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TD2 Dynamique des structures

Problme I

Une poutre encastre-libre en flexion, de longueur L est modlise avec un lment finipoutre (figure 1). On considre trois degrs de libert (ui, vi, i) en chaque noeud i. Donner lesmatrices de raideur et de masse cohrente

Le calcul des modes de vibration et des frquences propres associes donne

f1=7.29Hz ; v1={0., .13, 0.99}T

f2=71.86Hz; v2={0., 1.23, 1.69}T

f3=1430.35Hz; v3={1., 0., 0. }T

Reprsenter schmatiquement les modes de vibration de cette ossature.

Figure 1:Poutre en flexion modlise par un lment fini.

Indications

{ }T

2 2 2q u v = ,

2

140 0 0

M a 156 22L

sym. 4L

=

, 1S L

a ,420

=

1

1 1

3 2

1

3

ES0 0

L

EI EI K 12 6

L L

EIsym. 4

L

=

1 2

u2

v2 2

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Problme II

Une poutre encastre-libre en flexion, de longueur L est modlise avec deux lments finis

poutre. On considre trois degrs de libert (ui, vi, i) en chaque noeud i. Donner les matricesglobale de raideur et de masse cohrente.

Le calcul des modes de vibration et des frquences propres associes donne

f1=7.23 Hz, v1={0,-0.37e-1, -0.13, 0., -0.11, -0.15}T

f2=47.18 Hz, v2={0., -0.076, 0.054, 0., 0.10, 0.48}T

f3=153.56 Hz, v3={0., 0.97e-2, -0.66, 0., 0.87e-1,0.86}T

f4=398.59 Hz

f5=1330.73 Hz, v5={0.61, 0., 0., 0.87, 0., 0. }T

f6=4648.76Hz

Reprsenter schmatiquement les modes de vibration de cette ossature.

Figure 2:Poutre en flexion modlise par deux lments finis.

Indications

{ }

T

2 2 2 3 3 3q u v u v =

,1 1 1

1 1 1 1 1 1

3 3 2 2 3 2

1 1 1 1

2

1

1 1

3 2

1

ES ES ES0 0 0 0

EI EI EI EI EI EI12 12 6 6 0 12 6

EI EI EI EI4 4 0 6 2

KES

0 0

EI EI12 6

EIsym. 4

+

+ +

+ =

avec =L/2.

.

2 2 2

1

2

140 140 0 0 70 0 0

156 156 22 22 0 54 13

4 4 0 13 3SM

140 0 0420

156 22

sym 4

+

+ + +

=

1 2

u2

v2 2

3

u3

v3 3

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Pour une discrtisation avec 200 lments finis de type poutre, les premiers modes et

frquences associes sont prsents ci-dessous.

f1=7.26 Hz f2=45.49 Hz f3=127.34 Hz

Figure 3: Trois premiers modes de vibration et frquences propres associes pour un

nombre de 200 lments

Le 9ime

et 16ime

modes de vibration ayant des frquences de f9=1297 Hz et f16=3892 Hz

correspondent aux 1er

et 2ime

modes de traction-compression.

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Problme III

Etude par lments finis dune ossature plane (portique) sur RDM6.

Note : Les actions sont lances partir dicnes sur RDM6. Dans lnonc elles seront

appeles i_nom icone.Le nom de licne saffiche lorsque lon passe la souris devant.

1) Cration de la structure

a) Lancer RDM6, ouvrir laide, aller dans la bibliothque dossatures.

b) Dfinir lunit (m , N, MPa)

c) Crer une ossature, dans Fichier/bibliothque/Plane choisir :

Ossature n16, avec L=5, H1=H2=10.

d) Crer un Encastrement (nuds n1 et n2) la base des deux poutres: i_liaison,

i_encastrement, choix des nuds.

e) Diffrencier les sections des 2 planchers (poutres horizontales P1 et P2) : i_section

droite, choix dune deuxime couleur, attribuer lments, choix des lments.

Remarque : par dfaut le matriau est de lacier. On ne modifie dans cette partie que les

sections des poutres.

f) Choisir les sections : i_section droite, paramtre, choix du groupe de section.

Propositions:

- planchers (P1, 2): section carre pleine 100x100mm

- murs (m1,2,3,4): section carre creuse : 50x50mm, paisseur 10mm

Dfinition des

noeuds et poutres.Sections des poutres. f1=0.29Hz

Discrtisation avec 6

lments.

f1=0.29Hz

Discrtisation avec

100 lments.

Figure 4:Ossature plane.

P2

P1

n1

m2m1

n2

m4m3

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2) Calcul des modes propres de lossature

a) Dans i_mode propre choisir:

- Nombre de modes (frquences) : 10

- Nombre dlments : 6

- Prcision : (par dfaut)

- Mthode : (par dfaut)

- Dcalage spectral : 0 (mode solide indformable)

b) Pour visualiser un mode propre : rsultat, choix du mode, un clic pour arrter

lanimation.

Pour changer de mode : tude, choix du mode

c) Pour relancer un calcul : modliser, icne mode propre, changer les paramtres

Faites varier le nombre dlments de lossature (6 puis 100) et comparer la forme des quatrepremiers modes de vibration ainsi que les valeurs des frquences propres associes. Visualiser

des modes plus levs.

3) Modification de la structure

Faire le mme travail avec :

a) Des conditions aux limites diffrentes (nuds n1et n2) : rotules, raideurs

b) Des sections diffrentes : section identique murs et planchers

c) Changer les matriaux

d) Mettre une troisime poutre au centre de la structure (Fichier/bibliothque/Plane :

Ossature n50, avec L=5, H =20, Nombre de tronons x et y : 2).