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  • 1. MASTER ECONOMETRIE ET STATISTIQUE APPLIQUEE (ESA) Universit dOrlansEconomtrie pour la FinanceModles ARCH - GARCH Applications la VaRChristophe HurlinDocuments et SupportsAnne Universitaire 2006-2007Master Economtrie et Statistique Applique (ESA)Universit dOrlansFacult de Droit, dEconomie et de GestionBureau A 224Rue de Blois BP 673945067 Orlans Cedex 2www.univ-orleans.fr/deg/masters/ESA/

2. October 28, 2004Contents1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Processus linaires et processus non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.1 Les principales proprits des sries nancires . . . . . . . . . . . . . .12.2 Les grandes classes de modles non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Modles bilinaires (Granger et Andersen, 1978) . . . . . . . . . 12 2.2.2 Modles auto-rgressifs exponentiels (modles EXPAR) . . . . .14 2.2.3 Modles autorgressifs seuil (modles TAR) . . . . . . . . . . .142.3 Lapproche ARCH / GARCH et la modlisation de lincertitude . . . . .153 Modles ARCH / GARCH linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1 Modles ARCH(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173.2 Modle avec erreurs ARCH(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213.3 Modles GARCH(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234 Estimation et Prvisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1 Estimateurs du MV sous lhypothse de normalit et Estimateurs du PMV27 4.1.1 Maximum et Pseudo Maximum de Vraisemblance appliqus aux modle ARCH / GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.1.2 La procdure AUTOREG : estimation par MV et PMV . . . . . 30 4.1.3 La procdure AUTOREG : variances conditionnelles estimes et rsidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.1.4 La procdure MODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384.2 Estimateurs du MV sous dautres lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2.1 La distribution de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 4.2.2 La distribution de Student dissymtrique standardise . . . . . . 45 4.2.3 La distribution Generalized Error Distribution . . . . . . . . . .45 4.2.4 La procdure AUTOREG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 4.2.5 La procdure MODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .474.3 Prvisions et intervalles de conance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .504.4 Tests deets ARCH / GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 Extension des Modles ARCH / GARCH linaires . . . . . . . . . . . . . . . 525.1 Application : Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .525.2 Modles ARMA-GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3 Modles GARCH-M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .545.4 Modles IGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 Modles ARCH / GARCH asymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .596.1 Modle EGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 3. Master ESA. Modles ARCH / GARCH Univaris. Cours de C. Hurlin 26.2 Modle GJR-GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.3 Gnralisations APARCH et VSGARCH. . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4 Modles TARCH et TGARCH . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5 Modle QGARCH . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.6 Modles LSTGARCH et ANSTGARCH. . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 Modles ARCH et mmoire longue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.1 Modle FIGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.2 Modle HYGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.3 Modle FAPARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 Modles Multivaris . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4. Master ESA. Modles ARCH / GARCH Univaris. Cours de C. Hurlin 11. Introduction2. Processus linaires et processus non linairesLapparition des modles ARCH / GARCH doit tre replac dans le contexte plusvaste du dbat sur la reprsentation linaire ou non linaire des processus stochastiquestemporels.A major contribution of the ARCH literature is the nding that appar-ent changes in the volatility of economic time series may be predictable andresult from a specic type of nonlinear dependence rather than exogenousstructural changes in variables. (Berra et Higgins, 1993, page 315).Comme lindiquent Berra et Higgins, la modlisation ARCH / GARCH et ses exten-sions correspond une (i) reprsentation spcique de la non linarit (ii) qui permetune modlisation simple de lincertitude. Nous allons successivement voquer ces deuxpoints. Mais avant cela passons en revue les principales proprits des sries nanciresde prix (action, obligation, taux de change..) et de rendement1 . Ce qui nous permettraau passage dintroduire un certain