Duffing

)t2sin(.13)1x.(x.40dt

dx

2

3

dt

xd 22

2

Système mécanique dont le comportement est modélisé par une telle équation ?

Résoudre avec CI: d'abord x(0)=0 et dx(0)/dt=0 et ensuite x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0.

idem en supprimant la non linéarité de l'équation de Duffing

Tracer la solution de Duffing et de Duffing linéarisé dans le plan des phases.

Déterminer la section de Poincaré de Duffing et de Duffing linéarisé

Résoudre avec CI: x(0)=0 et dx(0)/dt=0

x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0.

options = odeset('RelTol',1e-5);[t,y] = ode45('Duffing_eq',[0:0.05:50],[0 0], options);plot(t,y(:,1))hold on[t,y] = ode45('Duffing_eq',[0:0.05:50],[0.1 0], options);plot(t,y(:,1),'r-')xlabel('t')ylabel('x')title('Equation de Duffing')

Le module Duffing_eq.m est donné par:

function z = duffing_eq(t,y)z=zeros(2,1);z(1) = y(2);z(2) = 13*sin(2*pi*t)-40*y(1)*(y(1)^2-1)-3/2*y(2);

Pour implémenter l'équation (2) dans le code qui précède, on remplace la dernière ligne:

z(2) = 13*sin(2*pi*t)-40*y(1)*(y(1)^2-1)-3/2*y(2);parz(2) = 13*sin(2*pi*t)-40*y(1)-3/2*y(2);

Résoudre avec CI: x(0)=0 et dx(0)/dt=0 - x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0.

Du

ffin

g

Résoudre avec CI: x(0)=0 et dx(0)/dt=0 - x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0.

Du

ffin

g li

néa

ire

Résoudre avec CI: x(0)=0 et dx(0)/dt=0 - x(0)=0.1 et dx(0)/dt=0.

Solution dans le plan des phases D

uff

ing

Auto-intersections car système non autonomesEviter auto-intersections: travailler à 3D avec tcomme nouvelle variable dépendante

Solution dans le plan des phases D

uff

ing

lin

éair

e

Présence probable d'un foyer instable et d'un cycle limite.

3D: autres points singuliers qui n'ont pas leur équivalent à deux dimensions. ex: cas des orbites homoclines dans l'espace des phases: ces dernières se caractérisent par

leur éloignement progressif du point singulier pour ensuite y revenir

brusquement, ce qui serait impossible à deux dimensions puisqu'on observerait

alors une auto-intersection.

Plan des Phases à 3D

Déterminer la Section dePoincaré

But: Ramener à deux dimensions l'étude du mouvement dans l'espace des phases

Methode: (x;dx/dt) non pas en continu mais à intervalle de temps régulier (période du terme forçant)

Que nous apporte cette méthode ?

Mouvement périodique:point unique (rapport entier) ou nombre fini de points (rapport rationnel)

ou infinité non dénombrable (rapport irrationnel) - relier ces points par une courbe continue.

Mouvement chaotique:Points formant une courbe fractale

Matlab permet de construire très facilement une section de Poincaré:

options = odeset('RelTol',1e-5);[t,y] = ode45('Duffing_eq',[0:1:480],[0 0], options);plot(y(10:481,1),y(10:481,2),'.','MarkerSize',6)xlabel('x')ylabel('dx/dt')title('Section de Poincaré - Equation Linéaire \Delta t=1')

Code Matlab pour Tracer une section de Poincaré

Section Poincaré Duffing Linéaire

Section Poincaré Duffing

Plan des phases - Attracteurs

options = odeset('RelTol',1e-5);[t,y] = ode45('Duffing_eq',[0:0.025:25],[0 0], options);comet(y(:,1),y(:,2))xlabel('x')ylabel('dx/dt')title('Plan des phases - Equation de Duffing')

Code Matlab

Autre exemple de non linéarité

t.

2

t.

200

1

2

1cos.2xx.

10

2

dt

dx

10

3

dt

xd 32

2

Second membre est un terme forçant dont la fréquence d'oscillation est croissante avec le temps

options = odeset('RelTol',1e-5);[t,y] = ode45('Duffing_sweep_eq',[0:400],[y_initial_1 y_initial_2],options);plot(t,y(:,1),'r-');xlabel('t')ylabel('x')title('Equation de Duffing')

function z = Duffing_sweep_eq(t,y)z=zeros(2,1);z(1) = y(2);z(2) =-2/10*y(1)^3-y(1)-3/10*y(2)+2*cos((0.5+0.005*t/2)*t);

Autre exemple de non linéarité