Ω

Si dans l'énoncé du problème, nous ne possédons pas le courant électrique Itotal , nous allons procéderde la façon suivante:

Plus la résistance R est grande et plus le courant électrique I passant à travers est petit.

Nous avons étudié la conductance G et nous allons appliquer cette grandeur en disant:

Plus la résistance R est grande, donc plus est petite la conductance G et plus le courant électrique Ipassant à travers est petit.

Nous constatons que la conductance G est proportionnelle au courant électrique I

Nous appliquons la loi de Kirchhoff pour les nœuds, mais en l'explicitant à l'aide des conductances G



Gtotal = G1 + G2

Sachant que la conductance G est l'inverse de larésistance R, nous allons transformer cetterelation:

12R Req

= 1R

+ 11

R

R

eq = 11R1

+ 12

Application numérique de l'exemple précédent :

R

R

eq = 11R1

+ 12

Req = 11

8001

32

3077+

= . [ ]Ω

5.9 Résistance équivalente Réq d'un montage en parallèle deplusieurs résistances

Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs en parallèle, nous devons calculer larésistance équivalente Réq de plusieurs récepteurs, afin de savoir si le disjoncteur placé en amontdes résistances va laisser passer le courant Itotal sans interrompre le circuit.

Gtotal = G1 +G2 +G3

Exemple :

Calculer la résistance équivalente Réq de ce montage.

Données : R1 = 800 [Ω] R2 = 32 [Ω] R3 = 15 [Ω] U = 230 [V]

Inconnues : Réq = ? Itotal = ?

+

-

U

A

B

G1 G2Gtotal

C

D

Itotal

I1 I2

+

-

U

A

B

G1Gtotal

C

D

Itotal

I1

G2

I2

G3

I3

E

F



Sachant que la conductance G est l'inverse de la résistance R, nous allons transformer cetterelation:

12R Req

= 1R

+ 1 + 1R1 3

R

R R

eq = 11R1

+ +1 12 3

Application numérique : [ ]Req = 11

800+ +

=132

115

10 08. Ω

Nous constatons que cette méthode de résolution est applicable dans tous les cas de montage enparallèle quel que soit le nombre de résistances Rn .

La relation générale est : Gtotal = G1 + G2 + G3 +....+ G3

ou selon la notation mathématique : G Gtotal i = i=1

n

Exemple :

Calculons le courant Itotal du montage soumis à une tension U de 230 [V].

Loi d'Ohm : R = UI

I = UR

[ ]I Atotal = UR

= 230 10,08

AB

eq= 22 83.

5.10 Couplage série

Le couplage série est une association de récepteurs soumis à la même intensité de courant I.

En pratique, les couplages série sont utilisés dans les installations de cuisinières électriques ouautres appareils calorifiques tels que radiateurs, chauffe-eau, chaudières.

L'avantage de ce couplage série réside par le fait qu'il est possible de modifier la grandeur ducourant électrique I en fonction des différentes positions des interrupteurs.

Schéma électrique :

R 1 R 2 R 3

Le courant électrique I n'a qu'un seul chemin à travers le circuit électrique.




ΣIentrant = ΣIsortant

Le courant électrique I est constant dans un circuit série.

La valeur du courant électrique I dépend des valeurs de résistances R composant le circuit.Ientrant au point A = I au point Bsortant


ΣUtotale = ΣUpartielle

Le schéma possède 2 résistances R parcourues par un courant électrique I.

Sachant qu'une résistance R parcourue par un courantélectrique I est l'application de la loi d'Ohm, nous pouvons endéduire que chaque résistance R possédera une tensionélectrique U en rapport aux grandeurs électriques R et I.

Loi d'Ohm: U = R ⋅ I

L'application de la loi de Kirchhoff des mailles se traduit par :

UAB= UAC + UCB

Exemple d'application numérique :

Une plaque de cuisinière possède 3 bornes, notées A, C, B

En utilisant un voltmètre, nous mesurons la tension électrique entre les bornes A et C, puis entre Cet B.

Un tableau de mesures peut être établi:

Calculer la tension électrique U nominale de cette plaque de cuisinière.

Données : UAC = 150 [V] UCB = 80 [V] Inconnue : Unominale = ?

+

-

U

A

B

Itotal

R1

I2

I1

C

R2

+

-

U

A

B

Itotal

R1

I2

I1

C

R2

U [V]mesure 1 150mesure 2 80



Relation : ΣUtotale = ΣUpartielle

U

A

B

R1

R2

C

Schéma électrique

Après avoir placé les repères, nous allons pouvoir résoudre notre problème.

Unominal implique tension électrique totale nécessaire au bon fonctionnement de la plaque decuisinière.

Utotale = UAB d'après le schéma

UAB = UAC + UCB => UAB = 150 + 80 = 230 [V]

5.13 Résistance équivalente Réq d'un montage en série

Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs en série, nous pouvons utiliserl'ohmmètre pour connaître la résistance équivalente Réq de plusieurs récepteurs.

L'ohmmètre va travailler selon le principe des lois de Kirchhoff, nous allons développer une méthodede calcul permettant d'obtenir cette résistance équivalente Réq.

U

A

B

R1

R2

C

A

B

RéqΩ

Schéma électrique mesuré à l'ohmmètre :


Une plaque de cuisinière possède 3 bornes, notées A, C, B. En utilisant un voltmètre, nous mesuronsla tension électrique entre les bornes A et C, puis entre C et B. En plaçant un ampèremètre, nousmesurons chaque fois un courant de 5.4 [A].

En utilisant un ohmmètre, les mesures donnent 15 [Ω] et 28 [Ω]. Mais nous ne connaissons pas l'ordredans lequel ces mesures ont été effectuées.



Un tableau de mesures peut être établi:

U [V] I [A] R [Ω]mesure 1 150 5,4 15 ou 28mesure 2 80 5,4 15 ou 28

• Calculer la tension électrique U nominale de cette plaque de cuisinière.• Calculer la résistance équivalente Réq de ce montage.• Compléter le tableau de mesures en corrigeant les valeurs mesurées à l'ohmmètre par

rapport à l'ordre des mesures.

Données: UAC = 150 [V] UCB = 80 [V]I1 = 5.4 [A] I2 = 5.4 [A]R1 = 15 ou 28 [Ω] R2 = 15 ou 28 [Ω]

Inconnue: Unominale = ?

Relations: Σ Utotales = Σ Upartielles Σ Itotales = Σ Ipartielles R = UI

Schéma électrique

Après avoir placé les repères, nous allons pouvoir résoudrenotre problème.

Unominale implique tension électrique totale nécessaire au bon fonctionnement de la plaque decuisinière.

I1 = I2 implique que nous sommes en présence d'un montage SERIE

Utotale = UAB d'après le schéma UAB = UAC + UCB

Connaissant la tension totale U et le courant I, nous appliquons la loi d'Ohm afin d'obtenir larésistance équivalente Réq du montage (comme avec un ohmmètre connecté entre A et B du montage).

Reqtotale

totale = U

I

Application numérique:

UAB = 150 + 80 = 230 [V]

[ ]Reqtotale

totale = U

I= =230

5 442 59

.. Ω

Nous savons que la loi d'Ohm exprime la relation entre les grandeurs R, I et U.

U

A

B

R1

R2

C



En imbriquant les relations les unes dans les autres, nous pouvons donc substituer les grandeurs Upar le produit R ⋅ I

UAB = UAC + UCB

UAB = (R1 ⋅ I) + (R2 ⋅ I)

Comme le courant électrique I est constant, nous allons exprimer cette relation en mettant le termeI en évidence.

UAB = (R1 + R2) ⋅ I

Nous cherchons à isoler le terme (R1 + R2), il faut donc diviser par I de chaque côté du signe =.

( )UI

R II

UI

R RAB AB = (R 1 + ⋅= +2

1 2)

Le terme UIAB est égal à la résistance équivalente du montage car I est le courant électrique Itotal.

Nous pouvons donc écrire que, dans un montage série: Réq = R1 + R2

Preuve:

résistance équivalente Réq mesurée à l'aide de l'ohmmètre 42,59 [Ω]

résistance équivalente Réq calculée par loi d'Ohm Réq = R1 + R2 = 15 + 28 = 43 [Ω]

Nos 2 méthodes aboutissent à peu près aux même résultats.

Nous cherchons à présent la valeur de la résistance R1 et R2 en fonction des valeurs à disposition.

Appliquons à nouveau la loi d'Ohm :

UAB = UAC + UCB UAB = ( R1 ⋅ I ) + ( R2 ⋅ I )

UAC = R1 ⋅ I [ ]R1 27 78 = UI

= 1505,4

AC = . Ω

UCB = R2 ⋅ I [ ]R2 14 81 = UI

= 805,4

CB = . Ω

Tableau de mesures récapitulatif

U [V] I [A] R mesurée [Ω] R calculée [Ω]mesure 1 150 5,4 28 27,78mesure 2 80 5,4 15 14,81

Total 230 5,4 43 42,59



5.14 Résistance équivalente Réq d'un montage en série de plusieursrésistances.

Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieursrécepteurs en série, nous devons calculer la résistanceéquivalente Réq de plusieurs récepteurs, afin de savoir si latension placée en amont des résistances est assez grandepour faire fonctionner le circuit dans des conditionsnormales.

Loi d'Ohm:

Le terme UIAE est égal à la résistance équivalente du montage car I est le courant électrique Itotal

Nous pouvons donc écrire que, dans un montage série:

Réq = R1 + R2 + R3 + R4 +....+ Rn

ou selon la notation mathématique : Req = Rii=1

n

Exemple : calculer la résistance équivalente Réq du montage ci-dessus.

Données : R1 = 800 [Ω] R2 = 32 [Ω] R3 = 10 [Ω] R4 = 65 [Ω] UAE = 9 [V]

Inconnues : Réq = ? Itotal = ?

relations : Réq = R1 + R2 + R3 + R4 R UIeq

total

total=


Réq = R1 + R2 + R3 + R4 = 800 + 32 + 10 + 65 = 907 [Ω]

[ ]I UR

Atotaltotal

eq= = =9

9070 01.

Mais cette réponse ne nous satisfait guère. Si nous désirons exécuter le montage et en faire lapreuve par la pratique, l'ampèremètre devra être choisi en fonction du courant I à fond d'échelle. Ilfaudra prendre une échelle notée en [mA] car en [A], l'aiguille n'aura que peu de déviation.

Dans la pratique, l'appareil de mesure est construit avec une tolérance, c'est-à-dire une marged'erreur.

U

A

B

R1

R2

C

U

1

2

R3

R4

D

E



5.15 Couplage mixte

Le couplage mixte est une association de récepteurs soumis pour une partie au même courant I etpour une autre à la même tension U.

Dans la pratique, le couplage mixte est le plus fréquent dans les installations électriques. Pouralimenter une maison, une ligne électrique, de résistance R ou de conductance G, est nécessaire.

A son extrémité, des récepteurs sont connectés en parallèle.(cuisinières, radiateurs, lampes, etc.)

U

A

B

Gligne retour

Gligne aller

G1G2

Itotal

I1 I2

D

C

Le courant électrique I possède un seul passage de C à A.Mais de A à B il possède 2 possibilités.


ΣItotal = ΣIpartiel

Le courant électrique Itotal est constant dans un circuit série.

Le courant électrique Itotal se partage au nœud A entre les chemins formant les branchesA - G1 - B (I1) ou A - G2 - B (I2)

La valeur du courant électrique Itotal dépend des valeurs de résistances R ou de conductances Gcomposant le circuit.

Itotal au point A = Ipartiel au point B

L'application de la loi de Kirchhoff des nœuds se traduit par

Itotal en A = I1 + I2

C'est la preuve que notre couplage est parallèle.

Une résistance équivalente RAB peut être calculée.

Gtotal= G1 + G2

U

A

B

Gligne retour

Gligne aller

Gtotal

I total

D

CI total





Le schéma possède 3 résistances R, dont l'une est une résistance équivalente, parcourues par uncourant électrique I. (voir conductance G, inverse de la résistance R)

Sachant qu'une résistance R parcourue par un courant électrique I est l'application de la loi d'Ohm,nous pouvons en déduire que chaque résistance R possédera une tension électrique U en rapport auxgrandeurs électriques R et I.

Loi d'Ohm: U R I G

I= ⋅ = ⋅ U 1

Schéma électrique:

UCD = UCA + UAB + UBD


Un cabanon de jardin est alimenté par un câble électrique de 3x1.5 [mm²]. Nous y branchons 2radiateurs en parallèle.

A l'aide d'un voltmètre, nous mesurons la tension U au départ du câble et à l'arrivée du câble. Unampèremètre est placé sur le circuit et nous indique Itotal

Nous décidons de mesurer le courant I du radiateur 1, ainsi que la tension U à ses bornes.

2 tableaux de mesures peuvent être établis:

Tableau 1 U [V] I [A] Tableau 2 U [V] I [A]départ 230 25 radiateur 1 220 10arrivée 220 25

Nous allons calculer la tension U aux bornes du radiateur 2 ainsi que le courant I à travers leradiateur 2.

Schéma du montage :

U

A

B

Gligne retour

Gligne aller

C

Radiateur 1 Radiateur 2

A

D D

VVdépart arrivée

U

A

B

Gligne retour

Gligne aller

Gtotal

I total

D

CI total

U CA

U AB

U BD



Inconnues : UR2 = ? IR2

= ? Uligne = ?

Relations : ΣItotal = ΣIpartiel ΣUtotale = ΣUpartielle

Après avoir placé les repères, nousallons pouvoir résoudre notre problème.

Nous pouvons simplifier notre schéma électrique, en considérant la résistance totale du câble

Rtotale ligne = Rligne aller + Rligne retour

car ces 2 résistances sont parcourues par le même courant. Elles sont en SERIE.

UCD = UCA + UAB + UBD

La tension UBD est égale à zéro.

La résistance RBD est égale à 0 [Ω]. Selon la loi d'Ohm : UBD = RBD ⋅ Itotal

Itotal peut être très grand, mais 0 fois Itotal donne 0. UBD = 0 [V] cqfd

UCD = UCA + UAB + UBD UCA = UCD - UAB

Application numérique: UCA = 230 - 220 = 10 [V]

Calculons le courant IR2 à travers le radiateur 2

D'après la relation des nœuds de Kirchhoff en A: Itotal = IR1 + IR"

Cherchons IR2 en isolant ce terme: Itotal - IR1 = IR2 - IR1 + IR2 Itotal - IR1 = IR2

Application numérique: IR2 = 25 - 10 = 15 [A]

Cherchons la tension aux bornes du radiateur 2.

Nous allons placer 2 repères (points E et F) sur le radiateur 2 soit sur la résistance R2

U

A

B

Gligne retour

Gligne aller

I total

IR1 IR2

D

C


U

A

B

Gligne retour

G ligne aller

I total

IR1 IR2

D

C




En appliquant la loi de Kirchhoff des mailles, nous constatons que la résistance R2 est en parallèlepar rapport à R1.

UAB = UEF

UEF = UAB = 220 [V]

5.18 Résistance équivalente Réq d'un montage mixte

Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs, nous pouvons utiliser l'ohmmètre pourconnaître la résistance équivalente Réq de plusieurs récepteurs.

L'ohmmètre va travailler selon le principe des lois de Kirchhoff, nous allons développer une méthodede calcul permettant d'obtenir cette résistance équivalente Réq

A

Gligne retour

Gligne aller

C

B


D

Ω Ω Réq

C

D

Schéma électrique mesuré à l'ohmmètre Schéma électrique équivalent obtenu parlecture du cadran de l'ohmmètre :


Un cabanon de jardin est alimenté par un câble électrique de 3x1.5 [mm²] en Cu. Nous y branchons 2radiateurs en parallèle.

A l'aide d'un ohmmètre, nous mesurons la résistance totale du circuit entre les points C et D. Nousdécidons de mesurer la résistance du radiateur 1 à chaud, ainsi que la résistance du radiateur 2 àchaud.

Nous savons que la tension U, au début du circuit, sera de 230 [V].

Un tableau de mesures peut être établi :

R [Ω]Résistance totale 9,2radiateur 1 14,7radiateur 2 22

Calculer la longueur du câble installé.

Calculer la tension U aux bornes du radiateur 2, ainsi que le courant I à travers le radiateur 1.

U

A

B

Gligne retour

Gligne aller

I total

IR1 IR2

D

C


E

F



U

A

B

R ligne retour

R ligne aller

R1R2

I total

I1 I2

D

C E

F

Données : UCD = 230 [V] RCD = 9.2 [Ω] R1 = 14.7 [Ω] R2 = 22 [Ω]

Inconnues : UEF = ? I1 = ? lcâble = ?

Relations : U =R ⋅I ΣItotal = ΣIpartiel ΣUtotale = ΣUpartielle

Imaginons que nous sommes le courant électrique Itotal et nous suivons son parcours :

Le courant Itotal passe au point C, puis traverse la résistance de ligne aller RCA pour rejoindre le nœudA. Ce courant total Itotal traversera d'autres éléments du circuit.

C'est donc un couplage de type SERIE.

Au nœud A, le courant I possède 2 chemins, à travers les résistances RAB et REF pour aboutir aunœud B.

C'est donc un couplage de type PARALLELE.

Au nœud B, les courants partiels I1 et I2 se rejoignent.

Le courant total Itotal traverse alors la résistance de ligne retour RBD pour aboutir au point D.

Nous constatons que nous sommes en présence d'un couplage SERIE.

Cette suite de couplage implique que nous sommes en présence d'un COUPLAGEMIXTE.

Nous allons simplifier notre schéma en remplaçant les 2 résistances en parallèle par une seulerésistance équivalente RAB .

Calculons RAB selon la méthode de couplage parallèle.

Gtotal = G1 + G2 + G3 + ... + Gn

Sachant que la conductance G est l'inverse de la résistance R, nous allons transformer cette relationdans notre cas en:

1 1 11 2R R RAB

= +

Application numérique : [ ]R

R R

AB =+

=+

=11 1

11

1471

22

8 81

1 2 ,

. Ω

U

A

B

Gligne retour

Gligne aller

Gtotal

I total

D

CI total



Calculons la résistance du câble d'après les relations connues :

Rtotale = R1 + R2 + R3 + ... + Rn RCD = RCA + RAB + RBD

Nous connaissons les valeurs de RCD et RAB

Nous savons aussi que, de par la construction des circuits électriques et en particulier des câbles,dans la plupart des cas en basse tension (domaine d'application de votre pratique), la résistance dufil aller RCA est égale à la résistance du fil retour RBD

Hypothèses : RBD = RCA RCD = RCA + RCA + RAB RCD = (2 ⋅ RCA) + RAB

La résistance du câble est donc égale à 2⋅RCA .

RCD = ( 2 ⋅ RCA ) + RAB

RCD = Rcâble + RAB

cherchons la résistance du câble :

RCD - RAB = Rcâble + RAB - RAB

ce qui nous donne

RCD - RAB = Rcâble

Application numérique : Rcâble = 9.2 - 8.81 = 0.39 [Ω]

Calculons maintenant la longueur du câble. R lA

= ⋅ρ

Dans notre cas, le câble est en cuivre, symbole chimique Cu. Un formulaire technique nous donnera lavaleur de la résistivité (rhô).

R lA

R Acâble

cu câble

cu=

⋅=

⋅ρρ

l

Application numérique : [ ]l m= ⋅ ⋅⋅

=−

−0 39 1 5 10

175 1033 26

6

8, ,

,.

Mais attention, la longueur l est l'image du fil aller et du fil retour.

Rcâble = RCA + RBC = 2 ⋅ RCA

U

A

B

Itotal

D

CItotal

RCA RBD RCA=

RAB

U

A

B

Itotal

D

CI total

RCARCâble =

RAB

2



Construction de la ligne alimentant les récepteurs:

longueur fil aller constituant RCA

longueur fil retour constituant RBD

le tout est entouré de thermoplastique constituant unCABLE électrique.

longueur du câble = il aller + longueur fil retour2

longueur f

Dans notre problème, il nous faudra diviser la longueur totale du fil par 2, pour obtenir la longueurdu câble.

Application numérique : [ ]l m= =33 32

16 63. .

ATTENTION DANGER !Dans les problèmes où il s'agit de calculer la longueur

d'une ligne ou d'un câble, LISEZ ATTENTIVEMENT votre énoncé...

Cherchons la tension U aux bornes du radiateur 2.

L'ohmmètre nous a donné une résistance équivalente Réq de 9.2[Ω].

Nous pouvons calculer le courant total Itot du circuit.

Appliquons la loi d'Ohm : U = R ⋅ I

[ ]U R I URCD CD tot tot

CD

CD= ⋅ = = = I A230

9 225

.

Connaissant la résistance du câble Rcâble , nous décomposons notre circuit de la façon suivante:

La résistance Rcâble a été calculée précédemment. Rcâble = 0.39 [Ω]

Les résistances Rcâble et RAB sont couplées en série.

Le courant total Itot est CONSTANT mais provoque unechute de tension aux bornes de la résistance du câble Rcâble

Appliquons la loi d'Ohm aux bornes du câble:

U = R ⋅ I UCA = Rcâble ⋅ Itot = 0.39 ⋅ 25 = 9.75 [V]

U

A

B

Itotal

D

CItotal

RCA

RBD

RAB

Ω

C

D

R éq = RCD

Schéma électrique équivalentobtenu à l'aide de l'ohmmètre

U

A

B

Itotal

D

CI total

RCARCâble =

RAB

2



Appliquons la loi des mailles au circuit:


La tension UBD est égale à 0, car la résistance RBD est 0.

Mathématiquement, 0 fois une valeur quelconque, égale 0.

UCD = UCA + UAB UAB = UCD - UCA = 230 - 9.75 = 221.5 [V]

L'écart entre les 2 méthodes donne 1.25 [V].

Nous obtenons cet écart de la façon suivante:

∆ = valeur - valeurméthode 2 méthode 1

[ ]∆ = − =22125 220 125. . V

erreur valeur valeur valeur

= −( )1 21

erreur = − =( , ),

.221 5 220221 25

0 0056

soit une erreur relative de la mesure de 0.56 % (0.0056 ⋅ 100)

Nous constatons que l'erreur est infiniment petite et que cette erreur peut avoir comme originel'imprécision de notre ohmmètre ou l'imprécision de l'arrondi dans nos calculs.

5.19 Code des couleurs des résistances

Dans la pratique, les résistances sont repérées au moyen d'anneaux de couleurs placés autour ducomposant.

Exemple de valeur d'une résistance repérée par les couleurs :

argent - rouge - noir - bleu - orange

Méthode: Il faut placer la tolérance en dernier (sens écriture)

orange - bleu - noir - rouge - argent

U

A

B

I total

D

CI total

RCARCâble =

RAB

2



Décomposition de la valeur:


chiffre chiffre chiffre multiplicateur tolérance+-

Ce qui nous donne le résultat suivant :

chiffre chiffre chiffre multiplicateur tolérance+-


3 6 0 1 10 %+-10 2

de la valeur nominale soit:

360 ⋅ 102 ± 10% de la valeur nominale

36 [kΩ] valeur nominale ± 10%

[ ]R kmin .= ⋅ − ⋅ ⋅ =36 10 36 10 10100

32 433

Ω

[ ]R kmax .= ⋅ + ⋅ ⋅ =36 10 36 10 10100

39 633

Ω

Remarque: Il sera nécessaire de consulter un cours d'électronique pour expliquer l'utilité desséries E6, E12, E24, etc.

Code des couleurs :

couleurs tolérancesnoir brun rouge orange jaune brune rouge

0 1 2 3 4 1 % 2 %

vert bleu violet gris blanc or argent5 6 7 8 9 5 % 10 %

5.20 Documentaire

Gustav Kirchhoff, physicien allemand (1824-1877). Il a formulé les lois quiportent son nom et qui sont capitales en électricité. Avec Bunsen ils créentl'analyse spectrale (1859) et découvrent le césium et le nimbium en 1861.



5.21 Entraînement

1. Citer les différents couplages possibles :

2. Quelle est la différence entre un nœud et une maille ?

3. Donner la relation mathématique de la densité de courant par rapport au courant électrique.

4. Quelle est l'unité normalement utilisée pour la densité de courant ?

5. Compléter les phrases suivantes :

6. Le nœud est le point convergeant de ........ conducteurs ou plus.

7. La branche regroupe les éléments situés entre ..............................................

8. La maille est formée d'un ensemble de ...............................

9. Quelle est la valeur commune dans un montage parallèle ?

10. Dans un montage parallèle composé de deux résistances de même valeur, un courant de 1.5 [A]circule dans la première résistance.Quel est le courant dans la seconde résistance ?

11. Citer deux applications courantes des montages parallèles.

12. Dans un montage série composé de 5 résistances, R4 grille à la suite d'une surchauffe.Quelle est la tension aux bornes de R2 ?

13. Dans un montage parallèle composé de 5 résistances, R4 grille à la suite d'une surchauffe.Quelle est la tension aux bornes de R2 ?

14. Donnez le nom des différents tronçons du circuit ci-contre.

tronçon AB :

tronçon ABCA :

tronçon BC :ytronçon ACBA :yCombien y a-t-il de nœuds dans ce schéma ?

A

BC



Exercices :

1. Dans le circuit ci-dessous :Nommer toutes les mailles, les branches et les nœuds.Flécher tous les courants et toutes les tensions.Enoncer toutes les équations de Kirchhoff

R 1

R2R

R3

4 R

R5

6

R7R8

2. Calculer la valeur du courant I5 , ci-dessous.

I1 = +10 [A] I2 = -25 [A] I3 = +30 [A] I4 = +15 [A]

3. Calculer la valeur du courant I3 , ci-dessous, et déterminer son sens.

I1 = -10 [µA] I2 = -25 [µA] I4 = +30 [µA] I5 = -10 [µA]

4. Calculer la valeur de la tension U , ci-dessous

U1 = +10 [nV] U2 = +25 [nV] U3 = +30 [pV] U4 = +10 ⋅ 102 [pV]

5. Calculer la valeur de la tension U3 , ci-dessous, et déterminer son sens.

U1 = 10 [nV] U2 = -0.25 [µV] U4 = +30 [nV] U5 = -10 ⋅ 102 [nV]

6. Une résistance de 2 [Ω] est montée en parallèle avec une résistance de 4 [Ω]. La tension auxbornes de cette combinaison est de 12 [V]. Calculer les courants dans les différentes dérivationsdu montage.

7. 2 résistances sont couplées en parallèle. La mesure effectuée, à l'aide de l'ohmmètre, donne 400[mΩ]. Sachant qu'une résistance est notée 0.6 [Ω], calculer la valeur ohmique de l'autrerésistance.

Réponses : 2. I5 = -30 [A] 3. I3 = +15 [µA] 4. U = 30.03 [nV] 5. U3 = 1.21 [µV]6. I1 = 6 [A] I2 = 3 [A] 7. R = 1.2 [Ω]



8. Calculer la résistance équivalente du montage ci-dessous si:

R1 = 10 [Ω] R2 = 4 R1

R3 = 0.2 R1 R4 = 0.75 R1

Calculer la tension UAB du montage,si UAD = 125 [V]

Calculer le courant I dans la résistance R4

9.

Calculer la résistance équivalente du montage.

Calculer la tension UAH du montage.

Calculer la tension UGA du montage, si elle est le quart de la tensiontotale.

10.Calculer les courants I1 et I2 du montage suivant lorsque :

R1 = 100 [Ω] R2 = 200 [Ω]R3 = 10 [Ω] R4 = 200 [Ω]

UAB = 230 [V].

a) l'interrupteur S1 est OUVERT et S2 est OUVERTb) l'interrupteur S1 est FERME (R = 0 [Ω]) et S2 est OUVERTc) l'interrupteur S1 est FERME et S2 est FERME (R = 0 [Ω])d) l'interrupteur S1 est OUVERT et S2 est FERME (R = 0 [Ω])

Réponses :8. UAB = 147.32 [V] IR4 = 2.97 [A]9. Réq = 48.75 [Ω] UAH = 170.625 [V] UGA = 42.6 [V]10. a ) I1 = 1.1 [A] I2 = 547.6 [mA]

b) et c)Lorsque S1 fermé, il y a un court-circuit.I est limité par la caractéristique du générateur.

d) I1 = 2.09 [A] I2 = 0 [A] car elles sont court-circuitées par S2

U

A

B

D

R1

R3

R4

R2

AB

D

R1

R3

R4

R2

EH

R5

G

R1

R2

R3

R4

R5

= 10 [ ]Ω

= 20 [ ]Ω

= 25 [ ]Ω

= 5 [ ]Ω

= 50 [ ]Ω

I = - 3.5 [A]

U

A

B

D

R1

R3

R4R2

S1 S2

I1

I2

Sources électriques Accumulateurs


Chapitre 7a

SOURCES ELECTRIQUES

Sommaire

• Les sources continues et alternatives• Caractéristiques des générateurs• Les accumulateurs• Entraînement

Introduction

7.1 Les Sources

Dans la pratique, nous avons remarqué que l'énergie électrique est une transformation, non sanspertes, d'énergie mécanique magnétique, chimique ou lumineuse.

Elle est obtenue à partir de sources d'électricité appelées alternateur ou générateur.

Ces sources peuvent engendrer une tension continue :

Pile chimique Leclanché

Ces piles sont utilisées pour les appareils transportables,radios, baladeurs, etc.

Elles ne sont pas rechargeables.



Panneaux solaires.

Dans cet exemple, les panneaux solairesfournissent l'énergie nécessaire aufonctionnement du satellite.

Sur terre, il existe également descentrales équipées de panneaux solairespour fournir de l'énergie électrique.

Accumulateurs.

Le principal avantage desaccumulateurs est d'offrir lapossibilité d'être rechargé.

Les accumulateurs se trouvent sousdifférentes formes. Pour lesvoitures, comme cette figure, ou dumême format que les piles pour lesappareils transportables.



D'autres sources peuvent engendrer une tension alternative :

Dans la majorité des cas, la production et la distribution de l'énergie électrique est faite en tensionalternative. Elle est plus facile à produire et transformer.

Dessin tiré du livre " On a volé l'électricité " de d'Electricité Romande, Lausanne. OFEL Lausanne.



Dans une centrale nucléaire, l'énergie du réacteur esttransformée en énergie électrique par un alternateur.

La vapeur produite par l'échauffement du réacteurentraîne une turbine à vapeur qui est reliée mécaniquementà l'alternateur.

Dessin tiré du livre " On a volé l'électricité " de d'Electricité Romande, Lausanne.Toutes les illustrations couleurs OFEL Lausanne.



7.2 L'alternateur

Un alternateur est une source d'énergie électrique qui varie dans le temps de façon sinusoïdale.

La turbine entraîne l'alternateur et engendre une différence de potentiel ou tension UAB aux bornesde son circuit.

U

temps

AB

De par sa construction, l'alternateur peut être représentépar une source de tension symbolisée et par une résistanceinterne Ri

Le schéma équivalent total est :

~

A

B

C

U

Bornes

Borne N

L1L2L3

Ri

Nous étudierons plus en détail les alternateurs au chapitre machines à régime sinusoïdal.

Générateur de tensionalternative

~Résistance interne



7.3 Générateur

Un générateur est une source d'énergie électrique qui est constante dans le temps.

Le générateur engendre une différence de potentiel V ou tension UAB aux bornes de son circuit.

temps

UAB

Les générateurs sont obtenus à l'aide de l'effet chimique, soit par une pile ou par un accumulateur.Des panneaux photovoltaïques génèrent une tension U et un courant I par effet photovoltaïque.(lumière sur plaquette de silicium)

7.4 Pile

Une pile est un générateurd'électricité constitué de 2 matièresdifférentes (exemple charbon - zinc)présentant un excès d'électrons etun manque d'électrons.

Certaines tables de chimie donnent les valeurs d'électropositivité et d'électronégativité desmatières.

Cette source de tension est symbolisée :

Un électrolyte favorise le passage des électrons entre les 2 matières et provoque ainsi une réactionchimique.

La pile possède une résistance interne Ri à cause de l'électrolyte.

Le schéma équivalent total est :

R i

-

+ DUDC

B

C

R URécepteur

borne du circuitnotée +

borne du circuitnotée -

anode

potentiel V D

manque d' électronsélectriquement

potentiel V C

cathode

excès d' électronsélectriquement

positiveborne

négativeborne

Générateur idéal detension continue

+-

Générateur de tensioncontinue

- +



Exemple:

Une pile alimente une lampe. La tension U à la lampe est de 1.5 [V]. Le courant I est de 300 [mA].

Sachant que la résistance interne de la pile est de 1.2 [Ω], calculer la différence de potentielengendrée par l'anode et la cathode de la pile.

Dessinons le schéma de cette installation :

R i

-

+ DUDC

B

C

Ulampe

Ilampe

R lampe

Données : UBC = 1.5 [V] IL = 300 [mA] 0.3 [A]Ri = 1.2 [Ω]

Inconnue : UDC = ?

Analyse du circuit : nous constatons que nous sommes dans un circuit de

couplage SERIE, car le courant IL possède un seul parcours possible.

Relations : ΣUtotale = ΣUpartielle U = R ⋅ I

D'après notre schéma, nous pouvons appliquer la loi de Kirchoff.

UDC = UDB + UBC

Nous constatons que la tension UDB représente la chute de tension aux bornes de la résistanceinterne de la pile Ri .

En SERIE, le courant I est constant dans tout le circuit.

Remplaçons la tension UDB par la loi d'Ohm.

( ) ( ) [ ]U R I U VDC i BC= ⋅ + ⋅ + = = 12 0 3 15 186. . . .



7.5 Tension à vide

Une pile ou un générateur possède une tension à vide U0

Cette tension pourrait être mesurée lorsque le circuit est ouvert et qu'aucun courant I ne circuledans le circuit.

R i

-

+ DUDC

IlampeB

C

UlampeRlampe

Appliquons les relations connues:

Relations : ΣUtotale = ΣUpartielle U = R ⋅ I

Si IL = 0 [A], la tension aux bornes de la résistance interne Ri est égale à 0 [V].

( ) ( )U R I U UDC i BC BC= ⋅ + ⋅ + = 12 0.

Nous constatons que la tension UDC représente la tension à vide U0

7.6 Générateur de tension idéal

Nous sommes à circuit ouvert en présence d'un générateur de tension idéal symbolisé de la façonsuivante:

Générateur idéal detension continue

+-

Dans la pratique, ce cas n'est pas possible, car la présence de la résistance interne Ri modifie latension disponible aux bornes du circuit.

7.7 Générateur de courant

Nous pouvons symboliser un générateur de courant de la façon suivante:

Générateur idéal de

courant continu+-

Dans la pratique, ce cas n'est pas possible, car la présence de la résistance interne Ri modifie lecourant disponible dans le circuit.



7.8 Accumulateur

Un accumulateur est un générateur d'électricité constitué de 2 matières différentes (exemplecadmium - nickel) présentant un excès d'électrons et un manque d'électrons.

Un électrolyte favorise le passage des électrons entre les 2 matières et provoque ainsi une réactionchimique.

Son symbole est le même que la pile. Les traitillés signifient qu'ilpeut y avoir plusieurs éléments montés en série.

Le schéma équivalent total est identique àcelui que nous venons d'étudier.

7.8 Couplage des accumulateurs

Les accumulateurs peuvent être couplés idéalement en parallèle et en série

Ce sont les lois de Kirchhoff qui s'appliquent.

7.9 Couplage parallèle

-

+

D

UDC

B

-

+

D

UDC

C C1 2

1 2A

UAB

Pour réaliser ce couplage, il faut que les tensions UCD soient les mêmes.


UBA = UCD

- +- +

R i

-

+ DUDC

B

C

R URécepteur

borne du circuitnotée +

borne du circuitnotée -



Exemple:

Quelle est la tension totale de 2 accumulateurs de 4 [V] montés en parallèle ?

Données : UD1C1 = 4 [V] UD2C2 = 4 [V]

Inconnue : UAB = ?

Relations : ΣUtotale = ΣUpartielle

UAB = UCD

Application numérique : UAB = 4 [V]

Le couplage parallèle modifie par contre le courant I total, car la loi des nœuds s'applique aussi.

ΣItotal = ΣIpartiel

Itotal = IC1D1 + IC2D2

Exemple :

Quel est le courant total de 2 accumulateurs, montés en parallèle et débitant 1.5 [A] et 4 [A] ?

Données : I1 = 1.5 [A] I2 = 4 [A]

Inconnue : Itotal = ?

Relation : ΣItotal = ΣIpartiel

Itotal = I1 + I2

Application numérique : Itotal = 1.5 + 4 = 5.5 [A]

7.10 Couplage série

UDC1

BC 2

A

UAB

C 1

D1

D2

UDC2

-+

-+

Ce sont les lois de Kirchhoff qui s'appliquent.

Loi des mailles :

ΣUtotale = ΣUpartielle UBA = UCD1 + UCD2

-

+

D

UDC

B

-

+

D

UDC

C C1 2

1 2A

UAB

-

+

D

UDC

B

-

+

D

UDC

C C1 2

1 2A

UAB



Exemple :

Quelle est la tension totale de 2 accumulateurs de 4 [V] montés en série ?

Données : UCD1 = 4 [V] UCD2 = 4 [V]

Inconnue : UAB = ?

Relation : ΣUtotale = ΣUpartielle

UBA = UCD1 + UCD2

Application numérique : UAB = 4 + 4 = 8 [V]

Dans un couplage série, le courant I total est constant mais limité par la charge du circuit. (loi desnœuds)

ΣItotal = ΣIpartiel Itotal = IC1D2

Sachant que le courant I est dépendant du temps t et de la quantité de charges électriques Q, nouspouvons résoudre nos différents exercices.

Exemple:

Quel sera le courant total débité par 2 accumulateurs, montés en série, dont les quantités de chargesélectriques Q sont de 500 [C] et de 500 [C], à travers une résistance R de 500 [Ω] pendant 5 [s].Nous admettrons qu'ils sont pleins à l'instant t0 et vides à l'instant t1 .

Données : Q1 = 500 [C]

Q2 = 500 [C] R = 500 [Ω]

t0 = 0 [s] t1 = 5 [s]

Inconnue : Itotal = ?

Relation : ΣItotal = ΣIpartiel Qtotale = Q1 = Q2

IQ

ttotaltotale=

t représente la différence de temps entre l'état plein et l'état vide. C'est un écart (delta) detemps donc une durée.

[ ]∆ ∆t t t= −2 1 = 5- 0 = 5 s

Application numérique : Qtotale = 500

[ ]I Atotal =−

=5005 0

100( )

UDC1

BC 2

A

UAB

C 1

D1

D2

UDC2

-+

-+

Itotal

UQ1

BC2

A

UAB

C 1

D1

D2

UQ2

-+

-+



7.11 Charge d'un accumulateur

Contrairement à une pile, un accumulateur peut être rechargé. Nous avons la possibilité, une foisl'accumulateur déchargé, de le recharger par un moyen auxiliaire appelé chargeur.

C'est-à-dire, que nous avons chargé une certaine quantité de charges électrostatiques Q.

Q = n ⋅ e [C] ou [As]

C'est pour cette raison que, dans la pratique, l'accumulateur possède la caractéristique de quantitéde charge électrostatique à disposition, appelée communément quantité d'électricité Q.

Exemple :

Un accumulateur est noté 42 [Ah] et 1.2 [V].Calculer le nombre d'électrons accumulés dans cegénérateur.

Données : Q = 42 [Ah]

e- voir tabellee- => 1.623 ⋅ 10-19 [C]

Inconnue : n = ?

Relation : Q = n ⋅ e [C] ou [As]

La première démarche consiste à transformer les [Ah] en [As]. Nous savons que nous trouvons 60fois 1 seconde dans 1 minute, mais il faut 60 minutes pour obtenir 1 heure.

( 1 seconde ⋅ 60 ) = 60 [s] 1 minute ( 1 seconde ⋅ 60 ) ⋅ 60 1 heure

( 1 seconde ⋅ 3600 ) 1 heure

Calculons maintenant la quantité de charges électrostatiques en [As]:

[Ah] = [As] ⋅ 3600 ce qui implique: [Ah]3600

= [As]

Nous devons ensuite calculer n (nombre d'électrons) Q = n ⋅ e => n = Qe

Application numérique : n = ⋅⋅

= ⋅−42 3600

1 623 109 32 1019

23

,. électrons

D

borne +

borne -

+

Ri

UDC

Accumulateur

BC

de chargeI+

U

Chargeur



7.19 Documentaire

C'est en 1882 que Thomas Edison (1847 - 1931) mis en service lapremière centrale électrique industrielle à New York. Entraînéepar des turbines à vapeur, chaque génératrice peut alimenter 1000lampes à incandescence.

1884, mise au point du transformateur des Français Lucien Gaulardet JD Gibbs, pour la transmission efficace de l'électricité. Lamême année, mise en service de la première centrale près deNîmes en France.

Michael Faraday (1791 - 1867), chimiste et physicien anglais. Lors deson apprentissage de relieur, il profite de lire de nombreux ouvrages dechimie et d'électricité. Ensuite, après avoir été assistant, il devientprofesseur de chimie en 1833.

Après ses études sur l'électromagnétisme (1821), il se consacre àl'électrostatique (1843), et les protection électromagnétiques (cage deFaraday).

Les condensateurs


Chapitre 7b

LES CONDENSATEURS

Sommaire

• Les condensateurs• Charge et décharge des condensateurs• Constante de temps• Entraînement

Introduction

Les condensateurs


7.12 CONDENSATEUR ELECTROLYTIQUE

Définition : un condensateur est un composant constitué par 2 conducteurs parallèles, appelésarmatures séparés sur toute l'étendue de leur surface par un milieu isolant de faibleépaisseur , exprimé par sa rigidité diélectrique εr (epsilon) ou permittivité relative.

Principe :

A la fermeture de S, la tension aux bornes du générateur UAB setransmet aux deux armatures. Pour obtenir le déséquilibreélectronique sur les armatures, des charges doivent se déplacer,un courant I circule pendant la charge du condensateur.

Le diélectrique n'ayant, par définition, pas d'électrons libres, ceux qui composent le courant I sontsoustraits à l'une des armatures du condensateur et viennent s'accumuler sur l'autre. L'une desarmatures devient positive et l'autre négative.

La différence de potentiel (ddp) engendrée entre les armatures provoque un champ électrique Edans le diélectrique.

En fonction du temps, une grande quantité de charges va circuler d'une armature à l'autre etdiminuer en fonction de la charge accumulée.Il est nécessaire de quantifier cette charge accumulée.

courant électrique I = nombre d'électron par secondes, en ampère [A]

charge électrique Q = nombre d'électrons, en coulomb [C]

Relation entre charge et courant

nombre d'électron par secondes ⋅ seconde = nombre d'électrons

I ⋅ t = Q

[A] ⋅ [s] = [C]

Pour un condensateur, le pouvoir d'emmagasiner descharges s'appelle la capacité.

Il est symbolisé de la façon suivante :

Nous pouvons mesurer que la tension U, entre les armatures, est proportionnelle à la chargeaccumulée.

Relation entre la capacité C, la charge Q et la tension U :

C ⋅ U = Q

[F] ⋅ [V] = [C] et également [ ][ ]

A sV

⋅=

F [ ]

+

S

+C

Symbole de la grandeur : C

Symbole de l'unité : [F] farad

+ +

Les condensateurs


Exemple :

La tension U, aux bornes d'un condensateur, s'élève à 230 [V].La charge accumulée est de 2.4 ⋅ 10-3 [C]. Calculer la capacité C du condensateur.

Données : Q = 2.4 ⋅ 10-3 [C] U = 230 [V] Inconnue : C = ?

Relation : Q C U QU

= ⋅ = C

Application numérique : [ ] C = 10.43 10 -6= ⋅ ⋅−Q

UF2 4 10

23010 43

3. . µ

Nous pouvons aussi donner l'expression de la capacité (d'accumulation) C du condensateur enfonction des dimensions du condensateur.

• A aire d'une armature en regard de l'autre [m²]

• d épaisseur du diélectrique [m]

• ε0permittivité du vide, admis de l'air exprimant avec quelle opposition les électrons

passent d'une armature à l'autre dans l'air ou le vide [F ⋅ m-1]

• εr permittivité relative de la matière du diélectrique, exprimant combien de fois

mieux que l'air, le diélectrique s'oppose au passage des électrons.

La relation qui définit la capacité est la suivante :

La capacité du condensateur : C en [F] farad

valeur de la permittivité du vide : ε0 = 8,854 ⋅ 10-12 [F ⋅ m-1]

valeur de la permittivité relative : (selon tabelle) sans unité :

air, vide = 1 papier = 2.3 gutta-percha = 4

isolation plastique câble électrique haute tension (XKT) = 4.2

Exemple :

Un condensateur plan possède les dimensions suivantes :armatures 5 [cm] de long et 6 [cm] de large, épaisseur du diélectrique 1000 [µm].

Calculer la capacité C si on admet un diélectrique constitué par de l'air.

Calculer la capacité C si on admet un diélectrique constitué par du papier.

Données : armatures 5 x 6 [cm] épaisseur d = 1000 [µm] 1 [mm]

diélectriques : air εr = 1 papier εr = 2.6

Relations : A longueur Adr= ⋅ = ⋅ ⋅largeur C ε ε0

C Adr= ⋅ ⋅ε ε0

Les condensateurs


Application numérique :

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

A longueur m

C Ad

F

C Ad

F

r

r

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅

− − −

−−

−−

−−

−−

largeur =

= = pF

= = 61.11 61.11 pF

5 10 6 10 3 10

8854 10 1 3 101 10

2656 10 2656

8854 10 2 3 3 101 10

10

2 2 3 2

012

3

312

012

3

312

ε ε

ε ε

. . .

. .

Résultats : capacité avec de l'air comme diélectrique 26.56 [pF]

capacité avec un diélectrique en papier 61.11 [pF]

7.13 Couplages des condensateurs

Dans la pratique, il est possible de coupler des condensateurs en parallèle ou en série.

Couplage parallèle

Le couplage parallèle de condensateurs a comme influence dechanger la capacité équivalente Céq vue par le générateur.

Cette capacité équivalente Céq est constituée d'un condensateurpossédant de nouvelles dimensions.

Comme nous connaissons la relation :

[ ]C Adr= ⋅ ⋅ε ε0 en F

Nous constatons que si l'aire des armatures A augmente, la capacité C va augmenter aussi, les autresparamètres ne se modifiant pas.

Exemple:

Un condensateur plan possède des armatures de 5 [cm] de long et 6 [cm] de large l'épaisseur dudiélectrique est de 1 [mm]. Nous lui en plaçons un autre, de mêmes dimensions, en parallèle.

Calculer la capacité C équivalente, si l'on admet un diélectrique constitué par du gutta-percha.

Données : armatures 5 x 6 [cm] épaisseur d = 1 [mm]

diélectrique : gutta-percha εr = 4


+ + +

C1C2

++ +

Céq

Les condensateurs



[ ]

[ ] [ ]

A longueur m

C Ad

Fr

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅

− − −

−−

−−

largeur =

= = 106.25 106.25 pF

5 10 6 10 3 10

8854 10 4 3 101 10

10

2 2 3 2

012

3

312ε ε .

Sachant que les deux condensateurs sont en parallèle et qu'ils ont les mêmes dimensions, nouspouvons doubler la surface

[ ] [ ]C Ad

Fr= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅−−

−−ε ε0

123

3128854 10 4 6 10

1 1010 = = 212.48 212.50 pF .

Résultats : capacité totale des deux condensateurs en parallèle = 212.50 [pF]

Nous pouvons donc déduire que la capacité équivalente Céq d'un montage de condensateurs, enparallèle, est égale à la somme des capacités des condensateurs.

Céq = C1 + C2 +...+ Cn ou en notation algébrique : C Ceq ii

n

==1

Couplage série

Le couplage série de condensateurs a comme influence de changer lacapacité équivalente Céq vue par le générateur.

Cette capacité équivalente Céq est constituée d'un condensateurpossédant de nouvelles dimensions.

Comme nous connaissons la relation :

[ ]C Adr= ⋅ ⋅ε ε0 en F

Nous constatons que si la distance d entre les armatures augmente, la capacité C va diminuer, lesautres paramètres ne se modifiant pas.

Exemple :

Un condensateur plan possède des armatures de 5 [cm] de long et 6 [cm] de large, l'épaisseur dudiélectrique est de 2 [mm]

Nous lui en plaçons un autre, de mêmes dimensions, en série.Calculer la capacité C équivalente, si l'on admet un diélectrique constitué par du gutta-percha.

+

+

+C1

C2

++Céq

Les condensateurs


Données : armatures 5 x 6 [cm] épaisseur d = 2 [mm]

diélectrique : gutta-percha εr = 4



[ ]

[ ] [ ]

A longueur m

C Ad

Fr

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅

− − −

−−

−−

largeur =

= = 53.12 53.12 pF

5 10 6 10 3 10

8854 10 4 3 102 10

10

2 2 3 2

012

3

312ε ε .

Sachant que les deux condensateurs sont en série et qu'ils ont les mêmes dimensions, nous devonsmultiplier la distance par deux.

[ ] [ ]C Ad

Féq r= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

−−

−−ε ε0

123

3128854 10 4 3 10

4 10 = = 26.56 26.56 pF .

Résultat : capacité totale des deux condensateurs en = 26.56 [pF]

Nous pouvons donc déduire que la capacité équivalente Céq d'un montage de condensateurs, en série,est plus petite que la plus petite capacité des condensateurs.

A l'aide des lois de Kirchhoff, nous pouvons démontrer cette diminution de capacité.

Relations : ΣUtotale = ΣUpartielle

C ⋅ U = Q en [C] coulomb

Loi de Kirchhoff : UCD = UDE + UEC

Loi de Kirchhoff remplacée par la relation : Q = U ⋅ C U QCDC

DC

eq=

mais nous pouvons aussi dire: UQC

QCDE

DE

DEEC

EC

EC= = et U

Remplaçons maintenant la relation : UDC = UDE + UEC

par la relation obtenue à l'aide des charges électriques Q:

QC

QC

QC

DC

eq

DE

DE

EC

EC= +

Ecrivons autrement cette relation en mettant en évidence les capacitésC:

QC

QC

QC

DC

éqDE

DEEC

EC= ⋅ + ⋅1 1

+

+

+CDE

CEC

D

C

E

Les condensateurs


Nous admettrons, dans notre démonstration, que les capacités C sont les mêmes:

( )QC

Q QC

DC

eqDE EC

DE= + ⋅ ⋅

1 2

Mais QDE + QEC peuvent être remplacés par QDC (loi de Kirchhoff)

( )QC

QC

DC

eqDC

DE= ⋅ ⋅

1 2

Simplifions cette relation par QDC de chaque côté du signe = :

( )QC

QC C C

DC

eqDC

DE éq DE= ⋅ ⋅

= ⋅

1 2 1 1 2

Comme nous avons admis que CDE = CEC , réécrivons notre relation:

1 1 1C C Céq DE EC

= +

Nous pouvons en tirer une relation générale, pour des couplages série à plusieurs éléments:

Céq =+ + +

11

C1

C... 1

C1 2 n

ou selon la notation algébrique : C

C

éq

ii

n=

=

1

1

1

7.14 Constante de temps ττττ (tau)

Dans un circuit série RC en série, sous une tension constante, nous remarquons au moyen d'unoscilloscope (écran télévision permettant de visualiser une tension électrique U) que le condensateurC se charge de façon non linéaire.

Les condensateurs


Il est assez facile de comparer le condensateur C à un "réservoir d'eau".

Au début de la charge, la tension aux bornes du condensateur est faible. C'est comme un bassind'accumulation d'une centrale hydroélectrique. La quantité d'eau à turbiner est faible.

Au temps t0 correspondant au début de la charge 0%. Le condensateur d'est pas chargé, il n'aaccumulé aucune charge électrique.

+

Les charges électrostatiques ou électrons vont se répartir entre les 2 armatures. Le courantélectrique I est limité par la résistance R en série dans le circuit, comme nous le voyons dans lafigure du haut de la page.

Pour le bassin d'accumulation, l'eau va s'engouffrer facilement à l'intérieur et elle n'est limitée quepar la dimension des conduites qui l'amènent au bassin.

Le temps t1 correspond à une charge partielle 63% par rapport au temps t0 où le condensateurn'était pas chargé.

+

Le temps t2 correspond à une charge partielle 87%, toujours par rapport au temps t0.+

Nous considérerons dans la technique, qu'il faut 5 fois la constante de temps τ pour pouvoirconsidérer le condensateur C comme chargé à 100 %.

Analogie au temps t5 correspondant à une charge partielle 99.9% :

+

Cette analogie s'arrête là, car dans la pratique, le condensateur C ne se chargepas de façon linéaire, mais de façon exponentielle. (voir courbe obtenue à l'aide del'oscilloscope)

Les condensateurs


7.15 Courbe de charge d'un condensateur

Nous avons placer un appareil de mesure (oscilloscope) aux bornes de la résistance R pour mesurer latension UR

Nous pouvons en déduire par la loi d'ohm que cette courbe représente la courbe du courant I dans lecircuit.