nombre de dnitions essentielles.2.1. Les principales proprits des sries nanciresLes sries de prix dactif et de rendements prsentent gnralement un certain nombrede proprits similaires suivant leur priodicit. Soit pt le prix dun actif la date t etrt le logarithme du rendement correspondant:rt = log (pt ) log (pt1 ) = log (1 + Rt ) (2.1)o Rt = (pt pt1 ) /pt dsigne la variation relative des prix. Considrons titredexemple lindice Standard & Poor observ en clture sur la priode du 03/07/1989 au24/11/2003 ainsi que le rendement quotidien associ (gure 2.2 et 2.3) .Sous Sas, pourvisualiser ces deux sries, on utilise le programme suivant (chier example1.sas) :Charpentier (2002) distingue ainsi 8 principales proprits que nous allons succes-sivement aborder.Proprit 1 (Stationnarit) Les processus stochastiques pt associs aux prix dactifsont gnralement non stationnaires au sens de la stationnarit du second ordre,tandis que les processus associs aux rendements sont compatibles avec la propritde stationnarit au second ordre.1 Vvoir Cuthbertson (2000), Economie Financire Quantitative: Actions, Obligations et Taux deChange, De Boeck, pour la dnition des concepts nanciers de base. 5. Master ESA. Modles ARCH / GARCH Univaris. Cours de C. Hurlin 2 Figure 2.1: Programme Example1.sas Rappelons au passage les dnitions de la stationnarit forte et de la stationnar-it faible (ou stationnarit du second ordre). Soit un processus temporel alatoire(xt , t Z) .Denition 2.1. Le processus xt est dit strictement ou fortement stationnaire si len-uplet du temps t1 < t2 < .. < tn , tel que ti Z et pour tout temps h Z avecti + h Z, i, i = 1, .., n, la suite (xt1 +h , .., xtn +h ) la mme loi de probabilit que lasuite (xt1 , .., xtn ) . Dans la pratique, on se limite gnralement requrir la stationnarit du secondordre (ou stationnarit faible) du processus tudi.Denition 2.2. Un processus (xt , t Z) est dit stationnaire au second ordre, ou sta-tionnaire au sens faible, ou stationnaire dordre deux si les trois conditions suivantessont satisfaites :(i) t Z, E x2 < t(ii) t Z, E (xt ) = m, indpendant de t(iii) (t, h) Z2 , cov (xt , xt+h ) = E [(xt+h m) (xt m)] = (h) , indpendant de tLa premire condition E x2 < garantit tout simplement lexistence (ou la con- tvergence) des moments dordre deux. La seconde condition E (xt ) = m, t Z portesur les moments dordre un et signie tout simplement que les variables alatoires xtdoivent avoir la mme esprance quelle que soit la date t. Autrement dit, lesprancedu processus xt doit tre indpendante du temps. Enn, la troisime condition, (h) 6. Master ESA. Modles ARCH / GARCH Univaris. Cours de C. Hurlin3Figure 2.2: Indice SP500 : 03/07/1989 au 24/11/2003indpendant de t, porte sur les moments dordre deux rsums par la fonction dau-tocovariance. Cette condition implique que ces moments doivent tre indpendantsde la date considre et ne doivent dpendre uniquement que de lordre des retards.Autrement dit la fonction dautocovariance du processus xt doit tre indpendante dutemps. En rsum, un processus est stationnaire au second ordre si lensemble de sesmoments sont indpendants du temps. Par consquent, il convient de noter que lastationnarit implique que la variance (0) du processus xt est constante au cours dutemps. Sans pratiquer de test de lhypothse de non stationnarit ou de stationnarit,on peut observer sur la gure (??) que la dynamique de lindice SP500 semble ne passatisfaire aux dirents lements de la dnition de la stationnarit du second ordre.Le diagnostic quant la stationnarit des rendements est plus dicile prononceret ncessiterait lapplication de tests de lhypothse de non stationnarit (ADF, ERS,Max-ADF etc.).2Proprit 2 (Autocorrlations des carrs des variations de prix) La srie rt asso-cie aux carrs des rendements prsente gnralement de fortes auto-corrlationstandis que les auto-corrlation de la srie rt sont souvent trs faibles (hypothsede bruit blanc).Labsence dauto-corrlation des rendements renvoit la notion decience. Nousnentrerons pas ici dans le dtail de la thorie et des tests de lhypothse de marchs e-cient (Ecient Market Hypothesis ou EMH)2 . Retenons simplement que sous lEMH,2Vvoir Cuthbertson (2000), Economie Financire Quantitative: Actions, Obligations et Taux de 7. Master ESA. Modles ARCH / GARCH Univaris. Cours de C. Hurlin4 Figure 2.3: Rendement SP500 : 03/07/1989 au 24/11/2003le cours pt dune action incorpore toutes les informations pertinentes. Ce que lon en-tend par information renvoit ici aux direntes formes, faibles, semi-forte et forte delecience. Dis autrement, lhypothse decience du march implique en eet que lesrendements anticips dquilibre corrigs du risque ne sont pas prvisibles. Quelle que soit la dnition retenue, les cours ne peuvent varier entre t et t +1 quen raison de larrive de nouvelles (news) non anticipes. Sous lhypothsedanticipations rationnelles, les erreurs de prvisions dnie