© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Devoir à la maison no 17

Problème 1 —

Partie I – Intégrales de Wallis

On pose pour tout n > 0,

In =

∫ π

2

0

sinn(x)dx

1. Calculer I0 et I1.

2. En intégrant par parties, trouver une relation de récurrence entre In et In+2.

3. En déduire une expression de I2n et I2n+1 pour tout n ∈ N à l’aide de factorielles.

4. Vérifier que (In)n>0 est décroissante. En déduire quen+ 1

n+ 2In 6 In+1 6 In pour tout n ∈ N.

5. Démontrer que In+1 ∼n→+∞

In.

6. Établir que pour tout n ∈ N, (n+ 1)In+1In =π

2.

7. En déduire que In ∼n→+∞

…

π

2n.

Partie II – Formule de Stirling

On pose pour tout n ∈ N∗, un =

nne−n√n

n!.

1. Pour tout n ∈ N∗, on pose vn = ln

un+1

un

. Montrer que vn =n→+∞

OÅ

1

n2

ã

.

2. En déduire que (un) converge vers une certaine limite l ∈ R∗

+.

3. Montrer que l =1√2π

et en déduire un équivalent de n!.

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