Calcul des roulements

I. GénéralitéLe type de roulement est choisi en fonction des différents critères cités précédemment. Ses dimensions sont obtenus à partir de la durée de vie souhaité et en vérifiant que les roulements résiste suffisamment aux charges appliqué.Il existe 2 modes de calculs :

- Calculs dynamique du roulement en mouvement- Calculs statique (vitesse de rotation faible)

Et 2 types de calculs : - Calcul de vérification : à partir de la référence du roulement choisi on calcul sa durée de vie- Calcul d’avant-projet : à partir de la durée de vie souhaité, on déterminera la référence du roulement qui

convient.

II. Calcul d’effort extérieur

1. Effort extérieur appliqué au montage (1er étape)= arbre + roulement (arbre tournant)

Montage = logement + roulement (logement tournant)

Isoler le montageLe couple moteur doit être égal et opposé au couple résistantLes deux couples étant réduits sur l’axe de rotation du montage

Repérer les efforts extérieurs et leur point d’application Calculer les torseurs des efforts extérieurs en chaque point d’application

Remarque : Les efforts extérieurs peuvent venir

- Des transmissions de puissance- Des efforts résultats directement d’un récepteur- Des efforts dus au poids des éléments du montage- Effort dû à la force centrifuge

Exemple :

Données : - Moteur asynchrone sur arbre 1 : P=15kW, N=2880tr/min- Récepteur sur arbre 4 : fonctionnement régulier sans à coup- 1-2, engrenage cylindrique denture droite- 3-4, engrenage conique denture droite pyramidale- Z1=25 dents- 3,4 = coefficient de sécurité- Rapport de transmission

oω2

ω1=12

oω4

ω3=43

- T 1→2=Cmr1

{⃗T 1→2 }A={R⃗1→2

0⃗ }={ 0R1→2

T 1→2|000}R

A

{⃗T 4→ 3 }A={R⃗4→3

0⃗ }={−−A4→ 3

R4→3

T 4→3|000}R

B

Caractéristiques de 1 et 2 : m=3

D p1=75mmD p2=150mmZ1=25dentsZ2=50dents

Caractéristiques de 3 et 4 : m=6

D p3=76,6mmD p4=114,3mm

Z3=16dentsZ 4=24 dents

T 1→2=147daN R1→2=54daNT 4→3=287daN R4→ 3=87 daN A4→3=58daN

2. Effort de liaison au niveau de chaque montage (2ème étape)Torseur statiquement transmissibleCe sont des torseurs inconnus. Ils représentent les actions :

- Du logement sur les roulements : cas de l’arbre tournant- Ou de l’arbre sur les roulements : cas du logement tournant

Un torseur de liaison est appliqué au centre de pression du roulement

1- ModélisationOn modélise les liaisons arbre/logement afin de connaître la composition des 2 torseurs de liaisons. La modélisation dépend de l’emplacement des arrêts axiaux définissant le positionnement de l’arbre par rapport au logement

Logiquement, un seul roulement encaisse les efforts axiauxX1=0ou X2=0. La détermination de X1 nul se fait d’après le sens de la résultante des efforts axiaux (A) sur l’axe x⃗.

- Arrêt extérieur du palier :

A<0→ X1=0et X2=−A ( X2<0 ) A>0→ X1=−A ( X1>0 )et X2=0

- Arrêt intérieur du palier

A<0→ X1=0et X2=−A ( X2>0 ) A>0→ X1=−A ( X1<0 )et X2=0

Pour les roulements à rouleaux conique, X1 et X2 sont déterminé à partir de la résultante des efforts axiaux extérieurs et des efforts axiaux induits par les charges radiales.

Exemple : Déterminer les torseurs TI et TII si les arrêts axiaux sont à l’intérieur du palier (roulements autres qu’à contact oblique)R⃗1→2=R1→2 y⃗+T 1→2 z⃗R1→2=−A1→2 x−R1→2 y+T1→2 z

A<0 X i=0et X2=−A( X2>0)

T 1={RI=Y 1+Z 1MI=0 }T 2={RII=X2+Y 2+Z2

MII=0 }Si on applique le P.F.S

∑ {T1→2 }O1={0⃗ }

On applique si nécessaire la relation de changement de point de réductionM 1→2O1

=M 1→2A+O1 A R1→2

3. Réduction des différents torseurs en un pointLe montage : arbre + roulements : cas de l’arbre tournant

Ou logement + roulements : cas du logement tournantEst un équilibre statiqueCes torseurs étant exprimés en un même point