Relation: U = R ⋅ I

nous cherchons le courant I en divisant de chaquecôté du signe = par R

Cette dernière relation nous permet de calculer le courant de charge dans le condensateur, puisqueles deux éléments sont montés en série, le courant dans la résistance est identique au courant dansle condensateur.

L'oscilloscope peut également nous montrer la forme du courant de charge.

La première trace (A) de l'oscilloscope montre la forme du courant dans le circuit et la secondetrace (B) indique la tension aux bornes du condensateur.

Nous remarquons que les tangentes à l'origine des tensions et des courants coupent les asymptotesau temps correspondant au produit de la résistance R en ohm et de la capacité C en farad.

τ = R ⋅ C

[s] = [Ω] ⋅ [F] τ en secondes

Icharge =UR

R

Les condensateurs


Exemple :

Déterminer la constante de temps d'un circuit série dont la résistance R vaut 22 [MΩ] et la capacitéC 47 [pF].

Données : R = 22 [MΩ] C = 47 [pF]

Relations : τ = R ⋅ C


[ ] [ ]τ τ= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − −R C s ms22 10 47 10 1034 10 10346 12 3. .

7.16 Décharge d'un condensateur.

Les mêmes développements peuvent être appliqués pour la décharge d'un condensateur C commepour sa charge.

Au début de la décharge, la tension aux bornes du condensateur est grande. C'est comme un bassind'accumulation d'une centrale hydroélectrique. La quantité d'eau à turbiner est grande.

Analogie au temps t0 correspondant au début de la décharge 100%

Condensateur Bassin d'accumulation+

Analogie au temps t1 correspondant à une charge partielle 37%.

+

Analogie au temps t2 correspondant à une charge partielle 13%.

+

Les condensateurs


Nous considérerons dans la technique qu'il faut 5 fois la constante de temps τ. pour pouvoirconsidérer le condensateur C comme déchargé à 100 %.

Analogie au temps t correspondant à une charge partielle 0.2%

+

Cette analogie s'arrête là, car dans la pratique, le condensateur C ne se décharge pas defaçon linéaire, mais de façon exponentielle. (voir la courbe obtenue à l'aide del'oscilloscope)

7.17 Courbe de décharge d'un condensateur

Nous avons placé un appareil de mesure (oscilloscope) aux bornes du condensateur pour mesurer latension UC

Nous pouvons également tracer la courbe de décharge UC = f(t)

décharge d'un condensateur dans une résistance

t [s]

U [V]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Nous remarquons que les tangentes à l'origine des tensions et des courants coupent les asymptotesau temps correspondant au produit de la résistance R en ohm et de la capacité C en farad.

C'est comme pour la charge du condensateur. τ = R ⋅ C[s] = [Ω] ⋅ [F]

Les condensateurs


7.18 Tension de claquage

Lorsque la tension U entre les armatures augmente, le champ électrique E dans l'isolant augmenteainsi que la force F à laquelle sont soumis les électrons. Lorsque cette force F est supérieure, elleprovoque la ionisation de certains atomes. Les électrons libérés, soumis au champ électrique E , sontaccélérés et peuvent, en percutant d'autres atomes, provoquer leur ionisation et ainsi de suite.

Ce phénomène d'avalanche est appelé: courant I de claquage du condensateur.

L'isolant devient conducteur et le condensateur se décharge.

Il y a désamorçage lorsque la tension descend au-dessous d'un certain seuil.

Principales caractéristiques :

Capacité nominale:

• valeur de la capacité en farad [F] pour laquelle le condensateur a été conçu.

Tolérance:

• écart admissible sur la valeur nominale, elle n'a pas d'unité mais s'exprime en %.

Tension nominale:

• valeur de la tension continue qui peut en courant continu être appliquée au condensateur enrégime permanent.

7.19 Documentaire

C'est en 1882 que Thomas Edison (1847 - 1931) mis en service lapremière centrale électrique industrielle à New York. Entraînée par desturbines à vapeur, chaque génératrice peut alimenter 1000 lampes àincandescence.

1884, mise au point du transformateur des Français Lucien Gaulard et JDGibbs, pour la transmission efficace de l'électricité. La même année, miseen service de la première centrale près de Nîmes en France.

Michael Faraday (1791 - 1867), chimiste et physicien anglais. Lors deson apprentissage de relieur, il profite de lire de nombreux ouvrages dechimie et d'électricité. Ensuite, après avoir été assistant, il devientprofesseur de chimie en 1833.

Après ses études sur l'électromagnétisme (1821), il se consacre àl'électrostatique (1843), et les protection électromagnétiques (cagede Faraday).

Chapitre 8


Chapitre 8PUISSANCE , ENERGIE

EFFET CALORIFIQUE , RENDEMENT

Sommaire

• La puissance et l'énergie électrique• Effet Joule• Les pertes par transformation d'énergie• Rendement des installations électriques• Effets calorifiques• Exercices

8.1 La puissance

Définition : la puissance P est le produit de la tension U et du courant I, à chaque instant.

P = U ⋅ I

Symbole de la grandeur : P

Symbole de l'unité : [W] watt

Elle exprime la quantité de courant I transformé en chaleur ou en une autre énergie, dans leséléments d'un montage alimenté en régime continu.

Remarque :

Cette puissance P peut être mesurée avec un voltmètre et un ampèremètre en courant continu. Ellepeut être aussi mesurée à l'aide d'un wattmètre.

Schémas:

+

-

A

V Récepteur Récepteur

+

-

Chapitre 8


Exemple 1 :

Une lampe est connectée à un réseau de tension U continue. Les indications des différents appareilsde mesures donnent: I = 500 [mA] U = 10 [V]

Calculer la puissance P de la lampe.

Données : I = 500 [mA] U = 10 [V]

Relation : P = U ⋅ I

Résolution : [ ]P U I = ⋅ = ⋅ = P W10 0 5 5.

Représenter graphiquement la puissance P àl'aide de U et I en fonction du temps:

P f(t) et U f(t) I f(t)

Exemple 2 :

Une résistance R dissipe une puissance de 1.2 [kW]. Sachant que cette résistance R est parcouruepar un courant I de 3.54 [A], calculer la résistance.

Données : P = 1.2 [kW] I = 3.54 [A] Inconnue : R = ?

Schéma :

Récepteur

+

-

A

Relation : P = U ⋅ I ( 1 ) U = R ⋅ I ( 2 )

Analyse :

Nous connaissons le courant I et la puissance P. Nous devons chercher la résistance R.Remplaçons la grandeur I inconnue de la relation (1) par la relation (2):

Nous obtenons la relation suivante: R PI

= 2

Application numérique: ( )

[ ]R PI

= = =2 21200

35496 76

.. Ω

temps

P U I

P

U

I

Chapitre 8


8.2 ENERGIE ELECTRIQUE

Un conducteur parcouru par un courant I s'échauffe

Pour que ce conducteur s'échauffe, une source detension U doit fournir de l'énergie électrique W, quise transforme en énergie calorifique.

Symbole de la grandeur : W

Symbole de l'unité : [J] joule

ENERGIE ELECTRIQUE ---------> ENERGIE CALORIFIQUE

Wélectrique => Wcalorifique

Relation ou loi de Joule : W = R ⋅ I2 ⋅ t

Le produit de ( R ⋅ I2 ) peut être remplacé par la puissance P.(voir la loi d'ohm et la relation de lapuissance 4.20)

W = P ⋅ t

Analyse dimensionnelle: 1 [J] = 1 [W] ⋅ 1 [s]

L'énergie électrique s'exprime également en watt seconde [Ws].

1 [J] = 1 [Ws]

Dans les milieux électriques, on parle en unité courante de kilowattheure.

Comment arrive-t-on à cette unité ?

En une minute, il y a 60 secondes 60 ⋅ 1 [J] = 1 [W] ⋅ 1 minute

En une heure, il y a 60 minutes 60 ⋅ 60 ⋅ 1 [J] = 1 [W] ⋅ 1 heure

Le préfixe "kilo" signifie 1000 1000 ⋅ 3600 ⋅ 1 [J] = 1 [kWh]

Récepteur

+

-

AI

U

Chapitre 8


8.3 Pertes par effet Joule PJCes pertes représentent l'expression de l'énergie calorifique dissipée par le conducteur soumis aupassage du courant I, pendant un temps t.

[ ][ ] [ ]P W

tR I

tWss

WJ = = ⋅ =2

Nous constatons que les pertes par effet Joule sont proportionnelles au carré du courant I.

Exemple :

Une résistance R dissipe une puissance de 1.2 [kW].

Sachant que cette résistance R est parcourue par un courant I de 3.54 [A], calculer l'énergieélectrique consommée pendant 1 heure 12 minutes 27 secondes.

Données : P = 1.2 [kW] I = 3.54 [A]

Inconnue : W = ?

Schéma:

Récepteur

+

-

AI

U

Relation : W = P ⋅ t

Analyse : Il nous faut transformer les heures, minutes, secondes en une unité qui peut être soitdes heures, soit des secondes.

Choisissons de tout ramener en secondes :

1 heure = 60 ⋅ 60 ⋅ 1 [s]= 3600 [s]+ 12 minutes = 12 ⋅ 60 ⋅ 1 [s]= 720 [s]+ 27 secondes = 27 ⋅ 1 [s] = 27 [s]

4347 [s]

Application numérique : W = 1200 ⋅ 4347 = 5.22 ⋅ 106 [Ws]

Cette réponse n'est pas dans une unité appropriée à l'électricité.

Il nous faut donner l'énergie en [kWh]. Comme c'est le cas pour la facture d'énergie électriqueenvoyée par le distributeur.

Nous savons que : 3600000 [J] = 3.6 ⋅ 106 [Ws] = 1 [kWh]

Il nous faut donc diviser l'énergie W par 3.6 ⋅ 106 pour pouvoir l'exprimer en [kWh].

[ ] [ ]13 6 10

3 6 10

6

6 kWh ⋅

⋅

,,

Ws

Résultat : [ ]W = ⋅⋅

=5 22 103 6 10

1456

6,,

. kWh

Chapitre 8


8.4 PERTES PAR TRANSFORMATION D'ENERGIE

Dans les exemples précédents, nous avons admis que toute l'énergie électrique Wél étaittransformée en énergie calorifique Wcal .

Représentons-nous cette transformation d'énergie :

Wélectrique Wcalorifique

Dans la pratique, aucun système de transformation d'énergie ne s'effectue sans pertes.

Une lampe électrique transforme un courant et une tension, pendant un certain temps, en une sourced'énergie lumineuse. La lampe éclaire mais vous chauffe les mains aussi. Cet échauffement est uneénergie hors du spectre lumineux, appelée INFRAROUGE. Elle représente dans notre cas l'énergieperdue.

Wélectrique Wlumineuse

Wperdue

L'énergie W perdue est obtenue selon une relation proche des lois de Kirchhoff:

Wtotale Wutilisée

Wperdue

Wtotale = Wpartielle utilisée + Wpartielle perdue

D'un terme plus général: ΣWabsorbée = ΣWutile + ΣWperdue

Ces mots peuvent être modifiés à votre guise.

Chapitre 8


Exemple :

Une lampe absorbe un courant de 10 [A] et une tension de 48 [V] pendant 2 heures.Sachant que la température du local est montée de 2 [°C], ce qui est l'équivalent d'un radiateurd'une puissance de 200 [W] connecté.

Calculer l'énergie électrique transformée en effet lumineux.

Données : U = 48 [V] I = 10 [A] t = 2 [h] P = 200 [W]

Wélectrique Wlumineuse

Wcalorifique

Inconnue : Wlumineuse = ?

relations :

ΣWabsorbée = ΣWutile + ΣWperdue

W = P ⋅ t P = U ⋅ I

Energie électrique à disposition du réseau électrique :

Wabsorbée = P ⋅ t remplaçons P par U et I Wabsorbée = U ⋅ I ⋅ t

Wabsorbée = Wutile + Wperdue

Wperdue représente l'énergie calorifique non transformée en lumière.

Wperdue = P ⋅ t remplaçons P par U et I

isolons Wutiles en soustrayant Wperdue de chaque côté du signe =

Wabsorbée - Wperdue = Wutile

A l'aide des relations , nous obtenons:

(U ⋅ I ⋅ t) - (Pradiateur ⋅ t) = Wutile

mettons en évidence t pour avoir moins de touches de calculatrice à actionner, donc moins de risquesd'erreur:

(U ⋅ I) - Pradiateur ⋅ I = Wutile Wutiles = Wlumineuse


Wlumineuse = (48 ⋅ 10) - 200 ⋅ 2 = 560 [Wh] = 0.56 [kWh]

Chapitre 8


8.5 Rendement

Il existe aussi la possibilité de mentionner le rapport entre l'énergie Wabsorbée et l'énergie Wutile

Symbole de la grandeur : η

Symbole de l'unité : aucun

Ce rapport est appelé le rendement η (êta). Sa valeur ne peut pas être plus grande que 1 car il y atoujours des pertes.

Wà disposition Wdisponible

Wpertes

Wà disposition rendement

η =W

Wutile

absorbée

Exemple :

Un radiateur consomme une énergie électrique W de 2 [kWh].Le rendement de ce radiateur est de 0.9.

Calculer l'énergie dissipée dans le local.

Données : Wabsorbée = 2 [kWh] η = 0.9

Inconnue : Wutile = ?

Relation : η =W

Wutile

absorbée

Cherchons à isoler Wutile en multipliant de chaque côté du signe égal par Wabsorbée

η ⋅ Wabsorbée = Wutile


Wutile = 0.9 ⋅ 2 = 1.8 [kWh]

Chapitre 8


8.6 Applications du rendement

La notion de rendement peut être appliquée aux autres grandeurs que l'énergie W.

Nous pouvons l'utiliser avec des puissances par exemple.

η = =

Wt

Wt

PP

utile

absorbée

utile

absorbée

Une lampe consomme une énergie de 0.96 [kWh] en 2 heures. Sachant que la température θ du localest montée de 2 [°C], c'est comme si un radiateur d'une puissance de 200 [W] avait fonctionné.

Calculer le rendement de cette lampe.

Données : Wabsorbée = 0.96 [kWh] t = 2 [h] P = 200 [W]

Inconnue : η = ?

Wà disposition

Wlumineuse disponible

Wcalorifique

Wà disposition rendement

Relations :

ΣWabsorbée = ΣWutile + ΣWperdue

W = P ⋅ t

η =P

Putile

absorbée

Cherchons la puissance P absorbée par la lampe :

W = P ⋅ t P = P Wt

=

Cherchons la puissance utile de la lampe :

PW

tPdisponible

absorbéepertes= −

Cherchons le rendement :

η =−

=−

=

Wt

P

Wt

absorbéepertes

absorbée

0 962

0 2

0 962

058

. .

.. 58 %

Il faut bien prendre garde à utiliser des unités UNIFORMES.

Chapitre 8


Nous pouvons aussi trouver la notion de rendement dans d'autres domaines que l'électricité, parexemple en mécanique. Mais nous pouvons aussi trouver des combinaisons de conversion d'énergiemécanique Wméc en énergie électrique Wél

Prenons l'exemple d'une centrale hydroélectrique. La centrale de Verbois (près de Genève) possèdeune turbine KAPLAN et un alternateur, dont les rendements sont les suivants:

ηturbine = 0.92 ηalternateur = 0.95

Calculons le rendement global de cette centrale:

Données : ηturbine = 0.92 ηalternateur = 0.95 Inconnue : ηglobal = ?

Analyse :

Energie é lec triqueou s econdaire

P ERTES

PERTES

Alte rnateur

Turbine

Energie m caniqueou primaire

é

La partie 1 représente la totalité d'énergie primaire (hydraulique) de la rivière, soit l'entier de larivière 1. Cette valeur de 1 n'est pas très représentative, lorsque l'on parle, nous aimons exprimercette valeur en pour-cent, soit:

totalité = = =1 11

100100

soit 100 %

La partie 2 représente les pertes dues à l'opération de turbinage.Dans notre cas, le rendement de la turbine ηturbine est de 0.92 ce qui implique :

Wutile = Wabsorbée - Wutileturbine avant turbinage après turbinage

Nous avons aussi vu que η =W

Wutile

absorbée

Chapitre 8


donc, en remplaçant par cette relation, nous obtenons:

Wperdue turbine = 1 - (1 ⋅ 0.92) ou Wperdue turbine = 1 - 0.92 Wperdue turbine = 100% - 92%

Wperdue turbine = 8% Wperdue turbine = 0.08

Energie é lectriqueou s econda ire

PERTES

PERTES

Alte rna teur

Turbine

Ene rgie mé ca niqueou primaire 1 ou 100 %

0.08 ou 8 %

0.92ou92 %

La partie 3 représente l'énergie Wturbinée à disposition pour entraîner l'alternateur.

Soit le 92% ou 0.92 de l'énergie primaire de la rivière.

La partie 4 représente les pertes dues aux composants électriques de l'alternateur, aux vibrationsmécaniques et autres.

Dans notre cas, le rendement de l'alternateur ηalternateur est de 0.95 ce qui implique:

Wperdue = Wabsorbée - Wdisponiblealternateur avant l'alternateur après l'alternateur

Nous avons aussi vu que η = WW

utile

absorbée

donc en remplaçant par cette relation, nous obtenons:

Wperdue alternateur = (0.92 de 1) - (0.95 de 0.92) (92% de 100%) - (95% de 92%)

Wperdue alternateur = (0.92 ⋅ 1) - (0.95 ⋅ 0.92) 0.92 - (0.95 ⋅ 0.92)

Wperdue alternateur = 0.92 - ( 0.874 ) 0.05

Wperdue alternateur = 4.6%

Chapitre 8


Energie é lectriqueou s econdaire

PERTES

PERTES

Alte rna teur

Turbine

Ene rgie mécaniqueou prima ire 1 ou 100 %

0.08 ou 8 %

0.92ou92 %

0.05 ou 4.6 %

0.87 ou 87.4 %

0 . 9 2o u9 2 %

La partie 5 représente l'énergie secondaire W disponible.

Dans notre cas, il s'agit de l'énergie électrique Wél

Nous pouvons exprimer cette énergie secondaire Wél directement par rapportà l'énergie primaire Wméc

Wprimaire ⋅ ηturbine = Wutile

Energie é lec triqueou s econdaire

PERTES

PERTES

Alte rnateur

Turbine

Energie mé ca niqueou prima ire 1 ou 100 %

0.08 ou 8 %

0.92ou92 %

0.87 ou 87.4 %

Nous sommes au point 3 de notre représentation.

Mais cette énergie Wutile est en fait l'énergie sortie de la turbine

Wabsorbée entrée alternateur

Wutile = Wabsorbée

Chapitre 8


En appliquant une nouvelle fois la relation du rendement, nous obtenons pour l'énergie secondaire Wél :

Wabsorbée ⋅ ηalternateur = Wsecondaire

Remplaçons l'énergie Wabsorbée :

(Wprimaire ⋅ ηturbine) ⋅ ηalternateur = Wsecondaire

Nous sommes au point 5 de notre représentation.

Comme nous cherchons le rendement global, il nous faut chercher à isoler les rendements en divisantde chaque côté du signe = par Wprimaire

η ηturbine alternateurondaire mécanique

primaire m

WW

⋅ = sec

écanique

Mais le terme écanique

WW

ondaire mécanique

primaire mglobal

sec = η

Energie é le ctriqueou se condaire

PERTES

PERTES

Alternateur

Turbine

Energie mécaniqueou primaire 1 ou 100 %

0.08 ou 8 %

0.92ou92 %

0.87 ou 87.4 %

0.05 ou 4.6 %

Nous pouvons donc écrire :

ηturbine ⋅ ηalternateur = ηglobal

Application numérique : ηglobal = 0.92 ⋅ 0.95 => 0.87

ou exprimé en pour-cent : ηglobal = 0.87 ⋅ 100 => 87.4%

Selon notre développement, nous pouvons donner une loi générale lorsqu'il y a association derendements:

ηtotal = η1 ⋅ η2 ⋅ .... ⋅ ηn

Chapitre 8


8.7 EFFETS CALORIFIQUES

La transformation d'énergie électrique Wél en une énergie calorifique Wcal est couramment utilisée.

Dans les installations électriques, nous trouvons une quantité impressionnante d'appareilsdomestiques réalisant cette transformation. Par exemples :

cuisinières fours radiateurs pour le chauffage des locaux chaudière pour le chauffage d'un liquide chauffe-eau pour l'eau sanitaire lampe à incandescence

Tous ces exemples sont des applications contrôlables par l'homme.Ils sont, de ce fait, utiles.

Nous pouvons dire ceci par opposition à l'effet Joule qui, lui, n'est pas contrôlé par l'homme mais pardes lois spécifiques aux matières utilisées. (chapitre 4.21)

Pour pouvoir équiper vos maisons de ces appareils, il a bien fallu les dimensionner.

Comme nous sommes dans un domaine d'application des lois électriques, nous allons différencierl'énergie calorifique Wcal par un autre symbole de grandeur.

8.8 Energie calorifique

L'énergie transformée en énergie calorifique est symbolisée de la façon suivante:



Wélectrique

Wperdue

Q

Dans un transfert d'énergie, il y a toujours des pertes.

Chapitre 8


A

B

R

Casserole d' eau

Une cuisinière électrique doit chauffer de l'eau dans une casserole. Le but est de pouvoir calculerl'énergie nécessaire pour faire bouillir cette eau.

Phase 1

La tension électrique U appliquée aux bornes de la résistance R provoque le passage d'un courantélectrique I.

U = R ⋅ I

Phase 2

Ce circuit provoque une puissance électrique P,

P = U ⋅ I

Phase 3

qui, appliquée pendant un certain temps, engendre une énergie électrique Wél .

Wél = P ⋅ t

Phase 4

Mais ce transfert d'énergie se réalise avec un certain rendement η dû aux pertes par effet Joule(conducteurs).

Wél - Wjoules = Q

Phase 5

Cette énergie calorifique Q doit être transmise à l'élément à chauffer qui peut être soit un liquide,soit un solide.

Ce transfert se fait avec un certain rendement η.

Qabsorbée ⋅ η = Qutile

Phase 6

L'élément à chauffer va aussi avoir certaines réactions. Ces réactions seront dépendantes de:

la masse m de l'élément (solide, liquide, composition)

sa facilité de stocker l'échauffement appelé chaleur massique c

sa température θ finale désirée

sa température θ initiale

La relation qui lie les différents éléments que nous venons de citer est la suivante :

Q = m ⋅ c ⋅ ∆θ

∆θ ∆= −θ θinitiale finale ( delta écart )

Il est nécessaire de disposer d'une tabelle pour connaître les différentes chaleurs massiques c desmatières utilisées.

Chapitre 8


8.9 Masse

Nous rappelons que la masse d'un corps est donnée par rapport à un étalon de platine iridiépratiquement cylindrique égal à 1 [dm3 ] d'eau à une température de 4 [°C]

Symbole de la grandeur : m

Symbole de l'unité : [kg] kilogramme

8.10 Chaleur massique

La chaleur massique c exprime la facilité qu'a un corps de stocker de la chaleur.

Cette chaleur massique c n'est constante que dans des gammes de températures bien définies (voirtabelle)

Symbole de la grandeur : c

Symbole de l'unité : [J⋅kg-1⋅°C-1]

8.11 Température

La température exprime l'écart d'échauffement d'un corps par rapport à un point fixe de référenceoù il n'y a plus d'agitation des atomes (ou molécules).

Ce point fixe est la température absolue, soit le "zéro absolu"

Symbole de la grandeur : T

Symbole de l'unité : [K] kelvin

Le "zéro absolu" se situe à -273.16 [°C] ou 0 [K].

C'est l'unité légale de la norme SI (Système International d'unités).

Dans nos applications pratiques, nous travaillerons avec une température θ, exprimée en degréscentigrades ou celsius.

Cette unité ayant été obtenue en divisant en 100 parties égales un thermomètre mesurant de la glacefondante (admis 0°C) et de l'eau bouillante (admis 100°C) sous une pression p constante de 760 [mm]Hg (Hg est le symbole chimique du mercure)

Symbole de la grandeur : θ thêta

Symbole de l'unité : [°C] degré Celsius

Chapitre 8


8.12 Exemple pratique :

Nous désirons chauffer 4 [l] d'eau, prise au réseau d'eau à 14[°C], pour l'amener à ébullition(100 [°C]). Nous disposons d'un corps de chauffe électrique de 400 [W]. Son rendement est de 97%.

Calculer le temps nécessaire pour faire bouillir ce liquide.

Données : P = 400 [W] quantité d'eau = 4 [l]

θinitiale = 14 [°C] θfinale = 100 [°C] η = 97% ou 0.97

Inconnue : t = ?

Relations : ( )Q m c P t Qfinale initiale absorbée= ⋅ ⋅ − = ⋅ = ⋅θ θ η W Qutile

Analyse : Nous devons chercher la masse d'eau à chauffer.

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 43l dm kg kgeau= = m

Calculons l'énergie calorifique Qeau nécessaire pour chauffer l'eau:

Q m ceau = ⋅ ⋅ ∆θ

Cherchons l'énergie calorifique Qcorps de chauffe :

Qcorps de chauffe ⋅ η = Qeau

Q Qcorps de c

eauhauffe =

η

Cherchons l'énergie électrique Wél appliquée au corps de chauffe:

W Qél corps de c= hauffe

Cherchons le temps t de chauffe:

W P t W

Pélél= ⋅ = t

Remplaçons Wél par le développement effectué:

t

Q

P

m c

P

eau eau finale initiale

= =

−

η

θ θη

* *( )


[ ] [ ]t =

⋅ ⋅ −4 4183 100 140 97400

3708 64

( ), . = s 1.03 h

Wélectrique

pertes

QQ corps de=

chauffe

eau

Chapitre 8


8.13 Documentaire

James Watt ingénieur mécanicien écossais (1736-1819). Après avoir étudiéla fabrication des instruments de mesures chez un opticien, il s'établit àson compte en 1757. Ensuite, il est nommé fabricant d'instrument pourl'université de Glasgow, où il est amené à réparer la machine à vapeur deNewcomen que personne ne savait faire fonctionner correctement. En laréparant, il en étudie le fonctionnement et s'aperçoit qu'il y a une grandeperte de vapeur donc d'énergie. Cela l'amène à en améliorer lefonctionnement.

Tous ces perfectionnements lui permettent d'obtenir un brevet de fabrication en 1769. Il fondel'entreprise Boulton et Watt et commercialise ses machines à vapeur dès 1780.

James Prescott Joule, physicien anglais (1818-1889). Il est d'aborddirecteur d'une fabrique de bière, avant de se consacrer à la science.

En 1841, il formule les lois qui portent son nom et démontrent quel'énergie électrique transformée en énergie calorifique dans unconducteur, est proportionnelle à sa résistance R, au temps t et aucarré du courant I.

Léopold Nobili, physicien italien (1787 - 1835). Inventeur dugalvanomètre astatique, formé de deux aiguilles aimantées de pôlesopposés, permettant de mettre au point les premiers galvanomètres,instruments de mesure du courant électrique.

Chapitre 8


8.14 Exercices1. Quels sont les instruments nécessaires pour mesurer la puissance électrique ?

2. Donner toutes les relations qui définissent la puissance P

3. Comment peut-on déceler la puissance dissipée dans une résistance ?

4. Donner la puissance d'un grille-pain, d'un téléviseur, d'une voiture de sport

5. Où trouve-t-on l'indication de la puissance d'un moteur électrique ?

6. Citer deux exemples de pertes par effet Joule :

7. A part la chaleur, citer les autres effets de l'électricité :

8. Un ordinateur a-t-il des pertes par effet Joule ? Si oui, où se produisent-elles ?

9. Sur les aliments que nous achetons, certaines valeurs sont indiquées en joules.Est-ce normal et pourquoi ?

10. Où se trouvent les pertes lorsque l'on chauffe de l'eau dans une casserole ?

11. Pourquoi utilise-t-on de l'huile plutôt que de l'eau dans les radiateurs à accumulation ?

12. De l'eau est chauffée de 20 [°C] à 80 [°C]. Que vaut la différence de température en Kelvin ?

13. En quels matériaux sont construits les corps de chauffe ?

14. Calculer la dépense d'énergie électrique d'un radiateur parcouru par un courant de 6.5 [A],soumis à une tension de 230 [V], de 22 heures à 6 heures et de 16 heures à 17 heures 45.

15. Une lampe consomme une énergie de 7.6 [MJ]. Sachant que la tension de service est de 48 [V]et que sa résistance à chaud est de 0.87 [kΩ], calculer le temps de fonctionnement de cettelampe en heures, minutes et secondes.

16. Pour chauffer un local, un radiateur de 4 [kW] est installé. Sachant qu'il faut 3,5 minutes pouraugmenter la température du local de 1 [K], calculer la puissance d'un radiateur additionnelpour diminuer ce temps de chauffe de 100 [s].

17. Le rendement global de la Grande-Dixence est de 0.83. Calculer le rendement de l'alternateursi le rendement de la turbine est de 88%.

18. Nous posons, sur une plaque de cuisinière électrique, une casserole en aluminium de 200 [g]contenant 2 [l] d'eau à 15 [°C]. Nous désirons porter cette eau à 80 [°C] en 3.2 minutes. Nousadmettons que 20% de l'énergie est dissipée en pure perte. Calculer la puissance électriquenécessaire pour chauffer cette eau.

19. Nous portons, de 12 [°C] à 98 [°C], 1 [l] d'eau. Quelle est l'énergie mécanique si le rendementdu groupe turbine-alternateur est de 83%, le rendement du réseau électrique de 89% et lerendement de la bouilloire de 0.67 ?

Réponses : 12. Une différence de 1 [K] 1 [°C], donc ∆T = 60 [K]13 Chrome-nickel, manganine, constantan14. W = 14.576 [kWh] ou 52.47 [MJ]15. t = 33 jours 5 h 9 ' 51 '' 16. P2 = 8.4 [kW]17. η = 94.32 % 18. P = 2891.4 [W]19. W = 641.87 [J

Chapitre 8


20. Un corps de chauffe met 45 minutes 12 [s] pour chauffer une plaque de fonte de 340 [°C].Cette plaque a une dimension de 20 ⋅ 10 ⋅ 40 [cm].

Pour alimenter ce corps de chauffe de 860 [mΩ], un courant de 75 [A] est nécessaire. Calculerle rendement de cette installation de chauffage.

21. Calculer la puissance dissipée par les résistances R1 , R2

, R3, sachant que la tension du montage UAB est de 230[V].

Tableau des résistances :

R1 = R2 = 330 [Ω]

R3 = R4 = 470 [Ω]

R5 = 860 [Ω]

22. La centrale de Mauvoisin fournit au réseau une énergie de 3.6 [TWh] par jour. La quantitéd'énergie primaire se monte à 4.2 ⋅ 106 [MWh]. Calculer le rendement de la centrale.

23. Un alternateur de 0.4 [kW] (tension alternative) alimente un moteur possédant un rendementde 0.74. Ce moteur entraîne mécaniquement un générateur pour obtenir une tension continuede 60 [V]. Sur le générateur, une plaquette signalétique (carte d'identité de l'appareil) indiqueI max = 4.1 [A].

Calculer le rendement du générateur. (à I maximum)Calculer le rendement global. (moteur et alternateur)

24. Une locomotive électrique nécessite une puissance de 3000 [kW]. Le courant arrive par lacaténaire (résistance 3 [Ω]) et repart par les rails (résistance 200000 [µΩ]). La tension auxbornes de la locomotive doit être de 12 [kV].

Calculer le rendement de cette installation. De quelle nature sont les pertes ?

Réponses : 20. W = 10.56 [MJ] , P = 3.895 [kW] . Pél = 4.838 [kW] , η = 80.5 %21. PR1 = 30.3 [W] , PR2 = 5.15 [W] , PR3 = 7.34 [W]22. η = 85.7 %23. ηgénérateur = 83.1 % , ηglobal = 61.5 %24. η = 93.75 % , pertes par effet Joule.

R1 R3

R4

R2

R5

B

C

A

Chapitre 8b


Chapitre 8b

EFFET CALORIFIQUE

ENERGIE CALORIFIQUE

Sommaire

• Effets calorifiques• Energie calorifique• Exercices

8.7 EFFETS CALORIFIQUES

La transformation d'énergie électrique Wél en une énergie calorifique Wcal est couramment utilisée.

Dans les installations électriques, nous trouvons une quantité impressionnante d'appareilsdomestiques réalisant cette transformation. Par exemples :

cuisinières fours radiateurs pour le chauffage des locaux chaudière pour le chauffage d'un liquide chauffe-eau pour l'eau sanitaire lampe à incandescence

Tous ces exemples sont des applications contrôlables par l'homme.Ils sont, de ce fait, utiles.

Nous pouvons dire ceci par opposition à l'effet Joule qui, lui, n'est pas contrôlé par l'homme mais pardes lois spécifiques aux matières utilisées. (chapitre 4.21)

Pour pouvoir équiper vos maisons de ces appareils, il a bien fallu les dimensionner.

Comme nous sommes dans un domaine d'application des lois électriques, nous allons différencierl'énergie calorifique Wcal par un autre symbole de grandeur.

Chapitre 8b


8.8 Energie calorifique

L'énergie transformée en énergie calorifique est symbolisée de la façon suivante:



Wélectrique

Wperdue

Q

Dans un transfert d'énergie, il y a toujours des pertes.

A

B

R

Casserole d' eau

Une cuisinière électrique doit chauffer de l'eau dans une casserole. Le but est de pouvoir calculerl'énergie nécessaire pour faire bouillir cette eau.

Phase 1

La tension électrique U appliquée aux bornes de la résistance R provoque le passage d'un courantélectrique I.

U = R ⋅ I

Phase 2

Ce circuit provoque une puissance électrique P,

P = U ⋅ I

Phase 3

qui, appliquée pendant un certain temps, engendre une énergie électrique Wél .

Wél = P ⋅ t

Phase 4

Mais ce transfert d'énergie se réalise avec un certain rendement η dû aux pertes par effet Joule(conducteurs).

Wél - Wjoules = Q

Chapitre 8b


Phase 5

Cette énergie calorifique Q doit être transmise à l'élément à chauffer qui peut être soit un liquide,soit un solide.

Ce transfert se fait avec un certain rendement η.

Qabsorbée ⋅ η = Qutile

Phase 6

L'élément à chauffer va aussi avoir certaines réactions. Ces réactions seront dépendantes de:

la masse m de l'élément (solide, liquide, composition)

sa facilité de stocker l'échauffement appelé chaleur massique c

sa température θ finale désirée

sa température θ initiale

La relation qui lie les différents éléments que nous venons de citer est la suivante :

Q = m ⋅ c ⋅ ∆θ

∆θ ∆= −θ θinitiale finale ( delta écart )

Il est nécessaire de disposer d'une tabelle pour connaître les différentes chaleurs massiques c desmatières utilisées.

8.9 Masse

Nous rappelons que la masse d'un corps est donnée par rapport à un étalon de platine iridiépratiquement cylindrique égal à 1 [dm3 ] d'eau à une température de 4 [°C]

Symbole de la grandeur : m

Symbole de l'unité : [kg] kilogramme

8.10 Chaleur massique

La chaleur massique c exprime la facilité qu'a un corps de stocker de la chaleur.

Cette chaleur massique c n'est constante que dans des gammes de températures bien définies (voirtabelle)

Symbole de la grandeur : c

Symbole de l'unité : [J⋅kg-1⋅°C-1]

Chapitre 8b


8.11 Température

La température exprime l'écart d'échauffement d'un corps par rapport à un point fixe de référenceoù il n'y a plus d'agitation des atomes (ou molécules).

Ce point fixe est la température absolue, soit le "zéro absolu"

Symbole de la grandeur : T

Symbole de l'unité : [K] kelvin

Le "zéro absolu" se situe à -273.16 [°C] ou 0 [K].

C'est l'unité légale de la norme SI (Système International d'unités).

Dans nos applications pratiques, nous travaillerons avec une température θ, exprimée en degréscentigrades ou celsius.

Cette unité ayant été obtenue en divisant en 100 parties égales un thermomètre mesurant de la glacefondante (admis 0°C) et de l'eau bouillante (admis 100°C) sous une pression p constante de 760 [mm]Hg (Hg est le symbole chimique du mercure)

Symbole de la grandeur : θ thêta

Symbole de l'unité : [°C] degré Celsius

8.12 Exemple pratique :

Nous désirons chauffer 4 [l] d'eau, prise au réseau d'eau à 14[°C], pour l'amener à ébullition(100 [°C]). Nous disposons d'un corps de chauffe électrique de 400 [W]. Son rendement est de 97%.

Calculer le temps nécessaire pour faire bouillir ce liquide.

Données : P = 400 [W] quantité d'eau = 4 [l]

θinitiale = 14 [°C] θfinale = 100 [°C] η = 97% ou 0.97

Inconnue : t = ?

Relations : ( )Q m c P t Qfinale initiale absorbée= ⋅ ⋅ − = ⋅ = ⋅θ θ η W Qutile

Analyse : Nous devons chercher la masse d'eau à chauffer.

[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 1 43l dm kg kgeau= = m

Chapitre 8b


Calculons l'énergie calorifique Qeau nécessaire pour chauffer l'eau:

Q m ceau = ⋅ ⋅ ∆θ

Cherchons l'énergie calorifique Qcorps de chauffe :

Qcorps de chauffe ⋅ η = Qeau

Q Qcorps de c

eauhauffe =

η

Cherchons l'énergie électrique Wél appliquée au corps de chauffe:

W Qél corps de c= hauffe

Cherchons le temps t de chauffe:

W P t W

Pélél= ⋅ = t

Remplaçons Wél par le développement effectué:

t

Q

P

m c

P

eau eau finale initiale

= =

−

η

θ θη

* *( )


[ ] [ ]t =

⋅ ⋅ −4 4183 100 140 97400

3708 64

( ), . = s 1.03 h

Wélectrique

pertes

QQ corps de=

chauffe

eau

Chapitre 8b


8.13 Documentaire

James Watt ingénieur mécanicien écossais (1736-1819). Après avoir étudiéla fabrication des instruments de mesures chez un opticien, il s'établit àson compte en 1757. Ensuite, il est nommé fabricant d'instrument pourl'université de Glasgow, où il est amené à réparer la machine à vapeur deNewcomen que personne ne savait faire fonctionner correctement. En laréparant, il en étudie le fonctionnement et s'aperçoit qu'il y a une grandeperte de vapeur donc d'énergie. Cela l'amène à en améliorer lefonctionnement.

Tous ces perfectionnements lui permettent d'obtenir un brevet de fabrication en 1769. Il fondel'entreprise Boulton et Watt et commercialise ses machines à vapeur dès 1780.

James Prescott Joule, physicien anglais (1818-1889). Il est d'aborddirecteur d'une fabrique de bière, avant de se consacrer à la science.

En 1841, il formule les lois qui portent son nom et démontrent quel'énergie électrique transformée en énergie calorifique dans unconducteur, est proportionnelle à sa résistance R, au temps t et aucarré du courant I.

Léopold Nobili, physicien italien (1787 - 1835). Inventeur dugalvanomètre astatique, formé de deux aiguilles aimantées de pôlesopposés, permettant de mettre au point les premiers galvanomètres,instruments de mesure du courant électrique.

Chapitre 8b


8.14 Exercices

1. De l'eau est chauffée de 20 [°C] à 80 [°C]. Que vaut la différence de température en Kelvin ?

2. En quels matériaux sont construits les corps de chauffe ?

3. Pour chauffer un local, un radiateur de 4 [kW] est installé. Sachant qu'il faut 3,5 minutes pouraugmenter la température du local de 1 [K], calculer la puissance d'un radiateur additionnelpour diminuer ce temps de chauffe de 100 [s].

4. Nous posons, sur une plaque de cuisinière électrique, une casserole en aluminium de 200 [g]contenant 2 [l] d'eau à 15 [°C]. Nous désirons porter cette eau à 80 [°C] en 3.2 minutes. Nousadmettons que 20% de l'énergie est dissipée en pure perte. Calculer la puissance électriquenécessaire pour chauffer cette eau.

5. Nous portons, de 12 [°C] à 98 [°C], 1 [l] d'eau. Quelle est l'énergie mécanique si le rendementdu groupe turbine-alternateur est de 83%, le rendement du réseau électrique de 89% et lerendement de la bouilloire de 0.67 ?

Réponses : 1. Une différence de 1 [K] 1 [°C], donc ∆T = 60 [K]2 Chrome-nickel, manganine, constantan3. P2 = 8.4 [kW]4. P = 2891.4 [W]5. W = 641.87 [J]

Magnétisme

Chapitre 9

Sommaire

• Les effets magnétiques et leurs utilisations • Coordonnées rectangulaires et polaires • Rappels trigonométriques • Entraînement

Introduction

L'homme, depuis ses débuts sur terre, a cherché à se diriger. Le repérage d'une direction peut se faire à l'aide des astres, en repérant par exemple l'étoile polaire qui nous indique le Nord, mais ce système ne fonctionne que la nuit. Si il fait jour, il est possible de s'orienter à l'aide du soleil et en connaissant l'heure de la journée. Ainsi, la direction du Sud peut être obtenue. Malheureusement, si le ciel est couvert de nuages, ni le soleil ni l'étoile polaire ne seront visible, ce qui rendra toute orientation impossible. D'autre part, ces deux solutions ne sont valables qu'en plein air, il est impossible de les utiliser dans des locaux fermés.

Electrotechnique/15.04.98 1

Magnétisme

La seule possibilité fiable d'orientation est LA BOUSSOLE. Elle vous permet de trouver la direction du Nord en tout temps et en tout lieux, mis à part lorsque l'on se trouve au dessus des pôles magnétiques terrestres.

Cet instrument simple utilise les phénomènes magnétiques. Une des pointes de son aiguille nous indique le direction du Nord. Comme pour le courant électrique, il a été décidé par convention que la pointe de l'aiguille indiquerait le Nord, alors que cela ne correspond pas à la réalité, comme le sens conventionnel du courant électrique qui lui ne correspond pas au sens de déplacement des électrons. Dans ce chapitre, nous allons montrer l'importance de ces phénomènes que nous utilisons tous les jours, sans même nous en rendre compte.

Un peu d'histoire : C'est 600 ans av. J.C. que l'on signale pour la première fois les propriétés d'un pierre trouvée en Magnésie et appelée magnétite. On constatait qu'elle attirait les pierres de même espèce ainsi que le fer. C'est Platon qui a démontré que cette propriété se transmettait au fer. L'application des aiguilles aimantées pour la navigation est attribuée aux arabes au 11ème siècle. La première définition des pôles et des lois sur l'attraction et la répulsion sont dues à un scientifique du 13ème siècle, mais c'est Coulomb qui à réellement commencé l'étude de la quantification du magnétisme. Ensuite, un grand nombre de scientifiques, Gauss, Ampère, Faraday, Curie, et d'autres encore se sont attachés à l'étude des effets magnétiques et à leur relation avec l'électricité. Ces études continuent encore maintenant, et nous ne sommes certainement pas au bout des découvertes.


Magnétisme

9.1 Les effets magnétiques et leurs utilisations : En électrotechnique, les applications des effets magnétiques sont parmi les plus vitales pour l'industrie. Les alternateurs, les moteurs, les protections contre les perturbations extérieures (cage de Faraday). Nous portons tous sur nous des accessoires utilisant les effets magnétiques.

Malheureusement, si nous voulons étudier de façon complète les effets magnétiques, il nous faut abandonner les représentation sur un seul plan. Pour une étude correcte, il nous faudra utiliser des représentations vectorielles. Pour introduire plus facilement ces nouvelles notions, nous utiliserons un carte de géographie.

9.2 Utilisation des coordonnées et positionnement par rapport à une carte de géographie :

La carte ci-dessous est à l'échelle 50 millième. Les quadrillages nous donnent les 4 points cardinaux. En haut le Nord, en bas le Sud, à gauche l'Ouest et à droite l'Est. Chaque quadrillage est repéré par des coordonnées par rapport à une référence. Nous pouvons situer un lieu sur la carte au moyen de ses coordonnées horizontale x et verticale y .

Rechercher sur cette carte la position du village de Bassins (place du village). Marquer la position au moyen d'un crayon de couleur et relever ses coordonnées x et y.

Coordonnées du village de Bassins : [ 507.5 ; 146.5 ]


Magnétisme

L'utilisation de la carte et de la boussole nous permet également de donner la direction d'un lieu A par rapport à un lieu B. Nous utiliserons la direction du pôle Nord comme référence pour cet exemple.

A 4.1 [km] à vol d'oiseau du village de Bassins, se trouve un chalet d'alpage. Quel est le nom de ce chalet ? Méthode de recherche : Prendre un compas et tracer un cercle de rayon égal à la distance, c'est-à-dire

4.1 [km] .Attention, sur une carte au 50 millième, un centimètre vaut 500 [m] . Le rayon de notre cercle devra donc être le suivant :

1 cm500 m 1000 m 2000 m 3000 m 4000 m

carteréalité

2 cm 4 cm 6 cm 8 cm

Une fois le cercle tracé, il ne nous reste plus qu'à parcourir sa circonférence pour trouver l'endroit où se trouve ce chalet. Cette façon de faire est fastidieuse et imprécise. Il nous manque encore quelque chose pour parfaire notre technique. Il nous faut absolument fixer une position de référence et déterminer l'endroit recherché au moyen d'un angle par rapport à cette position de référence. Par exemple l'étoile Polaire ou la position du soleil peuvent être utilisés comme référence. Dans notre cas, il sera plus simple de prendre le Nord comme axe de référence. Nous déterminerons ensuite la position du chalet que nous recherchons au moyen d'un angle par rapport au Nord. L'angle sera appelé ARGUMENT et indiqué par la lettre grecque alpha α . La longueur du rayon de notre cercle sera appelée rayon vecteur et nous pourrons la tracer entre le point de départ (place du village de Bassins) et le chalet que nous recherchons. Indication suivante, le chalet se trouve à 60 ° par rapport au Nord que nous utilisons comme référence. Mais cela ne nous suffit pas, nous avons en effet deux possibilités : Prendre l'angle de 60 ° vers la gauche de la carte, ou le prendre vers la droite. Encore une fois, notre méthode n'est pas complète. Nous devons encore donner une direction à notre angle.

Une convention définit la direction à prendre.

Il s'agit du sens inverse de rotation des aiguilles d'une montre.

Pour nous faciliter le travail, nous utiliserons toujours ce sens de rotation.

Une fois tous ces points mis au clair, nous pouvons enfin récapituler et rechercher notre chalet :

Elle doit se trouver à 60 ° vers la gauche par rapport à l'axe Nord. Au moyen d'un rapporteur, nous allons tracer une axe (rayon vecteur) à 60 °, et notre chalet devra se trouver à l'intersection du rayon vecteur et du cercle que nous avons déjà tracé.


Magnétisme

Notre chalet est localisé, il s'agit de : La Dunanche

Sa position par rapport au village de Bassins est : [ 504.5 ; 148 ]

Pour déterminer sa position, nous avons utilisé le Nord comme référence,

nous appellerons donc ceci des coordonnées polaires

Les coordonnées polaires sont notées de la façon suivante :

Module et argument soit 8.2 [km] , 60 °

9.3 Retour à l'exemple de la carte de géographie : Plaçons sur la carte un arc de cercle (r = 8.2 [cm])., passant par le chalet de la Dunanche, et dont l'origine est le village de Bassins La référence est donnée par rapport à l'axe des x et non par rapport au pôle Nord comme nous l'avions fait précédemment.

Nous constatons que l'angle α entre notre axe x et la Dunanche a augmenté de 90 °. Sa valeur est maintenant de 150 °. Nous nous trouvons dans le second quadrant.

l'angle α vaut : angle Dunanche par rapport au Nord + 90 ° ⇒ 60 ° + 90 ° = 150 °


Magnétisme

9.4 Coordonnées rectangulaires :

Nous remarquons qu'il est aussi possible d'indiquer la Dunanche par rapport à un déplacement sur l'axe des x, ceci, par rapport à notre référence du village de Bassins, soit 7.2 [cm] . Mais attention, le point de référence qui est le village de Bassins constitue notre point zéro. Si nous nous déplaçons vers la droite, nous allons dans une direction positive, si par contre nous nous dirigeons vers la gauche, nous allons dans une direction négative. Nous faisons de la même manière que lorsque nous indiquons l'heure, une minute avant huit heure il est huit heure moins une, et une minute après huit heure, il est huit heure plus une minute.

Nous allons donc indiquer la position de la Dunanche de la façon suivante

x = - 7.2 [cm] et y = + 4.1 [cm]

Il s'agit de coordonnées rectangulaires que nous noterons comme ceci :

- 7.2 [cm] ; 4.1 [cm]

9.5 Cercle trigonométrique, ou cercle orienté :

0α

III

III IV

0

L'opération de tracer un cercle de rayon 1 autour d'un point de référence et à un axe de référence nous amène au cercle trigonométrique.

Le module peut faire une révolution de 360 °, mais il peut aussi faire plusieurs tours.

Le cercle trigonométrique peut être séparé en plusieurs quadrants notés en chiffre romains de I à IV. Nous utiliserons toujours notre convention pour le sens de rotation, soit le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens trigonométrique). Pour séparer ces quadrants, nous allons tracer deux axes, un axe horizontal (x) et un axe vertical (y).


Magnétisme

Exemple :

0

45°

-45°

Dans ce cercle, nous avons tracé deux modules. Le premier avec un argument de 45 ° et le second avec un angle de -45 ° . Constatations : • Nous constatons que leur module, ou intensité du vecteur sont les mêmes.

• Par contre leurs sens sont les mêmes par rapport à la référence.

• Mais leurs directions sont différentes.

• Il est très important de se rappeler de ces termes :

intensité, sens et direction

• Ce sont eux qui définissent les vecteurs.

9.6 Cercle trigonométrique :

Dans la pratique, le fait d'avoir projeté le module avec son argument, par rapport à un axe vertical ou horizontal, peut se faire à l'aide des fonctions trigonométriques appelées

sinus et cosinus

Le module représente l'amplitude du rayon vecteur du cercle et l'argument la phase ou l'angle qui le sépare de l'axe des x.

9.7 Fonction sinus :

α

sin α

y

x

La fonction sinus symbolisée par sin est la projection sur l'axe y du cercle trigonométrique du module et de son argument.


Magnétisme

α

cos α

y

x

9.8 Fonction cosinus : La fonction cosinus, symbolisée par cos, est la projection sur l'axe x du cercle trigonométrique du module et de son argument.

9.9 Relations :

α

adj

hyp.opp.

x

y opp. ⇒ côté opposé à l'angle α

adj. ⇒ côté adjacent à l'angle α formant un angle droit avec le côté opposé

hyp. ⇒ module

α ⇒ angle ou argument

sinα =opphyp

cosα =adjhyp

tg oppadj

α =

9.10 Rappel de quelques définitions trigonométriques Les représentations vectorielles que nous venons de faire sur le carte comportent toutes un angle droit (90 °) entre l'axe des x et l'axe des y. Nous pouvons donc l'assimiler à un triangle rectangle dont l'hypoténuse serait représentée par le module.

Pythagore ( philosophe et mathématicien grec 500 av. J.-C. ) a démontré que l'hypoténuse d'un triangle rectangle, élevée au carré, est égale à la somme des côtés élevés au carré. Cette démonstration se traduit mathématiquement par :

hypothénuse2 = côté opposé2 + côté adjacent2

opp.

adj.

hyp.

α

Si nous appliquons ce théorème au cercle trigonométrique dont le module m vaut 1, nous arrivons à la relation suivante :

sinus

cosinus

module

α

hypothénuse2 = côté opposé2 + côté adjacent2

module2 = (module ⋅ sin α)2 + (module ⋅ cos α)2


Magnétisme

Nous pouvons simplifier cette formule en divisant chaque côté de l'égalité par la valeur " module2 "

( )modmod

mod sin (mod cos )mod

uleule

ule uleule

2

2

2 2

2=⋅ + ⋅α α

ce qui implique : 1 = sin2 α + cos2 α Dimensions d'un triangle rectangle :

a

b

c

α

β

h

a ⇒ côté opposé à l'angle α

b ⇒ côté adjacent à l'angle α

c ⇒ hypoténuse

h ⇒ hauteur

la somme des angle est toujours égale à 180 ° Aire du triangle rectangle : A a b

=⋅2

hauteur = A ⋅ c2

Pour d'autres compléments, il sera nécessaire de consulter un formulaire technique.

9.11 Entraînement 1. Comment s'appelle le rayon du cercle dans une représentation vectorielle ?

2. En combien de quadrants est décomposé le cercle trigonométrique ?

3. Quelle est la différence entre une valeur lue sur l'axe des x dans le premier quadrant et une valeur lue sur l'axe des x du troisième quadrant ?

