ELECTRODYNAMIQUEVARIATIONS CLASSIQUES

SUR UN THEME QUANTIQUE

Un sujet d’examen de théorie quantique des champs8 janvier , 14 heures

D.E.A. de CHAMPS, PARTICULES, MATIERES — PARIS 7

Ces quelques considérations classiques — dans au moins deux sens de l’adjec-tif — sur le thème du rayonnement dans le cadre de l’électrodynamique quantiquerépondront peut-être à quelques unes des questions que tout un chacun se poseplus souvent qu’il n’ose l’exprimer. Autrement dit, existe t-il des états du champélectromagnétique (quantique) dans lesquels les grandeurs physiques (du champquantique) auraient un comportement quasi classique, à savoir une valeur moyenneévoluant classiquement, et une dispersion aussi menue que désirée ?

Vous aurez sans doute à vous remémorer quelques souvenirs d’électrody-namique classique faisant partie du patrimoine culturel, et les calculs quoiqueabondants, n’excèdent pas les techniques de la 〈〈mécanique 〉〉 quantique ordinaire(il n’y a pas de relativité). Votre rédaction personnelle doit être grâcieusementremise à Jacqueline Dufournet avant le vendredi 10 janvier, 16 heures dernier délai.Pour le reste, vous pouvez travailler comme vous l’entendez, ce qui ne m’interditnullement de proférer quelques avis :• N’hésitez pas à recourir aux catalogues du commerce lorsque vous avez besoin

d’une formule d’analyse ou d’arithmétique.• Des erreurs absolument involontaires ont pu se glisser dans l’énoncé qui suit.

Ne restez pas esclaves du texte.• Votre aptitude à trouver de bonnes sources est une forme de compétence

(après tout, il n’y aura ici rien de bien nouveau ; une partie des questionstraitées remonte à Schrödinger, en ), mais le bon usage voudrait que l’onn’omette pas de citer celles-ci.

• Efforcez vous de parvenir à une rédaction claire, concise et originale. Vousconcevrez que les exigences du lecteur sous ce rapport ne sont pas les mêmesque lors d’une épreuve en temps plus limité. Tout ce qui peut troublerl’assoupissement dudit lecteur est souhaitable.

• Si vous travaillez en équipe, que ce soit l’occasion d’exercer votre espritcritique (quoi de plus irritant que la lecture d’une erreur répétée à satiété ?),mais n’oubliez pas que votre progression peut en être considérablementralentie.

• Rassurez vous ; il n’est absolument pas nécessaire de répondre à toutes lesquestions qui suivent pour réaliser une performance honorable.

votre contact : Alain Lavernecouloir 24-14, 5e ét.Université Paris 72 place Jussieu, Paris Ve

158 rue St. Jacques, Paris Ve

tél.44 27 79 79

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Electrodynamique : Variations. . . 1

CHAMPS ELECTRIQUE ET MAGNETIQUE QUANTIQUES

1. i) Rappelez l’expression du développement en modes (plans, périodiques dans unecaisse V, polarisés rectilignes) de l’opérateur du champ électromagnétique en jaugede Coulomb.ii) En déduire les développements en modes des opérateurs champ électriquetransverse et champ magnétique quantiques.iii) Quelles sont à votre avis les justifications (à défaut de raisons) de cesdénominations ?

2. Etant donné la popularité classique des ondes électromagnétiques planes, on vachercher des états quasi classiques de ce type. Dorénavant, et sauf avis con-traire exprès, on se bornera au sous-espace des états associés à un mode (k, ε̂εε),généralement sous-entendu (ça allège l’écriture. . . et permet de négliger un in-fini !). Quelles sont les expressions des opérateurs champs électrique E(r, t) etmagnétique B(r, t) effectifs dans ce sous-espace ?

OPERATEURS AMPLITUDE ET PHASE

Le problème est maintenant de trouver un état dans lequel on aura, par exemple,

〈E(r, t)〉 = E0 sin(ωt − k · r − ϕ),

et avec une dispersion quantique minimale. Pour cela, force est d’étudier les valeursmoyennes et dispersions d’amplitudes et de phases dont il va falloir tenter de définirles opérateurs.

3. L’allure de l’expression de E(r, t) suggère évidemment de poser

a = A eiΦ,a+ = A e−iΦ,

avec A2 = a a+. . . ou a+a ( ?), et Φ = −iLog(a/√A2) + 2nπ ( ?). Tout cela est-il

bien régulier ?

