Dossier de candidature PR,campagne 2015

Candidat

NomRODRIGUES

PrénomL. Miguel

DOSSIER DE CANDIDATUREAU CONCOURS

DE PROFESSEUR DES UNIVERSITÉSSECTIONS 25-26

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TABLE DES MATIÈRES

Le dossier de candidature allégé est constitué de :

1. Curriculum vitæ p. 3

dont– Curriculum vitæ abrégé p. 4

– Liste de publications p. 9

– Description des activités d’enseignement p. 12

– Description de mes travaux de recherche p. 14

– Projet de recherche p. 21

2. Rapport de soutenance et pré-rapports de MM. Hamel, Lannes et Pego p. 28

et, disponible séparément, des documents suivants :

6. Article [A1][A2][A3][A6][A8] (cf. liste p. 9)http://math.univ-lyon1.fr/∼rodrigues/publi.zip

7. Mémoire d’Habilitationhttp://math.univ-lyon1.fr/∼rodrigues/hdr.pdf

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Pièce 4

CURRICULUM VITÆ

Nom: RODRIGUES Prénom: L. Miguel Adresse électronique: rodrigues@math.univ-lyon1.fr

Mon curriculum vitæ est constitué de :

– Curriculum vitæ abrégé p. 4

– Liste de publications p. 9

– Description des activités d’enseignement p. 12

– Description de mes travaux de recherche p. 14

– Projet de recherche p. 21

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ABRÉGÉ DE CURRICULUM VITÆ

Nom : RODRIGUES Prénom : Luis Miguel

Adresses : 1 rue Jean Ottavi, 69100 VILLEURBANNE rodrigues@math.univ-lyon1.fr

Numéros : 04 72 44 79 49 (bureau) 0 95 2 97 4 101 (domicile)

Page web : http://math.univ-lyon1.fr/∼rodrigues

Biographie succinte

Situation personnelle : né en 1981 à Champigny-sur-Marne (94), français, marié, 2 enfants.

Situations professionnelles :2008- : Maître de conférences à l’Institut Camille Jordan, Lyon 1.Automne 2011 : Délégation CNRS à l’Institut Camille Jordan.2005-2008 : Allocataire de recherche et moniteur à l’Institut Fourier, Grenoble 1.2001-2005 : Élève normalien de l’É.N.S. Lyon.

Cursus universitaire :2014 : Qualification aux fonctions de Professeur des Universités.

Sections 25 (no 14125187168) et 26 (no 14125187168) du C.N.U..2013 : Habilitation à diriger des recherches, Institut Camille Jordan (Lyon 1).

Asymptotic stability and modulation of periodic wavetrains. General theory & applications to thin filmflows. Soutenue devant Mme Benzoni-Gavage et MM. Gallay, Hamel, Lannes, Métivier (président),Schneider et Serre, après des rapports de MM. Hamel, Lannes et Pego.

2004-2007 : Thèse de doctorat de mathématiques, Institut Fourier (Grenoble 1).Comportement en temps long des fluides visqueux bidimensionnels. Soutenue devant MM. Besson,Bresch, Danchin, Gallay (directeur), Iftimie et Métivier (président), après des rapports de MM. Bessonet Danchin.

2003-2004 : Agrégation externe de mathématiques, rang : 49,& Master 2 Recherche de mathématiques fondamentales, Institut Fourier (Grenoble 1), mention TB.

2001-2005 : É.N.S. Lyon.1999 : Baccalauréat, série scientifique, mention TB.

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Enseignements

Interventions (cours, travaux dirigés et pratiques, interrogations orales, devoirs) pour L1, L2, L3, cursuspréparatoire, I.U.T., école d’ingénieurs, préparation à l’agrégation externe, Master 1, Master 2 Recherche,en maths générales, analyse, analyse numérique, probabilité et statistique.

Au niveau Master 2 Recherche :2012-2013 : Semi-groupes dans les espaces de Banach, M2 Recherche, Master Maths Avancées, parcours

Analyse & Probabilités. Cours et travaux dirigés partagés avec M. Aubrun.2011-2013 : Équations cinétiques : théorie et modélisation, M2 Recherche, Master Maths Avancées, parcours

Équations aux Dérivés Partielles. Cours et travaux dirigés partagés avec M. Filbet.

Responsabilités collectives

2015- : Membre de la comission bibliothèque de l’Institut Camille Jordan.2015 : Membre du comité d’organisation d’EQUADIFF 2015.2014- : Organisateur du groupe de travail KAliFFE.2014- : Webmestre pour les Journées ÉDP Rhône-Alpes-Auvergne.2013- : Membre du jury de diplôme de la mention Mathématiques de la Licence S.T.S. (Lyon 1).2011- : Membre nommé puis élu du Comité Consultatif, sections 25/26 (Lyon 1).2012 : Membre d’un comité de sélection pour un I.U.T. de Chambéry.2011 : Membre d’un comité de sélection pour Lyon 1.2009-2012 : Membre des jurys de soutenance et de diplôme du Master Maths Avancées.2009-2011 : Organisateur pour l’ICJ du séminaire lyonnais de Mathématiques Appliquées.2009 : Président de jury de bac, série S.2008-2009 : Enseignant référent dans le cadre du Plan Licence.

Encadrement

Master :Avril-Août 2014 : stage de Master 2 Recherche, Maths en Action, co-encadré avec M. Filbet. M. Herda,

Théorie cinétique des plasmas fortement magnétisés.

L’objectif du stage de M. Herda était de dresser un panorama des résultats de validation mathématiquedes différents modèles formellement déduits des modèles multi-espèces de type Vlasov-Poisson dans certainsrégimes asymptotiques (fort champ magnétique, grand rapport de masse, adiabaticité...). D’une part, ens’inspirant des techniques développées par M. Golse et Mme Saint-Raymond 1 pour analyser la limite de

1. François Golse et Laure Saint-Raymond. The Vlasov-Poisson system with strong magnetic field. Journal de MathématiquesPures et Appliquées, vol. 78, no 8 (1999),p. 791–817.Laure Saint-Raymond. The gyrokinetic approximation for the Vlasov-Poisson system. Mathematical Models and Methods inApplied Sciences, vol. 10, no 9 (2000), p.1305–1332.

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champ magnétique fort, il a obtenu et validé mathématiquement un système mixte fluide/cinétique dans lalimite de faible rapport de masses électrons/ions. D’autre part, pendant son séjour au CEMRACS 2014, ila développé des schémas pour Vlasov-Poisson multi-espèces en dimension 1 lui permettant de tester numé-riquement l’adiabaticité en régime quasi-neutre sur différents cas-tests (amortissement Landau, instabilitédouble-faisceaux).

Avril-Août 2013 : stage de Master 2 Recherche, Maths Avancées. Mme Ahmed Bacha, Profils asympto-tiques pour la convection de la chaleur.

L’objectif du stage de Mme Ahmed Bacha était d’étendre et de raffiner les travaux de MM. Karch etPrioux 2 sur l’existence et la stabilité asymptotique des solutions auto-similaires d’un système décrivant laconvection de la chaleur dans l’approximation de Boussinesq.

Juin 2012-Mars 2013 : stage de Master 2, Maths Générales. M. Ozenda, Équations paraboliques semi-linéaires : cas élémentaires et linéarisations.

L’objectif du stage de M. Ozenda était d’étudier un mémoire de M. Liu et Mme Zeng 3 permettant unedescription raffinée du comportement en temps long proche des solutions constantes stables dans les systèmespartiellement paraboliques vérifiant une condition de couplage hypo-coercitive à la Kawashima.

Doctorat :Septembre 2014- : thèse co-encadrée avec M. Filbet. M. Herda, Modélisation, analyse et simulations nu-

mériques en théorie cinétique des plasmas.

Au sein de l’équipe-projet INRIA KAliFFE, motivée par des applications aux problèmes de fusion nucléaire,l’objectif de la thèse de M. Herda est de prendre en compte les effets multi-espèces dans les modèlescinétiques de la dynamique des plasmas. Bien souvent, dans les applications finales, la dynamique propre desélectrons est négligée via l’hypothèse d’abiaticité qui supposent que les électrons répondent instantanémentau champ électrique créé par les ions. Le but ici est à la fois de classifier les limites menant à l’adiabaticitéet de développer le cas échéant des modèles alternatifs intermédiaires. La stratégie globale est pour chacunedes limites– d’obtenir formellement les modèles réduits adéquats ;– de les valider analytiquement ;– puis de construire des schémas pour le problème initial qui préservent l’asymptotique, c’est-à-dire qui à

la limite dégénèrent en schémas pour le modèle réduit.

Février 2014- : thèse co-encadrée avec Mme Benzoni-Gavage. M. Mietka, Étude qualitative et numériquedu système d’Euler–Korteweg : ondes périodiques, modulations, chocs dispersifs.

Sur la base de travaux récents de ses encadrants [A7][P1], les objectifs principaux de la thèse de M. Mietka— financée par le projet ANR BoND — sont pour le système d’Euler–Korteweg :– l’étude de la stabilité des solutions fondamentales que constituent les ondes périodiques ;– la construction de chocs dispersifs à partir d’ondes périodiques et de leurs modulations lentes, régies par

un système moyenné à la Whitham ;– l’étude de la validité asymptotique des chocs dispersifs.

Les motivations concrètes proviennent du fait que le système d’Euler–Korteweg, perturbation dispersivehamiltonienne des équations d’Euler de la dynamique des gaz, permet de modéliser le mouvement de fluidesdoués de capillarité (mélanges liquide-vapeur, superfluides), mais aussi la propagation d’ondes à la surface defilms minces avec tension de surface, la dynamique de filaments de tourbillons dans les fluides incompressibles,ainsi que l’évolution de fonctions d’onde en optique non-linéaire et l’hydrodynamique quantique.

2. Grzegorz Karch et Nicolas Prioux. Self-similarity in viscous Boussinesq equations. Proceedings of the American Mathe-matical Society, vol.136, no 3 (2008), p.879–888.

3. Tai-Ping Liu et Yanni Zeng. Large time behavior of solutions for general quasilinear hyperbolic-parabolic systems ofconservation laws. Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 125, no 599 (1997).

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Février & Octobre-Novembre 2013 : séjour doctoral dans le cadre d’une thèse encadrée par M. Rohde(Stuttgart). M. Kabil, Spectral validation of the Whitham equations for periodic waves of lattice dyna-mical systems.

Le séjour deM. Kabil a été l’occasion d’amorcer une collaboration que nous poursuivons à distance. Motivéspar la modélisation des chaînes d’oscillateurs et la (semi-)discrétisation des systèmes d’équations aux dérivéespartielles, nous préparons une extension [P2] de [A4][A7] aux systèmes d’évolution posés sur des réseaux.

Recherche

Thèmes : analyse des équations aux dérivés partielles, mécanique des fluides.

Publications : 11 articles parus (475p.) dans Inventiones Math., Trans. of the AMS, ARMA, Annalesde l’I.H.P., Indiana Univ. Math. J., Physica D. etc., 2 articles soumis, 3 comptes-rendus (50p.).

Collaborateurs :Mme Benzoni-Gavage (Lyon) et MM. Barker (Brown), Johnson (Kansas), Noble (Tou-louse), Vovelle (Lyon) et Zumbrun (Indiana).

Projets :2014- : Membre de l’équipe-projet INRIA Kinetic models Applied for Future of Fusion Energy (KAliFFE),

dirigée par M. Filbet.2013-2017 : Membre du projet ANR blanc Boundaries, Numerics & Dispersion (BoND), porté par Mme

Benzoni-Gavage.2009-2013 : Membre du projet ANR jeunes chercheurs-jeunes chercheuses Shallow Water Equations

for Complex Fluids (SWECF), porté par M. Noble.

Visites à l’étranger :2014 : MM. Kabil et Rohde, Universität Stuttgart (Stuttgart, Allemagne), 1 semaine.2010-2013 : M. Zumbrun, Indiana University (Indiana, USA), 7 séjours, environ 14 semaines.2010 : M. Schneider, Universität Stuttgart (Stuttgart, Allemagne), 1 semaine.2010 : M. Kagei, Kyushu University (Fukuoka, Japon), 10 jours.

