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Enseignement dapprofondissementMathmatiques Appliques

Jeremy Lain et Laurent Leconte

Ecole polytechnique

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Le systme GPS J. Lain et L. Leconte 1

Table des matires

Introduction......................................................................................................................... 2

1. Le signal gnr par les satellites.................................................................................... 3

1.1. Gnralits sur le signal GPS................................................................................... 3

1.2. Multiplexage par codes (CDMA) ............................................................................ 5

1.3.1. DS-CDMA........................................................................................................ 5

1.3.2. Construction des codes de Gold........................................................................ 7

1.3. Le contenu du signal GPS........................................................................................ 9

1.3.1. Format du message ........................................................................................... 9

1.3.2. Contenu du message ....................................................................................... 101.4. Les perturbations lors de la transmission............................................................... 10

1.4.1. Le bruit additif ................................................................................................ 11

1.4.2. Linfluence de latmosphre ........................................................................... 12

1.4.3. Les trajets multiples ........................................................................................ 12

2. Le traitement du signal effectu par le rcepteur.......................................................... 14

2.1. La structure dun rcepteur GPS............................................................................ 14

2.1.1. Les diffrents types de rcepteurs................................................................... 14

2.1.2. Le schma gnral dun rcepteur .................................................................. 15

2.2. Modlisation dun corrlateur................................................................................ 16

2.3. Synchronisation initiale (code acquisition)............................................................ 19

2.3.1. Principe de la synchronisation ........................................................................ 192.3.2. Domaine et pas de la recherche ...................................................................... 20

2.3.3. Temps dacquisition........................................................................................ 21

2.3.4. Estimation de dPet faP ................................................................................... 22

2.3.5. Application numrique.................................................................................... 25

2.3.6. Maintien de la synchronisation (code tracking).............................................. 26

2.4. Le calcul des pseudo-distances .............................................................................. 26

2.4.1. Calcul de la pseudo-distance : le principe....................................................... 26

2.4.2. Les erreurs intrinsques au systme................................................................ 27

3. Les amliorations possibles .......................................................................................... 29

3.1. Les filtres encoches............................................................................................. 293.2. Principe du filtrage par la transforme en ondelettes............................................. 32

Conclusion ........................................................................................................................ 35

Bibliographie..................................................................................................................... 36

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Introduction

Le systme GPS (Global Positioning System) a t conu pour permettre

dobtenir, partout dans le monde et rapidement, des donnes de navigation

tridimensionnelles, avec une prcision de lordre de la centaine de mtres. Il se base

sur une constellation de satellites, qui mettent en permanence un signal dat, et un

rseau de stations au sol qui surveillent et grent les satellites. Les rcepteurs sont

passifs et le nombre dutilisateurs est donc illimit. La localisation est possible ds

lors que quatre satellites sont visibles : il y a en effet quatre inconnues dterminer,

les trois coordonnes spatiales, ainsi que le temps, puisque le rcepteur au sol nest

pas synchronis avec les satellites. Pour ce faire, les 24 satellites du systme sont

quirpartis sur six orbites de faon garantir quau moins quatre satellites soient

visibles en permanence (un satellite tant considr comme visible ds lors que son

angle dobservation est suprieur 15 par rapport lhorizon), et ce, partout sur

Terre.

Le systme GPS a t dclar oprationnel en dcembre 1993, aprs une phase

de validation du systme (1973-1979) et une phase de tests et de dveloppement

(1979-1985). De nouvelles gnrations de satellites sont rgulirement mises en

orbite, afin de remplacer les satellites arrivant en fin de vie.

Le systme GPS a de nombreuses applications, aussi bien civiles que

militaires, telles que la navigation (air, terre, mer) ou le relev de positions

gographiques, par exemple. Cependant, son principe de fonctionnement le rend

sensible plusieurs types de perturbations : leurrage, bruit thermique, effet Doppler

Nous avons tudi plus particulirement laspect traitement du signal pour le GPS, savoir la faon dont chaque satellite gnre son signal particulier, les perturbations

qui dgradent ce signal, et les techniques mises en uvre par les rcepteurs pour

rcuprer le signal initialement mis par un satellite donn. Finalement, nous nous

sommes intresss aux amliorations possibles apporter aux rcepteurs afin de

garantir une robustesse accrue du systme aux perturbations (volontaires ou

involontaires).

Nous dcrirons donc dans une premire partie la synthse du signal GPS par

les satellites de la constellation, et les dgradations subies par le signal lors de la

transmission. Nous nous intresserons ensuite au traitement effectu par les rcepteurs

sur le signal GPS pour acqurir et suivre un satellite, et pour rcuprer son message.Finalement, nous dcrirons quelques amliorations possibles pour amliorer la

rsistance du systme aux perturbations.

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1. Le signal gnr par les satellites

1.1. Gnralits sur le signal GPS

Le systme GPS a une frquence de basef0 = 10,23 MHz, qui dfinit toutes lesautres frquences utilises par le systme. Les satellites mettent ainsi sur deux

frquences porteuses L1 et L2 :

L1 = 1575,42 MHz = 154.f0.

L2 = 1227,60 MHz = 120.f0.

La frquence de base est gnre dans les satellites par des horloges

atomiques, celle-ci tant lgrement dcale pour compenser les effets relativistes.

Le systme utilise de plus deux codes pour transmettre les donnes denavigation :

Le code P (precision), cadenc 10,23 MHz, est un code militaire dont

lencodage na pas t rendu public. Il a une priode libre de 266 jours (soit 38

semaines).

Le code C/A (coarse/acquisition) est quant lui cadenc 1,023 MHz ; cest

un code de Gold (nous reviendrons plus loin sur ses proprits). Chaque satellite a un

code unique, distinct des autres codes. Le code C/A permet une localisation plus

rapide, mais moins prcise ; il est de plus accessible tous.

Les donnes de navigation sont transmises par un signal D prenant les valeurs

0 ou 1, dont la frquence est de 50 Hz (ce qui signifie que lon transmet 50 bits par

secondes). Le signal est tout dabord additionn modulo 2 au code choisi (P ou C/A).

La porteuse L1 est alors module en phase par le signal P D et en quadrature par lesignal C/A D (o reprsente loprateur XOR). La porteuse L2 est simplementmodule en phase par le signal P D.

Le schma de la figure 1.1 rsume le processus de gnration du signal GPS.

De plus, une puissance minimale de rception du signal est garantie. Elle est

dfinie dans le tableau ci-dessous, dans lhypothse dune antenne de gain unitaire :

Code C/A Code P

Niveau du signal garanti sur L1 -130 dBm (-160 dBW) -133 dBm (-163 dBW)

Niveau du signal garanti sur L2 - -136 dBm (-166 dBW)

tableau 1.1 : les niveaux de signal garantis (dBm : dcibel milliwatts).

Nous verrons que ces niveaux sont largement infrieurs aux perturbations

gnres par lenvironnement extrieur, en particulier le bruit thermique gnr par laTerre.

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figure 1.1 : la gnration du signal GPS.

Les signaux mis par un satellite sont donc de la forme :

S1 = Ap.(PD)(t).cos(2.L1.t + ) + Ac.(C/A D)(t).sin(2.L1.t + )

S2 = Bp.(PD)(t).cos(2.L2.t + ),

o Ap, Ac, et Bp correspondent aux niveaux de sortie des signaux, reprsente les

imperfections de loscillateur, et o (PD)(t) et (C/A D)(t) prennent les valeurs 1ou -1 (cf. section suivante).

Finalement, nous allons nous intresser au spectre frquentiel du signal GPS.