4. Quel est le sens de rotation du module ?

5. Donner quelques exemples d'accessoires quotidiens utilisant les effets magnétiques :

6. Qu'est-ce qu'une coordonnée polaire ?

7. Qu'est-ce qu'une coordonnée rectangulaire ?

8. Qu'obtient-on en divisant le cosinus d'un angle par le sinus du même angle ? Effectuer un développement littéral et sans utiliser la calculatrice.

9. Qu'obtient-on en divisant le sinus d'un angle par le cosinus du même angle ? Effectuer un développement littéral et sans utiliser la calculatrice.


Magnétisme


10. Calculer la valeur ou les valeurs manquante(s) dans les énoncés suivants sans utiliser le théorème de Pythagore α = 56° module = 17.5 [cm] adj. = ? opp. = ?

adj. = - 66 [cm] opp. = - 58 [cm] α = ? hyp. = ?

α = 135° opp. = 22 [cm] adj. = ? hyp. = ?

adj. = - 35 [cm] module = 47 [cm] α = ? opp. = ? 11. Un observateur couché sur le sol voit la Tour Eiffel sous un angle de 16.66 °. A quelle distance se trouve-t-il de la Tour, sachant qu'elle mesure 300 [m] de hauteur ? 12. Une route rectiligne longue de 2.5 [km] s'élève d'un angle de 22°14'. Quelle est la distance parcourue à vol d'oiseau et quelle est la différence d’altitude effectuée ? 13. Calculer la distance entre Lausanne et la centrale nucléaire de Mühleberg, si notre référence (Lausanne-Ouchy) est située à [538 ; 151]. La situation de la centrale nucléaire est donnée par le couple [587 ; 201] La carte que nous utilisons est à l'échelle 1 : 100'000. Compléter le tableau suivant : (longueurs en [cm)

α cosα β sinβ a b c A h 1

24°40'

0.908

65.33

0.908

5

10.9

12

27.25

4.54 2

0.876

15

3

12°30'

18

4

0.136

25

5

58

16

6

0.27

25

7

27°44’

10

8

13.5

30

9

53.16

20

Réponses : 10. adj. = 7.78 [cm] opp. = 14.51 [cm] α = 41.3 [°] hyp. = -87.8 [cm] adj. = -22 [cm] hyp. = -31.1 [cm] α = 138.1 [°] opp. = 31.3 [cm] 11. distance = 1002.5 [m] 12. distance = 2.31 [km] altitude = 945.81 [m] 13 distance = 140 [km]

¨ Instruments de mesure


Chapitre 9a

LES DIFFERENTS TYPES

D'INSTRUMENTS DE MESURE

Sommaire

• Le multimètre• L'oscilloscope• Le fréquencemètre• le wattmètre• Le cosphimètre• Le générateur de fonctions• Le traceur de Bodes

Les instruments de mesure :

Dans ce cours, nous ferons souvent appel à des mesures effectuées au laboratoire. Pour biencomprendre ces mesures et en interpréter les résultats, il est impératif de bien connaître lesinstruments utilisés.

Dans les pages qui suivent, nous allons en décrire le fonctionnement et l'utilisation des instrumentsde laboratoire le plus souvent utilisés en électrotechnique.

Le multimètre :Le multimètre est le plus connu et le plus utilisé des instruments de mesure. Il permet de mesurerdes tensions et des courants en continu et en alternatif.

La position ohmmètre permet de mesurer des résistances ainsi que la résistance ohmique descircuits ou des autres éléments.

Les multimètres récents affichent les résultats des mesures avec des nombres (digits) quiapparaissent sur un écran (display).



Les anciens modèles de multimètres sont équipés d'une aiguille mobile. Ce sont des instruments àcadre mobile. L'aiguille se déplace sur une échelle graduée et sa position nous indique la valeurmesurée.

Certains multimètres possèdent également une position qui permet de mesurer des affaiblissementsou de gains. Il s'agit de rapports de niveaux de tension exprimés en décibels dB.

Symboles de schéma :

L'oscilloscope :

Comme les téléviseurs, l'oscilloscope est équipé d'un écran sur lequel il affiche la forme de la tensionprésente sur son entrée. La plupart des oscilloscopes sont équipés de deux entrées et ils permettentde visualiser deux tensions simultanément.

V A Ω

voltmètre ampèremètre ohmmètre



Remarque : L'oscilloscope ne peut mesurer que des tensions. Sa résistance interne esttrès grande (> 1 [MΩ] ) et il n'est pas possible de mesurer un courant sansréaliser un montage spécial.

Lors de l'utilisation d'un oscilloscope à deux entrées, il fautêtre très attentif au raccordement. En effet, les communsdes deux entrées sont reliés ensemble et cela pourraitprovoquer un court-circuit.

L'oscilloscope est un instrument de mesure très pratique et capable demesurer toutes les formes de tensions.

Il est composé des éléments de commande suivants :

entrée A entrée B

écran divisions verticales pour la tension

forme de la tensionsur une entrée

divisions horizontales pour le temps

sélection de l'entréeen alternatif CA ou en continu CC

la vitesse de balayagedu spot sur l'écran

correspond au temps par division

masse pour la mesurecommune aux deux entrées

le déclencheurpermet de stabiliserla trace sur l'écran

la sensibilité de l'entréecorrespond à la tensionpar division sur l'écran

Avec un peu de pratique, l'oscilloscope devient très rapidement uninstrument pratique pour effectuer toutes les mesures de tensions.

oscilloscope



Les oscilloscopes se présentent de différentes façons. Suivant leur utilisation, ils sont équipés d'uneou de deux traces.

Ci-dessus, un modèle d'oscilloscope double traces. Il permet de mesurer des fréquences jusqu'à60 [MHz] et ses commandes sont électroniques.

Il existe maintenant des analyseurs de spectreportable qui ressemblent à un multimètre.

Leur affichage permet d'indiquer la valeur de latension ou du courant mesuré, et il visualiseégalement la forme du signal.



Le fréquencemètre :

Il existe plusieurs modèles différents de fréquencemètres, suivant lamesure désirée.

• Electronique : La fréquence est affichée sur un écran, comme pour lemultimètre numérique. Certains multimètres possèdent uneposition de mesure de la fréquence.

• Mécanique : Des lamelles de tailles différentes sont mises en vibration. Leslamelles vont se mettre en vibration en fonction de leur longueuret la fréquence mesurée. Ces instruments sont utilisés dans lestableaux électriques pour mesurer la fréquence du réseau.

Fréquencemètre numé-rique. Son affichagepermet une lectureaisée de la valeur de lafréquence.

Ces instruments sontégalement appeléscompteur car ilspermettent demesurer des duréesd'impulsions

Fréquencemètre mécanique à lamelles.

La lecture de la fréquence s'effectue de la manière suivante. Les lamelles sont montées sur unélectroaimant et sont soumises au champ magnétique alternatif. Elles se mettent en vibration etoscillent plus ou moins fortement en fonction de leur longueur.

fréquencemètre

f



Le wattmètre :La mesure de la puissance peut être effectuée par un instrument simple. Il affiche le résultat duproduit de la tension par le courant en tenant compte du déphasage entre les deux valeurs. Cesinstruments sont utilisés pour les tableaux électriques ou pour certaines mesures spéciales.

Le cosphimètre :

Instrument complémentaire au voltmètre et à l'ampèremètre pour les mesuresen alternatif. Le cosphimètre est utilisé pour contrôler le facteur de puissanced'une installation ou d'un récepteur.

Suivant la position de l'aiguille, il est possible de déterminer si le récepteur oul'installation a un comportement inductif ou capacitif.

Remarque : le wattmètre et le cosphimètre existent également en version numérique. Leurlecture en est facilitée et plus directe.

wattmètre

cosphimétre

ϕ



Le générateur de fonctions :

Le générateur de fonctions est particulièrement utilisé aulaboratoire. Il permet de générer des signaux de formesdifférentes, sinusoïdale, triangulaire et carrée.

Il permet de simuler et d'effectuer des mesures sur des circuits électriques ou électroniques avecdes tensions faibles.

Le traceur de Bode :

Le traceur de Bode est un instrument peu courant. Il est utilisé pour visualiser des courbes detensions ou de phases. Il se raccorde à l'entrée et à la sortie du circuit à mesurer et trace la courbede la modification de la tension ou de la phase entre l'entrée et la sortie.

Le traceur de Bode est très utile pour déterminer les caractéristiques d'un amplificateur, d'unfiltre ou d'une ligne de transmission.

~

générateursinusoïdal

générateurtriangulaire

générateurcarré



Questionnaire

1. Quelle précaution faut-il prendre avant de faire une mesure avec un ohmmètre ?

2. Que peut-on mesurer avec un multimètre sur la position dB ?

3. Citer deux avantages d'un multimètre numérique par rapport à un instrument à aiguille ?

4. Quel est l'avantage de l'oscilloscope par rapport au multimètre ?

5. Pourquoi n'est-il pas possible de mesurer un courant avec un oscilloscope ?

6. Combien de fils faut-il raccorder pour faire une mesure avec un wattmètre et pourquoi ?

7. Dessiner ci-dessous un schéma électrique comportant un moteur branché sur le réseau.Raccorder les instruments pour mesurer la tension, le courant, la puissance, la fréquence,le déphasage et la forme de la tension sur le moteur.

Exercices

1. La base de temps (ou vitesse de balayage) est réglée sur 250 [µs ⋅ cm-1]. Une tensionalternative sinusoïdale est visualisée avec une échelle de 20 [V ⋅ cm-1]. Le cycle complets'étend sur 4 [cm].

Calculer : la fréquence de cette tension.

la tension de crête du signal dont l'amplitude est de 5.6 divisions.

la tension efficace du signal.

3. Une tension U sinusoïdale alternative de 230 [V] 50 [Hz] est mesurée à l'aide d'unoscilloscope.

Quelle devra être la vitesse de balayage pour obtenir deux cycles complets sur l'écranpossédant 10 divisions ?

Quelle sera l'échelle de l'amplitude, si celle-ci mesure 6.4 divisions ?

4. Une tension U carrée alternative de 230 [V] 50 [Hz] est mesurée à l'aide d'un oscilloscope.





5. Une tension U triangulaire alternative de 230 [V] 50 [Hz] est mesurée à l'aide d'unoscilloscope.



6. Une tension U sinusoïdale alternative de 230 [V] 50 [Hz] est mesurée à l'aide d'unoscilloscope.

Quelle devra être la vitesse de balayage pour obtenir trois cycles complets sur l'écranpossédant 10 divisions ?


Calculer la valeur de la tension U après :1 division4 divisions6.8 divisions7.5 divisions

Solutions :

Matériaux et propriétés magnétiques

Electrotechnique / Editions de la Dunanche /septembre 2000 1

Chapitre 10a


Sommaire

• Les matériaux magnétiques• Champ magnétique et lignes de force• Champ d’induction et flux• Bobine avec et sans noyau magnétique• Effet Hall• Forces électromagnétiques• Cycle d’Hystérésis• Exercices

IntroductionTout comme le courant électrique, nous ne pouvons que constater les effets du magnétisme.Nous ne pouvons pas voir les lignes de force qui existent autour d'un aimant. Les propriétésmagnétiques de certains matériaux sont dues à la rotation des électrons sur eux-mêmesdans l'atome.

Ce phénomène est appelé SPIN.

Les matériaux magnétiques sont classés en trois catégories.

1. Matériaux ferromagnétiques : Ils peuvent être fortement magnétisés.Leur aimantation persiste plus ou moinslorsque le champ magnétisant est supprimé.

Exemples : Fer , Nickel , Acier , Cobalt

2. Matériaux paramagnétiques : Ils s'aimantent faiblement dans le sens duchamp magnétisant. Leur aimantation cessedès que le champ magnétisant est supprimé.

Exemples : Aluminium , Platine , Manganèse

3. Matériaux diamagnétiques : Ils s'aimantent faiblement dans le sens opposéau champ magnétisant. Leur aimantation cessedès que le champ magnétisant est supprimé.

Exemples : Cuivre , Zinc , Or , Argent



Pour expliquer ces différents types d'aimantation, il faut considérer le moment magnétiquede chaque atome et celui d'une parcelle de corps comprenant un grand nombre d'atomes.

Le moment magnétique atomique résulte desmouvements des électrons qui gravitent autour dunoyau et qui en même temps tournent sur eux-mêmes.

La rotation de l'électron sur lui-même, Spin,provoque un moment magnétique

!Ms .

La rotation de l'électron e- , charge électriquenégative, autour du noyau provoque un momentmagnétique

!Mo .

Dans un atome, ces différents moments magnétiques se composent pour donner le

Moment magnétique atomique ! ! !M M Ma o s= +Σ

Pour les matériaux diamagnétiques, ce moment !Ma est nul. Pour les matériaux

paramagnétiques, il n'est pas nul, mais les moments de l'ensemble des atomes est nul.

Pour les matériaux ferromagnétiques, des parcelles de matières appelées domaines deWeiss, ont un moment magnétique

!Ma non-nul. Mais, en l'absence de champ magnétique

extérieur, l'ensemble des moments de ces parcelles s'annulent les uns les autres.

en présence d'un champ magnétisant extérieur, le corps s'aimante et toutes les parcellesde ce corps présentent un moment magnétique. L'aimantation ainsi obtenue dépend de lanature du corps.

ω

Mo

Mse-



Les matériaux diamagnétiques s'aimantentproportionnellement au champ dans lequel ilssont placés, mais en sens inverse.

Le rapport entre la valeur de l'aimantation ducorps et celle du champ qui le produit estfaible

Les matériaux paramagnétiques présententune aimantation proportionnelle au champ danslequel ils sont placés, et de même sens.

Le rapport entre la valeur de l'aimantation ducorps et celle du champ qui le produit estfaible

Les matériaux ferromagnétiques sont capablesde s'aimanter de manière beaucoup plus forte.

Leur aimantation est de même sens que lechamp inducteur, mais elle n'est pasproportionnelle. Elle croît avec le champinducteur et tend vers une limite.

Les matériaux que nous allons étudier font partie de la dernièrecatégorie. Ce sont eux qui sont utilisés pour toutes lesapplications magnétiques en électrotechnique.

H

Bd

[A/m]

[T]

H

Bp

[A/m]

[T]

H

Bf

[A/m]

[B]



10.1 Les aimants permanents

Les aimants permanents ont d'abord été élaborés à partir d'acier ou de chrome-cobalt.Vers 1935, on a commencé à étudier des alliages de fer-aluminium, nickel, cobalt et cuivre.Ces alliages fondus ou frittés sont connus sous le nom de ticonal ou alnico. En 1951, on autilisé les ferrites de baryum et de strontium. Actuellement les alliages ticonal et ferritessont employés couramment et sont les deux types de matériaux à aimants permanents lesplus utilisés.

Avec les matériaux modernes, la désaimantation due au vieillissement ou à l'action d'unchamp magnétique (pas trop intense), peut être considérée comme négligeable. Cettepropriété permet d'ailleurs de réaliser des aimants présentant des pôles de nom contrairestrès proche les uns des autres. Ces différentes propriétés ont permis d'abandonner lesforme classiques d'aimants permanents en fer à cheval ou en long barreau. Il estmaintenant possible de réaliser des aimants de formes diverses et très pratiques.

Dans les appareils de mesures électriques (galvanomètres, ampèremètres et voltmètres), ilsont permis notamment une grande amélioration de la sensibilité et de la fiabilité. Danscertains moteurs et certains générateurs (alternateurs de voitures, dynamos, magnétos), ilssont employés à la place d'électroaimants. On les emploie aussi en électronique pour leshaut-parleurs et les microphones.

Barreau non aimanté Barreau aimanté

plaque supérieure

plaque inférieure

pièce polaire

aimant permanenten Ferroxdure

Pierre de Magnésie Aimant permanent pour haut-parleur



10.2 Champs magnétiques

Dans la région autour d'un aimant permanent, il existe un champ magnétique que l'on peutreprésenter au moyen de lignes de force magnétique semblables aux lignes de forceélectrique.

Contrairement aux lignes de force électrique, les lignes de force magnétique ne partentd'aucun point et n'arrivent à aucun point; elles se présentent plutôt sous forme de boucles.

N S

b

a

Les lignes de force vont du pôle nord au pôle sud, à l'extérieur du barreau aimanté, et dupôle sud au pôle Nord à l'intérieur. Elles sont également espacées et symétriquementdistribuées autour du barreau.

Les lignes de force occupent la plus petite aire possible et leur longueur interpolaire estminimale. La force du champ magnétique d'une région quelconque dépend directement dunombre de ligne de force par aire unitaire. Dans la figure ci-dessus, l'intensité du champest deux fois plus grande au point a par rapport au point b, alors que les deux aires sontidentiques.

10.3 Intensité du champ magnétique :

L'intensité du champ magnétique "H présente les mêmes caractéristiques que le champ

électrique !E .

Par analogie au champ électrique !E , nous constatons que lors

de leur déplacement les charges électrostatiques !Q

provoquent une force électromagnétique !F capable d'attirer

les aiguilles d'une boussole.

Symbole de la grandeur : H

Symbole de l'unité : [ A ⋅ m-1 ] ou Am

Q Q



10.4 Potentiel magnétique Θ :

Dans le vide ou dans l'air, l'intensité du champ magnétique "H est une source de courant et

peut être définie par la notion de potentiel magnétique.

Symbole de la grandeur : Θ

Symbole de l'unité : [ A ]

Pour imaginer cette notion de potentiel, comparons-la au débit des voitures sur uneautoroute à trois pistes.

Chaque piste est un tube de circulation routière possédant sur une longueur bien définie unnombre de voitures différent à cause des différentes vitesses. Nous pouvons donc lacomparer à un certain potentiel de passage de voitures.

Piste normale

Piste rapide

Piste lente

Début du comptage Fin du comptage

distance parcourue

Départ Arrivée

10.4 Différence de potentiel magnétique :La différence de potentiel magnétique est définie comme la présence d'une intensité dechamp magnétique

"H entre les points A et B. Les charges se déplaçant dans l'air avec une

certaine facilité.

Relation : Hd

ABA B= −Θ Θ

Θ ΘA B



10.4 Lignes de force ou lignes d'induction :

Les lignes d'induction ou lignes de force représentent les vecteurs du champ d'induction !B

influençant l'espace.

10.5 Spectre magnétique :

Le spectre magnétique représente L'ENSEMBLE des lignes de force.

N SN S

Ces lignes de force sont issues d'un pôle admis par convention pôle Nord,perpendiculairement à l'aire A, passant dans un milieu pouvant être l'espace ou autre, pourse refermer à un autre pôle admis par convention Sud.

Chaque ligne de force se referme obligatoirement. Comme pour le courantélectrique I, elle circule en circuit fermé.

Ce qui implique une ligne de force circulant du pôle Sud au pôle Nord à l'intérieur del'élément constituant le générateur de champ d'induction B. Ce générateur peut être unaimant permanent, un électroaimant ou un courant passant dans un conducteur.



10.6 Exemples de spectres magnétiques

Champ magnétique d'un aimant permanent Champ magnétique terrestre

En minuscule :

Pôles magnétiques de la Terre. La boussole s'oriente versces pôles.

Nous constatons également que les pôles magnétiques sontinversés par rapport aux pôles géographiques.

En Majuscule :

Pôles géographiques de la Terre. Ils correspondent à l'axede rotation terrestre et sont décalés d'environ 15 ° parrapport aux pôles magnétiques.

10.7 Comportement des lignes de forces :

Lorsqu'un objet non-magnétique est placé dansles lignes de forcemagnétique, il n'y a aucunemodification. Les lignestraversent l'objet sanschanger de trajectoires.

Nord

Sud

S

Ns

n

N SN S

verre



fer doux

S

N SN S

N

Si l'objet placé dans les lignes de force a des propriétés magnétiques, les lignes de forceseront déviées. Un pôle Nord et un pôle sud vont apparaître sur les côtés de l'objet.

Cette particularité est utilisée pour protégercertains appareils sensibles au champ magnétique.

Dans notre exemple, le récepteur radio se trouveprotégé des perturbations magnétiquesextérieures par un blindage en fer doux.

10.8 Perméabilité du vide µ0 ( mu zéro ):

Les matériaux magnétiques laissent passer les lignes de force avec une certaine facilité. Ilssont caractérisés par une perméabilité relative. La perméabilité relative est symbolisée parla lettre grecque µ (mu). Elle représente la facilité avec laquelle les lignes de forcemagnétiques peuvent s'établir dans le matériau. Pour l'air, elle a été définieexpérimentalement, et représente une référence.

Symbole de la grandeur : µ0

Symbole de l'unité : WbA m⋅

ou [ V ⋅ s ⋅ A-1 ⋅ m-1 ]

Tous les matériaux ont une perméabilité. Même s'il ne s'agit pas de matériaux magnétiques,comme le vide par exemple. L'air se comporte de façon identique au vide. Sa perméabilitéest symbolisée par µ0 et elle est donnée par la relation suivante :

µ π07 1 14 10= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− − − [ ]V s A m

µ06 1 1125 10= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− − −. [ ] V s A m

fer doux

radio



10.9 Perméabilité relative µr

La perméabilité relative est la valeur dont il faut tenir compte lorsque nous introduisons unnoyau dans une bobine. Pour les matériaux non-magnétique elle a été admise comme 1,puisque ces matériaux ne facilitent pas le passage des lignes de force.

Par contre, il n'est pas possible de faire pareil avec les matériaux magnétiques. Ils ont tousun comportement différent en fonction de leur composition. C'est pourquoi leurperméabilité à été appelée perméabilité relative. Elle est symbolisée par µr .Elle qualifie lafacilité avec laquelle les charges magnétiques peuvent se déplacer dans le matériau.

La valeur de µr varie fortement d'un matériau à un autre. Le tableau ci-dessous donnequelques valeurs indicatives. Pour certains matériaux, la valeur de µr est comprise entre unminimum et un maximum. Nous verrons plus tard que la perméabilité relative dépend de lavaleur de l'induction

!B .

Symbole de la grandeur : µrIl n'y a pas d'unité

10.10 Tableau de la perméabilité des principaux matériauxmagnétiques

Matériau Composition Perméabilité relative µr

Utilisation

Fer Armco Fer pur 10'000 relais,électroaimant

AcierHypersyl

Si à 3 % 40'000 à50'000

inductancestransformateurs

MumétalPermalloy C

Ni à 80 % 70'000 à130'000

blindagesmagnétiquesrelais rapides

Acier au cobaltPermendur V

Co à 35 - 50 % 3'500tôles pourpetites machinestournantes

Relation entre l'intensité du champ magnétique !H , la perméabilité de l'air µ0 et la

perméabilité relative µr .

Les charges Q se déplaçant dans un tube magnétique avec une certaine vitesse provoquentune force électromagnétique

!F .



Cette force est liée à la matière du tube magnétique et à l'intensité du champ magnétique !H .

FQ v

Hr⋅

= ⋅⋅µ µ0

Le quotient F

Q v⋅ est appelé champ d'induction magnétique

!B

Nous obtenons donc la relation suivante, en admettant la perpendicularité entre lesvecteurs :

B Hr= ⋅ ⋅µ µ0

10.11 Champ d'induction magnétique B :

Au voisinage des aimants permanents et des conducteurs de courant électrique, c'est-à-dire à proximité des charges électriques en mouvement, l'espace se trouve modifié par unchamp d'induction magnétique.

Symbole de la grandeur : B

Symbole de l'unité : [T] tesla

Une induction de 1 tesla correspond à un flux magnétique de 1 weber pour une surface de 1 [m2]

Une fois de plus, l'induction ne peut être mise en évidence que par ses effets.

Valeurs moyennes du champ d'induction magnétique B

Terre 0.3 [µT] électroaimant 0.1 à >1 [T]

Soleil 5 [mT] aimant àsupraconducteur

> 10 [T]

Pour décrire les propriétés de l'espace, il faut donner uncaractère vectoriel à la grandeur

!B. La force

électromagnétique !F, exercée sur les charges électriques,

peut être caractérisée par un vecteur représentant unensemble forces électromagnétiques élémentaires.

B

I

B



Une bobine de grande longueur et comportant un grand nombre de spires circulairesjointives est appelée un solénoïde. Lorsqu'un courant électrique traverse cette bobine, uneinduction B est produite. Le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est presqueuniforme, ce qui représente un avantage.

10.12 Propriétés du champ d'induction B :

Dès qu'un courant traverse un conducteur, des lignes de force magnétiques s'établissentautour de lui. On peut définir la DIRECTION des lignes d'induction comme circulaire parrapport au conducteur parcouru par le courant I.

Le SENS des lignes de forces est défini par plusieurs règles. Celle de la main droite, dutire-bouchon, ou celle de la vis.

Dans les dessins, nous trouverons toujours le courant dans les conducteurs représenté de lamême manière. Elle se rapporte à la règle de la vis. Lorsque le courant pénètre dans leconducteur, on voit la tête de la vis, nous dessinerons donc une croix. Lorsque le courantsort du conducteur, nous verrons la pointe de la vis et nous dessinerons un point.

Le point indiqueque le courant sort

du conducteur.

La flèche donne lesens des lignes de force

La croix indiqueque le courant entre

dans le conducteur.

La flèche donne lesens des lignes de force



Dans le cas de la règle de la main droite, le pouce indique le sens du courant et les doigts lesens des lignes de force.

Règle du tire-bouchon Règles de la main droite

Règle de la vis.

10.13 Champ d'induction d'une bobine dans l'air (sans noyau) :

Soit une bobine parcourue par un courant électrique. Des lignes de force magnétique vontêtre crées par le passage du courant et une induction B va apparaître.

L'induction B sera égale à :

B H= ⋅µ0 en tesla [T]

Dans notre cas, le champ H représente les ampères-tours par mètre de la bobine.

N ⇒ nombre de spire de la bobine (sans unité)

I ⇒ intensité du courant dans la bobine [A] H N Il

= ⋅

Am

l ⇒ longueur de la bobine [m]

Remarque : Ce calcul n'est valable que pour une bobine longue avec une seule couche despires.



10.14 Champ d'induction d'une bobine avec noyau

Comme nous l'avons vu au chapitre des propriétés magnétiques, les matériaux magnétiquesconcentrent les lignes de force. Si nous reprenons la bobine précédente et que nous plaçonsun noyau, l'induction augmentera.

La perméabilité relative µr du noyau va définir l'augmentation de l'induction.

L'induction B sera égale à : B Hr= ⋅ ⋅µ µ0 en tesla [T]

Comme pour la bobine sans noyau, le champ Hreprésente les ampères-tours par mètre de labobine.

Remarque : L'augmentation du courant I va provoquer une augmentation de l'inductionB, mais jusqu'à une valeur limite. Cette valeur est déterminée par lescaractéristiques du noyau et provient de sa saturation.

10.15 Flux magnétique Φ : (phi)

Le flux magnétique Φ quantifie le nombre de lignes de force d'un champ d'induction B,traversant l'aire A d'une matière.

Symbole de la grandeur : Φ

Symbole de l'unité : [Wb] weber

Le flux d'induction magnétique Φ représente le produit de l'induction magnétique B pourune aire A bien délimitée.

Cette aire peut être oblique ou, dans notre cas, perpendiculaire au champ d'induction B.

Relation : Φ = ⋅ ⋅B A cosα [Wb]

B ⇒ induction magnétique [T] A ⇒ aire de l'aimant [m2] α ⇒ angle d'inclinaison [°]

Par analogie avec la population humaine, nous pouvons dire que :

• la densité de population en nombre de personne par [km2] peut êtrecomparée au champ d'induction magnétique B.

• La population, quant à elle, peut être comparée au flux d'inductionmagnétique Φ



10.16 Comparaison entre l'induction Bet le flux magnétique Φ :

Le flux magnétique Φ quantifie le nombre de lignes de force d'un champ d'induction B pourune surface donnée.

Cet aimant mesure 3 [cm] de côté, ce quireprésente une surface totale de 9 [cm2]

Dans chaque compartiment de 1 [cm] de côté setrouvent 9 lignes de force magnétique de 1[µWb] chacune.

Comme nous l'avons vu, l'induction magnétique B est donnée pour une surface de 1 [m2].donc si nous désirons connaître l'induction pour un compartiment, il faut procéder au calculsuivant :

Le flux Φ pour un compartiment correspond au nombre de lignes de force présentent soit :9 [µWb]

Induction B pour un compartiment ⇒ BA

= = ⋅⋅

= ⋅ ⇒−

−−Φ 9 10

1 1090 10

6

43 [T] 90 [mT]

Exemple :

Le flux magnétique engendré par une bobine dans l'air est de 1.5 [µWb] .

Cette bobine dont le diamètre vaut 8 [mm], est composée de 350 spires réparties en uneseule couche sur une longueur utile de 8 [cm]

1. Calculer le courant la traversant.

2. Calculer la valeur du courant si l'on introduit un noyau magnétique dont laperméabilité vaut 4700.

Données :

Φ = 1.5 [µWb] N = 350 spires d = 8 ⋅ 10-3 [m2] l = 8 ⋅ 10-2 [m]

µr = 1 µ0 = 1.25 ⋅ 10-6 WbA m⋅

Inconnue : I = ?

Relations :

Φ = ⋅ ⋅B A cosα B Hr= ⋅ ⋅µ µ0 HN I

l=

⋅B

N Ilr= ⋅ ⋅⋅

µ µ0



Pour notre calcul, nous admettrons la perpendicularité, il n'est donc pas nécessaire de tenircompte de l'angle α .

Nous recherchons I, et nous pouvons remplacer dans la première formule B par sa valeur

Φ = ⋅ ⋅⋅

⋅µ µ0 rN I

lA

Ensuite, il faut transformer la formule pour isoler le courant I :

IlN Ar

=⋅

⋅ ⋅ ⋅Φ

µ µ0


( )A

d=

⋅ ⋅ ⋅⋅

π π2 2

4 4 =

8 10 = 50.26 10 [m

-3-6 2 ]

IlN Ar

=⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

− −Φ

µ µ0

2

6 68 10

125 10 1 350 50 26 10 =

1.5 10 = 5.46 [A]

-6

. .

Calcul du courant avec un noyau :

IlN Ar

=⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

− −Φ

µ µ0

2

6 68 10

125 10 4700 350 50 26 10 =

1.5 10 = 1.16 [mA]

-6

. .

10.17 Perméance Λ : (lambda)

La perméance Λ exprime avec quelle facilité les charges peuvent passer à travers lamatière, en fonction du flux magnétique Φ par rapport à la différence de potentielmagnétique θ.

Relation : ΛΦ

=−θ θA B

Symbole de la grandeur : Λ lambda

Symbole de l'unité : [ H ] henry



10.18 Réluctance ℜ :

La réluctance ℜ exprime l'opposition faite au passage des charges électriques dans uncircuit magnétique constitué par la matière. Nous parlons parfois de résistance magnétique.Elle est l'inverse de la perméance. (Voir analogie avec la conductance G).

Relation : ℜ =1Λ

Symbole de la grandeur : ℜ

Symbole de l'unité : [H-1]

10.19 Limite du flux magnétique Φ:

Le flux d'induction Φ a certaines limites physiques. La matière ne peut pas indéfinimentlaisser passer facilement les charges Q.

C'est, par analogie, comme une autoroute. Elle peut avoir des limites physiques propres àses dimensions. S'il y a plus de voiture que possible, nous disons que l'autoroute estSATUREE. En magnétisme, le phénomène de saturation existe aussi.

Les limites de la saturation sont données par les caractéristiques du circuit magnétique.

10.22Effet Hall :

En 1879, E. H. Hall a observé qu’une faible tension était engendrée à travers un conducteurparcouru par un courant et placé dans un champ magnétique externe. Cette tension étaittrès faible avec des conducteurs classiques et cet effet fut peu utilisé.

Avec le développement des semi-conducteurs, des valeurs plus élevées de tensions de Hallpeuvent être engendrées. Comme matériau semi-conducteur, il est souvent fait usage del’arséniure d’indium (In As).

Un élément de In As, placé dans un champ magnétique, peut engendrer une tension Hall de60 [mV] lorsque l’induction vaut 1 [T] et qu’il est parcouru par un courant de 100 [mA] .

Le flux appliqué doit être perpendiculaire à la direction du courant. Lorsque le courantcircule dans le sens longitudinal du conducteur, la tension engendrée est développée autravers de la largeur.



La valeur de la tension Hall UH est directement proportionnelle à la valeur de la densité del’induction magnétique B. Cela signifie qu’il est possible de mesurer la valeur de l’induction Bpar l’intermédiaire de la tension Hall UH .

Principe :

Un conducteur contenant n chargeslibres e- est traversé par un courant

!I .

Supposons que tous les électrons sedéplacent avec une vitesse !v uniforme.

Le nombre n de charges électriques e-passant durant le temps t à traversl'aire A vaut :

Qt

= n e A v

Mais un delta Q sur un delta I est un courant électrique I.

Plongeons ce conducteur dans un champ d'induction magnétique!B .

Les électrons circulant à la vitesse !v dans le conducteur sontdéviés par la force électromagnétique

!F .

Les différentes lois dumagnétisme font apparaître unedissymétrie dans la répartitiondes charges entre les faces A1 etA2.

n eo

I

v-

N

S

o

v

e

+

A 1

A 2

F

BUH

I



Cette dissymétrie provoque une différence de potentiel, appelée tension de Hall UH

proportionnelle au champ d'induction !B et au courant

!I , dans le conducteur.

La tension de Hall UH est donc une combinaison de lois d'électrostatique! !F q E= ⋅

et de magnétisme! ! !F q v= ⋅ x B

En les combinant, nous obtenons :

UH = I B sin

n d q⋅ ⋅

⋅ ⋅α

Cette tension de Hall est exprimée en volt [V].

Exemple d'utilisation :

Ce circuit représente l'asservissement du moteur de cabestan d'un magnétoscope. Pourassurer une bonne qualité d'image, la position du moteur doit être connue en permanence.

Pour effectuer ce contrôle, des petits capteurs à effet Hall (H1 - H2 - H3) sont placés sousle rotor du moteur.

En fonction de la rotation du moteur, ils sont soumis à des champs magnétiques variables.Des tensions Hall sont ainsi produites et transmises au circuit de contrôle de la position(Position Signal Process). Ce dernier fournira les informations nécessaires au circuit decommande du moteur (motor drive) pour ajuster sa position.



10.23Attraction et répulsion des aimants :

Lorsque nous mettons en présence deux champs magnétiques, il se produit des forces,comme nous allons l'étudier dans un prochain chapitre. Ces forces apparaissent aussi entredes aimants, suivant le sens de leurs pôles. Nous constatons soit une attraction soit unerépulsion entre les aimants, comme le montrent les exemples ci-dessous.

SNSN

Les lignes de force sont dans le même sens.Les pôles des aimants sont opposés.

Il se produit une attraction entre les deux aimants.

SNS N

Les lignes de force sont dans un sens opposé.Les pôles des aimants sont dans le même sens.

Il se produit une répulsion entre les deux aimants.



10.24Force électromagnétique F :

Les champs magnétiques sont produits par des aimants permanents et des charges endéplacement. Ces champs, à leur tour, exercent des forces sur d'autres aimantspermanents et sur des charges en mouvement.

La force magnétique sur une charge Q se déplaçant à une vitesse !v dans un champ

magnétique !B est :

loi de Coulomb appliquée par analogieau magnétisme.

Cette loi deviendra la loi de Laplace.

Q charge électrique en [As] v vitesse de déplacement en [m ⋅ s-1]

nous savons que Q = I ⋅ t et que vdéplacement

tempslt

= =

nous pouvons donc écrire ( )! !F I t

lt

B= ⋅ ⋅ ×

par simplification, nous pouvons obtenir la loi suivante :

∆ ∆! ! !F I B= × l produit vectoriel !

Unités utilisées :

force F newton [N] B induction tesla [T]

courant I ampère [A] longueur l mètre [m]

Démonstration :

Lorsque nous faisons circuler un courant électrique dans deux conducteurs parallèles, deslignes de force s'établissent autour des conducteurs. Nous avons vu qu'il est possible dedéfinir les sens des ces lignes de forces au moyen de règles simples (par exemple celle de lamain droite).

I

I

Dans cet exemple, la force obtenue par les deux conducteurs déplace l'aiguille de laboussole placée entre eux.

! ! !F Qv B= × [N]



10.25Influence du courant dans les conducteurs :

Il est bien entendu que la relation est donnée par rapport à une référence que nousadmettrons 0. Mais nous devons savoir qu'il existe un champ d'induction magnétique

!B

partout dans l'espace.

Nous mesurerons toujours un écart de force électromagnétique !F pour un certain écart de

longueur l

Nous retrouvons la relation :! ! !F Il B= × produit vectoriel !

Dans notre cas, le vecteur !B et le vecteur courant

!I constitue un plan :

F

B

l I

Nous constatons que la force électromagnétique !F représente l'ensemble de toutes les

forces que subit la longueur !l perpendiculaire au champ d'induction

!B .

Pour matérialiser cette relation, nous plaçons 2 conducteurs rectilignes en parallèle,distants de quelques centimètres.

Pour bien comprendre les différentes étapes del'expérience, nous faisons circuler le courant dans leconducteur de droite.

Nous remarquons que d'après la règle du tire-bouchon, il règne un champ d'induction magnétique!B autour du conducteur. Comme défini par lespectre magnétique, le vecteur

!B nous donne le nom

des pôles.

I



La deuxième phase consiste à fairecirculer un courant I dans le secondconducteur.

La longueur l du conducteur de droite etl'induction

!B du conducteur de gauche

forment un plan vertical.

Dans le même temps, le courant Icirculant à l'intérieur du conducteur dedroite fait régner un champ d'inductionmagnétique

!B sur le conducteur

gauche, selon la règle du tire-bouchon.

Constatations :

Les deux conducteurs font régner un champ d'induction magnétique !B égal et opposé.

Les deux conducteurs peuvent être assimilés à 2 aimants dont les pôles sont contraires.

Les deux conducteurs se rapprochent l'un de l'autre.

Nous pouvons déduire de cette expérience la conclusion suivante :

Les pôles de nom opposé s'attirent

Les pôles de même nom se repoussent

attraction répulsion

Il en va de même pour les conducteurs entre eux, et pour les aimantspermanents.

I I



10.26Règle des trois doigts de la main droite :

Cette règle est utilisée pour déterminer le sens de la force sur un conducteurparcouru par un courant électrique et placé dans un champ d'induction magnétique.

L'index indique le sens du courant I(Index ⇒ Intensité)

Le majeur indique le sens de l'induction B(Majeur ⇒ Magnétisme)

Le majeur et l'index forment un plan dontl'angle est naturellement de 90 °.

Le pouce indique le sens de la forceélectromagnétique F (Pouce ⇒ pousser).

Le pouce est naturellement à 90 ° par rapport au plan formé par I et B.

10.27Règle de la main gauche :

Il en existe également une pour la main gauche !

Elle nous donne les mêmes indications que la loi de la main droite.

L'extrémité des doigtsreprésente la sens ducourant I.

La paume de la main esttournée de telle façon queles lignes d'induction ypénètrent, ou que le pôleNord soit situé en face.

Le pouce indique la direction de la force électromagnétique F



10.28Schéma des lignes d'induction :

Le dessin ci-dessous indique le sens des lignes de force de l'aimant, ainsi que le sens dedéplacement du conducteur, sachant que la courant y pénètre.

10.29Votre règle personnelle :

Nous rencontrons parfois des règles qui sont appelées différemment ( règle de l'auto-stop,par exemple ). C'est en général une règle dérivée des trois précédentes. Elles peuvent êtrepour l'élève une méthode intuitive correspondant mieux à sa façon de résonner.

Ces règles nous permettent de représenter le phénomène électromagnétique. Il fautmaintenant le quantifier.

Nous pouvons dire que la force électromagnétique !F est proportionnelle à ces différentes

valeurs :

• à la longueur utile l du conducteur

• à l'induction !B moyenne perpendiculaire au conducteur

• au courant I circulant dans le conducteur

Pour modifier le produit vectoriel en produit scalaire, il suffit de prendre en considérationla perpendicularité existant entre le plan formé de l'induction

!B et de la longueur l.

Cette perpendicularité (90 °) se traduit par la valeur du sinus de l'angle Θ.

! ! !F B Il= × produit vectoriel

Dans ce cas particulier, nous admettons la perpendicularité (90 °) entre les grandeurs, cequi nous donne :

F B I l= ⋅ ⋅ ⋅ sin Θ mais nous savons que le sin de 90 ° vaut 1

Nous pourrons donc admettre la relation suivante :

F B I l= ⋅ ⋅ exprimée en newton [N]

Il est bien clair que l'angle Θ ne vaut pas toujours 90 °.Il faut donc toujours y prêter attention !



10.30Exercices

Qu'appelle-t-on lignes de force ?

Comment peut-on définir le sens des lignes de force magnétique ?

Qu'est-ce que le spectre magnétique ?

Qu'est-ce que le Spin de l'électron ?

Donner deux noms de matériaux pour chaque classe de matériaux magnétique.

Peut-on comparer le potentiel magnétique au potentiel électrique ?

Compléter les figures ci-dessous en dessinant les lignes de force magnétique :

Ecrire la relation qui définit le flux magnétique Φ

Quelle est la différence entre l'induction B et le flux Φ ?

Qu'exprime-t-on au moyen de la perméance ?

A quoi peut-on comparer la perméance ?

Quel est l'avantage de placer un noyau magnétique au centre d'une bobine ?

Effectuer le développer littéral qui permet de justifier votre réponse.

Quelle est la valeur de la perméabilité du vide (ou de l'air) ?

Dans la règle de la main droite, quelle est la signification des doigts ?

Que désigne le mot SPIN ?

Que se passe-t-il si le courant augmente dans une bobine dont le noyau est à saturation ?

Qu'est-ce que l'induction rémanente ?

Comment s'appelle le champ qu'il faut opposer pour annuler l'induction rémanente ?

Pourquoi le cycle d'hystérésis n'est-il pas identique pour tous les matériaux ?

Quel est l'effet du noyau dans une bobine ?

Dessiner le cycle d'hystérésis pour une tôle de transformateur :

Dessiner le cycle d'hystérésis d'un aimant permanent :

Justifiez vos réponses pour les deux courbes précédentes.



1. Un courant de 3 [A] traverse une bobine de 500 spires.Combien de spires devrait avoir une bobine pour obtenir le même champd'induction si le courant passe à 900 [mA] ?

2. Une bobine sans noyau présente une induction de 1.5 [T]. elle est composée de1000 spires et parcourue par un courant de 2 [A].

a) Quel sera le nombre de spires si nous utilisons un noyaude perméabilité µr = 200 ?

b) Quel sera le courant dans la bobine si nous conservons le mêmenombre de spires mais que nous utilisons un noyau de µr = 300 ?

3. Avec un fil de cuivre d'une longueur de 150 [m] et d'un diamètre de 500 [µm] ,nous réalisons une bobine sans noyau de 200 spires jointives. Elle est raccordéesur une tension continue de 1.5 [V].Calculer l'induction

!B et la longueur de cette bobine.

4. Nous considérons un anneau de rayon intérieur de 3 [cm] et un rayon extérieur de 4[cm]. Nous trouvons dans cet anneau, un entrefer d'une longueur de 1 [mm]. Cetanneau est placé dans l'air (voir tabelle). Calculer le champ d'induction dansl'entrefer si :

Afer = 6 [cm2] Aair = 8 [cm2] (à cause de la dispersion)

µr = 1000 N = 100 I = 1 [A]

Calculer la valeur du courant si l'on voulait obtenir le même champ d'induction dans unentrefer 10 fois plus grand. Attention aux unités de longueur et d'aire !

5. Un fluxmètre, placé avec un angle d'inclinaison de 42° par rapport à un aimantpermanent en TICONAL, indique une valeur de [100 µWb] dans un milieu quiest de l'air.

L'aimant a les dimensionssuivantes :

longueur L = 10 [cm]largeur l = 1 [cm]hauteur h = 5 [mm]

Calculer le champ d'induction magnétique B de l'aimant.

6. On réalise une bobine à spires jointives à une seule couche sur un support nonmagnétique d'un diamètre de 5 [cm]. Le fil a une longueur de 160 [m]et une section de 1 [mm2] .Elle est raccordée sur une source de tension de 6 [V].

Calculer l'intensité du champ magnétique de cette bobine.

SN



7. Tracer sur une feuille quadrillée la courbe d'aimantation du matériau dont lescaractéristiques sont les suivantes :

H 39 117 195 312 585 780 975 [A/m]B 90 254 400 540 690 730 750 [mT]

8. Calculer la perméabilité relative du matériau pour plusieurs points de la courbeet établir une constatation.

9. Calculer la force à laquelle est soumis un conducteur parcouru par un courant de20 [A] lorsqu'il est placé dans l'entrefer d'un électroaimant où règne une inductionde 1.5[T].

Le côté de l'électroaimant est de 14 [cm], et on admet la perpendicularité deslignes de force.

10. Calculer la longueur l des conducteurs de la planchette de démonstration desforces électromagnétiques, sachant qu'un dynamomètre (appareil de mesuredes forces) indique 10 [N].

Un ampèremètre mesure un courant de 80 [A] et un fluxmètre nous donne10 [µWb]. Le diamètre de l'aire est de 4 [mm]. Cette expérience est réalisée dansun milieu qui est l'air, avec des grandeurs perpendiculaires les unes aux autres.

11. Compléter le dessin en indiquant soit :la direction du déplacement du conducteur,le sens du courant qui le parcoure,ou le pôle de l'aimant

12. Tracer l'allure d'un matériau donnant les valeurs suivantes lors d'un essaien laboratoire :

H 39 117 195 312 585 780 975 [A/m]B 0.09 0.254 0.40 0.54 0.69 0.73 0.75 [T]

Calculer la perméabilité relative de ce matériau.

13. On désire obtenir une induction de 1.5 [T] dans un tore magnétique fermé en fer,dont le diamètre moyen est de 30 [cm].Quel doit-être le nombre de spires si le courant est de 6 [A]et la perméabilité relative de 1040 ?

S

F

N

N

S

F

N

SA)

B)

C)

D)



14. Pour avoir une induction de 1.2 [T] dans une bobine à noyau magnétiqueen fer doux, il faut un champ de 550 [A⋅m-1].

Il faut 11400 [A⋅m-1] pour obtenir la même induction dans une bobine avecun noyau en fonte.

Calculer la perméabilité relative des deux matériaux.

15. Une bobine de 1 [m] de longueur comporte 2500 spires et elle est parcouruepar un courant de 4 [A] .Calculer l'intensité du champ et l'induction magnétique à l'intérieur de la bobine.

16. Nous reprenons la même bobine pour essayer différents matériaux magnétiques. Que va devenir l'induction si nous utilisons des noyaux de perméabilité suivante ?

a) 150 b) 20000 c) bois d) cuivre

Réponses :

1. N = 1667 spires

2. N = 5 spires I = 6.67 [mA]

3. long. = 23.87 [cm] B = 280.5 [µT]

4. B = 569 [µT] I = 10 [A]

5. B = 2.69 [T]

8. 1899 [A/m]

9. 4.2 [N]

10. l = 15.7 [cm]

11. A) Nord - Sud B) il monte C) il descend D) le courant sort du conducteur

13. N = 180 spires

15. Fer µr = 1736 fonte µr = 84

15. H = 10'000 [A/m] B = 12.56 [mT]

16. a) B = 1.875 [T] b) B = 250 [T] c) et d) matériaux non magnétiques µr = 1

Cycle d'hystérésis


Chapitre 10b




10.30Introduction :

Pour exprimer la saturation du noyau magnétique, nous allons procéder à une expérience.Augmenter l'intensité de champ magnétique H et calculer l'induction B d'une bobine avecnoyau.

Récapitulation des relations importantes

Formules Unités Noms

B Hr= ⋅ ⋅µ µ0 [T] Am

V sm

= V sm A

= ⋅⋅

⋅

⋅

2

Champ d'inductionmagnétique

Φ = ⋅ ⋅B A cosα [ ] [ [ ]Wb T] m = ⋅ 2 Flux magnétique

F B I l= ⋅ ⋅ [ ] [ [ ] [ ]N T] A m = ⋅ ⋅ Forceélectromagnétique

Cette expérience est réalisée au moyen d'une bobine , ou inductance L , raccordée sur unesource de tension de polarité variable.


A

bobine

+

-

+

-

L

La bobine est constituée de 150 spires de fil de cuivre, bobinées autour d'un noyaumagnétique d'une longueur l de 15 [cm] et sa résistance ohmique vaut 25 [Ω] . Le noyau aété choisi dans la catégorie des matériaux magnétique (voir introduction de ce chapitre).

Cette bobine est raccordée sur deux sources de tension continue et le potentiomètre nouspermet de varier la tension aux bornes de la bobine entre + 100 [V] et - 100[V].

Pour bien comprendre le déroulement de l'expérience, nous l'avons décomposée en 5 phasessuccessives. A chaque phase, nous étudierons l'évolution de l'induction magnétique ainsi quele comportement du noyau de notre bobine.

Pour chaque phase, un tableau de mesure nous permettra de tracer la courbe d'aimantation.



10.31 Phase 1 :En faisant varier la tension U de 0 à 100 [V] ,le courant va augmenter ainsi que le champd'induction magnétique B.

Au départ, nous pouvons nous représenter cet état comme une multitude de petits aimantsayant pris une orientation quelconque et dont l'augmentation d'un champ magnétiqueextérieur va faire varier la position.

Tableau de mesure :

U [V] R [Ω] I [A] N l [m] H [A/m] µ0 µr B [T]

0 25 0 150 0.15 0 1.25⋅10-6 200 020 25 0.8 150 0.15 800 1.25⋅10-6 200 0.240 25 1.6 150 0.15 1600 1.25⋅10-6 180 0.3660 25 2.4 150 0.15 2400 1.25⋅10-6 145 0.43580 25 3.2 150 0.15 3200 1.25⋅10-6 112 0.448

100 25 4 150 0.15 4000 1.25⋅10-6 90 0.45

Nous parlerons de SATURATION, au moment où l'augmentation de l'intensité de champmagnétique H ne modifie plus le champ d'induction magnétique B.

L'orientation de ces petits aimants ne se fait pas de façon linéaire, mais de façonexponentielle, comme pour la charge du condensateur.

Nous pouvons tracer un diagramme du champ d'induction magnétique B en fonction del'intensité du champ magnétique B = f (H).

1000 2000 3000 4000

100

200

300

400

500

H[A/m]

B

[mT]



10.31 Phase 2 :En faisant varier la tension U de 100 [V] à 0 [V] , nous constatons que le champ d'inductionmagnétique B décroît, mais lorsque le courant est à 0, le noyau conserve un certain champd'induction magnétique B.

Nous pouvons nous représenter cet état commeune multitude de petits aimants conservant tousla même orientation et dont la diminution d'unchamp magnétique extérieur ne modifie plus lespositions.

Remarque : Pour cette phase ainsi que les suivantes, il n'est plus possible d'utiliser lesvaleurs issues de calculs. Les résultats ne sont plus identiques en raison del'induction rémanente et des caractéristiques du noyau.

Les valeurs d'induction doivent être mesurées et mises en évidence aumoyen d'un instrument de mesure tel qu'un teslamètre.

Tableau de mesure :U [V] H [A/m] B [mT]

100 4000 45080 3200 45060 2400 45040 1600 44020 800 380

0 0 250

Nous parlerons de rémanence au moment où la diminution de l'intensité du champmagnétique H ne modifie plus le champ d'induction magnétique B.

L'orientation de ces petits aimants ne se fait pas de façon linéaire, mais de façonexponentielle, comme pour la décharge du condensateur.

Nous pouvons tracer un diagramme du champ d'induction magnétique B en fonction duchamp magnétique B = f (H)

1000 2000 3000 4000

100

200

300

400

500

H[A/m]

B[mT]



Le point constitué du champ d'induction magnétique B et de l'axe des y, représentantl'induction rémanente Br , pour une intensité du champ magnétique H à la valeur 0.

Symbole de la grandeur : Br

Symbole de l'unité : [T] tesla

Comme son nom l'indique, il s'agit de l'induction qui subsiste dans le noyau, due àl'orientation des particules magnétiques.

Application pratique :

Du tournevis aimanté à tous les supports magnétiques d'information comme les cassettesvidéo ou les disquettes d'ordinateur.

Ce champ d'induction magnétique rémanente peut être modifié par la température (point deCurie) . En effet, la température modifie la disposition des petits aimants constituant lesmatériaux magnétiques. Cette application est utilisée pour les mini-disques audio et lessupports magnéto-optiques. Elle n'est pas applicable aux tournevis ou aux cassettes vidéopour les démagnétiser ! ! !

La méthode la plus simple pour désaimanter votre tournevis sera de le soumettre à unchamp magnétique de polarité variable et dont l'intensité diminue lentement.

Exemple :

Cette façon de faire est utilisée pourdémagnétiser les tubes image destéléviseurs couleur. En effet, lebalayage de l'écran par le faisceaud'électrons est commandé par unchamp magnétique. Si ce champ vient àêtre perturbé par l'aimantationrémanente d'une pièce métallique,l'image va perdre de sa qualité lescouleurs seront faussées.

