ECON 207-PARTIE I Probabilité-...

ECON 207-PARTIE IProbabilité- LEC2/2

R.Dayangaç

October 25, 2016

R.Dayangaç ECON 207-PARTIE I Probabilité- LEC2/2 October 25, 2016 1 / 33

Plan

1 Concepts de base, calcul de la probabilité

2 DénombrementRègles de multiplication et d’additionAnalyse combinatoireThéorèmes binomial et multinomialExemples

3 Probabilité conditionelle et indépendanceThéorème de BayesExemples

4 Références pour la Partie I


Dénombrement I

Si on a un espace fondamentale discrète, l’énumération systématique de lataille de Ω se basera sur les deux principes de dénombrement suivantes:

DefinitionRegle de multiplicationa

Le nombre de tous les résultats possibles d’une expérience à n étapesconsécutives (ou bien simultanées) ei , pour i = 1, 2, 3, ...n, est donné par lamultiplication du nombre de resultats possibles ride chaque étapesr1 × r2 × ...rn

aLa règle des trioires


Dénombrement II

DefinitionRègle d’additionLe nombre de tous les résultats possibles d’une expérience qui peut êtreconduit de k différents façons est donné par la somme de tous les résultatspossibles de chacune de k manières de le faire.


Dénombrement III

Example

Un client entre à une magasin de bricolage et s’informe sur les peinturesd’intérieure. Le vendeur dit qu’il existe 6 textures et 20 couleurs différentspour chaque textures. Enfin, on a aussi un choix de 5 tonnes pour chaquecouleur. Quel est le nombre de choix total du client dans ce magasin?La règle de multiplication donne le nombre de choix de peinturesdisponibles s(Ω∗) = 6× 20× 5 = 600.


Dénombrement IV

Example

On a le jeu suivant: Lance un dé, s’il retourne un nombre inférieure ouégale à 3, lance une monnaie et si elle tourne une face, ouvre la boite bleu,sinon ouvre la boite verte. Si par contre, le dé retourne un nombresupérieure à 3, lance le dé un second fois et ouvre la boite dont le numéroest égale au résultat du dernier lancement du dé. Combien de façondifférents ce jeu peut-il finir?

Le jeu a plusieurs étapes (2 étapes) et il existe différents manière de finirles 2 étapes. Dans ce cas, on va appliquer les règles de multiplication etd’addition pour compter le nombre total des differents manieres de finir lejeu. s(Ω∗) = (3× 2) + (3× 6) = 24.


Analyse combinatoire I

Quand le nombre des résultats possibles augmente, par l’extension desrègles de multiplication et d’addition pour une expérience bien posé, onpeut compter le nombre total de résultats possibles. L’ensemble de cesméthodes est dite l’analyse combinatoire.Le nombre total des arrangements changent,

selon le règle des arrangements acceptables:permutations-arrangements ordonnées ou combinaisons-arrangementnon-ordonnées.

selon la nature des éléments à ranger: distinguables ounon-distinguables

selon le règle sur les répétitions: avec répétitions ou sans répétitions


Analyse combinatoire II

Definition (Permutation)Une permutation est un arrangement ordonné de k éléments d’unensemble de n objets distincts avec k ≤ n.Le nombre total des permutations sans répétition est,

Pk,n =n!

(n − k)!

. Pour k = n, Pn,n = n! . Si les répétitions sont permises, on aura nk

permutations possibles..

Une permutation est une tirage de k billes d’une urne de n boules avecremise si les répétitions sont permises ou bien comme une tirage sansremise si les répétitions sont interdites.


Analyse combinatoire III

Definition (Combinaison)Une combinaison est un arrangement non-ordonné et sans répétitions dek éléments d’un ensemble de n objets distincts avec k ≤ n.Le nombre total des combinaisons est,

Ck,n =

(nk

)=

n!

(n − k)!k!

.

La combinaison est une tirage simultanée de k boules d’un urne de nboules. Notez que par définition, la combinaison est une tirage sansremplacement.


Analyse combinatoire IV

Definition (Permutations distinguables)Soit un ensemble de n objets qui inclut m catégories de km objetsidentiques telles que

∑mi=1 ki = n. Le nombre total des

permutations distinguables de ces n objets sera,

Pk1,k2...km,n =

(n

k1, k2...km

)=

n!

k1!k2!...km!


Theorem (Théorème Binomiale)

(x + y)n =n∑

r=0

(n

r

)x ryn−r

Theorem (Théorème Multinomiale)

(x1 + x2 + ... + xt)n =

∑r

(n

r1, r2, ...rn

)x r11 x r22 ..x rtn

telle que la somme r est prise sur les n-uplets (r1, r2, ...rn) où ri s sont desentiers non-négative dont la somme est égale à n.