4. Essayons de définir d’une part l’opérateur amplitude√

N + 1 (en fonction del’opérateur nombre de photons dans le mode) et, d’autre part, l’opérateur F —comme (facteur de) phase — tel que

a =√

N + 1F.

i) Montrez que l’expression de F en fonction de N et a est parfaitement définie.ii) Calculez F F+ et F+F . L’opérateur F est-il hermitique ? unitaire ? Tout celaest-il bien normal ?iii) Etant donné un état à n photons |n〉, calculez F |n〉 et F+|n〉.iv) Calculez les commutateurs [N, F ] et [N, F+].

2 D.E.A. Champs &tc. . .

5. Etant donné l’origine de F , on lui associe les opérateurs

Cdf=

F + F+

2,

Sdf=

F − F+2i

,

dans l’espoir qu’ils aient un rapport avec un cosinus et un sinus de la phase, maisquoi qu’il en soit parfaitement définis.i) Calculez les commutateurs [N, C] et [N, S].ii) En déduire des inégalités de Heisenberg entre dispersions et valeurs moyennesdes grandeurs N , C et S dans un état quelconque.iii) Qu’en concluez-vous sur l’espoir de trouver un état quantique dans lequel lesvaleurs des champs électrique et magnétique soient certaines ?

LES ETATS DE NOMBRE DE PHOTONS

Commençons notre quête d’états quasi-classiques par l’étude des états qui,en le sous-tendant, nous ont servi à construire l’espace des états du champélectromagnétique quantique, à savoir les états propres |n〉 de N = a+a.

6. i) Quelles sont les valeur moyenne 〈N〉n et dispersion (∆N)n dans un de ces états ?ii) Calculez les valeurs moyennes 〈C〉n, 〈S〉n, 〈C2〉n et 〈S2〉n. En déduire lesdispersions (∆C)n et (∆S)n. Celles-ci vous paraissent-elles grandes ? par rapportà quoi ? Qu’en est-il des inégalités de Heisenberg ?

7. i) Quelle est la valeur moyenne du champ électrique, 〈E(r, t)〉n ? Y a t-il quelqueespoir que le champ électrique ait, dans un état |n〉, un comportement d’onde planeclassique ?ii) Par acquit de conscience, calculez la valeur moyenne 〈E2(r, t)〉n et la disper-sion

(∆E(r, t)

)n.

8. Discutez — en vous aidant de l’expression de l’opérateur champ électrique E(r, t)en fonction de l’amplitude

√N + 1 et du facteur de phase F — de la distribution

des valeurs de E(r, t) dans un état |n〉, d’abord à r et t donnés, puis en fonctionde t en un lieu r donné.

LES ETATS DE PHASE

9. Que pouvez-vous dire du commutateur [C, S] ? Qu’en est-il de l’espoir de trouverdes états propres de la phase ? Et pourtant. . .

10. Etant donnés les nombres ϕ réel et s entier (ai-je bien dit qu’il était naturel ?), ondéfinit le vecteur d’état

|ϕ, s〉 df= 1√s + 1

s∑n=0

ei n ϕ |n〉.

Electrodynamique : Variations. . . 3

i) Calculez les valeurs moyennes 〈F 〉ϕ,s, 〈C〉ϕ,s, 〈S〉ϕ,s, 〈F+F 〉ϕ,s, 〈C2〉ϕ,s, 〈S2〉ϕ,s,et surtout leurs limites lorsque s → ∞. En déduire les limites des disper-sions (∆C)ϕ,s et (∆S)ϕ,s.

ii) A quel comportement faut-il s’attendre de la part du nombre de photons ?Calculez effectivement les valeurs moyennes 〈N〉ϕ,s 〈N2〉ϕ,s, la dispersion (∆N)ϕ,s,et leurs limites lorsque s → ∞. Tout cela est-il cohérent ?iii) Pouvez-vous discuter de la distribution des valeurs de E(r, t) dans un état |ϕ, s〉(avec s élevé) à r et t donnés ? à r donné ?