C'est pour cela qu'avant la mise en service d'un téléviseur couleur, il faut toujours ledémagnétiser. Cette opération est effectuée au moyen d'une bobine que l'on éloignerégulièrement de l'écran. L'effet du champ magnétique décroissant va démagnétiser letube image.



10.32Phase 3 :

En faisant varier la tension U de 0 [V] à - 100 [V] , nous constatons que le champd'induction magnétique B passe à la valeur zéro.

Cette valeur est obtenue au moment où les petitsaimants se trouvent soumis à une certaineintensité de champ magnétique H provoquant uneorientation quelconque des éléments.

Tableau de mesure :

U [V] H [A/m] B [mT]0 0 250

-20 -800 100-25 -1000 0.00

Nous pouvons tracer le diagramme du champ d'induction magnétique B en fonction del'intensité du champ magnétique B = f (H).

1000 2000 3000 4000-1000-2000-3000-4000

100

200

300

400

500

B[mT]

H[A/m]

Nous parlons de CHAMP COERCITIF Hc au moment où le champ d'induction magnétique Best nul.

Symbole de la grandeur : Hc

Symbole de l'unité : Am



Nous avons supprimé le champ d'induction magnétique B . En continuant de varier la tensionde la valeur du champ coercitif Hc à - 100 [V] , nous constatons que le champ d'inductionmagnétique B ne varie plus à partir d'une certaine valeur.

Nous pouvons représenter cet état comme unemultitude de petits aimants ayant pris tous lamême orientation et dont l'augmentation d'unchamp magnétique extérieur ne modifie plus lespositions.

Tableau de mesure :

U [V] H [A/m] B [mT]-25 -1000 0.00-40 -1600 -150-60 -2400 -325-80 -3200 -425-100 -4000 -450


1000 2000 3000 40001000200030004000100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

B[mT]

H[A/m]

Nous parlerons de SATURATION, au moment où l'augmentation de l'intensité du champmagnétique H ne modifie plus le champ d'induction magnétique B.

Nous sommes dans la situation inverse à celle de la première phase de notre expérience.



10.33Phase 4 :

En faisant varier la tension U de -100 à 0[V] , nous constatons que le champ d'inductionmagnétique B décroît. Mais lorsque le courant est à zéro le noyau conserve un certainchamp d'induction magnétique B .

Nous pouvons nous représenter cet étatcomme une multitude de petits aimantsconservant tous la même orientation et dont ladiminution d'un champ magnétique extérieur nemodifie plus les positions.

Tableau de mesure :U [V] H [A/m] B [mT]-100 -4000 -450-80 -3200 -450-60 -2400 -450-40 -1600 -440-20 -800 -3800 0 -250

Nous parlerons de REMANENCE au moment où la diminution de l'intensité du champmagnétique H ne modifie plus le champ d'induction magnétique B.

Nous sommes dans la situation inverse que lors de la phase 2 de notre expérience.


1000 2000 3000 40001000200030004000100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

B[mT]

H[A/m]



10.34Phase 5 :En faisant varier la tension U de 0 à 100 [V] , nous constatons que le champ d'inductionmagnétique B passe par la valeur zéro.

Cette valeur est obtenue au moment où les petitsaimants se trouvent soumis à une certaineintensité de champ magnétique H provoquant uneorientation quelconque des éléments.

Tableau de mesure :U [V] H [A/m] B [mT]

0 0 -25020 800 -10040 1600 15060 2400 32580 3200 425100 4000 450

Nous parlerons de CHAMP COERCITIF au moment où le champ d'induction magnétique Best nul.

Nous sommes dans la situation inverse que lors de la phase 3 de notre expérience.


1000 2000 3000 40001000200030004000100

200

300

400

500

100

200

300

400

500

B[mT]

H[A/m]



10.35Récapitulation :Dans la dernière phase, nous avons supprimé le champ d'induction magnétique B. Encontinuant à élever la tension U jusqu'à 100 [V], nous constatons que le champ d'inductionmagnétique B ne varie plus à partir d'une certaine valeur.

La dernière courbe que nous venons de tracer représente le cycle d'hystérésis complet dunoyau de notre bobine. Le cycle d'hystérésis est toujours symétrique, l'orientation desparticules magnétiques élémentaire étant identique dans les deux sens.

Chaque matière possède une propre courbe d'Hystérésis, qui détermine sescaractéristiques et définit son application.

10.36Energie W d'hystérésis :

L'orientation des petits aimants, changeant lors de chaque phase du cycle d'hystérésisconduit à un échauffement de la matière. Cet échauffement va provoquer une perted'énergie W qui sera, suivant les applications, très gênante.

Exemples de courbes d'Hystérésis :

Hc ⇒ 1 division ⇒ 10 [A/m] Hc ⇒ 1 division ⇒ 1 [A/m]

Matière peu sensible auxperturbations externes.

Matière sensible aux perturbationsexternes.



10.37Entraînement

1. Tracer sur une feuille quadrillée la courbe d'aimantation du matériau dont lescaractéristiques sont les suivantes :

H 39 117 195 312 585 780 975 [A/m]B 90 254 400 540 690 730 750 [mT]

2. Calculer la perméabilité relative du matériau pour plusieurs points de la courbeet établir une constatation.

3. Calculer la force à laquelle est soumis un conducteur parcouru par un courant de20 [A] lorsqu'il est placé dans l'entrefer d'un électroaimant où règne une inductionde 1.5[T].

Le côté de l'électroaimant est de 14 [cm], et on admet la perpendicularité deslignes de force.

4. Calculer la longueur l des conducteurs de la planchette de démonstration desforces électromagnétiques, sachant qu'un dynamomètre (appareil de mesuredes forces) indique 10 [N].

Un ampèremètre mesure un courant de 80 [A] et un fluxmètre nous donne10 [µWb]. Le diamètre de l'aire est de 4 [mm]. Cette expérience est réalisée dansun milieu qui est l'air, avec des grandeurs perpendiculaires les unes aux autres.

5. Compléter le dessin en indiquant soit :la direction du déplacement du conducteur,le sens du courant qui le parcoure,ou le pôle de l'aimant

6. Tracer l'allure d'un matériau donnant les valeurs suivantes lors d'un essaien laboratoire :

H 39 117 195 312 585 780 975 [A/m]B 0.09 0.254 0.40 0.54 0.69 0.73 0.75 [T]

Calculer la perméabilité relative de ce matériau.

7. On désire obtenir une induction de 1.5 [T] dans un tore magnétique fermé en fer,dont le diamètre moyen est de 30 [cm].Quel doit-être le nombre de spires si le courant est de 6 [A]et la perméabilité relative de 1040 ?

S

F

N

N

S

F

N

SA)

B)

C)

D)



8. Tracer le cycle d'hystérésis d'un matériau donnant les valeurs suivantes lorsd'un essai en laboratoire :

H 39 117 195 312 585 780 975 [A/m]B 0.09 0.254 0.40 0.54 0.69 0.73 0.75 [T]

H 975 780 585 312 195 117 39 [A/m]B 0.75 0.74 0.70 0.68 0.64 0.60 0.55 [T]

H -39 -117 -195 -312 -585 -780 -975 [A/m]B 0.40 0.254 -0.40 -0.60 -0.69 -0.73 -0.75 [T]

Vous savez que le cycle d'Hystérésis est symétrique.Donner le champ d'induction rémanent.Donner l'intensité du champ magnétique coercitif.

9. Pour avoir une induction de 1.2 [T] dans une bobine à noyau magnétiqueen fer doux, il faut un champ de 550 [A⋅m-1].

Il faut 11400 [A⋅m-1] pour obtenir la même induction dans une bobine avecun noyau en fonte.

Calculer la perméabilité relative des deux matériaux.

10. Une bobine de 1 [m] de longueur comporte 2500 spires et elle est parcouruepar un courant de 4 [A] .Calculer l'intensité du champ et l'induction magnétique à l'intérieur de la bobine.

11. Nous reprenons la même bobine pour essayer différents matériaux magnétiques. Que va devenir l'induction si nous utilisons des noyaux de perméabilité suivante ?

a) 150 b) 20000 c) bois d) cuivre

Réponses :

2. 1899 [A/m] 3. 4.2 [N] 4. l = 15.7 [cm]5. A) Nord - Sud B) il monte C) il descend D) le courant sort du conducteur7. N = 180 spires9. Fer µr = 1736 fonte µr = 8410. H = 10'000 [A/m] B = 12.56 [mT]11. a) B = 1.875 [T] b) B = 250 [T] c) et d) matériaux non magnétiques µr = 1

Inductance

Electrotechnique / Editions de la Dunanche /octobre 2000 1

Chapitre 11

Sommaire

• Tension induite• Inductance L• Self induction• Les courants de Foucault• Réduction des courants Foucault• Entraînement

Introduction

11. Magnétisme :

L'homme, depuis ses débuts sur terre, a cherché à se diriger. Le repérage d'une directionpeut se faire à l'aide des astres, en repérant par exemple l'étoile polaire qui nous indique leNord, mais ce système ne fonctionne que la nuit. S'il fait jour, il est possible de

11.1 Tension induite Ui :

Les découvertes de Faraday énoncent le principe suivant :

Le déplacement d'unconducteur dans unchamp d'induction B faitapparaître une tensioninduite Ui aux bornes dece conducteur.

Le micro-ampèremètre est branché aux bornes des deux tiges conductrices. Lorsque nousdéplaçons le conducteur dans un champ magnétique uniforme, le micro-ampèremètre dévie.

Le courant induit a un sens tel qu'il tend à s'opposer à la cause qui lui a donné naissance.

N

S

déplacement

I

µA

Inductance


Pour déterminer le sens du courant dans leconducteur, nous utilisons la main gauche.

Gauche - Générateur

Le pouce correspond au déplacement v

L'index correspond au sens du courant I

Le majeur correspond à l'induction B

Le micro-ampèremètre est branché aux bornes des deux tiges conductrices. Lorsque nousdéplaçons le conducteur dans un champ magnétique uniforme, l'aiguille du micro-ampèremètre dévie.

Si nous admettons un déplacement de la barre selon l'axe des x positif ( v ) , la barre est lesiège d'une tension induite Ui opposée.

La force F s'oppose au mouvement v . Le sens de la force F s'obtient avec les règles vuesprécédemment.

BI

F v

La relation nous permettant d'obtenir la valeur de la tension induite Ui est la suivante :

Uti = −

∆Φ∆

En pratique, cette variation de flux d'induction ∆Φ (delta phi) est obtenue par undéplacement l relatif d'un élément rectiligne du circuit par rapport au champ magnétiqueB inducteur.

Cette tension induite Ui est donnée par la relation vectorielle suivante :

U B lvi = − ×

Inductance


Les grandeurs B , l I et v sont souvent perpendiculaires entre elles, ce qui donne un sin θ = 1. D'où le produit scalaire admis :

U B l vi = ⋅ ⋅

Cette disposition implique la présence de la plus grande tension induite Ui. Comme pour la

tension électrique U , la tension induite Ui est exprimée en volt [V].

Si pour une raison ou pour une autre, B , l ou v ne sont pas perpendiculaires entre elles, nousmultiplierons par le sinus des angles appropriés.

Exemple :

N

S

déplacement

V

Un aimant permanent replié, en TICONAL, possède une induction de 0.4 [T].

Nous déplaçons un conducteur long de 20 [cm] dans l'espace formé par l'aimant. Cet espacemesure 50 [cm] , et le déplacement est effectué de façon rectiligne durant 20 [s] .

Calculer la tension induite Ui

Les grandeurs sont considérées perpendiculaires.

Données : l = 20 [ cm ] laimant = 50 [cm] t = 20 [s] B = 20 [T]

Relation : U B lvi = − ×

Puisque nous avons admis la perpendicularité, nous pouvons utiliser la relation suivante :

U B l vi = − ⋅ ⋅

Le signe - devant le symbole de l'induction B ne nous est pas utile ici. Elle nous indique lesens de la tension Ui , mais nous ne voulons ici que la quantifier. C'est ce que nous appelonsparfois la valeur absolue d'un nombre. Nous ne tenons pas compte de son signe, nous notonsalors :

U B l vi = − ⋅ ⋅ Ui

Inductance



Calcul de la vitesse v : vdt

= ⋅ = = 25 10 ms

-30 520.

U B l v i = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−= 20 - 100 [mV]0 2 25 10 3.

Valeur absolue : Ui = 100 [mV]

11.2 Inductance L :

Dans le circuit que nous venons de calculer, nous possédons une tension induite Ui . Celasignifie que nous avons un circuit électriquement fermé.

Schéma :

VL

Le conducteur est une source de tension induite Ui que l'on mesure aux bornes du voltmètrede grande résistance.

Il s'agit d'une application de la loi d'Ohm !

Nous pouvons admettre que la tension induite Ui est égale au produit du courant induit Ii

circulant pendant un certain temps t , et de l'inductance L.(caractéristique du montage à laisser passer les lignes de force).

Cette grandeur porte le nom de perméance Λ pour le circuit magnétique. Mais noussommes dans un circuit mélangeant le magnétisme et l'électricité.

Nous lui donnerons donc le nom d'inductance.

Symbole de la grandeur : L

Symbole de l'unité : [ H ] henry

En utilisant cette nouvelle notion, nous pouvons écrire la relation suivante :

U LIti = − ⋅

tension induite Ui [V] inductance L [H]

courant I [A] temps t [s]

Inductance


Dans les schémas électriques, nous symboliserons l'inductance pure L des façons suivantes :

bobine Lavec noyau

inductance pure Lavec noyau sans noyau

inductance pure L

Remarque : le trait au-dessus de la bobine représente le noyau.

11.3 Self-induction :

C'est le physicien russe Heinrich Lenz (1804-1865) qui fit la découverte du sens descourants induits appelée loi de Lenz.

Loi selon de Lenz s'énonce comme suit :

Le courant induit a un sens tel que ses effets s'opposentà la cause qui lui a donné naissance.

Plus simplement, le courant induit tend à s'opposer auflux inducteur.

Nous constatons, par expérience, qu'une bobine parcourue par un courant électrique Iprovoque un flux magnétique Φ . C'est la bobine elle-même qui génère une tension induite Ui

pendant le temps t ou un courant I la traverse. Selon l'application de la relation que nousvenons d'étudier plus haut :

U LIti = − ⋅ en volt [V]

Pour effectuer notre expérience et nos mesures, nous réalisons le montage suivant :

trace A

trace B

sonde

2000 [Ω]

100 [mH]

Inductance


La bobine possède certaines caractéristiques magnétiques dont nous mesurons lesconséquences électriques. Pour notre mesure nous utilisons une bobine qui a une inductanceL de 100 [mH] . Cette bobine est utilisée, en électrotechnique, pour obtenir des fluxmagnétiques Φ importants qu'il ne nous est pas possible d'obtenir à l'aide d'aimantspermanents.

Au moyen de l'oscilloscope (voir la description des instruments de laboratoire, au début dece cours), nous mesurerons la présence d'une tension induite Ui aux bornes de la bobine.Cette tension induite sera présente lorsqu'un courant I la traversera. Nous allons procéderpas à pas à l'interprétation de l'expérience.

11.4 Phase 1 :

Lors de la mise en circulation des électrons, il y a dans le circuit une variation de courant Iqui dure un certain temps t.

Avec l’oscilloscope il n’est possible de mesurer un courant. Pour obtenir sa forme, nousmesurons la tension aux bornes de la résistance de 2 [kΩ].

Le courant est proportionnel à la tension aux bornes de la résistance et par simpleapplication de la loi d’Ohm, il est facile de le calculer. Pour cela, il faut connaître la valeurde la résistance ce qui est le cas dans notre mesure.

Courbe du courant :

Courbe de la tension induite :

Inductance


Cette courbe nous montre la forme de la tension aux bornes de la bobine. Les pointesreprésentent la tension induite par la bobine. Ce phénomène s’appelle la self induction.

Nous constatons que la tension induite Ui aux bornes est opposée au passage du courant I .Le courant I augmente de 0 à la valeur maximum. La tension induite Ui va de 0 à moins lavaleur maximum.

Le signe négatif est bien la signification et la preuve de la loi de Lenz.

11.5 Phase 2 :Notre bobine est toujours parcourue par un courant I constant. La variation de courant Iest donc nulle.

Aucune tension induite Ui n'est mesurée par l'oscilloscope, et il nous montre l'imagesuivante :

Si la variation du courant I est nulle, la tension induite Ui est également nulle, car :

Uti = − ⋅ ⋅−100 100

03 [V]

11.6 Phase 3 :Après un certain temps de fonctionnement, nous interrompons le courant I dans la bobine.Cela a comme influence de faire varier le courant pendant un certain temps. Le courant Ipasse de la valeur maximum à la valeur 0.

Courbe du courant :

Inductance


Courbe de la tension induite :

11.7 Interprétation de la mesure :Nous constatons que la tension induite Ui aux bornes de la bobine est opposée à celle de lasource de tension. Le courant I diminue de la valeur maximum à 0.

La tension induite Ui va de 0 à une valeur maximum. Le signe négatif est bien la significationde la loi de Lenz. De cette expérience, nous pouvons énoncer la règle de la self-inductionqui, de façon générale, est la suivante :

La self-induction apparaît dans un circuit composéd'inductances, et parcouru par un courant I variable et tend às'opposer à ces variations

La présence d'un noyau et la forme de la bobine influencent le phénomène de self-induction.

L'étude complète des différentes bobines sort du cadre de ce cours. Pour de plus amplesinformations, il sera nécessaire de consulter un cours de physique.

Nous constatons, comme pour le condensateur, que la bobine possède aussi une constantede temps τ (tau).

Cette constante de temps τ est donnée par le rapport de τ =LR

La résistance R est donnée par les caractéristiques du circuit. Rappel : Rl

A=

⋅ρ

Résultats de la mesure de notre montage sur un temps plus long

La courbe A représente le courant dans le montage.

La courbe B représente la tension induit Ui aux bornes de la bobine.

Inductance


11.8 Les courants de Foucault

Expérience du pendule de Foucault (doc. dictionnaire encyclopédique Larousse 1986)

Lorsque des pièces métalliquesconductrices sont plongées dans deschamps magnétiques variables, oulorsqu'elles sont elles-mêmes enmouvement dans un champ fixe, cela apour effet d'induire dans ces pièces descourants parasites appelés :

Courants de Foucault

Ils ont des effets gênants comme celui d'échauffer les conducteurs par effet Joule.

11.9 Expérience, pour démontrer la présence des courantsde Foucault.

Un pendule oscille autour d'un axehorizontal, le disque de cuivre passe dansl'entrefer de l'électroaimant. Il s'agitd'un aimant constitué d'une bobineparcourue par un courant I .

En traversant l'entrefer, ce disque coupedonc les lignes d'un champ magnétique dedirection horizontale.

En l'absence de champ d'inductionmagnétique B, le pendule oscille librement,sans amortissement notable, car seul lefrottement de l'air le freine légèrement.

Lorsque nous fermons l'interrupteur S, ledisque est très rapidement freiné.

S+ -

Inductance


LORSQUE LE DISQUE METALLIQUE COUPE LES LIGNES DE FORCEMAGNETIQUE H, DES COURANTS PRENNENT NAISSANCE DANS LAMASSE CONDUCTRICE. ON LES APPELLE COURANTS DE FOUCAULT.

En effet, le mouvement du disque à la vitesse v dans l'entrefer provoque l'apparition d'unetension induite Ui .

Ui = B ⋅ l ⋅ v

Cette tension induite Ui prend naissance dans un conducteur et entraîne la circulation decourants électriques qui peuvent être très intenses. selon la loi de Lenz. Les interactionsmécaniques qui découlent de la circulation des courants, s'opposent au mouvement qui leurdonne naissance.

Il y a freinage. Il y a également échauffement par effet Joule.

Dans la même expérience, nous remplaçonsle disque plein par un disque dans lequelnous avons pratiqué des entailles.

Nous constatons que lors de la fermeturedu commutateur S, le freinage du penduleest beaucoup moins efficace car lescourants de Foucault sont, eux, moinsintenses.

Remarques :

Les trajets suivis par les courants de Foucault dans la matière métalliquesont indéterminés.

Dans certains cas, nous employons des tôles pour allonger le circuit, afind'augmenter la résistance électrique R et ainsi diminuer le courant I.

Les courants de Foucault peuvent être utiles pour réaliser des ralentisseurspour les poids lourds, ou dans les compteurs d'énergie.

11.10 Réduction des courants de Foucault :Les courants de Foucault peuvent être nuisibles, provocant des échauffements des tôlesdes machines électriques, comme nous le verrons dans le chapitre sur les machines àcourant alternatif sinusoïdal et les transformateurs.

S+ -

Inductance


Nous remédions à ces effets en construisant des noyaux au moyen d'empilement de tôlesminces séparées par un vernis isolant.

rivets de

tôle

fixation

Ces tôles sont rivetées ensemble, et sont isolées électriquement entre-elles. Les courantsinduits sont ainsi de plus faible intensité.

B B

tôlemassive

tôles finesisolées

Exemple de courants de Foucault dans le noyau d'un transformateur

flux produit par le courant

flux des courants de Foucault

courants de Foucault

dans la bobine inductrice

Pour limiter les courants de Foucault et les pertes par effet Joule qui en découlent, lesnoyaux des transformateurs sont constitués de tôles isolées entre-elles, comme le montrel'exemple ci-dessous :

Inductance


11.8 Documentaire

Nikola Tesla (1856-1943). Ingénieur électricien et inventeuryougoslave. Après ses études d'ingénieur à Budapest, il s'installeà New York en 1887 pour fonder une entreprise de constructiond'alternateur. On lui doit la réalisation du premier moteurasynchrone et l'invention des courants polyphasés, et dumontage en étoile. En 1889 il étudia les circuits à hautesfréquences et imagina le coulage de deux circuits par inductionmutuelle. Ces études menèrent à la mise au point des premiersgénérateurs industriels d'ondes hertziennes.

James Clerk Maxwell (1831-1879). Physicien écossais. Professeur auKing's College de Londres jusqu'en 1865. Il démontre en 1860 qu'à unemême température, l'énergie cinétique moyenne des molécules nedépend pas de leur nature. C'est dans le cadre de cette théorie qu'ilintroduit le fameux "démon de Maxwell". Disciple de Faraday, il créeen 1862 le concept de "déplacement" et de "courant de déplacementapparaissant dans les diélectriques soumis à un champ électrique.Après de longues années d'élaboration, il donne les équationsgénérales du champ électromagnétique.

Joseph Henry (1797-1878). Ingénieur et professeur d'universitéaméricain. Il améliora les électroaimants, en enroulant unedeuxième couche de spires sur la première. Il développa en 1831une première forme de télégraphe avec une ligne de 1 kilomètre etdemi. Ses travaux sur l'induction électromagnétique furent menésparallèlement à ceux de Faraday. Il est surtout connu pour sadécouverte en 1832 de l'auto induction et de l'extracourant.

Wilhelm Eduard Weber. Physicien allemand (1804-1891). Il étudied'abord les phénomènes d'acoustique, la polarisation des ondessonores et la compensation de température des tuyaux d'orgues. AvecGauss, il réalise en 1833, d'après les indications d'Ampère, untélégraphe électrique. En 1846, il donne la loi fondamentaleconcernant les forces exercées par les particules électrisées enmouvement.

Heinrich Friedrich Lenz (1804-1865). Physicien russe. Il fut recteur de l'Académie de Saint-Pétersbourg. Il est connu pour sa découverte de la loi donnant le sens des courants induits, la Loide Lenz. Il observa en 1835 l'accroissement de la résistance électrique des métaux avec latempérature et étudia l'effet Peltier.

Inductance


Léon Foucault, physicien français (1819-1868), est le type mêmedu scientifique autodidacte. Il commença des études demédecine avant de se diriger vers la physique. Durant quelquestemps, il rédige un feuilleton scientifique dans un journal. Sespremières études se penchent sur la détermination de la vitessede la lumière dans différents milieux tels que l'air ou le vide.C'est vers 1850 qu'il donne l'explication de la théorie d'Aragosur le magnétisme de rotation. Ce qui le conduira à définir lescourants induits dans les masses métalliques.

Ces courants sont appelés Courants de Foucault.

En 1851, il met en évidence la rotation de la terre au moyen d'un pendule. Il s'agit d'uneexpérience passionnante que l'on peut voir depuis peu à Neuchâtel. Ses études sur lependule l'amènent au développement du gyroscope et à la réalisation de divers types detélescopes.

11.9 Entraînement

1. Qu'appelle-t-on tension induite ?

2. Quelles sont les conditions pour obtenir une tension induite ?

3. Qui a démontré le phénomène de tension induite ?

4. Que se passe-t-il si les lignes de force de l'aimant ne sont plus perpendiculaires auconducteur ?

5. Définir en quelques mots la loi de Lenz

6. Dessiner les symboles d'une bobine pure et d'une bobine comportant une certainerésistance.

7. Quelle précaution faut-il prendre pour protéger un circuit comportant une bobine etéliminer la surtension crée par la self-induction ?

8. Comment se produisent les pertes par courants de Foucault?

9. Les courants de Foucault se produisent-ils dans une pièce en aluminium, et pourquoi ?

10. Les courants de Foucault se produisent-ils dans une pièce en PVC ? (justifiez votreréponses).

11. Peut-on mesurer un courant de Foucault à l'aide d'un ampèremètre ? (justifiez votreréponses).

12. Pourquoi a-t-on moins de courants de Foucault dans un noyau de tôles feuilletées ?

13. Citer quelques exemples d'utilisation des courants de Foucault :

14. Quelles sont les conséquences des pertes par effet Joule ?

15. Donner quelques exemples où il est important de limiter les pertes par effet Joule.(Pas forcément des exemples en magnétisme)

Inductance


1. Une bobine possède au total 90 [m] de conducteur soumis à l'induction.Ces conducteurs se déplacent à la vitesse de 0.8 [m⋅s-1] dans un champ magnétique de0.2 [T].Calculer la tension induite aux bornes de la bobine.

2. Dans un champ magnétique de 1.2 [T], 125 conducteurs de 20 [cm] sont réunis ensérie. Leur déplacement s'effectue à la vitesse de 7.5 [m⋅s-1].Quelle est la tension induite ?

3. L'induit d'une génératrice engendre une tension de 44 [V]. Les conducteurs ont unelongueur de 11.4 [m] dont seulement le 85 % sont soumis au champ magnétique danslequel ils se déplacent à la vitesse de 21.6 [km⋅h-1].Déterminer l'induction magnétique.

4. Le rotor inducteur d'un alternateur engendre 1.15 [T] et tourne à la vitesse de 46.8[km⋅h-1].La bobine statorique est composée d'une certaine longueur de fil conducteur dontseulement le 80 % sont induits. La tension induite aux bornes de la bobine est de2511.6 [V]Quelle est la longueur totale du fil de la bobine statorique ?

5. Un bobine de 5 [mH] et de résistance R supposée nulle est parcourue par un courantde 0.5 [A].Sachant que le courant s'annule en 10 [ms], calculer la valeur de la tension induiteobtenue aux bornes de la bobine.Que se passe-t-il si le courant s'annule brusquement et non pas progressivement ?

Réponses : 1. Ui = -14.4 [V] 2. Ui = -225 [V] 3. B = 756.8 [T] l = 210 [m]5. Ui = -250 [mV] si le courant s'annule brusquement, Ui va augmenter

Techniques de mesures


Chapitre 12

Sommaire

• Force, moment et couple• Instruments à cadre mobile• Extension des gammes de mesures• Etude du schéma d’un multimètre analogique• Instruments électrodynamiques• Instruments ferromagnétiques• Instruments électrostatiques et à induction• Mesure en pont de Wheatstone• Instruments de mesure numériques• Etude du schéma d’un multimètre numérique• Erreur de mesure relative et absolue• Symboles des instruments de mesure• Entraînement

Introduction

Les relations étudiées dans le chapitre traitant du magnétisme nous permettent d'étudierle principe de fonctionnement des appareils de mesure.

Dans une première partie, nous traiterons desappareils dits analogiques, et ensuite nousaborderons les instruments numériques.

Les appareils analogiques sont équipés d'une aiguillequi indique sur une échelle graduée la valeur de lagrandeur mesurée.

L'étude débutera par les notions de moment et de couple.

1000



12.1 Moment

Le moment M est, par définition, le produit vectoriel d'une force F (électromagnétiquepar exemple) appliquée au bout d'un vecteur r depuis un point d'application A.

M F r= x Produit vectoriel ! ( M = F cross r )

Symbole de la grandeur : M

Symbole de l'unité : [Nm]

Nous pouvons exprimer ce produitvectoriel dans un cas particuliercomme :

M F r= ⋅ ⋅cosα

Nous admettrons que le produit de (r ⋅ cosα) représente le bras de levier de la force F .

Ce bras de levier est perpendiculaire à la force F .

12.2 Couple :

Définition : Deux forces, qui ont une même grandeur mais des directions opposéeset dont les lignes d'action sont différentes, constituent un couple.

Dans le cas de l'instrument à cadre mobile, le fil de torsion ou les ressorts spiraux créentun moment de réaction proportionnel à l'angle de torsion α, ceci afin de revenir à zéro à lafin de la mesure, et d'éviter que l'aiguille parte systématiquement en butée (coupleantagoniste).

Les forces produites par la bobine mobile et le ressort de rappel constituent un couple. Lescouples n'exercent aucune force résultante sur l'aiguille. Par contre, ils exercent unmoment résultant non nul. La valeur du moment résultant est indépendante du choix dupoint à partir duquel il est mesuré.

Les moments de forces permettent de déterminer la condition d'équilibre de rotation del'aiguille.

Remarque importante :

Avant de procéder à une mesure, il est important de contrôler laposition de l'aiguille à zéro. Si ce n'est pas le cas, il faut ajuster laposition au moyen du réglage repéré par ce symbole.

point d'application

A

F

r

α



Dans la pratique, pour éviter que le champ d'induction B puisse être perpendiculaire aucadre mobile, les noyaux et l'aimant sont construits avec une forme particulière.

Par cette forme, les lignes de force sont concentrées sur le cadre mobile diminuant ladispersion du flux Φ.

12.3 Instrument à cadre mobile :

Les instruments de mesure à courant continu sont généralement pourvus d'un équipement àcadre mobile.

Ce cadre mobile utilise la force électromagnétique F que subit une bobineou un conducteur parcouru par un courant I et placé dans un champ d'induction B .

Symbole général des instruments à cadre mobile :

C'est la relation de Laplace qui est utilisée :

F B Il= × Produit vectoriel ! (prononcer B cross Il

Vue d'ensemble d'un appareil à cadre mobile :

1) Aimant permanent générateur d'un champ d'induction B

2) Noyau en fer doux pour guider les lignes de force de l'aimant permanent

3) Noyau en fer doux pour guider les lignes de force de la bobine siège du courant I mesuré

4) Bobine complète à cadre mobile dans laquelle circule le courant I mesuré

5) Cadre en aluminium, support de la bobine



12.4 Principe de fonctionnement :

Le courant à mesurer passe par les enroulements d'une bobine ou cadre mobile suspenduentre les pôles d'un aimant.

Fil assurant l'amenéedu courant I et lasuspension du cadre,ainsi que le momentmécanique de torsiondans les appareilssimples.

Dans les appareils unpeu plus performants,ce sont des ressortsen spirales quiassurent le moment derappel.

Nous voyons que sur les côtés du cadre, parallèles aux lignes de forces du champ

d'induction

B , les forces électromagnétiques F se compensent.

Par contre, sur les faces du cadre, perpendiculaire au champ d'induction

B , les forces

électromagnétiques F constituent un couple de forces.

Vue de dessus :

Pôle Nord Pôle Su d

B b

I

I

F

Fc

c

bI L

BF IPôle Nord

Pôle Su d

N

S

F

c

F

Fc



12.5 Utilisation de l'instrument à cadre mobile :

Cet instrument ne peut s'utiliser qu'en courant continu ou stable, car le sens des lignes deforce de l'aimant ne doit pas changer en fonction du courant mesuré.

Lors de la mesure, il faut être attentif à la polarité, car si le courant I engendre une force

électromagnétique F inverse du champ d'induction

B , l'aiguille va taper la butée, sedéformer et ne plus indiquer précisément les mesures futures.

Le symbole pour indiquer le genre de courant à mesuré est :

Avec ce principe, nous ne pouvons mesurer que des courants électriques I . Pour la mesurede tension U , on mesure le courant qui traverse l'appareil à cadre mobile raccordé enparallèle. La lecture de la valeur de ce courant est faite sur une échelle graduée en tension.Pour que cette mesure soit correcte et ne modifie pas les caractéristiques du circuit, larésistance interne de l'instrument doit être très grande.

Ce principe de mesure est identique pour tous les appareils de mesure analogique, àl'exception de l'instrument électrostatique.

Etude :

Un appareil de mesure parcouru par un courant I de 1 [A] provoque un moment M maximum.Ce moment M est obtenu par le bras de levier r que constitue le cadre mobile et par uneforce électromagnétique F . Cette force électromagnétique F est proportionnelle aucourant I , à la longueur l, et au champ d'induction B . Soit les relations suivantes :

M F r= × F B Il= ×Comme nous admettons la perpendicularité entre B et l , nous pouvons écrire le produitscalaire :

M r B I l= ⋅ ⋅ ⋅

Remarque : Ceci nous amène trop loin dans l'étude des circuits magnétiques et nousnous contenterons du principe. Par contre, électriquement, il estnécessaire d'étudier le circuit de l'appareil de mesure.

Schéma de l'appareil de mesure dans le circuit électrique :

cadre mobile

Ri

récepteur



Exemple :

Un appareil à cadre mobile présente une résistance de 100 [Ω]. Nous désirons mesurer uncourant de 1 [A]. L'aiguille se trouve à fond d'échelle lorsqu'un courant de 10 [mA] circuledans l'appareil.

Nous savons que l'appareil de mesure supporte un courant maximum Imax de 10 [mA].

Le courant maximum Imes mesuré sera de 1 [A].

Ceci implique que nous devons réaliser un passage de courant I ailleurs que dans l'organe demesure. Nous exécuterons un pont mis en parallèle sur les bornes de l'instrument.

cadre mobile

Ri

Rshunt

1 [A]

990 [mA]

10 [mA]

1 [A]

1 [A]

990 [mA]

10 [mA]

récepteur

Le point de passage du courant s'appelle un SHUNT.

12.6 Dimensionnement du Shunt :

Appliquons les lois de Kirchhoff et d'Ohm :

Σ ΣI Itotaux partiels= U R I= ⋅ I I Itotal instrument shunt= +

Comme nous sommes en parallèle, la tension Uinstrument est égale à la tension Ushunt .

U Uinstrument shunt=

Remplaçons par la loi d'Ohm :

R I R Iinstrument instrument shunt shunt⋅ = ⋅

Cherchons les inconnues que sont Ishunt et Rshunt

( )R I R I Iinstrument instrument shunt total instrument⋅ = ⋅ − RR I

I Ishuntinstrument instrument

total instrument=

⋅−


( ) [ ]Rshunt =⋅ ⋅

− ⋅

−

−100 10 10

1 10 10

3

3 = 1.01 Ω

Remarque : Si nous désirons obtenir une autre valeur à fond d'échelle, nousremplacerons ce shunt par un shunt d'une autre valeur.



Exemple pratique :

Nous disposons d'un organe de mesure à cadre mobile dont les caractéristiques sont lessuivantes :

Courant maximum : 4.7 [mA] Tension aux bornes : 700 [mV]

Cet instrument doit être utilisé pour la mesure de courants de différentes intensités. Pourcela il faut prévoir 3 extensions de mesure pour les valeurs suivantes :

I1 = 50 [mA] I2 = 660 [mA] I3 = 1250 [mA]

Dessiner le schéma électrique de l'instrument complet, équipé de tous les élémentsnécessaires pour effectuer les mesures désirées.

Calculer les valeurs des résistances shunt.

Relation : RR I


total instrument=

⋅−

Schéma électrique de l'instrument :

cadre mobile

Ri

Rshunt 1

45.3 [mA]

4.7 [mA]

récepteur

655.3 [mA]

Rshunt 21245.3 [mA]

Rshunt 3

4.7 [mA]

50 [mA]

660 [mA]

1250 [mA]

Le courant maximum admissible dans le cadre mobile est de 4.7 [mA]. Il faut donc dévier lecourant supérieur à cette valeur. Cette déviation est effectuée au moyen de la résistanceshunt placée en parallèle aux bornes du cadre mobile.

Pour simplifier les calculs, nous utilisons 3 résistances shunt, une pour chaque gamme demesure, bien que ce ne soit pas toujours le cas dans la pratique.

Les valeurs inscrites sur les interrupteurs indiquent les gammes de mesure et non lescourants les traversant.

Avant de commencer le calcul des résistances shunt, nous devons déterminer la valeur de larésistance interne du cadre mobile.

RUIinst

instrument

instrument= =

⋅⋅

=−

−700 104 7 10

148 943

3.. [ ]Ω



Calcul des résistances shunt :

RR I


total instrument1

3

3 3148 94 4 7 10

50 10 4 7 10=

⋅−

=⋅ ⋅

⋅ − ⋅=

−

− −. .

. 15.45 [ ]Ω

RR I


total instrument2

3

3 3148 94 4 7 10

660 10 4 7 10=

⋅−

=⋅ ⋅

⋅ − ⋅=

−

− −. .

. 1.07 [ ]Ω

RR I


total instrument3

3

3 3148 94 4 7 10

1250 10 4 7 10=

⋅−

=⋅ ⋅

⋅ − ⋅=

−

− −. .

. 562 [m ]Ω

12.7 Utilisation de l'instrument à cadre mobile en voltmètre :Dans la pratique, nous désirons également mesurer des tensions U à l'aide d'un cadremobile.

cadre mobile

RiRaditionnelle

+ -

URa Uinstrument

Utotal

Dans ce cas, la résistance est placée en série et elle se nomme Radditionnelle

Nous savons que l'appareil de mesure supporte, de par sa construction, un courant I de 10[mA] et que sa résistance interne Ri est de 100 [Ω] .

La tension U maximum que nous désirons mesurer est de 300 [V].

Ceci implique que nous devons réaliser un réducteur de tension U en plaçant une résistanceadditionnelle en série.

12.8 Dimensionnement de la résistance additionnelle

Appliquons les lois de Kirchhoff et d'Ohm :

Σ ΣU Utotale partielles= U R I= ⋅ U R Iinstrument instrument instrument= ⋅

U U Utotal instrument Radditionnelle= +



Comme nous sommes en série, le courant Iinstrument est égal au courant IRadditionnelle .

Nous abrégeons de la manière suivante : I Iinstr Radd=

Remplaçons par la loi d'Ohm et cherchons l'inconnue qu'est Radd

( ) ( )U R I R Itotale instr instr add instr= ⋅ + ⋅ ( )

RU R I

Iaddtotale instr instr

instr=

− ⋅


( )[ ]R kadd =

− ⋅ ⋅

⋅

−

−300 100 10 10

10 10

3

3 = 29.9 Ω

Remarque : Si nous désirons obtenir une autre valeur à fond d'échelle, nousremplacerons cette résistance additionnelle par une résistance d'une autrevaleur.

12.9 Schéma d'un multimètre :Le multimètre est un ampèremètre que l'on peut également utiliser comme voltmètre. Lechoix de la mesure s'effectue au moyen d'un commutateur qui raccorde soit une résistanceshunt pour une mesure de courant, soit une résistance additionnelle pour une mesure detension.

A gauche du schéma se trouvent les deux bornes de connexion de l'instrument. La borne COM(commun) est directement reliée au cadre mobile. L'autre borne A V Ω est reliée aucommutateur de fonction. En bas à droite un commutateur à trois positions détermine le genrede tension/courant mesuré, soit AC ou DC. La position de droite place l'instrument en positionde mesure ohmique. Pour cet instrument, le cadre mobile a une déviation complète avec uncourant de 36 [µA].

En haut du schéma se trouve le commutateur qui va définir la gamme de mesure ainsi que legenre de mesure effectuée.

Contacts 1 à 7 Contacts 8 à 11 : Contacts 12 à 18 :

mesures de courants mesures ohmiques mesures de tensions



12.10 Résistance interne des instruments de mesure

Nous avons démontré, au moyen de nos exemples, que :

un ampèremètre doit posséder une petite résistance interne

un voltmètre doit posséder une grande résistance interne

Remarque : Les résistances additionnelles ou shunt ont une certaine tolérance. Plus latolérance est petite et moins l'erreur de mesure sera grande. Le circuitmagnétique influence aussi cette qualité de la mesure.

12.11 Instrument de mesure électrodynamique :

Dans l'instrument de mesure à cadre mobile, nous avons étudié que le champ d'induction Bétait dû à la présence d'un aimant permanent.

Comme nous l'avons vu en magnétisme, il est possible de remplacer l'aimant permanent parune bobine traversée par un courant.

Cet instrument devient alors un appareil de mesure électrodynamique. La technologie de cetappareil en fait un instrument moins sensible et plus robuste que l'appareil à cadre mobile.

Vue d'ensemble :

Symbole de l'instrument :

1) bobine de champ d'induction B

2) noyau en fer doux pour guiderles lignes de force de la bobine

3) bobine complète à cadre mobiledans laquelle circule le courantI mesuré

4) amortisseur supplémentairetravaillant comme le fil detorsion

Principe de fonctionnement :

Le courant à mesurer passe par les enroulements d'une bobine (3) ou cadre mobile suspendu

entre les pôles d'un noyau supportant la bobine (2) générant le champ d'induction

B .

La suite du fonctionnement est la même que pour l'instrument à cadre mobile.



12.12 Utilisation de l'instrument de mesure électrodynamiqueCet instrument de mesure permet de mesurer des courants continus ou des courants

alternatifs. Le champ d'induction

B de la bobine est parcouru par un courant I dépendantdu courant I mesuré. Ce qui n'était pas le cas de l'aimant permanent.

Le symbole est, pour indiquer le genre de courant mesuré :

12.13 Wattmètre électrodynamique :Nous avons étudié l'instrument de mesure électrodynamique capable de mesurer unetension U ou un courant I.

Dans la pratique, il est nécessaire de mesurer la puissance P. La puissance P est le produitde la tension u et du courant i à chaque instant .

Son symbole est :

Vue d'ensemble :

1) bobine de champ d'induction B dépendantdu courant I mesuré

2) noyau en fer doux pour guider les lignesde force de la bobine courant (pasdessiné)

3) bobine complète à cadre mobile danslaquelle circule le courant I dépendant dela tension U mesurée, engendrant unchamp d'induction B

4) amortisseur supplémentaire travaillantcomme le fil de torsion

12.14 Principe de fonctionnement :Le courant à mesurer passe par les enroulements de la bobine fixe provoquant un champ

d'induction

B , repéré BI , impliquant une force électromagnétique FI .

Le courant I circule dans la bobine mobile, est l'image de la tension U mesurée. Ce courant

I engendre un champ d'induction

B dépendant de la tension U et repéré par BU. Une forceélectromagnétique FU se manifeste.

Ces 2 forces électromagnétiques provoquent un moment M . Ce qui a comme conséquencede déplacer l'aiguille de l'instrument de mesure.

f

f

f '

1

iBi

f '1

1

3

4



12.15 Utilisation du wattmètre électrodynamique :Cet instrument est surtout utilisé comme wattmètre. Une bobine est utilisée pour la mesuredu courant et l'autre pour la mesure de la tension. La déviation de l'aiguille dépend nonseulement du flux magnétique des deux bobines mais également du déphasage entre U et I.

Nous mesurons donc : P = U ⋅ I ⋅ cosϕ

Remarque : La notion de puissance active P est abordée dans le chapitre traitant despuissances en régime alternatif sinusoïdal.

12.16 Schémas d'utilisation du wattmètre électrodynamique:Comme nous venons de le voir, ce type d'appareil est généralement utilisé commewattmètre, mais il est également possible de l'utiliser comme varmètre (indication de lapuissance réactive). Pour cela, il suffit de créer un déphasage de 90 [°] de la bobine detension. Le déphasage est créé soit par une inductance, soit une capacité.

Les schémas ci-dessous montrent les différents montages possibles.

wattmètre

Mesure de la puissance active

La bobine mobile est utiliséepour la tension et la bobine dechamp comme bobine decourant.

varmètre

Mesure de la puissance réactive

Une inductance L est montée ensérie avec la bobine de la tension.

Cette inductance provoque undéphasage de 90 [°]

ampèremètre

Mesure du courant

Les deux bobines sont montéesen série. Elles sont parcouruespar le même courant.

Z~

Z~ R

L

Z~



voltmètre

Mesure de la tension

Les deux bobines sont montéesen série, mais le courant de lacharge ne les traverse pas.

12.17 Instrument de mesure ferromagnétique ou à fer doux :Dans l'instrument de mesure électrodynamique, nous avons vu que le champ d'induction

B était dû à la présence d'une bobine, siège du champ d'induction

B . Le moment Métait obtenu par l'intermédiaire d'une bobine sur un cadre mobile.

Comme nous avons vu en magnétisme, il est possible de remplacer cette bobine de cadremobile par un noyau de fer doux.

Le fer doux possédant une certaine perméabilité relative µr

Cet instrument devient alors un appareil de mesure ferromagnétique.

Son symbole est :

Vue d'ensemble :

1) raccordement de la bobine de champd'induction B

2) bobine de champ d'induction B

3) noyau en fer doux influencé par les lignesde force de la bobine

4) amortisseur supplémentaire travaillantcomme le fil de torsion (tube fermé)

5) ailette de l'amortisseur


Le courant à mesurer passe par les enroulements d'une bobine générant le champ

d'induction

B .

Les lignes de force vont passer dans l'air. Elles provoquent une aimantation à l 'intérieurde cette bobine.

Les matériaux ferromagnétiques ont la propriété de rassembler et de canaliser leslignes de force qui entrent ou sortent perpendiculairement au matériau.

Nous pouvons dire que le flux magnétique Φ est constant à travers toutes les aires d'unmême tube de champ.

Z~



Calculons le champ d'induction

B dans la bobine. Quand les N spires, entourant le milieuoù se trouve le noyau en fer doux, sont parcourues par un courant électrique I, nouspouvons dire que le noyau ferromagnétique canalise les lignes de force.

Dans l'air, nous pouvons dire que :

B Hair air= ⋅µ0

Dans le fer, nous pouvons dire que :

B Hfer r fer= ⋅ ⋅µ µ0

D'après la conservation du flux magnétique Φ :

Φ = ⋅ = ⋅B A B Aair air fer fer

Nous pouvons démontrer, comme Ampère l'avait fait, que l'intensité du champ magnétique

H est dépendante du courant électrique I générateur du champ d'induction

B et de la

longueur l soumise aux lignes de force du champ d'induction

B .

1air 1air1ferN nombre de spiresI

12.18 Loi d'Ampère :Nous pouvons énoncer la loi d'Ampère de la façon suivante :

N I H I H Iair air fer fer⋅ = ⋅ + ⋅

Si nous admettons la perpendicularité, nous obtenons la relation suivante, à l'aide desautres relations :

Nous savons que B Hr= ⋅ ⋅µ µ0 que nous transformons HB

r=

⋅µ µ0

remplaçons H par B

rµ µ0 ⋅

N IB

IB

Iair

rair

fer

rfer⋅ =

⋅⋅ +

⋅⋅

µ µ µ µ0 0



Nous savons que BA

=Φ

remplaçons B par ΦA

N IA

IA

Ir air

airr fer

fer⋅ =⋅ ⋅

⋅ +⋅ ⋅

⋅Φ Φ

µ µ µ µ0 0

Comme le flux magnétique Φ est constant, nous allons effectuer une mise en évidencepar Φ :

N II

AI

Aair

r air

fer

r fer⋅ =

⋅ ⋅+

⋅ ⋅

⋅

µ µ µ µ0 0Φ

Le terme I

AI

Aair

r air

fer

r ferµ µ µ µ0 0⋅ ⋅+

⋅ ⋅

exprime l'opposition faite au passage des

lignes de force. Ce terme peut être remplacé par la réluctance magnétique ℜ .

Loi :

Son symbole de grandeur est :

Son symbole d'unité est : [A]

Remarque : Cette grandeur est parfois appelée la SOLENATION ou excitation , dontle symbole de grandeur est symbolisé par la lettre grecque téta : θ

Cette expression évoque des relations rencontrées pour un circuit électrique :

U R I= ⋅ dans le cas ou R R R Rn= + + +1 2 .....

et surtout, avec la relation de la résistance, en fonction de la résistivité, de la longueur,et de l'aire du fil

Rl

A=

⋅ρ

Dans notre cas et en magnétisme, la réluctance nous est donnée

ℜ =⋅ ⋅

+⋅ ⋅

IA

IA

air

r air

fer

r ferµ µ µ µ0 0

Nous constatons que nous pouvons adopter les mêmes démarches théoriques entre lemagnétisme et l'électrotechnique, avec une fois une source de tension et l'autre fois unesource de courant.

La suite du fonctionnement est la même que pour l'instrument à cadre mobile ou pourl'instrument électrodynamique.

Au passage du courant de mesure I, la bobine magnétise le noyau en fer doux et l'attire,

provoquant ainsi un moment M sur l'aiguille.

N I⋅ = ℜ ⋅ Φ

NI



12.19 Utilisation de l'instrument de mesure ferromagnétique

L'instrument de mesure ferromagnétique permet de mesurer des courants continus ou

des courants variant dans le temps. Le champ d'induction B de la bobine est parcourupar un courant I dépendant du courant I mesuré. Ce qui n'était pas le cas de l'aimantpermanent.

Cet instrument de mesure est plus robuste que celui à cadre mobile (pas de filsd'alimentation de l'organe mobile).

12.20 Instrument électrostatique :Son principe est celui du condensateur à plaque, une des plaques étant mobile. En appliquantune tension sur les deux plaques, on les charges différemment. Un champ électrostatiqueest ainsi créé entre les plaques, de sorte qu'une force d'attraction s'établit entre elles.Cette force dépend de la tension mesurée.

Le sens de la déviation de l'aiguilleest toujours le même. Il est possiblede mesurer des tensions jusqu'à 500[kV], pour des fréquences maximumsde 100 [Hz] .

Symbole :

12.21 Instrument à lame vibrante :

Ce type d'appareil est utilisécomme fréquencemètre. Il estconstitué de lames d'acier dont lafréquence de résonance estdifférente pour chacune d'elles.Soumises à un champ magnétiquevariable, la lame qui entrera enrésonance se mettra à vibrer.

L'affichage est une fenêtre graduéeau travers de laquelle on peut voirquelle est la lame, ou quelles sont leslames, qui vibrent.

Symbole :



12.22 Instrument de mesure à induction :

Il existe des wattmètres à induction, mais ce type d'appareil est plus connu sous le nom decompteur d'énergie. Il utilise le principe du moteur asynchrone à rotor à cage. Il estconstitué de deux bobines (une première pour le courant et une seconde pour la tension),d'un disque en aluminium et d'un intégrateur mécanique (engrenage à vis qui entraînel'affichage).

Les bobines A et B induisent descourants de Foucault dans le disqueC. Ces derniers induisent à leur tourun flux magnétique induit. Il s'ensuitla création d'une force sur leconducteur (partie du disqueparcourue par les courants deFoucault) et d'un couple sur ledisque, qui entre en rotation.

Le couple de freinage est en rapportavec la vitesse de rotation du disque.Il est donné par un aimant permanentD engendrant le même type deréaction que décrit ci-dessus.

Symbole :

Les compteurs d'énergie ont tous une constante c [kWh-1] qui indique le nombre de toursque doit faire le disque pour une consommation d'énergie électrique de 1 [kWh].

On peut calculer la puissance d'un récepteur en calculant le temps t [s] que met le disquepour faire un certain nombre de tours a .

Exemple :

Un compteur a une constante c qui vaut 75 [kWh-1] et l'appareil qui est raccordé à sesbornes fait tourner le disque de 3 tours en une minute.

Quelle est la puissance du récepteur ?

Pa

c t=

⋅⋅

=⋅

⋅=

3600 3 360075 60

2 4. [kW]

Pa

c t=

⋅=

⋅=

375 0 01667

2 4.

. [kW]

[ ][ ] [ ]

[ ]kW

s

kWhs

=− ⋅

⋅1

[ ][ ]

[ ]kW

kWhh

=−

⋅1



12.23 Mesure au moyen d'un instrument à cadres croisés :Dans la pratique, nous utilisons des appareils à cadres croisés pour des ohmmètres, pourl'indication de la position de vannes ou des mesures de températures.

Cet instrument est un appareil de mesure de type électrodynamique. Il est muni d'unéquipement à cadre mobile constitué de 2 bobines en croix liées à l'organe mobile.