Notez que l’expansion ci-dessus est une distribution de la puissance totale nentre les t arguments. Les coefficients obtenues sont donc le nombre despermutations distinguables de n objets consistant à t groups d’élémentsnon-distinguables.


Exemples: Combinatoires I

Example

Donner l’expansion du polynôme (x − y)4.

SolutionNotez que l’argument de y est −1 et procédez l’expansion.


Exemples: Combinatoires II

Example

Donner le coefficient de x3y2z4 dans l’expansion de (x + y + z)9

SolutionOn applique la théorème multinomiale.

( 93,2,4

)= 9!

3!2!4! = 1260


Exemples: Combinatoires III

Example

Pour les six premiers lettres de l’alphabet, donner le nombre des siglesa) de six lettres différentsb) de quatres letters différentsc) de quatres letters.


Exemples: Combinatoires IV

Example

On vous demande de distribuer 8 étudiants dans deux voitures de 4 places(le chauffeur exclut). Combien de possibilités vous pouvez dénombrer,a) si on vous dit que l’ordre d’assis des étudiants dans la voiture est

importantb) si l’ordre d’assis n’est pas important.


Exemples: Combinatoires V

Example

Une firme produit 4 type de pièces d’une même voiture. La productionjournalière est de 8 de A, 7 de B, 6 de C et 5 de D et la délivrance auclient est fait par des paquets de quatre pièces. Déterminer le nombre dedifférents manière si on veut avoir,a) au moins une pièce de type Ab) au moins un A et un B dans chaque paquets.c) Supposant qu’on fait les paquets d’une manière aléatoire, quel est la

probabilité qu’un paquet quelconque inclut chacune de quatre pièces.


Exemples: Combinatoires VI

Example

Une soirée quelconque, au guichet du cinéma, il ya 3 personnes en queue. Ilpasse 3 films différents et chacune choisit un film au hasard et d’unemanière indépendantea) Quel est la probabilité que chacune achète un billet pour un film

différent?b) Quel est la probabilité que toutes voient le même film?c) Quel est la probabilité que seulement deux des trois films soient vu

cette soirée?


Probabilité conditionelle et indépendance I

On a vu que les expériences peut être réalisées en plusieurs étapes et lesréalisations consécutives peuvent être déterminés par les résultatsprécédents.

Dans d’autre cas, la réalisation d’un événement peut porter de l’informationsupplémentaire sur la chance de réalisation d’un autre événement étudié.

Il sera donc possible de calculer la chance de réalisation d’un événementétant donné la chance de réalisation d’un autre. Ceci dit, on peutintroduire la définition suivante,


Probabilité conditionelle et indépendance II

DefinitionProbabilité conditionelleSoit la fonction de probabilté P(.) definie sur Ω, les lévénements A ⊂ Ω,B ⊂ Ω.La probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que l’événementB s’est réalisé s’écrit

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B)

si et seulement si P(B) > 0.

Selon la définition, pour plusieurs événements on peut écrire,

P(A|B ∩ C ) =P(A ∩ B ∩ C )

P(B ∩ C )ou P(B ∩ C |A) =

P(A ∩ B ∩ C )

P(A)


Probabilité conditionelle et indépendance III

La définition suggère que B est la nouvelle espace fondamentale pourP(A|B): la part relative de A ∩ B dans B donne P(A|B)

L’événement B est aussi B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) et donc

P(A|B) + P(A|B) = 1

telle que la somme des probabilités des événements disjoints A ∩ B etA ∩ B est égale à P(B).


Probabilité conditionelle et indépendance IV

DefinitionÉvénements indépendants Soient A et B deux événements dans Ω. Lesévénements sont dites indépendantes si une des conditions suivantes estsatisfaite.(i) P(A|B) = P(A)

(ii) P(B|A) = P(B)

(iii) P(A ∩ B) = P(A)P(B)

CorollaryDeux événements indépendants sont compatibles.Si P(A) 6= 0 et P(B) 6= 0 alors P(A ∩ B) 6= 0


Probabilité conditionelle et indépendance V

ExampleUn sac contient 6 billes rouges et 4 billes noires. Deux billes sont tiréessans remplacement. Quel est la probabilité que la deuxième bille soit rougesachant que la première est rouge? Quelle est la probabilité de tirer deuxbilles rouges?

ExampleOn lance trois dés. Soit l’événement A "le 1er dé retourne un nombre pair"et l’événement B "la somme des nombres du 2eme et du 3eme dé est unnombre pair". Montrer que A et B sont indépendantes.


Probabilité conditionelle et indépendance VI

ExampleOn lance deux monnaies deux fois. Donnez,a) la probabilité d’avoir exactement une face au deuxième lancement

sachant qu’au premier lancement on a eu une face.b) la probabilité d’avoir deux faces à la fin du jeu ?


