dụng mặt trong các công th c: v NDo đó ( ) 2( 4)C y x x= - + cắt d(y) = m tại điểm...

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH

Trang 1

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

I. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Sử dụng mặt trong các công thức: với n *N

2 2

22

2 12 1

0 0

0

n n

nn

nn

A BA B

A B

BA B

A B

A B A B ++

³ Ú ³ì= Û í =î

³ì= Û í

=î

= Û =

Chú ý: .A B AB= và 2A B A B= chỉ đúng khi 0 0A B³ Ù ³ Bài 1. Giải phương trình: 01312 2 =+-+- xxx (*)

Đề tuyển sinh Đại học khối D – 2006 Giải:

Ta có: (*) 22 1 3 1x x x- = - + -

2

4 2 3 2

2

4 3 2

2 2

3 1 0

2 1 9 1 6 6 2

3 1 0

6 11 8 2 0

3 5 3 52 2

( 1) ( 4 2) 0

3 5 3 52 2

1 2 2

1 2 2

x x

x x x x x x

x x

x x x x

x

x x x

x

x x

x x

ì- + - ³ïÛ í- = + + - - +ïî

ì - + £ïÛ í+ + - + =ïî

ì - +£ £ïÛ í

ï - - + =îì - +

£ £ïÛ íï = Ú = ±î

Û = Ú = -

Bài 2: Giải phương trình: 5 1 3 2 1 0x x x- - - - - = (*) Giải:

(*) 5 1 3 2 1x x xÛ - = - + - ( Điều kiện x

2 2

5 1 4 3 2 3 2. 1

2 2 3 2. 1

4 4 4(3 5 2) (do x 1 x+2 0)

x x x x

x x x

x x x x

Û - = - + - -

Û + = - -

Û + + = - + ³ Þ ³


Trang 2

(loại do điều kiện 1Ûx ) Û

êê

ë

é

=

=Û=+-

112

20424211

x

xxx 2=Û x

Bài 3: Giải phương trình : 2 2( 3) 10 12x x x x+ - = - - (*) Giải:

Điều kiện 210 0 10 10x x- ³ Û - £ £

Ta có: (*) 2( 3) 10 ( 3)( 4)x x x xÛ + - = + -

2

2

2 2

2

( 3)( 10 4) 0

3 10 4

43

10 8 16

43

4 3 0

43

1 3

x x x

x x x

xx

x x x

xx

x x

xx

x x

Û + - - + =

Û = - Ú - = -

³ìÛ = - Ú í

- = - +î³ì

Û = - Ú í- + =î³ì

Û = - Ú í = Ú =î

3xÛ = - (nhận với điều kiện 10 10x- £ £ )

Bài 4: Giải phương trình: 2( 1) ( 2) 2x x x x x- + - = Giải:

Điều kiện:( 1) 0 0 1

0 2 0( 2) 0 2 0

x x x xx x x

x x x x

- ³ £ Ú ³ì ìÛ Û = Ú £ - Ú ³í í+ ³ £ - Ú ³î î

(**)

Phương trình (*) 2 2( 1) ( 2) 2 ( 1)( 2) 4x x x x x x x xÛ - + + + + + =


Trang 3

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2 ( 2) 2 2 (2 1)

10

24 ( 2) (2 1)

10

2[4( 2) (2 1) ] 0

10

2(8 9) 0

10

29

08

x x x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

Û + - = - = -

ì £ Ú ³ïÛ íï + - = -îì £ Ú ³ïÛ íï + - - - =îì £ Ú ³ïÛ íï - =îì £ Ú ³ïïÛ íï = Ú =ïî

9

08

x xÛ = Ú = (nhận so với điều kiện (**))

Bài 5. Giải phương trình 5 1 3 2 1 0x x x- - - - - = Giải:

Điều kiện:

2

2

2 8 6 0 3 1

1 0 1 1

2 2 0 1

x x x x

x x x

x x

ì + + ³ £ - Ú ³ -ìï ï- ³ Û £ - Ú ³í íï ï+ ³ ³ -îî

1 1 (1)x xÛ = - Ú ³

Lúc đó ( * ) 2 2 2 23 8 5 2 2 8 6. 1 4 8 4x x x x x x xÛ + + + + + - = + +

2 22 2( 3)( 1) .( 1) 1x x x xÛ + + - = -

ïî

ïíì

³-

-+=-++

01

)1()1()1()1)(3(82

222

x

xxxxx

2( 1) ( 1)[8( 3) ( 1)] 0

1 1

x x x x

x x

ì + - + - - =í

£ - Ú ³î

ïî

ïíì

³Ú-£

-=Ú±=

11725

1

xx

xx

1x = ± (nhận do điều kiện (1))

Bài 6: Giải phương trình: 22 1 ( 1) 2 0x x x x x- - - - + - = (*) Giải:

Điều kiện: 1x ³


Trang 4

(nhận so điều kiện)

Lúc đó phương trình ( * ) 2( 1 1) ( 1)( 1 1) 0x x x xÛ - - - - - - =

2

( 1 1)[ 1 1 ( 1)] 0

1 1 1 1 ( 1)

1 1 1 1 ( 1) 2 ( 1)

2 2 2 2 ( 1) 0

x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x

Û - - - - - - =

Û - = Ú - = + -

Û - = Ú - = + - + -

Û = Ú - + + - =

22 ( 1) 1 2 ( 1) 0x x x xÛ = Ú - + + - = (vô nghiệm) 2xÛ =

Bài 7. Giải phương trình: 2 24 2 3 4x x x x+ - = + - (*)

Giải:

Điều kiện: 2 2x- £ £

Ta có: (*) 22 4 (3 1)x x xÛ - = - -

22

2

2 2

2

20

3 1( 2)

4 (2 )(2 )(3 1)

12

3(2 ) (2 )(2 )(3 1)