Exposés :2014-2015 : « Mathematics of Fluid Dynamics »(Lyon) ; GdR « Ruissellement et films cisaillés »(Lyon) ;

Chambéry ; visite HCÉRES (Lyon) ; Évry ; Tours ; « Stabilité des solutions périodiques »(Marseille) ;mini-cours 4 Fondation de Paris (I.H.P.) ; Metz ; Rennes ; 42èmes Journées ÉDP (Roscoff) ; « Shockwaves and beyond »(I.H.P.).

2013-2014 : Grenoble (LJK) ; GdR AFHP (Lyon) ; Bordeaux ; Journées MMCS (Lyon) ; É.N.S. Rennes ;« Nonlinear dispersive waves »(Les Houches) ; Stuttgart (Allemagne) ; SIAM « Nonlinear Waves andCoherent Structures »(Cambridge).

2012-2013 : « Dispersive shocks »(CIRM, Marseille) ; Paris 13 ; Paris 6-É.N.S.-Paris 7 (I.H.P.) ; Indiana(USA) ; Toulouse ; Waves 2013 (Tunis, Tunisie).

4. Cf. séances du 12 et 17 mars 2015 sur http://www.sciencesmaths-paris.fr/fr/le-cours-de-kevin-zumbrun-en-2015-662.htm.

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2011-2012 : Equadiff 2011 (Loughborough,UK) ; Bilbao (Espagne) ; « Kinetic Theory and fluid mecha-nics »(Lyon) ; Paris Dauphine.

2010-2011 : Grenoble (IF).2009-2010 : 27th Kyushu Symposium on PDE (Fukuoka, Japon) ; Stuttgart (Allemagne) ; Indiana (USA) ;

2ème école d’été franco-brésilienne en mécanique des fluides (Lyon).2008-2009 : « Modèles Mathématiques en Mécanique des Fluides »(Lyon).2007-2008 : GdR MOAD (Albi) ; Grenoble (IF) ; Nice ; Paris Dauphine ; Lille ; Nantes ; Orsay ; Marseille.2006-2007 : Toulouse ; Journées ÉDP Rhône-Alpes (St. Étienne) ; Grenoble (IF).

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LISTE DE PUBLICATIONS

Travaux de thèse :

[T1] Th. Gallay et L.M. Rodrigues. Sur le temps de vie de la turbulence bidimensionnelle. Ann. Fac. Sci.Toulouse Math. (6), 17(4) : 719–733, 2008.

[T2] L.M. Rodrigues. Asymptotic stability of Oseen vortices for a density-dependent incompressible viscousfluid. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 26(2) : 625–648, 2009.

[T3] L.M. Rodrigues. Vortex-like finite-energy asymptotic profiles for isentropic compressible flows. In-diana Univ. Math. J., 58(4) : 1747–1776, 2009.

Depuis la thèse :

[A1] B. Barker, M.A. Johnson, L.M. Rodrigues et K. Zumbrun. Metastability of solitary roll wave solutionsof the St. Venant equations with viscosity. Phys. D, 240(16) : 1289–1310, 2011.

[A2] M.A. Johnson, P. Noble, L.M. Rodrigues et K. Zumbrun. Nonlocalized modulation of periodic reactiondiffusion waves : nonlinear stability. Arch. Ration. Mech. Anal., 207(2) : 693–715, 2013.

[A3] M.A. Johnson, P. Noble, L.M. Rodrigues et K. Zumbrun. Nonlocalized modulation of periodic reactiondiffusion waves : The Whitham equation. Arch. Ration. Mech. Anal., 207(2) : 669–692, 2013.

[A4] P. Noble et L.M. Rodrigues. Whitham’s modulation equations and stability of periodic wave solutionsof the generalized Kuramoto-Sivashinsky equations. Indiana Univ. Math. J., 62(3) : 753–783, 2013.

[A5] B. Barker, M.A. Johnson, P. Noble, L.M. Rodrigues et K. Zumbrun. Nonlinear modulational stabilityof periodic traveling-wave solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation. Phys. D, 258(0) :11–46, 2013.

[A6] M.A. Johnson, P. Noble, L.M. Rodrigues et K. Zumbrun. Behavior of periodic solutions of viscousconservation laws under localized and nonlocalized perturbations. Invent. Math., 197(1) : 115–213,2014.

[A7] S. Benzoni-Gavage, P. Noble et L.M. Rodrigues. Slow modulations of periodic waves in HamiltonianPDEs, with application to capillary fluids. J. Nonlinear Sci., 24 (4) : 711–768, 2014.

[A8] M.A. Johnson, P. Noble, L.M. Rodrigues et K. Zumbrun. Spectral stability of periodic wave trains ofthe Korteweg-de Vries/Kuramoto-Sivashinsky equation in the Korteweg-de Vries limit. Trans. Amer.Math. Soc., 367(3) : 2159–2212, 2015.

[A9] B. Barker, M.A. Johnson, P. Noble, L.M. Rodrigues et K. Zumbrun. Stability of St. Venant roll-waves : from onset to the large-Froude number limit. Soumis.

[A10] S. de Moor, L.M. Rodrigues et J. Vovelle. Invariant measures for some stochastic Fokker-Planckequations. Soumis.

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En préparation :

[P1] S. Benzoni-Gavage, C. Mietka et L.M. Rodrigues. Co-periodic stability of periodic waves in someHamiltonian PDEs. En préparation.

[P2] B. Kabil et L.M. Rodrigues. Spectral validation of the Whitham equations for periodic waves oflattice dynamical systems. En préparation.

[P3] L.M. Rodrigues. Linear asymptotic stability and modulation behavior near periodic waves of theKorteweg-de Vries equation. En préparation.

[P4] L.M. Rodrigues et K. Zumbrun. Periodic-coefficient damping estimates, and stability of large-amplitude roll-waves in inclined thin film flow. En préparation.

Comptes-rendus :

[CR1] B. Barker, M.A. Johnson, P. Noble, L.M. Rodrigues et K. Zumbrun. Whitham averaged equationsand modulational stability of periodic traveling waves of a hyperbolic-parabolic balance law. JournéesÉquations aux dérivées partielles, p. 1–24, Port-d’Albret (2010).

[CR2] B. Barker, M.A. Johnson, P. Noble, L.M. Rodrigues et K. Zumbrun. Stability of periodic Kuramoto-Sivashinsky waves. Appl. Math. Lett., 25(5) : 824–829, 2012.

[CR3] S. Benzoni-Gavage, P. Noble et L.M. Rodrigues. Stability of periodic waves in Hamiltonian PDEs.Journées Équations aux dérivées partielles, 19 p., Biarritz (2013).

Actes de congrès :

[AC1] L.M. Rodrigues ; M.A. Johnson, P. Noble, et K. Zumbrun. Modulation and large time asymptoticprofiles near periodic traveling waves. Equadiff 2011, Loughborough, UK (2011).

[AC2] L.M. Rodrigues ; M.A. Johnson, P. Noble, et K. Zumbrun. Slow modulation and large-time asympto-tic behavior about periodic traveling waves in general systems of hyperbolic-parabolic composite type.WAVES 2013 : 11th International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Waves, p. 85,Tunis, Tunisia (2013).

Mémoires :

[M1] L.M. Rodrigues. Comportement en temps long des fluides visqueux bidimensionnels. Thèse dedoctorat, Grenoble I (2007).

[M2] L.M. Rodrigues. Asymptotic stability and modulation of periodic wavetrains. General theory & ap-plications to thin film flows. Mémoire d’habilitation à diriger des recherches, Lyon I (2013).

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En cours d’investigation :

[I1] L.M. Rodrigues. Vortices in compressible flows. En progrès.[I2] L.M. Rodrigues et K. Zumbrun. Phase sinks and sources around multi-dimensional periodic solutions

of reaction-diffusions systems. En progrès.[I3] M.A. Johnson, P. Noble et L.M. Rodrigues. Spectral stability of St. Venant roll-waves in the inviscid

limit. En progrès.[I4] M.A. Johnson, P. Noble et L.M. Rodrigues. Spectral stability of free-surface roll-waves in the shallow-

water limit. En progrès.[I5] F. Filbet et L.M. Rodrigues. Asymptotic preserving schemes for strongly magnetized plasmas. En

progrès.[I6] S. Benzoni-Gavage, C. Mietka et L.M. Rodrigues. Modulated equations of Hamiltonian PDEs and

dispersive shocks. En progrès.[I7] L.M. Rodrigues et J. Vovelle. Invariant measures for some interacting Vlasov-Fokker-Planck equations.

En progrès.[I8] A. Boritchev, L.M. Rodrigues et J. Vovelle. Invariant measures for the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck

equation. En progrès.[I9] F. Filbet, É. Fouassier et L.M. Rodrigues. From Vlasov-Maxwell to Vlasov-Darwin : the case of

ill-prepared data. En progrès.

Travaux de mes étudiants :

[E1] M. Herda. On a diffusive massless limit for a multispecies Vlasov-Poisson-Fokker-Planck system. Enpréparation.

[E2] C. Mietka. On the well-posedness of a quasilinear Korteweg-de Vries equation. En préparation.

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ACTIVITÉS D’ENSEIGNEMENT

Depuis septembre 2008, je suis maître de conférences de l’Université Lyon 1, ce qui correspond à unservice de 192h équivalant travaux dirigés (T.D.) par an. Ce service a été interrompu par une délégationCNRS à l’automne 2011. Auparavant, de 2005 à 2008, j’ai été moniteur pour l’Université Grenoble 1, cequi correspond à un service de 64h équivalant T.D. par an.

Mon expérience d’enseignant m’a donné l’occasion de dispenser des enseignements de tout type (cours,travaux dirigés, travaux pratiques (T.P. Maple, Scilab, Matlab), oraux, stages) à des publics variés(Licence, préparation à l’agrégation, Master de recherche, cursus préparatoire, école d’ingé-nieurs, I.U.T.) et dans une gamme large de programmes (maths générales, analyse, analyse numé-rique, probabilité et statistique). Depuis mon arrivée à Lyon, j’ai notamment pris une part très activeaux enseignements numériques de notre Licence et de notre préparation à l’agrégation, au Master de re-cherche Maths Avancées commun avec l’É.N.S de Lyon et l’École Centrale de Lyon, et à la création d’uncursus préparatoire universitaire visant à la fois à tenir lieu de préparation intégrée pour l’école Polytech’Lyon et à préparer des candidats aux seconds concours des grandes écoles.

J’ai également été bénévole au soutien scolaire de Gerland (Lyon) en 2001-2003, interrogateur au lycéeChampollion (Grenoble) en 2004-2005, et examinateur pour la filière PC du concours d’entrée aux É.N.S.(Ulm, Lyon) en 2012-2013.

2014-2015 :Analyse numérique : L3 Maths, Licence STS, cours, T.D. et T.P..

Page du cours en ligne : http://licence-math.univ-lyon1.fr/doku.php?id=a14:annum:page .Combinatoire & probabilités : L3 Maths, Licence STS, T.D..Analyse appliquée aux ÉDP : M1, Master Maths Générales, T.D..Agrégation externe de mathématique : mini-cours d’équations différentielles.Agrégation externe de mathématique : épreuve de modélisation, option Calcul Scientifique.

2013-2014 :Analyse numérique : L3 Maths, Licence STS, cours.Cursus préparatoire : L1 Maths-Info, Licence STS, T.D. et devoirs.Agrégation externe de mathématique : épreuve de modélisation, option Calcul Scientifique.

2012-2013 :Cursus préparatoire : L1 Maths-Info, Licence STS, T.D. et devoirs.Analyse - stage de calcul vectoriel : L1 Physique, Licence STS, cours et T.D..