Probabilité conditionelle et indépendance VIISolution

- Hypothèses: deux monnaies identiques, résultats équiprobables etindépendants

- Jeux équivalent: 2 monnaies, 2 lancements indépendants ≡ 4monnaies, lancer 1 fois; 1 monnaie, lancer 4 fois

- Soit Ω = (x1, x2, x3, x4)|xi ∈ H,T,i = 1, 2, 3, 4 ets(Ω) = 24 = 16.

- On a A = H1T2 ∪ T1H2 et on définit l’événement B "une seule faceau deuxième lancements": B = H3T4 ∪ T3H4 .

a) P(B|A) = P(A∩B)P(A) et indépendance de A et de B =>

P(B|A) = P(B) = 1/2b) Soit K , "l’evenement deux faces".

P(K ) =

(42

)P(H1H2T3T4) = 3/8


Théorème de Bayes I

DefinitionThéoreme de BayesSoit une fonction de probabilité P(.) définie sur Ω et les événementsdisjoints Ai ⊂ Ω i = 1, 2, 3...., n tels que P(

⋃ni=1 Ai ) = 1.

Pour un événement quelconque B ⊂ Ω et P(B) > 0, on peut écrire,

P(Ai |B) =P(B|Ai )P(Ai )∑ni=1 P(B|Ai )P(Ai )


Théorème de Bayes II

Intuitivement, le conditionnement sur un événement correspond àl’utilisation de l’information supplémentaire provenant de la réalisation decelle-ci. Ainsi, au lieu de considérer toutes les réalisations dans Ω, on peutse concentrer sur les réalisations qui sont encore possibles et calculer leursprobabilités.

CorollarySoient Ai et l’événement complémentaire de A, Ai dans Ω. La théorème deBayes permet d’écrire,

P(Ai |B) =P(B|Ai )P(Ai )

P(B|Ai )P(Ai ) + P(B|Ai )P(Ai )


Théorème de Bayes III

Example

On a la distribution des notes finales dans un cours. La part "des étudiantsayant une note supérieure à BB" (événement HG) est de 30%. On voit que%90 des étudiants HG et %70 des non-HG sont assidus (A) plus de %80.On choisit au hasard un étudiant.

Quel chance d’avoir un bon étudiant sachant que l’étudiant choisit estassidu plus de %80.


Théorème de Bayes IV

On commence par une illustration de l’information donnée:

ECO II

P(A ∩ HG) = 0.27

P(A|HG) = 0.9

P(A ∩ HG) = 0.03

P(A|HG) = 0.1P(HG) = 0.3

P(A ∩ HG) = 0.49

P(A|HG) = 0.7

P(A ∩ HG) = 0.21

P(A|HG) = 0.3

P(HG) = 0.7


Théorème de Bayes V

Ensuite, on peut facilement déduire la probabilité recherché en utilisant lathéorème de Bayes,

P(HG |A) =P(A|HG )P(HG )

P(A|HG )P(HG ) + P(A|HG )P(HG )(1)

=0.90× 0.30

(0.90× 0.30) + (0.70× 0.70)(2)

= 0.36 (3)

Au numérateur, notez qu’on a la probabilité de l’événement "l’étudiant aeu plus de BB et assidu plus de 80%".


Exemples: Proba. conditionelle I

Example

On sait qu’un test sanguin est capable de détecter une maladie à 0.99.Néanmoins, la probabilité de résultat positive à tord est de 2%. On sait que0.1% de la population totale est susceptible d’avoir la maladie. Sachantque le test a donné un résultat positive pour l’individu A, quelle est laprobabilité qu’il soit vraiment malade?


Exemples: Proba. conditionelle II

Example

On a deux sacs. Le premier contient 6 boules noires et 2 boules blanches etla deuxième contient 2 boules blanches et 2 boules noires. On choisit unsac au hasard et tire une boule. On voit que la boule est blanche. Quel estla probabilité que la boule soit du premier sac?


Exemples: Proba. conditionelle III

Example

Un conducteur sobre a 1 chance sur 1000 d’avoir un accident de voiture aucours d’une période. Par contre, un conducteur ivre a 1 chance sur 50.Selon les statistiques, on sait qu’un conducteur sur 100 est ivre.

Quelle est la probabilité qu’il y ait un accident et que le conducteursoit ivre?S’il arrive un accident, quel est la probabilité que le conducteur soitivre?


Voir le TD 1 les exercices résolues.Ch III dansSheldon, Ross (2004), Introduction to Probability and Statistics forEngineers and Scientists, Third Edition, Elsevier Academic Press.Ch I dansDimitri P. Bertsekas and John N. Tsitsiklis (2008), Introductionto Probability, Second Edition, Athena Scientific.


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