L'échelle est graduée en fonction de la nature de la mesure, soit par exemple en [Ω] ouOUVERT / FERME ou [°C]

Symbole :Vue d'ensemble :

1. bobine complète à cadremobile dans laquellecircule le courant Imesuré du circuit de lathermistance

2. Bobine complète à cadremobile dans laquellecircule le courant Imesuré du circuit de larésistance de réglage


Le courant à mesurer passe par les enroulements d'une bobine ou cadre mobile suspenduentre les pôles d'un noyau supportant la bobine générant le champ d'induction

B de lathermistance. Si ce courant est nul, la bobine de réglage va influencer le cadre mobile.L'aiguille va se trouver dans une certaine position. Cette position est donnée par le réglagedu couple M engendré par le courant circulant dans la résistance .

Lorsque le courant I1 circulant dans la thermistanceest égal au courant de réglage I2 , le couple Mrésultant des deux courants s'annule.

Si le courant circulant I1 dans la thermistance est plusgrand que le courant de réglage I2 , le couple Mrésultant fera dévier l'aiguille dans une certaineposition.

Cet instrument est appelé parfois :

appareil de mesure de quotients

R

Sonde de température

°C

+ -

1

2

°CI1 I2

°C

I1

I2



Le terme quotient signifie réellement que, quelle que soit la grandeur mesurée(température, position, résistance, etc.), nous mesurons toujours un courant I par rapport àune tension U dans un circuit. Ce courant provoque un champ d'induction B . Nous comparonsun deuxième champ d'induction à ce premier champ d'induction B. Ce champ d'induction Best provoqué par un courant I par rapport à une tension U.

12.24 Mesure d'autres grandeurs non électriques :

Toutes les grandeurs non électriques, tels l'humidité, la pression, le débit de liquide, lesniveaux de remplissage ou la surveillance de phénomènes de combustion (analyse de gaz), lesphénomènes électrochimiques, les rayonnements radioactifs, etc., requièrent des sondesadéquates appelées aussi capteurs.

Le marché propose des capteurs pouvant mesurer les grandeurs selon le principe dumontage en pont, mais aussi par l'intermédiaire d'amplificateurs de mesure.

Principe :

Une résistance variable de type PTC est alimentée par un courant de référence I0 .

Ce courant I0 engendre une tension de référence sur un amplificateur de mesure.

Si la résistance varie, la tension varie aussi aux bornes de l'amplificateur de mesure selonla loi d'Ohm.

U R IPTC= ⋅ 0

Les variations sont tellementpetites qu'il est nécessaired'agrandir cette variation,d'où le nom d'amplificateur.

Une tension d'alimentationest nécessaire pour alimenterle pont de mesure.

Les signaux traités peuventalors être utilisés à des finsde commande, de réglage oude surveillance.

ATTENTION DANGER !!!

Dans la pratique, faites bien attention à ne pas appliquer une tensiond'alimentation trop grande aux bornes des capteurs.

+

-

- U,I,R

+

Capteur thermométrique de type PTC

PT100

+ 24 [V]

- 24 [V]

I entre 0 et 20 [mA]

PTC

Signal de sortie vers le régulateuou l'organe de commande( traitement des signaux )



12.25 Mesure en pont de Wheatstone:

Dans la pratique, nous utilisons le pont de Wheatstone pour effectuer des mesures detempératures aux moyens de résistances à coefficient de température α positif ou négatif,abrégée PTC ou NTC (en anglais Positive Température Coefficient ou Negative TemperatureCoefficient).

Ces résistances sont parfois appeléesthermistances et sont symbolisées de lafaçon suivante en norme CEI :

Matière des thermistances :

Les thermistances sont construites à base de matières semi-conductrices. La caractéristiquedes semi-conducteurs est de posséder 4 électrons périphériques. Voir le chapitre dephysique électrique dans le volume 1 du cours d'électrotechnique.

Rappel : Un bon conducteur possède peu d'électrons périphériques.Un semi-conducteur en possède 4.Un isolant à sa couche périphérique saturée.

conducteurs semi-conducteurs isolants

12.26 Pont de Wheatstone:

Nous allons, par un pont de résistances connues et inconnues, ainsi qu'avec un instrument àcadre mobile très sensible, chercher la valeur de la résistance R variant avec la température θ.


Nous retombons dans les différentes loisélectriques étudiées précédemment. (Loid'Ohm et lois de Kirchhoff).

Les tensions sont proportionnelles auxrésistances, le montage en pont estéquilibré lorsque la différence de tensionUCD est nulle.

NTC

A

F

B

C

E

D

R1 R3

R NTCR2



Exemple :

Données :

R1 = 60 [Ω] R2 = 40 [Ω] R3 = 105 [Ω] RNTC 25 = 70 [Ω] UAF = 12 [V]

Inconnue :

UCD = ?

Relations :

U R I I Upartiels partielles= ⋅ = = I Utotal totalΣ Σ Σ Σ

Nous sommes dans un couplage mixte.

U R I I VAB AB tot tot= ⋅ = ⋅ =0 0 = UEF[ ]

ce qui implique que :

U U U U U U UAF AB BC CF EF CF BF= + + + + + = = 0 +UBC 0

mais aussi, puisque nous sommes en parallèle :

U U U U U U UAF AB BD DF EF DF BF= + + + + + = = 0 +U BD 0

Calculons la tension UBC

Nous allons faire une proportion. En effet, nous avons un couplage série, ce qui implique quele courant IBC est constant.

La tension UBC est proportionnelle aux résistances de la branche BE.

Le courant IBF dépend de la résistance équivalente RRF.

R R RBC = +1 2

Appliquons la loi d'Ohm :U I RBC BC BC= ⋅ que nous pouvons écrire :

U I RBC BF RC= ⋅ mais IBE s'obtient par :

UUR

RBCBE

BEBC= ⋅ ou: U U

RRBC BE

BC

BE= ⋅

Cette relation est parfois donnée sous le nom de diviseur de tension. Mais ce n'est pas unenouveauté, c'est la loi d'Ohm et les lois deKirchhoff.

Par cette méthode, nous pouvons obtenir latension UCE

Nous pouvons, toujours par cette méthode,donner les autres tensions de notre pont deWheatstone (puisque nous avons un couplageparallèle et ensuite série).

et pour la résistance de la thermistance

U URRCE BE

CE

BE= ⋅

U URRBD BE

BD

BE= ⋅

U UR

RDE BENTC

BE= ⋅ 25



Comme nous devons chercher la tension UCD, appliquons Kirchhoff et comparons les potentielsen C et D par rapport à une référence qui est notre point B.

U V VCD C D= −Application numérique :

( )U = U RR

12 60

60 + 40 = 7.2 [V]BC BE

BC

BE⋅ = ⋅

( )U = U RR

12 40

60 + 40 = 4.8 [V]CE BE

CE

BE⋅ = ⋅

( )U = U RR

12 105

105 +70 = 7.2 [V]BD BE

BD

BE⋅ = ⋅

( )U = U R

R 12

70105 +70

= 4.8 [V]DE BENTC25

BE⋅ = ⋅

°

U V VCD C D= − = − =7 2 7 2. . 0 [V]

Remarque : Il n'y a pas de différence de potentiel électrique entre les points C et D parrapport au point B. Si nous avions pris comme référence le point E, nousobtiendrons le même résultat.

U V VCD C D= − = − =4 8 4 8. . 0 [V]

Comme nous avons utilisé une thermistance, nous allons étudier le cas du pont de Wheatstonelorsque la température θ diminue, ce qui a comme conséquence d'augmenter la valeur de lathermistance selon la loi :

( )( )R R− ° ° − ° °= ⋅ + −10 25 10 251 α θ θ

Sachant que le coefficient de température α de cette thermistance est de -0.020408 [°C-1], calculons notre tension UCD.

Calculons la valeur de thermistance selon les données précédentes.

( )( )R− ° = ⋅ + − − −10 70 1 0 02408 10 25. = 120.00 [ ]Ω

Passons directement à l'application numérique de notre pont de Wheatstone avec la nouvellevaleur de thermistance :

( ) [ ]U = U RR

12 60

60 + 40 = 7.2 VBC BE

BC

BE⋅ = ⋅

( ) [ ]U = U RR

12 40

60 + 40 = 4.8 VCE BE

CE

BE⋅ = ⋅

Ces valeurs ne se trouvent pas modifiées par la thermistance, et constituent une référence.

( ) [ ]U = U RR

12 105

105 + 120 = 5.6 VBD BE

BD

BE⋅ = ⋅

( ) [ ]U = U R

R 12

120105 + 120

= 6.4 VDE BENTC25

BE⋅ = ⋅

°

U U UCD BC BD= − = − =7 2 56. . 1.6 [V]



Remarque : il y a une différence de potentiel électrique entre les points C et D parrapport au point B.

Ce qui implique que notre instrument de mesure va, selon les lois dumagnétisme vues auparavant, indiquer cette tension U par une déviation del'aiguille.

Un courant I de mesure va circuler du point C à D.

A

F

B

C

E

D

R1 R3

R NTCR2

7.2 [V] 5.6 [V]Imes

Si nous avions pris comme référence le point E, nous obtiendrions le résultat suivant :

U V VCD C D= − = − =4 8 6 4. . - 1.6 [V]

A

F

B

C

E

D

R1 R3

R NTCR2

4.8 [V] 6.4 [V]Imes

12.27 Interprétation des résultats :• Premièrement, il ne faut pas oublier que l'instrument de mesure possède une

résistance interne Rint.

• Ceci a comme effet de modifier le genre du couplage. Il n'est plus parallèle et série,mais un peu plus compliqué.

• Une méthode de calcul différente doit être adoptée et s'appelle transformation d'uncouplage de résistances en forme de triangle pour être ramenée à une représentationirréelle en forme d'étoile.



Triangle :

Triangle Etoile (purement imaginaire) :

RintNTC 2

int 2 NTC' =

R RR + R + R

⋅

R = R R

R + R + RNTC'int NTC

int 2 NTC

⋅

Cette résolution mathématique sort du cadre de notre cours. La relation est la suivante, maisnous ne la développerons pas.

R = R R

R + R + R2'int 2

int 2 NTC

⋅

Nous nous contenterons d'admettre que le point de Wheatstone a une différence depotentiel aux bornes de l'instrument de mesure, dont seule la valeur absolue nous importe.

Dans le cas de la mesure de la thermistance, cette tension UCD est une représentation de latempérature θ.

Aux points C et D, nous pouvons placer sur l'instrument de mesure une échelle graduée en[°C] ou encore placer un amplificateur de mesure donnant l'ordre de commander la mise enfonction d'un radiateur électrique.

C • • D

Dans la pratique, la mesure de la température ne se fait pas à côté du pont de mesure. Ilfaut donc compenser l'influence des variations de la température ambiante et surtout il fauttenir compte de la résistance des fils qui relient la sonde au système de mesure. Nousutilisons des montages particuliers et des résistances d'équilibrage spéciales.

A

F

B

C

E

D

R1 R3

R NTCR2

R int

A

F

R1 R3

R NTCR2

R int

'

'

'



Sonde en raccordement à 3 fils (sonde = thermistance)

Sonde

Fils vers la sonde

I constant env. 1/mA

4

3

1

Bornes appareils(n° correspondant

à VS 1000)

Pont de mesure avecsystème de mesure

(VS 1000 et appareil)

Schéma équivalent :

CuCu

Cu

1

4

3

Cu = résistance des fils de connexion

Nous constatons que la longueur du fil est prise en considération. N'oublions pas la relation :

R =⋅

lA

Cuρ

12.28 Autre application du pont de Wheatstone:

Le montage en pont est utilisé pour la mesure de précision des résistances.

Nous avons vu qu'il y a unecondition particulière d'équilibre.Cette condition est donnée parune tension nulle entre C et D.C'est un peu comme les plateauxd'une balance.

Le pont de mesure est équipé de 2résistances connues R1 et R3 etd'une résistance réglable R2 plusl'instrument de mesure.

B

C

E

D

R1 R3

R inconnueR2

+

-



Cette condition d'équilibre est obtenue lorsque le courant Imes est de 0.

Appliquons les lois de Kirchhoff :

Σ ΣI Itotal partiels=

( ) ( )I I I I Imes R R R Rinconnue= − + −1 2 3 = 0 [A]

Ceci implique que

R I R I I R IR R R inconnue R1 1 3 3 1 3⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ et R2

en divisant membre à membre, nous obtenons

RR

1 3

inc

RR2

=

d'où :

Rinc = RR

R3

12⋅

Dans la pratique, certains ponts sont construits au moyen de résistances linéaires remplaçantR1 et R2.

B

E

D

( R )1 R3

R inconnue( R )2

+

-

Comme la résistance R est fonction de :

R =⋅

lA

Cuρ

Lorsque nous avons une tension nulle UCD, nous pouvons dire que, par la construction de larésistance linéaire, l'aire A et la résistivité ρ sont constantes :

( ) )(Rinc = RR

R3

12⋅

R = R lA

l

Ainc3

1

2ρ

ρ

Cu

Cu

⋅ ⋅⋅

ce qui implique :

Rlinc = R

l32

1⋅



12.29 Instruments de mesure numériques:

Les instruments de mesures numériques sont constitués d'éléments électroniques et lesvaleurs mesurées sont affichées au moyen de chiffres.

Le principal avantage des instruments de mesure numériques est d'éliminer les erreurs delecture dues à l'imprécision de la lecture.

0 100

analogique numérique

avec une aiguille avec un affichage (display)

12.30 Définition du terme numérique :

Nous donnons le nom de NUMERIQUE, à un appareil, pouvant représenter par un NOMBRE lagrandeur mesurée.

Attention ! Il ne faut pas confondre !

4 est un chiffre, mais 1456 est un nombre composé de 4 chiffres.

Le chiffre est au nombre ce que la lettre est au mot !

12.31 Définition du terme digital:

Le terme de DIGITAL vient d'un anglicisme ayant comme synonyme BINAIRE (2 états). Ilest donc erroné de parler d'appareil de mesures à affichage digital.

Dans la pratique, les catalogues d'appareils de mesures entretiennent cette erreur enparlant d'affichage à 4.5 digits, à 4 digits, ou 3.5 digits.



Exemples :

Le digit est défini comme une composition de 7 segmentsnotés par les lettres a à g et pouvant donner l'illusion devoir un chiffre.

Remarque : Le terme digit est également utilisé pourdéfinir un mot de 4 bits servant àcommander ce type d'affichage.

Le demi-digit est défini comme une composition de 2segments notés b et c pouvant donner l'illusion de voirun 1 ou rien.

12.32 Symboles et indications spéciales des instrumentsnumériques :

Les principaux symboles des instruments numériques sont identiques à ceux des instrumentsanalogiques. Ils possèdent généralement une sélection automatique de la gamme de mesure,avec parfois la possibilité de passer en manuel pour des mesures particulières.

Contrairement aux instruments analogiques, la classe de précision ainsi que les symboles nefigurent pas sur l'instrument. Le triangle avec le point d'exclamation indique que lescaractéristiques se trouvent dans la documentation jointe avec l'instrument.

Exemples de caractéristiques :

a

b

c

d

e

f g

a

b

c

d

e

f g



Caractéristiques d'un instrument de mesure numérique:



12.33 Schéma d'un instrument de mesure numérique :

Description du fonctionnement :

Cet instrument est composé de 3 affichages (display) commandés par un circuit intégré(IC2) et par 5 transistors T1 à T5. Le premier circuit intégré IC1 effectue la conversion dela valeur analogique mesurée en une valeur numérique destinée à être affichée.

L'IC1 reçoit la valeur analogique (tension) sur ses bornes 10 et 11. La méthode utilisée pourmesurer cette valeur est celle de la comparaison. Le circuit intégré fournit une valeur deréférence (connue de lui) et il la compare avec la tension présente sur son entrée(inconnue). Si cette comparaison ne montre pas une égalité, le circuit intégré augmente savaleur de référence et il effectue une nouvelle comparaison. Il va procéder comme celajusqu'à ce que les deux valeurs comparées soient égales. Cette méthode permet au circuitintégré de déterminer avec précision la valeur de la tension présente sur ses bornesd'entrées.

Une fois cette valeur définie, IC1 donne une valeur numérique au résultat de sacomparaison. Cette valeur numérique est présente sous la forme d'un mot de 4 bits sur lesbornes 2, 1, 15, et 16. IC2 reçoit cette numérique et il la décode pour commander lesaffichages 7 segments.

Nous constatons que les 3 affichages sont montés en parallèle. Cela devrait poser unproblème, car tous les segments de même noms devraient s'allumer simultanément. Ce n'estpas le cas car nous avons à faire à un mode d'affichage multiplexé.

IC1, qui fournit les valeurs numériques de la tension mesurée, commande également ledisplay sur lequel cette valeur doit être affichée. Cette commande est réalisée au moyendes bornes 4, 3 et 5. Les transistors T1, T2 et T3 commandent l'alimentation desaffichages. Lorsque IC1 donne une valeur qui doit être affichée par le premier display, il vacommander son alimentation par l'intermédiaire de sa borne 4 et du transistor T1.

Avec ce type d'affichage multiplexé, les displays s'allument l'un après l'autre. Il n'y ajamais deux affichages allumés simultanément. La vitesse d'allumage est assez rapide pourque notre œil ne puisse pas percevoir cet effet (voir la définition de la persistancerétinienne dans le chapitre courant alternatif sinusoïdal). L'affichage multiplexé permetégalement d'économiser de l'énergie puisqu'il n'y a qu'un seul affichage allumé. Cettecaractéristique est importante pour les instruments portables qui fonctionnent sur piles.



12.34 Symboles des instruments de mesures :

Instrument pourcourant continu

Dispositif demesure à bobine à

cadre tournantavec aimant

Instrument pourcourant alternatif


cadre tournantavec redresseur

Instrument pourcourant continu et

alternatif


cadre tournantavec

Instrument pourcourant triphasé

équipé d'undispositif de

Dispositif demesure à quotientsà bobine à cadre

Instrument pourcourant triphasééquipé de deuxdispositifs de

Dispositif demesure à aimant

rotatifInstrument pourcourant triphasééquipé de troisdispositifs de

Dispositif demesure

électromagnétique,

Position d'emploiverticale

Dispositif demesure

électrodynamique

Position d'emploihorizontale

Dispositif demesure

électrodynamiqueposition d'emploi

oblique, avecdonnée de l'angle

d'inclinaison

Dispositif demesure dequotients

Tension d'essaisans valeur 500

[V]

Dispositif demesure dequotients

électrodynamique

Dispositif de mise àzéro de l'aiguille

Dispositif demesure à induction

Classe de précisionDispositif de

mesure bimétal

Dispositif demesure à vibration

Dispositif demesure

électrostatique



12.35 Erreur absolue des instruments de mesures :

Les appareils de mesure analogique possèdent tous une CLASSE DE PRECISION. Cetteindication se trouve, en général, sur l'appareil ou dans le catalogue, sous la forme suivante:

0.1 ou 0.2 ou 1 ou 2 ou 2.5

ou s'il n'y a pas d'indication cela implique 5.

Cette indication doit être interprétée de la façon suivante:

+ ou - 2.5 pour cent, de la valeur à fond d'échelle

Soit mathématiquement:

valeur absolue = valeur fond d'échelle ± tolérance

Exemple:

A fond d'échelle, nous pouvons mesurer une valeur de 100 [mA].

Valeur maximum indiquée par l'appareil de mesure:

valeur max absolue = valeur fond d'échelle + tolérance

valeur max absolue = 100 + (0.025 100) = 102.5 [mA]⋅

Ceci correspond donc au courant I réel pouvant circuler dans le montage lorsquel'ampèremètre indique 100 [mA].

Valeur minimum indiquée par l'appareil de mesure:

valeur min absolue = valeur fond d'échelle - tolérance

[ ]valeur min absolue = 100 - (0.025 100) = 97.5 mA⋅

Ceci correspond donc au courant I réel pouvant circuler dans le montage lorsquel'ampèremètre indique 100 [mA].

12.36 Erreur relative d'un instrument de mesure:

L'erreur absolue, de 2.5 [mA] dans notre cas, modifie la valeur lue au moyen de l'appareil.

Si nous mesurons une grandeur à mi-cadran, l'écart entre la valeur lue et la valeur pouvantcirculer dans le circuit modifie la précision de la mesure.

mesure réelle = valeur lue ± erreur absolue

Exemple:

valeur lue = 10 [mA] (à mi-cadran)

erreur absolue = 2.5 % de 100 [mA]



Relation:mesure réelle = valeur lue ± erreur absolue

erreur absolue = valeur fond d'échelle ⋅ tolérance

Application numérique:[ ]

[ ]

[ ]

erreur absolue = 100 0.025 = 2.5 mA

mesure max. réelle = 10 + 2.5 = 12.5 mA

mesure min. réelle = 10 - 2.5 = 7.5 mA

⋅

Calcul d'erreur :( )

erreurvaleur 1

= =- valeur 2

valeur 1

10 -7.510

0 25.

soit une erreur relative de la mesure de 25 % (0.25 ⋅⋅⋅⋅ 100%).

Nous constatons donc, qu'avec notre appareil de mesure, nous avons intérêt à modifierl'échelle afin que l'aiguille s'approche du fond d'échelle sans la dépasser pour ne pas forcersur la butée.

Echelle choisie : 10 [mA]

Lorsque l'aiguille est à fond d'échelle,l'erreur relative de la mesure se rapprocherade la valeur de l'erreur absolue. C'est doncdans cette zone que l'erreur sera la pluspetite.

Ce qui implique une erreur de la valeur absoluede l'appareil soit dans notre cas 2.5%.

Lors de mesures avec un instrument à affichage à aiguille, Il faut également prendre garde àl'erreur de parallaxe, voir page suivante.

12.37 Erreur de parallaxe :

La parallaxe est une source d'erreur et demanque de précision de la lecture faite parl'utilisateur de l'appareil de mesure. Selonvotre position par rapport à l'appareil, vousinterprétez différemment la mesure.

Pour éviter cette erreur, les appareils demesure à aiguille sont munis d'un miroir.Pour obtenir une bonne lecture, votre œildoit voir l'aiguille et son reflet dans unmême alignement par rapport à l'échelle.

miroir



12.38 Classe de précision des instruments numériques :La résistance interne des instruments de mesure numériques est beaucoup plus grande quecelle des appareils analogiques, et elle est fixe, quelle que soit la gamme de mesuresélectionnée. L'erreur induite lors des mesures ne sera importante que pour les circuits à trèsgrande impédance.

L'erreur de mesure des instruments numériques est de deux types.

1. Erreur dépendante de l'électronique de l'instrument

2. Erreur dépendante du nombre de mesures effectuées pour la conversionanalogique/numérique.

L'erreur est généralement donnée en % de la lecture ± une constante exprimée en unités ou endigits. Certains fabricants donnent l'erreur en % de l'échelle ± la constante. Cette façon defaire cache généralement la mauvaise qualité de l'appareil.

L'erreur constante (que nous donnerons en "digits") indique de combien le chiffre binaire depoids le plus faible peu être faux. Le chiffre de poids le plus faible représente la résolution del'appareil.

Exemple : pour une échelle de 100 [mV] et 2000 points de mesure, la résolution sera de0.1 [mV] .

12.39 Exemples de calculs d'erreurs des instruments numériques

1.Nous mesurons une tension de 50 [mV] sur l'échelle 100 [mV].L'instrument effectue 2000 points de mesure.

Caractéristiques : 0.1 % de la lecture et ± 0.5 digits. 1 digit = 0.1 [mV]

Erreur de lecture :50 10 01

10050 10

36⋅ ⋅

= ⋅−

−. [V] 50 [ V]µ 0.5 digits.

Erreur de constante :100 10

200050 10

36⋅

= ⋅−

− [V] 50 [ V]µ 0.5 digits.

Dans notre cas, la précision est de ± 0.5 digits, soit au total 1 digit, ce qui donne une erreur de100 [µV] .

Erreur totale = somme des erreurs :

50 10 50 10 100 106 6 6⋅ + ⋅ = ⋅− − − 100 [ V]µ

Cette erreur de 100 [µV] correspond à 1 digit.




Caractéristiques : 0.2 % de la lecture et ± 0.1 % de l'étendue de mesure.

Erreur de lecture :50 10 0 2

100100 10

36⋅ ⋅

= ⋅−

−. [V] 100 [ V]µ


100200 10 6. ⋅

= ⋅ − [V] 200 [ V]µ

Erreur totale = somme des erreurs

100 10 200 10 300 106 6 6⋅ + ⋅ = ⋅− − − [V] 300 [ V]µ

Cette erreur de 300 [µV] correspond à 3 digits.


Caractéristiques : 0.1 % et ± 1 digit.

Erreur de lecture :01 200

100200 10 6. ⋅

= ⋅ − [V] 200 [ V]µ


2000100 10

36⋅

= ⋅−

− [V] 100 [ V]µ

Cette erreur de 100 [µV] correspond à un digit. Dans notre cas, la précision est de ± 3 digits,soit au total 3 digits, ce qui donne une erreur de constante de 300 [µV] .

Erreur totale = somme des erreurs :

200 10 100 10 300 106 6 6⋅ + ⋅ = ⋅− − − 300 [ V]µ

Cette erreur de 300 [µV] correspond à 3 digits.

12.40 Dispositifs d'essais des instruments de mesure

En principe tous les appareils de mesure ont été testés.

Il est très important de respecter les directives de service de l'instrument avant touteutilisation.

Chaque appareil possède une indication de tension d'essai.

Cette tension est notée au moyen d'une étoile à 5 branches avecl'indication de la tension U en [kV].



Exemple :

Un multimètre porte l'indication suivante :

Que signifie ceci ?

Cela signifie que l'appareil a été testé avec une tension de 1 [kV] entre ses bornes, sans quel'appareil n'explose ou ne se casse mécaniquement.

Remarques : Cela ne signifie pas que votre appareil pourra mesurer la valeur de la tensiond'essai.

L'étoile, sans indication à l'intérieur, signifie que la tension d'essai est de 500 [V].

Certains appareils possèdent aussi un triangle avec un pointd'exclamation.

Cette indication peut signifier que cet appareil nécessite des précautions particulières ou uneutilisation particulière (choix des bornes ou tension et courant maximum).

Cette indication peut aussi signifier que l'appareil de mesure possède à l'intérieur descomposants électriques ne supportant pas des charges électrostatiques. Ces charges peuventêtre présentes lors d'un démontage de l'appareil de mesure (voir appareil de mesurenumérique).



12.41 Entraînement1. Nous disposons d'un cadre mobile aux caractéristiques suivantes :

Ri = 22 [Ω] Ui = 87 [mV]

Nous désirons l'utiliser pour mesurer des courants de 100 [mA] 500 [mA] et 2 [A]Dessiner le schéma électrique de l'instrument.Calculer les valeurs des Rshunt à intégrer dans l'instrument.

2. Nous disposons d'un instrument à cadre mobile aux caractéristiques identiquesque celui de l'exemple précédent.Dessiner le schéma électrique pour réaliser un instrument capable de mesurerles tensions suivantes :

150 [V] 250 [V] 300 [V] 500 [V] 1000 [V]

Calculer les valeurs des Radditionnelle à intégrer dans l'instrument.

3. Un cadre mobile a les caractéristiques suivantes : Ri = 36 [Ω] Ii = 1.86 [mA]Nous désirons l'utiliser pour mesurer des tensions de 100 [mV] 500 [mV] et 2 [V]Calculer les valeurs des résistances additionnelles.

4. Nous disposons de deux instruments identiques qui permettent de mesurerun courant maximum de 10 [A] et une tension maximum de 100 [V].Nous désirons les utiliser pour mesurer un courant de 28 [A] et une tension de 230 [V]

Proposer une solution pour chaque instrument.Dessiner les deux schémas électriques.Calculer les valeurs des éléments à ajouter.

6. Calculer la valeur de la résistance inconnue, sachant que, pour obtenir la valeurnulle sur le pont de Wheatstone suivant :

La tension U est de 12 [V], les résistancessont les suivantes :

R1 = 12 [Ω]R2 = 1.2 [Ω]

R3 = 4 [Ω]

7. Un instrument de mesure de classe 2.5 possède une échelle graduée de 0 à 5.Calculer l'erreur absolue lorsque le commutateur est sur la position 250 [V] AC .

R1

R3Rinconnue

R2

+

-



8. Quatre mesures sont faites au moyen de 2 appareils à affichage numérique.Un appareil possède 3.5 digits et l'autre 4.5 digits.Indiquer quelles sont les valeurs affichées selon l'exemple de la première mesure.

a) Première mesure effectuée : 104.96 [V]

1 0 5 0. 1 0 4 9 6.

3.5 digits 4.5 digit

b) seconde mesure U = 768.43 [V]

c) troisième mesure U = 1104.93 [V]

d) quatrième mesure U = 1.1247 [V]

9. Un instrument de mesure de classe 2.5 possède une échelle graduée de 0 à 5.Calculer l'erreur absolue lorsque le commutateur est sur la position 250 [V] AC .

Réponses :

1 . Résistances shunt pour chaque plage de mesure.Iinst = 3.95 [mA] Rshunt 100 = 905.82 [mΩ] Rshunt500 = 175.38 [mΩ] Rshunt2 = 43.58 [mΩ]

2. Résistances additionnelles en série. Ra150 = 14.9 [kΩ] Ra250 = 10 [kΩ]Ra300 = 5 [kΩ] Ra500 = 20 [kΩ] Ra1000 = 50 [kΩ]

3. Résistances additionnelles en série. Ra100 = 17.76 [Ω] Ra500 = 215.05 [Ω] Ra2 = 806.45 [Ω]

4. Rinst = 10 [Ω] Rshunt = 5.55 [Ω] Radd = 13 [Ω]

6. Rinconnue = 46.8 [Ω] 7. Erreur absolue = ± 6.25 [V]

Régime alternatif sinusoïdal


Chapitre 13


Sommaire

• Définitions des valeurs de courants alternatifs• Production d’une tension alternative• Valeurs de crête, moyenne et efficace• Représentations temporelles et vectorielles des signaux alternatifs• Addition de signaux en phase et déphasés

Introduction

13. Généralités et définitions :

Tout courant ou tension peut sereprésenter dans des systèmesd'axes i = f (t) pour les courants etu =f (t) pour les tensions, danslesquelles i et u représentent unevaleur instantanée (valeur à uninstant donné).

i = f (t) ou u = f (t) sont des représentations temporelles, puisque, dans le premiercas, il s'agit de représenter le courant i en fonction du temps t, et dans le second latension u en fonction du temps t. De façon plus générale, représenter une grandeuren fonction du temps.

Il existe plusieurs types de courants ou de tensions pour lesquels nous pouvons tracer cesreprésentations :

Remarque : L'utilisation d'une minuscule pour i ou pour u indique qu'il s'agit d'une valeurinstantanée, c'est à dire, la valeur du courant ou de la tension à un instantdonné. La courbe résultante représente l’ensemble des valeurs instantanées.

t[ms]

U , I

[A][V]

U

I



13.1 Formes de courants :

Courants continus DC Courants alternatifs ACi

t[s]

[A]

t1 t2 t3 t4

i3 i4i2i1

i

t[s]

[A]

t1 t2

t3 t4i3 i4

i2i1

La valeur et le sens du courantinstantané

ne changent pas.i1 = i2 = i3 = i4

La valeur et le sens du courantinstantané changent

i1 ≠ i2 ≠ i3 ≠ i4

courant pulsé : courant alternatif triangulaire:i

t[s]

[A]

i3 i4i2i1

t1 t2 t3 t4

i

t[s]

[A]

t1 t2

t3 t4i3

i4

i2i1

Seule la valeur du courantinstantané change.

Son sens est toujours le même.i1 ≠ i2 ≠ i3 ≠ i4

La valeur et le sens du courantinstantané changent.

i1 ≠ i2 ≠ i3 ≠ i4

courant pulsé : courant alternatif carré :i

t[s]

[A]

i3 i4i2i1

t1 t2 t3 t4

i

t[s]

[A]

t1 t2

t3 t4

i3 i4

i2i1

Seule la valeur instantanée ducourant change.

Son sens est toujours le même.i1 ≠ i2 ≠ i3 ≠ i4

Seul le sens du courant instantanéchange mais pas sa valeur.

i1 = i2 et i3 = i4 mais i2 ≠≠≠≠ i4



courant ondulé : courant alternatif sinusoïdal :i

t[s]

[A]

i3 i4i2i1

t1 t2 t3 t4

IDC

t[s]

i[A]

0

La valeur instantanée ducourant change, mais

n'atteint plus la valeur 0.

IDC en traitillé correspond à lavaleur moyenne des i

La valeur instantanée du courantchange périodiquement de sens et de

valeur

13.2 Définitions :

Forme d'onde :

Représentation graphique d'une grandeur, telle que i ou u, en fonction d'une certainevariable comme le temps.

Exemples de formes d’ondes : ondulée , carrée , sinusoïdale , rectangulaire

Valeur instantanée :

Valeur d'une forme d'onde à un instant donné. Elle se note par une lettre minuscule.

Exemples de notation : i , u , s

Amplitude de crête :

Valeur maximum positive ou négative que prend une forme d'onde. Elle se note avec uncirconflexe sur le symbole de grandeur.

Exemples de notation : Î . Û

Amplitude peak to peak , crête à creux :

Valeur maximum d'une forme d'onde mesurée de sa valeur maximum positive à sa valeurmaximum négative. Elle peut se noter de plusieurs manières.

Exemples de notation :: Upp , Ipp , Ucc , Icc , U , I



Forme d'onde périodique :

Forme d'onde qui se reproduit à intervalles réguliers dans le temps.

Période :

Intervalle de temps pendant lequel une forme d'onde périodique se reproduit. La période semesure entre deux points identiques de la forme d'onde, soit sur le flanc montant, soit surle flanc descendant. Son symbole de grandeur est T et son unité s’exprime en [s].

Alternance :

Durée d'une demi-période. L'alternance est soit positive, soit négative.

Fréquence :Nombre de périodes par seconde. Elle se note f et s'exprime en hertz [Hz]. f

T= 1

Exemples :i

t[s]

[A]max.

max.

max.

max.

i

i

Tpériode ou cycle

I

-I

Tpériode ou cycle

I

alternancepositive

alternancenégative

13.3 Radian :Définition : Un radian équivaut à l'angle qui, ayant son sommet au centre d'un cercle,

intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale àcelle du rayon du cercle.

Le cercle trigonométrique est sans unité et son rayon vaut1 .

L'angle dessiné représente 1 radian.

Circonférence c = 2 ⋅ π ⋅ r

c = π ⋅ d

Dans le cercle trigonométrique le rayon vaut 1 :

r =1 donc c = 2⋅π

donc : 360 ° = 2⋅π [rad]

π [rad] = 180 °

ϕ

r

r

r



Pour déterminer la correspondance d'un radian en degrés, il faut effectuer ledéveloppement suivant :

360 2= °ππ π

1 radian = 3602

= 180 1 [rad] = 57.2 [ ]

Pour les conversions, nous utiliserons :

x représente la valeurrecherchée

n représente le nombre connu

13.4 Représentation temporelle de la rotation du rayon vecteur:

90°π2

90°π2

270°3π2

180°π

360°2π

1

32

4

5

6

7

89

10

11

120

ω

180°π

270°3π2

360°2π

t[ s ]

90°π2

180°π

270°3π2

360°2π

Remarque : l'axe horizontal représente l'angle du vecteur tournant, à un moment donné,défini soit en degré, soit en radian.

13.5 Vitesse angulaire ou pulsation ω (oméga)La vitesse angulaire, appelée également pulsation, définit le nombre de radians effectuéspar seconde par le rayon vecteur tournant à l'intérieur du cercle.

formule générale de la vitesse : v st

= v vitesse s distance t temps

Dans l'application au cercle trigonométrique :

la distance s est remplacée par la circonférence du cercle 2πret comme le rayon vaut 1, c = 2π

le temps t est remplacé par la période T

la vitesse v est remplacée par la vitesse angulaire ω

[ ] [ ]

[ ] [ ]

conversion de degrés en radians x = 180

conversion de radians en degrés x = 180

rad n

n rad

π

π

⋅ °

° ⋅



Nous arrivons au développement suivant :

ω π ω π

ω π

ω

ω ω

= = =

= ⋅ ⋅

2 1 21

2

T ff

f

pulsation

et comme T nous obtenons

ce qui donne :

rads

ou 1s

1s

vitesse angulaire rads

13.6 Valeur instantanée :

T

I[A]ω

t[s]

α

i

t1

∆t

i = sin de l'angle

en appliquant les relations de trigonométrie nous pouvons dire :

formule 1

Le vecteur tourne à la vitesse constante ω . Le temps nécessaire pour parcourir 2 π [rad]est une période T. Il est donc possible de poser un rapport permettant de calculer l'angleparcouru durant une différence de temps ∆t séparant l'origine 0 du temps t1 .

[ ]2 2⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅

π α α πT t

tT

rad rad ss

Nous savons que 2 ⋅ =π ωT

donc : α = ω ⋅ t formule 2

sin

sinα α= = ⋅iI

I i



Plaçons la formule 2 dans la formule 1 :

i I t k= ⋅ ⋅ + ⋅ sin( )ω π2 [A] valable pour les composantes courants

u U t k= ⋅ ⋅ + ⋅ sin( )ω π2 [V] valable pour les composantes tensions

Remarques :Le rayon vecteur peut tourner plusieurs foisautour de son axe avec le facteur 2kπ .Nous savons que 2π = 360 ° , ce qui impliqueque 2kπ = k ⋅ 360 °

Le facteur k représente le nombre (entier) de tourseffectué par le rayon vecteur dans le cercle.

Exemple :α = π + 2kπ 180° + (1 ⋅ 360) = 540° avec k = 1α = π + 2kπ 180° + (2 ⋅ 360) = 900° avec k = 2

13.7 Production d’une tension alternative sinusoïdale

Il existe plusieurs manières de produiredes signaux de forme sinusoïdale,suivant l’application à laquelle ils sontdestinés.

Dans les appareils électroniques, lessignaux sinusoïdaux sont produits pardes circuits oscillants électroniques, oupar des générateurs de fonctions. Lescircuits oscillants feront l’objet d’uneétude ultérieure.

La puissance fournie par ce genre de générateur est très faible et ne convient pas pouralimenter une installation. Si nous désirons utiliser l'énergie fournie pour allumer une lampeou faire tourner un moteur, il faut utiliser un autre genre de générateur. Pour cela, il estfait appel aux lois du magnétisme.

En effet, lorsqu'une inductance est soumise à un champ magnétique extérieur variable, elleproduit une tension induite Ui à ses bornes. La valeur de cette tension Ui dépend descaractéristiques de l'inductance (nombre de spires, perméabilité du noyau) et de celles duchamp magnétique.

Rappel : Uti = − ∆Φ

∆U B l vi = − ⋅ ⋅

Ui [V] Φ [Wb] Φ [V ⋅ s] t [s] B [T] l [m] v ms



13.8 Démonstration du fonctionnement :

Deux bobines sont branchées en série et raccordées à un voltmètre.

Lorsque l'aimant placé au centre des bobines se met àtourner, une tension induite Ui apparaît aux bornes desbobines.

Cette tension est alternative car les deux bobines sontalternativement soumises au champ magnétique du pôleNord et du pôle sud de l'aimant. Les variations des lignesde forces de sens opposés produisent des tensions induitesde sens opposés.

Avec ce genre de montage, nous produisons une tensionalternative sinusoïdale. Les centrales de production d’énergie électrique sont équipées degénératrices qui fonctionnent selon le même principe, mais les générateurs sont de tailleplus importante et ils sont appelés ALTERNATEURS.

Ces sont les alternateursqui produisent la tensionprésente aux prisesélectriques.

Dans les centrales électriques, les alternateurs sont reliés mécaniquement à des turbines.Dans le cas de centrales hydrauliques, les turbines sont entraînées par l'eau accumulée pardes barrages dans des lacs artificiels, ou par l'eau des rivières. Dans les centralesthermiques, les turbines sont entraînées par la vapeur.

Nord

Sud

- +

0



13.9 Principe de fonctionnement d'un alternateur :

Un aimant permanent appelé ROTOR tourneau centre d’une carcasse.

Dans cette carcasse est logée une bobineappelée STATOR

Par le passage de l’aimant près de la bobine,une tension de forme sinusoïdale estproduite.

Dans les centrales, l’aimant est remplacé parun électroaimant pour obtenir une puissancesupérieure.

Fonctionnement électrique :

Cette représentation montre la forme detension présente aux bornes de la bobine enfonction de la position du rotor.

13.10 Valeur efficace :Cette valeur de courant ou de tension est définie par comparaison avec le courant ou latension continue.

Définition : La valeur efficace caractérise un courant non continu qui produit le mêmetravail qu'un courant continu, dans la même charge et durant le mêmeintervalle de temps. La valeur efficace de ce courant sera alors la même quecelle du courant continu.

La valeur efficace de la tension correspond à la même définition.

Exemple : Un récipient contient 5 litres d'eau. Nous désirons en augmenter latempérature de 20 [°C] au moyen d'une résistance

Lorsqu'elle est parcourue par un courant électrique, la résistancechauffe et transmet son énergie au liquide.

Pour notre exemple nous allons faire deux fois l'expérience.



1. La résistance alimentée par une tension continue DC

2. La résistance alimentée par une tension alternative AC

Pour tirer une conclusion et étudier le résultat, nous mesuronsle courant dans la résistance, pour les deux cas.

Expérience :

°C

résistance

DC~AC

A

S1

Relations :

Pour faire les calculs, nous utiliserons la formule générale de la puissance.

P U I= ⋅

Dans notre montage, nous connaissons I et R. Le développement de la formule de lapuissance donne la relation suivante :

P U I= ⋅ U R I= ⋅ P R I I= ⋅ ⋅ P R I= ⋅ 2

[W] = [V] ⋅ [A] [V] = [Ω] ⋅ [A] [W] = [Ω] ⋅ [A] ⋅ [A]

Pour calculer l'énergie W, il faut tenir compte de la puissance dissipée en fonction du temps t .

W P t [J] P R I R I= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ et [W] W t [J]2 2

[J] = [W] ⋅ [s] [W] = [Ω] ⋅[A]2 [J] = [Ω] ⋅ [A]2 ⋅ [s]

Dans nos deux expériences, nous mesurons la puissance instantanée dissipée dans larésistance.



Tableaux de mesure :

Circuit en courant continutemps résistance i instantané i2 puissance[ms] [Ω] [A] [A] [W]

0.00 10.00 5.00 25.00 250.002.00 10.00 5.00 25.00 250.004.00 10.00 5.00 25.00 250.006.00 10.00 5.00 25.00 250.008.00 10.00 5.00 25.00 250.00

10.00 10.00 5.00 25.00 250.0012.00 10.00 5.00 25.00 250.0014.00 10.00 5.00 25.00 250.0016.00 10.00 5.00 25.00 250.0018.00 10.00 5.00 25.00 250.0020.00 10.00 0.00 0.00 0.00

Circuit en courant alternatiftemps résistance I crête i instantané i2 puissance[ms] [Ω] [A] [A] [A]2 [W]

0.00 10.00 7.07 7.07 50.00 500.002.00 10.00 7.07 5.72 32.73 327.254.00 10.00 7.07 2.19 4.77 47.756.00 10.00 7.07 -2.19 4.77 47.758.00 10.00 7.07 -5.72 32.73 327.25

10.00 10.00 7.07 -7.07 50.00 500.0012.00 10.00 7.07 -5.72 32.73 327.2514.00 10.00 7.07 -2.19 4.77 47.7516.00 10.00 7.07 2.19 4.77 47.7518.00 10.00 7.07 5.72 32.73 327.2520.00 10.00 7.07 7.07 50.00 500.00

Constatations :

Dans le montage en DC, la puissance dissipée est la même à chaque instant, le courantinstantané ne change pas.

Dans le montage en AC, la puissance dissipée n'est pas constante et sa valeur maximum vautle double que pour le montage en DC. Le courant instantané varie.



Traçons les courbes de nos deux mesures :

t[s]

p , i

2

4

6

8

10[A][W]

i

50

100

150

200

250 p

p , i

2

4

6

8

10[A][W]

100

200

300

400

500

0 t[ms]

p

i

La puissance instantanée p est le produit de R ⋅ i2 .

Remarque : Puisque le courant est élevé au carré, la puissance est toujours positive, mêmelorsque le courant instantané est négatif.

Dans le circuit continu, la puissance est constante, alors que pour le circuit alternatif, lapuissance varie, elle n'est pas constante. Leurs valeurs ne sont par identiques.

t[s]

p[W]

100

200

300

400

500

p

t[s]

p[W]

0

p

100

200

300

400

500

L'aire représente le produit de la puissance P parle temps t ce qui correspond au travail W.



Pour comparer le travail en continu au travail en alternatif, nous allons découper l'aire dutravail alternatif de la manière suivante :

t[s]

p[W]

100

200

300

400

500

p

t[s]

p[W]

0

p

100

200

300

400

500

b ba1 a2 a1 a2

a2ba1

Constatation importante : L'aire résultante est la même en AC et en DC.

La surface b est deux fois plus grande que la surface a. La surface plus foncée représentele travail. Nous constatons que les parties de puissances instantanées qui dépassent durectangle plus foncé sont égales à l'addition des trois surfaces (a1 + b + a2).

Si nous ne tenons compte que des surfaces de nos diagrammes, la surface totale manquantecorrespond à (a1 + b + a2) , elle est comblée par les deux surfaces (b) .

Nous pouvons en déduire :

Simplifions notre égalité en éliminant la valeur de R puisqu'elle est commune :

R II I

eff⋅ ⋅ =22 2

2 2 = R Ieff

2

II I I

eff eff2

2

2 2 2= = =

I Ieff2

Après notre transformation, nous obtenons les relations suivantes :

I et I = I 2 effeffI

= ⋅

2

Les relations pour la tension sont identiques à celles du courant :

U et U = U 2 effeffU

= ⋅

2

P R Ieff= ⋅ = ⋅2 P RI2

2



Exemple :

A quel angle en degrés correspond le rapport entre la valeur de crête et la valeur efficaced'un courant ?

Relations :

II

eff = ⋅

2 I = I 2eff

Nous cherchons à déterminer quel est l'angle α à l'instant t où le courant instantané i a lamême valeur que le courant efficace I .

Nous pouvons dire qu'à cet instant , i = I et I I t= ⋅ sin( )ω

II

eff =

2 2 =

II

eff

remplaçons Ieff par

Ieff = I ( t) =I

I ( t) sin

sin⋅

⋅ω

ω2

I est éliminé par simplification :

21

=sin( )ωt

L'angle α que nous recherchons est donné par le sin(ωt)

sin( ) sinω αt = = °−12

12

1 = 45 [ ]

Remarques : Pour connaître l'angle, il faut appliquer une des fonctions suivantes :

arcsin , invsin , sin-1

Le nom de la fonction dépend du modèle de machine à calculer. Si la machine est en degrés,l'angle affiché sera en degrés, si la machine est en radians, l'angle affiché sera en radians.

L'angle α correspondant à la valeur efficace d'une tension ou d'un courant est de :π4

[rad] 45 [ ]° ou 24

2 180 45k kππ

+ + ° [rad] [ ]

L’indice eff n’est pas utile, en effet, lorsque nous rencontrons une valeur alternativemarquée U ou I , sans autres précisions, il s’agira toujours d'une valeur efficace.

Remarque : Dans les documents techniques, nous trouvons souvent l'indication RMSmentionnée à côté de certaines valeurs. Cette abréviation se rapporte à lavaleur efficace de la tension, du courant ou de la puissance.

RMS signifie Root (racine) Mean (moyenne) Square (carrée)

Il est fait référence à la valeur efficace, déterminée par la racine carrée de la moyennedes valeurs instantanées (moyenne géométrique).

)sin(ˆ tIi ω⋅=



Exemple :

Si nous reprenons la représentation avec le cercle trigonométrique, nous constatons que latension efficace correspond à la valeur instantanée de la tension à un angle de 45 °.

sin

..α α α= = =

opphyp

sin =uU

= = 45

12

10 707

10 707

u[V]

ω

t[s]

αu

13.11 Expérience sur la valeur efficace et la fréquence :

Une expérience simple à réaliser nous permet de visualiser la différence entre les valeursde crête et efficace d'un courant alternatif.

Schéma :

Deux lampes de caractéristiques identiques sont raccordées sur deux alimentations.

Le générateur de gauche fournit une tension alternative sinusoïdale AC de 10 [V] et d'unefréquence de 50 [Hz] .

Le générateur de droite fournit une tension continue DC d'une valeur de 10 [V] .

Les deux générateurs fournissent des tensions de même valeur, comme nous l'indiquent lesdeux voltmètres.



Première expérience : Valeur de crête d'une tension alternative AC.

Si nous observons les deux lampes, nous ne constatons aucune différences de luminosité. Ils'agit d'une confirmation de la théorie étudiée précédemment.

Un oscilloscope est également branché sur les deux lampes. Il nous montre la forme desdeux tensions. Nous constatons clairement que la valeur de la tension alternative AC estpériodiquement plus élevée que la valeur de la tension continue DC. La trace B (tension DC)coupe la trace A (tension AC) à la valeur efficace de la tension alternative. La valeurmaximum située au-dessus de la trace B représente la valeur de crête de la tensionalternative.

Nous constatons ici que pour obtenir une luminosité identique sur les deux lampes, la valeurde crête de la tension AC doit être supérieure à la valeur DC. Pour mieux observer lepassage par la valeur de crête, il suffit de diminuer la fréquence du générateur AC. Parexemple. Pour une fréquence de 1 [Hz] il est possible d'observer la lampe s'allumer ets'éteindre. Lorsque la tension atteint sa valeur de crête, la lampe AC émet plus de lumièreque la lampe DC.

Seconde expérience : Papillotement d'une lampe alimentée en AC

Pour voir les objets, nous utilisons naturellement nos yeux. Nous possédons deux yeux. Ilsnous permettent de distinguer le relief et de reconstituer une image en trois dimensions.Par analogie, nos oreilles nous permettent de distinguer la provenance des sons. Pour la vuecomme pour l'ouïe, notre cerveau reçoit deux signaux différents provenant de l'œil gaucheet de l'œil droit, soit de l'oreille gauche et l'oreille droite. Ces informations différentespermettent à notre cerveau de reconstituer le relief d'un objet pour la vue, ou laprovenance d'un son pour l’ouïe. Notre œil est très complexe. Pour simplifier notreexplication nous ne parlerons que de trois parties importantes :

L'iris Elle joue le rôle de l'obturateur del'appareil de photo. Elle se ferme sila lumière est violente, ou elles'ouvre si la lumière est faible.

Le cristallin Il joue le rôle de la lentille defocalisation. Il règle la netteté del'image sur la rétine. Par effetoptique, il inverse l'image dirigéesur la rétine.

La rétine Elle reçoit l'image et la convertit en signaux électriques qui seront dirigés parle nerf optique vers les centres de la vue, à l'arrière du cerveau. La rétine estcomposée de deux éléments différents, sensibles soit à la luminosité de l'objet,soit à la couleur de l'objet. Œil humain est 120 fois moins sensible aux couleursqu'à la luminosité des objets.

Lorsque nous observons un objet, son image reste "fixée" un instant sur la rétine. Si l'objetest trop lumineux, l'image persiste plusieurs secondes. Il s'agit de la persistancerétinienne. Cette dernière permet de lier les images entre elles; elle est à la base desnormes de télévision et de cinéma. Lorsque nous regardons un film au cinéma ou à latélévision, nous ne percevons pas le passage d'une image à l'autre. L'image reste "fixée" uninstant sur la rétine.

RETINE

CRISTALLIN

IRIS

NERF OPTIQUE



Retour à notre expérience :

Pour constater l'effet de la persistance rétinienne, nous allons faire varier la fréquence dugénérateur alternatif. Lorsque la fréquence est très basse (quelques Hertz) nous voyonstrès facilement la lampe s'allumer et s'éteindre. En augmentant la fréquence, la lampe semet à clignoter puis à papilloter. A partir d'une certaine fréquence, nous ne pouvons plusvoir la lampe s'allumer et s'éteindre. En effet, notre rétine "lie" les allumages successifsde la lampe.

A partir d'une certaine fréquence, ce n'est plus la rétine que fait effet de lien, mais lefilament de la lampe. Il n'a tout simplement plus le temps de refroidir, et donc des'éteindre ! Le réseau électrique fournit une fréquence de 50 [Hz]. Avec cette fréquence,nous ne percevons pas le papillotement.

13.12 Valeur moyenne :Il s'agit de la moyenne arithmétique des tensions ou des courants instantanés pris sur uneseule alternance.

Uu u u u u

nmoy =+ + + +1 2 3 4 5

Par développement, nous arrivons à larelation suivante :

U U Umoy = ⋅ ⋅2π

= 0.636

Pour expliquer la notion de tensionmoyenne Um, prenons le signal suivant :

u

tt t

1 2

u

tt t

1 2

2

4

6

8

10

[V]

Reprenons la formule énoncée plus haut : Uu u u

nmoyn=

+ + +1 2 .....

