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ELECTRICITE

Analyse des signaux et des circuits lectriques

Michel Piou

Chapitre 10 Energie et puissance lectrique

Edition 12/03/2014

Table des matires 1 POURQUOI ET COMMENT ? .............................................................................................................1

2 ENERGIE ELECTRIQUE ECHANGEE DANS UN DIPOLE. ......................................................................2 2.1 Rappel sur le rgime continu. ...............................................................................................2 2.2 Puissance instantane et nergie lectrique dans un diple en rgime variable. ..................2

3 PUISSANCE MOYENNE (OU ACTIVE) DANS UN DIPOLE EN REGIME PERIODIQUE...............................4 3.1 Cas gnral en rgime priodique.........................................................................................4 3.2 Mesure de la puissance moyenne (ou puissance active). ......................................................5 3.3 Exemple de calcul de puissance active. ................................................................................5 3.4 Puissance active dissipe dans une rsistance. Notion de valeur efficace. ...........................5 3.5 Remarques sur la valeur efficace. .........................................................................................6 3.6 Puissance active lorsque la tension ou le courant est constant. ............................................9 3.7 Puissance active en rgime alternatif sinusodal...................................................................9 3.8 Puissance active dans une inductance ou un condensateur................................................10 3.9 Puissance apparente et facteur de puissance. ......................................................................10 3.10 Exemple de calcul de facteurs de puissance. ....................................................................11

4 CONSERVATION DE LENERGIE ET DE LA PUISSANCE ACTIVE .......................................................12

5 PUISSANCES EN REGIME ALTERNATIF SINUSODAL.......................................................................13 5.1 Puissance active dans un diple en rgime alternatif sinusodal. .......................................13 5.2 Puissance ractive. ..............................................................................................................13

5.2.1 Dfinition de la puissance ractive. ..........................................................................13 5.2.2 Triangle des puissances.............................................................................................13 5.2.3 Puissance ractive dans une rsistance, dans une inductance et dans un condensateur14 5.2.4 Diple inductif et diple capacitif.............................................................................14

5.3 Facteur de puissance en rgime alternatif sinusodal..........................................................15 5.4 Exemple numrique ............................................................................................................15 5.5 Thorme de Boucherot. .....................................................................................................16 5.6 Mesure des puissances actives et ractives. ........................................................................16

6 FACTEUR DE FORME, TAUX DONDULATION, FACTEUR DONDULATION ET FACTEUR DE CRETE DUN SIGNAL PERIODIQUE...............................................................................................................17

7 EXERCICES SUR LES ENERGIES ET PUISSANCES ELECTRIQUES.......................................................18 Chap 10. Exercice 1 : Energie lectrique stocke dans un condensateur...............................18 Chap 10. Exercice 2 : Energie lectrique stocke dans une inductance.................................18 Chap 10. Exercice 3 : Consommation dnergie lectrique. ..................................................18 Chap 10. Exercice 4 : Commutation dun transistor sur charge inductive.............................19 Chap 10. Exercice 5 : Puissance dans diffrents diples. ......................................................20 Chap 10. Exercice 6 : Puissance dans un hacheur..................................................................20 Chap 10. Exercice 7 : Charge inductive dun hacheur srie en rgime priodique. ..............21 Chap 10. Exercice 8 : Signaux dans les ponts redresseurs triphass......................................21 Chap 10. Exercice 9 : Valeur efficace de signaux trapzodaux ............................................22 Chap 10. Exercice 10 : Facteur de puissance .........................................................................22 Chap 10. Exercice 11 : Ensemble en alternatif sinusodal .....................................................23 Chap 10. Exercice 12 : Gradateur sur charge rsistive...........................................................24

8 CE QUE JAI RETENU DE CE CHAPITRE. .........................................................................................25

9 REPONSES AUX QUESTIONS DU COURS .........................................................................................27

Temps de travail estim pour un apprentissage de ce chapitre en autonomie : 15 heures

