Différents Mouvements d'Un Disque 2

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Physique

MECANIQUE DU SOLIDE PROBLEME

-PROBLEME DE MECANIQUE DU SOLIDE 1-

ENONCE : Diffrents mouvements dun disque

Dans tout le problme, on sintresse aux mouvements dun disque homogne de masse m et de rayon a, de centre dinertie G ; son moment dinertie par rapport un axe passant par G est

not J , et vaut : 212

J ma= .

Le plan du disque reste toujours confondu avec le plan vertical xOy.

I. Mouvement dun disque dans un rfrentiel non galilen

O' Ox

x'

y'

z'

y

I

G(D)

g!Le disque (D) se dplace le long de l'axe Oxhorizontal d'un rfrentiel Oxyz.Ce rfrentiel est en translation uniformmentacclre par rapport un rfrentiel galilenO'x'y'z' : on note cette acclration.On appelle la force de contact s'exerantsur (D) au point I; on note f le coefficient defrottement de glissement suppos constant.A t=0 , les points O, O' et I sont confondus,et toutes les vitesses sont nulles.

xe =! !

R!

z

1.1) On suppose quil ny a pas glissement : dterminer le mouvement du disque dans

le rfrentiel Oxyz ; en dduire les composantes T et N de la force R!

sur les axes respectifs Ox et Oy.

1.2) A quelle condition y a-t-il effectivement non glissement ?

1.3) Calculer de deux manires diffrentes la puissance fournie par R!

au disque dans le rfrentiel Oxyz, puis dans le rfrentiel Oxyz ; on fera dabord un calcul direct , puis on appliquera le Thorme de la puissance cintique.

Est-il paradoxal de trouver que la puissance de la force de frottement est positive

dans le rfrentiel Oxyz ? Expliquer.

1.4) Le rfrentiel Oxyz effectue maintenant des oscillations telles que :

0' ( cos ;0;0)O O X t=""""!

Calculer lamplitude des oscillations du point G, dans le rfrentiel Oxyz, en

supposant quil ny a toujours pas de glissement.

Quelle est la valeur maximale de 0X pour que lon reste dans ce cas ? (comme prcdemment, les conditions initiales sont nulles).


Physique


II. Mouvement dun disque sur un plan inclin

Le rfrentiel Oxyz est maintenant fixe, mais laxe Ox est inclin vers le bas dun angle (0 / 2) par rapport laxe Ox horizontal.

2.1) Initialement, le disque est immobile et le point I est confondu avec O : on le lche t=0. Etudier le mouvement ultrieur de (D) dans le rfrentiel Oxyz (on calculera en particulier labscisse x du point G).

2.2) Montrer quil y a glissement ou non, selon la position de par rapport une valeur particulire L que lon exprimera en fonction de f ; comparer les deux

types de mouvement pour L = .

2.3) On suppose L ; linstant t=0, le point I est confondu avec O, mais on communique au disque (D) une vitesse initiale 0 0( ;0;0)v v=

! et une vitesse

angulaire 0 0(0;0; ) =!

.

a) Montrer que, quelles que soient les vitesses 0 0 et v , le mouvement finit par se transformer en un mouvement de roulement sans glissement ; on pourra introduire le coefficient qui vaut 1+ lorsque la vitesse de glissement initiale

0 0( )v a+ est positive, et 1 lorsque cette mme vitesse est ngative.

b) Calculer la dure 1t de la phase de glissement ; dterminer lexpression de ( )x t quel que soit linstant t .

2.4) Toujours dans lhypothse o L , le disque est lanc vers le bas ( 0 0v $ et 0 est quelconque) ; pour 1t t , montrer que, selon le signe de et la valeur de , le mouvement de G peut tre acclr ou ralenti.

En particulier, dans le cas o le mouvement est ralenti, montrer quil peut exister une valeur minimale de 0 , note 1 , pour laquelle le disque (D) remonte le long

du plan inclin avant la fin du glissement (on appellera 2t linstant o ce phnomne se produit).

2.5) Reprsenter les variations de la vitesse de G en fonction du temps, selon les valeurs de 0, et ; calculer 2t en fonction de 0, , et g v f ; en dduire la vitesse 1v de G, en fin de glissement, en fonction de 0 1, , , , et a f .

