Contrôle 1 Analyse Numérique

1ère

année GPEE

23/10/2012

⊲ Durée : 1 heure 30mn

⊲ Documents et portables strictement interdits, calculatrices autorisées.

⊲ On attachera le plus grand soin à la rédaction et à la présentation claire et lisible des résultats dont il sera tenu compte lors de la correction.

Exercice 1

On cherche une approximation de la dérivée d'une fonction sous la forme

'( ) ( ) ( ) ( 2 ).

1) En écrivant que l'approximation doit être exact

f

hf x af x bf x h cf x h+ + + +≃

2e pour les fonctions ( ) 1, ( ) , ( ) ,

obtenir un système d'équations linéaires que doivent satisfaire , et .

2) Résoudre ce système.

3) Indépendamment de ce qui vient d'être fait, ré-obtenir

f x f x x f x x

a b c

= = =

, et en utilisant les développements de Taylor

de ( ) et ( 2 ) au voisinage de .

4) Déduire des développements de Taylor précédents une expression de l'erreur.

Exercice 2

1) Déterminer pour 0

a b c

f x h f x h x

a

+ +

>

2 2 2 20 0

la transformée de Fourier de ( ) et ( ) .

2) En déduire la valeur des intégrales

cos sin et .

Exercice 3

Déter

a t at atf t e g t e e

t t tdt dt

t t

ω ωα α

− −

∞ ∞

= = −

+ +∫ ∫

2

3 2

miner la transformée de Laplace inverse de la fonction suivante

2 4 ( ) .

3 7 5

Exercice 4

A l'aide de la transformation de Laplace, résoudre le problème aux lim

pf p

p p p

−=+ + +

ite suivant

- " 2 ' 0

(1) 0, '(1) 0.

ty y ty

y y

+ + = = =