1

Égalité des figures

• Si une figure peut être obtenue à partir d’une autre par opération d’un glissement on dit que les deux figures sont directement égales.

• Si une figure peut être obtenue à partir d’une autre par un retournement on dit que les deux figures sont inversement égales.

2

Symétrie par rapport à un point (symétrie centrale)• Deux points A et A’ sont symétriques par

rapport à un point O, si le point O se situe au milieu du segment AA’.http://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdsymetriec.html

• Si à chaque point M d’une figure F, on fait correspondre son symétrique M’ par rapport à O, on obtient une figure F’, lieu des points M’, et qui est dite transformée de F par symétrie, ou symétrique de F par rapport à O. Le point O est appelé centre de symétrie. http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symetriecentrale2.htmlhttp://home.nordnet.fr/~rdassonval/symetriecentrale5.html

3

Symétrie par rapport à un point (symétrie centrale)

• Une figure admet un centre de symétrie, quand tous ses points sont deux à deux symétriques par rapport à ce centre.

• Deux figures symétriques par rapport à un point sont directement égales.

• Si à une figure nous avons appliqué deux symétries centrales consécutives, la figure résultante est l’image de translation de la figure originale.http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=composym.xml

4

Symétrie par rapport à un axe (symétrie axiale)• Deux points A et A’ sont symétriques par

rapport à un axe xy, si cet axe est perpendiculaire au milieu du segment AA’.http://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdsymetrieorthogonale.htmlhttp://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdsymetrieorthogonale2.html

• Si à chaque point A d’une figure F, on fait correspondre son symétrique A’ par rapport à l’axe xy, on obtient une figure F’, lieu des points A’, et qui est dite figure symétrique de F par rapport à xy. L’axe xy est appelé axe de symétrie.http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symoraxe.htmlhttp://home.nordnet.fr/~rdassonval/symortdroitee.html

5

Symétrie par rapport à un axe (symétrie axiale)

• Une figure admet un axe de symétrie par rapport à un axe xy, si cet axe est perpendiculaire au milieu du segment AA’.

• Deux figures symétriques par rapport à un axe sont inversement égales.

• Toute figure qui admet deux axes rectangulaires de symétrie, a le point de concours des axes pour centre de symétrie.http://home.nordnet.fr/~rdassonval/symod1d2.html

6

Circonférence (1).• La circonférence est une courbe plane et fermée

dont tous les points sont équidistants d’un point intérieur appelé centre.

• La circonférence divise le plan en deux régions, l’une intérieure qui contient le centre, l’autre extérieure. Le cercle est la portion intérieure à la circonférence.

• On appelle rayon le segment rectiligne qui joint le centre à un point quelconque de la circonférence.

• Un arc est une partie quelconque de la circonférence limitée à deux points. Une corde est le segment de droite qui joint deux points quelconques de la circonférence. Un diamètre est un corde qui passe par le centre.

7

Circonférence (2).

• Théorème. Tout diamètre d’une circonférence est un axe de symétrie de la courbe.

• Théorème. Le diamètre est la plus grande corde du cercle.

8

Circonférence (3).• Soit un point mobile M qui se déplace sur

une demi-droite partant de O. Dépendamment de sa distance du centre par rapport au rayon le point est:• - à l’intérieur de la circonférence• - sur la circonférence• - à l’extérieur

• Théorème. Les distances maxima et minima d’un point à une circonférence sont les distances de ce point aux extrémités du diamètre ou du diamètre prolongé sur lequel le point est situé.

9

Circonférence (4).• Par deux points A et B on peut passer une

infinité de circonférences, et le lieu des centres est la médiatrice de AB.

• Par trois points non alignés, on peut passer une circonférence et une seule.