Remarque : Le point de réduction est choisi en un des points d’application des torseurs de liaisonOn prendra en pratique toujours le point O 1 (centre de pression du roulement de gauche)

Exercice : Réduction en O 1 des torseurs des efforts extérieurs et des torseurs de liaisonL0=100mmL1=50mmL2=150mmR2=75mmR3=38.3

M⃗ 1→2O1=M⃗ 1→2A+ O⃗1 A R⃗1→2

¿0−l1∗R1→2 . z⃗+l1∗T 1→2 . y⃗−r2 ¿T1→2. x⃗

M⃗ 4→ 3O1=⃗M 4→ 3B+O⃗1B R⃗4→ 3

¿−l2∗R4→3 . z⃗−l2 ¿T 4→3 . y⃗+r3∗A4→3 . z⃗+r 3∗T 4→3 . x⃗

M⃗ IIO1=M⃗ II02+O⃗1O 2 R⃗ II

¿ l0∗Y 2 . z⃗−l0∗Z2 . y⃗

∑ Fext=0⃗→ R1→2+R4→ 3+RI+R II=0→3é quations

∑ Mext=0⃗→M 1→2+M 4→3+M I+M II=0→3é quations

¿0 x :−A4→3+X 2=0¿0 y :R1→2+Y 1+Y 2=0¿0 z :T 1→2+T 4→ 3+Z1+Z2=0

¿0 x :−r2∗T1→2+r3∗T 4→3=0¿0 y :−l2∗T 4→3+l1∗T 1→2−l0∗Z2=0¿0 z :−l1∗R1→2−l2∗R4→3+r3∗A4→ 3+l0∗Y 2=0

Y 1=−103daN Z1=−77daN X2=58daNY 2=136 daNZ2=−357daN

Si roulement à contact oblique :5 équations utilisables mais 6 inconnues car X2 et X1=0 ¿0 x :−A4→3+X 2+ X1=0

III. Calcul des charges radiales et axiales au niveau de chaque roulement (étape 3)

1. Roulements autres qu’à contact obliqueLa charge radiale au niveau de chaque roulement est la résultante des composantes suivant les axes y et z

F r1=√Y 12+Z12 (roulementsde gauche )F r2=√Y 22+Z22 (roulements dedoite )

La charge axiale au niveau de chaque roulement est la valeur absolue de la composante suivant l’axe x F r1=128daNFa1=0daNF r2=381daNFa2=58daN

2. Roulements à contact obliqueLa charge radiale au niveau de chaque roulement est la résultante des composantes suivant les axes y et z

F r1=√Y 12+Z12 (roulementsde gauche )F r2=√Y 22+Z22 (roulements dedoite )

La charge axiale au niveau de chaque roulement ne peut être déterminée directement car elle dépend :- De la résultante des efforts axiaux extérieurs (sens et intensité)- Des efforts axiaux induits par la charge radiale- Du coefficient axial du roulement considéré

1. Charge axiale induite

Une charge axiale induite est définie par la formule

a=0,5∗FrY

Fr : charge radiale au niveau du roulement considéré

Y : coefficient axial pris dans le cas FaFr

>e

- Roulements à une rangée de billes à contact oblique

Y=cste=0,57→a=0,5∗Fr0,57

=Fre

- Roulements à rouleaux coniques Y dépend de la référence du roulement considéré (voir catalogue général)

2. Détermination des charges axiale Fa1 et Fa2Pour les roulements à billes, le coefficient est de 0,57

Pour les roulements à rouleaux conique, les coefficients Y sont définis uniquement si la référence de chaque roulement est donnée.

Pour un calcul d’avant-projet, on prendra un coefficient axial moyen pour chaque roulement de 1,4 (0,68<Y>2,1) et on vérifiera les calculs lorsque la référence de chaque roulement sera déterminée en première approche (calcul par itération)

Les charges axiales Fa1 et Fa2 sont déterminées à partir du tableau suivant :Scan page 1

Méthode à suivre : - Repérer le sens de Ka (résultante des efforts axiaux extérieur) et en déduire le cas figure 1 ou 2.- Mettre en place les nouveaux indices (A ou B) suivant la disposition des roulements (X ou O)

- Comparer le rapport FrY de chacun des roulements.

