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École Doctorale de l’Université de Technologie de Compiègne Habilitation à Diriger des Recherches présentée et soutenue par Faicel HNAIEN Docteur de l’École des Mines de Saint-Étienne Optimisation des systèmes complexes préparée au Laboratoire d’Optimisation des Systèmes Industriels (LOSI) de l’Université de Technologie de Troyes (UTT) le 20 Novembre 2015 Composition du jury : Rapporteurs : Yannick F Professeur des Universités à l’Institut Polytechnique de Grenoble Bernard G Professeur des Universités à l’École nationale d’ingénieurs de Tarbes Aziz M Professeur des Universités à l’Université de Technologie de Compiègne Examinateurs : El-Houssaine A Professeur à Ghent University, Belgique Alexandre D Professeur à l’École des Mines de Nantes Mustapha N Professeur à l’Université Laval, Quebec, Canada Farouk Y Professeur des Universités à l’Université de Technologie de Troyes

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École Doctorale de l’Université de Technologie de Compiègne

Habilitation à Diriger des Recherches

présentée et soutenue par

Faicel HNAIEN

Docteur de l’École des Mines de Saint-Étienne

Optimisation des systèmes complexes

préparée au Laboratoire d’Optimisation des Systèmes Industriels (LOSI) del’Université de Technologie de Troyes (UTT)

le 20 Novembre 2015

Composition du jury :

Rapporteurs :Yannick Frein Professeur des Universités à l’Institut Polytechnique de Grenoble

Bernard Grabot Professeur des Universités à l’École nationale d’ingénieurs de Tarbes

Aziz Moukrim Professeur des Universités à l’Université de Technologie de Compiègne

Examinateurs :El-Houssaine Aghezzaf Professeur à Ghent University, Belgique

Alexandre Dolgui Professeur à l’École des Mines de Nantes

Mustapha Nourelfath Professeur à l’Université Laval, Quebec, Canada

Farouk Yalaoui Professeur des Universités à l’Université de Technologie de Troyes

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Introduction générale

Ce mémoire expose d’une manière synthétique les travaux de recherche que j’ai menés depuisque j’ai rejoint l’Université de Technologie de Troyes (UTT), après avoir terminé ma thèse dedoctorat au sein de l’École des Mines de Saint Étienne. Précédemment, durant mes trois annéesde thèse au sein du Laboratoire des Sciences et Technologies de l’Information (LSTI), j’ai traité leproblème de réapprovisionnement avec aléas de délais d’approvisionnement. Ensuite, au coursde mes six années de recherche au sein du Laboratoire d’Optimisation des Systèmes Industriels(LOSI), j’ai travaillé sur plusieurs problèmes d’optimisation face aux aléas. Présenter tous mestravaux dans un mémoire de quelques pages serait une mission dicile et forcément je laisseraisde côté des travaux plus périphériques néanmoins intéressants. Je vais me concentrer alors surl’optimisation discrète et combinatoire appliquée aux systèmes complexes qui est le coeur de mestravaux de recherche en général.

En eet, mes travaux de recherche sont à la croisée de trois domaines : la gestion industrielle,les mathématiques et l’informatique. Mon parcours universitaire a débuté avec une formation enmathématiques avec deux ans en classe préparatoire à l’Institut Préparatoire aux Études d’Ingé-nieurs de Nabeul (IPEIN), suivi par trois ans en cycle ingénieur à l’École Nationale d’Ingénieursde Tunis (ENIT) et un master 2 recherche à l’École Nationale Supérieure de Génie Industriel(ENSGI) à Grenoble en génie industriel et recherche opérationnelle.

Grâce à mon stage de master, j’ai commencé à découvrir l’optimisation l’optimisation discrètepour un problème de planication d’un bloc opératoire face aux urgences médicales. J’ai traitéalors la robustesse et la exibilité de planication du plan directeur d’allocation. Ensuite, à traversma thèse, j’ai renforcé mes compétences en optimisation face aux aléas notamment dans le casde gestion des stocks des chaînes logistiques face aux aléas des délais d’approvisionnement. J’aieu l’occasion de traiter des problèmes discrètes et des problèmes combinatoires.

L’optimisation combinatoire est un problème souvent dicile en soi, mais en prenant en compteles aléas, ce problème devient encore plus complexe à résoudre face aux nombres exponentielsdes scénarios envisageables.

À mon avis, il ne faut pas se limiter aux méthodes approchées pour résoudre ces problèmes mais,il vaut mieux exploiter au maximum les limites des méthodes exactes pour pouvoir résoudredes problèmes de taille réelle. Par ailleurs, les méthodes exactes peuvent parfois contribuer àla résolution de problèmes NP-diciles de grande taille même lorsque le problème est sous descontraintes complexes et probabilistes. J’ai choisi de structurer ce mémoire autour de l’optimisa-tion des systèmes complexes que j’ai eu l’occasion de traiter (voir gure 1).

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F. Hnaien

Gestion Industrielle Informatique

Disciplines

p Approvisionnement

p Planication

p Ordonnancement

p Conception

+

Aléas :p maintenance

p capacité

p délai

p demande

p etc.

Problématiques

Recherche

Opérationnelle

Simulation

p développement de nouvelles méthodes d’op-timisation

p transfert de la recherche fondamentale versl’industrie

Outils

Réseaux des

capteurs

Systèmes

d’assemblages

Atelier de

production

Agriculture

Applications

Figure 1 – Représentation de mes travaux de recherche

Durant ces six années de recherche en tant que maître de conférences, j’ai eu l’occasion de trai-ter plusieurs problèmes d’optimisations discrètes et combinatoires dans le cadre des projets ANR,industriels et régionaux. Néanmoins, ce mémoire n’est ni l’état de l’art des méthodes d’optimi-sation stochastiques ni celui de la résolution des problèmes théoriques sous aléas. Ce mémoirerecense une synthèse de mes travaux de recherche dans les domaines suivants :

p La gestion des stocks face aux aléas de délais d’approvisionnement et de la demande.

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p La planication de collecte de céréales entre les champs et les organismes de stockage entenant compte des risques liés aux incertitudes météorologiques.

p La gestion intégrée de la production et de la maintenance : Ordonnancement et planica-tion de la production avec indisponibilités dues à la maintenance.

p La conception de réseaux de capteurs en tenant en compte de la couverture et de la préci-sion de localisation.

p Une nouvelle méthode d’exploration de l’espace de recherche de solutions dédiée pour lesméta-heuristiques.

Ce mémoire se divise en deux parties. Je commence par une notice d’activité qui retracemes parcours académique et professionnel et mes activités d’enseignement et de recherche.Aussi, je décris très brièvement mes projets de recherche nancés et mes activités d’animationscientique. Je termine cette notice par la liste de mes publications. La deuxième partie demémoire s’intéresse principalement à décrire mes activités de recherche. Elle est composée desix chapitres :

p Le chapitre 1 résume mes travaux sur l’optimisation de planication d’approvisionnementpour le cas de système d’assemblage face aux aléas des délais d’approvisionnement. Ilillustre deux méthodes de résolution exacte, la première est une procédure par séparationet évaluation et la deuxième est une approche originale qui se base sur la programmationsous contraintes probabilistes jointes.

p Le chapitre 2 présente le problème de planication de l’activité de récolte. Il illustre notam-ment la collecte de céréales face aux aléas climatiques. Une approche originale basée sur laréduction des scénarios est présentée. Cette approche rend le modèle à variables entièresmixtes de planication résoluble dont les dimensions augmentent exponentiellement avecle nombre de scénarios.

p Le chapitre 3 présente mes travaux sur la gestion de production avec indisponibilités duesà la maintenance. Il s’agit d’un problème d’ordonnancement d’un atelier ow-shop avecindisponibilité de machines et un problème de planication intégrée de la production et dela maintenance. Dans ce chapitre, plusieurs modèles linéaires sont proposés ainsi qu’uneprocédure par séparation et évaluation pour résoudre le problème d’ordonnancement.

p Le chapitre 4 résume mes travaux sur la conception des réseaux de capteurs sur les problé-matiques de couverture et localisation de cibles pour des applications de suivi de cibles àl’intérieur de bâtiment, et l’étude de problèmes de couverture et connectivité dédiés à desdéploiements en environnement extérieur.

p Le chapitre 5 présente une nouvelle méthode d’exploration de l’espace de recherche desolutions. Cette méthode décompose l’espace en plusieurs zones par rapport à une solu-tion de référence et nous permet une meilleure diversication et intensication des méta-heuristiques évolutionnaires telles que les algorithmes génétiques, les méthodes à parti-cules, les colonies de fourmis,...,etc.

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p Le chapitre 6 présente une conclusion générale qui clôture le mémoire avec mes perspec-tives de recherche liées aux problématique présentées dans ce mémoire.

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Table des matières

Introduction générale 1

I Notice d’activité 9

II Synthèse des travaux scientiques 31

1 Optimisation sous aléas de délais d’approvisionnement pour un système d’as-

semblage 33

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.2 Description du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3 Procédure par séparation et évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.4 Programmation sous contraintes probabilistes jointes . . . . . . . . . . . . . . . 391.5 Modèle de programmation en nombres entiers mixtes . . . . . . . . . . . . . . . 411.6 Niveau de service face au coût de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.7 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2 Planication de la collecte de céréales face aux aléas climatiques 51

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Gestion des risques de dégradation de la qualité des céréales . . . . . . . . . . . 52

2.2.1 Description du problème et modélisation mathématique . . . . . . . . . 532.2.2 Programmation sous contraintes probabilistes jointes . . . . . . . . . . . 55

2.3 Programmation mixte en nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4 Une approche basée sur la réduction des scénarios . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5 Reformulation mixte en nombres entiers et le concept de pertinence-(1− α) . . 592.6 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.7 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Optimisation de la production avec indisponibilités dues à la maintenance 69

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

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3.2 Ordonnancement d’un atelier ow-shop avec indisponibilité sur la première ma-chine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.1 Description du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.2 Modèle de programmation en nombres entiers mixtes 1 (MIP1) . . . . . 723.2.3 Modèle de programmation en nombres entiers mixtes 2 (MIP2) . . . . . 733.2.4 Procédure par Séparation et Évaluation (PSE) . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.5 Résultats et discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3 Ordonnancement d’un atelier ow-shop avec indisponibilité sur la deuxième ma-chine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.1 Les bornes inférieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.2 Les bornes inférieurs générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3.3 Résultats et discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4 Planication intégrée de la production et de la maintenance . . . . . . . . . . . 823.4.1 Nouvelle méthode de résolution proposée . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4 Optimisation dans les réseaux de capteurs 91

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3 Déploiement des capteurs et localisation de cibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3.1 Couverture et localisation de cibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.2 Localisation par zonage et déploiement de capteurs . . . . . . . . . . . . 98

4.4 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5 Technique de représentation de l’espace de solution 101

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.2 La Méthode de Conversion de l’Espace de recherche . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2.1 La Fonction de Conversion Cartographique . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3 Orientation sur le mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3.1 Distribution des solutions sur le mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3.2 Métriques sur le Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.4 Hybridations par le Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.5 Adaptation et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.5.1 Flexible Job Shop Problem (FJSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.5.2 Non-dominated Sorting Algorithm II (NSGAII) . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.6 Expérimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.6.1 Paramétrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.6.2 Expérimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.6.3 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.7 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6 Conclusions générales 127

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TABLE DES MATIÈRES

Bibliographie 135

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Première partie

Notice d’activité

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Curriculum vitæ

Faicel HNAIEN

né le 25 mars 1980 à Menzel Temime, marié, 2 enfants20 rue Guy Moquet 10120 Saint André Les Vergers, FranceÉmail : [email protected]éléphone bureau : (33) 3 25 71 56 30Téléphone personnel : (33) 6 95 75 67 78

Expérience professionnelle

09/2009– Maître de conférences (5ème échelon) à l’Université de Technologie deTroyes.Laboratoire d’Optimisation des Systèmes Industriels (LOSI).Institut Charles Delaunay (ICD, UMR CNRS 6279), Troyes, France.

2008-2009 ATER à temps complet à l’Institut Français de Mécanique Avancée (IFMA),Clermont-Ferrand, France.

2005-2008 Allocataire de Recherche et moniteur à l’École des Mines de Saint-Étienne,Saint-Étienne, France

02-06/2005 Stage de Master 2 Recherche au Laboratoire d’Automatique de Grenoble :Planication d’un bloc opératoire "évaluation de la performance du plan di-recteur d’allocation", Grenoble, France.

02-06/2004 Projet de Fin d’études à la société tunisienne d’industrie automobile (STIA) :Conception et mise en place d’une nouvelle organisation (cas des sectionspresse & débitage), Sousse, Tunisie

Juillet-Août 2003 Stage ingénieur à la Société Plastique du CAP BON, Nabeul, TunisieJuillet-Août 2002 Stage technicien à la Société Plastique du CAP BON, Nabeul, Tunisie

Formation

2005-2008 Thèse de doctorat en Génie Industriel, 8 décembre 2008.Titre : Gestion de stocks dans des chaînes logistiques face aux aléas des délais d’ap-provisionnements. Centre Génie Industriel et Informatique (G2I), École NationaleSupérieure des Mines de Saint-Étienne (EMSE), Saint-Étienne, France.

2004-2005 Master 2RechercheManagement Stratégique et Génie des Organisations (MSGO)à L’École Nationale Supérieure de Génie Industriel (ENSGI), Grenoble, France

2001-2004 Diplôme d’ingénieur (niveau bac+5) à l’École Nationale d’Ingénieurs de Tunis(ENIT), spécialité Génie Industriel, Tunis, Tunisie

1999-2001 Classes préparatoires à l’Institut Préparatoire aux Études d’Ingénieursde Nabeul (IPEIN), spécialité math & physique, Nabeul, Tunisie

Juin 1999 Bac Maths, Lycée technique, Menzel Temime, Tunisie

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F. Hnaien

Encadrement doctoral (Co-encadrement de 6 thèses)

p Doctorat de Matthieu Le Berre actuellement Ingénieur recherche à Horanet à FontenayLe comte- co-encadrement à 50% avec Hichem Snoussi (Bourse région, 2011-2014), soutenule 5 juin 2014.Titre : Optimisation dans les déploiements de réseaux de capteurs et localisation de cibles.Résumé : Au cours de cette thèse, nous avons abordé des problématiques liant opti-misation et déploiement de réseaux des capteurs pour la localisation de cibles. Nousnous sommes intéressés aux problèmes multiobjectif de déploiement des capteurs etde localisation des cibles dans la zone à couvrir. Nous avons développé des modèleslinéaires résolus via un B&B pour le cas mono-objectif et des méta-heuristiques pour lescas à multiobjectif. De point de vue pratique, les études que nous avons eectués danscette thèse peuvent servir comme GPS indoor pour le déplacement d’un visiteur ou d’unmatériel dans un endroit fermé.

p Doctorat de Julien Autuori actuellement Ingénieur recherche à NP6 à Paris - co-encadrement à 50% avec Abdelaziz Hamzaoui (Bourse Grand Troyes, 2011-2014) et avecla participation de Farouk Yalaoui (UTT, LOSI) et Najib Essounbouli (URCA, CRESTIC),soutenu le 5 décembre 2014.Titre : Coopération méta-heuristiques et logique oue pour l’optimisation dicile.Résumé : Cette thèse traite l’hybridation des méthodes mono-objectif et multiobjectifpour une meilleure exploration de l’espace de recherche des solutions. Cette méthode sebase sur une cartographie de l’espace de recherche des solutions. Nous avons proposéune fonction bijective qui permet de convertir l’espace de solutions en un espace uni-dimensionnel pour mieux se repérer sur la carte des solutions. La deuxième étape est lamesure de la convergence et la diversité des algorithmes en se basant sur la cartographieobtenue à la première étape. Enn, une hybridation basée sur des recherches locales dansles zones fortement explorées et la création des solutions dans les zones non explorées estmise en place.

p Doctorat de Valeria Borodin actuellement enseignante chercheuse à l’école des mines deSaint-Étienne - co-encadrement à 50% avec Nacima Labadie (Bourse CIFRE, 2012-2015),soutenu 1er décembre 2014.Titre : Optimisation et simulation de la chaîne logistique : application au secteur del’agriculture.Résumé : Cette thèse cifre est en collaboration avec la coopérative agricole "SCARA".La SCARA souhaite repenser sa chaîne logistique, pour ainsi passer à une approche plusindustrielle. Ce qui nécessite de recongurer l’organisation de ses ux logistiques, imagi-ner de nouveaux modes d’échanges et de collaboration avec ses adhérents, dimensionneret mutualiser les moyens mécaniques et humains, etc. Dans le cadre de cette thèse, c’estl’activité de collecte qui a été visée, la période de moisson étant primordiale en terme de

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quantité et qualité de production pour répondre aux exigences du marché. La gestion del’activité de collecte implique les opérations de récolte, transport et stockage des céréales,sur plusieurs exploitations agricoles, dispersées géographiquement. D’une façon générale,le but de cette thèse consiste à, en premier lieu, étudier et évaluer les performances dela chaîne logistique dans son état actuel au sein de la coopérative agricole concernée.Ensuite, améliorer les performances, déterminer et proposer des éventuelles meilleuresreconguration(s) pour la chaîne logistique dans son intégralité, tout en tenant compte desrisques liées aux aléas météorologiques. Pour répondre au cahier des charges de la SCARA,plusieurs approches stochastique ont été réalisées dans cette thèse : la programmationstochastique, le Chance Constrained programming, la programmation par intervalle et lecouplage optimisation simulation.

p Doctorat de Abdelhak Ben Jemaa - co-encadrement à 50% avec Abdelaziz Hamzaoui(Bourse Grand Troyes, 2011-2014) et avec la participation de Farouk Yalaoui (UTT, LOSI)et Najib Essounbouli (URCA, CRESTIC), soutenance prevue en 2015.Titre : Supervision, commande et optimisation multicritère d’une production multi-sources d’électricité dans une installation industrielle.Résumé : Cette thèse traite les méthodes d’optimisation multicritères au niveau de la ges-tion des énergies et des ressources renouvelables dans le domaine industriel. La rechercheà travers cette thèse vise à étudier, concevoir et développer un système de gestion intel-ligente d’énergie électrique qui permet d’optimiser les transferts d’énergie au sein d’uneinstallation industrielle, connectée au réseau national et équipée de plusieurs sourcesd’énergie renouvelables. L’objectif est de parvenir à une production-consommation localeoptimisée et exible, avec une injection de surplus de production.

p Doctorat de Oussama Ben Ammar - participation avec Alexandre Dolgui (Bourse Écoledes Mines de Saint-Étienne, 2010-2014), soutenu 9 octobre 2014.Titre : Paramétrage de logiciels MRP dans un environnement incertain.Résumé : La gestion des stocks est un élément très important pour les entreprises. Ilfaut pouvoir satisfaire les clients à moindre coût. Pour cela, il est nécessaire d’être enpossession des composants nécessaires et susants, pour fabriquer les produits demandéset les livrer à la date voulue. En eet, une mauvaise politique d’approvisionnement, etde gestion des stock d’une manière générale, conduit soit à des retards de livraison,qui engendrent des frais, soit à des stocks inutiles. Ces derniers peuvent être créés àdiérents niveaux (des matières premières aux produits nis), coûtent de l’argent etimmobilisent des fonds. C’est pourquoi, il faut chercher des méthodes de planication desapprovisionnements ecaces pour savoir exactement quoi commander, combien et quand.La thèse s’intéresse plus particulièrement aux systèmes de planication de type MRP. Al’origine, les techniques MRP sont prévues pour des conditions déterministes. La thèsetraite des cas plus réalistes, lorsque les entreprises sont soumises aux incertitudes externesde la demande et des approvisionnements et cherche à obtenir les meilleurs paramètres

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F. Hnaien

pour un système MRP sous aléas. Les objectifs de la thèse sont le choix des indicateursde performance pour la chaîne d’approvisionnement en tenant compte des aléas de lademande et des délais de livraison et l’étude de l’inuence de ce choix sur les systèmes MRP.

p Doctorat de Mourad Benttaleb - co-encadrement à 50% avec Farouk Yalaoui (Bourseministère, 2015-2018).Titre : Gestion de production avec incertitudes.Résumé : Cette thèse s’intéresse aux problèmes de gestion de production sujettes auxaléas telles que les pannes machines et la demande de produits nis. L’objectif de lagestion de production c’est de décider combien de pièces à fabriquer chaque période ande satisfaire la demande des clients qui est souvent aléatoire. Pour absorber les aléasde la panne machine, les industriels mettent en place des opérations de maintenancepréventives. Pour les aléas de la demande, il est nécessaire d’être en possession de tous lescomposants, pour fabriquer les produits demandés et les livrer à la date voulue. En eet,une mauvaise politique d’approvisionnement en composants conduit soit à des retards delivraison, qui engendrent des frais, soit à des stocks inutiles. L’objectif de cette thèse estd’étudier la gestion de la production en tenant compte de ces aléas. L’objectif technique estde proposer des modèles d’optimisation stochastiques ainsi que des nouvelles approchesde résolution.

Encadrement de 5 Masters

p Lynda Boukir (Master 2 recherche Modélisation mathématique et applications, UniversitéJean Monnet, Saint-Étienne, 2006).Sujet : Étude d’un processus stochastique pour l’extraction d’indicateurs de performancepour la planication d’approvisionnement d’un système d’assemblage multi-niveau.

p Zaki Nassim (Master 2 recherche Modélisation mathématique et applications, UniversitéJean Monnet, Saint-Étienne, 2006).Sujet : La planication d’approvisionnement de système d’assemblage soumis aux aléasdes délais d’approvisionnements : étude de complexité.

p Yassine Ouazène (Master 2 Recherche OSS, à l’Université de Technologie de Troyes, 2010)Sujet : Optimisation bi-objectifs de l’ordonnancement de la production et de la planica-tion des tâches de maintenance.

p Yassine Benrqya (Master 2 recherche en Génie Industriel à l’École des Mines de Saint-Étienne, 2011)Sujet : Étude des performances d’une chaîne logistique dans la lière agricole à la SociétéCoopérative Agricole de la Région d’Arcis (LA SCARA).

p Ahmed Mhadhbi (Master 2 recherche OSS, à l’Université de Technologie de Troyes,2014)Sujet : Optimisation conjointe de la maintenance et de l’ordonnancement.

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Co-encadrement de 5 postdoctoraux

p Valeria Borodin (Bourse ANR, 2015-2016), co-encadré avec Hichem Snoussi (Professeurau LM2S, UTT) et Nacima Labadie (MDC-HDR au LOSI, UTT)sujet : Optimisation de déploiement d’une otte de robots pour la surveillance de sitessensibles.

p Matthieu Le Berre (Bourse Région, 2014-2015), co-encadré avec Hichem Snoussi (Profes-seur au LM2S, UTT).sujet : Optimisation dans les réseaux de capteurs.

p Maher Rebai (Bourse Région, 2012-2014), co-encadré avec Hichem Snoussi (Professeur auLM2S, UTT).sujet : Optimisation de la conception des réseaux des capteurs et des caméras.

p Maria Consuelo Soto Lima (dans le cadre du projet "SmartCam" subventionné par larégion Champagne Ardennes, 2012-2013), co-encadrée avec Hichem Snoussi (Professeurau LM2S, UTT).sujet : Réseaux des capteurs mobiles pour la surveillance d’une zone.

p Abbas Eldor (Bourse Région, 2014-2015), co-encadré avec Nacima Labadie (MDC-HDRau LOSI, UTT)sujet : Étude de la robustesse de la chaîne logistique d’une coopérative d’agricole.

Animation Scientique

p Co-Responsable de Master Sport Management et Ingénierie-Logistique Événementielleet Sécurité SMILES, 2010-2013

p Comité d’organisation : participation à l’organisation de conférence internationale (IN-COM’2006, Roadef’2013, MIM’16) : organisation du programme social, préparation desactes, contact et accueil des conférenciers, etc.

p Comité académique : membre élu de 2015-2019p Responsable des séminaires : au Laboratoire d’optimisation des systèmes Industriels

(LOSI)

Projets de recherche nancés

p Porteur d’un projet exploratoire nancé par l’UMR-STMR : Optimisation bi-objectif d’or-donnancement et de la Maintenance préventive avec risque de pannes machines, 2010, 12mois, 2 Keuros.

p Porteur d’un projet avec Volvo 3P à Saint-Priest : Étude d’optimisation multicritères del’approvisionnement d’une unité de production de camions, 5 Keuros, 2012, 6 mois.

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F. Hnaien

p Co-responsable d’un projet Conseil régional de Champagne-Ardenne CRCA : Managementde la chaîne logistique pour une coopérative agricole (MCL-CA) avec la SCARA/ARVALIS,2011-2015, 48 mois, 520 Keuros.

p Membre du Projet Carnot MobiLoc : Localisation et contrôle de capteurs embarqués mo-biles, 2011-2014, 36 mois, 30 Keuros.

p Co-responsable d’un projet région nancé par La Communauté de l’AgglomérationTroyenne (CAT) : Méthodes d’optimisation multicritères au niveau de la gestion des éner-gies et des ressources renouvelables dans le domaine industriel. 2011-2014, 36 mois, 170Keuros.

p Membre d’un Projet avec le CHT de Troyes : la géolocalisation au sein de l’hôpital. Lesobjectifs d’une géolocalisation sont en particulier de faciliter l’orientation des visiteurs ausein du CHT et de permettre la localisation des patients ou matériels sensibles au sein duCHT. Ce projet comprendra 2 axes principaux : implantation du réseau & localisation etl’utilisation des informations issues de la géolocalisation pour le suivi des ux, Accord deconsortium depuis 2014- .

Valorisation

Suite à nos travaux sur l’optimisation dans le réseaux de capteurs, nous étions contacté par l’hôpi-tal de Troyes an de développer des solutions en application directe de nos travaux de recherche.Nous avons développé une solution de localisation de patients et de matériels, qui utilise les dif-férents travaux sur le déploiement et la localisation décrits dans la thèse de Matthieu Le Berre. Leprototype actuel se présente comme une suite d’applications pour tablette Android, développéepar nos soins. Le prototype permet alors la visualisation en temps réel, à l’instar d’une appli-cation GPS, de l’utilisateur dans les locaux de l’hôpital. Le principal intérêt de ce système estl’utilisation de réseau WiFi pré-déployé, renforcé par de nouvelles bornes en vue de sa doubleutilisation (connexion et localisation). Ce travail s’appuie sur un brevet en cours Système d’opti-misation du déploiement de capteurs pour la localisation de cibles, utilisation du système et procédéd’optimisation.

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Rayonnement scientique

p Bénéciaire de la Prime d’excellence scientique PES depuis septembre 2012

p Prix spécial du jury de la région Champagne Ardenne de la thèse de Valeria BORODIN.

p Meilleur papier à la conférence "15th International Conference on Information Processingand Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems", 2014, Montpellier, France.

p Chairman et organisateur des sessions spéciales :

• Joint Maintenance and scheduling problems, International Conference on Com-munications, Computing and Control Applications (CCCA’11), 3-5- Mars 2011,Hammamet-Tunisie.

• Production planning and Inventory control under demand, yield and lead time, MO-SIM’2010, 10-12- Mai 2011, Hammamet-Tunisie.

• Inventory control under uncertainties, Roadef’2011, 2-4 Mars 2011, Saint-Etienne

• Production planning under demand, yield and lead time uncertainties, MIM’2013, Juin2013 Saint-Pétersbourg.

• Scheduling under uncertainties, META’2014, Marrakech.

• Inventory control, Replenishment and Lot-sizing under Demand, Yield or Lead TimeUncertainties, INCOM’2015, Ottawa.

p Expertise :

• Expertise d’un projet d’une demande de subvention soumise au concours 2012-2013du programme Établissement de nouveaux chercheurs du Fonds de recherche duQuébec-Nature et Technologie (FRQNT).

• Expertise d’un projet ANR, 2015

p Comité de sélection pour l’emploi de maître de conférences : Participation à deux comitésde sélection d’un maître de conférences en 61/63 ème section à l’UTBM en Mars 2011.

p Relecteur (≈ 8 papiers/an) : European Journal of Industrial Engineering, InternationalJournal of Production Research, European Journal of Operation Research, MathematicalProblems in Engineering, ....

p Participation à des jurys de thèses (Hors encadrements)

• La al Otaibi- "Commande et optimisation d’une installation photovoltaïque" thèsede l’Université de Reims Champagne Ardenne en Génie Informatique, Automatiqueet Traitement du Signal, soutenu en Avril 2012 (en tant qu’examinateur).

• Fabian Castano -"Decomposition-based approaches for the design of energy ecientwireless sensor networks" thèse de l’Université de Bretagne-Sud soutenu en Octobre2014 (en tant qu’examinateur).

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F. Hnaien

Activités d’enseignement

p Monitorat CIES à l’Ecole des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne (2005-2008)

Durant mes trois années de thèse dans le laboratoire Génie Industriel et Informa-tique (G2I), j’ai été sollicité par l’EMSE pour assurer des enseignements en tant quemoniteur (64h td/an). Les thèmes de mes enseignements sont les suivants :• Recherche opérationnelle• Langages et concepts de programmation en langage C• Applications Bureautiques (initiation à Microsoft Windows, Microsoft Excel), Intro-

duction à l’Informatique (initiation à la programmation avec le langage C), Applica-tion Intégrées (initiation à Microsoft VBA).• Encadrement de projet de programmation en C• Ordonnancement et réseaux de les d’attente

p Attaché Temporaire d’Enseignement et Recherche en temps complet à l’institue

Français de Mécanique Avancée, Clermont-Ferrand (2008-2009)

J’ai été chargé des enseignements au sein de l’IFMA où je suis intervenu aux ni-veau de la formation d’ingénieurs en mécanique, en première année. Ces enseignementsont représenté un volume total d’environ 192 heures équivalents TD.Les enseignements qui m’ont été incombé sont les suivants :• Programmation orientée objet• Analyse numérique : la résolution les systèmes linéaires et non linéaires, l’approxi-

mation discrète au sens de moindres carrés, l’intégration numérique et dérivationnumérique et la résolution numérique des équations diérentielles• Électronique, Électrotechnique et Automatique : initier les étudiants en première an-

née cycle ingénieurs aux bases de l’électronique, électrotechnique et automatique :câblage des additionneurs, soustracteurs, comparateurs, des bascules et de l’asservis-sement.• La gestion de production et qualité : MRP, kanban, Qualité,

p Université de Technologie de Troyes, laboratoire d’Optimisation des Systèmes

Industriels (LOSI), Pôle ROSAS, Troyes, depuis 09/2009

À partir de septembre 2009, suite à mon recrutement en tant que maître de confé-rences, mes activités d’enseignement s’eectuent à l’UTT et à l’UTSEUS (université deShanghai). J’ai intervenu en Cours-TD à l’UTSEUS dans le cadre d’un partenariat entre lesUniversités de Technologie de Compiègne, Troyes et Belfort-Montbéliard et l’Université

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de Shanghai. J’ai été sollicité an de participer à l’UV RO01 et CS03 à l’UTSEUS. Cesenseignements se répartissent au sein de diérentes spécialités de l’université et repré-sentent une activité moyenne d’environ 280 heures équivalents TD par an (voir tableau 1pour la répartition) :

• le cursus ingénieur systèmes industriels (SI),• toutes les spécialités du cursus ingénieur à l’UTT : SI, Systèmes Réseaux et Télé-

communications (SRT), Matériaux : Technologie et Économie(MTE), Systèmes Méca-niques (SM) et Informatique et Systèmes d’Information (ISI).• Mastères : master Sport Management et Ingénierie- Logistique Événementielle et Sé-

curité (SMI-LES), mastère Ingénierie et Management en Environnement et Dévelop-pement Durable (IMEDD) et mastère Ingénierie et Management en Sécurité GlobaleAppliquée (IMSGA).

Je suis responsable de l’UV (Unité de Valeur) conduite des projets (CS03) depuis 2010.l’UV est enseignée les deux semestres (semestre Automne et printemps). l’UV CS03 estouverte à toutes les spécialités de l’université ainsi que les mastères SMI-LES, IMEDDet IMSGA. Environs 400 étudiants par an choisissent l’UV . Je suis aussi responsable deTD de l’UV recherche opérationnelle (MT14). J’ai intervenu en Cours-TD à l’UTSEUSà l’UV Recherche Opérationnelle RO01 et CS03 équivalentes aux UVS MT14 et CS03respectivement enseignées à l’UTT.

• CS03 : Conduite de projets, l’objectif de cette UV est de connaître les bases pourorganiser et conduire avec succès un projet. l’UV est enseignée les deux semestres del’année pour environs 400 étudiants par année. Le programme est le suivant :

— concepts généraux de gestion de projet— méthodologie de gestion de projet en phase avec des livrables (phase initialisa-

tion, préparation, planication, réalisation et bilan).— utilisation de logiciel MS-Project— Analyse des risques— outils de gestion de projet (méthode PERT, diagramme Gantt,...)— Étude de cas an d’appliquer les notions du cours sur un projet réel tout au long

du semestre.

• MT14 : Recherche Opérationnelle, l’objectif de cette UV est d’étudier diérentsmodèles d’optimisation, des méthodes de résolution correspondantes, ainsi que lesdémarches à suivre pour modéliser des problèmes réels. Le programme est le suivant :

— formulation mathématique de problèmes d’optimisation— programmation linéaire en nombre réels, méthode graphique, méthode du sim-

plexe

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F. Hnaien

— méthodes de pénalisation à deux étapes— analyse de sensibilité et programmation linéaire, dualité— programmation en nombres entiers— programmation dynamique— modèles de transport et de graphe (ot maximal, plus court chemin)— programmation non linéaire (avec ou sans contraintes, relaxation lagrangienne)

• RO01 : Théorie des graphes, l’objectif de l’UV est d’enseigner les algorithmes po-lynomiaux de base pour les graphes, complexité des problèmes combinatoires, lesproblèmes de cheminement, les problèmes d’ordonnancement, et le problème du otmaximal. Cette expérience se relève être très enrichissante personnellement et profes-sionnellement car elle m’a permis de découvrir une nouvelle culture et des méthodesd’enseignement diérentes.

Tableau 1 – Ma charge d’enseignements à l’UTT et l’UTSEUS par an

Année Lieu Libellé Niveau Nombres d’heures

automne 2009- UTT CS03 Bac+3 à Bac+5 50h cours et 100 h TD

UTT MT14 Bac+3 à Bac+5 34 h TD

automne 2014- UTSEUS CS03 Bac+3 12h cours et 24 h TD

UTSEUS RO01 Bac+3 à Bac+5 9h cours et 9 h TD

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Publication à comité de lecture

p 3 chapitres de livre

p 2 lecture notes

p 19 articles en revues internationales

p 3 articles en revues internationales en révision

p 2 articles en revues internationales soumis

p 15 articles dans les actes ou volumes post-conférences avec ISBN

p 16 articles dans les actes ou pre-prints de conférences sans ISBN

p 24 conférences

p 5 rapports de recherche

Chapitres de livre (3)

1. Ben Ammar, O., F, Hnaien., Marian, H., and Dolgui, A. (2015). Optimization approachesfor multi-level assembly systems under stochastic lead times. chapter in metaheuristics forproduction systems. Springer.

2. Ouazene, Y., Hnaien, F., Yalaoui, F., and Amodeo, L. (2011). The joint load balancingand parallel machine scheduling problem. In Hu, B., Morasch, K., Pickl, S., and Siegle,M., editors, Operations Research Proceedings 2010, Operations Research Proceedings, pages497–502. Springer Berlin Heidelberg.

3. Dolgui, A., Hnaien, F., Louly, A., and Marian, H. (2008). Parameterization of MRP forSupply Planning Under Uncertainties of Lead Times. In (Ed.), V. K., editor, Supply Chain,pages p. 247–262, ISBN 978–3–902613–22–6. I-Tech Education and Publishing.

Lecture notes (2)

1. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2014d). A decision supportsystem for ecient crop production supply chain management. In Computational Scienceand Its Applications - ICCSA 2014, volume 8583 of Lecture Notes in Computer Science, pages775–790.

2. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2014e). An interval program-ming approach for an operational transportation planning problem. In Information Proces-sing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems, volume 442 of Commu-nications in Computer and Information Science, pages 117–126.

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Articles en revues internationales (19)

1. Autuori, J., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2015). A mapping technique for better solutionexploration: Nsga-ii adaptation. Journal of Heuristics, pages 1–35.

2. Hnaien, F., Dolgui, A., and Wu, D. (2015b). Single-period inventory model for one-levelassembly system with stochastic lead times and demand. International Journal of ProductionResearch, pages 1–18.

3. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2015c). Predictive modellingwith panel data and multivariate adaptive regression splines: case of farmers’ crop deliveryfor a harvest season ahead. Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, pages1–17.

4. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2015d). A proactive dynamicapproach and a rolling multi-step chance-constrained model for the crop quality controlproblem. European Journal of Operation Research, 246(2):631 – 640.

5. Le Berre, M., Rebai, M., Hnaien, F., and Snoussi, H. (2015b). A specic heuristic dedica-ted to a coverage/tracking bi-objective problem for wireless sensor deployment. WirelessPersonal Communications, 84:2187–2213.

6. Hnaien, F., Yalaoui, F., and Mhadhbi, A. (2015c). Makespan minimization on a two-machine owshop with an availability constraint on the rst machine. International Journalof Production Economics, 164:95 – 104.

7. Rebai, M., berre, M. L., Snoussi, H., Hnaien, F., and Khoukhi, L. (2015b). Sensor deploy-ment optimization methods to achieve both coverage and connectivity in wireless sensornetworks. Computers & Operations Research, 59:11 – 21.

