Electronique Analogique (36ESEL36) -...

Universite Paris 7Licence L3 SPI

Electronique Analogique (36ESEL36)

Alain L’Hoir (Janvier 2010)

Table des matieres

1 Introduction 11.1 L’Electronique Analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Contenu du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Exemple de systeme electronique : instrumentation en physique nucleaire. . . . 4

2 Circuits electriques 12.1 Circuits a constantes localisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Elements passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.1 Resistance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.1.1 Resistor (l’objet resistance) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.1.2 Loi d’Ohm. Mobilite, conductivite, resistivite. . . . . . . . . . 3

2.2.2 Condensateurs, capacites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2.1 Capacite d’un condensateur plan. . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2.2 Condensateurs en Electronique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Self . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.3.1 Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.3.2 Selfs en electronique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Impedances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 Amplitude complexe, impedance complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Signaux, theoremes pour les circuits lineaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.1 Signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.1.1 Impulsions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.1.2 Signaux periodiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.2 Dipoles, quadripoles, fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2.1 Dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.2.2 Quadripoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.2.3 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.2.4 Frequence de coupure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.3 sources ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.4 Theoremes pour les circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4.4.1 Lois generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.4.2 Theoremes pour les circuits lineaires . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Les composants pour l’Electronique 233.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Semiconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iii

iv TABLE DES MATIERES

3.2.2 Bandes d’energie, gap. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.3 Metal, isolant et semiconducteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.3.1 Metaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3.2 Isolants et semiconducteurs a temperature nulle. . . . . . . . . 263.2.3.3 Semiconducteurs ultra-pur a temperature non nulle. . . . . . . 273.2.3.4 Gap des semiconducteurs. Isolants et semiconducteurs. . . . . 283.2.3.5 Dopage de types N et P. Electrons et Trous. Conductivite par

electrons, par trous. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3.6 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.3.7 Interaction avec la lumiere, duree de vie des porteurs. . . . . . 32

3.3 Jonction PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.1 Generalites. Niveau de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.2 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.3 La jonction PN a l’equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.4 Jonction PN polarisee dans le sens direct . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.5 Jonction PN polarisee en sens inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.6 Capacite d’une jonction PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.7 Claquage. Effet Zener, effet d’avalanche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.8 Autres jonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Diodes PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.1 Definition, caracteristique I(V ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.2 Modelisations de la diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4.2.1 Modelisation en grands signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.2.2 Point de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.2.3 Diode en petits signaux. Modelisation, point de repos, resistance

dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 Diode Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.5.0.4 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.0.5 Polarisation. Modelisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5.1 Exemples de diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.6 Diodes en optoelectronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.6.2 Photodiode, cellule solaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.6.2.2 Principe de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6.2.3 Modelisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6.2.4 Point de fonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6.3 Diode electroluminescente, diode laser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6.3.1 Diode electroluminescente (DEL) . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6.3.2 Diode Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6.4 Exemples de diodes optoelectroniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6.5 Applications des diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.7 Transistors a effet de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7.1 Histoire de transistors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7.2 Transistor NMOS a enrichissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7.2.1 Description qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7.2.2 Principe de fonctionnement du NMOS . . . . . . . . . . . . . . 56

3.7.3 Transistor PMOS, technologie CMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.7.4 Modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

TABLE DES MATIERES v

3.7.4.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.7.5 Transistor a effet de champ a jonction (JFET) . . . . . . . . . . . . . . 64

3.8 Transistor bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.8.1 Description du transistor bipolaire NPN. . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.8.2 Le transistor bipolaire en regime actif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.8.2.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.8.2.2 Les differents courants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.8.3 Autres regimes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.8.4 Caracteristiques reelles des transistors bipolaires. . . . . . . . . . . . . . 723.8.5 Modelisation, schema equivalent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.8.5.1 Resistance d’entree, transconductance. . . . . . . . . . . . . . . 743.8.5.2 Courant de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.8.5.3 Schema equivalent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.8.5.4 Puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.8.5.5 Exemples de transistors bipolaires discrets . . . . . . . . . . . 76

3.8.6 Applications, conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Blocs fonctionnels lineaires : quadripoles 794.1 Introduction. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2 Quadripoles lineaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.2.2 Parametres hybrides h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2.3 Schema equivalent des transistors a basse frequence. . . . . . . . . . . . 824.2.4 Autres representations pour les quadipoles actifs. . . . . . . . . . . . . . 824.2.5 Quadripoles passifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.6 Quadripole actif ou passif en charge. Impedances d’entree, de sortie, am-

plification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.6.1 Impedance d’entree. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.6.2 Impedance de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.6.3 Amplification en tension et en courant. . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.7 Une autre representation des quadripoles actifs. . . . . . . . . . . . . . . 864.3 Association de quadripoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3.1 Structure en cascade. Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3.1.1 Representation simplifiee des amplificateurs de tension. . . . . 864.3.1.2 Amplification. Adaptation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.1.3 Methode matricielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3.2 Association serie ou parallele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.2.1 Mise en parallele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.2.2 Mise en serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5 Amplificateurs lineaires. 915.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 Montages de base en classe A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2.1 Definition. Polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2.2 Montage emetteur commun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.2.1 Polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2.2.2 Superposition des signaux continus et variables. Schema equivalent 935.2.2.3 Amplification. Impedances d’entree et de sortie. . . . . . . . . 945.2.2.4 Dynamique de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

vi TABLE DES MATIERES

5.2.2.5 Amplification en puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2.3 Montage collecteur commun (emetteur suiveur). . . . . . . . . . . . . . 97

5.2.3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2.3.2 Amplification. Impedances d’entree et de sortie. . . . . . . . . 98

5.2.4 Montage base commune. Montage cascode. . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2.5 Montages source commune et drain commun. . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3 Etage de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.2 Dispositifs composes : Darlington, transistors complementaires. . . . . . 104

5.3.2.1 Montage Darlington. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3.2.2 Configuration PNP-NPN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3.3 Sources de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3.3.1 Miroir de courant a transistors bipolaires. . . . . . . . . . . . . 1055.3.3.2 Miroir de courant a transistors MOS. . . . . . . . . . . . . . . 1075.3.3.3 Ameliorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3.4 Classification des etages de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3.5 Montage en classe A : collecteur commun : . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3.6 Montages en classe B : push-pull. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.3.6.1 Description. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.3.6.2 Rendement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3.6.3 Distorsion de croisement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3.6.4 Impedance de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3.6.5 Impedance d’entree. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.3.6.6 Developpements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.3.6.7 Transistors MOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.4 Etage differentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.4.2 Definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.4.3 Paire differentielle a transistors bipolaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4.3.1 Description. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.4.3.2 Fonctionnement en mode commun. . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.4.3.3 Fonctionnement en mode differentiel. . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4.4 Paire differentielle ideale : caracteristiques de transfert, amplifications. . 1185.4.4.1 Caracteristiques de transfert (mode differentiel). . . . . . . . . 1185.4.4.2 Amplifications de mode differentiel et de mode commun (cas

ideal). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.4.4.3 Resistance d’entree en mode differentiel Red. . . . . . . . . . . 1205.4.4.4 Resistance d’entree de mode commun Remc. . . . . . . . . . . 1215.4.4.5 Resistance de sortie Rs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.4.5 Paire differentielle reelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.4.5.1 Taux de rejection de mode commun. . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4.5.2 Influence de la resistance finie de la source de courant. . . . . . 1225.4.5.3 Resistances de charge non appariees. . . . . . . . . . . . . . . . 1235.4.5.4 Resistances d’entree et de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.4.5.5 Role des imperfections sur le regime continu. . . . . . . . . . . 124

5.4.6 Paire differentielle avec une charge active. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.4.6.1 Paire chargee par un miroir de courant. . . . . . . . . . . . . . 1265.4.6.2 Etage differentiel cascode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

TABLE DES MATIERES vii

5.4.7 Etage differentiel a transistor MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.4.7.1 Paire differentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.4.8 Technologie BiCMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.5 Reponse en frequence des amplificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.5.2 Theoreme de Miller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.5.3 Montages source commune et emetteur commun. . . . . . . . . . . . . . 1355.5.4 Montages collecteur commun et drain commun. . . . . . . . . . . . . . . 1365.5.5 Montage cascode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.5.6 Paires differentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5.6.1 Frequence de coupure pour AV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.5.6.2 Frequence de coupure du CMRR. . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.5.6.3 Amelioration des performances en frequence. . . . . . . . . . . 139

5.6 L’amplificateur operationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.6.2 Description de l’AO 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.6.2.1 Circuit de polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.6.2.2 Etage d’entree. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.6.2.3 Etage de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.6.2.4 Etage intermediaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.6.2.5 Representation par blocs fonctionnels. . . . . . . . . . . . . . . 144

5.6.3 Proprietes electriques des amplificateurs operationnels. . . . . . . . . . . 1445.6.3.1 Amplification dans la bande passante. Dynamique de sortie . . 1445.6.3.2 Impedance d’entree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.6.3.3 Impedance de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.6.3.4 Courants de polarisation, courant de decalage. . . . . . . . . . 1465.6.3.5 Tension de decalage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.6.3.6 Taux de rejection de mode commun. Formulation generale de Vs.1475.6.3.7 Montage en boucle ouverte, montage boucle. . . . . . . . . . . 1475.6.3.8 Comportement en frequence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.6.4 Amplificateur operationnel ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6 Systemes boucles 1556.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.2 Structure d’un systeme boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.2.1 Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.3 Proprietes et interet de la contre reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.3.1 Desensibilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.3.2 Elargissement de la bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.3.3 Amelioration de la linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.3.4 Reduction du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.4 Description formelle des differents types de reaction . . . . . . . . . . . . . . . 1606.5 Exemples simples de circuits a contre-reaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.5.1 Montage suiveur a AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.5.2 Amplificateur a contre-reaction tension-tension (serie-parallele) . . . . . 163

6.5.2.1 Situation ideale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.5.2.2 Situation reelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.5.3 Contre reaction courant-tension. Conversion courant-tension . . . . . . . 1686.5.3.1 Systeme ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

viii TABLE DES MATIERES

6.5.3.2 Cas reel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.6 Stabilite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.6.1 Position du probleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.6.1.1 Representations ”ω” et ”s” pour les systemes lineaires. . . . . 1726.6.1.2 Critere de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

6.6.2 Etude de la stabilite a partir de la representation de Bode. . . . . . . . 1766.6.2.1 Amplificateurs a 1 ou 2 poles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.6.2.2 Marges de gain et de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.6.3 Compensation en frequence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7 Fonctions lineaires a amplificateur operationnel 1817.1 Generalites, Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

7.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.1.2 Parametres definissant les AO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.1.3 Les differents regimes de fonctionnement des AO. . . . . . . . . . . . . . 182

7.2 Regles d’or d’utilisation de l’amplificateur operationnel ideal. . . . . . . . . . . 1837.2.1 Regles liees directement aux proprietes physiques de l’AO. . . . . . . . . 1837.2.2 Regles d’utilisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.2.3 Entrees inverseuses et non inverseuses. Calcul des circuits a AO. . . . . 185

7.2.3.1 Non equivalence des entrees inverseuses et non inverseuses. . . 1857.2.3.2 Analyse des circuits a amplificateurs operationnels. . . . . . . 186

7.2.4 Alimentations continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.2.4.1 Source double. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.2.4.2 Source unique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

7.3 Circuits de base a AO en regime lineaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.3.1 Montage suiveur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.3.2 Montage non inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.3.2.1 Cas ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.3.2.2 Cas non ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7.3.3 Montage inverseur a AO ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.3.4 Montage inverseur a AO reel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.3.4.1 Resolution directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.3.4.2 L’inverseur vu comme une boucle de contre reaction courant-

tension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1927.3.5 Convertisseur courant-tension (ou a transimpedance). . . . . . . . . . . 194

7.4 Additionneurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.4.1 Additionneur inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.4.2 Convertisseurs (DAC, ADC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.4.3 Additionneur non inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

7.5 Amplificateur de difference, amplificateur d’instrumentation. . . . . . . . . . . 1977.6 Derivateurs, integrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.6.2 Integrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.6.2.1 Integrateur de Miller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.6.2.2 Regime harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007.6.2.3 Probleme lie au bouclage par une capacite. . . . . . . . . . . . 201

7.6.3 Derivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.6.3.1 Regime harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.7 Generateurs de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

TABLE DES MATIERES ix

7.7.1 Generateurs de courant constant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.7.2 Amplificateur operationnel a transconductance (OTA). . . . . . . . . . . 204

7.8 Amplificateurs operationnels reels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077.8.1 Courant de polarisation d’entree, courant de decalage. . . . . . . . . . . 2077.8.2 Tension de decalage en entree. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2087.8.3 Impedance d’entree. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097.8.4 Amplitude d’entree en mode commun, en mode differentiel. . . . . . . . 2107.8.5 Impedance de sortie, amplitude en sortie, courant de sortie. . . . . . . . 2107.8.6 Slew rate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.8.7 Gain en tension, dephasage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.8.8 Taux de rejection de mode commun (CMRR). . . . . . . . . . . . . . . . 2127.8.9 Sensibilite vis a vis des sources. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.8.10 Bruit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.8.11 Comportement en temperature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8 Filtrage 2158.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

