Dialnet InstantaneasDiferenciales 528070 (2)

8/10/2019 Dialnet InstantaneasDiferenciales 528070 (2)

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MATERIAL DIDCTICO

MATEMTICAS

INSTANTNEASDIFERENCIALES

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scar Ciaurri Ramrez

Mtodos Elementales de Resolucin

de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias,Estudio del Problema de Cauchy yTeora de Ecuaciones y Sistemas Lineales


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INSTANTNEAS DIFERENCIALES

MTODOS ELEMENTALES DE RESOLUCIN DE

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

ESTUDIO DEL PROBLEMA DE CAUCHY Y TEORA DE

ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES


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MATERIAL DIDCTICOMatemticas

n 8


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scar Ciaurri Ramrez

INSTANTNEAS DIFERENCIALES

MTODOS ELEMENTALES DE RESOLUCIN DE

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

ESTUDIO DEL PROBLEMA DE CAUCHY Y TEORA DE

ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES

UNIVERSIDADDELARIOJA

SERVICIO DE PUBLICACIONES2013


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CIAURRI RAMREZ, scar

Instantneas diferenciales [Recurso electrnico] : mtodos elementales de resolucinde ecuaciones diferenciales ordinarias : estudio del Problema de Cauchy y Teora deEcuaciones y Sistemas Lineales / por scar Ciaurri Ramrez. Logroo :

Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2013.VI, 452 p. ; v. digital. (Material didctico. Matemticas ; 08)ISBN 978-84-695-7111-81. Ecuaciones diferenciales. I. Ttulo. II. Universidad de La Rioja. Servicio dePublicaciones. III. Serie.

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Instantneas diferenciales: mtodos elementales de resolucin de ecuaciones diferenciales

ordinarias: estudio del Problema de Cauchy y Teora de Ecuaciones y Sistemas Lineales

de scar Ciaurri Ramrez (publicado por la Universidad de La Rioja) se difunde bajo una Licencia

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scar Ciaurri Ramrez

Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2013publicaciones.unirioja.es

E-mail:[email protected]

ISBN 978-84-695-7111-8Edita: Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/http://publicaciones.unirioja.es/http://publicaciones.unirioja.es/http://e/Documents%20and%20Settings/iterroba/Configuraci%E3%AE%A0local/Temp/[email protected]://e/Documents%20and%20Settings/iterroba/Configuraci%E3%AE%A0local/Temp/[email protected]://e/Documents%20and%20Settings/iterroba/Configuraci%E3%AE%A0local/Temp/[email protected]://e/Documents%20and%20Settings/iterroba/Configuraci%E3%AE%A0local/Temp/[email protected]://publicaciones.unirioja.es/http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/


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Al entregar el premio al Mejor Profesor del Ano a:

. . . Julio Estudiante, un profesor de matematicas que enseno a jove-nes pandilleros que las ecuaciones diferenciales son mas poderosasque las balas.

The Simpsons, temporada 14, captulo 7.


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Introduccion

Que son estas Instantaneas diferenciales?Desde luego he pretendidoque no fuesen un libro de ecuaciones diferenciales al uso. Durante mucho tiempofueron en realidad ese fue su origen una notas que elabore para mis estu-diantes de un curso de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, esas notas inicialescrecieron y tomaron su propio camino, de tal forma que ahora, cuando las en-trego a mis estudiantes, debo comenzar advirtiendoles que todo el material delcurso esta contenido en estas paginas pero que, con una alta probabilidad, nollegaremos a tratar todas las cuestiones que en ellas hay incluidas.

El comienzo de estas instantaneasfue el material recopilado en la memoriadocente que elabore para presentarme a una plaza de profesor titular. All apa-recan breves resumenes de cada uno de los temas de los que deba constar unaasignatura de ecuaciones diferenciales. Resumenes que, para decir toda la ver-dad, haba heredado de un companero, que a su vez los haba recibido de alguien