Le signal peut, comme on la vu ci-dessus, scrire comme tant de la forme

( ) ( ). ( )S t p t g t = o p est une sinusode et o g est la fonction caractristique delintervalle [0, T], T reprsentant la priode du code choisi. Le spectre de S sera donc

de la forme1

2S p g

= . Or :

( )1 11

( 2 ) ( 2 )2

p L L

= + + , et

( )( )

/ 211 sin / 2

iTiT eg e T

= = .

Le spectre de S est donc un sinus cardinal centr la frquence de la porteuse.

Lallure de la puissance spectrale du signal L1 est donne dans la figure 1.2 ci-

dessous :

Porteuse L11575.42 MHz

Code C/A1.023 MHz

Donnes D50 Hz

Code P

10.23 MHz

Porteuse L2

1227.60 MHz

Modulation

BPSK - 6 dB Signal L2

Dphasage 90 Modulation

BPSK

ModulationBPSK

- 3 dB

Signal L1

C/A D

P D

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figure 1.2 : le spectre du signal GPS.

On constate que le spectre est tal sur une bande passante assez large : cest

un phnomne caractristique du CDMA.

Nous allons prsent dcrire plus prcisment le principe du CDMA et la

gnration des codes C/A.

1.2. Multiplexage par codes (CDMA)

1.3.1. DS-CDMA

La mthode de multiplexage/dmultiplexage employe pour pouvoir sparer

les signaux des diffrents satellites est le CDMA ou multiplexage par codes. Le

principe est le suivant : chaque satellite dispose dune cl (mot dun code) laide de

laquelle il code linformation transmettre. Connaissant la cl dun satellite donn, le

rcepteur est capable dextraire le message de ce satellite du signal composite reu. Il

sagit dune mthode de multiplexage dite talement de spectre car chaque satellite

met sur une large bande de frquence. Dans le cas du GPS il sagit dun multiplexage

DS-CDMA (Direct Sequence) dont le principe est expos ci-dessous.

Multiplexage.

On considre une porteuse de pulsation0

dont la phase est module par les

donnes transmettre :

[ ]0( ) cos ( )d ds t t t = +

Ltalement de spectre DS-CDMA par BPSK (binary phase-shift keying)

sobtient en multipliant ( )ds t par une squence pseudo-alatoire ( )c t compose de 1

et de -1 :

[ ]0( ) ( ) cos ( )t ds t c t t t = +

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Comme il a est montr dans la section prcdente, ce produit dans le domaine

temporel se traduit par un produit de convolution dans le domaine frquentiel, do

ltalement spectral.

Dmultiplexage.

Aprs avoir transit travers un canal non-dispersif avec un dlai de

transmission dT le signal reu est [ ]0( ) ( ) cos ( )r d d d s t c t T t t T = +

Le dmultiplexage sobtient par multiplication de ce signal par ( )dc t T . Onvoit ici quun problme important du dmultiplexage CDMA est de russir se

synchroniser par rapport au signal reu, c'est--dire de dterminer dT .

Cas particulier dune modulation BPSK de la porteuse.

La mthode par laquelle on effectue la modulation initiale de la porteuse

(c'est--dire la manire dont on reprsente les donnes transmettre) na pas encore

t prcise. Dans la plupart des cas, comme par exemple pour le GPS, cette

modulation est une modulation BPSK, et les calculs se simplifient alors, en notant

( )d t la fonction valeurs dans {-1,1} qui reprsente les donnes binaires

transmettre :

[ ]0( ) ( ) ( ) costs t d t c t t =

figure 1.3 : la modulation BPSK.

On voit ici que lorsquon veut mettre un 0, on met le produit de la porteuse

par le code c(t) et lorsquon veut mettre un 1, on met le produit de la porteuse par

loppos du code c(t). On peut donc ramener les calculs des calculs sur des

squences antipodales ( valeurs dans {-1,1}).

On dfinit la corrlation normalise entre deux mots a et b de longueurNpar :

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*

1

1( , )

N

i i

i

C a b a bN =

=

Si c(t) est priodique de priode N, on rcupre les bits de donnes de d(t) en

calculant la corrlation entre c(t)d(t) et le mot de code { }(0), , ( 1)c c N

.

Plaons nous maintenant dans le cas o on a plusieurs messages (cods avec

mots diffrents) qui se superposent. Dans le cas dune rception synchrone des

signaux mis par les satellites, pour que le dmultiplexage soit fiable, il faut choisir

des codes dont les corrlations croises sont les plus faibles possibles.

Or, les satellites ntant pas tous la mme distance du rcepteur, il faut de

plus que les codes choisis aient une faible corrlation croise lorsquon les dcale lun

par rapport lautre. Les codes choisis pour le systme GPS sont les codes de Gold.

1.3.2. Construction des codes de Gold

m-sequences

On commence par gnrer une m-sequence de longueur 2 1nN= (1023 bitsavec 10n = dans le cas du GPS), un code cyclique dont le polynme gnrateur

minimal est de degr n. Il existe des tables des polynmes de 2[ ]

( 1)nF X

X qui gnrent

des m-sequences. Pour 10n = on peut prendre par exemple (cest dailleurs lun desdeux polynmes utiliss pour le GPS) :

3 101P X X = + +

Une des particularits des m-sequences est que si on calcule la corrlationentre un mot et ce mme mot dcal dun nombre arbitraire de bits, on nobtient que

deux valeurs :

1 si le dcalage est de 0 (mod N)

1

N autrement

On remarque quil ny a pas orthogonalit, ce qui vient du fait que le nombrede zros et de uns (-1 et 1 dans les calculs de corrlation) dans la squence nest pas le

mme.

Paires privilgies

Il est possible de choisir des paires particulires de m-sequences dont lacorrlation donne trois valeurs :

1( )t n

N ,

1

N ou [ ]

1( ) 2t n

N avec

1

2

2

2

1 2 (si est pair)t(n)

1 2 (si est impair)

n

n

n

n

+

+

+

=

+

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soit une corrlation maximale de lordre de 22n

en valeur absolue.

Ces paires sont appelespaires privilgies. On peut montrer qu partir dune

m-sequence 1m quelconque, on peut obtenir une m-sequence 2m qui complte la paire

par re-chantillonnage de la premire.On note 2 1[ ]m m q= si 2m est obtenue en prenant un symbole de 1m tous les

q symboles. 2m est effectivement une m-sequence et forme une paire privilgie avec

1m si on a :

0 mod 4n (dans le cas du GPS 10n = , ce qui convient)

2 1[ ]m m q= avec2

2 1 (mod 2 1)

2 2 1 (mod 2 1)

k n

k k n

q

ou

q

= + = +

1 si est impair

( , ) 2 si = 2 mod 4

n

n k n

=

Dans le cas de codes de 1023 bits, cela signifie quon peut

prendre { }5,13,17,65,241,257,832,964q :

k 2 1 (mod 2 1)k n+ 22 2 1 (mod 2 1)k k n +

2 5 13

4 17 241

6 65 964

8 257 832

tableau 1.2 : les valeurs de q pour n = 10.

Codes de Gold

Si on considre une paire privilgie de m-sequences ( 1m , 2m ), on construit les

mots dun code de Gold suivants :

{ }

1

2

1 2

0, , 1i

m

m

m D m i N

+

( iD reprsente un dcalage de ibits vers la droite)

Les codes de Gold ainsi construits sont faiblement corrls, avec les mmes

trois valeurs de corrlation possibles que pour la corrlation entre 1m et 2m . De plus,

leur spectre dauto-corrlation prsente un pic aigu pour le code en phase.

Avec ce type de codes on est donc capable de :

a) se synchroniser sur le signal dun satellite dont on connat le code (dtectiondun pic de corrlation en valeur absolue).