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Séminaire : M2 Recherche, Master Maths Avancées.Équations cinétiques, théorie et modélisation : M2 Recherche, Master Maths Avancées, cours et T.D..Semi-groupes dans les espaces de Banach : M2 Recherche, Master Maths Avancées, cours et T.D..Stage d’O. Ozenda : M2, Master Maths Générales, encadrement.

2011-2012 :Cursus préparatoire : L1 Maths-Info, Licence STS, T.D. et devoirs.Séminaire : M2 Recherche, Master Maths Avancées.Équations cinétiques, théorie et modélisation : M2 Recherche, Master Maths Avancées, cours et T.D..

2010-2011 :Cursus préparatoire : L1 Maths-Info, Licence STS, T.D., interrogations orales et devoirs.Séminaire : M2 Recherche, Master Maths Avancées.Méthodes probabilistes et statistiques : 1A tronc commun, Polytech’ Lyon, T.D..

2009-2010 :Calcul intégral : L3 Maths, Licence STS, interrogations orales.Calcul scientifique : L3 Maths, Licence STS, T.D. et T.P..Modélisation et mathématiques appliquées sur ordinateur : L3 Maths, Licence STS, T.D..Algèbre - combinatoire, arithmétique : L1 Maths-Info, Licence STS, T.D..Analyse - fonctions de plusieurs variables : L2 Maths, Licence STS, T.D..Agrégation externe de mathématique : épreuve de modélisation, option Calcul Scientifique.

2008-2009 :Enseignant référent : Plan Licence, Licence STS.Calcul scientifique : L3 Maths, Licence STS, T.D. et T.P..Modélisation et mathématiques appliquées sur ordinateur : L3 Maths, Licence STS, T.D..Analyse - fonctions de plusieurs variables : L2 Maths, Licence STS, T.D..Agrégation externe de mathématique : épreuve de modélisation, option Calcul Scientifique.

2007-2008 :Analyse : L1 Maths-Info, Licence ST, T.D..

2006-2007 :Algèbre linéaire et fonctions de plusieurs variables : L2 Physique-Chimie, Licence ST, T.D..Algèbre linéaire et arithmétique : L2 Maths-Info, Licence ST, T.D. et T.P..

2005-2006 :Algèbre linéaire et fonctions de plusieurs variables : L2 Maths-Info, Licence ST, T.D..Mathématiques générales : 2A, I.U.T. Génie mécanique, T.D..

2004-2005 :Classes préparatoires : MPSI et PCSI, lycée Champollion (Grenoble), interrogations orales.

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RAPPORT SUR LES TRAVAUX EFFECTUÉS

Ma recherche tourne autour de l’analyse des équations aux dérivées partielles, et de ses applications à lamécanique des fluides, des gaz et des plasmas, y compris l’étude des instabilités hydrodynamiques. Techni-quement elle convoque : théorie spectrale et semi-groupes, estimations hypo-coercitives, analyse de Fourier etde Bloch, intégrales singulières et oscillantes, structures hamiltoniennes et lois de conservation, optique nonlinéaire, perturbations géométriques singulières à la Fenichel, variables auto-similaires et renormalisation,moyennisation et modulation.Elle peut être décomposée en quatre thèmes.

Thème 1 : comportement asymptotique des fluides visqueux bidimensionnels.

– tourbillons (loi de Biot-Savart, formulation vorticité des équations de Navier-Stokes incompressibles) ;– solutions auto-similaires (invariance d’échelle, variables auto-similaires, trou spectral, entropie relative) ;– équations de transport (perte de régularité, estimations de commutateurs, mélange, équations de Navier-Stokes incompressibles à densité variable) ;

– systèmes hyperboliques-paraboliques (condition de Kawashima, symétriseurs et compensateurs, ondesde diffusion, effets dispersifs, équations de Navier-Stokes compressibles).

J’ai principalement abordé ce thème dans mes travaux de thèse [T1][T2][T3] qui discutaient l’attractivité etla stabilité asymptotique de certaines solutions auto-similaires décrivant les tourbillons dans les écoulementsvisqueux bidimensionnels.

Thème 2 : stabilité asymptotique et modulation de trains d’ondes périodiques.

– semi-groupes (décomposition spectrale, critères de Keldyš, estimations de résolvantes, perturbation à laKato, désingularisations) ;

– systèmes hyperboliques-paraboliques (condition de Kawashima, symétriseurs et compensateurs) ;– équations dispersives hamiltoniennes (intégrales oscillantes, symmétrisations et jauges, équations deKorteweg-de Vries et et systèmes d’Euler–Korteweg) ;

– analyse de Bloch et de Fourier (estimations d’Hausdorff-Young, symboles de Bloch, multiplicateurs) ;– modulation (stabilité modulée en espace, ondes de diffusion en paramètres, vitesses de groupe, dévelop-pements multi-échelles de type BKW, moyennisation à la Whitham).

Thème 3 : instabilités hydrodynamiques dans les films en couches minces.

– analyse spectrale (fonction d’Evans, opérateurs périodiques, transformation de Floquet-Bloch, stabilitéspectrale diffusive) ;

– études paramétriques (bifurcations, perturbations singulières, brisures de symétrie) ;– écoulements peu profonds (approximation de couche mince, systèmes de StVenant) ;– phénomènes de seuil (approximations faiblement non linéaires, équations de Korteweg-de Vries et deKuramoto-Sivashinsky).

Thème 4 : dynamique des plasmas magnétisés et collisionels.

– équations de transport (estimations de commutateurs, solutions renormalisées, mélange et dispersion,équations de Vlasov) ;

– effets collisionnels (opérateurs de Fokker-Planck, entropie-dissipation, modulation, estimations hypocoer-citives, régularisation hypoelliptique) ;

– électromagnétisme (équations de Poisson et de Maxwell, approximation centre-guide) ;– équations stochastiques (calculs d’Ito et de Stratonovich, mesures invariantes, ergodicité).

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Dans ce qui suit je ne détaille que mes contributions liées aux thèmes 2 et 3 qui ont occupé l’essentiel demon temps de recherche depuis 2009. Néanmoins une description de mes contributions au thème 1 est dis-ponible ici : http://math.univ-lyon1.fr/∼rodrigues/these.html . Mon intérêt pour les problématiquesdu thème 4 est quant à lui très récent et mêmes mes premiers résultats (notamment [A10]) s’appréhendentplus volontiers comme de premières contributions à des projets encore largement en chantier. Aussi ceux-cine sont-ils directement évoqués que dans mon projet de recherche.

Associé aux thèmes 2 et 3, l’essentiel de mes travaux depuis la thèse est né de la synergie entre un pôlelyonnais – constitué de Pascal Noble (maintenant professeur à l’INSA Toulouse) et moi-même et financé parle projet A.N.R. Shallow Water Equations for Complex Fluids – et un pôle bâti autour de Kevin Zumbrun(Indiana, États-Unis) et constitué de lui-même, de Blake Barker, alors son doctorant et désormais NSFpostdoctoral fellow à l’Université de Brown, et de Mathew A. Johnson, alors son post-doctorant et maintenantassistant professor de l’Université du Kansas.

Thème 2 : stabilité asymptotique et modulation d’ondespériodiques

Une des stratégies classiques pour appréhender des phénomènes complexes consiste à identifier des struc-tures cohérentes autour desquelles s’organise la dynamique. Parmi ces motifs élémentaires, les ondes — etplus particulièrement les ondes périodiques — se retrouvent de fait au cœur de certains champs discipli-naires : acoustique, électromagnétisme, hydrodynamique, combustion, propagation biologique... De même,les ondes périodiques jouent pour certains systèmes d’équations aux dérivées partielles un rôle comparableà celui des cycles périodiques, longuement étudiés par Gaston Floquet et Henri Poincaré, pour la dyna-mique bi-dimensionnelle. Au delà des préoccupations purement théoriques, une connaissance profonde de ladynamique autour de ces structures particulières a engendré tout au long du vingtième siècle des percéestechnologiques majeures. Ainsi, la découverte que la dynamique autour des ondes périodiques pouvaient sup-porter des ondes de modulation en paramètres a révolutionné les télécommunications. Cet impact est encorereflété par la distinction modulation d’amplitude (AM)/ modulation de fréquences (FM) des communicationsradio.Malgré son importance pratique et fondamentale et le fait que la mise en place d’expériences de laboratoire

fines et la conception d’objets technologiques perfectionnés ont depuis longtemps été accompagnées de théo-ries formelles élaborées, par bien des aspects jusqu’il y a peu nous n’en étions qu’aux balbutiements d’unethéorie mathématique pour l’analyse de la dynamique non linéaire autour des trains d’ondes périodiques.Mon but originel était donc pour les systèmes (partiellement) paraboliques d’équations aux dérivées partiellesde mettre la connaissance mathématique des ondes périodiques au niveau de celle de structures plus simpleset mieux connues comme les fronts ou les ondes solitaires.

Stabilité modulée en espace

Par opposition à ce qui se passe autour de ces structures plus simples — au premier ordre la dynamique y estasymptotiquement en temps capturée par l’introduction de paramètres de modulation uniformes en espaceet donc réduite à la dimension finie —, la dynamique autour des ondes périodiques est fondamentalementmulti-échelle et de dimension infinie, comme le prouve l’existence d’ondes de diffusion en paramètres. Nousavons de ce fait été confrontés à de grandes difficultés techniques mais également conceptuelles.Nous avons ainsi dû identifier une notion de stabilité adéquate, la stabilité modulée en espace, qui est le

pendant de la stabilité orbitale des fronts et des ondes solitaires. Nous montrons alors un résultat que l’onpeut énoncer en termes vagues comme

15

Théorème 1. Dans un système parabolique, une onde périodique linéairement stable — au sens de la stabilitéspectrale diffusive — est également non linéairement asymptotiquement stable — au sens, modulé en espace,de Lyapunov. De plus les taux de retour sont algébriques en temps.

La notion de stabilité modulée en espace répond aux observation suivantes. Une onde stable résorbe lesperturbations en faisant légèrement varier en temps et en espace les paramètres qui la définissent commeélément d’une famille d’ondes, ces variations voyageant essentiellement le long de lignes droites données parles vitesses de groupe linéaires en paquets diffusifs de type Burgers ou chaleur qui intéragissent faiblement.Chaque passage d’une telle onde de diffusion en paramètres résulte en la création d’un déphasage qui persiste.Ainsi au premier ordre la création d’ondes de diffusion en paramètres se manifeste par la découpage desdiagrammes temps-espace en cônes séparés par des zônes d’intéraction diffusives et à l’intérieur desquelson retrouve des portions de l’onde originale dont les déphasages différent de cône à cône. En résumantgrossièrement on peut dire que l’introduction d’une perturbation crée un objet qui ne diffère de l’ondeinitiale que par un changement de variables qui n’est que translations uniformes par morceaux. Un moyende quantifier cela consiste à mesurer (à un temps donné) l’éloignement d’une fonction de l’espace u à uneautre v dans un espace fonctionnel donné H non pas directement par ‖u− v‖H mais par

infΨ bijectif

‖u ◦Ψ− v‖H + ‖∂x(Ψ− IdR)‖H .

Ceci conduit à la notion de stabilité modulée en espace.

140 160 180 200

5

10

15

20

25

x

Tim

e

Figure 1 – Dynamique autour d’une onde stable de(KdV-KS). [A5]

Suivi des déphasages par les pics (en vert) et les creux(en bleu). Comparaison avec la dynamique moyennée (enrouge).

Modulation et dynamique moyennée

Pour des ondes périodiques (diffusivement) spectralement stables, nous avons également fourni une descrip-tion fine du comportement en temps long en validant et complétant la théorie de la modulation faiblementnon linéaire. Cela permet de décrire la dynamique autour d’une onde stable — et en particulier de confirmer,quantifier et compléter le scénario esquissé plus haut — à partir de celle de ses paramètres locaux (parmilesquels le nombre d’ondes local, dérivée de la phase locale). La dynamique, plus lente, de ces paramètreslocaux s’organise elle autour de solutions constantes stables — les paramètres de l’onde de référence — d’unsystème moyenné.Le système moyenné peut s’obtenir relativement simplement par une approche purement formelle basée

sur des développements multi-échelles. Mais le scénario complet nécessite l’obtention de données initialeséquivalentes qu’une telle analyse heuristique ne fournit pas et que seule l’analyse mathématique révèle.