que haba obtenido la plaza antes que el y as sucesivamente. Eran un pequenoconjunto de notas sobre ecuaciones diferenciales de apenas veinte p aginas quevarias generaciones de opositores habamos ido modificando y adaptando a lolargo de los anos en funcion de nuestros gustos personales. El material era escasopero una buena base para comenzar unas notas que se convirtieron en necesariascon la llegada de un alumno aleman. En el curso 20042005 recibimos en nuestrafacultad a un estudiante extranjero financiado por unabeca Erasmus. Recuerdoa este estudiante el primer da de curso, con su escassimo castellano, inten-tando tomar notas de lo que yo, en mi habitual estilo expansivo y ca otico, ibadesgranando en la pizarra. El pobre muchacho estaba desbordado y decid quepoda ser una buena idea convertir aquellos resumenes de la memoria docenteen unos apuntes con algo mas de entidad para poder entregarselos ya escritos alos estudiantes. Ni que decir tiene que durante todo aquel curso anduve con lalengua fuera, escribiendo cada da los contenidos del curso que deba explicar alda siguiente. En aquellos momentos ya comence a ilustrar con algunos graficos(muy sencillos por entonces) las cuestiones que iba desarrollando y proponiendoejemplos que intentaba que fuesen lo mas representativos posible. Aquel primercurso las notas adquirieron su forma basica. Desde entonces las notas se handesarrollado enormemente, con nuevos anadidos cada curso, con mejoras per-manentes en las secciones ya asentadas, con nuevos y mas complicados graficosy esquemas y, en general, con cualquier material relacionado con las ecuacionesdiferenciales que haya llamado mi atencion por algun motivo puntual. Todo esto

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ha contribuido enormemente a mejorar el aspecto final de este trabajo. Esta esuna descripcion, quiza grosera pero creo que acertada, de estasinstantaneasqueahora presento. Por supuesto, que nadie dude que el ttulo que he elegido paraeste trabajo esta inspirado por la obra de H. Steinhaus Mathematical Snapshots,que traduciramos al castellano como Intantaneas matematicas.

Los contenidos de estasinstantaneasson los metodos elementales de resolu-cion de ecuaciones diferenciales, el estudio de los problemas de valores inicialesy la teora lineal de ecuaciones diferenciales. Basicamente pretenden mostrarlas tecnicas elementales para el estudio de la teora de ecuaciones diferencialesordinarias. A la vez que presentamos esas tecnicas, incluimos ejemplos y aplica-ciones de las mismas en situaciones clasicas y en otras no tan clasicas, pero queprocuramos que sean de interes para los lectores.

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Indice general

1. Definiciones y herramientas basicas. Ecuaciones elementales 11.1. Comenzando por el principio: definiciones basicas . . . . . . . . . 11.2. Dos ecuaciones de solucion elemental . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Interpretacion geometrica de la ecuacion x= f(t, x) . . . . . . . 101.4. Cambios de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Escarabajos, ecuaciones diferenciales y espirales logartmicas . . 151.6. Sobre envolventes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.7. El tiro parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8. Huygens y el pendulo cicloidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.9.1. Problemas sobre envolventes . . . . . . . . . . . . . . . . 431.9.2. Problemas sobre el tiro parabolico . . . . . . . . . . . . . 48

2. Ecuaciones de variables separadas 53

2.1. Dinamica de poblaciones y ecuaciones de variables separadas . . 532.2. Depende la inercia de un cuerpo de su contenido de energa? . . 622.3. Curvas de persecucion y ecuaciones diferenciales homogeneas . . 642.4. Trayectorias ortogonales e isogonales . . . . . . . . . . . . . . . . 722.5. Lneas equipotenciales en un campo magnetico . . . . . . . . . . 802.6. El diseno de una palanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.7.1. Problemas sobre modelos poblacionales . . . . . . . . . . 912.7.2. Descomposicion radiactiva y datacion con carbono radiac-

tivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.7.3. Problemas sobre ecuaciones en variables separadas y ecua-ciones homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.7.4. Problemas geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.7.5. La tractriz circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.7.6. Problemas sobre vaciado de recipientes . . . . . . . . . . . 111

3. Ecuaciones diferenciales exactas 115

3.1. Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2. Una cuestion de optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.3. Una acrobacia aerea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

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iv Indice general

3.4. Factores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.5. Esquiando una pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.6. Una curva de transicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4. Ecuaciones lineales de primer orden 147

4.1. Absorcion de medicamentos y ecuaciones lineales de primer orden 147

4.2. Un estudio matematico de carreras de atletismo . . . . . . . . . . 157

4.3. Dos problemas de la revistaThe American Mathematical Monthly160

4.4. Como reconocer una parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.5. La ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.6. La ecuacio n d e R i c c a ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 1

4.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.7.1. Problemas de mezclas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.7.2. La ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . . . . 185