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1.3.2. Contenu du message

Pour quun utilisateur puisse dterminer sa position laide du signal satellite,

il faut quil connaisse la position des satellites et la distance qui le spare de ceux-ci.

Les satellites GPS doivent donc mettre des lments permettant de calculer leur

position, ainsi que lage de ces informations, afin de dterminer les satellites utiliseren priorit pour obtenir une meilleure prcision. Tous ces lments se retrouvent dans

les sous-trames 1, 2, et 3, rpartis comme suit :

Sous-trame 1 2 3

Contenu

N du satellite. N de

semaine. Age des donnes.Prcision, tat de sant dusatellite. Coefficients decorrection de lhorloge.

Paramtres dorbite

(phmrides)

Paramtres dorbite

(phmrides)

tableau 1.3 : contenu des sous-trames du signal GPS.

Les phmrides contiennent les paramtres orbitaux du satellite ainsi que

leurs coefficients de correction.

Les sous-trames 4 et 5 dcrivent, quant elles, les almanachs de tous les

satellites en orbite et leur tat de sant. Lalmanach permet de calculer

approximativement la position dun satellite, et de dterminer sil est visible ou pas.

De plus, il donne une ide grossire de la vitesse relative du satellite et ainsi de leffet

Doppler prendre en compte pendant lacquisition. La sous-trame 4 contient

galement les coefficients du modle ionosphrique, qui permet daffiner le calcul dela distance satellite-rcepteur.

Notons pour conclure que le segment de contrle du systme GPS (les stations

fixes au sol qui supervisent les satellites) calcule et rafrachit les phmrides

rgulirement (une fois par jour), et transmet les nouvelles informations aux satellites.

Comme ces corrections ne sont pas rafrachies simultanment, lutilisateur a intrt

utiliser les plus rcentes (lge des donnes tant donne dans la sous-trame 1).

1.4. Les perturbations lors de la transmission

Lors de sa transmission, le signal subit plusieurs types de dgradations. On

peut citer en particulier lajout de bruit additif, la distorsion et lattnuation du signal

lors de sa traverse de latmosphre, et la possibilit dinterfrences dus aux signaux

GPS rflchis proximit de la surface, connue sous le nom de trajets multiples

(puisque plusieurs signaux du mme satellite arrivent au rcepteur en ayant suivi des

chemins diffrents). Nous allons dans cette section dcrire les modlisations de ces

diffrentes perturbations, et donner un ordre de grandeur de leurs influences

respectives.

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1.4.1. Le bruit additif

On distingue deux types de bruit additifs : les bruits blancs gaussiens

(AWGN : Additive White Gaussian Noise) et les signaux sinusodaux (CWI : Carrier

Wave Interference).

Signalons en particulier le bruit thermique, bruit blanc gnr par la Terre,auquel vient sajouter le bruit gnr par le rcepteur lui-mme (pertes dues

lantenne, aux cbles). La densit spectrale de bruit thermique est dfinie par :

[ ]0 010log( ) 204 dBW / HzN k T =

o kest la constante de Boltzmann (k 1,38.1023) et T0 est la temprature de rfrence(T0 = 290 K). La puissance de bruit aprs lantenne du rcepteur est donc :

[ ]10log( ) dBWtherm o f N N B N = + +

o B est la bande du filtre du rcepteur et Nf reprsente le bruit du rcepteur

(typiquementNf 4 dB). On peut alors calculer le rapport signal sur bruit pour le codeC/A, en fonction de la bande passante du filtre :

Largeur de la bande passante 2 MHz 8MHz 20 MHz

SNR au rcepteur (dB) -23 -29 -33

Tableau 1.4 : rapport signal/bruit sans brouillage, en fonction de la bande passantedu filtre.

On constate deux proprits importantes du SNR (Signal/Noise Ratio):

Le SNR diminue lorsque la bande passante augmente. Il y a donc un choix faire pour la bande passante pour le rcepteur. Cet aspect sera tudi dans la

section 2.1.

le signal GPS est toujours en dessous du plancher du bruit thermique. Si lonconsidre alors le signal mis par un autre satellite, cest un bruit additif

ngligeable (pour ce qui est du SNR). On peut donc garder le modle ci-dessus

comme estimation du SNR. La modlisation du bruit thermique qui sen suit

est la suivante : Btherm est un bruit gaussien, de moyenne nulle et dauto-

covariance ( ) ( )2

therm

B

N

R n n= , o le facteur vient du fait que lon considre la fois les frquences ngatives et les frquences positives.

Les bruits sinusodaux sont quant eux dus aux missions parasites dans la

bande de frquence du GPS, quelles soient volontaires ou non. Notons que, hors

brouilleurs, il y a trs peu de systmes mettant dans la bande de frquence du GPS

(principalement des radars), mais que des harmoniques de frquence plus basses sont

susceptibles dtre dans la bande de frquence (signaux UHF et VHF, par exemple).

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1.4.2. Linfluence de latmosphre

Latmosphre perturbe les communications principalement de deux manires :

par attnuation et brouillage du signal dans certaines bandes de frquences, et par

dispersion des frquences lors de la traverse de lionosphre. Pour tudierlattnuation des signaux, on peut reprsenter celle-ci en fonction de la temprature du

ciel, comme on a reli ci-dessus le bruit thermique une temprature de rfrence

pour la surface de la Terre. La figure 1.5 reprsente la temprature du bruit gnr en

fonction de la frquence et de langle dlvation. On remarque quil existe une

fentre particulirement propice aux communications satellite, entre 1 et 10 GHz :

cest la fentre micro-onde, galement appele space window . On remarque de

plus que la pluie a une influence importante sur lattnuation des signaux : la pluie

absorbe le signal et cre du bruit proximit de lantenne. Pour pallier ce problme,

on choisit donc souvent la rgion basse de la fentre micro-onde pour communiquer

avec les satellites ; cest par exemple le cas pour le GPS, le SGLS (Space Ground

Link Subsystem, systme de larme amricaine), les systmes de contrle de la

NASA

figure 1.5 : le bruit atmosphrique en fonction de la frquence du signal (extrait de

[7]).

1.4.3. Les trajets multiples

Une autre cause possible derreur la rception est due au fait quun mme

signal peut arriver plusieurs fois au rcepteur, en ayant suivi des chemins diffrents.

Cest plus particulirement le cas proximit dune tendue deau, ou prs debtiments (cf. figure 1.6).

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figure 1.6 : un exemple de trajets multiples.

Les trajets multiples peuvent engendrer des interfrences destructrices, ou tout

simplement fausser les calculs si le mauvais signal est retenu par le rcepteur. De

plus, selon la direction de lantenne et le coefficient de rflexion, le signal rflchi

peut tre plus fort que le signal original. Cependant, au vu des caractristiques du

rcepteur, un signal rflchi peut tre nglig sil est plus faible que le signal original

de 30 dB, ou sil est dcal de plus de 1,5 chips de code (le corrlateur limine alors le

signal parasite). Pour le code C/A, ceci correspond une diffrence de marche de 450

m.

Notons finalement quil existe des stratgies pour liminer les ventuels trajets

multiples. En effet, un trajet rflchi est toujours en retard par rapport au trajet direct ;il est donc possible de mettre en place une logique de racquisition. De plus, R.

Landry suggre dans [5] quune possibilit de traitement du multitrajet est de

supprimer le lobe principal du signal GPS et deffectuer un traitement de corrlation

sur les lobes secondaires. Nous ne sommes pas intresss ce problme.

Btiment

Rcepteur

Signal satellite

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2. Le traitement du signal effectu par le rcepteur

Nous allons dans cette partie prsenter la structure gnrale dun rcepteur, et

tudier la faon dont les oprations principales (acquisition et suivi dun satellite,

rcupration des donnes de navigation, calcul des pseudo-distances) sont effectues.