Nos analyses ont d’abord été mises en place pour les cas où le système moyenné, appelé système deWhitham, est en fait une équation scalaire [A2][A3] avant d’être portées pour le cas général [A6]. Notons

16

que pour le cas scalaire une autre approche est possible 5 puisque l’une des échelles du problème — l’échellehyperbolique — disparaît, de sorte que la dynamique moyennée est essentiellement invariante d’échelle etque l’analyse peut procéder des techniques de l’auto-similarité telle que la renormalisation.

Vers une stabilité dispersive hamiltonienne

Ayant essentiellement mené à bien mon projet initial focalisé sur les dynamiques dissipatives, je m’attachedésormais à contribuer à un même travail de défrichage pour les ondes périodiques des systèmes dispersifshamiltoniens. Il s’agit là d’un des objectifs du projet A.N.R. Blanc Boundaries, Numerics, Dispersion portépar Sylvie Benzoni-Gavage (Lyon 1) et qui finance la thèse de Colin Mietka (Lyon 1). L’ambition à terme estde pouvoir couvrir les différentes descriptions de dynamiques aussi diverses que celles des fluides capillairesnon visqueux, des ondes de surface en eaux profondes ou des solutions de la formulation hydrodynamiquedes équations de Schrödinger non linéaires.

Mes premiers efforts [A7][CR3][P1][P2][E2] ont visé à revisiter à l’aune de la théorie de la modulation,à unifier, à généraliser — notamment aux systèmes quasi-linéaires comme Euler–Korteweg — et à évaluernumériquement certains critères classiques d’instabilité spectrale modulationnelle, d’instabilité spectrale sousperturbations de même période, ou de stabilité orbitale non linéaire sous perturbations de même période.Une partie de ces critéres exprimée en termes de l’action associée aux équations de profil — elles aussihamiltoniennes — constitue le pendant pour les ondes périodiques de ceux pour les ondes solitaires, baséseux sur le moment de Boussinesq.

Après m’être concentré sur ces aspects essentiellement spectraux, j’ai porté mon attention sur la manière deconvertir des informations spectrales en propriétés de la dynamique linéarisée. Ainsi, pour les ondes cnoïdalesde l’équation de Korteweg–de Vries (KdV),

∂tv + ∂x( 12 v

2) + ∂3xv = 0 , (KdV)

j’ai obtenu [P3] l’exact analogue des résultats de stabilité asymptotique et de réduction à une dynamiquemoyennée dans leurs versions linéarisées. En termes vagues, la partie stabilité asymptotique peut s’énoncerainsi.

Théorème 2. Une onde périodique de Korteweg–de Vries est linéairement asymptotiquement stable — ausens, modulé en espace, de Lyapunov. De plus les taux de retour sont algébriques en temps.

Ici la stabilité modulée en espace, linéarisée autour d’une onde v, demande de contrôler (à un temps donné)la taille d’une perturbation w dans un espace fonctionnel donné H non pas directement par ‖w‖H mais par

inf(v,ψ)

w=v+ψvx

‖v‖H + ‖ψx‖H .

Insistons sur le fait que les estimations précises justifiant le résultat — stabilité Hs−Hs, dispersion L1−L∞— requièrent des bornes globales en temps sur l’évolution générée par un opérateur différentiel à coefficientsvariables et non normal — en particulier ni symétrique, ni anti-symétrique — mais dont le spectre possède lasymétrie hamiltonienne, ce qui, même si l’on néglige les aspects techniques liés aux problèmes de modulation,ne peut procéder de stratégies classiques.Mes quelques expériences numériques semblent montrer que ces premiers résultats linéaires ont bien une

contre-partie non linéaire ; cf. Figure 2.

5. Björn Sandstede, Arnd Scheel, Guido Schneider et Hannes Uecker. Nonlocalized modulation of periodic reaction diffusionwaves : nonlinear stability, Journal of Differential Equations, vol. 5, no. 252 (2012), p.3541–3574.

17

x

t

−3 −2 −1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10−4

Figure 2 – Dynamique autour d’une onde de (KdV).[P3]

En haut : sur la masse compacte d’une onde cnoïdalevoyagent trois ondes longues en paramètres. En bas :la perturbation est principalement constituée de dépha-sages constants par morceaux, conformes aux vitesses degroupe prédites par la dynamique moyennée théorique(en noir). On notera aussi des traînées oscillantes asy-métriques débordant les cônes d’influence et signalantune dispersion de type Airy en paramètres.

Thème 3 : Instabilités dans les films en couches minces

L’un des types classiques d’études de la dynamique des fluides consistent à dresser des diagrammes destabilité spectrale de certains écoulements particuliers. Le principe en est que les équations même adimen-sionnées contiennent encore un certain nombre de paramètres (nombres de Reynolds, de Mach, de Rayleigh,de Prandtl, de Froude...) et que la stabilité — et parfois même l’existence — de certains types d’écoule-ments dépend crucialement des valeurs de ces nombres. Par ailleurs, par un phénomène de bifurcation, àla transition stabilité/instabilité, on s’attend à l’apparition de nouvelles structures particulières, de com-plexité dimensionnelle plus grande, dont on peut également étudier la stabilité... La stratégie classique estalors de partir d’une famille de solutions simples voire triviales que l’on sait stables dans un certain régimedes paramètres du système puis de varier ces paramètres tout en suivant à la fois la stabilité spectrale desécoulements triviaux et celle des nouvelles familles de solutions apparaissant aux transitions. Les nouvellessolutions émergeant de la première transition sont usuellement appelées instabilités primaires, celles appa-raissant après une de leurs transitions vers l’instabilité instabilités secondaires. Usuellement à cause de lamontée en complexité dimensionnelle par brisure de symétries, après la seconde instabilité viennent chaospuis turbulence.Nous avons partiellement mené une telle étude pour la description des films minces de fluide s’écoulant le

long d’une pente lisse. Les écoulements simples présentent une surface parallèle à la pente et l’on s’attend à cequ’ils soient stables pour des pentes modérées. Leurs instabilités primaires exhibent des surfaces supportantdes ondes progressives périodiques planes appelées rouleaux. La surface des instabilités secondaires supportedes ondes progressives bi-périodiques en échiquier. Signalons incidemment que tous ces motifs sont facilementobservables le long des rues pentues par temps pluvieux.

18

Figure 3 – Rouleaux dans un canal.Image de Neil Balmforth.

Dans la limite de faible épaisseur, il est classique d’approcher la dynamique des films minces, incompressibleet à surface libre, par une dynamique réduite en dimension qui ne suit l’écoulement que par la hauteur de sasurface h et une moyenne en épaisseur u de sa composante longitudinale. Pour notre problème cela conduità un système, de type Navier-Stokes compressible, appelé système de StVenant,

{∂th+ ∂x(hu) = 0 ,

∂t(hu) + ∂x(hu2 + 12h2

F2 ) = h − |u|u + ∂x(h ∂xu) ,(SV)

qui prend en compte des effets de gravité et de viscosité et de frottement turbulents. Le système contient unnombre sans dimension F donné par la racine carrée du quotient de la pente par un certain coefficient defrottement et appelé nombre de Froude. Les instabilités primaires mentionnées ci-dessus apparaissent alorspour F > 2 et sont décrites comme des ondes progressives planes périodiques du système. Proche du seuild’instabilité F = 2, on peut chercher à encore réduire la complexité de la description. On est alors conduitvers une équation scalaire, l’équation de Korteweg–de Vries/Kuramoto-Sivashinsky

∂tv + ∂x( 12 v

2) + ∂3xv = −δ (∂2

xv + ∂4xv) (KdV-KS)

avec δ ∼√F− 2. Bien que le domaine de validité de cette dernière description soit réduit, le modèle a

l’avantage d’être canonique de sorte que son étude livre des informations sur une infinité de situationsanalogues.Notons au passage que contrairement à ce que l’on pourrait penser à première vue, l’étude des films

minces est une question cruciale par son ubiquité. On trouve ainsi des écoulements de faible ratio d’aspectaux niveaux géophysique (océans, atmosphère, fleuves...), physiologique (cornée, muqueuses, poumon...) ouindustriel (moulage, lubrification...).En parallèle du développement d’une théorie générale capable d’exploiter des informations spectrales suffi-

samment précises, nous nous sommes attachés à étudier aussi complétement et analytiquement que possiblela stabilité spectrale diffusive des ondes périodiques de (KdV-KS) et (SV) représentant les instabilités hy-drodynamiques primaires appelées rouleaux.Au préalable nous avions discuté avec une combinaison d’arguments analytiques et numériques dans [A1]

les remarquables propriétés de stabilité des trains infinis d’ondes solitaires associées, et ce alors que ces ondesprises isolément sont violemment — mais convectivement — instables.

Diagrammes complets de stabilité

La détermination de la stabilité diffusive implique l’analyse du spectre d’un opérateur différentiel à coef-ficients périodiques agissant sur des fonctions définies sur toute la ligne. Sous des hypothèses relativementfaibles, on peut montrer que ces spectres sont purement essentiels mais peuvent être décomposés grâce àune transformation intégrale adéquate — la transformation de Floquet-Bloch — en spectres discrets — ceuxdes symboles de Bloch, des opérateurs différentiels à coefficients périodiques agissant sur des fonctions de

19

même période — paramétrés par des exposants de Floquet variant continûment dans la zône de Brillouin.La stabilité diffusive requiert non seulement que le spectre du générateur de la dynamique linéarisée autourde l’onde considérée soit entièrement contenu dans le demi-plan fermé à gauche de l’axe imaginaire pur maiségalement, en un sens que nous ne détaillerons pas ici, que cette stabilité soit aussi forte que possible et que leparamétrage par les exposants de Floquet soit aussi peu dégénéré que possible, comptes tenus de l’existenced’une famille d’ondes périodiques autour de l’onde de référence.Déterminer analytiquement pour toute onde périodique des propriétés spectrales aussi fines est évidemment

hors de portée. Aussi pour dresser des diagrammes complets de stabilité diffusives pour les ondes de (KdV-KS)[CR2][A5] et de (SV) [CR1][A9] nous avons conjugué des arguments analytiques basés essentiellement surdes diagonalisations asymptotiques — semblables aux jauges par commutateurs dans l’analyse des systèmesquasi-linéaires — et permettant de confiner la recherche d’une partie éventuellement instable du spectre àune zône bornée du plan complexe et des évaluations numériques de nombres de rotation ou de coefficientsde Taylor de certaines fonctions d’Evans.

0 0.2 0.4 0.6 0.8

5

10

15

20

25

30

!

X

gKS stability boundaries

Figure 4 – Diagramme de stablilité des ondes de

Vt + ( 12V

2)x + ε Vxxx + δ(Vxx + Vxxxx) = 0

avec ε2 + δ2 = 1. [A5]

La zône grisée correspond aux ondes diffusivementstables. Les invariances translationnelle et galilénne im-pliquent que la période X seule détermine la stabilité.

Indices de persistance de stabilité

À défaut d’études complètes essentiellement analytiques, on peut espérer de telles études dans certainsrégimes asymptotiques. Dans cet esprit nous avons étudié ce qu’il se passe proche des seuils d’instabilitéprimaire, la limite δ → 0+ pour (KdV-KS) [A4][A8], F → 2+ pour (SV) [A9], et dans la limite de penteverticale, F→ +∞ pour (SV) [A9].Proche du seuil d’instabilité primaire les ondes émergent de certaines ondes cnoïdales de l’équation de

Korteweg–de Vries. Ces ondes cnoïdales sont spectralement stables au sens faible, associé au caractère ha-miltonien de (KdV), que le spectre du générateur de la dynamique linéarisée autour de l’onde considéréecoïncide avec l’axe imaginaire. Comme on le constate sur la Figure 4, seule une bande de telles ondes cnoïdalesgénère des ondes diffusivement stables pour (KdV-KS). Nous avons quantifié et prouvé ce fait en introduisantun indice de persistance de stabilité Ind menant à un résultat grossièrement énoncé comme suit.