Extrait de la ressource en ligne sur le site Internet Copyright : droits et obligations des utilisateurs Lauteur ne renonce pas sa qualit d'auteur et aux droits moraux qui s'y rapportent du fait de lapublication de son document. Les utilisateurs sont autoriss faire un usage non commercial, personnel ou collectif, de cedocument et de la ressource Baselecpro notamment dans les activits d'enseignement, deformation ou de loisirs. Toute ou partie de cette ressource ne doit pas faire l'objet d'une vente - entout tat de cause, une copie ne peut pas tre facture un montant suprieur celui de sonsupport. Pour tout extrait de ce document, l'utilisateur doit maintenir de faon lisible le nom de lauteurMichel Piou, la rfrence Baselecpro et au site Internet IUT en ligne. La diffusion de toute oupartie de la ressource Baselecpro sur un site internet autre que le site IUT en ligne est interdite. Une version livre est disponible aux ditions Ellipses dans la collection Technosup sous le titre LECTRICIT GNRALE Les lois de llectricit Michel PIOU - Agrg de gnie lectrique IUT de Nantes France Du mme auteur : MagnElecPro (lectromagntisme/transformateur) et PowerElecPro (lectronique de puissance)

http://www.iutenligne.net/ressources/baselecpro-cours-et-exercices-d-electricite.htmlhttp://www.iutenligne.net/

Chapitre 10 - Energie et puissance lectrique - 1

IUT en ligne - Baselecpro

ENERGIE ET PUISSANCE ELECTRIQUE.

1 POURQUOI ET COMMENT ?

La production et lacheminement de lnergie lectrique jusquaux utilisateurs prsente un cot important. Les choix qui sont faits pour produire cette nergie, la distribuer puis pour lutiliser ont des consquences considrables sur notre conomie et notre environnement.

Ne gaspillons pas lnergie lectrique

Les problmes lis lnergie lectrique ne concernent pas seulement les gros consommateurs . Les petites consommations domestiques (multiplies par le grand nombre des utilisations) sont aussi concernes. Les pertes dnergie lectrique dans les appareillages conditionnent les problmes de dimensionnement et de refroidissement, avec des consquences sur lencombrement, la masse et encore le cot. Prrequis : La notion de valeur moyenne.

Objectifs : Pour choisir, il faut connatre ! Notre objectif est de connatre les outils qui servent dcrire et chiffrer les changes dnergie lectrique. Energie, puissance et facteur de puissances seront ces principaux outils. Mthode de travail : Les signaux priodiques que nous allons rencontrer seront souvent dcrits par un graphe. Aussi, plutt que de nous prcipiter sur les calculs mathmatiques, nous privilgierons, autant que possible, une approche plus intuitive et graphique. Lobjectif tant darriver au rsultat juste le plus rapidement possible, peut tre faudra-t-il lutter contre le clbre proverbe : Plus cest matheux, plus cest srieux ! . Travail en autonomie : Pour permettre une tude du cours de faon autonome, les rponses aux questions du cours sont donnes en fin de document. Corrigs en ligne : Pour permettre une vrification autonome des exercices, consulter Baselecpro (chercher baselecpro accueil sur Internet avec un moteur de recherche)



2 ENERGIE ELECTRIQUE ECHANGEE DANS UN DIPOLE.

2.1 Rappel sur le rgime continu.

I

U

Considrons un diple parcouru par un courant continu dintensit I et soumis une tension continue U .

Lnergie lectrique quil consomme sexprime par le produit : nergie libre par chaque charge lectrique qui traverse le diple multiplie par le nombre de ces charges qui traversent le diple sur un intervalle de temps t. .