Nous essaierons galement de modliser certains de ces aspects, afin dexpliquer les

performances des rcepteurs GPS.

2.1. La structure dun rcepteur GPS

Nous dcrivons dans cette section larchitecture gnrale dun rcepteur GPS.

2.1.1. Les diffrents types de rcepteurs

Le bon fonctionnement dun rcepteur ncessite que celui-ci soit capable

dacqurir et de traiter les signaux mis par au moins quatre satellites. Il existe pour

cela diffrentes stratgies :

le rcepteur canaux parallles : dans ce cas, le rcepteur dispose de plusieurs canaux (au moins 4) et traite les signaux des satellites en

simultan. Si le rcepteur a plus de 4 canaux, il peut utiliser les canaux

supplmentaires pour chercher et acqurir de nouveaux satellites, et ainsi

sassurer que la configuration choisie des satellites est toujours optimale. Il

est galement possible, si le rcepteur possde plus de 10 canaux, de

travailler en utilisant tous les satellites en vue (all-in-view). Cette

technique permet de limiter les sauts dus au masquage ou la disparition

dun satellite particulier. De plus, le temps ncessaire lobtention de la

premire mesure (TTFF, ou time to first fix) est sensiblement rduit.

Le rcepteur squentiel : un rcepteur de ce type ne possde quun ou deuxcanaux dacquisition. Il faut alors acqurir un premier satellite, effectuer

une mesure, mmoriser les paramtres daccrochage du satellite, puis faire

de mme successivement jusqu avoir obtenu 4 pseudo-distances. Le

rcepteur calcule alors sa position, puis le processus recommence. LeTTFF est donc trs long, et le rcepteur ne peut pas oprer lors de

dplacements trop rapides.

Le rcepteur multiplex : larchitecture est la mme que pour un rcepteursquentiel, mais la commutation dun satellite un autre se fait beaucoup

plus rapidement, la frquence de 50 Hz. Le taux de rafrachissement est

donc rduit par rapport au rcepteur squentiel ; cependant, comme

seulement une fraction du temps est consacre la poursuite et au

traitement dun satellite, le rapport signal sur bruit se trouve dgrad par

rapport au rcepteur canaux parallles.

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Les deux derniers types de rcepteurs taient parmi les premiers du march et

ne sont plus utiliss de nos jours.

Notons de plus que certains rcepteurs utilisent les deux porteuses L1 et L2 afin

de calculer le retard d lionosphre et de saffranchir des donnes sur lionosphre

transmises par le satellite. En effet, lionosphre est un milieu dispersif et la vitesse de propagation dpend donc de la frquence ; en fait, la diffrence sur le temps de

propagation est proportionnel linverse de la frquence au carr (les termes dordre

suprieur tant ngligeables). On a alors, si d est la distance dterminer :

1 2

1

cd d

f= + et 2 2

2

cd d

f= + , o d1, d2 reprsentent les distances mesures

grce aux porteuses L1 et L2. La distance d est alors donne par la formule

1 2

1

d dd

=

, o est une constante :

2

1

2

1,6469f

f

=

.

2.1.2. Le schma gnral dun rcepteur

Un rcepteur contient, de manire gnrale, les modules suivants :

Une antenne, Un pr amplificateur, situ prs de ou dans lantenne (antenne active), Un ou plusieurs filtres destins nettoyer le signal reu, Un convertisseur de frquence qui transforme les signaux reus, dnots

RF (real frequency) en signaux IF (intermediate frequency) de frquences

plus basses,

Un convertisseur analogique-numrique, Un module numrique qui est ddi la synchronisation des boucles de

code, et au calcul de la corrlation,

Un module de calcul des coordonnes, Une interface utilisateur.

Le schma 2.1 rsume lorganisation du rcepteur. On remarquera que le

schma inclut galement un module AGC (Automatic Gain Control), qui rgule les

amplitudes lentre du convertisseur analogique-numrique. En effet, un bruit

additif trop fort lentre du convertisseur serait crt, introduisant des transitions

brusques et donc des harmoniques dans la bande de frquence GPS, susceptibles deperturber les calculs de corrlation. Le rle du module AGC et donc de normaliser en

temps rel lentre du convertisseur.

Le rle du filtre, quant lui, est de limiter le signal reu aux seules frquences

du signal GPS. Il y alors un compromis faire : plus la bande de frquence est large,

meilleure sera la corrlation, car on rcupre alors la quasi-totalit de la puissance du

signal ; de plus, on peut compenser les effets du multi-trajet. Cependant, une bande

passante largie augmente la puissance du bruit thermique, ainsi que le risque de

brouillage, volontaire ou non. Les rcepteurs bas de gamme utilisent typiquement une

bande de 2 MHz (correspondant au lobe principal) alors que les rcepteurs militaires

peuvent monter jusqu 50 MHz.

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17/37


figure 2.1 : organisation dun rcepteur numrique (extrait de [5]).

2.2. Modlisation dun corrlateur

Si lon suppose que lon connat un satellite qui transmet, et que le rcepteur

est synchronis avec le signal GPS du satellite en question, on doit tre capable de

rcuprer les donnes de navigation. Pour cela la technique utilise est la corrlation :on multiplie le signal reu par le code PRN gnr localement, et quon suppose

synchronis. On mesure alors la valeur obtenue en sortie de corrlateur. En labsence

de bruit, elle vaudra 1 ou -1 selon le bit de donne transmis ; on dtermine alors le bit

de donne grce la valeur en sortie du corrlateur (cf. figure 2.2). Nous allons

prsent tudier linfluence dun bruit suppos gaussien sur la prcision du calcul.

figure 2.2 : schma du corrlateur. s1 et s0 reprsentent les signaux idaux

correspondant un bit 1 ou 0.

On suppose que lon a dmodul le signal reu ; on ne travaille donc pas sur la

sinusode mme mais plutt sur ses sauts de phases, qui prennent en thorie les

valeurs 1 et -1. On reprsente alors le ime bit du signal reu r de la faon suivante :

( ) (2 1)(2 1) ( ) ( )i i i cr t d c g t iT z t = + ,

( )0

T

dt < 0 bit 1> 0 bit 0

r(t)

s0(t)-s1(t)

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o lon a utilis les notations suivantes : zest le bruit additif ; ci reprsente le ime bit

du code, di la valeur du bit de donne transmise linstant i, Tc est la priode du code

(donc pour le code C/A, Tc =1/1,023.106), etgreprsente la forme de limpulsion du

code (ici, on considre [ ]0,( ) 1 ( )cTg t t = ). Si lon suppose que lon cherche transmettre

le bit de donne 0, on a ( ) (1 2 ) ( ) ( ), 1,i i cr t c g t iT z t i n= + . Le rsultat de lacorrlation entre le signal reu et le signal idal correspondant au bit de donne 0 estdonc :

( 1)

0

1

Re ( ) (1 2 ) *( )c

c

n i T

i i ciT

i

CM r t c g t iT dt +

=

=

, soit, aprs calculs :

0

1

(2 1)n

c j j

j

CM n c =

= E ,

o [ ]( )0Re *( ) ( 1)Tc

j cg t z t j T dt = + reprsente le terme de bruit additif sur le jme

bit et cE est lnergie dun bit de code.

Si on calcule de mme la corrlation entre le signal reu et le signal idal

correspondant au bit de donne 1, on obtient :

1 0

1

(2 1)n

c j j

j

CM n c CM =

= + = E . Donc la diffrence CM0- CM1 vaut :

0

1

2 2 2 (2 1)n

c j jD CM n c = = E .