Théorème 3. Une onde cnoïdale de (KdV) vérifiant Ind < 0 génère des ondes diffusivement spectralementstables pour (KdV-KS) et pour (SV).

Cet indice est en fait facile à évaluer numériquement et les calculs nécessaires à cette évaluation, déjàdisponibles 6, sont en adéquation avec les diagrammes complets de stabilité.

6. Doron E. Bar et Alexander A. Nepomnyashchy. Stability of periodic waves governed by the modified Kawahara equation.Physica D, vol. 86, no 4 (1995), p.586–602.

20

PROJET DE RECHERCHE

Phénomènes multi-échelles & dynamiques moyennées

Ma recherche suit actuellement deux axes, l’un d’entre eux est une continuation naturelle de mes travauxrecensés dans mon rapport comme constituant les Thèmes 2 et 3, l’autre ouvre une thématique nouvelle pourmoi et évoquée dans ce même rapport comme le Thème 4.Concernant le premier axe de recherche, les futures directions de recherche que je discute dans ce projet

ambitionnent de tirer partie des percées décisives réalisées dans [A8] pour éclairer la dynamique autour decertains motifs multi-échelles, à la fois à un niveau fondamental et général et dans certaines applicationsbien choisies. Ces questions se répartissent naturellement en deux blocs, l’un poursuivant le développementde l’étude de la dynamique proche des ondes périodiques planes dans des systèmes dissipatifs, l’autre visantà un même travail de défrichage pour l’étude de phénomènes plus ou moins proches.Le premier bloc peut être organisé selon trois axes :– l’application directe de la théorie, ce qui passe par l’étude de la stabilité spectrale diffusive. Même pour

l’étude des rouleaux dans les films en couche mince, un certain nombre de questions restent en suspens :que se passe-t-il dans la limite de faible viscosité ou quand des effets de capillarité sont également prisen compte ?

– l’approfondissement. Il s’agit ici de prolonger la théorie jusque dans les situations les plus extrêmes etainsi d’en tester la robustesse. Une part de la motivation provient également de questions plus pratiquescomme la possibilité de considérer directement des modèles à surface libre dans l’étude des films minces.

– la compléter. Parmi les principales pièces faisant encore défaut à l’édifice on peut citer une descriptionau moins de certaines classes de dynamiques instables.

L’accomplissement des objectifs du second bloc est probablement une tâche de long terme qui devraitcommencer par l’accumulation de petits pas dans la bonne direction. Pour esquisser ces objectifs remarquonsque parmi les structures cohérentes attendant une théorie non linéaire de stabilité élaborée et aussi complèteque possible on compte :– les ondes périodiques planes des systèmes conservatifs d’équations aux dérivées partielles. Mes études

spectrales, linéaires ou variationelles de certains systèmes hamiltoniens se veulent l’un de ses premierspas dans la bonne direction.

– les ondes périodiques planes des systèmes semi-discrets, c’est-à-dire des réseaux d’équations différentiellescouplées. Les deux sources principales de motivation ici sont la sélection de discrétisations en espace dessystèmes d’équations aux dérivés partielles et l’étude des chaînes infinies d’oscillateurs (par exempleatomiques) couplés.

– les ondes multi-périodiques, et ce même dans les systèmes paraboliques. En guise de motivation, rappelonsque dans certains scénarios d’instabilités hydrodynamiques les ondes bi-périodiques sont censées émergéescomme instabilités secondaires.

– les structures composées en général. Certaines structures cohérentes peuvent être appréhendées commeune combinaison de structures élémentaires plus simples telles que les ondes périodiques, Il sembleraisonnable de s’attaquer désormais à leur étude.

Avec ce schéma en tête nous pouvons détailler plus avant les questions qui constituent mon projet derecherche. Certaines d’entre elles sont d’ores et déjà en cours d’investigation soit dans l’attente à moyenterme de résultats au moins partiels, comme pour la stabilité diffusive dans la limite de faible viscosité ou lesphénomènes multi-périodiques, soit comme sous-blocs de projets de long terme, comme pour l’identificationd’une stabilité dispersive spectrale et de son pendant non linéaire ou plus encore l’analyse des chocs dispersifs.

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Prolonger : autour des ondes périodiques des systèmes paraboliques

Stabilité spectrale diffusive

Les études spectrales de stabilité requièrent par essence un traitement au cas par cas. D’où a priori uneliste de tâches sans fin pour les vérifications numériques complètes et l’inspection analytique de régimesasymptotiques. Je me contente ici de signaler deux problèmes directement liés à l’étude des films mincess’écoulant le long d’une pente, déjà abordée dans mes travaux précédents.Un choix d’adimensionnement 7 conduit à écrire le système de StVenant étudié dans [A1][CR1][A9] comme

{∂th+ ∂x(hu) = 0

∂t(hu) + ∂x(hu2 + 12 h

2) = h − |u|u + ν ∂x(h ∂xu).

L’une des limites classiques de la mécanique des fluides — la limite de faible viscosité — est alors obtenuequand ν → 0+ et les ondes limites associées sont écrites comme un train périodique de chocs. Malgré lesprévisibles innombrables difficultés techniques associées un résultat comparable à celui pour la limite defaible instabilité [A8][A9] ne semble pas hors de portée [I3]. Il s’agit de la principale piste pour quantifieranalytiquement ce que l’on observe numériquement sur les diagrammes complets de stabilité pour StVenant :la transition vers l’instabilité de l’ensemble de la famille de rouleaux stables suit des lois algébriquementsimples ; cf. Figure 5.Depuis les travaux de M. Kotschote 8 on sait que la prise en compte dans le modèle de StVenant d’effets

capillaires en sus des effets visqueux ne brise pas la structure parabolique. Notre théorie s’applique doncencore aux modèles plus complets ainsi obtenus. Reste à étudier l’existence et la stabilité spectrale diffusivedes rouleaux tels que décrits par de tels modèles, soit numériquement soit dans l’une des nombreuses limitesasymptotiques possibles.

1 1.5 2 2.5 3 3.5

1

2

3

4

5

6

7

log(F)

log

(X)

Stability Boundaries

Figure 5 – Une tranche d’un diagramme de stablilitédes ondes de StVenant [A9].

Les éléments isolés indiquent les frontières hautes (croixbleues) et basses (points noirs) délimitant une bande destabilité. Les lignes de pointillés vertes correspondentà la théorie proche du seuil d’instabilité primaire ; cf.Théorème 3 dans le rapport sur les travaux effectués.Les lignes formées de tirets bleus, obtenues par une ré-gression linéaire, révèlent l’existence d’un régime asymp-totique menant à l’extinction de la stabilité.

7. Différent de celui du rapport sur les travaux effectués qui introduit un nombre de Froude plutôt qu’un nombre de Reynolds.8. Matthias Kotschote. Strong solutions for a compressible fluid model of Korteweg type. Annales de l’Institut Henri Poin-

caré, Analyse Non Linéaire, vol. 25, no 4 (2008), p.679–696.

22

Approfondir la théorie

Certaines des améliorations encore à venir pour la théorie peuvent apparaître à première vue comme desimples réglages techniques mais des améliorations similaires pour d’autres théories ont déjà prouvé qu’ellespouvaient accroître très significativement leur champ d’application. À titre d’exemple des points encore àaméliorer signalons que– nous ne traitons pour l’instant que le cas où toutes les vitesses de groupe sont distinctes, ce qui correspondà une forme de stricte hyperbolicité, alors qu’il est légitime d’espérer des extensions sous une hypothèsede symétrisabilité pour les systèmes moyennés ;

– notre approche pour la symétrisation du système original, préalable aux estimations d’énergie, est essen-tiellement ponctuelle et conduit donc à des contraintes elles-mêmes ponctuelles sur les ondes auxquellesappliquer la théorie, alors que des considérations spectrales et l’exemple de la théorie de Floquet sug-gèrent que des contraintes moyennées sur une période devrait suffire et qu’une forme de symétrisationen moyenne est possible ;

– parmi les systèmes (partiellement) dissipatifs nous ne traitons que les systèmes (partiellement) para-boliques (d’ordre arbitraire) alors que par exemple rien ne s’oppose a priori à l’étude des systèmeshyperboliques d’ordre un avec relaxation (partielle) d’ordre zéro vérifiant une forme de condition decouplage à la Kawashima.

Dans [P4], les contraintes artificielles mentionnées dans le deuxième point sont ainsi levées — pour le casdes rouleaux tels que décrits par le système de StVenant — en introduisant des jauges périodiques adéquatesdans la stratégie hypocoercitive classique due à Kawashima.Dans un esprit différent il serait également souhaitable d’être en mesure de considérer la stabilité d’ondes

périodiques semi-infinies comme solutions de problèmes initiaux et aux limites posés dans un demi-espace.Cela permettrait d’inclure dans les champs d’applications les problèmes d’injection.Enfin, une excellente preuve de la robustesse de la théorie serait son extension jusqu’aux problèmes à surface

libre. En particulier, pour les équations incompressibles à surface libre décrivant la chute des films mincesde manière plus précise que celles de StVenant, la stratégie adoptée par MM. Guo et Tice 9 pour l’étudede la dynamique proche des écoulements triviaux stables ne semble pas incompatible avec nos schémas dedémonstration. En guise de préparation il semble souhaitable de pouvoir démontrer que dans la limite defilm mince les ondes stables de StVenant génèrent des ondes diffusivement spectralement stables du systèmecomplet [I4].

Compléter la théorie : la dynamique instable

Ma conviction est que nos résultats contenus dans [A8] unifient, clarifient et généralisent un grand nombredes résultats précédents de stabilité non linéaire ou de validation de la théorie de la modulation pour lesondes périodiques des systèmes dissipatifs, répondant ainsi à certaines des questions fondamentales longtempsrestées ouvertes. Cependant ils en laissent encore certaines en suspens et en révèlent bien d’autres. La plupartde ces questions ouvertes tournent autour de la description de la dynamique instable.En particulier le problème se pose de savoir si les ondes qui ne sont pas spectralement diffusivement stables,

éventuellement en un sens assez fort, génèrent une dynamique instable, en un sens modulé en espace. Pointonsqu’une preuve d’un tel résultat doit montrer qu’aucune modulation en espace — proche de translationsuniformes par morceaux — ne peut compenser la croissance de l’instabilité.Par ailleurs, il semble que certains types de dynamiques instables puissent être encore décrits en termes de

dynamiques moyennées, éventuellement multi-phases. Mais aucun tel résultat n’est encore disponible.

9. Yan Guo et Ian Tice. Decay of viscous surface waves without surface tension. ArXiv e-prints, Nov. 2010.

23

1400 1500 1600 1700 1800 1900 20000

20

40

60

80

x

Time

Figure 6 – Dynamique anti-diffusive d’une onde in-stable de (KdV-KS). [A5]

Suivi des déphasages par les pics (en vert) et les creux(en bleu). Vitesses de groupe données par la dynamiquemoyennée (en rouge).

