DS n° 4 Terminale S 733 11/01/2016

Mathématiques

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Exercice 1 ( 10 points )

Partie A

Soit g la fonction définie sur [0; +∞[ 𝑝𝑎𝑟 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥𝑒𝑥 + 1

1) Déterminer la limite de g en +∞

2) Dresser le tableau de variations de la fonction g

3) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution sur [0; +∞[ . On note a

cette solution . Donner un encadrement de a à 0,01 près

4) Démontrer que :

𝑒𝑎 =1

𝑎 − 1

5) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x

Partie B

Soit h la fonction définie et dérivable sur [0; +∞[ telle que :

ℎ(𝑥) =4𝑥

𝑒𝑥 + 1

Etudier le sens de variations de h

Partie C

On considère la fonction f définie et dérivable sur [0; +∞[ telle que

𝑓(𝑥) =4

𝑒𝑥 + 1

On note C sa courbe dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖; 𝑗) . La figure est donnée ci-dessous .

Pour tout réel positif ou nul x , on note : M le point de C de coordonnées (x ;f(x)) , P le point

de coordonnées (x ;0) , Q le point de coordonnées (0 ;f(x))

1) Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse a (

défini dans la partie A)

2) Toute trace de recherche même incomplète , ou d’initiative même infructueuse , sera

prise en compte dans l’évaluation

Dans cette question , on suppose que M a pour abscisse a . La tangente T en M à C est-elle

parallèle à la droite (PQ) ? Justifier

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Mathématiques

Exercice 2 ( 7 points )

Dans un zoo , l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé

d’un toboggan et d’un plongeoir .

On a observé que si un manchot choisit le toboggan , la probabilité qu’il le reprenne est 0,3 .

Si un manchot choisit le plongeoir , la probabilité qu’il le reprenne est 0,8 . Lors du premier

passage , les deux équipements ont la même probabilité d’être choisis .

On note : 𝑇𝑛 l’événement « le manchot choisit le toboggan lors de son nième passage »

𝑃𝑛 l’événement « le manchot utilise le plongeoir lors de son nième passage »

𝑢𝑛 = 𝑝(𝑇𝑛) c'est-à-dire la probabilité de l’événement 𝑇𝑛

1) Donner les probabilités : 𝑝(𝑇1) , 𝑝(𝑃1) , 𝑝𝑇1(𝑇2) 𝑒𝑡 𝑝𝑃1

(𝑇2)

2) Calculer 𝑝(𝑇2)

3) Montrer que pour tout entier naturel n non nul , 𝑢𝑛+1 = 0,1𝑢𝑛 + 0,2

4) Emettre une conjecture concernant la limite de la suite (𝑢𝑛) en utilisant la calculatrice

5) On considère la suite (𝑣𝑛) définie par :

𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 −2

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a) Démontrer que la suite (𝑣𝑛) est une suite géométrique dont on précisera la raison et

le premier terme

b) Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de n puis en déduire l’expression de 𝑢𝑛 en fonction de n

c) Démontrer votre conjecture .

Exercice 3 ( 3 points )

1) Démontrer le théorème suivant : « si A et B sont deux événements indépendants , alors

A et �̅� sont aussi des événements indépendants »

2) Ecrire un algorithme qui demande à l’utilisateur les valeurs 𝑝(𝐴) , 𝑝(𝐵) 𝑒𝑡 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)

et qui affiche alors l’indépendance ou non des événements A et B

.