8.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.1.2 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2168.1.3 Les 4 types de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2168.1.4 Filtres ideaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2168.1.5 Filtres reels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.1.6 Zeros, poles et ordre des filtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2188.1.7 Stabilite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2198.1.8 Synthese des filtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.2 Filtres du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2198.2.1 Fonction de transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2198.2.2 Filtre passe bas du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.2.3 Filtre passe haut du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.2.4 Filtre passe tout (dephaseur) du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . 2218.2.5 Synthese des filtres du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.2.6 Integration, derivation et filtres du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . 2228.2.7 Regime transitoire et transformee de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . 223

8.2.7.1 Reponse a un echelon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2238.2.7.2 Reponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.2.8 Filtres constitues de 2 filtres du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . 2268.3 Generalites sur les filtres d’ordre n ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.3.1 Fonction de transfert des filtres d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2278.3.2 Filtres passe bas d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.3.2.1 Filtre passe bas de Butterworth d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . 2298.3.2.2 Filtres passe bas de Chebyshev et de Bessel d’ordre 2. . . . . . 230

8.3.3 Filtres de Butterworth et de Chebyshev d’ordre quelconque. . . . . . . . 2318.3.3.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2318.3.3.2 Comportement du gain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2328.3.3.3 Lien entre la courbe de gain et les poles. . . . . . . . . . . . . 233

8.3.4 Phase des filtres du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.3.4.1 Comportement en frequence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2338.3.4.2 Interet des phases a variation lente. . . . . . . . . . . . . . . . 235

8.3.5 Autres filtres d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

x TABLE DES MATIERES

8.3.5.1 Filtres passe haut du second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . 2358.3.5.2 Filtre passe bande du second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . 2368.3.5.3 Filtre coupe bande d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.3.5.4 Filtre passe tout d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

8.3.6 Reponse des filtres du second ordre en regime transitoire . . . . . . . . . 2388.3.6.1 Reponse d’un filtres passe bas a un echelon de tension. . . . . 2388.3.6.2 Montage derivateur a AO et signaux triangulaires . . . . . . . 239

8.4 Synthese des filtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.4.1 Position du probleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418.4.2 Filtres passifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

8.4.2.1 Passe bas RLC d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.4.2.2 Passe haut RLC d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2428.4.2.3 Passe bande, coupe bande RLC d’ordre 2. . . . . . . . . . . . 2428.4.2.4 Filtre coupe bande RC d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 2438.4.2.5 Exemple de filtre passif d’ordre eleve. . . . . . . . . . . . . . . 2438.4.2.6 Avantages et inconvenients des filtres passifs. . . . . . . . . . . 244

8.4.3 Generalites sur les filtres actifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2448.4.4 Synthese des filtres du second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

8.4.4.1 Structure des filtres a une seul AO inverseur. . . . . . . . . . . 2458.4.4.2 Structure de Sallen-Key (dite a ”source controlee”). . . . . . . 2468.4.4.3 Structure a contre reaction multiple (filtre de Rauch). . . . . . 2478.4.4.4 Rejecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2488.4.4.5 Convertisseur d’impedance negative, gyrateur. . . . . . . . . . 2498.4.4.6 Structure a integrateurs boucles, filtre universel. . . . . . . . . 251

8.4.5 Synthese des filtres actifs d’ordre eleve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.5 Filtres a capacites commutees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2538.6 Amplificateurs accordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

9 Generation et mise en forme des signaux 2579.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2579.2 Generalites sur les oscillateurs sinusoıdaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

9.2.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2579.2.2 Principe des oscillateurs sinusoıdaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2589.2.3 Controle de l’amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2599.2.4 Exemple illustrant le principe des oscillateurs (utilisation de circuits

dephaseurs). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2609.3 Oscillateurs sinusoıdaux BF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

9.3.1 Oscillateur a pont de Wien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2619.3.2 Exemple d’oscillateur a dephasage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

9.4 Oscillateurs HF (haute frequence). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2639.4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2639.4.2 Circuits resonnants et element non lineaire. . . . . . . . . . . . . . . . . 2639.4.3 Oscillateurs de Colpitts et de Hartley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2649.4.4 Oscillateurs a cristal piezoelectrique (quartz). . . . . . . . . . . . . . . . 266

9.4.4.1 Cristal piezoelectrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2669.4.4.2 Exemples d’oscillateurs a quartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

9.5 Multivibrateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699.5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

TABLE DES MATIERES xi

9.5.2 Comparateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2699.5.3 Comparateur a hysteresis (trigger de Schmitt) . . . . . . . . . . . . . . 271

9.5.3.1 Systeme a 2 etats stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2719.5.3.2 Montage non inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2719.5.3.3 Montage inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2739.5.3.4 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

9.5.4 Multivibrateur astable : generation de signaux carres et rectangulaires . 2749.5.4.1 Principe de l’astable a trigger de Schmitt. . . . . . . . . . . . . 2749.5.4.2 Astable a inverseurs CMOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

9.5.5 Multivibrateur monostable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2789.5.5.1 Monostable a AO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2789.5.5.2 Monostable a portes logiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9.5.6 Timer integre 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2829.5.6.1 Description du 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2829.5.6.2 Montage monostable avec un 555. . . . . . . . . . . . . . . . . 2839.5.6.3 Montage astable avec un 555. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

9.5.7 Generateur de dents de scie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2859.6 Circuits technologiquement non lineaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

9.6.1 Amplificateur logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2869.6.2 Multiplicateur analogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2879.6.3 Mise en forme non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

10 Modulation, demodulation 29110.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

10.1.1 Transmission sous forme analogique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29110.1.2 Codage des signaux analogique sous forme numerique. . . . . . . . . . . 29210.1.3 Transmission des signaux numeriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

10.2 Modulation d’amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29410.2.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29410.2.2 Spectre en frequence du signal module. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29510.2.3 Methodes pour moduler en amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

10.2.3.1 Multiplication directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29610.2.3.2 Modulation a l’aide d’un BJT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

10.2.4 Demodulation AM par detection d’enveloppe . . . . . . . . . . . . . . . 29710.2.5 Boucle a verrouillage de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

10.2.5.1 Oscillateur commande par une tension (VCO). . . . . . . . . . 29910.2.5.2 Frequence (pulsation) instantanee. . . . . . . . . . . . . . . . . 29910.2.5.3 Comparateur de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

10.2.6 Demodulation synchrone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110.2.6.1 Role et fonctionnement de la boucle a verrouillage de phase. . 30110.2.6.2 Demodulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

10.3 Modulation de frequence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30310.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30310.3.2 Signal modulant sinusoıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30310.3.3 Spectre en frequence du signal module en frequence. . . . . . . . . . . . 30410.3.4 Production d’un signal FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30510.3.5 Demodulation FM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

10.3.5.1 Demodulateur a dephasage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30610.3.5.2 Demodulation par PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

xii TABLE DES MATIERES

11 Bruit electronique. 31111.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31111.2 Les differents types de bruit electronique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

11.2.1 Bruit blanc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31111.2.2 Bruit thermique dans une resistance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

11.2.2.1 Fluctuations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31211.2.2.2 Theoreme de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31311.2.2.3 Bruit thermique dans les circuits resistifs. . . . . . . . . . . . . 31311.2.2.4 Association de resistances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31411.2.2.5 Association resistance-capacite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

11.2.3 Bruit de grenaille (shot noise). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31511.2.3.1 Bruit de grenaille pour des porteurs independants. . . . . . . 31611.2.3.2 Bruit de grenaille dans une diode. . . . . . . . . . . . . . . . . 316

11.2.4 Bruit en 1/f (flicker noise). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31811.3 Bruit dans les amplificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

11.3.1 Generalites, definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31811.3.1.1 Bruit ramene a l’entree. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31911.3.1.2 Densite spectrale de bruit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31911.3.1.3 Rapport signal sur bruit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31911.3.1.4 Couplage d’une source de Thevenin a un amplificateur. . . . . 32011.3.1.5 Figure de merite (noise figure) d’un amplificateur . . . . . . . 321

11.3.2 Amplificateurs a transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32111.3.2.1 Transistors bipolaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32111.3.2.2 Transistors a effet de champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

11.3.3 Bruit dans les montages a amplificateurs operationnels. . . . . . . . . . 32311.3.3.1 Bruit propre des AO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32311.3.3.2 Amplificateur non inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32311.3.3.3 Amplificateur inverseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

11.3.4 Choix des amplificateurs operationnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32411.4 Bruit dans les systemes de communication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

11.4.1 Position du probleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32411.4.2 Demodulation AM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32511.4.3 Demodulation FM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

11.5 Bruit en detection de particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32811.5.1 Detecteur et reponse impulsionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32811.5.2 Bruit et impulsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32911.5.3 Bruit dans la chaıne detecteur-preamplificateur de charge. . . . . . . . . 330

Chapitre 1

Introduction

1.1 L’Electronique Analogique

L’Electronique est une science appliquee qui est nee avec l’invention de dispositifs nonlineaires (diodes, triodes...) permettant de modifier les signaux electriques (courant, tension).De nos jours, ces dispositifs sont soit des composants discrets, soit des circuits integres com-portant un nombre plus ou moins grand de composants discrets. Ils sont en tres grande partiefabriques a l’aide de materiaux semiconducteurs (silicium, composes III-V). Les briques de basede ces dispositifs sont les jonctions (PN, Schottky), les capacites (par exemple capacite MOS)et les transistors (bipolaire ou a effet de champ). A l’aide de ces briques, on peut fabriquersous forme de circuits integres des memoires, des portes logiques, des microprocesseurs, desamplificateurs, des filtres, des convertisseurs (ADC, DAC), des barrettes CCD, des lasers, etc...Grace a des logiciels de CAO (conception de circuits integres assistee par ordinateur) on peutconcevoir des circuits realisant des taches de plus en plus complexes et diversifiees . En particu-lier, les ASIC (Application Specified Integrated Circuits) sont des circuits concus et fabriques(par un fondeur) pour realiser des taches specifiques ”a la demande”.

Aujourd’hui, n’y a pas de frontiere bien definie ni d’antagonisme entre Electronique ana-logique et Electronique numerique. On peut s’en convaincre en feuilletant par exemple lesouvrages Anglo-Saxons sur l’Electronique (Sedra et Smith, Millman et Grabel, Horowitz &Hill etc.., voir references bibliographiques). En particulier ces deux branches de l’Electroniqueutilisent les memes composants, les transistors (les caracteristiques de ces transistors peuventcependant etre differentes). La difference essentielle porte sur la forme des signaux vehicules.Alors que l’Electronique numerique traite des signaux electriques dont la mise en forme estdefinie une fois pour toute (echelons, impulsion calibrees), cette forme est fondamentale enElectronique analogique, qui a justement pour objectif majeur de mettre en forme les signauxelectriques : le terme ”signal analogique” est utilise pour indiquer que l’information que nousdonne ce signal est contenue non seulement dans le fait qu’il existe mais surtout dans sa forme.Afin de realiser une fonction complexe en Electronique, il est souvent necessaire d’utiliser dansun meme systeme des fonctions relevant de l’Analogique et du Numerique. De plus, il est pos-sible de realiser certaines fonctions relevant de l’Electronique analogique a l’aide de circuitsnumeriques. Une fonction Electronique ”exemplaire” faisant le lien entre ces deux aspects del’Electronique est la conversion analogique-numerique et numerique-analogique : on peut toutaussi bien traiter les convertisseurs dans un cours sur le l’Electronique numerique ou analo-gique !

Pour terminer, faisons la remarque suivante : en travaux pratiques, pour des raisons pedagogi-ques et pratiques (robustesse !) on utilise encore beaucoup de composants discrets, en particulierdes transistors bipolaires, ou des circuits integres anciens comme l’amplificateur operationnel

1

2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

741, qui est entierement construit a l’aide de transistors bipolaires (c’est encore un circuitintegre tres ”populaire” en Electronique analogique bien qu’invente dans les annees 60 parFairchild ). Ceci ne correspond plus tout a fait a l’Electronique d’aujourd’hui . Les transis-tors bipolaires, sur certains aspects plus performants que les transistors MOS (transconduc-tance nettement plus elevee), sont plus chers, consomment plus d’energie et prennent plus deplace. Ils sont quand cela est possible remplaces par des transistors MOS, y compris pourles transistors de puissance. Ils restent irremplacables dans certains applications specifiques ;c’est le cas par exemple des transistors bipolaires III-V a heterojonction pour applications hy-perfrequences. D’autre part depuis peu se developpe une nouvelle technologie de fabricationdes circuits integres, la technologie BiCMOS, qui permet d’integrer sur la meme ”puce” destransistors MOS et des transistors bipolaires.

1.2 Contenu du cours

Apres un bref rappel sur la theorie des circuits (chapitre 2), nous abordons les composantsqui jouent un role fondamental en Electronique. Le chapitre 3 est consacre a leur descriptionet a leur modelisation. Il existe aujourd’hui des logiciels contenant des bibliotheques de compo-sants. Il s’agit en fait de la modelisation electrique de ces composants a l’aide des elements debase des circuits electriques : sources (courant, tension) et impedances (resistance, capacite eta tres haute frequence, self). Le logiciel le plus utilise dans le domaine est SPICE (SimulationProgram with Integrated Circuit Emphasis), en particulier les versions PSpice et HSpice (OR-CAD est un logiciel performant faisant appel a ce simulateur). Ce logiciel permet de simulerle comportement electrique des composants de base (diodes, transistors), mais aussi de cir-cuits integres realisant des fonctions analogiques ou logiques. Sur un plan pragmatique, il n’estdonc pas necessaire de connaıtre de maniere tres detaillee le fonctionnement des composantspour ”faire” de l’Electronique : SPICE est la pour nous seconder. Sur le plan intellectuel il esttoutefois satisfaisant de connaıtre au moins le principe de fonctionnement des composants quisont a la base meme de l’Electronique. De plus, ceci permet une lecture plus efficace des fichestechniques des composants, une perception plus claire des raisons des qualites et des limitesdes composants etc... Un fait tres important a souligner est que les composants sont fondamen-talement non lineaires. Par ailleurs, la modelisation des composants cherche le plus souventa representer le fonctionnement des composants a l’aide d’elements lineaires ! Cette demarchequi consiste a lineariser leur comportement, peut apparaıtre contradictoire. Elle est en faitfondamentale en Electronique analogique puisqu’un des objectifs est de realiser des fonctionslineaires. Les composants dont il est question ici sont les diodes et les transistors. Il existe untres grand nombre de types de diodes et de transistors, d’ou la necessite de faire un choix.D’autre part, ces composants peuvent etre soit des composants discrets, soit des composantsimpliques dans des circuits integres.

