El teorema Gödel - Page mathématique de Javier Fresán .Kurt Gödel, en sus años como profesor

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  • Ciencias Responsable de la seccin: Patricia Fernndez de Liz p ciencias@publico.esPbLico Domingo, 28 De febrero De 201038

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    Responsable de la edicin de hoy: Patricia Fernndez de Lis p ciencias@publico.es

    Un cadver, una habita-cin cerrada, dos sospe-chosos. No es el comien-zo de una novela poli-ciaca cuyo protagonis-

    ta intenta demostrar que no existe el crimen perfecto, sino la metfora ele-gida por el escritor Guillermo Mart-nez para explicar uno de los teoremas ms profundos de la lgica. Antes de dedicarse por completo a la literatu-ra, este argentino nacido en 1962 se doctor en matemticas y pas dos aos completando sus investigacio-nes en la Universidad de Oxford. Tres pasiones la escritura, la lgica y el encanto misterioso de los collegesque se entrelazaran aos ms tarde en su novela Los crmenes de Oxford, que posteriormente fue llevada al ci-ne por lex de la Iglesia. En la obra, el acadmico Arthur Sheldon y un es-tudiante estadounidense investigan una serie de asesinatos impercepti-bles, con la ayuda de los teoremas de Kurt Gdel y de la filosofa del len-guaje de Ludwig Wittgenstein.

    En esta ocasin, el compaero de viaje para seducir al gran pblico con unos teoremas que han fascinado por igual a cientficos y humanistas a lo largo de la segunda mitad del siglo XX no ha sido un personaje de fic-cin, sino el tambin matemtico ar-gentino Gustavo Pieiro. Juntos han escrito Gdel para todos (Ediciones Destino, 2010), una obra que se plan-tea como un juego por etapas, con la esperanza de que los lectores se desa-fen a s mismos a pulsar enter al final de cada captulo para pasar al prxi-mo nivel, dicen los autores. Como explican los expertos, mientras las sofisticadas matemticas que subya-cen a la teora de la relatividad plan-tean una ruptura entre los libros de divulgacin y los manuales tcnicos, en el caso de los teoremas de Gdel es posible presentar una exposicin a la vez rigurosa y accesible, que slo re-quiere del lector que no haya olvida-do sumar y multiplicar. Adems, des-de su blog (http://godelparatodos.blogspot.com), Martnez y Pieiro responden regularmente a las dudas que les plantean los lectores.

    un crimen sin pruebas

    As que imaginen que en una habita-cin cerrada se comete un crimen y que, al llegar la polica, junto al cad-ver hay dos sospechosos. Cada uno de ellos sabe toda la verdad sobre el asesinato: sabe si fue l o no fue l. Sin embargo, a menos que confie-sen, los inspectores tendrn que en-contrar huellas dactilares, restos de ADN o cualquier otra prueba secun-daria que permita acusarlos ante un juez. Si esta bsqueda se demostrara inconcluyente, los sospechosos que-daran libres, pero la verdad de lo que sucedi en la sala seguira estando ah. Aunque la verdad existe, el mto-do es insuficiente para alcanzarla. Lo saban desde el principio los detec-tives y los arquelogos, pero los ma-temticos vivieron en el optimismo de que todo lo verdadero es demos-trable, hasta la entrada en escena de

    javier fresnpars

    Reportaje

    Kurt Gdel, en sus aos como profesor del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (EEUU).

    El teorema GdelUn libro descubre los secretos del matemtico austriaco

    Aritmtica. Gdel para todos plantea a los lectores un juego por etapas

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    cienciaspblicoDomingo, 28 De febrero De 2010 39

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    Responsable de la edicin de hoy: patricia Fernndez de lis p ciencias@publico.es

    un joven austriaco, en noviembre de 1930.

    Los principales expertos en la l-gica matemtica se haban reunido en la ciudad alemana de Kenigs-berg para discutir el estado de la dis-ciplina. El propio Gdel haba sido invitado a exponer los resultados de su tesis doctoral, que dejaban an la puerta abierta a unas matemticas todopoderosas. Sin embargo, en los meses transcurridos entre el inicio brillante de su carrera y el encuen-tro de Kenigsberg, Gdel haba avanzado en sus investigaciones, hasta convencerse de que el sueo de los lgicos de su generacin era imposible. Nada pareca indicarlo mientras pronunciaba su conferen-cia pero, en los ltimos minutos de la mesa redonda que cerr el con-greso al da siguiente, por fin se atre-vi a anunciar que tena ejemplos de proposiciones verdaderas por su contenido que no podan demos-trarse a partir de los axiomas.

    los teoremas de incompletitud

    Como explican Martnez y Pieiro, el edificio de las matemticas des-cansa sobre un puado de princi-pios que se dan por sentados por su sencillez y utilidad: son los axio-mas. A partir de ellos, el trabajo de los matemticos consiste en dedu-cir propiedades sobre los nmeros, mediante un proceso riguroso que se conoce con el nombre de demos-tracin. Por as decirlo, los axiomas son los personajes del relato, de mo-do que el xito de la historia depen-der de cmo se elijan. Por un la-do, no deben dar lugar a contradic-ciones, pues de nada servirn unos axiomas si de ellos se puede deducir al mismo tiempo que cero es igual a uno y distinto de uno. Tampoco es posible construir una teora razo-nable si no somos capaces de distin-

    guir los axiomas de otras afirmacio-nes, de saber lo que hay que demos-trar y lo que puede suponerse.