12

3(2 )[(2 )(2 )(9 6 1)] 0

12

31

2 0 (6 126)9

xxx

x x xx

x x

x x x x

x x

x x x x x

x x

x x x

-ì ³ï -ïÛ í -ï = - = - +ï -îì < Ú ³ïÛ íï - = - + -îì < Ú ³ïÛ íï - - - - + =îì < Ú ³ïïÛ í -ï = Ú = Ú = ±ïî

Bài 8. Giải phương trình: 3 1 6 3 2 14 8 0 (*)x x x x+ - - + - - = Tuyển sinh ĐH khối B/2010

Điều kiện 1

63

x-

£ £

Ta có: 2(*) ( 3 1 4) (1 6 ) 3 4 5 0x x x xÛ + - + - - + - - =


Trang 5

3 15 5 13( 5)( ) 0

33 1 4 1 6

3 1( 5) 3 1 0

3 1 4 1 6

5

3 13 1 0 (1)

3 1 6 1

x xx x

x x

x xx x

x

xx x

- -Û + + - + =

+ + + -é ù

Û - + + + =ê ú+ + + -ë û=é

êÛ ê + + + =ê + - +ë

5xÛ = (do 1

63

x-

£ £ nên (1) vô nghiệm)

Bài 9. Giải phương trình: 3 1x + + 3 2x + + 3 3x + = 0 (*)

Giải Ta có: (*) Û 3 1x + + 3 2x + = - 3 3x + Û ( 3 1x + + 3 2x + ) 3 = - (x + 3) Û (x + 1) + (x + 2) + 3. 3 1x + . 3 2x + ( 3 1x + + 3 2x + ) = -x - 3 Û 3 1x + . 3 2x + ( 3 3x- + ) = -x - 2 (do*) Û (x + 1)(x + 2)(x + 3) = (x +2) 3 Û (x + 2) 2 2( 4 3) ( 2)x x xé ù+ + - +ë û = 0

Û x = -2 Bài 10: Chứng minh với mọi m dương thì phương trình:

2 2 8 ( 2) 0x x m x+ - - - = , luôn có hai nghiệm thực phân biệt

Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2007

Giải Ta có: 2 2 8 ( 2)x x m x+ - = -


Trang 6

(d)y = m

(C) y

2 α x

0 2

( 2)( 4) . 2

0 2

2. 2.( 4) 0

0 22

2 2( 4)

m x

x x m x

m x

x x x m

m xx

x m

> Ù ³ìïÛ í- + = -ïî> Ù ³ìïÛ í é ù- - + - =ï ë ûî

> Ù ³ìïÛ = Ú í- + =ïî

(*) Xét hàm số 2( 4)y x x= - + trên [2, )+¥

Thì 4 3

' 2 0 22 2 2 2

x xy x x

x x

+= - + = > " >

- -

Þ y đồng biến trên (2, )+¥ ( ) (2) 0, (2, )y x y xÞ > = " Î +¥

Do đó ( ) 2( 4)C y x x= - + cắt d(y) = m tại điểm duy nhất có hoành độ 2a > Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực 2 và a .

Bài 11: Tìm m để phương trình: 2 2 2 1x mx x+ + = + có hai nghiệm thực Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006

Giải

Ta có: 2 2 2 1x mx x+ + = +

2 2

12

2 4 4 1

x

x mx x x

ì ³ -ïÛ íï + + = + +î

2

12

3 4 1

x

x x mx

ì ³ -ïÛ íï + - =î


Trang 7

12

13 4

x

x mx

ì ³ -ïïÛ íï + - =ïî

(do x = 0 không là nghiệm)

Xét 1

( ) 3 4 ( )f x x Cx

= + - trên { }1, \ 0

2D é ö= - +¥÷êë ø

Ta có:

Do đó yêu cầu bài toán Û (d): y = m cắt (C) tại hai điểm Û m92

³

Cách 2: Đặt ẩn số phụ thích hợp

Bài 12: Giải phương trình: 2 23 2 1x x x x- + - + - = (*)

Giải

Điều kiện 2

2

3 01 2

2 0

x xx

x x

ì - + ³ï Û - £ £í- + + ³ïî

Đặt t = 2 3x x- + (điều kiện 0t ³ )

2 2 2 23 2 5t x x x x tÛ = - + Û - + + = -

Phương trình (*) trở thành: 25 1t t- - = 2 2 2

2

5 1 1 5 2 1

1 2 0 2

t t t t t t

t t t t

Û - = - Û ³ Ù - = - +

Û ³ Ù - - = Û =

Do đó: 2 23 2 1 0x x x x- + = Û - - =

1 52

x±

Û = (nhận so điều kiện [ ]1, 2xÎ -

x

f’(x)

f(x)

-¥

0 +¥

+¥

-¥

+¥

1

2-

+ +

92


Trang 8

Bài 13. Giải phương trình: 2 23 1 ( 3) 1x x x x+ + = + + Giải

Đặt 2 1t x= + Phương trình đã cho trở thành: 2 3 ( 3)t x x t+ = +

2 ( 3) 3 0 3t x t x t x tÛ - + + = Û = Ú = Ta có:

2 1t x x x· = Û + =2 2

0

1

x

x x

³ìÛ í

+ =î vô nghiệm

2

2 2

3 1 3

1 9 8 2 2

3 0

t x

x x x

· = Û + =

ì + = Û = Û = ±ïÛ í>ïî

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 2 2x = ± Bài 14: Giải phương trình: 3 2 1 1x x- = - -

