MQ06 – P15

TP 2 et 3 Dimensionnement d’un support d’une

enseigne publicitaire

LEFEVRE Paul

MORIN Corentin

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Objectif

Confrontation des résultats analytiques RDM aux résultats E.F.

Comparaison des résultats des éléments finis poutre et 3D volumique

Etude de l’effet du maillage sur les résultats du problème

Optimisation des dimensions de la structure vis-à-vis du changement.

Introduction Au cours de ces deux travaux pratiques, nous avons utilisé le logiciel ABAQUS afin de réaliser les calculs éléments finis nous permettant de dimensionner un panneau publicitaire. Dans une première partie, nous nous sommes intéressés à trouver la section optimale de la poutre maintenant notre panneau. Dans une seconde partie, nous avons confronté les résultats 2D aux résultats 3D des calculs réalisés sur la section choisie. Enfin, dans une dernière partie, nous avons étudié les effets du maillage sur les résultats obtenus.

Table des matières Objectif .................................................................................................................................................... 2

Introduction ............................................................................................................................................. 2

Etude analytique du problème ................................................................................................................ 3

Expressions variationnelles faibles et fortes et équations d’équilibre en déplacement .................... 3

Expression discrétisée de la forme intégrale faible du problème ....................................................... 5

Solution RDM du problème ................................................................................................................. 5

1. Détail de la solution en déplacement ...................................................................................... 5

2. Détail de l’obtention des conditions de résistance ................................................................. 6

Etude numérique du problème ............................................................................................................... 7

Choix de la section optimale ............................................................................................................... 7

Résultats de la simulation réalisée avec des éléments 3D volumiques .............................................. 8

Conclusion ............................................................................................................................................... 9

Références ............................................................................................................................................... 9

Annexes ................................................................................................................................................. 10

Annexe 1 : Déplacement de l’extrémité de la poutre pour la section IPE ........................................ 10

Annexe 2 : Contraintes et déplacement de la poutre circulaire creuse avec des éléments C3D4

d’une taille de 10mm disposées selon 3 couches. ............................................................................ 10

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Etude analytique du problème

Expressions variationnelles faibles et fortes et équations d’équilibre en déplacement

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Expression discrétisée de la forme intégrale faible du problème On pose : u*= W(M)q(t) δu*=W(M) δq avec W(M), matrice construite à partir des fonctions de forme et q(t), vecteur des paramètres de l’approximation. Posons la forme matricielle des lois de comportement : σ(M) = D(M)ε(M) ε(M) = grads u(M) = Lu(M) L est la matrice d’opérateurs différentiels correspondant à l’expression du gradient symétrique du champ des déplacements. Une fois discrétisée, la forme intégrale faible de notre problème peut donc s’écrire sous la forme matricielle suivante : Mq + Kq = F Avec 𝑀 = 𝑊𝑇𝑊𝜌 𝑑𝑉

𝐷

𝐾 = 𝐵𝑇𝐷𝐵 𝑑𝑉

𝐷

𝐹 = 𝑊𝑇𝑓 𝑑𝑉 + 𝑊𝑇𝑇𝑑 𝑑𝑆

𝑆

𝐷

Et les notations suivantes : 𝜎. 𝑛 = 𝑇𝑑 B(M) = LW(M)

Solution RDM du problème

1. Détail de la solution en déplacement Bilan des actions mécaniques sur la poutre :

𝑇0→1 = 𝑋𝑂

𝑌𝑂

0

00𝑁𝑂

𝑂

𝑇𝐹→1 : 𝑂

−𝐹0

000

𝐴

On effectue le PFS en O de la poutre :

𝑇𝐹→1 : 𝑂

−𝐹0

00𝐹𝐿

𝑂

𝑋𝑂 = 0𝑌𝑂 = 𝐹

𝑁𝑂 = −𝐹𝐿

On utilise la relation liant les efforts intérieurs au torseur d'actions mécaniques :

𝑇𝐶𝑜ℎ𝐼𝐼→𝐼 = − 𝑇𝐴𝑐𝑡 𝑒𝑥𝑡 →𝐼

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𝑇𝐶𝑜ℎ𝐼𝐼→𝐼 :

𝑁𝑇𝑦

𝑇𝑧

𝑀𝑡

𝑀𝑓𝑦

𝑀𝑓𝑧

𝐺

: 𝑂𝐹0

00

𝐹 𝑥 − 𝐿

𝐺

On utilise ensuite la formule liant l'équation de la déformée au moment fléchissant selon z.