5. Otros metodos elementales de resolucion 189

5.1. Ecuaciones en las que la derivada aparece implcitamente . . . . 189

5.1.1. Una caracterizacion para las parabolas . . . . . . . . . . . 191

5.2. Ecuacion diferencial de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.3. Ecuacion diferencial de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.3.1. Otra caracterizacion para las parabolas . . . . . . . . . . 198

5.4. El problema de la braquisto c r o n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 25.5. Metodos de reduccion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.5.1. La forma de una cadena colgante . . . . . . . . . . . . . . 212

5.5.2. Analisis matematico del salto de Bob Beamon . . . . . . . 215

5.5.3. Un problema espacial: la velocidad de escape . . . . . . . 217

5.5.4. Que trayectoria seguira una piedra si pudiera caer haciael interior de la Tierra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

5.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5.6.1. Otros metodos de reduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5.6.2. Algunas cuestiones relativas a curvas de persecucion . . . 237

5.6.3. Una propuesta sobre espejos . . . . . . . . . . . . . . . . 238

6. Teoremas de existencia y unicidad 241

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.2. El teorema del punto fijo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.3. Un parentesis historico: Stephan Banach y el Cafe Escoces . . . . 2 4 6

6.4. El teorema de existencia y unicidad de Picard . . . . . . . . . . . 257

6.5. El teorema de existencia de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.6. Una aplicacion: el teorema fundamental de curvas en R3 . . . . . 274

6.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278


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Indice general v

7. Soluciones aproximadas 285

7.1. La ecuacion del pendulo. Soluciones -aproximadas . . . . . . . . 2857.2. El metodo de Euler. Problemas de balstica . . . . . . . . . . . . 2927.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

8. Sistemas y ecuaciones lineales. Teora general 305

8.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3058.2. Sistemas lineales homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

8.2.1. Reduccion de la dimension de un sistema de ecuacioneslineal homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

8.3. Sistemas lineales no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3148.4. Un sistema de ecuaciones no lineal y los nudos toricos . . . . . . 3198.5. Ecuaciones lineales de ordenn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

8.5.1. Ecuaciones lineales homogeneas de orden n . . . . . . . . 3278.5.2. Reduccion del orden de una ecuacion lineal homogenea de

ordenn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3288.5.3. Ecuaciones lineales no homogeneas de ordenn . . . . . . 3 32

8.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

9. Sistemas y ecuaciones lineales de coeficientes constantes 341

9.1. Sistemas de ecuaciones lineales de coeficientes constantes . . . . . 3419.1.1. Calculo deetA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3439.1.2. Metodo de valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . 348

9.2. Ecuaciones lineales de ordenn con coeficientes constantes . . . . 354

9.2.1. La ecuacion de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3589.3. Soluciones particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3599.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

10. Modelizando con sistemas y ecuaciones lineales 379

10.1. Que cuesta mas tiempo: subir o bajar? . . . . . . . . . . . . . . 37910.2. Sobre vibraciones meca n i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 410.3. Resortes acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39310.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

11.Sistemas y ecuaciones con coeficientes analticos 405

11.1. Resolucion mediante serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . 40511.2. Otra cuestion de resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41211.3. Una aplicacion del teorema fundamental de curvas en R3 . . . . . 4 1 411.4. La ecuacion de Chebyshev y los polinomios de Chebyshev . . . . 417

11.4.1. Propiedades de los polinomios de Chebyshev . . . . . . . 41811.5. La ecuacion de Hermite y los polinomios de Hermite . . . . . . . 420

11.5.1. Propiedades de los polinomios de Hermite . . . . . . . . . 42111.6. Puntos singulares regulares y el metodo de Frobenius . . . . . . . 423

11.6.1. Caso en el que las races de la ecuacion indicial se diferen-cian en un entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

11.7. La ecuacion de Bessel y las funciones de Bessel . . . . . . . . . . 431


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vi Indice general

11.7.1. Propiedades de las funciones de Bessel . . . . . . . . . . . 43211.8. Una ultima cuestion relativa a resortes mecanicos . . . . . . . . . 43611.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437


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Captulo 1

Definiciones y herramientas

basicas. Ecuaciones

diferenciales elementales

1.1. Comenzando por el principio: definiciones

basicas

A lo largo este libro vamos a proceder a desarrollar diversas tecnicas o meto-dos de resolucion de ecuaciones diferenciales. Dada una ecuacion diferencial,la probabilidad de determinar una o varias soluciones explcitas para ella esrealmente baja.1 Sin embargo, presentaremos diferentes metodologas que nospermitiran obtener soluciones en algunos casos particulares. En cada caso, ysiempre que sea posible, procuraremos motivar cada tipo de ecuacion que in-troduzcamos con ejemplos o modelos ilustrativos. Para poder plantear lasdiversas situaciones que nos encontraremos necesitamos algo de nomenclaturacon la que poder expresarnos con precision.

