E. A NTERRIEU (OMP-LAT 2 ) 14, avenue Edouard Belin 31400 T OULOUSE - F RANCE...

E. ANTERRIEU (OMP-LAT2)14, avenue Edouard Belin

31400 TOULOUSE - [email protected]

mip.fr

Atelier «Imagerie Multidimensionnelle & Observatoire Virtuel»Observatoire de Nice - 23/24 Octobre 2006

La mission SMOS de l'ESA:de la radioastronomie

à la télédétection spatiale et chemin inverse

2

Télédétection par Imagerieà Synthèse d’Ouverture

PLAN• Modélisation de l’instrument• Grilles d’échantillonnage• Problème inverse• Simulations numériques

Le projet SMOS • e esahttp://www.esa.int/export/esaLP/smos.html

2nd

opportunitymission

3

Les données interférométriques (visibilités complexes) sont obtenues en corrélant les signaux collectés par des couples d’antennes distantes et ayant un champ de vue vue commun. On accède ainsi

à un échantillonnage de la fonction de cohérence spatiale pour les fréquences spatiales angulaires associées à chaque couple d’antennes.

Modélisation de l’instrument

La synthèse d’ouverture

i

LO

0T 0

T

bo

u =

g

4





LO

0T 0

T

bo

u =

5



synthèse...



n d²4

d

nn 3 d

6


Équation de base

• F : gain des antennes

• r : fringe washing

• V : visibilités

• T : température

~

-2j ukl·e dVkl

||||2 1

*Fk() Fl()

1-||||2T() rkl(- )

ukl·fo

~1

k l

2

1

O

y

x

z

k

l

bkl

bkl

oukl =

7

n = 3n = 23


Équation de base

r(t) 1, rend compte des effets de décorrélation spatiale :

-2j ukl·e dVkl

||||2 1

*Fk() Fl()

1-||||2T() rkl(- )

ukl·fo

~1

k l

2

1

O

y

x

z

k

l

bkl

bkl

oukl =

~

t = (u ·) / fo [nsec]

r( t )~antennespar bras

8


Opérateur de modélisation

• G : opérateur de modélisation

• V : visibilités

• T : température

-2j ukl·e dVkl

||||2 1

*Fk() Fl()

1-||||2T() rkl(- )

ukl·fo

~1

k l

Vkl = (G T)kl

2

1

O

y

x

z

k

l

bkl

bkl

oukl =

9


Données et inconnues

Vkl = (G T)kl

H 36 fréquences

10 antennes45 visibilités 256

pixels

-2j ukl·e dVkl

||||2 1

*Fk() Fl()

1-||||2T() rkl(- )

ukl·fo

~1

k l

10


Données et inconnues

Vkl = (G T)kl

H 36 fréquences

10 antennes45 visibilités 256

pixels

-2j ukl·e dVkl

||||2 1

*Fk() Fl()

1-||||2T() rkl(- )

ukl·fo

~1

k l

11


Gains des antennes

F(,) = D(,) ej (,)2o

(,) = [Lxsin+Lzx(1-cos)]cos2+[Lysin+Lzy(1-cos)]sin2

D(,) = Do cos2n cos2 + cos2m sin2

D(,) (,)2o

12


Filtres des récepteurs

j[+ 2 (f-f)]eH( f ) = rect[ ] f

f-f f

2

ff

f-f /2 f+f /2

1

f , f

-2j f trkl(t) = Hk( f-fo ) Hl(f-fo ) e df

-+

*~

13


Cette modélisation est celle du démonstrateur MIRAS (10+1 antennes, fo = 1.415 GHz, d = 0.875o) construit par ASTRIUM pour le compte de l’ESA. Il a été testé avec avec succès sur le site de

l’INRA à Avignon et a volé à bord d’un Hercule C130 de la Royal Danish Air Force.

La modélisation de SMOS (69 antennes et récepteurs) n’est pas encore arrêtée…

Le démonstrateur MIRAS

14


…des problèmes à résoudre comparables à ceux de l’interféromètre ALMA, mais avec les contraintes du spatial en plus: antennes, récepteurs, corrélateurs…!

