DOCTEUR DE L'UNIVERSITE PAUL SABATIER

UNIVERSITE DE TOULOUSE

THESE

Présentée pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE PAUL SABATIER

SPECIALITE : GENIE MECANIQUE

par

Abir AL-MAGHRIBI

COMPORTEMENT DES MATERIAUX COMPOSITES A FIBRES COURTES : APPLICATIONS A L’IMPACT BASSE VITESSE

Soutenue le 26 Septembre 2008 devant le jury composé de :

M. Fodil MERAGHNI Professeur des Universités, CER ENSAM-Metz Président

M. Najib ABDUL WAHED Professeur des Universités, Université d’Alep, SYRIE Rapporteur

M. Laurent GUILLAUMAT Professeur des Universités, ISAT Nevers Rapporteur

M. Michel NOUILLANT Professeur des Universités, Universités Bordeaux I Examinateur

M. Jean-Jacques BARRAU Professeur des Universités, Université Paul Sabatier, Toulouse Directeur de thèse

M. Frédéric LACHAUD Maître de Conférences, ISAE Toulouse Co-Directeur de thèse

M. Robert PIQUET Maître de Conférences, IUT Paul Sabatier / ISAE Invité

I.S.A.E

Institut Supérieure de l’Aéronautique et de l’Espace D.M.S.M

Département de Mécanique des Structures et Matériaux 10 Avenue Edouard Belin

31055 TOULOUSE Cedex 04

A mes parents... Je ne vous remercierai jamais assez pour votre soutien et vos encouragements tout au long de mes études.

Remerciements

Ce travail de thèse est le résultat de cinq années passées au sein d’une équipe qui m’a offert la possibilité d’acquérir beaucoup de connaissances sur les matériaux composites (fabrication, essais, calcul par éléments finis…) - l’équipe du Département Mécanique des Structures et Matériaux de l’ISAE (Institue Supérieure d’l’Aéronautiques et de l’Espace) de Toulouse sous la direction de Jacques Huet. Un grand merci à tous ! Je voudrais tout d’abord exprimer ma plus profonde reconnaissance à M. Frédéric LACHAUD pour son chaleureux accueil, pour son encadrement et ses conseils scientifiques tout le long de ce travail, ainsi que pour son aide sur la proposition des voies de recherche intéressantes dans ce travail de thèse. Si ce travail a pu être mené à bien, c’est grâce à son aide précieuse et ses encouragements constants. Je tiens à souligner combien j’ai apprécié le dévouement à la recherche de mon tuteurs, M LACHAUD. Je tiens à remercier M. Jean-Jacques Barrau, Professeur des Universités à l'Université de Paul Sabatier Toulouse III et Directeur du LGMT (Laboratoire de Génie Mécanique de Toulouse) pour avoir encadré cette thèse. Je remercie les membres de Jury d’avoir accepté d’examiner mon travail. Une grande partie de cette thèse est basée sur des résultats expérimentaux. Je voudrais donc remercier à M. Pierre Erizé, à M. Daniel Boîtel et à M. Michel Labarrère pour leur aide précieuse dans la phase analyse non destructive des composites. Merci à M. Patrick Chèze et à toute l’équipe de l’atelier mécanique pour l’usinage des pièces métalliques et composites ainsi que pour leur bonne humeur. Je remercie également Mme Marie Odile pour sa gentillesse et sa disponibilité. Je suis également très touché par l’amitié et l’aide de tous mes collègues et plus particulièrement à Gina, Razan, Caline, Smira, Jasmina et Ambrosius pour leurs encouragements et leur amitié. J’exprime ma grande gratitude envers mon père, mes sœurs et mes frères pour l’aide morale et physique qu’ils m’ont apporté quand j’en avais besoin. Je remercie Ma mère, Grâce à elle, il y a eu encore plus de soleil dans la vie. Je remercie Mes merveilleux enfants Elissa et Kissar qui m'avoir toujours fait sourire malgré des hauts et des bas. À eux je voudrais offrir mes réussites. Je n’oublierai jamais mon époux, Mohamed, mes plus grands remerciements vont à lui, pour son amour, son soutien pendant toutes ces années, et sa patience qui m’ont permis d’achever ce travail. Je lui suis très reconnaissant de m’avoir accompagné dans un pays lointain au sacrifice de sa carrière. À lui je dis : ″Mulţumesc mult″.

Comportement des composites SMC-R : application à l’impact basse vitesse

i

SOMMAIRE

INTRODUCTION GENERALE……………………………………………………………… p. 1

PARTIE A : BIBLIOGRAPHIE ET CADRE DE L’ETUDE………………………... P. 5 Introduction………………………………………………………………………………... p. 6 CHAPITRE I : Matériau et fabrication

I.1. Généralités sur les matériaux composites…………………………………………….. p. 7 I.2. Les matériaux formulés par le procédé SMC…………………………………………. p. 8 I.3. Le matériau étudié : le SMC-R……………………………………………………….. p. 10 I.4. Procédé de fabrication…………………………………………………………………. p. 12

I.4.1. La fabrication du préimprégné………………………………………………… p. 12 I.4.2. Le mûrissement du préimprégné… … … … … … … … … … … … … … p. 13 I.4.3. Réticulation et moulage sous pression… … … … … … … … … … … … .. p. 13

CHAPITRE II : Comportement mécanique des SMC-R

II.1. Comportement des SMC-R…………………………………………………………… p. 16 II.2. Approche micromécanique (modèle d’homogénéisation)………………………… p. 20

II.2.1. Modèles issus des techniques d’homogénéisation…………………………... p. 20 II.3. Modèle d’endommagement…………………………………………………………… p. 30

II.3.1. Les variables internes et la contrainte effective……………………………... p. 31 II.3.2. Endommagement global (Macro) ……………………………………………...p. 32 II.3.3. Endommagement local (Micro : à l’échelle de la fibre)……………………. p. 35

II.4. Couplage Endommagement-Pseudo plasticité………………………………………p. 37 II.5. Effet de vitesse de déformation sur le comportement……………………………… p. 39

CHAPITRE III : Comportement à l’impact

III.1. Classification des impacts…………………………………………………………… p. 43 III.2. Mécanismes d’endommagement sous l’impact…………………………………… p. 44


ii

III.3. Dissipation d’énergie lors de l’impact………………………………………………p. 46 III.4. Influence des conditions d’essais…………………………………………………… p. 46 III.5. Impact sur les composites stratifiés et sandwiches……………………………….. p. 48

III.5.1. Les stratifiés……………………………………………………………………... p. 48 III.5.2. Composite sandwich à âme en nid d’abeilles……………………………… p. 49

III.6. Influence des différents constituants……………………………………………….. p. 50

III.6.1. Les fibres………………………………………………………………………… p. 50 III.6.2. La matrice………………………………………………………………………. p. 50

III.7. Modélisation de l’impact……………………………………………………………...p. 51 III.8. Les méthodologies de simulation…………………………………………………… p. 52

Conclusion…………………………………………………………………………………p. 52 PARTIE B : COMPORTEMENT DU MATERIAU SMC-R…………………………. P. 55

Introduction ……………………………………………………………………………… p. 56

CHAPITRE I : Etude expérimentale du comportement

I.1. Introduction……………………………………………………………………………… p. 57 I.2. Matériau de l’étude…………………………………………………………………….. p. 57 I.3. Essais en traction……………………………………………………………………….. p. 58

I.3.1. Essai de traction simple (SMC-R25)…………………………………………… p. 59 I.3.2. Essai de traction cyclé (SMC-R25)……………………………………………...p. 62

I.4. Essais en compression………………………………………………………………….. p. 68 I.4.1. Essai de compression cyclée (SMC-R25)……………………………………… p. 68

I.5. Essais de traction-compression couplées……………………………………………. p. 71 I.6. Essais de traction-cisaillement couplés……………………………………………… p. 77

I.6.1. Conception du dispositif expérimental………………………………………… p. 77 I.6.2. Comportement en cisaillement pur (SMC-R30)……………………………… p. 78 I.6.3. Comportement sous chargement bi-axial de traction-cisaillement…………p. 82

I.7. Essais de flexion 3 points rapprochés…………………………………………………p. 92 I.8. Essais de compression dynamique……………………………………………………. p. 94


iii

I.8.1. Introduction……………………………………………………………………….. p. 94 I.8.2. Moyens d’essai en dynamique (banc d’essais Hopkinson)………………….. p. 94 I.8.3. Résultats d’essais……………………………………………………………….. p. 103

I.9 Conclusion………………………………………………………………………………. p. 110

CHAPITRE II : Etude numérique : modélisation du comportement

II.1. Introduction…………………………………………………………………………… p. 112 II.2. Comportement micromécanique……………………………………………………. p. 112

II.2.1. Influence du rapport de forme………………………………………………...p. 113 II.2.2. Comportement en fonction de la fraction volumique de fibres…………... p. 114 II.2.3. Comportement en fonction du nombre de famille………………………… p. 115 II.2.4. Comparaison avec les caractéristiques déterminées expérimentalement p. 116

II.3. Codes de calculs utilisés : implémentation des lois de comportement………… p. 116

II.4. Modélisation du comportement en traction………………………………………. p. 117

II.4.1. Maillages et conditions aux limites………………………………………… p. 117 II.4.2. Lois de comportement en traction…………………………………………….p. 118 II.4.3. Comparaison Essai/Numérique en traction statique……………………….p. 119

II.5. Modélisation du comportement en compression…………………………………. p. 120

II.5.1. Maillages et conditions aux limites…………………………………………. p. 120 II.5.2. Loi de comportement………………………………………………………….. p. 121 II.5.3. Comparaison Essai/Numérique en compression statique………………....p. 121

II.6. Modélisation du comportement en traction-compression couplées…………….. p.122

II.6.1. Maillages et conditions aux limites………………………………………….. p. 122 II.6.2. Modélisation avec endommagement et sans plasticité couplée…………. p. 122 II.6.3. Modélisation avec endommagement et pseudo plasticité couplée……… p. 125

II.7. Modélisation du comportement en traction-cisaillement couplés……………… p. 128

II.7.1. Loi de comportement…………………………………………………………... p. 128 II.7.2. Modélisation du comportement en cisaillement pur……………………… .p. 129 II.7.3. Modélisation du comportement en cisaillement-traction couplés………...p. 133

II.8. Modélisation du comportement en compression dynamique…………………… p. 137

II.8.1. Introduction……………………………………………………………………... p. 137 II.8.2. Méthodes numériques utilisées……………………………………………… p. 137 II.8.3. Maillages et conditions aux limites………………………………………….. p. 140 II.8.4. Analyse préliminaire : validation temporelle………………………………. p. 141 II.8.5. Validation du modèle MATLAB……………………………………………… p. 143 II.8.6. Etude paramétrique…………………………………………………………… p. 145 II.8.7. Prise en compte des effets de vitesses de déformation…………………… p. 147

II. 9 Conclusion…………………………………………………………………………….. p. 154


iv

Conclusion………………………………………………………………………………..p. 155 PARTIE C : COMPORTEMENT DES COMPOSITES SMC-R SOUS IMPACT BASSE VITESSE…………………………………………………………………………… P. 157

Introduction………………………………………………………………………………p. 158

CHAPITRE I : Etude expérimentale de l’impact sur SMC-R

I.1. Introduction…………………………………………………………………………….. p. 159 I.2. Matériau et éprouvette…………………………………………………………………p. 159 I.3. Dispositif expérimental……………………………………………………………….. p. 160 I.4. Comportement global force-déplacement…………………………………………...p. 162 I.5. Contrôle des défauts après impact………………………………………………….. p. 167

I.5.1. Profil de la zone impactée………………………………………………………p. 167 I.5.2. Observations aux rayons X……………………………………………………..p. 169 I.5.3. Contrôle global par ressuage…………………………………………………..p. 170 I.5.4. Contrôle local par ressuage (analyse destructive)…………………………. p. 172 I.5.5. Observations au MEB…………………………………………………………… p.173 I.5.6. Contrôle par Ultrasons………………………………………………………….p. 174

I.6. Influence de taux volumique de fibres sur l’endommagement…………………… p. 176 I.7. Conclusion……………………………………………………………………………… p. 179

CHAPITRE II : Etude numérique de l’impact sur SMC-R

II.1. Introduction…………………………………………………………………………….p. 180 II.2 Généralisation de la loi de comportement utilisée……………………………….. p. 180 II.3. Maillage et conditions aux limites : première approche………………………… p. 182 II.4. Maillage et conditions aux limites : Etude paramétrique……………………….. p. 183

II.4.1. Prise en compte des conditions de symétrie…………………………………p. 183 II.4.2. Influence du support de la plaque…………………………………………… p. 185 II.4.3. Influence du nombre de point d’intégration ………………………………...p. 189 II.4.4. Influence du nombre d’éléments ……………………………………………. p. 189

II.5. Distribution des contraintes………………………………………………………… p. 191


v

II.6. Distribution des endommagements………………………………………………… p. 194 II.7. Comparaison essais/calculs…………………………………………………………. p. 198

II.7.1. Comparaison globale du comportement effort et déplacement …………. p. 198 II.7.2. Comparaison des zones d’endommagement ……………………………….. p. 202

II.8. Conclusion…………………………………………………………………………….. p. 205

Conclusion………………………………………………………………………………..p. 206 CONCLUSION GENERALE………………………………………………………………. p. 207

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES…………………………………………………p. 209

Introduction générale

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INTRODUCTION GENERALE

Les matériaux composites sont de plus en plus utilisés dans l’industrie automobile, ferroviaire, aéronautique. Dans le domaine automobile, la course aux économies d’énergie et aux limitations d’émissions de gaz polluants suscite un intérêt croissant de la part des constructeurs et équipementiers pour l’utilisation des matériaux de faibles densités. En parallèle, les soucis de protéger les automobilistes mais aussi les piétons lors d’un choc, sont à l’origine de normes de sécurité de plus en plus sévères. Constitués de matériaux aux caractéristiques complémentaires, les composites apparaissent comme de bons candidats pour répondre à toutes ces exigences. Ils possèdent en effet une faible densité, des propriétés mécaniques élevées et, de plus, présentent des propriétés intéressantes en terme d’absorption d’énergie. En général, dans l’industrie automobile, ces matériaux sont destinés à être utilisés dans des pièces de structure telles que les absorbeurs de chocs avant, ou encore sur des pièces destinées à travailler en fatigue telles que les lames de suspension. Par contre l’utilisation de ces matériaux dans l’industrie automobile pose un certain nombre de problèmes : Quel matériau retenir parmi le panel existant? Comment dimensionner la structure pour obtenir un bon compromis entre tenue mécanique, protection des gens (utilisateur et piétons) et protection de l'environnement (le matériau composite utilisé est il recyclable).

Figure 1. Pièces composites sur des structures de transports terrestres. Depuis le milieu des années 1980 ces matériaux ont vu leurs applications s’étendre aux structures aéronautiques dites primaires telles que les ailerons et les stabilisateurs horizontaux des AIRBUS A310, A300/600, A320 et A340 ou le caisson de voilure du RAFALE. Ces matériaux représentent 22,6 % de la structure totale de L’ATR 72. Leur utilisation sur cet avion de transport régional concerne les caissons extrêmes de voilure dont la longueur avoisine 8,5 mètres chacun ainsi que la quasi totalité des capotages externes [1].


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CFRP Floor Beams

CFRP Rear Pressure Bulkhead CFRP Vertical

Tail Plane

CFRP center wing

CFRPCFRP Wing Ribs

CFRP J-

CFRP

CFRP Horizontal Tail Plane

GLARE in Upper Fuselage

CFRP Outer

Spoiler

Aileron

Radom

Landing Gear

Airbus A380

Boeing 787

Figure 2. Pièces composites sur des structures d’aéronefs.

Les matériaux composites en général sont caractérisés par une meilleure résistance spécifique que les métalliques et ont une dissipation d’énergie particulièrement élevée [2]. Parmi les matériaux composites les plus utilisés, le sheet molding compound (SMC) est largement répandu dans la grande série car il répond bien aux exigences souhaitées [3] (la définition du Sheet moulding compoud est donnée dans partie A. Généralement ce matériau


3

se présente sous la forme marchande d'une ébauche surfacique constituée de fibres de verre longues ou coupées noyées dans une pâte à base de résine polyester insaturé et de nombreuses charges). Par contre l'application de ce matériau dans l'industrie automobile est limitée à certaines zones du véhicule par manque de connaissance concernant sa réponse au choc (choc au piéton, crash…). En conséquence, les contraintes liées à la sécurité des véhicules à moteur, notamment celles concernant la protection des passagers, ont mené les fabricants à améliorer la conception de la structure en considérant principalement le risque d'accident. Ces matériaux ont été développés car aucun matériau homogène, possédant toutes les caractéristiques souhaitées, n’a été trouvé. L’idée a donc été d’associer dans une même masse des matériaux différents afin d’améliorer une ou plusieurs performances. En effet, Ces matériaux présentent un très bon rapport poids/propriétés mécaniques [4]. Ils sont extrêmement rigides, résistants et légers et leurs performances spécifiques sont supérieures à celles des métaux [5].

En effet les pièces composites sont souvent sollicitées par des chargements d'impact qui se produisent en production, pendant la maintenance ou en service [5]. L'utilisation du SMC dans les applications des véhicules à moteur augmente la nécessité de déterminer les propriétés mécaniques de ce matériau lors d'un impact, pour assurer la stabilité et les conditions de sûreté des structures conçues, notamment celles concernant la protection des passagers. Le fait de substituer des matériaux métalliques par des matériaux composites pour de nombreux éléments d'un véhicule, il est nécessaire de prendre en compte leur tenue aux endommagements d'impacts [3].

Les matériaux composites SMC en particulier, sont pressentis pour différentes applications automobiles (aussi ferroviaires) structurelles ou semi structurelles. Cependant l’utilisation de ces matériaux est assujettie à la connaissance de leur comportement mécanique, aussi bien en statique qu'en dynamique, également à la possibilité de les simuler. A l’heure actuelle, les équipes de conception de pièces automobiles structurelles sont confrontées à une carence d’informations. En conséquence, les résultats de simulation sont loin d’être satisfaisants à moins de rechercher des modèles numériques au cas par cas. Cela entraine un surdimensionnement des structures et une perte des avantages liés à l’utilisation de matériaux composites.

En effet, le comportement des matrices organique renforcées de fibres coupées est encore mal appréhendé en statique comme en dynamique.

Ce travail de thèse s’inscrit dans cette problématique : proposer un modèle de

comportement pour un type de matériau composites SMC utilisé dans l’industrie automobile, (et actuellement en développement sur avions commerciaux) pouvant être soumis à des sollicitations statiques et dynamiques. Pour atteindre cet objectif, différentes étapes sont nécessaires : caractériser le comportement mécanique du matériau, écrire un modèle de comportement et mettre en place une procédure d’identification, réaliser des essais pour appréhender la pertinence de ce modèle, valider enfin ce modèle par la simulation.

C’est l’ensemble de cette démarche que nous présentons dans ce mémoire de thèse qui s’articule en trois parties.

La partie A, s’attache à décrire notre matériau d’étude et le cadre de notre travail. Il

présente une revue non exhaustive des formes de lois de comportement constitutives concernant notre matériau, ainsi qu’une présentation rapide des principes du modèle macroscopique utilisé ; modèle d’endommagement couplé à la plasticité. Cette partie, porte également sur l’étude bibliographique du comportement des matériaux composites en général et plus particulièrement, le comportement mécanique du matériau de SMC sollicité sous différents types de chargements.


4

Les dispositifs expérimentaux utilisés pour caractériser nos matériaux, sont décrits dans la partie B. Plusieurs essais sont développés dans cette partie : des essais de traction simple, de traction cyclique, de compression simple, de compression cyclique, de couplage traction-compression cyclique, de traction-cisaillement cyclique et de compression dynamique. Ces essais conduisent à caractériser les propriétés mécaniques du matériau et à détecter les seuils de plasticité et d’endommagement. Enfin, la comparaison des résultats expérimentaux avec une étude numérique est réalisée à l’aide d’un modèle élastoplastique endommageable avec prise en compte des effets de vitesse de déformation. Ce modèle, implémenté dans le code de calculs par éléments finis SAMCEF/MECANO (calcul implicite) et SAMCEF/EUROPLEXUS (calcul explicite), a été utilisé en vue de comprendre et de modéliser le comportement du matériau SMC-R. La partie C, est consacrée principalement à l’étude de l’impact basse vitesse. Une analyse expérimentale couplée à une étude numérique a été menée sur le comportement du matériau soumis à des impacts à basse vitesse. Ce travail de développement nous a permis de valider les lois de comportement quant à la tenue à l'impact et quant à leur capacité à modéliser les défauts créés lors d’impacts. Les modèles numériques sont réalisés à l’aide du code de calcul d’éléments finis SAMCEF et plus particulièrement du module de calculs explicites EUROPLEXUS. Un suivi expérimental des essais par différentes méthodes non destructives et par observations microscopiques, a permis de qualifier et quantifier les dommages créés lors d’impact pour des comparaisons essais/calculs.

Partie A : Bibliographie et cadre de l’étude

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PARTIE A

BIBLIOGRAPHIE ET CADRE DE L’ETUDE Introduction p. 6 CHAPITRE I : Matériau et fabrication

I.1. Généralités sur les matériaux composites p. 7 I.2. Les matériaux formulés par le procédé SMC p. 8 I.3. Le matériau étudié : le SMC-R p. 10 I.4. Procédé de fabrication p. 12

CHAPITRE II : Comportement mécanique des SMC II.1. Comportement des SMC-R p. 16 II.2. Approche micromécanique (modèle d’homogénéisation) p. 20 II.3. Modèle d’endommagement p. 30 II.4. Couplage Endommagement-Pseudo plasticité p. 37 II.5. Effets de la vitesse de sollicitation p. 39

CHAPITRE III : Comportement à l’impact

III.1. Classification des impacts p. 43 III.2. Mécanismes d’endommagement sous impact p. 44 III.3. Dissipation de l’énergie lors de l’impact p. 46 III.4. Influence des conditions d’essais p. 46 III.5. Impact sur les composites stratifiés et sandwiches p. 48 III.6. Influence des différents constituants p. 50 III.7. Modélisation de l’impact p. 51 III.8. Les méthodologies de simulation p. 52

Conclusion p. 52


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Introduction de la partie A

Cette étude vise à valider l’implantation d’un modèle de comportement élastoplastique

endommageable dans un code de calculs en dynamique rapide, en vue de modéliser l’endommagement sous impact basse vitesse de structures composites à fibres courtes. Au cours de ce travail, différentes investigations seront menées sur notre matériau :

- détermination des caractéristiques mécaniques du matériau, - détermination des lois de comportement du matériau, - détermination des mécanismes d’endommagement du matériau.

La première partie de notre travail s’attache à déterminer les lois de comportement

fondées sur une approche d’homogénéisation de type « micro-macro » en tenant compte des phénomènes d’endommagement. Le modèle d’endommagement utilisé permet de modéliser le comportement mécanique du matériau SMC-R par le couplage d’un modèle micro –mécanique (modèle de Mori et Tanaka) et d’un modèle méso-mécanique (modèle du LMT de Cachan). Le modèle micromécanique permet de déterminer les caractéristiques élastiques du matériau à partir des données matériau sur la fibre et la matrice par la technique d’homogénéisation. Le modèle méso-mécanique permet de réaliser un couplage plasticité à écrouissage isotrope et/ou cinématique avec l’endommagement. Il retranscrit l’évolution des déformations résiduelles et de l’augmentation de la limite élastique au cours du chargement.

L’objectif de cette étude est de valider les lois de comportement développées précédemment pour notre matériau SMC. Ces lois sont appliquées à l’analyse de l’impact à basse vitesse. Par la suite, le modèle développé est introduit dans un code de calcul par éléments finis non linéaire implicite (SAMCEF-MECANO) et explicite (SAMCEF-EUROPLEXUS). Une étude comparative « expérimentation/résultats » obtenus par simulation numérique nous a permis de valider notre étude numérique relative à la tenue à l'impact de notre plaque en SMC.

Un suivi expérimental d’observation des défauts a été effectué, afin de montrer l’endommagement crée lors d’impact.

Pour conclure le cadre de l'étude, on peut dire que les travaux proposés présentent une modélisation théorique du comportement de ce type de matériau (SMC-R) par un modèle élastoplastique endommageable. Par la suite une étude sur la tenue à l’impact est abordée par l’analyse expérimentale et numérique de plaques soumises à des impactes basses vitesses.


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I. CHAPITRE

MATERIAU ET FABRICATION

I. 1. Généralités sur les matériaux composites

Les différents types de matériaux composites se définissent en fonction de la nature de la matrice qui pourra être de type organique, métallique ou céramique, et des renforts pouvant aussi être de natures très différentes comme par exemple, le carbone et le verre pour les inorganiques, les polyaramides (Kevlar) pour les organiques. Les géométries des renforts pourront varier suivant le type de propriétés mécaniques recherchées. Ainsi, les renforts sont des particules, des fibres courtes ou continues ou encore des plaquettes. La définition des termes fibres courtes (discontinues) ou continues diffère suivant les auteurs. Pour notre part, on parlera de fibres courtes ou discontinues lorsqu’il s’agira de fibres d’une longueur de quelques millimètres et à élancement faible placées de façon aléatoire dans la matrice. Les fibres dites longues ou continues mesurent toute la dimension de la pièce ou de la structure en composites et ont un élancement très élevé.

L’introduction de renforts au sein d’une matrice produit un niveau d’hétérogénéité supplémentaire qui pourra, selon la disposition géométrique des fibres et leurs formes, être la cause d’une anisotropie macroscopique importante. Ainsi, un composite à renfort continu unidirectionnel conférera aux matériaux une grande résistance dans le sens des fibres et une très forte anisotropie de comportement alors qu’avec une distribution d’orientation aléatoire le matériau conservera une isotropie macroscopique (le cas de notre matériau). Il apparaît donc important d’analyser les procédés de fabrication des matériaux composites étudiés puisqu’ils sont à l’origine de l’orientation des renforts et de manière générale de leur comportement microscopique.

Les matériaux composites à matrice thermoplastique ou thermodurcissable renforcée par des fibres, généralement de verre, courtes ou longues ont fait leur apparition dans l’automobile durant les années 60-70. Même s’ils sont aujourd’hui utilisés presque exclusivement pour remplir des fonctions bien précises, leur taux d’utilisation ne dépasse pas 10 à 15% selon les véhicules.

Dans le cadre d’une utilisation dans le secteur automobile, ces matériaux présentent à priori trois handicaps majeurs par rapport aux matériaux métalliques :

Un prix au kilogramme élevé ; Des caractéristiques mécaniques plus faibles que les métalliques ; Des procédés de mise en œuvre lents à l’exception du procédé d’injection ; Des problèmes de conduction thermique et électrique (matériau isolant).

Pourtant les matériaux composites à matrice organique présentent des avantages importants :

Une faible densité ; Des technologies de mise en œuvre par moulage qui offre la possibilité d’obtenir

des pièces de forme complexe et suppriment les usinages de finition ; Un excellent comportement vis-à-vis de la corrosion, de l’indentation due aux

petits chocs urbains et un comportement acoustique favorable.

L’utilisation des matériaux composites pour des applications structurelles dépend du niveau de performance souhaité. Pour les pièces semi-structurelles, leur utilisation est croissante. Ces


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pièces, appelées « serveurs », sont situées sous la carrosserie (Figure A.I. 1). Ce sont les poutres d’absorption de choc, la face technique avant supportant le radiateur, les quarts avant supportant les optiques, les doublures d’ailes et d’ouvrants……. Ces pièces sont le plus souvent réalisées avec des matériaux thermoplastiques renforcés de fibres de verre courtes [6].

Figure A.I. 1. Systèmes modulaires et serveurs [6].

I. 2. Les matériaux formulés par le procédé SMC

La désignation SMC (Sheet Moulding Compound) provient de l’abréviation anglaise du procédé d’élaboration utilisé pour ces matériaux composites à matrice organique et fibres de verre courtes : La traduction Française signifie « mat préimprégné ». Les autres formes marchandes de ces matériaux sont : le BMC (Bulk Moulding Compound), le DMC (Dough Moulding Compound), le TMC (Thick Moulding Compound). Tous ces produits sont des préimprégnés à matrice polymère généralement thermodurcissable chargée de particules d’origine minérale, renforcée de fibres de verre [4].

Leur facilité de mise en œuvre, de bonnes propriétés mécaniques et une densité relativement faible ont largement contribué à l’intérêt porté aux matériaux SMC depuis un certain nombre d’années. Cet intérêt est particulier dans l’industrie automobile où le gain en masse, les faibles coûts de production et d’élaboration sont souvent décisifs pour le choix des matériaux. Les différents types de SMC se composent de : - une matrice constituée de résine thermodurcissable, - une charge minérale, - un renfort fibreux de verre.

Le développement des nouvelles résines de type époxyde [7] polyimide, phénolique

[8], et surtout des méthodes et des processus permettant une accélération de leurs réactions de polymérisation ont donné naissance à de nouveaux types de SMC à haute performance.

Panneaux de carrosserie Modules serveursPlateforme structurelle

Module porte

Module d’absorption d’énergie

Bloc avant

Module ouvrant arrière


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Depuis les premières applications des SMC (où les fibres étaient uniquement en verre), une évolution est apparue au niveau des renforts. En effet, les fibres de carbone et de polyaramide (Kevlar) ont fait leur apparition, ce qui a eu pour conséquence une augmentation considérable du coût de ces matériaux [9] ou de polyaramide [4]. La résistance à la rupture du renfort verre est très élevée avec, par contre, un module relativement faible comparé à celui des fibres de carbone. En général, les fibres de verre constituent le principal renfort pour matériaux composites. Elles sont utilisées dans près de 95% de ces matériaux, ce qui représente un tonnage de 500 KT /an en Europe. Elles sont plus particulièrement utilisées dans les produits de grande diffusion. En effet, il s’agit d’un renfort peu coûteux avec une technique d’élaboration assez simple. Le verre est coulé en fusion à travers une filière. Les fils continus sont ensuite obtenus par étirage mécanique à grande vitesse de filaments de verre en fusion (entre 1000 et 60000). Ces filaments sont refroidis par pulvérisation d'eau et enfin, sont enrobés de leur ensimage avant de constituer le fil de base. Selon la distribution de fibres dans le SMC, On peut distinguer cinq types de SMC : SMC-R : fibres coupées orientées aléatoirement (longueur 12 à 50 mm). SMC-D : fibres coupées unidirectionnelles (longueur 100 à 200). SMC-C : fibres continues unidirectionnelles. SMC-C/R : fibres continues + fibres orientées aléatoirement. SMC-D/R : fibres coupées unidirectionnelles + fibres coupées orientées aléatoirement.

Figure A.I. 2. Les différents types de SMC.

L’utilisation des charges dans la résine polyester insaturée a essentiellement un but

économique. Les charges d’origines minérales sont de différentes natures suivant l’application attendue. Les plus utilisées sont les charges de carbonate de calcium (Ca Co3) et leurs dérivés. Durand [10] précise que ces charges minérales doivent avoir un diamètre ØCaCo3 < 43 µm sous peine de dégradation des propriétés mécaniques. En effet, ces dernières sont d’autant meilleures que la dimension de la charge est plus fine. Les charges minérales améliorent la rigidité et la dureté superficielle, par contre la résistance en traction décroît fortement en fonction du taux de charge (surtout quand ce taux dépasse 50%). De plus, la densité du matériau composite augmente avec le pourcentage de charges. Selon Berthelot


10

[11], la présence des charges minérales dans la matrice a pour conséquence de minimiser l’allongement à la rupture du composite.

I. 3. Le matériau étudié : le SMC-R

Le matériau à l’origine de cette étude est un SMC-R. C’est un composite constitué principalement d’une matrice polyester chargée de particules de carbonate de calcium CaCO3 ou de trihydrate d’aluminium AL (OH)3 et renforcé par des mèches de fibres de verre de longueur 25 mm environ, distribuées aléatoirement dans le plan des plaques. Ce matériau est fabriqué par la société MENZOLIT sous forme de plaques rectangulaires de 500×300 mm2. Comme nous avons déjà vu au paragraphe précèdent, la nomenclature « R » (Random) signifie que les fibres de verre sont discontinues et sont repartie de manière aléatoire dans le plan. Cette configuration de fibres confère au composite un comportement isotrope transverse dont l’axe d’isotropie est perpendiculaire au plan de la plaque. Nous avons utilisé trois types de plaques référencées : SMC-R 40, SMC-R 30, SMC-R 25 ; le chiffre « 40 » par exemple, indique que la fraction en masse de fibres est de 40 %. Les micrographies de la figure A.I. 3 font apparaître les composants du SMC-R en utilisant un microscope électronique (image a, b), et un microscope confocal à balayage laser (image c, d).

Figure A.I. 3 a. Arrangement de fibres dans SMC-R (MEB).

Figure A.I. 3 b. Surface de l’éprouvette SMC-R (MEB).


11

Figure A.I. 3 c : Distribution des fibres dans l’épaisseur.

Figure A.I. 3 d : Surface de l’éprouvette SMC-R.

Figure A.I. 3. Arrangement des fibres, résine et porosités de SMC-R.

L’utilisation des fibres courtes dans une matrice organique constitue un composite de

caractéristiques thermomécaniques très améliorées par rapport aux résines seules. Ces fibres jouent un rôle de renfort de la résine afin d’augmenter la rigidité.

Les fibres de verre considérées ici sont de type E. Ces fibres sont les plus répandues pour les composites de grande diffusion. Leurs propriétés sont résumées dans le tableau A.I-1. Une propriété remarquable de la fibre de verre est qu’elle présente un comportement mécanique élastique linéaire isotrope fragile, qui est de plus, indépendant de la température en deçà de sa température de ramollissement.

La fibre de verre E de notre matériau a :

- Diamètre moyen d’une fibre Øfibre = 10 à 16 µm, - Longueur moyenne d’une fibre = 25 mm, - Elancement moyen Lf/Øf = 2500, - Le composite constitué de mèches de fibres de verre (environ 200 fibres par mèche)

Ømèche=1mm.


12

Le matériau que nous avons à étudier a la particularité de résister au feu et aux sollicitations thermiques. Ces propriétés lui sont conférées par les charges minérales de trihydrates d’aluminium, car ces dernières réduisent l’inflammabilité ainsi que l’émission des fumées car elles se décomposent de façon endothermique (effet de refroidissement) en alumine et en eau aux températures supérieures à 220 C°. C’est important de noter que les trois principales phases du composite, à savoir les fibres verre, la résine polyester insaturé et les charges minérales, ont toutes un comportement élastique fragile [12].

Les caractéristiques mécaniques de la résine polyester et du verre de type E utilisés pour le SMC de notre étude sont données sur le tableau A.I. 1:

Caractéristiques mécaniques Résine (Polyester) Verre de type E ρ (Kg.m-3) 1300 2800 E (GPa) (2.5 à 3.5) (72 à 74) G (GPa) 1.4 30 ν 0.35 0.28 σrupt en traction (MPa) (50 à 80) 1500 Arupt % 2.5 3.5 α (°C-1) 80.10-6 5.10-6 λ (W.m-1. °C-1) 0.2 1 C (J.Kg-1. °C-1) 1400 800 Température Max (°C) 200 700

Tableau A.I. 1. Propriétés mécaniques de la résine polyester et du verre E du SMC-R.

Une dissolution à l’acide sulfurique réalisée selon la norme IGC 04-26-230 a été réalisée afin de connaître le pourcentage volumique de fibres.

I. 4. Procédé de fabrication

Dans ce paragraphe, nous présentons le procédé de fabrication du matériau composite

étudié. La mise en forme d’une plaque ou d’une pièce en SMC passe par trois étapes :

1) La fabrication du préimprégné (ou masse à mouler). 2) Le mûrissement du préimprégné dans une chambre de mûrissement. 3) La réticulation et le moulage sous pression.

I. 4. 1. La fabrication du préimprégné

Sur un tapis roulant horizontal, pouvant avoir plus de dix mètres de long, est déroulé

un film support en polyéthylène (Figure A.I. 4). Au début de la chaîne, tandis que la résine chargée (pâte mère) est déversée sur le film plastique, des mèches de rowing continu contenant environ une centaine de fibres de verre ensimé passent à travers un sectionneur cylindrique découpant les fibres à la longueur désirée. Les bouts de mèche tombent sur la pâte mère. Les fibres commencent à s’imprégner de résine et se disposent aléatoirement sur cette dernière. A la sortie de la chaîne, un second film support en polyéthylène lui aussi est enduit, sur une de ses faces, d’un bain de résine, le tout venant prendre les mèches en sandwich. Pour assurer une bonne imprégnation, le préimprégné passe au travers d’un dispositif de


13

compactage (laminoir). Le semi-produit est stocké en rouleaux de 500 kg ou plié en accordéon dans des caisses en bois. I. 4. 2. Le mûrissement du préimprégné A la sortie du tapis roulant la résine est encore fluide et le préimprégné reste difficilement manipulable. Le préimprégné est stocké à la température ambiante (25°C maxi) pendant une période suffisamment longue, afin d’assurer une pré polymérisation de la résine et donc la rigidification du semi-produit. I. 4. 3. Réticulation et moulage sous pression

L’obtention de la pièce en SMC passe par une étape de moulage pendant laquelle, sous

l’action d’un chauffage des parois de l'outillage (moule et contre moule métallique), le préimprégné finira de réticuler et épousera la forme du moule (durée de l’opération : 15 à 20 secondes par mm d’épaisseur sous une pression comprise entre 30 et 100 bars).

La figure A.I. 4 schématise le procédé d’obtention de pièce en SMC.


14

Figure A.I. 4. Schéma du procédé d’obtention de pièce en SMC.

Composition

Mûrissement

Moulage


15

II. CHAPITRE

COMPORTEMENT MECANIQUE DES SMC

En fonction de l’arrangement géométrique des constituants du matériau composite,

celui ci va présenter un comportement plus ou moins anisotrope. De plus, l’orientation et la proportion des renforts empêchera ou non de se développer le caractère élasto-viscoplastique de la matrice ainsi que l’apparition de divers endommagements [6].

Au préalable de ces généralités, il est nécessaire de préciser les différentes échelles nécessaires à l’étude des composites. On définit généralement trois échelles :

L’échelle microscopique qui voit les hétérogénéités les plus fines présentes dans le matériau ;

L’échelle macroscopique qui voit la structure comme étant homogène ; L’échelle mésoscopique, intermédiaire entre les deux échelles précédentes, qui

ne voit pas les hétérogénéités les plus fines et considère la structure comme une entité homogène.

Pour étudier le comportement d’un matériau, il est nécessaire de définir son volume élémentaire représentatif VER. Par volume élémentaire représentatif, il faut entendre un volume dont les dimensions sont suffisamment importantes par rapport à celles des hétérogénéités de manière à ce qu’il soit statiquement représentatif de la matière à l’échelle du travail. Lors d’un essai de caractérisation à l’échelle mésoscopique, la zone utile de l’éprouvette devra contenir au moins un VER. Pour les matériaux composites, en raison des tailles caractéristiques des constituants, déterminer le VER demande beaucoup de soin.

L’analyse des matériaux composites nous fait pressentir qu’il existerait une relation

très étroite entre les phénomènes microscopiques et macroscopique. Par ailleurs afin d’identifier une loi de comportement du matériau composite SMC, il nous parait important d’évaluer l’apparition d’éventuels phénomènes d’endommagement. Il nous faudra donc d’une part, identifier les mécanismes d’endommagement (modèle élastoplastique endommageable) et d’autre part rechercher un modèle mécanique mettant en évidence des relations entre l’échelle microscopique et l’échelle macroscopique (modèle micromécanique).

Dans un premier temps, nous avons cherché à déterminer une loi de comportement

adaptée à notre matériau composite. Nous nous somme intéressés aux modèles appliqués aux matériaux hétérogènes et, en particulier, aux méthodes dites d’homogénéisation. Le paragraphe suivant rappelle premièrement les principes généraux des différentes étapes constituant la base de tous modèles micromécaniques pour arriver aux équations générales des tenseurs d’élasticité du composite. Les applications les plus directes et les plus générales de ces équations étant les approximations définies par Voigt [13] et par Reuss [14]. Par contre, nous insisterons en particulier sur la méthode de l’inclusion équivalente d’Eshelby.

Le modèle élastoplastique endommageable utilisé dans cette étude est basé sur le

modèle développé en 1989 par Le Dantec [15, 16, 17,18]. Le modèle initial a été modifié pour prendre en compte la plasticité à écrouissage isotrope et/ou cinématique non linéaire couplée à l’endommagement


16

Les résultats de nombreux travaux de la bibliographie montrent qu'une analyse aux échelles macroscopique et microscopique, le SMC-R présente un comportement visco-dommageable. Le début d’endommagement cinétique est largement sensible au taux de déformation, tandis que l'effet du taux de charge, est insignifiant sur les propriétés élastiques [19].

Afin de décrire le plus finement possible le comportement de ces matériaux composite, un modèle élastoplastique endommageable a été élaboré aux paragraphes suivants.

II. 1. Comportement des SMC-R

Afin de connaître le comportement du matériau, des essais de traction jusqu’à rupture à température ambiante pour différents taux volumiques de fibre (VF = 0,35 et VF = 0,40), ont été réalisés. Pour les deux références, le comportement à 20°C du matériau est un comportement élasto-plastique à écrouissage cinématique linéaire (Figure A.II. 1). Le module initial est identique pour les deux taux volumique de fibres. La limite élastique à rupture ainsi que la limite élastique est bien plus faible pour les éprouvettes à Vf=35% qu’à Vf=40%. La diminution de la limite élastique est de l’ordre de 28%. En ce qui concerne la limite à rupture, la chute est de 24% [20]. A partir des résultats des essais avec cyclage, l’endommagement est donné par la perte de rigidité (module d’élasticité) au cours de chaque cycle. L’évolution du module en fonction de la contrainte suit une loi dégressive donnée équation suivante : 3494.051003 −=Ε σ . La perte de rigidité admissible tolérée étant de 10% de la rigidité initiale, la limite élastique est de l’ordre de 51 MPa pour un taux volumique de fibres de 40% et d’environs 42 MPa pour un taux volumique de fibres de 35%. L’étude bibliographique montre que la température rend la résine moins fragile et donc procure au matériau un comportement moins endommageable.

Figure A.II. 1. Résultats des différents essais à 20°C /comparaison du comportement en fonction du taux volumique de fibres [20].


17

Pour les essais à température élevée, on utilise les fours à résistance, le chauffage par effet Joule (résistance électrique de l’éprouvette) ou le chauffage par induction haute fréquence qui est certainement la meilleure solution pour les essais de courte ou moyenne durée. Le choix de la technique dépend du type d’essai (monotone ou cyclique), et des températures à obtenir (température uniforme et constante ou température variable). Plusieurs études ont été effectuées sur l'influence de l'environnement sur les propriétés mécaniques de matériaux composites. En effet, tous les constituants sont exposés à des ambiances hostiles tout au long de leur durée de vie. C'est particulièrement vrai pour les équipements automobiles qui sont soumis, par exemple, à de fortes variations de température et d'humidité, parfois même en atmosphère saline. L'application du SMC en milieu hostile augmentant, un effort particulier est demandé dans le domaine de la R&D. Notamment sur le comportement mécanique dynamique de ce matériau (crash, fatigue). Dans cette optique, une étude bibliographique portant sur le comportement sous sollicitation statique et en fatigue d'éprouvettes moulées en SMC R25 a été menée [21]. Ces sollicitations ont été réalisées en ambiance hostile avec des cyclages thermiques et sous atmosphère saline (vaporisateur de sel avec une solution d'eau de 5 % NaCl). De cette étude, les observations suivantes ont été faites :

1. Une augmentation de la résistance à la rupture pour l'ensemble des essais quasi statiques associée à une réduction du module d'élasticité longitudinal de 20%. Ces résultats peuvent être justifiés en considérant la réduction possible d’adhésion à l'interface fibre- matrice en raison de l'absorption d'humidité. D'autre part l'humidité pourrait favoriser une plastification et une relaxation de la matrice liée aux déformations résiduelles inhérentes au cycle thermique (processus industriel). Ce dernier point peut également expliquer l'augmentation de la valeur de la contrainte à rupture en quasi statique (particulièrement pour les essais thermiques et thermiques avec brouillard salin).