Y = coefficient axial du roulement.(Nouveaux indices)

- Comparer si nécessaire Ka avec la différence des efforts axiaux induits.- Lire la valeur de FaA et FaB en face du cas sélectionné.

Exercice : Calculer les charges axiales Fa1 et Fa2 si les roulements considérés sont à roulements coniques disposés en O.

Calcul des charges axiales : Si les roulements considérés sont à roulement coniques disposés en O :

Y 1=−102daN Fr1=127daNZ1=−77daNY 2=135.2daN Fr2=381daNZ2=−357daNRoulement de gauche (1) = réf 30206Y 1=1.6Roulement de gauche (2) = réf 30306 Y 2=1.9

a)

I A4/3

→ II

Fr I=127daN Fr II=381daN Cas figure n°2 : Changement des indices

b)

B A

Ka

FrB=127daN Fr A=381daNY B=1.6 Y A=1.9

c)Fr A

Y A=3811.6

=200.5≥FrB

Y B=1271.6

=75.37

Cas 2b ou 2c

d) Ka≤0.5( FrA

Y A−

FrB

Y B)

58≤0.5 (200.5−79.37 ) Cas 2c

Fa A=0.5×FrA

y A=100.25daN

Fa B=100.25−58=42daN

Conclusion : B A

Ka

FrB=127daN Fr A=381daNY B=1.6 Y A=1.9Fa B=42daN Fa A=100.25daN

Suite exercice : Si les roulements à contact oblique à une rangée de billes disposées en O.Y=0.57a)

I A4/3

→ II

b) B A

Ka

c) Fr B

Y= 1270.57

≤Fr A

Y= 3810.57

cas 2b ou 2c

Ka≤0.5(FrA

Y−

FrB

Y)

58≤ 0.5Y ( Fr A−FrB )

Cas 2c

Fa A=334.21daNFa B=276daN

Conclusion : Même principe que conclusion précédente

IV. Calcul de la charge équivalente dynamique (5ème étape)Pour chaque roulement, la charge équivalente dynamique est une fonction de Fa et Fr qui tient compte de l’aptitude du roulement considéré à encaisser les charges axiales et radiales.Pour un roulement soumis à une charge combinée (Fa≠0et Fr ≠0¿.

P=X Fr + Y Fa- X coeff radial- Y coeff axial

(scan 2) Le tableau ci-dessous permet de déterminer la charge équivalente dynamique pour les types de roulements les plus courants. Pour les roulements ne figurant pas dans le tableau, consulter les catalogues.

Remarque : - Plus X est grand, plus le roulement est sensible à la charge radiale- Plus Y est grand, plus il est sensible à la charge axiale- Pour une charge radiale pure (Fa=0), P=Fr- Pour une charge axiale pure (Fr=0) , P=Y Fa (sauf pour les butées en billes)- Dans un calcul d’avant-projet, pour le cas où e et Y sont fonctions de la référence du roulement considéré, on

prendra e et Y moyens correspondant et on vérifiera les calculs lorsque la référence du roulement sera déterminée en 1ère approche

- E coeff expérimental- Co : charge dynamique

Calculer P si les roulements sont à rouleaux coniques (réf 30206 à gauche et 30306 à droite) Si les roulements sont à une rangée de billes à contact oblique Si les roulements sont à une rangée de billes (réf 6007 à gauche, réf 6307 à droite) Calculer P si Fa= 100daN et Fr= 300 daN

Pour un roulement rigide à une rangée de bille (réf 6308)Pour un roulement à rotule sur rouleau (réf 21307)