Giải Điều kiện: 1x ³ Đặt 33 2 2t x x t= - Þ = -

Phương trình đã cho thành: 31 1t t= - -

33 2

2

1 01 1

1 1 2

10 1 2

( 2) 0

tt t

t t t

tt t t

t t t

- ³ìÛ - = - Û í

- = - +î£ì

Û Û = Ú = Ú = -í+ - =î

Khi t = 0 thì 3 2 0 2x x- = Û =

Khi t = 1 thì 3 2 1 1x x- = Û =

Khi 2t = - thì 3 2 2 10x x- = - Û = Các giá trị x trên đều thỏa so với điều kiện 1x ³ Vậy tập nghiệm phương trình là { }2,1,10S =

Bài 15. Giải phương trình: 221 1

3x x x x+ - = + -

Giải:


Trang 9

Điều kiện:

2 0 0 1

0 0 0 1

1 0 1

x x x

x x x

x x

ì - ³ £ £ìï ï³ Û ³ Û £ £í íï ï- ³ £îî

Đặt 2 21 1 2t x x t x x= + - Þ = + -

Phương trình đã cho thành:

2

2

11 ( 1)

33 2 0

1 2

t t

t t

t t

+ - =

Û - + =Û = Ú =

Ta có: 2* 1 1 1 2 1x x x x+ - = Û + - =

2 0x xÛ - = 0 1x xÛ = Ú = (nhận so với điều kiện)

Do đó tập nghiệm của phương trình là S = { 0,1 }

Bài 16. Giải phương trình: 4 456 41 5x x- + + =

Giải:

Điều kiện: 56 0

41 5641 0

xx

x

- ³ìÛ - £ £í + ³î

Đặt u = : 4 56 x- , v = 4 41,x + điều kiện , 0u v ³

Ta được hệ phương trình:

4 4 2 2 2 2

5 5

u 97 (u )2 2 97

u v u v

v v u v

+ = + =ì ìÛí í

+ = + - =î î

2 2 2 2 2

5 5

[( ) 2 ] 2 97 2( ) 100( ) 528 0

u v u v

u v uv u v uv uv

+ = + =ì ìÛ Ûí í

+ - - = - + =î î

5 5

6 44

u v u v

uv uv

- = + =ì ìÛ Úí í= =î î

( vô nghiệm do

3 2

2 3

u u

v v

= =ì ìÛ Úí í= =î î


Trang 10

Do đó: 4 4

4 4

56 3 56 2

41 2 41 3

x x

x x

ì ì- = - =ï ïÚí í+ = + =ï ïî î

56 81 56 8

41 16 41 81

x x

x x

- = - =ì ìÛ Úí í+ = + =î î

25 40x xÛ = Ú = (nhận so với điều kiện 41 56x- £ £ )

Bài 17: Giải phương trình: 33 1 2 2 1x x+ = -

Giải:

Đặt 33 2 1 2 1t x x t= - Þ = + (1)

Phương trình đã cho thành : 3 1 2x t+ = (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ 3

3

2 1

2 1

x t

t x

ì = +ïí

= +ïî

2 2(1) (2) 2( ) ( )( )x t t x t xt x- Þ - = - + +

Û 2 2( )( 2) 0t x x tx tÛ - + + + =2 2 2 0 (*)

t x

x tx t

=éÛ ê + + + =ë

(*) vô nghiệm do: 2 2 24( 2) 3 8 0x t t tD = - + = - - <

Do t = x nên từ (1) ta được 3 2 1 0x x- + =

2( 1)( 1) 0

1 51

2

x x x

x x

Û - + - =

- ±Û = Ú =

Bài 18. Giải phương trình: =3

Giải:

Đặt u= 3 (2 )x- và v= 3 (7 )x+ 3 3u (2 ) (7 ) 9v x xÞ + = - + + =

Ta được hệ phương trình:


Trang 11

3 3 2 2

2 2 2 2

2

9 ( )(u ) 9

u 3 u 3

3 3

2( ) 3 3

1 2

2 1

u v u v uv v

v uv v uv

u v u v

uvu v uv

u u

v v

ì ì+ = + - + =ï ïÛí í+ - = + - =ï ïî î+ = + =ì ì

Û Ûí í =+ - = îî= =ì ì

Û Úí í= =î î

Do đó:

23

23

(2 ) 1 2 11

7 8(7 ) 2

x xx

xx

ì - = - =ìï Û Û =í í + =î+ =ïî

và 23

23

(2 ) 2 2 06

7 8(7 ) 1

x xx

xx

ì - = - =ìï Û Û = -í í + =î+ =ïî

Vậy phương trình có nghiệm x=1

Bài 19. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

243 1 1 1 (*)x m x x- + + = -

Đề tuyển sinh Đại học khối A – 2007

Giải:

Điều kiện: 2

1 0

1 0 1

1 0

x

x x

x

ì - ³ï + ³ Û ³íï - ³î

Do 1x ³ thì 1 0x + > nên(*)24

41 2 1 1 1

3 2 3 (**)1 1 11

x x x xm m

x x xx

- + - -Û + = Û = -

+ + ++

Đặt 4 41 2

11 1

xt

x x-

= = -+ +

Do 1x ³ nên 0 1t£ £

Vậy(**) trở thành: 22 3m t t= -

Xét f(t)=2t-3 Thì f’(t)=2-6t


Trang 12

Ta có:

Do đó: (*) có nghiệm thực

(d) y = m và (P) có điểm chung 1

13

mÛ - < £

Bài 20. 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + - - - - = .Tìm m sao cho phương trình có nghiệm

Giải:

Điều kiện:

3 0

6 0 3 6

(3 )(6 ) 0

x

x x

x x

+ ³ìï - ³ Û - £ £íï + - ³î

Đặt 3 6t x x= + + - với [ 3;6]xÎ -

Ta có 1 1 6 3

'2 3 2 6 (2 3 )(2 6 )

x xt

x x x x

- - += - =

+ - + +

3

' 0 6 3 6 32

t x x x x= Û - = + Û - = Û =

Ta có: t(-3)=3 ; t(6)= 3 ; t(

Vậy [ 3,6] [-3,6]3 2 à Mint =3Maxt v- =

Do đó: 3

Và do t= .