    Con estos ingredientes, explicados a travs de ejemplos y de ejercicios, los autores de Gdel para todos estn en condiciones de enunciar el teore-ma que el lgico austriaco comunic discretamente a sus compaeros en la reunin de Kenigsberg. Dice que, sean cuales sean los axiomas que eli-jamos para hablar sobre los nmeros, si estamos seguros de que son reco-nocibles y de que no dan lugar a con-tradicciones, entonces automtica-mente existir una propiedad que es verdadera, pero que no se puede de-mostrar a partir de ellos. Un crimen que los detectives nunca lograrn re-solver. Como el teorema mostraba que ninguna coleccin de axiomas poda completar todas las verdades aritmticas, enseguida pas a llamar-se teorema de incompletitud.

    Para demostrarlo, Gdel modific de manera ingeniosa la llamada pa-radoja del mentiroso, que se produ-ce cuando alguien afirma Yo siem-pre miento, pues si la persona mien-te, entonces dice la verdad, y si dice la verdad, entonces miente. Por esta ra-zn, algunos de sus contemporneos pensaron que las verdades indemos-trables eran puramente anecdticas. Sin embargo, el teorema de Gdel inspirara a Alan Turing la creacin de los primeros ordenadores tericos.

    Ochenta aos despus, unos p-rrafos bastan para explicar qu dicen sus teoremas, pero en su da slo uno de los asistentes a la mesa redonda, el genial John von Neumann, pudo comprenderlos. Habra que esperar a que se publicaran varias obras de di-vulgacin para que el teorema se in-corporase al folklore matemtico. Y lo hizo con tanta fuerza que, como se-alan Martnez y Pieiro, la incom-pletitud pas a formar parte de ese

    extrao grupo de palabras mgicas de la escena postmoderna como caos, fractal o indeterminacin que se aso-cian a supuestas derrotas de la razn y al fin de la certidumbre en el terre-no ms exclusivo del pensamiento: el reino de las frmulas exactas.

    En uno de los captulos de Gdel para todos, el lector comprobar con asombro las insensateces que, a cuen-ta del teorema de incompletitud, han escrito filsofos como Julia Kristeva, Jacques Lacan o Rgis Debray. En sus manos quedar interpretarlas como una muestra ms del peligro de ha-blar de lo que no se sabe o como la mejor evidencia de la misteriosa se-duccin de un resultado que, como dijo Von Neuman, permanecer vi-sible en el espacio y en el tiempo. D

    Los matemticos vivan en el optimismo de que lo verdadero es demostrable

    Slo John von Neumann pudo comprender lo que sugera Gdel

    Guillermo Martnez, coautor del libro, tambin escribi Los crmenes de Oxford

    Gdel dijo que hay proposiciones ciertas que no pueden ser probadas

    Albert Einstein, a la derecha, pasea con Kurt Gdel, en una fotografa tomada el 1 de enero de 1954 en Princeton. GETTY

    * MATEMTiCO EN LA UNiVERSiT PARiS 13

    Y autor de Gdel. la lGica

    DE LOS ESCPTiCOS (ED. NiVOLA),

    Gdel para todosautores guillermo martnez y gustavo pieiro

    editorial Destino

    precio 18,5 euros

    tras huir de la alemania nazi, Kurt Gdel se instalara definitivamen-te en la universidad de princeton (eeuu) en 1940. siete aos despus, cuando obtuvo la nacionalidad es-tadounidenses, tendra lugar una de las ancdotas ms conocidas del personaje. como todos los solici-tantes, Gdel deba dar cuenta de su conocimiento de la legislacin en un examen sobre la constitucin. en la prctica, la prueba no era ms que un trmite, pero l quiso prepa-rrsela a conciencia y mientras lo haca crey descubrir algunas con-tradicciones lgicas. al examen lo acompa su amigo albert einstein, que conoca al juez. Viendo el desas-tre que podra ocurrir si se le dejaba exponer su teora, einstein advirti al juez de que Gdel no era un can-didato como los dems. Y, en efecto, al comienzo del examen, y con gran excitacin, Gdel intent exponer al juez esas contradicciones lgicas.usted tena hasta ahora la nacio-nalidad alemana.-perdone, seor, austriaca, corrigi Gdel.-ah, ya, el maldito dictador. afortu- nadamente, eso no es posible en amrica, aadi el juez.-al contrario interrumpi Gdel, yo s cmo sera posible!. pero antes de dejarle hablar, el juez tom las riendas de la situacin y llev el examen hacia preguntas ms rutinarias. Ms o menos por esa po-ca, algunos lgicos haban empeza-do a sentar las bases de una teora, la lgica dentica, cuyo objetivo es precisamente evitar que cuando se incorporan nuevas leyes a un cdigo civil surjan contradicciones.

    un dictador en estados unidos, o la lgica dentica