Le deuxime terme de cette quation est une somme de bruits blancs

indpendants entre eux. Le thorme de la limite centrale nous dit que lon peut donc

lapproximer par une variable alatoire gaussienne, que nous noterons x. Les c i sont

indpendants des i, donc [ ] [ ] [ ](2 1) 2 1 0i i i iE c E c E = = et [ ] 0E x = . Lavariance de x est :

2

1 1

4 (2 1)(2 1)n n

i j i j

j i

E c c E = =

= . Si on suppose en premire approximation

que les bits du PRN sont dcorrls entre eux, on a (2 1)(2 1)i j ijE c c = do :

( )2 24n E = , o ( )2E reprsente la variance dun lment j quelconque.

Dans le cas dun bruit blanc de puissance spectrale J0, on obtient

( )2 0cE J = E et :

02 cn J = E .

On connat prsent les paramtres de la variable gaussienne. On peut

maintenant calculer la probabilit queD soit ngatif, cest--dire que le bit dtect soitle mauvais :

( 0) ( 2 )cP D P x n< = > E .

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On introduit la fonction Q dfinie par2 / 21( )

2

t

xQ x e dt

+ = , et qui est telleque ( ) ( )P X x Q x> = , o X est une variable alatoire gaussienne de variance 1. Legraphe de cette fonction est donn dans la figure 2.3.

figure 2.3 : la fonction Q.

On a alors :

0( 0)

cn

P D Q J

< =

E

On peut rcrire cette relation en termes de puissance moyenne et de bande

passante. En notantR la frquence des donnes et W la frquence du code, on a

0

cn W

J R=

E, o est le rapport signal sur bruit.

Application numrique

On a dans le cas du code C/A 20 1023W

R

= . Do les probabilits :

Largeur de la

bande passante

2 MHz 8 MHz 20 MHz

SNR (dB) -23 -29 -33

SNR 0.005 0.001 0.0005

P(D

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Une possibilit pour prendre en compte un brouilleur est de modliser celui-ci comme

un bruit additif. Ce modle est en fait valable lorsque le brouilleur est bande

suffisamment large pour pouvoir lassimiler (localement) un bruit blanc. On rappelle

lexpression gnrale du rapport signal sur bruit non brouill :

( ) [ ]00

10log 40 dB-Hz

dB

r a f

NB

SS G k T N N

= +

avec Sr la puissance du signal, Ga le gain dantenne, etNf les pertes de cbles. Dans le

cas dun brouilleur de rapport puissance du brouilleur/signal

dBJ

S

, on trouve ([5],

p.23) un rapport signal/bruit quivalent :

[ ][ ]

[ ]0

//

1010

0

1010log 10 dB-Hz

.

dB

dB

NB

J SdB C N

ceq

S

N Q R

= +

oRc est la frquence du code (Rc = 1.023 MHz pour le code C/A) et Q est un facteurreprsentatif de la bande du brouilleur. La figure 2.4 reprsente le SNR quivalent

pour le code C/A , lorsque Q = 1 et Q = 2.

figure 2.4 : influence dun brouilleur sur le SNR (en rouge, Q = 1 ; en vert, Q = 2).

2.3. Synchronisation initiale (code acquisition)

2.3.1. Principe de la synchronisation

Le dmultiplexage CDMA se faisant par produit du signal reu et dun signal

de rfrence, il faut que ces deux signaux soient synchroniss la fois en phase et enfrquence. En effet, la synchronisation en frquence nest pas garantie puisque

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lmetteur et le rcepteur sont en gnral en mouvement lun par rapport lautre ce

qui introduit un dcalage frquentiel par effet Doppler.

Le principe utilis pour la synchronisation est le suivant. On gnre une copie

locale du code PN puis de la porteuse module par ce code avec notre estimation du

dlaid

T et de la pulsation de la porteuse0

. On tente alors de dmultiplexer le signal

reu avec ce signal. Si on est effectivement synchronis, le rsultat de la

multiplication sera un signal dont la largeur du spectre frquentiel est identique au

signal de donnes. En appliquant un filtre passe-bande qui ne laisse passer que les

frquences correspondant au signal de donnes et en mesurant lnergie du signal

filtr on peut dcider si oui ou non la synchronisation est bonne. Si ce nest pas le

cas, on corrige lestimation et on ressaie.

figure 2.5 : boucle dacquisition.

2.3.2. Domaine et pas de la recherche

La recherche de la phase et de la frquence se fait sur un domaine fini.

Lincertitude T qui porte sur la phase est la dure dun bloc de code C/A soit1msT = . Le pas de la recherche est dau plus chip (0.5 ns) car nous avons vu que

le pic dautocorrlation pour un code de Gold est trs troit.

Evaluons lincertitude sur la pulsation dans le cas dun rcepteur statique.Le cas ou leffet Doppler est maximal est celui o le satellite est bas sur lhorizon (on

considre quun satellite est utilisable si son lvation est suprieure 15) et tourne

dans le sens oppos la rotation de la Terre. On a alors une vitesse radiale du satellite par rapport au rcepteur -11300 m.srv . En utilisant les formules (classiques) pourleffet on trouve une drive frquentielle de 5kHz. On peut donc majorer lincertitude

sur la frquence par 10 kHz = . En pratique on utilise un pas de recherche delordre de 500Hz.

La mthode la plus simple pour se synchroniser consiste balayer lensemble

des cellules de la portion du plan temps / frquence ainsi dfini la recherche dun pic

ce corrlation et cest celle que nous tudions dans ce qui suit. On considrera que la

probabilit quune case soit la bonne est uniforme sur la portion du plan considre.

0

dT

dmultiplexage

Filtrepasse-bande

Dtectionde lnergie

Dcision(seuil)

Gnrateur decode PN

Signal reu

Correction

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2.3.3. Temps dacquisition

Prenons les notations suivantes :

dP : probabilit de dtection lorsquon examine la case correspondant la

synchronisation faP : probabilit de fausse alerte c'est--dire la probabilit de dtection

lorsquon examine une case errone

iT : temps dintgration , le temps ncessaire pour examiner une case

faT : temps de fausse alerte , le temps ncessaire pour se rendre compte

quon a pris la mauvaise case.

C: nombre de cases parcourir. On indexe les cases de 1 C.

Temps dacquisition moyen :

Le temps dacquisition moyen est calcul en examinant les diffrents scnariospossibles pour laccrochage de la bonne case. Chaque scnario est caractris par :

n : lindex de la case correspondant la synchronisation j : le nombre de dtections rates k: le nombre de fausses alertes

Le temps de dtection correspondant ce scnario est :

( , , ) ( )i i fa i faT n j k nT jCT kT n jC T kT = + + = + +

On a alors examin ( 1)j + cases correctes et 1K n jC j= + caseserrones. La probabilit de ce scnario est :

1( , , ) (1 ) (1 )

j K k K k

d d k fa faP n j k P P C P P C

=

(o KkC est le nombre de combinaisons klments parmis K.)

Lesprance du temps de synchronisation est alors :

, , 1 0 0

( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )C K

n j k n j k

E T T n j k P n j k T n j k P n j k

= = =

= =

1 0 0 0

1( ) (1 ) ( ) (1 ) (1 )

C K K

j K k K k K k K k d d i k fa fa fa k fa fa

n j k k

E T P P n jC T C P P T C kP P C

= = = = = + +

1 0

1( ) (1 ) ( ) ( 1)

Cj

d d i fa fa

n j

E T P P n jC T n jC j T P C

= =

= + + +

Aprs calcul, on trouve :

(2 )( ) ( 1) ( )

2

d ii fa fa

d d

P TE T C T T P

P P

= + +

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Variance du temps dacquisition

Le calcul de la variance du temps dacquisition se fait de manire analogue,mais il est un peu plus complexe du fait quon calcule un moment du second ordre.