Phương trình đã cho thành: t = = m

t

f’(t)

f(t)

0

0

+ -

1

0

-1


Trang 13

Do đó phương trình có nghiệm [3,3 2 ] [3,3 2 ]

9( ) ( ) 3 2 3

2Min f t m Max f t mÛ £ £ Û - £ £

Xét f(t) = t=2 92

tm

-= với t [3, và (d) y = m

Ta có f’(t) = 1 – t < 0 [3,3 2]t" Î

Vậy [3,3 2 ]

9( ) (3 2) 3 2

2Min f t f= = -

Bài 21. Xác định m để phương trình sau có nghiệm 2 2 4 2 2( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ - - + = - + + - -

Đề tuyển sinh đại học khối B – 2004 Giải

Điều kiện: 21 0 1 1x x- ³ Û - £ £

Đặt 2 21 1t x x= + - -

Do 2 21 1x x+ > - với x R" Î

Nên 0t R³ "Î và t = 0 0xÛ =

Mặt khác: 2 42 2 1 2t x= - - £ và 2 1t x= Û = ±

Vậy [0, 2]tÎ Phương trình đã cho thành: m(t+2) = - +t +2

2 2

2t t

t- + +

Û+

= m (*) ( do [0, 2] ê t+2 0)t n nÎ ¹

Xét f(t) = 2 2

2t t

t- + +

+ trên

Thì f’(t) [ ]2

2

40 0,2

( 2)t t

tt- -

= £ " Î+

Vậy

[0, 2 ]in f ( ) ( 2) 2 1M t f= = - ;

[0, 2 ]ax ( ) (0) 1M f t f= =

Yêu cầu bài toán (*) có nghiệm trên 0, 2é ùë û

[0, 2 ] [0, 2 ]in f ( ) ax ( )M t m M f tÛ £ £ 2 1 1mÛ - £ £

Bài 22. Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: 4 42 2 2 6 2 6 ( )x x x x m m R+ + - + - = Î

Đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2008 Giải

[3,3 2 ]( ) (3) 3Max f t f= =


Trang 14

Đặt 4 4( ) 2 2 2 6 2 6f x x x x x= + + - + -

Miền xác định [ ]0,6D =

Ta có 3 34 4

1 1 1 1 1( )

2 2 6(2 ) (6 )f x

x xx x

é ù= - + -ê ú

-ê ú-ë û

4 4 43 2 24 4 4 4 4

1 1 1 1 1 1 1

(2 ) (6 ) 2 2 6 22 (2 ) (6 ) (6 )x x x x xx x x

é ùé ù= - + + + +ê úê ú

- -ê ú- -ê úë û ë û

4 4

4 4

1 1'( ) 0 0 2 6 2

2 6f x x x x

x x= Û - = Û = - Û =

-

Phương trình có 2 nghiệm thỏa: ( ) ( )342 6 6 3 4 4mÛ + £ £ +

MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH f(x) = g(x) (1) 1. Dùng tính đơn điệu của hàm số

+ Nhẩm thấy x = a là nghiệm của (1) + Nếu y = f(x) đơn điệu trên D y = g(x) hàm hằng trên D hay y = f(x) là hàm tăng trên D y = g(x) là hàm giảm trên D

ax

y

( )42 6 6+

33( 4 4)+

4 12 12+

0 2

0

6

+ -

x

f’(x)

f(x)


Trang 15

+ Lúc đó x = a Î D là nghiệm duy nhất của (1) 2. Dùng phương pháp đối lập + Nếu f(x) £M, dấu = xảy ra khi x Î 1D

+ Nếu g(x) ³M, dấu = xảy ra khi xÎ 2D

+ Vậy f(x) £ M £ g(x) nên f(x) = g(x) Û x Î 1D Ç 2D Lưu ý: các phương pháp này còn sử dụng để giải phương trình mũ, log sau này.

Bài 23. Giải phương trình: 24 1 4 1 1x x- + - = (*) Giải

Điều kiện 2

14 1 0 14

1 1 24 1 02 2

xxx

x x x

ì ³ï- ³ì ïÛ Û ³í í- ³î ï £ - Ú ³

ïî

· Nhẩm thấy 12

x = là nghiệm của phương trình (*)

· Xét 24 1 4 1y x x= - + - trên 1

,2

D é ö= ¥÷êë ø

Ta có 2

2 4' 0

4 1 4 1

xy

x x= + >

- - với

12

x" >

y = 1 là hàm hằng trên R

·Do đó 12

x = là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Bài 24. Giải phương trình: 82315 22 ++-=+ xxx (*) Giải

Ta có: (*) 2 215 8x xÛ + - + = 3x 2-

Do 815 22 +>+ xx với mọi x RÎ Nên vế trái của (*) luôn dương

Vậy 32

023 >Û>- xx

Ta xét y = 815 22 +-+ xx với x 32

>

x

y

a ax

y


Trang 16

Ta có: y’)(

08.15

158

815 22

22

22<

++

+-+=

+-

+=

xx

xxx

x

x

x

xVới

32

: >" xx

Vậy y = 815 22 +-+ xx là hàm giảm trên ÷øö

çèæ +¥,

32

Mặt khác y = 3x 2- hàm tăng trên R nên hai đồ thị chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất. Mà ta nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình Vậy đây là nghiệm duy nhất.