• Exercices:• Trouver le centre d’un arc donné.• Trouver une circonférence circonscrite au

triangle ABC (cercle circonscrit). On dit que le triangle est inscrit à la circonférence. http://home.nordnet.fr/~rdassonval/ddthauteur2.html

10

Positions relatives d’une circonférence et d’une droite

• Si d est la distance entre le centre d’une circonférence de rayon R et une droite alors• La droite est sécante si d < R (deux

points communs)• La droite est tangente à la circonférence

si d = R (un point commun)• La droite est extérieure si d > R (pas de

points communs)

11

Tangente à la circonférence• Théorème. Toute droite AB tangente en C

à une circonférence est perpendiculaire au rayon OC qui aboutit au point de contact

• On appelle tangente à une courbe, en un point donné A de cette courbe, la position limite d’une sécante AM qui tourne autour du point A de manière que le point commun M se rapproche indéfiniment du point A. On appelle normale à une courbe en un point M, la perpendiculaire à la tangente en ce point.

12

Construction de la tangente à une circonférence

• Exercices:• À l’aide d’une règle et d’un compas

construire la tangente à une circonférence donnée, parallèle à une droite donnée

• À l’aide d’une règle et d’un compas construire la tangente à une circonférence donnée, passant par un point donnéhttp://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=g13_tangente_2.xml

13

Positions relatives de deux circonférences

• Dépendamment de la distance de deux centres des circonférences et des longueurs de leurs rayons, deux circonférences peuvent être:• Extérieures• Tangentes extérieurement• Sécantes• Tangentes intérieurement• Intérieures

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Arcs et cordes• Théorème. Dans des cercles égaux

1. Deux cordes égales sous-tendent deux arcs égaux.

2. Deux cordes inégales sous-tendent des arcs (inférieurs à une demi-circonférence) inégaux; et la plus grande corde sous-tend le plus grand arc.

3. De deux cordes inégales la plus grande est la plus rapprochée du centre.

• Théorème. Tout diamètre perpendiculaire à une corde divise cette corde et chacun des arcs sous-tendus en deux parties égales.

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Arcs et angles• Un angle inscrit est un angle qui a

son sommet sur la circonférence et qui est formé par deux cordes.

• Un segment circulaire est la portion de cercle comprise entre un arc et la corde qui le sous-tend.

• Un angle inscrit a même mesure que la moitié de l’arc compris entre ses côtés.

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Arcs et angles (1)• Un angle inscrit est un

angle qui a son sommet sur la circonférence et qui est formé par deux cordes.

• Un segment circulaire est la portion de cercle comprise entre un arc et la corde qui le sous-tend.

• Un angle inscrit dans un segment est un angle qui a son sommet sur l’arc de ce segment et dont les côtés passent par les extrémités de ce même arc.

Angle inscrit

Segmentcirculaire

Angle inscritdans un segment

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Arcs et angles (2)• Théorème. L’angle inscrit a même

mesure que la moitié de l’arc compris entre ses côtés.

• Conséquences.1. Tous les angles inscrits dans un même

segment sont égaux.2. Tout angle inscrit dans une demi-

circonférence est droit

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Arcs et angles (3)• Théorème. L’angle formé par une tangente AT et

une corde AB issue du point de contact A a même mesure que la moitié de l’arc compris entre ses côtés.

• Théorème. L’angle qui a son sommet à l’intérieur de la circonférence a même mesure que la demi-somme des arcs compris antre ses côtés et entre leurs prolongements.

• Théorème. L’angle formé par deux sécantes issues d’un même point A hors du cercle a même mesure que la demi-différence des arcs compris entre ses côtés.

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Arcs et angles (4). Arc capable d’un angle donné.

• Théorème. Le lieu des points M du plan d’où l’on voit un segment de droite AB sous un angle donné est formé de deux arcs de cercle sous-tendus par le segment et symétriques par rapport à ce segment. Ses arcs sont appelés les arcs capables de l’angle .

• Exercice. Construire les arcs capables d’un angle donné.

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Quadrilatère inscriptible.

• Théorème. Dans un quadrilatère convexe inscrit, les angles opposés sont supplémentaires. Un quadrilatère ayant les angles opposés supplémentaires s’appelle un quadrilatère inscriptible.