8. Le Berre, M., Rebai, M., Hnaien, F., and Snoussi, H. (2015a). A bi-objective model forwireless sensor deployment considering coverage and tracking applications. InternationalJournal of Sensor Networks. In press.

9. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2014f). A quality risk manage-ment problem: case of annual crop harvest scheduling. International Journal of ProductionResearch, 52(9):2682–2695.

10. Rebai, M., Matthieu, L. b., Hnaien, F., Snoussi, H., and Khoukhi, L. (2014). A branch andbound algorithm for the critical grid coverage problem in wireless sensor networks. Inter-national Journal of Distributed Sensor Networks, 2014.

11. Dolgui, A., O., B. A., Hnaien, F., and M. A., L. (2013). A state of the art on supply planningand inventory control under lead time uncertainty. Studies in Informatics and Control,22(3):255–268.

12. Jemaa, A. B., Rafa, S., Essounbouli, N., Hamzaoui, A., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2013).Estimation of global solar radiation using three simple methods. Energy Procedia, 42(0):406– 415.

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13. Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2010a). Multi-objective optimization for inven-tory control in two-level assembly systems under uncertainty of lead times. Computers &Operations Research, 37(11):1835 – 1843.

14. Hnaien, F., Dolgui, A., and Louly, M.-A. (2010b). Key performance indicators for supplyplanning of multilevel serial systems with stochastic lead times. Control and Cybernetics,39(1):133–148.

15. Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2009b). Genetic algorithm for supply planning intwo-level assembly systems with random lead times. Engineering Applications of ArticialIntelligence, 22(6):906 – 915.

16. Louly, M.-A., Dolgui, A., andHnaien, F. (2008d). Supply planning for single-level assemblysystem with stochastic component delivery times and service-level constraint. Internatio-nal Journal of Production Economics, 115(1):236 – 247.

17. Louly, M. A., Dolgui, A., and Hnaien, F. (2008b). Optimal supply planning in mrp envi-ronments for assembly systems with random component procurement times. InternationalJournal of Production Research, 46(19):5441–5467.

18. Hnaien, F., Dolgui, A., and Ould Louly, M.-A. (2008e). Planned lead time optimization inmaterial requirement planning environment for multilevel production systems. Journal ofSystems Science and Systems Engineering, 17(2):132–155.

19. Hnaien, F., Dolgui, A., Marian, H., and Ould Louly, M.-A. (2007c). Planning order releasedates for multilevel linear supply chain with random lead times. Systems Science, 31(1):19–25.

Articles en révisions dans des revues internationales (3)

1. Rebai, M., Berre, M. L., Hnaien, F., and Snoussi, H. (2015a). Exact bi-objective optimizationmethods for camera coverage problem in 3-dimensional areas. Sensors Journal, IEEE. (enrévision depuis avril 2015).

2. Borodin, V., Dolgui, A., Hnaien, F., and Labadie, N. (2015e). Replenishment planning forsingle level assembly system under random component lead times: a chance constrainedprogramming approach. International Journal of Production Economics. (en révision depuisjuin 2015).

3. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2015b). Handling uncertaintyin agricultural supply chain management: a state of the art. European Journal of OperationalResearch, pages 1–12. (en révision depuis octobre 2015).

Articles soumis dans des revues internationales (2)

1. Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2015b). A mixed integer linear programming approaches to mi-

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F. Hnaien

nimize the makespan for two-machine owshop with availability constraint on the secondmachine. European Journal of Operational Research. (soumis, septembre 2015).

2. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2015a). Cots software inte-gration for simulation optimization coupling: case of arena and cplex products. EuropeanJournal of Operational Research. (soumis, juin 2015).

Articles dans les actes ou volumes post-conférences avec

ISBN (15)

1. Abdelhak, B. J., Najib, E., Abdelaziz, H., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2014). Optimum sizingof hybrid pv/wind/battery using fuzzy-adaptive genetic algorithm in real and average bat-tery service life. In Power Electronics, Electrical Drives, Automation and Motion (SPEEDAM),2014 International Symposium on, pages 871–876. IEEE.

2. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2013b). A discrete event simu-lation model for harvest operations under stochastic conditions. In Networking, Sensingand Control (ICNSC), 2013 10th IEEE International Conference on, pages 708–713.

3. Ben Ammar, O., Dolgui, A., Hnaien, F., and Louly, M. A. O. (2013a). Supply planning andinventory control under lead time uncertainty: A review. In 7th IFAC Conference on Manu-facturing Modelling, Management, and Control, volume 7, pages pp–359. Elsevier Science,IFACPapersOnline. net.

4. Hnaien, F., Murat, A., and Dolgui, A. (2013). Integration of additional purchase cost toreduce the lead time uncertainty for one level assembly system. In 7th IFAC Conferenceon Manufacturing Modelling, Management, and Control, volume 7, pages pp–383. ElsevierScience, IFACPapersOnline. net.

5. Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2013). A bi-criteria ow-shop scheduling with preventive main-tenance. In Manufacturing Modelling, Management, and Control, volume 7, pages 1387–1392.

6. Ben Jemaa, A., Hamzaoui, A., Essounbouli, N., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2013). Opti-mum sizing of hybrid pv/wind/battery system using fuzzy-adaptive genetic algorithm. InSystems and Control (ICSC), 2013 3rd International Conference on, pages 810–814. IEEE.

7. Le Berre, M., Hnaien, F., and Snoussi, H. (2013). A multi-objective modeling of k-coverageproblem under accuracy constraint. In Modeling, Simulation and Applied Optimization(ICMSAO), 2013 5th International Conference on, pages 1–6. IEEE.

8. Rebai, M., Snoussi, H., Khoukhi, I., and Hnaien, F. (2013a). Linear models for the totalcoverage problem in wireless sensor networks. In Modeling, Simulation and Applied Opti-mization (ICMSAO), 2013 5th International Conference on, pages 1–4. IEEE.

9. Autuori, J., Hnaien, F., Yalaoui, F., Hamzaoui, A., and Essounbouli, N. (2013). Comparisonof solution space exploration by nsga2 and spea2 for exible job shop problem. In Control,

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Decision and Information Technologies (CoDIT), 2013 International Conference on, pages 750–755. IEEE.

10. Rebai, M., Khoukhi, L., Snoussi, H., and Hnaien, F. (2012). Optimal placement in hybridvanets-sensors networks. In Wireless Advanced (WiAd), 2012, pages 54–57. IEEE.

11. Le Berre, M., Hnaien, F., and Snoussi, H. (2011). Multi-objective optimization in wirelesssensors networks. In Microelectronics (ICM), 2011 International Conference on, pages 1–4.IEEE.

12. Hnaien, F., Dolgui, A., Louly, M.-A. O., and Marian, H. (July 29 - August 2, 2007a). Opti-mal order release for multilevel assembly systems under random lead times and constantdemand. In 19th International Conference on Production Research (ICPR-19), Jose A. Ceroni(Ed.), Valparaiso, Chile,, pages ISBN: 978–956–310–751–7, 7 pages.

13. Hnaien, F., Dolgui, A., Boukir, L., and Louly, M.-A. O. (2006a). Optimal release dates inmultiperiod and multilevel supply chain with random lead times. In International Mediter-ranean Modelling Multiconference (I3M’2006), pages 75–82. LogiSim.

14. Hnaien, F., Dolgui, A., and Louly, M.-A. O. (2006c). Supply planning in multilevel assemblysystems under lead times uncertainties. In Service Systems and Service Management, 2006International Conference on, volume 2, pages 1014–1019. IEEE.

15. Hnaien, F. and Dolgui, A. (2006). A supply planning model for multilevel assembly systemsunder random lead times. In Emerging Technologies and Factory Automation, 2006. ETFA’06.IEEE Conference on, pages 1348–1351. IEEE.

Articles dans les actes ou volumes post-conférences sans

ISBN (16)

1. Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2015a). Integrated production scheduling and age-based pre-ventive maintenance planning in the owshop problem. In 11th Metaheuristics Internatio-nal Conference, MIC’2015, Agadir , Maroc, June 7-10.

2. Hnaien, F. and Dolgui, A. (2014). An ecient exact method for multilevel serial systemsunder uncertaities of lead times and xed demand. In Joint Symposium Computers andIndustrial Engineering and Intelligent Manufacturing and Service Systems (CIE44 & IMSS’14),pages 2182–2194.

3. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2014a). An application of thediscrete event simulation for ecient crop production supply chain. In 10th InternationalConference on MOdeling, Optimization and SIMlation (MOSIM), pages 1–10, Nancy, France.

4. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2013a). Combined simulationand optimization approach for an agricultural supply chain redesign. In Proceeding of the22nd International Conference on Production Research, pages 1–10.

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F. Hnaien

5. Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2012a). A fuzzy multi-objective algorithm to obtain trade-obetween cmax and availability of ow-shop. In Information Control Problems in Manufac-turing, volume 14, pages 1389–1394.

6. Hnaien, F. and Dolgui, A. (2011). The one-period inventory control for one-level assemblysystems under uncertainty. In International Conference on Production Research (ICPR 21):Innovation in Product and Production, page 6p.

7. Hnaien, F. and Dolgui, A. (2010). Le paramétrage du mrp sous incertitudes de délaisd’approvisionnements et demande : le cas de système d’assemblage a un niveau. In Actesde 8e Conférence Internationale Modélisation et Simulation (MOSIM’10), Hammamet, Tunisie,les 10-12 mai 2010, Clé USB, page 8 pages.

8. Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2010b). Optimisation biobjectif d’ordonnancement et de lamaintenance d’un atelier ow-shop. In Actes de 8e Conférence Internationale Modélisationet Simulation (MOSIM’10), Hammamet, Tunisie, les 10-12 mai 2010, Clé USB, page 8 pages.

9. Hnaien, F., Dolgui, A., and Louly, M. A. O. (2009d). Mrp parameterization under leadtimes uncertainties: Case of multilevel serial production systems. InComputers & IndustrialEngineering, 2009. CIE 2009. International Conference on, pages 863–868. IEEE.

10. Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2008b). A supply planning for two-level assem-bly systems with random lead times: Genetic algorithm. In Workshop Metaheuristics forLogistics and Vehicle Routing.

11. Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2008a). A genetic algorithm for replenishmentof two-level assembly systems. In 9th IFAC Workshop on Intelligent Manufacturing Systems(IMS’08), pages 213–218.

12. Louly, M.-A., Dolgui, A., and Hnaien, F. (2008c). Planned lead times for one-level assemblysystem with service level constraint. In Emerging Technologies and Factory Automation,2008. ETFA 2008. IEEE International Conference on, pages 1504–1511. IEEE.

13. Louly, M.-A., Dolgui, A., and Hnaien, F. (2008a). Détermination des dates d’approvision-nement optimales pour un système d’assemblage à deux niveaux. In 7e conférence interna-tionale francophone de modélisation et simulation (MOSIM’08), pages 572–581.

14. Hnaien, F., Dolgui, A., Marian, H., and Louly, M.-A. O. (2007b). Supply planning for mul-tilevel production systems with stochastic lead times. In 37th International Conference onComputers & Industrial Engineering, pages 825–834.

15. Hnaien, F., Marian, H., Dolgui, A., and Louly, M.-A. O. (2007e). Planication des réap-provisionnements d’un système d’assemblage à deux niveaux soumis aux aléas des délaisd’approvisionnement. In 7e congrès de Génie industriel.

16. Hnaien, F., Dolgui, A., and Louly, M.-A. O. (2006b). The optimal release dates in multi-level assembly systems with random lead times. In Proceedings of the 36 th InternationalConference on Computers and Industrial Engineering, pages 21–23.

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Conférences (24)

1. Hnaien, F., Borodin, V., Dolgui, A., and Labadie, N. (2015a). Procurement planning forone-level assembly systems with random lead times : a two-stage stochastic programmingapproach. Joint ORSC/EURO International Conference 2015 on Continuous Optimization,Shanghai, China, May 10-12.

2. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien F., and Labadie, N. (2014g). Système d’aide à ladécision pour une chaîne logistique agricole performante. ROADEF - 15ème congrès annuelde la Société française de recherche opérationnelle et d’aide à la décision, Bordeaux, France,February 2014.

3. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2014b). A bi-objective chanceconstrained programming model for ecient crop harvest scheduling. In 18th InternationalSymposium on Inventories (ISIR), Budapest, Hungary.

4. Borodin, V., Hnaien, F., Dolgui, A., and Labadie, N. (2014h). Chance-constrained pro-gramming for one level assembly system under random lead times. In 18th InternationalSymposium on Inventories (ISIR), Budapest, Hungary.

5. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2014c). Crop harvest schedu-ling on a rolling horizon basis : a farm-dedicated operational application. In EURO Mini-Conference on Stochastic Programming (ECSP), Paris, France.

6. Mhadhbi, A., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2014). A branch and bound algorithm for thetwo-machine owshop scheduling problem with availability constraints. InternationalConference on Metaheuristics and Nature Inspired Computing, Marrakech/Maroc, 27-31 oc-tobre 2014.

7. Autuori, J., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2014). A guided exploration method of geneticalgorithm for exible job shop problem. International Conference on Metaheuristics andNature Inspired Computing, Marrakech/Maroc, 27-31 octobre 2014.

8. Rebai, M., Snoussi, H., Murat, H. A., and Hnaien, F. (2013b). Mixed integer linear modelsfor the total coverage problem with connectivity constraint in wireless sensor networks.European conference on operational research (Euro 2013), Italy, Rome, July 1-4.

9. Ben Ammar, O., Hnaien, F., Marian, H., and Dolgui, A. (2013b). Planication des réappro-vosopnnements pour un système d’assemblage à deux niveaux quand les délais d’appro-visionnement sont aléatoires. 14ème Congrès Annuel de la Société Française de RechercheOpérationnelle et d’Aide à la Décision (ROADEF), Troyes, les 13-15 février 2013.

10. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2013c). Simulation et analysedes performances d’une chaîne logistique agricole. 14ème Congrès Annuel de la SociétéFrançaise de Recherche Opérationnelle et d’Aide à la Décision (ROADEF), Troyes, les 13-15février 2013.

11. Le Berre, M., Hnaien, F., and Snoussi, H. (2012). Optimisation multi-objectifs dans lesréseaux de capteurs sans ls distribués. 13ème Congrès Annuel de la Société Française deRecherche Opérationnelle et d’Aide à la Décision (ROADEF), Angers, les 11-13 Avril 2012.

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F. Hnaien

12. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2012a). Gestion des ux de cé-réales d’une coopérative agricole. 13ème Congrès Annuel de la Société Française de RechercheOpérationnelle et d’Aide à la Décision (ROADEF), Angers, les 11-13 Avril 2012.

13. Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2012b). Scheduling job and preventive maintenance to obtaintrade-o between cmax and availability of 2-level ow-shop. FLINS2012, 10th InternationalConference on Foundations and Applications of Computational Intelligence, Istanbul, Turkie,August 2012.

14. Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2012b). A scenario-based ap-proach for quality risk management: case of annual crops scheduling. In InternationalConference on Metaheuristics and Nature Inspired Computing (META), Sousse, Tunisia, 27october 2012 - 1 November 2012.

15. Autuori, J., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2012). Comparison of metaheuristics for solvingthe bi-objective exible job shop problem. In International Conference on Metaheuristicsand Nature Inspired Computing (META), Sousse, Tunisia, 27 october 2012 - 1 November 2012.

16. Hnaien, F., Yalaoui, F., and Amodeo, L. (2011b). Tradeo between cmax and availabilityof 2 level owshop under corrective maintenance. OR2011, International Conference onOperationsResearch, Zurich, Switzerland, 30 August - 2 september 2011.

17. Ould-Louly, M.-A., Dolgui, A., and Hnaien, F. (2011). B&b algorithm for supply planningof multilevel serial systems with stochastic lead times. 12ème Congrès Annuel de la SociétéFrançaise de Recherche Opérationnelle et d’Aide à la Décision (ROADEF), Saint-Etienne, les2-4 mars 2011.

18. Hnaien, F., Dolgui, A., and Ould-Louly, M.-A. (2011a). Planication multi-période desréapprovisionnements d’un système d’assemblage à plusieurs niveaux face aux aléas desdélais d’approvisionnements. 12ème Congrès Annuel de la Société Française de RechercheOpérationnelle et d’Aide à la Décision (ROADEF), Saint-Etienne, les 2-4 mars 2011.

19. Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2011). Un algorithme bi-objectif pour l’optimisation de l’or-donnancement et la maintenance préventive d’un atelier ow-shop. 12ème Congrès Annuelde la Société Française de Recherche Opérationnelle et d’Aide à la Décision (ROADEF), Saint-Etienne, les 2-4 mars 2011.

20. Ouazène, Y., Hnaien, F., Yalaoui, F., and Amodeo, L. (2011). The joint load balancing andparallel machine scheduling problem. Operations Research Proceedings 2010 Selected Papersof the Annual International Conference of the German Operations Research Society.

21. Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2010a). Bi-objective optimization of ow-shop scheduling andpreventive maintenance problems. IIE annual conference, Cancun, Mexique, June 2010.

22. Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2009c). Un algorithme bi-objectif pour les sys-tèmes d’assemblage bi-niveau avec incertitude de délais d’approvisionnement. 10èmeCongrès de la Société Française de Recherche Opérationnelle et d’Aide à la Décision (ROA-DEF), Nancy-Université, INRIA, 10-12 février, 2009.

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23. Hnaien, F., Dolgui, A., Delorme, X., and Marian, H. (2008d). Planication des réapprovi-sionnements d’un système d’assemblage à multi-niveau soumis aux aléas des délais d’ap-provisionnement par un algorithme génétique. 9ème Congrès de la Société Française deRecherche Opérationnelle et Aide à la Décision - ROADEF 2008, 25-27 février 2008, Clermont-Ferrand.

24. Hnaien, F. and Dolgui, A. (2008). Planication d’une chaîne logistique linéaire multi-niveau soumis aux aléas des délais d’approvisionnements. Conférence scientique conjointeen Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision FRANCORO V / ROADEF 2007, 20-23 février2007, Grenoble.

Rapport de recherche (5)

1. Hnaien, F., Ould-Louly, M.-A., Dolgui, A., and Marian, H. (2009e). Approvisionnementen composants pour un système d’assemblage à deux niveaux. Research Report G2I-EMSE2009-500-003, Juin 2009, Ecole des Mines de Saint Etienne, pages 1–29.

2. Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2009a). Bi-objective optimization for supply plan-ning of two-level assembly systems under uncertainty of lead times. Research Report G2I-EMSE 2009-500-007, January 2009, Ecole des Mines de Saint Etienne, pages 1–21.

3. Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2008c). A supply planning for two-level assemblysystems with random lead times: genetic algorithm. Research Report G2I-EMSE 2008-500-002, April 2008, Ecole des Mines de Saint Etienne, pages 1–28.

4. Hnaien, F., Dolgui, A., and Ould-Louly, M.-A. (2007d). Optimization of supply planningfor multilevel production systems under lead time uncertainties. Research Report G2I-EMSE2007-500-003, March 2007, Ecole des Mines de Saint Etienne, pages 1–23.

5. Hnaien, F., Dolgui, A., and Ould-Louly, M.-A. (2006d). The optimal release dates in multi-level assembly systems with random lead times. Research Report G2I-EMSE 2006-500-010,September 2006, Ecole des Mines de Saint Etienne, pages 1–11.

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Deuxième partie

Synthèse des travaux scientiques

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Chapitre 1Optimisation sous aléas de délais

d’approvisionnement pour un système

d’assemblage

Sommaire

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.2 Description du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3 Procédure par séparation et évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4 Programmation sous contraintes probabilistes jointes . . . . . . . . . . . . . 39

1.5 Modèle de programmation en nombres entiers mixtes . . . . . . . . . . . . . 41

1.6 Niveau de service face au coût de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.7 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Introduction

Ce chapitre expose d’une manière synthétique les activités de recherche qui s’inscrivent dans lacontinuité de travaux menés dans le cadre de ma thèse de doctorat que porte sur le problèmed’approvisionnement face aux aléas. J’expose ici uniquement les travaux menés en dehors dema thèse de doctorat. En eet depuis ma thèse, je me suis intéressé à la planication des réap-provisionnements de la chaîne logistique face aux aléas de délai d’approvisionnement. Rare lesétudes qui considèrent les délais d’approvisionnement sont aléatoires, les auteurs considèrentgénéralement les délais déterministes et la demande aléatoire.

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F. Hnaien

Plusieurs publications existes pour le cas de gestion des stocks avec demande aléatoire. Mula et al.(2006) présente un excellent état de l’art sur ce problème. Diérentes méthodes de lotissementsont comparées quand la demande est aléatoire dans van Donselaar and Gubbels (2002).

Pourtant les délais d’approvisionnements sont aléatoires pour plusieurs raisons telles que lesproblèmes de transport, qualité, panne machine. L’objectif pratique de notre étude est de pouvoirparamétrer les méthodes MRP face à ces aléas des délais d’approvisionnement. Le paramétragerevient à déterminer le niveau du stock des composants. Comme les méthodes MRP considère letemps discret, nous avons modéliser le délai d’approvisionnement comme une variable aléatoirediscrète et non pas continu comme elle a été considérée dans la littérature Chu et al. (1993). Ceciévite de discrétiser les valeurs réelles de stocks après avoir résolu le problème. Notre état de l’artdétaillé sur la problématique est présenté dans Ben Ammar et al. (2015).

Nous nous sommes particulièrement intéressés aux cas des systèmes d’assemblage avec une com-plexité supplémentaire liée à la dépendance entre les stocks de diérentes composantes. Cettedépendance est traduite dans le modèle mathématique (la partie non-linéaire de modèle dansla fonction objectif). Nous nous sommes intéressés à la minimisation de coût de stockage et decoût de rupture engendrées par cet aléa. L’espérance de coût total a été calculé d’une manièreexplicite. Pour le cas de système d’assemblage, il s’agit d’une fonction objectif non-linéaire di-cile à résoudre d’une manière exacte. Pour cela, nous avons démontré des bornes inférieures etdes propriétés de dominance que nous avons exploitées pour rendre la méthode par séparationà évaluation plus ecace. La PSE nous a permis de résoudre des problèmes de tailles impor-tantes.

Durant ma thèse de doctorat, je me suis particulièrement intéressé à la méthode probabiliste baséesur le calcul de l’espérance mathématique de la fonction objectif. Ensuite, nous avons considérésa résolution d’une manière exacte via la PSE ou d’une manière approchée via les méthodesapprochées de type algorithme génétique. L’approche par réduction des scénarios a été toujourséliminée car le nombre des scénarios croît exponentiellement avec le nombre des variables.

Dans ce chapitre, an de remédier à cet inconvénient et de contourner la complexité de problème,nous montrons comment utiliser les points p-ecace pour modéliser le problème en programmelinéaire en nombre entiers mixtes et ainsi de pouvoir utiliser les logiciels commerciaux de pro-grammation linéaire pour résoudre ce nouveau modèle. Notre contribution est la nouvelle ma-nière de résoudre le problème d’approvisionnement des systèmes d’assemblage face aux aléas desdélais d’approvisionnement en utilisant la programmation sous contraintes probabilistes jointes.Nous montrons, dans la partie expérimentale comment le niveau de conance utilisée dans laprogrammation probabiliste jointes peut être vu comme étant le niveau de service et qui permetau gestionnaire de mieux xer le coût unitaire de rupture.

Dans la suite, nous rappelons la formulation explicite du problème et ensuite nous présentonsles trois approches qui permettent de résoudre le problème d’une manière exacte :

p Une procédure par séparation et évaluation (PSE).p La programmation sous contraintes probabilistes jointes.

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Optimisation sous aléas de délais d’approvisionnement pour un système d’assemblage

p Modèle de programmation en nombres entiers mixtes.Ces trois méthodes exactes permettent d’obtenir des résultats intéressants dans un temps raison-nable pour diérents tailles de problèmes.

Production scientique :

Plus de détails sur ces travaux de recherche se trouvent dans les publications suivantes : Ben Am-mar et al. (2015), Dolgui et al. (2008), Dolgui et al. (2013).

Projets d’appuit et moyens :

Cette étude rentre dans le cadre des activités de recherche en amont et thème 3 ""Evaluation deperformance et gestion chaîne logistique " de l’axe 2 "Systèmes de Production" de laboratoireLOSI.

Les projets d’appui à notre étude sont les suivants :p Thèse de doctorat d’Oussama Ben Ammar, paramétrage de logiciels MRP dans un environ-

nement incertain, 2010-2014.p Projet avec Volvo 3P à Saint-Priest : Étude d’optimisation multicritères de l’approvisionne-

ment d’une unité de production de camions, 5 Keuros, 2012, 6 mois.

Description du problème

Nous nous intéressons ainsi à la prise en compte des aléas de délais d’approvisionnement pour lecas de planication des approvisionnements des systèmes d’assemblages (voir Figure 1.1). L’opé-ration d’assemblage ne débute que lorsque tous les composants nécessaires sont présents. Un coûtde stockage est généré pour chaque type de composants s’il arrive avant la date d’assemblage.Nous supposons aussi que les délais d’approvisionnement suivent une loi discrète à distributionconnue. Les décisions associées à ce problème correspondent donc à un niveau tactique et, à ladiérence du processus de conception de ligne, se répètent plus régulièrement ce qui permet dedisposer d’informations statistiques. L’objectif est de trouver les dates optimales de lancementdes commandes au près des fournisseurs an de réduire le coût total moyen composé de coût destockage des composants et de coût de rupture pour le produit ni.

La demande en produits nisD est connue et sa date de livraison T demandée par le client est lan de la période (donc aussi connue). Il s’agit d’un problème mono-période. Le coût de stockageunitaire pour chaque type de composant est connu. Les délais d’approvisionnement pour lesdiérents composants sont indépendants. L’assemblage de produit ni est eectué dès que tousces composants nécessaires sont disponibles (juste à temps).

Au début de chaque période, les ordres d’achat sont lancés aux diérents fournisseurs. La de-mande en produit ni doit être assurée à la n de chaque période. Les systèmes d’assemblagesont particulièrement vulnérables aux délais d’approvisionnement, car, généralement, tous lescomposants nécessaires doivent être disponibles pour commencer le processus d’assemblage. En

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F. Hnaien

Figure 1.1 – Un système d’assemblage

fait, les délais d’approvisionnement sont sujettes à plusieurs types d’incertitudes telles que lespannes machines, le retard de transport, problème de qualité, grèves, etc. Dans ce sens, soit ledélais d’approvisionnement d’un composant i décrit par une loi discrète indépendante ξi avecune loi de distribution connue et bornée, i = 1, · · · , n.

Tableau 1.1 – Notations

Paramètres :

n nombre des types des composantsi, i = 1, · · · , n indice des composantsDonnées :

hi, i = 1, · · · , n unité de stockage par période pour le composant ib coût unitaire de rupture de produit niξi, i = 1, · · · , n délai d’approvisionnement aléatoire d’un composant ili, i = 1, · · · , n limite inférieure de ξiui, i = 1, · · · , n limite supérieure de ξiVariables entières :

xi, i = 1, · · · , n délai d’approvisionnement planié de composant iRmax retard maximal de tous les composants

Soit xi une variable de décision entière représentant le délai d’approvisionnement planié pourchaque composant i, i = 1, · · · , n. Supposons que la loi de distribution de chaque variablediscrète ξi a un support ni, le vecteur de délais d’approvisionnement ξ = (ξ1, ξ2, · · · , ξn) a, à

son tour, un ensemble de réalisation ni |Ω| =n∏i=1

si, avec si représente le nombre des valeurs

possibles de variable aléatoire ξi et Ω est l’ensemble de réalisations possibles.

Comme les délais sont des variables aléatoires, le délai d’approvisionnement planié xi peut

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Optimisation sous aléas de délais d’approvisionnement pour un système d’assemblage

être plus petit que le correspondant réalisation de délai d’approvisionnement ξi. D’autre part, lesruptures sont autorisées, i.e. les commandes en retard doivent être satisfaites dans les prochainespériodes. De toute évidence, une rupture d’un type de composants compromet l’assemblage duproduit ni et intègre ainsi des pénalités de retard. Par conséquent, la rupture engendre un coûtsupplémentaire b par période. En revanche, lorsque le délai d’approvisionnement planié xi estplus grand que son délai d’approvisionnement ξi, il se génère des stocks coûteux exprimées parun coût unitaire de stockage hi par composant i et par période de temps.

Soit la variable entière et positive Rmax désignant les diérences maximales entre les ξi et xi. Letableau (1.1) résume les notations utilisés dans ce chapitre, d’autres notations seraient expliquéesplus loin dans le texte en suite. Sur cette base, nous formalisons ci-après le modèle stochastiquede gestion des stocks :

min E(c(xi, ξi) =

n∑i=1

hi · [Rmax − (ξi − xi)] + b ·Rmax

)(1)

Rmax ≥ ξi − xi, ∀i (2)li ≤ xi ≤ ui ∀i (3)xi, Rmax ∈ N ∀i (4)

Les contraintes (2) déterminent le retard maximal de tous les composants. Étant donné que ladistribution de ξi a un support ni, chaque variable xi a une limite inférieure et une limite su-périeure bornée par les contraintes (3), pour i = 1, · · · , n. La fonction objectif (1) minimisel’espérance mathématique (E(.)) de coût total composé de coût de stockage des composants etde coût de rupture en produit ni.

Procédure par séparation et évaluation

Un tel modèle (1)–(4) peut être résolu Procédure par séparation et évaluation (PSE) comme nousl’avons fait dans (Louly et al. (2008b)) pour le cas de système d’assemblage avec délais d’appro-visionnement aléatoire et demande déterministe et pour son extension pour le cas de aléatoire(Hnaien et al. (2015b)).

La PSE utilise une procédure de réduction de l’espace de recherche qui sera utilisée avant decommencer l’optimisation (5)-(6). Cette procédure permet de réduire les intervalles des valeurspossibles de variables xi. Soit l’espace des solutions faisables [l, u], où l = (l1, l2, ..., ln), u =

(u1, u2, ..., un). Bien évidemment plus ces intervalles sont petits plus l’espace de recherche estréduit.

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F. Hnaien

Theorem 1.1 (Louly et al. (2008b)).max(1− hi

b,

b

b+∑n

i=1 hi) ≤ Fi(xi) ∀i (5)

Fi(xi) ≤ 1− hib

∀i (6)

Nous introduisons la dénition des accroissements partiels à droite et à gauche par rapport à lavariable xi comme suit :

G+i = Ec(x1, ..., xi + 1, ..., xn)− Ec(x1, ..., xi, ..., xn) (7)

G−i = Ec(x1, ..., xi − 1, ..., xn)− Ec(x1, ..., xi, ..., xn) (8)

où :Ec(x1, ..., xi, ..., xn) : Espérance mathématique de coût total c(xi, ξi).Theorem 1.2 (Louly et al. (2008b)). Les accroissements partiels G+

i et G−i sont des fonctions quivérient les propriétés suivantes :

Si ∃i tel que G+i (l) < 0 alors chaque solution x avec xi = li est dominée (9)

Si ∃i tel que G−i (u) < 0 alors chaque solution x avec xi = ui est dominée (10)

Il résulte de ces propriétés que si ∃i tel que G+i (l) < 0 et li < ui , alors l’ensemble des solutions

[l, u] peut être remplacé par son sous ensemble où li est remplacé par li + 1 et si ∃i tel queG−i (u) < 0 , et li < ui, alors l’ensemble des solutions [l, u] peut être remplacé par son sousensemble où li est remplacé par li − 1 .

Ces propriétés de dominance peuvent être utilisées pour développer des procédures ecaces decoupe pour la PSE. En eet, après la division d’un noeud, dans une PSE, deux noeuds (descen-dants) sont créés. Pour chaque noeud, les propriétés de dominance sont utilisées pour réduire lesespaces de recherche correspondant avant de passer au prochain branchement.

En considérant les propriétés des accroissements partiels G+i et G−i , nous obtenons les bornes

inférieurs suivantes dans l’espace [l, u] :

LB1 = Ec(l) +∑

i=1,...,n

(ui − li)min(G+i (u1, ..., ui−1, li, ..., ln), 0

)(11)

LB2 = Ec(u) +∑

i=1,...,n

(ui − li)min(G−i (l1, ..., li−1, ui, ..., un), 0

)(12)

L’idée de base est donc la recherche en largeur d’abord mais avec des modications en tenantcompte des résultats de la réduction à chaque noeud de la PSE.

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Optimisation sous aléas de délais d’approvisionnement pour un système d’assemblage

Programmation sous contraintes probabilistes jointes

Le modèle stochastique est le suivant :

minn∑i=1

hi · [Rmax + xi] + b ·Rmax +n∑i=1

hi · ξi (13)

Rmax ≥ ξi − xi, ∀i (2)li ≤ xi ≤ ui ∀i (3)xi, Rmax ∈ N ∀i (4)

En factorisant le premier terme de la fonction objectif (13) et en éliminant la partie indépendante

des variables de décision (Rmax et xi). La partien∑i=1

hi·ξi n’aecte pas le processus d’optimisation,

le modèle stochastique (14) - (4) peut être réécrit comme suit :

minn∑i=1

hi · [Rmax + xi] + b ·Rmax (14)

Rmax ≥ ξi − xi, ∀i (2)li ≤ xi ≤ ui ∀i (3)xi, Rmax ∈ N ∀i (4)

Maintenant, Il n’y a plus d’incertitude explicitement dans la fonction objectif, seul le vecteur dedroite de contraintes (2) ξ est aléatoire. Selon Dentcheva et al. (2002), il est raisonnable et inté-ressant d’exiger des contraintes souples (2) détiennent au moins un certain niveau de conanceou la abilité prescrite, plutôt que pour toutes les réalisations possibles (scénarios). Dans cet es-prit, nous appliquons une méthode de programmation sous contraintes probabilistes jointes pourrésoudre ce problème stochastique de gestion des stocks.

Aujourd’hui, la programmation sous contraintes probabilistes jointes est l’une des tendances deprogrammation stochastique moderne. Pour un état de l’art dans ce domaine nous nous refe-rons aux Shapiro et al. (2009), Kall and Wallace (1994), Prékopa et al. (1998), Dentcheva et al.(2000), Luedtke (2010), etc. Le principal challenge consiste à trouver non seulement la solutionoptimale, mais également la plus susceptible d’être réalisable. En ce sens, spécions dans le mo-dèle mathématique un niveau de conance p ∈ (0, 1] représente le seuil désiré pour la validationdes contraintes probabilistes. Ainsi, le problème stochastique présenté ci-dessus peut être traitécomme une programme sous contraintes probabilistes jointes PCCP comme suit :

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F. Hnaien

minn∑i=1

hi · [Rmax + xi] + b ·Rmax (14)

P(Rmax ≥ ξi − xi,∀i

)≥ p (15)

li ≤ xi ≤ ui ∀i (3)xi, Rmax ∈ N ∀i (4)

En dénissant l’ensemble : Zp =z ∈ Nn : P(ξ ≤ z) ≥ p

où ξ = (ξ1, · · · , ξn), problème PCCP

peut être réécrit comme suit :

minn∑i=1

hi · [Rmax + xi] + b ·Rmax (14)

Rmax + xi ≥ zi ∀i (16)li ≤ xi ≤ ui ∀i (3)Rmax, xi ∈ N, ∀i (4)z ∈ Zp (17)

Soit F (·) la fonction de répartition de ξ, d’où Pξ ≤ z = F (z). En plus, soit Fi(·) la fonc-tion de répartition de ime délai d’approvisionnement ξi, d’où Fi(zi) = Pξi ≤ zi. An de ré-soudre le modèle sous contraintes probabilistesPCCP, nous allons introduire le concept dénommép-ecacité pour une distribution de loi discrète. Initialement introduite par Prékopa (1990), lanotion de p-ecacité joue un rôle important dans la résolution des programmes sous contraintesprobabilistes jointes.

Dénition 1.3 (Prékopa (1990)). Soit p ∈ [0, 1]. Un point e ∈ Nn est nommé un point p-ecacede la distribution F , si F (e) ≥ p et il n’y a pas e′ ≤ e, e′ 6= e de sorte que F (e′) ≥ p.

Comme observé dans (Dentcheva et al., 2002), pour une variable aléatoire discrète ξi il y aexactement un seul point p-ecace ei, i.e. la plus petite ei tel que Fi(ei) ≥ p. Étant donné queF (e) ≤ Fi(ei) pour tout e ∈ Nn, nous rappelons les deux théorèmes suivants utilisés dans cequi suit :

Théorème 1.4 (Dentcheva et al. (2002)). Soit p ∈ (0, 1) et soit mi le point p-ecace d’une distri-bution unidimensionnelle Fi, ∀i = 1, · · · , n. D’où chaque e ∈ Nn tel que F (e) ≥ p doit satisfairel’inégalité e ≥ m = (m1, · · · ,mn).

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Optimisation sous aléas de délais d’approvisionnement pour un système d’assemblage

Théorème 1.5 (Dentcheva et al. (2002)). Pour chaque p ∈ (0, 1) l’ensemble des points p-ecacepour un ensemble des variables aléatoires discrètes est ni et non-vide.

Il est à noter que le point p-ecace n’est rien d’autre qu’un scénario de problème appartenant àl’ensemble s de tous les scénario Ω. Soit E l’ensemble de tous les points p-ecaces e de problèmePCCP. Cet ensemble est ni d’après le théorème 1.5., E ⊂ Ω.