1 er cas : Roulement de gauchee1=0.37Y 1=1.6Fa1Fr1

= 42127

=0.33<e

P1=Fr1=127daN

Roulement de droitee2=0.31Y 2=1.9Fa2Fr2

=100381

=0.26<e

P2=Fr2=381daN

2 ème cas : e1=1.14Fa1Fr1

=276127

=2.17>e

P1=0.35 Fr1+0.57 Fa1P1=201.77daN

e2=1.14Fa2Fr2

=334381

=0.87<e

P2=Fr=381daN

3 ème cas : C01=1030daN C02=1910daNFa1C01

=0Fa2C02

= 581910

=0.03

e ≈0.23Fa1Fr1

=0.15<e

P1=Fr1=127daN P2=Fr2=381daN

4 ème cas : Co=2390daNFaFr

=100300

=0.33>e

FaCo

= 1002030

=0.04

e=0.24P=0.56∗300+1.8∗100=348daN

5 ème cas :

e=0.27 FaFr

=100300

=0.3>e

Y 1=2.5Y 2=3.7P=0.67∗300+3.7∗100=571daN

V. Calcul de la durée de vie de chaque roulement (6ème étape)

1. Durée de vie nominale- Des roulements identiques soumis à des conditions de fonctionnement identique se détériorent après des

durées de vie de fonctionnement différentes- On définit la durée de vie nominal L en million de tours qui correspond à la durée atteint ou dépassé 90% des

roulements apparemment identique et fonctionnant dans les mêmes conditionsDéfinition : la charge de base dynamique (ou capacité dynamique) C donnée dans les catalogues est la charge correspondant à une durée nominal de 1 millions de toursSi on trace la courbe log( L)=f ( log (P)) on obtient pratiquement une droite de pente −k (k>0)Si on considère un point A (log ( P ) , log (L)), la pente –k est définie par

−k= log ( L )

log( PC )

→ log ( L )=−k∗log( PC )

L⏟106 tours

=( C⏞daN

P⏟daN

)k

Avec k=3 si éléments roulant à billes ou k=103 si éléments roulant à rouleaux

CP est appelé rapport de charge

2. Durée de vie en heureSi n est la vitesse de rotation en tr/min

Lh=Ltours

ntr /min=10

6L60n

= 106

60n∗(C

P )k

Cmini=P∗( 60n∗Lh106 )

1k

3. Durée de vie corrigerLa durée de vie nominale est établie par

- Une fiabilité de 90%- Un matériau conventionnel- Des conditions de fonctionnement normal

o Chargeso Défaut de formeo Jeu de fonctionnemento Vitesseo Températureo Lubrificationo …

Pour des conditions différentes, la norme définit une durée de vie corrigée

Lna=a1∗a2∗a3∗La1 = coefficient correcteur pour une fiabilité différente de 90%

Fiabilité 90 95 96 97 98 99a1 1 0.62 0.53 0.44 0.33 0.21

a2 = coefficient correcteur en fonction de la matièrea3 = coefficient correcteur selon les conditions de fonctionnement

VI. Calcul statique- Lorsque le roulement n’effectue que des faibles mouvements d’oscillations- Lorsque la charge est appliquée sur un roulement à l’arrêt- Lorsque le roulement tourne à très basse vitesse

Dans ce cas, la charge admissible n’est pas limitée par la fatigue de la matière mais par les déformations permanentes aux points de contact des éléments roulants et des chemins

Le calcul statique peut servir de vérification en complément du calcul dynamiqueJusqu’à la détermination de la charge axiale (Fa) et la charge radiale (Fr), le calcul statique est identique au calcul dynamique (y compris pour les roulements à contact oblique)

1. Charge statique équivalente P0C’est la charge fictive qui provoque les mêmes déformations que la charge réelle

Po=X0Fr∗Y 0FaX 0 = coefficient radial statiqueY 0 = coefficient axial statiqueLes valeurs de Y 0 et X 0 se trouvent dans le tableau

2. Charge statique de base minimumEn plus de sa capacité dynamique, chaque roulement possède une capacité statique C0 qui est la charge pour laquelle la déformation permanente totale au contact d’un chemin de roulement et l’élément roulant le plus chargé atteint 10−4 fois le diamètre de l’élément roulant.Charge statique de base minimum : C0≥ s0∗P0

s0 = coefficient de sécurité statique

Roulements à rouleaux coniques Roulements à billes à contact obliques Roulements à billes

Réf 30206 Réf 30306 Réf 7207B Réf 7207B Réf 6007 Réf 6307 Réf 60308P=127 daN P=381daN P=202daN P=381daN P=127 daN P=381daN P=348daN

L=157222∗106 trL=7324∗106tr L=2388∗106 trL=355∗106 tr L=1999∗106 trL=680∗106 tr L=1576258∗106 trLh=1819699h Lh=84768,51h Lh=27638h Lh=4108h Lh=23136 h Lh=7870h Lh=18243726h