Pour les diodes nous considerons uniquement le cas des composants discrets : diode deredressement et diode Zener d’une part, et diodes en optoelectronique : photodiode, diodeelectroluminescente, diode laser. Pour les transistors, nous considerons le cas des transistorsbipolaires (element discret ou integre) et des transistors MOS (essentiellement sous formeintegre). Ces derniers sont de loin les composants les plus repandus. Ils sont utilises en Electroniquenumerique (technologie CMOS) mais aussi en Electronique analogique (des circuits integresanalogiques performants sont aujourd’hui fabriques en technologie BiCMOS, qui permet derealiser dans le meme cristal de silicium des transistors MOS et bipolaires). Nous mentionnonsegalement le transistor a effet de champ a jonction et quelques composants rapides a base decomposes III-V.

On peut en general decomposer un circuit analogique complexe sous forme d’un nombre

1.2. CONTENU DU COURS 3

limite de fonctions analogiques : amplification, filtrage, generation de signaux (oscillateurs),modulation etc... L’objet principal de ce cours d’Electronique analogique est de les definir et demontrer comment les realiser et les utiliser. Sur le plan formel, ces fonctions sont representeessur les schemas electriques comme des ”boites noires”. Un cas particulier de fonction analogiqueest celui des fonctions lineaires : le signal de sortie suit lineairement les variations du signald’entree (la forme des signaux n’etant pas necessairement la meme). Les blocs fonctionnelsassocies possedent 2 bornes d’entree et 2 bornes de sortie (quadripoles). Une telle situationn’est pas usuelle en Electronique numerique : les signaux d’entree et de sortie peuvent etremultiples (multiplexeurs, decodeurs...), on peut utiliser un signal d’horloge, une modificationdes signaux d’entree peut se traduire par aucune modification des signaux de sortie ou cettemodification peut etre decalee dans le temps, l’amplitude des signaux n’est pas un parametrepertinent etc... Bien entendu, l’Electronique analogique ne se limite pas a realiser des fonctionslineaires et nous en donnerons des exemples (cas des oscillateurs par exemple).

Le chapitre 4 (Blocs fonctionnels) decrit de maniere generale les quadripoles et commentles assembler. La notion essentielle est ici celle d’impedance d’entree et de sortie. Le chapitre 5(amplificateurs lineaires a transistors) est tres ”traditionnel”. La question est ancienne. Il s’agitde realiser une fonction lineaire (ici amplifier une tension ou un courant) avec des composantsnon lineaires, les transistors. La premiere partie de ce chapitre montre comment y parve-nir avec un seul transistor, en regime de petits signaux, necessaire pour obtenir une reponselineaire. Nous passons ensuite au cas des amplificateurs lineaires integres, les amplificateursoperationnels (AO), en insistant sur leur etage d’entree, qui est un etage differentiel et leuretage de sortie (push-pull dans le cas du 741). Les AO sont des amplificateurs differentiels atres grand gain (typiquement 105) ; de plus, ils sont lineaires meme si l’amplitude des signauxde sortie est grande. Enfin, pour realiser une fonction lineaire, ils sont a peu pres inutilisablesen boucle ouverte. Cette question introduit le chapitre 6, qui presente de maniere generale lessystemes boucles, et plus particulierement la contre-reaction qui consiste a ramener de la sortievers l’entree un signal qui s’oppose aux variations du signal d’entree. Les resultats de ce cha-pitre sont utilises dans le chapitre 7 consacre aux differentes fonctions (”operations” au sensmathematique) que l’on peut realiser a l’aide d’un amplificateur operationnel. On consideretout d’abord des fonctions lineaires : muni d’une contre-reaction, un AO permet de realiser :inversion, amplification, addition, soustraction, integration, derivation. D’autres applications,cette fois non lineaires, seront presentees dans le chapitre 9 : multiplicateur, comparateur, enparticulier le comparateur a hysteresis (bascule (trigger) de Schmitt).

La derniere partie du cours est centree sur la production et la mise en forme de signaux.Nous considerons tout d’abord le filtrage (chapitre 8). Le filtrage est une operation indispen-sable dans de nombreux circuits electroniques (par exemple pour la demodulation d’un signalFM). Un signal periodique quelconque est decomposable en serie de Fourier. Le filtrage a pouraction de modifier le poids de ses harmoniques : la forme du signal est donc modifiee (sauf si ilest purement sinusoıdal). On insiste dans ce chapitre sur les filtres du second ordre que l’on peutrealiser avec des circuits passifs (contenant des selfs) ou a l’aide d’amplificateurs operationnels(filtres actifs). Il existe des filtres dits a capacites commutees, constitues uniquement de tran-sistors MOS et de capacites (il n’y a plus de resistances !). Le chapitre 9 est consacre a lageneration de signaux periodiques et a leur mise en forme (shaping). A l’aide d’un amplificateuroperationnel boucle par un circuits passif (resistances, capacites), avec une reaction positive,on realise des oscillateurs sinusoıdaux. Il n’y a plus ici de signal d’entree. La frequence d’os-cillation est imposee par la boucle de reaction (l’amplification de l’AO boucle est infinie pourcette frequence) et un element non lineaire permet de limiter l’amplitude des oscillations. Onpeut aussi realiser des oscillateurs sinusoıdaux en utilisant un cristal piezoelectrique (oscilla-teur a quartz associe a un circuit passif contenant une self). Les multivibrateurs constituent


une autre famille de generateurs de signaux periodiques. Nous detaillons le fonctionnement dumultivibrateur astable et nous presentons le circuit temporisateur NE555 (timer) qui permetde realiser divers multivibrateurs (ce circuit integre contient en particulier une bascule RS, unepreuve de l’imbrication du Numerique dans l’Analogique !).

Le chapitre 10 presente une application particuliere de l’Electronique analogique quiconsiste a produire un signal module (en amplitude, en phase, en frequence) et pour la reception,a demoduler ce signal pour en extraire le signal utile. Ce chapitre permet de mettre en oeuvre lesdifferentes fonctions analogiques introduites dans le cours : oscillateurs, amplificateurs, filtres,dephaseurs, multiplicateurs.

Dans tout ce qui precede, les signaux sont supposes parfaitement definis, c’est a dire nonbruites. En fait, les elements d’un circuit (resistances, jonctions) generent du bruit. Dans lechapitre 11 on definit et etudie le bruit electronique genere par les electrons, dans les circuitselectroniques (ceci ne doit pas etre confondu avec le fait qu’un circuit electrique constitue uneantenne pouvant capter toute sorte d’ondes electromagnetiques, ce qui constitue une sourcesupplementaire de bruit, mais de nature differente : on parle de parasite). Quand on choisitun composant ou un circuit integre, les performances du composant vis a vis du bruit (”noisefigure”) sont parfois determinantes, d’ou l’importance de ce chapitre.

1.3 Exemple de systeme electronique : instrumentation en phy-sique nucleaire.

Pour illustrer ce qui precede, nous presentons un exemple particulier relevant de l’Electroniqueanalogique, qui ne pretend pas etre totalement representatif de cette discipline. L’exemple quenous avons choisi est celui de la chaıne d’analyse associee a la detection et l’analyse en energiedes particules en physique nucleaire (particules chargees, photons de grande energie). Nousfaisons ici une presentation relativement detaillee. Certains passages peuvent ne pas etre par-faitement comprehensibles par un lecteur peu averti en electronique. Ceci n’est pas tres gravecar le but est ici de montrer qu’avec un petit nombre de notions (amplification, filtrage, rudi-ments d’Electronique numerique) on peut realiser des ensembles realisant des taches complexeset specifiques. Aujourd’hui on peut acheter les differents modules impliques dans ces ensembles(ORTEC, Canberra, Schlumberger, LeCroy etc...). Les entreprises qui les fabriquent ont sou-vent ete fondees par des ingenieurs ayant travaille dans le domaine de la physique nucleaire, aune epoque ou tout etait fabrique dans les laboratoires de recherche !

a) DETECTION.Pour convertir l’energie d’une particule en signal electrique, il faut un capteur, ici un

detecteur de particule. On peut dans certains cas utiliser a cet effet un detecteur a semi-conducteur. C’est une diode P+N polarisee en sens inverse, analogue a une photodiode. Lepassage de la particule cree des paires electron-trou et se traduit par l’apparition d’un couranttransitoire i(t) dans le circuit de la diode. On montre que dans le cas ideal, la charge electriqueQ =

∫i(t)dt est proportionnelle a l’energie E de la particule ayant penetre dans le detecteur.

Exprimee en Joule, cette energie est extremement petite (pour une particule d’energie E = 100MeV la valeur en Joule est E = 100 × 106 × 1.6 × 10−19 = 1.6 × 10−11 J). Il importe doncde construire un chaıne analogique permettant d’amplifier cette energie et de produire uneimpulsion de tension V (t) dont l’amplitude soit proportionnelle a E. Dans des experiences pluscompliquees, en plus de l’energie on est amene a determiner egalement la position du pointd’impact de la particule sur le detecteur (detecteur energie-position) etc..

b) PREAMPLIFICATION.

1.3. EXEMPLE DE SYSTEME ELECTRONIQUE : INSTRUMENTATION EN PHYSIQUE NUCLEAIRE.5

Pour amplifier en energie et integrer dans le temps le signal fourni par le detecteur, on utiliseun preamplificateur de charge. En simplifiant, il s’agit d’un amplificateur operationnel monteen integrateur de courant. Son impedance d’entree doit etre extremement grande, ce que l’onpeut realiser avec des transistors a effet de champ. Le bruit electronique du preamplificateur(”noise figure”) est un parametre tres important dans le choix du preamplificateur. Il depend deson impedance d’entree mais aussi de la capacite du detecteur. A la sortie du preamplificateur,l’arrivee d’une particule dans le detecteur se traduit par la production d’une impulsion ayantun temps de montee tr inferieur ou de l’ordre de 10 ns et un temps de descente beaucoupplus long, nettement superieur a la micro-seconde. A peu de chose pres il s’agit d’un echelon detension, dont l’amplitude VPA est proportionnelle a Q, donc a E. Clairement le preamplificateurest lineaire en ce sens que VPA(E) est proportionnel a E (typiquement, VPA est inferieur oude l’ordre de 0.1 V ). Ce preamplificateur comporte des circuits de mise en forme (shaping)puisque a l’entree l’impulsion de courant i(t) est tres breve (de l’ordre de quelques ns), ce quin’est pas le cas du signal de sortie. Notons que le preamplificateur fournit egalement un autresignal de sortie, avec une mise en forme de tres courte duree et dont la resolution en amplitude(en energie) est moins bonne que pour l’autre sortie. Ce signal de sortie permet de reperer avecprecision l’instant d’arrivee de la particule dans le detecteur.

Remarques : a l’echelle du temps de montee de l’impulsion de sortie on ne peut plus negligerle temps de propagation des signaux dans les cables (BNC...). La vitesse de propagation dessignaux est voisine de 2 × 108 ms−1 (environ 2

3c) soit 20 cm par ns : le temps de montee trcorrespond au temps de propagation sur environ 1 m de cable. Un autre probleme lie a cesechelles de temps courtes est la reflexion des signaux sur les extremites des cables (comme lareflexion des ondes sonores ou lumineuses sur un obstacle). Pour eviter ces reflexions il fautque l’impedance de charge a l’extremite du cable soit egale a l’impedance caracteristique ducable (ici 50 Ω). Quand ceci est realise ont dit que l’on a ”adapte” la charge. De manieregenerale, quand la vitesse de propagation des signaux ne peut plus etre consideree commeinfinie, il est necessaire d’utiliser une representation (modelisation) particuliere des circuitselectriques. On parle dans ce cas de circuits a ”constantes reparties”. Nous n’aborderons pascette question dans ce cours : les circuits sont dits a ”constantes localisees” quand on peutsupposer infinie la vitesse de la lumiere, hypothese que nous faisons. Cette question relative autemps de propagation des ondes electromagnetiques ne doit pas etre confondue avec le temps dereponse d’un composant. Dans ce dernier cas, les retards sont dus a des phenomenes physiqueslies au transport des charges dans le semiconducteur, tels que par exemple la diffusion ou larecombinaison des porteurs.

c) AMPLIFICATIONLe signal en echelon fourni a la sortie du preamplificateur est envoye a l’entree d’un

amplificateur lineaire. Ici encore, il faut entendre par lineaire le fait que l’amplitude VAmax(E)du signal de sortie est proportionnelle a l’amplitude VPA(E) du signal d’entree. La forme dusignal de sortie VA(t) est tres differente du quasi echelon applique a l’entree. Elle est de typegaussien (courbe en cloche) avec une largeur a mi-hauteur de l’ordre de 0.1 a quelques µssuivant les amplificateurs. Elle est obtenue par amplification et filtrage. Le filtre est constitued’un derivateur puis d’un integrateur, les deux circuits etant separes par un amplificateursuiveur (adaptateur d’impedance). La derivation introduit une longue queue negative que l’onsupprime en modifiant la structure du filtre derivateur ( cette operation s’appelle ”suppressionde pole zero”, ou ”pole zero cancellation”).