Valeurs mesurées :

u1 = 2.2 [V] u2 = 2.8 [V] u3 = 3.2 [V] u4 = 5.5 [V] u5 = 8.2 [V]

u6 = 9.8 [V] u7 = 9.7 [V] u8 = 8.2 [V] u9 = 4.7 [V] u10 = 3.9 [V]


Umoy =+ + + + + + + + +2 2 2 8 3 2 55 8 2 9 8 9 7 8 2 4 7 3 9

10582

. . . . . . . . . .. = [V]

t[s]

U

t1 t2 t3 t4 t5

[V]



13.13 Tension moyenne d'une période:En appliquant les principes étudiés précédemment, il est possible de calculer la tensionmoyenne d'une période T d'un signal sinusoïdal.

450 540 630 720

0

90 180 270 360

2

1

-1

-2

a[°]

u[V]

Nous ne ferons pas le développement complet, mais comme la valeur moyenne del'alternance positive est égale à la valeur moyenne absolue de l'alternance négative, nous endéduirons que la tension moyenne d'une période d'un signal alternatif sinusoïdal est nulle.

Tableau récapitulatif :

signal U Um eff

carrésymétrique

carrépositif

sinusoïdalalternatif

pulsé

redressementsimple alternance

pulsé

redressementdouble alternance

Umax

2

Umax

2

Umax

2

Umax

Umax

p

Umax

2

2 ×Umax

pUmax

2

0

0

t

u

[s]

[V]

t[s]

[V]u

t[s]

[V]u

t[s]

[V]u

t[s]

[V]u



13.15 Facteur de forme :

Dans certains types d'appareils de mesure, il est nécessaire de connaître le rapport entrela tension efficace U et la tension moyenne Um

Certains multimètres avec les symboles AC / DC mesurent un signal alternatif en leredressant au moyen de diodes montées en pont de Greatz.

Ces instruments universels mesurent la valeur moyenne du signal redressé et ils indiquent1.111 fois cette valeur.

Cette valeur de 1.111 se nomme facteur de forme et peut être calculée de la manièresuivante :

facteur de forme = U

Um

Pour déterminer la valeur du facteur de forme, nous utilisons les relations suivantes :

UU

m =2

π) U U= ⋅ 2

En remplaçant Û par sa valeur, nous obtenons :

UU

m =⋅ ⋅2 2

π

Nous cherchons à isoler la valeur du facteur de forme soit : U

Um

Pour isoler le facteur de forme, il faut : • diviser de chaque côté de l'égalité par Um

• diviser de chaque côté par 2 2⋅• multiplier de chaque côté par π

UU U

UU

UU

Umm

m m m=

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=2 2

2 22 2

2 2 2ππ π

ππ

2

Nous obtenons ainsi la relation suivante :

facteur de forme = U

U 1.111

m=

⋅=

π2 2

Ce facteur n'est applicable qu'en présence d'un signal sinusoïdal parfait et symétrique.

Dans la vie pratique, il est très souvent fait appel à des convertisseurs de fréquences pourcommander des appareils. Ces convertisseurs ont pour effet de créer une nouvelle formedu signal alternatif.

Les signaux présents à la sortie de ces convertisseurs ne sont plus des sinusoïdes parfaiteset le facteur de forme tel que nous venons de l'étudier n'est plus valable.



Lors de la mesure sur des appareils commandés par des convertisseurs, Il faut êtreattentif car la valeur affichée par l'instrument de mesure ne sera pas forcément correcte.

En télévision, la tension de commande du transformateur de très haute tension, présentesur le collecteur du transistor de commande, ne peut pas être mesurée avec un voltmètre,car la présence d'impulsions non sinusoïdales de fortes amplitudes fausse le fonctionnementde l'instrument de mesure.

De même que pour les appareils commandés par des convertisseurs de fréquence,l'oscilloscope est le seul instrument capable d'effectuer une mesure correcte.L'oscilloscope nous montre la forme réelle du signal. Dans cet exemple, nous constatons quela tension indiquée par le voltmètre n'est pas identique à celle de l'oscilloscope.

13.16 Relation de phase entre signaux de même fréquence :Dans un circuit alimenté en courant alternatif, il est possible que le courant et la tension nesoient pas en phase. On peut également trouver des circuits dans lesquels convergentplusieurs courants ou plusieurs tensions différentes et déphasées.

Dans ces cas, on parle de tensions ou de courants déphasés.

Le courant entrant Ie estégal au courant sortant Is .

I I Ie = +1 2

Suivant les caractéristiquesdes deux récepteurs, les

courants I1 et I2 peuvent nepas être en phase.

I I Ie = +1 2 somme vectorielle

I I Ie ≠ +1 2 somme mathématique

Récepteur 2Récepteur 1

I1I2

entrantI

sortantI



1. avance de phase

i I t= ⋅ ⋅ + sin( )ω ϕ

Dans ce cas, le courant I1

(trait gras) est en avancede phase par rapport aucourant I2 (trait fin).L’angle ϕ déterminel’avance de phase et il estpositif.

2. retard de phase

i I t= ⋅ ⋅ + − sin( ( ))ω ϕ

Dans ce cas, le courant I1

(trait gras) est en retardde phase par rapport aucourant I2 (trait fin).L’angle ϕ détermine leretard de phase et il estnégatif

13.17. Représentations vectorielles de signaux déphasés,de même fréquence

Les exemples que nous venons de voir utilisent des représentations temporelles pourmettre en évidence les déphasages. Il est également possible d’utiliser un diagrammevectoriel pour ces représentations.

Le diagramme vectoriel est plus simple à établir que la représentation temporelle, c’estpourquoi il est généralement utilisé.

ϕ

ω I[A]

α[°]

ϕ

t[s]

I2 I1

Pour tracer notre représentation vectorielle, nous devons choisir un instant donné. Dansnotre premier exemple, le diagramme vectoriel est tracé à l'instant t0 , soit au début de lareprésentation temporelle ci-dessus. L'instant pour lequel est tracé un diagramme vectorieln'est pas important car le déphasage est constant dans le temps.

ϕ

ω I[A]

ϕ[°]

ϕ

t

I1 I2l'angle correspond au déphasage entre les deux courbesϕ

[s]

ϕ

ω I[A]

ϕ[°]

ϕ

t[s]

I1I2

l'angle correspond au déphasage entre les deux courbesϕ



Pour différencier la valeur vectorielle, elle est notée surmontée par une flèche, c'est à direI 1 . Par simplification, le premier vecteur I 1 est tracé à l'horizontale. Ensuite, nous

dessinons le courant I 2 en fonction de son angle de déphasage.

Le courant I2 est en avance sur I1

L’angle ϕ détermine le déphasage.

Le courant I2 est en retard sur I1

L’angle ϕ détermine le déphasage.

13.18 Calcul du déphasage :

Dans la plupart des cas, le déphasage est exprimé en degrés. Il existe plusieurs méthodespour le calculer.

méthode directe

ϕ

ω

I1

I2

= courant dans le récepteur 1

= courant dans le récepteur 2I2

I1

ω

ϕI1

I2



I1

0

t T

u[V]

t[s]

ϕ ϕ=⋅

°360 t

T [ ]

ϕπ

ϕ=⋅2 t

T [rad]



méthode par Lissajous

méthode du sinus

a b

méthode de la tangente

a

b

méthode du sinus

ab

sinα = ab

sinα =ab

tan α2 = a

b

Pour ces deux mesures, il est nécessaire d'utiliser l'oscilloscope avec une déviation XY pourobtenir la figure de Lissajous. Cette notion est abordée lors de l'étude de l'oscilloscope.

Pour connaître l'angle, il faut appliquer une des fonctions suivantes :

arcsin , invsin , sin-1

Le nom de la fonction dépend du modèle de machine à calculer. Si la machine est en degrés,l'angle affiché sera en degrés, si la machine est en radians, l'angle affiché sera en radians.



13.19 Addition de tensions ou de courants déphasés demême fréquence:

Reprenons le schéma précédent. Dans ce circuit, les courants I1 et I2 ne sont pas en phase.Si nous désirons déterminer la valeur du courant total, il est nécessaire de procéder àl’addition des deux courants. Pour procéder à cette addition, nous pouvons utiliser unereprésentation soit temporelle, soit vectorielle.

Récepteur 2Récepteur 1

I1I2

entrantI

sortantI

13.20 Représentation temporelle :

[A]i

[s]t

I2

I1

Irésultant

i1 i2 i3 i4

i1 i2 i3i4

t1 t2 t3 t4

Il faut mesurer plusieurs valeurs instantanées des courants i1 et i2 et de les additionner. Enreliant les points, nous obtenons une courbe représentant le courant résultant dans lecircuit. Cette méthode a pour principal avantage de nous montrer la forme du courantrésultant obtenu, ainsi que toutes les valeurs du courant instantané.

Dans la majorité des exercices, cette représentation n’est pas utile, car seules les valeursefficaces et le déphasage nous intéressent. Nous utilisons alors une représentationvectorielle, plus simple et plus rapide.



13.21 Représentation vectorielle :

Reprenons le circuit composé de deux récepteurs dans lesquels circulent des courantsdéphasés I 1 et I 2 .

ϕ

ω

I1

I2



I1

Le courant I 2 est en avance sur I 1 . L’angle ϕ détermine le déphasage.

L’addition vectorielle nous donne le résultat suivant :

Ir

I1

I2



= courant résultant dans le circuit

ϕ

ωI2

Ir

I1

α

Ir = I entrant = I sortant

I1 I2+

ϕ déphasage entre I 1 et I 2 . α déphasage entre Ir et l’axe d’origine.

Exemple pour un courant I 2 en retard par rapport au courant I1 :

Ir

I1

I2



= courant résultant dans le circuit

ω

ϕ

I2

Ir

I1

α

ϕ déphasage entre I 1 et I 2 . α déphasage entre I r et l’axe d’origine.



13.22 Exercices

1. Quel est le genre de courant ou de tension affiché par les multimètres universels ?

2. Quels sont les symboles d'unités et de grandeurs utilisés pour définir la périodeet la fréquence ?

3. Une mesure en tension à l'intérieur d'un appareil nous donne une valeur de 46.8 [V].Quelles sont les valeurs, moyenne, de crête et efficace de cette tension ?

4. Quelles sont les valeurs, efficace, de crête et moyenne de la tension aux bornesd'une batterie de voiture ?

5. Un fer à souder de 60 [W] est raccordé soit sur une tension continue soit surune tension alternative de même valeur efficace. Dans quel cas le courant sera-t-ille plus important ?

6. Une mesure effectuée à l'oscilloscope donne une déviation verticale de la trace de 5 [cm].Réglages de l'oscilloscope : X : 1 [cm] 0.2 [ms] Y : 1 [cm] 500 [mV]Donner toutes les valeurs calculables avec ces indications

7. Définir la pulsation.

8. Calculer la période pour les fréquences suivantes : 16 2/3 [Hz] ; 50 [Hz] ; 100.1 [MHz]

9. A combien de radians un angle de 135 ° correspond-il ?

10. Quelle est la fréquence de papillotement d'une lampe à incandescence branchéesur le réseau alternatif aux USA ?

11. Une tension alternative sinusoïdale de 3 [V] engendre un déplacement de 32 [mm]sur la trace d'un oscilloscope. Quel déplacement provoquera une tension de 11 [V] ?

12. Une tension alternative sinusoïdale a une valeur de 60 [V] 75 ° après le débutde la période. Calculer la valeur efficace de cette tension.

13. Calculer la vitesse angulaire d'un courant alternatif sinusoïdal d'une fréquence de 36 [kHz]

14. Une tension alternative est mesurée à l'aide d'un oscilloscope. Sur l'écran,sa période mesure 45 [mm] avec un balayage réglé sur 2 [ms] par [cm].Calculer la fréquence de ce signal.

Réponses :

1. valeur efficace 2. période T en secondes [s] , fréquence f en Hertz [Hz]3. Û = 66.18 [V] , U = 46.8 [V] Um = 42.1 [V]4. Une batterie de voiture fourni une tension continue5. Le courant sera identique dans les deux cas, car IDC = Ieff

6.U = 1.59 [V] , Um = 1.43 [V]7. Vitesse angulaire ω , elle définit la vitesse de rotation du rayon vecteur.8. 16 2/3 [Hz] 60 [ms] , 50 [Hz] 20 [ms] , 100.1 [MHz] 9.99 [ns] 9. 2.356 [rad]10 f = 60 [Hz] papillotement 120 fois par secondes 11. 117.33 [mm] 12. U = 43.92 [V] 13. ω = 2.26 [rad ⋅ s-1] 14. T = 9 [ms] f = 111.11 [Hz]



Exercices :

1. Pour tous les axes, indiquer le symbole de la grandeur et le symbole de l'unité.

0

90 180 270 360

100

50

-50

-100

a) Dessiner sur le même graphique une courbe sinusoïdale sans déphasage,de même fréquence avec U = 30 [V] .

b) Marquer avec un point bleu le maximum positif des deux courbes.

c) Quelle est la différence de tension entre le maximum positif des deux courbes ?

d) Quelle est la différence angulaire (axe des X) entre la courbe A et la courbe B ?

e) Dessiner le diagramme vectoriel représentant la valeur efficace des deux courbes.

2. Compléter s’il y a lieu les axes(symboles d’unité et de grandeur)

Repérer la période, l’alternancepositive et l’alternance négative.

Quelle est la valeur de la tensionpour : 90 ° et 210 °

Quels sont les angles pour unetension de : 0.5 [V] et - 0.7 [V]

3. Convertir les angles suivants soit en radians, soit en degrés :.

135 ° 1.45 [rad] 360 ° 7.66 [rad] 425 ° 6.28 [rad]

4. Calculer les valeurs de courants et de tensions instantanées avec les données suivantes :

Î = 1.8 [A] f = 1 [kHz] t = 600 [µs] i = ?

U = 60 [V] f = 100 [Hz] t = 5 [ms] u = ?

U = 52 [V] u = 45 [V] t = 20 [ms] f = ?

Î = 2.5 [A]i = 680 [mA] t = 1400 [µs] f =

0

90 180 270 360

2

1

-1

-2



5. Une installation d'éclairage composée de 7 lampes montées en parallèle et d'une puissancede 25 [W] chacune. En cas de panne une alimentation de secours est mise en fonction pouréviter une coupure dans l'éclairage. L'alimentation de secours fonctionne avec des 4batteries 12 [V] montées en série. Calculer les courants efficaces et de crête dans lesdeux cas.

6. Compléter le tableau suivant :

Fréquence Pulsation Période Durée de l’alternance

f préfixes puissances[s]

500.5

102 [µs] 2 ⋅ 10-6 [s]

417125

2 [ns]1000

0.04 [s] 4 ⋅ 10-2 [s]

7. Un circuit est composé de deux récepteurs branchés en série.Les valeurs mesurées sont les suivantes :

U1 = 50 [V] U2 = 30 [V] ϕ = 70 °

Tracer le diagramme vectoriel et déterminer Ucircuit ainsi que l’angle de déphasagepar rapport à U1.

8. Un circuit est composé de trois récepteurs branchés en série.Les valeurs mesurées sont les suivantes :

U1 = 50 [V] U2 = 100 [V] U3 = 75 [V]angle U1 U2 = 90 ° angle U1 U3 = - 45 °

Tracer le diagramme vectoriel et déterminer Ualim ainsi que l’angle de déphasagepar rapport à U1 .

9. Un circuit est composé de trois récepteurs branchés parallèle.Les valeurs mesurées sont les suivantes :

I1 = 2.5 [A] I2 = 1500 [mA] I3 = 750 [mA]angle I1 I2 = - 90 ° angle I2 I3 = 135 °

Tracer le diagramme vectoriel et déterminer Ialimentation ainsi que l’anglede déphasage avec I3.

Réponses : 3. 135[°] 2.35[rad] 1.45 [rad] 83.08 [°] 360 [°] 6.28 [rad]7.66 [rad] 438.89 [°] 425 [°[ 7.41 [rad] 6.28 [rad] 360 [°]4. i = 118 [mA] u = 3.3 [V] f = 476.9 [Hz] f = 1794.3 [Hz]5. Icrête = 5.16 [A] Iefficace = 3.65 [A] IDC = 3.65 [A]

Circuits résistifs et réactifs


Chapitre 14


Sommaire

• Eléments résistifs et réactifs• Comportement d’une résistance en régime alternatif sinusoïdal• Comportement d’un condensateur en régime alternatif sinusoïdal• Comportement d’une inductance en régime alternatif sinusoïdal• Entraînement

Introduction

U R1UR1

I

~

U

I

Uc~

U

I

UL~

t[ms]

U , I

[A][V]

U

I

t[ms]

U , I

[A][V]

U

I

0

t[ms]

U , I

[A][V]

U

I

0



14 Définition des éléments résistifs et réactifs :Différents éléments composent les circuits électriques, en régime continu comme en régimealternatif. Nous trouvons principalement des résistances, des capacités (condensateurs) etdes inductances (bobines). Ces trois genres d’éléments ne se comportent pas de la même façonen régime continu ou en régime alternatif. Dans ce chapitre, nous allons étudier lesdifférentes possibilités de couplage de ces éléments ainsi que leurs différentscomportements.

14.1 Résistance :Une résistance peut être fabriquée selon plusieurs méthodes. Dans les circuits électroniquesde petite puissance, elle est de petite taille et généralement à film métallique ou à couche decarbone. En électricité basse tension (< 1000 [V] ) et dans les circuits de puissance, elle estréalisée au moyen d'un fil conducteur qui est souvent enroulé sur un support (résistancebobinée). La longueur ainsi que les caractéristiques du fil utilisé détermineront la valeur et lapuissance de la résistance.

Rappel : Rl

A=⋅ρ

[Ω]

Nous avons étudié trois possibilités de raccordement de résistances :

en série - en parallèle - mixte

Ces notions ont déjà été étudiées et il n’est pas utile de les aborder à nouveau. Nous nouscontenterons de récapituler les notions de base ainsi que les formules importantes pour cesmontages :

U

U

U

UR1

R3

R2

I R1

R2

R3

Montage série

UR1 + UR2 + UR3 - U = 0 V

I = IR1 = IR2 = IR3

Réqu = R1 + R2 + R3

U

R1 R3R2

I

R1 R2 R3

I I I

Montage parallèle

U = UR1 = UR2 = UR3

I = IR1 + IR2 + IR3

R

R R R

équ =+ +

11 1 1

1 2 3

U

R1 R3

R2I

R1

R2

R3

I I

I

R4I

R5I

R4

R5

U UU U U

R4

R5R3R1

R2

Montage mixte.

Le calcul d’un tel circuit dépendde sa complexité. Il estnécessaire d’utiliser les formulesdes montages série et parallèle.



14.2 Comportement d’une résistance :

Une des principales caractéristiques des résistances est de se comporter de la même manièrequel que soit le genre de tension qui lui est appliquée.

Représentations temporelles :

t[ms]

U , I

[A][V]

U

I

t[ms]

U , I

[A][V] U

I

Représentations vectorielles :

I U

ω

I U

Constatations :

• Il n’y a pas de différence de comportement entre le circuit alimenté par la sourcecontinue et celui alimenté par la source alternative.

• Une résistance idéale ne provoque aucun déphasage entre le courant et la tension.

• La valeur de la résistance idéale ne dépend pas de la valeur de la fréquence.

• Suivant sa technologie de construction, la résistance peut se comporter différemment par rapport au cas idéal que nous venons d'étudier.

U R1UR1

I

+

-

U R1UR1

I

~



14.3 Capacité :

Un condensateur peut être fabriqué selon plusieurs méthodes, ce qui définira sa forme et savaleur. Dans les circuits électroniques, sa taille doit être la plus petite possible. La taille ducondensateur est fortement dépendante de sa valeur (sa capacité).

Il est composé de deux armatures ou deux surfaces conductrices placées l’une en face del’autre et séparées par un isolant. La qualité de l’isolant, la distance entre les armatures et lasurface des armatures vont déterminer la capacité du condensateur.

Rappel : C = ε0 ⋅ εr ⋅ Ad

[F]

C = capacité en farad [F]

ε0 = permittivité du vide ou de l’air [F ⋅ m-1] εr = permittivité de l’isolant [-]

A = surface des armatures [m2] d = distance entre les armatures [m]

Comme pour les résistances, il y a trois raccordements possibles :


C2

C1

C3

Montage série

C

C C C

éq =+ +

11 1 1

1 2 3

C2C1 C3

Montage parallèle

Céq = C1 + C2 + C3

C2

C1 C3

C4

C5

C6

Montage mixte.

Le calcul d’un tel circuitdépend de sa complexité. Ilest nécessaire d’utiliser lesformules des montages sérieet parallèle.



14.4 Comportement du condensateur :

La caractéristique du condensateur est d’avoir un comportement différent en régime continuet en régime alternatif.

U

I

+

-

Uc U

I

Uc~


t[ms]

U , I

[A][V] U

t[ms]

U , I

[A][V]

U

I

0


U

ωI

U

Constatations :

• Il y a une importante différence de comportement entre le circuit alimenté par unesource continue et celui alimenté par une source alternative.

• Avec la source continue, il n’y a pas de courant. Le condensateur étant composéd’armatures séparées par un isolant, les électrons ne peuvent pas circuler.

• Avec la source alternative il y a un courant qui représente un échange de chargesentre les armatures.

• Le courant est en avance de 90 ° par rapport à la tension.

• La valeur du courant dépend de la capacité du condensateur, ainsi que dela fréquence et de la tension du générateur.



14.5 Fonctionnement d’un condensateur en courant continu :A l’enclenchement, le condensateur est déchargé et il se comporte comme un réservoir vide.Dans ce cas, il faut d’abord faire circuler un courant avant qu’une tension n'apparaisse auxbornes des armatures.

La charge du condensateur n’est pas linéaire, mais exponentielle. Au fur et à mesure de lacharge du condensateur, le courant de charge diminue. A la fin de la charge, il n’y aura plus decourant, mais une tension maximum sur les armatures du condensateur. Ce phénomène expliquela raison pour laquelle le condensateur ne conduit pas lorsqu’il est raccordé sur une source detension continue.

U

I

+

-

Uc

UR

Il est simple de constater quelorsque le condensateur seracomplètement chargé, il n'y aura plusde chute de tension aux bornes de larésistance. Cela signifie que la valeurdu courant sera tombée à zéro.

IUR

U UR

R C= =−

Pour que le cycle de charge se reproduise, il faut que le condensateur se décharge. C’est ce quise passe lorsque le condensateur est raccordé à une source de tension alternative. Dans cecas, le condensateur répétera les cycles de charges / décharges et un courant s’installera enpermanence dans le circuit, mais aucun courant ne traverse le condensateur puisque sesarmatures sont séparées par un isolant (diélectrique).

Il est clair que le courant dans le condensateur va dépendre de la capacité du condensateur etde la fréquence du générateur (rapidité du cycle de charge/décharge) et de la tension dugénérateur.

trace Acourant

trace Btension

L’oscilloscope ci-contre nous montre laforme du courant etde la tension sur uncondensateur lors decharges et déchargessuccessives entension continue.

Nous constatons que le courant atteint rapidement une valeur maximum, alors que la tensionarrive en retard par rapport au courant.

14.6 Inductance :Une inductance est généralement composée de fil enroulé autour d’un noyau. Le fil n’est pasforcément magnétique et les bobines sont souvent réalisées avec du fil de cuivre. Lescaractéristiques du noyau dépendent de l’utilisation de la bobine. Le matériau utilisé doit êtremagnétique et il sera choisi par rapport à son cycle d’hystérésis. Les bobines de faibleinductance peuvent être fabriquées sans noyau. En raison des différentes caractéristiques desnoyaux, la taille de la bobine n'est pas forcément en rapport avec sa valeur.



Rappel : LN A

lr=

⋅ ⋅2 µ [H]

L = inductance [H] N = nombre de spires [-]

µr = perméabilité du noyau [-] A = section du noyau [m2]

l = longueur du noyau [m]

Comme pour les condensateurs, il existe trois possibilités de raccordement :


Dans les exemples ci-dessous, il n’y a pas d’influence magnétique entre lesbobines, sinon il faut tenir compte du facteur de couplage.

L2

L1

L3

Montage série

Léq = L1 + L2 + L3

L2L1 L3

Montage parallèle

L

L L L

éq =+ +

11 1 1

1 2 3

L2

L1 L3

L4

L5

L6

Montage mixte.

Le calcul d’un tel circuit dépend desa complexité. Il est nécessaired’utiliser les formules desmontages séries et parallèles.



14.7 Comportement d’une inductance :La caractéristique de la bobine est d’avoir un comportement différent en régime continu ou enrégime alternatif.

U

I

+

-

ULU

I

UL~


t[ms]

U , I

[A][V]

U

t[ms]

U , I

[A][V]

U

I

0

I


U ω

I

UI

Constatations :

• Il y a une importante différence de comportement entre le circuit alimenté parune source continue et celui alimenté par une source alternative.

• Avec la source continue, le courant est limité par la résistance du fil quicompose la bobine. Le courant est généralement très grand car la résistancedu fil est petite.

• La loi de Lenz définit que la variation de la tension induite est toujours opposéeà la variation de la tension qui l'a crée. Ce qui explique que le courant est enretard de 90 ° par rapport à la tension.

• La valeur du courant dépend de l’inductance de la bobine, de la résistance deson fil, de la fréquence et de la tension du générateur.



Lors du raccordement d'une inductance dans un circuit alternatif, le courant est en retard de90 ° par rapport à la tension.

A chaque changement de polarité aux bornes de la bobine, le même phénomène de selfinduction se reproduit et le courant est constamment en retard par rapport à la tension.

L’oscilloscope ci-dessous nous montre la forme du courant et de la tension sur une inductance.

trace Acourant

trace Btension

Nous constatons que la représentation du courant et de la tension ont un sens opposé. Il s’agit de l’effet de self induction.

14.8 Exercices

1. Plusieurs condensateurs sont raccordés en série. Ils ont les valeurs suivantes :

C1 = 10 [nF] C2 = 22 [nF] C3 = 47 [nF] C4 = 5600 [pF] C5 = 0.010 [µF]

Donner l’ordre de grandeur de la capacité équivalente et effectuer ensuite le calcul

2. Les mêmes condensateurs sont raccordés en parallèle. Calculer la capacité équivalente.

3. Calculer la valeur équivalentedes montages ci-contre.

:

4. Plusieurs bobines sont raccordées en série. Elles ont les valeurs suivantes :

C1 = 10 [mH] C2 = 220 [mH] C3 = 50 [mH] C4 = 5600 [µH] C5 = 0.010 [H]

Donner l’ordre de grandeur de l’inductance équivalente et effectuer ensuite le calcul

5. Les mêmes bobines sont raccordées en parallèle. Calculer l’inductance équivalente.

Réponses : 1. C = 2.24 [nF] 2. 94.6 [nF]3. C = 84 [nF] L = 45.08 [mH] 4. 295.6 [mH]5. 2.48 [mH]

C2

C1 C3

47 pF

82 pF

68 pF

L2

L355 mH 100 mH

150 mH

L1

Circuits RLC séries

Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 2000 1

Chapitre 15a


Sommaire

• Montage série en courant alternatif• Circuit électrique• Impédance Z• Mesure d’un circuit RLC série en régime alternatif sinusoïdal• Calcul des réactances et de l’impédance• Tracé temporel du comportement des éléments du circuit• Tensions aux bornes des éléments du circuit• Représentations temporelles et vectorielles• Formules de calcul• Résonance série• Exercices

Introduction

15 Montage série en courant alternatif :

Dans la pratique, les circuits sont généralement composés des éléments que nous venonsd'étudier, montés soit en série, soit en parallèle.

Pour étudier le comportement des éléments et celui du montage complet, nous allons réaliserune mesure. Les résultats de cette mesure nous permettrons d'effectuer des constatationssur le comportement du circuit et des éléments qui le composent. Avant cela, il est nécessairede définir les termes utilisés.



15.1 Circuit électriqueLorsqu'un circuit électrique est alimenté par un régime alternatif sinusoïdal, les récepteurspeuvent être de n'importe quel type. Tous les récepteurs peuvent représenter un couplagemixte, composé de résistances R et/ou de condensateurs C et/ou d'inductances L.

∼∼∼∼

La source d'alimentation ne voit en définitive qu'un seul récepteur appelé :

impédance

dont la particularité est de tenir compte du déphasage entre la tension u et le courant i.

∼∼∼∼

15.2.Impédance

L'impédance Z est le quotient de la tension U et du courant I, dans un montage alimenté enrégime sinusoïdal alternatif, en tenant compte de l'angle de déphasage entre les grandeursU et I.

Z = UΙ

avec φ = α - β

Elle exprime l'opposition faite au passage du courant I à travers les éléments composant lecircuit, ainsi que le déphasage appelé φ (phi) provoqué par ces éléments entre la tension U et lecourant I.

Son symbole de grandeur : Z

Son symbole d'unité : [Ω] ohm

Cette impédance Z est une valeur imaginaire. Il n'existe pas d'appareil appeléIMPEDANCEMETRE capable de mesurer n'importe quelle impédance.

Seuls un voltmètre, un ampèremètre, un cos φ-mètre et la relation mathématique permettentde la calculer.



Schéma :

Z

V

AA

Exemple :

Un moteur électrique est connecté au réseau 230 [V] alternatif 50 [Hz].

Les indications des différents appareils de mesures donnent :

I = 4.5 [A] cos = 0.8 inductif

Calculer l'impédance Z du moteur.

Données :

I = 4.5 [A] U = 230 [V] cos = 0.8 inductif f = 50 [Hz]

Inconnue : Z = ?

Relation : Z = UΙ


[ ]Z = 2304.5

51.11 36.87⇒ °Ω

15.3 Représentation symbolique de l'impédance Z

L'impédance Z est une association de résistance R et d'inductance L. Soit les deux types deconsommateurs d'énergie électrique (voir tableau récapitulatif page ).

R L

~

De cette représentation, nous pouvons mesurer la résistance R du moteur., à l'aide d'unohmmètre et en déconnectant le moteur du réseau.

Un ohmmètre alimente avec une tension continue le moteur.Le phénomène de self ou d'induction ne se manifeste pas en régime constant.



15.4 Mesure d’un circuit RLC série raccordé à une source alternativeBut de la mesure :

Mesurer les valeurs des tensions sur les éléments, le courant dans le circuit. Calculer la valeurde la résistance, des réactances et de l’impédance.

Les instruments raccordés dans notre circuit ne permettent que la mesure des tensions et ducourant.

Pour obtenir les valeurs de la résistance, des réactances et de l’impédance, il faut effectuerdes calculs.

15.5 Schéma électrique :

~CH 1 CH 2

R

C

mA

LV

R = 560 [Ω] L = 150 [mH] C = 3.3 [µF]

15.6 Schéma de la mesure :



15.7 Calcul des réactances et de l’impédance :

Nos éléments sont montés en série, le courant est identique dans tout le circuit. Nous pouvonsutiliser la loi d’Ohm pour déterminer les valeurs qui ne peuvent être mesurées par lesinstruments.

Relations :

ZUI

UI

UIC

CL

L= = = R =U

I X XR

Z [Ω] défini l’impédance totale du circuit et représente sa valeur ohmique.

XC [Ω] défini la réactance capacitive et représente la valeur ohmique qu’oppose lecondensateur au passage du courant.

XL [Ω] défini la réactance inductive et représente la valeur ohmique qu’oppose la bobineau passage du courant.

R [Ω] représente la valeur ohmique qu’oppose la résistance au passage du courant.

15.8 Tableau des valeurs mesurées et calculées :

f [Hz] i [mA] Z [ Ω ] UR [V] R [ Ω ] UL [V] XL [ Ω ] UC [V] XC [ Ω ]

50 9.3 1074.86 5.21 560 0.44 47.12 8.97 964.58100 14.68 681.30 8.22 560 1.38 94.25 7.08 482.29200 17.78 562.47 9.96 560 3.35 188.50 4.29 241.14226 17.86 560.00 9.99 560 3.80 213.40 3.81 213.40300 17.45 573.13 9.77 560 4.93 282.74 2.81 160.76400 16.24 615.91 9.09 560 6.12 376.99 1.96 120.57500 14.84 673.84 8.31 560 9.99 471.24 1.43 96.46600 13.50 740.89 7.56 560 7.63 565.49 1.09 80.38700 12.28 814.06 6.88 560 8.10 659.73 0.85 68.90800 11.22 891.52 6.28 560 8.46 753.98 0.68 60.29900 10.29 972.14 5.76 560 8.73 848.23 0.55 53.59

1000 9.48 1055.12 5.31 560 8.93 942.48 0.46 48.232000 5.15 1943.28 2.88 560 9.70 1884.96 0.12 24.113000 3.49 2866.59 1.95 560 9.86 2827.43 0.06 16.084000 2.63 3799.35 1.47 560 9.92 3769.91 0.03 12.065000 2.11 4735.97 1.18 560 9.95 4712.39 0.02 9.65

Remarque : La mesure a été effectuée avec une tension constante de 10 [V] au générateur.



Constatations :

• La valeur de la résistance ne varie pas en fonction de la fréquence

• La valeur du courant est maximale à la fréquence de 226 [Hz]

• L’addition arithmétique ou algébrique des tensions sur les trois élémentsne correspond pas à la tension aux bornes du circuit.

• L’impédance est inversement proportionnelle au courant et sa valeurest minimale à la fréquence de 226 [Hz].

• La réactance d’induction XL augmente en fonction de la fréquence

• La réactance capacitive XC diminue en fonction de la fréquence

• A la fréquence de 226 [Hz] les deux réactances ont une valeur identique

• A la fréquence de 226 [Hz] l’impédance à la même valeur que la résistance.

• Lorsque XC = XL le circuit est dit en "résonance" et l'impédance Z vaut R.La fréquence à laquelle ces conditions sont remplies s'appelle fréquence de résonance fo

Pour notre circuit fo = 226 [Hz]

15.9 Courbes :Courbes du courant, de l’impédance et de la résistance.

f

[mA]

0

18

6

4

2

8

10

12

14

16

I

[kHz]0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

[Ω]Z

0

500

1000

1500

2000

2500

[kHz]0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9f



[Ω]R

0

500

1000

1500

2000

2500

[kHz]0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9f

Remarques :

• La pointe de courant est effectivement présente lorsque l’impédance est minimum.

• L’impédance est grande pour les fréquences basses, ensuite elle diminue pouratteindre la valeur de R et après, elle augmente.

• L’impédance est égale à R pour une fréquence de 226 [Hz].

• La valeur de la résistance ne varie pas.

15.10 Comportement des éléments réactifs :[Ω]

X

0

500

1000

1500

2000

2500

[kHz]0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9f

L

Courbe de la réactance inductive en fonction de la fréquence[Ω]

Xc

0

500

1000

1500

2000

[kHz]0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9f

2500

Courbe de la réactance capacitive en fonction de la fréquence



[Ω]Z

0

500

1000

1500

2000

2500

[kHz]0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9f

Courbe de l'impédance en fonction de la fréquence

Remarques :

• La réactance inductive augmente linéairement en fonction de la fréquence.

• La réactance capacitive diminue rapidement en fonction de la fréquence .

• L’impédance est grande pour les fréquences basses et pour les fréquences élevées.

• Pour ce montage, l'impédance est minimum à la fréquence de 226 [Hz] .

• L’impédance tend vers la courbe de XC jusqu’à 226 [Hz], ensuite tend vers la courbe deXL .

Pour confirmer nos constatations, nous pouvons placer les 4 courbes sur le même diagramme.

[Ω]

0

500

1000

1500

2000

2500

[kHz]0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9f

Z X L RXc

ZX L

R

Xc



15.11 Formules de calcul :

Réactance inductive XL

Nous avons constaté que la réactance inductive est proportionnelle à la fréquence. Nouspouvons déjà écrire :

X L = ⋅ ...... L

Il nous manque la valeur comportant la fréquence. Cette valeur est représentée par lapulsation ω.

Notre formule sera la suivante : X LL = ⋅ω [Ω]

La pulsation est égale à : ω π= ⋅ ⋅2 f rads

Remplaçons ω par sa valeur : X f LL = ⋅ ⋅ ⋅2 π [Ω]

Réactance capacitive XC

La réactance capacitive est inversement proportionnelle à la fréquence. Nous pouvons déjàécrire :

XC =⋅

1...... C

Il nous manque la valeur comportant la fréquence. Cette valeur est représentée par lapulsation ω.

Notre formule sera la suivante : XC =⋅1

ω C[Ω]

Remplaçons ω par sa valeur : Xf CC =

⋅ ⋅ ⋅1

2 π[Ω]



15.12 Tensions sur les éléments du circuit :

Reprenons le tableau des valeurs de notre circuit.

f [Hz] i [mA] UR [V] UL [V] UC [V]

50 9.30 5.21 0.44 8.97100 14.68 8.22 1.38 7.08200 17.78 9.96 3.35 4.29226 17.86 9.99 3.80 3.81300 17.45 9.77 4.93 2.81400 16.24 9.09 6.12 1.96500 14.84 8.31 9.99 1.43600 13.50 7.56 7.63 1.09700 12.28 6.88 8.10 0.85800 11.22 6.28 8.46 0.68900 10.29 5.76 8.73 0.55

1000 9.48 5.31 8.93 0.462000 5.15 2.88 9.70 0.123000 3.49 1.95 9.86 0.064000 2.63 1.47 9.92 0.035000 2.11 1.18 9.95 0.02

Constatations :

• La tension aux bornes de la résistance augmente jusqu’à la fréquence de 226 [Hz] etensuite elle diminue.

• La tension aux bornes de la bobine augmente avec la fréquence.

• La tension aux bornes du condensateur diminue avec la fréquence.

• A la fréquence de 226 [Hz] la tension aux bornes de la bobine et égale à celle auxbornes du condensateur.

• A la fréquence ce 226 [Hz] la tension aux bornes de la résistance est égale à la tensionaux bornes du circuit.

• Si nous additionnons arithmétiquement les tensions aux bornes des trois éléments, cecipour n’importe quelle fréquence, nous obtenons toujours une valeur supérieure à latension totale présente aux bornes du circuit.

La dernière constatation est très importante. Elle est la conséquence des déphasages entreles tensions présentes aux bornes des éléments.

Pour représenter ces tensions et ces déphasages, il est nécessaire de tracer soit unereprésentation temporelle, soit un diagramme vectoriel. Nous appliquerons les principesétudiés lors de l’analyse du comportement des éléments en circuit alternatif sinusoïdal.



15.13 Représentations temporelles et vectorielles :

Notre circuit est composé de trois éléments montés en série. Chaque élément est parcouru parun courant identique et il provoque une chute de tension à ses bornes. Cette tension estproportionnelle à la réactance ou à la résistance des éléments.

Nous pouvons représenter 5 valeurs :

I Utot (UZ) UR UC UL

15.14 Représentations temporelles :

[V]

UL UC UR UZ

Le courant est représenté à titre indicatif

[ms]

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

t

UC

UL

I

URUZ

I

[mA]

Sur ce tracé nous trouvons représentés toutes les tensions ainsi que le courant, mais il n’estpas aisé d’interpréter ce genre de représentation.

Nous pouvons toutefois faire quelques constatations :

• Cette représentation est réalisée pour une fréquence de 500 [Hz]. Elle n’est valableque pour cette fréquence.

• Dans le circuit série, le courant est utilisé comme référence car il est commun à tousles éléments.

• La tension UR aux bornes de la résistance est en phase avec le courant.

• La tension UC aux bornes du condensateur est en retard de 90° par rapport au courant.

• La tension UL aux bornes de la bobine est en avance de 90° par rapport au courant.

• Les tensions UC et UL sont déphasées de 180 °.

• La tension UZ aux bornes du circuit est en avance par rapport au courant.



Représentations temporelles pour différentes fréquences :

[V]

U L U C U R U Z

La valeur du courant est représentée à titre indicative

[ms]

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

t

U C

U L

I

U RU Z

I

[mA]

Mesures effectuées à une fréquence de 150 [Hz] . UC est plus grand que UL .UZ est en retard par rapport au courant.

[V]

U L U C U R U Z

[ms]

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

t

U C

U L

I

U RU Z

I

[mA]


Mesures effectuées à la fréquence de résonance de 226 [Hz] . UC et UL ont la même valeur.UZ , UR et I sont en phase.

[V]

U L U C U R U Z

[ms]

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

t

U C

U L

I

U RU Z

I

[mA]


Mesures effectuées à une fréquence de 300 [Hz] . UC est plus petit que UL .UZ est en avance par rapport au courant.



Constatations :

• La tension UR est constamment en phase avec le courant, indépendammentde la fréquence.

• Les tensions UC et UL varient d'amplitude en fonction de la fréquence,mais leurs déphasages restent constants par rapport à UR

• La tension UZ est en retard par rapport au courant pour les fréquences basses,et en avance pour les fréquences hautes.

• A la fréquence de 226 [Hz] , appelée fréquence de résonance,les tensions UR et UZ sont en phase avec le courant et elles ont la même valeur.

Les représentations temporelles sont peu pratiques à tracer et à utiliser pour les calculs.

C’est pour cela que les représentations vectorielles sont plus généralement utilisées pourcalculer et étudier les circuits en alternatif sinusoïdal.

15.15 Diagramme vectoriel :

Dans le circuit série, le courant est commun à tous les éléments. Il nous servira de référencepour le diagramme. Dans le circuit parallèle, c’est la tension qui est commune aux éléments etc’est elle qui sert de référence. Dans les deux cas, il s'agit d'un choix arbitraire.

f = 500 [Hz] I = 14.84 [mA] UZ = 10 [V] UR = 8.31 [V] UC = 1.43 [mV] UL = 9.99 [mV]

ω

IUR

UZ

UL UC

ϕ

UC

Remarques :

• La position des vecteurs est déterminée par le déphasage entre les tensions.

• La longueur des vecteurs correspond à la valeur des tensions présentesur les éléments.

• Les déphasages entre les tensions apparaissent plus clairement sur le diagramme.



Conclusions de la mesure :

• Dans un circuit RLC série raccordé sur une source de tension alternative sinusoïdale, lecourant est commun à tous les éléments.

• Les réactances capacitive et inductive varient en fonction de la fréquence.

• Pour une certaine valeur de fréquence appelée fréquence de résonance, le courant estmaximum. Sa valeur est limitée par les résistances du circuit.

• L’addition arithmétique des tensions partielles donne une valeur plus grande que celle de latension totale aux bornes du circuit.

• Les tensions aux bornes du condensateur et de la bobine sont déphasées de 90 [°] parrapport à la référence.

• La tension aux bornes de la résistance est en phase avec le courant.

• Pour les fréquences en dessous de f0 , la tension d’entrée est en retard par rapport aucourant. Dans ce cas le circuit a un comportement CAPACITIF.

• Pour les fréquences en dessus de f0 , la tension d’entrée est en avance par rapport aucourant. Dans ce cas le circuit a un comportement INDUCTIF.

• La fréquence à laquelle UC et UL ont la même valeur s’appelle

FREQUENCE DE RESONANCE.

f < f0 f = f0 f > f0

ω

IUR

UZ

UL

UC

ϕ

UC

ω

IUR

UZ

U

L

U

ϕ

U

C

L

ω

I

UR

UZ

UC

UL

UC

Fréquence basseUL < UC

UZ en retard sur ICircuit CAPACITIF

Fréquence de résonanceUL = UC

UZ = UR

déphasage nulCircuit RESISTIF

Fréquence hauteUL > UC

UZ en avance sur ICircuit INDUCTIF



15.16 Relations :Le diagramme vectoriel nous permet de déterminer les relations utiles pour le calcul descircuits RLC série.

ω

IU R

U Z

U L

U C

ϕ

U C

Les tensions UC et UL sont opposées de 180°. Lorsque nous les additionnons, nous obtenons unetension résultante appelée tension de réactances UX .Cette tension est obtenue de la manièresuivante :

! ! !U U UX L C= − lorsque le circuit est inductif

! ! !U U UX L C= − = 0 à la fréquence de résonance le circuit est résistif

! ! !U U UX C L= − lorsque le circuit est capacitif

Lorsque l'on additionne géométriquement !Ux ,

!UR et

!UZ on obtient un triangle rectangle. Pour

obtenir une de ces trois valeurs ou l’angle de déphasage, nous utilisons les relations dePythagore et celles de la trigonométrie.

Pythagore :

IUR

UZUX

ϕ

ω

IR

ZX

ϕ

ω

U U U U U UZ R X R L C= + = + −2 2 2 2 UZ ( ) U U UR Z X= −2 2 U U UX Z R= −2 2

Trigonométrie :

cos cosϕ ϕ= =

−U

UUU

R

Z

R

Z 1

Pythagore :

Z R X R X XL C= + = + −2 2 2 2 Z ( ) R Z X= −2 2 X Z R= −2 2

X X XL C= − ou X X XC L= −



15.17 Développement chiffré :Un circuit RLC série est composé des éléments suivants :

R = 180 [Ω] L = 15 [mH] C = 15 [nF]

Il est raccordé sur un générateur dont la fréquence est de 12 [kHz] et la tension de sortiede 20 [V].

Calculer toutes les tensions ainsi que l’angle de déphasage entre le courant et la tension.

Calculs des réactances :

X f L L = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−2 2 12 10 15 10 11313 3π π= [Ω]

Xf CC =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=−

12

12 12 10 15 10

884 23 9π π = [. ]Ω

Calcul de l’impédance :

( ) ( )Z R X XL C= + − + − =2 2 2 2180 1131 884 2 30544 = [. . ]Ω

Calcul du courant :

IUZ

= = = 20

305.44 [mA]6547.

Calcul de l’angle de déphasage :

ϕ =

= °− −cos cos

.. ]1 1 180

305445389

RZ

= [

Vérification du calcul :

ϕ =

= °− −cos cos

.. ]1 1 1178

205391

UU

R

Z = [

Calculs des tensions :

U R I R = ⋅ ⋅ ⋅ == 180 65.47 10 [V]-3 1178.

U X I C C= ⋅ ⋅ ⋅ == 884.2 65.47 10 [V]-3 57 9.

U X I L L= ⋅ ⋅ ⋅ == 1131 65.47 10 [V]-3 74 05.

Vérification des calculs :

( ) ( )U U U UZ R L C= + − + − =2 2 2 21178 74 05 57 92 20 = [V]. . .

Ce calcul nous permet de contrôler l’exactitude des tensions sur les éléments.UZ doit correspondre à la tension fournie par le générateur soit 20 [V].



15.18 Résonance série :

Pour une certaine valeur de fréquence à l'entrée du circuit, les tensions !UC et

!UL ont la même

valeur. Comme nous l'avons vu, !UC et

!UL sont déphasées de 180 °, ce qui implique que

lorsqu'elles sont égales, il y a un échange total d'énergie entre le condensateur et la bobine.

Lorsque cette condition est remplie, cette fréquence est appelée :

fréquence de résonance fo .

Selon la loi d’Ohm, la tension aux bornes du condensateur et de la bobine sont proportionnellesau courant et à la réactance de l’élément.

U X I et X IC C L L= ⋅ = ⋅ U

Le courant étant commun pour les deux éléments, lorsque les deux tensions !UC et

!UL sont

identiques, les deux réactances ont également la même valeur.

Nous pouvons en déduire qu’à la fréquence de résonance :

UL = -UC ⇒ XL = -XC remarques : le signe - indique le déphasage

Recherche de la fréquence de résonance fo :

Pour obtenir la résonance dans un circuit RLC, il faut que XC = XL

X XC L= ⇒ 1

22

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅

ππ

f Cf L

oo

fL Co

2 12 2

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅π π

⇒ fL Co

221

4=

⋅ ⋅ ⋅π ⇒ f

L Co =⋅ ⋅ ⋅

14 2π

fL Co =

⋅ ⋅ ⋅1

2 π

Cette formule s’appelle formule de Thomson et elle permet de définir la fréquence derésonance fo d’un circuit RLC.

Exemple :

Calculer la fréquence de résonance du montage du circuit de mesure ainsi que pour celui del’exercice de la page précédente.

L = 150 [mH] C = 3.3 [µF] fo = ?

fL Co =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −1

2 3 3 10 6π π =

1

2 150 10 = 226.21 [Hz]

-3 .

L = 15 [mH] C = 15 [nF] fo = ?

fL Co =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −1

2 15 10 9π π =

1

2 15 10 = 10.61 [kHz]

-3



15.25 Exercices

1. Une inductance a une valeur de 0.8 [H] . Calculer sa réactance pour les réseaux suivants

a ) CFF b ) CVE c ) USA

2. Calculer le courant qui circule dans une inductance de 32 [mH] si elle est raccordéeà un générateur de tension alternatif de 50 [V] / 400 [Hz] .

3. Calculer la réactance inductive d'une bobine de 3.8 [H] lorsqu'elle fonctionnesur un réseau dont la fréquence est de 50 [Hz] .

4. Une bobine a une réactance de 475 [Ω] et elle est raccordée à un générateurdont la fréquence est de 200 [Hz] . Calculer l'inductance de la bobine.

5. Une bobine de 3.19 [H] est raccordée dans un circuit alternatif. En fonctionnement,sa réactance vaut 16 [kΩ]. Calculer la fréquence du circuit.

6. Quelle est la capacité d'un condensateur si sa réactance vaut 42.5 [Ω] pour unefréquence de 2.5 [kHz] ?

7. Un filtre possède un condensateur de 10 [nF]. Calculer sa réactance pour unefréquence de 208 [kHz].

8. Quelle est la fréquence d'un circuit dans lequel est branché un condensateurde 4 [µF] dont la réactance vaut 796 [Ω] ?

9. Un circuit est composé d'une bobine idéale de 4.75 [mH] . Il fonctionne à unefréquence de 175 [kHz] et avec une tension de 50 [V]. Calculer le courant dans le circuit.

10. Un condensateur est raccordé en série dans une installation d'éclairage de secours de75 [W] . Quel sera le courant dans le condensateur si les batteries fournissentune tension de 12 [V] ?

11. Un condensateur est traversé par un courant de 78 [mA]. Calculer la valeurdu condensateur si l'alimentation fourni une tension de 100 [V] / 50 [Hz] .

12. Un condensateur est raccordé sur une source alternative de 50 [Hz]. Il est parcourupar un courant de 500 [mA] . Quel sera le courant si la fréquence de la source quadruple ?

Réponses : 1. 83.78 [Ω] - 251.33 [Ω] - 301.6 [Ω] 2. 621.7 [mA] 3. 1193.8 [Ω]4. 378 [mH] 5. 798.27 [Hz] 6. 1.5 [µF] 7. 6.5 [Ω]8. 50 [Hz] 9. 9.57 [mA]10. 0 [mA] , pas de courant continu dans un condensateur.

Les alimentations de secours fonctionnent avec des batteries DC11. 2.48 [µF] 12. 4 fois plus grand



13. Un circuit bouchon est composé d’une bobine de 10 [mH] et d’un condensateur de10.8 [µF]. Sa fréquence de résonance est de 485 [Hz]. Nous désirons utiliser ce filtrepour une fréquence de 317 [Hz] en modifiant soit le condensateur, soit l’inductance.Calculer la valeur des éléments dans les deux cas.

14. Un circuit RLC série est composé d’une résistance de 15 [Ω] , d’une bobine de 260 [mH]et d’un condensateur de 2.5 [µF]. Il est raccordé sur une source alternative de 60 [V].Calculer la fréquence de résonance du montage ainsi que le courant pour fo

15. Un circuit RLC série est composé d’une résistance de 1500 [Ω] , d’une bobine de 150 [mH]et d’un condensateur. Sa fréquence de résonance vaut fo = 2.5 [kHz]. Il est raccordésur une source alternative de 50 [V].Calculer la valeur du condensateur.Calculer toutes les tensions sur les éléments pour une fréquence de 4.5 [kHz].

16. Un circuit est composé d'un condensateur de 4.7 [nF] et d'une résistance de 2.2 [kΩ].Il est raccordé sur un générateur de fréquence réglé sur 15.4 [kHz] et dont la tensionde sortie est fixe et vaut 5 [V].

Dessiner le schéma du circuit et flécher toutes les valeurs.Tracer le diagramme vectoriel

Calculer :

L'impédance du circuitLes tensions sur les deux éléments.Le courant total et l'angle de déphasageCalculer l'atténuation du circuit en dB pour la fréquence indiquée,si la sortie se trouve sur le condensateur.