Dans le but de résoudre le modèle non-linéaire sous contraintes probabilistes jointes PCCP etconformément à la théorie de programmation sous contraintes probabilistes (Prékopa et al., 1998;Dentcheva et al., 2001), soit la variable binaire λe pour chaque point p-ecace e ∈ E , qui prend lavaleur 1, si les contraintes probabilistes sont satisfaites pour le point p-ecace e et 0, sinon. Ainsiun modèle déterministe résultant P IP

CCP de modèle avec contraintes probabilistes jointes PCCP estobtenu :

minn∑i=1

hi · [Rmax + xi] + b ·Rmax (14)

Rmax + xi ≥∑e∈E

λe · ei ∀i (18)∑e∈E

λe ≥ 1, (19)

li ≤ xi ≤ ui ∀i (3)Rmax, xi ∈ N, λe ∈ 0, 1 ∀i (20)

En eet, les contraintes (17) et (19) nécessitent des solutions réalisables pour au moins un pointp-ecace, qui a leur tour garantie un niveau de conance p.

Les algorithmes d’énumération de tous les points p-ecaces sont présentés dans Dentcheva et al.(2000) et Boros et al. (2003). Une méthode est récemment présentée dans Yamangil and Prékopa(2012). Cependant, ces algorithmes basés sur l’énumération des scénarios deviennent rapidementintraitable en raison de la taille de l’ensemble Ω, qui croît exponentiellement avec le nombrede variables aléatoires. An de remédier à cet inconvénient et de contourner la complexité duproblème, nous exploitons quelques caractéristiques du modèle de gestion des stocks à un seulniveau considéré P IP

CCP dans la section suivante.

Modèle de programmation en nombres entiers mixtes

Considérons la formulation équivalente entière P IPCCP du problème de la planication du réappro-

visionnement étudié PCCP.Théorème 1.6. Soit E l’ensemble des points p-ecaces e, associé au problème P IP

CCP. Soit e∗ ∈ E

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F. Hnaien

un point p-ecace pour lequeln∑i=1

hi · e∗i ≤n∑i=1

hi · ei, ∀e ∈ E , e 6= e∗. Par conséquence, le triplet

< R∗max, x∗, λ∗ > = < 0, e∗, (λ∗e∗ = 1, λ∗e = 0,∀e ∈ E , e 6= e∗) > représente la solution optimale

du problème P IPCCP.

Démonstration. Supposons par l’absurde que la solution < R∗max, x∗, λ∗ > = < 0, e∗, (λ∗e∗ =

1, λ∗e = 0,∀e 6= e∗) > n’est pas optimale pour P IPCCP et ∃ un autre triplet < Rmax, x, e > optimal

pour ce problème, où < Rmax, x, e >6=< R∗max, x∗, λ∗ >. Ceci implique :

p Rmax 6= R∗max (i.e. Rmax > 0) et/ou x 6= x∗ ;

p Il existe au moins un point p-ecace e ∈ E , e 6= e∗ etn∑i=1

hi · ei >n∑i=1

hi · e∗i , pour lesquels

les contraintes (18), (19), (3) et (20) sont vériées ∀i, i = 1, · · · , n : Rmax + xi ≥ ei ;Rmax, xi ∈ N ; li ≤ xi ≤ ui ; en plus, λe = 1, λe = 0,∀e 6= e.

Grâce à cette hypothèse : f(Rmax, x, λ) < f(R∗max, x∗, λ∗), i.e.

n∑i=1

hi · (Rmax + xi) + Rmax · b <

n∑i=1

hi · e∗i . En particulier,n∑i=1

hi · (xi + Rmax) <n∑i=1

hi · e∗i , puisque Rmax · b > 0.

D’autre part, puisque Rmax + xi ≥ ei,∀i, l’inégalitén∑i=1

hi · (xi + Rmax) ≥n∑i=1

hi · ei est vraie.

D’où :n∑i=1

hi · ei ≤n∑i=1

hi · (xi + Rmax) <n∑i=1

hi · e∗i ,

nalement :n∑i=1

hi · ei <n∑i=1

hi · e∗i .

Selon la dénition de point p-ecace e∗ décrit dans l’énoncé de théorème, la dernière inégalitéest fausse. Par conséquent, l’hypothèse selon laquelle il existe une autre solution optimale <Rmax, x, λ > pour le problème P IP

CCP, où :

< Rmax, x, λ >6=< R∗max, x∗, λ∗ >,

est fausse.

En tenant compte du théorème prouvé précédemment 1.6 et la dénition de point p-ecace,résoudre le problème P IP

CCP est équivalent à trouver le point p-ecace e (e ∈ E), qui minimise

f(e) =n∑i=1

hi · ei, et par conséquent de résoudre le problème suivant :

42

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Optimisation sous aléas de délais d’approvisionnement pour un système d’assemblage

minn∑i=1

hi · xi (21)

F (x) ≥ p (22)

où F (·) représente la fonction de distribution de ξ.

Les délais d’approvisionnements ξi (i = 1, · · · , n) sont indépendants, i.e. F (ξ) =n∏i=1

Fi(ξi)

ou ln(F (ξ)) =n∑i=1

ln(Fi(ξi)). En utilisant ces relations et en se basant sur le théorème 1.4, nous

reformulons le problème d’une manière équivalente (21)-(22) en tant qu’un problème non-linéairede découpe :

min f(x) =n∑i=1

hi · xi (21)

n∑i=1

ln(Fi(xi)) ≥ ln(p), (23)

mi ≤ xi ≤ ui, ∀i (24)xi ∈ N ∀i (25)

où mi est un point p-ecace pour la fonction de répartition Fi.

An de linéariser le modèle, nous introduisons la variable binaire yij , i = 1, · · · , n, j =

mi, · · · , ui :

yij =

1, if xi = j;

0, sinon.

Par conséquent, le problème de découpe (21) and (23)-(25) peut être transformé à un modèle

linéaire à variables binaires, en remplaçant zi parui∑

j=mi

j · yij :

minn∑i=1

ui∑j=mi

hi · j · yij (26)

43

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F. Hnaien

n∑i=1

ui∑j=mi

ln(Fi(j))yij ≥ ln(p), (27)

ui∑j=mi

yij = 1, ∀i (28)

yij ∈ 0, 1 ∀i,∀j (29)

Finalement, le modèle sous contraintes probabilistes jointes PCCP peut être exprimé via un mo-dèle linéaire à variables binaires (26)-(29), pour lequel il existe des algorithmes de résolutionecaces. Focalisons nous maintenant sur la complexité du modèle linéaire binaire (26)-(29). Apremière vue, il partage quelques similitudes avec le modèle connue problème d’aectation géné-ralisé, qui est prouvé comme un problème d’optimisation combinatoire NP-dicile (Fisher et al.,1986).

Malgré cela, nous prétendons que le modèle binaire (26)-(29) peut être résolu dans un tempspolynomial grâce à la nature du problème et de sa structure intrinsèque. Pour argumenter cettearmation, nous reformulons ce modèle binaire sous la forme d’un problème multiot de coûtminimal en faisant les transformations suivantes (cf. Fig. 1.2) :

s1

s2

sn

minimi

NoeudsSources Puits

minimi + 1

minimi + 2

minimi + 3

maxiui

t1

t2

tn =⇒ dn = 1

=⇒ d1 = 1

=⇒ d2 = 1

=⇒ 1

=⇒ 1

=⇒ 1

Figure 1.2 – Interprétation du modèle (26)-(29) comme un problème multiot de coût minimal

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Optimisation sous aléas de délais d’approvisionnement pour un système d’assemblage

p considérons le composant de système d’assemblage comme une commodité i dénie parle triplet < si, ti, di >, où si et ti représentent la source et le puits de la commodité i etdi est sa demande, i ∈ 1, · · · , n. Puisque chaque composant a une seule aectation, soitdi = 1, i ∈ 1, · · · , n.

p construisons un graphe pondéré orienté G = (N,A,w, c) comme suit :• N = S ∪ J ∪ T , où S = s1, · · · , sn, T = t1, · · · , tn, et J =

minimi, · · · ,max

iui ;

• A représente l’ensemble des arcs suivants : (i) ekj , où k = si et j = mi, · · · , ui, ∀i ;(ii) ejo, où o = ti et j = mi, · · · , ui, ∀i.

p complétons le graphe G = (N,A), en attribuant un poids w et un coût c à chaque arccomme suit :

• wikj = ln(Fi(j)) et cikj = j · hi, pour k = si, ∀i ∈ 1, · · · , n et j = mi, · · · , ui,∀i ;• wijo = 0 et ckj = 0, pour o = ti, ∀i ∈ 1, · · · , n et j = mi, · · · , ui, ∀i.

p associons à chaque sommet v ∈ N un nombre b(v) représentant son ore et sa demande :

b(v) =

di, si le noeud v est une source et v = si0, si le noeud v est un noeud de transbordement−di, si le noeud v est un noeud puits et v = ti

p soit N+(v) l’ensemble des arcs sortants du sommet v ∈ N . Également, soit N−(v) l’en-semble des arcs entrants du sommet v ∈ N .

p introduisons l’ensemble des variables binaires :• zie : désigne la quantité de marchandise i traversant l’arc e ∈ A ;

En utilisant les notations ci-dessus, nous proposons une reformulation alternative du modèle(26)-(29) en termes de problème de multiot de coût minimal :

minn∑i=1

∑e∈A

cie · zie (30)

n∑i=1

∑e∈A

(−wie) · zie ≤ −ln(p), (31)∑e∈N+(v)

zie −∑

e∈N−(v)

zie = b(v), ∀i,∀v ∈ N (32)

zie ∈ 0, 1, ∀i,∀e ∈ N+(si) (33)

La fonction objectif (30) vise à déterminer la façon la plus économique pour transporter la quan-tité nécessaire de ux provenant de multiples sources à de multiples puits à travers le réseau

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F. Hnaien

G. La contrainte de capacité Global (31) limite le débit total pour tous les produits et les arcsdu réseau à −ln(p). Les contraintes de satisfaction des demandes et conservation des ots (32)imposent que : la somme des ots de si à ti soit égale à la valeur de demande di, et pour tous lessommets intermédiaires le nombre de ots entrants soit égale au nombre de ots sortants.

Bien sûr, le problème entier de multiot de coût minimal est un problème d’optimisation combi-natoire NP-dicile (Even et al., 1975).

Néanmoins, dérivons quelques caractéristiques du problème :p pour toutes les distributions de probabilités discrètes , où wij = −wij , ∀i, ∀j :

cimi < cimi+1 < · · · < cij < cij+1 < · · · < ciui (34)

wimi ≤ wimi+1 ≤ · · · ≤ wij ≤ wij+1 ≤ · · · ≤ wiui ≤ 0 (35)

wimi ≥ wimi+1 ≥ · · · ≥ wij ≥ wij+1 ≥ · · · ≥ wiui ≥ 0 (36)

p la fonction objectif f représente une somme des fonctions par morceaux comme représen-tée dans la gure 1.3, fi(zij) = cij , quand j ≤ zij < j + 1 et j ∈ mi,mi + 1, · · · , ui − 1.Par conséquent, chaque point sur la fonction constante par morceau est une combinaisonlinéaire des deux extrémités adjacentes.

p l’ensemble des variables zij , ∀i ∈ 1, 2, · · · , n et j = mi,m1 + 1, · · · , ui ne sont riend’autre qu’un ensemble ordonné spécial (SOS1, special ordered set) de type 1 par compo-sante i, i.e., un ensemble de variables où au plus une variable peut être diérente de zéro.

wiui wiui−1

· · · wimi+2wimi+1 w

imi

cimi

cimi+1

cimi+2

· · ·

ciui

Figure 1.3 – Représentation graphique des fonctions par morceaux fi

Ce cas particulier du problème mufti-ots de cout minimale a été minutieusement étudié par(Hoai An and Tao, 2002). En eet, la relaxation linéaire de ce problème a été montrée meilleureque celle basée sur la convexité de la fonction objectif. De plus, diérentes approches ecacesde résolution ont été proposées pour le cas quand la fonction objectif est discontinue croissantepar morceaux (Minoux, 2001).

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Optimisation sous aléas de délais d’approvisionnement pour un système d’assemblage

Niveau de service face au coût de rupture

Nous allons discuter l’intérêt et le potentiel de la programmation par contraintes probabilistesjointes proposée en termes de décision sous incertitudes.

En se basant sur le théorème 1.6, le niveau de conance (service) imposé dans le cadre de la pro-grammation probabilistes jointes PCCP permet au gestionnaire de xer le coût de rupture. Dansles applications industrielles, il est souvent dicile, voire impossible, de quantier en termes decoût unitaire de période, les incidences des retards de livraison de composants comme, imagede l’entreprise, l’insatisfaction du client, atteinte à la réputation, etc. En ce sens, examinons larelation entre le coût de rupture b et le niveau de conance p requis.

Pour ce faire, rappelons-nous du modèle de gestion des stocks à un seul niveau PEV, incluant àla fois les coûts de stockage et le coût de rupture présenté dans (Louly et al., 2008d) :

minn∑i=1

hi(xi − E(ξi)) +( n∑i=1

hi + b)∑j≥0

(1−

n∏i=1

Fξi(xi + j))

(37)

où li ≤ xi ≤ ui.

Le problème d’optimisation sans contraintes (37) peut être réécrit sous une forme réduite, enéliminant les termes constants :

minn∑i=1

hi · xi −( n∑i=1

hi + b)∑j≥0

(1−

n∏i=1

Fξi(xi + j))

(38)

Pour montrer l’intérêt de considérer un niveau de conance de p plutôt que de xer un dicile àdéterminer coût de rupture b, nous arontons le problèmePCCP contre le problème d’optimisation(38), notée PEV. An de mieux illustrer les idées managériales PCCP peut orir, revenons surl’exemple suivant :

Exemple : Considérons les données suivants :p n = 2, D = 1 ;p coûts unitaires de stockage : h1 = 10, h2 = 20 ;p P(ξ1 = 1) = 0.30, P(ξ1 = 2) = 0.25, P(ξ1 = 3) = 0.20, P(ξ1 = 4) = 0.15, et P(ξ1 = 5) =

0.10 ;p P(ξ2 = 1) = 0.50, P(ξ2 = 2) = 0.30, P(ξ2 = 3) = 0.10, P(ξ2 = 4) = 0.05, et P(ξ2 = 5) =

0.05 ;p l1 = 3 et l2 = 2 ;p u1 = 4 et u2 = 4.

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F. Hnaien

Tableau 1.2 – PCCP : fonction objectif f(x1, x2)

x2\x1 3 4

2 70 803 90 1004 110 120

Tableau 1.3 – PCCP : niveau de conance associé p pour la solution (x1, x2)

x2\x1 3 4

2 0.600 0.7203 0.675 0.8104 0.712 0.855

Dans le premier cas, nous appliquons l’approche de programmation sous contraintes probabi-listes jointes pour cet exemple. Le Tableau 1.2 rapporte les valeurs de la fonction objectif f(x1, x2)

pour les solutions optimales x = (x1, x2) correspondant à diérentes niveau de conance p, lesvaleurs maximales atteintes sont donnés dans le Tableau 1.3. Plus le niveau de conance tendsvers 1, plus la valeur objectif est importante.

Il est intéressant de mentionner que, pour cet exemple, le problème n’est pas faisable pour le

niveau de conance de p > 0.855 car F (u) =2∏i=1

Fi(ui) = 0.855. En revanche, dans les cas

où F (u) = 1, les gestionnaires peuvent imposer un niveau de conance jusqu’à 1. Évidemment,nécessitant un niveau de conance p = 1 signie opter pour la solution du pire cas ou la plusprudente.

Dans la suite, supposons que le problème admet des coûts de rupture et exprimons la valeur dela fonction objectif en fonction de b pour toutes les solutions réalisables de problème. Les valeursde la fonction objectif de la formulation PEV (38) sont fournis dans le Tableau 1.4.

Tableau 1.4 – PEV : fonction objectif f(x1, x2)

x2\x1 3 4

2 50.80 + b · 0.64 67.10 + b · 0.433 75.90 + b · 0.47 92.8 + b · 0.244 98.38 + b · 0.39 115.65 + b · 0.15

Maintenant, déterminons les valeurs du coût de rupture b qui doit être imposée an de privi-légier chaque solution possible de problème. Les résultats sont présentés dans le Tableau 1.5.Par conséquent, (3,2) est la solution optimale du PEV avec b ≤ 77.62 ; (4,2) est optimale si

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Optimisation sous aléas de délais d’approvisionnement pour un système d’assemblage

77.62 ≤ b ≤ 135.26, etc. Notons qu’il n’existe pas une valeur de b pour lequel (3,3) ou (3,4)est une solution optimale.

Tableau 1.5 – PEV : fonction objectif f(x1, x2)

(x1, x2) b p-niveau de conance

(3,2) b ≤ 77.62 [0, 0.600](3,3) - (0.600, 0.0.675](3,4) - (0.0.675, 0.720](4,2) 77.62 ≤ b ≤ 135.26 (0.720, 0.721](4,3) 135.26 ≤ b ≤ 253.89 (0.721, 0.810](4,4) b ≥ 253.89 (0.810, 0.855]

0 .600 .675 .720 .721 .810 .855 1

b ≤77.62

b ∈[77

.62, 135.26

]

b ∈[13

5.26,253.8

9]

b ≥253.8

9

Figure 1.4 – Coût de rupture face au niveau de service

Le Tableau 1.5 met en confrontation le coût de rupture et le niveau de service. Comme les résultatsfont ressortir, la recherche de la solution avec un niveau de conance est plus souple que depénaliser les retards de livraison de composants via un coût de rupture.

La gure 1.4 montre, pour une solution, la relation de niveau de service et de coût de rupture.Pour diérente p ∈ [0, 0.855] le problème est faisable et toutes les solutions admissibles ont lapossibilité de se manifester si leur distribution de probabilité sont plus importantes que le niveaude service nécessaire. D’autre part, face à ce problème du coût moyen incluant le coût moyende rupture, le manager risque de discriminer certaines solutions admissibles au départ. En outre,comme il est le cas de cet exemple, utiliser un coût de rupture pourrait être très relaxant entermes de la pertinence de la solution optimale. Par exemple, considérons une situation lorsque legestionnaire a utilisé une très grande valeur deB pour sanctionner les retards de composants. Lasolution la plus prudente donnée par PEV est (4,4) pour toutes les b > 253.89. En revanche, PCCPfournit les informations qu’il n’y a pas une solution réalisable,i.e. pour un niveau de conancede p = 1.

En résumé, à part le fait que l’approche de programmation sous contraintes probabilistes jointespeut se dispenser de coût de rupture, du point de vue managérial, imposer un niveau de service,est plus prudent que la xation d’un coût de rupture souvent dicile à estimer.

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F. Hnaien

Conclusions et perspectives

Ce chapitre traite le problème de planication de réapprovisionnement pour un système d’as-semblage à un seul niveau sous aléas des délais d’approvisionnements. Trois approches de réso-lution ont été proposées. Des expérimentations ont été menées sur plusieurs instances généréesaléatoirement.

L’ecacité de la reformulation linéaire proposée est conrmée en comparant les solutions op-timales correspondant à diérents niveaux de conance avec ceux fournis par la méthode PSE.Plus précisément, il s’agit des solutions fournies en optimisant la valeur moyenne de la fonctionobjectif, résolu par la suite par l’algorithme PSE proposé par Louly et al. (2008b).

La méthode de programmation sous contraintes probabilistes jointes présentée dans ce chapitrenous a permis aussi de résoudre le problème de minimisation de coût de stockage en composantssous un niveau de service désiré (et non pas le coût de rupture) par le client nal. Ce niveau deservice n’est d’autre que le niveau de conance introduit par la méthode de programmation souscontraintes probabilistes.

Étant motivé par la résolution des problèmes industriels sous incertitudes, les futures recherchesseront consacrées à explorer d’autres approches stochastiques de résolution de problème de ré-approvisionnements avec incertitudes sur les délais d’approvisionnements.

Récemment, nous avons étudié l’approvisionnement mono-période face aux aléas des délais etde la demande (Hnaien et al. (2015b)). Cette étude peut être aussi étendue pour le cas à plusieurspériodes en utilisant l’approche par recours Shapiro et al. (2009). Ce qui nous rapproche encoreplus de la méthode MRP ou les stocks sont calculés sur plusieurs périodes.

Nous avons aussi l’intention d’appliquer l’approche stochastique de programmation basée sur lerecours an d’étendre notre étude au cas multi-périodes en intégrant aussi la dépendance entreles stocks des diérents composants de diérentes périodes.

Ensuite, parce que les distributions de probabilité des incertitudes des délais d’approvisionne-ment peuvent ne pas être disponibles en réalité, une approche de programmation par intervalleou une approche oue (Fuzzy logic) est également intéressante à appliquer pour résoudre cestypes de problèmes.

À long terme, nous pensons à intégrer d’autres aléas comme le rendement (yield) qui a aussiattiré l’attention de plusieurs chercheurs Díaz-Madroñero et al. (2014), Inderfurth (2009) et ainsifaire une étude plus complète de paramétrage de MRP face à diérents aléas et en intégrant aussiplusieurs politiques de lotissements (lot-sizing).

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Chapitre 2Planication de la collecte de céréales

face aux aléas climatiques

Sommaire

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Gestion des risques de dégradation de la qualité des céréales . . . . . . . . . 52

2.2.1 Description du problème et modélisation mathématique . . . . . . . . . . . 532.2.2 Programmation sous contraintes probabilistes jointes . . . . . . . . . . . . . 55

2.3 Programmation mixte en nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4 Une approche basée sur la réduction des scénarios . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5 Reformulation mixte en nombres entiers et le concept de pertinence-(1− α) 59

2.6 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.7 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Introduction

Dans ce chapitre nous nous intéressons au problème de planication de l’activité de récolte ettout particulièrement à la programmation sous contraintes probabilistes jointes.

Ce chapitre rentre dans le cadre d’une collaboration avec la coopérative agricole la SCARA situéedans la région Champagne Ardenne.

Ce chapitre par rapport au chapitre 1, présente une autre technique d’optimisation stochastiquebasée la réduction de scénarios qui est possible dans ce cas d’étude étant donnée que l’espace

51

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F. Hnaien

de scénarios est plus petit que celui de cas de système d’assemblage. En eet, vu l’aléa ici est ladisponibilité de la date de récolte (0 "indisponible" ou 1 "disponible"), le nombre des scénarios estde 2J ou J est l’horizon de récolte. Étant donnée que la météo n’est plus able pour plus que 7jours (J = 7) le nombre des scénarios reste faible par rapport au cas de l’approvisionnement desystème d’assemblage présenté dans le chapitre 1.

L’objectif de ce chapitre est d’illustrer l’étude de la planication de collecte de céréales face auxaléas météorologiques. Ainsi, un modèle stochastique sera élaboré, dans le but de minimiser lesrisques de dégradation de la qualité des céréales pendant la période de moisson.

Production scientique

Plus de détails sur ces travaux de recherche se trouvent dans les publications suivantes : Borodinet al. (2015c), Borodin et al. (2015d), Borodin et al. (2014f).

Projets d’appui

Ce travail a été eectué dans le cadre :

p Thèse Cifre de Valeria Borodin, Optimisation et simulation d’une chaîne logistique : appli-cation au secteur de l’agriculture, 2011-2014.

p projet Conseil régional de Champagne-Ardenne CRCA : Management de la chaîne logis-tique pour une coopérative agricole (MCL-CA) avec la SCARA/ARVALIS, 2011-2015, 48mois, 520 Keuros.

Gestion des risques de dégradation de la qualité des cé-

réales

Tout d’abord, la description détaillée du problème ainsi que sa modélisation mathématique sousla forme d’un programme stochastique sont données dans la section 2.2. En utilisant les résul-tats présentés par Shapiro et al. (2009) et Dentcheva et al. (2000), une reformulation équivalentemixte en nombres entiers est développée dans la sous-section 2.3. En raison de sa complexitéexponentielle, des stratégies fondées sur la réduction de scénarios seront utilisées pour résoudrele problème étudié. Dans ce sens, deux approches proposées par Heitsch and Römisch (2007) se-ront donc rappelées dans la section 2.4 et ultérieurement implémentées. Soucieux d’atténuer lacomplexité du programme linéaire développé, dans la section 2.5, nous introduisons le conceptde (1−α)- pertinence à travers duquel une nouvelle reformulation alternative mixte en nombresentiers est proposée. La section 2.6 rapporte les résultats obtenus et présente une étude com-parative des modèles mathématiques et des approches de résolution proposés. Finalement, uneconclusion et des perspectives envisageables dans la continuité de ce qui est présenté, clôturentce chapitre en section 2.7.

52

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Planication de la collecte de céréales face aux aléas climatiques

Description du problème et modélisation mathématique

Tel que mentionné auparavant, c’est l’activité de la collecte qui est concernée dans ce chapitre.Les agriculteurs procèdent à la moisson dès que les grains ont atteint leurs stades de maturitéphysiologique. Tout en tenant compte des incertitudes météorologiques et dans l’intention deréduire les risques de dégradation de la qualité des céréales, une planication journalière réaliséeau préalable permettra aux agriculteurs de mieux s’organiser pendant la période de récolte.

Pour ce faire, considérons I chantiers agricoles diérents se référant à une coopérative agricole.Chaque chantier i, i = 1, I possède Pi parcelles, chaque parcelle p comportant une seule variété.La quantité à collecter de chaque parcelle qip est supposée connue et dépend de la surface seméeet du rendement de production, estimé après le stade de développement des grains. En outre,les dates de maturité physiologique dip pour toutes les parcelles p se rattachant au chantier i,sont considérées connues juste avant la récolte avec une précision satisfaisante. L’horizon detemps nécessaire pour eectuer la récolte est constitué de J périodes de temps (jours, dans notreapplication).

Récolter à la maturité optimale est une prescription importante pour réduire le taux d’humiditédes céréales et pour diminuer les risques de dégradation de leur qualité intrinsèque aux diérentsstades du stockage et/ou de la commercialisation. Représentons alors par rap et rbp les indicateursde dégradation lorsque les produits agricoles provenant de la parcelle p sont collectés avant, etrespectivement, après leurs stades de maturité physiologique optimale.

Chaque chantier agricole a une capacité journalière de récolte limitée, qui peut être déterminée enfonction de la dimension et du rendement mécanique de ses équipements agricoles utilisés dansle processus de récolte, ainsi que de la proximité des silos de stockage. Ainsi, aucun chantieragricole i ne peut collecter une quantité supérieure à ci par jour.

Les pluies ont un eet néfaste sur le bon déroulement de la collecte des céréales. À ce propos, enutilisant les données fournies par les stations météorologiques, se référant au volume des préci-pitations pendant la saison de récolte, il est possible de disposer d’information probabiliste surla disponibilité des jours de récolte. Plus précisément, un jour sans pluie est considéré commeétant disponible pour eectuer les opérations relatives à la récolte. Ainsi, représentons la dispo-nibilité journalière de récolte par une variable aléatoire, indépendante et binaire ξj (j = 1, J ),qui prend la valeur 1 s’il est possible de récolter le jour j, et 0, sinon. Ces variables sont décritespar leurs distributions discrètes : Dj =

(ξkj ,P(ξkj )), k = 0, 1

, ∀j = 1, J . L’ensemble des

scénarios ω, décrivant les incertitudes météorologiques tout au long de l’horizon de récolte J ,est désigné par Ω, où ω = (ξω1 , · · · , ξωJ ), et leurs probabilités jointes associées sont données par :

P(ω) =J∏j=1

P(ξωj ), ∀ω ∈ Ω.

La variable de décision réelle xipj (0 ≤ xipj ≤ 1) représente la partie de la parcelle p récoltée lejour j. De plus, la variable de décision zbipj vaut 1, si la parcelle p de l’agriculteur i est récoltée avantle stade de maturité physiologique et la valeur 0, sinon. Respectivement, zaipj prend la valeur 1 si

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Tableau 2.1 – Gestion des risques de dégradation de la qualité des céréales : notations

Paramètres :

i, (i = 1, I) chantier agricolep, (p = 1, Pi) parcellej, (j = 1, J) période de temps (jour)ω, (ω ∈ Ω) scénario de disponibilité de jour de récolte pendant l’horizon de collecte consi-

déréDonnées :

ξωj disponibilité de récolte de jour j dans le scénario ωdip date de maturité physiologiquerap indicateur de dégradation dans le cas de récolte tardive de la parcelle prbp indicateur de dégradation dans le cas de récolte prématurée de la parcelle pqip quantité à récolter de la parcelle p par le chantier agricole ici capacité journalière de récolte du chantier agricole i

M grande constante (e.g. supérieure àI∑i=1

Pi)

Variables :

xipj proportion de la parcelle p récoltée le jour j par le chantier agricole izbipj dénote le fait que la parcelle p du chantier agricole i est récoltée avant le stade

de maturité physiologique en prenant la valeur 1, et 0 sinonzaipj dénote le fait que la parcelle p du chantier agricole i est récoltée après le stade

de maturité physiologique en prenant la valeur 1, et 0 sinongipj prend la valeur 0 si aucune parcelle n’est récoltée par le chantier agricole i le

jour j et la valeur 1, sinonoj vaut 0 si aucune parcelle n’est récoltée le jour j et la valeur 1, sinon

la parcelle p de l’agriculteur i est récoltée après le stade de maturité physiologique et la valeur 0,sinon. La variable binaire gipj est égale à 1, si la parcelle p est récoltée le jour j par le chantier i, et0 sinon. La variable oj vaut 0 si le jour j aucune parcelle n’est récoltée, et 1 dans le cas contraire.La fonction-objectif du problème consiste à minimiser les risques de dégradation de la qualitédes produits céréaliers, compte-tenu de la maturité physiologique dans les deux cas de collecte :prématurée et/ou tardive.

Avant de procéder à la modélisation mathématique, énumérons les constatations qui en res-sortent aisément : (i) il n’y a pas de recours quantiable à considérer ; (ii) la fonction-objectifn’est pas aectée explicitement par les variables aléatoires ξωj ; (iii) les incertitudes ne vont ap-paraître que dans le second membre des contraintes, propriété qui ne rend pas, d’ailleurs, leproblème plus facile. L’approche de modélisation se dégageant comme la plus appropriée pource genre de problème s’avère donc être la programmation stochastique sous contraintes probabi-listes jointes (Shapiro et al., 2009; Kall and Wallace, 1994), dont la mise en application est détailléeplus amplement dans la section qui suit juste après.

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Planication de la collecte de céréales face aux aléas climatiques

Programmation sous contraintes probabilistes jointes

Dans la perspective de la programmation sous contraintes probabilistes, le principal challengeconsiste à trouver la meilleure solution, qui optimise un objectif considéré et reste à la fois abledans la plupart des réalisations des aléas. À cet égard, spécions dans le modèle mathématiqueun niveau de conance (i.e. une tolérance acceptable) de (1−α), où α ∈ (0, 1) représente le seuildésiré pour la validation des contraintes probabilistes. En considérant par la suite les variablesde décision et les données énoncées précédemment (cf. le tableau 2.1), nous proposons un mo-dèle stochastique sous contraintes probabilistes jointes, dont uniquement les éléments du secondmembre des contraintes sont impactés par des aléas, décrits à leur tour par des distributions deprobabilités discrètes données :

minJ∑j=1

I∑i=1

Pi∑p=1

rap · zaipj · (j − dip)− rbp · zbipj · (j − dip) (1)

sous contraintes : (2)J∑j=1

xipj = 1, ∀i,∀p (3)

Pi∑p=1

xipj · qip ≤ ci, ∀i,∀j (4)

P(xipj ≤ ξωj ,∀i,∀p,∀j,∀ω) ≥ 1− α, (5)zbipj · (j − dip) ≤ 0, ∀i,∀p,∀j (6)zaipj · (j − dip) ≥ 0, ∀i,∀p,∀j (7)zaipj + zbipj ≥ xipj , ∀i,∀p,∀j (8)

oj ≤I∑i=1

Pi∑p=1

gipj , ∀j (9)

M · oj ≥I∑i=1

Pi∑p=1

gipj , ∀j (10)

M · xipj ≥ gipj , ∀i,∀p,∀j (11)xipj ≤ gipj , ∀i,∀p,∀j (12)

gipj ≥ gip(j−1) −j−1∑j′=1

xipj′ + oj − 1, ∀i,∀p,∀j > 1 (13)

0 ≤ xipj ≤ 1, ∀i,∀p,∀j (14)oj , gipj ∈ 0, 1, ∀i,∀p,∀j (15)zaipj , z

bipj ,∈ 0, 1, ∀i,∀p,∀j (16)

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Puisque chaque parcelle doit être intégralement récoltée, les contraintes (3) sont imposées. Lescontraintes (4) assurent que la quantité journalière totale récoltée par le chantier agricole i n’ex-cède pas sa capacité de récolte ci. La contrainte non-linéaire (5) n’est entachée par les incertitudesrelatives aux disponibilités des jours de récolte que dans le second membre et peut être violée auplus α fois (i.e. la non-satisfaction de la contrainte (5) est tolérée dans α cas). Les contraintes (6),(7) et (8) garantissent que la variable binaire zbipj vaut 1, si la parcelle p se rattachant au chantieragricole i est récoltée avant son stade de maturité physiologique optimale, et respectivement,zaipj prend la valeur 1 si la parcelle p du chantier i est collectée après sa maturité. Les contraintes(9) et (10) forcent les variables oj à prendre la valeur 0 si aucune parcelle n’est récoltée le jour jet la valeur 1, dans le cas contraire.

Pour des raisons économiques, les contraintes (11), (12) et (13) obligent à continuer le processusde récolte sur une parcelle p une fois la collecte entamée sur cette parcelle. Néanmoins, le chan-gement de parcelle est autorisé après un jour de pluie, i.e. une fois la moissonneuse-batteuse estinévitablement arrêtée.

Programmation mixte en nombres entiers

An de pouvoir résoudre le modèle non-linéaire avec contraintes probabilistes jointes forma-lisé dans la section précédente, une reformulation linéaire équivalente sera présentée dans cettesous-section. En nous inspirant des résultats théoriques proposés par Dentcheva et al. (2000),introduisons les variables binaires λω, associées à chaque scénario ω, (ω ∈ Ω), qui prennent lavaleur 1 si la contrainte probabiliste (5) est satisfaite pour le scénario ω et ceci ∀i (i = 1, I), ∀p(p = 1, Pi), ∀j (j = 1, J), et respectivement la valeur 0, sinon. De cette manière, la contrainte(5) peut être réécrite par les contraintes déterministes suivantes :

(zaipj + zbipj)− (ξωj − λω) ≤ 1, ∀i,∀p,∀j,∀ω (5a)∑ω∈Ω

P(ω) · λω ≥ 1− α (5b)

λω ∈ 0, 1, ∀ω (17)

Ce programme linéaire mixte en nombres entiers, noté dans ce qui suit parP(2.2.2), pose une dif-culté majeure : un nombre large de scénarios, qui augmente exponentiellement avec la longueurde l’horizon de récolte J , fait qui implique respectivement un nombre exponentiel de variableset de contraintes. Ceci mène à ce qu’on appelle malédiction de la dimensionnalité (curse of dimen-sionality, en anglais) (Kuo and Sloan, 2005; Powell, 2007). Tout de même, ceci peut être contournépar des techniques de réduction de scénarios, approche devenue d’ailleurs classique (Kaut andWallace, 2003). À ce titre, deux types de méthodes prédominent dans la littérature. L’un est fondésur des approches d’échantillonnage de (Quasi-) Monte Carlo, dans le cadre desquelles le nombre

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Planication de la collecte de céréales face aux aléas climatiques

de scénarios de l’ensemble réduit est déterminé statistiquement de façon à obtenir des solutionsà l’intérieur des intervalles de conance spéciques pour un niveau de précision désiré (Shapiroet al., 2009). L’autre, quant à lui, exploite la notion de distance entre distributions probabilistes,fait qui permet de réduire l’ensemble de scénarios à ceux les plus plausibles de se manifester defacto (Heitsch and Römisch, 2003). Aux suggestions de Henrion et al. (2008), nous optons pour ladeuxième approche, en lui consacrant la section suivante.

Une approche basée sur la réduction des scénarios

En raison de la complexité des programmes sous contraintes probabilistes, l’utilisation des tech-niques d’approximation basées sur la réduction des scénarios est souvent admise et justiée dansla résolution des problèmes comportant des ensembles de scénarios de grandes tailles. Ces mé-thodes approchées rendent solvables les modèles de type (1) - (17), dont les dimensions aug-mentent exponentiellement avec le nombre de scénarios engendrés.

Théoriquement, la réduction de scénarios est un problème indépendant, mais dans la plupartdes cas, il est indispensable pour résoudre un programme sous contraintes probabilistes, dont lesdonnées incertaines sont décrites par des distributions de probabilités discrètes.

Plutôt que de générer aléatoirement un sous-ensemble de scénarios traitable polynomialement,nous proposons de réduire l’ensemble des scénarios par l’élimination de ceux qui sont les plusimprobables de se manifester de facto, selon des métriques de distributions probabilistes.

Trouver l’ensemble optimal des scénarios avec un nombre xé de scénarios à éliminer est unproblème d’optimisation combinatoire dicile. En concordance avec la dénition de proximitéentre distributions de probabilité et le théorème énoncé plus haut, trouver le sous-ensemble op-timal réduit sous-entend la résolution d’un problème de recouvrement, qui est connu commeétant un problèmeNP-dicile (Growe-Kuska et al., 2003). À cet égard, Beraldi and Ruszczyński(2005) et Heitsch and Römisch (2003) ont développé dans leurs recherches, des heuristiques assezecaces basées sur des techniques de réduction des scénarios, permettant par-là de déterminerles sous-ensembles optimaux réduits.