Bài 25. Giải phương trình 5

32314

+=---

xxx (*)

Giải

Điều kiện: x32

³

Phương trình (*)

( )( ) ( )23145

323142314 -++

+=-++--+Û xx

xxxxx

( ) ( )( )2314335 -+++=+Û xxxx

23145 -++=Û xx (Do x32

³ nên x + 3 0¹ )

Nhẩm thấy x = 2 là nghiêm của phương trình (*)

Xét y 2314 -++= xx với 32

³x

Ta có: y’ 0232

3

14

2>

-+

+=

xx với

32

>"x

Vậy đây là hàm tăng trên ÷øö

çèæ +¥,

32

Mà y = 5 là hàm hằng trên R Do đó x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 26. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của xxy 2532 -+-=

Giải phương trình: 2 4 6 2 3 5 2 0x x x x- + - + - + - = Giải

·Xét y = xx 2532 -+- trên miền D = úûù

êëé

25

,23

Ta có: y’ xx

xx

xx 25.32

3225

25

1

32

1

-----

=-

--

=

2

25

23

322532250'

=Ûïî

ïíì

££

-=-Û

îíì

Î-=-

ÛîíìÎ=

xx

xx

Dx

xxDx

y


Trang 17

Ta có: y ÷øö

çèæ

23

÷øö

çèæ=

25

y = 2 và y(2) = 2

Nên Max y=2 và Min y= 2DD

· Ta có 0642532 2 =-+--+- xxxx

642532 2 +-=-+-Û xxxx (*) Mà x 2 24 6 ( 2) 2 2 x x x R- + = - + ³ " Î

Do đó 6422532 2 +-££-+- xxxx

Dấu = tại (*) chỉ xảy ra Ûïî

ïíì

=+-

=-+-

264

225322 xx

xx

Vậy (*) có nghiệm x = 2. II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Bài 27. Giải hệ phương trình : ïî

ïíì

++=+

-=-

)2(2

)1(3

yxyx

yxyx

Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2002. Giải

Xét (1) điều kiện x y³

Ta có: (1) Û ( ) ( )663 yxyx -=- Û ( ) ( )32 yxyx -=- ( ) [ ] 012 =+--Û yxyx

1-=Ú=Û xyyx · y = x thay vào (2) ta được

2x = 1012

022

2=Û

îíì

=--

³Û+ x

xx

xx

Vậy hệ có nghiệm (x = 1, y = 1) · y = x – 1 thay vào (2) ta được

2x – 1 = ïî

ïíì

=-

³Û+

06421

122 xx

xx

23

23

0

21

=Û

ïïî

ïïí

ì

=Ú=

³Û x

xx

x

Vậy hệ có nghiệm ÷øö

çèæ ==

21

,23

yx

Bài 28.

Giải hệ phương trình: ïî

ïíì

=+++

=-+

411

3

yx

xyyx

Đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006 Giải


Trang 18

Điều kiện îíì

³³

Û

ïïî

ïïí

ì

³+³+³+

³

0

0

01

0

3

0

y

x

y

yx

yx

xy

Đặt S = x + y, t = xy (t 0³ )

Hệ đã cho thành: ïî

ïíì

=++++

=-

)2(16122

)1(32tSS

tS

Từ (1) và (2) ta có: 22 1 ( 3) 14S S S+ + - = -

22

28196)105(4

143SS

SS

S+-=

îíì

+-

££Û

2

3 146

3 8 156 0

SS

S S

£ £ìÛ Û =í

+ - =î

Do đó: Hệ đã choîíì

==

Ûîíì

==+

Û3

3

9

6

y

x

xy

yx

Bài 29. Giải hệ phương trình: ïî

ïíì

-=--

-=++

)(212

2 22

yxxyyx

yxyxxy

Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2008 Giải

Điều kiện: x 1³ và y 0³ Ta có: xy + x + y = 22 2yx -

xyyyxyx 33)( 22 --+=+Û

( )[ ]12

013)(

)(3)( 2

+=Ú-=Û=--++Û+-+=+Û

yxyx

yyxyx

xyyyxyx

Trường hợp 1: x = y- (loại do x 01 ³Ù³ y )

Trường hợp 2: x = 2y +1 thay vào phương trình x )(212 yxxyy -=--

Ta được (2y + 1) 2222 +=- yyyy

)1(2)1(2 +=+Û yyy

22 =Û y (do y 0³ nên y + 1 > 0) 2=Û y

Vậy: Hệ đã cho îíì

==

Û2

5

y

x

Bài 30. Giải hệ phương trình:


Trang 19

ïî

ïíì

=-++++-+++

=+++++++++

211

1811

22

22

yyxyxyxx

yyxyxyxx

Giải

Hệ đã cho ïî

ïíì

+=+++++++

-=+Û

)2()1(1011

)2()1(822 doyxyyxx

doyx

Ûïî

ïíì

=+++

=+=

1099

82yx

yxS

ïî

ïíì

=++++++

=+=Û

10081)(9218

8222222 yxyxyx

yxS

ïïî

ïïí

ì

=+++++-

==+=

Û

10081)(92182

8

2222 yxPPS

xyP

yxS

Ûîíì

++=+-

-³=Ù=+=

811865718

9822 PPPP

xyPyxS

îíì

==

Ûîíì

===+=

Û4

4

16

8

y

x

xyP

yxS

Bài 31. Tìm m sao cho hệ phương trình: ïî

ïíì

-=+

=+

myyxx

yx

31

1có nghiệm

Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2004 Giải

Điều kiện x 0³ và y 0³

Ta có: ïî

ïíì

-=+

=+

myyxx

yx

31

1

ïî

ïíì

-=+

=+Û

myx

yx

31)()(

1

33

( )( )ïî

ïíì

-=-++

=+Û

mxyyxyx

yx

31

1

( )ïî

ïíì

-=-+

=+Û

mxyyx

yx

313

12

ïî

ïíì

=

=+Û

mxy

yx 1

Vậy yx , là nghiệm của phương trình: 2 0X X m- + = (*) Hệ đã cho có nghiệm (*)Û có 2 nghiệm không âm