LES ETATS COHERENTS

Pas encore découragés, revenons à notre recherche d’un hypothétique état, |?〉,normé à 1, dans lequel le champ électrique aurait une valeur déterminée au mieuxautour d’une valeur moyenne

E0 sin(ωt − k · r − ϕ),

c’est-à-dire avec des dispersions d’amplitude et de phase, alias (∆N)?, (∆C)?,(∆S)? qui, à défaut d’être toutes nulles, saturent tout au moins les inégalités deHeisenberg.

11. D’abord, pour réaliser la valeur moyenne, posons α df= 〈?|a|?〉.i) Calculez 〈E(r, t)〉? en fonction de |α| et ϑ df= arg α. En déduire l’amplitude E0et la phase ϕ correspondantes.

ii) L’état |?〉 peut-il être un état |n〉 ? Le ket |a?〉 df= a |?〉 peut-il être nul ?12. Ensuite, il faut minimiser la dispersion du champ électrique. Pour cela. . .

i) Exprimez E2(r, t) en fonction de N , a2 et a+2. En déduire les expressions de〈E2(r, t)〉?, puis de

(∆E(r, t)

)2?.

ii) Comme on ne sait pas encore très bien ce que l’on cherche au juste, si ce n’estune onde plane, qui a la propriété de se reproduire identique à elle-même partout,tout le temps, on peut aussi bien se proposer de déterminer un état |?〉 dans lequella dispersion (∆E(r, t)? serait une constante, indépendante de la position et dutemps. Montrez que ce genre de souhait nécessite une condition sur 〈a2〉?. Montrezque l’on doit avoir 〈?|a|a?〉 = 〈?|a?〉2.iii) Dans ces conditions, quelle est la valeur de

(∆E(r, t)

)2?, en fonction de 〈N〉?

et |α|2 ?13. On veut évidemment que notre état quasi-classique procure aux valeurs moyennes

tous les attributs d’une onde plane électromagnétique, en particulier son énergie.Il faut donc

i) Calculer l’énergie de l’onde électromagnétique classique, dont le champ électri-que a l’amplitude E0, dans la caisse V.

4 D.E.A. Champs &tc. . .

ii) En identifiant cette énergie à la valeur moyenne de l’hamiltonien du champtransverse, effectif dans le mode, déterminez la relation entre 〈N〉? et |α|. Quedevient cette relation dans la limite des grandes valeurs de 〈N〉? (ou de |α|) quiseule nous intéresse puisque, comme on l’a vu dans les questions précédentes, cen’est pas avec quelques états à quelques photons que l’on peut espérer obtenir unétat quasi-classique.iii) Montrez que l’on doit avoir 〈a?|a?〉 = |〈?|a?〉|2.

14. Ne reste plus, en rassemblant les conditions nécessaires, qu’à construire explicite-ment l’état |?〉.i) Montrez que l’état |?〉 doit être ket propre de a, pour une valeur propre àdéterminer.ii) En déduire l’expression de l’état ?〉, sous forme de développement sur les étatsde nombres de photons |n〉. C’est cet état, dont le vecteur est normé à l’unité,avec une phase déterminée en convenant que sa composante 〈n = 0|?〉 soit réellepositive, qui sera désormais appelé état cohérent et symbolisé par |α〉, ou |α〉k,ε̂εε sil’on veut rappeler le mode.

QUELQUES PROPRIETES DES ETATS COHERENTS

15. Etant donnés deux nombres complexes α et α′. . .i) Calculez |〈α|α′〉|2.ii) Rappelez les effets de a |α〉, a |α′〉.iii) Calculez la probabilité Pr(n si α) d’avoir n photons dans l’état |α〉. Sentez-voussi ce produit est bien frais ?iv) En faisant appel à vos souvenirs de la formule dite, selon les goûts, deGlauber, ou de Campbell-Baker-Hausdorf, calculez le résultat de l’action del’opérateur eαa

+−α∗a sur le 〈〈vide 〉〉 |0〉. Concluez.v) Calculez les valeurs moyennes 〈N〉α et 〈N2〉α, la dispersion (∆N)α, la dispersionrelative (∆N)α/〈N〉α, et la limite de cette dernière pour des états cohérents telsque 〈N〉α � 1. A défaut de propreté de |α〉, qu’en concluez-vous concernant ladistribution des valeurs de l’〈〈amplitude 〉〉 du champ électrique dans cet état ?vi) Pour les analystes obsessionnelles seulement : Estimez chacune des valeursmoyennes 〈S〉α, 〈C〉α, 〈S2〉α, 〈C2〉α, sous forme de développement asymptotiqueen puissances de |α|−2. En déduire les comportements des dispersions (∆S)αet (∆C)α à 〈N〉α élevée. Qu’en concluez-vous en ce qui concerne la distribution desvaleurs de la 〈〈phase 〉〉 du champ électrique dans l’état |α〉 ? Pour les insatiables :Estimez les produits (∆N)α (∆S)α et (∆N)α (∆C)α en fonction de 〈C〉α et 〈S〉α.Concluez.