Soit dans les sections qui suivent, P une distribution de probabilité discrète donnée sur Rn com-portant les scénarios ω ∈ Ω, où Ω désigne l’ensemble des scénarios. Chaque scénario ω possèdeune probabilité associée P(ω) > 0 (ω ∈ Ω), et bien évidemment,

∑ω∈Ω

P(ω) = 1. De plus, dénotons

par m le nombre de scénarios à éliminer, ainsi n = |Ω| −m représentera le nombre de scénariosà préserver.

L’algorithme SBR (Simultaneous Backward Reduction) est donné dans ce qui suit immédiatement.Sa complexité temporelle est d’ordre O(|Ω|2).

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F. Hnaien

Algorithme 2.1 : Simultaneous Backward Reduction (SBR) (Heitsch and Römisch, 2003)

pas 1 : cku = cT (ωk, ωu),∀k, u = 1, · · · , |Ω|c

[1]ll = minb6=lclb,∀l, l = 1, · · · , |Ω|z

[1]l = plc

[1]ll , ∀l, l = 1, · · · , |Ω|

l1 ∈ arg mina=1,··· ,Sz[1]l , G[1] = l1

pas i : ckl = minb/∈G[a−1]∪lckb, l /∈ G[a−1], k ∈ G[a−1] ∩ lz

[a]l =

∑k∈G[a−1]∪l

pkc[a]kl , l /∈ G

[a−1]

la ∈ arg minl /∈G[a−1]z[a]l

G[a] = G[a−1] ∪ lapas |Ω|-n+1 : fournir la redistribution optimale de n scénarios préservés

où ct(ωa, ωb) =t∑

τ=1

||ωτa − ωbτ ||n mesure la distance entre les scénarios ωa et ωb sur un

horizon de temps t (t = 1, T ) et || · ||n est une norme sur Rn. Autrement dit, cT mesure ladistance entre les réalisations de scénarios le long de l’horizon de temps considéré, allant de 1 à T .

L’algorithme SBR débute par la recherche d’un premier scénario à éliminer, qui correspondd’ailleurs à celui qui a une distance minimale par rapport aux autres (i.e. le scénario qui peut êtrele mieux représenté par les scénarios restants). La première itération de cet algorithme consistedonc à trouver le scénario, dont l’élimination provoquera l’erreur la plus petite. Ensuite, à chaqueitération suivante, la distribution de probabilité des scénarios restants est mise à jour en rajou-tant la valeur de la probabilité du dernier scénario éliminé à celle de son plus proche scénarionon supprimé. De cette manière, tous les m scénarios sont supprimés d’une façon itérative selonle même principe qui a été utilisé pour l’élimination du premier scénario.

L’algorithme FFS (Fast Forward Selection) est illustré ci-dessus (cf. algorithme 2.2). La complexitétemporelle de cet algorithme est également d’ordre O(|Ω|2).

Le premier scénario trouvé par FFS peut être interprété en tant que le plus équidistant relative-ment aux autres, en conformité avec la distance entre les réalisations des scénarios cT . Une foisle premier scénario trouvé, à chaque itération ultérieure, un nouveau scénario est choisi de tellesorte qu’en le rajoutant au sous-ensemble des scénarios sélectionnés, la réduction de la distanceentre les scénarios retenus et ceux éliminés soit maximisée. L’algorithme FFS s’arrête une foisles m scénarios choisis.

D’ailleurs, l’idée directrice de ces deux algorithmes de réduction des scénarios repose sur la dé-termination d’une autre distribution de probabilité P , où Ω représente un sous-ensemble desscénarios (|Ω| << |Ω|), qui est la meilleure approximation de P selon une mesure de distancedonnée, cT , entre les réalisations de scénarios.

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Planication de la collecte de céréales face aux aléas climatiques

Algorithme 2.2 : Fast Forward Selection (FFS) (Heitsch and Römisch, 2003)

pas 1 : c[1]ku = cT (ωk, ωu),∀k, u = 1, · · · , |Ω|

z[1]u =

S∑k=1,k 6=u

pkc[1]ku,∀u = 1, · · · , |Ω|

u1 ∈ arg minu∈1,··· ,Sz[1]

J [1] = 1, · · · , S\u1pas i : c

[a]ku = minc[a−1]

ku , c[a−1]kua−1

,∀k, u ∈ G[a−1]

z[a] =∑

k∈G[a−1]\u

pkc[a]ku,∀u = G[a−1]

ua ∈ arg minu∈G[a−1]z[1]u

G[a] = G[a−1]\uapas m+1 : fournir la redistribution optimale de n scénarios préservés

Par conséquent, la stratégie de réduction de scénarios se révèle en tant qu’une approche de ré-solution assez ecace du modèle stochastique donné dans la sous-section 2.2.2 et elle sera traitéultérieurement via sa reformulation mixte en nombres entiers (1)-(17). Or, après une réductionde scénarios eectuée au préalable, la formulation P(2.2.2) devient solvable dans le cadre de laprogrammation mixte en nombres entiers.

Reformulationmixte ennombres entiers et le concept de per-tinence-(1− α)

An de résoudre le modèle sous contraintes probabilistes exposé dans les sections précédentes,nous allons introduire un nouveau concept, dénommé pertinence - (1− α). En toute honnêteté,il convient de mentionner les notions relativement similaires existantes dans la littérature, dep-ecacité (Prékopa, 1990; Dentcheva et al., 2000, 2001) et/ou p-inecacité (Saxena et al., 2010),mais qui ne sont pas appropriées pour aborder directement la contrainte de type (6). D’un côté,la p-ecacité contribue à construire des homologues déterministes pour les problèmes de genre

min cTx : Ax ≥ b,PTx ≥ ξ ≥ 1− α, x ∈ N

. D’un autre côté, la p-inecacité quant à elle,s’applique pour la résolution des problèmes de recouvrement avec des propriétés spéciques dusecond membre et des contraintes probabilistes.

Rappelons que dans le modèle stochastique élaboré dans la sous-section 2.2.2, les incertitudesapparaissent uniquement dans le membre droit des contraintes du problème et sont représentéespar l’ensemble des scénarios Ω, où le scénario ω (ω ∈ Ω) est un vecteur J-dimensionnel devariables binaires.

Introduisons les dénitions suivantes :

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F. Hnaien

Dénition 2.1. Soit ωs = (ξs1, ξs2, · · · , ξsJ) et ωt = (ξt1, ξ

t2, · · · , ξtJ) deux réalisations de scénarios,

où ωs, ωt ∈ Ω. Le scénario ωs est considéré plus grand ou égal à ωt, ωs ≥ ωt, si ξsj ≥ ξtj,∀j = 1, J .Et, respectivement, ωt est considéré plus petit ou égal à ωs, ωt ≤ ωs, si ξsj ≤ ξtj,∀j = 1, J .

Inversement, la relation d’incomparabilité entre deux scénarios ωs et ωt (ωs ωt et ωs ωt),signie que ωs n’est ni plus petit, ni plus grand que ωt.

Dénition 2.2. Soit ωs = (ξs1, ξs2, · · · , ξsJ) et ωt = (ξt1, ξ

t2, · · · , ξtJ) deux réalisations de scénarios,

où ωs, ωt ∈ Ω. Le scénario ωs est considéré incomparable avec ωt, si ωs n’est ni plus grand, ni pluspetit que ωt.

Il convient de noter que tous les scénarios de l’ensemble Ω ne sont pas comparables quant à leursréalisations. À titre d’exemple, considérons deux scénarios 3-dimensionnels (0,0,1) et (1,1,0) :ils ne sont ni plus grands, ni plus petits l’un que l’autre. Ces deux scénarios sont incompa-rables.

À ce point, il est également important de mentionner que si une solution partielle du programmemixte en nombres entiers (1)-(17) est réalisable pour un scénario quelconque ω (ω ∈ Ω), elle estaussi réalisable pour tout scénario plus grand ω′, où ω′ ≥ ω, ∀ω′ ∈ Ω. D’où il s’ensuit que leniveau de conance garanti par le scénario ω est :

∑ω′≥ωω′∈Ω

P(ω′).

Dénition 2.3. Soit ω = (ξ1, ξ2, · · · , ξJ) un scénario appartenant à l’ensemble Ω. Le scénario ωest appelé (1− α)-pertinent si

∑ω′≥ωω′∈Ω

P(ω′) ≥ 1− α.

Pour plus de précisions, ajoutons que le scénario ω est considéré (1− α)-pertinent si :

∑ω′≥ωω′∈Ω

P(ω′) =∑ω′≥ωω′∈Ω

J∏j=1

P(ξω′

j ) ≥ 1− α.

En utilisant les concepts de pertinence - (1−α) et de scénario incomparable, il s’avère possible deréduire substantiellement le nombre de solutions candidates, en évitant l’élimination de celles quisont optimales. Pour ce faire et an de laisser plus de exibilité dans la recherche d’un planningde récolte minimisant les risques de dégradation, il sut de déterminer les plus grands scénarios(1 − α) - pertinents et incomparables, et de s’ensuivre de la résolution du problème mixte ennombres entiers (1)-(17) uniquement pour ceux-ci.

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Planication de la collecte de céréales face aux aléas climatiques

Algorithme 2.3 : Trouver les plus grands scénarios (1− α)-pertinents et incomparables (SPI)

Initialisation :L = ∅s = J

t = maxi=1,I

ci∑Pip=1 qip

pas s :φ(ω) =

∑ω′≥ω

P(ω′),∀ω ∈ Ωs,

si φ(ω) ≥ (1− α) alors

si ω ω, ∀ω ∈ L alors

L = L ∪ ωnsi

nsi

pas t : fournir le sous-ensemble L des scénarios (1− α)-pertinents et incomparables les plusgrands

Considérons l’ensemble Ω des scénarios J-dimensionnels, désignés par ω = (ξ1, ξ2, ...ξJ), où ξjest une variable aléatoire binaire, ∀j = 1, J . De plus, soit Ωs (Ωs ⊂ Ω) un sous-ensemble desscénarios ω, pour lesquels le nombre d’occurrence de la valeur 1 est égale à s, s = 0, J .

An de trouver le sous-ensemble des scénarios (1 − α)-pertinents et incomparables les plus

grands, qui contiennent au moins t jours disponibles de récolte(t = maxi=1,I

ci∑Pip=1 qip

),

noté par L, nous proposons l’algorithme 2.3, dont la complexité temporelle est d’ordre O(|Ω|2).

De toute évidence, le sous-ensembleL (L ⊂ Ω) peut atteindre au maximum un nombre de(J

dJ2e

)scénarios (1− α)-pertinents et incomparables. Sans perte de solutions faisables du modèle (1) -(17), la contrainte (5b) peut être remplacée par (5c) :∑

ω∈L

λω ≥ 1 (5c)

Proposition 2.4. Considérons le programme mixte en nombres entiers (1)-(17). La contrainte (5c)exprime correctement la contrainte (5b), ce qui impose que |Ω|-inégalités de type (5) soient satisfaitesconjointement avec un niveau de conance au moins égale à (1− α).

Démonstration. Soit x une solution faisable du problème mixte en nombres entiers (1)-(17). Lacontrainte (5c) impose le fait que x soit réalisable pour au moins (1 − α) scénarios pertinentset incomparables ω, ω ∈ L. Conformément à la dénition de la pertinence (1− α), il existe desscénarios ω′ > ω, ω′ ∈ Ω pour lesquels x est aussi réalisable et assurent le niveau de conance

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prescrit de (1− α), tant et si bien que :∑ω′≥ωω′∈Ω

P(ω′) ≥ 1− α.

Montrons maintenant que la contrainte (5c) exprime exhaustivement la contrainte (5b), sansperte d’aucune solution faisable du problème. Pour ce faire, considérons alors les triplets <x∗, z1∗, z2∗ > la solution optimale du programme (1)-(17) et respectivement, < x, z1, z2 > lasolution optimale du même modèle avec (5c) au lieu de (5b), pour le même niveau de conance(1− α).

Supposons par l’absurde que f(x, z1, z2) > f(x∗, z1∗, z2∗). Cela sous-entend qu’il existe un sous-ensemble des scénarios Ω∗ (Ω∗ ⊂ Ω) pour lequel le triplet < x∗, z1∗, z2∗ > est réalisable, et deplus

∑ω∈Ω∗

P(ω) ≥ (1− α).

D’un autre côté, il existe un sous-ensemble des scénarios L, qui garantit le niveau de conanceprescrit de (1−α), i.e.

∑ω∈L

λω ≥ 1. D’où il en résulte qu’il existe au moins un scénario ω (ω ∈ L),

qui assure un niveau conance de (1− α) :∑ω′≥ωω′∈Ω

P(ω′) ≥ (1− α).

Considérer que f(x, z1, z2) > f(x∗, z1∗, z2∗) signie qu’il existe un sous-ensemble S de Ω, (S ⊂Ω∗) contenant uniquement des scénarios qui sont soit incomparables ou bien plus grands queceux du sous-ensemble L, fournissant à son tour une meilleure solution du problème pour lemême niveau de conance de (1 − α). Cette armation est fausse, en vertu de la constructiondu sous-ensemble L, qui comporte par dénition les plus grands scénarios (1−α)- pertinents etincomparables. Par conséquent, la supposition que f(x, z1, z2) > f(x∗, z1∗, z2∗) est fausse.

À ce stade, en remplaçant les contraintes (5b) par la contrainte équivalente (5c), nous proposonsune reformulation équivalente plus forte du problème mixte en nombres entiers (1)-(17), libelléepar la suite P(2.5).

Dans le modèle linéaire mixte en nombres entiers P(2.5), la meilleure solution qui minimise lesrisques de dégradation de la qualité de céréales doit être réalisable pour au moins un scénario del’ensemble L. Ce dernier représente un sous-ensemble de l’ensemble Ω qui contient uniquementles scénarios qui garantissent le niveau de conance désiré de (1− α).

Résultats numériques

Dans ce chapitre nous avons développé un modèle stochastique en vue de maîtriser les risquesde dégradation de la qualité de céréales (blé, orge, escourgeon, etc.). Celui-ci a été spécialementconçu pour contribuer à la planication ecace de l’activité de la récolte, en minimisant lesrisques de dégradation de la qualité des céréales liés à la récolte prématurée ou tardive par rapportà leurs stades de maturité physiologique optimale.

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Planication de la collecte de céréales face aux aléas climatiques

Généralement, la saison de récolte s’étale approximativement sur un mois, voire un mois et demi.Or, comme nous l’avons spécié antérieurement, le nombre des contraintes et des variables desmodèles d’optimisation mixte en nombres entiersP(2.2.2) etP(2.5), augmente exponentiellementen fonction du nombre de périodes J . Même pour un horizon de temps d’un mois, le problèmeest non résoluble par la programmation mixte en nombres entiers.

D’autre part, nous ne pouvons bénécier de prévisions météorologiques plus ou moins plausibleset ables que pour une période de 7-10 jours. Dans cet ordre d’idées, nous proposons de partition-ner la saison de récolte en horizons de temps plus courts et de nous contenter d’une planicationen étapes. Ainsi, dans le but d’obtenir des solutions de récolte autant pertinentes que possible,et puisque les prévisions météorologiques sont fournies, pour des périodes relativement courtes(environ 5-7 jours, avec un niveau de conance acceptable), le partitionnement de l’horizon dela saison de récolte est une approche justiée.

Pour l’instant dans cette section, analysons les modèles et les approches discutés dans ce chapitrepour une collection des instances générées aléatoirement. Par souci de simplicité et en nousnous inspirant de l’étude de cas visé dans cette étude, plusieurs instances ont été créées. Lescaractéristiques de ces instances sont données ci-après :

p l’ensemble de chantier I = 19 comportant au totalI∑i=1

Pi = 293 ;

p les quantités parcellaires à récolter varient entre 5 et 90 (tonnes) ;p les capacités journalières de récolte par chantier agricole sont comprises entre 80 et 381

(tonnes).

Pour les raisons de condentialité lié au contrat entre le SCARA/UTT/ARVALIS, nous présentonsdes résultats basés sur des données simulées et non pas sur des données réelles.

Les variables aléatoires représentant les incertitudes météorologiques sont représentées par desdistributions discrètes nies. Cinq classes de jeux de données ont été construites, correspondantaux diérents coecients de corrélation entre les variables aléatoires indépendantes. Sans pertede généralité, les indicateurs de dégradation dans le cas de récolte prématurée rpb , et respective-ment tardive rpa, sont supposés égaux à 1, pour toutes les instances décrites ci-dessus.

Les algorithmes exposés tout le long de ce chapitre, ont été implémentés en utilisant le langagede programmation C++. Le problème d’optimisation avec contraintes probabilistes jointes a étérésolu par l’intermédiaire des reformulations équivalentes mixtes en nombres entiers P(2.2.2) etP(2.5), à l’aide du logiciel d’optimisation ILOG CPLEX (version 12.6.1). Les expérimentationsnumériques ont été eectuées sur une machine Intel(R) Xeon(R) CPU W3690 à 3.47GHz.

Pour la réduction de l’ensemble de scénarios en utilisant les algorithmes d’approximation SBR etFFS présentés dans la section 2.4, nous avons considéré les paramètres suivants :

p la norme euclidienne pour mesurer la distance entre deux scénarios nis ωs = (ξs1, · · · , ξsJ)

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et ωt = (ξt1, · · · , ξtJ), c’est à dire :

cT (ωs, ωt) = ||ξsi − ξti ||2 =√

(ξs1 − ξt1)2 + · · ·+ (ξsJ − ξtJ)2,

où ωs, ωt ∈ Ω.p le nombre de scénarios à éliminer par les algorithmes SBR et FFS est empiriquement imposé

de telle manière que le P(2.2.2) soit solvable par ILOG CPLEX pour les jeux de donnéesconsidérées.

Comparons d’abord les deux techniques de réduction de scénarios SBR et FFS. Ainsi, la gure2.1 illustre les résultats numériques obtenus pour un horizon de temps de 10 jours (i.e. |Ω| =

210 = 1024 scénarios du problème) en termes du temps nécessaire de calcul. Pour diérentesdimensions du sous-ensemble des scénarios préservés, il apparaît que l’algorithme SBR est plusgourmand en temps de calcul que l’algorithme FFS. Ce constat se vérie toujours lorsque lenombre de scénarios éliminés est plus grand que celui des scénarios conservés. Au contraire, encomparaison avec FFS, SBR fournit des solutions plus ecaces et plus ables en même tempspour les jeux de données testés (cf. tableau 2.2). Ceci se traduit par de plus petites valeurs de lafonction-objectif obtenues conjointement avec un niveau de conance (1 − α)max plus élevé. Ilest à noter que (1 − α)max représente le niveau de conance maximum auquel il est possible detrouver une solution faisable pour le sous-ensemble de scénarios préservés.

5 10 15 20

0

100

200

nombre de scénarios préservés (%)tem

psCP

Upo

urla

rédu

ctio

nde

scén

ario

s

SBRFFS

Figure 2.1 – Résultats relatifs à P(2.2.2) pour un horizon de temps de 10 jours : temps de calcul

Maintenant, examinons les résultats des expérimentations numériques montrées dans les ta-bleaux présentés ci-après. Les résultats ont été comparés au regard du temps de calcul, la valeurde la fonction-objectif et le niveau de conance (1 − α)max, obtenus pour diérentes valeurs dela variance des variables aléatoires indépendantes σ2

ξj,∀j = 1, J (puisque les variables aléatoires

sont binaires, σ2ξj∈ (0, 0.25]).

Le tableau 2.2 ore des détails sur la performance des deux contreparties linéaires mixtes ennombres entiers P(2.5) et P(2.2.2), nous permettant d’aborder le modèle stochastique vu dansla section 2.2.1. Les résultats numériques témoignent de l’ecacité et de l’ecience de la re-formulation P(2.5) par rapport à P(2.2.2), cette dernière étant résolue conjointement avec les

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Planication de la collecte de céréales face aux aléas climatiques

approches de réduction de scénarios SBR, et respectivement FFS. Il convient également de préci-ser que le nombre de scénarios conservés a été limité à 19.53% (200 scénarios) à cause de manquede mémoire nécessaire pour la résolution d’un programme mixte en nombres entiers avec ILOGCPLEX.

D’autres expérimentations ont été également réalisées an d’évaluer la performance du pro-blème mixte en nombres entiers pour un horizon de temps plus important de 13 jours (i.e.|Ω| = 213 = 8192 scénarios du problème). En nous référant aux algorithmes approchés de ré-duction de scénarios FFS et SBR, ceux-ci nécessitent un temps de calcul beaucoup plus importantpour la réduction de 200 scénarios (ce qui ne représente que 2,44 % de l’ensemble de scénarioscorrespondant à un horizon de temps de 13 jours). De plus, il convient de noter que pour unhorizon de temps de 13 jours, ILOG CPLEX ne résout le problème même pas pour 2,44 % del’ensemble de scénarios du fait d’un manque de mémoire.

Tableau 2.2 – Tests eectués pour une période de récolte de 10 jours

minj=1,J

σ2ξj

Caractéristique P(2.5)/SPI P(2.2.2)/SBR P(2.2.2)/FFS

valeur de la fonction-objectif 65 2 -(1− α)max [0,007 ; 0,008) [4e-04 ; 0,001) < 1e-005

0,25 algorithme de réduction des scénarios 0,06 219,62 -temps CPU programme mixte en nombres entiers 132,43 1,15 -

total 132,49 220,77 17,32valeur de la fonction-objectif 34 7 2

(1− α)max [0,05 ; 0,10) [0,04 ; 0,005) [0,03 ; 0,05)0,20 algorithme de réduction des scénarios 0,06 225,94 13,27

temps CPU programme mixte en nombres entiers 16,99 35,83 1,15total 17,05 261.77 24.42

valeur de la fonction-objectif 100 36 36(1− α)max [0,25 ; 0,30) [0,15 ; 0,20) [0,15 ; 0,20)

0,15 algorithme de réduction des scénarios 0,04 225,60 13,14temps CPU programme mixte en nombres entiers 67,40 22,17 18,35

total 67,44 247,77 31,49valeur de la fonction-objectif 100 36 36

(1− α)max [0,45 ; 0,50) [0,35 ; 0,40) [0,25 ; 0,30)0,10 algorithme de réduction des scénarios 0,11 224,60 13,94

temps CPU programme mixte en nombres entiers 67,17 3,95 3,91total 67,28 228,55 27,85

valeur de la fonction-objectif 96 128 128(1− α)max [0,70 ; 0,75) [0,75 ; 0,80) [0,75 ; 0,80)

0,05 algorithme de réduction des scénarios 0,11 222,59 13.38temps CPU programme mixte en nombres entiers 54,09 127,41 131,705

total 54,20 350,00 245,08

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F. Hnaien

En outre, les résultats représentés dans les tableaux 2.2 et 2.3 mettent en relief la relation entre lavariance des variables aléatoires et le niveau de conance : plus la variance tend vers zéro, plusle niveau de conance de la solution tend respectivement vers 1. Autrement dit, plus la varianceest faible plus le niveau de conance est élevé. Le niveau de conance est donc reété et dépendinéluctablement de la corrélation entre les variables aléatoires.

De plus, comme le montre les expérimentations numériques conduites, la reformulation P(2.5)présente des résultats compétitifs en ce qui concerne les temps de calcul, valeurs de la fonction-objectif et niveau de conance des solutions proposées. Par souci d’impartialité, il convient néan-moins de souligner que le programme P(2.5) est également dicile à résoudre pour un grand

nombre de scénarios (1 − α)-pertinents, qui peut d’ailleurs s’élever jusqu’à(J

dJ2e

)scénarios

dans le pire des cas.

En revanche, vu que dans les applications réelles, seules les solutions optimales les plus ablessont retenues (i.e. de degré de conance élevé), le programme P(2.5) représente une reformu-lation forte et compétitive. C’est surtout vrai, compte tenu du fait qu’un niveau de conancesatisfaisant ne peut être requis que pour des périodes de récolte relativement courtes, i.e. enadéquation avec la abilité de la connaissance probabiliste relative aux incertitudes météorolo-giques.

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Planication de la collecte de céréales face aux aléas climatiques

Tableau 2.3 – Tests eectués pour une période de récolte de 13 jours

minj=1,J

σ2ξj

Caractéristique P(2.5)/SPI P(2.2.2)/SBR P(2.2.2)/FFS

valeur de la fonction-objectif 2 - -(1− α)max [0,0009 ; 0,001) - -

0,25 algorithme de réduction des scénarios 5,50 - -temps CPU programme mixte en nombres entiers 13,29 - -

total 18,79 - -valeur de la fonction-objectif 2 - -

(1− α)max [0,002 ; 0,005) - -0,20 algorithme de réduction des scénarios 5,39 - -

temps CPU programme mixte en nombres entiers 3,25 - -total 8,64 - -

valeur de la fonction-objectif 100 - -(1− α)max [0,25 ; 0,30) - -

0,15 algorithme de réduction des scénarios 132,14 - -temps CPU programme mixte en nombres entiers 57,64 - -

total 138,21 - -valeur de la fonction-objectif 69 - -

(1− α)max [0,40 ; 0,45) - -0,10 algorithme de réduction des scénarios 173,40 - -

temps CPU programme mixte en nombres entiers 164,13 - -total 237,53 - -

valeur de la fonction-objectif 37 - -(1− α)max [0,65 ; 0,70) - -

0,05 algorithme de réduction des scénarios 5,89 - -temps CPU programme mixte en nombres entiers 3,92 - -

total 8,81 - -

Conclusions et perspectives

Dans ce chapitre, nous avons abordé le cas statique et générique du problème de gestion desrisques de dégradation de la qualité de céréales, tout en tenant compte des aléas météorolo-giques et en autorisant les deux cas de récolte, prématurée et tardive. En ce sens, un modèle souscontraintes probabilistes jointes a été proposé et résolu via des contreparties linéaires équiva-lentes, ad hoc élaborées. Pour pallier la malédiction de la dimensionnalité qui résulte de la taillede l’ensemble des scénarios du problème, et qui augmente exponentiellement avec la longueurde l’horizon de temps, deux techniques de réduction de scénarios ont été appliquées.

Dans un premier temps, nous avons fait recours à l’approche la plus souvent utilisée dans lalittérature : la réduction de scénarios. Cette dernière est basée sur la notion de distances entredistributions de probabilités, étant en règle générale réalisée via deux algorithmes, à savoir Si-

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F. Hnaien

multaneous Backward Reduction, et respectivement, Fast Forward Reduction. Dans un deuxièmetemps, nous avons introduit un nouveau concept, appelé pertinence (1−α), permettant d’exploi-ter uniquement les scénarios les plus grands qui garantissent le niveau de conance désiré de(1− α).

Cependant, le problème sous étude dans ce chapitre ne peut être résolu à l’optimalité pour unhorizon de temps de plus de 15 jours, qu’avec un niveau de conance très faible (proche de 0pour des variances des variables aléatoires indépendantes plus grandes que 0,1). Pour surmontercet inconvénient, il conviendrait donc de s’intéresser à des méthodologies permettant d’une part,de prendre en compte les deux aspects, stochastique et dynamique, et d’autre part, de donner lapossibilité de corriger, éventuellement à moindre coût, les décisions prises avant la survenue desaléas. Intuitivement, des méthodes basées sur la programmation multi-étapes avec recours et laprogrammation stochastique dynamique pourront être adaptées et combinées à cet eet.

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Chapitre 3Optimisation de la production avec

indisponibilités dues à la maintenance

Sommaire

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2 Ordonnancement d’un atelier ow-shop avec indisponibilité sur la pre-

mière machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.1 Description du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.2 Modèle de programmation en nombres entiers mixtes 1 (MIP1) . . . . . . . 723.2.3 Modèle de programmation en nombres entiers mixtes 2 (MIP2) . . . . . . . 733.2.4 Procédure par Séparation et Évaluation (PSE) . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2.5 Résultats et discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3 Ordonnancement d’un atelier ow-shop avec indisponibilité sur la

deuxième machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.3.1 Les bornes inférieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.2 Les bornes inférieurs générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3.3 Résultats et discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4 Planication intégrée de la production et de la maintenance . . . . . . . . . 82

3.4.1 Nouvelle méthode de résolution proposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.5 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

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F. Hnaien

Introduction

Nous nous intéressons ici à l’étude de problèmes opérationnels et tactiques de l’ordonnancementet la planication face à des indisponibilités de machines.

Dans ce chapitre, notre contribution est très pointue, elle concerne la méthodologie de résolution.En eet, dans la première partie , le cas d’ordonnancement avec indisponibilités, nous montronscomment le pré-traitement et l’exploitation des propriétés du problème nous permet d’étendrela résolution à des tailles beaucoup plus importantes. Dans la deuxième partie, la planicationintégrée de la production et de la maintenance, notre contribution concerne aussi la méthode derésolution de problème en utilisant des techniques de linéarisation.

Dans la première partie, nous nous sommes intéressés à l’étude de problèmes opérationnels ettactiques de l’ordonnancement face à des indisponibilités de machines. Nous considérons le casd’ordonnancement d’un atelier ow-shop avec indisponiblité sur la première machine. Les au-teurs Lee (1997), Lee (1999), Allaoui et al. (2006), Allaoui et al. (2008), Rapine (2013) ont traitéle cas d’atelier ow-shop avec indisponibilités et ont proposé des propriétés intéressantes duproblèmes sans pour autant les exploiter dans la résolution. Notre majeur contribution est donccomment intégrer la propriété proposée initialement par Lee (1997) "les tâches avant et aprèsindisponibilités dans le cas d’atelier owshop avec comme objectif la minimisation de cmax(F2/nr − a(M1)/Cmax) suivent la règle de Johnson" dans le modèle linéaire. Cette nouvelle for-mulation de problème, nous a permis d’étendre la résolution de 10 à 100 tâches dans un tempsraisonnable.

Dans la deuxième partie, nous nous sommes intéressés à la planication intégrée de la productionet de la maintenance au niveau tactique. Notre contribution concerne la linéarisation du problèmeen un seul modèle. Le modèle non-linéaire proposé initialement par Fitouhi and Nourelfath (2012)a été résolu en décomposant le problème en deux : le lot-sizing et la politique de maintenancepréventive. Les auteurs résolvent un modèle de lot-sizing pour chaque décision de maintenance.À titre d’exemple pour un problème de T périodes, les auteurs lancent 2T fois le modèle linéairede lot-sizing. Notre nouvelle formulation du problème en linéarisant ce dernier en un seul modèlenous a permis de résoudre des problèmes de tailles importantes en un temps raisonnable.

Projets d’appui et moyens

Cette étude rentre dans le cadre des activités de recherche en amont du thème 2 "Ordonnance-ment, planication et gestion des opérations " de l’axe 2 "Systèmes de Production" de LOSI. Cetravail a été eectué dans le cadre :

p Le projet exploratoire nancé par l’UMR-STMR "Optmisation bi-objectif d’ordonnance-ment et de la maintenance préventive avec risque de pannes machine, 2010"

p stage de mastère de Yassine Ouazène (2013 )et d’Ahmed Mhadhbi (2014)p Thèse de doctorat de Mourad Bentalleb, Gestion de production avec incertitudes, depuis

octobre 2015

70

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Optimisation de la production avec indisponibilités dues à la maintenance

Les publications

Plus de détails sur ces travaux de recherche se trouvent dans les publications suivantes : Hnaien

et al. (2015c), Ouazene et al. (2011).

Ordonnancement d’un atelier ow-shop avec indisponibilité

sur la première machine

Plusieurs recherches ont été menées sur le problème de ow-shop à deux machines avecindisponibilité sur la première machine. Dans le cas tâches non-resumable avec l’objectif est deréduire le makespan, ce problème est noté F2/nr − a(M1)/Cmax. Lee (1997) a montré que ceproblème est NP-dicile et il a développé un modèle de programmation dynamique pour sarésolution. Cependant, ce modèle ne peut résoudre que des instances de petite taille dans untemps raisonnable. Pour les instances de grande taille, il a développé une heuristique avec unecomplexité O(n logn) basée sur la règle de Johnson. Cette heuristique permet de résoudre leproblème où la période d’indisponibilité est sur la première machine avec un wcpb (Worst-caseperformance bound) égal à 1/2. Chenga and Wangb (2000) ont étudié le même problème et ilsont proposé une heuristique meilleure que celle de Lee (1997) avec un wcpb égal à 1/3. Allaouiet al. (2006) ont aussi étudié le même problème pour les cas particuliers où la règle de Johnsonproduit une séquence optimale. Mais, Rapine (2013) a montré que les conditions d’optimalitéproposées par Allaoui et al. (2006) doivent être modiées. Pour un état de l’art plus exhaustifsur les problèmes d’ordonnancement avec une période d’indisponibilité nous pouvons citer lestravaux de Schmidt (2000) et Ma et al. (2010).

Description du problème

On considère un problème d’ordonnancement de n tâches de production d’un atelier ow-shopà 2 machines (M1 et M2) avec une période d’indisponibilité qui commence à s1 et se termine àt1 due à une maintenance préventive sur la première machine. On assume que la préemption estnon permise et que les tâches sont exécutées en mode non resumable, c’est à dire une tâche doitêtre exécutée à nouveau si elle est interrompue par la période d’indisponibilité. L’objectif est detrouver un ordonnancement qui fourni un makespan minimal. Selon ces hypothèses, le problèmea été représenté par Lee (1999) : F2/nr − a(M1)/Cmax (voir gure 3.1).

Nous utiliserons les notations suivantes pour dénir le problème (voir tableau 3.1) :

71

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F. Hnaien

s1

J[2]

J[1] J[4] J[3] J[5] t1

J[1]

J[2]

J[3] J[4] J[5]

B A

m = 1

m = 2

Figure 3.1 – Illustration de problème d’un atelier ow shop à 2 machines avec une période d’in-disponibilité

Tableau 3.1 – Notations

N nombre total des tâches de productioni, j indice de tâche de production, i, j = 1, . . . , N[i], [j] indice des tâches de production suivant l’ordre de Johnsonm indice de la machine, m = 1, 2sm date de début de la période d’indisponibilité sur la machine Mm

gm durée de la période d’indisponibilité sur la machine Mm

tm date de n de la période d’indisponibilité, tm = sm + gmM nombre très grandB set des tâches de production exécutées avant la période d’indisponibilitéA set des tâches de production exécutées après la période d’indisponibilitéC2(B) date de n d’exécution des tâches de set BCJ2 (B) date de n d’exécution des tâches de set B séquencées suivant l’ordre de JohnsonC2(A) date de n d’exécution des tâches de set ACJ2 (A) date de n d’exécution des tâches de set A séquencées suivant l’ordre de JohnsonC∗max makespan optimal dans le cas où il n’y a pas une période d’indisponibilitéIi−1,i idle time entre la tâche d’indice i et la tâche d’indice i− 1nA nombre de tâche de production dans le set Axi,j variable binaire égale à 1 si la tâche i précède la tâche j dans la séquence, 0 sinonyi variable binaire égale à 1 si tâche i est avant la période d’indisponibilité, 0 sinony[i] variable binaire égale à 1 si la tâche à la position i est avant la période

d’indisponibilité, 0 sinonδ[i],[j] variable binaire égale à 1 si la tâche à la position i et la tâche

à la position j sont dans la même set, 0 sinonci,m date de n d’exécution de la tâche i sur la machine mCmax date de n d’exécution de dernière tâche sur la deuxième machine (makespan)

Modèle de programmation en nombres entiers mixtes 1 (MIP1)

La première solution proposée pour résoudre le problème est un modèle de programmation ennombres entiers mixtes (MIP1). La formulation est la suivante :

min Z = Cmax

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Optimisation de la production avec indisponibilités dues à la maintenance

ci,1 − (1− yi) · t1 ≥ pi,1 ,∀i = 1, ..., N (1)

ci,2 − ci,1 ≥ pi,2 , ∀i = 1, ..., N (2)

ci,1 −M · (1− yi) ≤ s1 , ∀i = 1, ..., N (3)

Cmax − ci,2 ≥ 0 ,∀i = 1, ..., N (4)

cj,m − ci,m +M · (1− xi,j) ≥ pj,m ∀i = 1, ..., N ; j 6= i;∀m = 1, 2 (5)

ci,m − cj,m +M · xi,j ≥ pi,m; ∀i = 1, ..., N ; j 6= i;∀m = 1, 2 (6)

Cmax and Ci,m integer, ∀i = 1, ..., N, ∀m = 1, 2 (7)

xi,j ∈ 0, 1, ∀i = 1, ..., N, ∀j = 1, ..., N (8)

yi ∈ 0, 1, ∀i = 1, ..., N (9)

Les contraintes (1) précisent que la date de n d’exécution de chaque tâche i est supérieure ouégale à sa durée d’exécution pi,1 et si elle est exécutée après la maintenance elle est supérieureou égale à pi,1 + t1. Les contraintes (2) expriment que la date de n de chaque tâche i sur unemachinem est après celle sur la machinem−1. Les contraintes (3) assurent que la n de chacunedes tâches qui sont exécutées avant la période d’indisponibilité n’excède pas s1. Les contraintes(4) garantissent que le makespan Cmax est supérieur ou égal à la date de n de la dernière tâcheexécutée sur la machine 2. Les contraintes (5) et (6) assurent qu’une seule tâche est exécutée à lafois sur chaque machine. Les contraintes (7) dénissentCmax etCi,m en tant que variable entière.Les contraintes (8) et (9) mettent en place une restriction binaire sur les variables xi,j et yi.

Modèle de programmation en nombres entiers mixtes 2 (MIP2)

Le problème peut être résolu en se basant sur le lemme proposé par (Lee, 1997, Lemma 2, p. 132) :"Il existe une solution optimale où le set des tâches avant la période d’indisponibilité et le set aprèscette période sont séquencés suivant l’ordre de Johnson."