2.6) On suppose 0 0, 0 et tanv f $ $ ; montrer quil existe une valeur minimale de

0 , note 2 , pour laquelle le disque (D) peut remonter jusquau point O avant la

fin du glissement.

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Physique


CORRIGE : Diffrents mouvements dun disque

1.1) Appliquons le Thorme du centre dinertie au disque (D), dans le rfrentiel Oxyz non galilen : il faudra tenir compte de forces dinertie ; cependant, comme le rfrentiel Oxyz est en translation par rapport un rfrentiel galilen, la force de Coriolis est nulle.

Par ailleurs, la force dinertie dentranement scrit dans le cas dune translation :

ie ieF ma m= = ! ! !

en notant simplement a! lacclration du centre dinertie G, il vient :

iema mg F R mg m N T= + + = + +! ! ! !! ! ! !

En projection sur les axes Ox et Oy, et en notant x labscisse du point G, on obtient : 2

2

( )d x tm T mdt

= (1) 0 N mg= (2)

Rq : on ne connat pas le sens de T!

, donc le signe de T dans tout le problme, T dsignera une valeur algbrique ( 0 ou 0$ ).

Les forces et mg N!!

passant par le point G, elles ont un moment nul en ce point ; le thorme

du moment cintique en G, appliqu dans le rfrentiel barycentrique du disque, et projet sur laxe Gz, fournit lquation :

2( ) 1 ( ) ( )2 z

d t d tJ ma GI T e a Tdt dt

= = = ""! ! !

(3)

Rq : ( )t est la vitesse de rotation du disque sur lui-mme, le sens plus de rotation tant le sens trigo, compte tenu de lorientation de laxe Oz.

Enfin, le roulement sans glissement se traduit par :

1 2/ / /0 ( )I sol sol I disque sol G sol x y z

dxv v v IG e a e edt

= = = + = + ""!!! ! ! ! ! ! !

( ) ( ) 0dx t a tdt

+ = (4)

On injecte (4) dans (3) pour obtenir : 2

2

12

d xT mdt

= (5)

En reportant (5) dans (1), il vient : 2

2

( ) 23

d x tdt

= (6) compte tenu des conditions initiales (0) 0 et (0) 0dx xdt

= = , on a :

( ) 23

dx t tdt

= et 2( )3

x t t=

Rq : le disque recule par rapport au rfrentiel Oxyz (puisque 0Oxyz

dxdt

), mais avance dans le

rfrentiel Oxyz, puisque / ' ' ' '' ' ' '

2 03 3Oxyz O x y zO x y z Oxyz

dx dx v t t tdt dt

= + = + = $ .

La relation (2) fournit : N mg= ; les relations (5) et (6) conduisent : 03mT = $


Physique


1.2) Il y a effectivement roulement sans glissement tant que :

T fN 3

m fmg 3 fg (7)

1.3) Faisons dabord le calcul direct, en rappelant que la force R!

sapplique au point I :

dans Oxyz : /( ) 0Oxyz I D OxyzP R R v R= = !! ! !!

( ) 0OxyzP R =!!

dans Oxyz : ' ' ' ' / ' ' ' '( )O x y z I D O x y zP R R v = ! ! !

avec :

/ ' ' ' ' / ' ' ' '0I D O x y z Oxyz O x y z xv v t e = + = !! ! !

2

' ' ' '1 1( ) 03 3O x y z

P R T t m t m t = = =!

$

Utilisons maintenant le Thorme de la puissance cintique appliqu au disque (D) :

dans Oxyz : les forces sont le poids mg! (qui ne travaille pas, dans un mouvement horizontal), la force de contact R

! et la force dinertie dentranement, puisque le

rfrentiel Oxyz est non galilen ; il vient alors : ( ) ( )C Oxyz Oxyz iedE P R P Fdt

= +! !

, avec :

/ / / /( )Oxyz ie ie M Oxyz M Oxyz M Oxyz G OxyzM D M D M DP F dF v dm v v dm mv = = = = ! ! ! ! ! ! ! ! ! ; do : 22 2( )

3 3Oxyz iedxP F m m t m tdt

= = = !