2 2 2( ) ( )T E T E T = avec2 2

1 0 0

( ) ( , , ) ( , , )C K

n j k

E T T n j k P n j k

= = =

=

Aprs calculs on trouve [4] :

2 2 22 22

2 2

2 2 22

2

11 ( 1) ( 1)( ) (2 1)

12

1 2 22( 1) ( 1) ( 1)

2 2

dT i fa fa i

d d d

d d di fa fa fa fa fa fa

d dd

PC C CT T P C T

P P P

P P P C TT P C T P C T P

P PP

= + + +

+ +

2.3.4. Estimation de dPet faP

Les calculs prcdents ont montr que la moyenne du temps dacquisition comme sa

variance sont fonction entre autres de dPet aP . Pour obtenir des valeurs numriques,

il nous faut estimer ces probabilits. On se place dans le cas de figure le plus simple,o le dtecteur dnergie fonctionne par lvation au carr du signal sortant du filtre

passe-bande en aval du dmultiplexeur, filtrage passe-bas (avec une frquence de

coupure IF ) de celui-ci et intgration sur la dure iT. On compare alors le rsultat

un seuil TV pour dterminer si on est synchronis avec le signal reu.

figure 2.6 : lalgorithme de dcision.

Estimation de faP

Le cas de fausse alerte correspond une sortie de lintgrateur TV V> tout ennayant que du bruit en sortie du dmultiplexeur (le dmultiplexage a chou). Le

signal sortant du filtre passe-bande (centr en IF et de largeurB ) est alors un bruit

blanc gaussien que nous pouvons dcomposer en bruit en phase et bruit en

quadrature :

Filtre passe-

bande ( IF ,B)( )

2

Sortie dudmultiplexeur

Filtre passe-

bas ( IF )

Integration

sur iT

Comparaison TV

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( ) 2 ( )cos 2 ( )sinI IF Q IF n t n t t n t t =

In et Qn sont des bruits blancs gaussiens de support frquentiel ,2 2

B B .

Lorsquon lve n(t)au carr et quon applique le filtre passe-bas, les termes croiss

et les termes avec cos2 IFt ou sin2 IFt en facteur disparaissent, laissant :2 22 ( ) ( ) ( )I QPB

n t n t n t = +

En sortie de lintgrateur on obtient donc :

2 2

0 00 0

2 2( ) ( )

i iT T

I QV n t dt n t dt N N

= +

o le terme0

2

Nest introduit pour normaliser les gaussiennes.

Les transformes de Fourier de In et Qn ayant pour support [ ],B B , lethorme de Nyquist nous permet dcrire ces fonctions comme une interpolation

dchantillons :

( ) ( )sinc( )I Ik

kn t n Bt k

B

+

=

=

Considrons maintenant la fonction '( )In t , fentre de ( )In t sur[ ]0, iT :

'( ) ( ) ( )I In t n t h t = avec [ ]0,( ) 1 ( )iTh t t=

Calculons sa transforme de Fourier :

'( ) ( )I In n h = avec 2( ) sinc( )2 2

iTii iT Th e

=

On ne peut pas appliquer le thorme de Nyquist pour '( )In t car, limite dans

le temps, elle ne peut avoir un support frquentiel identique celui de ( )In t .

Nanmoins, le sinus cardinal dcroissant rapidement, si 1iBT on peut considrer

quen dehors du domaine [ ],B B la transforme de Fourier sannule rapidement ;

on sautorise alors appliquer le thorme de Nyquist et on considre quon a :

1

'( ) ( )sinc( )iBT

I I

k

kn t n Bt k

B=

do :2

2 2

10 0 00

2 2 2( ) ' ( ) '( )sinc( )

i iT BT

I I I

k

kn t dt n t dt n Bt k dt

N N N B

+ +

=

=

En utilisant le fait que , '1

sinc( )sinc( ')

B

k kBt k Bt k dt +

= il vient :

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2 2

10 00

2 2( ) ( )

i iT BT

I I

k

kn t dt n

N BN B= et en procdant de mme avec ( )Qn t on a :

2 2

10

2( ) ( )

iBT

I Q

k

k kV n n

BN B B=

+

On voit ici que V est la somme du carr de 2 iBTvariables alatoires

gaussiennes centres rduites indpendantes, et il sagit par consquent dun chi carr

2 iBT degrs de libert et la densit de sa loi de probabilit est, en notant 2 in BT= :

12 2

2

1( ) ( 0)

22

n y

c np y y e y

n

=

La probabilit de fausse dtection est la probabilit davoir en sortie de

lintgrateur un TV V> tout en nayant que du bruit en sortie du dmultiplexeur,do :

( )

T

fa c

V

P p y dy

=

Estimation de dP

Pour calculer dP , on procde de faon analogue ce qui prcde mais en

considrant quen sortie du filtre passe-bande on a cette fois-ci la somme dun signal( )s t et dun bruit blanc additif gaussien ( )n t . On considre que ( )s t est une sinusode

de pulsation IF et de phase correspondant la modulation par les donnes. On

peut dcomposer ( )s t comme on avait dcompos ( )n tprcdemment :

( ) 2 cos cos 2 cos sinIF IF s t P t P t =

Aprs lvation au carr et filtrage passe-bas, on obtient :

[ ]2 22

( ) ( ) cos ( ) sin ( )PB I Qs t n t P n t P n t + = + + +

La phase est constante sur la dure dintgration puisquon intgre sur unbloc de code, c'est--dire un bit de donnes. En sautorisant la mme approximation

que prcdemment sur le support des transformes de Fourier des signaux considrs,

on a en sortie de lintgrateur:

2 2

10

2cos ( ) sin ( )

iBT

I Q

k

k kV P n P n

BN B B

=

+ + +

On a nouveau une somme de 2 iBT variables alatoires gaussiennes rduites,

mais cette fois-ci elles ne sont pas centres. En effet, les variables relatives au signal

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en phase ont pour valeur moyenne0

2cos

P

BN et les variables relatives au signal en

quadrature ont pour moyenne0

2sin

P

BN. On a donc un chi carr non centr dont la

densit de probabilit scrit :

( )2

42 2

n1

2

1( ) I y ( 0)

2

ny

nc

yp y e y

+

=

avec ( ) ( )2 2

10 0

2

2cos sin 2

: fonction de Bessel modifie d'ordre N

i

i

BT

i

k

N

n BT

PP P T

BN N

I

=

= = + =

On retrouve ici le rapport signal sur bruit en bande de base.

La probabilit de dtection est la probabilit davoir en sortie de lintgrateur

un TV V> :

( )

T

d nc

V

P p y dy

=

2.3.5. Application numrique

Dans le cas du GPS, on a :

[ ]

[ ]

3

2

3

4

0

40920

10 s

2.10 s

10 Hz

40 dB Hz 10

i

fa

C

T

T

B

P

N

= = =

=

= =

Pour faT , la pnalit en cas de fausse alerte, nous avons pris 20ms, en

considrant quon se rend compte dune erreur lorsquon a trait 20 rptitions du

code C/A, c'est--dire un bit effectif du message. Nous verrons que ce facteur nestpas trs important car la probabilit de fausse alerte peut tre ramene une valeur

trs faible en choisissant bien le seuil de dtection.B correspond la largeur de bandede la porteuse module par les donnes.

Si on trace lesprance du temps dacquisition ( )E T en fonction du seuil de

dtection TV , on trouve un minimum pour 13TV = , ce qui correspond un temps

dacquisition moyen denviron 32s. Ce rsultat est cohrent avec les valeurs trouvesdans la pratique.