L’approche proposée se compose de deux phases :

p La première phase est utilisée pour réorganiser les tâches dans l’ordre de Johnson, ainsi lenuméro d’une tâche correspond à sa position dans la séquence de Johnson ;

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F. Hnaien

p La deuxième phase consiste à appliquer un modèle de programmation en nombres entiersmixtes pour trouver les deux ensembles de tâches placés avant et après la période d’indis-ponibilité qui constituent la solution optimale. Les tâches dans ces deux ensembles suiventl’ordre de Johnson.

La formulation du modèle de programmation en nombres entiers mixtes utilisée dans la deuxièmephase est la suivante :

min Cmax (10)s.t. c[i],1 − (1− y[i]) · t1 ≥ p[i],1 ∀i = 1, ..., N (11)

c[i],m − c[i],m−1 ≥ p[i],m ∀i = 1, ..., N ; m = 2 (12)

c[i],1 −M · (1− y[i]) ≤ s1 ∀i = 1, ..., N (13)

Cmax − c[i],2 ≥ 0 ∀i = 1, ..., N (14)

c[j],m − c[i],m +M · (1− δ[i],[j]) ≥ p[j],m ∀i = 1, ..., N, j > i;∀m = 1, 2 (15)

c[i],2 − c[j],2 +M · (1 + y[i] − y[j]) ≥ p[i],2 ∀i = 1, ..., N, j > i (16)

1− y[i] + y[j] ≥ δ[i],[j] ∀i = 1, ..., N, j > i (17)

1− y[j] + y[i] ≥ δ[i],[j] ∀i = 1, ..., N, j > i (18)

δ[i],[j] ≥ 1− (y[i] + y[j]) ∀i = 1, ..., N, j > i (19)

δ[i],[j] ≥ y[i] + y[j] − 1 ∀i = 1, ..., N, j > i (20)

Cmax and C[i],m entier, ∀i = 1, ..., N, ∀m = 1, 2 (21)

y[i] ∈ 0, 1, ∀i = 1, ..., N (22)

δ[i],[j] ∈ 0, 1, ∀i = 1, ..., N, ∀j = 1, ..., N (23)

La description des contraintes (11) à (14) est la même que celle des contraintes (1) à (4). Lescontraintes (15) assurent qu’une seule tâche peut être exécutée à la fois dans chaque set. Lescontraintes (16) traitent un cas spécial de la supposition traitée par les contraintes (15) qui se pro-duit quandC2(B) > t1+p[k],1 où Jk est la première tâche à exécuter dans le setA. Les contraintes(17) à (20) garantissent que les contraintes (15) fonctionnent seulement dans le cas où les tâchessont du même set et ainsi on peut éviter l’écriture quadratique du problème pour exprimer l’éga-lité y[i] = y[j]. Les contraintes (21) dénissent Cmax et C[i],m en tant que variable entière. Lescontraintes (22) à (23) mettent en place une restriction binaire sur les variables y[i] et δ[i],[j].

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Optimisation de la production avec indisponibilités dues à la maintenance

Procédure par Séparation et Évaluation (PSE)

La troisième méthode de résolution proposée est la procédure par Séparation et Évaluation (PSE)qui se base sur des bornes supérieures et des bornes inférieures pour réduire l’espace de re-cherche.

Les bornes supérieures

Borne supérieure 1 : JO On utilise la règle de Johnson (JR) comme étant une première bornesupérieure. JR est décrite comme suit :

Partitionner l’ensemble de n tâches en deux ensembles, Set1 et Set2, où Set1 =

Ji : pi,1 ≤ pi,2 et Set2 = Ji : pi,1 > pi,2. Trier les tâches de Set1 dans l’ordre nondécroissant de pi,1 et ceux de Set2 dans l’ordre non croissant de pi,2. Placer Set1 au débutde la séquence nale, puis ajouter Set2.

Borne supérieure 2 : MJO On utilise une version modiée le la règle de Johnson en tant quedeuxième borne supérieure. La version modiée de la règle de Johnson est décrite dans (Allaouiet al., 2006) comme suit :

Partitionner l’ensemble de n tâches en deux ensembles, Set1 et Set2, où Set1 =

Ji : pi,1 ≤ pi,2 et Set2 = Ji : pi,1 > pi,2. Trier les tâches de Set1 dans l’ordre nondécroissant de p1,i et dans le cas d’égalité, trier les tâches ayant la durée d’exécutionsur la première machine égale dans l’ordre non croissant de p2,i. Trier les tâches de Set2dans l’ordre non croissant de p2,i et dans le cas d’égalité, trier les tâches ayant la duréed’exécution sur la deuxième machine égale dans l’ordre non décroissant de p1,i. PlacerSet1 au début de la séquence nale, puis ajouter Set2.

Il est à noter que la version modiée de la règle de Johnson peut produire une solution ayant unmakespan supérieure à celui donné par la règle de Johnson.

Borne supérieure 3 : HYM On utilise une heuristique comme une troisième borne supérieure.Soit Set1 = Ji : pi,1 ≤ pi,2 et Set2 = Ji : pi,1 > pi,2, les tâches dans la séquence produitesont divisées en 2 ensembles B et A. Chaque set est divisé en deux sous-set : Set1B , Set2B pourB et Set1A, Set2A pour A, où Set1B, Set1A ∈ Set1 et Set2B, Set2A ∈ Set2. Les étapes de l’heuristiquesont :

p Étape 1 Diviser l’ensemble des tâches de production en deux ensembles Set1 et Set2.p Étape 2 Trier les tâches de Set1 dans l’ordre non décroissant de pi,1.p Étape 3 Trier les tâches de Set2 dans l’ordre non croissant de pi,2.p Étape 4 Soit Jk la première tâche non assignée dans Set1. si

∑i∈B∪Jk

pi,1 ≤ s1, attribuer Jk

à Set1B et Jk+1 (si existe) à Set1A ; sinon, attribuer J1 à Set1A.

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F. Hnaien

p Etape 5 Soit Jk la première tâche non assignée dans Set2. si∑

i∈B∪Jk

pi,1 ≤ s1, attribuer Jk

à Set2B et Jk+1 (si existe) à Set2A ; sinon, attribuer J1 à Set2A.p Etape 6Répéter les étapes 4 à 5 jusqu’à tous les tâches restantes dans Set1 et Set2 ne peuvent

pas être assignées à Set1B et Set2B respectivement.p Etape 7 concaténer les tâches restantes dans Set1 à Set1A.p Etape 8 concaténer les tâches restantes dans Set2 à Set2A.

La complexité de cette heuristique est égale à O(n logn).

Pareil JO et MJO peuvent donner dans certains cas des résultats meilleurs que HYM. Ainsi, laborne supérieure de PSE proposée est dénie comme suit :

BS = min(JO,MJO,HYM) (24)

Bornes inférieures :

Les bornes inférieures que nous avons utilisés dans la PSE sont les suivantes :

LB1 = t1 + CJ2 (A) (25)

LB2 = CJ2 (B) +

∑i∈A

pi,2 (26)

LB3 =∑i∈N

(pi,1) + (t1 − s1) + minj∈A

pj,2 (27)

LB4 =∑i∈N

(pi,2) + minj∈B

pj,1 (28)

La borne inférieure proposée dans la PSE est dénie comme suit :

LB = max(LB1, LB2, LB3, LB4) (29)

Les démonstrations de ces bornes sont présentés dans notre article Hnaien et al. (2015c).

Les bornes inférieures générales

On utilise deux bornes inférieures générales pour arrêter l’exécution de PSE dans le cas où lasolution a la valeur Cmax égale à l’une des valeurs des deux bornes. Les deux bornes inférieures

76

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Optimisation de la production avec indisponibilités dues à la maintenance

générales sont dénies comme suit :

LBG1 =∑i∈N

(pi,1) + (t1 − s1) + minj∈N

pj,2 (30)

LBG2 =∑i∈N

(pi,2) + minj∈N

pj,1 (31)

Procédure principale de PSE

Les tâches sont réorganisées suivant l’ordre de Johnson puisque le set des tâches ordonnancésavant s1 et celui après t1 sont triés suivant l’ordre de Johnson. Chaque noeud de PSE est carac-térisé par les éléments suivants :

p un niveau k qui représente le nombre de tâche ordonnancéep un ordonnancement partiel des tâches avant s1 et après t1 suivant l’ordre de Johnsonp une borne inférieure (BI)

Les étapes de base de PSE sont :p Initialisation La borne supérieure initiale BS est calculée.p Séparation La stratégie d’exploration utilisée par PSE est l’exploration en profondeur. Au

niveau k, on a deux possibilités : ordonnancer la tâche (k+1) avant s1, c’est à dire Jk+1 ∈ B,ou après t1, c’est à dire Jk+1 ∈ A.

p Élimination Préliminaire Séquence partielle où∑i∈B

pi,1 > s1 est une solution infaisable.

p Élimination Le noeud est supprimé de l’arbre de recherche à l’aide des propriétés.p Évaluation par borne inférieure Les 4 bornes inférieures sont calculées pour la séquence

partielle. Puis, la borne ayant une valeur maximale est choisie. Si la borne inférieure estsupérieure à la borne supérieure, le noeud sera éliminé.

p Évaluation par borne supérieure Si le makespan d’une séquence complète est inférieureà celle de la borne supérieur, cette borne sera mise à jours. Sinon, le noeud sera éliminé.

p Règle d’arrêt La séparation s’arrête quand tous les noeuds sont visités ou la valeur de laborne supérieure (Cmax) est égale à l’une des bornes inférieures globales.

Résultats et discussions

Les deux formulations MIP ont été résolues à l’aide du Cplex 12.6 solver (Cplex) avec unTimeout = 1heure et l’algorithme PSE proposé a été codé en langage C++. Nous avons gé-nérés des indisponibilités au début, au milieu et à la n de de l’horizon de planication.

77

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F. Hnaien

Les résultats montrent que le MIP1 permet de résoudre à l’optimal uniquement les problèmeavec 10 tâches. Le MIP2 permet de résoudre à l’optimal les problème jusqu’à 20 tâches pour tousles groupes quand le temps limite de résolution est xé à 1 heure. En plus, le MIP2 permet derésoudre à l’optimal des problèmes jusqu’au taille 40 pour les instances où l’indisponibilité estau début de l’horizon. Les résultats indiquent clairement que la PSE est plus performante queles deux MIPs. Elle peut résoudre à l’optimal des problèmes tous les instances générées jusqu’à100 tâches excepté quelques instances diciles où l’indisponibilité est au milieu de l’horizon deplanication.

Malgré le Gap fourni par Cplex (Gap_Cplex) important, les résultats de MIP2 sont très prochesdes résultats optimaux spécialement pour les instances de petites et moyennes tailles. Ce résultatest conrmé grâce aux solutions optimales fournies par la PSE. Il est à noter par contre quepour les solutions fournies par le MIP1 sont optimales pour les petites instances par contre legap augmente quand la taille de l’instance augment et atteint un gap de 20% par rapport à lasolution optimale. Cependant, pour le MIP2 le gap reste faible pour la plupart des instances. Ilest à noter que ces résultats très intéressants de MIP2 ne peuvent pas être conrmés sans lessolutions optimales fournies par la PSE.

Ordonnancement d’un atelier ow-shop avec indisponibilité

sur la deuxième machine

En utilisant les mêmes techniques de modélisation, nous avons résolu le problème avec indispo-nibilité sur la deuxième machine F2/nr − a(M2)/Cmax. Lee (1997). Nous avons proposé deuxMIPs semblables aux deux premières MIPs présentés précédemment et la seule diérence ici estque la PSE a été remplacée par un troisième MIP (MIP3). L’idée était de fournir au modèle lesbornes inférieurs en tant que coupes valides en plus des coupes fournies par les solveurs com-merciales. Les bornes inférieures que nous avons proposées Hnaien and Yalaoui (2015a) sont lessuivantes :

Les bornes inférieures

Theorem 3.1. Soient :

LB1 = t2 +∑i∈A

pi,2 (32)

LB2 =∑i∈N

pi,2 + (t2 − s2) + minj∈B

pj,1 (33)

78

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Optimisation de la production avec indisponibilités dues à la maintenance

LB3 =∑i∈N

pi,1 + minj∈A

pj,2 (34)

Nous avons introduits ces bornes dans le MIP3 comme suit :

Cmax − t2 +∑i∈N

pi,2(1− y[i]) ≥ 0 (35)

Cmax −∑i∈N

pi,2 − (t2 − s2)− lb2 ≥ 0 (36)

Cmax −∑i∈N

pi,1 − lb3 ≥ 0 (37)

Où :

lb2 +M(y[i] − 1) ≤ p[i],1∀[i] = 1, ..., N (38)

lb3 −My[i] ≤ p[i],2∀[i] = 1, ..., N (39)

Les bornes inférieurs générales

En plus des bornes inférieures LB1, LB2 et LB3, nous avons utilisé les deux bornes inférieuresgénérales suivantes pour arrêter l’exécution de B&B si une solution avec un Cmax est égale àune de ces bornes :Théorème 3.2. Soient :

LBG1 = CJmax (40)

LBG2 =∑i∈N

pi,2 + (t2 − s2) + minj∈N

pj,1 (41)

L’approche proposée se compose de deux phases :

p La première phase est utilisée pour réorganiser les tâches dans l’ordre de Johnson, ainsi lenuméro d’une tâche correspond à sa position dans la séquence de Johnson ;

p La deuxième phase consiste à appliquer un modèle de programmation en nombres entiersmixtes pour trouver les deux ensembles de tâches placés avant et après la période d’indis-ponibilité qui constituent la solution optimale. Les tâches dans ces deux ensembles suiventl’ordre de Johnson.

79

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F. Hnaien

La formulation du modèle de programmation en nombres entiers mixtes utilisée dans la deuxièmephase est la suivante :

min Z = Cmax

Sous les contraintes :

c[i],1 ≥ p[i],1 ∀[i] = 1, ..., N (42)

c[i],2 − c[i],1 ≥ p[i],2 ∀[i] = 1, ..., N ; (43)

c[i],2 −M · (1− y[i]) ≤ s2 ∀[i] = 1, ..., N (44)

c[i],2 − (1− y[i]) · t2 ≥ p[i],2 ∀[i] = 1, ..., N (45)

Cmax − c[i],2 ≥ 0 ∀[i] = 1, ..., N (46)

c[j],m − c[i],m +M · (1− δ[i],[j]) ≥ p[j],m ∀[i] = 1, ..., N ; [j] > [i];∀m = 1, 2 (47)

c[i],1 − c[j],1 +M · (1 + y[i] − y[j]) ≥ p[i],1 ∀[i] = 1, ..., N ; ∀[j] = 1, ..., N ; (48)

1− y[i] + y[j] ≥ δ[i],[j] ∀[i] = 1, ..., N ; [j] > [i] (49)

1− y[j] + y[i] ≥ δ[i],[j] ∀[i] = 1, ..., N ; [j] > [i] (50)

δ[i],[j] ≥ 1− (y[i] + y[j]) ∀[i] = 1, ..., N ; [j] > [i] (51)

δ[i],[j] ≥ y[i] + y[j] − 1 ∀[i] = 1, ..., N ; [j] > [i] (52)

Cmax − t2 +∑i∈N

pi,2(1− y[i]) ≥ 0 (35)

Cmax −∑i∈N

pi,2 − (t2 − s2)− lb2 ≥ 0 (36)

80

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Optimisation de la production avec indisponibilités dues à la maintenance

Cmax −∑i∈N

pi,1 − lb3 ≥ 0 (37)

lb2 +M(y[i] − 1) ≤ p[i],1 ∀[i] = 1, ..., N (38)

lb3 −My[i] ≤ p[i],2 ∀[i] = 1, ..., N (39)

Cmax − CJmax ≥ 0 (40)

Cmax −∑i∈N

(pi,2) + g2 + minj∈N

pj,1 ≥ 0 (41)

Cmax , c[i],m , lb2et lb3 entiers, ∀[i] = 1, ..., N, ∀m = 1, 2 (53)

y[i] ∈ 0, 1, ∀[i] = 1, ..., N (54)

δ[i],[j] ∈ 0, 1, ∀[i] = 1, ..., N, ∀[j] = 1, ..., N (55)

Résultats et discussions

Les résultats sont similaires à celles de premier cas avec indisponibilité sur la première machine.Le MIP3 permet de résoudre 390 instances sur les 400 instances générés de la même façon quele premier cas. Les dix instances non résolu présentent un (Gap_Cplex) assez faible et ces sontles instances où l’indisponibilité est au milieu de l’horizon de planication. Il est à noter quenous avons aussi codé une PSE semblable à celle de l’indisponibilité sur la première machine,les résultats obtenues sont très intéressantes et pratiquement les mêmes que MIP3 exceptées dequelques dizaines des instances qui n’ont pas été résolues à l’optimum. Dans les gures suivantesnous proposons le gap entre les solutions fournies par le MIP1 et MIP2 par rapport aux solutionsfournis par MIP3. Il est à noter que pour les dix instances non résolues par Cplex le (Gap_Cplex)ne dépasse pas le 0.01%. En conclusion, ces résultats nous permettent d’étendre cette étude pourle cas de plusieurs indisponibilités sur les deux machines.

81

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F. Hnaien

20 40 60 80 100

0

10

20

30

Number of jobs

Gap(

%)

Gap(MIP1,MIP3)

Figure 3.2 – Le Gap(MIP1,MIP3) en fonction de N

20 40 60 80 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

·10−2

Number of jobs

Gap(

%)

Gap(MIP2,MIP3)

Figure 3.3 – Le Gap(MIP2,MIP3) en fonction de N

Figure 3.4 – Le Gap(−,MIP3) en fonction de nombre de jobs N

Planication intégrée de la production et de la mainte-

nance

Nous nous sommes intéressés au problème de planication intégrée de la production et de lamaintenance. Nous fournirons un modèle de programmation en nombres entiers mixtes. Le but decette étude est d’améliorer la méthode d’optimisation proposée dans la littérature pour résoudrece problème.

Aghezzaf et al. (2007) ont présenté un modèle pour déterminer une planication intégrée de laproduction et de la maintenance dans le cas où le système peut subir des défaillances aléatoires.Le système peut être indisponible pour réaliser une maintenance ce qui diminue la capacité deproduction du système. L’objectif est de trouver la meilleure taille de lot et la période de la main-tenance préventive qui satisfait la demande de tous les produits sur tout l’horizon de productionsans considérer le cas de pénurie, tout en minimisant la somme des coûts de production et demaintenance. Un exemple numérique a été utilisé pour illustrer la supériorité de la prise de déci-sion conjointe de la production et la maintenance. Aghezzaf and Najid (2008) ont étendu ce mo-dèle pour un ensemble de ligne de production en parallèle avec des politiques à la fois cycliqueset non-cycliques de la maintenance préventive. Ils ont proposé un algorithme d’approximationbasé sur la décomposition lagrangienne pour résoudre le problème. Najid et al. (2011) ont étendule modèle proposé par Aghezzaf et al. (2007) à un modèle intégré pour un système composéd’une seule machine avec des actions de maintenance préventive menées dans des fenêtres detemps. Récemment, Wang (2013) a étendu le modèle étudié par Aghezzaf et al. (2007) avec unepolitique de maintenance préventive cyclique et une réparation minimale au moment de pannes.Un modèle de programmation en nombres entiers mixtes intégrant une heuristique basée sur larelaxation lagrangienne pour le problème de planication conjointe de la production et la main-tenance a été proposé par (Alaoui-Selsouli et al., 2012) dans le cas où la date de maintenance estconsidérée exible.

82

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Optimisation de la production avec indisponibilités dues à la maintenance

Nourelfath et al. (2010) ont développé un modèle de programmation en nombres entiers mixtesnon linéaire pour la planication intégrée de la production et la maintenance préventive pour unsystème multi-états, et s composants indépendants. Un algorithme génétique a été proposé pourrésoudre les problèmes à grandes tailles. Nourelfath and Châtelet (2012) ont étendu ce modèle entenant compte de la présence de dépendance et de cause commune de pannes pour un systèmeà composants parallèles. Le modèle β-factor a été utilisé pour représenter les causes communesde pannes. La politique de maintenance basée sur l’âge a été adopté pour ce système. Fitouhi andNourelfath (2012) ont traité le problème de planication intégrée de la production et de la main-tenance préventive non-cyclique pour un CLSP composé d’une seule machine. Ils ont constatéque la suppression de la contrainte de périodicité peut réduire les coûts totaux de productionet de maintenance et une meilleur solution peut être obtenue en adoptant la politique de main-tenance non-cyclique. Récemment, Lu et al. (2013) ont proposé une heuristique à trois étapespour résoudre le problème de planication intégrée de lot-sizing avec maintenance préventivenon-cyclique.

Budai et al. (2008) ont fait une étude complète (survey) sur la majorité des modèles de planicationintégrée de la production et de la maintenance.

Nouvelle méthode de résolution proposée

On utilise les notations suivantes pour dénir le problème (voir tableau 3.2). On considère unsystème composé d’une seule machine qui fabrique un ensemble de produits P (p ∈ P ) pendantun horizon de planication ni de T périodes (t ∈ T ). Chaque produit a une demande à satisfairedpt à la n d’une période t. La machine a une capacité de production maximale qui dépend del’âge de la machine. Des actions de maintenance préventive (PM) planiées et de maintenancecorrective (PR) peuvent être eectuées sur la machine. On suppose qu’une action PM est eectuéeau début de la première période (t = 1). L’objectif est de déterminer le plan de production et demaintenance optimale qui donne un coût total minimal.

An de montrer la performance de notre méthode, nous décrivons d’abord le modèle non-linéairede programmation en nombres entiers mixtes décrit dans (Fitouhi and Nourelfath, 2012). Ensuitenous présentons une nouvelle façon pour intégrer la loi de durée de vie, distribution de Weibull,dans un modèle linéaire de programmation en nombres entiers mixtes. Notre contribution ré-side dans la linéarisation du modèle qui nous permet de résoudre un seul modèle de lot sizingcapacitaire CLSP au lieu de résoudre 2(T−1) modèles CLSP .

83

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F. Hnaien

Tableau 3.2 – Notations

Notation Dénition

Indices

p indice du produitt indice de la période de planicationParamètres

P nombre de produitsH horizon de planicationT nombre de périodes dans l’horizon de planicationτ durée de la période de planication thpt coût de stockage de produit p pendant la période tbpt coût de pénalité associé à la pénurie du produit p en demande

à la n d’une période tπpt coût de production du produit p pendant la période tspt coût xe de réglage pour la production du produit p pendant une période tdpt demande du produit p à la n de la période tg taux de production de la machineat âge de la machine au début de la période tZ politique de maintenance préventive mise en place pour la machineGt(Z) capacité de production pour chaque période t

en fonction de la politique de maintenance Z mise en placeCM(Z) somme des coûts de maintenance corrective et préventive

en fonction de la politique de maintenance ZM [0, x[ nombre prévu des défaillances dans l’intervalle [0, x[CMR coût de réparation minimale de la machineCPM coût de remplacement préventif de la machineTMR temps de réparation minimale de la machineTPM temps de remplacement préventif de la machineVariables de décisions

Ipt quantité en stock du produit p à la n de la période tBpt quantité du produit p demandé en pénurie à la n de la période txpt quantité à produire du produit p à la période typt variable binaire égale à 1 s’il y a un réglage pour la production

du produit p pendant la période t, et égale à 0 sinonzt variable binaire égale à 1 si une tâche de maintenance préventive est appliquée

sur la machine au début de la période t, et égale à 0 sinon

Étant donné que les réparations sont minimes, nous pouvons modéliser le nombre de pannesprévus durant la période [0, x[ en utilisant la loi de poisson. Donc, le nombre de pannes durantla période [0, x[ peut être modélisé comme suit :

M [0, x[=

∫ x

0

r(y)dy (56)

84

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Optimisation de la production avec indisponibilités dues à la maintenance

où r(y) est le taux de pannes de la machine obtenu comme-suit :

r(y) =f(y)

1− F (y)(57)

où f(y) est la loi de distribution de panne et F(y) sa fonction de répartition.

La politique de maintenance préventive est basée sur l’âge, donc l’âge eectif de la machine estdonné par :

at = (1− zt) · (at−1 + τ) ∀t = 1, · · · , T (58)

Le coût de maintenance prévu durant l’horizon de planication est déterminé par le nombre depannes durant chaque période :

CM(Z) =T∑t=1

(CPM · zt + CMR ·

∫ at+τ

at

r(y) dy

)(59)

(Fitouhi and Nourelfath, 2012) ont déni la capacité de production de la machine durant la périodet par l’équation suivante :

Gt(Z) = g · (1− α) (60)

où α = TPM · zt + TMR · M [at, at + τ [

τest le facteur de réduction de la capacité de produc-

tion.

Le modèle intégré non linéaire présenté par (Fitouhi and Nourelfath, 2012) est décrit comme

85

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F. Hnaien

suit :

min∑p∈P

T∑t=1

(hptIpt + bptBpt + πptxpt + sptypt) + CM(Z) (61)

s.t. Ipt−1 −Bpt−1 − Ipt +Bpt + xpt = dpt ∀p ∈ P, t = 1, . . . , T (62)

xpt ≤

(T∑q≥t

dpq

)· ypt ∀p ∈ P, t = 1, . . . , T (63)

∑p∈P

xpt ≤ τ ·Gt(Z) ∀t = 1, . . . , T (64)

xpt, Ipt and Bpt integer, ∀p ∈ P, t = 1, . . . , T (65)

ypt ∈ 0, 1, ∀p ∈ P, t = 1, . . . , T (66)

Zt ∈ 0, 1, ∀t = 1, . . . , T (67)

La fonction objectif (61) est la somme de coût de stockage, coût de pénalité associé à la pénurie,coût de production, coût de réglage et le coût total de maintenance. Les contraintes (62) assurentl’équilibre des ux à chaque période t. Dans les contraintes (63), (

∑q≥t

dpq) est la borne supérieure

pour xpt. Les contraintes (64) assurent que la somme de production à la n de la période t nedépasse pas la capacité de production disponible du système. Les contraintes (65) dénissentxpt, Ipt and Bpt en tant que variable entière. Les contraintes (66) et (67) mettent en place unerestriction binaire sur les variables ypt et Zt.

La méthode de résolution proposée par (Fitouhi and Nourelfath, 2012) consiste à énumérer toutesles politiques de maintenance possibles. Pour chaque politique, on résout le modèle mathéma-tique de base (62)-(67) à l’aide d’un solveur linéaire. Par la suite, on évalue le coût total engendrépar la solution trouvée. A la n, la solution ayant un coût total minimal est la solution opti-male.

On suppose que la loi de durée de vie de la machine est une distribution de Weibull pareil à(Fitouhi and Nourelfath, 2012). Comme présenté précédemment, le but de cette étude est d’amé-liorer la méthode d’optimisation proposée pour résoudre le problème. Ainsi, au lieu de résoudre2T−1 modèles linéaires pour trouver la solution optimale, on va résoudre un seul modèle linéairede programmation en nombres entiers mixtes.

Dans la suite, nous détaillons comment linéariser le modèle (62)-(67) .

86

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Optimisation de la production avec indisponibilités dues à la maintenance

La fonction de densité de la distribution de Weibull est dénie par :

f(x, λ, k) =k

λ

(xλ

)k−1

e−( xλ

)k

L’équation (59) peut être réécrite comme suit :

CM(Z) =T∑t=1

(CPM · zt + CMR ·

∫ at+τ

at

kλ( yλ)k−1e−( y

λ)k

e−( yλ

)kdy

)

=T∑t=1

(CPM · zt + CMR · k

λ

∫ at+τ

at

(yλ

)k−1

dy

)

=T∑t=1

(CPM · zt +

CMR

λk·(

(at + τ)k − akt))

(68)

On introduit une variable binaire articielle rst pour linéariser les contraintes, tel que :

T−1∑s=0

rst = 1 ∀t = 1, ..., T

Ainsi, nous pouvons écrire at comme suit :

at =T−1∑s=0

rst · s ∀t = 1, ..., T (69)

et,

akt =T−1∑s=0

rst · sk ∀t = 1, ..., T

Enn, l’équation (68) peut être linéarisée comme suit :

CM(Z) = CPM · zt +CMR

λk·T−1∑s=0

rst

((s+ τ)k − sk

)(70)

On a besoin aussi de linéariser l’équation (58) comme suit :at ≥ at−1 + τ −M · zt ∀t = 1, ..., T

at ≤M · (1− zt) ∀t = 1, ..., T

87

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F. Hnaien

où M est un nombre très grand.

En remplaçant at avec son expression dénie dans (69), on obtient :

T−1∑s=0

rst · s ≥T−1∑s=0

rst−1 · s+ τ −M · zt ∀t = 1, ..., T (71)

T−1∑s=0

rst · s ≤M · (1− zt) ∀t = 1, ..., T (72)

88

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Optimisation de la production avec indisponibilités dues à la maintenance

Enn, le modèle de programmation en nombres entiers mixtes est déni comme suit :

min∑p∈P

T∑t=1

(hptIpt + bptBpt + πptxpt + sptypt) +

T∑t=1

(CPM · zt +

CMR

λk·T−1∑s=0

rst

((s+ τ)k − sk

))(73)

s.t. Ipt−1 −Bpt−1 − Ipt +Bpt + xpt = dpt ∀p ∈ P, t = 1, . . . , T (74)

xpt ≤

(T∑q≥t

dpq

)· ypt ∀p ∈ P, t = 1, . . . , T (75)

∑p∈P

xpt ≤ τ · g ·

(1−

(TPM · zt +

TMR

λkτ·T−1∑s=0

rst((s+ τ)k − sk

))))∀t = 1, . . . , T (76)

T−1∑s=0

rst = 1 ∀t = 1, . . . , T (77)

T−1∑s=0

rst · s ≥T−1∑s=0

rst−1 · s+ τ −M · zt ∀t = 1, . . . , T (78)

T−1∑s=0

rst · s ≤M · (1− zt) ∀t = 1, . . . , T (79)

xpt, Ipt and Bpt integer, ∀p ∈ P, t = 1, . . . , T (80)

ypt ∈ 0, 1, ∀p ∈ P, t = 1, . . . , T (81)

Zt ∈ 0, 1, ∀t = 1, . . . , T (82)

rst ∈ 0, 1, ∀s = 0, . . . , T − 1, t = 1, . . . , T (83)

Une étude expérimentale a été menée sur des instances générées selon un schéma proposé. Lesrésultats obtenus ont révélé que la plupart des instances de taille jusqu’à 56 périodes sont par-faitement résolues à l’aide du modèle linéaire. Le modèle non linéaire proposé dans (Fitouhi andNourelfath, 2012) ne permet de résoudre que les petites instances avec deux produits et 16 pé-riodes.

89

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F. Hnaien

Conclusions et perspectives

Dans ce chapitre nous nous sommes intéressés au problème opérationnel d’ordonnancementd’un atelier owshop avec une indisponibilité due à la maintenance préventive et au problèmetactique de planication intégrée de la production et de la maintenance. Pour résoudre ces pro-blèmes, nous avons proposé plusieurs modèles linéaires en nombres entiers mixtes et une procé-dure par séparation et évaluation PSE. Les études expérimentales ont montré l’ecacité de cesméthodes.

Comme perspective directe, suite à cette étude, nous pensons à traiter le cas de plusieurs indis-ponibilités sur les deux machines en se basant sur les résultats de la résolution de cas particuliersà une seule indisponibilité et une seule machine. Pour le cas de la planication intégrée de laproduction et de la maintenance, notre contribution majeure a été la linéarisation de ce modèlequi intègre le lot-sizing et la planication de la maintenance. Ce modèle peut être aussi géné-ralisé pour le cas d’autre types d’atelier à machine parallèle ou seri-parallèle. Une autre pisteintéressante consiste à de traiter le cas de maintenance imparfaite.

Les études actuelles de gestion de production face aux aléas de la demande, délai et indisponibili-tés dues à la maintenance se font par des communautés diérentes. Les stocks sont généralementutilisés pour absorber ces aléas. Mais le cumul de ces aléas n’entraîne pas forcement le cumul deces stocks.

La perspective pratique de notre future étude est d’étudier la gestion de stocks en intégranttous ces aléas de délai, demande et d’indisponibilité des machines et ainsi de décider combienstocker ? Combien produire ? Sur quelle machine an d’absorber l’impact de ces aléas. Cetteétude complète notre étude de chapitre 1 qui permet de mieux gérer les stocks en présence desaléas des délais d’approvisionnement et de demande.

90

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Chapitre 4Optimisation dans les réseaux de

capteurs

Sommaire

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3 Déploiement des capteurs et localisation de cibles . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3.1 Couverture et localisation de cibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.2 Localisation par zonage et déploiement de capteurs . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4 Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Introduction

Nous nous intéressons ici à la conception des réseaux des capteurs. Ce projet représente un déimportant dans mon carrière de recherche, j’ai sacrié la poursuite de mes recherche sur la ges-tion des stocks face aux aléas de délais et de la demande pour découvrir un nouveau domaine queje trouve très intéressant mais complètement nouveau pour moi. Ce dé m’a permis d’une partd’appliquer mes compétences en optimisation exacte et approchée dans un nouveau domaine.D’autre part de participer dans des projets multi-disciplinaires.

Il s’agit d’optimiser les performances de traitement des données dans les réseaux de capteur entenant compte de l’instabilité du signal. L’instabilité du signal vient du fait que le signal radio

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F. Hnaien

(WiFi, Zigbee, Bluetooth, ...) est trop instable pour déterminer exactement la distance entre lal’émetteur du signal et le récepteur.

Ces dernières années, les innovations technologiques dans la miniaturisation, la gestion de l’éner-gie et la communication sans l ont permis l’avènement des réseaux de capteurs sans l. Ceux-ciprésentent un intérêt croissant dans un grand nombre d’applications et de domaines (Tseng et al.,2006) (Burrell et al., 2004), comme par exemple la surveillance de zones pour prévenir les intru-sions et les vols, la surveillance de la faune dans un environnement naturel (Tseng et al., 2005),la prévention d’incendies dans les bâtiments, ...

Le principal objectif d’un réseau de capteurs est la conséquence directe de son utilisation, géné-ralement la surveillance d’une zone. La surveillance implique la notion de couverture, qui cor-respond à la quantication de l’ecacité du réseau de capteurs. Dans la plupart des cas, la cou-verture est représentée par la proportion de la zone surveillée, ou couverte, par un ou plusieurscapteurs. Les problématiques liées à la couverture sont nombreuses, on la retrouve notammentdans les problématiques de déploiement mais également dans les problématiques d’ordonnance-ment d’activation. A la couverture vient parfois s’ajouter la contrainte de connectivité. En eet,selon la technologie choisie pour le dispositif de communication, l’envoi des données ne peutêtre garanti si la distance entre l’émetteur et le récepteur est trop grande. Cette contrainte sup-plémentaire sera surtout présente dans les applications de surveillance des zones de grande taille,ainsi que dans les déploiements de très faible densité. Enn, l’énergie est une ressource impor-tante dans les réseaux de capteurs sans l. L’utilisation de batterie est souvent inévitable, lesalternatives telles que les cellules photovoltaïques sont généralement trop coûteuses ou inutilesdans certaines applications. La gestion de l’énergie entre généralement en conit avec la couver-ture, et l’optimisation de ces deux objectifs contradictoires peut être réalisée via des algorithmesmultiobjectif.

Nous avons étudié les problématiques de déploiement et de couverture, notamment pour desapplications de localisation et de suivi de cible. Si la couverture d’une zone est une contrainteprimordiale dans la plupart des applications des réseaux de capteurs, la précision de la localisationest un objectif critique dans un grand nombre de domaines tels que la détection d’événements etd’intrusions. Si l’on prend l’exemple de la détection d’intrusion, une couverture totale de la zonepermet de détecter une présence, mais maximiser la précision permet de minimiser les zones derecherche et ainsi diminuer le temps d’interception de l’intrus. L’objectif de notre étude est deproposer des déploiements prenant en compte les coûts de déploiement ainsi que l’optimisationde la couverture et de la localisation. La localisation de cible fait généralement appel à la tech-nique de triangulation. Étant donnée une zone en deux dimensions, la position d’une cible peutêtre connue en utilisant trois capteurs, en considérant qu’il est possible de dénir la distance enfonction de la puissance du signal. Nous nous positionnons dans les cas où l’usage de signauxstables n’est pas possible, impliquant le fait que l’utilisation de la technique de triangulation n’estpas possible.

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Optimisation dans les réseaux de capteurs

Production scientique :

Plus de détails sur ces travaux de recherche se trouvent dans les publications suivantes : Le Berreet al. (2015b), Rebai et al. (2015b) et Le Berre et al. (2015a).

Projet d’appui et moyens : Cette étude rentre dans le cadre des activités de recherche en amontet thème 1 "Conception des systèmes de production ou logistiques" de l’axe 2 "Systèmes de Pro-duction" de laboratoire LOSI. Les projets en appui à cette étude sont les suivants :

p Projet CPER région SURECAP : Surveillance décentralisée dans les réseaux de capteurssans l, budget : 300 000 euros (2010-2013)

p La thèse de Matthieu Le Berre, 2011-2014p Le Postdoctoral de Maher Rebai, 2011-2014

Valorisation :

Ce projet, nous a permis de faire un consortium regroupant le CHT de Troyes, l’UTT pourtantsur la géolocalisation pour le suivi des ux, Accord de consortium depuis 2014-. Nous avons déve-loppé une solution de localisation de patients et de matériels, qui utilise les diérents travaux surle déploiement et la localisation décrits dans ce chapitre (voir plus des détailles dans la thèse deMatthieu Le Berre). Le prototype actuel se présente comme une suite d’applications pour tabletteAndroid, développée par nos soins ( voir gure 4.1). Le prototype permet alors la visualisationen temps réel, à l’instar d’une application GPS, de l’utilisateur dans les locaux de l’hôpital. Leprincipal intérêt de ce système est l’utilisation de réseau WiFi pré-déployé, renforcé par de nou-velles bornes en vue de sa double utilisation (connexion et localisation). Ce travail s’appuie surun brevet en cours Système d’optimisation du déploiement de capteurs pour la localisation de cibles,utilisation du système et procédé d’optimisation.