Étendre : d’autres systèmes, d’autres structures

Stabilité dispersive

La stabilité non linéaire sous des perturbations générales des ondes périodiques des systèmes hamiltoniensd’équations aux dérivées partielles est un champ presque complétement vierge. Cependant ma conviction estque le temps est venu pour un effort soutenu vers cet objectif. À l’appui de cette conviction vient le fait que,pour certaines équations hamiltoniennes dispersives, les démonstrations de stabilité asymptotique d’autresstructures plus simples, telles qu’initiées par M. Weinstein et ses collaborateurs 10 présentent certains aspectscommuns avec notre récente démonstration de stabilité des ondes périodiques des systèmes dissipatifs.Il existe bien un grand nombre de résultats non linéaires dans ce contexte mais uniquement de stabilité

sous perturbations co-périodiques ou sous-harmoniques et qui reposent donc crucialement sur des argumentsvariationnels non disponibles quand on quitte ces classes très particulières et sans doute peu pertinentes pouranalyser des dynamiques réelles.Comme mentionné pour les ondes cnoïdales de l’équation de Korteweg–de Vries dans mon rapport d’ac-

tivité, il existe en revanche dans ce contexte des résultats de stabilité spectrale sous perturbation générale.Malheureusement il est probable que la stabilité non linéaire nécessite une notion raffinée de stabilité spec-trale, qui incorporerait certaines contraintes sur le paramétrage du spectre par les exposants de Floquet.L’un des mérites de mes travaux linéaires [P3] est leur contribution à l’identification d’une notion adéquatede stabilité spectrale que l’on pourrait appelée stabilité spectrale dispersive.Des progrès sur l’ensemble de ces problèmes forment l’un des objectifs du projet A.N.R. Blanc Boundaries,

Numerics, Dispersion (BoND) porté par Mme Benzoni-Gavage (Lyon 1). Mes premières avancées sont pourl’instant uniquement spectrales [A7][CR3][P1] et linéaires [P3]. Rappelons que des progrès sur des équationsde ce type même les plus simples, telles que l’équation de Korteweg–de Vries, celle de Schrödinger non linéaireou dans une moindre mesure le système d’Euler-Korteweg, valent autant pour elles-mêmes que par la naturecanonique de ces approximations qui interviennent en particulier dans la description de la dynamique desvagues, des superfluides, des lasers...

10. À titre d’exemples : Robert L. Pego et Michael I. Weinstein. Asymptotic stability of solitary waves. Communications inMathematical Physics, vol. 164, no 2 (1994), p.305–349 ; Scipio Cuccagna et Nicola Visciglia. On asymptotic stability of groundstates of NLS with a finite bands periodic potential in 1D. Transactions of the American Mathematical Society, vol. 363, no 5(2011), p.2357–2391.

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Systèmes semi-discrets

Même pour l’analogue discret en espace des systèmes d’équations aux dérivées partielles paraboliques, l’ana-lyse de stabilité des ondes périodiques est très largement une question ouverte. Ces systèmes semi-discretstrouvent pour l’essentiel leur origine soit dans des problèmes par nature posés sur des réseaux (structuresatomiques, chaînes d’oscillateurs...) soit dans l’analyse de la discrétisation en espace de certains schémasnumériques pour le calcul approché de solutions de systèmes d’équations aux dérivées partielles. L’objectifpour ces derniers cas serait alors d’être en mesure de discriminer parmi les discrétisations possibles celles quipréservent le plus possible l’existence d’ondes périodiques et leurs propriétés de stabilité / instabilité.Une bonne connaissance de ces systèmes est sans aucun doute un préalable à une analyse mathématique

des propriétés de métastabilité des trains infinis d’ondes solitaires tels qu’étudiés dans [A1].Un travail dans ces directions [P2] a été initié lors de mon encadrement du séjour à Lyon de M. Kabil

(Stuttgart), doctorant sous la direction de M. Rohde.

Ondes multi-périodiques

Pour les systèmes paraboliques, analyser la stabilité non linéaire des ondes périodiques planes spectrale-ment stables sous des perturbations localisées est en fait beaucoup plus simple en dimension supérieure ouégale à deux, là où la dynamique est sous-critique et donc asymptotiquement linéaire, raison pour laquellenous avons implicitement restreint la discussion à la dimension un. En dimension supérieure, une questionbien plus intrigante est celle de la dynamique autour des ondes multi-périodiques. En particulier les sys-tèmes moyennés déduits de considérations formelles sont eux-mêmes multi-dimensionnels et incorporent descontraintes d’irrotationnalité sur une partie de leurs composantes [I2].Rappelons que l’une des motivations à l’étude des ondes planes est qu’elles émergent comme instabilités

hydrodynamiques primaires. Puisque les instabilités secondaires peuvent conduire à des ondes bi-périodiques,ces problèmes constituent naturellement l’étape suivante dans l’amélioration de notre compréhension decertaines instabilités hydrodynamiques.

Structures composées

Une autre direction naturelle d’extension conduit à envisager des strucures plus complexes, composées.Ainsi pour les systèmes paraboliques il est désormais envisageable de considérer des motifs intégrant desondes périodiques comme blocs élémentaires. Par ailleurs rappelons que notre stratégie pour décrire unedynamique complexe multi-échelles a consisté à prouver une forme de moyennisation asymptotiquementen temps qui permet de reconstruire la dynamique proche des ondes périodiques à partir de celle prochede solutions constantes pour un système moyenné. Il est donc naturel d’espérer que cette stratégie qui s’estrévélée si fructueuse puisse être transférée pour permettre une analyse de stabilité de structures correspondantà des solutions moins triviales des systèmes moyennés — plutôt que des solutions constantes, on peut penserà des fronts, des chocs, des ondes de raréfaction... Au cas par cas de telles extensions ont déjà été obtenueslorsque le système moyenné est en fait une équation scalaire.Comme exemple particulièrement important d’une telle structure composée signalons que dans certains

régimes les chocs dispersifs des systèmes hamiltoniens peuvent être appréhendés comme des ondes de détentede certains systèmes moyennés d’ordre un. Ces chocs dispersifs se forment dans les systèmes hyperboliquesrégularisés par des termes dispersifs : approximativement au moment où le système hyperbolique initialaurait développé un choc une zône d’oscillations apparaît et, contrairement à ce qui se passe pour les chocs

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−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

x

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

500

1000

1500

2000

2500

3000

x

Figure 7 – Formation d’un choc dispersif dans l’équa-tion de Korteweg–de Vries [I6].

visqueux, ce choc dispersif s’étend dans l’espace avec le temps. Malheureusement, l’analyse par des méthodesrobustes de la stabilité de ces motifs, bien que hautement souhaitable, devrait attendre, d’après moi, aupréalable, le développement d’une bonne notion de stabilité dispersive pour les ondes périodiques des systèmeshamiltoniens. Il s’agit néanmoins de l’un des points de mire finaux du projet BoND et comme premier pasnous cherchons à unifier et généraliser au moins leur description moyennée [I6].

Un nouvel axe : des fluides aux plasmas

Mon activité de recherche présente une forme de dualité théorie générale / applications particulières. J’aichoisi de présenter le premier axe de mon projet de recherche principalement sous un angle théorique en nel’illustrant que d’applications liées à la dynamique des écoulements de fluide en couche mince le long d’unepente, qui prolongent certains de mes travaux précédents.Cependant je m’attache aussi à étendre mes champs d’application de l’hydrodynamique et la mécanique

des fluides et des gaz vers l’hydro-magnétique et la dynamique des plasmas dans leurs descriptions magnéto-hydrodynamiques mais aussi cinétiques. Mon mouvement vers ces thématiques procède de l’envie partagéeavec M. Filbet (Lyon 1) de délevopper à Lyon également un nouveau volet de la tradition 11 de la doubleculture fluide/cinétique. C’est en partie dans cette optique que M. Filbet et moi-même avons préparé etdispensé un cours de Master 2 recherche, intitulé Équations cinétiques : théorie et modélisation, aux automnes

11. Pour ne citer qu’un exemple c’est à la fois pour traiter la stabilité des états constants des équations de Navier-Stokes com-pressibles et celle des maxwelliennes de l’équation de Boltzmann que M. Kawashima a introduit — pour révéler les phénomènesde dissipation cachée — la notion de compensateur, depuis pensée comme un cas particulier de l’hypocercitivité.

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2011 et 2012 et que nous encadrons conjointement la thèse de M. Herda (Lyon 1). Cet esprit a égalementguidé les choix de M. Filbet dans la constitution d’une toute nouvelle équipe-projet INRIA Kinetic modelsapplied for future of fusion energy (KAliFFE).Les phénomènes multi-échelles et les questions d’instabilité jouent également un rôle crucial dans la com-

préhension de la dynamique des plasmas mis en jeu dans la fusion nucléaire. Néanmoins les questions que jesouhaite aborder ici ne sont pas en lien direct avec mes thématiques précédentes. La raison en est qu’instabi-lités et petites échelles sont dans ce cas bien souvent forcées par un mécanisme extérieur — par exemple parun fort champ magnétique — plutôt que le résultat de l’apparition de modes internes organisés en structurescohérentes. Mon axe est donc avant tout d’étudier la réponse de ces systèmes à de tels forçages.

Mesures invariantes

J’ai ainsi entamé une collaboration [A10][I8] avec M. Vovelle (CNRS, Lyon 1) visant à proposer un cadremathématique permettant d’analyser les questions de turbulence dans les plasmas via l’existence de mesuresinvariantes pour des systèmes cinétiques forcés stochastiquement. Nous avons depuis intégré à ce projet M.Boritchev (Lyon 1) récemment arrivé à Lyon et lui spécialiste de la turbulence dans l’équation de Burgers.Pour une bonne part, notre ambition est de porter vers des modèles de type Vlasov certains travaux réalisessur les équations incompressibles d’Euler et de Navier-Stokes 12. Deux des obstacles techniques à surmon-ter pour établir une théorie satisfaisante pour les modèles cinétiques usuels sont que d’une part le bruitmodélisant le forçage stochastique y est nécessairement multiplicatif et quasi-linéaire et que d’autre part ladissipation collisionnelle n’est qu’hypocoercitive et hypoellptique.

Dynamiques effectives

Par ailleurs, bien que de nombreux travaux aient été consacrés à l’obtention d’une compréhension fine de ladynamique effective pour les systèmes à oscillations forcées 13, une compréhension totale de leurs implicationssur la description des plasmas est encore en chantier 14. L’utilisation de cette analyse fine des modèles continusafin de concevoir des schémas numériques respectant ces dynamiques effectives quitte à moins bien décrireles oscillations elles-mêmes est quant à elle un terrain essentiellement vierge 15 . Participer à l’analyse etau développement de modèles effectifs [E1][I9] et en extraire des schémas préservant ces asymptotiques [I5]constituent mon objectif premier dans le volet « plasmas fortement magnétisés »du projet KAliFFE.

12. Voir par exemple : Arnaud Debussche. Ergodicity results for the stochastic Navier-Stokes equations : an introduction.Topics in mathematical fluid mechanics, p.23–108. Lecture Notes in Mathematics, 2073 (2013). Ou consulter : Sergei Kuksinet Armen Shirikyan. Mathematics of two-dimensional turbulence. Cambridge tracts in mathematics, 194 (2012).13. Voir du côté fluides : Jean-Yves Chemin, Benoît Desjardins, Isabelle Gallagher et Emmanuel Grenier. Mathematical

geophysics. An introduction to rotating fluids and the Navier-Stokes equations. Oxford Lecture Series in Mathematics andits Applications, 32 (2006). Et consulter par exemple du côté plasma : Christophe Cheverry. Can one hear Whistler Waves ?Prépublication (2014).14. Consulter à ce sujet la thèse de Daniel Han-Kwan, Contribution à l’étude mathématique des plasmas fortement magnétisés.

Paris 6 (2011).15. On pourra néanmoins lire dans un esprit distinct mais avec des objectifs proches : Nicolas Crouseilles, Mohammed Lemou

et Florian Méhats. Asymptotic preserving schemes for highly oscillatory Vlasov-Poisson equations. Journal of ComputationalPhysics, vol.248 (2013), p.287–308

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Pièce 5

RAPPORT DE SOUTENANCEET PRÉ-RAPPORTS DE MM. HAMEL, LANNES ET PEGO

Nom: RODRIGUES Prénom: L. Miguel Adresse électronique: rodrigues@math.univ-lyon1.fr

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Aix-Marseille Universite, Faculte des Sciences, LATP———————————————————————————————————–39 rue Frederic Joliot-Curie, 13453 Marseille Cedex 13, France; francois.hamel@univ-amu.fr

Francois Hamel

Institut Universitaire de France

Marseille, le 6 novembre 2013

Rapport sur le projet d’habilitation a diriger des recherches presente parMonsieur Luis Miguel RODRIGUES

Le memoire presente par L. Miguel Rodrigues s’appuie sur une douzaine d’articles. Ces dernierscomprennent notamment une impressionnante serie de travaux en collaboration avec B. Barker,M.A. Johnson, P. Noble et K. Zumbrun. Je precise d’emblee que le present memoire est tresdense et de haute volee, confirmant le niveau excellent des revues dans lesquelles les articlesde L. Miguel Rodrigues ont ete publies et parmi lesquelles on peut citer Arch. Ration. Mech.Anal., Indiana Univ. Math. J., Inventiones Math. ou encore Trans. Amer. Math. Soc. Cespublications sont parues au cours des 5 dernieres annees, ce qui montre un reel dynamisme.