Lnergie libre par une charge est proportionnelle la tension (ou diffrence de potentiel) U entre les deux extrmits du diple. La quantit de charges qui traverse chaque seconde est proportionnelle lintensit I du courant. Lnergie lectrique change dans le diple en un temps t. sexprime en Joule (symbole : J) par la relation :

t.I.UeW = (1) Lnergie lectrique change en une seconde est appele puissance lectrique . La puissance lectrique sexprime en Watt (symbole : W) par la relation :

I.UteWP =

=

Avec les orientations choisies sur la figure ci-dessus:

Si I et U sont tels que (U > 0 et I > 0, ou U < 0 et I < 0), le diple est rcepteur. Il consomme de l'nergie lectrique pour la transformer en autre chose (chaleur, lumire, mouvement mcanique, transformation chimique etc.) ou pour l'accumuler (par exemple dans une batterie).

Si I et U sont tels que (U > 0 et I < 0, ou U < 0 et I > 0), le diple est gnrateur. Il produit de l'nergie lectrique. Ds lors quon a orient (cest dire flch) le courant et la tension, lnergie lectrique ainsi que la puissance lectrique peuvent tre exprimes par des valeurs algbriques qui permettent de connatre la valeur (en Joule ou en Watt), ainsi que le sens de lchange dtermin par le signe de

ou de P. eW

2.2 Puissance instantane et nergie lectrique dans un diple en rgime variable.

Considrons de nouveau notre diple, mais avec une tension et un courant variables en fonction du temps. (Les grandeurs variables sont gnralement reprsentes par des lettres minuscules).

i

u

(1) Nous ne dmontrerons pas cette relation de faon plus prcise.



Voici un exemple des graphes dune tension et dun courant variables. On peut associer ces graphes la reprsentation de la puissance instantane )t(i.)t(u)t(p = dans le diple.

0 t

i

0 t

u

0 t

p(t) = u(t).i(t)

0 t

p(t) = u(t).i(t)

dt to

Sur un intervalle infiniment petit : dt , et restent quasiment constants. On peut donc appliquer lexpression de lnergie lectrique en courant continu. Cette nergie tant infiniment petite, elle sera dsigne par dw .

)t(u )t(i

Ainsi, . dt).t(i.)t(udw oo= dw est gale laire hachure ci-contre.

0 t

p(t) = u(t).i(t)

to t1

Sur lintervalle [ ]1t,to , lnergie lectrique change est donc la somme des nergies lmentaires changes sur tous les intervalles dt successifs qui constituent cet intervalle [ ]1t,to . Lnergie lectrique totale w change sur lintervalle [ ] est donc gale laire hachure sur la figure ci-contre

1t,to

Remarquons que cette aire est algbrique :

Sachant que le diple a t orient en convention rcepteur, si 0)t(i.)t(u)t(p >= : lnergie lectrique dw est positive (Le diple reoit de lnergie lectrique, il est rcepteur). Si : elle est ngative (Le diple fournit de lnergie lectrique, il est gnrateur).

0)t(i.)t(u)t(p



3 PUISSANCE MOYENNE (OU ACTIVE) DANS UN DIPOLE EN REGIME PERIODIQUE.

3.1 Cas gnral en rgime priodique.

Si la fonction puissance instantane ( ))t(i.)t(u)t(p = est priodique de priode T , on peut tablir les relations suivantes :

Energie change en une priode : ++

==Tto

toTto

toTdt).t(i).t(udt).t(pw

Energie change en une seconde : . ( )seconde1danspriodedenombre.dt).t(pTtoto

+

Le nombre de priodes dans 1 seconde est la frquence : T

f 1=

Energie change en une seconde : + Tto

todt).t(p

T1 .

Il sagit dune nergie divise par un temps, donc dune puissance (exprime en Watt

(symbole W)). Cette puissance est la valeur moyenne de la puissance instantane . On lappelle puissance moyenne ou plus souvent puissance active .