Figure 4.1 – Application Inddor de localisation d’une cible

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F. Hnaien

Contributions

Nous avons proposé plusieurs modélisations multiobjectif prenant en compte les besoins de loca-lisation dans les applications de suivi de cibles. Nous avons traité le problème avec une approcheintégrée originale qui consiste à résoudre le problème de déploiement (conception) en prenant encompte les contraintes de localisation (application). Les contributions majeures, sont énoncéesci-dessous :

p " Le déploiement des capteurs et localisation de cibles", nous avons proposé un modèlemathématique multiobjectif prenant en compte la minimisation du coût de déploiementainsi que la minimisation de l’imprécision lors de la localisation de cible. Quatre méthodesmultiobjectif ont été implémentées (NSGA-II, SPEA2, MOEA/D et MOPSO), ainsi qu’unehybridation de ces algorithmes an d’accroître leur compétitivité sur ce problème.

p " La localisation par zonage et déploiement de capteurs", nous avons proposé une modi-cation du modèle précédent an de traiter une problématique de localisation à l’intérieurdes bâtiments. Les méthodes précédentes sont également adaptées à la nouvelle formu-lation du problème, et nous avons également une heuristique se basant sur les méthodesspécialisées du Set Covering Problem.

p "La localisation outdoor et connectivité", nous avons présenté un modèle linéaire pour sa-tisfaire à la fois couverture et connectivité. Nous avons proposé une borne inférieure ennous basant sur les propriétés géométriques du problème. Celle-ci est utilisée dans un al-gorithme par séparation et évaluation (Branch and Bound), qui a été comparé à la program-mation linéaire.

Déploiement des capteurs et localisation de cibles

Nous nous sommes principalement intéressés à des problèmes d’optimisation mono et multiob-jectif dans les réseaux de capteurs, et plus particulièrement sur les problématiques de déploiementet de couverture, notamment pour des applications de localisation et de suivi de cible. La plupartdes problèmes de déploiement peuvent se formaliser de la manière suivante : soit une zone àcouvrir, le but est de minimiser le nombre de capteurs déployés sous la contrainte que chaqueposition soit couverte par un certain nombre de capteurs. Le nombre de capteurs nécessaires àla couverture d’une position dière selon les exigences de l’application. Les positions sont géné-ralement obtenues par discrétisation de la zone, de manière uniforme ou non. Sur ces principes,nous avons proposé des contributions des deux axes : (1) les problématiques de couverture etlocalisation de cibles pour des applications de suivi de cibles à l’intérieur de bâtiment, et (2)l’étude de problèmes de couverture et connectivité dédiés à des déploiements en environnementextérieur.

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Optimisation dans les réseaux de capteurs

Couverture et localisation de cibles

Figure 4.2 – Exemple d’une couverture de zone par trois capteurs

Nous avons tout d’abord proposé un modèle mathématique multiobjectif prenant en comptela minimisation du coût de déploiement ainsi que la minimisation de l’imprécision lors de lalocalisation de cible. Ce dernier objectif est calculé en fonction des conits de localisation entreles diverses positions de la zone, deux positions étant déclarées en conit si et seulement si leréseau n’est pas capable de diérencier l’une de l’autre. La gure 4.2 montre un exemple dedéploiement de trois capteurs dans une zone discrétisée en une grille de 11 colonnes par 6 lignes.Chaque disque représente l’ensemble des positions couvert par un capteur. La gure 4.3 montrel’exemple de l’apparition d’une cible dans la zone, cette cible étant représentée par un carré(position (4,4)). La cible est détectée par les capteurs 1 et 2.

Figure 4.3 – Détection d’une cible

La gure 4.4 présente l’estimation de la position de la cible de la gure précédente par le réseaude capteurs. Dans le cas d’une représentation binaire de la couverture, la seule information per-mettant de localiser la cible est le sous-ensemble de capteurs détectant celle-ci. Dans cet exemple,la position de la cible est en conit avec neuf autres positions.

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F. Hnaien

Figure 4.4 – Estimation de la position de la cible

Modélisation mathématique

Soit P l’ensemble des positions résultant de la discrétisation de la zone à couvrir. A chaque posi-tion i est attribuée une variable de décision binaire Xi, correspondant à la présence d’un capteurdéployé sur la position i. La formulation du premier objectif est la suivante :

min z1 =∑i∈P

Xi (1)

S.c. :∑i∈P

ai,j ·Xi ≥ 1,∀j ∈ P (2)

Xi ∈ 0, 1,∀i ∈ P (3)

Les contraintes (1.2) expriment la nécessité de la couverture de chaque position par au moinsun capteur. Le coecient binaire ai,j exprime la couverture de la position j par un hypothétiquecapteur déployé en i. Ce modèle est fréquemment utilisé dans les problèmes de déploiementutilisant une modélisation binaire de la couverture du capteur. Il s’agit également du Set CoveringProblem.

Nous dénissons ici la précision de localisation des cibles par l’erreur de détection. L’objectifrevient à minimiser la taille de la zone de recherche suite à la détection d’un événement. En par-tant du fait que la zone contient |P | positions, il y a au maximum |P | ensembles de détection,l’ensemble de détection Sj attribué à une position j correspondant à l’ensemble des positionsen conit avec j. Tout d’abord, nous dénissons Yj,k une variable binaire représentant l’appar-tenance de j et k au même ensemble de détection.

Yj,k =

1 si ∀i ∈ P tel que |ai,j − ai,k|Xi = 0

0 sinon

La variable Yj,k est égale à 1 si et seulement s’il n’existe pas de capteur déployé permettant dedistinguer j de k. Autrement dit, Yj,k est égale à 1 si tout capteur activé voyant j voit également

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Optimisation dans les réseaux de capteurs

k. La contrainte liée à Yj,k est la suivante :∑i∈P

(|ai,j − ai,k| ·Xi) + Yj,k ≥ 1, ∀(j, k) ∈ P 2, j 6= k (4)

En se basant sur le calcul des variables binaires Yj,k, la taille de l’ensemble de détection Sj peutêtre calculée de la manière suivante :

|Sj| =∑

k∈P,k 6=j

Yj,k, ∀j ∈ P (5)

où la valeur de |Sj| est comprise dans l’ensemble 0, .., Nmax. Dans le cas idéal, l’ensemble Sjne contiendra aucune position, permettant une localisation idéale d’une cible apparaissant surcette position. Le pire cas est calculé en fonction du rayon de couverture, c’est-à-dire que Nmax

est le nombre maximum de positions couvertes par un seul capteur. Cela permet de dénir ledeuxième objectif de minimisation de l’erreur de détection comme suit :

Minimiser z2 =1

|P |∑j∈P

[1

Nmax

∑k∈P,k 6=j

Yj,k] (6)

Le modèle complet est le suivant :

Minimiser z1 =1

|P |∑i∈P

Xi (7)

Minimiser z2 =1

|P |∑j∈P

[1

Nmax

∑k∈P,k 6=j

Yj,k] (8)

S.c. :∑i∈P

ai,j ·Xi ≥ 1,∀j ∈ P (9)∑i∈P

(|ai,j − ai,k| ·Xi) + Yj,k ≥ 1,∀(j, k) ∈ P 2, j 6= k (10)

Xi ∈ 0, 1,∀i ∈ P (11)Yj,k ∈ 0, 1,∀(j, k) ∈ P 2, j 6= k (12)

Il est à noter que le premier objectif (1.7) a été légèrement modié an d’avoir deux objectifshomogénéisés entre 0 et 1. On obtient donc un modèle linéaire, dont le nombre de variables etde contraintes dépend de la taille de la grille et de sa discrétisation.

En plus d’un modèle linéaire et d’une procédure de construction du front de Pareto optimalpour les instances de taille réduite, quatre méthodes multiobjectif ont été implémentées pourrésoudre ce problème (NSGA-II, SPEA2, MOEA/D et MOPSO). Les expérimentations ont été faitessur quatre ensembles d’instances diérents. Nous avons également proposé une hybridation des

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F. Hnaien

algorithmes NSGA-II, SPEA2 et MOPSO an d’accroître leur compétitivité sur ce problème. Cetravail a donné lieu à une publication d’article de revue internationale Rebai et al. (2015b).

Localisation par zonage et déploiement de capteurs

Nous avons proposé une modication du problème précédent an de traiter une problématique delocalisation à l’intérieur des bâtiments. La gure 4 représente un exemple de bâtiment à couvrir,divisé en 4 zones Salle1, Salle2, Salle3, Couloir1.

Figure 4.5 – Exemple d’un bâtiment à couvrir

Considérons une discrétisation du bâtiment en une grille de 11× 7, ainsi que le déploiement detrois capteurs couvrant le bâtiment, les gures 4.4.A et 4.4.B montrent deux exemples d’apparitionde cibles dans le bâtiment. Chaque cible est identiée par une position signalée par un carré. Cesdeux positions se trouvent toutes les deux dans la zone Salle3, et doivent être localisées danscelle-ci dans le cas d’un déploiement idéal.

Figure 5.A : Détection de la cible A Figure 5.B : Détection de la cible B

Les gures 4.5.A et 4.5.B montrent les ensembles de positions en conit avec celles contenant lescibles A et B. Si dans le premier cas toutes les positions se trouvent dans la zone Salle3, certainespositions du deuxième exemple sont contenues dans la zone Couloir1.

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Optimisation dans les réseaux de capteurs

Figure 6.A : Conits de positions A Figure 6.B : Conits de positions B

Figure 7.A : Localisation A Figure 7.B : Localisation B

Les gures 4.6.A et 4.6.B montrent le résultat de la localisation des cibles A et B par le réseau decapteurs. Dans le premier cas, la localisation est correcte, la cible étant placée dans la zone Salle3.Le deuxième cas présente un conit, et le réseau de capteur n’est pas capable de déterminer sila cible se trouve dans la zone Salle3 ou la zone Couloir1. Nous dénissons ici la précisioncomme le booléen exprimant le succès ou l’échec de la localisation d’une cible sur une positiondonnée. Dans le premier exemple, la précision relative à la position est correcte, la cible étantplacée dans la bonne salle, alors que dans le deuxième cas, la localisation n’est pas assurée. Unemodication du modèle mathématique précédent a été proposée, ainsi que la réadaptation desméthodes hybridées NSGA-II et MOPSO pour l’optimisation de ce problème spécique. De plus,nous avons développé une heuristique spécique H3P, basée sur le clustering des variables deconits, ainsi que la résolution des sous-problèmes de type Set Cover. Ce travail a donné lieu àune publication d’article de revue internationale Borodin et al. (2015d).

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Conclusions et perspectives

Au cours de ce chapitre, nous avons synthétisé nos travaux liées au déploiement de réseaux decapteurs destinés aux applications de localisation de cibles. An de procéder à l’optimisation dece problème, nous avons tout d’abord mis en place une procédure faisant appel à un solveur li-néaire, dans le but d’obtenir les fronts de Pareto optimaux pour les instances de taille réduite.Puis, nous avons procédé à l’adaptation de méthodes d’optimisation multiobjectif de la littéra-ture : les algorithmes NSGA-II, SPEA2, MOEA/D et MOPSO. Pour les applications de déploiementextérieur, en intégrant la connectivité à un modèle de déploiement et couverture classique. Deuxmodèles linéaires ont été proposés, ainsi qu’une nouvelle dénition de borne inférieure baséesur les propriétés géométriques du problème. Cette borne a été intégrée dans un algorithme deBranch and Bound, et celui-ci a été soumis à une série d’expérimentations faisant varier les taillesde grilles et les rayons relatifs à la communication et la couverture des capteurs. L’algorithme amontré plus d’aisance que le solveur linéaire dans la résolution des instances proposées.

Quant aux perspectives de ce travail, on en considère deux classes : les perspectives sur les mé-thodologies et les perspectives sur les problèmes et applications liées.

Les perspectives concernant la modication des méthodes utilisées sont nombreuses, mais la plusintéressante à notre point de vue, est l’hybridation des algorithmes. Ici nous utilisons une heuris-tique constructive dédiée au Set Covering Problem, qui permet l’optimisation de la solution en untemps relativement rapide. Cependant, le nombre de méthodes dédiées au Set Covering Problemétant grand, l’expérimentation de nouvelles adaptations de ces méthodes pour l’hybridation estintéressante.

Les perspectives liées aux problèmes et aux applications tendent à rapprocher le plus possibleles modèles du cas réel. En eet, nous étions aussi contacté par l’hôpital de Troyes an de déve-lopper des solutions en application directe de nos travaux de recherche. Nous avons développéune solution de localisation de patients et de matériels, qui utilise les diérents travaux sur le dé-ploiement et la localisation décrits dans ce chapitre. Le prototype actuel se présente comme unesuite d’applications pour tablette Android, développée par nos soins (voir 4.1). Le prototype per-met alors la visualisation en temps réel, à l’instar d’une application GPS, de l’utilisateur dans leslocaux de l’hôpital. Le principal intérêt de ce système est l’utilisation de réseau WiFi pré-déployé,renforcé par de nouvelles bornes en vue de sa double utilisation (connexion et localisation).

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Chapitre 5Technique de représentation de l’espace

de solution

Sommaire

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2 La Méthode de Conversion de l’Espace de recherche . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2.1 La Fonction de Conversion Cartographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3 Orientation sur lemapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3.1 Distribution des solutions sur le mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.3.2 Métriques sur le Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.4 Hybridations par le Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.5 Adaptation et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.5.1 Flexible Job Shop Problem (FJSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.5.2 Non-dominated Sorting Algorithm II (NSGAII) . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.6 Expérimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.6.1 Paramétrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.6.2 Expérimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.6.3 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.7 Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

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F. Hnaien

Introduction

Nous présentons ici une nouvelle hybridation des métaheuristiques pour une meilleure conver-gence de ces dernières. Nous proposons ainsi une nouvelle méthode de guidage des métaheuris-tiques dans l’exploration de l’espace de recherche des solutions.

Ces nouvelles méthodes hybridées peuvent êtres appliquées aux problèmes traités dans les cha-pitres précédents. En eet, dans le chapitre 1, pour le cas de systèmes d’assemblage nous sommesencore restreints au cas particulier de système d’assemblage à un niveau. L’expression analytiquede ce problème pour le cas de plusieurs niveaux devient quasi-impossible. Dans ce cas, l’optimisa-tion approchée est le seul moyen pour résoudre ces problèmes sans parler de l’échelle industriellequi reste dicilement abordable avec les méthodes exactes. Sans mettre en cause les méthodesexactes à mon avis les deux méthodes exactes et approchées se complètent.

L’hybridation permet d’améliorer les performances des metaheuristiques. Plusieurs hybridationsexistent telles que : le Contrôleur à Logique Floue, en anglais Fuzzy Logic Controler, (FLC) la co-évolution, la Recherche Locale, en anglais Local Search (LS) et la collaboration entre plusieursméta-heuristiques.

Le FLC, (Lau et al., 2009), évalue périodiquement la convergence de la population courante àl’aide de métriques. Périodiquement, en fonction l’évaluation des métriques, les paramétragesdes opérateurs seront modiés pour obtenir une meilleure convergence et diversication.

Dans un algorithme co-évolutionnaire plusieurs populations diérentes explorent chacune unepartie de l’espace de solutions. Les algorithmes co-évolutionnaires sont divisés en deux catégo-ries : les compétitifs et les coopératifs. Dans la première catégorie (Paredis, 1998), la compétitionentre les populations permet de progresser dans la recherche de bonnes solutions. Pour la se-conde catégorie (Potter and De Jong, 1994), l’échange d’information entre les espèces amélioreles individus au l des itérations. Une LS explore itérativement le voisinage d’une solution pourl’améliorer. Cette hybridation accélère la convergence de l’algorithme. Certaines métaheuris-tiques sont utilisées ensemble pour résoudre un problème donné. L’algorithme résultant protedes avantages de chacune des méthodes le composant.

Malgré cela, l’exploration de l’espace de solutions par les métaheuristiques et leurs hybridationsreste peu étudiée. L’exploration des métaheuristiques est équilibrée entre convergence et diver-sication. Mais cet équilibre est déterminé uniquement en fonction des notes obtenues par lessolutions explorées lors de la simulation. Ainsi, un algorithme évolutionnaire ne garde que lesmeilleures solutions pour la prochaine itération, de même que la mémoire de l’ACO n’est miseà jour qu’avec les meilleures solutions et les particules d’un PSO dont le déplacement n’est in-uencé que par les meilleures solutions globales et locales. Cela va de même pour les hybridationstel que le FLC règle dynamiquement les paramètres en fonction de l’évolution de la métaheuris-tique dans l’espace des objectifs. À partir d’une solution, la LS cherche une meilleure solutionselon la fonction objectif.

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Technique de représentation de l’espace de solution

Nous proposons ici une méthode de mapping qui permet de situer les résultats dans l’espacede solutions. Les zones du mapping les plus prometteuses seront identiables. Et par la suite, lesrecherches pourraient être orientées pour obtenir de meilleurs résultats et plus rapidement.

Nous proposons un mapping de l’espace de solution où toutes les solutions sont classées dans unespace uni-dimensionnel en fonction de la distance de Hamming de leur représentation binairepar rapport à celle d’une solution de référence. Pour cela, nous transformons les solutions en unereprésentation binaire à partir de laquelle sera déterminé la position sur lemapping. Nous démon-trons que cette fonction de mapping est bijective. Par la suite, des hybridations sont proposéespour utiliser le mapping avec l’exploration du voisinage des solutions (Recherche Locale).

Production scientique

Plus de détails sur ces travaux de recherche se trouvent dans les publications suivantes : Autuoriet al. (2015).

Projet d’appui

Ce travail a été eectué dans le cadre de projet région nancé par La Communauté de l’Agglo-mération Troyenne (CAT) : Méthodes d’optimisation multicritères au niveau de la gestion desénergies et des ressources renouvelables dans le domaine industriel. 2011-2014, nancement dedeux thèse.

La Méthode de Conversion de l’Espace de recherche

Les notations utilisées pour la Méthode de Conversion de l’Espace de recherche (MCE)sont :

p Y = y1, . . . , ym : la solution avec m gènes, yi ∈ N, ∀i ∈ 1, ...,m.p Xb = xb1, . . . , xbn : la conversion binaire de la solution Y , xbi ∈ 0, 1, ∀i ∈ 1, ..., n,

avec n ≥ m.p Xref = xref1 , . . . , xrefn : la conversion binaire de la solution de référence.p dH(xbi , x

refi ) ∈ 0, 1 : la distance de Hamming xbi par xrefi , ∀i ∈ 1, ..., n.

p X = x1, ..., xn : la représentation de la solution Xb après la comparaison par la distancede Hamming avec Xref : X = dH(xbi , x

refi )1≤i≤n.

p dH(X) =n∑i=1

xi : la distance de Hamming de la solution Xb par rapport à Xref .

p e(X, k) =k∑i=1

xi : la somme des diérences dans les k premiers bits de X .

p K = ki1≤i≤dH(X)/ e(X, ki) = i : les positions des diérences (xi = 1) dans X .

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F. Hnaien

p a : la position de X sur le mapping.

p Cpn =

n!

p! (n− p)!: la formule de la combinaison, avec n ≥ p.

Pour une bonne répartition des solutions réalisables sur le mapping, la solution de référencechoisie est réalisable (obtenue aléatoirement).

La Fonction de Conversion Cartographique

La Fonction de Conversion Cartographique (FCC) convertit l’espace multidimensionnel des solu-tions à un espace en une dimension. La MCE est composée de trois étapes (voir gure 5.1) :

1. Une conversion en binaire est eectuée sur chaque solution Y , Y −→ Xb.2. Une comparaison par la distance de Hamming de Xb avec Xref , X = dH(xbi , x

refi ), ∀i ∈

1, ..., n.3. Une conversion décimale de X utilisant la FCC f(X) vers a (voir équations (1) et (2)).

Soit la Fonction de Conversion Cartographique f(X) :

D = 0, 1n −→ I ∈ Nf(X = x1, ..., xn) −→ a

(1)

avec

f(X) =

dH(X)−1∑i=0

Cin +

n∑i=k1

[(1− xi) · Ce(X,i)−1

i−1

](2)

[Calcul de f(X)]. Dans l’exemple dans gure 5.1, la solution est : Y = 11102, m = 5. Lasolution de référence est une solution réalisable choisie aléatoirement : Y ref = 21110. Chaquegène est converti en binaire, dans cette instance la valeur maximum d’un gène est 2. Sa conversionen binaire est ’01’ avec pour taille 2. Alors la taille binaire de tous les gènes est de 2. Donc, la taillede la solution en binaire est n = 2 ·m = 10 et la solution en binaire est : Xb = 1010100001,n = 10. Cependant, nous rappelons que la taille est adaptée selon la plus grande valeur possibledans les gènes, par exemple : Y = 41102 la valeur maximum est 4 et sa conversion en binaireest ’100’ alors n = 3 · · ·m = 15. La solution de référence en binaire est : Xref = 0110101000.Après la comparaison par la distance de Hamming avec la solution de référence, la représentation

obtenue est X = 1100001001. La distance de Hamming de X est dH(X) =n∑i=1

xi = 4. La

solution décimale a est dans la zone 4. Pour cet exemple, il y a n = 10 zones et les positions desdiérences sont : k1 = 1 (le premier ’1’ dans X), k2 = 2, k3 = 7 et k4 = 10.La position sur le mapping est calculer comme (voir équation (2)) :

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Technique de représentation de l’espace de solution

f(X) =

dH(X)−1∑i=0

Cin +

n∑i=1

[(1− xi) · Ce(X,i)−1

i−1

]=

3∑i=0

Ci10 + (1− 1) · C0

0 + (1− 1) · C01 + (1− 0) · C1

2+

(1− 0) · C23 + (1− 0) · C1

4 + (1− 0) · C15 + (1− 1) · C1

6+

(1− 0) · C27 + (1− 0) · C2

8 + (1− 1) · C29

= C010 + C1

10 + C210 + C3

10 + C12 + C1

3 + C14 + C1

5 + C27 + C2

8

= 1 + 10 + 45 + 120 + 2 + 3 + 4 + 5 + 21 + 28

a = 239

Figure 5.1 – Méthode de Conversion de l’Espace de recherche

Propriété 5.1. Selon la formule de Pascale, nous obtenons l’inégalité suivante :

∀X = xi1≤i≤n /xi ∈ 0, 1

CdH(X)n >

n∑i=k1

[(1− xi) · Ce(X,i)−1

i−1

](3)

Démonstration. Pour simplier les expressions et sans pertes de généralités, nous remplaçonsdH(X) par dH .Selon la formule de Pascale, ∀n, p ∈ N, p ≤ n− 1 :

Cpn = Cp

n−1 + Cp−1n−1

105

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F. Hnaien

Alors :

Cpn =

(Cpn−2 + Cp−1

n−2

)+ Cp−1

n−1 ∀p ≤ n− 2

= Cpn−2 +

n−1∑i=n−2

Cp−1i ∀p ≤ n− 2

= Cpn−3 + Cp−1

n−3 +n−1∑i=n−2

Cp−1i ∀p ≤ n− 3

= Cpn−3 +

n−1∑i=n−3

Cp−1i ∀p ≤ n− 3

...

= Cpp +

n−1∑i=p

Cp−1i

= Cp−1p−1 +

n−1∑i=p

Cp−1i

=n−1∑i=p−1

Cp−1i

Donc,

Cpn =

n−1∑i=p−1

Cp−1i =

n∑i=p

Cp−1i−1 >

n∑i=p+1

Cp−1i−1

Si nous remplaçons p par dH :

CdHn =

n∑i=dH

CdH−1i−1 (4)

Et ∀k ∈ dH + 1, . . . , n :

CdHn >

n∑i=k

CdH−1i−1 (5)

Utilisant les équations (4) et (5), prenant en compte xkdH = 1,k(dH) ∈ dH , ..., n et xi = 0 ∀i ∈ k(dH) + 1, . . . , n :

CdHn =

n∑i=dH

CdH−1i−1

≥ CdH−1k(dH)−1 +

n∑i=k(dH)

[(1− xi) · CdH−1

i−1

]

106

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Technique de représentation de l’espace de solution

Appliquant les équations (4) et (5) pourCdH−1k(dH)−1, avec xi = 0, ∀i ∈ k(dH−1) +1, . . . , n\k(dH),

k(dH−1) ∈ dH − 1, . . . , k(dH) − 1 et xi = 1 ∀i ∈ k(dH−1), k(dH), nous obtenons :

CdHn ≥

k(dH)−1∑i=dH−1

CdH−2i−1 +

n∑i=k(dH)

[(1− xi) · CdH−1

i−1

]

≥ CdH−2k(dH−1)−1 +

k(dH)−1∑i=k(dH−1)

[(1− xi) · CdH−2

i−1

]+

n∑i=k(dH)

[(1− xi) · CdH−1

i−1

]

>

k(dH)−1∑i=k(dH−1)

[(1− xi) · CdH−2

i−1

]+

n∑i=k(dH)

[(1− xi) · CdH−1

i−1

]

Avec la dénition e(X, i) =i∑l=1

xl = j, ∀i ∈ kj, . . . , kj+1 − 1 et ∀j ∈ 1, . . . , dH, nous

pouvons écrire :

CdHn >

k(dH)−1∑i=k(dH−1)

[(1− xi) · Ce(X,i)−1

i−1

]+

n∑i=k(dH)

[(1− xi) · Ce(X,i)−1

i−1

]>

n∑i=k(dH−1)

[(1− xi) · Ce(X,i)−1

i−1

]

Pour généraliser, avec X = xi1≤i≤n et les positions des diérences kj1≤j≤dH ∈1, ..., n/kj < kj+1, où :

xi =

1 if i ∈ kj1≤j≤dH0 sinon

Finalement, nous pouvons écrire :

CdH(X)n >

n∑i=k1

[(1− xi) · Ce(X,i)−1

i−1

]

Proposition 5.2. La MCE est injective.

Démonstration. Soit deux solutions X1 et X2 / X1 6= X2;X1 = x11, ..., x

1n et X2 =

x21, ..., x

2n. Deux cas sont considérés : dH(X1) = dH(X2) et dH(X1) 6= dH(X2).

107

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F. Hnaien

Cas 1 : Si dH(X1) = dH(X2)

∃ k ∈ 1, ..., n /

x1i

= x2

i if i > k

6= x2i if i = k

Soit ∆f = f(X1)− f(X2).

∆f =n∑

i=k11

[(1− x1

i ) · Ce(X1,i)−1i−1

]−

n∑i=k2

1

[(1− x2

i ) · Ce(X2,i)−1i−1

]=

k∑i=k1

1

[(1− x1

i ) · Ce(X1,i)−1i−1

]−

k∑i=k2

1

[(1− x2

i ) · Ce(X2,i)−1i−1

]Deux sous cas sont présents :Sous-cas 1.1 : Si x1

k = 0 et x2k = 1.

∆f peut-être réécrit comme :

∆f = Ce(X1,k)−1k−1 +

k−1∑i=k1

1

[(1− x1

i ) · Ce(X1,i)−1i−1

]−

k−1∑i=k2

1

[(1− x2

i ) · Ce(X2,i)−1i−1

]

Et, selon inégalité (3) :

Ce(X1,k)−1k−1 = C

e(X2,k)−1k−1 >

k−1∑i=k2

1

[(1− x2

i ) · Ce(X2,i)−1i−1

]Donc :

∆f >k−1∑i=k1

1

[(1− x1

i ) · Ce(X1,i)−1i−1

]≥ 0 (6)

Donc, si X1 6= X2, f(X1) 6= f(X2)

Sous-cas 2.2 : Si x1k = 1 et x2

k = 0, alors :

∆f = −Ce(X2,k)−1k−1 +

k−1∑i=k1

1

[(1− x1

i ) · Ce(X1,i)−1i−1

]−

k−1∑i=k2

1

[(1− x2

i ) · Ce(X2,i)−1i−1

]

108

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Technique de représentation de l’espace de solution

Et selon l’équation (3) :

−Ce(X2,k)−1k−1 = −Ce(X1,k)−1

k−1 < −k−1∑i=k1

1

[(1− x1

i ) · Ce(X1,i)−1i−1

]Donc :

∆f < −k−1∑i=k2

1

[(1− x2

i ) · Ce(X2,i)−1i−1

]≤ 0 (7)

Finalement, selon (6) et (7) : ∆f 6= 0, donc si X1 6= X2, f(X1) 6= f(X2).Cas 2 : Si dH(X1) 6= dH(X2) : deux sous-cas sont aussi considérés :

Sous-cas 2.1 : Si dH(X1) < dH(X2) alors, selon la formule de Pascale (voir l’inégalité(3)) :

f(X1) =

dH(X1)−1∑i=0

Cin +

n∑i=k1

1

[(1− x1

i ) · Ce(X1,i)−1i−1

]

<

dH(X1)−1∑i=0

Cin + CdH(X1)

n

<

dH(X1)∑i=0

Cin

<

dH(X2)−1∑i=0

Cin +

n∑i=k2

1

[(1− x2

i ) · Ce(X2,i)−1i−1

]= f(X2)

(8)

Donc, si dH(X1) < dH(X2) alors f(X1) < f(X2).Sous-cas 2.2 : If dH(X1) > dH(X2) :

f(X2) =

dH(X2)−1∑i=0

Cin +

n∑i=k2

1

[(1− x2

i ) · Ce(X2,i)−1i−1

]

<

dH(X2)−1∑i=0

Cin + CdH(X2)

n

<

dH(X2)∑i=0

Cin

<

dH(X1)−1∑i=0

Cin +

n∑i=k1

1

[(1− x1

i ) · Ce(X1,i)−1i−1

]= f(X1)

(9)

Selon (8) et (9) : Si dH(X1) 6= dH(X2), f(X1) 6= f(X2).

109

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F. Hnaien

Finalement, selon (6), (7), (8) et (9) la fonction f(X) est injective.

Proposition 5.3. La MCE est surjective.

Démonstration. Pour établir que la MCE est surjective, nous allons prouver que |D| = |I| = 2n.Soit X l est dénie par :

xli = 0, ∀i ∈ 1, ..., n

et Xu est dénie par :xui = 1, ∀i ∈ 1, ..., n

f(X l) =

dH(Xl)−1∑i=0

Cin +

n∑i=kl1

[(1− xli) · C

e(Xl,i)−1i−1

]= 0

Depuis f(X) ≥ 0, ∀X ∈ D, donc la limite basse de I est 0.

f(Xu) =

dH(Xu)−1∑i=0

Cin +

n∑i=ku1

[(1− xui ) · C

e(Xu,i)−1i−1

]=

n−1∑i=0

Cin +

n∑i=ku1

[(1− 1) · Ci−1

i−1

]=

n−1∑i=0

Cin

=n∑i=0

Cin − 1

En plus, ∀X ∈ D :

f(X) =

dH(X)−1∑i=0

Cin +

n∑i=k1

[(1− xi) · Ce(X,i)−1

i−1

]<

dH(X)−1∑i=0

Cin + CdH(X)

n

<

dH(X)∑i=0

Cin

≤n∑i=0

Cin − 1 = f(Xu)

110

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Technique de représentation de l’espace de solution

Or f(X) est injective et |D| = 2n, alors |I| =n∑i=0

Cin − 1 + 1 = 2n. Nous pouvons conclure que

Xu est une limite de I .Finalement, nous pouvons conclure que la MCE est surjective.

Proposition 5.4. La MCE est une fonction bijective.

Démonstration. Selon les propositions 5.3 et 5.4, nous pouvons conclure que la MCE est bijective.

Orientation sur le mapping

Distribution des solutions sur lemapping

La MCE convertie l’espace de solution en un axe uni-dimensionnel (voir gure 5.2). Après uneconversion binaire, les positions sont classées selon leur distance de Hamming. Plus la distanceest grande plus la position de la solution est éloignée de la référence (voir gure 5.2 & 5.3). Ladistance de Hamming est utilisée pour dénir les zones sur le mapping. Donc, les zones ont unnombre de solutions diérent.

Pour l’exemple dans gure 5.1, le nombre de bits est n = 10 et le nombre de solutions est210 = 1024. Le nombre de solutions in each zone i = 1, . . . , n est égal à Ci

n − Ci−1n . La gure

5.3 montre la distribution des solutions sur le mapping dépendant de la distance de Hammingcomparé à la solution de référence.

Métriques sur leMapping

Le mapping est divisé en zones qui contiennent chacune toutes les solutions avec la même dis-tance de Hamming. En fonction de l’exploration de la méthode d’optimisation, les zones sontréparties en deux catégories :

p zi : Une Zone Inexplorée ne contient aucun individu de la population.p ze : Une Zone Explorée possède au moins individu de la population, ce type de zone peut

être classié en deux catégories :• zm : Une Zone Meilleure a au moins l’un des meilleurs individus.• zfe : Une Zone Fortement Explorée a un nombre d’individus au dessus de la moyenne

des individus présents dans les ze.

111

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F. Hnaien

Figure 5.2 – Conversion de l’espace des variables par la MCE

Par exemple dans gure 5.4, la population est de 30 avec 4 meilleures solutions et le nombre dezones est 10. Les zones 1, 2, 9 et 10 sont des zi et il y a 6 ze : 3, 4, 5, 6, 7 et 8. La moyenne desindividus est égal à 30/6 = 5. Donc, les zfe sont 5, 6 et 7 et les zm sont 4, 5 et 6.

Hybridations par leMapping

L’exploration du voisinage des solutions est utilisée pour hybrider les métaheuristiques avecla MCE. Ceci permet d’orienter la métaheuristique vers des zones intéressantes et/ou inexplo-rées.

Pour limiter le temps de calcul de la métaheuristique, l’évaluation des positions explorées sur lemapping se fait périodiquement et en fonction de la progression dans l’espace des objectifs. Pourcela périodiquement, l’Indicateur-MCE (Ind−MCE) est utilisé pour déterminer la pertinence del’application d’une phase de mapping. La progression de la meilleure note pour le mono-objectifou du front de Pareto évalué par la métrique C, Ziztler et al. (2003), est utilisé pour évaluer laconvergence

Les équations (10) et (11) présentent le calcul de l’Ind-MCE pour le mono-objectif et le multiob-jectif :

112

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Technique de représentation de l’espace de solution

Figure 5.3 – Répartition des solutions sur le mapping (exemple de la gure 5.1)

Figure 5.4 – Exemple de distribution d’une population sur le mapping (exemple des gures 5.1et 5.3)

113

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F. Hnaien

Ind−MCE = Fi−T − Fi (10)

Ind−MCE = C(FPi, FPi−T ) (11)

Avec Fi la meilleure solution à l’itération i, FPi le Front de Pareto à l’itération i et T la périoded’application de l’Ind-MCE.

Selon le Ind-MCE, les métriques du mapping sont utilisées pour guider la méthode d’optimisationan d’obtenir une meilleure exploration de l’espace de solution. Deux types d’hybridations parla MCE sont proposées : la convergence, notée "MCE-Convergence", et la diversité, notée "MCE-Diversité", de la méthode d’optimisation Si la valeur du Ind−MCE est inférieure à celle de Ind−Limit, cela indique que la progression de la métaheuristique est lente. Dans ce cas, nous utilisonsla "MCE-Convergence" and "MCE-Diversité". Autrement, la MCE n’est pas appliquée.

p MCE-Convergence• Identier ze• Identier zm et zfe• Appliquer MCE1 ou MCE2

p MCE-Diversité• Identier zi• Appliquer MCE3

Où MCE1, MCE2 et MCE3 sont dénies par :

p MCE1 : Une recherche locale est appliquée sur toutes les solutions dans les zm.

Figure 5.5 – Exemple d’application de MCE1

p MCE2 : Une recherche locale est appliquée sur toutes les solutions dans les zfe.

114

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Technique de représentation de l’espace de solution

Figure 5.6 – Exemple d’application de MCE2

Figure 5.7 – Exemple d’application de MCE3

p MCE3 : De nouvelles solutions sont crées in zi (voir algorithme 5.1) et une recherche localeest appliquée sur toutes les solutions créées dans les zi.

La combinaiqon de la MCE-(Convergence & Divergence) sont dénies par :p MCE4 : Une recherche locale est appliquée sur toutes les solutions dans les zm et celles

créées dans les zi.p MCE5 : Une recherche locale est appliquée sur toutes les solutions dans les zfe et celles

créées dans les zi.La fonction Perturbation est l’exploration d’un voisinage de la si tous les mouvements sont triésd’une manière itérative. Si la solution voisine explorée est dans zone inexplorée, l’algorithmeretourne cette solution. Autrement si la limite est atteinte, l’algorithme stoppe sa recherche.

Cinq hybridations MCE sont proposées avec une recherche locales sont proposées. Les algo-rithmes (MCE1,MCE2) sont implémentées pour étudier la convergence. L’algorithme (MCE3) estimplémenté pour évaluer la diversication de l’exploration. Les algorithmes(MCE4,MCE5) per-mettent d’étudier la collaboration de la convergence MCE et de la diversication MCE.

