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DdS n 103/01/2011

Devoir Surveille de DdSP.A. Boucard, C. Kalck, E. Faugere, E. Leroy

Duree : 2h - sans document, sans calculatrice

Etude d’un pont roulant

Nom : Prenom : Groupe :

Mise en situation

La figure 1.1 represente un pont roulant, organe tres utilise dans les ateliers pour deplacer descharges lourdes. Nous allons nous interesser au dimensionnement de divers elements de ce pontroulant et plus particulierement :

- a la poutre mobile du pont sous un chargement concentre,- a la poutre mobile soumis a son poids propre.- aux pieds supports du pont (non representes ci-dessous),

Figure 1.1 – Exemple d’un pont roulant

La poutre mobile est soumise a de la flexion que nous allons etudier a partir de deux types dechargement qui seront detailles dans la suite. On s’interessera aussi a un chargement particulierdans une section des parties assurant le guidage du pont roulant, et on terminera par une etudedes pieds du pont-roulant qui sont essentiellement soumis a une sollicitation de compression.

Les 5 parties proposees (numerotees de 1.1 a 1.5) sont totalement independantes.

Il est demande de repondre directement sur le sujet et de rendre celui-ci a la fin de l’epreuvesans avoir oublie de completer l’entete en page 1 avec vos nom, prenom et groupe.

Bien evidemment, des schemas graphiques avec des codes de couleurs adaptes sont les bienve-nus...

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1.1 Etude d’une section de la partie assurant le guidage du pont

On s’interesse a une des deux poutrelles assurant le guidage du pont roulant sur les rails fixes.Ces poutrelles metalliques ont une section rectangulaire representee sur la figure 1.2 de largeurb et de hauteur h.

z

y

x G

b

h

Figure 1.2 – Section rectangulaire d’une poutrelle metallique

La sollicitation a laquelle nous nous interessons ici est donnee par le vecteur contrainte en unpoint d’une section droite :

−→T (M,−→x ) =

6τ

h2(h2

4− y2)−→y avec τ constant

1 ) Soit un point M de coordonnees (y, z) (ce qui s’ecrit aussi−−→GM = y−→y + z−→z ). Donner les

bornes de y et z permettant au point M de decrire toute la section rectangulaire.

Reponse

2 ) On rappelle que, a partir de la donnee du vecteur contrainte, on peut determiner le torseurdes efforts interieurs par :

{Tint

}=

{ −→R =

∫∫S

−→T (M,−→x )dS

−→MG =

∫∫S

−−→GM ∧

−→T (M,−→x )dS

}G

Determiner l’expression de dS dans le cas de la section rectangulaire presentee.

Reponse

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3 ) Calculer la resultante et le moment definis a la question 2 et montrer que−→R = bhτ−→y et

−→MG =

−→0

Reponse

Calcul de la resultante :−→R

Calcul du moment en G :−→MG

4 ) A quelle sollicitation est soumise cette section de poutre ?

Reponse

1.2 Etude du materiau constituant le pont roulant

Pour determiner les caracteristiques du materiau constituant le pont, on a realise un essai detraction sur une eprouvette.La figure 1.3 est le trace obtenu a l’issu de cet essai et represente l’evolution de la contraintenormale σ en MPa en fonction de la deformation longitudinale ε en %.

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Déformation ε en %

Déformation ε en %

Co

ntr

ain

teσ

en M

Pa

Co

ntr

ain

teσ

en M

Pa

Essai de traction(vue agrandie)

(courbe complète)Essai de traction

Figure 1.3 – Courbe contrainte/deformation pour l’essai de traction

1 ) En indiquant dans trois couleurs differentes vos constructions graphiques sur la figure 1.3determiner les valeurs numeriques du module d’Young E, de la limite elastique Re et de lalimite pratique d’elasticite R0,2

p = Rp. Toutes ces valeurs seront donnees en MPa .

Reponse

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2 ) Sachant que le materiau teste est un alliage metallique, donner un ordre de grandeur ducoefficient de poisson ν (cette question ne necessite pas d’utiliser la figure 1.3 !).

Reponse

3 ) Que valent la contrainte a rupture σr et la deformation a rupture εr ? Ces deux dernieresvaleurs verifient-elles la loi de Hooke ? Justifier votre reponse sans realiser aucun calcul.

Reponse

On s’interesse maintenant a l’etude de la partie mobile du pont roulant. Deux cas de charge-ment differents sont pris en compte.

1.3 Etude du la partie mobile du pont roulant soumise au poidsd’une charge transportee

Le modele propose pour cette etude est celui de la figure 1.4. Comme indique sur cette figure,on suppose que l’action mecanique exterieure connue en C due a la presence d’une charge est :

{T(Ext.−→Poutre)

}=

{−F−→y−→0

}C

Cette poutre est articulee au point A et en appui simple au point B. Les differentes longueurssont indiquees sur la figure.

z x

y

O A B C

7L2L4LL

F

Figure 1.4 – Modelisation de la poutre

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1 ) Faire l’etude statique de la poutre et determiner les actions mecaniques en A et B enfonction des donnees F et L.