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2.3.6. Maintien de la synchronisation (code tracking)

Nous avons considr que la synchronisation initiale nous permettait de nous

synchroniser mieux quun demi chip en phase et mieux que 500Hz en frquence surle signal reu. Emetteur et rcepteur tant en mouvement relatif lun par rapport

lautre, il faut maintenir cette synchronisation au cours du temps.

Pour cela on utilise des boucles de poursuite dont lexemple le plus simple

sont les Delay-Lock Loops (DLL) en bande de base. Ces boucles fonctionnent demanire analogue aux PLL quon utilise pour se synchroniser sur un signal sinusodal.

Ce type de boucle suppose quon a au pralable dmodul le signal reu de faon ne

rcuprer que le code utilis pour ltalement spectral. On note le signal rsultant de

cette dmodulation ( ) ( ) ( )r ds t Pc t T n t = + o ( )c t est le code dtalement.

On corrle ( )rs t avec un code lgrement en avance (i.e. en avance de

moins dun demi chip, car sinon la corrlation sera ngligeable de par les proprits

dauto-corrlation des codes de Gold) ( )2

d cc t T T

+ et avec un code lgrement en

retard ( )2

d cc t T T

; on calcule ensuite la moyenne temporelle sur un bloc de code

de la diffrence entre ces deux corrlations, c'est--dire quon en extrait la composantecontinue. Cette moyenne est positive si on est en avance et ngative si on est en

retard, ce qui permet dajuster la phase.

En pratique, on nutilise pas ce type de boucle car il prsuppose quon est

capable de dmoduler le signal reu et donc quon a une connaissance pralable de laphase de la porteuse. On prfre utiliser des boucles non cohrentes, c'est--dire qui

ne repose pas sur une connaissance pralable de la phase de la porteuse. On peut citer

comme exemple les Tau-Dither Tracking Loops qui sont voques dans [6].

2.4. Le calcul des pseudo-distances

Une fois quon a accroch un satellite et quon a pris connaissance des

donnes de navigation, il reste dterminer la distance entre le satellite et lercepteur. On pourra alors, en connaissant la position du satellite (grce aux

phmrides), calculer la position du rcepteur. La distance satellite-rcepteurdtermine par le rcepteur est alors appele pseudo-distance : en effet, elle est

entache dun certain nombre dimprcisions, que nous dtaillerons.

2.4.1. Calcul de la pseudo-distance : le principe

On suppose quon a russi acqurir un satellite ; en particulier, le rcepteur

est synchrone avec le rcepteur, et on a rcupr les donnes de navigation. On saitque le signal GPS est mis une date prcise par le satellite, et le rcepteur est en

mesure de calculer quelle date le message est reu. On obtient alors le temps mis par

le signal pour parcourir le trajet satellite-rcepteur, dont on dduit la distance qui nousintresse. Cependant il faut apporter de nombreuses corrections cette mesure afin

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dobtenir une distance fiable. En particulier, il faut tenir compte du fait quon a troisrfrences temporelles :

t: le temps GPS, qui sert de temps de rfrence ; il est coordonn au temps delUSNO (United States Naval Observatory) et correspond au temps mesur parune horloge parfaite pour un utilisateur immobile la surface de la Terre.

ts : le temps satellite est celui donn par lhorloge du satellite. Pour corriger ladrive interne de cette horloge, le satellite transmet des coefficients de

correction pour chaque satellite.

tr : le temps rcepteur. Il est impossible davoir une horloge atomique dans lercepteur, le temps rcepteur nest donc pas synchronis aux deux autres

temps.

On a alors , ets s r r t t t t t t = + = + .

Si lon note , , , ete e r r

s rt t t t les temps dmission (rfrentiel GPS et satellite)

et de rception (rfrentiel GPS et rcepteur), la pseudo-distance est donc donne par :

( )r epseudo r sd c t t =

Pour obtenir la vraie-distance, il nous faut donc rajouter les termes derreurs

, , etr r r e e er r s s propat t t t t t = = qui correspondent aux dcalages dhorloge et aux

erreurs lors de la propagation du signal.

La formule gnrale de la distance est alors :

( )e r

pseudo s r propa

d d c t t = +

Pour pouvoir estimer la distance, il faut donc estimer les erreurs commises.

propa est estimable partir des coefficients de corrections mis par le satellite (cf.

2.1). De mme, on a ( ) ( )2

0 0

0 1 2

e e e

s s s s s ala rel t A A t t A t t = + + + + oA0, A1, etA2

sont les coefficients de corrections de lhorloge, etala rel reprsentent les

imprcisions dues aux phnomnes alatoires et aux termes relativistes.

Il reste donc dterminerr

rt , ce qui se fait par rsolution des quations denavigation (en effet, le biais dhorloge b et sa drive font partie des inconnues du

systme).

2.4.2. Les erreurs intrinsques au systme

Mme en corrigeant les erreurs dhorloge et de propagation, le calcul de la

distance contient des sources dimprcision intrinsque. Les rsidus derreurs

dhorloge, aprs correction, induisent une erreur sur la distance de lordre de 3 mtres.De plus, la prcision de la mesure de distance dpend de la prcision avec laquelle on

peut se synchroniser avec le signal satellite. On montre ([1]) que la mesure de distancea un cart-type gal :

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/

0 0

2 /1

2 / /

iC A

TBT

P N P N

= +

,

o TC/A est la longueur du code C/A,B est la bande de boucle du code,P/N0 reprsentele rapport signal/bruit bande de base, et Ti est le temps dintgration. On obtient alors,

pour le GPS :[ ]02,3 m si / 40 dB HzP N = =

Finalement, remarquons que le facteur le plus important dans la perte de prcision est le SA (selective availability), systme qui permet de dgrader

volontairement la prcision des donnes transmises par les satellites. Les donnes

modifies sont les coefficients de lhorloge et/ou les paramtres de lphmride. Aufinal, lactivation du SA donne une prcision de 100 mtres dans le plan horizontal.

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3. Les amliorations possibles

Nous allons prsent nous intresser quelques amliorations possibles pour

amliorer la rsistance des rcepteurs GPS au bruit et aux perturbations. La figure 3.1

liste les points vulnrables dun rcepteur et les modifications possibles quipermettraient de les renforcer.

figure 3.1 : les possibilits damlioration dun rcepteur numrique (extrait de [5]).

Une premire possibilit est dutiliser une antenne adaptative, qui soit capabledliminer une direction particulire lors de la rception. Le prfiltrage limine, lui,

les signaux hors bande. On peut galement dtecter et liminer des signaux parasitestrop levs en contrlant lamplitude du signal et en adaptant le gain en consquence.

Nous allons plus particulirement nous intresser lutilisation dun filtre,avant corrlation, pour liminer les signaux parasites trop puissants.

3.1. Les filtres encoches

Les filtres encoches sont une famille de filtres rponse impulsionnelle

infinie particulirement simples, puisquils ont deux zros et deux ples conjugus. Laposition des ples et zros est dcrite dans la figure 3.2.

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figure 3.2 : les zros et ples dun filtre encoches.

La fonction de transfert scrit alors :

( )( ) ( )( )( )

* 1 21 11 1

1 2*11 1

1 2 ( )

1 2 ( ) ( )

z z z z z z z H z

z z z z p z p

+= =

+ , soit :

( )1 2

1

1 2

1 2cos( )

1 2 cos( ) ( )

z zH z

z z

+=

+

La stabilit de ce stable est garantie si tous les ples sont lintrieur du cercle

unit, cest--dire si 0 < < 1. On peut alors tracer le module de H pour diffrentes

valeurs de :

figure 3.3 : le module dun filtre encoche. En rouge, a = 0.95 ; en vert, a = 0.8 ; en

jaune, a = 0.5.