ïî

ïí

ì

³=>=-=D

Û0

01

41

mP

S

m

41

0 ££Û m

Bài 32. Cho hệ phương trình: ïî

ïíì

=-++

=-++

mxy

myx

21

21

a) Giải hệ phương trình khi m = 9 b) Tìm m sao cho hệ phương trình có nghiệm

Giải


Trang 20

Điều kiện: x 22 ³Ù³ y

Hệ phương trình đã cho ïî

ïíì

=-++-+

=-++-+Û

)2(2.121

)1(2.121

mxyyx

myxyx

ïî

ïíì

=-++-+

-+-=-+-Û

myxyx

xyyxyxxy

2.121

2222

ïî

ïíì

=-+--

=Û

mxxx

yx

1222 2(*)

a) Khi m = 9 thì hệ phương trình thành

ïî

ïíì

-=--

=

xxx

yx

522

ïî

ïí

ì

+-=--

£=

Û22 10252

5

xxxx

x

yx

ïî

ïí

ì

=£=

Û279

5

x

x

yx

îíì

==

Û3

3

y

x (nhận so với điều kiện)

b) Xét y = 1222 2 -++- xxx (C) với x 2³ và (d) y = m

Ta có y’ 022

122

>+--

-=

xx

x với 2>"x

Hệ có nghiệmÛ phương trình (*) có nghiệm Û (d) và (C) có điểm chung Û m 3³

Bài 33. Cho hệ phương trình: ïî

ïíì

=+++++++

=+++

mxyxyyx

yx

1111

311

a) Giải hệ phương trình khi m = 6 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

Giải Điều kiện: x,y 1-³ Đặt u = 11 2 -=Û+ uxx (điều kiện u,v 0³ )

v = 11 2 -=Û+ vyy

x

f’(x)

f(x)

2

3

+

¥+

¥+

1. 2 1. 2

1 2 1. 2

x y y x

x y x y m

ì + - = + -ïÛ í+ - + + - =ïî


Trang 21

Hệ phương trình thành: îíì

=++-+-

=+

mvuuvvu

vu

)1()1(

322

ïî

ïíì

=

=+Û

îíì

=+=+

Û

3

3

)(

3m

uv

vu

mvuuv

vu

a) Khi m = 6 thì îíì

==+2

3

uv

vu

îíì==

Úîíì==

Û2

1

1

2

v

u

v

u

Do ïî

ïíì

-=

-=

1

12

2

vy

ux nên nghiệm của hệ phương trình là:

îíì

==

Úîíì

==

3

0

0

3

y

x

y

x

(nhận do x,y )1-³

b) Cách 1: Do u + v = 3 3m

uv =Ù

Nên u,v là nghiệm phương trình: t3

32 mt +- = 0 (*)

Hệ có nghiệm (*)Û có hai nghiệm t 21 , t mà 0 21 tt ££

ïï

î

ïï

í

ì

³=

>=

³-=D

Û

03

03

03

49

mP

S

m

427

0 ££Û m

Cách 2: (*) ttm

33

2 +-=Û

Xét f(t) = tt 32 +- với t 0³ và (d) 3m

y =

Ta có: f’(t) = 32 +- t

Hệ có nghiệm )(dÛ cắt (C) tại hai điểm4

270

49

30 ££Û££Û m

m

III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Sử dụng các công thức

t

f’

f

0

- 23

0

29

+

+¥

+¥ 0


Trang 22

+ ABA £Û< 0 < B

+îíì

<£

>Û<

20

0

BA

BBA

+ îíì

>

³Ú

îíì

<³

Û>2

0

0

0

BA

B

B

ABA

Bài 34. Giải bất phương trình: (x )32 x- 0232 2 ³-- xx (1) Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2002

Giải

Điều kiện: 2x 221

0232 ³Ú-£Û³-- xxx

Ta có: (1) êêê

ë

é

>-

=--

=-

Û

03

0232

03

2

2

2

xx

xx

xx

êê

ë

é

³Ú£

=Ú=Û

30

221

xx

xx

So với đk (*), tập nghiệm của (1) là S = { } [ )+¥ÈÈúûù

çèæ -¥- ,32

21

,

Bài 35. Giải bất phương trình )1(4)43)(5( ->++ xxx (1) Giải

Ta có: (1) ( )( )îíì

<-³++

Û01

0435

x

xx

( )( )îíì

->++

³-Ú

2)1(16435

01

xxx

x

îíì

<--

³Ú

ïî

ïíì

<

-³Ú-£Û

045113

1

134

52 xx

x

x

xx

ïî

ïíì

<<-

³Ú<£-Ú-£Û

4131

11

34

5x

xxx

45 1 1 4

3x x xÛ £ - Ú - < < Ú £ <

45 4

3x xÛ £ - Ú - < <

Bài 36. Giải bất phương trình: 5 1 1 2 4x x x- - - > + Đề tuyển sinh đại học khối A-2005

Giải Điều kiện: 2x ³

Ta có: (*) 5 1 1 2 4x x xÛ - > - + +


Trang 23

2

2

5 1 3 5 2 1. 2 4

2 2 6 4 ( 2 0)

10 0

0 10

x x x x

x x x do x

x x

x

Û - > - + - +

Û + > - + + >

Û - <Û < <

So với điều kiện, ta có (*) 2 10xÛ £ <

Bài 37. Giải bất phương trình: 2

2

221

(3 9 2 )

xx

x< +

- + (*)

Giải:

Điều kiện: 92 9 0

23 9 2 0

x x

x x

-ì+ ³ì ³ï ïÛí í¹ +ïî ï ¹î

Đặt t= 9 2x+ (điều kiện 0 à t 3t v³ ¹ ) (

(*) trở thành: 2 2

22

1( 9) 1( 9) 21

2(3 ) 2t

tt

-< - +

-

2 22

2

( 3) ( 3)33

(3 )t t

tt

- +Û < +

-

2 26 9 33

4

t t t

t

Û + + < +Û <

Vậy 2 9 4 2 9 16x x- < Û + <

72

xÛ <

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: S=9 7

; \{0}2 2-é ö

÷êë ø

Bài 38.Giải bất phương trình: 22( 16) 7

33 3

x xx

x x

- -+ - >

- -(*)