Electrodynamique : Variations. . . 5

16. Plus physiquement, étant donné α complexe. . .

i) Rappelez l’expression de 〈E(r, t)〉α en fonction de |α| et ϑ df= arg α.ii) Rappelez la valeur de

(∆E(r, t)

)α

en fonction de ω et V, et en fonction de E0et 〈N〉α.iii) Enfin, pour avoir une idée de la valeur moyenne du champ électrique et de sadispersion dans divers états cohérents, tracez les triplets de courbes représentativesde

fα(t)df=

〈E(r, t)〉α(∆E(r, t)

)α

,

et de fα(t)± 1, pour diverses valeurs de α de même argument ϑ, correspondant à〈N〉α = 4, 40 et 100 photons respectivement, en un point r tel que k · r + ϑ = 0,en fonction du temps t.

iv) Et pour souffler un peu, étant donné un mode (k, ε̂εε), récapitulez :— la propriété caractéristique de l’état cohérent |α〉k,ε̂εε,— l’expression explicite de |α〉k,ε̂εε en termes des états |n〉k,ε̂εε,— les valeurs moyennes, dans cet état, des vecteurs champs électrique E(r, t) et

magnétique B(r, t) effectifs dans le mode.

LA FABRICATION DES ETATS COHERENTS

Reste, pour conforter nos bases classiques, à nous assurer que les états cohérentssont effectivement réalisables, en particulier par des sources quasi-classiques.Vérifier ab initio l’existence de telles sources serait un peu long pour cette fois, aussinous allons nous contenter d’admettre que l’électrodynamique quantique contient,à la limite dite non-relativiste, la théorie des fermions chargés à la Schrödinger,elle-même admettant comme limite (souvenez vous du théorème d’Ehrenfest) lamécanique classique des charges ponctuelles.Partant de la densité hamiltonienne de l’électrodynamique quantique en jauge deCoulomb

H = He + HCoul. + Hγtransv. − q j · A,

on étudie donc l’évolution du champ électromagnétique quantique couplé à unesource externe classique, évolution régie par l’hamiltonien

H = Hγtransv. + V,

dans lequel Hγtransv. est l’hamiltonien du champ électromagnétique transverse libre,tandis que

V (t) df= −q∫Vd3r j(r, t) · A(r, t)

représente l’interaction entre la densité de courant classique q j et le rayonnementquantique A.

6 D.E.A. Champs &tc. . .

17. i) Rappelez le développement en modes du champ A(r, t) en représentationd’interaction.ii) En déduire l’expression de V (t) en termes d’opérateurs de création/annihilationde photons.iii) Que pouvez vous dire du commutateur des opérateurs V (t1) et V (t2) ?

iv) Montrez que l’opérateur −i∫ t0

dt1 V (t1) peut se mettre sous forme d’undéveloppement

∑kT

(αkT (t) a+kT − α∗kT (t) akT

).

18. i) Rappelez l’équation d’évolution du ket d’état |t〉 du champ quantique au temps t,en représentation d’interaction.ii) Rappelez l’équation du mouvement et la condition initiale définitoires del’opérateur d’évolution U(t, t0) qui fait passer de l’état |t0〉 à l’état |t〉 dans cettereprésentation.iii) Montrez que, pour ∆t petit, on a U(t0 + ∆t, t0) ∼ e−i ∆t V (t0).iv) En déduire une expression de U(t0 + n ∆t, t0) sous forme de produits de telsopérateurs.

19. Pour achever la construction explicite de l’opérateur d’évolution, il nous fautd’abord démontrer une propriété amusante.i) Soit une famille d’opérateurs Ai dont tous les commutateurs sont des nombres.Rappelez l’expression du produit eA2eA1 en fonction de eA1+A2 .ii) En déduire l’expression du produit eA3eA2eA1 en fonction de eA1+A2+A3 , pourfinalement en induire l’expression du produit eAneAn−1 . . . eA1 en fonction de eΣiAi .iii) En déduire que l’opérateur d’évolution peut s’écrire

U(t, t0) = e−i

∫ tt0

dt1 V (t1)ei ϕ(t,t0),

où ϕ(t, t0) est une simple phase numérique.