Remarque : la mise en forme des signaux analogiques sous forme d’impulsions d’une dureede l’ordre de la microseconde est pertinente quand la frequence des evenements ne depasse pas


environ 10 kHz. En effet, les evenements arrivent au hasard au cours du temps (processus dePoisson) et la probabilite pour que 2 evenements se produisent dans un intervalle de temps del’ordre de la µs devient non negligeable pour des taux de comptage plus eleves. Quand cecise produit il y a phenomene d’empilement (pile up) : l’amplitude de l’impulsion, somme de 2impulsions, ne correspond plus a un phenomene physique (une energie E). Il existe des ampli-ficateurs muni d’un systeme permettant d’eviter en partie l’empilement (systeme de rejectiond’empilement).

d) CONVERSION.Pour mesurer VAmax(E) donc E (via une calibration), on utilise un convertisseur ana-

logique numerique (ADC, analog to digital converter). Les convertisseurs utilises offrent denombreuses possibilites de fonctionnement ; en particulier, ils sont munis d’une entree porte(gate) sur laquelle un niveau logique (par exemple haut) autorise la conversion et le niveauinverse inhibe cette conversion. Ils sont couples a un ordinateur qui stocke les evenementset permet leur visualisation sous forme de spectres d’amplitudes (donc d’energie). Le fonc-tionnement est le suivant : une impulsion VA(t) est convertie avec comme resultat l’entier N .Dans le programme d’acquisition, N correspond en fait a une adresse dans un tableau S(i)(typiquement, i = 1...1024). Le programme d’acquisition effectue simplement l’incrementationS(N) = S(N) + 1. A la fin de l’acquisition, le tableau constitue un spectre en amplitude, doncen energie, puisque VAmax est proportionnel a l’energie E des particules detectees. Consideronsle cas particulier de particules possedant toutes la meme energie Eo. Ceci se traduit par desamplitudes VAmax(Eo) toutes identiques, auxquelles correspond un seul resultat pour la conver-sion, No. S(No) est donc le nombre de particules detectees ayant l’energie Eo. En fait, en raisondu bruit electronique et surtout du caractere non ideal de la reponse du detecteur, les ampli-tudes VAmax se presentant a l’entree du convertisseur fluctuent. Il en resulte que le resultat dela conversion est un entier voisin de No mais non necessairement egal a No. La representationgraphique du spectre S(i) presente donc non pas une raie fine mais un pic centre sur l’adresseNo, de forme approximativement gaussienne. Sa largeur donne ce que l’on appelle la resolutionde la chaıne d’analyse, qui grace a l’etalonnage de la chaıne, peut s’exprimer en energie (enkeV en general).

Remarques :i) Dans les cas simples, le signal a convertir arrivant a l’entree d’un ADC ne varie pas au

cours du temps pendant la conversion (par exemple il s’agit du resultat de l’echantillonnage d’unsignal relativement lent a l’echelle de la µs). Ce n’est pas toujours le cas en physique nucleairepuisque les convertisseurs peuvent recevoir des impulsion assez breves VA(t) et doivent donc etreconcu pour convertir numeriquement leur amplitude VAmax(E) (il n’y a pas d’echantillonnagedans ce mode de fonctionnement). Dans les convertisseurs acceptant des impulsions de formegaussienne, il faut donc reperer le passage du maximum de l’impulsion. Que ce soit des conver-tisseurs a rampe ou a approximations successives, dans une premiere etape on charge un conden-sateur jusqu’a ce que l’impulsion atteigne sa valeur maximum VAmax(E). Puis le signal d’entreeest deconnecte et c’est la capacite chargee qui memorise VAmax(E) pour la conversion propre-ment dite.

ii) Il faut un certain temps τc pour convertir une impulsion. Pour les meilleurs convertisseursa approximations successives, τc est de l’ordre de quelques µs (certains convertisseurs ont destemps de conversion de l’ordre de 100 µs). En raison du caractere aleatoire de l’arrivee desimpulsions sur l’entree, il se peut qu’une impulsion se presente avant la fin de la conversion del’impulsion precedente. Dans ce cas, il n’y a pas conversion et l’evenement correspondant estperdu. Cette perte d’information s’appelle le temps mort (dead time) ; il est bien sur d’autantplus important que le taux de comptage est eleve.


Figure 1.1 – Schema simplifie d’une chaıne d’analyse en physique nucleaire.

La structure Detecteur - Preamplificateur - Amplificateur - ADC - Ordinateur (voir figure1.1) est ce qu’on peut envisager de plus simple. Dans une experience de physique nucleaire, ilest rare de n’utiliser qu’un seul detecteur : l’arrivee d’une particule (par exemple fournie par unaccelerateur) sur le systeme etudie (par exemple des noyaux) peut donner lieu a l’emission deplusieurs types de particules (neutrons, photons, particules chargees..). Il existe donc plusieurschaınes de type Detecteur - Preamplificateur - Amplificateur - ADC travaillant simultanement.La physique des interactions et le fait que les detecteurs aient une surface limitee, implique quel’arrivee d’une particule incidente dans le systeme peut se traduire par aucune detection, ladetection d’une particule, ou la detection de plusieurs particules, simultanement sur des chaınesdifferentes. Sur le plan de l’Electronique, la question est non seulement de mesurer l’energiedes particules, mais aussi de savoir si ces particules sont arrivees de maniere simultanee dansles detecteurs. De plus on peut etre amene a eliminer certains evenements (issus du bruitelectronique ou de phenomenes physiques parasites etc..). Pour repondre a toutes ces question,il existe un grand nombre de fonctions electroniques disponibles sous forme de ”modules”.Voici quelques modules utilises pour la mise en forme et le traitement des signaux en physiquenucleaire.

e) MODULES DE MISE EN FORME ET DE TRAITEMENT DES SIGNAUX :α) Amplificateur a seuil (biased amplifier) : la fonction est la meme que pour un ampli-

ficateur lineaire simple, mais on amplifie non pas le signal d’entree Ve(t) mais Ve(t) − Vth ouVth est une tension seuil fixee a l’aide d’un potentiometre : si Ve < Vth, il n’y a aucun signalen sortie. Ceci permet le plus souvent d’eliminer le bruit electronique ou des evenements debasse energie E correspondant a des evenements physiques parasites que l’on ne souhaite pasanalyser.

β) Certains amplificateurs possedent une entree porte (gate). Quand une impulsion arrivesur l’entree lineaire a l’instant to, un signal amplifie est produit a la sortie si un niveau TTLhaut est present sur la porte en to ; si non, aucune impulsion n’apparaıt en sortie

γ) Une autre solution permet d’eliminer des evenements de faible amplitude VA < Vth (dansle bruit). On prend un tout autre point de vue, en introduisant une composante de Numerique.On utilise pour cela un discriminateur. Ce module recoit le signal analogique VA(t) et en sortieproduit une impulsion logique (TTL ou standard NIM, qui correspond a une impulsion negativetres breve) quand VA > Vth (Vth est regle a l’aide d’un potentiometre) et aucune impulsion dans


le cas contraire. Ceci permet par exemple de compter les evenements correspondant a VA > Vth

en envoyant les signaux de sortie dans une echelle de comptage. En envoyant les signaux desortie des discriminateurs de differentes voies d’acquisitions dans des unites de coıncidence, onpeut reperer les evenement simultanes. Le signal de sortie des discriminateurs peut egalementetre utilise pour autoriser ou non la conversion analogique-numerique du signal analogiqueVA(t) (il suffit de l’envoyer sur l’entree ”gate” des convertisseurs).

δ) Pour reperer avec precision l’instant d’arrivee d’une particule dans un detecteur, onutilise des discriminateurs speciaux. Le signal d’entree est un signal analogique par exemplecelui qui est emis a la sortie d’un preamplificateur (montee rapide, descente lente). On reglesur le discriminateur un seuil de declenchement Vth (trigger level). Quand le front de monteeatteint ce seuil, une impulsion logique est emise en sortie. Il s’agit d’une impulsion standardNIM (impulsion negative d’amplitude voisine de 0.8 V et d’une duree reglable, typiquement 10ns). L’operation correspondante porte le nom de ”time pick-off”. Une difficulte provient du faitque le declenchement de l’impulsion de sortie se fait avec un retard qui depend de l’amplitudede l’impulsion a l’entree. Il existe des solutions pour minimiser cet effet (appele ”jitter”) enfaisant en sorte que le declenchement corresponde non a un seuil donne Vth mais a une fractionconstante (environ 15%) de l’amplitude de l’impulsion (le module correspondant porte le nomde ”constant fraction discriminator”).

ε) Les divers modules utilises pour la mise en forme des signaux introduisent des retards.Pour synchroniser dans le temps les signaux on peut etre amene a utiliser des circuits retar-dateurs (delay) : V (t) est transforme en V (t − τ) ou τ est un retard reglable. Il existe desconvertisseurs (TAC ou convertisseurs temps-amplitude) permettant de convertir des retards(donc des ns) sous forme d’une tension (donc des volts). Ces modules possedent 2 entrees,une entree ”start” qui recoit une premiere impulsion logique rapide signalant l’arrivee d’uneparticule dans un detecteur, et une entree ”stop” recevant l’impulsion logique rapide associee al’arrivee d’une particule dans un autre detecteur. Si cette derniere arrive avec un retard ∆t parrapport a la premiere, en sortie, une impulsion analogique d’amplitude Vmax(∆t) proportion-nelle a ∆t est produite. Un TAC permet de mesurer des spectres en temps (on envoie Vmax(∆t)vers un ADC). On utilise egalement les TAC pour regler des problemes de coıncidence.

η) Il existe bien d’autres solutions pour mettre en evidence la coıncidence de plusieursevenements, soit de facon purement electronique, soit de maniere logicielle. Dans ce dernier cas,on enregistre tous les evenements sous forme d’une matrice (tableau) contenant tous les pa-rametres mesurables, systematiquement a l’arrivee de chaque particule sur le systemes etudie :les evenements coıncidents sont mis en evidence par logiciel, apres l’experience.


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M. Girard, Boucles a verrouillage de phase. McGraw-Hill, 1988, Paris. S’adresse aux BTS,IUT (Genie Electrique), licences EEA etc..

Chapitre 2

Circuits electriques

2.1 Circuits a constantes localisees

Dans le cas general, les circuits electroniques sont parcourus par des signaux pouvant varierplus ou moins rapidement dans le temps. Le domaine des basses frequences correspond auxsignaux variant ”lentement” dans le temps, domaine qu’il importe bien entendu de preciser. Siun signal electrique varie de maniere significative dans l’intervalle de temps δt, il y correspondun certaine frequence ν ≈ 1/δt. Dans le cas particulier d’un signal periodique, δt representeune fraction de periode T et ν est superieur ou de l’ordre de la frequence f = 1/T . Soit dune dimension typique du circuit considere et v ≈ c la vitesse de propagation des signauxelectriques : cette vitesse est celle de l’onde electromagnetique associee au signal ; dans unmilieu homogene, v = c/n = c/ε

1/2r ou εr est la constante dielectrique relative. Le temps

caracteristique pour la propagation des signaux dans le circuit est donc δtp = d/v ≈ d/c. Si cetemps est faible devant δt, on peut supposer que la propagation de l’information est instantanee.Dans cette hypothese, puisque les dimensions des objets n’interviennent pas dans le calcul ducomportement electrique du circuit, on peut representer les divers constituants du circuit pardes objets ”localises”. Dans les circuits passifs, ces objets sont les resistances, les capacites etles selfs. Inversement, si δtp = d/c À δt, ce type de representation n’est plus pertinent. Uneautre approche, conduisant a la meme conclusion consiste a comparer d a la longueur d’ondeλ = v/ν ' vδt associee aux signaux : si d ¿ λ les dipoles constituants le circuit sont ”localises”.

Afin de mieux cerner le regime des ”basses frequences”, considerons le cas des dipolesutilises en Travaux Pratiques. Les dimensions sont de l’ordre du centimetre. On obtient δtp ≈10−2/(3 × 108) ' 3 × 10−11 s et donc une frequence limite νlim ≈ 3 × 1010 Hz = 30 GHz.Cette frequence limite correspond au domaine des hyperfrequences. Si au lieu d’objets de taillecentimetrique (une resistance) on considere les fils conducteurs utilises en TP, d est cette foisde l’ordre de 30 cm voire de l’ordre du metre. Les frequences limites correspondantes sontinferieures ou de l’ordre du GHz. Pour les frequences & 1GHz, il n’est plus question de relierles differents elements d’un circuit par des fils conducteurs tels que ceux utilises en TP. Onutilise des cables coaxiaux et qui plus, des cables speciaux hyperfrequence (pour les frequencesinferieures a 1 GHz on utilise des cable BNC, nettement moins couteux). Pour des signaux defrequence 30 GHz, donc de longueur d’onde λ ≈ 1 cm, un cable de longueur grande devant 1cm ne peut plus etre represente par une resistance usuelle puisque le champ electrique (doncle courant electrique) n’est pas le meme partout dans le cable a un instant donne (le cable estun guide d’onde). Cette situation correspond au cas des circuits dits a ”constantes reparties”,terme qui introduit l’idee d’une delocalisation du dipole considere.