Les travaux de L. Miguel Rodrigues portent essentiellement sur la dynamique spatio-temporelled’ondes periodiques, structures coherentes decrivant de nombreux phenomenes physiquesmodelises par differents types d’equations aux derivees partielles. Le but general est d’elaborerune theorie de stabilite lineaire et non lineaire parallele a celle grandement connue pour lesfronts d’equations dissipatives, et on peut affirmer sans detour que cet objectif a ete atteintavec succes.

Les systemes d’EDP consideres par L. Miguel Rodrigues peuvent se ranger en deux grandesclasses. Une premiere comprend des systemes hamiltoniens ∂tU = J (EH[U]) (ou J = ∂xJ,J est une matrice symetrique inversible, H est une fonction des derivees de U d’ordreinferieur ou egal a l ∈ N∗ et E est l’operateur d’Euler defini par EH[U]α = ∂UαH(U, ∂xU) −∂x(∂∂xUαH(U, ∂xU)) pour tout 1 ≤ α ≤ d si l = 1 et U = (Uα)1≤α≤d) associes a des lois deconservation locales. Dans cette premiere classe se rangent l’equation de Korteweg-de-Vriesgeneralisee

∂tv + ∂xp(v) = −∂3xv,le systeme d’Euler-Korteweg

{∂tρ+ ∂x(ρu) = 0,

∂tu+ u∂xu+ ∂x(EρE) = 0,

des systemes modelisant des ecoulements capillaires, certaines equations de Schrodinger ouencore des systemes de type Boussinesq. La deuxieme classe inclut des systemes paraboliquesquasilineaires, comme le systeme de Navier-Stokes compressible en dimension 1

{∂tρ+ ∂x(ρu) = 0,

∂t(ρu) + ∂x(ρu2 + p(ρ)) = f(ρ, u) + ∂x(µ(ρ)∂xu),

les equations de Saint-Venant

{∂th+ ∂x(hu) = 0,

∂t(hu) + ∂x(hu2 + g cos(θ)h2/2) = g sin(θ)h− Cf |u|u+ µ∂x(h∂xu),

de Korteweg-de-Vries/Kuramoto-Sivashinsky

∂tu+ ∂x(u2/2) + ∂3xu = −δ(∂2xu+R∂2x(u

2) + ∂4xu)

qui peuvent etre vues comme des corrections paraboliques d’ordre 4 des equations de Korteweg-de-Vries, les systemes de reaction-diffusion ∂tU = g(U) + ∂2xU et les systemes paraboliquesde lois de conservation ∂tU + ∂x(f(U)) = ∂2xU. Ces systemes, dont plusieurs sont relies entreeux dans certaines limites, modelisent entre autres des ecoulements de faible epaisseur sur desplans inclines.

Les resultats obtenus par L. Miguel Rodrigues ont trait d’une part a la stabilite lineaire d’ondesperiodiques pour des systemes hamiltoniens et paraboliques quasilineaires, par des methodesanalytiques et numeriques, et d’autre part a la stabilite non lineaire, essentiellement pour dessystemes paraboliques ou partiellement paraboliques. Les methodes utilisees sont celles de latheorie geometrique des EDP alliant notamment analyse spectrale, transformation de Bloch etperturbations singulieres. Je souhaiterais par ailleurs mentionner la definition d’un nouveauconcept developpe par L. Miguel Rodrigues pour traiter la stabilite d’ondes periodiques nonlineaires par rapport a des perturbations non localisees, sachant que les periodes peuventegalement varier : la nouvelle notion, qui va au-dela de la notion usuelle de stabilite orbitaleutilisant un groupe de changement de variables necessaire pour tenir compte des invariancesinherentes, prend en compte l’ecart de ces changements de variables par rapport a l’identite.

Dans le reste du rapport, je mets en valeur quelques-uns des resultats les plus frappants obtenuspar L. Miguel Rodrigues. Dans le chapitre 2 est notamment montree la stabilite spectraled’ondes periodiques pour des systemes hamiltoniens, en la reliant a celle d’un systeme modulefaisant intervenir certaines quantites moyennisees. Par ailleurs, pour le systeme d’Euler-Korteweg, L. Miguel Rodrigues a montre la commutativite entre la moyennisation de Whithamet le passage aux coordonnees lagrangiennes. Il s’agit d’un tres joli resultat, qui n’est pas trivialdu tout puisque le changement de variables associe au passage entre les coordonnees eulerienneset lagrangiennes est implicite. Enfin, je mentionne le resultat important donnant un critere depersistence de stabilite pour les equations de Korteweg-de-Vries/Kuramoto-Sivashinsky vuescomme perturbations singulieres de l’equation de Korteweg-de-Vries generalisee, lorsque leparametre δ est suffisamment petit.

Le chapitre 3 est consacre a l’analyse spectrale numerique de la stabilite d’ondes periodiques,par la methode de Hill et l’etude de certaines fonctions d’Evans. Le spectre des operateurslinearises est d’abord localise par des methodes analytiques dans des zones bien delimiteesdu plan complexe. Apres discretisation des exposants de Floquet d’operateurs periodiques,chaque operateur est ensuite approche par une matrice, dont le spectre est evalue. Des logicielscomme SpectrUW et STABLAB sont utilises a cette fin. J’ai particulierement aime l’analysenumerique du “spectre dynamique”, c’est-a-dire l’analyse numerique spectrale d’operateurs

linearises autour d’un signal initialement localise puis convenablement periodise. Les ondessolitaires instables peuvent ainsi donner lieu a des ondes periodiques stables suivant la valeurde la periode.

Le dernier, mais non le moindre, chapitre de presentation des travaux montre des resultatsde stabilite non lineaire pour des systemes paraboliques de reaction-diffusion ou de lois deconservation. L. Miguel Rodrigues prouve non seulement un resultat de stabilite asymptotiqueet orbitale dans certains espaces fonctionnels, mais il precise egalement le taux de convergencevers des ondes associees a certains parametres moyennises dont l’evolution est estimee. Cesresultats, qui sont assurement les plus complets et les plus fins dans cette direction a ce niveaude generalite, constituent une percee tout a fait notable dans ce domaine.

Enfin, L. Miguel Rodrigues a fait l’effort appreciable d’indiquer dans le chapitre 5 des directionsde recherche futures sur certains problemes ouverts lies plus ou moins directement aux travauxdeja effectues. Ce chapitre confirme le recul de l’auteur du memoire par rapport a ses propresresultats, ainsi que la profondeur de sa reflexion. Dans tout le memoire, les resultats obtenuset les modeles utilises sont bien mis en perspective et compares a l’abondante litteraturemathematique et physique. Les preuves elles-memes sont souvent comparees a celles de lalitterature existante. Les idees essentielles et novatrices ainsi que les principaux elements despreuves sont toujours soigneusement expliques avant les calculs techniques proprement dits.Tous ces elements ne font que renforcer la remarquable qualite de redaction du memoire.

Pour toutes ces raisons, je donne sans reserve un avis tres favorable a la soutenance du memoired’habilitation a diriger des recherches presente par L. Miguel Rodrigues,

Francois HamelProfesseur a l’universite d’Aix-MarseilleMembre de l’Institut Universitaire de France

DMA, Ecole Normale Superieure et CNRS UMR 8553,45 rue d’Ulm, 75005 Paris

Paris, 5 novembre 2013

Rapport sur le memoire de Miguel Rodrigues en vue del’Habilitation a Diriger des Recherches

Dans ce memoire, Miguel Rodrigues presente les principaux resultats d’unambitieux programme de recherche entame il y a quelques annees et consistant aetudier la dynamique des solutions de certaines EDPs nonlineaires au voisinagede solutions periodiques. Plus precisement, deux grandes familles d’equationssont considerees:Systemes paraboliques:

Ut +(f(U, . . . ,Ux . . . x︸ ︷︷ ︸

2(l−1)

))x

= g(U) +(B(U, . . . ,Ux . . . x︸ ︷︷ ︸

2(l−1)

)Ux . . . x︸ ︷︷ ︸2(l−1)

)x, (1)

ou l ∈ N∗ et U : R+ × R→ Rd, et

Systemes hamiltoniens: ∂tU = J (EH[U ]), (2)

avec J = ∂xJ (J matrice symetrique inversible), H une fonctionnelle impliquantdes derivees de U d’ordre au plus l ∈ N∗, et E l’operateur d’Euler.C’est un domaine de recherche qui en etait il y a quelques annees encore ases balbutiements (en tous cas, si on compare a l’etendue des resultats connuspour la dynamique autour de solutions localisees par exemple). L’ensemble desresultats presentes ici est le fruit d’un travail d’une equipe formee de BlakeBarker, Sylvie Benzoni, Mathew Johnson, Pascal Noble, et Kevin Zumbrun,et bien sur de Miguel Rodrigues. Il s’agit d’une somme de resultats impres-sionante, d’une grande difficulte technique, et a mon avis d’une grande porteeconceptuelle.

Le memoire, particulierement dense et sans concessions, aborde les differentesetapes menant a la stabilite nonlineaire des structures periodiques. Je suivraicette meme articulation dans ce rapport.

Le premier point a aborder est bien sur la stabilite spectrale des ondesperiodiques, qui fait l’objet du Chapitre 2. Ce probleme est aborde ici au traversl’approche tres interessante proposee par Whitham et basee sur les equations demodulation. Cette approche est assez connue chez les physiciens/mecaniciensmais il a fallu attendre les travaux de Denis Serre pour bien comprendre les liensentre les equations de modulations (ou de Whitham) et les proprietes spectralesde (1). Dans un travail recent avec Sylvie Benzoni et Pascal Noble, MiguelRodrigues a traite le cas des systemes hamiltoniens (2) dans un cadre generalenglobant certains cas particuliers deja connus (equation de KdV generalisee par

1

exemple). Pour etudier la stabilite spectrale autour d’une solution periodique,progressive exacte U de (2), il faut etudier le systeme linearise

∂tU = LU, avec L = JHess(H+ cQ)[U]

ou c est la vitesse de l’onde progressive et Q(U) = 12U · J−1U l’impulsion (qui

est une quantite conservee). La stabilite spectrale consiste a montrer que

σ(L) ⊂ {z ∈ C,<z ≤ 0}.