20. En déduire la nature de l’état du rayonnement créé au temps t par le branchement,à t = 0, de la source q j(r, t).

UNE AFFAIRE QUI TOURNE

Etant donné le vecteur de mode k et les vecteurs unitaires ε̂εε1 et ε̂εε2 constituant— dans cet ordre — un trièdre orthogonal direct, on se place maintenant dans lesous-espace des états du rayonnement associés aux modes (k, ε̂εε1) et (k, ε̂εε2).

21. i) Quelle est l’expression du développement en modes de l’opérateur de champeffectif dans ce sous-espace ?ii) On définit d’autres vecteurs de base, complexes,

ε̂εε±df= ∓ 1√

2(ε̂εε1 ± iε̂εε2).

Electrodynamique : Variations. . . 7

Déterminez les opérateurs a+ et a− associés à ces nouveaux vecteurs de base, enfonction des opérateurs d’annihilation a1 et a2 associés à ε̂εε1 et ε̂εε2.iii) Calculez les commutateurs des opérateurs a+, a−, a++ , a

+− . Conclusion ?

iv) Quelle est l’expression d’un état |n〉+, normalisé, de n photons dans lemode (k, ε̂εε+), construit par action d’opérateurs a++ sur le vide ?

22. On va, juste pour voir, fabriquer des états cohérents de photons (k, ε̂εε+).i) Etant donné un nombre complexe α, rappelez le développement de l’étatcohérent |α〉+ sur les états de base |n〉+.ii) En déduire le développement de |α〉+ en termes d’opérateurs a+1 et a+2 agissantsur le vide.iii) Montrez que |α〉+ peut s’écrire sous forme d’un produit d’états cohérents —à déterminer soigneusement — dans les modes ε̂εε1 et ε̂εε2 respectivement.

23. Reste à étudier les grandeurs physiques dans l’état cohérent |α〉+.i) Rappelez l’expression trouvée pour la valeur moyenne 1〈α1|E(r, t)|α1〉1 duchamp électrique effectif dans un état cohérent α1 du mode (k, ε̂εε1).ii) En déduire la valeur moyenne +〈α|E(r, t)|α〉+ du champ électrique effectif dansl’état cohérent |α〉+.iii) Qu’en concluez-vous sur la signification des états cohérents |α〉± ?

LE PROBLEME DES AMATEURS DE CLASSIQUE

Une physicienne s’inquiète de l’éventualité d’avoir à recourir à l’électrodynamiquequantique afin d’analyser le processus de réception, à Orsay, de son émetteur favori,fréquence 91, 70 MHz, puissance (en toute légalité) 2 kW, situé sur la tour Eiffel.Une estimation des ordres de grandeur s’impose. Comme il s’agit d’évaluationqualitative, on peut se permettre — au risque de choquer toute mâıtresse experteen physique — de 〈〈faire comme si 〉〉 le rayonnement était isotrope.

24. i) Estimez l’amplitude du vecteur de Poynting du rayonnement de l’émetteur,puis l’amplitude du champ électrique, à Orsay, en fonction de la puissance et dela distance de l’émetteur.ii) En déduire le nombre moyen de photons de l’état du rayonnement analysé àOrsay, en fonction de la puissance, de la distance et de la fréquence de l’émetteur,et du volume de la caisse à modes.iii) Quel doit être le volume minimal de la caisse admettant ce mode de ray-onnement ? Cette caisse permet-elle d’inclure aussi le baladeur de l’auditrice, ycompris son antenne ?iv) En déduire le nombre moyen de photons minimal de l’état permettant ladescription quantique du rayonnement en interaction avec le récepteur.v) Alors. . . A t-elle besoin de l’électrodynamique quantique ?

8 D.E.A. Champs &tc. . .

LES ETATS COMPRIMES

Encore d’autres états du rayonnement quantique, apparentés aux états cohérents,et pourtant fondamentalement différents.

25. Les évolutions spatiale et temporelle du champ dans un mode étant trivialementreliées, on va se contenter, pour alléger l’écriture, de considérer le champ en r = 0.Rappelez (cf. question 2) l’expression de l’opérateur champ électrique, effectif dansle mode (k, ε̂εε), en r = 0.