Les circuits electroniques que nous considerons dans ce cours sont supposes fonctionner ades frequences inferieures a quelques centaines de MHz, frequences pour lesquelles les circuits

1

2 CHAPITRE 2. CIRCUITS ELECTRIQUES

sont a constantes localisees.

Remarque : la dimension d’un circuit integre et a fortiori d’un composant est nettementplus petite que 1 cm de sorte que la modelisation des composants a l’aide de dipoles localisesest en general pertinente, meme dans le domaine des hyperfrequences. Par contre, les effets decouplage (en particulier inductifs) sont importants, ce qui complique la modelisation.

2.2 Elements passifs

2.2.1 Resistance.

2.2.1.1 Resistor (l’objet resistance)

Une resistance est un dipole constitue d’un materiau conducteur. La valeur (la resistance !)d’un resistance s’exprime en Ohm (Ω). On notera l’ambiguıte entre l’objet resistance et savaleur en Ohm qu’on appelle aussi resistance. On rencontre dans les manuels des Lycees le motanglais resistor (par exemple dans la phrase : ... ”la resistance du resistor R1 est de 1.5 kΩ...”)pour designer l’objet resistance, ce qui leve l’ambiguıte. L’usage du mot resistor est cependantpeu repandu dans les laboratoires.

La valeur d’une resistance depend de ses proprietes geometriques et d’une propriete in-trinseque du materiau appelee resistivite (notee ρ). La geometrie la plus simple est celle d’unobjet de forme cylindrique ( la section droite, constante, peut etre un cercle mais aussi unrectangle etc...). Si S est l’aire de la section droite et L est la longueur de la resistance, lavaleur de la resistance s’ecrit (les unites sont indiquees entre parenthese) :

R(Ω) = ρ(Ω m)L(m)S(m2)

(2.1)

En Electronique les resistances sont utilisees sous forme d’elements discrets, ou sous formeintegree.

a) Resistance metallique. On peut realiser une resistance a l’aide d’un tres bon conducteurcomme un metal. En electronique on utilise en fait les metaux non pour realiser des resistancesmais pour realiser des connexions, c’est a dire des resistances negligeables. Il s’agit essentielle-ment de l’aluminium en couche mince, pour realiser les differents niveaux de metallisation descircuits integres, et l’or pour connecter les circuits integres aux electrodes (pattes) du circuit(on sait faire des fils d’or tres fins et les souder par thermo-compression).

La resistivite d’un tres bon conducteur est de l’ordre de 10−8 Ωm (pour le cuivre qui estun excellent conducteur, ρ = 1.56 × 10−8 Ω m). Pour un film mince metallique (une piste) delongueur L = 100 µm = 10−4 m, d’epaisseur e = 1 µm et de largeur l = 10 µm, la resistanceest de l’ordre de R = 10−8×10−4/(10−6×10−5) = 0.1 Ω. Il s’agit d’une resistance faible devantles resistances caracteristiques dans les circuits integres. Cet exemple nous montre aussi qu’ilest difficile de realiser des resistances de l’ordre du kΩ a l’aide d’un metal. On sait cependantrealiser des resistances en couches minces sous forme de pistes (epaisseur e . 1µm, largeurW ) en NiCr ou Ta de valeurs assez elevees. Compte tenu de la geometrie, la section droite estS = eW ; si la longueur de la resistance L est egale a sa largeur W la resistance, vue de dessusest un carre dont la resistance est R¤ = ρ/e ; elle porte le nom de ”resistance par carre”.

b) Resistances au carbone. Les resistances avec code de couleurs utilisees en TP (puissancemaximale Pmax = 0.25 W ou 0.5W ) sont des resistances au carbone. Le carbone est soitun isolant (le diamant), soit un conducteur (le graphite). On sait aussi fabriquer du carboneamorphe. Ce solide conduit moins bien le courant qu’un metal (plus grande resistivite) et peut

2.2. ELEMENTS PASSIFS 3

etre depose sous forme de couches minces ayant des resistances dans la gamme correspondantaux besoins usuels en TP (10 Ω a quelques MΩ). Cette couche de carbone est deposee sur unbatonnet de ceramique isolante.

c) Resistances integrees. Dans les circuits integres les resistances sont realisees avec dusemiconducteur dope (le dopage consiste a introduire des impuretes judicieusement choisies,voir chapitre 3). En dopant plus ou moins le semiconducteur on peut faire varier sa resistivite etdonc realiser des resistances de valeurs tres differentes avec des geometries voisines. On utiliseaussi beaucoup le silicium polycristallin dope (ou polysilicium) pour realiser des resistances surcircuit integre (le polysilicium est utilise aussi pour realiser le contact avec l’oxyde de grille destransistors MOS). La resistivite d’un semiconducteur fortement dope est typiquement compriseentre 0.01 Ω cm et 1 Ω cm ce qui permet sans difficulte de realiser des resistances de l’ordre dukΩ.

Remarque : dans les filtres integres a capacites commutees (voir §8.5) les resistance sont rem-placees par des capacites ! Plus generalement, on limite au maximum la presence des resistancesdans les circuits integres.

2.2.1.2 Loi d’Ohm. Mobilite, conductivite, resistivite.

Une resistance est un dipole qui transforme l’energie electrique en chaleur (effet Joule) viades phenomenes dissipatifs (collision des electrons de conduction sur les atomes qui vibrent,les defauts, les impuretes). Elle joue un role analogue a celui des frottements dans les systemesmecaniques ; en particulier elle introduit de l’amortissement dans les circuits oscillants. Elle nepeut pas avoir un role d’amplification ; pourtant ce dipole est tres utilise en electronique commenous allons le voir dans tout ce qui suit. Pour des courants pas trop eleves, il existe une relationlineaire entre le courant I circulant de la borne A vers la borne B dans une resistance (voirfigure 2.1) et la difference de potentiel V = VA − VB appliquee aux bornes de la resistance ;cette relation s’appelle la loi d’Ohm. La loi d’Ohm traduit une propriete de volume du materiauconstituant la resistance. En un point donne du materiau, les porteurs de charge q (souvent deselectrons) sont soumis un force exterieure ~Fext due a l’application de la difference de potentielV . Il s’agit de la force de Coulomb :

Figure 2.1 – Resistance en geometrie cylindrique. Le champ electrique est uniforme et les lignes de courantsont paralleles : R = ρL/S. Les porteurs (concentration n) ont une vitesse moyenne non nulle proportionnelleau champ electrique.

~Fext = q ~E (2.2)


ou ~E est le champ electrique (unite : le Volt par metre) cree par l’application de la tension V .Pour une geometrie simple (telle que le cylindre allonge invoquee a propos de l’equation 2.1),on a simplement

E = V/L

ou L est la longueur de la resistance. Sous l’effet de cette force exterieure, en plus de leurmouvement desordonne (celui correspondant a l’equilibre thermodynamique) les porteurs sontanimes d’un mouvement d’ensemble avec une vitesse moyenne < ~v > proportionnelle a la force,donc au champ electrique. Cette relation lineaire s’ecrit :

< ~v >= µ~E

Le coefficient de proportionnalite µ s’appelle la mobilite (unite : V m2 s−1) : une grandemobilite conduit, pour un champ donne, a une vitesse moyenne elevee. Le courant electriqueI est une consequence directe de ce mouvement d’ensemble des porteurs de charge. En effet,I represente le nombre de coulombs traversant une section droite du conducteur par seconde.Considerons (voir figure 2.1) pendant un intervalle de temps δt des porteurs tous animes d’unevitesse moyenne v supposee positive et dirigee suivant l’axe Ox (parallele au champ electrique).Soit n le nombre de porteurs par unite de volume dans le conducteur et soit une section droiteS du conducteur en x = 0. Les porteurs qui vont traverser la section droite entre l’instant t = 0et l’instant t = δt, sont ceux situes dans la region x < 0 a une distance ≤ vδt de l’origine. Lenombre moyen d’electrons correspondant est donne par le produit du volume du cylindre delongueur vδt et de section droite S par la concentration de porteurs n, soit vδtSn. La chargeelectrique correspondante est obtenue en multipliant cette quantite par la charge electrique qde chacun des porteurs, soit δQ = vδtSnq. δQ represente le nombre de coulombs traversant lasection droite pendant un temps δt. Le courant I est obtenu en divisant par δt :

I =δQ

δt= vSnq = SnqµE

Afin de s’affranchir de la geometrie de la resistance il suffit de diviser cette expression parS. On obtient la densite de courant j = I/S (unite : Ampere par metre carre) :

j =I

S= nqµE (2.3)

Cette equation constitue veritablement la loi d’Ohm : la densite de courant j (amperepar metre carre) est proportionnelle au champ electrique dans un conducteur. Elle permet deretrouver l’expression plus populaire ”V = RI” de la loi d’Ohm et l’expression R = ρL/Sde la valeur d’une resistance. Dans (2.3), le coefficient de proportionnalite nqµ s’appelle laconductivite (unite : Ω−1m−1) et se note σ :

conductivite : σ = nqµ =⇒ j =I

S= σE

Par definition la conductivite est l’inverse de la resistivite intervenant dans le calcul d’uneresistance :

resistivite : ρ =1σ

=1

nqµ

Retrouvons la relation 2.1 et la loi d’Ohm usuelle. En multipliant 2.3 par L on fait apparaıtrele produit EL = V , d’ou IL/S = σEL = σV , soit encore V = I(1/σ)L/S. En utilisant ρ = 1/σon obtient comme il se doit :

V = ρL

SI = RI


Cette relation est valable en regime continu mais aussi a basse frequence. Pour des signauxvariables a basse frequence, on peut par exemple ecrire la loi d’Ohm sous la forme :

basse frequence =⇒ v(t) = Ri(t) (2.4)

Remarque : nous avons vu qu’en hyperfrequences, la notion de dipole localise peut etre re-mise en question. Supposons qu’elle soit cependant pertinente (resistance de petite taille). Mal-heureusement, d’autres phenomenes physiques viennent compliquer encore la description ! Eneffet, a ces frequences, le champ electrique ne penetre dans les conducteurs que sur une epaisseurδ appelee epaisseur de peau, d’autant plus faible que la frequence ν et que la conductivite σ sontelevees : δ = (πµσν)−1/2 ou µ est la permeabilite magnetique ( quand la frequence augmente,on passe progressivement du conducteur au guide d’onde). Il en resulte que la resistance Rdepend de la frequence dans le cas general (elle n’est plus donnee par la relation 2.1).

2.2.2 Condensateurs, capacites.

2.2.2.1 Capacite d’un condensateur plan.

Un condensateur parfait (voir figure 2.2 pour le cas des condensateurs plans) est un elementpassif qui ne dissipe pas d’energie. Il est base sur le phenomene d’influence electrique. Il estconstitue de deux plateaux conducteurs separe par un isolant. Sauf cas de claquage, aucuncourant electrique ne traverse l’isolant. En realite, une petite quantite d’energie se dissipe dansl’isolant et pour modeliser cette dissipation on utilise une resistance equivalente.

Figure 2.2 – Condensateur plan. Le champ electrique est uniforme entre les plateaux et la charge globaleest nulle (QA + QB = 0). La difference de potentiel entre les plateaux est reliee a la charge des plateaux parQA = C(VA − VB) ou C est la capacite du condensateur (en Farad).

Dans un condensateur parfait, quand on apporte des charges QA sur un des plateaux, l’autreplateau se charge avec une quantite d’electricite QB = −QA : les charges QA creent un champelectrique qui attirent les charges de signe contraire de l’autre plateau (force de Coulomb).Nous considerons maintenant le cas important en Electronique des condensateurs plans (voirfigure 2.2). Le champ electrique E cree par les 2 plateaux plans charges est uniforme entre lesplateaux (dans l’isolant). Si V = VA−VB est la difference de potentiel entre les plateau, et d ladistance entre les plateaux, on a donc E = V/d. Soit ε = εoεr la permittivite de l’isolant (εo estla permittivite du vide en Farad par metre, et εr > 1 est la permittivite relative du dielectrique,sans dimension). Le champ electrique polarise le dielectrique (cree des dipoles electriques). Onmontre que le champ electrique a la surface d’un conducteur charge situe dans le vide estE = σ/εo ou σ est la densite surfacique de charge (unite : coulomb par metre carre). Si onremplace le vide par un dielectrique, la polarisation de ce dernier affaiblit le champ (le champinduit s’oppose au champ cree par les plateaux), qui devient E = σ/ε. Si S est la surface d’un


plateau (l’aire), σA = QA/S, ce qui donne E = QA/(εS), et aussi, VA − VB = Ed = QAd/(εS)qui est la relation fondamentale pour les condensateurs plans. Elle s’ecrit :

QA = C(VA − VB) , C =εS

d(2.5)

Dans cette expression, C est la capacite du condensateur (unite : le Farad) et ε = εoεr lapermittivite de l’isolant (εo = 8.85 × 10−12 Fm−1). Contrairement au cas de l’Ohm, qui estune unite plutot petite, le Farad est une unite tres grande, surtout si on considere les capacitesutilisees en Electronique analogique. On utilise donc les µF , nF , pF et meme fF (femtoFarad). La relation 2.5 est demontree en general dans les cours d’Electrostatique. On l’appliqueen Electronique jusqu’a des frequences elevees. Comme pour les resistances, la capacite d’uncondensateur depend de la frequence a haute frequence, en particulier parce que la constantedielectrique de l’isolant en depend, et ceci peut se produire bien avant 1 GHz. A basse frequence,on peut par contre ecrire :

basses frequences =⇒ QA(t) = C (vA − vB) ⇔ Q(t) = Cv(t) (2.6)

une relation tres importante dans un cours d’Electronique analogique. Il s’agit d’une relationalgebrique dans laquelle si Q(t) represente la charge QA du plateau A, alors v(t) = vA − vB.