L’approche de Whitham est fondee sur une bonne connaissance de la structuredes solutions periodiques du systeme de depart. Dans le cas des systemes hamil-toniens (2) la situation generique est que de telles solutions forment une varietede dimension (d + 2). L’approche de Whitham consiste a les parametrer parleur nombre d’onde k (ce qui permet de se ramener a des solutions de periode 1)et des valeurs moyennes (M, P ) = (〈U〉, 〈Q[U]〉). L’idee consiste alors a ecrireun systeme d’evolution sur la variete des profils periodiques; plus precisement,on cherche des solutions sous la forme

U(t, x) = (U0 + εU1)(εt, εx,Ψ(εt, εx)

ε) + o(ε)

avec U0 et U1 de periode 1 par rapport a la derniere variable (une solutionperiodique progressive correspond donc a l’absence de dependance en les vari-ables lentes, et a une phase Ψ(T,X) = k(X−cT )). Par identification des termesprincipaux (par rapport a ε), on trouve que le terme principal doit etre une ondeperiodique de nombre d’onde κ = Ψx. D’apres la parametrisation adoptee plushaut de la variete des solutions periodiques, cette solution peut etre representeepar un triplet (κ,M,P). Ce triplet est determine par la resolution d’un systemede trois equations d’evolution en la variable lente εt: ce sont les equations deWhitham. Ainsi, formellement tout du moins, la linearisation autour d’une so-lution periodique de (2) revient a la linearisation autour d’un etat constant (lesparametres de l’ondes periodique de reference) des equations de Whitham, et lastabilite spectrale pour (2) revient donc a une condition d’hyperbolicite faiblesur les equations de Whitham, ce qui est plus facile a etablir. Cette demarcheest tres seduisante, mais la rendre rigoureuse est une autre paire de manches!C’est a ma connaissance Denis Serre qui a le premier donne une explicationsatisfaisante des liens entre les equations de Whitham et la stabilite spectralepour des systemes paraboliques de type (1); pour les systemes Hamiltoniens(2), Miguel Rodrigues et ses collaborateurs ont etabli sous des hypotheses touta fait raisonables, que le caractere faiblement hyperbolique des equations deWhitham est une condition necessaire a la stabilite spectrale. La preuve reposesur une analyse du spectre via une decomposition en ondes de Bloch, et estune consequence d’un resultat plus precis qui decrit la bifurcation de la valeurpropre nulle en zero. Remarquons en particulier que ce schema de preuve estdifferent de celui employe par Denis Serre pour (1), qui s’appuyait sur les fonc-tions d’Evans (meme si dans leur interessante discussion sur la reduction des

2

hypotheses necessaires pour leur theoreme, Miguel Rodrigues et ses collabora-teurs ont recours a une version allegee des fonctions d’Evans).

La notion de stabilite spectrale est trop faible pour permettre d’etablir lastabilite nonlineaire des ondes progressives periodiques. Pour des systemesparaboliques de type (1), pour lesquels la stabilite spectrale est connue depuisles resultats de Denis Serre, Miguel Rodrigues introduit une notion de stabiliteplus forte: la stabilite spectrale diffusive. Pour des ondes de periode 1, le spectrede l’operateur linearise s’ecrit

σ(L) = ∪ξ∈[−π,π]σper(Lξ) ou (Lξg)(x) = e−iξxL(eiξ·g(·))(x); (3)

la stabilite spectrale diffusive revient a supposer que

∃θ > 0,∀ξ ∈ [−π, π], σper(Lξ) ⊂ {λ,<λ ≤ −θ|ξ|2},

et que 0 est de multiplicite algebrique minimale pour L0. Cette notion est asseznaturelle (grace aux explications apportees!); elle est par contre plus delicate aetablir. Miguel Rodrigues presente un resultat recent pour lequel cette notionde stabilite est etablie pour l’equation de Kuramoto-Sivashinsky

∂tu+ ∂x(1

2u2) + ∂3xu = −δ(∂2xu+R∂2x(u2) + ∂4xu), (4)

avec δ > 0. Quand δ = 0, on retrouve l’equation de KdV qui possede des ondesperiodiques progressives. Ercolani, McLaughlin et Roitner ont montre en 1983que certaines d’entre elles se prolongeaient en des ondes periodiques de (4) pourδ petit. Le resultat presente ici, et que certaines d’entre elles sont diffusivementspectralement stables. La preuve de ce resultat est vraiment delicate et s’appuiesur une tres bonne connaissance des proprietes de l’equation de KdV. Le com-portement au voisinage de l’origine est particulierement delicat et requiert uneanalyse tres fine a l’aide de fonctions d’Evans. Insistons sur le fait que la con-dition de petitesse sur δ verifie une propriete d’uniformite, et notons aussi quece resultat a ete etendu par Rodrigues et ses collaborateurs aux cas du systemede Saint-Venant, meme si ce resultat ne figure pas dans le memoire.

Les difficultes techniques rencontrees au Chapitre 2 convainquent aisementle lecteur de la necessite de verifier numeriquement la stabilite spectrale (surtoutdans sa version forte dite diffusive). C’est ce qui est fait au Chapitre 3. Pourcela, M. Rodrigues et ses collaborateurs s’appuient sur deux types de methodes:la methode de Hill basee sur la decomposition de Bloch (3) du spectre, et uncalcul des fonctions d’Evans. Miguel Rodrigues n’a pas eu a developper lui-meme des codes numeriques car il a pu s’appuyer sur le software SpectrUWdevoloppe par Deconinck et collaborateurs pour la methode de Hill, et par lesroutines MATLAB STABLAB developpees par le groupe de Kevin Zumbrunaux USA auquel Rodrigues est etroitement lie. Cette approche numerique per-met d’avoir des renseignements sur la stabilite spectrale dans des configurationsou des resultats theoriques semblent hors de portee: l’equation (4) quand δn’est pas petit, le systeme de Saint-Venant pour tout nombre de Froude F > 2,

3

etc. L’approche numerique leur permet aussi de comprendre un paradoxe ap-parent: certaines solutions periodiques stables de St-Venant sont assez prochesd’un train d’onde solitaires, alors que ces dernieres sont souvent instables. Lessimulations montrent un mecanisme d’amplifications/attenuations successivesqu’il etait assez difficile de deviner. Cette etude est beaucoup moins techniqueque le reste, mais tres originale et pertinente.

Enfin, le Chapitre 4 aborde le coeur du probleme, la dynamique nonlineaire;plus precisement, la stabilite nonlineaire est etablie, et le comportement entemps long est decrit. Je ne vais pas rentrer ici dans les details techniques deces resultats, qui sont redoutables. Je me contenterai donc d’en mentionnerquelques points pour en souligner la valeur. Ce sont a ma connaissance G.Schneider et ses collaborateurs qui ont les premiers ete en mesure d’obtenirde tels resultats a l’aide d’une tres elegante methode de renormalisation sur lestransformees de Bloch. Quelques resultats existaient egalement sur des exemplesparticuliers, avec des techniques ad hoc de preuve. Les resultats de Rodrigueset de ses collaborateurs ont le merite d’unifier la theorie, mais ils vont au-delapuisqu’ils permettent aussi de traiter des cas ou les equations de Whitham nesont pas scalaires (alors que les exemples traites auparavant etaient contraintspar ce cadre). Au niveau de la preuve, et encore une fois sans rentrer dansles details techniques, il convient de mentionner qu’elles apportent quelquesnouveautes conceptuelles tres interessantes comme par exemple une tres joliegeneralisation de la notion de stabilite orbitale (la ”stabilite modulee en espace”)qui permet entre autres de resoudre les problemes de desynchronisation entreles dephasages des differentes periodes de l’onde. La preuve apporte egalementun eclairage tres interessant sur les equations de Whitham (du second ordre,car l’approche decrite plus haut doit etre precisee).

Conclusion C’est donc un veritable programme de recherche deja bien aboutique Miguel Rodrigues a presente ici: depuis l’etude spectrale jusqu’a la dy-namique nonlineaire en temps grand, en passant par l’exploration numeriquedes cas qui echappent encore a l’analyse. L’ensemble des resultats, obtenus enquelques annees seulement, constitue une somme impressionante. C’est bienentendu trop pour un seul homme, et il convient de rappeler qu’il s’agit lad’un travail d’equipe: B. Barker, M. Johnson, P. Noble, K. Zumbrun, et plusrecemment S. Benzoni ont tous activement participe a ces travaux. Ceci etantrappele, il est certain que Miguel Rodrigues a joue un role moteur et decisif dansce travail d’equipe. Il est non moins certain qu’il est un devenu un expert incon-testable de la thematique et a ce titre je n’ai pas la moindre reserve a soutenirla candidature de Miguel Rodrigues a l’Habilitation a Diriger des Recherches.

Paris, 5 novembre 2013, David Lannes

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Carnegie MellonDepartment of Mathematical SciencesCarnegie Mellon UniversityPittsburgh, Pennsylvania 15213-3890Telephone: (412) 268-2545Fax: (412) 268-6380

November 9, 2013

Report on the Habilitation thesis

“Asymptotic stability and modulation of periodic wavetrains”

by L. Miguel Rodrigues, Universite Lyon 1, Institute CamilleJordan

The general goal of this habilitation I find quite laudable. The aim isto explain and review the program of research by the author and his col-laborators towards developing a rigorous theory of (weakly) nonlinear PDEdynamics and stability for periodic waves. This program is being done ina systematic fashion building upon the extensive but established body ofknowledge for linear periodic waves.

As the universe of PDEs is vast, there is an appropriate focus on twogeneral classes of PDE which encompass many important examples, yet il-lustrate contrasts in structure and method. These classes are a) balance lawsof parabolic type ( including reaction-diffusion systems and viscous conserva-tion laws), and b) Hamiltonian systems of dispersive type. Solutions remainregular without the development of singularities (blow-up) or discontinuities(shocks). Nevertheless, nonlinear dynamics is responsible for many interest-ing phenomena which are important from both mathematical and physicalviewpoints and are associated with models in the classes considered.

Mathematically, the main achievements of author’s program are of twogeneral types: a) identifying and establishing convenient criteria that deter-mine the stability (or instability) of periodic nonlinear waves, and b) jus-tifying simplified but effective descriptions of the dynamics of modulatednonlinear wavetrains. These goals are achieved to varying degrees for vari-ous more specific types of models.

With respect to a), the author and collaborators have recently made animportant conceptual advance which in some sense justifies the whole pro-gram. The concept of “space-modulated asymptotic stability” which theyhave introduced seems certain to be fundamental for the nonlinear stabilityanalysis of periodic waves henceforth. This concept i) has an attractively

simple formulation in terms of a modulation of coordinates in a fashion rem-iniscent of the Skhorohod topology in stochastic processes, (as is pointedout), ii) captures very efficiently the effect of phase modulations that develop,spread and persist in a nonlinear wave train, and iii) provides a convenientframework for the rigorous work of carrying out stability estimates by facil-itating the improvement of tools for the analysis of localized perturbations(for parabolic systems, to date).

Families of periodic nonlinear waves, especially for Hamiltonian systems,can have quite a number of symmetries which complicate and confound theanalysis of perturbed wave trains. The notion of space-modulated stabilityreally deals with only one of them—spatial translation. Phenomena suchas localized phase defects, amplitude modulation and ‘amplitude shocks’ arenot handled. Yet the focus on treatment of spatial translations is very usefulalready, since perturbations of an infinite periodic wavetrain can involve localtranslations that vary on a large scale, thus have a nature quite different fromthe effect of translation of single structures such as solitary waves.

Regarding the technical developments reviewed in the habilitation, thejury includes other experts better positioned than I to assess their signifi-cance and impact. Also, I am not in a position to judge the nature of theauthor’s contributions to the works jointly published with others. However,I find the insightful nature of the discussion and reasoning in the habilitationis of a truly unusual high quality and range. This regards: the context of theproblems considered; the nature of the assumptions imposed (e.g., the studyof wavetrains without boundaries, with nonperiodic perturbations, and withtime unbounded); the mathematical issues that one encounters as a conse-quence; and ideas and prospects for future developments in the theory. Thusthis habilitation is valuable as both a review of the motivations and accom-plishments of the work of the author’s group, and as an excellent examplefor beginning researchers how to organize and develop their own program ofinvestigation.

With regard to that future, I would add only one point to the author’s co-gent discussion of avenues for investigation. This has to do with some kind offailure of our current concepts on stability and instability to deal with certainobserved phenomena. I particularly refer to phenomena related to roll waves.Experiments both physical and numerical show that individual wave pulsesretain shape and and individual identity remarkably well, and in fact tend

to suppress small impinging perturbations, despite the fact that an isolatedpulse is mathematically unstable due to long-wave essential spectrum. Thusthe mathematical instability of roll-wave pulses does not appear to renderthese waves irrelevant for understanding typical physical behavior. This isnot a point that fits well with a program of developing a general stabilitytheory, I suppose, but perhaps it is a point to keep in mind the potentiallimitations of the scope of any theory.

Sincerely,

Robert Pego

(412)268-2553