Đề tuyển sinh đại học khối A – 2004 Giải:

Điều kiện: 2

3 0 34

4 416 0

x xx

x xx

- > >ì ìÛ Û ³í í £ - Ú ³- ³ îî

Ta có: (*) 22( 16) ( 3) 7x x xÛ - + - > -


Trang 24

2

2 2 2

2

2( 16) 10 2

10 2 0 10 2 0

16 0 2( 16) (10 2 )

55

4 4 20 66 0

55

10 34 10 34

5 10 34 5

10 34

x x

x x

x x x

xx

x x x x

xx

x

x x

x

Û - > -

- < - ³ì ìÛ Úí í

- ³ - > -î î£> ìì

Û Úí í£ - Ú ³ - + <î î£ìïÛ > Ú í- < < +ïî

Û > Ú - < £

Û > -

So với điều kiện ban đầu, ta có nghiệm bất phương trình là: 4x ³ .

Bài 39. Giải bất phương trình 2

1 (*)1 2( 1)

x x

x x

-³

- - +

Tuyển sinh ĐH khối A/2010 Điều kiện: 0x ³

Ta có: 2 21 2( 1) 0 1 2( 1)x x x x- - + < Û < - +

2 21 2 2 2 2 2 1 0x x x xÛ < - + Û - + > luôn đúng x R" Î

Do đó: (*) 21 2( 1)x x x xÛ - £ + - +

2

2 2

2

2

2

2

2

2( 1) 1

1 0

2( 1) 1 2 2 2

1 0

2 2 1 0

1 0

(1 ) 2 (1 ) 0

1 0

[(1 ) ] 0

1 0

0 11

(1 )

0 1 3 5

3 1 0

x x x x

x x

x x x x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

xx x

x x

xx

x x

Û - + £ - + +

ì- + + ³ïÛ í- + £ + + - - +ïî

ì- + + ³ïÛ í- + - + £ïî

ì- + + ³ïÛ í- - - + £ïî

ì- + + ³ïÛ í- - £ïî

Û - + - =

£ £ìÛ - = Û í

= -î£ £ì -

Û Û =í- + =î 2

Bài 40.Cho bất phương trình: 2 2 2( 1) 2 4x m x x+ + £ + + (*)


Trang 25

Tìm m sao cho bất phương trình thỏa với mọi x Giải:

Đặt t = f(x) = x với x [ 0,1] 2

2

2'( ) 2 0

2

xf x x

xÞ = + + >

+

Hàm đồng biến trên [0, 1] Vậy 0 (0) ( ) (1) 3 [0, 3]f f x f t= £ £ = Û Î

Lúc đó, bất phương trình (*) trở thành 2( 1) 4t m t+ + £ +

2( ) 1 3m g t tÛ £ = - + +

Xét 2( ) 1 3y g t t= = - + + với [0, 3]tÎ g’(t) = 2t + 1

Yêu cầu bài toán ( ) (0, 3)g t m tÛ ³ " Î

[0, 3]

( ) 3Min g t m m³ Û ³

Bài 41. Cho bất phương trình: axx >-- 1 . Tìm tham số a dương để bất phương trình có nghiệm.

Giải Xét 1)( --== xxxfy với x 1³

Thì y’ = 1 1 1

0 12 2 1 2 . 1

x xx

x x x x

- -- = £ " >

- -

Mặt khác limx

y®+¥

= ( ) ( )

01

1lim

1

1lim

22

=-+

=-+--

+¥®+¥® xxxx

xxxx

Do đó

Vậy: Bất phương trình có nghiệm 10 ³$Û x sao cho M(x 0 ,f( 0x )) nằm trên (d) y = a

10 <<Û a Bài 42. Cho bất phương trình: mx 13 +<-- mx

a) Giải bất phương trình khi: 21

=m

b) Tìm m để bất phương trình có nghiệm. Giải

x

y’

y

¥- 1

1

¥+

0

y = a


Trang 26

Điều kiện x 3³ Đặt 3-= xt (với t 0³ ) 32 +=Û tx Bất phương trình đã cho trở thành: m ( ) 132 +£-+ mtt (*)

a) Khi m =21

ta có bất phương trình 022 £- tt 0 2tÛ £ £

Do đó 0 7343

323 ££Û

îíì

£-³

Û£-£ xx

xx

b) Ta có: (*) m( t 22+ ) 1+£ t2

12 ++

£Ûtt

m

Đặt f(t) = )(2

12

Ctt++

Ta có f’(t) = 22

2

)2(22

++--

ttt

f’(t) = 0 31±-=Û t

Yêu cầu bài toán ó có phần đường cong (C) nằm trên (d) y = m

413 +

£Û m

Bài 43. Cho bất phương trình: axx £-+- 41624 (1) Tìm tất cả giá trị a để bất phương trình có nghiệm