Par ailleurs, le thorme de Knig permet de calculer lnergie cintique du disque dans Oxyz, soit :

2 2 2 22 2 2 2

/1 1 1 1 1 / 3 3 2 12 2 2 2 2 4 4 3 3C G Oxyz

dx dx dt dxE mv J m ma m m t m tdt a dt

= + = + = = = 22

3CdE m t

dt= on retrouve bien : 2 22 2( ) ( ) 0

3 3C

Oxyz Oxyz iedEP R P F m t m tdt

= = =! !

dans Oxyz : cette fois, seule la force R!

est considrer (Oxyz est galilen), mais lnergie cintique scrit :

22 2 2 2

/ ' ' ' ' / / ' ' ' '1 1 1 1 1 /( )2 2 2 2 2C G O x y z G Oxyz Oxyz O x y z

dx dtE mv J m v v maa

= + = + + 2 2

2 21 2 1 2 12 3 4 3 6C

E m t t m t m t = + + = on a bien : 2

' ' ' '1( )3

CO x y z

dE P R m tdt

= =!

Rq1 : il nest pas paradoxal de trouver que dans un des rfrentiels, la puissance de laction du sol sur le disque est positive, car cest la puissance DES actions de contact qui est toujours infrieure ou gale zro, quel que soit le rfrentiel : ici, il faudrait aussi considrer la puissance de laction du disque sur le sol.

Rq2 : dans le cas du roulement sans glissement, cette puissance totale est nulle car, conformment au Principe de laction et de la raction, on a :

/ / / /( ) ( ) 0tot sol disque disque disque sol sol sol disque disque sol sol disque glissementP contact R v R v R v v R v= + = = =!! ! ! !! ! ! ! !


Physique


1.4) Dans le cas du roulement sans glissement, les quations sont inchanges jusqu la (6), mais lacclration dentranement nest plus constante ; on a alors :

220

02

( cos )( ) cosd X tt X tdt

= = 2

202

( ) 2 2( ) cos3 3

d x t t X tdt

= =

0 0 0( ) 2 20 [sin ] sin

3 3tdx t X t X t

dt = = 0 0

2( ) 0 [ cos ]3

tXx t t = 02( ) [1 cos ]

3Xx t t=

Pour qu tout instant on reste dans le cas du roulement sans glissement, la relation (7) permet

dcrire : 2max 0 3X fg = 0 23 fgX

2.1) Le Thorme du centre dinertie appliqu au disque dans le rfrentiel Oxyz, qui est maintenant galilen, fournit :

Gma mg R= +!! !

en projection sur Ox et Oy :

2

2

( ) sin (8)

0 cos (9)

d x tm mg Tdtmg N

= +

= +

Le Thorme du moment cintique barycentrique projet sur laxe Oz scrit toujours:

2( ) 1 ( ) (10)2

d t d tJ ma aTdt dt

= =

Enfin, la vitesse de glissement est donne par :

2 / /( )g I disque sol G sol x y z

dxv v v IG e a e edt

= = + = + ""!! ! ! ! ! ! !

sur Ox, on a : ( ) ( ) (11)g

dx tv a tdt

= +

2.2) On peut alors envisager deux cas :

roulement sans glissement : 0gv = en combinant les relations (8), (10) et (11),

on obtient : 2

2

( ) 2 sin3

d x t gdt

= 21( ) sin

3x t g t= et : sin

3mgT = cosN mg =

Rq : ce cas est obtenu pour T fN tan tan 3L f =

roulement avec glissement : 0 , mais gv T fN = ; ici, le disque est lch sans vitesse initiale il ne peut glisser que vers le bas 0 et 0gv T$ cosT fN fmg = =

la relation (8) permet dobtenir : 2

2

( ) (sin cos )d x t g fdt

= et 21( ) (sin cos )

2x t g f t =


Physique


Rq : pour L

= : il ny a pas glissement 2

2

2 sin3 L

d x gdt

=

pour L +

= : il y a glissement 2

2

2(sin cos ) sin (1 ) sin3 3L L L L

d x fg f g gdt f

= = =

il y a continuit de lacclration en L = .