)t(p

On la note gnralement P . On retiendra la dfinition suivante:

La puissance moyenne ou puissance active est valeur moyenne de la puissance instantane . )t(p( ) >



3.2 Mesure de la puissance moyenne (ou puissance active).

La puissance active se mesure laide dun wattmtre :

i

u

W Circuit courant

Circuit tension

Le wattmtre indique la valeur moyenne du produit quon lui applique. )t(i.)t(u

3.3 Exemple de calcul de puissance active.

En rgime priodique, un diple i

u est le sige de la tension et du courant

ci-dessous :

)t(u

)t(i

t 0

Uu

i I

t 0

p

Reprsenter le graphe de la puissance instantane . En dduire une estimation graphique de )(tp

la puissance active P dans ce diple. Calculer P . (Rponse 1:)

3.4 Puissance active dissipe dans une rsistance. Notion de valeur efficace.

En rgime priodique, une rsistance R i

u

R

est le sige dune tension et dun

courant tels qu chaque instant

)t(u

)t(i )t(i.R)t(u = . La puissance active dissipe dans R sexprime donc par :

====

++++ Ttoto

2Ttoto

2Ttoto

Ttoto

dt.)t(iT1.Rdt.)t(i.R

T1dt).t(i).t(u

T1dt).t(p

T1P

>



On peut aussi crire :

R)t(udt.)t(u

T1.

R1dt.

R)t(u

T1dt).t(i).t(u

T1P

2Ttoto

2Ttoto

2Ttoto

>< et de mme pour une tension.

La valeur efficace est dautant plus proche de la valeur moyenne que la composante alternative est faible par rapport cette valeur moyenne.



f) Valeur efficace dune tension ou dun courant alternatif sinusodal : On rappelle :

0

( )sin

( )[ ]2sin 1

( )[ ] ( )2

.2cos1sin 2 =

( )[ ]21sin 2 =><

0

U

t

u

Soit une tension . )t(uAlternative sinusodale. Reprsenter ci-contre le graphe de et en dduire en 2)t(u effU

fonction de U (sans faire de calcul dintgrale)

=effU (Rponse 2:) Il en est de mme pour la valeur efficace dun courant alternatif sinusodal

g) La valeur efficace dune tension se mesure laide dun voltmtre (en gnral un appareil

numrique). La qualit de cette mesure peut varier : Certains voltmtres ne mesurent la valeur efficace que pour des tensions alternatives sinusodales. Certains voltmtres ne mesurent la valeur efficace que de la composante alternative de la tension. (Ils sont souvent qualifis de voltmtres RMS ). Certains voltmtres mesurent effectivement la valeur efficace de la tension. On dit alors quils sont efficace vrai (en anglais : True RMS ou TRMS).

On peut faire les mmes remarques pour un ampremtre. En conclusion, il convient de rester vigilant lors de lutilisation dun appareil de mesure. Les

notices des constructeurs ne sont pas toujours trs claires quant aux types de mesures effectivement possibles avec un appareil donn.



3.6 Puissance active lorsque la tension ou le courant est constant.

Si un diple i

u est le sige de la tension Uou = constante et du courant

priodique, la puissance active dans ce diple sexprime par:

)t(i

>



3.8 Puissance active dans une inductance ou un condensateur.

L

v i

Pour une inductance : ( )dt

)t(id.L)t(v = .

( )

=== +++ Ttoto

Ttoto

TtotoL dt).t(i.dt

)t(id.LT

dt).t(i).t(vT

dt).t(pT

P 111

[ ] +=+= 2)(2)(..22)(..2 toiTtoiTLti TtotoTLLP En rgime priodique : 0==+ LP)to(i)Tto(i La puissance active dans une inductance est nulle

C

v i

Pour un condensateur : ( )dt

)t(vd.C)t(i = .

( )=== +++ Ttoto

Ttoto

TtotoC dt.dt

)t(vd.C).t(vT

dt).t(i).t(vT

dt).t(pT

P 111

[ ] +=+= 2)(2)(..22)(..2 tovTtovTCtv TtotoTCCP En rgime priodique : 0==+ CP)to(v)Tto(v La puissance active dans un condensateur est nulle

3.9 Puissance apparente et facteur de puissance.

* La puissance apparente se dfinie par effeff I.US = . Son unit est le Volt-Ampre (VA). Elle caractrise grossirement le cot dune transmission de puissance lectrique. En effet dtermine la qualit des isolants et le nombre de spires des bobinages des

transformateurs et des moteurs. dtermine la section minimum des conducteurs (qui doivent transporter le courant sans chauffement excessif) ainsi que les pertes Joule dans les lignes lectriques.

effU

effI



* Le facteur de puissance est un critre simple pour valuer grossirement la qualit (sous langle conomique) dune transmission de puissance lectrique.