17. Un circuit RL série comporte une résistance de 10 [kΩ] et il fonctionne à une fréquence.Un courant de 405 [µA] et une tension de 1.96 [V] sont est mesurés sur la bobine pourun signal de 3.5 [MHz]. Calculer la valeur de la bobine ainsi que la valeur de la tensionà l'entrée du circuit

XL = 4.827 [kΩ] L = 220 [µH] Z = 11.1 [kΩ] Ue = 4.5 [V]

18. Un circuit RLC a les caractéristiques suivantes pour sa fréquence de résonance :

L = 15 [mH] - C = 470 [nF] - UL = 10 [V] - Gu à fo = - 3 dB

Dessiner le schéma du circuit et flécher toutes les valeurs.Tracer le diagramme vectoriel pour les fréquences de 1 [kHz] et de 3 [kHz].Calculer ( pour les deux fréquences ) : Ue - UR - UL - UC - Z - I - fo

Réponses : 13. 25.21 [µF] - 23.34 [mH] 14. 197.4 [Hz] 4 [A]

15. C = 27 [nF] Z = 3.29 [kΩ] I = 15.2 [mA] UR = 22.79 [V] UC = 19.9 [V] UL = 64.46 [V]16. Z = 3.11 [kΩ] I = 1.6 [mA] UR = 3.54 [V] UC = 3.54 [V] ϕ = -45 [°] Au = -3 dB17. XL = 4.827 [kΩ] L = 220 [µH] Z = 11.1 [kΩ] Ue = 4.5 [V]

18.Pour f = 1 kHz : XL = 94.24 [Ω] XC = 338.6 [Ω] Z = 350.55 [Ω] I = 40.23 [mA] ϕ = -44.2 [°]Ue = 14.1 [V] UR = 10.11 [V] UC = 13.6 [V] UL = 3.79 [V]Pour f = 3 kHz : XL = 282.74 [Ω] XC = 112.87 [Ω] Z = 303.36 [Ω] I = 46.5 [mA] ϕ = 34.1[°]

Ue = 14.1 [V] UR = 11.7 [V] UC = 5.25 [V] UL = 13.14 [V]



19. Un moteur est raccordé sur une génératrice 400 [V] 100 [Hz] . La mesure àl'ohmmètre indique une résistance de 36 [Ω] . Un courant de 4 [A] circule dans le moteur.Calculer la valeur de la bobine, toutes les tensions et l'angle de déphasage

20. Une inductance de 800 [mH] est montée en série avec une résistance de 1.5 [kΩ] .Le montage est raccordé sur une source de tension de 150 [V] / 200 [Hz].Calculer l’impédance, le courant, toutes les tensions et l'angle de déphasageTracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

21. Une lampe est montée en série avec un condensateur de 10 [µF] . On mesure une tension de63.66 [V] aux bornes du condensateur lorsque le circuit est raccordé sur un réseau 50 [Hz].Calculer l’impédance, la résistance de la lampe, le courant, la tension sur la lampe,et l'angle de déphasage. Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

22. Une inductance du 100 [mH] , un condensateur de 700 [nF] et une résistance de 50 [Ω]sont montés en série. Ils sont raccordés sur une source de tension alternative de 60 [V]dont la fréquence vaut 500 [Hz].Calculer l’impédance, le courant, toutes les tensions et l'angle de déphasage.Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

23. Une résistance bobinée a une inductance de 450 [mH] . Un courant de 650 [mA]la traverse lorsqu’elle est raccordée sur une tension alternative de 230 [V] 50 [Hz].Calculer la valeur de la résistance, l’impédance, les tensions et l'angle de déphasageDessiner le schéma, flécher toutes les valeurs et tracer le diagramme vectorielsur une feuille séparée.

24. Lorsqu'une bobine est parcourue par un courant continu, nous mesurons 2.5 [A],alors que lorsqu'elle est raccordée sur une source alternative sinusoïdale d'une fréquencede 150 [Hz] le courant vaut 850 [mA] . Les deux tensions sont comparables et la valeurde crête de la tension alternative vaut 15 V.Calculer l’impédance, la résistance de l'inductance , la valeur de l'inductance, et l'angle dedéphasage

25. Un circuit RC série est utilisé comme filtre de tonalité dans un appareil audio.Il est composé d'une résistance de 330 [Ω] et d'un condensateur.La tension à l'entrée du filtre est de 1.5 [V] .La tension de sortie est prise sur le condensateur.Calculer la valeur du condensateur pour une atténuation de 35 % à 1 [kHz] , l’impédance , lecourant, et l'angle de déphasage pour cette même fréquence.

Réponses :

19. UR =144 [V] UL = 373.18 [V] L = 148.5 [mH] cosϕ = 0.36 ϕ = 68.9 [°]

20. Z = 1805.73 [Ω] , I = 83.07 [mA] , UR = 124.61 [V] , UL = 83.76 [V] , ϕ = 33.83 [°]

21. Z = 1150 [Ω] , RL = 1105 [Ω] , UR = 221.01 [V] , I=200 [mA] , ϕ = 16.07 [°]

22. Z = 149.2 [Ω] , I = 402.15 [mA] , UR = 20.11 [V] , UC = 182.87 [V] , UL = 126.34 [V] , ϕ = 70.42 [°]

23. Z = 353.85 [Ω] , UR = 210.85 [V] , UL = 91.9 [V] , ϕ = 23.55 [°]

24. Z = 12.47 [Ω] , RL = 4.24 [Ω] , L = 12.45 [mH] , ϕ = 70.12 [°]

25. Z = 434.24 [Ω] , I = 3.45 [mA] , UR = 1.14 [V] , UC = 975 [mV] ,C = 564 [nF] , ϕ = 40.54 [°]

Circuits RL et RC séries


Chapitre 15b


Sommaire

• Circuits RL et RC série• Exemples de calculs pratiques• Exercices

Introduction

15 Montage série en courant alternatif :

Dans la pratique, les circuits sont généralement composés des éléments que nous venonsd'étudier, montés soit en série, soit en parallèle.

Pour étudier le comportement des éléments et celui du montage complet, nous allons réaliserune mesure. Les résultats de cette mesure nous permettrons d'effectuer des constatationssur le comportement du circuit et des éléments qui le composent. Avant cela, il est nécessairede définir les termes utilisés.



15.19 Circuit RL et RC série :

Dans la pratique, nous rencontrons souvent des circuits composés que d'un élément réactif etd'une résistance. Par exemple, les moteurs, composés d'enroulements réalisés avec du fil decuivre, peuvent être représentés par une résistance montée en série avec une inductance. Larésistance représente la valeur résistive du fil de cuivre, et l'inductance représente la bobineréalisée avec le fil de cuivre. D'autres exemples peuvent également être rencontrés :

ballast pour tubes fluorescents, transformateurs,

Les récepteurs capacitifs sont plus rares, mais ils peuvent également être rencontrés.

En électronique, les circuits RC et RL série sont très couramment utilisés. Dans lesamplificateurs, ils servent à filtrer certaines fréquences (égaliseur, contrôle de tonalité). Ilen est de même en télévision et dans toutes les autres applications électroniques. Les filtresRC et RL sont utilisés dans les colonnes haut-parleurs pour aiguiller les fréquences sur leshaut-parleurs. En effet, le HP de basses ne doit recevoir que les fréquences basses, le HPmédium que les fréquences moyennes et le HP aiguës que les fréquences élevées. Lescaractéristiques d'une colonne dépendent en grande partie de la qualité des filtres utilisés etles concepteurs comme M. Jean Maurer à Aubonne y consacrent beaucoup de temps etd'énergie.

Pour ces circuits, les méthodes de calculs sont les mêmes que pour les circuits RLC. Nousallons les reprendre et les appliquer aux circuits RC et RL.

15.20 Circuit RL série :

R

LU ~UR

I

UL

Ce schéma symbolise un moteur. Comme nous l'avons vu plus haut, la résistance R représente lefil de cuivre et l'inductance L la bobine que constitue le fil.

Dans les appareils électroniques, ce genre de montage est souvent rencontré. Il est utilisépour filtrer certaines fréquences par exemple dans les colonnes sonores.



15.21 Diagramme vectoriel d'un circuit RL série :ω

IUR

UL

ϕ

UZ

Il s'agit d'un circuit série et nous avons utilisé le courant comme référence car il est communaux deux éléments. Une résistance ne provoque pas de déphasage et sa tension

!UR est en

phase avec le courant. Dans l'inductance, la tension !UL est en avance de 90 ° par rapport au

courant. La tension !U aux bornes du circuit est la résultante de l'addition vectorielle des

tensions !UR et

!UL .

Pour trouver cette résultante, nous pouvons également appliquer les relations de Pythagore.

U U UZ R L= +2 2

La notion d'impédance est également utilisée avec ce circuit.

Rappel : X f LL = ⋅ ⋅ ⋅2 π Z R X L= +2 2

L'angle de déphasage est déterminé de la manière suivante :

cosϕ = =RZ

UU

R

Z⇒ ϕ =

=

− −cos cos1 1R

ZUU

R

Z

Exemple :

Un circuit série composé d'une résistance de 220 [Ω] et d'une inductance 150 [mH]. Il estraccordé sur une source de tension de 100 [V] dont la fréquence est de 160 [Hz].

Calculer l'impédance, toutes les tensions, le courant et l'angle de déphasage.

Données : R = 220 [Ω] L = 150 [mH]. UZ = 100 [V] f= 160 [Hz].

Inconnues : Z UR UL I ϕ

Relations : U U UR L= +2 2 X f LL = ⋅ ⋅ ⋅2 π Z R X L= +2 2

ϕ =

=

− −cos cos1 1R

ZUU

R

Z



Résolution :

Calcul de la réactance inductive :

X f L L = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−2 2 160 150 10 150 83π π X [ ]L . Ω

Calcul de l'impédance :

Z R X L= + + =2 2 21508 266 72 Z = 220 [ ]2 . . Ω

Calcul du courant :

IUZZ= = = 375 [mA]

100266 72.

Calcul des tensions :

U R I R = ⋅ ⋅ ⋅ =−= 82.48 [V]220 375 10 3

U X I L L= ⋅ ⋅ ⋅ =−= 150.8 56.54 [V]375 10 3

Contrôle du calcul des tensions :

U U UR L= + + =2 2 256 54 = 82.48 100 [V]2 .

Calcul du déphasage :

ϕ =

=

= °− −cos cos

.1 1 220

266 72RZ

34.43

cos.−

= °1 84 48

100UU

R

Z = cos 32.34 -1



15.22 Circuit RC série :R

CU ~UR

UC

I

Ce genre de circuit est plutôt rencontré dans les appareils électroniques pour filtrer certainesfréquences. En électricité, les condensateurs sont utilisés pour corriger les déphasagesprovoqués par les récepteurs inductifs (moteurs, ballast TL, etc.) .

Suivant le montage, il est possible de trouver des condensateurs en série avec une résistance.Pour réaliser des adaptations en tension en introduisant un condensateur en série avec unecharge résistive (réducteur de tension). Ce montage peut également être réalisé au moyend’une bobine montée en série avec la charge résistive. Les circuits RC réducteurs de tensionsont plus souvent utilisés car les condensateurs sont en général de plus petite taille et d'uncoût plus bas.

15.23 Diagramme vectoriel d'un circuit RC série :

ωI

U

UR

UC

ϕ

Z

Comme pour le montage RL série et nous avons utilisé le courant comme référence car il estcommun aux deux éléments. Une résistance ne provoque pas de déphasage et sa tension

!UR est

en phase avec le courant. Dans l'inductance, la tension !UC est en retard de 90 ° par rapport au

courant. La tension !U aux bornes du circuit est la résultante de l'addition vectorielle des

tensions !UR et

!UC .

Pour trouver cette résultante, nous pouvons également appliquer les relations de Pythagore.

U U UZ R C= +2 2

La notion d'impédance est également utilisée avec ce circuit.

Rappel : Xf CC =

⋅ ⋅ ⋅1

2 πZ R XC= +2 2

L'angle de déphasage est déterminé de la manière suivante :

cosϕ = =RZ

UU

R

Z⇒ ϕ =

=

− −cos cos1 1R

ZUU

R

Z



15.24 Applications pratiques :Tableau électrique :

Un tableau électrique est équipé de lampes à incandescence 24 [V] / 5 [W] . A la suite d'unemodification du tableau, une nouvelle tension d'alimentation de 48 [V] doit être utilisée pourles lampes. En raison de leur nombre, il n'est pas possible de changer les lampes.

Pour diminuer la tension sur les lampes, nous désirons utiliser des condensateurs. Calculer lavaleur du condensateur à monter en série avec les lampes.

Schéma :

C

U ~ U ~

tension d'alimentation = 24 [V] tension d'alimentation = 48 [V]

U C

U lampe

Données : Ualim2 = 48 [V] f = 50 [Hz] Ulampe = 24 [V] Plampe = 5 [W]

Inconnue : C

Relations : U U UZ R C= +2 2 P U IZ= ⋅ ⋅cosϕ ZU

IZ= X

f CC =⋅ ⋅ ⋅

12 π

Remarque : La lampe représente un récepteur ohmique. Elle ne provoque pas de déphasageentre le courant et la tension. Nous pouvons l'assimiler à une résistance montéeen série avec le condensateur.

Calcul du courant dans la lampe :

P U IP

UZZ

= ⋅ ⋅ ⇒ =⋅ ⋅

=⋅

coscos

ϕϕ

I = 208.33 [mA]5

24 1

Calcul de la tension sur le condensateur :

U U U U UZ R C C R= + ⇒ = − = −2 2 2 2 2 248 24 U = 41.57 [V]

Calcul de la réactance capacitive :

XU

ICC= =

⋅

41.57208.33 10

= 199.53 [ ]-3 Ω

Calcul du condensateur :

Xf CC =

⋅ ⋅ ⋅⇒

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅1

21

2 50 199 53π π πµ C =

12 f X

= 15.95 [ F]C .

Remarque : Il est possible d'obtenir le même résultat en remplaçant le condensateur parune inductance.



Sèche cheveux :

Un sèche cheveux est raccordé sur le réseau 230 [V] 50 [Hz]. Le corps de chauffe a unepuissance de 1 [kW], un courant de 350 [mA] circule dans le moteur et un condensateur estraccordé en parallèle sur l'ensemble pour corriger le déphasage provoqué par l'inductance dumoteur. Le courant mesuré sur le condensateur vaut 300 [mA].

Les angles de déphasages sont les suivants : ϕC = 66 ° ϕL = 75 °

Calculer : la valeur de la résistance du corps de chauffe, les valeurs de l'inductance et ducondensateur,

Schéma :

R

CU ~

I

L

R

Ic ILIRchauffe

Rc L

RC représente la résistance série du condensateur et RL la résistance série de l'inductance.

Remarque : Pour simplifier notre étude, nous considérons séparément les circuits séries.

Etude du circuit RC série :

Données : U = 230 [V] f = 50 [Hz] IC = 300 [mA] ϕC = 66 °

Inconnues : Z RC C

Relations : Z R XC= +2 2 cosϕ =RZ

ZUI

= Xf CC =

⋅ ⋅ ⋅1

2 π


[ ]ZUIRC = = =

2300 3

766 67.

. Ω

Calcul de la résistance :

cosϕ ϕ= ⇒ ⋅ ⋅R

ZC

RC R = Z cos = 766.67 cos 66 = 311.83 [ ]C RC Ω

Calcul de la réactance du condensateur :

Z R X Z RRC C C C C= + ⇒ = − = − =2 2 2 2 2 2766 66 31183 X 700.38 [ ]C . . Ω

Calcul de la valeur du condensateur :

Xf CC =

⋅ ⋅ ⋅⇒

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅=

12

12 50 700 38π π π

µ C =1

2 f X 4.55 [ F]

C .



Etude du circuit RL série :

Données : U = 230 [V] f = 50 [Hz] IL = 350 [mA] ϕ = 75 °

Inconnues : Z RL L

Relations : Z R X L= +2 2 cosϕ =RZ

ZUI

= X f LL = ⋅ ⋅ ⋅2 π


ZUIRL = = =

2300.35

[ ]657 14. Ω


cosϕ ϕ= ⇒ ⋅ ⋅R

ZRL R = Z cos = 657.14 cos 75 = 170.01 [ ]RL Ω

Calcul de la réactance de l'inductance :

Z R X Z RL= + ⇒ = − = − =2 2 2 2 2 2657 14 170 01 X 634.75 [ ]L . . Ω

Calcul de la valeur de l'inductance :

X f L L = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=2634 75

2 50π

π π L =

X2 f

2.02 [H]L .

Calcul de la résistance du corps de chauffe :

Données : UR = 230 [V] f = 50 [Hz] P = 1 [kW]

Inconnues : Rchauffe

Relations : P R IPI

= ⋅ ⇒ =22 R


PUR

UP

= ⇒ =2 2

R = 2301000

= 52.9 [ ]2

Ω



Exemple :

Un circuit série composé d'une résistance de 120 [Ω] et d'un condensateur de 15 [µF] . Il estraccordé sur une source de tension de 100 [V] dont la fréquence est de 60 [Hz].

Calculer l'impédance, toutes les tensions, le courant et l'angle de déphasage.

Données : R = 120 [Ω] C = 15 [µF] U = 100 [V] f= 60 [Hz].

Inconnues : Z UR UC I ϕ

Relations : U U UR C= +2 2 Xf CC =

⋅ ⋅ ⋅1

2 π Z R XC= +2 2

ϕ =

=

− −cos cos1 1R

ZUU

R

Z

Résolution :

Calcul de la réactance capacitive :

Xf CC =

⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅=−

12

12 60 15 10

176846π π X [ ]C . Ω


Z R XC= + + =2 2 2176 84 213 71 Z = 120 [ ]2 . . Ω

Calcul du courant :

IUZZ= = = 468 [mA]

100213 71.

Calcul du déphasage :

ϕ =

=

= °− −cos cos

.1 1 120

21371RZ

55.84

ϕ = cos.−

= °1 5616

100UU

R

Z = cos 55.84 -1

Calcul des tensions :

U R I VR = ⋅ ⋅ ⋅ =−= 120 468 10 56163 . [ ]

U X I C C= ⋅ ⋅ ⋅ =−= 176.84 82.76 [V]468 10 3

Contrôle du calcul des tensions :

U U UR C= + + =2 2 282 76 = 56.16 100 [V]2 ..



15.25 Exercices

1. Une inductance a une valeur de 0.8 [H] . Calculer sa réactance pour les réseaux suivants

a ) CFF b ) CVE c ) USA

2. Calculer le courant qui circule dans une inductance de 32 [mH] si elle est raccordéeà un générateur de tension alternatif de 50 [V] / 400 [Hz] .

3. Calculer la réactance inductive d'une bobine de 3.8 [H] lorsqu'elle fonctionnesur un réseau dont la fréquence est de 50 [Hz] .

4. Une bobine a une réactance de 475 [Ω] et elle est raccordée à un générateurdont la fréquence est de 200 [Hz] . Calculer l'inductance de la bobine.

5. Une bobine de 3.19 [H] est raccordée dans un circuit alternatif. En fonctionnement,sa réactance vaut 16 [kΩ]. Calculer la fréquence du circuit.

6. Quelle est la capacité d'un condensateur si sa réactance vaut 42.5 [Ω] pour unefréquence de 2.5 [kHz] ?

7. Un filtre possède un condensateur de 10 [nF]. Calculer sa réactance pour unefréquence de 208 [kHz].

8. Quelle est la fréquence d'un circuit dans lequel est branché un condensateurde 4 [µF] dont la réactance vaut 796 [Ω] ?

9. Un circuit est composé d'une bobine idéale de 4.75 [mH] . Il fonctionne à unefréquence de 175 [kHz] et avec une tension de 50 [V]. Calculer le courant dans le circuit.

10. Un condensateur est raccordé en série dans une installation d'éclairage de secours de75 [W] . Quel sera le courant dans le condensateur si les batteries fournissentune tension de 12 [V] ?

11. Un condensateur est traversé par un courant de 78 [mA]. Calculer la valeurdu condensateur si l'alimentation fourni une tension de 100 [V] / 50 [Hz] .

12. Un condensateur est raccordé sur une source alternative de 50 [Hz]. Il est parcourupar un courant de 500 [mA] . Quel sera le courant si la fréquence de la source quadruple ?

Réponses : 1. 83.78 [Ω] - 251.33 [Ω] - 301.6 [Ω] 2. 621.7 [mA] 3. 1193.8 [Ω]4. 378 [mH] 5. 798.27 [Hz] 6. 1.5 [µF] 7. 6.5 [Ω]8. 50 [Hz] 9. 9.57 [mA]10. 0 [mA] , pas de courant continu dans un condensateur.

Les alimentations de secours fonctionnent avec des batteries DC11. 2.48 [µF] 12. 4 fois plus grand



13. Un circuit bouchon est composé d’une bobine de 10 [mH] et d’un condensateur de10.8 [µF]. Sa fréquence de résonance est de 485 [Hz]. Nous désirons utiliser ce filtrepour une fréquence de 317 [Hz] en modifiant soit le condensateur, soit l’inductance.Calculer la valeur des éléments dans les deux cas.

14. Un circuit RLC série est composé d’une résistance de 15 [Ω] , d’une bobine de 260 [mH]et d’un condensateur de 2.5 [µF]. Il est raccordé sur une source alternative de 60 [V].Calculer la fréquence de résonance du montage ainsi que le courant pour fo

15. Un circuit RLC série est composé d’une résistance de 1500 [Ω] , d’une bobine de 150 [mH]et d’un condensateur. Sa fréquence de résonance vaut fo = 2.5 [kHz]. Il est raccordésur une source alternative de 50 [V].Calculer la valeur du condensateur.Calculer toutes les tensions sur les éléments pour une fréquence de 4.5 [kHz].

16. Un circuit est composé d'un condensateur de 4.7 [nF] et d'une résistance de 2.2 [kΩ].Il est raccordé sur un générateur de fréquence réglé sur 15.4 [kHz] et dont la tensionde sortie est fixe et vaut 5 [V].

Dessiner le schéma du circuit et flécher toutes les valeurs.Tracer le diagramme vectoriel

Calculer :L'impédance du circuitLes tensions sur les deux éléments.Le courant total et l'angle de déphasageCalculer l'atténuation du circuit en dB pour la fréquence indiquée,si la sortie se trouve sur le condensateur.

17. Un circuit RL série comporte une résistance de 10 [kΩ] et il fonctionne à une fréquence.Un courant de 405 [µA] et une tension de 1.96 [V] sont est mesurés sur la bobine pourun signal de 3.5 [MHz]. Calculer la valeur de la bobine ainsi que la valeur de la tensionà l'entrée du circuit

XL = 4.827 [kΩ] L = 220 [µH] Z = 11.1 [kΩ] Ue = 4.5 [V]

18. Un circuit RLC a les caractéristiques suivantes pour sa fréquence de résonance :

L = 15 [mH] - C = 470 [nF] - UL = 10 [V] - Gu à fo = - 3 dB

Dessiner le schéma du circuit et flécher toutes les valeurs.Tracer le diagramme vectoriel pour les fréquences de 1 [kHz] et de 3 [kHz].Calculer ( pour les deux fréquences ) : Ue - UR - UL - UC - Z - I - fo

Réponses : 13. 25.21 [µF] - 23.34 [mH] 14. 197.4 [Hz] 4 [A]

15. C = 27 [nF] Z = 3.29 [kΩ] I = 15.2 [mA] UR = 22.79 [V] UC = 19.9 [V] UL = 64.46 [V]16. Z = 3.11 [kΩ] I = 1.6 [mA] UR = 3.54 [V] UC = 3.54 [V] ϕ = -45 [°] Au = -3 dB17. XL = 4.827 [kΩ] L = 220 [µH] Z = 11.1 [kΩ] Ue = 4.5 [V]

18.Pour f = 1 kHz : XL = 94.24 [Ω] XC = 338.6 [Ω] Z = 350.55 [Ω] I = 40.23 [mA] ϕ = -44.2 [°]Ue = 14.1 [V] UR = 10.11 [V] UC = 13.6 [V] UL = 3.79 [V]Pour f = 3 kHz : XL = 282.74 [Ω] XC = 112.87 [Ω] Z = 303.36 [Ω] I = 46.5 [mA] ϕ = 34.1[°]

Ue = 14.1 [V] UR = 11.7 [V] UC = 5.25 [V] UL = 13.14 [V]



19. Un moteur est raccordé sur une génératrice 400 [V] 100 [Hz] . La mesure àl'ohmmètre indique une résistance de 36 [Ω] . Un courant de 4 [A] circule dans le moteur.Calculer la valeur de la bobine, toutes les tensions et l'angle de déphasage

20. Une inductance de 800 [mH] est montée en série avec une résistance de 1.5 [kΩ] .Le montage est raccordé sur une source de tension de 150 [V] / 200 [Hz].Calculer l’impédance, le courant, toutes les tensions et l'angle de déphasageTracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

21. Une lampe est montée en série avec un condensateur de 10 [µF] . On mesure une tension de63.66 [V] aux bornes du condensateur lorsque le circuit est raccordé sur un réseau 50 [Hz].Calculer l’impédance, la résistance de la lampe, le courant, la tension sur la lampe,et l'angle de déphasage. Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

22. Une inductance du 100 [mH] , un condensateur de 700 [nF] et une résistance de 50 [Ω]sont montés en série. Ils sont raccordés sur une source de tension alternative de 60 [V]dont la fréquence vaut 500 [Hz].Calculer l’impédance, le courant, toutes les tensions et l'angle de déphasage.Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.

23. Une résistance bobinée a une inductance de 450 [mH] . Un courant de 650 [mA]la traverse lorsqu’elle est raccordée sur une tension alternative de 230 [V] 50 [Hz].Calculer la valeur de la résistance, l’impédance, les tensions et l'angle de déphasageDessiner le schéma, flécher toutes les valeurs et tracer le diagramme vectorielsur une feuille séparée.

24. Lorsqu'une bobine est parcourue par un courant continu, nous mesurons 2.5 [A],alors que lorsqu'elle est raccordée sur une source alternative sinusoïdale d'une fréquencede 150 [Hz] le courant vaut 850 [mA] . Les deux tensions sont comparables et la valeurde crête de la tension alternative vaut 15 V.Calculer l’impédance, la résistance de l'inductance , la valeur de l'inductance, et l'angle dedéphasage

25. Un circuit RC série est utilisé comme filtre de tonalité dans un appareil audio.Il est composé d'une résistance de 330 [Ω] et d'un condensateur.La tension à l'entrée du filtre est de 1.5 [V] .La tension de sortie est prise sur le condensateur.Calculer la valeur du condensateur pour une atténuation de 35 % à 1 [kHz] , l’impédance , lecourant, et l'angle de déphasage pour cette même fréquence.

Réponses :

19. UR =144 [V] UL = 373.18 [V] L = 148.5 [mH] cosϕ = 0.36 ϕ = 68.9 [°]

20. Z = 1805.73 [Ω] , I = 83.07 [mA] , UR = 124.61 [V] , UL = 83.76 [V] , ϕ = 33.83 [°]

21. Z = 1150 [Ω] , RL = 1105 [Ω] , UR = 221.01 [V] , I=200 [mA] , ϕ = 16.07 [°]

22. Z = 149.2 [Ω] , I = 402.15 [mA] , UR = 20.11 [V] , UC = 182.87 [V] , UL = 126.34 [V] , ϕ = 70.42 [°]

23. Z = 353.85 [Ω] , UR = 210.85 [V] , UL = 91.9 [V] , ϕ = 23.55 [°]

24. Z = 12.47 [Ω] , RL = 4.24 [Ω] , L = 12.45 [mH] , ϕ = 70.12 [°]

25. Z = 434.24 [Ω] , I = 3.45 [mA] , UR = 1.14 [V] , UC = 975 [mV] ,C = 564 [nF] , ϕ = 40.54 [°]

Régime impulsionnel


Chapitre 15 cCircuits RL et RC

en régime impulsionnel

Sommaire

• Circuits en régime impulsionnel• Signal impulsionnel• Mesure d'un circuit RC en régime impulsionnel• Application pratique• Etude du circuit RC en régime impulsionnel• Analyse du circuit• Mesure du temps de charge du condensateur• Constante de temps du circuit RL• Exercices

Introduction

Circuits en régime impulsionnel :

Dans l'étude que nous venons de faire sur les circuits RC et RL, la source de signalgénérait une forme alternative sinusoïdale. Dans certains cas, ce signal peut avoir uneautre forme.

En régime sinusoïdal alternatif, nous parlons de signal analogique, car la valeur de latension ou du courant varie constamment et toutes ses valeurs successives sontdifférentes.

En régime impulsionnel, le signal de la source n'a que deux états :

pas de tension 0 [V] tension présente x [V]

Nous pouvons faire une analogie avec les signaux numériques dans lesquels il n'existe quedeux états :

état bas 0 état haut 1

Les ordinateurs fonctionnent selon ce principe. Soit l'information numérique estabsente, soir elle est présente. Cette information porte de nom de "bit".



Le "bit" tout seul n'est utilisé que pour les cas simples où il peut permettre decommander l'enclenchement et le déclenchement d'un appareil ou de détecter laprésence ou l'absence d'une tension.

Pour pouvoir accomplir des tâches plus complexes, un ordinateur a besoin de travailleravec des informations plus importantes. C'est pourquoi des mots appelés "bytes" ou"octets" sont formés avec des groupes de 8 "bits". Avec les nouvelles technologies, desmots de 16, 32, ou 64 "bits" sont utilisés. Plus la longueur du mot est grande, plus lavitesse d’exécution sera rapide, l'ordinateur pourra effectuer des tâches pluscomplexes.

L'étude des signaux numériques (digitaux) est très complexe et elle ne fait pas partie denotre sujet. Pour plus de détails, il est nécessaire de consulter la monstrueuselittérature disponible dans ce domaine.

Signal impulsionnel :

Comme pour les signaux alternatifs sinusoïdaux, il est possible de déterminer lafréquence d'un signal impulsionnel.

U

t[s]

[V]U

t[s]

[V]

T T

En régime impulsionnel dont la durée des cyclesn'est pas identique, nous parlons de cyclesasymétriques. La fréquence ne change pas, mais letemps durant lequel l'impulsion est présente n'estplus égal au temps durant lequel elle est àzéro.

U

t[s]

[V]

T

Cette caractéristique s'appelle le rapport cyclique.Elle est utilisée dans les téléviseurs pour ajusterles réglages du son, lumière, etc. et également danscertains variateurs de lumière. En effet, dans cescas particuliers, nous travaillons avec la tensionmoyenne du signal.

U

t[s]

[V]

T



Cette moyenne est obtenue en mesurant la valeur de la tension, le temps durant lequelelle est présente, et le temps durant lequel elle est absente.

U

t[s]

[V]

T

U

t[s]

[V]

T

Um

Um

Nous obtenons alors une tension continue variable dépendante du rapport cyclique quipermettra d'effectuer la commande de la fonction désirée.

Le circuit utilisé pour convertir ces impulsions à rapport cyclique variable en tensioncontinue variable se nomme intégrateur. Il peut être composé soit d'une résistance etd'un condensateur, soit d'une bobine et d'une résistance. Il sera possible de définir latension de sortie en calculant la valeur des éléments.

Ce circuit exécute une opération mathématique appelée "intégration d'une fonction". Latension de sortie représente la somme des charges élémentaires emmagasinées dans lecondensateur par unité de capacité, ce qui exprime l'intégrale de la tension aux bornesdu condensateur.

Mesure d'un circuit RC en régime impulsionnel

Pour réaliser la mesure, nous disposons une résistance et un condensateur montés enfiltre passe-bas. Le générateur fourni une tension continue carrée. L'oscilloscopepermet de visualiser la forme de la tension à l'entrée et à la sortie du circuit. Unmultimètre est placé à la sortie pour confirmer la valeur de la tension continue à lasortie du filtre.



Résultats de la mesure :

Le générateur fourni un signal carré avec un rapport cyclique de 50 %. Nous constatonsqu'à la sortie du filtre, la tension est plane et correspond au 50 % de la tension dugénérateur.

Si nous varions le rapport cyclique, sans modifier la tension du générateur, la tensioncontinue aux bornes du condensateur varie. Plus le rapport cyclique est grand, plus latension est grande et inversement.



Application pratique :

Ce circuit intégré contrôle les fonctions de volume sonore, luminosité, contraste etsaturation dans un téléviseur couleur. Il reçoit les informations numériques duprocesseur par le point 7. Après un traitement complexe, et une mise en mémoire, noustrouvons des générateurs de signaux à rapport cyclique variables. La conversion signalcarré tension continue variable est effectuée dans le dernier bloc au moyen descondensateurs raccordés aux sorties à gauche de l'IC. Les valeurs de tensions sontindiquées. On distingue facilement le filtre RC au point 9, pour le contrôle du volumesonore.

Mesure du circuit RL en régime impulsionnel :

Nous obtenons les mêmes résultats avec un circuit RL. Cette fois, les positions de labobine et de la résistance sont inversées. Ce croisement est dû au comportementinverse de la bobine et du condensateur,

Les oscillogrammes sont identiques aux résultats obtenus avec le circuit RC



Etude du circuit RC en régime impulsionnel :

R

C

+

-

générateur

CH1

CH2

CH3

Le générateur fournit une tension carrée continue positive. Trois traces d'oscilloscopesont placées dans le circuit.

• CH1 tension du générateur

• CH2 tension aux bornes de la résistance (proportionnelle au courant dans le circuit)

• CH3 tension aux bornes du condensateur

Oscillogrammes

0DC

0DC

0DC

Constatations :

• la tension à l'entrée du circuit a une forme carré.

• la tension aux bornes de la résistance est positive lors du flanc montantet négative lors du flanc descendant.

Cette tension représente le courant dans le circuit.

• la tension aux bornes du condensateur met un certain temps pour arriverau maximum.

• la tension aux bornes du condensateur a une forme exponentielle.

• lorsque le condensateur est complètement chargé, il n'y a plus de courantdans le circuit.



Analyse du circuit :

R

C

+

-

générateur R

C

+

-

générateur

Uc Uc

UR UR

I I

Le générateur fournit une tension et uncourant de charge circule dans le circuit.

Le générateur ne fournit pas de tension,sa sortie est à 0 [V], et un courant dedécharge circule dans le circuit.

C'est à cause de la charge et de la décharge que le courant s'inverse dans le circuit.

Courbe de charge du condensateur :U c[V]

t[s]

2

4

6

8

10

On constate sur cette courbe que la tension UC met un certain temps pour arriver aumaximum, sans pour autant y parvenir.

Le temps de charge dépend du produit R ⋅ C. Ce temps est déterminé par la constante detemps τ exprimée en secondes.

τ = ⋅R C

On peut démontrer cette formule par une analyse dimensionnelle :

[ ][ ]

[ ][ ][ ]

[ ] [ ][ ]R U

IVA

VCs

V sC

= = = =⋅ [ ]

[ ]C QU

CV

= =[ ] [ ]

[ ][ ][ ] [ ]τ =

⋅⋅ =

V sC

CV

s



Mesure du temps de charge du condensateur :U c I c[V] [A]

t[s]

U c I c

2

4

6

8

10

τ τ τ τ τ

A la charge, la constante de temps τ indique le temps qu'il faut au condensateur C pourse charger au 63 % de la tension de charge.

Le courant de charge qui a diminué de 63 % après un τ .

Durant le τ suivant, le condensateur se charge du 63 % de la valeur de tension restante,et ainsi de suite.

Le tableau ci-dessous indique les différentes valeur de la tension et du courant de

charge en fonction de la constante de temps τ .

τ [s] UC % IC %

1/10 9.5 90.51/5 18 821/2 39.4 60.6

1 63.2 36.82 86.46 13.543 95 54 98.2 1.85 99.3 0.7

10 99.99 0.01

Remarque : Dans la pratique, nous admettons que le condensateur est complètement

chargé après 5 τ.



Constante de temps du circuit RL :

+

-

générateur

R

+

-

générateur

URUR

I I

UL

L

R

UL

L

Le générateur fournit une tension et uncourant circule dans le circuit. Par effetde self-induction, la bobine s'oppose aupassage du courant.

Le générateur ne fournit pas de tension,sa sortie est à 0 [V], et la bobine restitueson énergie en inversant la polarité à sesbornes.

Par la loi de Lenz et l'opposition de la tension induite, le courant s'inverse dans lecircuit.

Courbe de la tension sur la résistance :U c[V]

t[s]

2

4

6

8

10

On constate sur cette courbe que la tension UR met un certain temps pour arriver aumaximum, sans pour autant y parvenir.

Ce temps dépend de la division de L par R. Ce temps est déterminé par la constante detemps τ exprimée en secondes.

τ = LR

On peut démontrer cette formule par une analyse dimensionnelle :

[ ][ ]R U

IVA

= = [ ] [ ][ ]L U t

IV s

Ai=⋅

=⋅∆

∆[ ][ ][ ]

] ][ ]

[ ][ ] [ ]τ = = =

⋅⋅ =L

RAVA

[V [sA

AV

s

[s ][V] ⋅



Comparaison des circuits RC et RL en régime impulsionnel :

Circuit intégrateur :

R

C

R

L

Circuit différenciateur :

R

C

R

L



Exercice :

Un circuit intégrateur est composé d'une résistance de 820 [Ω] et d'un condensateur.La charge complète du condensateur est atteinte après 90.2 [µs]

Calculer la valeur du condensateur.

Déterminer tau sur la courbe ci-dessous

Tracer tous les tau.

Dessiner les schémas des deux montages possibles:

Calculer la valeur des éléments en utilisant une résistance de 470 [Ω] dans les deuxcircuits

0

0.1

0.20.3

0.40.5

0.6

0.70.8

0.91

U

t[ s]µ10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Les mesures sur un circuit ont donné les résultats montrés ci-dessous.

Calculer : la valeur de l'élément manquant. R = 1 [kΩ].la tension et la fréquence du générateur.le courant maximum dans le circuit.



Les mesures sur un circuit ont donné les résultats montrés ci-dessous.

Calculer : la valeur de l'élément manquant R = 6.8 [kΩ].la tension et la fréquence du générateur.le courant maximum dans le circuit.

Un circuit intégrateur RC est composé d'une résistance de 2.2 [kΩ] et d'uncondensateur de 56 [nF] . Il est raccordé sur un générateur qui fournit un signal carréde 15[V] d'amplitude.

Dessiner le schéma du circuit.

Tracer les courbes de charge du condensateur et de courant dans le circuit.

Quel va être le comportement du circuit si la fréquence du générateur vaut 1 [kHz] ?

Quelle est la fréquence maximum de fonctionnement du circuit ?

Circuits RL et RC parallèles


Chapitre 16b

Circuits RLC parallèles

Sommaire

• Montage parallèle en courant alternatif• Conductance, admittance et suceptance• Impédance Z• Circuit RL et RC parallèles• Circuits bouchons• Exercices

Introduction

Circuits RC et RL parallèle

A l'inverse des circuits série, les circuits parallèles présentent une grande impédance pour lafréquence de résonance.

Lors de l'étude des circuits de résistances en parallèle, nous avons utilisé la conductance Gpour déterminer la résistance équivalente du circuit. Cette méthode nous permet de simplifierles calculs et de mieux en comprendre le comportement.

Conductance, admittance et susceptance

Contrairement aux circuits séries, dans les circuits parallèles, la tension est commune à tousles éléments et le courant est réparti dans les différentes branches du circuit.

Pour déterminer la conductance totale d'un circuit parallèle, nous additionnons lesconductances de chacune des branches. La résistance équivalente du circuit sera égale àl'inverse de la conductance totale. Cette méthode simplifie les calculs et nous pouvonsl'appliquer aux circuits RC, RL et RLC parallèle.



Nous parlons de :

Conductance G :

facilité qu'a une résistance (ou un ensemble de résistances)de laisser passer le courant lorsqu'une tension lui estappliquée.

[ ]GR

=1 S

Susceptance B :

facilité qu'a un élément réactif (ou un ensemble deréactances) à laisser passer le courant lorsqu'une tensionalternative lui est appliquée.

[ ]BX

SLL

=1

[ ]BX

SCC

=1

Admittance Y :

facilité qu'a un circuit composé d'éléments résistifs etréactifs à laisser passer le courant lorsqu'une tensionalternative lui est appliquée, en tenant compte du déphasageentre U et I.

[ ]YZ

S= 1

Remarque : G, B et Y s'expriment en siemens [S]

Circuits RL parallèleSoit un circuit composé d'une résistance et d'une bobine:

RLU ~ URUL

I

I IRL

Pour mieux comprendre le comportement de ce circuit, il est indispensable de tracer lediagramme vectoriel. Comme nous sommes en parallèle, la valeur commune à tous leséléments est la tension et nous l'utiliserons comme référence pour le diagramme (ils'agit d'un choix arbitraire) .



ω

I

UIR

I L

ϕ

Z

Constations :

• la résistance ne déphase pas le courant IR

• la bobine provoque un retard de 90 [°] du courant IL par rapport à la tension.

• le courant total Iz est en retard par rapport à la tension.

Par analogie nous pouvons tracer le diagramme suivant :

ω

Y

UG

BL

ϕ

Le courant étant inversement proportionnel àla résistance et à la réactance, nous devonsutiliser la conductance G et la susceptance B.

Le vecteur résultant du diagrammecorrespond à l'admittance Y du circuit.

Relations :

ω

I

UIR

I L

ϕ

ω

Y

UG

B

ϕ

LZ

Par Pythagore :

I I Iz R L= +2 2 Y G BL= +2 2

Nous savons que :

IUZz

z= IURRR= I

ULL

L=⋅ω

YZ

=1

GR

=1

BLL =

⋅1

ω




UZ

UR

UL

z R L2

2

2

2

2

2 2= +⋅ω

1 1 12 2 2 2Z R L

= +⋅ω

La tension est commune sur les éléments:

1 1 12 2 2 2Z R L

= +⋅ω

1 1 12 2 2 2Z R L

= +⋅ω

La formule finale de l'impédance est :

Z

R X L

=+

11 12 2

Z

R X L

=+

11 12 2

Calcul de l'angle de déphasage :

cosϕ =IIR

zcosϕ =

GY

cosϕ =

1

1R

Z

cosϕ =ZR

ϕ = −cos 1 IIR

zϕ = −cos 1 G

Y ϕ = −cos 1 Z

R

Exemple

Un circuit est composé d'une résistance de 220 [Ω] et d'une bobine de 150[mH]. Il estraccordé sur une source de 100 [V] dont la fréquence est de 160 [Hz]

Calculer l'impédance, tous les courants ainsi que l'angle de déphasage.

Données : R = 220 [Ω] L = 150 [mH] U = 100 [V] f = 160 [Hz]

Inconnues : Z I IR IL ϕ



Relations : GR

=1

BLL =

⋅1

ω Y G BL= +2 2 Z

R X L

=+

11 12 2

IURRR= I

ULL

L=⋅ω

I I Iz R L= +2 2

ϕ = −cos 1 IIR ϕ =

−cos 1 Z

R

Diagrammes vectoriels :

ω

I

UIR

I L

ϕ

ω

Y

UG

B

ϕ

= I z

Calcul de la conductance et de la susceptance :

GR

= = =1 1

220 4.54 [mS] B

LL =⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=−1 1

2 160 150 10 3ω π 6.63 [mS]

Calcul de l'admittance :

Y G BL= + = ⋅ + ⋅ =− −2 2 3 2 3 24 54 10 6 63 10( . ) ( . ) 8.037 [mS]


ZY

= =⋅

=−1 1

8 037 10 3. 124.43 [ ]Ω

Vérification du résultat :

( )Z

R X L

=+

=+

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

−

11 1

11

2201

2 160 150 102 2 2 3 2

π

124.38 [ ]Ω

Calcul du courant total :

IUZZ = = =

100124 43.

803.67 [mA] I U YZ = ⋅ = ⋅ ⋅ −100 8 037 10 3. = 803.7 [mA]



Calcul des courants IR et IL :

IURRR= = =

100220

454.55 [mA] IU

LLL=⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=−ω π100

2 160 150 10 3 663.15 [mA]

Vérification du calcul des courants :

I I IR L= + = ⋅ + ⋅ =− −2 2 3 2 3 2454 55 10 66315 10( . ) ( . ) 803.97 [mA]

Calcul de l'angle de déphasage

ϕ = =⋅⋅

= °− −

−

−cos cos..

1 13

3454 55 1080367 10

IIR 55.56 [ ]

ϕ = =

= °− −cos cos

.1 1 124 43220

ZR

55.56 [ ]

Circuits RC parallèle :

Soit un circuit composé d'une résistance et d'un condensateur :

RCU ~ URUC

I

I IRC

Pour mieux comprendre le comportement de ce circuit, il est indispensable de tracer lediagramme vectoriel. Comme nous sommes en parallèle, la valeur commune à tous les élémentsest la tension et nous l'utiliserons comme référence pour le diagramme (il s'agit d'un choixarbitraire) .

ω

I

UIR

I C

ϕ



Constations :

• la résistance ne déphase pas le courant IR

• le condensateur provoque une avance de 90 [°] du courant IL par rapport à la tension.

• le courant total Iz est en avance par rapport à la tension.

Par analogie nous pouvons tracer le diagramme suivant :

ω

Y

UG

BC

ϕ

Le courant étant inversementproportionnel à la résistance et à laréactance, nous devons utiliser laconductance G et la susceptance B.

Le vecteur résultant du diagrammecorrespond à l'admittance Y du circuit.

Relations :

ω

I

UIR

I C

ϕ

ω

Y

UG

B C

ϕ

z

Par Pythagore

I I Iz R C= +2 2 Y G BC= +2 2

Nous savons que :

IUZz

z= IURRR= I

U

C

U CCC

C=

⋅

= ⋅ ⋅1ω

ω YZ

=1

GR

=1

B

C

CC =

⋅

= ⋅11

ω

ω


UZ

UR

U Cz RC

2

2

2

22 2= + ⋅ ⋅( )ω

1 1 11

12 2

22

2Z R

CR

C= +

⋅

= + ⋅

( )

( )

ω

ω




1 12 2

2Z R

C= + ⋅( )ω1 12 2

2Z R

C= + ⋅( )ω


Z

RC

=+ ⋅

112

2( )ωZ

RC

=+ ⋅

112

2( )ω


cosϕ =IIR

zcosϕ =

GY

cosϕ =

1

1R

Z

cosϕ =ZR

ϕ = −cos 1 IIR

zϕ = −cos 1 G

Y ϕ = −cos 1 Z

R

Exemple

Un circuit est composé d'une résistance de 220 [Ω] et d'un condensateur de 6.8 [µF]. Il estraccordé sur une source de 100 [V] dont la fréquence est de 160 [Hz]

Calculer l'impédance, tous les courants ainsi que l'angle de déphasage.

Données : R = 220 [Ω] C = 10 [µF] U = 100 [V] f = 160 [Hz]

Inconnues : Z I IR IC ϕ

Relations : GR

=1

B

C

CC =

⋅

= ⋅11

ω

ω Y G BC= +2 2 Z

RC

=+ ⋅

112

2( )ω

IURRR= I

U

C

U CCC

C=

⋅

= ⋅ ⋅1ω

ω I I Iz R C= +2 2

ϕ =

−cos 1 I

IR

z ϕ =

−cos 1 Z

R



Diagrammes vectoriels :

ω

UIR

I C

ϕ

ω

Y

UG

B C

ϕ

I = I z

Calcul de la conductance et de la susceptance :

GR

= = =1 1

220 4.54 [mS] B CC = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−ω π2 160 6 8 10 6. 6.84 [mS]


Y G BC= + = ⋅ + ⋅ =− −2 2 3 2 3 24 54 10 684 10( . ) ( . ) 8.21 [mS]


ZY

= =⋅

=−1 1

8 21 10 3. 121.81 [ ]Ω

Vérification du résultat :

Z

RC

=+ ⋅

=+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=−

11

11

2202 160 68 102

2 22

2 6 2ω π( ) ( . ) 121.81 [ ]Ω


IUZZ

z= = =100

12181. 820.96 [mA] I U YZ = ⋅ = ⋅ ⋅ −100 8 21 10 3. = 821 [mA]

Calcul des courants IR et IL :

IURR = = =

100220

454.55 [mA] I U CC = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−ω ω100 2 160 6 8 10 6. 683.61 [mA]


[ ]I I IR L= + = ⋅ + ⋅ =− −2 2 3 2 3 2454 55 10 66361 10( . ) ( . ) 820.93 mA


ϕ =

=

⋅⋅

= °− −

−

−cos cos..

1 13

3454 55 10820 96 10

IIR 56.38 [ ]

ϕ = =

= °− −cos cos

.1 1 12181220

ZR

56.38 [ ]



Circuits bouchonsLes circuits RLC parallèle, sont souvent appelés circuits bouchons, car ils présentent unegrande impédance pour fo et ils "empêchent" les signaux à cette fréquence d'accéder à unepartie de circuit.

En électronique, les circuits bouchons sont utilisés pour "trier" différentes fréquences dansles chaînes audio (égaliser) ou dans les téléviseurs couleur (séparation des fréquences son,chrominance et luminance). En électricité, les circuits bouchons sont utilisés dans lestélécommandes centralisées pour éviter une dispersion des fréquences pilotes sur le réseau.

Caractéristiques d'un circuit bouchon :

N

f

[dB]

Pour mieux comprendre le fonctionnement des circuits bouchons, il est pratique de réaliserune mesure au laboratoire.

Le traceur de Bode nous permet de visualiser la tension de sortie du filtre bouchon enfonction de la fréquence du générateur.

Nous constatons que pour une certaine fréquence, le circuit oppose une grande impédance, cequi crée la forte atténuation au milieu de la courbe.



Etude du circuit bouchon RLC parallèle :ω ω

Y

G

I

U

IR

I C

ϕ

I C

I L

U

B C

ϕ

B C

B L

= I z

Remarque : Cette démonstration est réalisée avec un circuit à comportement inductif. Cechoix est arbitraire et la théorie qui est applicable à n'importe quel circuit RLCparallèle,

Par Pythagore

I I I Iz R L C= + −2 2( ) Y G B BL C= + −2 2( )

Nous savons que :

IUZ

= IURR = Y

Z=

1 G

R=

1

I U CC = ⋅ ⋅ω IU

LL =⋅ω

B CC = ⋅ω BLL =

⋅1

ωNous pouvons donc écrire :

UZ

UR

UL

U CR R2

2

2

2

2

22 2= +

⋅− ⋅ ⋅

( )

( )ω

ω1 1 12 2 2

2Z R L

C= +⋅

− ⋅ ( )

( )ω

ω


1 1 12 2 2

2Z R L

C= +⋅

− ⋅

( )( )

ωω

1 1 12 2 2

2Z R L

C= +⋅

− ⋅

( )( )

ωω


Z

R LC

=

+⋅

− ⋅

1

1 12 2

2( )

( )ω

ω

Z

R LC

=

+⋅

− ⋅

1

1 12 2

2( )

( )ω

ω


cosϕ =IIR

zcosϕ =

GY

cosϕ =ZR

ϕ = −cos 1 IIR

zϕ = −cos 1 G

Y ϕ = −cos 1 Z

R



ExempleUn circuit bouchon doit être intégré dans un appareil pour empêcher une fréquence de38 [kHz] de perturber son fonctionnement. Pour réaliser ce filtre, une résistance de 56 [kΩ] ,un condensateur de 4.7 [nF] et une bobine de 3 [mH] sont montés en parallèle. La tensionprésente à cet endroit est de 2.2 [V].

Calculer l'impédance du circuit bouchon, tous les courants ainsi que l'angle de déphasage pourla fréquence de 30 [kHz].

Données : R = 56 [kΩ] L = 3 [mH] C = 4.7 [nF] UZ = 2.2 [V] f = 38 [kHz]

Inconnues : Z I IR IC IL ϕ

Relations :

IUZZ= I

URRR= I U CC C= ⋅ ⋅ω I

ULL

L=⋅ω

YZ

=1

GR

=1

B CC = ⋅ω BLL =

⋅1

ω

I I I Iz R L C= + −2 2( ) Y G B BL C= + −2 2( )

Z

R LC

=

+⋅

− ⋅

1

1 12 2

2( )

( )ω

ω

ϕ = −cos 1 IIR

z ϕ = −cos 1 G

Y

Calcul de la conductance et des susceptances :

GR

= =⋅

=1 1

56 103 17.86 [ S]µ B CC = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−ω π2 38 10 4 7 103 9. 1.12 [mS]

BLL =

⋅=

⋅ ⋅ ⋅=−

1 12 3 10 3ω π

1.39 [mS]


( )Y G B BL C= + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ =− − −2 2 6 2 3 3 217 86 10 139 10 112 10( . ) ( . . ) 270.6 [ S]µ


ZY

= =⋅

=−1 1

270 6 10 6. 3.696 [k ]Ω

Vérification du résultat : (pour simplifier le calcul, nous utilisons XC et XL

XBC

C= =

⋅=−

1 1112 10 3.

892.86 [ ]Ω XBL

L= =

⋅=−

1 1139 10 3.

719.42 [ ]Ω

Z

R X XC L

=

+ −

=

⋅

+ −

=1

1 1 1

11

156 10

1892 86

1719 42

2

2

3

2 2

. .

3.965 [k ]Ω




IUZZ

z= = =2 2

3965.

595.32 [ A]µ I U YZ = ⋅ = ⋅ ⋅ −2 2 270 6 10 6. . = 595.32 [ A]µ

Calcul des courants IR , IC et IL :

[ ]IURRR= =

⋅ ⋅=

2 256 10 3

. 39.29 Aµ I U CC C= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−ω ω2 2 2 38 10 4 7 103 9. . 2.47 [mA]

IU

LLL=⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=−ω π2 2

2 38 10 3 103 3.