2.3)a) La composante T tant toujours du signe contraire de gv , on peut mettre T sous la forme : cosT fN fmg = = les relations (8) et (10) deviennent :

2

2

( ) (sin cos ) (12)d x t g fdt

= et ( ) 2 cosd ta fg

dt

= par intgration, la (11) scrit :

0 0( ) ( )( ) (sin 3 cos )g

dx t d tv t a g f t v adt dt

= + = + +

Le glissement cesse linstant 1t o 0gv = , ce qui nous donne :

0 01 (3 cos sin )

v atg f

+=

Il reste vrifier que 1t existe, cest--dire que 1 0t $ ; discutons selon le signe de 0 0v a+ :

0 0 0v a+ $ : 1 3 cos sin 0f = $ , puisque tan tan 3L f = 1 0t $ .

0 0 0v a+ : 1 3 cos sin 0f = on a encore 1 0t $ .

b) Entre les instants 10 et t , il y a roulement avec glissement du disque (D) ; en intgrant deux fois la relation (12), et en tenant compte des conditions initiales, il vient :

21 0

(sin cos )0 : ( )2

g ft t x t t v t = + (13)

Pour 1t t , il y a roulement sans glissement, on utilise alors la relation 2

2

( ) 2 sin3

d x t gdt

= ;

aprs intgration et en posant 1 1 1 1( ) et ( )dx t v x t xdt

= = , on aboutit :

21 1 1 1 1

sin: ( ) ( ) ( )3

gt t x t t t v t t x = + +

2.4) Pour 1t t , on a 2

2


= :

le mouvement est acclr, si 2

2

( ) 0d x tdt

$ tan f $ :

pour 1 = ( 0 0 0v a+ ), la relation prcdente est toujours vrifie.

pour 1 = ( 0 0 0v a+ $ ), il faut : tan f $ .


Physique


le mouvement est ralenti, si 2

2

( ) 0d x tdt

tan f : cette dernire relation ne peut

tre vrifie que pour 0 01 ( 0)v a = + $ et tan f .

Dans ce dernier cas, 2

2


= 0( ) (sin cos )dx t g f t vdt

= + le disque

peut remonter la pente sil est possible davoir ( ) 0dx tdt

lannulation de la vitesse a lieu

pour un instant 2t dfini par : 2( ) 0dx tdt

= 02 ( cos sin )vt

g f =

2( 0 pour tan )t f$

Cet instant se produit avant la fin du glissement, si :

2 1 (avec 1)t t = 0 0 0( cos sin ) (3 cos sin )v v a

g f g f

+

00 12tan

v fa f

=

Rq : on a effectivement 1 0 $ , pour tan f .

2.5) Reprsentons les diffrents graphes de la vitesse en posant ( )( )G

dx tv tdt

= ; on a :

1t t : roulement avec glissement 0( ) (sin cos )Gv t g f t v = +

1t t= : on injecte lexpression de 1t dans lexpression prcdente pour trouver :

0 01 1 1 0

(2 cos ) (sin cos ) ( cos sin ) sin cos( )3 cos sin 3 cos sin 3 cos sinG

v f a f a f fv v tf f f

+ = = = +

1t t : roulement sans glissement 1 12( ) sin ( )3G

v t g t t v= +

On obtient les diffrents cas suivants :

Gv Gv Gv

t t t1t 1t1t2t

0 0 0

1v

1v

1v

0v 0v

0v

0 0

0 0

0

0 et tan

v aou

v a f

+ +

$ $

0 0

0 1

0tan

v af

+

$

0 0

0 1

0tan

v af

+

$

$

Rq : on remarquera que pour 1t t$ , le roulement est sans glissement et que le mouvement est toujours acclr.


Physique


2.6) Dans le cas prsent, on peut reprendre lexpression (13) avec 1 = , soit :

20

(sin cos )( )2

g fx t t v t = + (avec (0) 0x = )

Le disque (D) peut remonter jusqu lorigine, sil existe un temps 3 3 1 (0 )t t t tel que :

3( ) 0x t = 03 22 2

( cos sin )vt t

g f = =

; on a bien 3 0 pour tant f$ , mais il faut aussi :

0 03 1 (3 cos sin )

v at tg f

+ =

0 00 25 cos sin 5 tan

cos sin tanv vf fa f a f

= =

*********************

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