Il se dfinit par SPk = . Cest, en quelque sorte, un rapport qualit/prix.

Le facteur de puissance est toujours infrieur ou gal 1 (sans dmonstration). Dans les appareils de mesure, on le trouve souvent dsign par PF (pour Power Factor ).

En rgime alternatif sinusodal : )cos(I.U

)cos(.I.USPk

effeff

effeff

=== .

Mais ce nest quun cas particulier

3.10 Exemple de calcul de facteurs de puissance.

vsve

ie

is

L

charge

Un pont redresseur diodes, aliment sous une tension alternative sinusodale applique une tension redresse une charge trs inductive (5). En rgime permanent, le courant est quasiment constant :

)t(ve)t(vs

)t(istetanconsIo)t(is = .

A partir des signaux priodiques reprsents ci-

dessous, reprsenter le graphe de la puissance instantane et calculer le facteur de puissance en entre du montage (au niveau de et ). )t(ve )t(ieReprsenter le graphe de la puissance instantane et calculer le facteur de puissance en sortie du pont redresseur (au niveau de et ) )t(vs )t(is

t

- Io

0

Io

Vve

ie

t 0

Io

Vvs

is

.(Rponse 4:)

(5) Les calculs demands ne ncessitent aucune connaissance sur les ponts redresseurs.



4 CONSERVATION DE LENERGIE ET DE LA PUISSANCE ACTIVE

Sur un intervalle de temps dt l'nergie lectrique consomme par un ensemble d'lments est la somme (algbrique) des nergies lectriques consommes par chacun d'eux. (C'est une application de la loi de la conservation de l'nergie).

(On peut compter positivement l'nergie consomme par les lments rcepteurs et ngativement

l'nergie fournie par les gnrateurs). Si toutes les tensions et tous les courants ont une priode (et donc une frquence) commune:

l'nergie lectrique (algbrique) consomme durant une priode par un ensemble d'lments est la somme (algbrique) des nergies lectriques consommes par chacun d'eux durant cette priode. Il en va de mme pour l'nergie lectrique consomme en une seconde; c'est dire pour la puissance moyenne.

La puissance lectrique moyenne (ou puissance active) est conservative :

Puissance lectrique moyenne consomme par un ensemble (en valeur algbrique) = Somme des puissances lectriques moyennes consommes par chaque lment de l'ensemble (en valeur algbrique).

Cette loi sera un outil de calcul prcieux pour la suite. Reprenons lexemple prcdent :

vsve

ie

is

L

charge

Io.VPet

)t(i).t(vP

s

ee

>



P

5 PUISSANCES EN REGIME ALTERNATIF SINUSODAL.

5.1 Puissance active dans un diple en rgime alternatif sinusodal.

Nous avons dj tabli au paragraphe 3.7 .que dans ce cas la puissance

active s'exprime par la relation: )cos(.I.U)t(i).t(u effeff =>



5.2.3 Puissance ractive dans une rsistance, dans une inductance et dans un condensateur

Une rsistance R est le sige dune tension et dun courant tels qu chaque instant

)t(u )t(i)t(i.R)t(u = . En rgime alternatif sinusodal, et

sont donc en phase. )t(u )t(i

Donc la puissance ractive dissipe dans R est : 0)0sin(.I.UQ effeffR ==

i

u

R

Pour une inductance : ( ) I.jLUdt

)t(id.L)t(u == (en complexes pour le

rgime alternatif sinusodal) (6). On en dduit : maxI..LmaxU =

2I

..L2

U maxmax = effeff I..LU = . On en dduit galement que 2 +=

Donc Q )sin(.I.U

L i u

effeffL = effeff2

eff2effL I.U.L

UI..LQ ===

U

I

Pour un condensateur : ( ) I.