Remarque : On ne peut pas charger instantanement un condensateur car il faudrait pourcela un courant de charge infini. Ceci n’est jamais le cas, en particulier quand il existe desresistances dans le circuit de charge. Cette propriete est largement utilisee dans l’analyse descircuits en regime transitoire. En particulier, si le potentiel (par rapport a un potentiel dereference) d’un des plateaux varie brusquement d’une quantite ∆V , l’autre plateau voit sonpotentiel varier instantanement de la meme quantite.

2.2.2.2 Condensateurs en Electronique.

Comme pour les resistances, en Electronique les condensateurs apparaissent dans les circuitssous forme discrete ou integree.

a) Condensateurs discrets. Les condensateurs discrets se distinguent essentiellement par lanature de leur isolant qui peut etre du papier, du mica, du plastique etc... Les condensateurelectrochimiques ou electrolytiques (l’isolant est un oxyde anodique d’aluminium ; il existe aussides isolants a base d’oxyde de tantale) permettent de realiser de fortes capacites mais sont sipossible a eviter (pertes importantes ; ils peuvent etre detruits par l’application d’une tensioncontinue de mauvaise polarite). On sait realiser des condensateurs a faible perte et sur une largegamme de valeurs de capacites grace a des dielectriques a forte constante dielectrique commeles ceramiques. On peut obtenir des valeurs aussi elevees que εr = 104 avec des ceramiques destructure perovskite (celle de BaTiO3) et des condensateurs tres stables avec des ceramiques al’oxyde de titane.

b) Condensateurs integres. On peut realiser un condensateur a partir de la capacite degrille d’un transistor MOS. La capacite se compose de la grille, constituant l’un des plateauxmetallique, et de l’oxyde de grille (silice SiO2) ; l’autre plateau est constitue par le substraten semiconducteur. Toutefois, les capacites MOS dependent de la tension continue appliquee(comme une varicap) car cette tension peut faire evoluer la conductivite du substrat de silicium ;elles dependent aussi de la frequence des signaux variables appliques (voir chapitre 3). Poureviter ce comportement et se rapprocher d’une structure a 2 plateaux metalliques, on augmentela conductivite du canal en le dopant par implantation (voir chapitre 3). Une autre solutionpermettant de realiser un condensateur en technologie CMOS (voir chapitre 3) est de rajouterune etage de depot de polysilicium ce qui permet de realiser deux plateaux conducteurs. Cette


fois, l’isolant est constitue par ”l’oxyde de champ” (field oxide) situe en surface des circuitsintegres. C’est ce procede qui realise les meilleurs condensateurs integres.

Remarque : un condensateur reel peut se representer comme une capacite C ideale enparallele sur une resistance r traduisant les phenomenes dissipatifs.

2.2.3 Self

2.2.3.1 Auto-induction

Une self est un dipole base sur la loi de Lenz. Un circuit electrique parcouru par un courantelectrique variable i(t) cree un champ magnetique variable B(t) proportionnel a i(t) donc un fluxΦ(t) a travers une surface donnee proportionnel a i(t). Si cette surface s’appuie sur un circuitelectrique il en resulte une force electromotrice induite e dans le circuit proportionnelle a laderivee du flux magnetique par rapport au temps : e = −dΦ(t)/dt. Si le circuit creant le champet le circuit siege des variations de flux est le meme, on parle de phenomene d’auto-induction.D’apres ce qui precede, e est donc proportionnel a di(t)/dt. Le coefficient de proportionnalites’appelle l’inductance (la self) du circuit L (unite : le Henri) :

e = −Ldi

dt

Figure 2.3 – Schema d’une self (bobine d’auto induction). Les variations de courant creent une variation deflux qui cree une force electromotrice induite e = −Ldi/dt ou L en Henri est l’inductance de la self.

Le signe negatif dans cette expression rappelle simplement que la force electromotrice in-duite s’oppose au phenomene qui lui donne naissance (comme nous n’avons pas defini lesconventions de signe ni pour le courant ni pour la f.e.m induite, ce signe n’a pas grande si-gnification pour un circuit electrique !). Plus precisement, sur le plan des circuits electriques(voir figure 2.3), on cherche la relation algebrique entre la tension v(t) aux bornes d’une self etle courant i(t). Si un dipole AB est une self pure, si le sens conventionnel du courant i(t) estoriente de A vers B, et si v(t) = vA − vB, on a :

v = Ldi

dt= −e (2.7)

Le schema equivalent d’une self comporte toujours une resistance en serie avec la self,traduisant les pertes par effet joule. A tres haute frequence des couplages capacitifs peuventintervenir.

2.2.3.2 Selfs en electronique.

La representation que l’on se fait d’une self est celle d’un solenoıde (bobine d’induction).Cette structure se prete assez mal a l’electronique, particulierement l’electronique integree.


Aujourd’hui, on cherche donc plutot a eviter d’utiliser les selfs en Electronique. Nous verronsqu’a basse frequence ceci est possible grace a des montages tels que le convertisseur d’impedancenegative. A haute frequence, les selfs peuvent devenir indispensables (nous presenterons parexemple l’oscillateur a quartz dans le chapitre 9 qui utilise un cristal permettant de simulerune self). On sait d’autre part fabriquer des selfs de tres petites dimensions. De plus on saitfabriquer des selfs dont la valeur est commandee par une action exterieure. Enfin, en raisond’effets parasites, les selfs existent dans les schemas equivalents des circuits electroniques dansle domaine microonde (f & 30 GHz).

2.2.4 Conclusion.

Pour des resistances, selfs et condensateurs ideaux, nous avons montre qu’il existe unerelation lineaire entre les courants et les tensions.

a) Pour les resistances, la relation vR(t) = Ri(t) est a l’evidence lineaire.b) Pour les condensateurs, la relation Q(t) = CvC(t) est egalement lineaire. La relation

entre le courant et la tension s’obtient en ecrivant que la charge d’un plateau est donnee parl’integrale du courant dans le temps : Q(t) =

∫ ti(t′)dt′ (la borne d’integration inferieure depend

des conditions initiales). On obtient :

vC(t) =1C

∫ t

i(t′)dt′

Cette relation est lineaire car la transformation i → λi conduit a vC → λvC . Reciproquement,par derivation par rapport au temps de la relation Q(t) = CvC(t) on obtient :

i(t) = CdvC

dt

c) D’apres ce qui precede, la relation liant le courant et la tension dans une self ideale estlineaire :

vL(t) = Ldi

dt

2.3 Impedances

2.3.1 Introduction.

Figure 2.4 – Circuit serie resonant. La resistance dissipe l’energie electrique. La self et le condensateurne dissipent pas d’energie mais s’echangent de l’energie, formant un resonateur. En regime harmonique il y aresonance quand la frequence excitatrice est egale a la frequence de resonance du systeme L− C.

2.3. IMPEDANCES 9

Considerons (voir figure 2.4) un dipole AB constitue par la mise en serie d’une resistanceR, d’une self L et d’un condensateur C. Soit e(t) = vA− vB la tension aux bornes de ce dipole.D’apres le paragraphe precedent,

e(t) = vR(t) + vC(t) + vL(t) = Ri(t) +1C

∫ t

i(t′)dt′ + Ldi

dt(2.8)

Cette equation est une equation lineaire integro-differentielle. Connaissant la fonction e(t),on sait resoudre (au pire numeriquement) une telle equation : le changement de variable i(t) =dQ(t)/dt ramene l’equation a une equation lineaire du second ordre en Q(t) a coefficientsconstants. On sait que la solution generale est obtenue en faisant la somme d’une solutionparticuliere de l’equation et de la solution generale de l’equation correspondant a e(t) = 0(equation dite ”sans second membre”). Cette derniere solution correspond au comportement ducircuit serie sans apport d’energie (oscillations libres). En raison de la presence de la resistance,qui dissipe de l’energie par effet Joule, l’energie tend necessairement vers zero quand le tempss’ecoule. Un ordre de grandeur du temps necessaire pour dissiper une partie importante del’energie est par exemple donne la constante de temps RC. Compte tenu des ordres de grandeuren Electronique, cette constante de temps est en general petite a l’echelle de la seconde (parexemple, R = 10 kΩ et C = 10nF donne RC = 10−4s). Aux temps longs devant RC, la solutiongenerale de l’equation sans second membre devient donc negligeable. Elle correspond a ce quel’on appelle un regime transitoire. Ne subsiste donc que la solution particuliere de l’equationqui est dictee par l’excitation ”exterieure” e(t). Dans le cas particulier ou e(t) est periodique, depulsation ω = 2π/T , on peut decomposer e(t) comme un somme

∑ei(t) de signaux sinusoıdaux

de pulsations ω, .. i × ω etc.. Comme l’equation est lineaire, on peut resoudre le probleme encherchant la reponse du circuit, successivement pour chacune des sources sinusoıdales ei(t), puisen faisant la somme des solutions trouvees. On se ramene donc a la recherche du comportementdu circuit en regime sinusoıdal (on dit aussi harmonique) :

e(t) = EMcos(ωt + ϕe)

On montre facilement que la solution particuliere de l’equation (Q(t) ou i(t)) est egalementsinusoıdale, avec la meme pulsation ω ; seule change l’amplitude et la phase : la forme generaledes solutions est Acos(ωt + ϕ). Ainsi, chacune des tensions vR, vC et vL est sinusoıdale :

vR(t) = VRMcos(ωt + ϕR)vC(t) = VCMcos(ωt + ϕC)vL(t) = VLMcos(ωt + ϕL)

On peut representer ces tensions par des vecteurs du plan OxOy dont la longueur est egale al’amplitude et faisant avec l’axe Ox un angle θ = ωt + ϕ egal a l’argument du cosinus. Cetterepresentation s’appelle la representation de Fresnel. Dans cette representation, la valeur destensions est donnee par la projection des vecteurs sur l’axe Ox. e(t) est represente par unvecteur egal a la somme des vecteurs associes aux tensions vR, vC et vL. Plutot que d’utilisercette representation purement geometrique, on peut utiliser les nombres complexes. Il s’agitde refaire exactement la meme chose que dans la representation de Fresnel, mais avec unformalisme purement algebrique. Cette approche conduit a la notion d’impedance complexe.

Remarque : on peut etendre la notion d’impedance au cas des regimes non harmoniquesgrace a la transformee de Laplace. Cet aspect est detaille dans les cours de Theorie du Signal.On note Z(p) ou Z(s) les impedances generalisees associees. Le lien avec les impedances enregime harmonique est obtenu en posant p = jω (voir aussi 8.2.7.


2.3.2 Amplitude complexe, impedance complexe.

En introduisant la notion d’impedance, le but est, une fois eteint le regime transitoire,de remplacer l’equation integro-differentielle 2.8 par une equation algebrique sur le corps decomplexes C. On definit l’amplitude complexe V associe a une tension sinusoıdale VMcos(ωt +ϕV ) (ou I associe a un courant IMcos(ωt + ϕI)) de la maniere suivante (Re signifie ”partiereelle de”) :

V = VMejϕV (2.9)

Le lien entre V et v(t) est donne par :

v(t) = Re

[V ejωt

](2.10)

Pour les courants : I = IMejϕI

i(t) = Re

[Iejωt

] (2.11)

La question est maintenant de savoir comment associer une amplitude complexe a unederivee ou une primitive. On peut s’y prendre de deux facons. En derivant 2.10 par rapport autemps on obtient :

dv(t)dt

= Re

[jωV ejωt

]= Re

[(dV

dt

)ejωt

]

Il en resulte que deriver par rapport au temps revient a multiplier les amplitudes complexespar jω :

d

dt=⇒ ×jω (2.12)

De facon analogue, integrer par rapport au temps revient a diviser par jω :∫

dt =⇒ × 1jω

(2.13)

On peut retrouver ce resultat en derivant ou integrant directement v(t) = VMcos(ωt+ϕV ).En effet, dv(t)

dt = −ωVMsin(ωt + ϕV ) que l’on peut ecrire dv(t)dt = ωVMcos(ωt + ϕV + π

2 ). Ainsi,deriver v(t) par rapport au temps revient a multiplier son amplitude par ω et a rajouter π

2 asa phase. Or d’apres la definition 2.9, rajouter π/2 a la phase revient a multiplier l’amplitudecomplexe par ejπ/2 qui est egal a j. La multiplication par jω prevue par 2.12 effectue bien ces2 actions, de maniere tres compacte.