2. Une amélioration significative même pour les propriétés de fatigue du matériau reconditionné.

3. Des différences beaucoup plus importantes dans l'évolution de l'endommagement en fatigue pour le matériau conditionné avec un cyclage thermique. Les résultats obtenus pour ce type d'essais font apparaître une diminution de la rigidité au début de "la vie en fatigue", beaucoup plus importante que pour les autres séries de conditionnement.

4. les effets environnementaux peuvent parfois légèrement améliorer le fonctionnement de fatigue ou, du moins, n'avoir aucun effet nuisible.

Les autres études ont été consacrées au développement des méthodologies de caractérisation des fibres contenues dans les matériaux composites, comme le flux, l’orientation et la distribution. L’étude du flux de fibre montre que les fibres ont tendance à céder et à s'enchevêtrer. Le mouvement de flexion de la fibre est spécifique et complexe, mais a déjà été étudié [22]. La compressibilité de la phase constituant le renfort est sensible à sa densité et à son orientation initiale [23]. La ségrégation du renfort peut être causée par les gradients de température et le taux de déformation incitée pendant le remplissage [24]. L'orientation est particulièrement marquée près de la surface et dépend du taux de rétablissement initial [25]. Plusieurs méthodologies ont été prévues pour caractériser le flux de fibres de verre. Kau [26] a utilisé les fibres colorées qui jouent le rôle de traceur pendant le flux. Cette méthode permet


18

seulement à décrire l'orientation du renfort aux alentours de la surface. Il est aussi possible d'utiliser un type de verre opaque qui, mélangé dans le réseau de fibre, agit aussi comme un traceur d'orientation [26]. Pour des techniques optiques, le but principal est d'obtenir une bonne image du renfort au travers des composants des matériaux composites. Cette image peut alors être examinée pour déterminer l'orientation [27,28], ou le taux de renfort [29]. L'orientation du renfort peut aussi être obtenue en effectuant une pyrolyse complète des composants entiers ou des pièces [30]. Le matériau inorganique obtenu après la pyrolyse peut être caractérisé par un microscope. Les observations sous un microscope à réflexion sont possibles. Pour une bonne observation des fibres, il est nécessaire d’attaquer les échantillons pyrolysés avec un acide hydrochlorique [31], ou attaquer les fibres directement avec un acide hydrofluorique. Dans le deuxième cas, le contraste est renforcé avec la coloration des sites correspondant aux fibres [22]. Les fibres et leurs orientations peuvent alors être observées avec un microscope électronique [24,32]. La radiographie X est une bonne technique pour visualiser les fibres lorsqu'il n'y a qu'une seule couche [33,27]. La mesure des propriétés mécaniques à 0 et 90 ° (flexion à trois points) [30], ou la cartographie des propriétés en traction sont aussi des façons de caractériser l'orientation du renfort [34]. La plupart des techniques décrites ci-dessus exigent des matériels spéciaux comme des fibres colorées ou des verres opaques et elles ne peuvent être utilisées que pour des petites surfaces. Par exemple, le microscope peut seulement être appliqué aux petites surfaces qui ne sont pas toujours représentatives du matériau. Par contre, certaines méthodes adaptées aux grandes surfaces ne sont pas très précises. En effet, la plupart du temps la pyrolyse du matériau implique un déplacement des fibres qui diminue l'exactitude des résultats. En plus, pour étudier l'orientation et la ségrégation de fibres dans des composants industriels, il est aussi nécessaire d'avoir une vue macroscopique sur des grandes surfaces avec des méthodologies plutôt simples. C'est pourquoi il est nécessaire de développer des méthodes pour caractériser de grandes surfaces (des centaines de cm2) ainsi que des épaisseurs comprises entre 2 à 3 millimètres. Dans ce but, une méthodologie a été développée pour caractériser la fraction massive locale et l'orientation de fibres de verre courtes appartenant à de grandes surfaces de composants SMC. Cette méthodologie nécessite des photographies par la transmission de lumière visible et des photographies de rayon X avec un logiciel interne développé pour caractériser l'orientation des fibres [35]. Voorn et al. [36] ont mené une étude comparative sur du SMC chargé de fibres de verre et de fibres de lin (FFSMC). Dans cette étude trois propriétés mécaniques ont été étudiées plus en détail. Celles-ci sont les propriétés de tenue à la traction, à la flexion et à l'impact. Les résultats obtenus lors de cette étude sont tels que : - le SMC renforcé avec des fibres de lin à une rigidité équivalente ou même supérieure à celui renforcé de fibres de verre (étude faite en faisant varier la nature et la longueur des fibres, le taux de charges), - L'augmentation de la longueur des fibres apporte une amélioration considérable de la résistance à la rupture qui a abouti aux résultats comparables à celui de GFSMC, - Enfin, la tenue à l'impact est inférieure à celle du GFSMC. Ce phénomène est du à la nature anisotrope des fibres de lin par contraste avec la nature isotropie des fibres de verre. Il est connu que des fibres isotopiques, comme par exemple les fibres de verre, ont un meilleur comportement à l'impact que de fibres anisotropes comme l'ensemble des fibres naturelles. L'anisotropie donne aux fibres des très bonnes propriétés en traction, mais affecte ses propriétés d’impact. En plus, La quantité de charge n'a aucun effet significatif sur la contrainte d'impact du FFSMC. Cependant une augmentation du taux de fibres de lin dans le composite provoque une augmentation de la contrainte d'impact ainsi que du module d’élasticité en traction. Le Tableau A.II.1 montre une comparaison entre GFSMC et NFSMC


19

utilisation de lin (FFSMC). Ce tableau fait apparaître des valeurs de la bibliographie sur du GFSMC ainsi que des valeurs expérimentales sur du FFSMC. Les modules en traction et en flexion sont comparables ou même légèrement mieux pour le FFSMC. La contrainte de traction et de flexion est légèrement plus basse pour le FFSMC, mais est comparable avec celle du GFSMC.

GF-SMC FF-SMC E-modulus (GPs) 8-11 7-12 Tensile strength (MPa) 35-75 40-80 Flexural modulus 7-11 7-12 Flexural strength (MPa) 70-160 83-144 Impact strength (K/m2) 40-70 7-3 Tableau A.II. 1. Comparaison des caractéristiques mécaniques entre des SMC-R à fibres de verre et de SMC à

fibres de lin [36].


20

II. 2. Approche micromécanique (modèle d’homogénéisation)

Diverses approches micromécaniques sont développées pour prédire les propriétés élastiques des matériaux composites renforcés par des fibres courtes [37]. De plus ces approches sont nombreuses et largement abordées dans la littérature. II. 2. 1. Modèles issus des techniques d’homogénéisation

Les techniques d’homogénéisation nous permettent de déterminer les propriétés élastiques macroscopiques d’un matériau hétérogène (homogène équivalent) à partir des propriétés des différentes phases qui le constituent et de certains paramètres caractérisant leur répartition spatiale. L’homogénéisation se fait via l’opération de la moyenne sur un Volume Elémentaire Représentatif (VER) du matériau. Sur ce volume sera calculé le comportement du matériau homogène équivalent. Par définition, ce volume doit être suffisamment grand pour contenir toutes les hétérogénéités de la microstructure (Les phases). Par ailleurs, il doit être suffisamment petit pour qu’on puisse considérer que la sollicitation qu’il subit reste « macroscopiquement » homogène [4]. Par la suite, il faut définir les liens entre les grandeurs mécaniques à l’échelle des hétérogénéités et à l’échelle du VER. Au sens large du terme, l’homogénéisation est la technique permettant de définir la loi de comportement mécanique à l’échelle du VER. Cette définition doit être cohérente avec les propriétés des constituants dans le sens où elle doit prendre en compte leurs effets à l’échelle macroscopique. Cependant, la technique d’homogénéisation n’a pas pour vocation de rendre compte du comportement à l’échelle microscopique : c’est un passage « micro /macro ». II. 2. 1. 1. Démarche générale d’homogénéisation

La mise en place d’un modèle à partir d’une technique d’homogénéisation exige une démarche générale menée en trois étapes :

• Etape de représentation où la constitution du VER est définie mécaniquement par les lois de comportement des constituants et géométriquement par leurs formes ou leurs distributions.

• Etape de localisation qui permet de formaliser le lien entre la réponse mécanique à l’échelle microscopique et l’échelle macroscopique par l’intermédiaire de lois.

• Etape d’homogénéisation où la représentation et la localisation sont utilisées pour construire la loi de comportement « macro mécanique » du VER.

II. 2. 1. 1. a) Etape de représentation

Cette étape identifie et caractérise les différents constituants du matériau hétérogène, c’est ainsi à partir de leurs identifications que les échelles macroscopiques et microscopiques du VER sont précisées. Dans le VER, les constituants du matériau hétérogène sont désignés comme des « phases ». Chacune est donnée comme un milieu homogène et continu avec des propriétés spécifiques. Lorsqu’il s’agit de matériaux à renforts, l’usage fait que l’on réduit souvent l’ensemble de phases à une « matrice » comportant des « hétérogénéités ». Ceci amène dans ce cas particulier à distinguer potentiellement (n +1) phases constitutives dans le VER avec « 1 » matrice et « n» tout autre type d’hétérogénéités tel qu’une fibre, une famille de fibres ayant les mêmes propriétés mécaniques, la même géométrie, et la même


21

orientation (noter que le composite SMC est constitué d’une famille de fibres de verre courtes noyées dans la matrice polyester et disposées aléatoirement dans le plan) (Figure A.II. 2) Par la suite, toutes les grandeurs (Les grandeurs sont des caractéristiques de l’échelle microscopique : matrice de rigidité, contraintes / déformation, etc.) désignant la matrice sont notées avec l’indice ou l’exposant « m » tandis que l’indice ou l’exposant « i » est utilisé pour les autres phases (i=1 à n). Elles sont aussi des attributs de l’échelle macroscopique qui décrivent la microstructure. On utilise classiquement, la fraction volumique (le taux volumique) de chaque phase, notée Vi

, qui vérifie dans le VER :

∑=

+=n

iim VV

1

1 Eq. A.II. 1

Où: Vm : le taux volumique de la matrice. Vi : le taux volumique de fibres de la phase i. n : le nombre de phases hors matrice.

Figure A.II. 2. Représentation du VER.

Lors de la fabrication du SMC-R, des porosités et des particules sont présentes dans la

matrice. La fraction volumique de porosité est notée Vp et celle des charges est noté Vc (Figure A.II. 3).

∑=

+++=n

iicpm VVVV

11 Eq. A.II. 2

Figure A.II. 3. Schématisation du volume élémentaire représentatif.

VER

Phase « i »

Matrice « m »

VER

Phase « i »

Matrice « m »

Charge

Porosité


22

- Dans le cadre de notre étude, la première étape consiste à déterminer les grandeurs homogénéisées à partir des constituants du matériau composite (les fibres courtes, la résine polyester, les charges minérales et les porosités).

II. 2. 1. 1. b) Etape de localisation

Du fait de la mise en présence de différentes phases (hétérogénéités), les champs de contrainte σ(P) et de déformation ε(P) en un point P du VER sont non uniformes, et par conséquent les contraintes locales et globales sont généralement différentes. Il en est de même pour les déformations. Par conséquent, cette étape s’applique à la recherche des relations entre les grandeurs microscopiques (locales) et les grandeurs macroscopiques. Pour exprimer de manière simple les champs locaux, une première hypothèse consiste à introduire la notion de contrainte et de déformation moyenne dans les différentes phases [38]. Par définition, on note la contrainte moyenne iσ et la déformation moyenne iε sur la phase « i » de volume VER telle que :

∫

∫

==

==

VERVERi

VERVERi

dVpVER

dVpVER

).(1

).(1

σσσ

εεε Eq. A.II. 3

Où : σ (P) et ε (P) sont les contraintes et déformations locales en tout point P du VER. De même, à l’échelle macroscopique, on définit les mêmes grandeurs en moyenne dans le VER, notées Σ pour la contrainte et Ε pour la déformation. Il s’agit ensuite de relier ces grandeurs à celle de l’échelle locale des phases. On établit ainsi, suivant une modélisation du comportement de chacune des phases, les lois de localisation ou de concentration où l’on introduit le tenseur de localisation des déformations, noté A, et le tenseur de concentration des contraintes, noté B. Par définition, les lois de localisation Ai et de concentration Bi d’une phase « i » sont telles que :

EA

B

iVERi

iVERi

.

.

==

Σ==

εε

σσ Eq. A.II. 4

Où : E et Σ sont respectivement les déformations et les contraintes moyennes macroscopiques, ε et σ sont respectivement les déformations et les contraintes moyenne dans la phase i, Ai et Bi sont respectivement le tenseur de localisation et le tenseur de concentration de la phase i. Avec la représentation, c’est cette étape qui va différencier un modèle d’un autre. II. 2. 1. 1. c) Etape d’homogénéisation

Cette étape permet finalement de déterminer le comportement effectif du matériau hétérogène en effectuant le passage des grandeurs locales aux grandeurs macroscopiques. Au


23

sens large du terme, en calculant la moyenne des contraintes et des déformations sur tout le VER, ces moyennes doivent être égales aux grandeurs macroscopiques [39].

∫

∫

==Σ

==

VERVER

VERVER

dVpVER

dVpVER

E

).(1

).(1

σσ

εε Eq. A.II. 5

Ce qui peut encore s’écrire en fonction des déformations et contraintes locales (grandeurs microscopiques) par :

∑∑∑

∑∑

===

==

+−=+−=+=Σ

+−=+=

n

iiiimm

n

iiim

n

iiimm

n

iiimi

n

iimm

CVfCVfVfVfVfV

VfVfVfVE

111

11

..).1(.).1(..

.).1(..

εεσσσσ

εεεε Eq. A.II. 6

Où : Cm et Ci sont les matrices de rigidité de la matrice et du renfort respectivement, n : le nombre de phase présente dans la composite.

Les relations données par l’équation A.II. 6 sont qualifiées de relations de passage « micro/macro » car elles relient les grandeurs moyennes à l’échelle de la microstructure et les grandeurs à l’échelle du VER. En combinant les deux équations précédentes (Eq. A.II. 6), on aboutit à :

∑=

−+=Σn

iimiim CCVfEC

1

)( ε Eq. A.II. 7

De même, en exprimant E et Σ en fonction des contraintes locales, on peut réécrire les Equations A.II. 6 sous la forme suivante :

∑

∑ ∑

=

= =

+−=Σ

+−=+−=

n

iiim

n

i

n

iiiimmiim

VfVf

SVfSVfVfVfE

1

1 1

)1(

)1()1(

σσ

σσεε Eq. A.II. 8

Où : Sm et Si sont respectivement les matrices de souplesse de la matrice et du renfort. Et aboutir après combinaison à :

i

n

imiim SSVfSE σ∑

=

−+Σ=1

)( Eq. A.II. 9

La loi de comportement effectif du composite peut finalement être déduit en

introduisant dans les équations (Eq. A.II. 7 et Eq. A.II. 9) les relations de localisations données en (Eq. A.II. 4). On fait alors apparaître les matrices effectives de rigidité Ccomp (ou de souplesse Scomp) du matériau homogénéisé en fonction des rigidités (ou souplesse) des phases et en fonction des lois de localisation (ou de concentration) des hétérogénéités


24

∑

∑

=

=

−+=

−+=

n

iimiimcomp

i

n

imiimcomp

BSSVfSS

ACCVfCC

1

1

:).(

:).( Eq. A.II. 10

Ces relations nous montrent que c’est par la connaissance des tenseurs de localisation dans chacune des phases du composite que les caractéristiques élastiques de celui-ci sont connues. C’est donc à travers l’étape de localisation que les modèles vont se différencier. En d’autres termes, ce qui différencie un modèle d’un autre est la manière de relier les grandeurs microscopiques aux grandeurs macroscopiques. Les équations (Eq. A.II. 10) sont communes à tous les modèles micromécaniques. Deux des applications les plus simples et les plus directes de ces équations sont issues des travaux de Voigt [13] et de Reuss [14]. II. 2. 1. 2. Approximation de Voigt et Reuss

Les bornes de Voigt et Reuss encadrent les propriétés élastiques d’un matériau hétérogène. Elles sont basées sur des approches variationnelles issues de théorèmes énergétiques [40].

Borne de Voigt

Dans l’hypothèse d’un champ de déformation uniforme dans tout le VER, on montre via le théorème de l’énergie potentielle qu’une borne supérieure de la rigidité peut s’écrire sous forme d’une loi des mélanges sur les rigidités des différentes phases :

∑=

+−=n

iiimmVoigt CVfCVC

1.).1( Eq. A.II. 11

On remarque que, dans l’hypothèse de déformation uniforme, le tenseur de localisation des phases « i » est égal au tenseur identité. En posant donc Ai=1, on peut alors retrouver avec l’équation A.II. 10 l’expression de la borne de Voigt. Borne de Reuss

De manière similaire, le théorème de l’énergie complémentaire permet de poser une borne supérieure en faisant l’hypothèse d'une contrainte uniforme dans toutes les phases. Il en découle une relation type loi des mélanges sur les souplesses qui donnent une borne supérieure de la souplesse du matériau :

∑=

+−=n

iiimmuss SVfSVS

1Re .).1( Eq. A.II. 12

Dans l’hypothèse de contrainte uniforme, le tenseur de concentration des phases « i » est égal au tenseur identité. De la même manière, si on pose Bi=1, alors la relation de Reuss peut être exprimée directement en introduisant cette égalité dans l’équation A.II. 10.

Les approximations de Voigt et de Reuss sont utilisées lorsque l’on ne dispose que de très peu d’informations sur la microstructure, selon ces approximations Ai=I, Bi=I.


25

∑

∑

=

=

−+=

−+=

n

imiimcomp

n

imiimcomp

SSVfSS

CCVfCC

1

1

).(

).( Eq. A.II. 13

II. 2. 1. 3. Modèle à base d’inclusion

Les modèles de matériaux hétérogènes à base d’inclusion établissent sous différentes hypothèses des lois de localisation des phases désignées comme hétérogénéités. Chacun se base sur la situation élémentaire d’un milieu infini (ou matrice) perturbé par la présence d’une zone appelée inclusion. II. 2. 1. 3. a) Problème d’inclusion

Les problèmes d’inclusion consistent à évaluer les relations du passage « micro/macro » dans un VER représenté par une matrice infinie élastique présentant une inclusion ellipsoïdale élastique. On note ici CI la rigidité de l’inclusion « I » et Cm celle de la matrice (Figure A.II. 4).

Figure A.II. 4. VER du problème d’inclusion.

Problème d’Eshelby

On suppose que l’ensemble est homogène en terme de rigidité (CI = Cm), et que la matrice et l’inclusion sont libres de tout chargement. Ce départ constitue la configuration de référence du problème de l’inclusion homogène aussi appelé problème d’Eshelby (Figure A.II. 5 a). De manière arbitraire, on isole l’inclusion « I » qui est un domaine borné et on lui impose une déformation libre, notée eI (Figure A.II.5 b). Cette transformation n’est pas liée à une contrainte lorsque l’inclusion se déforme indépendamment de la matrice. Par contre, on note que, si la déformation libre était totalement bloquée, alors on ferait apparaître une contrainte

dans l’inclusion égale à ImI e:C−=σ .Celle-ci, que l’on retrouve sous le nom de « polarisation » dans la littérature [41], serait générée par le retour élastique de l’inclusion dans sa forme initiale de référence (Figure A.II.5 c). Mais, ceci n’est rigoureusement pas le cas de l’inclusion soumise à eI puisque la matrice autour de l’inclusion s’oppose à cette transformation avec sa propre rigidité. Il s’établit un état d’équilibre dans lequel l’inclusion et la matrice sont dans un état de contrainte/ déformation homogène mais non nulles. On parle de perturbation induite par la déformation libre eI. Si on note Iε~ la déformation de perturbation satisfaisant les équations d’équilibre en tout point de la

Matrice Inclusion CI

Cm


26

matrice ou de l’inclusion telle que II εεε ~== (Figure A.II. 5 d), on montre alors que Iε~ est reliée à eI par l’intermédiaire d’un tenseur d’ordre 4, noté EI :

III eE :~ =ε Eq. A.II. 14

Où : pour l’inclusion « I », ε~ est la déformation de perturbation du VER, e est la déformation libre et E est le tenseur d’Eshelby.

Cependant, puisque l’inclusion est un domaine borné et la matrice infinie, il est

important de noter que la solution Iε~ n’existe dans la matrice qu’au voisinage de l’inclusion. A l’infini, le milieu n’est pas perturbé et la perturbation Iε~ tend alors vers 0. Les équations de comportement dans l’inclusion et dans la matrice doivent donc s’écrire telles que [41]:

Imm C εσ ~:= avec 0~lim ∞→Iε IImImImI eIECCeC :)(:~:: −=+−= εσ Eq. A.II. 15

Dans certains cas, la résolution du problème d’équilibre permet d’exprimer analytiquement les composantes de EI (le tenseur d’Eshelby). Dans tous les cas, ces composantes sont sans dimension et ce tenseur vérifie les symétries ijlk

Ijikl

Iijkl EEE == .

[a]

Milieu homogène libre de tout chargement

[b] Inclusion isolée après

déformation libre imposée

[c] Inclusion dans sa forme

initiale après déformation libre imposée

[d] Equilibre du milieu

homogène pour l’inclusion soumise à sur déformation

00

==

==mi

mi

εε

σσ

00

=

=i

i

ε

σ

0.

=

−=i

imi eCε

σ

imi

imimi

imm

CeCC

εεε

εσ

εσ

~~..

~.

==

+−=

=

Figure A.II. 5. Schéma du problème de l’inclusion.

Problème d’inclusion avec chargement à l’infini

On se place ici dans le cas d’une inclusion inhomogène pouvant aussi être désignée comme une hétérogénéité, sous entendu de rigidité. Elle est plongée dans une matrice infinie soumise à un chargement homogène générant un état de contrainte/déformation (Σ/Ε) à l’infini tel que la loi de comportement Σ=Cm.Ε est vérifiée loin de l’inclusion. Lorsque le milieu est homogène (CI=Cm), la solution de ce problème d’équilibre est la superposition de celle d’Eshelby et du chargement à l’infini. Sur cette base, si on considère qu’une même déformation de perturbation Iε~ est introduite par l’hétérogénéité de rigidité et par l’inclusion

ei

iσ iε~


27

homogène soumise à la déformation libre eI, alors on peut identifier les équations de comportement dans l’inclusion pour les deux configurations :

)~(:)~(: IImIII eECEC −+=+= εεσ Eq. A.II. 16

Dans ce cas, la perturbation est donnée par la solution d’Eshelby (Eq. A.II. 14), ensuite après manipulation de l’égalité de l’équation A.II. 16, la déformation libre eI en fonction de la déformation appliquée E :

[ ] ECCECCCe mIImImI :)(::)( 1−−+−=

− Eq. A.II. 17

L’équation A.II. 17 permet de relier la déformation dans l’inclusion Iε (échelle microscopique) à la déformation appliquée à infini E(échelle macroscopique) :

[ ] ECCSEI mImII :)(:: 1−−+=ε Eq. A.II. 18

Où : EI est le tenseur d’Eshelby, E est la déformation moyenne à l’échelle du VER. Ce résultat constitue la loi de localisation d’une hétérogénéité plongée dans un milieu infini, et c’est le seul transport obtenu dans le problème de l’hétérogénéité de la déformation de perturbation donnée par l’inclusion soumise à une déformation libre. II. 2. 1. 3. b) Modèle d’Eshelby

Dans la continuité du problème élémentaire, Eshelby propose que chaque phase du VER joue le rôle d’une inclusion plongée dans un milieu infini indépendamment des autres phases. Localement, l’hétérogénéité est donc soumise à la déformation macroscopique E du VER (Figure A.II. 6). Par conséquent, la loi de localisation d’une phase « i » est donnée par l’équation A.II. 18 :

Figure A.II. 6. Modèle d’Eshelby : représentation du problème élémentaire.

[ ] 1)(:: −−+= mimiIi

ESH CCSEIA Eq. A.II. 19

VER

Phase « i »

Matrice « m »

Chargement à l’infini E

CI=Ci

Cm

Problème de l’inclusion avec chargement à l’infini


28

Ensuite, à partir des lois de localisation calculées pour chaque phase « i », la rigidité équivalente du matériau homogénéisé est obtenue avec la sommation de la relation de l’équation A.II. 10 :

[ ] 1

1)(:::).( −

=

−+−+= ∑ mimiN

i

mii

mESH CCSEICCVfCC Eq. A.II. 20

Le modèle d’Eshelby ne peut pas être représentatif d’un matériau dépassant une certain concentration d’hétérogénéités, car il ne considère que les perturbations locales des champs de contrainte et de déformation dans la matrice sans prendre en compte les interactions avec les autres phases.En plus, en utilisant ce modèle, les fractions volumiques doivent être inférieures à 1% [42]. II. 2. 1. 3. c) Modèle de Mori et Tanaka

Ce modèle, introduit par Mori et Tanaka en 1973 [43], a été reformulé par Y. Benveniste en 1985 [44]. Ce modèle est le modèle le plus adapté à notre matériau car, il présente plusieurs avantages. Ce modèle permet de prendre en compte dans le comportement effectif (équivalant) du matériau homogénéisé la présence d’un grand nombre d’hétérogénéités et des interactions existant localement entre les phases. La matrice dans laquelle est plongée l’hétérogénéité correspond à un milieu déjà perturbé par la présence des autres hétérogénéités [45]. De plus, ce modèle constitue une amélioration du modèle de l’inclusion hétérogène équivalente d’Eshelby [46]. On introduit donc la déformation ε~ qui représente la perturbation globale à laquelle toutes les phases contenues dans le VER contribuent. Chaque phase est plongée dans une matrice qui voit la déformation macroscopique E à laquelle s’ajoute la déformation globale de perturbationε~ . Donc on parle d’un champ effectif dans lequel on se ramène à la résolution du problème d’hétérogénéité avec chargement à l’infini (Figure A.II. 7).

Figure A.II. 7. Méthode de Mori et Tanaka : représentation du problème élémentaire.

Au sens du problème de l’inclusion équivalente (Eq. A.II 16), l’hétérogénéité est

remplacée par une inclusion soumise à la déformation libre eI qui introduit la déformation de perturbation locale iε~ . En identifiant de la même manière les équations de comportement dans l’inclusion équivalente et dans l’hétérogénéité, on obtient la relation de localisation des

VER

Phase « i »

Matrice « m »

Chargement à l’infini E+ε~

CI=Ci

Cm

Problème de l’inclusion avec chargement à l’infini


29

déformations iε de la phase « i »par rapport à la déformation à l’infini de la matrice égale par hypothèse à )~( ε+E :

[ ] )~(:)~(:)(:: 1εεεε +=⇔+−+=

− EAECCSEI iESH

imimii Eq. A.II. 21

On exprime ensuite le terme )~( ε+E en tenant compte du fait que la déformation ε~ vérifie l’égalité entre la déformation macroscopique moyenne et les déformations des phases du VER (Eq. A.II. 6) :

EAVfIVE

EAVfIVE

EAVfEVE

iESH

n

iim

n

i

iESHim

iESH

n

iim

:..)~(

)~(:..

)~(:.)~.(

1

1

1

1

−

=

=

=

+=+⇔

+

+=⇔

+++==

∑

∑

∑

ε

ε

εεε

Eq. A.II. 22

D’où, avec la relation Equation A.II. 21, la loi de localisation de la phase « i » pour la méthode de Mori et Tanaka :

Selon le modèle utilisé, le tenseur de localisation de la phase i est donné

par l’expression suivante : 1]).1[(: −+−= ESH

iESH

iMT AIVfAA Eq. A.II. 23

Ce tenseur de localisation est fonction du tenseur de localisation effectif d’Eshelby donnée par :

∑=

−

=

−+=n

i

iESHiESH

mimiESH

iESH

AVfA

CCSEIA

1

1)](:[ Eq. A.II. 24

Où : iEΑ est le tenseur de localisation d’Eshelby, i

EshΕ est le tenseur de forme d’Eshelby. Enfin, en utilisant la sommation de la relation (Eq. A.II. 10), on exprime la matrice de rigidité équivalente du matériau homogénéisé (du composite SMC) par la méthode de Mori et Tanaka :

1

1

]).1([::)( −

=

+−−+== ∑ ESH

n

i

iESHmiimcompMT AIVfACCVfCCC Eq. A.II. 25

Le choix d’un modèle doit tenir compte du type de matériau utilisé ainsi que des moyens à mettre en œuvre pour l’appliquer [4]. Pour notre étude le modèle de Mori et Tanaka a été utilisé.

Lors du calcul de la rigidité globale, la prise en compte des porosités et des charges minérales est réalisée en deux étapes :


30

La première consiste à déterminer la rigidité de la matrice avec les porosités ; la seconde consiste à déterminer la rigidité de la matrice avec les porosités incluant les charges minérales.

Le tableau A.II. 2 donné par Lachaud [45], présente une validation permettant d’utiliser le modèle théorique pour réaliser une étude comparative entre les caractéristiques mécaniques du SMC-40 obtenues expérimentalement et celles obtenues à partir du modèle théorique. Les valeurs finales données par le modèle ont été obtenues en trois étapes : la première donne les caractéristiques mécaniques de la résine polyester incluant des porosités (3.85%), la deuxième donne les caractéristiques mécaniques du mélange polyester, porosités et charges minérales, enfin un dernier calcul permet d’obtenir les modules globaux à partir de la matrice et des fibres de verre E.

EX (MPa) EY(MP a) νXY Modèle 14720 14720 0.2 Expérimental 13450±260 12860±302 0.248 Ecart (%) 8.5 12.6 4.6

Tableau A.II. 2. Comparaison des caractéristiques mécaniques

(Expérimental -Modèle théorique)

II. 3. Modèle d’endommagement De manière générale, l’endommagement est défini comme un ensemble de changements microstructuraux au sein du matériau qui occasionne une détérioration irréversible plus ou moins importante. Par exemple, quand une structure est sollicité, la dégradation de ses propriétés est effective bien avant sa rupture finale. En outre pour les matériaux composites, notamment ceux à forte anisotropie, la géométrie de la dégradation dépend, non pas du mode de chargement comme pour les matériaux métalliques, mais de l’arrangement géométrique des constituants du composites. Notons également que l’endommagement présente un caractère unilatéral, les microfissures pouvant se refermer sous l’action du chargement. Le matériau composite étudié, lorsqu’il est sollicité en traction, passe par une phase linéaire élastique qui est suivie d’une phase non linéaire [4]. La deuxième phase qui correspond à l’apparition de déformations irréversibles, s’explique par le phénomène d’endommagement. D’après P. Costa [47], le premier dommage dans le composite se produit dans la matrice. En effet d’après Chaboche- Lemaitre [48] et Hashin [49] l’endommagement est dû : • Au niveau micro

o Microfissuration de la matrice parallèlement aux fibres ;

Caractéristiques mécaniques des constituants (Fibre, matrice, charge ….)

Homogénéisation Résine, charge, porosités

Homogénéisation Fibre + matrice


31

o Décohésion fibres/matrice o Rupture de fibres.

• Au niveau méso o Rupture transverse ; o Rupture longitudinale ; o Endommagement qui provoque la redistribution des contraintes et des

déformations. • Au niveau macro

o Ruine totale du matériau. En conclusion, les mécanismes de dommages des matériaux composites sont : microfissuration de la matrice, courbure de fibre-matrice, décohésion d’interface fibre-matrice et rupture de fibres. Cependant, pour le SMC, on note que des dommages sont initiés par des microfissures de matrice et une décohésion de l’interface. Par conséquent, on voit clairement le lien qu’il peut exister entre les mécanismes se produisant à l’échelle microscopique et ceux à l’échelle macroscopique. L’endommagement est donc le résultat d’un processus de dégradation plus ou moins lent dont l’origine se trouve dans des mécanismes de détérioration se produisant à une échelle plus fine [4]. A partir de ce résultat, deux approches ont été distinguées pour traiter l’endommagement: l’approche macroscopique et l’approche microscopique. Dans l’approche macroscopique, dont le cadre général est posé en [48], on définit tout d’abord une variable d qui décrit l’état de détérioration du matériau. Cette variable introduite par Kachanov en 1958 [50], est un paramètre scalaire opérant sur la contrainte de traction en chargement unixiale et permet de définir une contrainte effective. Les équations d’évolution de d sont données dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles et sont couplées aux équations de comportement. L’approche utilisée dans notre étude est une approche dans laquelle l’endommagement est traité à l’échelle mésoscopique [51], [52]. Ici, dans le modèle méso-mécanique, les mécanismes de détérioration sont décrits par des variables d’endommagement associées à la chute de rigidité. II. 3. 1. Les variables internes et la contrainte effective

Généralement, la détérioration matérielle du SMC est lancée par des défauts internes tels que des fissures [3]. La mécanique d'endommagement suggérée par Kachanov, a été appliquée pour construire un modèle de dommages pour le SMC. La notion fondamentale de cette théorie est de représenter l’état endommagé de matériaux par des cavités en termes de variables mécaniques appropriées, et puis d’établir des équations mécaniques pour décrire le comportement mécanique des matériaux endommagés. Par exemple, considérant la barre en tension (figure A.II. 8a) de section initiale 0A . L’état endommagé de figure A.II.8 b peut être représenté par la variable de l’endommagement D ( )10 ≤≤ D où 0 et 1 indiquent l’état initial et l’état final de rupture, respectivement. Cette variable est souvent interprétée comme réduction efficace de secteur provoquée par les fissures internes dues aux dommages matériels. En d’autre terme, on suppose que le secteur efficace supportant la charge de la barre est diminué de A à une certaine plus petite valeur A* en raison de la génération des cavités distribuées, et la variable de l’endommagement D peut être liés à A* comme suit :

AAD *1 =− Eq. A.II. 26


32

La réduction de la section efficace supportant la charge augmente l’effort T et la contrainte σ~ , habituellement appelée la contrainte effective. Elle s’écrit :

)1(~ * DAT −== σσ Eq. A.II. 27

Figure A.II. 8. Endommagement d’une barre sous une traction unidirectionnelle.

Dans le cas où les fissures ont une distribution uniforme dans toutes les directions, la variable D ne dépend pas de l’orientation de la section et la variable caractéristique de l’endommagement est notée d.

Plusieurs types de mesures sont possibles, soit des examens surfaciques, soit des examens à cœur, dans le but de quantifier l’endommagement à l’échelle microscopique [4]. Pour notre part, nous utilisons la mesure de la variation des propriétés élastiques au cours d’un chargement de traction. Pour cela le plus simple consiste à réaliser des cycles de charge décharge en augmentant à chaque cycle le niveau de contrainte atteint. On suppose ici que l’endommagement pouvant se produire à la décharge est négligeable. Cette méthode sera utilisée pour le SMC.

EEd

d e

~1

.1

~

−=

Ε=−

= εσσ Eq. A.II. 28

Où : Ε : Module d’élasticité du matériau vierge. Ε~ : Module d’élasticité du matériau endommagé. II. 3. 2. Endommagement global (Macro)

Kachanov [53] a été le premier à introduire la notion de variable interne d’endommagement pour traduire la perte de rigidité dans les matériaux isotropes. Cette idée a été ensuite étendue aux cas de matériaux anisotrope par Cordebois et Sidoroff [54].

L’état d’endommagement est défini par un nombre fini de variables internes : ndd ,....,1),( == αα

Si 0=αd : le matériau se trouve dans un état vierge ou non endommagé,


33

Si 1=αd : l’élément de volume est rompu en deux parties selon le plan de normale αn . Si αα dd :10 ⟨⟨ caractérise l’état d’endommagement

D’après Marigo [55], une fois l’état d’endommagement défini, le comportement élastique macroscopique du matériau endommagé, peut être calculé en fonction de αd par l’intermédiaire de sa rigidité : )( αdCC ijklijkl =

Une approche thermodynamique a été adoptée, pour savoir l’évolution de l’endommagement. On se place dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles, où les phénomènes d’origine thermique sont négligés [56]. Ceci permet de formuler rigoureusement les lois de comportement qui vont être développées dans toute la suite de ce travail.

La potentielle thermodynamique choisie est la densité volumique d’énergie libre ρϕ dépendant des variables internes :

,)(21),( ee

iie dCd εεερϕρϕ == Eq. A.II. 29

- eε : tenseur des déformations. - id : variables d’endommagement.

D’où la définition des variables σ et diY associées respectivement aux variables internes eε et id :

ii

edi

eie

ddY

d

∂∂

−=

∂∂

=

ϕρε

εϕρεσ

),(

),( Eq. A.II. 30

Lachaud [45] a fait la modélisation de l’endommagement au niveau de chaque constituant élémentaire. Cependant après l’application d’une méthode d’homogénéisation, un modèle complet à l’échelle méso (intermédiaire) est obtenu. Le modèle développé a été implanté dans un code non linéaire d’éléments finis (SAMCEF), afin de permettre la comparaison des résultats numériques et expérimentaux.

En particulier le modèle issu du LMT est formulé en contraintes, dans ce modèle la formulation de l’évolution des endommagements est implicite puisque l’on a :

)(),(),( YldoudgYfWe === σσ D’où ),( σdld =

Dans le modèle développé, l’évolution des endommagements est formulé de manière explicite, le problème de singularités pour « 1=d » ne se pose donc plus. Le modèle présenté est développé dans le cadre de la thermodynamique des phénomènes irréversibles où les phénomènes thermiques sont négligés, et sous l’hypothèse des contraintes planes généralisées on néglige 231333 ,, σσσ .

Pour notre matériau composite, l’énergie volumique de déformation élastique qui est prise comme potentiel thermodynamique est alors donnée par :

12

212

11

221112

22

222

11

211 22

GWe

σσσνσσ+

Ε−

Ε+

Ε= Eq. A.II. 31


34

Avec :

21

21

12

12

Ε=

Ενν

Par inversion de la loi de comportement élastique, les contraintes s’expriment en fonction des déformations comme suit :

)( 2221111111 ενεσ += C

)( 1112222222 ενεσ += C Eq. A.II. 32

121212 γσ G= Avec

1212

1221

2222

2112

1111

21

;1

εγνννν

=−Ε

=−Ε

= CC Eq. A.II. 33

En tenant compte des relations de symétrie provenant de l’existence d’un potentiel

thermodynamique on a nécessairement :21

12

22

11

22

11

νν

=Ε

=EC

C , il vient 22121121 CC νν = et suivant la

définition de 11C , on remarque que :

2221211112112111111211211 )1( CCCC ννννν +Ε=+Ε=⇒Ε=− Eq. A.II. 34

Sous cette forme, la valeur de la contrainte )( 1112222222 ενεσ += C apparaît clairement. L’énergie de déformation plastique peut donc s’écrire maintenant :

21212

211122222

21111

21212

2222222112212

211

212

21111

)(

22

γενεε

γεεενενε

GC

GCCWe

+++Ε=

++++Ε= Eq. A.II. 35

Quant à la loi de comportement élastoplastique du matériau, elle sera décomposée en

déformation élastique et déformation plastique selon la forme classique : pe εεε += . L’endommagement supposé ne se produit qu’en cisaillement et traction longitudinal. En effet en compression transverse les fissures tendent à se refermer, et ne créent pas d’endommagement supplémentaire. Alors, seuls deux variables d’endommagement seront appliqués aux modules d’élasticité.

),,,,(;)1()1(

)1(0 yzxzxyyxiGkdGdG

EdEoijiiijijij

oiiiii

=−=−=

−= Eq. A.II. 36

Dans notre cas la variable taux de restitution d’énergie associée Y s’écrit de la manière suivante :

2

2

, )1(21

ioi

dij dEY

i −=

σ Eq. A.II. 37

La variable d’endommagement global finissant le domaine de non fissuration est alors classiquement [57] définit dans le plan par l’expression suivante :


35

),(;sup yxiGEkoùYYkYkY

xy

iiixyyyyxxxg ==++= Eq. A.II. 38

L’endommagement en cisaillement n’est pas déterminé. En première hypothèse, il est considéré identique à l’endommagement en traction. II. 3. 3. Endommagement local (Micro : à l’échelle de la fibre) II. 3. 3. 1. Approche de la mesure Plusieurs types d’endommagement ont été utilisés pour déterminer l’endommagement local, nous allons aborder celui utilisé par Moraghni [2], après l’endommagement local réalisé sur le matériau SMC, de notre étude. L’endommagement local à l’échelle microscopique peut être déterminé pour identifier les mécanismes d’endommagement au moyen des observations micrographiques au MEB exécutées sur les surfaces du spécimen polies. Le mécanisme prédominant d’endommagement est la décohésion d’interface fibre-matrice. Pour quantifier l’évolution d’endommagement nous définissons un paramètre microscopique global comme suit :

V

dmicro f

fd = Eq. A.II. 39

Où : ƒd : le volume de fibres delaminées. ƒV : le volume de fibres totales contenu dans le volume élémentaire représentatif(VER). dmicro quantifie statiquement, à l’échelle microscopique, l’état d’endommagement d’interface fibre-matrice. Il représente la proportion de fibres délaminées qui est mesuré directement sur le MEB en comptant le nombre de fibres présentant une rupture d'interface. Afin d’étudier l'influence de l'orientation des fibres sur l'effet du taux de déformation, un autre paramètre d’endommagements microscopiques a été défini : )(θd représente l'état endommagé relativement à θ ° des fibres orientées [19]:

θ

θ

θ ffd d= Eq. A.II. 40

Où : ƒd

θ : la volume des fibres délaminées orientées à θ°.

ƒθ : la volume des fibres orientées à θ°. En d'autres termes, on peut déterminer l’endommagement local pour mesurer la densité de micro-défauts, produite par décohésion d’interface fibre-matrice. II. 3. 3. 2. Approche du calcul

L’endommagement local peut être déterminé, par l’intermédiaire du calcul des contraintes locales dans chaque phase (matrice et fibre) à l’aide des équations (Eq. A.II. 4) [45]. Cependant, par manque d’essais d’identification de l’endommagement local et pour simplifier le nombre de paramètres du modèle, quelques hypothèses ont été formulées.


36

L’endommagement local de la matrice possède la même évolution que l’endommagement global. L’objectif ici, est d’obtenir un indicateur d’endommagement local de la matrice dans chaque orientation de fibres. L’endommagement local calculé est ici celui de la matrice dans le repère local de la fibre (Figure A.II. 9).

Figure A.II. 9. Calcul des contraintes locales dans la matrice, autour de la fibre.

On introduit alors une variable d’endommagement local di pour chaque famille de fibre i et l’énergie locale Yli de la matrice suivante :

ii

ili

YnkYtYli

BiYlAid

.