115

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F. Hnaien

Figure 5.8 – Exemple d’application de MCE4

Figure 5.9 – Exemple d’application de MCE5

Algorithme 5.1 Création de solutions dans les zones inexploréesEntrées: si : Solution initialeEntrées: lt : Nombre limite de testsEntrées: ezi : Ensemble des zones inexplorées

1: nt← 12: tantque nt ≤ lt faire3: ns← Perturbation(si)4: si nsz (zone de la nouvelle solution) ∈ ezi alors5: return ns6: nsi

7: nt← nt+ 18: n tantque

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Technique de représentation de l’espace de solution

Adaptation et application

Flexible Job Shop Problem (FJSP)

Le FJSP est généralement modélisé comme dans Vazquez-Rodriguez and Petrovic (2010). Dansle FJSP, un ordonnancement de n lots, noté J = J1, . . . , Jn sur m machines, noté M =

M1, . . . ,Mm. Chaque lot Ji est composé d’une suite ordonnée d’opérations de hi opérationsOi,1, . . . , Oi,hi. Chaque opération Oij peut être aectée à un ensemble de machines Mij . LeFJSP est composé de deux sous-problèmes. Le premier est l’aectation de chaque opération surune machine de son ensemble Mij . Le second est l’ordonnancement des opérations aectées surles machines.

Garey et al. (1976) prouvent que le FJSP est NP-Dicile avec l’objectif de minimiser le makespan.Le Makespan est le maximum des dates n des jobs.

Deux objectifs sont considérés. Le premier est la minimisation dumakespan (Cmax) (voir équation(12)) et le second est la production des lots juste à temps (voir équation (13)). Le juste à temps estla somme des retards (Ti) et des avances (Ei) pour tous les lots.

Les fonctions objectifs sont :minCmax (12)

minn∑i=0

(Ei + Ti) (13)

Les conditions suivantes sont retenues :p Les temps de setup et déplacement sont considérés comme négligeables.p Les machines sont indépendantes les unes des autres.p Les lots sont indépendants les uns des autres.p Une machine ne peut eectuer qu’une seule opération à la fois.p Une seule opération par lot est en cours de réalisation au même instant.

Non-dominated Sorting Algorithm II (NSGAII)

Le NSGA-II introduit par Deb et al. (2002) est l’un des plus célèbres algorithme évolutionnairepour l’optimisation objectif. Il est simple d’utilisation et obtient de bons résultats. Les solutionssont évaluées et ensuite classées par rang de Pareto. Le chromosome utilisé est l’un des plusecace de la littérature proposé par Tay and Wibowo (2004) pour les représentations de solutionsdu FJSP. Pour assurer la diversité, les solutions d’un front de Pareto sont évaluées en fonction ducrowding distance. Le crowding distance privilégiant la sélection des notes extrêmes, le NSGAII

117

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F. Hnaien

étire ses fronts de Pareto assurant ainsi une bonne diversité des solutions non-dominées. Lesopérateurs utilisés lors de la reproduction sont la roulette wheel pour la sélection des parents, lecroisement un point et pour la mutation l’échange de positions de deux gènes et la modicationde la valeur d’un gène.

Expérimentations

Paramétrages

Les paramètres sont déterminés empiriquement après plusieurs tests, les paramètres gardés sontceux qui orent les meilleurs performances et stabilité.

Dix instances sont utilisées pour les expérimentations, les quatre premières sont issues de lalittérature Kacem et al. (2002a) et Kacem et al. (2002b) et les autres sont générées aléatoirement.Trois paramètres principaux sont pris en compte dans la génération (m/h/n), avec m le nombrede machines, h le nombre maximum d’opérations sur un lot et n le nombre de lots. Les instancesgénérées ont les tailles suivantes : (I5 10/5/10), (I6 10/5/20), (I7 10/5/30), (I8 15/5/15), (I9

15/5/30) et (I10 15/5/45).

Les autres paramètres pour la génération des instances sont :p l = 1 : le nombre minimum d’opérations par lots.p h = 5 : le nombre maximal d’opérations par lots.p ptmin = 5 : le temps de réalisation minimum par une opération.p ptmax = 15 : le temps de réalisation maximal par opération.

Les paramètres communs à tous les algorithmes sont :p taille de la population : 100.p nombre d’itérations : 2000.p nombre de simulations : 10.

Les paramètres retenus pour le NSGAII sont les suivants :p probabilité pour le croisement : 90%.p probabilité pour la mutation : 10/n% avec n le nombre des opérations dans l’instance.

Les paramètres concernant la PRL des hybridations LS, Mce1, Mce2, Mce3, Mce4 et Mce5sont :

p période d’application d’une PRL : T = 100.p nombre d’essais avant arrêt d’une LS : 500.p indicateur d’application : Ind−Mce = 5%.p nombre d’essais pour la création de solutions dans les zi : 1000.

Les résultats présentés dans les tableaux sont les moyennes de 10 simulations.

118

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Technique de représentation de l’espace de solution

Expérimentations

Comportements expérimentaux

Six variantes du NSGA-II sont implémentées, dont le NSGA-II classique et les hybridations :NSGAII-LS, NSGAII-(MCE1,MCE2,MCE3,MCE4,MCE5). Pour le NSGA-II-Ls, nous appliquonsune recherche locale sur les solutions non-dominées toutes les T générations. Pour étudier l’ex-ploration de l’espace de solutions par les diverses méthodes, nous présentons cinq paramétrés :le nombre moyen de phase de MCE, les nombres moyens de recherche locale sur les solutionsnon-dominées, dominées et créées dans les zones inexplorées, ainsi que le temps d’exécution desalgorithmes.

Le nombre de phase de MCE est le nombre de fois où Ind −MCE ≤ Ind − limit = 0, 15. Lenombre maximum de phase de MCE est égal au nombre de génération divisé par la période dansnotre cas 2000/100 = 20.

Tableau 5.1 – Nombre de phases de MCE

Instance NSGA-II -index LS Ls50 MCE1 MCE2 MCE3 MCE4 MCE5I1 20 14.5 13.1 13.4 13.4 13.5 13.3I2 20 15.7 13.5 14.9 13.6 14.1 10.6I3 20 15.9 14.8 14.9 14.6 14.8 14.6I4 20 13.1 12.1 12.3 17.8 10.6 10.3I5 20 14.6 14.3 14.5 11.5 10.9 12.6I6 20 9.7 11.4 10.1 8.9 9.9 10.0I7 20 8.7 10.4 9.6 9.0 7.3 8.5I8 20 14.1 13.6 10.4 12.1 13.3 12.5I9 20 9.8 9.4 9.5 8.4 9.0 8.5I10 20 9.2 8.3 7.9 7.5 7.0 8.0

Le NSGAII-LS eectue systématiquement une phase de MCE à chaque période et n’utilise pasInd−MCE pour décider de l’application. Le nombre de PRL est donc constant pour le NSGAII-LS (voir tableau 5.1). Par rapport au NSGAII-LS, les autres hybridations ont un nombre d’applica-tions de Phase de MCE quasiment divisé par 2. Car l’Ind−MCE n’autorise l’application d’unePRL, que si le nouveau front de Pareto n’a pas beaucoup progressé par rapport à l’ancien. Lespetites instances ont plus de phases de MCE que les grandes, car les algorithmes convergent plusrapidement.

La recherche locale n’est pas appliquée sur la totalité des solutions non-dominées de la populationpour les NSGAII-(MCE2, MCE5) (voir tableau 5.2). Le nombre de Phase de MCE sur les solutionsnon-dominées augmentent pour les NSGAII hybridés avec la MCE. En déduction, l’utilisation dela MCE augmente la diversication de l’approximation du front de Pareto optimal.

119

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F. Hnaien

Tableau 5.2 – Nombre moyen de recherches locales sur des solutions non-dominées

Instance NSGAII -taille LS MCE1 MCE2 MCE4 MCE57/3/10 11,295 14,141 11,836 13,753 8,1408/4/8 10,110 12,284 11,088 11,667 6,541

10/3/10 10,540 12,056 10,728 12,553 7,86010/4/15 11,595 14,081 12,982 16,213 10,60010/5/10 9,785 12,866 11,907 13,628 10,62510/5/20 4,590 5,080 6,358 6,015 5,08210/5/30 3,465 4,279 4,254 5,349 4,10715/5/15 9,780 12,333 10,912 13,414 9,91715/5/30 3,635 3,784 4,345 5,178 6,15415/5/45 3,675 3,992 3,918 5,069 4,263

Tableau 5.3 – Nombre moyen de recherche locale sur les solutions dominées

Instance NSGAII -taille MCE1 MCE2 MCE4 MCE57/3/10 84,861 141,911 53,012 133,1628/4/8 87,525 141,309 54,469 135,622

10/3/10 75,405 137,750 49,165 130,62410/4/15 72,455 136,004 51,322 127,53310/5/10 85,102 141,186 69,295 134,80010/5/20 31,641 142,512 25,081 139,01010/5/30 25,004 144,033 20,475 136,20215/5/15 67,177 139,271 53,018 130,44015/5/30 20,881 139,116 22,366 135,29415/5/45 17,662 140,116 19,808 133,978

Les hybridations NSGAII-(MCE2, MCE5) eectuent plus de recherches locales sur les solutionsdominées que les NSGAII-(MCE1, MCE4), car les solutions dominées sont plus nombreuses dansles zfe (voir le tableau 5.3). Les hybridations NSGAII-(LS, MCE3) n’eectuent pas de recherchelocale sur les solutions dominées. Le NSGAII-MCE1 exécute plus de recherches locales sur les so-lutions dominées que le NSGAII-MCE4, même remarque pour le NSGAII-MCE2 avec le NSGAII-MCE5. Pour déduction, la combinaison de recherches locales dans les znd ou zfe et les zi étalela recherche de l’algorithme dans l’espace de solutions.

Les NSGAII-(MCE3, MCE4, MCE5) sont les seuls algorithmes à générer des solutions dans leszones inexplorées (voir tableau 5.4). Les nombres de solutions créées sont équivalents pour lestrois algorithmes. Cette hybridation améliore la diversication des gènes dans la population d’in-dividus.

Les algorithmes NSGAII-(MCE3, MCE4, MCE5) sont plus lents à cause de la génération de solu-

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Technique de représentation de l’espace de solution

Tableau 5.4 – Moyenne des solutions crées dans les zones inexplorées

Instance NSGAII -taille MCE3 MCE4 MCE57/3/10 34,724 33,200 34,9158/4/8 29,422 29,848 29,848

10/3/10 40,026 39,194 41,61310/4/15 63,905 63,899 67,53810/5/10 33,905 32,335 31,65910/5/20 60,680 73,2916 54,55710/5/30 54,018 67,362 55,19715/5/15 56,253 52,424 45,48115/5/30 77,695 74,472 59,31115/5/45 71,384 69,120 58,520

Tableau 5.5 – Temps d’exécution (s)

Instance NSGAII -taille LS MCE1 MCE2 MCE3 MCE4 MCE57/3/10 3,8 6,3 8,4 9,6 10,1 10,9 12,28/4/8 3,7 5,5 7,6 8,9 8,4 9,1 10,6

10/3/10 3,8 6,5 8,9 10,7 11,8 12,6 14,410/4/15 5,5 12,1 14,4 16,9 17,8 19,1 20,410/5/10 4,7 6,4 7,7 9,0 9,2 9,6 12,510/5/20 6,3 10,2 11,0 13,4 14,5 16,0 21,610/5/30 8,8 17,9 18,2 23,0 22,8 19,2 28,615/5/15 5 8,1 11,9 12,8 17,1 18,8 19,215/5/30 7,9 12,7 18,8 28,3 27,9 28,7 27,315/5/45 10,7 18,2 29,7 36,9 45,1 41,9 49,4

tions dans les zi avant l’application des recherches locales (voir tableau 5.5). Les algorithmes avecdes recherches locales sur les solutions des znd, NSGAII-(MCE1, MCE4) sont les plus rapides carils en eectuent sur moins d’individus. La classication par ordre décroissant de rapidité est :NSGAII, NSGAII-LS, NSGAII-MCE1, NSGAII-MCE2, NSGAII-MCE3, NSGAII-MCE4 et NSGAII-MCE5. Le temps est le seul paramètre où les hybridations avec la MCE sont en désavantage, cardes recherches locales sont faites sur plus d’individus.

Résultats expérimentaux

Les algorithmes sont répartis en trois groupes pour être comparés, le NSGAII avec le NSGAII-LS, le second est constitué par des hybridations NSGAII-(MCE1, MCE2, MCE3) et le dernier desNSGAII-(MCE4, MCE5). Les meilleurs de chaque groupe sont ensuite comparés entre eux. Lesrésultats de ces comparaisons sont dans les tableaux 5.6, 5.7 et 5.8, chaque ligne contient les

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F. Hnaien

résultats pour une instance. Chaque ligne est divisée en deux parties, la première contient lamoyenne des résultats de C(Alg1, Alg2) et la seconde de C(Alg2, Alg1). Les colonnes, diviséesen trois, contiennent les notes minimum, moyen, et maximum des résultats.

La métrique C montre que le NSGAII-MCE3 est dominé par NSGAII-(MCE1, MCE2) (voir tableau5.6). Les NSGAII-MCE1 et NSGAII-MCE2 obtiennent des résultats équivalents dans les instancesI1, I2, I3, I4 et I8. Mais le NSGAII-MCE2 domine le NSGAII-MCE1 sur les grandes instances I5,I6, I7, I9 et I10. Le NSGAII-MCE3 obtient ses meilleurs résultats sur les instances de grandestailles, car il est plus facile de trouver de nouvelles solutions intéressantes dans les grandes ins-tances.

Le NSGAII-LS domine le NSGAII sur toutes les instances (voir le tableau 5.7). Les rechercheslocales sur les solutions non-dominées accélèrent la convergence du NSGAII. La comparaisonentre les deux hybridations, NSGAII-(MCE4, MCE5), montre que les deux algorithmes obtiennentdes résultats équivalents sur les instances I3, I5 et I8. Pour les autres instances, le NSGAII-MCE5obtient de meilleurs résultats que le NSGAII-MCE4. Le guidage est plus ecace sur les grandesinstances, où le NSGAII-MCE5 obtient ses meilleurs résultats.

Le NSGAII-LS est dominé par les hybridations NSGAII-(MCE2, MCE5) selon la métrique C et H

Tableau 5.6 – Résultats de la métrique C pour les NSGAII-(MCE1, MCE2, MCE3)

Instance NSGAII-MCE1/MCE2 NSGAII-MCE1/MCE3 NSGAII-MCE2/MCE3taille Min Moy Max Min Moy Max Min Moy MaxI1 0,000 0,067 0,167 0,000 0,155 0,385 0,000 0,206 0,461

7/3/10 0,000 0,097 0,250 0,000 0,075 0,333 0,000 0,042 0,235I2 0,000 0,021 0,071 0,000 0,114 0,231 0,062 0,171 0,308

8/4/8 0,000 0,037 0,214 0,000 0,022 0,077 0,000 0,038 0,083I3 0,000 0,029 0,143 0,000 0,047 0,231 0,000 0,057 0,182

10/3/10 0,000 0,026 0,167 0,000 0,014 0,071 0,000 0,022 0,154I4 0,000 0,087 0,200 0,000 0,103 0,333 0,000 0,140 0,308

10/4/15 0,056 0,117 0,214 0,000 0,135 0,222 0,000 0,120 0,300I5 0,000 0,032 0,200 0,357 0,670 0,917 0,769 0,883 1,000

10/5/10 0,000 0,346 0,667 0,000 0,007 0,071 0,000 0,000 0,000I6 0,000 0,060 0,143 0,000 0,333 0,714 0,250 0,605 1,000

10/5/20 0,250 0,534 0,800 0,000 0,216 1,000 0,000 0,056 0,222I7 0,000 0,062 0,400 0,000 0,302 0,750 0,333 0,679 1,000

10/5/30 0,000 0,490 1,000 0,000 0,210 0,500 0,000 0,020 0,200I8 0,000 0,127 0,286 0,067 0,234 0,400 0,000 0,177 0,471

15/5/15 0,083 0,254 0,444 0,083 0,252 0,461 0,071 0,169 0,500I9 0,000 0,054 0,286 0,000 0,238 0,444 0,000 0,334 0,667

15/5/30 0,000 0,252 0,667 0,000 0,212 1,000 0,000 0,153 0,500I10 0,000 0,100 0,500 0,000 0,209 0,600 0,200 0,497 1,000

15/5/45 0,000 0,487 1,000 0,000 0,220 0,750 0,000 0,145 0,500

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Technique de représentation de l’espace de solution

(voir tableaux 5.8). Les NSGAII-(MCE2, MCE5) sont plus ecaces pour les grandes instances etle NSGAII-MCE5 obtient de meilleures solutions que le NSGAII-MCE2. Les meilleurs résultatsde l’hybridation NSGAII-MCE2 sont sur les instances de I5, I6 et I7. Pour le NSGAII-MCE5, lesmeilleurs résultats sont sur les instances I8, I9 et I10. Faire des recherches locales sur des solutionsdans les zi permet au NSGAII-MCE5 d’obtenir de meilleurs résultats que le NSGAII-MCE2 pourde grandes instances. Le meilleur algorithme est le NSGAII-MCE5, mais il est le plus lent, caril eectue le plus de recherches locales. Cependant, le NSGAII-MCE2 domine le NSGAII-LS etconsomme moins de temps que le NSGAII-MCE5. Remarque : en ajustant l’exploration de l’espacede recherche du NSGAII, par intensication et diversication sur l’espace uni-dimensionnel, lesrésultats sont améliorés.

Tableau 5.7 – Les résultats de la métrique C pour la comparaison des algorithmesNSGAII/NSGAII-LS et NSGAII-(MCE4/MCE5)

Instance NSGAII/NSGAII-LS NSGAII-MCE4/MCE5taille Min Moy Max Min Moy MaxI1 0,000 0,010 0,100 0,000 0,000 0,000

7/3/10 0,176 0,412 0,786 0,000 0,126 0,312I2 0,000 0,008 0,077 0,000 0,000 0,000

8/4/8 0,062 0,260 0,500 0,071 0,219 0,461I3 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

10/3/10 0,067 0,200 0,312 0,000 0,036 0,083I4 0,000 0,010 0,100 0,000 0,003 0,031

10/4/15 0,167 0,348 0,550 0,000 0,235 0,375I5 0,000 0,030 0,111 0,000 0,070 0,231

10/5/10 0,222 0,389 0,706 0,000 0,170 0,385I6 0,000 0,020 0,200 0,000 0,140 0,375

10/5/20 0,091 0,514 1,000 0,000 0,412 1,000I7 0,000 0,150 0,500 0,000 0,180 0,400

10/5/30 0,000 0,596 1,000 0,000 0,307 0,600I8 0,000 0,025 0,125 0,000 0,134 0,308

15/5/15 0,133 0,381 0,643 0,000 0,237 0,727I9 0,000 0,092 0,667 0,000 0,160 0,500

15/5/30 0,000 0,463 1,000 0,000 0,350 0,750I10 0,000 0,142 1,000 0,000 0,145 1,000

15/5/45 0,000 0,467 1,000 0,000 0,440 1,000

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F. Hnaien

Tableau 5.8 – Résultats de la comparaison des meilleurs résultats de chaque groupe par la mé-trique C

Instance NSGAII-MCE2/MCE5 NSGAII-LS/MCE2 NSGAII-LS/MCE5taille Min Moy Max Min Moy Max Min Moy MaxI1 0,000 0,009 0,048 0,000 0,007 0,071 0,000 0,000 0,000

7/3/10 0,000 0,173 0,417 0,125 0,231 0,364 0,083 0,320 0,583I2 0,000 0,005 0,050 0,000 0,021 0,071 0,000 0,011 0,100

8/4/8 0,000 0,182 0,333 0,091 0,310 0,615 0,091 0,420 0,833I3 0,000 0,005 0,048 0,000 0,008 0,077 0,000 0,000 0,000

10/3/10 0,000 0,072 0,333 0,077 0,155 0,273 0,100 0,255 0,417I4 0,000 0,000 0,000 0,000 0,027 0,105 0,000 0,000 0,000

10/4/15 0,176 0,258 0,450 0,222 0,365 0,667 0,000 0,041 0,231I5 0,053 0,163 0,267 0,000 0,006 0,059 0,000 0,000 0,000

10/5/10 0,000 0,052 0,118 0,222 0,603 0,857 0,417 0,580 0,786I6 0,000 0,215 0,500 0,000 0,071 0,333 0,000 0,037 0,250

10/5/20 0,000 0,252 0,714 0,200 0,553 1,000 0,400 0,728 1,000I7 0,000 0,173 0,667 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

10/5/30 0,000 0,449 1,000 0,000 0,618 1,000 0,333 0,738 1,000I8 0,000 0,075 0,250 0,000 0,094 0,187 0,000 0,032 0,118

15/5/15 0,000 0,298 0,643 0,000 0,355 0,625 0,333 0,546 0,750I9 0,000 0,098 0,333 0,000 0,034 0,200 0,000 0,000 0,000

15/5/30 0,250 0,555 1,000 0,000 0,418 1,000 0,333 0,747 1,000I10 0,000 0,179 1,000 0,000 0,067 0,500 0,000 0,020 0,200

15/5/45 0,000 0,295 0,500 0,000 0,558 1,000 0,333 0,663 1,000

Conclusion et perspectives

Les méthodes d’optimisation évoluent en fonction des valeurs obtenues par les solutions qu’ellesexplorent. Leur recherche ne s’eectue qu’en prenant en compte l’espace des objectifs. Les tra-vaux eectués ajoutent une exploration selon l’espace des solutions. Ainsi des solutions avec descaractéristiques intéressantes mais de mauvaises évaluations sont retenues pour la suite de larecherche. La méthode d’optimisation explore ainsi plus ecacement l’espace des solutions estpeut à la fois converger rapidement et tout en sortant plus facilement des minimums locaux. LaMCE a été utilisée en collaboration avec l’exploration du voisinage des solutions. Les diverseshybridations proposées sont adaptées sur le NSGAII pour résoudre le FJSP. Les expérimentationsmontrent une nette amélioration des résultats.

Pour conrmer les résultats, des tests doivent être eectués sur d’autres problèmes. L’étude surl’inuence du choix de la solution de référence doit être approfondie, notamment pour mieuxconnaître la répartition des solutions faisables. D’autres hybridations sont candidates pour unecollaboration avec la MCE, la logique oue, la coévolution, des méthodes exactes, etc.

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Technique de représentation de l’espace de solution

Cette nouvelle hybridation a prouvé ces performances sur plusieurs méthodes que nous avonsimplémentées dont certaines ne sont pas présentées dans ce document et qui font l’objet d’unepublication encours. Après un certain recul, j’aurais pu aller plus loin et utiliser ces méthodespour le problème de gestion des stocks face aux aléas pour le cas multi-niveaux et multi-périodestraité dans le chapitre 1. Ces méthodes peuvent êtres aussi implémentées rapidement pour lecas de réseaux de capteurs où plusieurs métaheuristiques ont été déjà implémentées. Ainsi nousprouvons d’avantage la performance de notre étude sur plusieurs méthodes de nature diérentes.

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Chapitre 6Conclusions générales

Dans ce mémoire, j’ai illustré diérents problèmes d’optimisation sous aléas de niveau straté-gique au niveau opérationnel.

J’ai structuré ce mémoire autour de l’optimisation stochastique pour des problèmes de concep-tion, d’approvisionnement, de planication et d’ordonnancement. Il ne s’agissait pas pourautant de modéliser tous les problèmes sous aléas mais plutôt d’illustrer une démarche demodélisation et de résolution pour des problèmes que j’ai eu l’occasion de traiter durantmes recherches. L’intérêt est de montrer comment ces outils d’optimisation stochastique (lamoyenne, Programmation sous contraintes probabilistes jointes, programmation par intervalle,réduction des scénarios) être adaptés assez facilement à plusieurs types de problèmes.

La plupart des problèmes étudiés appartient à l’optimisation stochastique. Les chapitres pré-sentées dans ce mémoire illustrent des méthodes de résolution exactes de types Procédure parSéparation et Évaluation, Programmation sous contraintes probabilistes jointes, programmationpar intervalles, réduction des scénarios.

Les points en commun de mes travaux de recherche résident dans l’intégration des aléas dansplusieurs problèmes d’optimisation et leurs résolution d’une manière exacte.

L’intérêt de la résolution exacte est de montrer la capacité de ces méthodes de résoudre desproblèmes de taille importante. À mon avis une fois la modélisation linéaire existe le challengede chercheur est de pousser les limites de méthodes exactes à résoudre ces problèmes. Une foisles limites sont atteintes, les méthodes approchées (heuristiques et méta-heuristiques) peuvent

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F. Hnaien

utilisées ces résultats pour se comparer et aussi peuvent être hybridées.

La suite de mes travaux s’inscrit dans l’approfondissement de problématiques étudiées.

Perspectives liées à l’approvisionnement des systèmes d’as-

semblage

En particulier pour le système d’assemblage, notre perspective est d’ajouter le prix d’achatcomme un autre critère qui permet d’avoir moins d’incertitudes et qui minimise d’avantage lecoût total. En eet, les entreprises ont tendance à choisir les fournisseurs les moins chers quisont généralement délocalisés en Asie et vu l’éloignement plusieurs aléas peuvent surgir. Cesaléas causent des ruptures et poussent les entreprises à stocker pour en faire face. Choisir unfournisseur plus cher et plus proche est une solution plus sûre et peut revenir en n de comptemoins chère et permet d’avoir un taux de service assez élevé.

Une autre piste de recherche plus technique que je souhaite aborder est d’étudier le cas où ladistribution de probabilités de délai d’approvisionnement n’est pas connue. Dans ce cas, l’opti-misation par intervalle ou la logique oue peut être une solution intéressante pour faire face àces types d’aléas. Dans ce que suit, nous développons l’idée de l’optimisation par intervalle pourle problème de gestion de stock de système d’assemblage traité dans le chapitre 1.

minn∑i=1

hi · [Rmax − (t±i − xi)] + b ·Rmax (1)

Rmax ≥ t±i − xi, ∀i (2)li ≤ xi ≤ ui ∀i (3)Rmax ≥ 0 (4)xi ∈ N ∀i (5)

En développant la fonction objectif (1), la constanten∑i=1

hi · t±i peut être simpliée et la fonction

objectif peut être réécrite comme suit :

minn∑i=1

hi · [Rmax + xi] + b ·Rmax (6)

Dans l’optimisation par intervalle (2)-(6), l’incertitude, représentée par intervalles, aecte uni-quement les coecients du membre droit des contraintes. Par conséquent, l’ensemble des solu-

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Conclusions générales

tions réalisables n’est pas exactement connu et toute solution peut ne pas être réalisable pourtoutes les contraintes du membre droit. En conséquence, les critères d’optimisation de min-maxclassiques ne peuvent pas être directement employées (Gabrel et al., 2010).

Dans la situation où l’incertitude aecte les coecients du membre droit des contraintes, deuxcritères sont classiquement considérés : le critère de pire cas et le critère de meilleur cas.

Soit P q le programme linéaire par intervalles (2)-(6) lorsque le membre gauche des contraintesest conguré par t, t variant dans l’intervalle t± : t− ≤ t ≤ t+, t± = (t±1 , · · · , t±n ). Ainsi, dans lecas où l’incertitude porte sur les coecients du second membre, la recherche d’une solution opti-misant le critère du pire cas, et respectivement du meilleur cas, revient à résoudre le programme,noté WORST et respectivement BEST, tels que formalisés ci-après :

BEST :

min P q

s.t q− ≤ q ≤ q+ (7)

WORST :

max P q

s.t q− ≤ q ≤ q+ (8)

Par conséquent, le problème dans le pire (le meilleur) critère revient à déterminer la solution xpire(xmeilleure).Théorème : (Gabrel et al., 2010) L’application du critère du pire (meilleure) cas sur un programmelinéaire, dont les coecients du second membre des contraintes avec inégalités sont incertains etdénis par intervalles, est un problème polynomial.

Dans le programme intervalle (2)-(6), les contraintes aectées par l’incertitude sont exclusive-ment des inégalités. Ainsi, en vertu du théorème précédent, l’application des critères du pire caset du meilleur cas sur sa faisabilité, débouche sur des versions robustes polynomialement sol-vables, le calcul du pire optimum devenant NP-dicile que pour les programmes linéaires aveccontraintes d’égalité.

Compte tenu de sa faisabilité quelle que soit la conguration du second membre des contraintes,la solution optimale du programme WORST est qualiée en tant que robuste. En revanche, le pro-gramme BEST fournit la meilleure solution admissible, permettant ainsi de mesurer l’incidencesur la fonction-objectif vis-à-vis de l’incertitude portant sur les coecients du second membredes contraintes.

Perspectives liées à la réduction des scénarios

Dans le chapitre 2, nous avons abordé le problème de gestion des risques de dégradation de laqualité de céréales, tout en tenant compte des aléas météorologiques. En ce sens, un modèle souscontraintes probabilistes jointes a été proposé. Pour pallier la malédiction de la dimensionnalité

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qui résulte de la taille de l’ensemble des scénarios du problème, et qui augmente exponentielle-ment avec la longueur de l’horizon de temps, deux techniques de réduction de scénarios ont étéappliquées. Une perspective théorique très intéressante, a été trouvée par hasard, suite à la dé-monstration de complexité du problème d’approvisionnement de système d’assemblage du cha-pitre 1. En eet, nous avons démontré que le problème de planication des approvisionnementde système d’assemblage avec niveau de service est un problème multiot abordable pour desinstances de grande taille grâce à sa structure spécique. Le problème de réduction de scénariocomme présenté dans Dentcheva et al. (2002) se ramène au problème suivant :

minn∑i=1

ui∑j=mi

hi · j · yij (9)

n∑i=1

ui∑j=mi

ln(Fi(j))yij ≥ ln(p), (10)

ui∑j=mi

yij = 1, ∀i (11)

yij ∈ 0, 1 ∀i,∀j (12)

Les auteurs mentionnent que c’est un problème de Sac à dos qui est connu NP-dicile à résoudredans le cas générale. Mais pour ce cas particulier, où ln(Fi(j)) est une fonction décroissante dej, ils existent des algorithmes pseudo-polynomiales pour ce type de Sac à dos Gabrel and Wolsey(1988). Les auteurs n’ont pas constaté que grâce à croissance discontinue par morceaux de lafonction objectif hi · j le problème est traitable pour des instances de grande taille comme nousl’avons évoqué dans le chapitre 1.

Dans la continuité des résultats obtenus, notre future contribution proposera une méthode deréduction des scénarios ecace qui se résout via un modèle multiot exploitant sa nature spéci-que.

Perspectives liées aux aléas dûs à la maintenance

Dans le chapitre 3, nous nous sommes intéressés aux problèmes d’ordonnancement et de plani-cation avec indisponibilités dûs à la maintenance. Nos méthodes de résolution peuvent être gé-néralisés pour des structures d’atelier plus complexes à plusieurs machines (seri-parallèle). Ainsiles outils d’optimisation stochastique que nous avons l’occasion d’appliquer dans les chapitresprécédents peuvent être appliqués pour modéliser les aléas de panne machine.

Une autre piste intéressante est de considérer la gestion de production face aux plusieurs aléastelles que les pannes machines, les délais d’approvisionnement et la demande de produits nis.

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Conclusions générales

L’objectif de cette étude est de décider combien de pièces à fabriquer chaque période an desatisfaire la demande des clients qui est souvent aléatoire. Pour absorber les aléas de la pannemachine, les industriels mettent en place des opérations de maintenance préventives. Pour lesaléas de délais et de la demande, il est nécessaire d’être en possession de tous les composants,pour fabriquer les produits demandés et les livrer à la date voulue. En eet, une mauvaise poli-tique d’approvisionnement en composants conduit soit à des retards de livraison, qui engendrentdes frais, soit à des stocks inutiles. L’objectif de cette étude est d’étudier la gestion de la produc-tion en tenant compte de ces aléas. Il s’agit de décider combien stocker ? Combien produire ? Surquelle machine ? an d’absorber les aléas tout en tenant en compte des opérations de mainte-nances préventives qui sont coûteuses et qui réduisent la capacité des machines. Le deuxièmeintérêt est de montrer l’avantage de traiter tous les aléas ensemble et l’impact de ces aléas sur lasolution globale. L’objectif pratique de notre étude étant également de fournir des techniques deparamétrage des progiciels de gestion de production intégré (MRP) et des logiciels de gestion demaintenance assistée par ordinateur (GMAO) en présence de ces d’aléas.

Perspectives liées à la conception des réseaux

Au cours des dernières années, les réseaux de capteurs sans l connaissent incontestablementun véritable épanouissement. Ce phénomène s’explique par un ensemble de facteurs propicesà leur utilisation, tels que : la baisse des coûts de fabrication, l’augmentation de la durée devie, la miniaturisation des composantes, etc. Ainsi, si l’extension de la dimension d’un réseaude capteurs ne représente plus un problème en soi, sa coordination ecace reste un challengemajeur.

Dans ce domaine à caractère très technologique et vu l’expansion croissante des applications po-tentielles (militaire, médicale, urbaine, domestique, d’exploration terrestre/sous-marine, etc.), lagestion ecace d’un réseau de capteurs représente actuellement un courant thématique central,étant en pleine émergence, pour les chercheurs.

Bien que les implémentations des réseaux de capteurs soient fortement liées à la nature des appli-cations, plusieurs aspects de base restent susamment génériques, et notamment la couverture,la connectivité et la qualité de service.

Étant un domaine pluridisciplinaire, plusieurs communautés scientiques se sont intéressées auxproblèmes soulevés par la gestion d’un réseau de capteurs sans l. En résumant, distinguons lesprincipaux outils proposés par celles-ci pour aborder ecacement un réseau de capteurs :

p approches algorithmiques : ces approches sont basées sur l’imbrication de diérents outils(souvent, de gestion) spécialement conçues pour des applications dédiées.

p programmation linéaire/entière/mixte : ces approches permettent de résoudre des pro-blèmes d’optimisation liés à la taille, durée de vie ou consommation d’énergie d’un réseau,

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sujet aux contraintes de couverture et /ou connectivité, etc. Étant souvent modélisés sousforme de problèmes NP-dicile, la taille des applications qui peuvent être résolues resteconsidérablement inférieure aux besoins industriels.

p topologie algébrique de complexes simpliciaux : les outils de la topologie algébriques’avèrent appropriés pour décrire les réseaux de capteurs. Plus précisément, ils permettentd’évaluer la couverture, la connectivité et la caractéristique d’Euler sans avoir besoin deconnaître les positions et les orientations des capteurs De Silva and Ghrist (2007a); Gabrelet al. (2010); De Silva and Ghrist (2007b).

Fort de tout ce qui précède, nous nous proposons de conjuguer les deux disciplines, la rechercheopérationnelle et la topologie algébrique, pour répondre convenablement à la coordination d’unréseau de capteurs d’une taille industrielle. Leur conjonction permettra de manipuler avec lespropriétés d’un réseaux de capteurs extraites par les outils de la topologie algébriques pour êtreaprès exploitées dans le cadre des problèmes qui optimisent diérents critères inhérents à unegestion convenable.

Tel que précisé précédemment, la coordination d’un réseau de capteurs pose diérents problèmesd’optimisation : minimisation de la consommation d’énergie, maximisation de la durée de vie, etc.En représentant les réseaux de capteurs par l’intermédiaire de graphes, ces problèmes ont été déjàtraités dans le cadre de la recherche opérationnelle à travers le prisme (et dans la limite) de laprogrammation linéaire. Cependant, ceux sont souvent de problèmes diciles, dont la résolutioncorrespondant aux réseaux de capteurs de taille industrielle n’est pas évidente même avec lesméthodes approximatives. De plus, la représentation d’un réseau de capteurs par le biais d’ungraphe présuppose la connaissance a priori des coordonnées des capteurs, requête encombrantepour la plupart des applications.

Étant donné la structure d’un réseau de capteur, le graphe constitue un objet géométrique capablede le représenter. Les capteurs peuvent être vus en tant que sommets d’un graphe dont les arêtesdénotent la connectivité et/ou la communication entre les capteurs.

Cependant, la représentation par graphe comporte plusieurs limitations : (i) la couverture nepeut pas être constatée/vériée immédiatement ; (ii) elle permet uniquement de modéliser desrelations binaires entre ses sommets, etc.

An de mieux caractériser la topologie d’un réseau de capteurs, nous préconisons de générali-ser les graphes à des objets combinatoires génériques, appelés complexes simpliciaux abstraits.Capable de modéliser des relations d’ordre supérieur, les complexes simpliciaux peuvent fournirune description dèle de tels aspects comme la connectivité et/ou couverture d’un réseaux decapteurs.

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Conclusions générales

Perspectives liées à la technique de représentation de l’es-

pace de solution

Pour faire face à l’explosion combinatoire engendrée par l’utilisation des méthodes exactes lesheuristiques ou les méta-heuristiques exploitent généralement des processus aléatoires dans l’ex-ploration de l’espace de recherche. En plus de ce processus stochastique, les méta-heuristiquessont le plus souvent itératives, ainsi le même processus de recherche est répété lors de la réso-lution pour converger à une solution stable. Leur principal intérêt provient justement de l’in-tensication pour explorer le mieux l’espace de recherche des solutions et de la diversicationan d’éviter les minima locaux au cours de leur progression. Dans le chapitre 5, nous avons étu-dié une nouvelle manière de mieux explorer l’espace de recherche des solutions en contrôlantmieux le processus stochastique en introduisant la notion des zones. Nous avons proposé unefonction bijective de conversion de l’espace en plusieurs zones. Ces zones, nous pouvons mieuxles explorer et les évaluer qu’avec les métaheuristiques classiques qui s’appuient généralementque sur la valeur de la fonction objectif pour orienter l’intensication et la diversication. Notretechnique de représentation de l’espace de solution a été validée pour un problème d’ordonnan-cement et pour plusieurs méta-heuristiques. Il reste à conrmer ces résultats en menant plusieursexpérimentations sur d’autres problèmes d’optimisation.