L’interféromètre ALMA

15


SMOS ALMAnombre d’antennes

fréquence

longueur d’onde

diamètre des antennes

largeur du lobe primaire

distance minimale

champ synthétisé

distance maximale

résolution angulaire

69

1.415 GHz

21.2 cm

18.5 cm

70°

18.5 cm

(1000 Km) 82°

6.75 m

(50 Km) 3°

64

31 à 950 GHz

1 cm à 300µm

12 m

3’ à 8’’

15 m

2’ à 4’’

150 m à 18 Km

12’ à 0.5’ (compact)0.13’ à 0.01’ (extended)

(Al WOOTTEN)

16


G n ’est pas une transformée de FOURIER

= + +V = G T

T = U T^ = + +

75%||V||² 0.1%||V||²21%||V||²

78%||T||² 20%||T||² 2%||T||²

78%||T||²^ 20%||T||²^ 2%||T||²^

T = + +300 K

100 K

185 K300 K

17

Grilles d’échantillonnage

Domainede FOURIER

Instrument

u = d / o

u(1)

u(2)

dH

18


Domainede FOURIER

Instrument

u = d / o

u(1)

u(2)

d

19


Domainede FOURIER

Instrument

u

U(1) = n u(1)

U(2) = n u(2)

ud

20


Domainede FOURIER

Domainespatial

(1) = n (1)

(2) = n (2)

U(1) = n u(1)

U(2) = n u(2)

u

u

u = u = 2 /3 avec u = n u et = n (i)

U(j) (i) u(j) i,j

21


Quelle structure de données pourun échantillonnage hexagonal ?

Domainede FOURIER

U(1)

U(2)

22


n² pixels sur unegrille hexagonale

n² pixels sur unegrille cartésienne

q1

q2q2’

q1’

q’ = q mod n

Domainede FOURIER

23


Quelle structure de données pourun échantillonnage hexagonal ?

Domainespatial

(1)

(2)

24


n² pixels sur unegrille hexagonale

n² pixels sur unegrille cartésienne

p2’

p1’

p’ = p mod np1

p2 Domainespatial

25

p1

p2

pp

q1

q2

uq

q^


Quel algorithme pour calculer latransformée de FOURIER discrète ?

réseaux réciproques:(i)

U(j) = (i) u(j) = i,j

- 2 j p uqeppq =

^

p qn- 2 j

eppq =

^

p = p1 (1) + p2

(2)

Domainespatial

Domainede FOURIER

uq = q1 u(1) + q2 u

(2)

26

p1

p2

pp

q1

q2

uq

q^


Quel algorithme pour calculer latransformée de FOURIER discrète ?

FFT

p’ q’n- 2 j

ep’p’

’q’ =’̂

p2’

p1’

p’ = p mod n

q2’

q1’

q’ = q mod n

Domainespatial

Domainede FOURIER

p qn- 2 j

eppq =

^

27

p1

p2

pp


Interpolation

Les fonctions échelles translatées ep() forment un ensemble de fonctions orthogonales centrées sur le pixel p :

ep() = e0( - p ) avec p = p1 (1) + p2

(2)

Toute fonction se décompose alors naturellement dans cette base :

e0() joue donc le rôle d’une fonction d’interpolation.

p

() = p ep()

28


Interpolation

fonction

échelle

cartésienne

sinc2

sinc1

e0( ) =

1

2

29


Interpolation

fonction

échelle

hexagonale

sin 3

31 + 32

63 32

sinc3 1 - 32

sin 3

31 - 32

63 32

sinc3 1 + 32 sinc

3 232sinc

21

3 - +e0( ) = 23

1

2

30


Interpolation

Les cartes de températures reconstruites dans le repère Oxyz attaché à l’interféromètre (cosinus directeurs: 1= sin cos et 2 = sin sin) sur une grille d’échantillonnage hexagonale devront être projetées à la surface de la Terre.

2

1

O

y

x

z

31

d


Apodisation

En raison de l’extension finie de la couverture fréquentielle et de la coupure fréquentielle abrupte correspondante, il faut s’attendre à observer des oscillations (phénomène de GIBBS) dans les cartes de températures reconstruites.

=32

do

32


Apodisation


33


Apodisation


34


Apodisation

Des ‘‘facteurs de mérite’’ caractérisent les performances des différentes réponses impulsionnelles apodisées en termes de résolution spatiale et de sensibilité radiométrique.

35


Apodisation

La projection des cartes de températures reconstruites sur une grille d’échantillonnage hexagonale dans le repère attaché à l’interféromètre se traduit par une résolution spatiale variable dans le champ à la surface de la Terre…

2

1

O

y

x

z

36


Apodisation


2

1

O

y

x

z

37


Apodisation


…un problème semblable à celui du HST avant COSTAR!

38

Problème inverse

G n ’est pas une transformée de FOURIER

Vkl = (G T)kl

nombre de données < nombre d’inconnues

-2j ukl·e dVkl

||||2 1

*Fk() Fl()

1-||||2T() rkl(- )

ukl·fo

~1

k l

39

Problème inverse

Qu’est ce qu’un problème mal posé?J. HADAMARD (1902), R. COURANT (1962):“A problem satisfying the requirements of existence,uniqueness, and continuity is said to be well-posed.’’

Comment régulariser un problème?Le principe général des méthodes de régularisation estd’introduire de l’information a priori pour compenserla perte d’information dans le processus d’imagerie.