3.07 [mA]


( ) [ ]I I I Iz R C L= + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ =− − −2 2 6 2 3 3 239 29 10 2 47 10 3 07 10( . ) ( . . ) 601.28 Aµ


ϕ = =⋅⋅

= °− −

−

−cos cos..

1 16

639 29 1059532 10

IIR

z 86.21 [ ]

ϕ = =⋅

= °− −cos cos1 1

33965

56 10ZR

85.94 [ ]



Entraînement

1. Qu'est-ce qu'un circuit bouchon ?

2. Qu'est-ce que l'interconnexion et pourquoi est-elle réalisée ?

3. De quoi se compose un circuit bouchon ?

4. Que faut-il pour que nous obtenions la condition de résonance ?

5. Quel est le genre de couplage d'un circuit bouchon ?

6. Dessinez la courbe de l'impédance en fonction de la fréquence pour un circuit parallèle

7. Quel est le genre de couplage d'un point d'injection ?

8. Dessinez la courbe de l'impédance en fonction de la fréquence pour un circuit série.

1. Un circuit est composé d'une résistance de 1.5 [kΩ] , d'un condensateur de 560 [nF] etd'une bobine de 1.25 [µH] montés en parallèle et raccordés sur un générateur dont lafréquence vaut 18 [kHz] .Calculer la conductance, les susceptances des trois éléments

2. Une bobine et une résistance sont montées en parallèle sur un générateur 130 [V] 50 [Hz]. Pour les éléments, nous connaissons les valeurs suivantes :

R = 15 [Ω] et XL = 10 [Ω]

Tracer le diagramme vectoriel et calculer les valeurs de la bobine, de l'impédance, de la conductance, de la susceptance, ainsi que tous les courants et l'angle de déphasage.

3. Un condensateur et une résistance sont montés en parallèle sur un générateur 130 [V] / 50 [Hz]. Pour les éléments, nous connaissons les valeurs suivantes :

R = 15 [Ω] et XC = 22 [Ω]

Tracer le diagramme vectoriel et calculer la valeur du condensateur, de l'impédance, de la conductance, de la susceptance, ainsi que tous les courants et l'angle de déphasage.

4. Une source de tension de 60 [V] alimente un circuit parallèle constitué d'un condensateur de 2.5 [µF] et d'une bobine dont l'inductance et la résistance sont respectivement, 260 [mH] et 15 [Ω].

Calculer la fréquence de résonance du circuit.



5. Calculer pour quelle fréquence de résonance est dimensionné un récepteur de TC dont le montage du circuit RLC série est composé des éléments suivants :.

R = 4 [Ω] L = 45 [mH] C = 16 [µF].

Calculer la tension que devra supporter la capacité si le courant de télécommande est de400 [mA].

6. Un circuit bouchon d'un distributeur doit être installé provisoirement sur un autre réseau. Ses caractéristiques sont : XL = 20 [Ω] fo = 317 [Hz]

Quelles solutions proposez-vous ?

7. Montrer par le calcul et le diagramme vectoriel, si le circuit proposé est en résonance pour la fréquence donnée.

L

R b

C

L = 150 [mH]

Rb = 5 [Ω]

C = 6000 [pF]

f = 50 [Hz]

8. Calculer les courant circulant dans les différents composants du circuit de l'exercice 7, à 50 [Hz], à 1000 [Hz], à 0 [Hz] et à la fréquence de résonance fo , si le courant

IC = 829.4 [µA] à 100 [Hz].

5. Montrer par le calcul et le diagramme vectoriel, si le circuit proposé est en résonancepour la fréquence donnée.

Rb L C

Rb = 5 [Ω] C = 6000 [pF]

f = 50 [Hz] L = 150 [mH]

Réponses : 1. G = 666.67 [µS] BC = 63.34 [mS] BL = 7.08 [mS]

Circuits RLC parallèles et circuits bouchons

Electrotechnique / Editions de la Dunanche /décembre 2000 1

Chapitre 16c

Circuits RLC parallèlesTélécommande centralisée

Application aux circuits bouchons

Sommaire

• Circuit RL et RC parallèles• Circuits bouchons• Télécommande centralisée• Exemples de calculs pratiques• Exercices

Introduction

Circuits RC et RL parallèle

A l'inverse des circuits série, les circuits parallèles présentent une grande impédance pour lafréquence de résonance.

Lors de l'étude des circuits de résistances en parallèle, nous avons utilisé la conductance Gpour déterminer la résistance équivalente du circuit. Cette méthode nous permet de simplifierles calculs et de mieux en comprendre le comportement.

Régulation de la production d'énergie électrique

En Suisse, nous utilisons principalement deux sources de production d'énergie électrique :

• production par les centrales hydrauliques

• production par les centrales nucléaires

La production d'énergie doit également être liée à la consommation, qui varie en fonction desheures de la journée ainsi que des saisons.



Des courbes sont établies par les producteurs d'énergie électrique pour leur permettre uneplanification.

Hiver Hiver Hiver87/88 1988 88/89 1989 89/90

Eté Eté

W

[TWh]

1000

2000

3000

4000

5000

6000

centrales nucléaires

centrales hydrauliques

consommation suissed'électricitéexportations

importations

Ce diagramme montre les différents types de production d'énergie électrique ainsi que lespériodes d'importation et d'exportation. Nous constatons également la différence entre l'étéet l'hiver. La production est moins importante lors des mois chauds, car la demande est moinsforte.

Le réseau suisse de productiond'énergie électrique est interconnectéavec l'étranger.

Cela permet un approvisionnement plusfiable et une meilleure régulation de laproduction.

En effet, lorsque la consommationinterne est plus faible, nous exportonsl'excédent vers l'étranger.

Télécommande centralisée TC

Les distributeurs d'énergie électrique disposent dans leur réseau d'un système permettant decommander à distance et avec un minimum de frais d'installation les différents types deconsommateurs d'énergie.

Chaque distributeur établit un programme complet de télécommande, en fonction de sa courbede charge. La courbe de charge correspond à la puissance raccordée aux différentes heuresde la journée. Le but est d'obtenir une courbe de charge la plus plate possible pendant les 24heures.



Exemple de courbe de charge

Nous constatons sur cettecourbe des pointes deconsommation aux heures derepas, ainsi qu'uneconsommation plus faibledurant la nuit.

Cette courbe va permettrede commander lesrécepteurs et de réguler laproduction d'énergieélectrique.

Ce dispositif porte le nom de TELECOMMANDE CENTRALISEE et elle a pour but, parexemple, de :

• commuter les compteurs d'énergie entre le tarif haut et le tarif bas.

• bloquer les chauffages électriques dans les immeubles ou les villas.

• bloquer les fours industriels.

• bloquer les machines à laver le linge.

• enclencher l'éclairage public.

• d'autres fonctions sont également possibles.

Dans la pratique, nous donnons le nom de PILOTE aux fils dont la fonction est de commander.Le tableau ci-dessous représente les principales fonctions ainsi que leurs désignationsabrégées.

Fonctions Désignations abrégées

Charges en heures creuses CHCChauffages à accumulation CAChauffage direct CDChauffage mixte CMChauffe-eau CEChauffe-eau court blocage CECChauffe-eau long blocage CELDélestage DELDouble tarif DT, DT1 , DT2 , DT3 , DT4Double tarif boulanger DTFBDouble tarif four professionnel DTFP

P[MW]

theures

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

6 12 18 24



Fonctions Désignations abrégées

Eclairage cage d'escalier EEEclairage de monuments EMEclairage public EPEclairage public réduit EPREclairage vitrine EVEffacement jour de pointe EJPEnregistrement du maximum MAXForce motrice FMFours professionnels FPLave linge LLPiscine PISCPompe d'arrosage PAPompe à chaleur PACRemise à zéro de la télécommande RAZ1 - RAZ2Saune SASèche-linge SLTarif saisonnier TS

Pour le canton de Vaud, la Romanded'Energie a divisé son réseau dedistribution en zones comme le montrecette carte.

Une fréquence différente est utiliséepour chaque zone de distribution, mêmelorsque ce n'est pas la Romanded'Energie qui est responsable de ladistribution.

Interconnexion

Les réseaux de distribution d'énergie électrique sont interconnectés. Ils disposent tous detélécommande centralisée.

Les pays européens sont tous interconnectés et ils s'échangent régulièrement de l'énergie. Leréseau de la Romande d'Energie est également relié au réseau européen par l'intermédiaired'EOS.



EOS

SEL ENSA EEF SIG

[Hz]492 492-1600 475 1050

CVE

Zone I Zone II SEIC SIN FMA SIY

[Hz]317 485 1050 185 492 725

SUISSE FRANCE ITALIE AUTRICHE ALLEMAGNE

interconnexion

Vu la multitude de réseaux, il est nécessaire de BLOQUER les différentes fréquences, enamont, de leur point d'injection. Si cette précaution n'est pas prise, il peut se produire desdémarrages intempestifs de télécommande à un moment et à un endroit non désiré (sorte depollution des réseaux pouvant provoquer des dégâts).

Circuits bouchons

Pour empêcher les fréquences télécommande de remonter dans l'interconnexion, on dispose unCIRCUIT BOUCHON au point de connexion.

Ce circuit est constitué par :• un condensateur C

• une inductance L

qui sont montés en parallèle.

Ces éléments sont dimensionnés pour supporter le courant nominal Inom et le courant de court-circuit Icc du réseau.

Schéma :

Rb

ligne 18 [kV]

L

ligne de distribution 400 [V]

C

transformateur ~

Point d'injectionde la télécommande

circuit bouchonRLC parallèle



L'inductance L et le condensateur C sont montés en parallèle. Ils sont soumis à la tension Uavec une fréquence f. Selon leurs caractéristiques, ces éléments auront une certaineimpédance totale Z à la fréquence du réseau 50 [Hz]. Cette impédance devra être faible pourne pas limiter le courant vers le transformateur.

Si la fréquence se modifie, l'impédance totale Z se trouvera elle aussi modifiée. La valeur desdeux éléments sera choisie pour empêcher (faire bouchon) aux fréquences pilotes d'arriversur la ligne 18 [kV].

Exemple chiffré :

Calculons les différentes grandeurs électriques dépendant de ces fréquences.

Données : Rb = 1.1 [Ω] L = 81.9 [mH] C = 3.05 [µF]

f de 0 à 1500 [Hz] en prenant 317 [Hz]

Inconnues :

XL = ? XC = ? Ztot = ?

Relations :

X L CL C= ⋅ =

⋅⋅ ⋅ω

ωω π X = 2 f

1

impédance RL série Z = +R X L2 2

impédance RC série Z = +R XC2 2

impédance parallèle1

Ztot= + + +

1 1 1

1 2Z Z Zn......

Calculons l'impédance totale à 50 [Hz] :

( )

Z

R f Lf C

tot

b

=

+ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅

11

22

2 2ππ




pour f = 50 [Hz]

( )Ztot =

+ ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅

=

−

−

11

11 2 50 819 102 50 3 05 10

2 3 26

. ..

ππ

25.13 [ ]Ω

Calculons la réactance capacitive XC

XC = = 1043.64 [ ]1

2 50 305 10 6π⋅ ⋅ ⋅ −.Ω

Calculons la réactance inductive XL

X L = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =−2 50 819 10 3π . 25.73 [ ]Ω

Les calculs que nous venons de faire correspondent à la fréquence de 50 [Hz] du réseau. Lorsde la transmission de fréquences pilotes, l'impédance du circuit ne sera plus la même. Poursimplifier l'interprétation des différentes valeurs, les résultats ont été rassemblés dans letableau ci-dessous :

f[Hz]

Rb[Ω]

L[mH]

C[µF]

XL[Ω]

Xc[Ω]

Ztot[Ω]

0 1.1 81.9 3.05 0 grande <1.1

50 1.1 81.9 3.05 25.73 1043.64 25.13

317 1.1 81.9 3.05 163.13 164.61 81.93

1000 1.1 81.9 3.05 514.59 52.18 47.38

1500 1.1 81.9 3.05 771.89 34.79 33.28



Nous allons reporter ces impédances sur un graphique en fonction de la fréquence. Z f (f)

160

140

120

100

80

60

40

20

1 10 100 1000 10 '000

ZXL XC

XL XC

Z

[W] impé dance

ré actance inductive

ré actance capacitive

Z

XL

XC

f [Hz]0

Attention ! échelle logarithmique

Nous constatons donc que, pour une certaine fréquence f, l'effet de la réactance capacitive XC

et inductive XL sont égales en grandeur.

Cet effet est appelé :

RESONANCE PARALLELE

Ce phénomène a lieu moment lorsque les éléments sont soumis à la

FREQUENCE DE RESONANCE fo

A ce moment-là, le petit courant de télécommande rencontre une impédance Z maximum danschacune des branches du circuit bouchon. Il est donc BLOQUE et ne peut se répandre enamont du montage.

Exemple

Un circuit bouchon pour une fréquence de f = 485 [Hz] est composé d'une inductance L de 10[mH] et d'un condensateur C de 10.8 [µF]. Le distributeur désire utiliser ce circuit bouchon àla fréquence de 317 [Hz].

Que proposez-vous au distributeur ?

Sachant que le circuit bouchon est constitué d'INDUCTANCE et de CONDENSATEUR, nouspouvons modifier ou l'un ou l'autre des composants.



• 1. Inductance L = 10 [mH] le condensateur change

Données : L = 10 [mH] fr = 317 [Hz]

Inconnue : C = ?

Relation : fL Co =

⋅1

2π

isolons C, en élevant au carré de chaque côté dusigne =, en multipliant par C et en divisant par frde chaque côté du signe =. ( )

Cf Lo

=⋅ ⋅1

2 2 2π


C = ( )

12 317 10 102 2 3π

µ⋅ ⋅ ⋅

=− 25.21 [ F]

• 2. Condensateur C = 10.8 [µF] l'inductance change

Données : C = 10.8 [µF] fr = 317 [Hz]

Inconnue : L = ?

Relation :

fL Co =

⋅1

2πf

Isolons L, en élevant au carré de chaque côté dusigne =, en multipliant par L et en divisant par frde chaque côté du signe =. ( )

Lf Co

=⋅ ⋅1

2 2 2π


L = ( )

12 317 108 102 2 6π ⋅ ⋅ ⋅

=−. 23.34 [mH]

REMARQUE :

En pratique, nous ne modifions par l'INDUCTANCE L car il faut augmenter savaleur. Ce qui implique que le fil de cuivre constituant la bobine va provoquer uneaugmentation de la puissance dissipée en chaleur en régime 50 [Hz].

Le condensateur offre lui la particularité d'avoir une puissance P nulle.



Point d'injection

Les distributeurs d'énergie possèdent, dans leurs postes de transformateurs, des générateursde fréquences.

Cela leur permet d'enclencher ou de déclencher les différents récepteurs.

Rb

ligne 18 [kV]

L


C

transformateur ~


circuit série

Comme nous venons de l'étudier, le couplage RLC parallèle, placé en amont du point d'injectiondoit empêcher les ordres de télécommande centralisée de remonter sur un autre réseau.

Par contre, la fréquence de 50 [Hz] du réseau ne doit pas pouvoir arriver dans le générateurde fréquences. Seules les fréquences élevées doivent pouvoir passer du générateur vers laligne de distribution.

Pour réaliser ce montage nous utilisons également un condensateur et une bobine, mais cettefois ils sont montés en série. L'impédance d'un circuit série est grande à la fréquence derésonance. Si nous dimensionnons les éléments pour que fo soit 50 [Hz], nous allons réaliser unfiltre qui "protégera" le générateur de fréquences.

Ces éléments sont dimensionnés pour supporter le courant nominal Inom et le courant de court-circuit Icc du réseau.



Théorie de la résonance du circuit série

Une inductance L et un condensateur C sont montés en série. Ils sont soumis à la tension Uavec une fréquence f. Selon leurs caractéristiques, ces éléments auront une certaineimpédance totale Z à la fréquence du réseau 50 [Hz]. Si la fréquence se modifie, l'impédancetotale Z se trouvera elle aussi modifiée.

Calculons les différentes grandeurs électriques dépendantes de ces fréquences.

Données :

Rb = 1.1 [Ω] L = 81.9 [mH] C = 3.05 [µF]

f de 0 à 1500 [Hz] en prenant 317 [Hz]

Inconnues :

XL = ? XC = ? Ztot = ?

Relations :

X L CL C= ⋅ =

⋅⋅ ⋅ω

ωω π X = 2 f

1

impédance RL série Z = +R X L2 2

impédance RC série Z = +R XC2 2

impédance série Z Z Ztot = + +1 2 .... + Zn

impédance totale Ztot = ( )R f Lf Cb

2 221

2+ ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅π

π

Remarque :

Il ne faut pas oublier quevectoriellement XL et XC sontopposés. Le diagrammevectoriel ci-contre n'est pasdessiné à la fréquence derésonance.

ω

IR

Z

X

L

X

ϕ

X

C

L



Calculons l'impédance totale à 50 [Hz]


pour f = 50 [Hz]

( ) [ ]Ztot = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−−11 2 50 819 10

12 50 305 10

2 3 26. .

.π

π = - 380.41 Ω

Le signe - indique que notre impédance totale Ztot est de nature capacitive.

Calculons la réactance capacitive XC

[ ]XC =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

12 50 305 10

1043646π .. = Ω

Calculons la réactance inductive XL

[ ]X L = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −2 50 819 10 25733π . . = Ω

Pour simplifier l'interprétation des résultats, nous allons établir un tableau identique aucircuit bouchon parallèle, mais avec les valeurs de l'impédance série.

f[Hz]

Rb[Ω]

L[mH]

C[µF]

XL[Ω]

Xc[Ω]

Ztot[Ω]

0 1.1 81.9 3.05 0 grande grande50 1.1 81.9 3.05 25.73 1043.64 380.41

317 1.1 81.9 3.05 163.13 164.61 1.481000 1.1 81.9 3.05 514.59 52.18 462.411500 1.1 81.9 3.05 771.89 34.79 737.10

Nous allons reporter ces impédances sur un graphique en fonction de la fréquence. Z f (f)

0

200

400

600

800

1000

50 150 250 350 450 550 650 750 850 950 1050 1150 1250 1350 1450 1550

f[Hz]

Xc XL Z[Ω]

Xc

XL

Z



Nous constatons donc que pour une certaine fréquence f, l'effet de la réactance capacitive XC

et inductive XL sont égales en grandeur.

Seule la résistance Rb , qui doit rester petite, limite le courant I.

Cet effet est appelé :

RESONANCE SERIE

Z0 = RCe phénomène a lieu au moment où les éléments sont soumis à la :

FREQUENCE DE RESONANCE frA ce moment-là, le petit courant de télécommande rencontre uneimpédance Z minimum. Il peut se répandre en aval du point d'injection.

Récapitulation

Reprenons notre schéma, pour en étudier le fonctionnement en détail.

Conditions posées :

• Le courant de la ligne d'alimentation 18 [kV] à 50 [Hz] doit pouvoir circulervers le transformateur.

• La fréquence de 50 [Hz] du réseau ne doit pas perturber le générateur defréquences pilotes.

• Les fréquences pilotes doivent se diriger vers le transformateur de la lignede distribution.

• Les fréquences pilotes ne doivent pas se diriger vers la ligne 18 [kV] pour nepas perturber les autres récepteurs raccordés.

Schéma complet :

R b

ligne 18 [kV]

L


C

transformateur ~


circuit sérieR b

LC

circuit parallèle



Etudions le comportement des deux circuits séparément :R b L

CRb L C

Circuit parallèle Circuit série

f

[Hz]

Z

[Ω]

50 317

[Ω]Z

[Hz]f

50 317 1500

Le circuit série présente une faibleimpédance pour le 50 [Hz], mais il oppose unegrande impédance aux fréquences pilotes.

Le circuit parallèle présente une faible impédanceaux fréquences pilotes, mais il oppose une grandeimpédance pour le 50 [Hz].

Circuit série : Circuit parallèle :Dans un circuit RLC série raccordé sur unesource de tension alternative, le courantest commun à tous les éléments.

Dans un circuit RLC parallèle raccordésur une source de tension alternative, latension est commune à tous les éléments.

Les tensions partielles varient en fonctionde la fréquence.

Les courants varient en fonction de lafréquence.

Pour une certaine valeur de fréquence, lecourant est maximum, avant et après cettefréquence il est plus faible.

Pour une certaine valeur de fréquence,le courant est minimum. Avant et aprèscette fréquence, il est plus grand.

Si f ≠ f0 l'addition algébrique des tensionspartielles donne une valeur plus grande quecelle de la tension totale aux bornes ducircuit.

Si f ≠ f0 , l’addition algébrique descourants partiels donne une valeur plusgrande que celle du courant total dans lecircuit.

Les tensions aux bornes du condensateuret de la bobine sont déphasées de 180°.

Les courants dans le condensateur etdans la bobine sont déphasés de 180 °.

La tension aux bornes du condensateurdiminue en fonction de la fréquence.

Le courant dans le condensateuraugmente en fonction de la fréquence.

La tension aux bornes de la bobineaugmente en fonction de la fréquence.

Le courant dans la bobine diminue enfonction de la fréquence.

La tension aux bornes de la résistance esten phase avec le courant.

Le courant dans la résistance est enphase avec la tension.

La tension à l’entrée du circuit varie dephase par rapport au courant.

Le courant total varie de phase parrapport à la tension totale du circuit.

Pour les fréquences plus petites que f0 , latension totale est en retard par rapport àI .

Pour les fréquences plus petites que f0

le courant total est en retard parrapport à la tension totale.

La fréquence pour laquelle UC = UL senomme :

La fréquence pour laquelle IC = IL senomme :

FREQUENCE DE RESONANCE



Exercices

1. Qu'est-ce qu'un circuit bouchon ?

2. Qu'est-ce que l'interconnexion et pourquoi est-elle réalisée ?

3. De quoi se compose un circuit bouchon ?

4. Que faut-il pour que nous obtenions la condition de résonance ?

5. Quel est le genre de couplage d'un circuit bouchon ?

6. Dessinez la courbe de l'impédance en fonction de la fréquence pour un circuit parallèle

7. Quel est le genre de couplage d'un point d'injection ?

8. Dessinez la courbe de l'impédance en fonction de la fréquence pour un circuit série.

1. Un circuit est composé d'une résistance de 1.5 [kΩ] , d'un condensateur de 560 [nF] etd'une bobine de 1.25 [µH] montés en parallèle et raccordés sur un générateur dont lafréquence vaut 18 [kHz] .Calculer la conductance, les susceptances des trois éléments

2. Une bobine et une résistance sont montées en parallèle sur un générateur 130 [V] 50 [Hz].Pour les éléments, nous connaissons les valeurs suivantes :

R = 15 [Ω] et XL = 10 [Ω]

Tracer le diagramme vectoriel et calculer les valeurs de la bobine, de l'impédance, de laconductance, de la susceptance, ainsi que tous les courants et l'angle de déphasage.

3. Un condensateur et une résistance sont montés en parallèle sur un générateur 130 [V] / 50[Hz]. Pour les éléments, nous connaissons les valeurs suivantes :

R = 15 [Ω] et XC = 22 [Ω]

Tracer le diagramme vectoriel et calculer la valeur du condensateur, de l'impédance, de laconductance, de la susceptance, ainsi que tous les courants et l'angle de déphasage.

4. Une source de tension de 60 [V] alimente un circuit parallèle constitué d'un condensateurde 2.5 [µF] et d'une bobine dont l'inductance et la résistance sont respectivement, 260[mH] et 15 [Ω].

Calculer la fréquence de résonance du circuit.

5. Calculer pour quelle fréquence de résonance est dimensionné un récepteur de TC dont lemontage du circuit RLC série est composé des éléments suivants :.

R = 4 [Ω] L = 45 [mH] C = 16 [µF].

Calculer la tension que devra supporter la capacité si le courant de télécommande est de400 [mA].



6. Un circuit bouchon d'un distributeur doit être installé provisoirement sur un autre réseau.Ses caractéristiques sont : XL = 20 [Ω] fo = 317 [Hz]

Quelles solutions proposez-vous ?

7. Montrer par le calcul et le diagramme vectoriel, si le circuit proposé est en résonance pourla fréquence donnée.

L

Rb

C

L = 150 [mH]

Rb = 5 [Ω]

C = 6000 [pF]

f = 50 [Hz]

8. Calculer les courant circulant dans les différents composants du circuit de l'exercice 7, à50 [Hz], à 1000 [Hz], à 0 [Hz] et à la fréquence de résonance fo , si le courant IC =829.4 [µA] à 100 [Hz].

5. Montrer par le calcul et le diagramme vectoriel, si le circuit proposé est en résonance pourla fréquence donnée.

Rb L C

Rb = 5 [Ω] C = 6000 [pF]

f = 50 [Hz]L = 150 [mH]

Réponses : 1. G = 666.67 [µS] BC = 63.34 [mS] BL = 7.08 [mS]

Puissance dans les circuits alternatifs


Chapitre 17a

Puissance dansles circuits alternatifs

Sommaire

• Définition et calculs des puissances dans les circuits alternatifs• Puissances dans les circuits résistifs et réactifs• Facteur de puissance• Puissance apparente S• Puissance réactive Q• Puissance active P• Amélioration du facteur de puissance• Etude de cas pratique d'amélioration du facteur de puissance• Exercices

Introduction

Puissance dans les circuits alternatifs :

Les industriels, principaux consommateurs sur le réseau 50 [Hz], ont en majorité desrécepteurs électromagnétiques (bobines, moteurs, tubes fluorescents).

Ces récepteurs sont de types résisto-inductifs, ils induisent un déphasage entre le courant I etla tension U.

Si nous voulons mesurer la puissance absorbée par les récepteurs, nous pouvons l'obtenir de 3façons :

1. avec un voltmètre et un ampèremètre et une relation mathématique

2. avec un wattmètre

3. avec le compteur d'énergie et une relation mathématique.

REMARQUE IMPORTANTE :

Le compteur d'énergie, placé par le distributeur mesure l'énergie W en [kWh].



Dans la pratique, les circuits raccordés sur des sources de tensions alternatives peuvent êtrede deux genres :

• Circuits à comportement réactifs

• Circuits dont l'effet réactif est très faible et négligeable, et quenous assimilons à des circuits à comportement purement résistif

Schéma de mesure :

kWh A

V Z

ϕ

~

L'impédance Z représente la charge. Nous avons placé dans ce circuit tous les instrumentsnécessaires pour mesurer les trois puissances ainsi que l'énergie consommée par la charge.

On appelle impédance Z une charge qui n'est pas ohmique.

Calcul des puissances en alternatif

Lors de la démonstration de la puissance que nous venons de réaliser, le récepteur étaitcomposé d’une charge purement résistive (ohmique) . Donc la tension et le courant étaient enphase. Dans ce cas, le calcul de la puissance est aisé.

La majorité des récepteurs ne sont pas purement résistifs mais ils ont un comportement soitinductif, soit capacitif. Cela implique un déphasage entre le courant et la tension. Pour ces cas, ilest nécessaire de tenir compte du déphasage. Nous devons donc affiner notre méthode travailpar rapport à celle que nous avons utilisé pour les récepteurs résistifs.

Il faut introduire le facteur de puissance qui est déterminé par l’angle dedéphasage ϕ entre la tension et le courant, dans un circuit alternatif sinusoïdal.

Le facteur de puissance correspond à la fonction cosinus de l’angle ϕ , pour des signauxsinusoïdaux.



Trois puissances sont déterminantes en alternatif.

Puissanceapparente S [VA]

voltampère S U I= ⋅

Correspond au produit de lavaleur efficace du courant etde la tension mesurée avec unvoltmètre et un ampèremètre

.

Puissanceactive P [W] watt P U I= ⋅ ⋅cosϕ

Correspond à une fournitureréelle d’énergie transmise aurécepteur et convertible enchaleur ou en travail Elle estmesurée avec un wattmètre.

Puissanceréactive Q [var]

voltampèreréactif

Q U I= ⋅ ⋅sinϕ

Correspond à la puissancefictive qui caractérisel’échange d’énergie nonutilisée pour fournir un

travail.

Remarque : La puissance active est celle qui est le plus généralement utilisée carelle correspond à la réalité du travail ou de la chaleur fournie par lacharge en tenant compte du déphasage entre la tension et lecourant.

Triangle des puissances :

ϕ

Puissance active

Puissance réactive

Puissance apparente

S Q

[var]

P

[VA]

[W]

Circuits résistifs

Ces circuits sont principalement composés de récepteurs purement résistifs tels que :

radiateurs, cuisinières, fer à souder, lampes à incandescence, lignes électriques

Dans ce genre de raccordement, les récepteurs ne provoquent pas de déphasage entre lecourant et la tension.



Schéma :

~

Récepteur résistif

AI

UV

dégageant de la chaleur

Diagrammes :

t

UI

U , I , P

P

[s]

[V] , [A] , [W]

UI

ω

On constate que dans pour ce genre de récepteurs, il n’y a pas de déphasage entre le courant etla tension. La courbe de la puissance est toujours positive

Remarques :

On appelle puissance active une puissance convertie en chaleur ou en travail. Pour les récepteursréactifs idéaux, cette puissance est nulle. Nous parlons alors de puissance apparente S. Lapuissance apparente S est fictive et elle correspond à l'échange d'énergie non transformée entravail ou en chaleur.

Circuits réactifsCes circuits sont composés de charges capacitives ou inductives telles que :

inductances, condensateurs, moteurs, transformateurs, ballast pour tubes fluorescents

Dans les circuits réactifs, il y a un déphasage entre le courant l et la tension U . Il existe troispuissances différentes en alternatif, mais pour les démonstrations qui suivent, nous utiliseronsla puissance apparente S qui représente le produit de U et I , elle s'exprime en [VA].



Récepteurs inductifs idéaux (bobine pure)Schémas :

I

U~ V

A

inductanceL

Diagrammes :

t

U

I

U , I , S

ϕ-90°

S

[s]

[V] , [A] , [VA]

U

I

ω

ϕ

Dans le cas d’une inductance idéale, l’angle de déphasage vaut 90°

On constate que pour ce genre de récepteur, le courant est en retard de 90 °par rapport à la tension.

La courbe de la puissance est alternativement positive et négative.La puissance moyenne est nulle.

On appelle réactance inductive la valeur ohmique représentée par l’inductance

Récepteurs capacitifs idéaux (condensateur pur)Schémas :

AI

U~ VCondensateur

C



Diagrammes :

U

U , I , S

t

I

ϕ

+90°

S

[s]

[V] , [A] , [VA]

S = P

ω

U

I

ϕ

Dans le cas d’un condensateur idéal, l’angle de déphasage vaut 90°

On constate que pour ce genre de récepteurs, le courant est en avance de 90 ° parrapport à la tension.

La courbe de la puissance est alternativement positive et négative.

La puissance moyenne est nulle.

On appelle réactance capacitive la valeur ohmique représentée par le condensateur

Récapitulation :

• Une puissance active est dissipée dans un récepteur résistif.

• Dans le cas de récepteur inductif ou capacitif pur, il n’y a pas de puissance moyenne dissipée.

• Il s’agit de la conséquence du déphasage entre le courant et la tension.

• La majorité des récepteurs n’étant pas idéaux, l’angle de déphasage ne vaudra pas 90° et unepuissance active sera dissipée.

• La puissance active est dissipée dans l’élément résistif du circuit.

Circuits inductifs et capacitifs non idéaux

Dans l’étude des circuits précédents, nous avons considéré les charges inductives et capacitivescomme idéales. Dans la pratique, ce n’est que rarement le cas. Tous les circuits comportent despertes (calorifiques, etc.) que nous pouvons représenter par une résistance. Cette résistancepeut être insérée selon les cas, soit en série, soit en parallèle dans le circuit.



Remarque : Les démonstrations qui suivent présentent l'évolution de la puissance en fonctionde la variation de la valeur d’une résistance montée en série. Cette variation derésistance aura pour conséquence de faire varier le déphasage entre le courantet la tension (angle ϕ).

Rappel :

t

UI

U , I , P

P

[s]

[V] , [A] , [W]

circuit purementohmique

t

U

I

U , I , S

ϕ

-90°

S

[s]

[V] , [A] , [VA]

circuit purement réactif (inductif)

Dans le premier cas une puissance active est dissipée dans le circuit alors que dans le second iln’y en a pas. La puissance positive correspond à la puissance négative, donc leur somme est nulle

Schéma :

I

U~ V

A

inductance

L

R

Dans un circuit tel que celui ci-dessus, la valeur de la résistance et celle de l'inductance peuventêtre plus ou moins importantes. Si nous prenons l’exemple d’un moteur, la valeur de la résistancesera définie par les caractéristiques du fil qui compose les enroulements et l'inductance par labobine que représente le fil.

Comme nous l'avons vu plus haut, la valeur de la résistance ainsi que celle de l'inductance aurontpour conséquence de faire varier l’angle de déphasage entre le courant et la tension, ce qui feraégalement varier la puissance absorbée par le moteur.

Remarque : Pour ces démonstrations, c'est la tension U qui a été choisie comme référence. Cechoix a été fait arbitrairement.



t

U , I , S[V] , [A] , [VA]

[s]

S

I

U

ω

ϕ

I

U

Déphasage de -90°.

Puissance apparente nulle.

t

U , I , S

S

I

U

[V] , [A] , [VA]

[s]

ω

ϕ

I

U


Puissance apparente non nulle.

t

U , I , S[V] , [A] , [VA]

[s]

S

I

U

ω

ϕ

I

U

Déphasage de -60°




U , I , S

t

[V] , [A] , [VA]

[s]

S

I

U

ω

ϕ

I

U



U , I , S

t

[V] , [A] , [VA]

[s]

S

I

U

ω

ϕ

I

U



U , I , S

t

[V] , [A] , [VA]

[s]

S

I

U

ω

ϕ UI





Facteur de puissance :

Pour distribuer l'énergie, le distributeur utilise des câbles et des transformateurs.

Le passage du courant provoque des pertes qui peuvent être :

OHMIQUES donc en phase avec le courant consommé. Les câbles utilisés sont en cuivre,en aluminium ou en Aldrey (les lignes à haute tension)

INDUCTIVES par exemple dans les moteurs, les tubes fluorescents TL, et toutes lesapplications industrielles. Cela implique que le distributeur va fournir plusd'énergie que celle comptabilisée. Cela implique d'une part de devoirsurdimensionner les installations de distribution, et d'autre part de ne paspouvoir en facturer la totalité.

CAPACITIVES par exemple la construction des câbles et des lignes de transport forme descondensateurs. Ces pertes capacitives sont moins gênantes pour ledistributeur, car elles vont améliorer et compenser le déphasage provoquépar les moteurs et les autres charges inductives. Mais malheureusementdans de faibles proportions.

Nous remarquons que le distributeur doit surdimensionner ses installations, en particulier sestransformateurs, en fonction de la puissance apparente S exprimée en [VA] , car c'est elle quiest la plus importante.

Pour un distributeur, il est donc important d'avoir une puissance apparente S aussi proche quepossible de la puissance active P afin d'améliorer le rendement de son transport d'énergie.

En conclusions, le distributeur d'énergie a intérêt à ce que le consommateur conserve unangle de déphasage le plus proche de 0 [°].

Cela nous amène à définir le FACTEUR DE PUISSANCE.

Le facteur de puissance, appelé cos ϕ (phi), est le quotient de la puissance active P par rapportà la puissance apparente S.

cosϕ =PS

sans unité

Les chapitres suivants vont définir les puissances en alternatif.



Puissance apparente S [VA]La puissance apparente S représente l'amplitude des fluctuations de la puissance instantanée ppar rapport à sa valeur moyenne. Elle correspond au produit des valeurs efficaces de la tensionU et du courant I, mesuré à l'aide d'un voltmètre et d'un ampèremètre.

S = U ⋅ I [VA] volt-ampère

Ce produit est apparemment une puissance, mais il ne fournit pas de travail.

C'est donc bien une puissance apparente.

Remarque :

Le distributeur d'énergie doit dimensionner :

• ses lignes• ses transformateurs

en fonction du courant I circulant dans les deux récepteurs et de la tensionU aux bornes de ceux-ci.

Exemple :

Un moteur électrique est connecté au réseau 230 [V] alternatif 50 [Hz].Les indications des différents appareils de mesures donnent :

I = 4.5 [A] cosϕ = 0.8 ind

Calculer la puissance apparente S fournie au moteur.

Données :

U = 230 [V] cos ϕ = 0.8 ind I = 4.5 [A] f = 50 [Hz] S = ?

Relation : S = U ⋅ I


S = 230 ⋅ 4.5 = 1035 [VA]

Puissance réactive Q [var]La puissance réactive Q est l'amplitude de la puissance instantanée.

Elle dépend des valeurs efficaces de la tension U et du courant I en régime sinusoïdal, mesuréesà l'aide d'un voltmètre et d'un ampèremètre, ainsi que de leur déphasage mesuré au moyen d'uncosphimètre.

Q = U I sin ϕ [var] volt-ampère réactif

Ce produit est une puissance fictive, qui permet de caractériser l'échanged'énergie non utilisée en chaleur ou en travail par une charge réactive.



Remarque :

Le distributeur d'énergie doit diminuer au maximum cette puissance réactive Q, afin de netransporter que la puissance active utile au récepteur.

Exemple :

Un moteur électrique est connecté au réseau 230 [V] alternatif 50 [Hz]. Les indications desdifférents appareils de mesures donnent :

I = 4.5 A cos ϕ = 0.8 ind

Calculer la puissance réactive Q fournie au moteur.

Données :

U = 230 [V] cos ϕ = 0.8 ind I = 4.5 [A] f = 50 [Hz]

Inconnue : Q = ?

Relation : Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ


angle ϕ cos-1 0.8 36.87° sin ϕ = 0.6

S = 230 ⋅ 4.5 ⋅ 0.6 = 621 [var]

Puissance active P [W]La puissance active est maximale en cas de charge purement résistive. Elle est nulle dans le casde récepteurs purement réactifs (inductance ou condensateur idéaux).

La puissance active P est la valeur moyenne de la puissance instantanée p. Elle dépend de lavaleur efficace des tensions U et des courants I en régime sinusoïdal ainsi que de l'angle dedéphasage ϕ .

P = U I cos ϕ [W] watt

Remarques :

La puissance active, mesurable par un wattmètre, correspond à une fourniture réelle d'énergietransmise au récepteur, convertible en travail ou en chaleur.

Exemple :

Un moteur électrique est connecté au réseau 230[V] alternatif 50 [Hz]. Les indications desdifférents appareils de mesures donnent :

I = 6.3 [A] cos ϕ = 0.83

Calculer la puissance active P absorbée par le moteur.



Données :

I = 6.3 [A] cos ϕ = 0.83 U = 230 [V]

Inconnue : P = ?

Relation : P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ


P = 230 ⋅ 6.3 ⋅ 0.83 = 1202.67 [ W ]

Amélioration du facteur de puissance :Les distributeurs d'énergie exigent dans leurs prescriptions que le cos ϕ global d'uneinstallation soit de 0.9 (EWZ 0.92, CVE 0.9, SI Lausanne 0.83).

Quel est le but d'une telle directive ?

Pouvoir économiser et rentabiliser une infrastructure existante, c'est-à-dire le réseau dedistribution. Pour comprendre ce phénomène, prenons un exemple concret :

Un client désire installer un moteur de pompe à chaleur d'une puissance de 5.9 [kW] dont lefacteur de puissance cos ϕ vaut 0.56. Les autres consommateurs d'énergie de sa maison onttous un facteur cos ϕ de 1. Sa pompe à chaleur fonctionne en moyenne, en hiver, 6 heures parjour à haut tarif. Connaissant les données du problème, nous allons nous mettre à la place dudistributeur d'énergie et calculer les différentes grandeurs électriques nécessaires aufonctionnement du moteur.

Sachant que le compteur d'énergie enregistre toujours le produit de la puissance active P et dutemps t, le distributeur facturera l'énergie active consommée par le récepteur quel que soit lefacteur de puissance.

Données :

cos ϕ = 0.56 U = 380 [V] P = 5.9 [kW] t = 6 h

Inconnue : I = ?

A normalisée en fonction du courant I

Relation : P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ W = P ⋅ t

Méthode :

cherchons à isoler I en divisant de chaque côté du signe = par U ⋅ cos ϕ

I = P

U ⋅cosϕ


I =⋅

5900380 056.

= 27.73 [A]

La dimension des lignes d'alimentation du distributeur est de 10 [mm2] pour du cuivre



Calculons l'énergie W qui sera facturée au client :

W = P ⋅ t = 5.9 ⋅ 6 = 35.4 [kWh]

Coût : 18 [cts ⋅ kWh-1] 6.37 Frs

Cet argent est récupéré par le distributeur. Par contre, pour faire fonctionner ce moteur, il afourni 27.73 [A] pendant 6 heures.

A supposer que ce courant alimente un radiateur cos ϕ = 1, il peut facturer :

Données :

I = 27.73 [A] U = 380 [V] 18 [cts ⋅ kWh-1] cos ϕ = 1 t = 6 h

Inconnue :

montant à facturer maximum

Relation : Prad = U ⋅ I ⋅ cos ϕ W = P rad ⋅ t


Prad = 380 ⋅ 27.73 ⋅ 1 = 10537.4 [W]

W = 10537.4 ⋅ 6 = 63224.4 [Wh] soit 63.22 [kWh]

montant à facturer :

coût = 63.22 ⋅ 0.18 11.38 Frs

Nous constatons donc qu'avec le courant mis à disposition, le distributeur peut mieux couvrirses frais de production et d'infrastructure.

différence = 11.38 - 6.37 = 5.01 Frs

Amélioration à cos ϕ 0.9 :

Afin de respecter les directives, l'installateur doit ramener le cos ϕ 0.56 du moteur au cos ϕdu distributeur 0.9 .

La puissance active P du moteur est toujours la même 5,9 [kW].

Calculons le courant I absorbé au réseau.

Données : cos ϕ mot = 0.56 cos ϕ dis = 0.9 U = 380 [V] P = 5.9 [kW]

Inconnue : I = ?

A normalisée en fonction du courant I

Relation : P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ W = P ⋅ t

Méthode :

cherchons à isoler I en divisant de chaque côté du signe = par U ⋅ cos ϕ

IP

U dis=

⋅cosϕ




I =⋅

5900380 0 9.

= 17.25 [A]

La dimension des lignes du distributeur est de 4 mm2 cuivre

calculons l'énergie W qui sera facturée au client :

W = P ⋅ t = 5.9 ⋅ 6 = 35.4 [kWh]

Coût = 18 [cts ⋅ kWh-1] 6.37 Frs

Nous remarquons que les lignes de notre réseau peuvent être seulement de 4 [mm2] pour ducuivre. Le distributeur optimalise ainsi les coûts de construction de son réseau.

De plus, les transformateurs et les centrales seront utilisées de façon plus rationnelle.

Tableau récapitulatif :

Avec cosϕ = 0.56 Avec cosϕ = 0.9Moteur P = 5.9 [kW]

I = 27.72 [A]P = 5.9 [kW]I = 17.25 [A]

ligne 10 [mm2] 4 [mm2]transformateur S = 163.55 [kVA] S = 101.78 [kVA]

Comment améliorer le cos ϕ en pratique :

Le condensateur est un composant permettant de déphaser de 90° en avance le courant I parrapport à la tension U.

Dans la pratique, il peut s'installer de deux façons :

1. COMPENSATION INDIVIDUELLE.

directement sur le consommateur inductif.

2. COMPENSATION GROUPEE.

par une batterie de condensateurs à l'entrée de l'installation.

La compensation groupée sera étudiée dans le chapitre traitant du triphasé.



Compensation individuelle

Nous branchons un condensateur de forte capacité en parallèle sur le récepteur inductif.

Schéma :

M moteur

L1

N

Récepteur inductif

condensateur

IC IRIM IL= +Ialim

Diagramme vectoriel :

UIR

IC

IL

IC

ϕ

ω

IRIM IL= +

Nous constatons que la présence du condensateur a pour effet de diminuer l'angle ϕ , donc dediminuer le facteur de puissance. La diminuons du déphasage entre courant I et tension Upermet une utilisation plus rationnelle de l'énergie.

ExempleLa puissance active P d'un moteur est de 1 [kW]. La puissance apparente S du même moteurs'élève à 2.2 [kVA]. On désire ramener le facteur de puissance à 1.

Calculer la capacité nécessaire afin de ramener le facteur de puissance à 1 si le réseau estalimenté sous 230 [v] 50 [Hz].

Données : P = 1 [kW] S = 2.2 [kVA] récepteur inductif

U = 230 [V] f = 50 [Hz] cos ϕ dis = 1

Inconnue : C = ?

Relations : cosϕ =PS

S = U ⋅ I sinϕ =XZ

L



Méthode :

Cherchons le facteur de puissance du moteur

cosϕ =PS


cosϕ =10002200

= 0.45 angle ϕ 62.96 [°]

Diagramme vectoriel :

P

S

Q

ϕ

L

ω

Remarque :

Pour obtenir un cos de 1, il faut que lecondensateur compense la totalité du vecteurvertical qui représente la puissance réactiveQL ou par analogie la tension UL ou laréactance inductive XL.

Nous pouvons déduire que dans notre cas :

XC = XL en valeur absolue ou en module

Cherchons Z afin de connaître XL puis XC

S = U ⋅ I formule 1

U = Z ⋅ I plaçons la formule 1 cette relation

SUZ

=2

isolons Z en multipliant de chaque côté du signe " = " par Z et en divisant par S

ZUS

=2

formule 2

cherchons XL à l'aide du sin ϕ

XL = sin ϕ ⋅ Z en remplaçant Z par la relation 2

XUSL = ⋅sinϕ

2



Mais comme la valeur absolue de réactance capacitive XC est la même que la réactance inductiveXL, nous pouvons dire :

XUSC = ⋅sinϕ

2formule 3

Cherchons C :

XC =⋅1

ω C

isolons C en multipliant par C et en divisant par XC de chaque côté du signe " = "

CXC

=⋅1

ω

remplaçons XC par la formule 3

CS

U=

⋅⋅ ⋅

12ω ϕsin


[ ] [ ]C F=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅−22002 50 0 89 230

14874 1024

π .. 148.74 10 F-6

La capacité doit être de 148.62 [µµµµF].

Représentations vectorielles de l'exercice :

Montage du moteur seul :

L1

N

M moteurRécepteur inductif

IRI M I L= +I alim

ω

UIR

IL

ϕ

IRIM IL= +

Montage du condensateur seul :L1

N

ICIalim

condensateurC

U

ϕ

ωIC



Montage du moteur avec le condensateur :

L1

N

condensateur

I C

M moteurRécepteur inductif

I RIM IL= +I alim

C UIR

IC

IL

IC

ϕ

ω

IRIM IL= +

Diagrammes des puissances :

ω

QL

P

S

Q C

P

S

Q L

P

S

Q C

ω

ω

moteurseul

condensateurseul

moteur avec le condensateur



Exercices

1. Citer le nom des genres de récepteurs en courant alternatifs.

2. Classer par catégories ( purement ohmique ou réactifs) les récepteurs ci-dessous:

Radiateur électrique , Sèche cheveux , Tube TL , Perceuse , Game boy , Lecteur CD ,Four micro-ondes , Lampe à incandescence , Téléviseur couleurs , Aspirateur , Rallongeélectrique ,Console Nintendo , Téléphone

3. Un récepteur provoque un déphasage de + 90 [°] entre le courant et la tension.Quelle sera la valeur de la puissance apparente S ?

4. Un récepteur provoque un déphasage de - 90 [°] entre le courant et la tension.Quelle sera la valeur de la puissance apparente S ?

5. Comment s'appelle l'instrument qui permet de mesurer le déphasage entre lecourant et la tension et quel est son symbole ?

Un électroaimant absorbe une puissance P de 1 [kW] . Il est alimenté par le réseau 230 [V]50 [Hz] et le cosphimètre indique 0.82 inductif.

Calculer la puissance apparente du montage. 1219.5 [VA]

Un moteur absorbe une puissance P de 2.2 [kW] . Il est alimenté par le réseau 230 [V]50 [Hz] et le cosphimètre indique 0.87 inductif.

Calculer la puissance réactive du moteur. 1246.8 [var]

On mesure une puissance Q de 483 [var] sur un moteur. Il est alimenté par le réseau 230 [V]50 [Hz] et le cosphimètre indique 0.8 inductif.

Calculer la puissance active du moteur. 644 [W]



1. Une armature pour tube fluorescent contient un tube de 40 [W] et un dispositifd’allumage qui provoque 10 [W] de pertes. Les instruments de mesures nous indiquent lesvaleurs suivantes :

U = 230 [V] I = 430 [mA]

Calculer P , Q , S , pour le dispositif complet.

2. Calculer la puissance réactive et le facteur de puissance d’un moteur dont la puissanceapparente est de 16 [kVA] et la puissance active 13.2 [kW] .

3. Les mesures faites sur la bobine d’un électroaimant donnent les valeurs suivantesU = 224 [V] I = 55 [mA] facteur de puissance = 0.12

Calculer toutes les puissances ainsi que l’angle de déphasage ϕ en [°] et en [rad]

4. Une résistance de 50 [Ω] est couplée en série avec un condensateur de 20 [µF].Le circuit est alimenté par une source 160 [V] 100 [Hz] débitant un courant de 1.7 [A].

Calculer toutes les puissances ainsi que l’angle de déphasage ϕ

Réponses : 1. 98.9 [VA] 50 [W] 85.33 [var] 2. 9.04 [kvar] cos ϕ 0.8253. 12.32 [VA] 1.48 [W] ϕ 83.1 [°] ϕ 1.45 [rad] 12.23 [var]4. 144.5 [W] 272 [VA] 230.45 [var] ϕ 57.91 [°] ϕ 1.01 [rad]

5. Les mesures opérées sur le primaire d'un transformateur ont donné les résultats suivants382 [V] 11 [A] 0.62 [kW]

Calculer P , Q , S , pour le dispositif complet.

6. Une lampe à vapeur de Sodium de 100 [W] est raccordée sur le réseau 230 [V] avec uncourant de 2.2 [A] . Le transformateur à fuites magnétiques provoque une pertede 23 [W] .

Calculer le facteur de puissance du dispositif complet.

7. La plaquette signalétique d'un transformateur indique 2.2 [kVA] .

Quelle est la puissance active délivrée si l'angle de déphasage vaut 0.892 [rad] ?

8. Un courant de 620 [A] circule dans une bobine de self induction d'un tableaud'alimentation. On mesure une puissance apparente de 350 [VA].

Quelle est la tension à ses bornes ?

Réponses : 5. 4202 [VA] 620 [W] 4156 [var] 6. cos ϕ 0.254

7.1381.6 [W] 8. 564.5 [mV]



1. La puissance d'un moteur est de 1 [kW]. La puissance apparente du même moteur estde 2.2 [kVA]. Nous désirons ramener le facteur de puissance à une valeur de 0.65capacitif.

Calculer la capacité nécessaire pour obtenir cette valeur si le réseau est alimenté sous230 [V] et 50 [Hz] .

2. Calculer la valeur du condensateur pour obtenir un angle de déphasage de 12 [°] sur leréseau 230 [V] .

M moteur

L1

N

I1 I 25.2 [ A ] 83°

ind

230 [ V ] 50 [ Hz ]

3. A l'aide d'un oscilloscope, on mesure la tension sur une self de 55.13 [mH]. La valeur del'échelle tension est de 50 [V ⋅ div-1]. Une sinusoïde prend de crête à crête 6.5divisions. A l'aide d'un ohmmètre, on mesure cette self et on obtient 5.5 [Ω].

Quelle est l'échelle de la base de temps de l'oscilloscope, si le signal mesure6.93 divisions ?

Quel est le facteur de puissance de cette installation ?

Quelle doit être la valeur du condensateur pour obtenir un angle de déphasage de 2 [°]

4. Un atelier est alimenté sous 230 [V] 50 [Hz]. Il comprend associés en parallèle :

20 lampes de 100 [W] et un moteur de 5 [kW] avec un cos ϕ de 0.75 ind

Calculer la puissance active, le courant et le facteur de puissance lorsque tous lesrécepteurs fonctionnent simultanément.

Calculer le condensateur nécessaire pour obtenir un angle de déphasage de 0° lorsque toutest en service.

Avec le condensateur de compensation, que se passe-t-il, si vous déclenchez les lampes oule moteur ?

5. Pour alimenter une lampe témoin 24 [V] 50 [mA], à partir du réseau 230 [V] 50 [Hz](en pratique signalisation de tableau avec interrupteur EAO) , nous désirons réaliser unréducteur de tension avec :

a) un résistance R b) une self pure L c) un condensateur C

Calculer les puissances P, S et Q désigner le réducteur le plus judicieux à réaliser ?(justification pratique)

Tracer les diagrammes vectoriels des puissances pour les trois cas.

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