)ln(.

+=

+= Eq. A.II. 41

Où :

2

2

2

2

)1(21

)1(21

lii

mij

tii

lii

mii

nii

kdCYt

dCYn

−=

−=

σ

σ

et °

=

°

=

+=

=

360

0

22

360

0

max

max

θθθθ

θ

σσσ

σσ

zti

rrni

Eq. A.II. 42

Afin de déterminer les coefficients Ai et Bi, une méthode inverse a été utilisée dans laquelle il a été imposé l’égalité entre l’énergie globale Yg (déterminée expérimentalement sur un essai de traction cyclé) et l’énergie locale/globale g

liY .

∑=

=n

iii

gli YlVY

1. Eq. A.II. 43

Le principe de résolution est donné par la figure A.II. 10.

Figure A.II. 10. Algorithme d’identification inverse de

l’endommagement local [45].


37

II. 4. Couplage Endommagement-Pseudo plasticité

Pour les matériaux composites la plasticité se développe essentiellement au niveau des matrices qui ont un comportement ductile [56]. La théorie de la plasticité est utilisée pour le calcul des déformations permanentes dans la structure, c'est-à-dire pour retranscrire les déformations résiduelles lors de décharge mécaniques. Pour les composites les critères utilisés sont les critères anisotropes de type Hill ou Tsai ou Tsai-Wu.

Dans le cadre des petites transformations les lois sont données par : • La partition de la déformation en partie élastique et partie plastique : pe εεε += ; • L’énergie libre

),,( αεϕϕ pe= Eq. A.II. 44

Où φ : L’énergie libre spécifique, dépendant des variables observables et des variables internes ; p : La variable d’écrouissage isotrope. α : La variable d’écrouissage cinématique. et les variables thermodynamiques associées s’en déduisent par :

;;αϕρϕρ∂∂

=∂∂

= Xp

R Eq. A.II. 45

ρ: La masse volumique.

Figure A.II. 11. Domaine actuel d’élasticité défini par les variables R et X [48].

• La surface de charge : cette surface explique l’état d’écoulement pour un état d’écrouissage fixé. Pour le matériau écrouissage positif, la surface de charge s’exprime en fonction des composantes du tenseur des contraintes et dépend de l’état d’écrouissage par l’intermédiaire des variables internes, généralement les forces thermodynamique X e R :

),,( XRff σ= Eq. A.II. 46

L’hypothèse de normalité c’est-à-dire l’existence d’un multiplicateur 0≥λ tel que les trois lois complémentaires s’écrit :


38

,;;Xf

Rfpfp

∂∂

=−∂∂

=−∂∂

= λαλσ

λε Eq. A.II. 47

Où le multiplicateur de plasticité est déterminé par la condition de consistance :

00 =∂∂

+∂∂

+∂∂

⇒== XXfR

Rffff σ

σ Eq. A.II. 48

En cas d’écrouissage isotrope la variable R décrit l’évolution de la taille de la surface de charge. Par contre, L’écrouissage cinématique correspond à la translation de la surface de charge, la variable d’écrouissage X est de nature tensorielle ; elle indique la position actuelle de la surface de charge.

Figure A.II. 12. Description de la surface de charge pour l’écrouissage isotrope [48].

Figure A.II. 13. Description de la surface de charge pour l’écrouissage cinématique [48].

Le couplage de deux écrouissages peut être réalisé [58]. Les lois de normalité sont

données par :

)1()( dX

RopRfp

−−

++=

σλε Eq. A.II. 49

Où : Ro : seuil initial d’écoulement. L’incrément de la déformation cumulé est donnée par : λ=P


39

L’incrément de la déformation plastique s’écrit : αε =p Les lois complémentaires s’écrivent dans le cas isotherme :

)(;... pgRpXX =−= γαβ Eq. A.II. 50

Le couplage plasticité - endommagement est effectué de façon classique comme dans

Lemaitre [59], en introduisant la contrainte effective dans le critère d’écoulement qui dépend

alors de l’endommagement. Ainsi σ est remplacé par d−

=1

~ σσ dans le critère de plasticité.

Le critère général de plasticité à écrouissage isotrope et cinématique non linéaire utilisant un critère anisotrope C à la limite de l’écoulement [45] :

0)()~(),,~( =+−−== RopRXCXRff σσ Eq. A.II. 51

Où )~( XC −σ est un critère anisotrope définissant la forme de la surface de charge (Figure A.II. 14). Ce critère a été déjà utilisé dans des études sur la prévision du comportement de composites à fibres longues [60]. Par contre un critère anisotrope n’est pas primordial en premières approches pour l’étude du comportement des SMC-R (comportement quasi isotrope dans le plan), mais dans notre cas le seuil de contraintes introduites dans le critère anisotrope étant toutes identiques, alors ce critère devient isotrope et )~()~( 2 XJXC −=− σσ .

Figure A.II. 14. Surface de charge [58].

II. 5. Effets de la vitesse de sollicitation Le comportement mécanique des matériaux composites à fibres longues sollicités à grande vitesse a fait l’objet de différents comparatifs [61, 62,63], mais il y a en peu de travaux concernant les effets de vitesse sur le comportement des SMC. Cependant on présente ici quelques résultats sur les composites à fibres longues pour connaître l’influence de .ε . La plupart des travaux relatés dans ces études (études à fibres longues) portent cependant sur des composites, renforcés de fibres continues de carbone, de verre ou encore de poly aramide (kevlar), et à matrice thermodurcissable. Sur la figure A.II. 15 est schématisée l’évolution d’une courbe contrainte-déformation avec la vitesse de déformation pour un matériau composite. De manière générale, une sollicitation est dite quasi-statique lorsque sa vitesse est


40

inferieure à 10-1 s-1, intermédiaire lorsque sa vitesse est inferieure à 100 s-1 et dynamique lorsque sa vitesse est supérieure à 100 s-1.

Figure A.II. 15. Tendance d’évolution d’une courbe contrainte-déformation avec la vitesse de déformation pour un matériau composite [6].

Nous observons les tendances suivantes lorsque la vitesse de sollicitation augmente :

Le comportement non-linéaire des matériaux observés en quasi-statique se rigidifie. Par exemple, la pente à l’origine de la courbe contrainte/déformation augmente car les effets visqueux tendent à saturer ;

La contrainte à rupture augmente ; La déformation à rupture diminue.

Cependant, ces conclusions sont à pondérer suivant la nature de la matrice. De plus, la proportion plus ou moins importante de renforts dans la direction sollicitée influe grandement sur les résultats. Egalement, on n’observe pas les mêmes phénomènes suivant que la direction sollicitée présente une grande proportion de renforts ou non : il y a présence plus ou moins marquée des effets visqueux. En ce qui concerne les matrices thermoplastiques renforcées de fibres courtes de verre, la majeure partie des études [64,65] porte sur le comportement quasi-statique de ces matériaux. Ces études mettent en évidence dans ce domaine un comportement élasto-viscoplastique avec ou sans endommagement suivant le niveau de contrainte considérée. Peu de travaux s’intéressent à leur résistance à l’impact et à leur comportement pour de grandes vitesses de sollicitation. Kawata [66] a étudié le comportement en traction d’une matrice PA6-6 renforcée de fibres courtes de verre (30% en volume) pour des sollicitations statiques (0.99.10-3 s-1) et dynamiques (0.67.103). Bien que les résultats obtenus ne lui permettent pas de conclure des effets de la vitesse de déformation sur les propriétés mécaniques de ce matériau, il enregistre une rigidification de son comportement. Plus récemment, Vaidya s’est intéressé au comportement à l’impact d’une matrice polypropylène renforcée de fibres longues coupées (40% en masse) Vaidya et al. [67]. Ont notamment étudié les modes d’endommagement de ce matériau et sa capacité à absorber l’énergie pour des vitesses d’impact comprises entre 10 m.s-

1 et 100 m.s-1. A de telles vitesses, la rupture du matériau est initiée par le déchaussement des fibres et la rupture de fibres. Il met également en évidence une fissuration de la matrice dans la direction des fibres. L’étude bibliographique du comportement du matériau montre que l’augmentation du taux de déformation pendant l’essai de traction mène à un début d’endommagement macroscopique retardé. Par exemple, pour un essai quasi-statique (3 s-1), la dégradation


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macroscopique commence à un niveau de déformation de 0.25 % tandis que pour un taux de déformation de 20.5 s-1, la première réduction de rigidité apparaît à une déformation de 0.44 %. De plus, on peut voir que les endommagements cinétiques sont relativement réduits quand les taux de déformation augmentent [19]. En expliquant le précédent phénomène, on peut dire qu’à l'échelle locale la croissance d’endommagements est changée en termes de déformation et expose un réduit cinétique en raison de l'effet de taux de déformation. Les deux aspects sont rapprochés de l'effet de viscosité produit par le retard de dissipation arrivant aux zones interfaciales. Par conséquent, nous pouvons remarquer un retard dans les seuils d’endommagement macroscopique. De plus, l’évolution des pentes change aussi fortement.

Figure A.II. 16. Evolution d’endommagement microscopique en fonction de déformation pour différents taux de

déformation [19].

Figure A.II. 17. Evolution d’endommagement macroscopique en fonction de déformation pour différents taux de

déformation [19].

Cette étude [19] a montré une influence du taux de déformation sur l’endommagement de l’interface fibre- matrice de matériau SMC en désignant trois familles d’orientations de fibre représentative : θ1, θ2 et θ3. Ces familles d’orientation, θ1, θ2, et θ3, représentent respectivement toutes les fibres orientées de 0 à 30, 31 à 60 et 61 à 90. Par conséquent, pour un essai de traction, l’interface fibre-matrice de la famille θ3 sont principalement soumises à une contrainte normale alors que les interfaces des familles θ1, θ2 sont soumises à contrainte de couplage traction-cisaillement. La comparaison de leur évolution d’endommagement


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clarifiera l'effet du taux de déformation sur les propriétés anisotropes de l'interface fibre-matrice. Pour l'essai quasi-statique, la différence entre l'évolution d’endommagement des trois familles était significative. Il a été remarqué que le seuil de déformation augmente quand l'orientation de la fibre diminue. Pour l'essai dynamique, l'orientation de fibre n'a aucune influence significative sur le seuil d’endommagement d’interface. Toutes les fibres commencent à endommager simultanément avec une déformation quasi identique. De plus, dans le cas quasi-statique, la rupture d'interface fibre-matrice est plus développée pour la famille θ3 que pour les autres familles d'orientation. Cependant, ce n'est pas le cas pour l'essai dynamique pour lequel a été observée une évolution d’endommagement équivalente pour toutes les familles. Ainsi, nous pouvons conclure que l'effet du taux de déformation montre plus de sensibilité quand l'interface est soumise à une contrainte normale pure que lorsqu'il est soumis aux contraintes couplées de cisaillement/normale. Nous pouvons conclure qu'avec le taux de déformation bas, les endommagements arrivant par la décohésion d’interface fibre/matrice sont principalement provoqués par une contrainte normale pure interfaciale. Il a été établi que le taux de déformation influence principalement sur le seuil d’endommagement d’interface fibre-matrice et aussi sur le taux d’endommagement. On a montré que cet effet est spécifiquement important pour les fibres soumises à une contrainte normale pure orientée à 90°. Cela amène à préciser que l’endommagement d’interface fibre-matrice est de nature anisotropique visco-endommageable. Par conséquent, les composites SMC-R sont caractérisés par un comportement visco- élastique endommageable [19].


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III. CHAPITRE

COMPORTEMENT A L’IMPACT

Lors de la vie, un composite est susceptible d’être soumis à de nombreux impacts de

nature et d’intensité très différentes. Dans cette partie nous essayons de dresser un bilan de toutes ces charges dynamiques.

La bibliographie concernant le comportement à l’impact des SMC est succincte, ce chapitre de l’étude bibliographique traite aussi du comportement à l’impact des autres types de composites.

III. 1. Classification des impacts

Impact basse vitesse : entre 0 et 50 m.s-1

Ces impacts résultent typiquement de la chute d’un outil lors des phases de

maintenance ou de la percussion de débris présents sur la piste et projetés sur la structure durant les phases de roulage. Il s’agit donc aussi bien de chocs mous, pour les débris de pneus éclatés notamment, que de chocs durs, pour les outils métalliques.

Impact à vitesse modérée : entre 50 et 200 m.s-1

Ces impacts ont des conséquences qui peuvent être dramatiques pour l’aéronef et ce

d’autant plus qu’ils se produisent généralement pendant des phases où l’aéronef est en l’air. Dans cette gamme de vitesse, on retrouve tout d’abord les chocs à l’oiseau lors des phases de décollage et d’atterrissage qui sont des chocs mous mais avec des énergies élevées de part la masse du projectile (de l’ordre de 2 kg). Il y a aussi les impacts de grêle qui touchent la structure tout entière et qui sont des chocs durs mais avec des niveaux d’énergies plus faibles que pour le choc à l’oiseau. Impact à vitesse élevée : entre 200 et 1000 m.s-1

Ces impacts sont à prendre en compte pour les aéronefs militaires car il s’agit pour la plupart d’impacts balistiques.

Impact hyper vitesse : supérieure à 4000 m.s-1

Ce type de charges dynamiques se retrouve pour les engins spatiaux et notamment les satellites qui peuvent être percutés par des projectiles en tout genre une fois en orbite dans l’espace. Les énergies d’impact sont par ailleurs très variées étant donnée la diversité des débris spatiaux présents. On relèvera aussi que dans la modélisation de l’impact, il est nécessaire de prendre en compte, en plus du solide en lui-même, un effet de souffle lors du choc car avec sa vitesse, le débris explose littéralement au moment de l’impact.


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Crash de la structure : étudié pour des vitesses verticales entre 7 et 10 m.s-1

Ces niveaux de vitesses sont les niveaux retrouvés dans les différentes études analysées et ce, qu’il s’agisse d’un crash sur la terre ferme ou d’un amerrissage. Dans cette gamme de sollicitations, le taux de déformation auquel est soumis le matériau est de l’ordre de 102 s-1.

Les études expérimentales et numériques ont montré que le chargement à grande vitesse entraine des difficultés spécifiques. En fait, pendant les essais à grande vitesse, quelques problèmes expérimentaux apparaissent comme les effets d'inertie, la non-uniformité du chargement et la difficulté de mesurer des caractéristiques mécaniques du matériau [2]. Dans des essais d'impact à grande vitesse, la structure entière n'a pas le temps pour répondre, menant aux dommages très localisés. Par contre, dans l'impact à baisse vitesse, la durée de contact est assez longue pour que la structure entière réponde à l'impact [3].

III. 2. Mécanismes d’endommagement sous impact Les composants en acier absorbent l'énergie d'impact par la déformation plastique tandis que les matériaux composites l'absorbent par les mécanismes d’endommagements [3] (Dans l’industrie automobile, les absorbeurs d'énergie lors de crash sont réalisés généralement en matériaux métalliques où l’absorption d’énergie est réalisée par déformation plastique. L’intérêt des composites ici est leur capacité à absorber l’énergie par endommagement et déformation anélastique [3]). D’après Sutherland et Soares [68], les dommages d’impact se produisent dans deux étapes : dommages internes au matériau à basse énergie, et puis finalement perforation de la plaque. Les mécanismes de dommages peuvent varier avec les changements des nombreux paramètres matériels tels que le type de fibre/résine, le rapport, l'architecture et l'interface, et la méthode de production de stratifié [69,70], par conséquent, les théories pour décrire la réponse globale, telle que les méthodes de bilan énergétique et de ressort masse sont plus réalistes. De plus, puisque ces mécanismes de dommages dépendent également fortement de la nature exacte de l'événement d'impact [71,72], la réponse à l’impact d'un matériau composite est très difficile à normaliser. En général les mécanismes d'endommagement dans le composite se résume à : microfissuration de la matrice, courbure de fibre, décohésion d'interface fibre – matrice et rupture de fibre. Les trois premiers processus causent souvent une dégradation progressive du matériau impliquant par conséquent une dissipation de grande énergie, tandis que le dernier mécanisme précède l'effondrement du matériau [2]. Les fissures de la matrice et la rupture des fibres sont produites pendant les essais d'impact, où le matériau offre la moindre résistance pendant que l'impacteur fait sa voie dans l'épaisseur de la plaque [73]. D’après Espinosa [74] la rupture de fibres est principalement localisée sur les faces externes de la plaque impactée. Ces ruptures de fibres sont localisées dans la zone d'empreinte du contact matériau/impacteur, mais sur la face opposée de la plaque, les ruptures de fibres résultent des forces de traction. Ce type d'endommagement est faible dans la plaque impactée [5]. Cependant, pour le composite SMC, on note que des dommages sont initiés par les microfissures de la matrice et la décohésion de l'interface matrice-fibre. Ces dommages induisant donc une réduction progressive de la rigidité du matériau.


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Dans le cas de l'impact et dans certains autres cas, le début de l'endommagement à travers l'épaisseur du matériau peut se produire avant que ne soient visibles les endommagements sur les faces externes au moment du contact entre la plaque et l’impacteur. Ce point est à noter car dans ce cas, il est impossible d'évaluer visuellement l’endommagent d’impact lorsque les pièces sont en fonctionnement. Il a été montré que la valeur du module E11 est prépondérante dans la détermination de la résistance à la pénétration d'un impacteur de ces matériaux. Le SMC (Vf = 60%), avec son taux massique de fibres de verre et le module d’élasticité E11 plus important, absorbe la plupart de l'énergie d'impact dans les essais de masse tombante. En contre partie, le SMC (Vf = 30%), avec son taux massique de fibres de verre et le module E11 inférieur, absorbe moins d'énergie d'impact. Tous ces matériaux SMC testés ont présenté le même type d'endommagement ; c'est à dire un endommagement d'impact dans l’épaisseur non visible avant que les endommagements sur la surface impactée et la face opposée ne soient visibles [73]. Des études ont essayé d'aller plus loin quant à la compréhension des mécanismes complexes de dommages en termes de caractérisation de la réponse d'impact [71] et par l'utilisation des modèles théorique-empiriques combinés [75,76]. Pour une éprouvette mince, aux énergies d'impact très faibles (1-2 J), aucun dommage n'est visible et les premiers signes de dommages sont des fissurations de la matrice, dans l'épaisseur du matériau, ainsi que des endommagements de fibres sur la face opposée à l'impact. Il s'en suit très rapidement des endommagements de fibres sur la face impactée ce qui provoque un début de perforation de la plaque. La perforation se propage jusqu'à la pleine pénétration de l'impacteur dans la plaque testée [68]. Pour les plus basses énergies les courbes sont lisses et la réponse force/temps est approximativement symétrique (et ce pour n’importe quelle épaisseur de plaque testée), n'indiquant aucun dommage grave. Cependant, le secteur situé sous les courbes de force/déplacement indiquent que l'énergie considérable d'incident est irréversiblement absorbée par le stratifie même à ces basses énergies. Avec une énergie d’impact élevée, l'effet des dommages sur les fibres est évident, même avec une diminution importante de l'effort en fonction du temps et du déplacement, ce qui donne une réponse fortement asymétrique effort/temps. Les formes des courbes indiquent qu'il ne serait pas nécessaire d'effectuer un grand nombre d’essais pour caractériser la réponse d’impact de force-déplacement.

Figure A.III. 1. Réponse d'impact [68].


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En ce qui concerne le comportement complexe d’impact, Abrate [77] déclare, « Il est nécessaire de classer ces différents types de comportement pour faciliter l'interprétation des résultats expérimentaux et faire un choix du modèle mathématique le plus approprié ».

III. 3. Dissipation de l'énergie lors de l’impact Pour des impacts basse vitesse, l'énergie potentielle apportée par l'impacteur, est décomposée en une énergie de création de dommage (rupture, débris, etc), une énergie de déformation élastique de la structure impactée et une énergie dissipée par l'amortissement lors de vibrations [73]. Lors d'un impact, l'énergie correspondant à la hauteur du rebond de l'impacteur est directement liée à l'énergie de création des dommages [68]. Pour des impacts à grande vitesse (vitesse d'impact supérieure à 100 m/s), le temps d'impact étant extrêmement court, l'énergie de déformation élastique devient faible. Une plus grande partie de l'énergie initiale est donc transférée à la création de dommages dans la plaque [3]. La durée de l'impact diminue en fonction de l'augmentation de la rigidité de la structure impactée. La durée d'impact augmente lorsque les dommages apparaissent (diminution de la raideur locale de la plaque impactée).

III. 4. Influence des conditions d'essais L’épaisseur de l'éprouvette est le paramètre le plus important qui devrait être considéré dans la conception des composites en SMC et ce concernant le comportement à l'impact [3]. Plusieurs études numériques et expérimentales ont été effectuées afin d'examiner l’influence de l’énergie d’impact dispersée sur le SMC, en faisant varier l'épaisseur de la plaque et la vitesse initiale de l'impacteur [3]. Concernant la variation initiale de la vitesse initiale de l'impacteur on remarque (figure A. III. 2) que l'énergie dissipée est quasiment constante.

Figure A.III. 2. Comparaison essai/simulation d'énergie dispersée [2].

Plusieurs technologies de machines d'essais peuvent être utilisées pour réaliser des impacts. Dear P. [73] a réalisé des impacts en utilisant machine hydraulique pilotée et une machine sue des matériaux composites SMC. La mise en charge pour la machine hydraulique a été réalisée à déplacement imposé et à une vitesse de 1 ms-1. Par la suite, plusieurs


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déplacements maxi ont été imposés. Concernant les essais sur la tour de chute, pour une même masse, il a été recherché la vitesse d'impact permettant d'obtenir les mêmes déplacements maxi dans la plaque (Figure A.III. 3). Par cette étude comparative des moyens d'essais (Figure A.III. 4), les auteurs font remarquer que les dommages occasionnés dans les plaques sont de même étendue et indépendants de la vitesse (dans une gamme de vitesse faible).

Figure A.III. 3. La charge en fonction de déplacement, résultat de SMC (vf=30%) pour une machine d’impact

de masse tombante à 4.4 m/s comparé avec l'impact de servo-hydraulique à 1 m/s [73].

Figure A.III. 4. SMC2 des endommagements observés sur la surface impactée et la surface opposée la machine

servo-hydraulique et la machine à masse tombante [73].


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La bibliographie, concernant l'endommagement des composites SMC sollicités à l'impact, est pauvre ; nous avons recherché les travaux effectués sur d'autres types de matériaux (stratifiés et sandwiches). III. 5. Impact sur les composites stratifiés et sandwichs

Depuis les années 1980 beaucoup de chercheurs ont examiné expérimentalement et numériquement les dommages après impact, surtout sur les stratifiés [78, 79].

III. 5. 1. Les stratifiés [80, 81, 82, 83]

Lors d’une sollicitation dynamique de type impact, on relève trois mécanismes de dégradation prédominants qui participent à l’endommagement du matériau dans l’épaisseur des plaques stratifiées - la microfissuration de la matrice avec parfois une décohésion fibre/matrice, - le délaminage, - la rupture des fibres.

La microfissuration de la matrice est le premier endommagement qui apparaît au sein du composite. Pour une plaque d’épaisseur élevée, cette fissuration se développe sur le côté impacté de la plaque du fait des fortes pressions qui existent entre la plaque et le projectile. Pour des plaques plus fines et donc plus flexibles, la matrice se fissure du côté opposé à l’impact à cause de la flexion de la plaque qui engendre des surcontraintes sur cette face. Des trois modes d’endommagement cités précédemment, il s’agit de celui qui altère le moins les performances mécaniques de la plaque même s’il faut tout de même y faire attention car ces fissurations peuvent engendrer du délaminage si elles atteignent l’interface entre deux couches de plis d’orientations différentes. Par ailleurs, elles sont aussi des sites privilégiés pour l’amorçage de fissurations transverses qui d’une part entraînent une perte plus ou moins importante de la rigidité axiale du composite et qui d’autre part peuvent induire un microdélaminage à l’interpli du fait de la concentration des contraintes en pointe de fissure.

Le délaminage qui apparaît uniquemententre les plis d’orientations différentes est, quant à lui, caractérisé par l’apparition d’une zone délaminée de forme oblongue dans le sens des fibres du pli du dessous par rapport à la face impactée comme sur la figure ci-contre. On notera qu’il existe trois principaux facteurs qui influencent la taille de cette zone : la différence entre les modules d’Young dans le sens long et le sens transverse d’un pli (E11 et E22), l’épaisseur d’un pli et d’une couche de plis de même orientation ainsi que la flexion de la plaque lors de l’impact. Une quelconque augmentation de la différence de rigidité, de l’épaisseur ou de la flexion accroît la taille de la zone délaminée. Finalement ce délaminage entraîne une perte significative des propriétés mécaniques de la structure et ce d’autant plus s’il apparaît de façon dissymétrique par rapport au plan moyen du stratifié car cela engendre des dissymétries de chargement et donc des états de sur contraintes ce qui est généralement le cas lors des impacts.

La rupture des fibres quant à elles peut réduire de manière catastrophique la résistance et la rigidité de la plaque car ce sont les fibres qui permettent la transmission des efforts. Finalement, on relèvera le fait important que sur ces composites, un impact basse vitesse engendre une déformation globale alors qu’un impact à vitesse élevée engendre des déformations plus localisées.


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Figure A.III. 5. Différents endommagements : la décohésion fibre-matrice (a), la fissuration de la matrice (b) et le délaminage.

Figure A.III. 6. Forme des zones délaminées lors d’un impact.

III. 5. 2. Composite sandwich à âme en nid d’abeilles

Pour des impacts de faibles énergies, l’âme en nid d’abeilles se détériore par plissement du fait de la sollicitation en compression qu’elle subit. Ce mode de dégradation apparaît dès les plus faibles énergies d’impact et il provient d’une déformation du nid d’abeille par un flambage localisé sur les faces des hexagones qui se propage et entraîne le flambage des arêtes de l’hexagone qui induit à son tour le plissement des faces des hexagones voisins et ainsi de suite ce qui finalement conduit à un écrasement plus ou moins localisé de l’âme. Lors de ces plissements il apparaît par ailleurs des déchirures locales et des décollements qui sont très dissipateurs d’énergie mais qui malheureusement sont très complexes à caractériser et ce d’autant plus qu’ils apparaissent de manière aléatoire et à des endroits assez peu prévisibles notamment pour les âmes en composites où les fibres courtes sont agencées de manière aléatoire dans la résine [84].

Lors d’impacts à hautes énergies, le projectile traverse la peau et écrase localement l’âme jusqu’à sa ruine. Autour de la perforation on retrouve le même plissement de l’âme que précédemment avec souvent en bord de trou du décollement entre la peau et l’âme.


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III. 6. Influence des différents constituants

Dans cette partie nous allons voir l’influence des propriétés des fibres et de la matrice sur la tenue à l’endommagement et les propriétés résiduelles des matériaux qu’ils composent. On en profite, par ailleurs, pour rappeler que la résistance à l’endommagement est la propriété du matériau à limiter la formation de délaminage, de fissures dans la matrice et de tout autre dommage tandis que la tolérance aux dommages est la propriété d’un matériau à conserver ses propriétés même s’il est endommagé.

III. 6. 1. Les fibres

Les fibres sont, on le rappelle, les constituants qui supportent la charge, fournissant ainsi au composite sa rigidité et sa résistance.

Pour résister aux impacts, la capacité des fibres à emmagasiner de l'énergie par déformation élastique est un paramètre fondamental. On rappelle ici que cette énergie dépend directement de la rigidité et de l'allongement à rupture des fibres. Ainsi en raison de leur allongement à rupture plus élevée, les fibres de verre peuvent absorber près de trois fois plus d'énergie élastique que les fibres de carbone, ce qui constitue un avantage conséquent en ce qui concerne la résistance à l'endommagement. De la même manière, les matériaux capables d'emmagasiner la plus grande quantité d'énergie élastique possèdent souvent de meilleures propriétés après impact. Ces dernières années, les fabricants de fibres ont d’ailleurs cherché à augmenter l'allongement à rupture des fibres, notamment en réduisant leur diamètre, de manière à accroître leur résistance à l’impact.

Par ailleurs il a été démontré que le traitement de surface des fibres, qui a pour but d'assurer une bonne adhésion entre les fibres et la matrice, peut aussi influencer le mode de rupture et les propriétés résiduelles des composites. Ainsi un traitement de surface peut efficacement améliorer la résistance transversale et finalement la rupture se produit plutôt dans la matrice qu'à l'interface, ce qui signifie que l'interface ne constitue plus la région la plus faible et que la dégradation par décohésion fibre-matrice n’est plus trop importante. Malheureusement il a été montré que si le traitement surfacique des fibres diminuait l'endommagement pour un niveau d'énergie d’impact donné, les propriétés résiduelles diminuaient en raison de la faible quantité d'énergie absorbée et donc de la perforation plus importante subie.

III. 6. 2. La matrice

Dans les composites, la matrice possède de nombreuses fonctions: transfert des efforts vers les fibres, protection des fibres, maintien de l'alignement des fibres, etc.…

Pour résister à l’impact, la ténacité ainsi que l’allongement à rupture sont des paramètres déterminants. Les matrices les plus souvent utilisées à ce jour sont les matrices thermodurcissables, tel que le polyester, le vinylester ou l'époxy qui sont cependant fragiles et peu tenaces. Ainsi pour améliorer leur résistance à l'endommagement, des agents plastifiants et des particules de caoutchouc sont souvent ajoutés. L'utilisation de résines thermoplastiques permet d'améliorer grandement la résistance à la propagation de fissures. De plus, elles sont capables d'absorber de grandes quantités d'énergie grâce à une structure moléculaire qui


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permet une forte dissipation d’énergie par glissement des chaînes moléculaires les unes par rapport aux autres ce qui leur confère un allongement à rupture et une ténacité plus élevés.

Par ailleurs, l'influence de la matrice sur la variation des propriétés résiduelles est très importante. Tant en flexion qu'en traction, les composites à matrice thermoplastique maintiennent leurs propriétés initiales pour des énergies plus importantes que les composites à matrice thermodurcissable. Cependant, à plus haute énergie, les composites à matrice thermoplastique voient leurs propriétés chuter rapidement et atteindre des valeurs plus faibles que celles des composites à matrice thermodurcissable.

III. 7. Modélisation de l’impact

La modélisation utilise principalement la méthode des éléments finis et est réalisée sur des plaques simples. Les études consistent à montrer la faisabilité des outils de simulations numériques du choc sur les composites. Dans ces études les comparaisons avec les essais expérimentaux se font à partir de paramètres simples tels que la prévision de la déformée des plaques ou encore de la répartition de l’effort en fonction du temps.

Actuellement les modèles les plus prédictifs intègrent des lois de comportement complexes (endommagement, plasticité, effet de la vitesse d’impact).

Au début des années 2000, des études ont été menées sur des structures un peu plus complexes telles que des poutres ou même une porte de maintenance [85]. Les chercheurs sont ainsi arrivés à avoir des déformées après impact avec notamment les zones délaminées ou les perforations de plaques cohérentes avec la réalité et les résultats des essais menés en parallèle. Ils sont même arrivés à suivre l’endommagement et la déformation du composite pas à pas au cours du choc. Cependant ces résultats très encourageants sont tout de même à relativiser du fait que les modélisations ont été faites en anticipant les résultats des tests c’est à dire en ne modélisant que les phénomènes de rupture que l’on prévoyait d’avoir et parfois cela ne suffisait pas car la structure rompait à des endroits non prévus. Par ailleurs des logiciels commerciaux tels que Abaqus ou LS-Dyna ont été testés par les Américains [86] et les Européens [87,88] sur la simulation de crash ou d’amerrissage [89,90] de tronçons de fuselage ou de cabines d’hélicoptères. Dans ces différentes simulations, la durée du choc ainsi que les déformées après chocs semblent être cohérentes avec la réalité mais les niveaux d’accélération au cours du choc que l’on peut corréler à la dissipation d’énergie ne sont pas très bien prédits très souvent à cause d’une mauvaise prévision des modes de rupture de la structure.

Ce dernier point permet ainsi de mettre l’accent sur le manque de maturité des modélisations actuelles qui nécessitent dans le cas des structures complexes d’anticiper les résultats pour obtenir des résultats de simulation corrects. En effet, en parallèle de ces études relativement ambitieuses, de nombreux travaux sur des plaques continuent d’être réalisés. Ces nombreuses études témoignent de la complexité du travail qu’il reste à parcourir avant de fournir à l’industriel un outil fiable et performant qui lui permette la conception et la certification de pièces structurales en composites pour des sollicitations de type choc. Bien que de nombreux codes de calcul de dynamique rapide soient présents sur le marché, une problématique importante est l’identification des lois de comportement dynamique.


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III. 8. Les méthodologies de simulation Jusqu’à peu, les modélisations ont été uniquement réalisées avec des logiciels utilisant

les éléments finis conventionnels. Cependant des problèmes rencontrés, notamment dans le cadre de la modélisation en grandes déformations, pour laquelle les logiciels éléments finis présentent des défaillances, ont poussé les chercheurs à s’orienter vers de nouvelles méthodes de calcul. Par ailleurs, ces méthodes basées sur les éléments finis utilisent les variables d’endommagement qui caractérisent la perte de rigidité de l’élément du maillage et une fois une certaine valeur atteinte pour un élément du maillage, cet élément est éliminé de la modélisation et n’entre plus en jeu dans le processus d’endommagement global du matériau. Cette manière de procéder utilisée notamment dans les logiciels Pam-Crash et Ls-Dyna est problématique car, même si l’élément n’a plus que très peu de propriétés mécaniques, il participe quand même à la tenue de la structure et influence donc la déformation des éléments voisins et par conséquent la dissipation d’énergie.

Les chercheurs étudient ainsi actuellement la possibilité d’utiliser la méthode SPH (Smooth Particle Hydrodynamic) [91] tirée de la mécanique des fluides, qui utilise pour la modélisation un ensemble de particules qui interagissent entre elles dans un volume déformable déterminé. Cette nouvelle approche a permis d’obtenir de meilleurs résultats lorsqu’on était en présence de grandes déformations, mais malheureusement les temps de calcul se sont avérés beaucoup trop longs (de l’ordre de la semaine pour de simples impacts sur une plaque) ce qui a fait naître l’idée de coupler les deux méthodes.

Ainsi, la méthode SAC (Semi Adaptative Méthode) développée par le DLR [92, 93] consiste à mettre les particules discrètes de la méthode SPH dans les éléments conventionnels du maillage par éléments finis, et de remplacer le maillage conventionnel par une modélisation basée sur l’ensemble des particules qui étaient contenues dans les mailles pour lesquelles l’endommagement a atteint un certain seuil. Ceci évite ainsi d’éliminer purement et simplement l’élément une fois qu’il est totalement endommagé comme cela est fait très souvent.

Conclusion de la partie A Les matériaux composites présentent des avantages importants : Une faible densité, des technologies de mise en œuvre par moulage et un excellent comportement vis-à-vis de la corrosion, de l’indentation due aux petits chocs urbains et un comportement acoustique favorable. Leurs utilisations pour des applications structurelles dépendent du niveau de performance souhaité. Les matériaux composites SMC sont largement utilisés grâce à aux leur facilité de mise en œuvre, de bonnes propriétés mécaniques. Le matériau à l’origine de notre étude de thèse est un SMC-R, c’est un composite constitué principalement d’une matrice polyester chargée de particules de carbonate de calcium CaCO3 ou trihydrates d’aluminium AL (OH)3 et renforcées par des mèches de fibres de verre d’une longueur d’environ 25 mm, distribuées aléatoirement dans le plan des plaques. Ce matériau possède un comportement élastoplastique à écrouissage cinétique linéaire [20]. Plusieurs études ont été appliquées sur ces types de matériaux afin d’étudier l’influence de l’environnement sur les propriétés mécaniques sur tout le comportement mécanique dynamique (crash, fatigue) les autres études ont été consacrées aux développements des méthodologies de caractérisations des composants de ces matériaux.


53

Les paragraphes principaux de cette partie ont abordés les lois de comportement mécanique qui concernent le modèle d’homogénéisation, le modèle d’endommagement et le modèle de couplage endommagement-pseudo plasticité. Les comportements mécaniques des matériaux à fibres longues sollicités à basse et à grande vitesse ont fait l’objet de différents comparatifs [61,62, 63], mais peu de travaux concernant le comportement des SMC. Cependant nous avons présenté quelques études sur des autres types de composites (études à fibres longues, stratifiés, Sandwich). Le dernier chapitre de la partie A, était attaché à décrire le comportement sous impact basse vitesse. Il présente une revue non exhaustive des études bibliographiques sur le comportement des matériaux composites sous impact à basse vitesse pour différents types des composites. En général les mécanismes d'endommagement dans le composite se résume à : microfissuration de la matrice, courbure de fibre, décohésion d'interface fibre-matrice et rupture de fibre. Cependant, pour le composite SMC, on note que des dommages sont initiés par les microfissures de la matrice et la décohésion de l'interface matrice-fibre. Ces dommages induisent, donc une réduction progressive de la rigidité du matériau.

Partie B : Comportement du matériau SMC-R

55

PARTIE B

COMPORTEMENT DU MATERIAU SMC-R

Introduction p. 56

CHAPITRE I : Etude expérimentale du comportement I.1. Introduction p. 57 I.2. Matériau de l’étude p. 57 I.3. Essais en traction p. 58 I.4. Essais en compression p. 68 I.5. Essais de traction-compression couplées p. 71 I.6. Essais de traction-cisaillement couplés p. 77 I.7. Essais de flexion 3 points rapprochés p. 92 I.8. Essais de compression dynamique p. 94 I.9 Conclusion p. 110

CHAPITRE II : Etude numérique : modélisation du comportement II.1. Introduction p. 112 II.2. Comportement micromécanique p. 112 II.3. Codes de calculs utilisés p. 116 II.4. Modélisation du comportement en traction p. 117 II.5. Modélisation du comportement en compression p. 120 II.6. Modélisation du comportement en traction-compression p. 122 II.7. Modélisation du comportement en traction-cisaillement couplés p. 128 II.8. Modélisation du comportement en compression dynamique p. 137 II. 9 Conclusion p. 154

Conclusion p. 155


56

Introduction de la partie B

Cette partie concerne principalement deux chapitres. Le premier chapitre présente les dispositifs expérimentaux mis en place pour la réalisation des différents essais mécaniques nécessaires à la détermination de lois de comportements mécaniques. Les résultats expérimentaux, les méthodes de contrôle et d’analyse utilisées seront détaillés. Le deuxième chapitre est consacré à l’étude numérique de comportement du matériau où, pour chaque sollicitation, la loi de comportement implémentée dans un code de calculs par éléments finis est explicitée.

L’essentiel de cette partie, résume les résultats d’essais, permettant de connaître le comportement d’un matériau composite à fibres courtes et résine polyester chargée, réalisé par SMC. Des méthodes de contrôles sont également utilisées au cours des quelques essais afin de quantifier l’état et l’évolution de l’endommagement. Les mécanismes de dommages de matériaux composites en général sont : microfissuration de matrice, décohésion de l’interface fibre- matrice et rupture de fibres. Les trois premiers processus causent souvent une dégradation matérielle progressive impliquant par conséquent une dissipation d’énergie, tandis que le dernier mécanisme précède l’effondrement matériel.

L’endommagement de matériau composite à fibres courtes dépend fortement de la microstructure. La distribution spatiale, la forme et le taux volumique des fibres influencent l'évolution des dommages. Dans ces matériaux, la décohésion d’interface matrice –fibre semble être le phénomène prédominant jusqu'à la rupture finale. L’endommagement entraîne une réduction de rigidité progressive [2]. Nous nous intéressons dans cette partie à la mécanique de l’endommagement à l’échelle du matériau. Bien que des auteurs aient développés des analyses microscopiques [4], ce ne sera pas l’approche de cette étude. Les caractéristiques mécaniques des constituants à l’échelle microscopique ne sont pas toujours fiables et connues. Dans l’objectif de réaliser des calculs explicites, les modèles microscopiques demanderaient des temps de calculs prohibitifs.


57

I. CHAPITRE

ETUDE EXPERIMENTALE DU COMPORTEMENT I. 1. Introduction

Cette partie concerne l’étude expérimentale du comportement des SMC-R sous différentes sollicitations. Dans les paragraphes suivants, on fait appel à de nombreux dispositifs expérimentaux.

Le matériau composite qui fait l’objet de cette étude, SMC-R, a un comportement identifié comme élastoplastique endommageable en traction statique [2]. Cependant, peu d’études montrent son comportement en compression et en cisaillement statique. Il est alors nécessaire non seulement de trouver les modules d’élasticité mais également d’identifier les lois d’endommagement caractérisant son comportement. Les lois identifiées permettent d’alimenter des simulations numériques complexes et dans notre cas, le comportement sous impacts basses vitesses [part. C]. La prise en compte du comportement mécanique endommageable permettra ainsi de modéliser de manière plus proche de la réalité le comportement de ce matériau.

L’application de la théorie de l’endommagement décrite dans la partie A, impose la réalisation de plusieurs types d’essais caractéristiques. Les essais envisagés sont les suivants :

• traction simple, traction cyclée, • compression simple, compression cyclée, • couplage traction –compression cyclée, • cisaillement pur, cisaillement cyclé, • couplage traction-cisaillement cyclé

• Compression dynamique.

Ces essais permettront de déterminer les caractéristiques classiques telles que les modules d’élasticité, les déformations et contraintes à rupture mais aussi d’identifier les lois de comportement du SMC-R.

Les paragraphes suivants présentent en détail la méthode appliquée et les résultats obtenus. I. 2. Matériau de l’étude Les éprouvettes d’essais ont été découpées dans des plaques réalisées et fournies par la société MENZOLIT. Les caractéristiques des matériaux utilisés sont données dans le Tableau B.I. 1. Une dissolution à l’acide sulfurique a été réalisée selon la norme EN 2564 A, afin de connaître le pourcentage volumique de fibres, de la matrice, des charges et des porosités ; ceci afin de mieux utiliser le modèle micro-mécanique de Mori et Tanaka (besoin du taux volumique de fibres et de charges) et de déterminer la masse volumique.


58

Taux massique de

fibre %

Taux volumique de fibre (Vf%)

Taux volumique de

porosité (Vp%)

Taux volumique de résine (Vr%)

Charges minérales

20 12.15 3.24 84.61 Ca CO3 25 16.347 6.483 77.17 Ca CO3 30 21.2 9.45 69.35 Ca CO3 40 29.1 3.85 67.05 AL(OH)3

Tableau B.I. 1. Caractéristiques volumiques des constituants des matériaux utilisés.

Pour chaque type de sollicitation présentée ci-dessous, la forme de l’éprouvette à été déterminé par des pré études numériques [48]. Une partie des résultats est montrée dans le chapitre II. I. 3. Essai en traction Les essais de caractérisation en traction simple et en traction cyclée ont été réalisés sur des éprouvettes en forme d’altère (Figure B.I. 1). Ces éprouvettes possèdent une section utile de 100×20 mm2. Toutes les éprouvettes sont instrumentées de deux jauges de déformation ; une dans le sens de l’effort, une autre dans le sens transverse. Les jauges fournies par VISHAY MICRO-MESUREMENT ont pour références EP-08-125BB-120.

Figure B.I. 1. Géométrie des éprouvettes de traction utilisées pour caractériser le SMC-R.