CjI.

jC1UU.jCI

dt)t(ud.C)t(i

==== . (en complexes pour

le rgime alternatif sinusodal).

On en dduit : maxmax I..C1U

=2

I.

.C1

2U maxmax

= effeff I..C

1U

= .

On en dduit galement que 2 =

Donc Q )sin(.I.U effeffC = effeff2

eff2effC I.U.C

IU..CQ ===

i u

U

I

C

5.2.4 Diple inductif et diple capacitif

De manire gnrale, on appelle diple inductif un diple rcepteur

tel que la tension ses bornes est en avance par rapport au courant qui le

traverse :

Ur

Ir

2

0



5.3 Facteur de puissance en rgime alternatif sinusodal.

Nous avons dj tabli au paragraphe 3.9 que le facteur de puissance dune ligne d'alimentation ou dun diple en rgime alternatif sinusodal est:

)cos(I.U

)cos(.I.USPk

effeff

effeff

=== avec :

Ur

Ir

5.4 Exemple numrique

Soit le diple:

i

v

i

v

200 V

10 A

0 t T

i(t) et v(t) sont priodiques et

sont reprsents ci-contre. Dterminer la puissance active

P, la puissance ractive Q et la puissance apparente S absorbes par ce diple.

Dterminer le facteur de

puissance de ce diple.

(Rponse 5:)



5.5 Thorme de Boucherot.

(nous admettrons ce thorme sans le dmontrer) Dans l'ensemble d'un rseau o toutes les tensions et tous les courants sont alternatifs

sinusodaux de mme frquence, il y a conservation de la puissance active d'une part, et de la puissance ractive d'autre part.

Puissance active totale consomme = somme algbrique des puissances actives consommes par chaque lment (Voir le paragraphe 4 ) Puissance ractive totale consomme = somme algbrique des puissances ractives consommes par chaque lment (sans dmonstration).

Application :

Une ligne monophase alternative sinusodale 220V (7) 50Hz alimente un moteur monophas

consommant 2kW (8) avec un facteur de puissance de 0,7 (inductif). a) Calculer le courant en ligne. effMI

b) Dterminer la valeur du condensateur qu'il faut placer en parallle avec le moteur pour

ramener le facteur de puissance de la ligne 1. Quelle est la nouvelle valeur du courant en ligne LI dans ce cas? Quel est l'intrt d'une telle opration?

(Rponse 6:) Nous constatons que dans certaines situations du rgime alternatif sinusodal, le calcul avec le

thorme de Boucherot est beaucoup plus rapide que lutilisation des complexes ou des vecteurs de Fresnel.

5.6 Mesure des puissances actives et ractives.

i

u

W Circuit courant

Circuit tension

Le wattmtre indique la valeur moyenne du produit quon lui applique : )t(i.)t(uCest dire : )cos(.I.U)t(i).t(u effeff =>< (en rgime alternatif sinusodal)

i

u

VAR Circuit courant

Circuit tension

En rgime alternatif sinusodal, le varmtre indique )sin(.I.U effeff

Trs souvent, le mme appareil possde les fonctions wattmtre et varmtre.

(7) Si on ne prcise pas, c'est la valeur efficace. (8) Si on ne prcise pas, c'est la puissance active (ou moyenne).



6 FACTEUR DE FORME, TAUX DONDULATION, FACTEUR DONDULATION ET FACTEUR DE CRETE DUN SIGNAL PERIODIQUE

* Le facteur de forme, le taux dondulation et le facteur dondulation sont diffrents coefficients qui ont pour objectif de quantifier limportance de la composante alternative par rapport la valeur moyenne dun courant ou dune tension :

a) Facteur de forme : Pour un courant, il se dfinit par >

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