Reponse

2 ) L’etude precedente permet de considerer le modele de la figure 1.5 pour l’etude de RdM.

3F2

z x

y

O A B C

7L2L4LL

FF2

Figure 1.5 – Modelisation de la poutre avec toutes les actions exterieures connues

Determiner le torseur des efforts interieurs pour un point de coupure G tel que−→OG = x−→x

avec x ∈ [0, L], x ∈ [L, 5L] et x ∈ [5L, 7L].

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Reponse : coupure pour x ∈ [0, L]

Reponse : coupure pour x ∈ [L, 5L]

Reponse : coupure pour x ∈ [5L, 7L]

3 ) Identifier la nature des sollicitations dans chaque partie de la poutre.

Reponse

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4 ) Tracer les diagrammes de l’effort tranchant Ty et du moment flechissant Mfz en indiquantles valeurs remarquables en 0, L, 5L et 7L.

Reponse

x

Ty

O

7LL 5L

7LL 5L

x

Mfz

O

5 ) Determiner le point ou le moment flechissant est maximal en valeur absolue et verifier quesa valeur est : |Mfz|max = 2FL

Reponse

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1.4 Etude du la partie mobile du pont roulant soumise a son poidspropre

On considere ici que le modele propose pour cette etude est celui de la figure 1.6.

p

zx

y

O A B C

7L2L4LL

Figure 1.6 – Modelisation de la poutre

Comme indique sur cette figure, on suppose que la seule action mecanique exterieure connueest une pression lineique constante p entre O et C.Cette poutre est articulee au point A et en appui simple au point B. Les differentes longueurssont indiquees sur la figure.

1 ) Faire l’etude statique de la poutre et determiner les actions mecaniques en A et B enfonction des donnees p et L.

Reponse

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L’etude precedente permet de considerer le modele de la figure 1.7 pour l’etude de RdM.

35pL8p

zx

y

O A B C

7L2L4LL

21pL8

Figure 1.7 – Modelisation de la poutre avec toutes les actions exterieures connues

2 ) Determiner le torseur des efforts interieurs pour un point de coupure G tel que−→OG = x−→x

avec x ∈ [0, L], x ∈ [L, 5L] et x ∈ [5L, 7L].

Reponse : coupure pour x ∈ [0, L]

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Reponse : coupure pour x ∈ [L, 5L]

Reponse : coupure pour x ∈ [5L, 7L]

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3 ) Calculer sur l’intervalle [L, 5L], la valeur de x pour laquelle l’effort tranchant est nul.

Reponse

4 ) Tracer le diagrammes de l’effort tranchant Ty (celui du moment flechissant Mfz est donne)en indiquant les valeurs remarquables en L, 5L et 7L sur la figure ci-dessous.

Reponse

x

Ty

O

7LL 5L

7LL 5L

x

Mfz

O

21L8

21L8

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5 ) Justifier le fait qu’en x = 0, x = 218L et x = 7L, le graphe du moment flechissant Mfz

admet une tangente horizontale.

Reponse

6 ) Determiner le point ou le moment flechissant est maximal en valeur absolue et verifier quesa valeur est : |Mfz|max = 2pL2.

Reponse

1.5 Etude d’un des pieds du pont roulant

On suppose ici qu’un pied du pont roulant peut etre modelise par une cone dont la section variede de S0 a SL avec S0 > SL (voir figure 1.8). Entre x = 0 et x = L, la section d’un pied dupont roulant varie lineairement avec l’abscisse x.

z

x

yO

SL

S0

L

Figure 1.8 – Pieds du pont a section variable

1 ) Donner l’expression de l’aire S(x) d’une section d’abscisse x variant entre 0 et L en fonctionde S0, SL, L et x.

Reponse

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On suppose qu’un pied peut-etre modelise par une poutre supposee encastree en O et soumise

a son autre extremite a un effort−→F = −F −→x .

2 ) Realiser le schema du probleme en precisant les axes en vue de sa resolution en RdM.

Reponse

3 ) Determiner le torseur des efforts interieurs en tout point G d’abscisse x de la poutre. Aquelle sollicitation elementaire est soumise cette poutre ?

Reponse

4 ) A quel type de contrainte est soumis un point de la section droite de la poutre ? Representergraphiquement les contraintes sur une section droite.

Reponse

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5 ) Donner l’expression de la contrainte en tout point d’une section droite d’abscisse x de lapoutre.

Reponse

6 ) Determiner en quel point de la poutre la contrainte est maximale et donner son expression.

Reponse

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