Les essais ont été réalisés à l’aide d’une machine d’essais à pilotage servohydraulique INSTRON. Le chargement de traction suivant l’axe OX a été effectué à déplacement imposé de 2 mm/min jusqu’à rupture pour les essais monotones, et à déplacement imposé lors du chargement, puis à charge imposée lors de la décharge pour les essais cyclés. Pour les essais cyclés permettant de déterminer les endommagements, nous avons réalisé environs 7 à 8 cycles maximum. L’enregistrement de l’effort, du déplacement et des deux valeurs de déformation, est effectué à l’aide d’un système d’acquisition NICOLET couplé à un pont de jauges VISHAY SYSTEME 2400 pour le conditionnement des signaux (Figure B.I. 2).

x

y

O

45

25

L

b εY εX

Jauges Partie utile Unité : mm

L × b × ep=100 ×20 ×5

ep = épaisseur de l’éprouvette

R=10


59

Acquisition des données mécaniques Système Nicolet

Système 2400

J1J2

ForceDéplacement

Machine de traction hydraulique

Figure B.I. 2. Synoptique de l’instrumentation d’essai.

I. 3. 1. Essai de traction simple (SMC-R 25) L’objectif des essais monotone est de déterminer le module d’élasticité, le coefficient de Poisson et les caractéristiques à rupture. La Figure B.I. 3 montre l’évolution de la contrainte appliquée en fonction de la déformation sens long.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6déformation sens long [%]

cont

rain

te a

ppliq

uée

[MPa

]

Figure B.I. 3. Courbe de comportement du matériau sens long σ=ƒ(ε).

L’allure de la courbe montre comme prévu par différentes études sur ces matériaux, un comportement quasi-bilinéaire. Les premières investigations du comportement quasi statique du SMC-R montre que la courbe ( )εσ, devient non linéaire autour de 30% du chargement maximum [2]. La non linéarité du comportement correspond aux premières étapes de la

1ére

2éme3éme


60

croissance de dommages produites par les microfissurations de matrice entraînant la rupture de l’interface fibre-matrice (décohésion fibre-matrice). Cependant, on note trois étapes distinctes de comportement sur la courbe ( )εσ , . La première correspond à une évolution linéaire liée au comportement élastique réversible du SMC, aucun endommagement significatif n’arrive lors de cette étape. Le module élastique du matériau est alors mesuré dans cette phase de la courbe de contrainte- déformation. La deuxième étape représente le début du comportement non linéaire qui est assigné au début du mécanisme de dommages, des premières fissures inter-faciales localisées sur les fibres qui sont orientées de 90° à 60 ° relativement à la direction de traction. Des microfissures de la matrice peuvent aussi rarement arriver pendant cette étape, ce type de mécanisme d’endommagement est localisé dans des zones à fort taux de matrice et ces microfissures sont rapidement stabilisées .Cette partie de courbe a une pente plus faible. La dernière étape a une évolution relativement linéaire. Elle décrit la propagation des dommages avant la rupture macroscopique du matériau. Pendant cette étape, les fissures inter-faciales qui existent autour des fibres se propagent et l'ouverture de fissures grandit. De plus, de nouvelles fissures inter-faciales sont créées sur les fibres moins désorientées. Finalement, il y a quelques ruptures de fibres orientées dans le sens de traction. La rupture en traction est essentiellement due à la décohésion fibre-matrice ; de part leurs constituants, les résines utilisées dans ces matériaux possèdent généralement un faible accrochage sur les fibres. En conclusion, le comportement non-linéaire du SMC en traction a été identifié comme étant du à la création d’une décohésion fibre-matrice [98]. Sur la Figure B.I. 4 nous avons reporté l’évolution de la contrainte σ11 appliquée en fonction des déformations ε11 et ε22 sur les éprouvettes d’essais jusqu’à 27 MPa. Les caractéristiques élastiques sens long sont calculées sur la partie linéaire du comportement. Ces essais de traction permettent de déterminer 0

11E , 012ν , la déformation et la contrainte à la

rupture R11ε , R

11σ . Les caractéristiques à déterminer sont données par les équations suivantes :

2212

011

1101111

12

22

11

)./( εν

εσσ

εε

ν

εεεε

Ε=Ε===

=

==

ebFX

X

Y

Y

X

Eq. B.I. 1

où F est l’effort appliquée,b la largeur de l’éprouvette et e son épaisseur. La valeur du coefficient 12ν est considérée au point d’intersection de la pente

d’approximation linéaire de la courbe )( XXY εν avec l’axe des ordonnées.


61

0

5

10

15

20

25

30

-0,06 -0,01 0,04 0,09 0,14 0,19 0,24 0,29ε22 [%] ε11[%]

Con

train

te a

ppliq

uée

[MPa

]

Déformation sens longDéformation sens traverse

Figure B.I. 4. Evolution de la contrainte appliquée σ11 en fonction des déformations ε11 et ε22 limité jusqu’à 27 MPa.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05Déformation sens long ε11 [%]

Coe

ffici

ent d

e P

oiss

on ν1

2

Figure B.I. 5. Evolution du coefficient de Poisson en fonction des déformations ε11


62

Les caractéristiques en traction du SMC-R sont données dans le Tableau B.I. 2.

011E (MPa) 0

12ν R11σ (MPa) R

11ε (%)

11642.63 0.3 60.18 1.3

Tableau B.I. 2. Caractéristiques mécaniques obtenues à partir d’un essai de traction simple.

I. 3. 2. Essai de traction cyclé (SMC-R 25) Des essais de « charge-décharge » ont été réalisés. Le nombre de cycles ne doit pas excéder cinq ou six pour rester dans un domaine où les phénomènes de fatigue sont négligeables. Les éprouvettes ont la même forme que l’éprouvette de traction simple. Le pilotage des vitesses de chargement est de 2 mm/min. lors des charges et de 2 kN/min. lors des décharges. L’objectif de ce type d’essai est de déterminer l’évolution des propriétés mécaniques au cours des cycles de l’essai c'est-à-dire l’endommagement et les déformations résiduelles. Ces résultats seront utilisés notamment pour les études numériques. Sur la Figure B.I. 6 nous avons reporté l’évolution de la contrainte appliquée en fonction de la déformation sens long pour deux types de chargement lors des montées en charge :

Pilotage en déplacement Pilotage en déformation

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Déformation sens long [%]

Con

train

te a

ppliq

uée

[MPa

]

Essai de traction cyclé (pilotage en déplacement)

Essai de traction cyclé (pilotage en déformation)

Figure B.I. 6. Courbe de comportement du matériau en traction cyclée σ=ƒ(ε).

On retrouve Figure B.I. 6, un comportement bilinéaire avec des déformations résiduelles importantes dues aux blocages des fissures lors des décharges.


63

Les modules initiaux sont déterminés par la pente à l’origine des courbes de comportement et les paramètres d’endommagement sont déterminés comme indiqué sur la Figure B.I. 7. Le module d’élasticité initial E0 a été mesuré sur la partie linéaire du premier cycle. Pour chaque cycle de charge –décharge, la détermination de σi, (contrainte maximale du cycle i), εi (déformation correspondante) et εi

P, déformation résiduelle pour une contrainte nulle, permet de calculer les modules d’élasticité endommagés Εi, les contraintes associées, et la déformation plastique cumulée. On relève aussi les valeurs des contraintes et des déformations à rupture σi

R et εiR.

Les seuils de déformation et de contrainte au début d’endommagement, sont définis comme les seuils de déformation et de contrainte où la diminution de rigidité est observée.

σ

ε

E0

Ei

σi

εiP

(εiR , σi

R)

Figure B.I. 7. Exemple de calcul des paramètres d’endommagement et de la plasticité sur une courbe de comportement typique.

Le seuil de déformation ou de contrainte est plus sensible aux caractéristiques de la matrice du composite que lors d’un essai monotone [93]. Une hystérésis importante au cours des cycles est observée due à des frottements lors de la création de fissures. Les résines polyesters possèdent aussi un pourcentage en masse non négligeable de thermoplastique pour minimiser le retrait. La déformation résiduelle augmente aussi avec la déformation. Le même phénomène a été observé dans un essai de fatigue contrôlé de SMC [98]. Les fissures dans la direction transversale aussi bien que sur les mèches de fibres sont la cause de ce phénomène.


64

Par l’intermédiaire des équations à la partie A chapitre I paragraphe 3, on calcule la variable d’endommagement d, le taux de restitution d’énergie élastique Y et la déformation plastique cumulée endommagée p

La contrainte à rupture pour certains essais est significativement un peu plus basse dans l'essai cyclique que l’essai monotone. La déformation à rupture est aussi légèrement plus basse. La raison principale est probablement que l'état d’endommagement après les cycles est légèrement plus important que pour un chargement monotone ; les effets viscoélastiques sont sûrement non négligeables. I. 3. 2. 1. Identification de l’endommagement en traction L’identification des lois d’endommagement à partir des essais sur SMC-R a été effectuée en utilisant le modèle du LMT Cachan. Ce modèle a été développé par Ladevèze [57] et appliqué par la suite sur une multitude de matériaux différents [99,100]. Ce modèle est rappelé dans la partie A chapitre II. Tout d’abord l’endommagement est caractérisé par la perte de rigidité du matériau. Pour chaque cycle de charge-décharge il est donc possible de déterminer Y(d11) et l’endommagement de traction d11 correspondant. Les principaux paramètres à identifier ainsi que les formules à appliquer sont résumés dans le Tableau B.I. 3.

Tableau B.I. 3. Paramètres à identifier (i : cycle de charge i).

L’évolution de l’endommagement en fonction du taux de restitution d’énergie est donnée Figure B.I. 8 pour plusieurs essais. Les courbes d’endommagement permettent d’identifier l’évolution de cet endommagement sous la forme d’un logarithmique (Tableau B.I. 4).

Variable d’endommagement en traction

di 0i

i EE

1d −=

Endommagement "total" iY idi YY )(11

=

Taux de restitution d’énergie libre idY 2

ii

2i

d )d1(E21Y

i −=

σ

Plasticité cumulée pi )1( i

p d−ε

Seuil d’élasticité (R+R0)i

i

i

d1 −σ


65

d11= 0.2737Ln(Yd11)1/2 + 0.5924

R2 = 0.9527

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Essai n° 1

Essai n° 2

Essai n° 3

Essai n° 4

Essai n° 5

d11

(Yd11)1/2 [Mpa]1/2

Figure B.I. 8. Courbe moyenne d’endommagement en traction.

Endommagement en traction ( ) 5924.0ln2737.0 2/1

11 11+= dYd

Tableau B.I. 4. Loi d’évolution de variable d’endommagement d11 pour SMC-R en traction.

Quelques éprouvettes ont été découpées pour réaliser une analyse microscopique (Figure B.I-9), et visualiser l’endommagement créé après les essais de traction cyclée.

Décohésion de l’interface fibre-matrice Fissurations de la matrice

Figure B.I. 9. Analyse microscopique sur une éprouvette endommagée de traction cyclée.

Les images de la rupture en traction, montrent que pour les composites SMC- R la rupture d’interface fibre-matrice joue un rôle prédominant dans la dégradation du matériau. Les microfissures interfaciales sont présentes sur l’ensemble de la partie utile de


66

l’éprouvette. Les autres mécanismes d’endommagement peuvent raisonnablement être négligés. L’étude expérimentale et l’étude bibliographique montrent que les endommagements de l’interface fibre-matrice sont prédominants pour ce type de matériau sous sollicitations de traction statique. Les endommagements inter faciaux débutent pour les fibres orientées à 90°par rapport à l’axe de sollicitation. Pour des fibres orientées à θ [θ=0°..90°], l’interface fibre matrice est sollicitée en traction et en cisaillement. Une distribution non homogène dans le plan de l’orientation des fibres peut donc modifier fortement le comportement de ces matériaux [93]. L’effet de strate (couche observable sur la figure B.I. 10) peut aussi modifier l’évolution des dommages. Il a été observé aussi que l'orientation de fibres transversale est associée à un taux de développement d’endommagement plus rapide. De toute façon, par la microscopie optique, des grandes fissures matricielles ont été observées (Figure B.I. 10).

Figure B.I. 10.a. Fissuration à côté de zone de rupture. Figure B.I. 10.b. Fissuration dans zone 2.

Figure B.I. 10.c. Fissuration dans zone 3.

Figure B.I. 10. Analyse microscopique optique sur une éprouvette endommagée de traction cyclée.


67

Les premiers endommagements observés dans le matériau ont débuté pour une déformation comprise entre 0.170 % et 0.19% et consistent à des endommagements matriciels diffus dans des mèches les plus désorientées. Les fissures matricielles sont courtes, semblent être peu profondes, peu nombreuses et confinées (Figure B.I. 10). La présence de charge de CaCO3 rend la matrice plus rigide et modifie aussi l’accrochage de la matrice sur les fibres. Des analyses plus fines doivent permettre de vérifier si l’initiation de fissure débute proche de ces charges. D’ailleurs, les SMC-R40 testés, possèdent une meilleure tenue en traction par la présence de charges de natures différentes : AlOH3 ; cette charge permettant un meilleur accrochage de la résine sur la fibre. I. 3. 2. 2. Identification de pseudo plasticité en traction La plasticité est révélée par l'apparition de déformations résiduelles. La Figure B.I. 11 montre l’évolution de la limite élastique en fonction de la plasticité cumulée. Les courbes sont non linéaires, de forme exponentielle. Le premier seuil d’élasticité R0 est identifié en prolongeant la courbe sur l’axe des ordonnées pour une déformation plastique nulle.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012 0,0014

Déformation plastique cumulée p

R+R

0 [M

Pa]

Essai n° 1

Essai n° 2

Essai n° 3

Essai n° 4

Essai n° 5

Sé i 6

R+R0=20.73 e814.17p

R2=0.7872

Figure B.I. 11. Courbe moyenne de la plasticité en traction.

Le tableau ci-dessous donne l’équation identifiée de l’évolution du pseudo plasticité en fonction de la plasticité cumulée.

Pseudo plasticité en traction peRR 17.8140 *731.20=+

Tableau B.I. 5. Loi d’évolution de pseudo plasticité pour SMC-R en traction.


68

I. 4. Essais en compression I. 4. 1. Essai de compression cyclée (SMC-R 25) Les essais de compression sont identiques, en termes de protocole expérimental, aux essais de traction (même instrumentation, même définition des cycles de chargement, etc). Seule change la section utile de l’éprouvette (20*20 mm2) (Figure B.I-12).

Figure B.I. 12. Caractéristiques dimensionnelles de l’éprouvette de compression.

Le comportement du matériau en compression est présenté dans la figure B.I. 13. L’évolution de la contrainte en fonction de la déformation est très différente de celle observée lors des essais de traction (Figure B.I. 6). On ne retrouve plus un comportement bi-linéaire mais une évolution non linéaire progressive. Pour une déformation à rupture similaire, la contrainte à rupture est deux fois plus importante qu’en traction ; indiquant probablement un endommagement plus faible et /ou une cinétique d’endommagement différente. Ceci est bien relevé sur le comportement en compression (Figure B.I. 13) par le peu de déformation résiduelle observée. Dans le cas de la compression, les charges présentes dans la matrice jouent un rôle plus important que pour la traction : elle ne pénalise pas la tenue de l’interface fibre matrice. On relève cependant une rigidité initiale proche de celle des essais de traction (Tableau B.I. 6).

x

y

O

50

30

L

b εY εX

Jauges Partie utileUnité : mm

L × b × ep=20 ×20 ×5

ep = épaisseur de l’éprouvette

R=20


69

0

20

40

60

80

100

120

140

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

essai n° 1- sens long

essai n° 1- sens traverse

essai n° 2- sens long

essai n° 2- sens traverse

Con

train

te a

ppliq

uée

[Mpa

]

Déformation [%]

Figure B.I. 13. Courbe de comportement de matériau en compression cyclé σ=ƒ(ε).

Le tableau B.I. 6 présente la synthèse des résultats obtenus suite aux essais de

compression sur les éprouvettes de SMC-R.

0C11 )E( (MPa) 0

12ν RC11 )(σ (MPa) RC

11 )( ε (%)

12603.3±240 0.33 126±3.27 1.415±0.015

Tableau B.I. 6. Caractéristiques mécaniques obtenues à partir des essais de compression.

Le comportement en compression étant non linéaire avec la présence lors des décharges de déformations résiduelles, la détermination des lois d’endommagement et de pseudo plasticité sera exploitée de la même manière que pour la traction. I. 4. 1. 1. Identification de l’endommagement en compression La figure B.I. 14 montre la courbe moyenne d11= ƒ(Yd11) pour deux essais de compression cyclés. Cette courbe permet de déterminer la loi d’évolution de l’endommagement en compression.


70

d11 = 0.266(Yd11)1/2- 0.0208

R2 = 0.9851

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Essai n° 1

Essai n° 2

d11

(Yd11)1/2 [Mpa]1/2

Figure B.I. 14. Courbe moyenne d’endommagement en compression.

L’évolution est identifiée contrairement à la traction par une courbe linéaire.

L’équation est donnée dans le tableau B.I. 7.

Endommagement en compression ( ) 0208.0266.0 2/111 11

−= dYd

Tableau B.I. 7. Loi d’évolution de variable d’endommagement d11 pour SMC-R en compression.

La rupture en compression apparaît par décohésion inter strates (Figure B.I. 15 : pseudo délaminage). Ces strates sont dues au processus de fabrication. Peu de fissuration apparaît avant la rupture finale : l’endommagement reste faible. Le mode de rupture en compression est donc un mode d’effondrement brutal obtenu par cisaillement inter strates. Par comparaison au mode de rupture en traction, il n’y a que très peu de rupture des interfaces fibre-matrice.

Figure B.I. 15. Observation des faciès de rupture en compression.


71

I. 4. 1. 2. Identification de pseudo plasticité en compression L’évolution de R+R0 en fonction de la variable d’écrouissage isotrope p est donnée pour deux essais de compression cyclés, figure B.I. 16.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008


R+R

0 [M

Pa]

Essai n° 1

Essai n° 2

R+R0=128798*p+38.848 R2=0.8291

Figure B.I. 16. Courbe moyenne de la plasticité en compression.

Les courbes R+R0= ƒ(p) sont identifiées sous la forme R+R0=δ*p+θ (évolution linéaire). La courbe moyenne des essais compression cyclés donne la valeur de δ et θ (δ=128798, θ=38.848). On trouve que le premier seuil d’élasticité R0 identifiant pour une déformation plastique nulle en compression égale deux fois celui en traction (R0 = 20.731 MPa en traction, R0=38.848 MPa en compression).

Pseudo plasticité en compression 848.381287980 +=+ pRR

Tableau B.I. 8. Loi d’évolution de pseudo plasticité pour SMC-R en compression.

I. 5. Essais de traction-compression couplés Un nouveau type d’essais de traction-compression couplés a été réalisé sur des éprouvettes identiques à celles de compression. L’objectif de ce type d’essai est de modéliser le comportement du matériau étudié par interaction traction-compression. La figure B.I. 17 présente les résultats d’un essai de traction-compression (quatre essais ont été réalisés, on a retenu un essai représentatif). Pour comparaison, il a été placé sur la même figure, l’enveloppe d’un essai de traction (en rouge) et l’enveloppe d’un essai de compression (en bleu). La première constatation est que ces enveloppes de comportement sont quasi identiques


72

à celle des essais de traction-compression couplées si ce n’est un décalage en déformation de la partie compression dû aux déformations résiduelles. Par la suite, l’objectif est, pour ces essais, de montrer s’il existe un couplage significatif de traction/compression (couplage en termes d’endommagement et de pseudo plasticité). Pour ce faire, les courbes d’endommagement et de pseudo plasticité obtenues lors des essais de traction-compression sont comparées à celle obtenues pour les essais en sollicitation pure.

-140

-90

-40

10

60

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2


Con

train

te a

ppliq

uée

[MPa

]

Traction-Compression couplé

Envelopoe de traction

Enveloppe de compression

Figure B.I. 17. Courbe de comportement du matériau en couplage de traction-compression cyclé σ=ƒ(ε).

La Figure B.I. 18 montre le premier cycle de charge-décharge de l’essai complet. Concernant la partie en traction, le comportement est non linéaire (voir même bilinéaire). Lors du passage traction-compression, on note une reprise de rigidité dès que la déformation devient négative ; cette reprise de rigidité se faisant progressivement. Cette transition est attribuée à la fermeture des fissures créées en traction (perte de raideur visible en traction, déformation résiduelle en traction). Par la suite le comportement devient linéaire jusqu’à un certain niveau de déformation (avant endommagement/plasticité en compression). Le module d’élasticité, pouvant être calculé alors sur la partie linéaire, est identique à celui calculé lors d’un essai de compression pure. Enfin, la décharge en compression montre une perte de raideur avec un passage progressif de compression-traction non linéaire attribué à la réouverture des fissures de traction (voir celles de traction plus celles créées en compression).


73

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5


Con

train

te a

ppliq

uée

[MPa

]

Figure B.I. 18. Premier cycle de courbe de comportement du matériau en traction-compression.

La figure B.I. 19 montre pour ce premier cycle de charge-décharge, la méthode de calcul de l’endommagement et de la plasticité pour les essais de couplage traction-compression.

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

σ

ε

Et0 Êt

a(ε1,σ1)

b(ε2,σ2)

Êc1

c(ε3,σ3)

d(ε4,σ4)

Figure B.I. 19. Exemple de calcul des paramètres d’endommagement et de la plasticité sur une courbe de

comportement du matériau sollicité en traction-compression.


74

Pour chaque cycle de traction, la méthode de calcul des paramètres d’endommagement et de plasticité est identique à celle utilisée pour les essais de traction cyclés (point a et b sur la figure B.I. 19). Pour la partie en compression, les modules sont relevés entre les points 3 et 4 de la figure B.I. 19. La déformation résiduelle est égale à l’abscisse du point 4, là où la contrainte est nulle. Des comparaisons concernant l’endommagement et la plasticité, entre les essais de traction pure, compression pure et traction-compression couplé sont présentées sur les figures B.I. 20, B.I. 21 (pour l’endommagement) B.I. 22, B.I. 23 (pour la plasticité).

d1 = 0.2447Ln(Y)1/2 + 0.5563R2 = 0.9978

d1 = 0.2737Ln(Yd1)1/2 + 0.5924

R2 = 0.9527

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9(Yd1)

1/2 [Mpa]1/2

d 1

Endommagement en traction pure

Endommagement en traction d'unessai de traction-compression couplé

Figure B.I. 20. Endommagement en traction (bleu) lors d’un essai de traction pure et en traction d’un essai de

traction-compression couplée (noir).

Concernant la comparaison des paramètres (endommagement, plasticité) de traction, (figure B.I. 20 et figure B.I. 21), on ne note pas des différences significatives des courbes d’endommagement en fonction du taux de restitution d’énergie libre et de l’évolution de la limite élastique en fonction de la plasticité cumulée entre traction et traction-compression couplées. Il semble tout de même que pour une même contrainte, l’endommagement résultant d’un passage en compression entraîne une légère augmentation de l’endommagement en traction (courbe bleu au dessus de la courbe noire figure B.I. 20). L’influence du passage en compression après une sollicitation en traction reste tout de même négligeable. Le mode d’endommagement en compression étant différent de celui en traction, le couplage reste faible. La figure B.I. 21 permet de présenter les mêmes remarques concernant la pseudo plasticité.


75

R+R0= 20.731e814.17p

R2 = 0.7872

R+R0= 18.389e975.57p

R2 = 0.9999

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,001 0,0012 0,0014


R+R

0 [M

Pa]

Plasticité en traction pure

Plasticité en traction d'un essai detraction-compression couplé

Figure B.I. 21. Plasticité en traction (bleu) et en traction couplée (noir).

Concernant la comparaison des paramètres (endommagement, plasticité) de compression, (figure B.I. 22 et figure B.I. 23), on ne note pas non plus de différences significatives des courbes d’endommagement en fonction du taux de restitution d’énergie libre et de l’évolution de la limite élastique en fonction de la plasticité cumulée (entre compression et traction-compression couplée).

d2 = 0.266 (Y)1/2- 0.0209R2 = 0.9706 d2= 0.3023 (Y)1/2 - 0.0486

R2 = 0.997

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

(Yd2)1/2 [Mpa]1/2

d 2

Endommagement en compression pure

Endommagement en compression d'unessai de traction-compression couplé

Figure B.I. 22. Endommagement en compression (rouge) et en compression couplée (noir).


76

R+R0= 128798 *p + 38.848R2 = 0.8291

R+R0 = 123014 *p + 27.118R2 = 0.9998

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008


R+R

0 [M

Pa]

Plasticité en compression pure

Plasticité en compression d'un essai detraction-compression couplé

Figure B.I. 23. Plasticité en compression (rouge) et en compression couplée (noir).

Même si les courbes de plasticité semblent différentes, elles restent proches, et surtout dans l’ordre de grandeur des écarts que l’on peut avoir entre deux essais identiques. Les tableaux B.I. 9 et B.I. 10 récapitulent les résultats en termes d’équations identifiées pour les différentes sollicitations.

Endommagement en traction (traction pure) ( ) 5924,0ln2737.0 2/111 11

+= dYd

Endommagement en traction (traction couplée) ( ) 5563,0ln2447.0 2/111 11

+= dYd

Endommagement en compression (compression pure) ( ) 0209.0266.0 2/111 11

−= dYd Endommagement en compression (compression couplée) ( ) 0486.03023.0 2/1

11 11−= dYd

Tableau B.I. 9. Lois d’évolution de la variable d’endommagement d11 en traction-compression couplées et traction pure.

Plasticité en traction (traction pure) peRR 17.814

0 *731.20=+

Plasticité en traction (traction couplée) peRR 57.9750 *389.18=+

Plasticité en compression (compression pure) 848.381287980 +=+ pRR Plasticité en compression (compression couplé) 118.271230140 +=+ pRR

Tableau B.I. 10. Lois d’évolution de la pseudo plasticité en traction-compression couplées et compression pure.


77

I. 6. Essais de traction-cisaillement couplés Les essais suivants permettent d’identifier le comportement des SMC-R en cisaillement et en traction-cisaillement couplé. Le montage utilisé dans cette partie est le montage dit « ARCAN » développé au sein du laboratoire. Ce type de montage a déjà été utilisé dans le cadre de recherches sur des structures composites stratifiées et des assemblages collés [101 à 112]. Nous nous sommes inspirés de ces études pour développer ce montage d’essais. I. 6. 1. Conception du dispositif expérimental Le montage d’essai utilisé dans cette étude est semblable à celui à l'origine proposé par Arcan [102] et modifié par Yen [112]. Les modifications proposées par Yen [113] incluent le serrage de l’éprouvette entre les deux parties du montage « Arcan » (Figure B.I. 24). Ce dispositif permet d’éviter le collage de l’éprouvette et donc de faciliter son démontage. Enfin, des modifications sur la forme des éprouvettes ont été réalisées (par calcul numérique) afin d’obtenir une distribution de contraintes (déformations) optimales dans la partie utile de l’éprouvette. La figure B.I-24 montre un schéma du montage Arcan avec son éprouvette au centre. Ce montage permet de réaliser des essais de traction pur lorsque l’angle α est à 0°, de cisaillement pur lorsque α est à 90° et de traction-cisaillement couplé lorsque α est compris entre 0° et 90°. Dans ce dernier cas, le rapport entre les contraintes de traction et de cisaillement est fonction de l’angle α et de la charge appliquée.

Figure B.I. 24. Principe de l’essai Arcan.

Les éprouvettes, coupées dans des plaques, sont placées dans le centre du montage et sont maintenues grâce à des talons métalliques. L’attache entre la plaque du montage et la machine de traction permet d’imposer le chargement (Figure B.I. 25).


78

Figure B.I. 25. Montage Arcan.

Les valeurs moyennes de la contrainte normale σN et la contrainte tangentielle σT au centre de section S, s’expriment à partir de l'angle de sollicitation α et de la force F, selon les relations :

SFKC

SFC

CC

TN

T

TT

NN

=

=

==

23

sin.cos.

ασασ

Eq. B.I. 2

En référence aux équations B.I. 3, le montage ARCAN permet donc, selon l'angle α, de tester l’éprouvette en chargement pur ou combiné de traction transverse. KT est le coefficient de concentration de contrainte calculé entre des forces d’un essai de traction pure sur éprouvette droite et un essai de traction à l’aide du montage Arcan. Ce coefficient a été corrélé à une étude numérique et théorique [114]. On présente dans les paragraphes suivants, les résultats concernant les essais de cisaillement pur, puis ceux concernant les essais de traction-cisaillement couplés. I. 6. 2. Comportement en cisaillement pur (SMC-R30) Le comportement en cisaillement pur est obtenu quand α=90°. L’éprouvette est équipée d’une rosette de jauge de déformation collée sur une face comme indiqué figure B.I. 26. La déformation de cisaillement est obtenue par la somme des deux jauges placées à 45°. La déformation de traction est obtenue par la jauge placé à 0°.

Eprouvette

Pièce rapportée Talon métallique

Plaque du montage


79

Figure B.I. 26. Eprouvette de cisaillement et sollicitation de cisaillement.

La charge a été appliquée en utilisant une machine de traction INSTRON de capacité 100 KN (figure B.I. 27). La mise en charge est réalisée à 0.5 mm/minute. Les décharges sont contrôlées à 0.1 KN/minute.

Figure B.I. 27. Montage d’essai ARCAN installé sur la machine d’essais.

I. 6. 2. 1. Comportement en cisaillement sous chargement monotone La figure B.I. 28 présente l’évolution des déformations en fonction de la contrainte appliquée. La validité de l’essai (cisaillement pur) est tel qu’il faut que la déformation de traction soit quasi-nulle. L’évolution des déformations à 45° et à -45° doit aussi être symétrique. Cette

Lh L

W

r

A

B

L=40 mm r=2.5 h=13 mm γ=90° W=35 mm ep=5 mm

F

F

45° L

0°

-45° L γ


80

validation n’a pas toujours été obtenue. Nous avons exploité les résultats des essais où la déformation de traction était la plus faible.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Contrainte appliquée [MPa]

Déf

orm

atio

n [%

]

jauge 45jauge 0jauge-45

Figure B.I. 28. Déformations mesurées au centre de l’éprouvette pendant un essai de cisaillement pur.

La figure B.I. 29 montre l’évolution de la contrainte de cisaillement en fonction de la

déformation de cisaillement. Le comportement est non linéaire jusqu’à rupture. Les caractéristiques moyennes des essais sont données dans le tableau B.I. 11.


81

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Déformation de cisaillement [%]

Con

train

te d

e ci

saill

emen

t

[M

Pa]

γ12

τ 12

Figure B.I. 29. Comportement du matériau SMC en cisaillement monotone.

oG )( 12 (MPa) )( maxF (N) R)( 12τ (MPa) R)( 12γ (%)

6695.5 3840 84 3.2

Tableau B.I. 11. Caractéristiques mécaniques obtenues à partir d’un essai de cisaillement monotone.

I. 6. 2. 2. Comportement en cisaillement sous chargement cyclique (SMC-R 30) Trois essais de cisaillement cyclique ont été réalisés afin d’identifier l’endommagement en cisaillement pur. La courbe figure B.I. 30 met en évidence le comportement fortement non linéaire avec des déformations résiduelles importantes.


82

0

20

40

60

80

100

-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8 2.3 2.8

[%]

[MP

a]τ 1

2

γ12

Figure B.I. 30. Comportement du matériau SMC en cisaillement cyclique.

oG )( 12 (MPa) )( maxF (N) R)( 12τ (MPa) R)( 12γ (%)

7345.83 4320 102 2.85

Tableau B.I. 12. Caractéristiques mécaniques obtenues à partir d’un essai cyclique de cisaillement pur.

I. 6. 3. Comportement sous chargement bi-axial de traction-cisaillement (SMC-R 30) La campagne d’essais de traction-cisaillement n’a été réalisée que pour un angle α=45° (Figure B.I. 31). La figure B.I. 32 montre la réponse en cisaillement et en traction. La rupture a été obtenue pour tous les essais, en traction (contrainte à rupture en traction plus faible que celle en cisaillement). Le tableau B.I-13 présente les valeurs expérimentales calculées d’un essai de couplage traction-cisaillement.


83

Figure B.I. 31. Eprouvette sollicitée en traction et cisaillement couplés.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0.5 1 1.5 2

Déformation [%]

[MPa

]

τ12(γ12)

σ11(ε11)

Figure B.I. 32. Comportement du matériau SMC en cisaillement-traction couplés.

Tσ

Nσ

F

F

45° L

-45° L

α

. c o s ( 4 5 ). s i n

3,2

*

N N

T T

N T T

CC

F FC K CS S

S h e p

σ α ασ α

= ==

= =

=


84

011E (MPa) 0

12G (MPa) R11σ (Mpa) R

11ε (%) R12τ (Mpa) R

12γ (%)

13120.2 6671.49 50.6 1.44 65.4 2.018

Tableau B.I. 13. Caractéristiques mécaniques obtenues à partir d’un essai de traction-cisaillement couplés.

Les valeurs des modules d’élasticité, des contraintes à rupture (en traction) ainsi que des déformations à rupture sont proches de celles obtenues sur les essais dits « purs ». I. 6. 3. 1. Identification de l’endommagement et de la pseudo plasticité Les principaux paramètres à identifier pour l’endommagement en cisaillement et en traction-cisaillement sont résumés dans le tableau B.I. 14. Les variables sont calculées à chaque cycle de chargement d’indice i.

Tableau B.I. 14. Paramètres à identifier.

I. 6. 3. 1. a) Identification en cisaillement pur Les courbes d12= ƒ(Yd12) en cisaillement cyclé pur et en cisaillement obtenues par les essais de traction-cisaillement couplés, permettent de déterminer la loi d’évolution de l’endommagement en cisaillement en fonction du taux de restitution d’énergie. Comme pour la traction, la courbe identifiée possède une évolution logarithmique (Figure B.I. 33).

Variable d’endommagement en cisaillement

di 01GGd i

i −=

Taux de restitution d’énergie libre idY

2

2

)1(21

ii

id dG

Yi −

=τ

Plasticité cumulée en cisaillement

pi )1( ip d−γ

Seuil d’élasticité en cisaillement (R+R0)i

i

i

d−1τ

Couplage de l’endommagement b

12

11~~

GEb =

Couplage de plasticité a² 21212

211112

)1()1(

dda p

p

−−

=γε

Endommagement "total" iY ididi YbYY )()(1112

+=

Seuil d’élasticité total (R+R0)total 211

2120

~²~ σσ aRR +=+

Plasticité cumulée totale p ( ) ( )2

112

12~²~ pp ap εγ +=


85

d12= 0.1379Ln(Yd12)1/2+ 0.345

R2 = 0.9711

d12 = 0.1689 Ln(Yd12)1/2 + 0.3979

R2 = 0.9872

d12= 0.1538 Ln(Yd12)1/2+ 0.3745

R2 = 0.961

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2(Yd12)

1/2 [Mpa]1/2

Endommag. cisaillement pure

Endommag. cisaillement couplé

Endommag. Cisaillement identifié

L ith i (E d

d12

Figure B.I. 33. Courbe d’endommagement en cisaillement couplé et non couplé.

Le tableau ci-dessous donne les équations des évolutions identifiées.

Endommagement en cisaillement pur ( ) 345.0ln1379.0 2/112 12

+= dYd

Endommagement en cisaillement couplé ( ) 3979.0ln1689.0 2/112 12

+= dYd

Endommagement en cisaillement identifié ( ) 3745.0ln1538.0 2/112 12

+= dYd

Tableau B.I. 15. Lois d’évolution de l’endommagement pour SMC-R en cisaillement.

L’identification de la pseudo plasticité a été plus difficile. Deux évolutions semblent, dans le domaine étudié, convenir : une à priori de forme exponentielle (conforme aux essais de traction), l’autre linéaire. Les deux résultats sont présentés B.I. 34 et B.I. 35. Les lois identifiées sont données dans le tableau B.I. 16 et B.I. 17.


86

R+R0 = 20.05e1129.4p

R2 = 0.8747

R+R0 = 17.18e905.09p

R2 = 0.902

R+R0 = 18.953e942.72p

R2 = 0.8314

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025Déformation plastique cumulée p

R+R

0 [M

Pa]

Plasticité cisaillement pure

Plasticité cisaillement couplé

Plasticité cisaillement identifié

E ti l (Pl ti ité

Figure B.I. 34. Courbe de pseudo plasticité en cisaillement (essai couplé et non couplé) : courbe exponentielle

R+R0= 56621p + 23.219R2 = 0.9959

R+R0= 44681p + 10.334R2 = 0.9983

R+R0 = 46099p + 18.036R2 = 0,8929

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025


R+R

0 [M

Pa]

Plasticité cisaillement pure

Plasticité cisaillement couplé

Plasticité cisaillement identifié

Figure B.I. 35. Courbe de pseudo plasticité en cisaillement (essai couplé et non couplé) : courbe linéaire

Le couplage traction-cisaillement entraîne comme attendu, des seuils d’endommagement et de plasticité plus faible que pour une sollicitation de cisaillement.


87

Pseudo plasticité en cisaillement pur peRR 4.1129

0 *05.20=+

Pseudo plasticité en cisaillement couplé peRR 09.9050 *18.17=+

Pseudo plasticité en cisaillement (identifié) peRR 38.9550 *374.12=+

Tableau B.I. 16. Loi d’évolution exponentielle de pseudo plasticité pour SMC-R en cisaillement.

Pseudo plasticité en cisaillement pur 219.23566210 +=+ pRR

Pseudo plasticité en cisaillement couplé 334.10446810 +=+ pRR

Pseudo plasticité en cisaillement (identifié) 036.18460990 +=+ pRR

Tableau B.I. 17. Loi d’évolution linéaire de pseudo plasticité pour SMC-R en cisaillement.

Les deux évolutions seront testées lors des corrélations essais-calculs. I. 6. 3. 1. b) Identification en traction-cisaillement Cette identification permet de déterminer le paramètre (a) de couplage entre les endommagements de traction et de cisaillement, et le paramètre (b) de couplage du critère de pseudo plasticité (tableau B.I 18 et tableau B.I 19). L’évolution des endommagements découplés est présenté figure B.I. 36 afin de les comparer avec ces évolutions dans le cadre de sollicitations pures. L’évolution des endommagements couplés est présentée figure B.I. 37.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Endommagement en cisaillement

Endommagement en traction

d

(Yd)1/2 [Mpa]1/2

d12=0.1689 ln (Yd12)1/2+0.3979

R2=0.9872

d11=0.2022 ln (Yd11)1/2+0.6264

R2=0.97

Figure B.I. 36. Courbes d’endommagement en cisaillement et en traction d’un essai de traction-cisaillement

couplé.


88

d11= 0.2168Ln(Ytotal) + 0.4863R2 = 0.9622

d12 = 0.1572Ln(Ytotal) + 0.3379R2 = 0.997

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8(Ytotal)

1/2 [Mpa]1/2

d

Endommagement en cisaillement

Endommagement en traction

Figure B.I. 37. Courbes d’endommagement en cisaillement et en traction d’un essai de traction-cisaillement

couplés en fonction du taux de restitution d’énergie libre total.

Endommagement en cisaillement ( ) 3979.0ln1689.0 2/1

12 12+= dYd

( ) 3379.0ln1572.0 2/112 += totalYd

Endommagement en traction ( ) 6264.0ln2022.0 2/1

11 11+= dYd

( ) 4863.0ln2186.0 2/111 += totalYd

Rapport des rigidités 12

11~~

GEb = 1.96

Tableau B.I. 18. Lois d’évolution de l’endommagement d12 et d11.

L’identification de l’évolution de la limite élastique en fonction de la plasticité cumulée est donnée figure B.I 38 de manière découplée afin de comparer à celle obtenue par des essais en sollicitation pure. L’identification finale des essais de traction cisaillement couplés est présentée figure B.I. 39. La figure B.I. 38 présente les courbes de pseudo plasticité en cisaillement et en traction. En cisaillement le seuil d’élasticité est proche de celui obtenu en cisaillement pur, par contre en traction ce seuil est très loin de celui déterminé lors des essais de traction pur (R0=20 MPa en traction pure, R0=13.2 MPa en traction-cisaillement couplé).


89

(R+R0)C = 17.18e905,09p

R2 = 0.902(R+R0)T= 13.217e2007p

R2 = 0.8955

(R+R0)T = 108456p -3.7146R2 = 0.9947

(R+R0)C= 44681p + 10.334R2 = 0.9983

-20

30

80

130

180

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025


R+R

0 [M

Pa]

Plasticité en cisaillement

Plasticité en traction

Figure B.I. 38. Courbes de plasticité en cisaillement et en traction d’un essai de traction-cisaillement couplés.

R+R0 = 55080p + 7.5877R2 = 0.9955

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003Déformation Plastique cumulée totale p

(R+R

0)to

tal [M

pa]

Figure B.I. 39. Courbe de plasticité totale d’un essai de traction-cisaillement couplés.


90

Pseudo plasticité en cisaillement peRR 09.905

0 18.17=+

334.10446810 +=+ pRR

Pseudo plasticité en traction peRR 2007

0 *217.13=+

7146.31084560 −=+ pRR

Pseudo plasticité totale 5877.755080)( 0 +=+ totaltotal pRR

21212

211112

)1()1(

dda p

p

−−

=γε

0.45

Tableau B.I. 19. Loi d’évolution de la plasticité

La figure B.I 40 montre les faciès de rupture d’une éprouvette soumise aux sollicitations de traction-cisaillement.

Figure B.I. 40. L’analyse microscopique du faciès de rupture d’une éprouvette sollicitée en traction-

cisaillement cyclé.


91

Comme pour les essais de traction, beaucoup de fibres apparaissent à nues indiquant des ruptures de l’interface fibre-matrice. On peut même observer des mèches entières déchaussées.

Visualisation du congé de l’éprouvette de l’essai Arcan

Figure B.I. 41. L’analyse microscopique sur une éprouvette reste entière après la rupture (endommagée) en

couplage de traction-cisaillement cyclé.

L’influence du mode de fabrication sur le comportement du SMC-R est montré sur la micrographie de la figure B.I. 41 où apparaît dans le congé, une macro fissure qui progresse entre les strates. Ceci peut aussi être observé sur des éprouvettes ayant subi un ressuage (figure B.I. 42).

Figure B.I. 42. L’analyse de ressuage sur une éprouvette reste entière après la rupture.


92

I. 7. Essais de flexion 3 points rapprochés (SMC-R 30) Cet essai est un essai complémentaire pour estimer la tenue en cisaillement hors plan des composites SMC-R. Cet essai est simple a réaliser mais ne donne pas le comportement contrainte-déformation. Il est utilisé sur les composites stratifiés pour déterminer la contrainte à rupture de cisaillement inter laminaire σ13 que l’on trouve identique à la contrainte à rupture de cisaillement plan σ12 obtenue par un essai sur une stratification [±45°]2S ; ceci du à l’isotropie transverse de ces matériaux. Trois éprouvettes de dimensions (40×10×5) mm3 ont été découpées dans les plaques initialement fournies par la société MENZOLIT. Un dispositif de flexion 3 points est utilisé. La vitesse de chargement est de 1 mm/min. L’entre axe a été choisi afin de privilégier la rupture en cisaillement.

Figure B.I. 43. Essai de flexion 3 points.

Les courbes d’évolution de la contrainte appliquée en fonction du déplacement sont tracées pour tous les essais figure B.I. 44. Les résultats montrent que la contrainte à rupture en cisaillement σXZ est bien plus faible que la contrainte à rupture en cisaillement plan σXY (environ 20 MPa contre 90 MPa).