Qu’est ce qu’un problème inverse? T G T = V problème direct problème inverse T = G-1

V V

40

Problème inverse

G*G est singulière

TRn2min || V - G T ||

2

G*G T = G* V10-16 10-12 10-8 10-4 100

Tr = G+ V with G+ = (G*G)-1

G*

valeurs propres de G*G

moindres-carrés

41

Problème inverse

est le paramètre de régularisation de LAGRANGE

Tr = G+ V avec G+ = (G*G + I)-1

G*

TRn2min || V - G T ||

2 + || T ||

2

R

10-16 10-12 10-8 10-4 100

valeurs propres de G*G + I

régularisation de TIKHONOV

(G*G + I) T = G* V

42

Problème inverse

m joue le rôle d’un paramètre de régularisation

valeurs singulières de Gmin || T ||

2 TRn2

V = G T

Tr = G+ V with G+ = vi ui G = i ui vi (SVD)

i1Ti

1 Ti1

Tr = G+ V with G+ = vi ui Gm = i ui vi (TSVD)m m m 1im

imi

1 T T

G*(GG*)-1

10-4 10-3 10-2 10-1 100

norme minimale

43

Problème inverse

PH = U*Z Z*U joue le rôle d’un paramètre de régularisation

valeurs singulières de A

TRn2

( I - PH ) T = 0

min || V - G T ||

2

10-4 10-3 10-2 10-1 100

A*A TH = A* V with A = G U*Z

^

Tr = U*Z A+ V with A+ = (A*A)-1

A*

bande-passante limitée

44

Problème inverse

10-1

100

101

102

3100 3200 3300 3400 3500

|| V -

G T

r ||

|| Tr ||

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

=10-6

10-710-8

3230

2826

23

20m=18

16 124 2

A+

G+m

G+

Choix du paramètre de régularisation

45

Problème inverse

Propagation des erreurs aléatoires

L’opérateur de reconstruction R+ reliant les visibilités V à la carte de température reconstruite Tr peut ici inclure des post-traitements (apodisation, …).

! || R+ || f croit avec Nv.

|| V |||| Tr ||

E[ || Tr ||2 ]|| Tr ||

E[ || V ||2 ]|| V ||

|| R+ || f

Nv=

46

Problème inverse

Propagation des erreurs aléatoires

Des artefacts de reconstruction dans Tr peuvent être identifiés, du point de vue qualitatif et quantitatif, au cours d’une analyse d’erreurs complète impliquant les vecteurs singuliers Tk de l’opérateur R (en particulier ceux associés aux plus petites valeurs singulières).

Tr = ( Tk | Tr ) Tkk

47

SVD TSVD

INV INV

Problème inverse

Mise en œuvre numérique

CALL A(T,V)V = A.T

CALL G(T,V)V = G.T

CALL A(T,V)V = A.T

CALL G(T,V)V = G.T

7373 256256A*A G*G

9173 91256A G

bande limitée TIKHONOV / norme minimale

48

Problème inverse

En résumé...

Tr = U*W Z A+ V

A+ = (A*A)-1

A*

avec A = G U* Z

Tr = U*W U G+ V

G+ = (G*G + I)-1

G*

avec R

Tr = U*W U G+ Vm

G+ = vi ui

avec m 1

Ti=m

Nv

i

1m

TRn2

( I - PH ) T = 0

min || V - G T || 2

TRn2

min || V - G T || 2

+ || T || 2 min || T ||

2

TRn2

V = G T

TIKHONOV norme minimalebande limitée

(G*G + I) T = G* VA*A TH = G* V^

49

Problème inverse

Avantages et inconvénients...

bande limitée

TIKHONOV

norme minimale

par

amèt

re d

eré

gula

risa

tion

nom

bre

d’i

nco

nn

ues

stab

ilit

é d

el’

inve

rsio

n

com

ple

xité

de

l’in

vers

ion

apod

isat

ion

resa

mp

lin

g

50

Simulations numériques

carte de température originale,à son plus haut niveau derésolution (utilisée pour simulerles visibilitiés complexes)

carte de température à reconstruire,

au plus haut niveau derésolution de l’instrument

51


diagrammesdes

antennes

filtresdes

récepteurs



norme minimaleT = 1.010 Ko

bande limitéeT = 0.937 Ko

FOURIER

T = 10 Ko

SMOS ALMA

52





bande limitéeT = 0.937 Ko T est une erreur systématiqueo

53






54






0 T [K

]

size of the discontinuity [K]fraction of the energy in H [%]

55




norme minimaleT = 2.118 K

bande limitéeT = 0.938 K (T)² - (T)² = 0.043 Ko

(T)² - (T)² = 1.862 Ko

23.3 K/K

0.54 K/K

V

= 0.08 K

56





bande limitéeT = 0.938 K

V

= 0.08 K

10,000 tirages V

[0, 0.08 K]