Ayant ces regles sur la derivation et l’integration, on peut maintenant remplacer l’equationintegro-differentielle 2.8 par une equation sur les amplitudes complexes. On obtient l’equationlineaire suivante reliant les amplitudes complexes associees au courant et a la tension excita-trice :

EM = VR + VC + VL = RI +1

jCωI + jLωI =

(R +

1jCω

+ jLω

)I = Z(jω)I

Cette equation fait apparaıtre un nombre complexe Z homogene a une resistance (en Ω)que l’on appelle l’impedance complexe du dipole AB :

Z =EM

I= R +

1jCω

+ jLω

2.4. SIGNAUX, THEOREMES POUR LES CIRCUITS LINEAIRES. 11

Elle fait egalement apparaıtre les impedances de la resistance, self et capacite constituant ledipole serie. Enfin elle fait apparaıtre la regle de composition des impedances pour un circuiten serie : les impedances s’ajoutent. En resume :

ZR = RZC = 1

jCω

ZL = jLω

(2.14)

et :Circuit serie : Z =

∑

i

Zi (2.15)

En particulier, l’expression des impedances ZC = 1jCω et ZL = jLω nous enseigne que aux

bornes d’un condensateur (VC = ZCI), la tension vC(t) presente un retard de phase de π/2par rapport au courant, et qu’au contraire, la tension est en avance de π/2 sur le courant dansune self. D’autre part, pour les frequences elevees, l’impedance d’une capacite tend vers zero(court circuit). A frequence nulle, l’impedance est infinie traduisant le fait qu’on ne peut pasfaire passer de courant dans l’isolant. A frequence non nulle, le courant i(t) correspond a uncourant de charge ou de decharge des plateaux (et non a un courant dans l’isolant !). Pour lafrequence ωo telle que 1

Cωo= Lωo, ZC + ZL = 0 et Z = R. Pour cette pulsation, le courant

et la tension sont donc en phase, et l’amplitude du courant est maximum : fo = ωo/2π est lafrequence de resonance du dipole AB.

Dans le cas general, on peut ecrire :

V = VMejϕV

I = IMejϕI

V = ZI ⇔ Z = VI

= VMIM

ej(ϕV −ϕI )

L’impedance Z d’un dipole renseigne donc a la fois sur le rapport des amplitudes de latension et du courant (via son module), mais aussi sur le dephasage entre la tension et lecourant (via son argument) : |Z| = VM

IM

Arg(Z) = ϕV − ϕI

Connaissant l’amplitude et la phase de la tension appliquee, le calcul de l’impedance permetde determiner l’amplitude IM = VM/ |Z| et la phase ϕI = ϕV −Arg(Z) du courant.

Pour les circuits presentant des branches en parallele, il est interessant de pouvoir sommerles courants. On prefere donc utiliser le relation V = ZI sous la forme I = 1

Z V et on definit :

admittance : Y =1Z

=I

V

d’ou la regle :branches en parallele : Y =

∑

i

Yi

2.4 Signaux, theoremes pour les circuits lineaires.

2.4.1 Signaux

En Electronique, la forme des signaux v(t) ou i(t) peut etre tres variee. Nous avons insistejusqu’ici sur le cas particulier des signaux constants et des signaux periodiques, plus parti-culierement sinusoıdaux, mais ceci est loin d’epuiser toutes les formes possibles. Citons par


exemple les echelons : la grandeur est un niveau constant changeant brusquement de valeur aun instant precis. Une autre forme possible est l’impulsion, de duree plus ou moins breve, etde forme diverse (carree, triangulaire, de type gaussien, exponentiel etc...). Il peut s’agir aussid’un signal de forme imprevisible (par exemple dans le domaine medical ou sismique) que l’onse propose d’echantillonner et de convertir a l’aide d’un ADC. Citons pour terminer l’exempled’un signal audio module en frequence.

2.4.1.1 Impulsions.

Figure 2.5 – Impulsion electrique : temps de montee, temps de descente.

Nous avons vu dans l’introduction que comme pour les circuits numeriques, les circuitsanalogiques peuvent vehiculer des impulsions. La figure 2.5 represente une impulsion typique.L’amplitude de l’impulsion et sa duree sont des grandeurs interessantes, mais aussi ses temps demontee (rise time tr) et de descente (fall time tf ). Ces fronts peuvent par exemple correspondrea l’arrivee d’un signal sur un capteur : de faibles valeurs de tr ou tf conferent une bonneresolution en temps au systeme electronique.

2.4.1.2 Signaux periodiques.

Pour un signal periodique s(t), il existe une periode T (donc une frequence f = 1/T ) telleque s(t + T ) = s(t). Par contre, la forme de s(t) sur une periode peut etre quelconque. Letheoreme de Fourier permet de decomposer s(t) periodique comme une somme de signauxsinusoıdaux. Dans le cas general :

s(t) = Ao +∞∑

n=1

(Ancos(nωt) + Bnsin(nωt)) (2.16)

ou ω = 2π/T est une pulsation (en radian par seconde). L’indice n = 1 correspond au ”fonda-mental”, qui oscille a la meme frequence que le signal periodique, et n > 1 aux harmoniques.Un son ”riche” comporte de nombreuses harmoniques (les amplitudes correspondantes An ouBn restent importantes pour des valeurs elevees de n).

Le signal periodique de forme carree dont on dispose sur les generateurs basses frequences,comporte necessairement des composantes a tres haute frequence : les flancs de montee etde descente correspondent a des variations extremement rapides de la tension. La figure 2.6represente des signaux carres periodiques. Dans le cas general, la duree tH de la partie haute


Figure 2.6 – Signaux carres avec divers raports cycliques.

n’est pas egale a la duree tL de la partie basse. On appelle rapport cyclique (duty cycle) laquantite

r =tH

tH + tL

Quand tL = tH , la decomposition de Fourier du signal carre periodique est particulierementsimple. Pour un signal centre autour de l’origine (fonction impaire), de valeur moyenne nulleet d’amplitude crete a crete 2VM (voir figure 2.6) la decomposition s’ecrit :

Signal carre : s(t) =4VM

π

[sin(ωt) +

13sin(3ωt) + ... +

12n + 1

sin((2n + 1)ωt) + ...

]

(2.17)expression qui fait apparaıtre, comme annonce, une decroissante tres lente de l’amplitude desharmoniques (decroissance en 1/n).

Suivant les cas il peut etre interessant de traiter les signaux carres dans les circuits lineairescomme le somme 2.17 (application du principe de superposition), ou par un calcul du regimetransitoire en resolvant directement les equations differentielles, ou par utilisation de la trans-formee de Laplace.

2.4.2 Dipoles, quadripoles, fonction de transfert.

2.4.2.1 Dipoles

Les objets elementaires des circuits electriques sont les dipoles. Il s’agit de dispositifs com-portant 2 bornes (electrodes) A et B. Il existe deux grandes categories de dipoles : les dipolespassifs, qui ne produisent pas d’energie, et les dipoles actifs (les sources) qui apportent del’energie au signal : ces dipoles sont des sources (voir ci-dessous).

Pour un dipole on peut definir 2 grandeurs electriques : la difference de potentiel (tension)entre ses bornes v = vA−vB et le courant electrique i qui le traverse. Les 2 grandeurs electriquesv et i sont algebriques et elles ne sont pas independantes. Si la tension est definie par v = vA−vB,il est en general plus simple de definir le sens conventionnel du courant de A vers B (si le couranti(t) circule effectivement dans ce sens a l’instant t, i(t) est positif). Ayant choisi cette convention(voir figure 2.7), l’ecriture de la relation entre le courant et la tension dans les dipoles passifss’en trouve simplifiee : v = Ri (et non v = −Ri) pour une resistance, v = Ldi/dt pour une self,ou V = ZI en representation complexe (cas du regime harmonique) etc... Dans le cas particulierdes sources ideales (voir ci-dessous) le courant et la tension sont des grandeurs independantes.


Figure 2.7 – Dipole quelconque AB : convention de signes pour la tension et le courant.

2.4.2.2 Quadripoles

Figure 2.8 – Quadripole : defintion des grandeurs d’entree et de sortie (convention des electroniciens : lescourants rentrent dans le quadripole)

Le quadripole est un circuit electrique comportant 4 bornes (electrodes), voir figure 2.8. As-sez souvent, 2 de ses bornes sont communes de sorte que le nombre effectif d’electrodes est reduita 3. Il est l’element de base de l’Electronique : un amplificateur, un filtre, sont des quadripoles. Ilest constitue de dipoles en nombre plus ou moins grand qui peuvent eventuellement eux-memeetre groupes sous forme de quadripoles. Dans un quadripole, on regroupe les electrodes en 2groupes de 2 que l’on appelle les bornes d’entree et les bornes de sortie. Vis a vis de l’exterieurdu quadripole, on peut definir 4 grandeurs electriques : les courants d’entree et de sortie et lestensions d’entree et de sortie. Il existe plusieurs conventions pour definir ces grandeurs. Nousadoptons celle des electronicien (voir figure 2.8). On definit tout d’abord les tension d’entree etde sortie, ve et vs. Ceci definit les bornes ”+” d’entree et de sortie. Par convention le courantd’entree ie est le courant qui entre par la borne ”+” d’entree et le courant de sortie is estle courant qui entre par la borne ”+” de sortie (bien entendu, si a l’instant t le courant desortie sort par la borne sortie, alors is(t) < 0). Nous ne developperons pas plus la theorie desquadripoles : elle fait l’objet du chapitre 4.

2.4.2.3 Fonction de transfert.

Pour un quadripole lineaire fonctionnant en regime sinusoıdal on definit la fonction detransfert T (ω) comme

T (ω) =Vs

Ve

(2.18)


ou Vs et Ve sont les amplitudes complexes associees aux tensions de sortie et d’entree vs(t)et ve(t). T (ω) est donc a priori un nombre complexe dont l’argument represente le dephasageentre la sortie et l’entree :

T (ω) = |T (ω)| exp(jφ)φ = φs − φe

Le module de la fonction de transfert renseigne sur l’amplification en tension du quadripole (ausens large). Plutot que de representer les variations de ce module en fonction de la frequencef = 2π/ω on prefere souvent representer le gain en decibel correspondant, construit a l’aidedes logarithmes decimaux :

GV dB = 20 log10 T (f) (2.19)

2.4.2.4 Frequence de coupure.

Figure 2.9 – Representation de Bode des fonctions de transfert. A droite : gain en decibel. L’echelle desfrequences est logarithmique. Les frequences de coupure limitant un plateau correspondent a une variation de 3dB du gain. Par extension, des frequences de coupure peuvent aussi correspondre a des ruptures de pente de lacourbe de gain.

Dans le cas general, le gain GV dB associe a un quadripole lineaire varie avec la frequence.Dans certains cas ses variations se presentent sous forme d’un ou plusieurs plateaux (correspon-dant a des variations tres faibles) et de zones a variation plus rapide. Les transitions entre cesregions definissent des frequences de coupure. La representation de Bode est largement utiliseepour representer l’evolution de la fonction de transfert (module et argument) en fonction de lafrequence. L’echelle de frequence (voir figure 2.9) est une echelle logarithmique (une successionde decades). La courbe de gain GV dB fait apparaıtre les frequences de coupure. Par definitionelles correspondent (voir figure 2.9) a une variation de 3 dB du gain par rapport au gain desplateaux. On note que l’echelle verticale est une echelle lineaire representant le logarithme de|T (ω)| alors que l’echelle horizontale est une echelle logarithmique representant la frequence (cequi peut entraıner quelques confusions !). On note egalement qu’une frequence de coupure peutmarquer la fin d’un plateau (on parle dans ce cas de frequence de coupure a −3 dB) ou parextension, une rupture de pente. Souvent, la pente des regions a variation rapide correspond aune dependance polynomiale simple de T avec ω. C’est la cas par exemple des filtres du pre-mier ordre ou on observe des dependances en 1/ω. Plus generalement, pour les filtres d’ordren (second, troisieme ordre etc...) les pentes sont en ω±n. Reprenant la definition 2.19 du gainen decibel, on obtient un comportement en ±20 × n log10 f . Comme l’echelle des frequencesest logarithmique en representation de Bode, la courbe correspondante est une droite. Pour


une decade, c’est a dire pour une frequence passant de la valeur f a 10 × f , le terme log10 faugmente de 1 et la variation correspondante du gain est ±20× n dB. On resume ceci sous laforme :

|T (ω)| ∝ ω±n =⇒ pente = (±20× n) dB/decade

Exemple : le gain d’un filtre passe bas du second ordre (n = −2) presente une asymptotede pente -40 dB/decade au dela de sa frequence de coupure haute (voir chapitre 8).

2.4.3 sources ideales

Les signaux electriques peuvent etre crees de multiples manieres : un oscillateur, une pile,via une antenne, ou pour le bruit, via le comportement des porteurs a l’echelle microscopique.Pour modeliser les dispositifs produisant des signaux electriques, on utilise la notion de sourcede tension ou de courant et en particulier celle de source ideale.

Figure 2.10 – Source ideale de tension (diverses representations symboliques).

a) Une source ideale de tension est un dipole qui fournit une tension e (ou E) bien definie(constante, sinusoıdale EMcos(ωt) etc..) independante du courant i qui la traverse et plusgeneralement independante du comportement du circuit dans lequel elle est impliquee. Il existediverses representations pour les sources ideales de tension (voir figure 2.10), suivant que latension delivree est constante, sinusoıdale, quelconque. L’important dans ces representation estd’eviter des confusions avec les sources de courant et d’autre part de bien preciser la polarite(par une fleche ou des signes + et -).

Dans les circuits electroniques on rencontre 2 types de sources ideales de tension : les sourcesindependantes et les sources liees. Les sources independantes correspondent physiquement a desdispositifs electroniques ou non (generateurs BF, oscillateur, pile) sur lesquels il n’existe pasd’action significative du circuit dans lequel ils sont impliques. Pour les sources liees, la situationest inverse. Ces sources ne correspondent pas a un dispositif physique bien identifie. Elles sont enfait utilisees pour modeliser le comportement de certaines parties d’un dispositif electronique,particulierement celui des composants actifs (transistors). Ainsi, la tension e aux bornes d’unesource liee depend du courant i ou d’une tension v dans certaines parties du circuit considere(dans la pratique e est simplement proportionnel a ce courant ou cette tension). L’utilisationde sources liees est tres utile pour etudier la reponse des circuits. Toutefois, leur presence dansun circuit complique l’application des theoremes generaux relatifs aux circuits lineaires (voirplus loin).