On constate que pour des proches de 1, un tel filtre limine une bande defrquence trs troite du spectre. En mettant plusieurs tels filtres en cascade, avec des

frquences de coupure trs proches, on peut ainsi liminer une bande de frquencearbitrairement troite (cf. figure 3.4).

Re

Im

zros

ples

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figure 3.4 : module et argument de la fonction de transfert de 5 filtres encoches en

cascade.

On constate que la phase est bien conserve en dehors de la fentre decoupure : on peut donc bien couper une bande de frquence sur laquelle se trouverait

un bruit parasite, sans pour autant modifier le signal global de manire tropimportante. Le filtre est de plus facile contrler puisquil na que deux paramtres

que lon relie aisment ses zros et ples. Il ne faut cependant pas que llimination

dune bande de frquence par un tel filtre se fasse au dtriment de la bonne tenue dusystme GPS : il faut donc que le corrlateur soit peu influenc par lajout du filtre. R.

Landry a montr que la distorsion de la corrlation aprs ajout du filtre nest pas pnalisante pour le systme (cf. figure 3.5). On retrouve en particulier le mme pic

troit quen absence de filtre, et les maxima locaux engendrs par le filtre ne sont pasassez importants pour entraner une mauvaise synchronisation.

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figure 3.5 : la corrlation aprs ajout du filtre encoches (extrait de [5]).

3.2. Principe du filtrage par la transforme en ondelettes

Nous allons prsent exposer un autre principe de filtrage des signauxparasites dont la puissance est suprieure au bruit thermique, bas sur la transforme

en ondelettes. Nous nous restreindrons ici un expos gnral du principe de ladcomposition et des applications au filtrage ; les fondements mathmatiques de cette

mthode sont dcrits dans [8].

On cherche dcomposer un signal f(t) dans une base de fonctions

orthonormales. Pour cela, on introduit une ondelette mre ( )t et une fonctiondchelle ( )t , ainsi que les fonctions dfinies par dilatation et translation :

/ 2 / 2

, ,( ) 2 (2 ), et ( ) 2 (2 )m m m m

m n m nt t n t t n = = .

A m fix, les { },m n n Z sont orthonormales, et on note Vm lespace engendr par ces fonctions. Vm est donc un espace dapproximation, de rsolution 2

m, et on a

1m mV V . En notant alors Wm lorthogonal de Vm dans Vm-1, on montre que les

{ },m n n Z forment une base de Wm. Dfinissons , , , ,, et ,m n m n m n m nA f C f = = ;on a alors les rsultats suivants :

Les { },m n nA Z correspondent la projection de f sur Vm, cest--dire lapproximation de f la rsolution 2m.

Les { },m n nC Z correspondent linformation perdue en passant de Vm-1 Vm.En partant de la rsolution 1, on obtient donc les coefficients laide de

lalgorithme suivant :

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, 1,

, 1,

(2 1)

(2 )

m n m k

k

m n m k

k

C g n k A

A h n k A

= +

=

o g est un filtre passe-haut (pour ne garder que les dtails) et h est un filtre passe-bas(qui ralise la perte de rsolution). Les filtres g et h sont appels filtres conjugus. Les

coefficients de g et h sont donns par les formules :

[ ]

[ ] ( ) [ ]

2 (2 ) ( )

1n

h n x x n dx

g n h n

=

=

On peut alors dcomposer les donnes chantillonnes un niveau arbitraire, en

passant du niveau m-1 au niveau m grce lalgorithme ci-dessus. On reprsente cette

dcomposition par un arbre binaire :

figure 3.6 : la dcomposition du signal A0 dans une base dondelettes (extrait de [5]).

Lensemble des coefficients { }1 2, , ... , ,m mC C C A reprsente entirement les

chantillons de dparts (soit lensemble { }0A ). Une telle dcomposition est en thorieinversible, puisquil ny a pas de perte dinformations. Cependant, en pratique il estassez difficile dobtenir des filtres g et h respectant les conditions ncessaires tout en

restant assez courts pour permettre des calculs rapides. Il existe plusieurs filtres

possibles, dont le filtre de Haar, les filtres bi-orthogonaux, les filtres de Mallat, et les

filtres CDF. Sans nous intresser de prs aux dtails du choix de filtre, on peut donc

considrer la dcomposition du signal GPS dans une telle base. Les fonctions

{ },m n n Z et { },m n n Z tant normalises, le niveau de bruit est conserv par ladcomposition. Pour garder le bruit contenant le signal et liminer les missions

parasites, il suffit donc deffectuer un seuillage sur les coefficients obtenus. Le filtre

peut donc scrire schmatiquement :

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( ) [ ]1

,( ), o ( ) 1 ( )Z WT WT f x x x

= = .

, la fonction de seuillage, prserve les coefficients infrieurs et limine les autres.

Le choix de peut se faire en observant que pour un bruit gaussien de variance 2,

99,99% des valeurs se trouvent dans lintervalle [-4, 4]. R. Landry [5] a montrquun tel seuillage, appliqu au signal GPS, permet dliminer les signaux parasites

trop importants tout en conservant de manire fidle le bruit initial.

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Conclusion

Nous avons, au cours de cet enseignement dapprofondissement, cherch

dcrire les principales caractristiques du systme GPS et le schma de

fonctionnement dun rcepteur.

Nous nous sommes plus particulirement intress au signal GPS mis par un

satellite. La gnration du message et les perturbations quil rencontre la

transmission ont t tudies dans la premire partie, alors que la deuxime partie

tait consacre la structure du rcepteur et au traitement du signal pralable

lexploitation des donnes de navigation. Nous avons alors vu que lutilisation du

CDMA permettait de rcuprer le message initial dans des conditions fortement

dgrades (rapports signal/bruit de lordre de -23 dB). En contrepartie de ces

performances, la mthode employe demande une synchronisation initiale parfoislongue et des boucles de poursuite volues afin de garantir la continuit du message.

Finalement, la troisime partie, plus qualitative, avait pour but de donner quelques

exemples damliorations des rcepteurs GPS.

Il est intressant de remarquer que le CDMA a galement t retenu pour

Galileo, la constellation europenne de satellites de navigation qui devrait entrer en

service oprationnel vers 2008. Une des diffrences principales avec le GPS est quen

plus du signal modul par le code et les donnes, Galileo enverra vraisemblablement

un signal pilote modul uniquement par le code. Ceci permettra aux rcepteurs de

rester synchroniss sur le signal mme dans des conditions de rapport signal bruit

trs faibles, ce qui est intressant quand on considre le temps ncessaire pour laphase dacquisition du signal.

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Bibliographie

[1] Introduction au GPS, P. Staebler (1998)

[2] Le systme GPS : notions fondamentales, F. Duquenne (1996)

[3] Digital Communications, J. Proakis (1995)

[4] Introduction to Spread Spectrum Communications, R. Peterson, R. Ziemer, D.

Borth (1995)

[5] Techniques de robustesse aux brouilleurs pour les rcepteurs GPS, R. Landry

(1997)

[6] Techniques dabaissement des seuils dacquisition et de poursuite pour les

rcepteurs GPS, R. Landry (1998).

[7] Digital Communications : fundamentals and applications, B. Sklar (1988)

[8] A wavelet tour of signal processing, S. Mallat (1998)

[9] Spreading Codes for Direct Sequence CDMA and Wideband CDMA Cellular

Networks, E. Dinan, B. Jabbari (IEEE Communications Magazine, September

1998).

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