ECOLE POLYTECHNIQUE UNIVERSITAIRE DE MONTPELLIER · PDF file ECOLE POLYTECHNIQUE UNIVERSITAIRE...

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  • ECOLE POLYTECHNIQUE UNIVERSITAIRE

    DE MONTPELLIER

    Représentation et Synthèse des

    Systèmes Logiques

    Serge PRAVOSSOUDOVITCH

    ECOLE POLYTECHNIQUE UNIVERSITAIRE DE MONTPELLIER UNIVERSITE MONTPELLIER II SCIENCES ET TECHNIQUES DU LANGUEDOC

    Place Eugène Bataillon 34095 MONTPELLIER CEDEX 5 Tél. : 04 67 14 31 60 – Fax : 04 67 14 45 14

    E-mail : [email protected]

  • Table des matières

    1

  • Table des matières

    2

    Table des Matières

    Chapitre 1 : Algèbre de commutation ............................................................................................................ 8 1.1. Algèbre de Boole ................................................................................................................................ 8 1.2. Postulats de l’algèbre de commutation................................................................................................ 9 1.3. Théorèmes de l’algèbre de commutation ............................................................................................ 9

    1.3.1. Théorèmes monovariables ........................................................................................................... 9 1.3.2. Théorèmes multivariables ............................................................................................................ 9

    1.4. Dualité................................................................................................................................................. 11 1.4.1. Principe de dualité........................................................................................................................ 11 1.4.2. Applications du principe de dualité ............................................................................................. 11

    1.5. Opérateurs et ensembles d’opérateurs................................................................................................. 12 1.5.1. Opérateurs élémentaires............................................................................................................... 12 1.5.2. Opérateur NAND......................................................................................................................... 14 1.5.3. Opérateur NOR ............................................................................................................................ 14 1.5.4. Opérateur INIB (Inhibition)......................................................................................................... 15 1.5.5. Opérateur IMPL (Implication) ..................................................................................................... 15 1.5.6. Opérateur XOR (OU exclusif) ..................................................................................................... 15

    1.5.6.a. Identités remarquables........................................................................................................... 16 1.5.6.b. Exemples d’utilisation de l’opérateur XOR.......................................................................... 17

    1.5.7. Opérateur MUX21 (Multipleur 2 vers 1)..................................................................................... 17 1.6. Implantation technologique des opérateurs logiques .......................................................................... 18

    1.6.1. Implantation à relais..................................................................................................................... 18 1.6.2. Implantation en technologie NMOS ............................................................................................ 20 1.6.3. Implantation en technologie CMOS ............................................................................................ 22

    Chapitre 2 : Fonctions et équations logiques ................................................................................................ 24

    2.1. Fonctions logiques .............................................................................................................................. 24 2.1.1. Domaine de définition.................................................................................................................. 24 2.1.2. Fonctions logiques simples .......................................................................................................... 25 2.1.3. Fonctions logiques multiples ....................................................................................................... 25 2.1.4. Fonctions logiques incomplètement spécifiées ............................................................................ 25

    2.2. Représentation des fonctions logiques ................................................................................................ 26 2.2.1. Représentation algébrique............................................................................................................ 26 2.2.2. Représentations tabulaires........................................................................................................... 27

    2.2.2.a. Table de vérité....................................................................................................................... 27 2.2.2.b. Table de Veitch ..................................................................................................................... 27 2.2.2.c. Table de Karnaugh ................................................................................................................ 28

    2.2.3. Représentations implicites ........................................................................................................... 29 2.2.3.a. Image caractéristique............................................................................................................. 29 2.2.3.b. Image décimale ..................................................................................................................... 29

    2.2.4. Représentations graphiques ......................................................................................................... 30 2.2.4.a. Hypercube ............................................................................................................................. 30 2.2.4.b. Treillis ................................................................................................................................... 30 2.2.4.c. Logigramme ......................................................................................................................... 31

    2.3. Fonctions remarquables ...................................................................................................................... 32 2.3.1. Fonctions linéaires ....................................................................................................................... 32

  • Table des matières

    3

    2.3.2. Fonctions paires et impaires......................................................................................................... 32 2.3.3. Fonctions symétriques ................................................................................................................. 33

    2.4. Formes canoniques des fonctions logiques ......................................................................................... 32 2.4.1. Théorème d’expansion de Shannon ............................................................................................. 34 2.4.2. Formes de Lagrange..................................................................................................................... 35 2.4.3. Formes de Reed-Muller ............................................................................................................... 36 2.4.3. Formes de Davio .......................................................................................................................... 36

    2.5. Théorème d’inclusion ......................................................................................................................... 37 2.6. Equations logiques .............................................................................................................................. 39

    2.6.1. Résolution explicite ..................................................................................................................... 39 2.6.2. Résolution paramétrique .............................................................................................................. 40 2.6.3. Résolution de systèmes d’équation .............................................................................................. 41

    Chapitre 3 : Graphes de décision binaires...................................................................................................... 42

    3.1. Arbres de décision binaire................................................................................................................... 42 3.2. Diagrammes de décision binaires (OBDD)......................................................................................... 43 3.3. Construction des BDDs....................................................................................................................... 45

    3.3.1. Méthode top-down....................................................................................................................... 46 3.3.2. Méthode bottom-up...................................................................................................................... 46

    3.4. Opérations logiques entre deux fonctions représe