57






V

= 0.08 K

valeurs singulières de A

valeurs singulières de Gvaleurs singulières de G norme minimaleT = 1.011 K

58





V

= 0.08 K


10,000 tirages V

[0, 0.08 K]

59


Équation de base


G

91256

-2j ukl·e d

||||2 1

*Fk() Fl()

1-||||2T() rkl(- )

ukl·fo

~Vkl = (G T)kl

60


Équation de base

est la matrice 44 des gains co-polaires (RX et RY ) et cross-

polaires (C X et C

Y ) associés aux ports X et Y des antennes:

*R k C lXX

*C k R lXX

*C k R lYY

*C k R lYY-

-j(

*R k R lXX

*C kC lYY

*R k C lYX

*C k R lXY

*C k R lXY

*R k C lYX+

-

)

*C kC lXX

*R k R lYY

*R k C lXY

*C k R lYX

*R k C lXY

*C k R lYX

+

- )j(

)

)

+

-

-*R k C lXX

*C k R lXX

*R k C lYY

*C k R lYY

*R k R lYX

*C k C lXY

*R k R lXY

*C k C lYX

*C k C lXY

*R k R lYX

*R k R lXY

*C k C lYX

()

()

(

(

+ -

+

-- ++

-- +

( )

( ) *R k R lYX

*C k C lXY

*R k R lXY

*C k C lYX

*C k C lXY

*R k R lYX

*R k R lXY

*C k C lYX- ++

-- +

( )

( )12

j2

12

12

j2

12

j2

j2

||||2 1

ukl·fo

~

Vkl

Vkl

Vkl

Vkl

(2)

(3)

(4)

(1) T()

T()

T()

T()

(2)

(3)

(4)

(1)

-2j ukl·e drkl(- )

1-||||2 ()kl

kl

61


Gains des antennes

est la matrice 44 des gains co-polaires (RX et RY ) et cross-

polaires (C X et C

Y ) associés aux ports X et Y des antennes:

*R k C lXX

*C k R lXX

*C k R lYY

*C k R lYY-

-j(

*R k R lXX

*C kC lYY

*R k C lYX

*C k R lXY

*C k R lXY

*R k C lYX+

-

)

*C kC lXX

*R k R lYY

*R k C lXY

*C k R lYX

*R k C lXY

*C k R lYX

+

- )j(

)

)

+

-

-*R k C lXX

*C k R lXX

*R k C lYY

*C k R lYY

*R k R lYX

*C k C lXY

*R k R lXY

*C k C lYX

*C k C lXY

*R k R lYX

*R k R lXY

*C k C lYX

()

()

(

(

+ -

+

-- ++

-- +

( )

( ) *R k R lYX

*C k C lXY

*R k R lXY

*C k C lYX

*C k C lXY

*R k R lYX

*R k R lXY

*C k C lYX- ++

-- +

( )

( )12

j2

12

12

j2

12

j2

j2

kl

C YC

XRYRX

62



G

3641024

C YC

XRYRX

63



G

3641024

C YC

XRYRX

64


G (-25 dB) complète

T = 0.55 Ko T = 0.50 Ko

T = 0.05 KoT = 0.30 Ko

T = 0.65 Ko T = 0.67 Ko

T = 0.06 KoT = 0.40 Ko

bande-limitée norme minimale

cartes de température à reconstruire,


65


G (-25 dB) bloc-diagonale



bande-limitée norme minimaleT = 0.99 Ko T = 1.26 Ko

T = 0.86 KoT = 2.92 Ko

T = 0.99 Ko T = 1.26 Ko

T = 0.86 KoT = 2.94 Ko

66


G (-10 dB) complète




T = 0.10 KoT = 0.64 Ko

T = 1.07 Ko T = 0.75 Ko

T = 0.12 KoT = 1.26 Ko

67


G (-10 dB) bloc-diagonale




T = 2.65 KoT = 20.4 Ko

T = 13.0 Ko T = 11.7 Ko

T = 2.65 KoT = 19.9 Ko

68

Conclusion

•problématique identique aux préoccupations de la synthèse d’ouverture en astronomie (ALMA);

• formulation du problème indépendante de la méthode numérique d’inversion/résolution;

• régularisation du problème et sa solution unique ont une signification physique;

•nombre d’inconnues réduit au strict minimum; •propagation des erreurs sous contrôle et artefacts de reconstruction identifiables;

•méthode numérique d’inversion/résolution choisie parmi les plus récentes/performantes;

• traitement temps réel (différé) et reconstruction simultanée de plusieurs scènes possibles.

E. A NTERRIEU (OMP-LAT 2 ) 14, avenue Edouard Belin 31400 T OULOUSE - F RANCE...

Documents

Transcript of E. A NTERRIEU (OMP-LAT 2 ) 14, avenue Edouard Belin 31400 T OULOUSE - F RANCE...