L

B L=40 mm h=5 mm B=10 mm

F

20 mm L

Ø 25 mm

Ø 15 mm

h

maxmax

3 34 4 .XZ

RF FS B h

τ σ= = =

X

Y

Z


93

0

5

10

15

20

25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6Allongement [mm]

Con

train

te a

ppliq

uée

[MPa

]

Essai n° 1Essai n° 2Essai n° 3

Figure B.I. 44. Comportement du matériau en flexion 3 points.

L’initiation de fissure se créé à mi-épaisseur entre les pseudos strates du matériau puis l’éprouvette rompt par traction sous l’appui central.

B.I. 45. Analyse par ressuage sur une éprouvette endommagée en flexion.

Le comportement contrainte-déformation en cisaillement XZ et en cisaillement YZ sera supposé identique mais différent du comportement en cisaillement plan XY. On rappelle de plus que globalement le composite SMC-R possède un comportement quasi-identique suivant X et suivant Y.


94

I. 8. Essais de compression dynamique I. 8. 1. Introduction Généralement, les machines d’essais statiques permettent d’atteindre des vitesses de déformations de l’ordre de 10-3 à 10-1 s-1. Il est possible d’améliorer ces performances au-delà de 10 s-1 avec les machines hydrauliques ou pneumatiques, mais pour atteindre des vitesses de déformation plus élevées, il faut utiliser des systèmes tels que les barres de Hopkinson (1000 s-1 à 5000 s-1) ou à poids tombant (jusqu’à 100 s-1). Cette campagne d’essais a pour objectif de montrer la sensibilité des composites SMC-R à la vitesse de déformation. Disposant au laboratoire d’un banc d’essais de Hopkinson, il a semblé intéressant de réaliser une étude expérimentale préliminaire permettant de connaître l’influence des vitesses de déformation sur le comportement contrainte-déformation de nos matériaux. De plus comme il sera indiqué dans l’étude de l’impact, les vitesses de déformation dans les structures impactées peuvent atteindre des niveaux élevés (> à 1000 1/s). Ne disposant pas de montages de traction ni de montages de cisaillement adaptés au banc d’essais de Hopkinson, seuls ont été réalisés des essais de compression. Il est donc évident que ces essais ne permettront pas de mettre en place des lois de comportement avec effet de vitesse de manière rigoureuse. Cependant, ces essais doivent montrer des tendances. I. 8. 2. Moyens d’essai en dynamique (Banc d’essais Hopkinson)

Le principe du système des barres d’Hopkinson a été inventé par Hopkinson, puis repris et amélioré par Kolski [115] qui lui a donné sa configuration actuelle. C’est une machine d’essais à part entière. Ce dispositif permet à la fois d’imposer un chargement avec des vitesses de déformation élevées, et d’effectuer les mesures nécessaires à l’établissement d’une loi matériau, par la lecture des déformations dans les barres. Cette technique permet de mettre en œuvre différents types de chargements : traction, compression et torsion. Nous nous intéressons ici au dispositif de compression. I. 8. 2. 1. Principe des barres de Hopkinson en compression

Le banc d’essais se compose des éléments suivants : - deux barres symétriques et longues devant leur diamètre,

- des paliers et des fixations qui guident les mouvements des différentes parties du dispositif, - un système produisant une impulsion contrôlée dans la barre incidente (projectile associé à système de propulsion), - des jauges de déformation posées sur chacune des barres pour mesurer la propagation des ondes de déformation dans celles-ci,

- un système d’acquisition rapide LMS NICOLET. Le principe des barres en compression est représenté sur la figure B.I. 46 : une onde

de contrainte est créée dans une barre d’entrée (aussi appelée barre incidente) par l’impact d’un projectile, généralement une barre de même section que la barre d’entrée, mais de longueur inférieure. Le mode de propulsion du projectile dépend des vitesses de déformations à atteindre. Il est fréquent d’avoir recours à un dispositif à gaz comprimé. Les caractéristiques de l’impacteur sont connues et sa vitesse calculée de manière à produire les vitesses de déformation désirées dans l’éprouvette.


95

Figure B.I. 46. Schéma de principe des barres de Hopkinson en compression.

L’impact génère dans la barre d’entrée une onde de compression longitudinale.

Lorsque cette onde rencontre l’interface barre-éprouvette, une partie de l’onde est réfléchie alors que la majeure partie est transmise à l’éprouvette puis à la barre de sortie. Le jeu des transmission/réflexions aux interfaces de l’échantillon génère donc une onde transmise, dans la barre sortante et une onde réfléchie dans la barre entrante. Les temps de passage et les amplitudes de ces trois ondes sont mesurés par les jauges de déformation situées sur chacune des deux barres. Leur nombre et leur disposition peuvent varier suivant le matériau à étudier. Ces ondes sont mesurées sur notre dispositif par des jauges de déformation situées au milieu de chacune des deux barres et de l’éprouvette. Dans le cas de barres élastiques, une seule mesure par barre est nécessaire, en veillant dans ce cas à ce que les ondes réfléchies et incidentes ne se superposent pas au niveau du point de mesure. Le traitement de ces signaux permet d’accéder aux informations nécessaires à l’établissement d’une loi de comportement. Les caractéristiques (dimensions et matériau) des barres sont définies de manière à vérifier les hypothèses posées lors de l’étude théorique permettant l’exploitation des signaux enregistrés. Parmi les principes de base rappelés par Gary [116], notons tout d’abord que le rapport entre la longueur des barres et leur diamètre doit être suffisamment grand pour assurer une onde de propagation unidirectionnelle dans les barres. De plus, la longueur des barres doit être au moins le double de la longueur de l’onde incidente si l’on veut pouvoir enregistrer l’onde incidente et l’onde réfléchie sans qu’il n’y ait superposition des signaux. Pour finir, les barres doivent être droites et correctement alignées, mais cet alignement ne doit pas nécessiter l’usage de liaisons serrées pour ne pas violer les conditions aux limites et entraîner une perturbation de l’onde unidirectionnelle.

La technique des barres de Hopkinson est également utilisée avec quelques variantes, mettant en œuvre des sollicitations dynamiques plus complexes, notamment pour des études en traction par Kammerer [117], en torsion, ou même en flexion dynamique par Bras [118] et Chiem [119] proposent également une adaptation des barres de Hopkinson classiques aux études sur composites stratifiés. Le problème majeur pour créer ces sollicitations est de créer une onde de traction ou torsion propre dans les barres. Certains auteurs s’affranchissent du problème en générant une onde de compression et en concevant un système d’attache de l’échantillon qui permet de transformer l’onde de compression en une sollicitation voulue [120]. Cette méthode a des limites puisque, contrairement au cas de la compression, le transfert des efforts ne se fait pas directement et doit être pris en compte dans l’analyse des mesures. I. 8. 2. 2. Dispositif des barres de Hopkinson du laboratoire

Le dispositif a déjà été utilisé dans le but de caractériser des matériaux composites tels

que le verre-époxy ou carbone-époxy (figure B.I. 47).

Impacteur Barre Incidente Barre Transmise

Jauge Jauge Eprouvette


96

Figure B.I. 47. Banc d’essais de Hopkinson du laboratoire.

Les barres, entrante et sortante, sont identiques et de longueur de 2m (cette longueur a

été choisie pour les barres, afin d’éviter la superposition des signaux incidents et réfléchis). Elles sont de diamètre 20 mm, suffisant pour éviter le flambage des barres sous fortes sollicitations. Il est à noter que la célérité des ondes dans les barres ainsi que le coefficient de d’amortissement ont été déterminés par des essais préconisés par Gary [115] : essai avec la barre entrante seule, essai sans éprouvette et essai avec la barre d’absorption non collée à la barre sortante. Le premier essai permet d’étudier les allers-retours de l’onde dans les barres entrantes. On en déduit la célérité de l’onde dans la barre ainsi que son coefficient d’amortissement. Le second essai permet d’étudier la transmission de l’onde entre la barre entrante et la barre sortante. Ce second essai permet ainsi de vérifier le bon alignement de celles-ci caractérisé par l’absence d’onde réfléchie dans la barre entrante. Le dernier essai permet d’obtenir les mêmes renseignements que le premier mais pour la barre sortante. La lecture des signaux se fait au moyen de ponts de jauges placés au milieu de chacune des barres. Les barres sont montées dans des paliers rotulés, en laiton, et sont ensuite alignées (Figure B.I. 48).

Figure B.I. 48. Système de guidage par paliers.

La création de l’onde de contrainte dans la barre incidente est réalisée à partir d’un

choc avec une barre de longueur 600mm et de même matériau et diamètre (figure B.I. 49), propulsée par air comprimé. Ce projectile se déplace dans le tube d’un canon à air comprimé. Deux bagues en téflon garantissent un bon guidage de la barre dans le tube de canon.


97

Figure B.I. 49. Impacteur (L=0.6 m).

On mesure la vitesse du projectile avec deux photodiodes séparées de 50mm et disposées avant la barre incidente (figure B.I. 52), qui nous donnent un signal de type marche.

Figure B.I. 50. Canon à air comprimé.

Le schéma du dispositif utilisé au laboratoire est représenté sur la figure B.I. 51.

Figure B.I. 51. Principe du dispositif des barres de Hopkinson du laboratoire.

Gaz sous pression Barre

incidente

Projectile

Jauge 1 Jauge 2

Barre transmise

Echantillon

Signal réfléchi

Signal incident

Signal transmis

Paliers

Récupérateur d’énergie


98

I. 8. 2. 3. Types de mesures Deux types de mesures sont effectués sur le dispositif : la vitesse du projectile en

sortie de canon, et la déformation dans les barres. La vitesse du projectile en sortie du canon est mesurée au moyen d’un dispositif optique de diodes et de phototransistors (Figure B.I. 52).

-6.5

-5.5

-4.5

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

0.5

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Temps [s]Vo

lts

v1

v2

Figure B.I. 52. Capteur de vitesse et signal de la vitesse du projectile.

La consigne de tir étant la pression du gaz dans le réservoir, une courbe d’étalonnage de la vitesse de l’impacteur en fonction de la pression dans le canon est réalisée. Elle permet d’obtenir une bonne répétabilité des essais. La courbe est représentée sur la Figure B.I. 53.

Figure B.I. 53. Courbe d’étalonnage de la vitesse en sortie de canon en fonction de la pression dans le

réservoir pour un projectile de 0.60 m de longueur (Pression en bar, vitesse en m/s).

La mesure du passage des ondes de déformation est effectuée sur chacune des barres

par un pont complet de jauges de déformation collé en son milieu pour obtenir la contrainte sur chaque barre. Pour obtenir un signal d’intensité la plus grande possible, et éliminer les éventuelles flexions et torsion parasites des barres, deux jauges sont disposées dans le sens longitudinal, diamétralement opposées, et deux autres dans le sens travers. Les jauges utilisées sont des jauges de 350 Ω , qui autorisent une tension d’alimentation plus élevée que la jauge standard à 120 Ω .

Connaissant la valeur d’alimentation (Ualim), et le facteur k de jauge, la relation entre la déformation longitudinale et la tension mesurée ‘e’ s’exprime par :

lim).1.(.2

ax Uk

eυ

ε+

= Eq. B.I. 3


99

Les données du dispositif sont présentées dans le Tableau B.I. 20 : Coefficient de jauge des barres 2.08 Module de Young des barres 212500 MPa Coefficient de Poisson 0,3 Masse volumique des barres 7500 kg/ 3m Longueur du projectile 600mm Longueur de la barre incidente 2000 mm Longueur de la barre transmise 2000 mm Distance éprouvette jauges 997 mm (sur les deux barres) Coefficient d'amortissement Ea 1. 1010− Pa Rayon de la barre R 10mm Surface S=pi*R*R 2m

Tableau B.I. 20. Caractéristiques du dispositif des barres de Hopkinson.

Le temps que met l’onde pour parcourir le milieu de la barre jusqu’à la jauge est :

ρE

Lt i 2/1 = Eq. B.I. 4

Où : L est la longueur de la barre (m), E est le module de la barre (Pa) et ρ est la masse volumique de l’acier

• Pour l’onde incidente, on a 1t . • Pour l’onde réfléchie, on a 3 1t . • Pour l’onde transmise, on a 2 1t +tep+ 1t .

Figure B.I. 54. Schéma de temps dans chaque composant des barres de Hopkinson.

Jauge Jauge Eprouvette

t ep t 1

2t 1

2t 1 +t ep

3t 1 +t ep

3t 1


100

I. 8. 2. 4. Exploitation de l’essai de compression Les notations utilisées dans ce paragraphe sont les suivantes : les indices i, r et t sont respectivement liés aux ondes incidentes, réfléchies et transmises. Les déplacements et les vitesses sont exprimés par les variables u et v, les déformations par ε. Les indices 1 et 2 représentent les faces incidente et transmise de l’éprouvette.

Figure B.I. 55. Schéma de principe des barres de Hopkinson.

La théorie unidimensionnelle permet d’écrire que les ondes se propageant dans les barres doivent vérifier l’équation :

2

2

2

2

.1tu

Cxu

b ∂∂

=∂∂

Eq. B.I. 5

Où : Cb est la vitesse de l’onde dans la barre (égale à ρE ).

Une solution à cette équation peut s’écrire sous la forme d’ondes se propageant dans les deux directions pour la barre d’entrée:

)()().().()(1 tututCXgtCXftu ribb +=++−= Eq. B.I. 6

Où f représente l’onde incidente et g l’onde réfléchie. De la même manière, nous avons dans la barre de sortie :

)().()(2 tutCXhtu tb =−= Eq. B.I. 7

La relation xu

∂∂

=ε permet alors d’exprimer la vitesse des faces en fonction des déformations:

))()(.()(1 ttCtV irb εε −= Eq. B.I. 8

)(.)(2 tCtV tb ε−= Eq. B.I. 9

Ainsi que les déplacements des faces, par intégration. Il est alors possible de définir une vitesse moyenne de déformation :

epm L

tVtVt )()()( 21 −=ε Eq. B.I. 10

Où : Lep représente la longueur de l’éprouvette.

U1

F1

U2

F2

εi εr

εt

Lep

Be Bs


101

Et une déformation moyenne dans l’échantillon :

epm L

tutut )()()( 21 −=ε Eq. B.I. 11

Par définition, les forces dans les deux barres sont alors :

))()(.(.)(1 ttEStF irbb εε −= Eq. B.I. 12

)(..)(2 tEStF tbb ε= Eq. B.I. 13

Et il est possible de définir une contrainte moyenne dans l’éprouvette, par:

ep

tribbmoy S

tttES.2

))()()(.(. εεεσ

++= Eq. B.I. 14

Où : Sb est l’aire de la section droite des barres, Eb est leur module de Young. La déformation moyenne dans l’éprouvette avec l’hypothèse d’équilibre des contraintes s’écrit :

[ ] dttttLC

tdttt

triep

bt

mm :)()()()().()(00∫∫ −−== εεεεε Eq. B.I. 15

Ces équations fournissent les données nécessaires à la détermination d’une loi de comportement qui tient compte de la vitesse de déformation à laquelle elle est établie. Il existe un traitement simplifié du problème, en considérant que l’échantillon est en équilibre durant le chargement. Cette opération permet de n’utiliser que les données mesurées à partir des ondes incidente et transmise. Il ne faut pas perdre de vue que le calcul de l’allongement de l’échantillon est un calcul moyen et que, pendant le chargement, la contrainte au sein du matériau n’est pas uniforme durant les premiers allers-retours de l’onde. Pour les matériaux métalliques, cinq allers-retours suffisent généralement à obtenir l’uniformité, mais pour certains matériaux, l’équilibre n’est jamais atteint entre les deux faces. I. 8. 2. 4. a) Différentes améliorations du modèle unidimensionnel L’exploitation des résultats, tels qu’ils sont présentés précédemment, implique un comportement purement unidimensionnel de la structure barres plus l’échantillon. Dans la réalité, des effets tridimensionnels apparaissent, qui peuvent nécessiter une correction de la méthode décrite ci-dessus. Une barre n’étant pas une structure uni-dimensionnelle, la propagation des ondes au sein du guide formé par la barre s’en trouve altérée. Les études de Pochhammer [121], Charee [122] et Bancroft [123] ont montré que dans un tel guide, la vitesse de propagation des ondes dépend de leur fréquence selon la loi suivante :

0)().(.4)().().()().().(211

200

2211

22 =−−−+ aaaaaa JJJJJJa

βααβζβαζββαζααEq. B.I. 16


102

Un signal mesuré au milieu de la barre est donc distordu lorsqu’il arrive à l’extrémité de la barre. L’importance du phénomène est bien sûr accentuée lorsque l’onde de compression initiale comporte un large spectre de fréquences. Lors du traitement des données, il est donc nécessaire de prendre en compte la dispersion des ondes entre le point de mesure et la face où le calcul des déplacements est réalisé. L’échantillon est également le siège de sollicitations triaxiales. Les efforts appliqués à l’échantillon induisent non seulement une contrainte axiale mais aussi une accélération radiale (effets d’inertie). La contrainte mesurée est alors supérieure à la contrainte axiale réelle dans l’échantillon. Kolski [115], puis Davies [124] ont proposé d’ajouter à σm un terme correctif pour résoudre ce problème :

2

222

.8 tdv

mc ∂∂

−=ερσσ (Kolski) Eq. B.I. 17

2

2222

.8

.6 t

dvleprouvmc ∂

∂

+=

ερσσ (Davies et Hunter) Eq. B.I. 18

Le frottement entre l’échantillon et les barres pose également un problème, puisqu’il provoque, par différence des coefficients de Poisson entre les matériaux, un effet tonneau de l’éprouvette par compression radiale des extrémités de la pièce. Davies et Hunter proposent de négliger ce phénomène si la condition suivante est vérifiée :

13. eprouv

dlµ

< Eq. B.I. 19

Où : µ est le coefficient de frottement entre la barre et l’éprouvette. Si ce n’est pas le cas, il est possible de corriger l’erreur introduite à l’aide de la relation proposée par Rand et rappelée par Zhao [125]:

eprouv

eprouvmc l

davec

e 2)1(

)1(2

3

2

−

−

+=

−−=

εµα

αασ

σ α Eq. B.I. 20

Ou d’appliquer un lubrifiant sur les faces de l’éprouvette afin de réduire les frottements. Enfin, les imperfections des faces des barres et des échantillons, ainsi que l’épaisseur du lubrifiant utilisé, sont à l’origine d’un phénomène de mise en place de l’échantillon au début du chargement. Ces temps de latence ne sont pas pris en compte a priori dans le calage des ondes pour le traitement des signaux. Ils peuvent provoquer des erreurs dans la loi de comportement. La méthode utilisée pour le traitement des ondes permet de prendre en compte ces éventuels décalages. I. 8. 2. 4. b) Logiciel d’exploitation des résultats

Le dépouillement des signaux est effectué au moyen d’un logiciel « DAVID » (Dépouillement Automatique et VIsualisation pour compression/traction Dynamique) développé par Gérard GARY au Laboratoire de Matériaux et des Structures de l’école Polytechnique Paris. Le logiciel prend en compte la dispersion des ondes dans les barres, et la corrige selon les équations de Pochhammer [121] et Charee [122].


103

Une aide au calage temporel des ondes est également proposée : par une simulation élastique, il est possible de comparer les ondes mesurées aux ondes obtenues si le comportement est purement élastique, et sans mise en place de l’échantillon. I. 8. 3. Résultats d’essais Deux types de SMC ont été utilisés pour cette pré-étude en dynamique : le SMC-R 40 (charge AL(OH)3) et SMC-R30 (Charge CaCO3). Les caractéristiques de ces matériaux sont résumées dans le tableau ci-dessous. Plusieurs vitesses d’impact théoriques ont été testées : 2 m/s, 4 m/s, et 8 m/s. Une camera rapide a permis de réaliser une vidéo de quelques essais.

SMC-R 40 (AL(OH)3)

SMC-R 30 (CaCO3)

Module initial de Young de l’éprouvette (MPa) 13450 11642 Masse volumique de l’éprouvette (Kg/m3) 1885 1800 Dimensions des éprouvettes (mm) 20×15×5 25×15×5 Surface b*h (mm2) 15*5 15*5

Tableau B.I. 21. Caractéristiques du matériau SMC-R utilisées pendant les essais.

I. 8. 3. 1. Analyse des ondes La Figure B.I. 56 et la Figure B.I. 57 présentent les ondes incidente, réfléchie et transmise pour deux types d’essais. Lors du premier essai, il n’y a pas eu de rupture. On peut visualiser la différence en termes de déformation dans les barres d’entrée et de sortie par une onde réfléchie comportant deux pics caractéristiques d’une rupture d’éprouvette (Figure B.I. 57).

-2.E-04

-1.E-04

-5.E-05

0.E+00

5.E-05

1.E-04

0.00E+00 2.00E-04 4.00E-04 6.00E-04 8.00E-04 1.00E-03 1.20E-03

Temps (s)

Déf

orm

atio

n

Déformation de la barre de sortie

Déformation de la barre d'entrée

Figure B.I. 56. Evolution type des ondes de déformations aux centres des barres sans rupture d’une éprouvette

(essai sur SMC-R30, Vi=1 m/s)


104

-6.E-04

-4.E-04

-2.E-04

0.E+00

2.E-04

4.E-04

6.E-04

0.E+00 1.E-04 2.E-04 3.E-04 4.E-04 5.E-04 6.E-04 7.E-04 8.E-04

Temps (s)

Déf

orm

atio

n

Déformation de la barre d'entrée

Déformation de la barre de sortie

Rupture de l'éprouvetteTemps d'impact

Figure B.I. 57. Evolution type des ondes de déformations aux centres des barres lors de la rupture d’une

éprouvette (essai sur SMC-R30,Vi=7 m/s)

I. 8. 3. 2. Vitesse de déformation La Figure B.I. 58 présente l’évolution de la vitesse de déformation et de la contrainte dans l’éprouvette en fonction du temps.

-100

0

100

200

300

400

500

600

0.E+00 5.E-05 1.E-04 2.E-04 2.E-04 3.E-04

Temps (s)

Con

trai

nte

(MPa

)

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Vite

sse

de d

éfor

mat

ion

(1/s

)

Contrainte

Vitesse de déformation

Vitesse de déformation maximale

contrainte maximale

Phase élastique

Phase endommagement/plasticité

Vitesse de déformation minimale

Figure B.I. 58. Evolution type de la vitesse de déformation et de la contrainte en fonction du temps dans

l’éprouvette (essai sur SMC-R40, Vi=8 m/s)


105

La vitesse de déformation augmente rapidement pendant la phase linéaire élastique du comportement pour ensuite diminuer jusqu’à la contrainte maximale et donc la rupture. Cette évolution est classique mais elle pose un problème pour l’identification du comportement en fonction de la vitesse de déformation. En effet, la vitesse de déformation n’étant pas constante lors de la phase d’endommagement, il est difficile de se fixer une référence. Nous avons donc choisi la vitesse de déformation maximale atteinte lors de la phase élastique comme référence. I. 8. 3. 3. Comportement contrainte-déformation La Figure B.I. 59 présente l’évolution de la contrainte en fonction de la déformation pour le SMC-R40 en fonction de la vitesse de déformation de compression ; un essai statique est comparé. La vitesse de déformation indiquée est la valeur maximale relevée lors de la montée en charge (Figure B.I. 58). Comme il a été relevé lors des essais de compression pure, ce type de matériau s’endommage très peu avant la rupture. Le comportement est quasi linéaire élastique. La rupture statique intervient brutalement par cisaillement (Figure B.I. 60). Concernant la rupture en compression dynamique, elle intervient systématiquement côté barre de sortie par cisaillement (matage) et propagation en cisaillement comme on peut le relever sur les prises d’images par caméra rapide Figure B.I. 61. La deuxième phase du comportement (phase quasi linéaire) est proche de celle relevée lors du comportement en traction où ce comportement a été corrélé à des ruptures de l’interface fibre matrice (cisaillement de l’interface fibre-matrice).

0

100

200

300

400

500

600

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1Déformation

Con

trai

nte

(MPa

)

Essai statique à 0.001 (1/s)Essai dynamique à 196 (1/s)Essai dynamique à 1102 (1/s)Essai dynamique à 2215 (1/s)

Figure B.I. 59. Comportement contrainte-déformation du SMCR-40 en fonction de la vitesse de déformation

Le comportement en compression dynamique du SMC est fortement influencé par la vitesse de déformation. Sur la Figure B.I. 59, on peut relever les variations suivantes :


106

- quand la vitesse de déformation augmente, la contrainte et la déformation maximales augmentent,

- le comportement à grande vitesse de déformation devient bilinéaire comme celui relevé en traction statique,

- le module élastique semble ne pas être modifié, - la limite élastique augmente (début d’initiation de fissures),

- lorsque le comportement devient bilinéaire, le module dit « plastique » diminue lorsque la vitesse augmente (propagation de fissures).

Cependant, il faut noter que le mode de rupture est différent en compression dynamique et en compression statique comme on peut le comparer sur la Figure B.I. 60 et la Figure B.I. 61. En compression statique, la rupture apparaît quasi-brutalement par cisaillement due à un mode d’endommagement de cisaillement des interfaces fibre-matrice. L’endommagement pré-rupture est faible mais présent. En compression dynamique, la rupture apparaît par ouverture de fissures côté barre de sortie puis propagation de fissures. La seconde phase du comportement (Figure B.I. 59) est représentative de ce mode de rupture.

Figure B.I. 60. Faciès de rupture après essais de compression statique.


107

Initiation de fissures

Propagation de fissures

Propagation de fissures

Fin de propagation de fissure pour la première onde de compression

Figure B.I. 61. Séquence vidéo lors du premier chargement de l’éprouvette : phase d’endommagement du composite

Cette phase de propagation de fissure est caractérisée par un module dit « plastique » par comparaison avec une courbe de plasticité de matériau métallique. Afin de mieux appréhender l’influence de la vitesse de déformation, la Figure B.I. 62 présente les caractéristiques que nous avons relevées sur le comportement contrainte-déformation.


108

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05Déformation

Con

trai

nte

(MPa

)

statique196 (1/s)1102 (1/s)

Module plastique

Module élastique

Limite élastique

Module endommagé

Figure B.I. 62. Principe de calcul des paramètres dynamiques

La limite entre les deux parties linéaires de la courbe contrainte-déformation est relevée comme l’intersection de deux droites : l’une correspondant à la pente initiale (Module d’élasticité) l’autre à la pente correspondant à la propagation de fissure (appelée module plastique). Ainsi, les figures suivantes présentent pour les deux matériaux testés, l’évolution du module initial, de la limite élastique et du module plastique en fonction de la vitesse maximale de déformation. I. 8. 3. 4. Evolution du module élastique Figure B.I. 63 présente l’évolution du module initial en fonction de la vitesse de déformation pour nos matériaux. On remarque que les modules initiaux augmentent légèrement. Cependant, l’augmentation des modules entre un essai statique et un essai dynamique à 2000 /s reste inférieure à 10 %.


109

10000

11000

12000

13000

14000

15000

16000

0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000vitesse de déformation (1/s)

Mod

ule

d'él

astic

ité (M

Pa)

SMC-R40

SMC-R30

Figure B.I. 63. Evolution du module d’élasticité de compression en fonction de la vitesse de déformation

I. 8. 3. 5. Evolution de la limite élastique

La Figure B.I. 64 montre l’évolution de la limite élastique de nos matériaux en fonction de la vitesse de déformation de compression. Les points blancs ont été calculés par l’intersection des deux pentes du comportement contrainte-déformation, les points rouges par un point correspondant à une perte de raideur de 2%.

0

50

100

150

200

250

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Vitesse de déformation (1/s)

Lim

ite é

last

ique

(MPa

)

SMC-R40 Métode des deux pentes

SMC-R30 Méthode des deux pentes

SMC-R40 Méthode de perte de raideur à 2%

SMC-R30 Méthode de perte de raideur à 2%

Figure B.I. 64. Evolution de la limite élastique en fonction de la vitesse de déformation


110

Par la première méthode de calcul, on s’aperçoit que l’évolution de la limite élastique est significative en fonction de la vitesse de déformation. Entre un essai statique et un essai dynamique à 2000 /s la limite élastique est multipliée par deux. Cependant en affinant la méthode de détermination de la limite élastique par un calcul de perte de rigidité à 2% de la pente initiale, l’évolution est différente. On peut remarquer qu’à grande vitesse de déformation cette limite s’approche de la contrainte à rupture d’un essai de compression statique. On comprend donc que les deux phases de comportement (bilinéarité du comportement contrainte-déformation) correspondent à deux modes de rupture comme il a été observé sur les images des faciès de rupture (Figure B.I. 60, Figure B.I. 61) I. 8. 3. 6. Evolution du module plastique

La Figure B.I. 65 permet de montrer l’évolution de la pente de la deuxième phase du comportement dynamique, correspondant à la phase de propagation des fissures.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000Vitesse de déformation (1/s)

Mod

ule

plas

tique

(MPa

)

SMC-R40SMC-R25Linéaire (SMC-R40)Linéaire (SMC-R25)

Figure B.I. 65. Evolution du module plastique en fonction de la vitesse de déformation

Lors de la propagation de fissures, la rigidité globale de l’éprouvette diminue. L’augmentation de la vitesse de déformation permet simplement de propager davantage les fissures. I. 9. Conclusion

Le chapitre I de ce travail a consisté à mettre en place les essais permettant d’identifier les lois d’endommagement et les lois de pseudo plasticité des composites à fibres courtes du type SMC-R. Il apparaît pour ces matériaux, que le comportement en traction et cisaillement est très différent du comportement en compression. Ce type de matériau s’endommage très vite sous une sollicitation de traction et/ou cisaillement, dû à une résistance faible de


111

l’interface fibre-matrice. Par contre, sa tenue en compression est deux fois plus élevée que sa tenue en traction. Le comportement dynamique observé lors d’essais de compression à grande vitesse de déformation montre un comportement bi-linéaire. La première phase est une phase linéaire élastique jusqu’à une contrainte équivalente à la contrainte à rupture en compression statique. La deuxième phase est un mode de rupture par initiation (matage) puis propagation de fissures. Enfin le comportement de ce type de matériau est orthotrope à l’échelle macroscopique. Lors de la fabrication, la référence d’orientation des pièces fabriquées étant l’axe de compression du préimprégné avant polymérisation. Cet axe est référencé Z. Le module longitudinal Ex est égal au module transversal Ey (pour des pièces de formes peu complexes). Le comportement en cisaillement plan semble meilleur que le comportement en cisaillement hors plan avec pour les raideurs de cisaillement : Gxz Gyz Gxy= ≠ . Le comportement en traction/compression hors plan n’a pas été étudié. Ce qui est important est que lors de tous ces essais, on s’aperçoit que ce matériau possède des couches (strates) dans l’épaisseur dues au mode de fabrication. Le comportement mécanique doit prendre en compte le mode de fabrication pour des études plus fines du comportement.


112

II. CHAPITRE II

ETUDE NUMERIQUE : MODELISATION DU COMPORTEMENT

II. 1. Introduction L’objectif de ce chapitre est d’implémenter les lois de comportement identifiées dans le chapitre précédent dans un code de calculs par éléments finis. Pour ce faire, chaque partie du chapitre précédent fera l’objet d’une étude numérique par éléments finis où l’on détaillera les lois utilisées et les corrélations essais-calculs. Ainsi chaque sollicitation simple (traction, compression, cisaillement) sera validée puis améliorée dans le but final d’obtenir une loi de comportement prenant en compte des sollicitations complexes. Les lois de comportement sont implémentées dans le code de calculs par éléments finis SAMCEF par l’intermédiaire de routines en fortran du module de calculs non linéaire SAMCEF. Pour ce qui est des lois dynamiques et pour quelques cas particuliers (traction, compression), MATLAB a été utilisé pour des raisons pratiques avant le passage dans le module de calculs explicite de SAMCEF. Dans un premier temps, une étude paramétrique du modèle micro mécanique de Mori et Tanaka est présentée. Ce modèle nous a permis de déterminer les caractéristiques mécaniques élastiques de nos matériaux. L’objectif initial était basé sur des modèles micromécaniques appliqués à la dynamique rapide. Cependant pour favoriser les temps de calculs, on n’utilisera le modèle de Mori et Tanaka que lors de la détermination des caractéristiques de raideurs du matériau. II. 2. Comportement micromécanique Le modèle micromécanique détaillé dans le chapitre I de la partie A est construit sur la base d’une méthode d’homogénéisation de Mori et Tanaka. Cette approche est la mieux adaptée à l’estimation des propriétés élastiques du matériau étudié. Cette méthode d’homogénéisation permet : • de prendre en compte la forme et la taille des renforts, • d’établir une loi de comportement cohérente avec une distribution d’orientation des fibres,

dans notre cas bidimensionnelle. Le paragraphe suivant présente les évolutions des modules techniques (module de Young, module de cisaillement) en fonction de trois paramètres particuliers :

- le rapport de forme R, - la fraction volumique Vf, - le nombre de familles nf de fibres (nombre d’orientation des mèches dans le

plan du composite SMC-R. Remarque : La matrice des SMC-R est constituée de résine (polyester) et de charge (AL(OH)3 ou CaCO3). Ces charges sont sphériques. Afin de déterminer les caractéristiques mécaniques des SMC-R, les caractéristiques de la matrice sont déterminées par le modèle de Mori et Tanaka sur la résine avec les charges ; charges constituants l’inclusion. Par la suite, le modèle de Mori et Tanaka est appliqué sur la matrice chargée de fibres ; fibres constituants l’inclusion. Au vu du taux de porosité non négligeable présent dans ces matériaux (6 à 10 %),


113

le modèle de Mori et Tanaka est aussi utilisé pour prendre en compte ces porosités dans le calcul des modules d’élasticité. Ce modèle a été implémenté dans MATLAB. II. 2. 1. Influence du rapport de forme L’évolution des modules techniques en fonction du rapport de forme R (longueur de la fibre divisée par le diamètre de la fibre) est directement liée à la longueur des fibres. Il est donc particulièrement intéressant de visualiser les modules d’élasticité dans un intervalle de valeur qui encadrent assez finement la longueur des fibres de notre composite. Cela est effectué pour des variations de R entre 1 et 120. Mais, avant tout, c’est une évolution plus large du rapport de forme sur une plage comprise entre 2 et 1700. Dans les deux cas, on étudie les modules de traction sens x (Ex) et de cisaillement (Gxy), la fraction volumique Vf est égale à 29% (taux massique de fibre = 40%), les coefficients de Poisson de la matrice et des fibres sont respectivement 0,325 et 0,28. L’étude a été réalisée pour dix familles de renforts réparties équitablement de 0° à 180°. La figure B.II. 1 montre l’évolution des modules de traction et de cisaillement en fonction du rapport de forme.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

1 10 100 1000 10000

Rapport de forme

[MP

a]

Module sens x ExModule de cisaillement Gxy

Figure B.II. 1. Modules de traction et de cisaillement plan du composite SMC-R40 en fonction du rapport de

forme R (nf=10 famille ; Vf=0 ,29).

Elle montre qu’à partir d’une certaine valeur (environ R=120), les modules calculés tendent vers une valeur limite. Cela est totalement justifié dans le sens où, pour un diamètre de la fibre constant, quand le rapport de forme augmente, c’est en fait la longueur de la fibre qui augmente. Dans ce cas, les valeurs limites calculées ont des tendances asymptotiques vers les propriétés élastiques d’un composite à fibres longues. Cela implique approximativement que R doit être compris entre 1 et 120 pour un diamètre de la fibre de verre de l’ordre de 20 µm. Néanmoins, il semble relativement raisonnable de considérer la plage de variation R entre 1 et 120 comme représentative pour une majorité de ces composites. On étudie alors les variations


114

des propriétés élastiques dans cet intervalle de R. Les résultats obtenus pour l’évolution des modules sont donnés sur la figure B.II. 2.

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

2 22 42 62 82 102

Rapport de forme

[MP

a]


Figure B.II. 2. Modules de traction et de cisaillement du composite SMC-R40 en fonction du rapport de forme

R sur l’intervalle [1, 120] (nf=10 famille ; Vf=0 ,29).

De manière plus générale, la figure montre que le module de traction Ex est particulièrement sensible à la valeur du rapport de forme dans certaines plages de valeurs de R inférieure à 40. Ces valeurs de rapport de forme sont celles de composites à fibres très courtes (thermoplastique chargé injecté) mais pas représentatives des SMC-R. II. 2. 2. Comportement en fonction de la fraction volumique de fibres L’évolution des modules techniques Ex et Gxy en fonction du taux volumique de fibres est donnée figure B.II. 3. Les valeurs extrêmes de Ex sont logiquement celles des propriétés de la matrice ou des fibres, respectivement pour Vf=0 (Em=5500MPa) et Vf=100 (Ef=72000 MPa) (figure B.II-3). De plus en choisissant un rapport de forme égale à 1500 (longueur de fibre Lf=30 mm, diamètre de fibre df = 20 µm) et un nombre de famille égal à 10, on se place dans le cas du matériau composite à fibres courtes de type SMC-R. Ce choix implique aussi de restreindre la plage d’étude des variations des modules en fonction de la fraction volumique Vf. En effet, le taux volumique de fibres, qui peuvent aller jusqu’à 60-70 % dans les composites renforcés de fibres longues, ne peuvent pas dépasser 40% lorsqu’il s’agit de fibres courtes et de matrice polymère. Mais surtout, il est important de souligner qu’au-delà d’une valeur de Vf supérieur à 40%, la méthode Mori et Tanka ne traduit plus correctement le comportement du composite [37]. La restriction vient de la méthode elle-même qui n’est capable de ne prendre en compte que des interactions « à moyenne distance » entre hétérogénéités. Le comportement serait mieux modélisé via l’utilisation de techniques d’homogénéisation périodique qui est d’ailleurs un domaine plus


115

particulièrement réservé aux composites fibres longues [41]. La valeur de Vf=40% est prise comme valeur limite de la fraction volumique de renforts car elle est déjà la limite de la fraction massique. Il est alors probable que Vf pour un composite à fibres courtes et à matrice polymère soit, compte tenu des masses spécifiques respectives, supérieure au taux massique.

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Fraction volumique de fibre Vf

[MPa

]


Figure B.II. 3. Modules de traction et de cisaillement du composite SMC-R40 en fonction de la fraction

volumique de fibre sur l’intervalle [0, 100%] (nf=10 famille ; R=1500).

La figure montre qu’il existe une grande sensibilité des modules aux variations de fraction volumique de fibres. On trouve que pour une fraction volumique de 29% le module de traction Ex est égal à 14825 MPa (SMC-R40). II. 2. 3. Comportement en fonction du nombre de famille Une famille de renfort est un groupe de fibres courtes qui possède la même orientation, les mêmes propriétés élastiques…etc. La variation du nombre de familles nf a été effectuée sur l’intervalle [1, 20] en prenant le rapport de forme égal à 1500 et la fraction volumique égale à 0,29. La valeur de R retenue est celle relative aux précédents résultats assurant qu’avec cette valeur on se place dans le cas du matériau composite de SMC-R 40. L’évolution des modules de traction et de cisaillement est présentée sur la figure B.I. 4. Elle montre qu’à partir d’une certaine valeur du nombre de familles (environ nf=7), les modules calculés tendent vers une valeur limite. Après avoir effectué des prélèvements en surface, sur quelques échantillons de plaques en SMC-R, nous avons pu constater que le nombre d’orientation de mèches de fibres de verre présent, était en moyenne de l’ordre de 10. Cette valeur sera prise comme référence pour le calcul des modules d’élasticité.


116

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 5 10 15 20 25

Nombre de famille nf

[MPa

]

Module sens X

Module de cisaillement Gxy

Figure B.II. 4. Modules de traction et de cisaillement du composite SMC-R40 en fonction du nombre de famille

sur l’intervalle [1, 20] (Vf=29%; R=1500).

II. 2. 4. Comparaison avec les caractéristiques déterminées expérimentalement Le tableau ci-dessous présente la comparaison des modules d’élasticité calculés par la méthode de Mori et Tanaka pour un SMC-R30. Mori et Tanaka Essai Ecart (%) Ex (MPa) 12802 13120 2.5 Ey (MPa) 12802 13120 2.5 Ez (MPa) 9367 - Gyz (MPa) 3812 - Gxz (MPa) 3812 - Gxy (MPa) 4870 6600 35 νyz 0.36 - νxz 0.36 - νxy 0.29 0.28 3.5

Tableau B.II. 1. Données de traction entrées numériquement. L’une des difficultés des modèles micromécaniques est la connaissance des caractéristiques des constituants. Par exemple, il est aisé de trouver chez les fournisseurs de fibres, leur module de traction, mais difficile de connaître le module de cisaillement. La fibre de verre est supposée homogène mais sa fabrication par étirage rapide peut induire une anisotropie. II. 3. Codes de calculs utilisés : implémentation des lois de comportement Le logiciel utilisé pour cette modélisation est le logiciel SAMCEF (Système pour Analyse des Milieux Continus par la méthode des Eléments Finis). Les lois sont introduites


117

dans le module de calculs Non Linéaire implicite MECANO et le module de calculs Non Linéaire explicite EUROPLEXUS par l’intermédiaire de programmes en fortran. Toutes les lois de comportement ont fait l’objet avant de les implémenter dans SAMCEF, de développement et de validation sous MATLAB par l’intermédiaire d’un code éléments finis utilisant des éléments finis de barre (calculs statiques de traction, compression dynamique …etc) ou de plaque (calculs en cisaillement plan). Les programmes développés sous MATLAB utilisent deux algorithmes de calculs :

- Newton Raphson - Différences Finies Centrées / Newmark implicite

Dans chacun des paragraphes suivants, on détaille le maillage utilisé, la formulation des lois développées et les comparaisons essais/calculs pour chaque sollicitation. Il faut noter que les lois implémentées (courbes d’endommagement en fonction de l’énergie, courbes définissant la limite élastique courante en fonction de la plasticité cumulée…etc) sont définies par les courbes identifiées sur la moyenne des résultats des identifications. II. 4. Modélisation du comportement en traction II. 4. 1. Maillage et conditions aux limites Le maillage (Figure B.II. 5) utilise des éléments volumiques de degré 2 (3 d.d.l par nœud). La partie de l’éprouvette serrée dans les mors hydrauliques de la machine d’essais n’est pas modélisée. Un côté du modèle est fixé, l’autre est sollicité à déplacement imposé. Le tableau B.II. 2 résume les données du modèle :

Dimension de l’éprouvette mm2 100×20 Longueur des mors mm 10 Largeur des mors mm 25 Loi d’endommagement 5928,0)ln(263,0 2/1 += Yd Loi de plasticité peRR .1008

0 .47,17=+ Nombre total de D.D.L 6196 Nombre de D.D.L par nœud 3

Tableau B.II. 2. Données de la modélisation. SMC-R25.

Les contraintes et les déformations sont déterminées au centre de l’éprouvette pour la comparaison numérique/expérimentale avec les jauges de déformations.


118

Figure B.II. 5. Maillage de l’éprouvette de traction.