Les dispositifs creant des tensions dans les circuits ne sont pas ideaux. Il est en generalpossible de modeliser leur comportement electrique a l’aide d’une source de tension idealecouplee en serie avec une resistance (par exemple la resistance interne d’une pile electrique) ouplus generalement une impedance (voir figure 2.11).


Figure 2.11 – Differents schemas equivalents d’une source reelle de tension (regime continu, harmonique...).

Figure 2.12 – Differentes representations symboliques d’une source ideale de courant. Schema equivalentpour une source reelle de courant (cas purement resistif).

b) Une source ideale de courant est un dipole qui fournit un courant i (ou I) bien defini(continu, sinusoıdal IMcos(ωt) etc..) quelque soit la tension a ses bornes et plus generalementindependant du comportement du circuit dans lequel elle est impliquee. La figure 2.12 presentedifferentes representations des sources de courant dans les circuits electroniques. Il existe desnormes en Europe pour representer les sources ideales. Notons toutefois qu’elles ne sont pastoujours appliquees en Europe et que d’autre part ces normes sont meconnues dans les deuxplus grands pays producteurs de circuits electroniques, les Etats Unis et le Japon !

Contrairement aux sources de tension (piles, batteries de voiture, generateur BF...) iln’existe pas de sources de courant dans la vie ”courante”. La notion de source de courantest un pur produit de l’Electronique. On sait en effet realiser de telles sources a l’aide de com-posants actifs (voir par exemples les sources a miroir de courant dans l’etage d’entree differentieldes amplificateurs operationnels, chapitre 5 ). D’autre part, et plus encore que pour les sourcesideales de tension, on utilise les sources de courant pour modeliser les composants actifs.

Comme pour les sources de tension, on rencontre dans les circuits electroniques des sourcesde courant independantes et des sources liees, c’est a dire dont le courant i depend du courantou de la tension dans certaines parties du circuit dans lequel elles sont impliquees. Enfin, pourrepresenter une source de courant non ideale on peut utiliser une source ideale de courant enparallele sur une impedance.

2.4.4 Theoremes pour les circuits

Nous seront ici assez bref (ces theoremes sont largement developpes en premier cycle).Commencons tout d’abord par rappeler la loi des noeuds et des branches, valables pour uncircuit quelconque.


2.4.4.1 Lois generales

Figure 2.13 – Illustration de la loi d’additivite des tensions pour des dipoles en serie.

a) Mise en serie : Une branche est un dipole constitue par la mise en serie de plusieursdipoles. Soit une branche AB (voir figure 2.13). La difference de potentiel v = vA − vB auxbornes du dipole est obtenu en sommant les differences de potentiel aux bornes de chacundes dipoles le constituant. Si le dipole AB est constitue des dipoles AC, CD et DB, cettepropriete, appelee loi des branches, est une evidence mathematique (elle ne fait interveniraucune hypothese sur les proprietes du circuit) :

vA − vB = (vA − vC) + (vC − vD) + (vD − vB)

b) Loi des noeuds : un noeud est une portion de circuit passif ayant une resistance, self,capacite negligeable (typiquement un noeud est constitue par un bon conducteur metallique) etrealisant la jonction entre plusieurs branches. Ayant une capacite negligeable, un noeud ne peutpas accumuler de charges electriques ; les charges doivent donc s’evacuer dans les differentesbranches reliees au noeud : toute les charges qui arrivent doivent repartir. En considerant l’unitede temps, on transforme ce bilan sur les charges en un bilan sur les courants : la somme descourants qui arrivent est egale a la somme des courants qui partent. Les courants etant desnombres algebriques dont on ne connaıt pas a priori le signe, les courants qui arrivent sont enfait les courants dont on a defini le sens conventionnel de circulation convergeant vers le noeud(un courant qui part a son sens conventionnel s’ecartant du noeud) :

loi des noeud :∑

iarrive =∑

ipart

2.4.4.2 Theoremes pour les circuits lineaires

a) Theoreme de MillmanLa resolution systematique des circuits a l’aide de la loi des noeuds et des branches est

rapidement fastidieuse et peu instructive. Il existe aujourd’hui des logiciels permettant deresoudre les problemes de circuits. Il est donc recommande d’utiliser ces logiciels (le plus connuest SPICE) dans les cas complexes. Dans les cas simples, il n’est pas tres astucieux de multiplierle nombre des variables. Ainsi, on peut ecrire la loi des noeuds sans faire intervenir explicitementles courants, c’est a dire en travaillant uniquement sur les tensions. Ce procede s’appelle leTheoreme de Millman. Il est illustre sur la figure 2.14 representant une portion de circuitlineaire fonctionnant en regime harmonique. Sur cette figure, 3 branches sont reliees entreelles au noeud N . On connaıt les impedances Z1, Z2, et Z3 de ces branches (ou dipoles).Les amplitudes complexes associees aux tensions et aux courants sont reliees par les relationslineaires Vi = ZiIi (i = 1, 2, 3), donc egalement : Ii = Vi/Zi = ViYi. Compte tenu du sensconventionnel choisi pour les courants (i1 et i3 arrivent et i2 part), la loi des noeuds s’ecrit


Figure 2.14 – Illustration de la loi des noeuds pour un circuit lineaire. Theoreme de Millman.

i1 − i2 + i3 = 0, soit pour les amplitudes complexes, I1 − I2 + I3 = 0 et donc, en exprimant lescourants a l’aide des tensions :

loi des noeuds =⇒ V1

Z1− V2

Z2+

V3

Z3= 0 (2.20)

Il existe une maniere plus simple et plus systematique d’ecrire la loi des noeuds en N . Elleconsiste a considerer le potentiel en N comme un potentiel de reference, et donc a ecrire toutesles tensions sous la forme VA − VN , VB − VN etc.., de sorte que les courants correspondantconvergent tous vers N : leur somme est donc nulle. On obtient : (VA−VN )Y1 +(VB−VN )Y2 +(VC − VN )Y3 = 0, soit apres rearangement :

VN (Y1 + Y2 + Y3) = Y1VA + Y2VB + Y3VC (2.21)

La relation 2.21 constitue le theoreme de Millman. Elle se generalise facilement au cas den branches. Elle apporte en general une grande simplification dans la resolution des problemesde circuits dont certains noeuds possedent plus de 2 branches.

Remarque : Cette relation est difficilement utilisable dans l’hypothese de signaux de formequelconque (via Z(p)), sauf dans l’hypothese de resistances pures puisque la relation i(t) =v(t)/R est valable dans tous les cas.

Figure 2.15 – Dipole lineaire AB : application du Theoreme de Thevenin.


b) Theoremes de Thevenin et de Norton.On considere toujours des circuits lineaires. On prend comme ci-dessus l’exemple du regime

sinusoıdal (avec bien sur comme cas particulier la frequence nulle, donc le courant continu) pourutiliser la notion d’impedance complexe. On considere un circuit lineaire complexe comportantdes elements passifs et actifs. On isole 2 noeuds A et B et on enferme tout le reste du circuitdans une ”boite noire” (voir figure 2.15). La question est de savoir quel est le comportement dece dipole vu de l’exterieur. En particulier on cherche comment varie la tension VA − VB quandon branche un circuit exterieur en parallele sur AB en fonction du courant debite i dans cecircuit. On montre que si le circuit dans la boite noire est lineaire, alors la relation cherchee estlineaire : si i = 0 (circuit ouvert), la tension est (VA − VB)O ; si le courant debite est non nul,la tension devient VA − VB = (VA − VB)O −ZThI ou ZTh est homogene a une impedance. Onpeut donc modeliser ce comportement vis a vis de l’exterieur a l’aide d’une seule source idealede tension ETh = (VA − VB)O en serie avec une impedance ZTh (voir figure 2.15). Ce resultatconstitue la premiere partie Theoreme de Thevenin.

La question est maintenant de determiner par le calcul les 2 elements ETh et ZTh duschema equivalent. La determination de ETh ne pose pas de probleme (si ce n’est des calculscompliques) : par definition on calcule la difference de potentiel (VA − VB)O entre A et B sansmodifier le circuit (les 2 bornes de la boite noire sont au depart non connectees a un circuitexterieur). La question se complique pour le calcul de ZTh quand dans la boite noire il existedes sources liees. Supposons pour l’instant qu’il n’y ait que des sources independantes :

α) Si le dipole AB ne possede que des sources independantes, pour calculer ZTh on calculel’impedance entre A et B apres avoir eteint les sources. Pour eteindre une source de tensionon la court-circuite et pour eteindre une source de courant on ouvre le circuit dans la brancheconcernee (les nouvelles representations europeennes normalisees rappellent symboliquementces actions).

β) Si le dipole AB possede des sources liees, il ne faut pas eteindre ces sources pour calculerZTh. Sinon, la demarche est la meme qu’en α).

Figure 2.16 – Dipole lineaire AB : application du Theoreme de Norton.

Remarque : considerons une boite noire (dipole AB, voir figure 2.16) contenant une sourceideale de courant IN en parallele sur une impedance ZN (une admittance YN = 1/ZN ). Cecircuit modelise une source reelle de courant. Faisons debiter le dipole dans un circuit exterieur.Soit I le courant debite. Si V est la difference de potentiel aux bornes du dipole (amplitudecomplexe associee a vA − vB), le courant debite par le dipole est I = IN − YNV . Appliquonsle Theoreme de Thevenin. En circuit ouvert, un courant IN circule dans l’admittance YN etdonc ETh = ZNIN . Le calcul de ZTh est aussi simple : la source de courant etant eteinte, ilne reste plus dans le circuit que l’admittance YN = 1/ZN et donc : ZTh = ZN = 1/YN . Pour


les dipoles complexes lineaires on peut donc tres simplement passer d’une representation detype source de tension reelle a une representation de type source de courant reelle, constitueed’une source ideale de courant IN en parallele sur une admittance Y N . Cette formulation duTheoreme de Thevenin porte le nom de Theoreme de Norton. D’apres ce qui precede, l’enoncede ce theoreme est le suivant :

- On peut remplacer un circuit lineaire complexe par une source ideale de courant IN enparallele sur un admittance YN .

- l’admittance Y N se calcule comme dans le Theoreme de Thevenin : YN = 1/ZTh.- le courant IN dans la source ideale est egal au courant qui circulerait si on etablissait

un court circuit a l’exterieur du dipole, entre A et B. En effet, en representation Thevenin, cecourant de court circuit est egal a ETh/Zth qui est egal a IN d’apres ce qui precede.

c) Theoreme de superposition pour les circuits lineaires.Dans les circuits electroniques, on a affaire dans le cas general a un melange de composants

lineaires (resistances, condensateurs) et non lineaires (diodes, transistors).Considerons tout d’abord le cas des circuits purement lineaires dans lesquels agissent un

certain nombre de sources independantes Sk. La resolution du circuit consiste a determiner lesdifferents courants in et tensions vn dans les differentes branches (indicees par n) du circuit, enfonction des sources excitatrices Sk (sources ideales de tension et sources ideales de courant).En raison de la linearite des equations associees aux circuits lineaires, les courants et tensionsdans les branches sont la somme des tensions vnk et courants ink provoques par chacune dessources Sk, les autres etant eteintes :

Sk → vnk =⇒ vn =

∑k vnk

Sk → ink =⇒ in =∑

k ink

Ce resultat est general, quelque soit la forme des signaux produits par les sources. Si onprend le cas particulier d’une resistance R, si la source S1 seule produit une tension v1 et doncun courant i1 = v1/R et la source S2 seule une tension v2 et un courant i2 = v2/R, les deuxsources agissant ensemble produisent une tension v1 + v2 et un courant i1 + i2 = (v1 + v2)/R.

Considerons maintenant le cas des composants non lineaires comme les transistors ou lesdiodes. Le principe de superposition ne s’applique plus. Considerons cependant un composantnon lineaire soumis a l’action de deux sources, So et S. La premiere, So = E est une source detension continue. Elle permet quand elle fonctionne seule d’imposer au composant un certainpoint de fonctionnement (ou de repos). Dans les branches indicees par n les courants et tensionssont Von et Ion. La seconde source est une source S(t) dont l’action sur le composant est defaible amplitude par rapport a celle correspondant a So. Au lieu d’eteindre So pour determinerl’action de S seule, on conserve au contraire So allumee et on lui superpose l’action de S, cequi a pour effet de faire fluctuer les courants in et les tensions vn autour de Ion et Von. Si cesfluctuations sont faibles, il est possible de lineariser le comportement du composant non lineaireautour du point de repos. Cette demarche est analogue a celle qui consiste a developper aupremier ordre une fonction non lineaire f(x) au voisinage de xo : f(x) ' f(xo)+(x−xo)f

′(xo).

Les tensions et courants en presence des deux sources prennent la forme Von + vn et Ion + in,expressions dans lesquelles la somme ne correspond pas a une propriete lineaire. Par contre, sion modifie l’amplitude des signaux fournis par S, les fluctuations vn et in suivent lineairementces modifications. Nous reviendrons sur cette importante question dans les chapitres 3 et 5.

Electronique Analogique (36ESEL36) -...

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