𝜕2𝜆 𝑥

𝜕𝑥2=

𝐹 𝑥 − 𝐿

𝐸𝐼𝑧

En intégrant on obtient :

𝐸𝐼𝑧𝜆 𝑥 = 𝐹 𝑥3

6−

𝐿𝑥2

2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2

En x=0, la rotation est nulle tout comme le déplacement. Les deux constantes sont donc nulles. On obtient alors :

𝜆 𝑥 =−𝐹𝑥2

6𝐸𝐼𝑧 3𝑎 − 𝑥

2. Détail de l’obtention des conditions de résistance La contrainte à l’intérieur de la poutre dans ce cas précis de flexion s’exprime par la formule suivante :

𝜎𝑥 = 𝑀𝑓𝑥

𝐼𝑦 𝑧

Le calcul précédent nous donnant la valeur du moment fléchissant, on a alors :

𝜎𝑥 = 𝐹 𝑥 − 𝐿

𝐼𝑦 𝑧

La condition de résistance s’exprime pour :

𝜎𝑥 = −𝐹𝐿

𝐼𝑦 𝑧𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝑅𝑒

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Etude numérique du problème

Choix de la section optimale Le problème qui nous était posé était de dimensionner un panneau publicitaire de manière à ce que ce dernier résiste à la force du vent c'est-à-dire 4000N. Cependant, le panneau reposant sur deux pieds, on peut simplifier le problème en nous basant sur le fait que chaque pied doit résister à une force de 2000N. Le premier travail qui nous était demandé était de trouver le type de section le plus résistant pour un poids n’excédant pas 10kg. Il convenait de tester toutes les sections proposées et leurs diverses orientations (horizontale ou verticale pour les sections rectangulaires creuses par exemple), afin de trouver celle qui répondait de la manière la plus optimale au problème. Nous avons donc dans un premier temps traité les différentes sections de manière analytique (méthode de résistance des matériaux). Puis, nous avons comparé ces solutions exactes avec leur approximation par éléments finis. Nous avons au préalable déterminé, à l’aide des catalogues de profilés, pour chaque forme de section, les dimensions qui en faisaient la plus résistante sans dépasser la contrainte des 10kg. Voici les dimensions choisies : Section rectangulaire creuse : L = 60 H = 40 e = 4 Section rectangulaire pleine : L = 50 H = 14 Section circulaire pleine : R = 15 Section circulaire creuse : D = 114.3 d = 110.3

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Section en I (IPE) : b1 = b2 = 46 t1 = t2 = 4.2 t3 = 3.3 h = 78 I = h/2 = 39 Nous obtenons les résultats suivants :

Valeur de la flèche selon la section de la poutre

Sections MEF (mm)

RDM (mm)

Circulaire creuse 16,77 16,65

Circulaire pleine 465,40 465

Rectangulaire creuse positionnée verticalement 54,20 53,66

Rectangulaire creuse positionnée horizontalement 105,31 104

Rectangulaire pleine positionnée verticalement 126,96 127

Rectangulaire pleine positionnée horizontalement 1618,45 1624

IPE 30,17 28,75

La section la plus performante est donc la circulaire creuse. Nous la choisirons donc pour la simulation 3D de notre problème.

Résultats de la simulation réalisée avec des éléments 3D volumiques

Maillage (type / taille / nb couches)

Flèche (mm) Contraintes (Mpa)

RDM MEF RDM MEF

C3D8 30mm 1 couche 16,77 19,72 242,3 184,4

C3D8 10mm 1 couche 16,77 17,84 242,3 182,7

C3D8 10mm 3 couches 16,77 17,82 242,3 186,5

C3D4 10mm 3 couches 16,77 17,59 242,3 190,2

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On remarque dans un premier temps que la méthode numérique tend à se rapprocher de la solution analytique plus le maillage devient fin. Si l’écart reste malgré tout important du côté de la distribution des contraintes, la valeur de la flèche est quand à elle assez proche de la solution RDM. On peut donc conclure qu’avoir un maillage très précis permet d’avoir des résultats plus fiables. Cependant, un nombre plus importants de nœuds sur un modèle se traduit par un temps d’exécution de la simulation beaucoup plus important. Cela signifie que plus la pièce est complexe et plus le maillage sera précis, plus le coût en calcul sera élevé.

Conclusion La solution 2D nous permet d’avoir une première approximation de nos déplacements, de nos

déformations et contraintes. Cependant, il convient de compléter cette analyse par une analyse 3D

volumique certes plus coûteuse en temps de calcul mais plus précise. Le maillage utilisé lors de cette

seconde approximation a également son importance, comme nous avons pu le voir lors de nos

simulations. La forme mais également la quantité d’éléments joue sur la précision des résultats. On

peut donc résumer en disant que l’on est le plus précis en prenant le plus d’éléments possibles

(possibilité de prendre même plusieurs couches).

Références Hervé Oudin. Méthode des éléments finis. Ecole d’ingénieur. Ecole Centrale de Nantes, 2008, pp.63. <cel-00341772v1> [en ligne] Consulté le 13/05/2015. Disponible sur : https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00341772v1 Yves Debard. Méthode des éléments finis : élasticité à une dimension. Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle. [en ligne]Consulté le 13/05/2015. Disponible sur : http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

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Annexes

Annexe 1 : Déplacement de l’extrémité de la poutre pour la section IPE

Annexe 2 : Contraintes et déplacement de la poutre circulaire creuse avec des éléments C3D4 d’une taille de 10mm disposées selon 3 couches.

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