II. 4. 2. Lois de comportement en traction

Le potentiel thermodynamique obtenu à partir de l’énergie libre de Helmholtz s’exprime en traction-compression par :

( )1 1 1 11 12

E dρφ ε ε+ +

= − Eq. B.II. 1

Avec 1d variable d’endommagement en traction sens longitudinal. Les déformations sont les déformations élastiques (égales aux déformations totales : pas de déformations résiduelles) La contrainte est alors obtenue par dérivation du potentiel thermodynamique :

( )1 1 1 11

. 1 .E dφσ ρ εε

∂= = −

∂ Eq. B.II. 2

La variable associée est alors :

( )1

1

21 1

1 .2TY E

dφ ε

∂= − = ∂ Eq. B.II. 3

La fonction seuil d’endommagement est choisie de la forme suivante :

( ) 1 0, 0d eqF Y D Y Y Y= − − ≤ Eq. B.II. 4

Avec :

dd

FdY

λ ∂=

∂ Eq. B.II. 5

Le multiplicateur dλ est déterminé par la condition de cohérence 0d dF F= =

1 0Y Y− est identifié par essai (chapitre I).

(u, v, w=0)

(u imposé) (v, w=0)


119

Le comportement en traction (évolution de l’endommagement) est celui déterminé par les essais de traction pure. La prise en compte des déformations résiduelles passe par l’ajout dans l’expression du potentiel thermodynamique (l’énergie libre de Helmholtz) du potentiel plastique (dissipatif) :

( , ) ( , )e e pd p dρφ ρφ ε ρφ= + Eq. B.II. 6

Où p est la variable d’état correspondant à la plasticité à écrouissage isotrope (choisie ici par simplicité). La variable R associée à la plasticité à écrouissage isotrope est :

pRp p

φφ ∂∂= =

∂ ∂ Eq. B.II. 7

La variable R décrit l’évolution de la taille de la surface de charge pF . Le couplage plasticité-endommagement se fait par l’introduction de la contrainte effective dans le critère de plasticité :

( ) ( ) ( ) 0, 0p eqF p d d R p Rσ= − − ≤ Eq. B.II. 8

L’hypothèse de normalité c’est-à-dire l’existence d’un multiplicateur plastique pλ permet d’écrire les lois complémentaires :

pp p

Fε λ

σ∂

=∂

Eq. B.II. 9

pp

Fp

Rλ

∂= −

∂ Eq. B.II. 10

Le multiplicateur pλ est déterminé par la condition de cohérence 0p pF F= =

L’évolution de ( ) 0R p R− a été déterminée expérimentalement sous forme .0

pR R eβα+ = (Cf chapitre I).

En traction simple la contrainte équivalente est :

( )2

1 1

1 11 1eq dd d

σ σσ

= = − − Eq. B.II. 11

II. 4. 3. Comparaison Essai/Numérique en traction statique

Un exemple de comparaison numérique/expérimentale du comportement en traction

est donné (Figure B.II. 6) pour un essai de traction cyclée. Les résultats obtenus montrent qu’il y a une bonne corrélation entre le comportement numérique et expérimental sur des cycles de charge-décharge jusqu’à des déformations très importantes. Cependant il serait intéressant de compléter le modèle en tenant compte d’autres phénomènes comme la viscoplasticité ; les boucles d’hystérésis n’étant pas modélisées par un effet retard (viscoélasticité, frottement…).


120

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4Déformation sens long [%]

Con

train

te a

ppliq

uée

[MP

a]

NumériqueExpérimental

Figure B.II. 6. Comparaison de comportement du matériau de SMC-R25 (essai/calcul) en traction statique.

Enfin le modèle élastoplastique élaboré dans ce travail semble rendre compte de façon satisfaisante du comportement réel des composites vis-à-vis de l’endommagement et de la plasticité jusqu’à la rupture. II. 5. Modélisation du comportement en compression II. 5. 1. Maillage et conditions aux limites Le maillage et les conditions aux limites sont identiques à ceux du paragraphe précédent concernant la traction. Le Tableau B.II. 3 résume les données entrées numériquement en compression:

Dimension de l’éprouvette mm2 20×20 Longueur des mors mm 20 Largeur des mors mm 30 Loi d’endommagement 0074.0)(*2493.0 2/1 −= Yd Loi de plasticité 133.35*1237390 +=+ pRR Nombre total de D.D.L 11094 Nombre de D.D.L par nœud 3

Tableau B.II. 3. Données entrées numériquement en compression statique.


121

Figure B.II. 7. Maillage de l’éprouvette de compression.

L’étude numérique a été réalisée et comparée aux résultats expérimentaux sur le matériau SMC-R25. II. 5. 2. Loi de comportement

Pour le comportement en compression, le modèle est identique à celui exposé précédemment : modélisation de la traction élastoplastique endommageable. Seules changent les lois identifiées en traction par celles identifiées en compression II. 5. 3. Comparaison Essai/Numérique en compression statique

(u, v, w=0)

(u imposé) (v, w=0)


122

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2Déformation sens long [%]

Con

train

te a

ppliq

uée

[MPa

]

ExpérimentaleNumérique

Figure B.II. 8. Comparaison de comportement du matériau de SMC-R25 (essai/calcul) en compression statique.

Le modèle rend bien compte du comportement non linéaire avec prise en compte des déformations résiduelles. II. 6. Modélisation du comportement en traction-compression couplées

L’objectif ici est de mettre en place le modèle numérique et la loi de comportement pour un comportement couplé de traction-compression. Les essais de traction-compression couplés (Cf. chapitre I de cette partie) montrent un comportement complexe avec présence, lors du passage de traction en compression ou lors du passage de compression en traction de fermeture de fissure (respectivement ouverture de fissure) montrée par des reprises de rigidités. II. 6. 1. Maillage et conditions aux limites Le maillage et les conditions aux limites sont identiques à la modélisation des essais de compression ; seul change le chargement qui introduit un cyclage en traction-compression. II. 6. 2. Modélisation avec endommagement et sans plasticité couplée La prise en compte dans une même loi matériau d’un endommagement différent en traction et en compression est assez simple. Le comportement contrainte déformation passe lors des décharges par une contrainte nulle et une déformation nulle. La continuité entre le comportement en traction et en compression est directe : il suffit de désactiver lors du passage en compression (respectivement traction) l’endommagement précédent. Il faut remarquer que cette approche ne respecte pas la symétrie du tenseur de rigidité et la continuité du


123

comportement contrainte déformation sauf si les variables d’endommagement affectent les termes diagonaux principaux du tenseur des rigidités élastiques.

Le potentiel thermodynamique obtenu à partir de l’énergie libre de Helmholtz s’exprime en traction-compression par :

( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 11 1 12

T CE d E dρφ ε ε ε ε+ + − −

= − + − Eq. B.II. 12

Avec 1Td variable d’endommagement en traction sens longitudinal, 1

Cd , variable d’endommagement en compression sens longitudinal. Les déformations sont les déformations élastiques (égales aux déformations totales : pas de déformations résiduelles) La contrainte est alors obtenue par dérivation du potentiel thermodynamique :

( )( )

1 1 1 1

11 1 1 1 1

. 1 . 0

. 1 . 0

C

T

E d si

E d si

ε εφσ ρε ε ε

−

+ >

− ≤∂ = = ∂ − Eq. B.II. 13

Les variables associées sont alors :

( )( )

1

1

1

1

2

1 1

12

1 1

1 . 02

1 . 02

T

C

E sid

YE si

d

φ ε ε

φ ε ε

+

−

∂− = > ∂= ∂− = ≤ ∂

Eq. B.II. 14


( ) 0, 0d eqF Y D Y Y Y= − − ≤ Eq. B.II. 15

Avec :

dd

FdY

λ ∂=

∂ Eq. B.II. 16

Le multiplicateur dλ est déterminé par la condition de cohérence 0d dF F= =

1 0Y Y− est identifié par essai (Chapitre I). Le comportement en traction (évolution de l’endommagement) est celui déterminé par les essais de traction pure. Le comportement en compression est celui déterminé par les essais de compression pure. Le modèle introduit donc deux courbes d’endommagement. La Figure B.II. 9 montre la comparaison essai-modèle du comportement contrainte-déformation pour un essai de compression-traction.


124

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

déformation sens long (%)

cont

rain

te a

ppliq

uée

(MPa

)

EssaiModèle EF

Figure B.II. 9. Comportement en traction-compression du SMC-R25 : Comparaison essai-modèle sans prise en

compte des déformations résiduelles

L’évolution des endommagements en traction-compression est montrée Figure B.II. 10. On retrouve bien ici la désactivation des endommagements en fonction du signe de la déformation élastique.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

Déformation sens long

Endo

mm

agem

ent

Compression

Traction

Figure B.II. 10. Evolution des endommagements en traction et en compression (modèle sans plasticité)


125

II. 6. 3. Modélisation avec endommagement et pseudo-plasticité couplée L’introduction des déformations résiduelles par la prise en compte de la pseudo plasticité couplée à l’endommagement introduit une discontinuité du comportement si la désactivation des dommages est réalisée pour une déformation nulle. En effet, Les déformations résiduelles introduisent des contraintes non nulles lorsque la déformation totale est égale à zéro (Figure B.II. 9). Alors la déformation lors de la désactivation et la déformation résiduelle ne sont pas identiques. Il n’est donc pas possible de donner une condition de désactivation des dommages sur le changement de signe de la déformation. Le choix ici a été de réaliser la désactivation du dommage en fonction de la déformation plastique (résiduelle). De plus, pour des raisons physiques mais aussi numériques (convergence), on introduit une fermeture progressive du dommage. Le potentiel thermodynamique obtenu à partir de l’énergie libre de Helmholtz s’exprime en traction-compression par la somme de l’énergie élastique et de l’énergie plastique :

( , ) ( , )e e pd p dρφ ρφ ε ρφ= + Eq. B.II. 17

Où p est la variable d’état correspondant à la plasticité à écrouissage isotrope. Concernant les variables d’état, les variables associées et les lois d’évolution de l’endommagement, elles sont identiques à celles exposées au paragraphe précédent. La variable R associée à la plasticité à écrouissage isotrope est :

pRp p

φφ ∂∂= =

∂ ∂ Eq. B.II. 18

La variable R décrit l’évolution de la taille de la surface de charge pF . Le couplage plasticité-endommagement se fait par l’introduction de la contrainte effective dans le critère de plasticité :


L’hypothèse de normalité c’est-à-dire l’existence d’un multiplicateur plastique pλ permet d’écrire les lois complémentaires :

pp p

Fε λ

σ∂

=∂

Eq. B.II. 20

pp

Fp

Rλ

∂= −

∂ Eq. B.II. 21

Le multiplicateur pλ est déterminé par la condition de cohérence 0p pF F= = Pour nos matériaux, nous avons identifié une évolution de la limite élastique en fonction de la plasticité cumulée différente en traction de celle en compression. On introduit alors deux critères de plasticité couplés à l’endommagement :

( ) ( )0

, 0p

i ii i eq i iF p d R p Rσ= − − ≤ Eq. B.II. 22

Avec ( , )i = + − selon si l’on se place en traction ou en compression. La déformation plastique (inélastique) est alors donnée par :


126

p p

p pp

F Fε λ λ

σ σ

+ −+ −

+ −

∂ ∂= +

∂ ∂ Eq. B.II. 23

Dans le cas d’un essai uniaxial le critère de plasticité est :

( ) ( )0

, 01p

i iii i

i

F p d R p Rd

σ= − − ≤

− Eq. B.II. 24

L’identification de l’évolution du critère est celle donnée au chapitre I. La courbe d’essais montre que lors du passage en compression il y a une reprise de rigidité due à la fermeture des dommages de traction. Lors du passage de compression en traction le même effet apparaît (Figure B.II. 9) Afin de modéliser cet effet on met en place la formulation suivante :

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 11 * * 1 *T T C C pE d dσ η η ε ε= − − − Eq. B.II. 25

Avec :

1

2 2

1 11 1 1

1 1

2 2

1 11 1 1

1 1

1

1 0; 1 si 0

2 1 1 ; 1 si ( 0 )

3 1 1 ; 1 si ( 0 )

4 1; 0 si (

C T

C T pTpT pT

C T pCpC pC

C T

et

et

η η ε

ε εη η ε ε εε ε

ε εη η ε ε εε ε

η η ε

⇒ = = >

⇒ = − + = + ≤ <

⇒ = − + = + ≤ ≥

⇒ = = ≤ 1 1

0 )pCet ε ε

>

Eq. B.II. 26

L’étape 1 est un chargement de traction pure L’étape 2 est le passage de traction à compression L’étape 3 est le passage de compression à traction L’étape 4 est un comportement en compression pure La Figure B.II. 11 présente la comparaison d’un essai de compression-traction avec les résultats numériques. Les résultats numériques sont proches des résultats expérimentaux, même si les transitions entre traction-compression puis compression-traction sont plus marquées par la non prise en compte de l’hystérésis dans le comportement (effets visqueux, frottement interne).


127

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

-1.3 -1.1 -0.9 -0.7 -0.5 -0.3 -0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3

déformation sens long (%)

cont

rain

te a

ppliq

uée

(MPa

)

EssaiModèle EF

Figure B.II. 11. Comparaison essai-calcul du comportement en compression-traction avec prise en compte de

la plasticité et des fermetures de fissure

On remarque bien la différence d’évolution de la plasticité cumulée Figure B.II. 12.

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

-0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015Déformation sens long

Déf

orm

atio

n pl

astiq

ue c

umul

ée

Traction

Compression

Figure B.II. 12. Evolution de la déformation plastique cumulée en traction et en compression

Désactivation du dommage de traction

Désactivation du dommage de compression


128

La Figure B.II. 13 montre la comparaison de l’évolution des endommagements de traction/compression avec et sans la prise en compte de la plasticité. Le couplage de l’endommagement et de la plasticité modifie bien ces évolutions.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015Déformation sens long

Endo

mm

agem

ent

Compression sans plasticité

Traction sans plasticité

Compression avec plasticité

Traction avec plasticité

Figure B.II. 13.Evolution des endommagements en traction et en compression en fonction de la déformation

uniaxiale : comparaison avec et sans plasticité

II. 7. Modélisation du comportement en traction-cisaillement couplés II. 7. 1. Loi de comportement

Le potentiel thermodynamique obtenu à partir de l’énergie libre de Helmholtz s’exprime en traction-cisaillement plan par :

( ) ( )1 1 1 1 12 12 12 121 1 12

TE d G dρφ ε ε γ γ+ +

= − + − Eq. B.II. 27

Avec 1Td variable d’endommagement en traction sens longitudinal, 12d , variable

d’endommagement en cisaillement. Les déformations sont les déformations élastiques (égales aux déformations totales : pas de déformations résiduelles) La contrainte est alors obtenue par dérivation du potentiel thermodynamique :

( )

( )

1 1 1 11

12 12 12 1212

. 1 .

. 1 .

TE d

G d

φσ ρ εε

φσ ρ γγ

+∂ = = − ∂ ∂ = = − ∂

Eq. B.II. 28

Les variables associées sont alors :


129

( )( )

1

1

12

12

2

1 1

2

12 12

1 .2

1 .2

TY Ed

Y Gd

φ ε

φ γ

+∂ = − = ∂ ∂ = − = ∂

Eq. B.II. 29


( ) 0, 0d eq TF Y D Y Y Y= − − ≤ Eq. B.II. 30

Avec :

dd

FdY

λ ∂=

∂ Eq. B.II. 31

0TY Y− est identifié par essai (Chapitre I).

Pour les essais de traction-cisaillement :

12 1eqY Y bY= + Eq. B.II. 32

Le multiplicateur dλ est déterminé par la condition de cohérence 0d dF F= = . b est le terme de couplage traction cisaillement plan. L’expression du critère de plasticité est identique aux études précédentes :


La contrainte équivalente s’écrit dans le cadre du couplage traction-cisaillement de la manière suivante :

2 2 212 11eq aσ σ σ= + Eq. B.II. 34

L’évolution de ( ) 0R p R− a été déterminé expérimentalement sous forme .0

pR R eβα+ = (Cf chapitre I) . II. 7. 2. Modélisation du comportement en cisaillement pur II. 7. 2. 1. Maillage et conditions aux limites

Le montage complet est modélisé : à savoir, l’éprouvette et les demi-disques de mise en charge (Figure B.II. 14). L’éprouvette est modélisée par des éléments finis volumiques de degré 2 (3 d.d.l par nœuds). Les demi-disques sont modélisés en éléments de plaques (2 d.d.l par nœud) afin de minimiser le temps de calculs. Le modèle est paramétré de manière à modifier l’axe de sollicitation par l’introduction de l’angle entre l’axe de sollicitation de la machine d’essais et l’axe principal de l’éprouvette. La charge est introduite en un point, liée aux bords des demi-disques par des éléments rigides.

Le tableau B.II. 4 montre les caractéristiques mécaniques du montage et de l’éprouvette. Le tableau B.II. 5 indique le nombre d’éléments du modèle.


130

Montage ARCAN Eprouvette SMC-R30 Module de Young (MPa) 210000 11733 Coefficient de Poisson 0.3 0.28 Module de cisaillement (MPa) 6600

Tableau B.II. 4. Caractéristiques élastiques des matériaux du montage ARCAN et l’éprouvette SMC-R30.

Nombre totale de D.D.L 36468 Nombre d’éléments volumique 2400 Nombre d’éléments coque 760 Nombre d’éléments de liaison 70 Nombre total d’éléments 3230

Tableau B.II. 5. Nombres d’éléments selon le maillage utilisé pour le modèle EF en cisaillement pur.

Les conditions aux limites appliquées dans les modèles sont présentées sur la figure B.II. 14.

Figure B.II. 14. Modélisation EF du montage ARCAN et de l’éprouvette de SMC-R représentée dans la

configuration de cisaillement pur.

II. 7. 2. 2. Comparaison Essai/Numérique en cisaillement pur La comparaison a été effectuée pour un essai de cisaillement pur. Le tableau B.II 6: présente les lois d’endommagement et de la plasticité utilisées dans le modèle (SMC-R30).

F Plaque n° 1 du montage RBE n° 1 (u, w, Øx, Øy=0)

Plaque n° 2 du montage RBE n° 2 (u, v, w, Øx, Øy=0)

X

Y

Z


131

La forme linéaire ainsi que la forme exponentielle de la loi de plasticité identifiée ont été utilisées, afin de visualiser le comportement du matériau en deux cas.

Endommagement 345.0)ln(1379.0 2/112

+= dYd Pseudo plasticité (forme linéaire) 219.23566210 +=+ pRR Pseudo plasticité (forme exponentielle) peRR 4.1129

0 05.20=+

Tableau B.II. 6. Données entrées numériquement en cisaillement pure.

La figure B.II. 15 montre la comparaison essai/ numérique d’un essai de cisaillement pur. On retiendra donc l’évolution exponentielle de la courbe de plasticité qui permet clairement d’obtenir un comportement plus proche du comportement expérimental.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4


Con

train

te d

e ci

saill

emen

t

[M

Pa]

Essai

Modèle EF(Pseudo plasticité linéaire)

Modèle EF(Pseudo plasticité exponentielle)

γ12

τ 12

Figure B.II. 15. Comparaison Essai/Numérique de cisaillement pur (SMC-R30).

La figure B.II. 16 présente l’état de contraintes planes dans l’éprouvette.


132

Contrainte selon X. Contrainte selon Y.

Contrainte de cisaillement SXY.

Figure B.II. 16. Etats de contraintes dans l’éprouvette sollicitée en cisaillement pur.

La contrainte de cisaillement σXY est maximale dans la zone centrale de l’éprouvette. Par contre, des contraintes de traction dans le plan apparaissent en bord proche du rayon. La figure B.II.17 présente l’état d’endommagement de cisaillement et la plasticité cumulée pour l’effort maximal. Leur distribution est bien distribuée dans la partie utile.

Endommagement en cisaillement. Plasticité équivalente Figure B.II. 17. Cartographie de l’endommagement et de la plasticité cumulée en cisaillement pur (SMC-R30).


133

II. 7. 3. Modélisation du comportement en cisaillement -traction couplés II. 7. 3. 1. Maillage et conditions aux limites en cisaillement –traction couplés Le modèle Figure B.II. 18 est identique à celui décrit dans le paragraphe précédent concernant le comportement en cisaillement pur ; seule une rotation de 45° est imposée à l’ensemble du modèle afin d’être dans une configuration conforme aux essais.

Figure B.II. 18. Modélisation EF du montage ARCAN et de l’éprouvette de SMC-R pour un essai de

cisaillement et traction couplés.

II. 7. 3. 2. Comparaison Essai/numérique en cisaillement-traction couplés

Les lois utilisées sont données dans le tableau ci-dessous.

Endommagement en cisaillement 3379.0)ln(1572.0 2/112 += totalYd

Endommagement en traction 4863.0)ln(2168.0 2/111 += totalYd

Pseudo plasticité 5877.745080)( 0 +=+ pRR total

Tableau B.II. 7. Données entrées numériquement en cisaillement et traction couplés.

Les figures B.II. 19 et B.II. 20 présentent la comparaison essais/calculs du comportement en cisaillement et en traction.

F Plaque n° 1 du montage RBE n° 1 (u, w, Øx, Øy=0)

Plaque n° 2 du montage RBE n° 2 (u, v, w, Øx, Øy=0)

X

Y

Z


134

0

10

20

30

40

50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4


Con

train

te d

e ci

saill

emen

t

[

MPa

]

EssaiModéle EF

γ12

τ 12

Figure B.II. 19. Comparaison Essai/calcul du comportement en cisaillement (SMC-R30).

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Déformation de traction [%]

Con

train

te d

e tra

ctio

n

[M

Pa]

EssaiModéle EF

ε11

σ 11

Figure B.II. 20. Comparaison Essai/calculs en traction (SMC-R30).

Les résultats numériques sont proches des résultats d’essais. Les lois sont validées pour l’endommagement total et la plasticité cumulée totale. La figure B.II. 21 présente l’état de contraintes planes dans l’éprouvette.


135

Contrainte selon X. Contrainte selon Y.

Contrainte de cisaillement SXY. Figure B.II. 21. Etat de contraintes dans l’éprouvette sollicitée en cisaillement et traction couplés.

La figure B.II. 22 présente l’état d’endommagement d12 et d11, ainsi que la plasticité

équivalente peq dans l’éprouvette au dernier pas de temps de calcul numérique. Ces distributions sont cohérentes avec les observations des faciès de rupture lors de l’étude expérimentale : l’endommagement débute proche du rayon d’entaille.


136

Evolution de l’endommagent en cisaillement (d12) Evolution de l’endommagent en traction (d11)

Evolution de plasticité équivalente (peq).

Figure B.II. 22. Les composantes d’endommagement d12, d11, et peq dans l’éprouvette sollicitée en cisaillement-traction couplés.


137

II. 8. Modélisation du comportement en compression dynamique II. 8. 1. Introduction Lors de l’analyse expérimentale du comportement en vitesse réalisée à l’aide des barres d’Hopkinson, il a été observé une grande sensibilité des composites SMC-R à la vitesse de déformation. Il est donc nécessaire pour la modélisation du comportement à l’impact, de mettre en place des lois de comportement fonction de la vitesse de déformation. Pour ce faire, une modélisation par éléments finis sous MATLAB des essais aux barres d’Hopkinson a été réalisée ; ceci afin de disposer d’un outil simple pour la recherche de lois de comportement en vitesse mais aussi pour la compréhension du comportement sous sollicitations simples dynamiques. De plus, cet outil simple et entièrement paramétré, a permis de mettre en place les essais c'est-à-dire le choix de la taille des éprouvettes, la vitesse d’impact…etc. On présente donc par la suite la validation de cet outil et une première approche de l’influence de la vitesse de déformation sur le comportement des composites SMC-R. Pour ce faire, le code développé sous MATLAB utilise des éléments finis de barre. L’ensemble du banc d’essais est modélisé (barre d’entrée, échantillon, barre de sortie) sauf l’impacteur. II. 8. 2. Méthodes numériques utilisées En dynamique, on cherche à résoudre l’équation suivante :

[ ] [ ] [ ] )(... tFqKqCqM =++ Eq. B.II. 35

Où : M : matrice de masse K : matrice de raideur C : l’amortissement q : vecteur des déplacements nodaux F : Effort de contact

Pour résoudre cette équation, deux méthodes sont utilisées : - méthode des différences finies centrées à deux pas explicite, - méthode de Newmark implicite.

Le codage de la méthode de Newmark n’est pas nécessaire car les codes explicites utilisent des méthodes explicites (Newmark peut être rendu explicite). Cependant, dans un souci de validation, ces deux méthodes ont été utilisées. On présente dans les paragraphes suivants le principe et l’algorithme de ces deux méthodes. II. 8. 2. 1. Méthode des différences finies centrées à 2 pas Principe : on développe q(t) au second ordre en t, au voisinage de q(t) :

t t+∆t t-∆t

t

La formule de Taylor permet d’écrire, quand ∆t 0 :


138

2

22

( ) ( ) . ( ) . ( )2 ( )

( ) ( ) . ( ) . ( )2

tq t t q t t q t q tS

tq t t q t t q t q t

∆+ ∆ = + ∆ +

∆ − ∆ = − ∆ +

Eq. B.II. 36

En exprimant les combinaisons linéaires adéquates, on obtient :

2

3

1( ) . ( ) 2. ( ) ( )( )

1( ) . ( ) ( )2.

q t q t t q t q t tt S

q t q t t q t tt

= + ∆ − + − ∆ ∆ = + ∆ − − ∆ ∆

Eq. B.II. 37

Lorsque ∆t est fini et suffisamment petit, ce système permet d’avoir une valeur approchée des dérivées des paramètres. On remplace donc ces valeurs approchées dans le système (S1) des équations du mouvement :

)()(].[((.21].[()(.2(1].[ 2 tFtqKttqttq

tCttqtqttq

tM =+∆−−∆+

∆+∆−+−∆+

∆ Eq. B.II. 38

D’où, après factorisation :

)((.].[.21].[1)(.][].[2(.].[

.21][1

222 tFttqCt

Mt

tqKMt

ttqCt

Mt

+∆−

∆+

∆−+

−∆

=∆+

∆+

∆Eq. B.II. 39

Ce système linéaire (S4) permet de calculer les paramètres à l’instant suivant en fonction des paramètres actuels et précédents. C’est le système des équations du mouvement sous forme incrémentale. Algorithme : Initialisation :

0q et 0q sont connus (imposés).

(S1) donne [ ] [ ] [ ] )(... 000 tFqKqCqM =−−= d’où 0q , accélération initiale (S2) permet d’en déduire 0( )q t et 0( )q t t− ∆ Boucle sur le temps : temps=temps+∆t (S4) permettra donc de calculer q(t+∆t) (S3) permet de calculer )t(q et )t(q .

Mise à jour de ( ) ( )q t t q t− ∆ = et ( ) ( )q t q t t= + ∆ pour le pas de temps suivant Fin boucle sur le temps. Cette méthode est dite explicite car, à l’instant inconnu t+∆t, toutes les matrices de la forme incrémentale sont connues. En effet, cette forme résulte de l’application de (S1) à l’instant t. Ceci a un intérêt lorsque les matrices sont non linéaires et dépendent de q(t) :


139

)()(.)](.[.21)](.[1)(.)]([)]([2(.)](.[

.21)](.[1

222 tFttqtCt

tMt

tqtKtMt

ttqtCt

tMt

+∆−

∆+

∆−+

−∆

=∆+

∆+

∆Eq. B.II. 40

II. 8. 2. 2. Méthode de Newmark On réalise un développement de Taylor-Lagrange de q(t+τ) au voisinage de t. On rappelle le développement de Taylor-Lagrange d’une fonction numérique :

).t(f.2

)t(f.)t(f)t(f2

τθ+τ

+τ+=τ+ où ]1,0[∈θ . Cette relation donne une valeur exacte

de f pour une valeur donnée de θ. Ici, nous utiliserons une valeur particulière de θ qui ne sera pas la valeur exacte de Taylor-Lagrange, mais que nous appliquerons de façon identique à toutes les composantes de q(t) :

).t(q.2

)t(q.)t(q)t(q2

τθ+τ

+τ+=τ+ Eq. B.II. 41

Les composantes de q(t) étant monotones sur [t,t+τ], on peut appliquer le théorème de la valeur intermédiaire, à savoir :

)(.)().1().(/]1,0[ ττθ ++−=+∈∃ tfbtfbtfb Eq. B.II. 42

On n’utilisera pas ici la valeur exacte de b, mais une valeur prédéfinie identique pour toutes les composantes de )t(q :

( . (1 ). ( ) . ( )q t b q t b q tθ τ τ+ = − + + Eq. B.II. 43

soit finalement :

2( ) ( ) . ( ) . (0.5 ). ( ) . ( )q t q t q t b q t b q tτ τ τ τ+ = + + − + + Eq. B.II. 44

En faisant le même travail pour )t(q , mais à un ordre inférieur, il vient :

( ) ( ) . (1 ). ( ) . ( )q t q t a q t a q tτ τ τ+ = + − + + Eq. B.II. 45

Remarque : b=0, développement de Taylor On remplace donc ces valeurs approchées dans le système (S1) des équations du mouvement exprimées à l’instant t+∆t, ce qui donne, après factorisation, la forme incrémentale suivante :

[ ] )()5,0.()(.)(].[)().1.()(].....[

.....)()(.].[.].[.][2

2

tqbtqtqKtqatqCtFtqKbCaM

−++−−+

−+=+++

τττ

ττττ Eq. B.II. 46

Algorithme : - On pose τ = ∆t

- 1/ 6b β= = , 1/ 2a γ= = (accélération linéaire entre t et t+∆t) - 1/ 4b β= = , 1/ 2a γ= = (accé. cst entre t et t+∆t, inconditionnellement stable) - 0b β= = , 1/ 2a γ= = (méthode des différences finies centrées) Initialisation :


140

0q et 0q sont connus (imposés)

(S1) donne 0q Boucle sur le temps : temps = temps + ∆t

(5) donne l’accélération ( )q t t+ ∆

(4) et (3) donnent respectivement ( )q t t+ ∆ et ( )q t t+ ∆

Mise à jour de ( ) ( )q t q t t= + ∆ , ( ) ( )q t q t t= + ∆ et ( ) ( )q t q t t= + ∆ pour le pas de temps suivant.

Fin boucle sur le temps Remarque : Si 0, 0β γ= = , on obtient l’algorithme de Newmark explicite II. 8. 3. Maillage et conditions aux limites

Chaque barre (barre d’entrée, barre de sortie) est constituée de 120 éléments. Le choix de cette discrétisation spatiale a été réalisé de façon à rendre compte des propagations d’ondes mais aussi pour un temps de calcul minimum. Pour des raisons similaires, l’éprouvette entre les deux barres est discrétisée en 16 éléments. L’amortissement est introduit par l’intermédiaire d’une matrice d’amortissement identique à la matrice de raideur et avec un module d’amortissement (1.e-6xE). Le contact entre les barres et l’éprouvette est classiquement introduit comme dans les codes de calculs explicites par une méthode de pénalité. Dans note cas, pour une modélisation 1D, cette méthode consiste à introduire un ressort lorsque la distance entre les nœuds en contact est inférieure à une distance choisie. Le coefficient de pénalité est choisi égal au plus petit module de compressibilité des matériaux en contact. L’effort appliqué à la barre d’entrée (effort appliqué par l’impacteur) est introduit directement sous forme d’un créneau (Figure B.II. 23). Son amplitude est donné par :

1 . . .2impacteur iF S C Vρ= Eq. B.II. 47

Où : - ρ : est la masse volumique de l’impacteur - S : est la section de l’impacteur (identique à la section de la barre d’entrée) - C : est la vitesse de propagation des ondes dans l’impacteur /E ρ - iV : est la vitesse de l’impacteur Le temps d’application de l’effort est fonction de la longueur iL de l’impacteur :

2. ii

LtC

= Eq. B.II. 48

Le temps de montée est choisi égal à 150

ème du temps d’impact.

La figure B.II. 23 présente un exemple d’effort appliqué pour une vitesse d’impacteur de 4 m/s.


141

ti

Figure B.II. 23. Evolution de l’effort appliquée par l’impacteur.

Toutes les caractéristiques dimensionnelles et matérielles sont celles du banc d’essais de Hopkinson décrit dans l’étude expérimentale de l’influence de la vitesse de déformation sur le comportement mécanique du SMC-R (Chapitre I). On les rappelle ci-dessous. Module de Young des barres 212500 MPa Coefficient de Poisson 0,3 Masse volumique des barres 7500 kg/ 3m Longueur du projectile 600 mm Longueur de la barre incidente 2000 mm Longueur de la barre transmise 2000 mm Distance éprouvette jauges 997 mm (sur les deux barres) Coefficient d'amortissement Ea 1. 1010− Pa Rayon de la barre R 10 mm

Tableau B.II. 8. Caractéristiques des barres du banc d’essai de Hopkinson

II. 8. 4. Analyse préliminaire : validation temporelle

Comme lors des essais, les résultats en déformations sont donnés au centre des barres d’entrée et de sortie. Les résultats dans l’éprouvette sont donnés à mi-longueur.

Le calcul des contraintes et des déformations est réalisé en hypothèse des grandes transformations (Tenseur de Green-Lagrange pour les déformations, Tenseur de Piola-Kirchhoff pour les contraintes). Un exemple de résultats (déformation en fonction du temps) de la simulation obtenue sur MATLAB est présenté sur les figures B.II. 24 à B.II. 26.


142

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.001

Temps [s]

Déf

orm

atio

n [%

]

t1

ti

ti

3t1

1ére Compression

Figure B.II. 24. Déformation au centre de la barre d’entrée : onde incidente et réfléchie.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.001

Temps [s]

Déf

orm

atio

n [%

]

2t1+0.5tep

ti

Figure B.II. 25. Déformation au centre de l’éprouvette.


143

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.001

Temps [s]

Déf

orm

atio

n [%

] 3t1+tep

ti

Figure B.II. 26. Déformation au centre de la barre de sortie : onde transmise.

Ces premiers résultats permettent de vérifier la cohérence des propagations d’ondes, le

temps de chargement et la qualité des résultats en termes d’évolution (vibration, ondulation…etc). La première onde (onde incidente) apparaît au centre de la barre d’entrée (à 1m de l’impact) pour un temps t1, l’onde retour (onde réfléchie) pour un temps égal à 3t1. On trouve bien les temps d’aller-retour des ondes dans la barre d’entrée au centre de celle-ci. L’éprouvette voit une déformation en son centre pour un temps égal à 2.t1+tep, c'est-à-dire lorsque l’onde a entièrement parcourue la barre d’entrée puis la moitié de la longueur de l’éprouvette. L’onde transmise arrive au centre de la barre de sortie pour un temps de 3t1+tep. Concernant les évolutions temporelles des ondes, le modèle MATLAB est cohérent. Afin de valider le niveau des déformations pour une vitesse d’impact identique, une comparaison des résultats entre le modèle MATLAB et des modélisations par éléments finis sous SAMCEF/PLEXUS (dynamique explicite) et SAMCEF/MECANO (dynamique implicite) ont été réalisés. II. 8. 5. Validation du modèle MATLAB

Les modélisations sous SAMCEF sont réalisées avec les mêmes paramètres de discrétisation spatiale et temporelle. Les modèles utilisent des éléments finis 1D de barre. Les conditions aux limites sont identiques. Les seuls paramètres incertains sont les méthodes de contacts. En effet, même si la méthode générique de pénalité utilisée dans MATLAB est identique, il n’est pas toujours facile de comparer l’équivalence de sa mise en place dans les codes de calculs commerciaux ; le nombre de paramètres (« potentiomètres ») étant nombreux (par exemple on peut citer le choix du facteur de pénalité dans la gestion du contact, qui diffère selon les codes de calculs).


144

Les figures B.II. 27 à B.II. 29 présentent la comparaison, en termes de déformations dans chaque élément du banc d’essais Hopkinson, entre les différents codes de calculs. Les évolutions temporelles sont identiques entre celles obtenues par MATLAB et celles obtenues par SAMCEF/PLEXUS ; seul change le niveau d’oscillation des signaux moins élevés sous SAMCEF/PLEXUS. L’algorithme implicite utilisé sous SAMCEF/MECANO permet d’obtenir des déformations dans les barres et l’éprouvette, proche des deux précédents calculs. La résolution en accélération de l’algorithme de Newmark implicite entraine les différences sur la position temporelle des oscillations des déformations.

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.001

Temps [s]

Déf

orm

atio

n [%

]

MATLABPLEXUSMECANO

Figure B.II. 27. Déformation au centre de la barre d’entrée.

-2

-1.5

-1

-0.5

00 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.001

Temps [s]

Déf

orm

atio

n [%

]

MATLABPLEXUSMECANO

Figure B.II. 28. Déformation au centre de l’éprouvette


145

-0.035

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.001

Temps [s]

Déf

orm

atio

n [%

]

MATLABPLEXUSlMECANO

Figure B.II. 29. Déformation au centre de la barre de sortie.

. L’outil de simulation des ondes sous MATLAB est très rapide (1 s en linéaire materiau). Outre le fait qu’il permet de travailler sur les lois matériaux exprimées en vitesse, c’est un outil de mise en place d’essais au banc d’essais Hopkinson. Il est actuellement utilisable directement sur le banc d’essais. II. 8. 6. Etude paramétrique

Lors d’essais aux barres d’Hopkinson, il faut choisir la longueur d’éprouvette, la longueur de l’impacteur et la vitesse de l’impacteur. On présente dans le paragraphe suivant, l’influence de ces trois paramètres sur la déformation de l’éprouvette, ceci afin de mieux appréhender la mise en place de lois en fonction de la vitesse de déformation. Les paramètres cités dans le tableau ci-dessous sont les paramètres disponibles physiquement sur le banc d’essais.

Paramètres

Longueur de l’impacteur Li=0,3m Li=0,6m Li=0,9m Longueur de l’éprouvette Lep=10mm Lep=20mm Lep=30mm Vitesse de l’impacteur V=2m/s V=3m/s V=4m/s V=5m/s V=8m/s

Tableau B.II. 9. Paramètres à étudier.

Les paramètres initiaux sont : Li=0,6m , Lep=20mm , V=2m/s. II. 8. 6. 1. Influence de la longueur de l’impacteur Li La longueur de l’impacteur influe sur le temps d’application de l’effort par la relation

2. ii

LtC

= comme on peut le visualiser figure B.II. 30, où le temps de montée au pic de

déformation maximale dans l’éprouvette augmente lorsque la longueur de l’impacteur augmente.


146

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

00 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.001

Temps [s]

Déf

orm

atio

n [%

]

Li_0,9Li_0,6Li_0,3

Figure B.II. 30. Déformation au niveau de l’éprouvette (Lep=20 mm, Vi=2m/s)

L’éprouvette étant sollicitée pendant un temps plus important, la déformation maximale moyenne dans l’éprouvette augmente aussi.

II. 8. 6. 2. Influence de la vitesse de l’impacteur Vi L’effort appliqué par l’impacteur étant proportionnel à la vitesse de l’impacteur

( 1 . . .2 iF S V Cρ= ), l’augmentation de sa vitesse permet d’augmenter le niveau de déformation

dans l’éprouvette (figure B.II. 31). Une autre conséquence est aussi l’augmentation de la

vitesse de déformation ( epep t

εε

∂=

∂ : pente des courbes figure B.II. 31) dans l’éprouvette.

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

00 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.001

Temps [s]

Déf

orm

atio

n [%

]

V_2V_3V_4V_5V_8

Figure B.II. 31. Déformation au niveau de l’éprouvette (Li=0.6 m, Lep=20 mm).

II. 8. 6. 3. Influence de la longueur de l’éprouvette Lep La variation de la longueur de l’éprouvette permet essentiellement de faire varier la vitesse de déformation (figure B.II. 32), sans avoir à changer la longueur de l’impacteur.


147

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

00 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 0.0009 0.001

Temps [s]

Déf

orm

atio

n [%

]

Lep_10Lep_20Lep_30

Figure B.II. 32. Déformation au niveau de l’éprouvette (Li=0.6 m, Vi=2 m/s).

II. 8. 7. Prise en compte des effets de vitesses de déformations

L’étude expérimentale nous a permis de relever les tendances suivantes concernant les effets des vitesses de déformations sur le comportement en compression dynamique des SMC-R :

- le module initial augmente légèrement (5 % à 10 %), - la limite dite d’élasticité (bifurcation du comportement contrainte-déformation)

augmente de manière importante pour tendre vers la limite à rupture en compression statique. L’observation avant initiation des fissures n’indique aucun endommagement à grande vitesse,

- le comportement en compression dynamique s’approche du comportement à deux pentes relevé lors d’essais de traction statique; les essais de compression statique ne montrant pas cette tendance. Ce phénomène rend compte d’un mode de ruine différent,

- le module dit plastique (propagation de fissure) diminue, - les contraintes et déformations maximales augmentent.

Dans ce cadre, on propose d’approcher le comportement dynamique en compression de la manière suivante :

- l’évolution du module initial ne sera pas prise en compte, - l’augmentation de la limite élastique sera étudiée et modélisée par un effet retard

sur l’endommagement et la limite élastique, - le phénomène de propagation de fissure n’est pas étudié pour l’instant.

Nous proposons une modélisation simple de ces phénomènes, c'est-à-dire la mise en place dans les lois de comportement d’une fonction permettant de faire évoluer la limite élastique (évolution déterminée lors des essais), le module plastique (seconde pente du comportement) et l’endommagement par un effet retard [126,127,128] (effet de non localisation).


148

II. 8. 7. 1. Fonction retard et formulation de la loi en vitesse

Les fonctions d’endommagement et de pseudo plasticité statique sont rappelées ci-dessous :

- pour l’endommagement ( ) 0, 0d eqF Y D Y Y Y= − − ≤

( )eqd f Y= - pour la pseudo plasticité

( ) ( ) ( ) 0, 0p eqF p d d R p Rσ= − − ≤ ( )p f Rε =

Dans le cadre d’un calcul dynamique nous avons choisi de modifier ces fonctions d’endommagement et de plasticité, pour prendre en compte dans leur expression la vitesse de déformation. Ces expressions données dans les paragraphes suivants, tiennent compte du fait que l’algorithme utilisé est explicite alors que lors des identifications des lois de comportement dans les paragraphes précédents, l’algorithme utilisé est du type Newton-Raphson. II. 8. 7. 1. a) pour l’endommagement La fonction seuil est identique à la version statique mais le seuil d’endommagement dépend de la vitesse de déformation. N’ayant pas pu déterminer l’évolution du seuil d’endommagement en fonction de la vitesse, on suppose son évolution identique à celle de la limite élastique.

( ) 0)(),,( 0 ≤−−= εεε YYYdYF eqd L’évolution de la fonction seuil d’endommagement est donc celle donnée par l’identification de l’évolution du seuil d’élasticité :

baY tt += ++ 110 ε

Où b est le seuil d’endommagement en statique. L’endommagement s’écrit au cours du temps :

tddd ttt ∆∆+= ++ .11 Où :

- t∆ est le pas de temps déterminé par la condition de stabilité,

- ( )11 1 et t

eqa f Y d

c

ddd ddt τ

+

+− − ∆ = = = −

est la fonction retard d’endommagement.

Lorsque la vitesse de chargement est faible ( )0 eqd d f Y≅ ⇒ = .

Lorsque la vitesse de chargement élevée 1

c

dτ

→ .