Giải

Điều kiện: 421

0416

024££Û

îíì

³-³-

xx

x

Xét y = f(x) = 4 2 16 4x x- + - (C)

trên miền xác định D = úûù

êëé 4,21

y’ = xx

xx

xx 46.24

)24416(2

416

2

24

2

-----

=-

--

Ta có: y’ = 0 16 4 4 2x xÛ - = -

31--

0 + +

31+-

0

¥+

21

413 +

y = m

0

t

f’

f

¥-


Trang 27

1( , 4)2

16 4 4 2

94

x

x x

x

ì ÎïÛ íï - = -î

Û =

Yêu cầu bài toán ó Bất phương trình f(x) £ a có nghiệm x úûù

êëéÎ 4,21

ó Có phần đường cong (C) nằm dưới đường thẳng (d) y = a ó a£14 BÀI TẬP

BT1.Giải các phương trình sau đây:

a) xxx 2242 =++- b) 12662 -=+- xxx

c) x 552 =++ x d) 333 23112 -=-+- xxx

e) x 112 +=- x f) 4259 --=+ xx

g) 112 =++ xx h) ( x + 5 )( 2 – x ) = 3 xx 32 +

i) 163523132 2 -+++=+++ xxxxx

j) 123 22 =-+--- xxxx k) 16522252 22 =-+-+- xxxx

l) DB/D05 22 7 2 1 8 7 1 0x x x x x+ - = - + - + - + =

n) 16212244 2 -+-=-++ xxxx

o) 42533 -=--- xxx (DB/B05)

p) 224953110 -++=-++ xxxx (DB/D08)

q) 253294123 2 +-+-=-+- xxxxx (DB/B06)

r) 85632323 =-+- xx A/09 t)( )

212

23122-

=-++x

xx (DB/A08)

BT2.Tìm a để các phương trình sau có nghiệm thực

a) axx =-+4 2 1 DB/B07

b) 10134 4 -=+- xnxx

f’(x)

x ¥-

+

21

49

4

0

14

72

14

+¥

y=a

f(x)


Trang 28

BT3.Cho phương trình mxxxx =+-=++- )2)(7(27 . Tìm m sao cho phương

trình có nghiệm. ÷÷ø

öççè

æúûù

êëé -Î 3,

29

23: mĐS

BT4.Cho phương trình mxxxx =-+--++ )3)(1(31 a) Giải phương trình khi m = 2 b) Tìm m để phương trình có nghiệm [ ]( )2,222: -ÎmĐS

BT5.DB/B08 Tìm m để phương trình + + - + =4 2 2 4 1x x x m có đúng 1 nghiệm BT6. Cho phương trình 341 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m+ - + - - - =

a)Giải phương trình khi m = -1

b)Tìm m để phương trình có 1 nghiệm duy nhất (ĐS: 12

m = )

BT7. Cho phương trình 29 9x x x x m+ - = - + + (ĐS:9

104

m-

£ £ )

a)Giải phương trình khi m=9 b)Tìm m để phương trình có nghiệm

BT8. Cho phương trình 22 3x m x mx- = + - Tìm m sao cho phương trình có nghiệm (ĐS: 1m £ ) BT9. Cho phương trình 1 8 (1 )(8 )x x x x a+ + - ¹ + - =

a)Giải phương trình khi a = 3 (ĐS: x= -1

b)Tìm a sao cho phương trình có nghiệm (ĐS:9 6 2

32

a+

£ £ )

BT10. Giải các hệ phương trình sau đây:

a)5 2 7

2 5 7

x y

x y

ì + + - =ïí

- + + =ïî b)

1 1

2 2 2

x y

x y y

ì + - =ïí

- + = -ïî

c)

71

78

x yy x xy

x xy y xy

ì+ = +ï

íï + =î

d)CĐ 20102 2

2 2 3 2

2 y 2

x y x y

x xy

ì + = - -ïí

- - =ïî

e)A2010 2

2 2

(4 1) ( 3) 5 2 0

4 y 2 3 4 7

x x y y

x x

ì + + + - =ïí

+ + - =ïî f)DB/B08

3

4

1 8

( 1)

x y x

x y

ì - - = -ïí

- =ïî

BT11. Cho hệ phương trình 4 1 4

3

x y

x y m

ì - - =ïí+ =ïî

Tìm m sao cho hệ phương trình có nghiệm


Trang 29

BT12. DB/D07 Cho hệ phương trình2

1

x y m

x xy

- =ìïí+ =ïî

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất BT13. Giải các bất phương trình

a) 2 3 2 3x x x- + > + b) 3 2 8 7x x x+ ³ + + -

c) 2 2 23 2 4 3 2 5 4x x x x x x- + - + ³ - + d) ( 1)(4 ) 2x x x+ - > -

e) 2( 1)( 4) 5 5 28x x x x+ + < + + f) 2 2( 3) 4 9x x x- - £ -

g) 22 6 1 2 0x x x- + - + > h) 5 4 3x x x+ - + > +

i)2

1 1 24x

x x+ - - £ - j) 2 24 3 2 3 1 1x x x x x- + - - + ³ -

k) 3 21 1 3 1x x x x+ + + + + l) DB/D05 2 7 5 3 2x x x+ - - ³ -

m) CĐ/09 1 2 2 5 1x x x+ + - £ + BT14. Giải các bất phương trình:

a) 2 2 26 12 2 2 15x x x x x x+ - + - - ³ - -

b) 2 1 2 2x x x- - + > -

c) 2 6 5 8 2x x x- + - > - d) 23 4 2

2x x

x- + + +

<

e) 2 23 6 4 2 2x x x x+ + < - - f) 2 2( 4) 4 ( 2) 2x x x x x- - + + - <

g) 4 1 2x x- - > -

k) DB/D08 2 2( 1)( 3) 2 3 2 ( 1)x x x x x+ - - + + < - -

l) DB/A08 2 2

1 31

1 1

xx x+ >

- -

BT15. Tìm m sao cho bất phương trình:

thỏa 1

[ ,3]2

x-

" Î (ĐS: m 6< - )

BT16. DBA/07 Tìm m để bất phương trình

m( 2 2 2x x- + +1) + x (2 – x) ≤ 0 có nghiệm x trên [0, 1 3]+

BT17.Tìm m để bất phương trình 2 6 5 2x x m x- + - > - thỏa [1,5]x" Î

dụng mặt trong các công th c: v NDo đó ( ) 2( 4)C y x x= - + cắt d(y) = m tại điểm...

Documents

Transcript of dụng mặt trong các công th c: v NDo đó ( ) 2( 4)C y x x= - + cắt d(y) = m tại điểm...