量⼦物理学特論第6回

1次元の量⼦系シュレディンガー⽅程式が厳密に解けるような１次元の簡単な系を調べる�

１次元の量⼦系を解くことで，量⼦⼒学的効果のエッセンスを学ぶ�

反射・共鳴・トンネル効果�

束縛エネルギーの量⼦化�

などなど

１次元の量⼦系

変数分離して，固有値⽅程式に注⽬

シュレディンガー⽅程式

の場合

の場合

として

として

定数ポテンシャルの場合

ポテンシャルが有限のとびをもつとき

x

V(x)

ポテンシャルのとびが有限ならば，波動関数の１階微分や波動関数  はx=x1で連続。

ポテンシャルのとびがデルタ関数的な場合は，波動関数の１階微分は不連続だが，波動関数は連続

階段型ポテンシャルの例のとき

x0では

反射と透過

E>V0のときでも粒⼦が⼀部反射される 
(古典⼒学では速度が遅くなるだけで反射されない)�

E>>V0のとき，k2がk1に近づく。つまりR→0であり，反射されなくなる。

階段型ポテンシャルの例のとき

x0では

反射と透過

R=0,T=1なので，全ての粒⼦は完全に反射され，透過波は存在しない。�

ただし，x>0にも波動関数が染み出す（粒⼦の存在確率が0ではない）染み出しは，壁の奥に⾏くと，expで急速に減衰する。

ポテンシャル障壁とトンネル効果

領域1 領域2 領域3

⼊射波

のとき

ポテンシャル障壁とトンネル効果階段型ポテンシャルと同様に

x=0でなめらかにつなぐ

x=ℓでなめらかにつなぐ

ポテンシャル障壁とトンネル効果

A,B,C,DをFで表す

F

ポテンシャル障壁とトンネル効果反射率と透過率を計算する。

ポテンシャル障壁とトンネル効果

E>V0の場合，階段型ポテンシャルと同様，量⼦⼒学的効果により反射される確率が0ではない�

k2ℓの値によって，T,Rが振動的に変化する。特に，k2ℓ=nπの場合にはT=1,�R=0となることに注意。�

このような⼀種の共鳴現象も量⼦⼒学的効果による�

この状況では，障壁の内部に定常波が⽣じ，波束が透過しなくなっている。

E>V0のときの確率密度

-2 2 4 6

-2

2

4

6

-2 2 4 6

-2

2

4

6

ポテンシャル障壁とトンネル効果

領域1 領域2 領域3

⼊射波

のとき

＋

ポテンシャル障壁とトンネル効果階段型ポテンシャルと同様に

x=0でなめらかにつなぐ

x=ℓでなめらかにつなぐ

ポテンシャル障壁とトンネル効果

A,B,C,DをFで表す

ポテンシャル障壁とトンネル効果透過率を計算してみる古典的には0になるはずだが…

有限の透過率が得られる！

トンネル効果

ポテンシャル障壁とトンネル効果

E

ポテンシャル障壁とトンネル効果

こちらに透過する！

-2 -1 1 2 3 4

5

10

15

練習問題

E=V0の極限での透過率を求めよ。�

V0‒Eやℓが⼤きい場合のTのふるまいを議論せよ

練習問題

E=V0の極限での透過率を求めよ。

のとき とすると，

練習問題

V0‒Eやℓが⼤きい場合のTのふるまいを議論せよ

の場合を考えればよい。 より

強く抑制される！

練習問題2V0=3eV，ℓ=1Åのポテンシャル障壁に，左から質量0.51MeV/c2の電⼦がエネルギーE=1eVで⼊射してくるときの透過率を求めよ。V0‒Eやℓが⼤きい場合のTのふるまいを議論せよ�

ℓ=10Åだとどうなるか？

練習問題2V0=3eV，ℓ=1Åのポテンシャル障壁に，左から質量0.51MeV/c2の電⼦がエネルギーE=1eVで⼊射してくるときの透過率を求めよ。V0‒Eやℓが⼤きい場合のTのふるまいを議論せよ�

ℓ=10Åだとどうなるか？

を利⽤して

⼀般化⼀般にはポテンシャル障壁が⻑⽅形とは限らない。�ここでは，⼀般的なポテンシャル障壁に対する透過係数Tを近似的に求めてみる。

ポテンシャルV(x)が⼗分になめらかな関数であると仮定し，区間[a,b]を短冊に切ってみる。

x

V

a b

i番⽬の⻑⽅形ポテンシャル

⼀般化i番⽬の⻑⽅形ポテンシャルにE>1の場合には，

の透過率でi番⽬を透過する。

こちらで桁が決まるこっちはせいぜいファクター

として，すべての短冊形障壁を通過する透過率を近似的に求める。

⼀般化

この近似はE=V(x)の付近では良くない�

ポテンシャルはゆるやかに変化する関数である必要がある

ただし，以下の点に留意すること。

Δx→０では近似が悪化することに注意

ガモフの透過因⼦

アルファ崩壊放射線としてアルファ線（ヘリウム4の原⼦核）を伴って，原⼦核が別種の原⼦核に崩壊する現象のこと。

α線

この現象はトンネル効果によって理解できる。

アルファ崩壊α粒⼦は原⼦核内部では核⼒ポテンシャルによって束縛されており，原⼦核外部ではクーロン⼒による斥⼒を感じる。簡単な模型として，次のようなポテンシャルを考える。

r

V

E

–V0 R bZは崩壊後の原⼦核の原⼦番号�(ThだとZ=90)

wikipediaより

アルファ崩壊このポテンシャルに対する透過率(ガモフ因⼦)は

とおくと

と変数変換する。

アルファ崩壊

b>>Rのとき�(クーロン障壁に⽐べて�エネルギーが低い時)

r

V

E

–V0 R b

とすると

アルファ崩壊アルファ粒⼦を放出する原⼦核の寿命は？

単位時間あたりに�アルファ粒⼦が⾶び出す確率

1衝突あたりの�透過確率

単位時間�あたりの�衝突回数

図のような⼭に向かって，ビー⽟を1�m/sの初速度で転がす。�1.古典⼒学的には，ビー⽟はどの⾼さまで上がるか？最⾼点の座標を答えよ。�2.このビー⽟がトンネル効果によって反対側に突き抜ける確率はどの程度になるか？
ただし，重⼒加速度g=10m/s2とし，ビー⽟の質量の和M=10gとする。

28cm

84cm 84cm x

y

O

問題

解答ポテンシャルのグラフは次のようになる。

x[m]1.68

0.028

U

⼊射時の運動エネルギーは

0.005

0.15 1.53

E=Uとなるのは，x=0.15およびx=1.53の時。最⾼点の座標は(0.15,0.05)となる。

解答

x[m]1.68

0.028

U

0.005

0.15 1.53

ガモフ因⼦を計算する。に対して，

トンネル確率は， ⾮常に⼩さい！