Cette fonction modifie l’évolution de l’endommagement quand le seuil d’endommagement est dépassé. Elle permet de modéliser le fait que l’endommagement n’est pas instantané (non localisation de l’endommagement). Au final pour des vitesses de déformations élevées, on introduit donc la fonction retard d’endommagement sous la forme :


149

.1 1 1 e .c

a tt t

c

d d tεε

τ

− ∆

+ = + − ∆

Où cε est la déformation critique de référence, prise dans notre cas, égale à la déformation critique à rupture statique (Cf chapitre I). II. 8. 7. 1. b) Pour la plasticité : évolution de la limite élastique La fonction de plasticité dépend de la vitesse de déformation et s’écrit :

( ) ( ) 0)(,)(~,, 0 ≤−−= εεσε RpRddpF eqp

L’évolution de la fonction seuil de plasticité est celle donnée par l’identification lors des essais de compression dynamique par :

baR tt += ++ 110 ε

De manière identique à l’endommagement, la plasticité cumulée s’écrit :

tppp ttt ∆∆+= ++ .11 Avec la fonction retard suivante :

teppta

c

tt c ∆

−+=

∆−

+ .11 .1 ε

ε

τ

II. 8. 7. 2. Etude paramétrique de la fonction retard

Les figures suivantes, présentent l’influence des deux paramètres de la loi à effet retard sur les variables du modèle (endommagement, plasticité). Les autres paramètres sont résumés dans le tableau ci-dessous.

Paramètres Valeurs Vitesse de l’impacteur Vi=10 m/s Longueur de l’impacteur Li=0.6 m Longueur de l’échantillon Lep=15 mm Largueur de l’échantillon bep=15 mm Epaisseur de l’échantillon hep=5 mm Type de matériau SMC-R40 Module élastique initial Ep=13500 MPa

Tableau B.II. 10. Caractéristiques du modèle de simulation du banc d’essai de Hopkinson sous MATLAB.

II. 8. 7. 2. a) Influence du paramètre a

Le paramètre cτ étant fixé à 7.e-5, la figure B.II. 33 présente l’influence du paramètre (a) sur l’évolution de l’endommagement dans l’éprouvette : une valeur élevée de a induit une vitesse d’endommagement importante. La valeur finale de l’endommagement est aussi augmentée


150

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008Temps (s)

Endo

mm

agem

ent

a=0.25;tc=7.e-5a=2.5;tc=7.e-5a=10;tc=7.e-5a=25;tc=7.e-5

Figure B.II. 33. Influence du paramètre (a) sur l’endommagement.

L’influence du paramètre (a) sur la vitesse de déformation est peu importante. Pour a=2500, l’endommagement atteint la valeur 1, entraînant la rupture de l’éprouvette, visible sur l’évolution de la vitesse de déformation et conforme à celle obtenue lors des essais.

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008

Temps (s)

Vite

sse

de d

éfor

mat

ion

(1/s

)

a=10;tc=7.e-5

a=25;tc=7.e-5

a=2500;tc=7.e-5

Figure B.II. 34. Influence de (a) sur la vitesse de déformation.


151

II. 8. 7. 2. b) Influence du paramètre τc

Le paramètre (a) étant fixé à 10, le paramètre cτ varie. Le paramètre cτ influence fortement l’endommagement comme attendu (figure B. II. 35 et figure B. II. 36).

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008Temps (s)

Endo

mm

agem

ent d

a=10;tc=7.e-6

a=10;tc=10.e-6

a=10;tc=30.e-6

a=10;tc=70.e-6

Figure B.II. 35. Influence du paramètre (τc) sur l’endommagement.

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

0 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008

Temps (s)

Vite

sse

de d

éfor

mat

ion

(1/s

)

a=10;tc=7.e-6a=10;tc=10.e-6a=10;tc=20.e-6a=10;tc=70.e-6

Rupture, d=1

Figure B.II. 36. Influence du paramètre (τc) sur la vitesse de déformation.


152

II. 8. 7. 3. Identification des paramètres de l’effet retard L’étude expérimentale dynamique n’est pas complète. Nous avons réalisé peu d’essais et surtout, uniquement des essais de compression où il a été identifié que l’endommagement apparaissait lors d’un mode différent de celui de compression. L’identification ne se fera alors que sur l’évolution des seuils d’endommagement et de plasticité. En outre ces deux seuils seront supposés identiques. La courbe expérimentale prise comme référence est celle donnant l’évolution de la limite élastique en fonction de la vitesse de déformation. La méthode est la suivante : - la variable τc est choisie en fonction de la vitesse de propagation des ondes dans le matériau et d’une longueur caractéristique intrinsèque. Dans le cadre d’impacts en dessous du seuil balistique, vitesse de fissuration est au maximum égale à la vitesse de propagation des ondes dans le matériau. La longueur caractéristique est choisie comme égale à l’inverse du rapport de forme indiqué dans le modèle de Mori et Tanaka (Cf. Partie A, Chapitre II). Allix [126, 127, 128] donne :

0. 1cCa rτ

=

Par exemple pour notre matériau 14.1 06c Eτ = − . Le paramètre (a), est choisi par méthode inverse (recalage). Pour notre étude il est choisi égal à 0.25. Les figures suivantes présentent, pour différentes vitesses de déformation, les résultats en termes de contrainte-déformation (figure B. II. 39), contrainte-endommagement (figure B. II. 37) et contrainte-déformation plastique (figure B. II. 38). La vitesse de déformation est augmentée par la diminution de la longueur de l’éprouvette. Le chargement est constant et est obtenu pour une vitesse de l’impacteur de 8 m/s.

0

50

100

150

200

250

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03Endommagement

Con

trai

nte

(MPa

)

L=85 mm; 125 (1/s)

L=35 mm; 253 (1/s)

L=8.5 mm; 536 (1/s)

Figure B.II. 37. Influence de la vitesse de déformation sur l’évolution de contrainte en fonction de

l’endommagement


153

0

50

100

150

200

250

300

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008Plasticité Cumulée p

Con

trai

nte

(MPa

)

L=85 mm; 125 (1/s)

L=35 mm; 253 (1/s)

L=8.5 mm; 536 (1/s)

Figure B.II. 38. Influence de la vitesse de déformation sur l’évolution de la contrainte en fonction de la

plasticité cumulée.

On visualise bien sur la figure B. II. 37 et sur la figure B. II. 38 le décalage des seuils d’endommagement (figure B. II. 37) et de plasticité (figure B. II. 38). Les pentes d’évolution de l’endommagement sont aussi modifiées : plus la vitesse de déformation augmente et plus l’endommagement est retardé (augmentation plus faible en fonction de la contrainte). Ceci est aussi visible sur le comportement contrainte-déformation (figure B. II. 39). L’effet retard introduit sur la plasticité est bien visible également sur les pentes des courbes contrainte-déformation plastique cumulée figure B. II. 38.


154

0

50

100

150

200

250

300

350

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035Déformation

Con

trai

nte

(MPa

)Lep=85 mm; Vit. Def.=125 (1/s)

Lep=35 mm; Vit. Def.=253 (1/s)

Lep=8.5 mm; Vit. Def.=536 (1/s)

Figure B.II. 39. Influence de la vitesse de déformation sur le comportement contrainte-déformation.

II. 9. Conclusion L’étude numérique nous a permis d’implémenter des lois de comportement élastoplastique endommageable de composites SMC-R. Au final la loi de comportement développée comporte 3 aspects : - un modèle micromécanique (Mori et Tanaka) qui, à partir des constituants du composite, permet de déterminer les constantes élastiques du matériau, - une loi élastoplastique endommageable qui prend en compte les comportements différents en traction, compression et cisaillement plan, - un effet des vitesses de déformation sur l’endommagement et la plasticité.


155

Conclusion de la partie B

Une étude expérimentale et une étude numérique ont été réalisées afin de modéliser le comportement des matériaux composites de type SMC-R. La première partie concerne la détermination expérimentale des lois de comportement. Le modèle utilisé est un modèle élastoplastique endommageable permettant de prendre en compte l’endommagement avant rupture et de restituer les déformations résiduelles. Dans ce cadre, des essais de traction, compression, cisaillement on été réalisés. Il apparaît que le comportement de ces matériaux en traction est très différent de celui de compression ; la tenue en compression est très supérieure à celle de traction. Ce phénomène est essentiellement dû aux ruptures d’interface fibre-matrice en traction. Une première étude dynamique à l’aide d’un banc d’essais de Hopkinson a été réalisée sur le comportement en compression. Il s’avère que la vitesse de déformation entraîne une augmentation des seuils d’endommagement et de plasticité. Cependant, le mode de rupture observé en compression dynamique est différent de celui visualisé en compression statique. Une étude en traction et/ou en cisaillement dynamique doit être réalisée afin d’affiner les modèles développés. Cette étude expérimentale nous a permis d’implémenter les lois identifiées. Dans l’analyse numérique de cette partie, chaque essai est comparé à un modèle de comportement. La prise en compte d’un comportement différent en traction et compression est réalisée par deux lois d’endommagement et deux lois de plasticité. Le comportement couplé traction-cisaillement est modélisé classiquement par la mécanique de l’endommagement. Enfin, des premières pistes sont discutées pour prendre en compte les effets de vitesses de déformations dans les lois de comportement développées. Cependant, aucun essai permettant de déterminer le comportement hors plan n’a été réalisé. Les essais dynamiques n’ont fait l’objet que de sollicitations en compression. Le comportement des composites SMC-R semble aussi très lié au mode de fabrication. Le couplage (fort ou faible) de la simulation de la fabrication avec le comportement mécanique doit être réalisé. Il serait intéressant de développer une modélisation du comportement microscopique endommageable couplé avec un comportement macroscopique afin de permettre le passage micro-macro.

Partie C : Comportement des composites SMC-R sous impact basse vitesse

157

PARTIE C

COMPORTEMENT DES COMPOSITES SMC-R SOUS IMPACT BASSE VITESSE

Introduction p. 158

CHAPITRE I : Etude expérimentale de l’impact sur SMC-R I.1. Introduction p. 159 I.2. Matériau et éprouvette p. 159 I.3. Dispositif expérimental p. 160 I.4. Comportement global force-déplacement p. 162 I.5. Contrôle des défauts après impact p. 167 I.6. Influence de taux volumique de fibres sur l’endommagement p. 176 I.7. Conclusion p. 179

CHAPITRE II : Etude numérique de l’impact sur SMC-R II.1. Introduction p. 180 II.2 Généralisation de la loi de comportement utilisée p. 180 II.3. Maillage et conditions aux limites : première approche p. 182 II.4. Maillage et conditions aux limites : Etude paramétrique p. 183 II.5. Distribution des contraintes p. 191 II.6. Distribution des endommagements p. 194 II.7. Comparaison essais/calculs p. 198 II.8. Conclusion p. 205

Conclusion p. 206


158

Introduction de la partie C Le composite (SMC) a été utilisé très longtemps dans l'industrie automobile grâce à certains avantages comparés aux matériaux métalliques. De plus, les matériaux homogènes ne possèdent pas les mêmes caractéristiques que les matériaux composites. Les principaux avantages des SMC sont :

• Un gain de masse supérieur à 30 % par rapport aux métalliques. • Pour la production en petite et grande séries, la réalisation de pièces en SMC coûte

moins cher que la solution métallique, conséquence d'un coût d'outillage plu bas. • Le SMC est un matériau composite qui ne se corrode pas car la matrice est un

polymère et les fibres sont en verre. • Plus de liberté de conception avec des SMC comparé aux métalliques. Lors de

l'élaboration de la pièce ou de la structure, il est aussi possible d'intégrer des fonctions dans le SMC (inserts métalliques, …).

Il y a aussi quelques désavantages à utiliser le SMC dans la construction automobile, par exemple, de légers impacts peuvent causer des fissures. En effet les pièces composites sont souvent sollicitées par des chargements d'impacts qui se produisent en production, maintenance ou service [5]. Cependant, ces matériaux sont très susceptibles aux impacts transverses en termes de résistance et de tolérance au dommage. Comme ce type de composite est de plus en plus utilisé dans l’industrie automobile, les contraintes de sécurité, imposent de réaliser des essais de « crash ». Il devient donc nécessaire de connaître le comportement de ce matériau sous ce type de sollicitation ; les codes de calculs actuels ne permettent pas de modéliser de type ce matériau. Dans un environnement marin, les événements communs d'impact sont des collisions, et en général, tous ces événements d’impact se passent à vitesse relativement basse [68]. Ces événements sont habituellement simulés par des essais d'impact de masse tombante [93]. En choisissant les composites pour de nombreuses pièces automobiles, il est nécessaire de considérer leur sensibilité aux endommagements d'impact, comme par exemple la mesure des dommages occasionnés dans l'épaisseur du matériau par des impacts annexes aux endommagements de pénétration complète. De nombreuses études ont été menées pour des pièces en matériaux composites renforcés de fibre carbone qui sont très sollicitées aux dommages d'impact [93, 94], ce qui n'est pas le cas pour les composites (SMC). Bien que ceux-ci soient maintenant de plus en plus employés pour la réalisation de pièces qui sont soumises aux impacts. On trouve maintenant des composites à fibres courtes en carbone pour des pièces avions. L'intérêt principal de la recherche, dans cette étude, est d'évaluer la propagation de dommages d’impact dans des éprouvettes en matériaux composites. Plusieurs moyens ont été mis en œuvre afin d'évaluer le niveau d’endommagement infligé dans le SMC après impact. Le travail actuel consiste à modéliser numériquement le comportement sous impacts basses vitesses des structures en matériaux composites SMC-R. L’objectif est ici de prévoir les dommages créés lors de sollicitations dynamiques, de comprendre la cinétique d’endommagement mais aussi d’améliorer les modèles de comportement. Une comparaison est faite entre les résultats obtenus expérimentalement et ceux obtenus à partir de la simulation numérique par éléments finis.


159

I. CHAPITRE

ETUDE EXPERIMENTALE DE L’IMPACT SUR SMC-R I. 1. Introduction L’objectif essentiel de ce chapitre est d’observer, d'identifier et de quantifier globalement et localement l’endommagement sous impact à basse vitesse de structures en matériau composite à fibres courtes et résine polyester (SMC-R). Cette étude doit être une référence afin de permettre de modéliser les défauts créés lors d’impacts. C’est pourquoi, les impacts seront réalisés pour plusieurs énergies. I. 2. Matériau et éprouvette Le composite étudié dans cette partie de l'étude est identique à celui utilisé dans les chapitres précédents. Il s'agit d'un mat préimprégné en SMC (Sheet Molding Compound) composé d’un mélange de fibres de verre courtes, de résine polyester insaturée et de charges minérales. On rappelle ci-dessous les caractéristiques de nos matériaux. Sa composition est résumée ci-dessous : - fibres de verre de type E, - des charges minérales de trihydrate d’aluminium (Al OH3) pour la tenue au feu, ou de carbonate de calcium (CaCO3). - un thermoplastique est additionné pour minimiser le retrait lors du refroidissement des plaques, - une résine polyester insaturé (Thermodurcissable). Trois types de plaques dotées de taux massique de fibres différents (MF = 0,2, MF = 0,25 et MF = 0,4) sont utilisés dans cette étude. Une dissolution à l’acide sulfurique a été réalisée sur des éprouvettes prélevées sur chaque plaque afin de connaître le pourcentage volumique de fibres Vf (Tableau C. I. 1).

Taux massique de fibre (MF%)

Taux volumique de fibre (VF%)

Taux volumique de

porosité (Vp%)

Taux volumique de résine

(Vr%)

Charges minérales

20 12.15 3.24 84.61 Ca CO3 25 16.347 6.483 77.17 Ca CO3 40 29.1 3.85 67.05 Al(OH)3

Tableau C. I. 1. Caractéristiques des plaques utilisées lors des impacts.

Disposant d’une tour de chute au laboratoire utilisée essentiellement pour des études d’impacts sur composites structuraux à fibres longues, nous avons utilisé ce dispositif pour nos études expérimentales. Les dimensions des éprouvettes utilisées ainsi que la configuration du dispositif expérimental sont données dans les paragraphes suivants. Les éprouvettes ont été découpées aux dimensions de 150 mm x 100 mm (Figure C. I. 1).


160

Figure C. I. 1. Eprouvette d’impact.

I. 3. Dispositif expérimental La démarche retenue pour notre étude consiste à réaliser des essais d’impact sur des éprouvettes SMC à l’aide d’une tour de chute. Le système d'impact (Figure C. I. 2. ) est constitué d’une masse tombante (impacteur), de capteur d’efforts, de déplacements, de vitesses et d'un système d'acquisition rapide des données d’essais. Les descriptions de l’impacteur et du système d'acquisition sont fournies dans les paragraphes suivants.

Figure C. I. 2. Machine d’impact.

Les essais d’impacts sur les éprouvettes sont effectués par lâcher d'une masse de 2.41 Kg pour le SMC-R40, et de 1.369 kg pour les autres références. La masse est guidée par deux rails

150 mm L l

100 mm L


161

parallèles et verticaux ainsi que par quatre galets. L'extrémité de la masse de l'impacteur est constituée d'un embout hémisphérique en acier de 16 mm de diamètre. Un capteur d’effort piézoélectrique fixé sur l'impacteur permet de mesurer l’effort généré pendant l'essai d'impact. L'avantage d'utiliser une machine à masse tombante est, que la masse tombante peut être facilement adaptée à diverses situations en changeant les conditions aux limites, les formes de l’impacteur, la position initiale de l'impacteur (hauteur), et les conditions d'encastrement de l'éprouvette [3]. Plusieurs recherches ont utilisé la masse tombante [68], et des essais d’impact de masse tombante ont été effectués sur un stratifié en composite verre/polyester pour une large gamme de rapports diamètre/épaisseur Deux cellules photoélectriques parallèles, distantes de 48.5 mm sont localisées au passage de la masse pour mesurer sa vitesse de déplacement au cours de l'essai. L'impacteur est équipé d'un système anti-rebond pour éviter un second impact sur l'éprouvette endommagée et ainsi mesurer l’énergie résiduelle après impact. La figure C.I. 3 montre un synoptique du banc d’essais d’impacts. Les éprouvettes sont simplement appuyées sur une fenêtre rectangulaire mais retenue pour éviter à la plaque de rebondir. Vient et Guédra [95] soulignent qu'il n'existe pas de différence notoire entre une éprouvette simplement appuyée et une éprouvette bridée sur la fenêtre.

Figure C. I. 3. Synoptique du banc d’essais d’impact.

La fenêtre rectangulaire est en acier de dimension de 125 mm de long et 75 mm de large. Trois pions permettent le pré positionnement des éprouvettes au centre de la fenêtre (Figure C. I. 4).

Figure C. I. 4. Support de l’éprouvette.

X

Y


162

Un capteur laser rapide est localisé au dessous de la fenêtre dans l’axe de l’impacteur afin de mesurer le déplacement maximal au centre de l'éprouvette. D’après Loriot et Cardamone [96] la nature des dommages d'impact dépend :

• Du diamètre de l’impacteur • Les conditions d'encastrement de l'éprouvette. • Du niveau d'énergie

Avant l’impact, les paramètres connus sont : la hauteur et la masse de l'impacteur. Les paramètres calculés sont : l'énergie cinétique et la vitesse théorique au cours de l'essai. Le bilan énergétique concernant la masse, sans présence de frottement, nous donne que l’énergie potentielle est égale à l’énergie cinétique. On obtient :

hgVVmhgmEcEp thth **2*21** 2 =⇒=⇒= Eq. C.I. 1

:cinΕ L’énergie cinétique avant l'impact (J). m : La masse de l’impacteur (Kg).

thV : La vitesse théorique juste avant l'impact (m.s-1). g : L’accélération de la pesanteur (m.s-2). h : La hauteur de départ de l'impacteur (m).

Pendant l'essai, les paramètres enregistrés sont la force d'impact et le déplacement du centre de l'éprouvette. Pendant l’essai, une sonde optique a été utilisée pour mesurer le temps mis par l'impacteur pour parcourir les derniers 48.5 mm, juste avant de frapper l'éprouvette. Ce temps passé permet de calculer la vitesse d'impact grâce à l'équation suivante :

essailpendantmesuréTempsmmlasersdeuxlesentrecedislaessaildeVitesse

'"50.48"tan' =

La hauteur de rebond de l'impacteur rebh est également mesurée, ce qui permet de calculer l'énergie dissipée au cours d'essai.

résiduellerésiduelle hgm **=Ε , résiduellereb hh = Eq. C.I. 2

Quatre niveaux d’énergie ont été utilisés : 4J, 8J, 12J et 16J. I. 4. Comportement global force-déplacement Les figures C.I. 5 et C.I. 6 présentent respectivement les évolutions du déplacement maximal au centre de la plaque et de l’effort maximum d’impact pour le matériau SMC-R40 ; les figures C.I. 7 et C.I. 8 pour le matériau SMC-R25. Le tableau C.I. 2 présente un résumé de données maximales moyennes atteintes (effort, déplacement, vitesse) lors des essais.


163

-0.0044

-0.0039

-0.0034

-0.0029

-0.0024

-0.0019

-0.0014

-0.0009

-0.0004

0.0001

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

Temps [s]

Dép

lace

men

t max

. [m

]

4J

8J

12J

Figure C. I. 5. Evolution temporelle du déplacement maximal pour différentes énergies d’impact (SMC-R40).

-100

900

1900

2900

3900

4900

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005Temps [s]

Effo

rt m

ax. [

N]

4J

8J

12J

Figure C. I. 6. Evolution temporelle de l’effort maximal pour différentes énergies d’impact (SMC-R 40).


164

-0.0079

-0.0069

-0.0059

-0.0049

-0.0039

-0.0029

-0.0019

-0.0009

0.0001

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

Temps [s]

Dép

lace

men

t max

. [m

]

4J

12J

16J (essais n° 1,2)

8J

Décollement d'une mèche

Figure C. I. 7. Evolution temporelle du déplacement maximal pour différentes énergies imposées d’impact

(SMC-R 25).

-100

400

900

1400

1900

2400

2900

3400

3900

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045

Temps [s]

Effo

rt m

ax. [

N]

4J

12J

16J (essais n° 1,2)

8J

Figure C. I. 8. Evolution temporelle de l’effort maximal enregistré lors des impacts(SMC-R 25).


165

L’évolution temporelle de l’effort et du déplacement est classique pour des essais d’impact à basse vitesse. L’énergie augmentant, l’effort maximal et le déplacement maximal croient. Lors de la montée en charge, l’évolution de l’effort est assez perturbé (présence d’oscillations). Ces oscillations sont souvent attribuées à des pertes de contacts sous l’impacteur dues à la mise en vibration de la plaque lors de l’impact.

Energie théorique

(J)

Vitesse théorique

(m/s)

Vitesse de l’impacteur

(m/s)

Hauteur résiduelle

(m)

Energie résiduelle

(J)

Déplacement maxi (mm)

Effort maxi (KN)

RéférenceSMC-R

xx

4 1.82 1.80 _ _ 1.908 2.85 40 4 2.417 2.37 _ _ 1.894 2.13 25 8 2.57 2.55 _ _ 3.187 3.4 40 8 3.418 3.217 0.115 _ 2.89 2.57 25 12 3.163 3.15 _ _ 4.04 4.04 40 12 4.2 4.218 0.2 _ 3.9 3.198 25 16 4.83 4.75 _ _ 5.92 3.763 25 16 4.83 4.7 _ _ 6.6 3.5 20

Tableau C. I. 2. Résultats moyens des différents essais d’impact.

Pour des énergies importantes, par exemple 16 J, on remarque un pic local sur l’évolution du déplacement (figure C.I. 7). Ce pic est attribué à un décollement local d’une mèche de fibres sous la plaque comme il sera observé lors de l’analyse des défauts par la suite. Les résultats sont assez reproductibles. La Figure C. I. 9 et la Figure C. I. 10 montrent l’évolution temporelle de l’effort et du déplacement pour le SMC-R 20 pour 3 essais de même énergie.

-0.008

-0.007

-0.006

-0.005

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

00 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

Temps [s]

Dép

lace

men

t max

. [m

]

16J (essai n° 1, 2, 3)

Figure C. I. 9. Evolution temporelle du déplacement maximal à 16J (SMC-R 20).


166

-100

400

900

1400

1900

2400

2900

3400

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005Temps [s]

Effo

rt m

ax. [

N]

16J (essai n° 1, 2, 3)

Figure C. I. 10. Evolution temporelle de l’effort maximal à 16J (SMC-R 20).

Les courbes sont quasiment superposées. Nous avons relevé que les dispersions des résultats sont d’autant plus faibles que le composite SMC-R possède un taux volumique de fibres élevé. La figure C.I. 11 présente l’évolution du déplacement et de l’effort en fonction de différentes énergies appliquées.

Déplacement = 1.7564e0.0488Energie

R2 = 0.9907

Effort= 1.3613e0.0912Energie

R2 = 0.9796

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17Energie appliquée [J]

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Déplacement max. [mm]

Effort max.[KN]

Figure C. I. 11. Evolution du déplacement et de l’effort en fonction de l’énergie appliquée (SMC-R25)


167

Lors de tous ces essais, il n’y a jamais eu de perforation des plaques. I. 5. Contrôle des défauts après impact Les premiers défauts relevés sont visuels. L’impact crée sur la face impactée une empreinte (Barely Visible Impact Damage : BVID) qui peut être mesurée aisément [5], et un gonflement sur la face opposée à l’impact. Les empreintes sont grossièrement circulaires. Le contrôle des défauts après impact est réalisé en plusieurs étapes.

I. 5. 1. Profil de la zone impactée La méthode de mesure du profil permet une acquisition bidimensionnelle d’une surface. Une unité d’avance pilotée déplace un palpeur à vitesse constante parallèlement à la surface. Il contient tous les défauts géométriques : forme, ondulation et rugosité. Plusieurs mesures ont été prises pour quelques éprouvettes afin de révéler la profondeur maximale du cratère laissé par l’impacteur. Cette mesure a été réalisée une semaine après les essais d’impacts afin de laisser le temps au matériau de se relaxer. La Figure C. I. 12 donne le profil de la surface impactée pour 4J, 8J, 12J et 16J des éprouvettes en SMC-R25.

-370

-320

-270

-220

-170

-120

-70

-20

30

-11000 -7000 -3000 1000 5000 9000

X [µm]

Prof

onde

ur d

e l'e

mpr

eint

e [µ

m]

Plaque impactée de 4JPlaque impactée de 8JPlaque impactée de 12JPlaque impactée de 16J

Figure C. I. 12. Profils tracés par la machine à mesurer tridimensionnelle (SMC-R 25).

Ces relevés permettent aussi de déterminer le diamètre de l’empreinte laissée par l’impacteur (Tableau C. I. 3). Pour les énergies de 8J, 12J et 16J, on remarque la présence d'un "bourrelet" de matière sur la périphérie du cratère central de la surface impactée.


168

Diamètre (mm)

Profondeur maximale (µm)

Energie appliquée(J)

4.21 72.260 Essai n° 1 4.30 75.910 Essai n° 2

4

6.65 241.58 Essai n° 1 6.64 200.47 Essai n° 2

8

7.90 305.64 Essai n° 1 7.86 271.56 Essai n° 2

12

8.56 357.90 Essai n° 1 16 8.77 336.30 Essai n° 2

Tableau C. I. 3. Valeurs des défauts mesurés après impact (SMC-R 25).

En traçant la profondeur de l’empreinte en fonction du diamètre de l’empreinte, on s’aperçoit que l’évolution est linéaire (Figure C. I. 13).

Profondeur = 60.513 Diamétre - 183.25R2 = 0.9782

0

50

100

150

200

250

300

350

400

4 5 6 7 8 9 10

Diamétre de l'empreinte [mm]

Prof

onde

ur d

e l'e

mpr

eint

e [µ

m]

Energie de 4 JEnergie de 8 JEnergie de 12 JEnergie de 16 JSé i 6

Figure C. I. 13. Diamètre de l’empreinte en fonction de la profondeur pour différentes énergies (SMC-R 25).

Les étapes suivantes de contrôles, consistent à réaliser une analyse non destructive suivie d’une analyse destructive des plaques impactées. Concernant l'étendue des dommages, deux types de contrôles ont été utilisés. Le premier est un contrôle global obtenu par ressuage puis rayons X, le deuxième est un contrôle plus fin à l’aide d’une analyse microscopique au MEB en découpant les plaques impactées, ce qui permet d’observer localement la présence de fissures dans l'épaisseur de la plaque.


169

I. 5. 2. Observations aux rayons X Des contrôles radiographiques aux rayons X ont été effectués sur des éprouvettes impactées afin de visualiser l’étendue des dommages. Un faisceau d'électrons, accélérés sous une différence de potentiel de quelques dizaines de milliers de volts, va frapper une cible de tungstène, engendrant ainsi un faisceau de rayons X (ondes électromagnétiques de très courte longueur d'onde) [5]. La procédure de contrôle RX sur les matériaux composites nécessite l'utilisation d'un liquide opacifiant à haut degré de contraste. L'éprouvette endommagée est imprégnée par l'opacifiant pendant 30 minutes, cet opacifiant pénètre dans les fissures ce qui fait apparaître un contraste entre les régions endommagées et celles non endommagées. Ensuit l'éprouvette à contrôler est placée sur un film radiographique, et l'ensemble est exposé à rayonnement X de 29.8 KV ,30 mA pendant 1.50 minutes. Ce traitement permet de visualiser le réseau de fissurations. La photographie X montre la présence des microfissurations par de fines traces sombres dues à l'opacifiant [5].

RX sur éprouvette impactée à 4J.

RX sur des éprouvettes impactées à 8J.

RX sur des éprouvettes impactées à 12J.

Figure C. I. 14. Observation aux RX des défauts sur des plaques impactées en SMC-R25.

Ep. 2 Ep. 1

Ep. 2 Ep. 1


170

Les observations aux rayons X (Figure C. I. 14) confirme qu’il y a peu de fissures dans la zone située juste en dessous de l’impacteur (point clair au centre du dommage sur la figure C.I. 14) et ceci quelque soit l’énergie d’impact. Des analyses plus fines au MEB doivent vérifier ce résultat. Ces clichés radiographiques permettent aussi de quantifier l’étendue des défauts. On remarque qu’ils restent globalement circulaires, confirmant l’isotropie dans le plan du matériau SMC-R. I. 5. 3. Contrôle global par ressuage Le but du ressuage est de révéler la présence de défauts débouchants sur la surface de la plaque impactée ainsi que sur la surface opposée (Figure C. I. 15). La plaque impactée est mise en contact avec un liquide pénétrant. Ce liquide pénètre les défauts surfaciques pendant 30 minutes, puis la surface de la plaque est essuyée pour éliminer l'excédent de liquide pénétrant. Enfin, un produit révélateur chargé d’une poudre en suspension est déposé sur la surface de la plaque afin d’absorber le liquide qui a pénétré les défauts. Les fissures apparaissent alors en couleur magenta. On peut visualiser l’apparition de macro-fissures sur la face impactée quand l’énergie d’impact augmente. Ces macro-fissures sont orientées en fonction de l’orientation des mèches sous la face impactée. L’empreinte laissée par l’impacteur est circulaire. Sur la surface opposée à l’impact, les défauts sont plus importants. On peut observer des décollements de mèches de fibres.


171

Face impactée (4J). Face opposée (4J).




Figure C. I. 15. Visualisation par ressuage des défauts sur la face impactée et la face opposée des plaques de SMC-R25.

x

y y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x


172

En conclusion, sur la face impactée, l’augmentation de l’énergie d’impact entraîne l’apparition de macro-fissures sur la périphérie de l’empreinte laissée par l’impacteur. Aucune macro-fissure n’est visible sous l’impacteur. Sur la face de la plaque opposée à l'impact, l’endommagement se caractérise par d’importants défauts (rupture de matrice, rupture de fibres et arrachement des fibres et de la matrice en surface de plaque). I. 5. 4. Contrôle local par ressuage (analyse destructive) L’analyse destructive consiste à réaliser deux découpes suivant les deux axes principaux de la plaque, passant par le centre du défaut. Par la suite, les défauts dans l’épaisseur de la plaque impactée, sont visualisés par ressuage. Cette procédure de contrôle permet d’observer les endommagements dans l’épaisseur de la plaque.

Figure C. I. 16. Observation des défauts internes après impact sur SMC-R25.

Nous pouvons également observer que les dommages les plus importants se situent sur la face opposée au point d'impact. Le ressuage associé à la découpe de l’éprouvette confirme qu’il existe un endommagement interne (dans l’épaisseur) qui est peu apparent sur la surface impactée et qui se propage jusqu’à la face opposée. Etant donné que cet endommagement dans l'épaisseur de la plaque apparaît sous la forme de fissures quasiment parallèles, met en évidence une technologie multi couches du matériau SMC. Ce phénomène est imputable au processus de moulage à la presse des SMC. Pour confirmer ces hypothèses et ces observations, une analyse destructive supplémentaire a été réalisée sur d'autres éprouvettes en SMC-R (Figure C. I. 17).

Figure C. I. 17. Observation des défauts dans l’épaisseur par ressuage (SMC-R25).

Eprouvette impactée de 12J

Cône d’endommagement





Face opposée

Face impactée


173

L’endommagement dans l’épaisseur des plaques impactées se visualise bien sur la Figure C. I. 17. Ces endommagements sont distribués globalement sous forme d’un cône dans l’épaisseur, où le plus petit diamètre du cône est situé côté face impactée. Cette analyse permet également de visualiser de façon correcte la zone non endommagée située sous l’impacteur. Cette zone étant fortement soumise à des contraintes de compression transverses, on peut présumer que l’endommagement suivant les contraintes σ33 est faible en compression. De plus, cette coupe montre des macro-fissures dans le plan de la plaque, sûrement fonction de l’orientation des mèches de verre. Le procédé de fabrication étant une compression du pré imprégné à l’aide d’une presse à plateaux chauffants, il existe au sein du matériau des pseudo-couches (strates), entraînant des macro-fissures de positions privilégiées. La forme conique des endommagements est encore plus visible quand le taux volumique de fibres augmente. La Figure C. I. 18 montre un exemple de défaut obtenu après un impact de 12 J sur le matériau SMC-R40. La zone d’endommagement centrale est conique. Il existe une zone d’endommagement plus lointaine (visualisable face opposée à l’impact) de forme elliptique.

Figure C. I. 18. Forme conique du défaut dans l’épaisseur (SMC-R40, 12J)

I. 5. 5. Observation au MEB Une analyse microscopique a été réalisée sur le chant d'une éprouvette impactée à une énergie de 12J. Cette découpe passant par le centre du défaut, permet d'observer en détail l'existence d'endommagements internes juste en dessous de l’impacteur (Figure C. I. 19). L’analyse microscopique au MEB de la zone impactée révèle :

- des microfissures dans la zone située juste en dessous de l’impacteur (zone 1), - des microfissures en périphérie de l’empreinte laissée par l'impacteur (zone 2).

L'observation de la micrographie montre également deux fissures ; une première fissure interne dans la partie basse centrale du cratère, une seconde fissure à la frontière entre le cratère et le "bourrelet" périphérique de matière.

Face impactée

Face opposée


174

Microfissures Zone 1. Microfissures Zone 2.

Schéma du cône d’endommagement.

Figure C. I. 19. Observation des microfissures au MEB sous l’impacteur(SMC-R25).

I. 5. 6. Contrôle par Ultrasons Le contrôle par Ultrasons est un procède de contrôle non destructif qui consiste à envoyer une impulsion ultrasonore dans le matériau et à observer les échos éventuels réfléchis par les discontinuités rencontrées. Des difficultés sont apparues lorsque le pourcentage de porosité dans la matrice du matériau SMC était important. En effet celles-ci gênent la propagation des ondes ultrasonores dans l'épaisseur du matériau. Deux éprouvettes ont été observées par contrôle US. La première en SMC-R40 a été impactée par une énergie de 4J et la deuxième en SMC-R25 a été impactée par une énergie de 12 J (Figure C. I. 20, Figure C. I. 21, Figure C. I. 22). L’avantage des US est la possibilité de quantifier aisément la taille des défauts.

Zone 1 Zone 2

Zone 1 Zone 2


175

C-Scan en amplitude, écho de fond C-scan en distance de l’écho de défaut

Figure C. I. 20. Endommagements sur la face impactée de 4J (SMC-R40).

C-scan en amplitude de l’écho de fond C-scan en distance de l’écho de défaut

Figure C. I. 21. Endommagements sur la face impactée de 12J (SMC-R25).


176

C-scan en amplitude de l’écho de fond. C-scan en distance de l’écho de défaut.

Figure C. I. 22. Endommagement sur la face opposée de 12J (SMC-R25)

Les mesures réalisées par contrôle US révèlent une surface endommagée de 45 mm2 pour l’éprouvette impactée à 4J pour le SMC-R40, et une surface de 585 mm2 pour l’éprouvette impactée à 12J pour le SMC-R25. I. 6. L’influence de taux volumique de fibres sur l’endommagement Afin de tester l’influence du taux volumique de fibre sur l’endommagement, deux éprouvettes (Tableau C. I. 4) de différents taux volumiques ont été comparées pour la même énergie d’impact de 16J. La comparaison a été réalisée sur le comportement global de l’effort en fonction du temps et du déplacement en fonction du temps (Figure C. I. 23, Figure C. I. 24). Des contrôles par RX et par ressuage sont réalisés au final.

Taux massique de fibre (MF %)

Taux volumique de fibre (VF%)

Charges minérales

25 16.4 CaCO3 20 12.15 CaCO3

Tableau C. I. 4. Références des plaques comparées.

Le SMC-R 20 possédant une raideur globale plus faible que le SMC-R25, le déplacement maximal obtenu lors des essais d’impact est alors plus élevé. Concernant l’effort, une raideur plus élevée entraîne un effort plus important lors de l’impact.


177

-0.007

-0.006

-0.005

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

00 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

Temps [s]

Dép

lacm

ent [

m]

SMC-R 25SMC-R 20

Figure C. I. 23. Influence du taux de fibres sur le comportement global du matériau (déplacement).

-100

400

900

1400

1900

2400

2900

3400

3900

4400

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005

Temps [s]

Effo

rt [N

]

SMC-R 25SMC-R 20

Figure C. I. 24. Influence du taux de fibres sur le comportement global du matériau (effort).


178

Les endommagements relevés par analyse aux RX et par ressuage (Figure C. I. 25 et Figure C. I. 26) montrent des défauts similaires dans leur forme. Sur la face impactée on peut relever de part et d’autre de l’empreinte de l’impacteur, des macro-fissures orientées en fonction de l’orientation des mèches de fibres. Ceci est encore plus visible sur la face opposée à l’impact.

Mf=25% Mf=20%

Figure C. I. 25. Observations au rayon X des éprouvettes de différents taux massique (16J).

Visualisation des défauts sur la face impactée(gauche) et la face opposée (droite), 16J (Mf=25%)

Visualisation des défauts sur la face impactée(gauche) et la face opposée (droite), 16J (Mf=20%)

Figure C. I. 26. Observations au ressuage des éprouvettes de différents taux massique (16J).

x

y

x

y

x

y

x

y


179

I. 7. Conclusion L’objectif principal de cette étude expérimentale a été de déterminer les dommages créés lors d’impacts à faibles vitesses sur les composites du type SMC-R. Des essais d’impacts à basses vitesses ont été réalisés en utilisant une machine à poids tombant pour différentes énergies 4, 8, 12 et 16 J. Deux références de matériaux SMC-R ont été utilisées : un SMC-R40 chargé de thrihydrade d’aluminium et un SMC-R25 chargé de d’oxyde de calcium. Les essais d’impact sont suivis par des contrôles destructifs (ressuage et analyse microscopique au MEB) et non destructif (RX, Ultrason), afin d’analyser et de quantifier les défauts. De plus la profondeur et le diamètre de l’indentation ont été mesurés. Les observations aux rayons X et l’analyse par ressuage montre une zone non endommagée directement sous la zone impactée (compression locale). Des macro-fissures apparaissent sur la face impactée en bord de l’indentation créé par l’impacteur. La forme de l’endommagement dans l’épaisseur est de type conique ; la face opposée à l’impact s’endommageant beaucoup plus. Des décollements de mèches de fibres apparaissent lors des impacts de plus forte énergie. Plus le taux volumique de fibres est élevé, plus le dommage possède une forme conique marquée. Le mode de fabrication par compression de pré imprégné fait apparaître des couches dans ce type de matériau. C’est pourquoi, surtout pour des faibles taux volumiques de fibres, des macro-fissures (pseudo-délaminage des couches) apparaissent dans l’épaisseur des éprouvettes testées. Le chapitre suivant de notre étude présente l’étude numérique de la modélisation du comportement du matériau en SMC-R sous impacts basses vitesses. A la fin du chapitre, une comparaison numérique/expérimentale du comportement à l'impact sera réalisée en terme de comportement global des éprouvettes impactées mais aussi une comparaison de la taille des défauts modélisés.


180

II. CHAPITRE

ETUDE NUMERIQUE DE L’IMPACT SUR SMC-R

II. 1. Introduction

L’objectif de cette étude est de prédire la tenue à l'impact de structures réalisées à partir de composites fibres courtes en modélisant l’apparition des défauts. Les lois de comportement développées dans la partie B sont ici utilisées en dynamique rapide pour rendre au mieux le comportement du matériau. Ces lois sont du type élastoplastique endommageable avec prise en compte des effets de vitesses de déformation. L’étude expérimentale de l’impact ayant permis de quantifier les dommages à l’échelle macroscopique, des comparaisons modèles/essais seront réalisées. Il est évident qu’une approche de l’endommagement à l’échelle microscopique de ces matériaux doit aussi être réalisée [4] mais nous nous sommes restreints à l’échelle macroscopique dans cette étude. C’est une première étape pour une analyse en dynamique rapide (gain en temps de calculs). Le comportement élastoplastique endommageable a été initialement implémenté dans le code de calculs par éléments finis non linéaire implicite SAMCEF/MECANO. Il a été pour cette partie de l’étude implémenté dans le code de calculs par éléments finis explicite SAMCEF/EUROPLEXUS). Il est aussi disponible dans LS-DYNA. Ces lois sont disponibles pour des éléments finis volumiques et coques. L’utilisation avec des éléments de coques ne permet pas de retranscrire la forme des défauts d’impacts dans l’épaisseur (sauf cas particulier avec l’utilisation d’éléments finis multicouches) mais plutôt de donner l’endommagement total. Cependant, le temps de calculs en dynamique rapide en est grandement diminué. II. 2. Généralisation de la loi de comportement utilisée Dans la partie B. II., il a été présenté les modèles de comportement du matériau SMC-R étudié pour des sollicitations simples. On détaille ici la généralisation de ces lois pour une application à l’impact. La loi se décompose en quatre étapes : • Homogénéisation "micro- mécanique"

Cette partie détermine par le modèle micro-mécanique de Mori et Tanaka, la matrice de raideur du composite SMC-R à partir des caractéristiques des constituants (charges, résine, fibres, porosités). La prise en compte du taux volumique de porosités est importante car elle permet de déterminer la masse volumique du matériau et donc le pas de temps de stabilité du calcul à l’aide de la vitesse du son. Ce calcul est réalisé au premier pas de temps (calcul à T0). • Endommagement macroscopique.

L’endommagement est introduit par deux fonctions de la manière suivante : L’endommagement dans le plan est calculé par :

( )1 0, 0d eq TF Y D Y Y Y= − − ≤ Eq. C. II. 1

Avec :


181

12 1 2eqY Y b Y b Y+ +

= + + Eq. C. II. 2

en traction dans le plan x ou y

12 1 2eqY Y b Y b Y− −

= + + Eq. C. II. 3

en compression dans le plan x ou y Où :

12Y est le taux de restitution d’énergie libre en cisaillement plan,

1Y est le taux de restitution d’énergie libre suivant X,

2Y est le taux de restitution d’énergie libre suivant Y. On introduit donc deux fonctions d’endommagement selon que l’on se trouve en traction-cisaillement (partie B, chapitre I, paragraphe 5) ou en compression-cisaillement (fonction estimée à partir des essais de compression pure et de cisaillement pur). La gestion des fermetures de fissures est celle décrite dans la partie B au chapitre II paragraphe 6.