Conclusions et perspectives d’ordre général

Après ma thèse de doctorat, j’ai pensé à continuer de travailler sur la suite de mes travaux sur lagestion des stocks face aux aléas. Mais la vie d’un nouveau maître de conférences qui s’installedans une nouvelle équipe avec des thèmes déjà dénis doit s’intégrer dans l’équipe et ne soitpas un maillon libre. De ce fait, j’ai été sollicité à travailler sur le problème d’ordonnancement etspécialement avec indisponibilités. De coup, une deuxième compétence vient de se rajouter à mescompétences en gestion des stocks face aux aléas de délais d’approvisionnement. Rapidement cenouveau domaine commence à me passionner et j’ai proposé une thèse qui a eu une bourseministère sur la gestion de production face aux aléas qui regroupe les travaux présentés dans lechapitres 1 et 3 et qui utilisera les outils d’optimisation stochastique présentés dans le chapitre 2et les nouvelles métaheuristiques présentées dans le chapitre 5.

Et puis, j’ai été sollicité par mon laboratoire à assister à une réunion de présentation du probléma-tique chez la coopérative agricole la SCARA dans la région Champagne-Ardenne. Cette réuniona été concrétisée par un projet régional dont une thèse Cifre que j’ai co-encadrée sur le problèmede la logistique agricole. Cette thèse nous a permis de découvrir des outils d’optimisation sto-chastique statique comme la réduction des scénarios, dynamique pro-active, l’optimisation parintervalle et la simulation.

En parallèle, j’ai été sollicité pour participer à un projet ANR multidisciplinaire porté par le Labo-

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ratoire Modélisation et Sûreté des systèmes (LM2S) à l’UTT sur les réseaux de capteurs. Ce projetcomporte une thèse et un Post-doctorat. Ce projet m’a permis d’appliquer mes compétences enoptimisation discrète.

Pour nir, j’ai participé à un projet régional nancé par La Communauté de l’AgglomérationTroyenne (CAT) : Méthodes d’optimisation multicritères au niveau de la gestion des énergies etdes ressources renouvelables dans le domaine industriel. Durant ce projet, j’ai co-encadré unethèse sur les métaheuristiques. Cette thèse nous a permis de proposer une nouvelle méthode(voir Autuori et al. (2015)) qui a été publiée dans la revue "Journal of Heuristics" répétée dans ledomaine.

C’est ainsi que ma boite à outils devient de plus en plus riche en techniques de modélisation etoutils de résolution. Ma perspective globale sera d’appliquer mes compétences aux réseaux decapteurs qui m’attirent beaucoup. La conception de réseaux de capteurs sera un domaine d’ap-plication intéressant. Jusqu’à maintenant, nous n’avons traité que le problème de couverture etconnectivité. Mais, les réseaux de capteurs est un système complexe où on trouve les problèmesd’ordonnancement des tâches de capteur, la planication des trajectoires pour les capteurs mo-biles, la gestion d’énergie, ..., etc.

En eet, je conclus par l’opportunité de créer une entreprise sur la localisation Indoor suite aubrevet déposé "SNOUSSI, H, LE BERRE M, REBAI, M, HNAIEN, F, Système d’optimisation dedéploiement de capteurs pour la localisation de cibles, utilisation du système et procédé d’opti-misation, déposé le 19 juin 2015, n°1555660." et suite au projet mené avec l’hôpital de Troyes quis’intéresse vraiment à la mise en place de ce produit dans ses locaux.

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Bibliographie

Abdelhak, B. J., Najib, E., Abdelaziz, H., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2014). Optimum sizing of hybridpv/wind/battery using fuzzy-adaptive genetic algorithm in real and average battery service life. InPower Electronics, Electrical Drives, Automation and Motion (SPEEDAM), 2014 International Symposiumon, pages 871–876. IEEE.

Aghezzaf, E., Jamali, M., and Ait-Kadi, D. (2007). An integrated production and preventive maintenanceplanning model. European Journal of Operational Research, 181(2) :679 – 685.

Aghezzaf, E. and Najid, N. M. (2008). Integrated production planning and preventive maintenance indeteriorating production systems. Information Sciences, 178(17) :3382 – 3392.

Alaoui-Selsouli, M., Mohad, A., and Najid, N. (2012). Lagrangian relaxation based heuristic for an in-tegrated production and maintenance planning problem. International Journal of Production Research,50(13) :3630–3642.

Allaoui, H., Artiba, A., Elmaghraby, S., and Riane, F. (2006). Scheduling of a two-machine owshop withavailbility constraints on the rst machine. International Journal of Production Economics, 99 :16–27.

Allaoui, H., Lamouri, S., Artiba, A., and Aghezzaf, E. (2008). Simultaneously scheduling n jobs and thepreventive maintenance on the two-machine ow shop to minimize the makespan. International Journalof Production Economics, 112 :161–167.

Autuori, J., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2012). Comparison of metaheuristics for solving the bi-objectiveexible job shop problem. In International Conference on Metaheuristics and Nature Inspired Computing(META), Sousse, Tunisia, 27 october 2012 - 1 November 2012.

Autuori, J., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2014). A guided exploration method of genetic algorithm forexible job shop problem. International Conference on Metaheuristics and Nature Inspired Computing,Marrakech/Maroc, 27-31 octobre 2014.

Autuori, J., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2015). A mapping technique for better solution exploration :Nsga-ii adaptation. Journal of Heuristics, pages 1–35.

Autuori, J., Hnaien, F., Yalaoui, F., Hamzaoui, A., and Essounbouli, N. (2013). Comparison of solutionspace exploration by nsga2 and spea2 for exible job shop problem. In Control, Decision and InformationTechnologies (CoDIT), 2013 International Conference on, pages 750–755. IEEE.

Ben Ammar, O., Dolgui, A., Hnaien, F., and Louly, M. A. O. (2013a). Supply planning and inventory

135

Page 138: Download file «manuscript_HDR_hnaien.pdf

F. Hnaien

control under lead time uncertainty : A review. In 7th IFAC Conference on Manufacturing Modelling,Management, and Control, volume 7, pages pp–359. Elsevier Science, IFACPapersOnline. net.

Ben Ammar, O., F, Hnaien., Marian, H., and Dolgui, A. (2015). Optimization approaches for multi-levelassembly systems under stochastic lead times. chapter in metaheuristics for production systems. Sprin-ger.

Ben Ammar, O., Hnaien, F., Marian, H., and Dolgui, A. (2013b). Planication des réapprovosopnnementspour un système d’assemblage à deux niveaux quand les délais d’approvisionnement sont aléatoires.14ème Congrès Annuel de la Société Française de Recherche Opérationnelle et d’Aide à la Décision (ROA-DEF), Troyes, les 13-15 février 2013.

Ben Jemaa, A., Hamzaoui, A., Essounbouli, N., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2013). Optimum sizing ofhybrid pv/wind/battery system using fuzzy-adaptive genetic algorithm. In Systems and Control (ICSC),2013 3rd International Conference on, pages 810–814. IEEE.

Beraldi, P. and Ruszczyński, A. (2005). Beam search heuristic to solve stochastic integer problems underprobabilistic constraints. European Journal Of Operational Research, 167(1) :35–47.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2012a). Gestion des ux de céréales d’unecoopérative agricole. 13ème Congrès Annuel de la Société Française de Recherche Opérationnelle et d’Aideà la Décision (ROADEF), Angers, les 11-13 Avril 2012.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2012b). A scenario-based approach for qualityrisk management : case of annual crops scheduling. In International Conference on Metaheuristics andNature Inspired Computing (META), Sousse, Tunisia, 27 october 2012 - 1 November 2012.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2013a). Combined simulation and optimizationapproach for an agricultural supply chain redesign. In Proceeding of the 22nd International Conferenceon Production Research, pages 1–10.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2013b). A discrete event simulation model forharvest operations under stochastic conditions. In Networking, Sensing and Control (ICNSC), 2013 10thIEEE International Conference on, pages 708–713.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2013c). Simulation et analyse des perfor-mances d’une chaîne logistique agricole. 14ème Congrès Annuel de la Société Française de RechercheOpérationnelle et d’Aide à la Décision (ROADEF), Troyes, les 13-15 février 2013.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2014a). An application of the discrete eventsimulation for ecient crop production supply chain. In 10th International Conference on MOdeling,Optimization and SIMlation (MOSIM), pages 1–10, Nancy, France.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2014b). A bi-objective chance constrainedprogramming model for ecient crop harvest scheduling. In 18th International Symposium on Inventories(ISIR), Budapest, Hungary.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2014c). Crop harvest scheduling on a rol-ling horizon basis : a farm-dedicated operational application. In EURO Mini-Conference on StochasticProgramming (ECSP), Paris, France.

136

Page 139: Download file «manuscript_HDR_hnaien.pdf

BIBLIOGRAPHIE

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2014d). A decision support system for ecientcrop production supply chain management. In Computational Science and Its Applications - ICCSA 2014,volume 8583 of Lecture Notes in Computer Science, pages 775–790.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2014e). An interval programming approachfor an operational transportation planning problem. In Information Processing and Management ofUncertainty in Knowledge-Based Systems, volume 442 of Communications in Computer and InformationScience, pages 117–126.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2014f). A quality risk management problem :case of annual crop harvest scheduling. International Journal of Production Research, 52(9) :2682–2695.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2015a). Cots software integration for simula-tion optimization coupling : case of arena and cplex products. European Journal of Operational Research.(soumis, juin 2015).

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2015b). Handling uncertainty in agriculturalsupply chain management : a state of the art. European Journal of Operational Research, pages 1–12. (enrévision depuis octobre 2015).

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2015c). Predictive modelling with panel dataand multivariate adaptive regression splines : case of farmers’ crop delivery for a harvest season ahead.Stochastic Environmental Research and Risk Assessment, pages 1–17.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien, F., and Labadie, N. (2015d). A proactive dynamic approach and arolling multi-step chance-constrained model for the crop quality control problem. European Journal ofOperation Research, 246(2) :631 – 640.

Borodin, V., Bourtembourg, J., Hnaien F., and Labadie, N. (2014g). Système d’aide à la décision pourune chaîne logistique agricole performante. ROADEF - 15ème congrès annuel de la Société française derecherche opérationnelle et d’aide à la décision, Bordeaux, France, February 2014.

Borodin, V., Dolgui, A., Hnaien, F., and Labadie, N. (2015e). Replenishment planning for single levelassembly system under random component lead times : a chance constrained programming approach.International Journal of Production Economics. (en révision depuis juin 2015).

Borodin, V., Hnaien, F., Dolgui, A., and Labadie, N. (2014h). Chance-constrained programming for onelevel assembly system under random lead times. In 18th International Symposium on Inventories (ISIR),Budapest, Hungary.

Boros, E., Elbassioni, K., Gurvich, V., Khachiyan, L., and Makino, K. (2003). An intersection inequality fordiscrete distributions and related generation problems. InAutomata, Languages and Programming, 30-thInternational Colloquium, ICALP 2003, Lecture Notes in Computer Science (LNCS) 2719, pages 543–555.

Budai, G., Dekker, R., and Nicolai, R. (2008). Maintenance and production : A review of planning models.In Complex System Maintenance Handbook, Springer Series in Reliability Engineering, pages 321–344.Springer London.

Burrell, J., Brooke, T., and Beckwith, R. (2004). Vineyard computing : Sensor networks in agriculturalproduction. IEEE Pervasive Computing, 3 :38–45.

137

Page 140: Download file «manuscript_HDR_hnaien.pdf

F. Hnaien

Chenga, T. E. and Wangb, G. (2000). An improved heuristic for two-machine owshop scheduling with anavailability constraint. Operations Research Letters, 26 :223–229.

Chu, C., Proth, J.-M., and Xie, X. (1993). Supply management in assembly systems. Naval Research Logistics,40 :933–949.

De Silva, V. and Ghrist, R. (2007a). Coverage in sensor networks via persistent homology. Algebraic &Geometric Topology, 7(1) :339–358.

De Silva, V. and Ghrist, R. (2007b). Coverage in sensor networks via persistent homology. Algebraic &Geometric Topology, 7(1) :339–358.

Deb, K., Pratap, A., Agarwal, S., and Meyarivan, T. (2002). A fast and elitist multiobjective genetic algo-rithm : NSGA-II. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 6(2) :182–197.

Dentcheva, D., Prékopa, A., and Ruszczyński, A. (2001). On convex probabilistic programming with dis-crete distributions. Nonlinear Analysis : Theory, Methods & Applications, 47(3) :1997 – 2009.

Dentcheva, D., Prékopa, A., and Ruszczyński, A. (2002). Bounds for probabilistic integer programmingproblems. Discrete Applied Mathematics, 124(1-3) :55 – 65.

Dentcheva, D., Prékopa, A., and Ruszczyński, A. (2000). Concavity and ecient points of discrete distri-butions in probabilistic programming. Mathematical Programming, 89(1) :55–77.

Dolgui, A., Hnaien, F., Louly, A., and Marian, H. (2008). Parameterization of MRP for Supply PlanningUnder Uncertainties of Lead Times. In (Ed.), V. K., editor, Supply Chain, pages p. 247–262, ISBN 978–3–902613–22–6. I-Tech Education and Publishing.

Dolgui, A., O., B. A., Hnaien, F., and M. A., L. (2013). A state of the art on supply planning and inventorycontrol under lead time uncertainty. Studies in Informatics and Control, 22(3) :255–268.

Díaz-Madroñero, M., Mula, J., and Jiménez, M. (2014). Fuzzy goal programming for material require-ments planning under uncertainty and integrity conditions. International Journal of Production Research,52(23) :6971–6988.

Even, S., Itai, A., and Shamir, A. (1975). On the complexity of time table and multi-commodity ow pro-blems. In Foundations of Computer Science, 1975., 16th Annual Symposium on, pages 184–193.

Fisher, M. L., Jaikumar, R., and Wassenhove, L. N. V. (1986). A multiplier adjustment method for thegeneralized assignment problem. Management Science, 32(9) :1095–1103.

Fitouhi, M.-C. and Nourelfath, M. (2012). Integrating noncyclical preventive maintenance scheduling andproduction planning for a single machine. International Journal of Production Economics, 136(2) :344–351.

Gabrel, G. and Wolsey, L. (1988). Integer and combinatorial optimization.

Gabrel, V., Murat, C., and Remli, N. (2010). Linear programming with interval right hand sides. Interna-tional Transactions in Operational Research, 17(3) :397–408.

Garey, M., Johnson, D., and Sethi, R. (1976). The complexity of owshop and job shop scheduling. Mathe-matics of Operations Research, 1 :117–129.

138

Page 141: Download file «manuscript_HDR_hnaien.pdf

BIBLIOGRAPHIE

Growe-Kuska, N., Heitsch, H., and Römisch, W. (2003). Scenario reduction and scenario tree constructionfor power management problems. In Power Tech Conference Proceedings, 2003 IEEE Bologna, volume 3,pages 1–7.

Heitsch, H. and Römisch, W. (2003). Scenario reduction algorithms in stochastic programming. Compu-tational Optimization and Applications, 24(2-3) :187–206.

Heitsch, H. and Römisch, W. (2007). A note on scenario reduction in stochastic for two stage stochasticprograms. Operations Research Letters, 35(6) :731–736.

Henrion, R., Küchler, C., and Römisch, W. (2008). Discrepancy distances and scenario reduction in twostagestochastic mixed-integer programming. Journal of Industrial and Management Optimization, 4(2).

Hnaien, F., Borodin, V., Dolgui, A., and Labadie, N. (2015a). Procurement planning for one-level assemblysystems with random lead times : a two-stage stochastic programming approach. Joint ORSC/EUROInternational Conference 2015 on Continuous Optimization, Shanghai, China, May 10-12.

Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2008a). A genetic algorithm for replenishment of two-levelassembly systems. In 9th IFAC Workshop on Intelligent Manufacturing Systems (IMS’08), pages 213–218.

Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2008b). A supply planning for two-level assembly systems withrandom lead times : Genetic algorithm. In Workshop Metaheuristics for Logistics and Vehicle Routing.

Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2008c). A supply planning for two-level assembly systems withrandom lead times : genetic algorithm. Research Report G2I-EMSE 2008-500-002, April 2008, Ecole desMines de Saint Etienne, pages 1–28.

Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2009a). Bi-objective optimization for supply planning of two-levelassembly systems under uncertainty of lead times. Research Report G2I-EMSE 2009-500-007, January2009, Ecole des Mines de Saint Etienne, pages 1–21.

Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2009b). Genetic algorithm for supply planning in two-levelassembly systems with random lead times. Engineering Applications of Articial Intelligence, 22(6) :906– 915.

Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2009c). Un algorithme bi-objectif pour les systèmes d’assemblagebi-niveau avec incertitude de délais d’approvisionnement. 10ème Congrès de la Société Française deRecherche Opérationnelle et d’Aide à la Décision (ROADEF), Nancy-Université, INRIA, 10-12 février, 2009.

Hnaien, F., Delorme, X., and Dolgui, A. (2010a). Multi-objective optimization for inventory control in two-level assembly systems under uncertainty of lead times. Computers & Operations Research, 37(11) :1835– 1843.

Hnaien, F. and Dolgui, A. (2006). A supply planning model for multilevel assembly systems under randomlead times. In Emerging Technologies and Factory Automation, 2006. ETFA’06. IEEE Conference on, pages1348–1351. IEEE.

Hnaien, F. and Dolgui, A. (2008). Planication d’une chaîne logistique linéaire multi-niveau soumis auxaléas des délais d’approvisionnements. Conférence scientique conjointe en Recherche Opérationnelle etAide à la Décision FRANCORO V / ROADEF 2007, 20-23 février 2007, Grenoble.

139

Page 142: Download file «manuscript_HDR_hnaien.pdf

F. Hnaien

Hnaien, F. and Dolgui, A. (2010). Le paramétrage du mrp sous incertitudes de délais d’approvisionnementset demande : le cas de système d’assemblage a un niveau. In Actes de 8e Conférence InternationaleModélisation et Simulation (MOSIM’10), Hammamet, Tunisie, les 10-12 mai 2010, Clé USB, page 8 pages.

Hnaien, F. and Dolgui, A. (2011). The one-period inventory control for one-level assembly systems underuncertainty. In International Conference on Production Research (ICPR 21) : Innovation in Product andProduction, page 6p.

Hnaien, F. and Dolgui, A. (2014). An ecient exact method for multilevel serial systems under uncertaitiesof lead times and xed demand. In Joint Symposium Computers and Industrial Engineering and IntelligentManufacturing and Service Systems (CIE44 & IMSS’14), pages 2182–2194.

Hnaien, F., Dolgui, A., Boukir, L., and Louly, M.-A. O. (2006a). Optimal release dates in multiperiod andmultilevel supply chain with random lead times. In International Mediterranean Modelling Multiconfe-rence (I3M’2006), pages 75–82. LogiSim.

Hnaien, F., Dolgui, A., Delorme, X., and Marian, H. (2008d). Planication des réapprovisionnementsd’un système d’assemblage à multi-niveau soumis aux aléas des délais d’approvisionnement par unalgorithme génétique. 9ème Congrès de la Société Française de Recherche Opérationnelle et Aide à laDécision - ROADEF 2008, 25-27 février 2008, Clermont-Ferrand.

Hnaien, F., Dolgui, A., and Louly, M.-A. (2010b). Key performance indicators for supply planning ofmultilevel serial systems with stochastic lead times. Control and Cybernetics, 39(1) :133–148.

Hnaien, F., Dolgui, A., and Louly, M.-A. O. (2006b). The optimal release dates in multilevel assemblysystems with random lead times. In Proceedings of the 36 th International Conference on Computers andIndustrial Engineering, pages 21–23.

Hnaien, F., Dolgui, A., and Louly, M.-A. O. (2006c). Supply planning in multilevel assembly systems underlead times uncertainties. In Service Systems and Service Management, 2006 International Conference on,volume 2, pages 1014–1019. IEEE.

Hnaien, F., Dolgui, A., and Louly, M. A. O. (2009d). Mrp parameterization under lead times uncertainties :Case of multilevel serial production systems. In Computers & Industrial Engineering, 2009. CIE 2009.International Conference on, pages 863–868. IEEE.

Hnaien, F., Dolgui, A., Louly, M.-A. O., and Marian, H. (July 29 - August 2, 2007a). Optimal order releasefor multilevel assembly systems under random lead times and constant demand. In 19th InternationalConference on Production Research (ICPR-19), Jose A. Ceroni (Ed.), Valparaiso, Chile,, pages ISBN : 978–956–310–751–7, 7 pages.

Hnaien, F., Dolgui, A., Marian, H., and Louly, M.-A. O. (2007b). Supply planning for multilevel produc-tion systems with stochastic lead times. In 37th International Conference on Computers & IndustrialEngineering, pages 825–834.

Hnaien, F., Dolgui, A., Marian, H., and Ould Louly, M.-A. (2007c). Planning order release dates for mul-tilevel linear supply chain with random lead times. Systems Science, 31(1) :19–25.

Hnaien, F., Dolgui, A., and Ould-Louly, M.-A. (2006d). The optimal release dates in multi-level assembly

140

Page 143: Download file «manuscript_HDR_hnaien.pdf

BIBLIOGRAPHIE

systems with random lead times. Research Report G2I-EMSE 2006-500-010, September 2006, Ecole desMines de Saint Etienne, pages 1–11.

Hnaien, F., Dolgui, A., and Ould-Louly, M.-A. (2007d). Optimization of supply planning for multilevelproduction systems under lead time uncertainties. Research Report G2I-EMSE 2007-500-003, March 2007,Ecole des Mines de Saint Etienne, pages 1–23.

Hnaien, F., Dolgui, A., and Ould Louly, M.-A. (2008e). Planned lead time optimization in material require-ment planning environment for multilevel production systems. Journal of Systems Science and SystemsEngineering, 17(2) :132–155.

Hnaien, F., Dolgui, A., and Ould-Louly, M.-A. (2011a). Planication multi-période des réapprovisionne-ments d’un système d’assemblage à plusieurs niveaux face aux aléas des délais d’approvisionnements.12ème Congrès Annuel de la Société Française de Recherche Opérationnelle et d’Aide à la Décision (ROA-DEF), Saint-Etienne, les 2-4 mars 2011.

Hnaien, F., Dolgui, A., and Wu, D. (2015b). Single-period inventory model for one-level assembly systemwith stochastic lead times and demand. International Journal of Production Research, pages 1–18.

Hnaien, F., Marian, H., Dolgui, A., and Louly, M.-A. O. (2007e). Planication des réapprovisionnementsd’un système d’assemblage à deux niveaux soumis aux aléas des délais d’approvisionnement. In 7econgrès de Génie industriel.

Hnaien, F., Murat, A., and Dolgui, A. (2013). Integration of additional purchase cost to reduce the leadtime uncertainty for one level assembly system. In 7th IFAC Conference on Manufacturing Modelling,Management, and Control, volume 7, pages pp–383. Elsevier Science, IFACPapersOnline. net.

Hnaien, F., Ould-Louly, M.-A., Dolgui, A., and Marian, H. (2009e). Approvisionnement en composantspour un système d’assemblage à deux niveaux. Research Report G2I-EMSE 2009-500-003, Juin 2009, Ecoledes Mines de Saint Etienne, pages 1–29.

Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2010a). Bi-objective optimization of ow-shop scheduling and preventivemaintenance problems. IIE annual conference, Cancun, Mexique, June 2010.

Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2010b). Optimisation biobjectif d’ordonnancement et de la maintenance d’unatelier ow-shop. In Actes de 8e Conférence Internationale Modélisation et Simulation (MOSIM’10), Ham-mamet, Tunisie, les 10-12 mai 2010, Clé USB, page 8 pages.

Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2011). Un algorithme bi-objectif pour l’optimisation de l’ordonnancementet la maintenance préventive d’un atelier ow-shop. 12ème Congrès Annuel de la Société Française deRecherche Opérationnelle et d’Aide à la Décision (ROADEF), Saint-Etienne, les 2-4 mars 2011.

Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2012a). A fuzzy multi-objective algorithm to obtain trade-o between cmax andavailability of ow-shop. In Information Control Problems in Manufacturing, volume 14, pages 1389–1394.

Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2012b). Scheduling job and preventive maintenance to obtain trade-o betweencmax and availability of 2-level ow-shop. FLINS2012, 10th International Conference on Foundations andApplications of Computational Intelligence, Istanbul, Turkie, August 2012.

141

Page 144: Download file «manuscript_HDR_hnaien.pdf

F. Hnaien

Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2013). A bi-criteria ow-shop scheduling with preventive maintenance. InManufacturing Modelling, Management, and Control, volume 7, pages 1387–1392.

Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2015a). Integrated production scheduling and age-based preventive main-tenance planning in the owshop problem. In 11th Metaheuristics International Conference, MIC’2015,Agadir , Maroc, June 7-10.

Hnaien, F. and Yalaoui, F. (2015b). A mixed integer linear programming approaches to minimize themakespan for two-machine owshop with availability constraint on the second machine. EuropeanJournal of Operational Research. (soumis, septembre 2015).

Hnaien, F., Yalaoui, F., and Amodeo, L. (2011b). Tradeo between cmax and availability of 2 level ow-shop under corrective maintenance. OR2011, International Conference on OperationsResearch, Zurich,Switzerland, 30 August - 2 september 2011.

Hnaien, F., Yalaoui, F., and Mhadhbi, A. (2015c). Makespan minimization on a two-machine owshop withan availability constraint on the rst machine. International Journal of Production Economics, 164 :95 –104.

Hoai An, L. and Tao, P. (2002). D.c. programming approach for multicommodity network optimizationproblems with step increasing cost functions. Journal of Global Optimization, 22(1-4) :205–232.

Inderfurth, K. (2009). How to protect against demand and yield risks in MRP systems. InternationalJournal of Production Economics, 121(2) :474 – 481.

Jemaa, A. B., Rafa, S., Essounbouli, N., Hamzaoui, A., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2013). Estimation ofglobal solar radiation using three simple methods. Energy Procedia, 42(0) :406 – 415.

Kacem, I., Hammadi, S., and Borne, P. (2002a). Approach by localization and multiobjective evolutionaryoptimization for exible job-shop scheduling problems. IEEE Transactions on Systems, Man and Cyber-netics Part C : Applications and Reviews, 32(1) :1–13.

Kacem, I., Hammadi, S., and Borne, P. (2002b). Pareto-optimality approach for exible job-shop schedulingproblems : Hybridization of evolutionary algorithms and fuzzy logic. Mathematics and Computers inSimulation, 60(3-5) :245–276.

Kall, P. and Wallace, S. N. (1994). Stochastic Programming. JOHN WILEY and SONS.

Kaut, M. and Wallace, S. W. (2003). Evaluation of scenario-generation methods for stochastic program-ming. In World Wide Web, Stochastic Programming E-Print Series, pages 14–2003.

Kuo, F. Y. and Sloan, I. H. (2005). Lifting the curse of dimensionality. Notices of the AMS, 52 :1320–1329.

Lau, H., Chan, T., Tsui, W., Chan, F., Ho, G., and Choy, K. (2009). A fuzzy guided multi-objective evolutio-nary algorithm model for solving transportation problem. Expert Systems with applications, 36 :8255–8266.

Le Berre, M., Hnaien, F., and Snoussi, H. (2011). Multi-objective optimization in wireless sensors net-works. In Microelectronics (ICM), 2011 International Conference on, pages 1–4. IEEE.

Le Berre, M., Hnaien, F., and Snoussi, H. (2012). Optimisation multi-objectifs dans les réseaux de capteurs

142

Page 145: Download file «manuscript_HDR_hnaien.pdf

BIBLIOGRAPHIE

sans ls distribués. 13ème Congrès Annuel de la Société Française de Recherche Opérationnelle et d’Aideà la Décision (ROADEF), Angers, les 11-13 Avril 2012.

Le Berre, M., Hnaien, F., and Snoussi, H. (2013). A multi-objective modeling of k-coverage problem underaccuracy constraint. In Modeling, Simulation and Applied Optimization (ICMSAO), 2013 5th InternationalConference on, pages 1–6. IEEE.

Le Berre, M., Rebai, M., Hnaien, F., and Snoussi, H. (2015a). A bi-objective model for wireless sensordeployment considering coverage and tracking applications. International Journal of Sensor Networks.In press.

Le Berre, M., Rebai, M., Hnaien, F., and Snoussi, H. (2015b). A specic heuristic dedicated to a cove-rage/tracking bi-objective problem for wireless sensor deployment. Wireless Personal Communications,84 :2187–2213.

Lee, C.-Y. (1997). Minimizing the makespan in two-machine ow- shop scheduling problem with an avai-lability constraint. Operations Research Letters, 20 :129–139.

Lee, C.-Y. (1999). Two-machine owshop scheduling with availability constraints. European Journal ofOperational Research, 114 :420–429.

Louly, M.-A., Dolgui, A., and Hnaien, F. (2008a). Détermination des dates d’approvisionnement opti-males pour un système d’assemblage à deux niveaux. In 7e conférence internationale francophone demodélisation et simulation (MOSIM’08), pages 572–581.

Louly, M. A., Dolgui, A., and Hnaien, F. (2008b). Optimal supply planning in mrp environments forassembly systems with random component procurement times. International Journal of ProductionResearch, 46(19) :5441–5467.

Louly, M.-A., Dolgui, A., and Hnaien, F. (2008c). Planned lead times for one-level assembly system withservice level constraint. In Emerging Technologies and Factory Automation, 2008. ETFA 2008. IEEE Inter-national Conference on, pages 1504–1511. IEEE.

Louly, M.-A., Dolgui, A., and Hnaien, F. (2008d). Supply planning for single-level assembly system withstochastic component delivery times and service-level constraint. International Journal of ProductionEconomics, 115(1) :236 – 247.

Lu, Z., Zhang, Y., and Han, X. (2013). Integrating run-based preventive maintenance into the capacitatedlot sizing problem with reliability constraint. International Journal of Production Research, 51(5) :1379–1391.

Luedtke, J. (2010). An integer programming and decomposition approach to general chance-constrainedmathematical programs. In Integer Programming and Combinatorial Optimization, volume 6080 of Lec-ture Notes in Computer Science, pages 271–284.

Ma, Y., Chu, C., and Zuo, C. (2010). A survey of scheduling with deterministic machine availabilityconstraints. Computers & Industrial Engineering, 58 :199–211.

Mhadhbi, A., Hnaien, F., and Yalaoui, F. (2014). A branch and bound algorithm for the two-machineowshop scheduling problem with availability constraints. International Conference on Metaheuristicsand Nature Inspired Computing, Marrakech/Maroc, 27-31 octobre 2014.

143

Page 146: Download file «manuscript_HDR_hnaien.pdf

F. Hnaien

Minoux, M. (2001). Discrete cost multicommodity network optimization problems and exact solutionmethods. Annals of Operations Research, 106(1-4) :19–46.

Mula, J., Poler, R., García-Sabater, J., and Lario, F. (2006). Models for production planning under uncer-tainty : A review. International Journal of Production Economics, 103(1) :271 – 285.

Najid, N. M., Alaoui-Selsouli, M., and Mohad, A. (2011). An integrated production and maintenanceplanning model with time windows and shortage cost. International Journal of Production Research,49(8) :2265–2283.

Nourelfath, M. and Châtelet, E. (2012). Integrating production, inventory and maintenance planning fora parallel system with dependent components. Reliability Engineering & System Safety, 101(0) :59 – 66.

Nourelfath, M., Fitouhi, M., and Machani, M. (2010). An integrated model for production and preventivemaintenance planning in multi-state systems. Reliability, IEEE Transactions on, 59(3) :496–506.

Ouazene, Y., Hnaien, F., Yalaoui, F., and Amodeo, L. (2011). The joint load balancing and parallel ma-chine scheduling problem. In Hu, B., Morasch, K., Pickl, S., and Siegle, M., editors, Operations ResearchProceedings 2010, Operations Research Proceedings, pages 497–502. Springer Berlin Heidelberg.

Ouazène, Y., Hnaien, F., Yalaoui, F., and Amodeo, L. (2011). The joint load balancing and parallel machinescheduling problem. Operations Research Proceedings 2010 Selected Papers of the Annual InternationalConference of the German Operations Research Society.

Ould-Louly, M.-A., Dolgui, A., and Hnaien, F. (2011). B&b algorithm for supply planning of multilevelserial systems with stochastic lead times. 12ème Congrès Annuel de la Société Française de RechercheOpérationnelle et d’Aide à la Décision (ROADEF), Saint-Etienne, les 2-4 mars 2011.

Paredis, J. (1998). Coevolutionary algorithms. Evolutionary computation, 2 :224–238.

Potter, M. A. and De Jong, K. A. (1994). A cooperative coevolutionary approach to function optimization.pages 249–257.

Powell, W. B. (2007). Approximate Dynamic Programming : Solving the Curses of Dimensionality (WileySeries in Probability and Statistics). Wiley-Interscience.

Prékopa, A. (1990). Dual method for the solution of a one-stage stochastic programming problem withrandom RHS obeying a discrete probability distribution. Zeitschrift für Operations Research, 34(6) :441–461.

Prékopa, A., Vizvári, B., and Badics, T. (1998). Programming under probabilistic constraint with discreterandom variable. In New Trends in Mathematical Programming, volume 13 of Applied Optimization,pages 235–255.

Rapine, C. (2013). Erratum to "scheduling of a two-machine owshop with availability constraints on therst machine" [international journal of production economics 99 (2006) 16 - 27]. International Journalof Production Economics.

Rebai, M., Berre, M. L., Hnaien, F., and Snoussi, H. (2015a). Exact bi-objective optimization methods forcamera coverage problem in 3-dimensional areas. Sensors Journal, IEEE. (en révision depuis avril 2015).

144

Page 147: Download file «manuscript_HDR_hnaien.pdf

BIBLIOGRAPHIE

Rebai, M., berre, M. L., Snoussi, H., Hnaien, F., and Khoukhi, L. (2015b). Sensor deployment optimiza-tion methods to achieve both coverage and connectivity in wireless sensor networks. Computers &Operations Research, 59 :11 – 21.

Rebai, M., Khoukhi, L., Snoussi, H., and Hnaien, F. (2012). Optimal placement in hybrid vanets-sensorsnetworks. In Wireless Advanced (WiAd), 2012, pages 54–57. IEEE.

Rebai, M., Matthieu, L. b., Hnaien, F., Snoussi, H., and Khoukhi, L. (2014). A branch and bound algorithmfor the critical grid coverage problem in wireless sensor networks. International Journal of DistributedSensor Networks, 2014.

Rebai, M., Snoussi, H., Khoukhi, I., and Hnaien, F. (2013a). Linear models for the total coverage problemin wireless sensor networks. In Modeling, Simulation and Applied Optimization (ICMSAO), 2013 5thInternational Conference on, pages 1–4. IEEE.

Rebai, M., Snoussi, H., Murat, H. A., and Hnaien, F. (2013b). Mixed integer linear models for the totalcoverage problem with connectivity constraint in wireless sensor networks. European conference onoperational research (Euro 2013), Italy, Rome, July 1-4.

Saxena, A., Goyal, V., and Lejeune, M. (2010). MIP reformulation of the probabilistic set covering problem.Mathematical Programming, 121(1) :1–31.

Schmidt, G. (2000). Scheduling with limited machine availability. European Journal of Operational Research,121 :1–15.

Shapiro, A., Dentcheva, D., and Ruszczyński, A. (2009). Lectures on stochastic programming : Modelling andTheory. Philadelphia : Society for Industrial and Applied Mathematics.

Tay, J. and Wibowo, D. (2004). An eective chromosome representation for evolving exible job shopschedules. Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Articial Intelligenceand Lecture Notes in Bioinformatics), 3103 :210–221.

Tseng, Y., Pan, M., and Tsai, Y. (2006). Wireless sensor networks for emergency navigation. Computer,39 :55–62.

Tseng, Y., Wang, Y., and Cheng, K. (2005). An integrated mobile surveillance and wireless sensor (imouse)system and its detection delay analysis. In Proceedings of the 8th ACM International Symposium onModeling, analysis and simulation of wireless and mobile systems, pages 178–181.

van Donselaar, K. and Gubbels, B. (2002). How to release orders in order to minimise system inventoryand system nervousness ? International Journal of Production Economics, 78(3) :335 – 343.

Vazquez-Rodriguez, J. and Petrovic, S. (2010). A new dispatching rule based genetic algorithm for themulti-objective job shop problem. Journal of Heuristics, 16.

Wang, S. (2013). Integrated model of production planning and imperfect preventive maintenance policyfor single machine system. International Journal of Operational Research, 18(2) :140–156.

Yamangil, E. and Prékopa, A. (2012). An improved cutting plane method for the solution of probabilisticconstrained problem with discrete random variables. Rutcor Research Report, pages 1–8.

145

Page 148: Download file «manuscript_HDR_hnaien.pdf

F. Hnaien

Ziztler, E., Thiele, L., Laumanns, M., Fonseca, C., and Grunert da Fonseca, V. (2003). Performance assess-ment of multiobjective optimizers. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 284 :117–132.

146