26. i) Inspirés par l’algèbre des opérateurs a et a+, on va tenter non plus unedescription équivalente en termes d’amplitude et de phase, mais plutôt en fonctiondes opérateurs

Pdf=

a + a+

2,

Qdf=

a − a+2i

.

Calculez le commutateur de P et Q. En déduire une inégalité de Heisenberg entredispersions (∆P ) et (∆Q) dans un même état, quelconque.ii) Exprimez l’opérateur champ électrique effectif E(0, t) en fonction de P et Q.

27. Avant d’attaquer le vif du sujet, il peut être instructif de se livrer à une petitevérification des propriétés d’un état cohérent |α〉.i) Rappelez la valeur moyenne 〈N〉α du nombre de photons dans l’état cohérent |α〉.ii) Calculez les valeurs moyennes 〈P 〉α et 〈Q〉α. En déduire les dispersions (∆P )αet (∆Q)α.iii) Glosez des valeurs de ces dispersions par rapport à leur inégalité de Heisenberg.

28. Etant donnés deux nombres complexes µ et ν, on définit l’opérateur

bdf= µ a + ν a+,

en sorte que la transformation soit canonique c’est-à-dire telle que [b, b+] = 1.i) Quelle condition µ et ν doivent-ils nécessairement satisfaire ?ii) Par analogie avec les états cohérents, on va chercher, et construire, des étatspropres de l’opérateur b. Soit :

b|β〉 = β|β〉.

Dans quel cas l’état |β〉 est-il un état cohérent ?iii) Soit le développement de l’état |β〉 sur les états propres |n〉 du nombre dephotons dans le mode :

|β〉 =?∑

n=0

cn |n〉.

Electrodynamique : Variations. . . 9

Etablir la relation de récurrence entre les coefficientsn cn, et en déduire l’existencedes états |β〉.

29. Mais on va voir un autre procédé de construction des mêmes états |β〉, beaucoupplus pratique. Soit l’opérateur Ñ df= b+b.i) Quelles sont les propriétés du spectre de Ñ ?ii) Montrez, en calculant explicitement les premiers termes de son développementsur les états |n〉, qu’il existe un état |0̃〉 tel que b|0̃〉 = 0 (. . . à une normalisationet un choix de phase près. Aussi vous pouvez vous contenter d’exprimer |0̃〉 enfonction de son amplitude c0 sur l’état |0〉.)iii) Montrez que l’on peut construire les états propres de l’opérateur Ñ par actionsde l’opérateur b+ sur l’état |0̃〉.iv) En déduire, immédiatement, le développement de l’état |β〉 sur les états propresde Ñ , notés |ñ〉. (On choisit |β〉 normé à 1, et sa phase telle que l’amplitude de|β〉 sur |0̃〉 soit réelle positive.)

30. Quelques propriétés des |β〉. Les nombres complexes µ, ν et β étant donnés. . .i) Quelles sont les valeurs moyennes 〈Ñ〉β , 〈bn〉β et 〈(b+)n〉β ?ii) Calculez les valeurs moyennes 〈P 〉β et 〈Q〉β .iii) Calculez les valeurs moyennes 〈P 2〉β et 〈Q2〉β . (Un conseil pratique : exprimezd’abord les opérateurs P 2 et Q2 en fonctions des opérateurs b2, (b+)2 et Ñ .)iv) En déduire les dispersions (∆P )2β et (∆Q)

2β .

31. On s’intéresse, pour faire simple, au cas particulier µ, ν, β réels.i) Donnez, dans ce cas, les expressions de 〈P 〉β , 〈Q〉β et 〈N〉β en fonctions de µ,ν et β.ii) Donnez les expressions des dispersions (∆P )β et (∆Q)β .iii) Discutez de l’inégalité de Heisenberg pour P et Q dans un état |β〉.iv) Pourquoi appelle t-on les états propres de b des états comprimés ? Ces étatspourraient-ils être dits quasi classiques ?

EPILOGUE

Il faudrait encore montrer que ces états comprimés sont effectivement réalisables(on commence à y parvenir) et qu’ils sont potentiellement riches d’applications,mais les meilleures choses doivent avoir une fin et je commence à être fatigué. Pasvous ?