L’endommagement hors plan est calculé par :

( )2 0, 0d eq TF Y D Y Y Y= − − ≤ Eq. C. II. 4

Avec :

13 23 33eqY Y Y b Y+

= + + Eq. C. II. 5

en traction hors plan

13 23eqY Y Y= + Eq. C. II. 6

en compression hors plan Où :

2313 et YY sont le taux de restitution d’énergie libre en cisaillement hors plan,

3Y est le taux de restitution d’énergie libre hors plan. Ne connaissant pas les lois d’endommagement hors plan, nous avons attribué les mêmes lois que pour l’endommagement plan mais modifié en fonction des seuils d’endommagement en cisaillement hors plan déterminés par les essais de flexion 3 points rapprochés (partie B, chapitre I, paragraphe 6). • Plasticité couplée à l'endommagement.

La prise en compte des déformations résiduelles est réalisée par une fonction de charge :

( ) ( ) ( ) 0, 0p eqF p d d R p Rσ= − − ≤ Eq. C. II. 7

Avec : 2

122

13223

233

2222

2211

2 ~~~~~~ σσσσσσ +++++= aaaFp Eq. C. II. 8

( ) 0R p R− est la courbe de plasticité identifiée en traction-cisaillement plan (Partie B,

chapitre I, paragraphe 5).


182

• Effet de la vitesse.

Lors des premières études, l’effet de vitesse n’a pas été pris en compte. Cependant ces effets ont été implémentés comme suit : Tous les seuils des fonctions d’endommagement et de plasticité sont décalés de manière identique par une loi linéaire (Partie B, chapitre II, paragraphe 8) en fonction de la vitesse de déformation équivalente donnée par :

212

213

223

233

2222

2211

2 γγγεεεε +++++= aaaeq Eq. C. II. 9

L’effet retard sur l’endommagement plan, l’endommagement hors plan et la plasticité cumulée est introduit par la fonction exponentielle décrite dans la partie B chapitre II paragraphe 8.

.1 1 1 e .c

a tt t

c

x x tεε

τ

− ∆

+ = + − ∆

Eq. C. II. 10

Où x= (d1, d2, p). II. 3. Maillage et conditions aux limites : première approche Le maillage de la géométrie de l’éprouvette a été effectué par des éléments volumiques à 8 nœuds (trois degrés de liberté de translation par nœud) et 8 points de Gauss par élément (intégration compléte). On impose pour les premières modélisations, dix éléments selon l'épaisseur de la plaque et un élément pour le support ; le support n'est présent dans cette modélisation que pour gérer le contact plaque/outillage. La gestion du contact entre la plaque et l'impacteur est réalisée par un contact solide rigide/solide flexible. L'impacteur est donc rigide, géré par un nœud maître où s'applique la masse. Sa forme est hémisphérique comme celle de l'impacteur de la tour d'impact. La plaque flexible constitue la partie esclave [97].

Figure C. II. 1. Modélisation du contact Impacteur/Plaque.

Le contact plaque/support est géré par contact solide-flexible/solide-flexible.

Surface rigide

Masse

Nœud maître « Point matériel »

Groupe des nœuds esclaves

VZ


183

Impact ponctuel. Impact surfacique.

Figure C. II. 2. Gestion du contact

L’impacteur est fixé selon les déplacements X et Y. La vitesse d'impact est imposée au nœud maître de l'impacteur suivant l'axe Z. La plaque est fixée afin d'éviter des mouvements d'ensemble. Dans le paragraphe suivant, une étude paramétrique du modèle est réalisée :

- variation du nombre d'éléments, - variation des conditions aux limites, - modélisation avec et sans support.

Dans ce cadre, la loi matériau est la loi élastoplastique endommageable sans effets de vitesses de déformation.. II. 4. Maillage et conditions aux limites : Etude paramétrique II. 4. 1. Prise en compte des conditions de symétrie Compte tenu de la symétrie de l’ensemble plaque/support, un quart du système plaque/impacteur a été modélisé. Cependant afin de vérifier la validité de cette condition, nous avons tout de même réalisé un calcul sans symétrie. La prise en compte de la symétrie permet de diminuer le temps du calcul de 2 heures à 45 minutes. Le modèle symétrique possède 25 éléments suivant la longueur de la plaque, 25 éléments suivant sa largeur et 10 éléments dans l’épaisseur. L’élément utilisé est un élément volumique de degré 1 (3ddl de déplacement par nœud) possédant 8 point de Gauss (intégration complète). Pour le modèle complet comme pour le modèle symétrique, le support est encastré sur sa base. La plaque est fixée de manière à éviter des mouvements d’ensemble. (Figure C. II. 3 et Figure C. II. 4).


184

Figure C. II. 3. Maillage et conditions aux limites de système complet d’impact

Les conditions aux limites en fixation du modèle symétrique imposent en plus de fixer les déplacements suivant X et Y sur les axes de symétrie. L’impacteur possède dans ce cas, une masse de ¼ de la masse totale.

Figure C. II. 4. Maillage et conditions aux limites d’un quart système d’impact.

Les courbes suivantes montrent la concordance qui existe entre les résultats numériques pour des impacts sur le modèle complet et le quart de modèle (Figure C. II. 5)

Le support (u, v, w=0)

Nœud 2 (v=0)

Nœud I (u, v=0)

Z Y

X

Groupe(1) des faces de support et plaque (v=0)

Y

Z

X

Groupe (2) des faces de support et plaque (u=0)


185

-0.0025

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003

Temps [s]

Dép

lace

men

t [m

]système complet (dép-impacteur)

système complet (dép-plaque)

1/4 système (dép- impacteur)

1/4 système (dép- plaque)

Figure C. II. 5. Comparaison du déplacement maximal entre le modèle complet et symétrique (SMC-R40, 4J).

II. 4. 2. Influence du support de la plaque Sur la tour de chute, la plaque composite est posée sur une plaque massive en acier. Nous avons voulu tester si la modélisation de ce support était importante. Nous avons donc comparé trois modélisations (Figure C. II. 6):

- Le premier modèle ne modélise que la plaque. Une fixation suivant Z linéique est introduite au droit de la fenêtre d’impact.

- Le deuxième cas prend en compte la modélisation du contact entre la plaque et le support.

- Enfin le troisième cas est identique au deuxième, mais une fixation sur le haut de la plaque est introduite afin de prendre en compte la fixation locale des deux brides utilisées lors des essais.


186

Figure C. II. 6. Maillages des différents modèles utilisés.

II. 4. 2. 1. Résultats déplacement-effort Les résultats des différentes modélisations sont comparés en termes d’évolutions temporelles de l’effort maximal sur l’impacteur et du déplacement maximal au centre de la plaque (Figure C. II. 7et Figure C. II. 8)

-0.0044

-0.0039

-0.0034

-0.0029

-0.0024

-0.0019

-0.0014

-0.0009

-0.0004

0.0001

0.0006

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005

Temps [s]

Dép

lace

men

t max

. [m

]

Modèle EF (Sans modéliser le support)

Modèle EF (En modélisant le support)

Modèle EF (En modélisant lesupport+fixation locale de la plaque)

8 J (SMC-R25)

Figure C. II. 7. Comparaison du déplacement maximal au centre de la plaque entre les différentes

modélisations (SMC-R25, 8J)

Impacteur

Plaque

Support

Groupe (1) des faces de plaque (v=0) Groupe (2) des faces de plaque

(u=0)

Deux lignes inferieures w=0

Y

Z

X

Fixation supplémentaire w=0


187

-100

400

900

1400

1900

2400

2900

3400

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045

Temps [s]

Effo

rt m

ax. [

N]

Modèle EF (Sans modéliser lesupport)Modèle EF (En modélisant le support)

Modèle EF (En modélisant lespport+fixation locale de la plaque)

8 J (SMC-R25)

Figure C. II. 8. Comparaison de l’effort maximal donné par l’impacteur entre les différentes modélisations

(SMC-R25, 8J)

Pour se rapprocher le plus possible du cas réel de l’essai, la modélisation numérique du support joue un rôle important. Les courbes de la figure C.II. 7 font apparaître un déplacement moindre lorsque le support est modélisé. Ce déplacement est minimisé encore plus lorsqu’ on tient compte de la fixation locale de la plaque. Ce phénomène est logiquement inversé pour les efforts. Il apparaît important de modéliser la plaque support et d’autant plus quand les déplacements deviennent importants. Nous avons étudié cette influence dans le paragraphe qui suit. II. 4. 2. 2. Influence du support sur le déplacement Si l’on regarde plus précisément la déformée de la plaque par rapport au support, on peut montrer qu’au cours du chargement le contact éprouvette/plaque évolue. Si initialement le contact est plan, il finit par n’être plus que linéaire sur le bord de la fenêtre de la plaque support. On visualise bien ce phénomène sur plusieurs coupes du modèle en fonction du temps Figure C. II. 9 et Figure C. II. 10.


188

Perte de contact selon Z.

Bord transversal. Bord longitudinal

Figure C. II. 9. Visualisation de la perte de contact plaque/support (SMC-R25, 8J)

Figure C. II. 10. Coupe du modèle : étapes de séparation entre la plaque et le support.

On peut même visualiser une perte de contact plaque/support dans les coins de la fenêtre du support de la plaque. Le contact qui passe d’un appui plan à un appui linéique de forme rectangulaire, devient, pour des déplacements importants, linéique par morceau.

X Y

C2

C3

C4

Plaque

Support

C1

C1 C2 C3 C4


189

II. 4. 3. Influence du nombre de point d’intégration

Pour le modèle utilisant des éléments volumiques, le seul choix possible pour diminuer les temps de calculs est de choisir le nombre de points de Gauss par élément. Afin de connaître l’influence du nombre de point d’intégration par élément, la Figure C. II. 11 montre la comparaison en termes de déplacements maximum entre une modélisation utilisant des éléments à un point de Gauss et une modélisation utilisant des éléments à 8 points de Gauss. Les écarts sont importants entre les deux modèles. La sous intégration peut créer un phénomène de « Hourglass » qu’il faut gérer par l’ajout d’une viscosité artificielle. Afin d’obtenir une bonne distribution des endommagements suivant l’épaisseur de l’éprouvette, nous choisissons des éléments volumiques avec intégration complète.

-0.0035

-0.003

-0.0025

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004

Temps [S]

Dép

lace

men

t max

. [m

]

Dép. plaque cube Dép. impacteur cubeDép. plaque cub8 Dép. impacteur cub8

Figure C. II. 11. Les résultats numériques de comparaison entre cube et cub8 (SMC-R40, 4J).

II. 4. 4. Influence du nombre d’éléments Le nombre d’éléments est un paramètre important à choisir. Il doit être suffisamment important pour bien rendre compte en dynamique rapide de la propagation des ondes (discrétisation spatiale), mais son augmentation peut entraîner des temps de calculs très importants. Une étude a été menée afin de vérifier l’influence du nombre d’éléments suivant la longueur (paramètre NL), la largeur (paramètre NT) et l’épaisseur de la plaque (paramètre NH). Les résultats Figure C. II. 12 et Figure C. II. 13, montrent peu d’influence du nombre d’éléments choisis sur le déplacement maximal de la plaque.


190

-0,004

-0,0035

-0,003

-0,0025

-0,002

-0,0015

-0,001

-0,0005

00 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 0,0045 0,005

Temps [s]

Dép

lace

men

t [m

]

5 Eléments10 Eléments15 Eléments20 Eléments30 Eléments

Figure C. II. 12. Influence de nombre d’éléments selon l’épaisseur sur le comportement de matériau (SMC-R25,

8J, NL=NT=25 éléments).

-0,004

-0,0035

-0,003

-0,0025

-0,002

-0,0015

-0,001

-0,0005

00 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 0,0045 0,005

Temps [s]

Dép

lace

men

t [m

]

NL=NT=20NL=NT=25NL=NT=30

Figure C. II. 13. Influence de nombre d’éléments selon la largeur et la longueur sur le comportement du

matériau (SMC-R25, 8J, NH=10 éléments).

Ces résultats ne donnent pas vraiment d’indication quand au choix du nombre d’éléments. Notre choix a été fixé par la propagation de l’onde dans l’épaisseur de la plaque.


191

Suivant l’épaisseur, lors de l’impact, l’onde de compression se propage jusqu’à la face opposée à l’impact. Afin de rendre compte de la bonne propagation de cette onde, et donc des autres, suivant l’épaisseur de la plaque, une étude à l’aide du modèle MATLAB, détaillé dans la partie B chapitre I paragraphe 8, a été réalisée. Nous avons placé dans notre modèle (banc d’essais de Hopkinson) une éprouvette de longueur égale à l’épaisseur de la plaque impactée. L’effort imposé est celui donné par un essai d’impact à poids tombant. Le nombre minimal d’éléments, déterminé ainsi, est de 6. En dessous l’onde ne propage pas d’élément en élément. II. 5. Distribution des contraintes Afin de bien comprendre les phénomènes d’endommagement sous impact, l’analyse qui suit présente l’état de contrainte et d’endommagement au pic d’effort maximal lors d’une modélisation de l’impact sur une plaque en SMC-R25 à 8J. Une comparaison entre deux modèles numériques possédant des maillages différents est présentée. La distribution des contraintes normales (Figure C. II. 14) suivant X (sens longitudinal de la plaque) et suivant Y (sens transverse de la plaque) est assez logique. La plaque est soumise à un état de traction bi-axiale sur la face opposée à l’impact et à un état de compression bi-axiale sur la face impactée. Ces distributions de contraintes ne sont pas symétriques par rapport à l’épaisseur de l’éprouvette, montrant l’influence locale de l’indentation de l’impacteur ; les contraintes de compression sont plus importantes que celles de traction et localisées face impactée. La distribution de la contrainte normale suivant z est donnée Figure C. II. 14. Quasiment toute l’épaisseur de la plaque est en compression sur une zone très localisée sous l’impacteur. On comprend déjà à l’aide de ces distributions de contraintes, et vu que les composites SMC-R possèdent une meilleur tenue en compression qu’en traction, que l’endommagement sous impact est plus faible face impactée que face opposée à l’impact. La zone non endommagée située juste sous l’impacteur relevé expérimentalement est due à la compression hors plan. La distribution des contraintes de cisaillement plan et hors plan est présentée Figure C. II. 15. Le cisaillement plan est maximal à mi-épaisseur de la plaque juste en dehors de la zone affectée par la compression de l’impacteur et orienté à 45°dans le plan par rapport à l’axe X. Sur un modèle non symétrique, la distribution de cisaillement plan présenterait quatre zones maximales à 45°, 135°, 225° et 315°. La distribution des contraintes de cisaillement hors plan σ13 et σ23 est similaire (Figure C. II. 15). Leurs valeurs maximales sont mêmes quasiment identiques. L’impacteur joue le rôle d’un poinçon local qui cisaille la partie de matière présente sous lui. La zone de contrainte maximale de cisaillement hors plan est située juste en dehors de la zone délimitée par la compression hors plan. Cette zone est plus proche de la face impactée que de la face opposée à l’impact. Dans un repère cylindrique, ces contraintes formeraient une couronne centrée sur l’axe d’impact ; leurs distributions seraient du type tronconique. Ces contraintes de cisaillement hors plan doivent initier les macro-fissures relevées expérimentalement de part et d’autre de l’indentation. La forme tronconique des endommagements relevés expérimentalement lors des impacts semble être due à cet état de contrainte. D’après les essais de flexion 3 points rapprochés, il a été relevé que les contraintes de cisaillement hors plan à rupture sont très faibles comparées aux autres contraintes.


192

Contrainte selon X.

Contrainte selon Y.

Contrainte selon Z .

Figure C. II. 14. Cartographie des contraintes normales pour deux types de maillage et pour l’effort maximal (SMC-R25 8J)


193

Contrainte de cisaillement SXY.

Contrainte de cisaillement SYZ

Contrainte de cisaillement SXZ.

Figure C. II. 15. Cartographie des contraintes de cisaillement pour deux types de maillage et pour l’effort maximal (SMC-R25 8J)


194

Concernant la comparaison des deux maillages, on peut remarquer que l’évolution du déplacement maximal est identique (Figure C. II. 16) ; la distribution des contraintes aussi (Figure C. II. 14 et Figure C. II. 15)

-0.004

-0.0035

-0.003

-0.0025

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005

Temps [s]

Dép

lace

men

t max

. [m

]

NT=NL=25,NH=10

NT=NL=36,NH=19

8J (SMC-R25)

Figure C. II. 16. Déplacement maximal de la plaque en fonction du temps pour deux maillages (SMC-R25, 8J)

II. 6. Distribution des endommagements Concernant la distribution de l’endommagement, la Figure C. II. 17, la Figure C. II. 18 et la Figure C. II. 19 indiquent l’état d’endommagement plan, hors et total pour les deux maillages étudiés à l’effort maximal atteint. L’endommagement plan est essentiellement situé sur la face opposée à l’impact. Le SMC-R s’endommageant rapidement en traction par rapport à la compression, on s’attendait à cette distribution. La taille de la zone affectée est sensiblement égale à 2.5 fois l’épaisseur et est proche de celle relevée expérimentalement. Il n’y a pas d’endommagement sur la face impactée. La distribution de l’endommagement hors plan est proche de celle des contraintes de cisaillement hors plan. L’endommagement affecte toute l’épaisseur du composite sur une zone localisée sous l’impacteur et s’étend sur une longueur de 2.5 fois l’épaisseur. On remarque une zone non endommagée sous l’impacteur proche de la face opposée à l’impact. La visualisation du module des endommagements Figure C. II. 19, nous permettra dans les paragraphes suivants, de comparer la zone endommagée avec celle relevée expérimentalement.


195

Figure C. II. 17. Endommagement plan (à l’effort maxi SMC-R25, 8J).

Figure C. II. 18. Endommagement hors plan (à l’effort maxi SMC-R25, 8J).

Figure C. II. 19. Endommagement total (module à l’effort maxi SMC-R25, 8J)


196

La Figure C. II. 21 montre l’évolution temporelle des endommagements plan et hors plan pour deux éléments repérés Figure C. II. 20. Les valeurs tracées sont les moyennes des 8 points de Gauss sur l’élément considéré.

Figure C. II. 20. Repérage des éléments pour le post traitement de la visualisation temporelle des

endommagements.

Les endommagements augmentent de manière importante jusqu’à l’effort maximal. Ils restent constants par la suite. Lorsqu’il y a des variations d’effort (effort qui diminue localement) l’endommagement reste constant et égal à sa valeur maximale atteinte précédemment. L’endommagement plan face opposée à l’impact augmente plus rapidement que celui face impactée ; la compression locale sous l’impacteur minimise cet endommagement. Par contre, l’endommagement en cisaillement hors plan débute rapidement sous l’impacteur mais plus tardivement sur la face opposée à l’impact. Ces évolutions montrent bien que l’endommagement de forme tronconique relevé expérimentalement est le résultat d’un endommagement en traction de la face opposée à l’impact et d’un endommagement en cisaillement hors plan de la face impactée.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004Temps (s)

Effo

rt (N

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Endo

mm

agem

ent

Effort de l'impacteurEndommagement d1 plan élément face opposée à l'impact, sous limpacteurEndommagement d2 hors plan face opposée à l'impact, sous l'impacteurEndommagement d1 plan, élément face impactée, sous l'impacteurEndommagement d2 hors plan face impactée, sous l'impacteur

Figure C. II. 21. Evolution temporelle des endommagements et de l’effort (SMC-R25 8J).

2ème Elément face impactée 2ème Elément face

opposée à l’impact


197

Remarque 1 : impact basse vitesse et vitesse de déformation Lors d’un impact dit « à basse vitesse », sous entendu basse vitesse de sollicitations, les vitesses de déformations peuvent être élevées. Pour se rendre compte des vitesses de déformations et de la zone influencée, la Figure C. II. 22 montre l’évolution de la vitesse de déformation équivalente moyenne pour 3 éléments :

- Le premier est sous l’impacteur face opposée à l’impact, - Le deuxième est à 10 mm de l’axe de l’impacteur sur un plan de normal x, face

opposé à l’impact, - Le troisième est à 15 mm de l’axe de l’impacteur sur un plan de normal x, à mi-

épaisseur de la plaque. La vitesse de déformation équivalente dans l’élément sous l’impacteur est élévée ; supérieure à 300 /s lors de la montée en charge (phase d’endommagement). L’élément fini situé à 15 mm de l’axe de l’impacteur voit sa vitesse de déformation augmenter jusqu’à 80 /s pendant la phase d’endommagement.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004Temps (s)

Effo

rt (N

)

0

500

1000

1500

2000

2500

Vite

sse

de d

éf. é

quiv

alen

te (1

/s)

Effort de l'impacteurElément sous l'impacteur, face opposée à l'impactElément face opposée à l'impact, rayon 10 mmElément à mi épaisseur, rayon 15 mm

Figure C. II. 22. Evolution temporelle de la vitesse de déformation équivalente et de l’effort (SMC-R25 8J).

Dans les éléments finis directement en contact avec l’impacteur, les vitesses de déformation équivalente peuvent atteindre 3000 /s essentiellement dues à la composante suivant z (Figure C. II. 23).


198

Figure C. II. 23. Cartographie de la vitesse de déformation.

Remarque 2 : Temps de calculs

Les temps de calculs restent assez faibles pour les modèles présentés. Ils sont de l’ordre de 4 heures sur une version non parallèle du code de calculs en utilisant une machine HP XW8500 à 8 Go de mémoire vive et 4 processeurs Xéon, sous LINUX. Le modèle comportant 20 éléments dans l’épaisseur possède environs 50 000 d.d.l. Le modèle micro-mécanique développé par Fitoussi [4] a été testé en explicite. Ce modèle est basé sur l’endommagement local de l’interface fibre-matrice (critère quadratique en contraintes locales autour de la fibre orientée à θ), déterminé à l’aide du modèle micromécanique de Mori et Tanaka. Ce modèle implique de calculer à chaque pas de temps l’état local de contrainte pour chaque orientation de fibres, de tester le critère de rupture, et de remplacer s’il y a rupture, l’interface rompue par une porosité. Les temps de calculs ont augmenté de manière significative (20 heures contre 4 heures) pour le même modèle (le modèle comportait 18 phases donc 18 orientations de fibres). Cependant, une méthode pour diminuer le temps de calcul pourrait être de ne réaliser le calcul d’homogénéisation micro-mécanique de Mori et Tanaka, que tous les n pas de temps, et/ou de ne réaliser le calcul d’homogénéisation que toutes les i phases (orientation). Ces méthodes de calculs n’ont pas été réalisées. II. 7. Comparaison essais/calculs L’objectif est de comparer les résultats numériques et expérimentaux pour quelques cas, en termes de comportement global (effort et déplacement) et local (endommagement). II. 7. 1. Comparaison globale du comportement effort et déplacement Les premières comparaisons essais/calculs ont été réalisées sur le composite SMC-R40. Ce composite possède des caractéristiques mécaniques élevées par la présence de charges importantes de thrihydrate d’aluminium et de son taux volumique de fibres importants (30 %). Ce que nous avons remarqué est surtout, la variabilité faible de son comportement. Les lois élastoplastiques endommageables identifiées sont pratiquement identiques d’un essai à l’autre. C’est pourquoi le comportement global à l’impact des études numériques est proche du comportement expérimental (Figure C. II. 24 et Figure C. II. 25).


199

-0,0035

-0,003

-0,0025

-0,002

-0,0015

-0,001

-0,0005

00 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008

Temps [s]

Dép

lace

men

t max

. [m

]

EssaiModèle EF

8J (SMC - R40)

Figure C. II. 24. Comparaison globale essai/calcul sur SMC-R40 (déplacement-temps).

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

Temps [s]

Effo

rt Im

pact

eur [

N]

Essai

Modèle EF

8J (SMC-R40)

Figure C. II. 25. Comparaison globale essai/calcul sur SMC-R40 (effort-temps).

Concernant le composite SMC-R25, les figures suivantes (Figure C. II. 26, Figure C. II. 27, Figure C. II. 28, Figure C. II. 29) présentent la comparaison essais/calculs du comportement effort et déplacement lors des impacts pour des énergies allant de 4J à 16J. Globalement les comportements déplacement-temps et efforts-temps des modèles numériques sont proches des relevés expérimentaux. Cependant, le déplacement déterminé


200

numériquement est toujours supérieur à celui relevé expérimentalement sauf pour 16 J. Pour ce dernier, il y a eu, lors des essais, des décollements de mèches de fibres que le modèle numérique ne prévoit pas (Figure C. II. 31). Les efforts maximum donnés par l’impacteur sont restitués aussi bien par le modèle avec cependant des variations locales plus importantes. Aucun amortissement matériau n’a été introduit dans le modèle numérique.


201

-0.0022

-0.0017

-0.0012

-0.0007

-0.0002

0.0003

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005

Temps [s]

Dép

lace

men

t max

. [m

]

Essai n° 1Essai n° 2Modèle EF

4J

-100

400

900

1400

1900

2400

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004Temps [s]

Effo

rt m

ax. [

N]


4J

Figure C. II. 26. Evolution du déplacement et de l’effort en fonction du temps (SMC-R25 4J).

-0.0035

-0.003

-0.0025

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005

Temps [s]

Dép

lace

men

t max

. [m

]

Essai Modele EF

8J

-100

400

900

1400

1900

2400

2900

3400

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045

Temps [s]

Effo

rt m

ax. [

N]

EssaiModèle EF

8J

Figure C. II. 27. Evolution du déplacement et de l’effort en fonction du temps (SMC-R25 8J).

-0.0045

-0.0035

-0.0025

-0.0015

-0.0005

0.0005

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005

Temps [s]

Dép

lace

men

t max

. [m

]


12 J

-100

400

900

1400

1900

2400

2900

3400

3900

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045Temps [s]

Effo

rt m

ax. [

N]


12 J

Figure C. II. 28. Evolution du déplacement et de l’effort en fonction du temps (SMC-R25 12 J).

-0.006

-0.005

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005

Temps [s]

Dép

lace

men

t max

. [m

]

EssaiModèle EF

16 J

-100

400

900

1400

1900

2400

2900

3400

3900

4400

4900

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045

Temps [s]

Effo

rt m

ax. [

N]

EssaiModèle EF

16 J

Figure C. II. 29. Evolution du déplacement et de l’effort en fonction du temps (SMC-R25 16 J).


202

La figure suivante résume les remarques précédentes en termes de valeurs maximales.

Déplacement max. = 0.0002 Energie + 0.0012R2 = 0.9906

Déplacement max. = 0.0003 Energie + 0.0006R2 = 0.9875

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.0035

0.004

0.0045

0.005

0.0055

0.006

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Energie [J]

Dép

lace

men

t max

. [m

]

ExpérimentalNumériqueLinéaire (Numérique)Linéaire (Expérimental)

Effort max. = 144.29 Energie + 1431.3R2 = 0.9967

Effort max. = 188.81 Energie + 1238.1R2 = 0.9904

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Energie [J]

Effo

rt m

ax. [

N]

ExpérimentalnumériqueLinéaire (Expérimental)Linéaire (numérique)

Figure C. II. 30. Comparaison essai-numérique en fonction des énergies d’impact sur les pics d’effort et de

déplacement (SMC-R25).

Les plus gros écarts sont pour les impacts de 16J où les décollements de mèches entrainent des déplacements expérimentaux plus importants.

Figure C. II. 31. Décollement des mèches de fibres pour une éprouvette impactée de 16J (SMC-R25).

II. 7. 2. Comparaison des zones d’endommagements La Figure C. II. 32 présente l’endommagement numérique total après impact, comparé à celui relevé par ressuage après essai pour le SMC-R40. On peut visualiser l’étendue de l’endommagement suivant l’épaisseur mais aussi suivant la largeur de la plaque. Le rayon maximal de l’ensemble des éléments endommagés est d’environ 13 mm à comparer à celui relevé expérimentalement : 15 mm. La première zone endommagée est représentée par un endommagement compris entre 0.35 et 1 (0.35 correspondant à l'endommagement à rupture en traction). Cette zone correspond au cône d'endommagement relevé expérimentalement par ressuage. Cet endommagement est directement lié à l'impact. La deuxième zone (endommagement compris entre 0 et 0.35) est un endommagement essentiellement en surface, traduisant les dommages dus à la flexion de la plaque lors de l'impact. Cette zone est bien relevée par ressuage. L’étude numérique et l’étude expérimentale montrent que le rayon maximal de l’endommagement de la face impactée est égale à une fois l’épaisseur de la plaque, celui de la face opposée à trois fois l’épaisseur.


203

Zone 2 : d [0;0.35] Zone 1 : d [0.35;1]3 * ep

ep

Zone 2 : d [0;0.35] Zone 1 : d [0.35;1]3 * ep

ep

≅ 12 mm

12 J

3 * ep

12 J

3 * ep

Figure C. II. 32. Comparaison essais/calculs de la zone endommagée créée lors d’impact (SMC-R40 12J).

La forme globale de l'endommagement sous impact est assez bien restituée par l'analyse numérique explicite et au niveau de la comparaison locale, le modèle numérique est en bon accord avec les observations relevées lors des essais. La Figure C. II. 33 montre la comparaison essais/calculs de la zone endommagée par impact à 8J pour le SMC-R25 avec prise en compte de l’effet de vitesse sur les seuils d’endommagement et de pseudo plasticité. L’effet retard est aussi pris en compte.

Figure C. II. 33. Comparaison essais/calculs de la zone endommagée créée lors d’un impact (SMC-R25 8J).

On s’aperçoit que l’endommagement est restreint à la zone conique sous l’impact et ne

s’étend pas comme sur la figure C. II. 32 à la zone 2. La taille de la zone endommagée est proche de celle relevée expérimentalement sauf sur la face impactée. L’étendue de l’endommagement sur la face opposée à l’impact est de l’ordre de 2 fois l’épaisseur. L’étendue de l’endommagement sur la face impactée est de l’ordre de 0.5 fois l’épaisseur ; les dimensions sont plus faibles que celles trouvées expérimentalement.

ep

ep

ep

0.5ep

ep


204

La figure C. II. 34 présente l’évolution des endommagements plan et hors plan moyen de l’élément du modèle, face opposée à l’impact pour différentes énergies. Les évolutions sont similaires. On remarque que pour de fortes énergies, l’endommagement hors plan débute plus tôt.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012 0.0014 0.0016 0.0018 0.002Temps (s)

Endo

mm

agem

ent

Impact à 8 J

Impact à 12 J

Impact à 16 JEndommagement plan

Endommagement hors plan

Figure C. II. 34. Evolution temporelle des endommagements dans l’élément sous l’impacteur face opposée à

l’impact (SMC-R25)

La comparaison de l’endommagement local est aussi réalisée sur la profondeur de l’empreinte laissée par l’impacteur (indentation). Numériquement cette empreinte est due à la prise en compte des déformations résiduelles. La Figure C. II. 35 permet de comparer le profil de l’empreinte entre les essais et les différents calculs. Le tableau C.II. 1 résume ces comparaisons en termes de valeur maximale


205

-420

-370

-320

-270

-220

-170

-120

-70

-20

30

-11000 -8000 -5000 -2000 1000 4000 7000 10000

X [µm]

Pro

fond

eur d

e l'e

mpr

eint

e [µ

m]

Plaque impactée de 4JPlaque impactée de 8JPlaque impactée de 12JPlaque impactée de 16J4 J (Numérique)8 J (Numérique)12 J (Numérique)16J (Numérique)

Figure C. II. 35. Comparaison essais/calculs de la profondeur de l’empreinte pour 4 énergies (SMC-R25).

Energie appliquée (J) Profondeur expérimentale (µm) Profondeur numérique (µm)

4 77.36 113 8 241.6 262

12 307.33 352 16 357.60 391

Tableau C. II. 1. Comparaison essai/numérique profondeur de SMC-R25.

Le modèle numérique n’est cependant pas assez fin pour retranscrire correctement l’indentation et surtout le « bourrelet » de part et d’autre de l’indentation. II. 8. Conclusion

L’étude numérique réalisée dans cette partie a eu pour objectif de modéliser le comportement sous impact de composites à fibres courtes de type SMC-R. Pour ce faire les lois de comportement élastoplastique endommageable avec effet de vitesse ont été implémentées dans un code de calcul explicite SAMCEF/EUROPLEXUS). Après une étude paramétrique concernant la modélisation (influence des conditions aux limites, du nombre d’éléments, du type d’éléments), permettant de mettre au point le modèle numérique, des comparaisons du comportement global (effort d’impact, déplacement maximal) et local (zone endommagée, indentation) ont été réalisées. L’analyse numérique retranscrit bien le comportement global de l’effort et du déplacement. La perforation des plaques n’a pas été modélisée. La zone endommagée de forme tronconique observée expérimentalement est aussi bien restituée.


206

Conclusion de la partie C

La sensibilité aux endommagements d’impact de matériaux SMC-R est un facteur très important à considérer (impact local, étude de crash, chocs aux piétons…etc). Notre étude expérimentale a permis de quantifier pour différentes références de SMC-R et pour différentes énergies d’impacts, les dommages. Leur forme est du type tronconique : l’endommagement face opposée à l’impact est plus étendu que l’endommagement face impactée. Une zone très localisée sous l’impacteur n’est pas endommagée. Par la suite, un modèle de comportement élastoplastique endommageable développé dans les chapitres précédents a été implémenté dans un code des calculs par éléments finis non linéaire explicite (SAMCEF/EUROPLEXUS). Les simulations numériques de l'impact sont en bon accord avec les résultats expérimentaux. Les résultats montrent une bonne corrélation essai-calcul sur le comportement global effort et déplacement maximum au centre des éprouvettes, La taille de la zone endommagée est aussi bien restituée. La prise en compte des effets de vitesse de déformation semble importante pour la simulation des défauts créés lors d’impacts à basse vitesse.

Conclusion générale

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CONCLUSION GENERALE

L’étude menée dans le cadre de cette thèse a eu comme principal objectif d’établir le comportement du matériau composite à fibre courtes de SMC-R pour l’étude des endommagements sous impact à basse vitesse. Dans un premier temps, une étude bibliographique a été menée sur le comportement et la tenue à l’impact des matériaux SMC-R. Concernant le comportement, les approches micromécaniques sont basées sur la technique d’homogénéisation qui permet de déterminer les propriétés élastiques macroscopiques de notre matériau. Le modèle proposé permet de faire un couplage d’un modèle micro- mécanique (modèle de Mori et Tanaka) et d’un modèle méso-mécanique (modèle du LMT de Cachan). Le modèle micromécanique a permis de déterminer les caractéristiques élastiques du matériau. Le modèle méso-mécanique a été utilisé afin de réaliser un couplage plasticité à écrouissage isotrope/cinématique avec l’endommagement. Dans un deuxième temps, une étude expérimentale et numérique a été réalisée sur le comportement du SMC-R sous différentes sollicitations. Des essais de caractérisations ont été réalisés sous sollicitations de traction simple, traction cyclique, compression pure, compression cyclique, couplage traction-compression, couplage traction-cisaillement et enfin compression dynamique. Ces essais ont permis de déterminer les paramètres de la loi élastoplastique endommageable utilisée par la suite lors des études sur l’impact. Le modèle élastoplastique endommageable élaboré dans ce travail, a été implémenté sous un code de calculs implicites (SAMCEF/MECANO) et explicites (SAMCEF/EUROPLEXUS) Des premiers essais de caractérisation dynamique en compression ont permis de prendre en compte les effets de vitesse de déformation sur le comportement mécanique. L’analyse expérimentale du comportement sous impact basse vitesse, a été effectuée en utilisant une machine à poids tombant pour différentes énergies 4, 8, 12 et 16 J. L’objectif important a été de déterminer les dommages créés lors d’impact et aussi de déterminer la cinétique d’endommagement. Pour cela, les éprouvettes impactées ont subies des contrôles destructifs (MEB, ressuage), et non destructifs (RX, US, ressuage) afin de quantifier la taille des dommages nécessaire à une corrélation essais/calculs. La forme des dommages créée lors des impacts à basse vitesse est du type tronconique. Les lois de comportement développées dans la deuxième partie, ont été appliquées à l’analyse par éléments finis du comportement sous impact. L’objectif est de permettre la prédiction des dommages sous chocs de structures composites à fibres courtes. La forme et l’étendue des dommages sont assez bien retranscrites par les simulations en dynamique rapide.

PERSPECTIVES

Plusieurs pistes pour continuer cette étude peuvent être envisagées. En premier lieu, nous n’avons pas abordé l’endommagement micromécanique. Des études sur le couplage micro-macro doivent être envisagées afin de déterminer des lois d’endommagement à l’échelle microscopique. Les effets de vitesse de déformation n’ont été abordés qu’à l’aide d’essais de compression dynamique. Actuellement une étude traite du comportement en vitesse de composites en

Conclusion générale

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traction et cisaillement plan et hors plan. Ces études ont permis de développer des montages d’essais spécifiques adaptés au banc d’essais de Hopkinson. Concernant la modélisation des défauts lors d’impacts, nous avons relevés des pseudo-délaminages dus au mode de fabrication par compression des SMC-R. Ces endommagements pourraient être pris en compte dans les modèles par l’introduction de décollements. Pour des impacts à énergie élevée, des mèches de fibres sont éjectées du composites SMC-R. Une méthode pour modéliser ce phénomène est l’utilisation de SPH. Des modèles numériques sont en cours de développement. Enfin, pour aborder la notion de tolérance aux dommages, il est intéressant de coupler le calcul explicite permettant de modéliser le défaut créé lors d’un impact, à un calcul implicite post impact. Le modèle d’impact utilisé sous SAMCEF/EUROPLEXUS peut être importé dans un modèle implicite sous SAMCEF/MECANO à partir d’un temps fixé. L’un des développements futurs est de lier les deux codes. Ceci semble pour l’instant relativement simple ; les deux codes disposants de la même loi de comportement et des mêmes types d’éléments finis.

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Publications ou acte de colloques qui découlent des travaux de thèse : F. LACHAUD, A. AL-MAGRIBI, J. J. BARRAU COMPORTEMENT SOUS IMAPCT BASSE VITESSE DE COMPOSITES A FIBRES COURTES. Revue des composites et des matériaux avancés, Edition Lavoisier, vol 17/1.2007.

F. LACHAUD, A. AL-MAGRIBI, J. J. BARRAU BEHAVIOUR UNDER IMPACT LOW SPEED OF COMPOSITE IN SHORT FIBERS. 12th European Conference on Composite Materials, ECCM12, Biarritz, 29th August - 1st September 2006

F. LACHAUD, A. AL-MAGRIBI, J. J. BARRAU ANALYSE NUMERIQUE ET EXPERIMENTALE DE STRUCTURES COMPOSITES A FIBRES COURTES SOUS IMPACTE BASSE VITESSE. 1ér congrès international francophone de mécanique avancée, CIFMA01 - IFCAM01, 02-04 mai 2006, faculté de Génie Mécanique d’Alep/SYRIE. F. LACHAUD, A. AL-MAGRIBI, J. J. BARRAU ANALYSE NUMERIQUE ET EXPERIMENTALE EN TRACTION COMPRESSION DE STRUCTURES COMPOSITES A FIBRES COURTES. 2éme congrès international francophone de mécanique avancée, CIFMA02 - IFCAM02, 14-16 mai 2007, faculté de Génie Mécanique d’Alep/SYRIE. F. LACHAUD, A. AL-MAGRIBI, J. J. BARRAU BEHAVIOR OF SHORT FIBER COMPOSITES UNDER TRACTION COMPRESSION LOAD 15èmes Journées Nationales sur les Composites, JNC15, Marseille, 6-8 Juin 2007.

F. LACHAUD, A. AL-MAGRIBI, J. J. BARRAU SIMULATION NUMERIQUE DE COMPORTEMENT DE STRUCTURES COMPOSITES A FIBRES COURTES SOUS IMPACT GRANDE VITESSE 3éme congrès international francophone de mécanique avancée, CIFMA03 - IFCAM03, 21-23 Avril 2007, faculté de Génie Mécanique d’Alep/SYRIE.

Résumé : L’objectif de cette étude est de modéliser le comportement d’un matériau composite à fibres courtes soumis à des impacts basses vitesses. Le matériau étudié est un matériau composite préimprégné SMC « Sheet Molding Compound », composé de résine polyester, de fibres courtes de verre E et charge minérales. Une première partie de l'étude rappel les lois élastoplastiques endommageables de ce type de matériau. Ces lois ont été implantées dans un code de calcul explicite par éléments finis (LS_DYNA et EUROPLEXUS). Des essais de caractérisations des SMC-R sous diverses sollicitations ont été réalisés afin de mettre en place de nouvelles lois de comportement. Les sollicitations sont de types traction simple, traction cyclique Pure, compression pure, compression cyclique pure, couplage de traction-compression, cisaillement simple, cisaillement cyclique, couplage cisaillement –traction et compression dynamique. Une première approche des effets de vitesse de déformation sur le comportement sont mis en place. Les essais ont permit de déterminer les lois d’endommagement et de plasticité afin de les implémenter dans un code de calculs par éléments finis. Les lois obtenues étant nécessaires à l’étude de l’impact. La deuxième partie de l'étude présente l'analyse expérimentale de l'impact. Les impacts ont été réalisés à l’aide d’une machine d’impact à masse tombante pour différentes énergies (4, 8, 12, 16 J). Les défauts après impacts sont contrôlés par RX, ressuage, et analyse microscopique afin d'analyser et quantifier les défauts créés pendant les impacts. Ces analyses ont montré un défaut après l'impact du type tronconique dans l'épaisseur des plaques. Enfin, une comparaison est fait entre les résultats obtenus expérimentalement et ceux obtenues à partir de la simulation numérique explicite. La comparaison des résultats expérimentaux et numériques a montré que les simulations numériques de l'impact sont en bon accord avec les résultats expérimentaux autant en termes de comportement global (effort et déplacement) qu’en termes de tailles des défauts relevés après impacts. Mots-clés : SMC, Composite, Impact, Endommagement, Plasticité, Vitesse de déformation. Abstract The objective of this work is to investigate the behaviour of a short fiber composite material subjected to low speed impacts. The studied material is a SMC composite material realized by compressive moulding. A first part of the study gives elastoplastic with damage behaviour of this type of material. These laws were coded into the user defined material subroutine of (LS-DYNA3D and EUROPLEXUS). Characterizations tests of the SMC-R were realized in order to identify non linear behaviour. The tests realized are tensile test, compressive test, shearing test and dynamic compressive test. The tests have allowed us to identify damage behaviour. The obtained behaviour is necessary for the study of impact. The second part of the study presents the experimental analysis of the impact. The impacts were realized for various energies (4, 8, 12, 16 J). The defects after impact tests are controlled by RX testing, US control, and microscopic observation, in the aim to analyze and quantify the defects create during the impacts. These analyses showed a conical defect in the thickness of plates. Finally a comparison is made between the results obtained experimentally and those obtained from an explicit numerical simulation. This comparison shows that the numerical simulations of impact behaviour are in good agreement with the experimental results. The results globally show a global correlation for the load-displacement behaviour and a local correlation for the defect size. Key-words: SMC, Composite, Impact, Damage, Plasticity, strain rate.

DOCTEUR DE L'UNIVERSITE PAUL SABATIER

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