En una ecuacion diferencial aparecen las derivadas de una o mas funcionescon respecto a una o mas variables independientes. Cuando se trata de dos omas ecuaciones simultaneas hablaremos de sistema de ecuaciones diferenciales.

Inicialmente las ecuaciones diferenciales se clasifican en funcion de si contie-nen derivadas con respecto a una o a varias variables independientes:

a) Hablamos deecuaciones diferenciales ordinariascuando aparecen en ellaslas derivadas de una o mas funciones con respecto a una unica variable

1En el caso mas sencillo: encontrar una funcion x(t), expresada en terminos de funcioneselementales, verificando la ecuacionx(t) =f(t), dondef(t) es una funcion continua arbitraria,sabemos que es casi una mision imposible, aunque puede que exista.. .

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2 Captulo 1. Definiciones y herramientas basicas. Ecuaciones elementales

independiente. Algunos ejemplos que analizaremos: la ecuacion logstica

dP

dt =k1P

1 P

k2

,

donde P(t) es la poblacion de un determinado habitat en un instante detiempo t y k1 y k2 son constantes positivas; la ecuacion de Bessel

t2x+ tx+ (t2 2)x= 0,donde suponemosx = x(t) y una constante real; la ecuacion de van derPol

d2x

dt2

+ (x2

1)

dx

dt

+ x= 0,

conun parametro real no nulo; o, los sistemas de ecuaciones diferencialespredador-presa que rigen la evolucion temporal de dos poblaciones x(t) ey(t) en interaccion

dx

dt =ax cxy,

dy

dt = by+ dxy,

dondea, b, c ydson constantes positivas.

b) Y se trata de ecuaciones en derivadas parcialescuando aparecen las de-rivadas de una o mas funciones con respecto a dos o mas variables inde-pendientes. La ecuacion de Laplace2

2ux21

+2ux22

= 0;

la ecuacion del calor2z

x21+

2z

x22=

z

t;

o la ecuacion de ondas2z

x21+

2z

x22=

2z

t2;

son algunos ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales con una solafuncion.3 Las ecuaciones de Cauchy-Riemann, fundamentales en el estudiode funciones de una variable compleja,

ux

= vy

,

u

y = v

x,

nos proporcionan un ejemplo de sistema de ecuaciones en derivadas par-ciales.

2Los ejemplos que presentamos son bidimensionales en la variable espacial x = (x1, x2)pero pueden darse facilmente generalizaciones a n-dimensiones,x = (x1, x2, . . . , xn).

3De hecho estas tres ecuaciones son las ecuaciones en derivadas parciales mas estudiadas.


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1.1. Comenzando por el principio: definiciones basicas 3

Al maximo orden de derivacion que aparece en una ecuacion diferencial lollamaremos orden de la ecuacion diferencial. La ecuacion logstica o los siste-mas predador-presa son de orden uno, mientras que la ecuacion de Bessel o laecuacion de Laplace son de orden dos. La ecuacion de Euler-Bernoulli para la

Una clasica imagen de L.Euler (17071783). Euler es,sin duda, una de las figu-ras centrales de la historiade las matematicas. La in-fluencia de su trabajo en unagran variedad de ramas delas matematicas es palpablehasta nuestros das. Se atri-buye a Laplace (matemati-co frances contemporaneo deEuler aunque algo mas joven

que el) una frase que resu-me su omnipresencia: Leeda Euler, leed a Euler, es elmaestro de todos nosotros.

flexion y(x) de una vigad4y

dx4+ a4y= bw(x),

donde a y b son constantes propias del problema y w(x) es la carga a la queesta sometida la viga, es de cuarto orden.

Nuestro objetivo central son las ecuaciones diferenciales ordinarias y portanto el resto de definiciones que presentaremos a continuacion estaran relacio-

nadas con ellas. De todos modos nos encontraremos con algunas ecuaciones enderivadas parciales en diversas situaciones; por ejemplo, apareceran al buscarfactores integrantes.

Si suponemos una funcion de una variable real t con n componentes, x =(x1, . . . , xn), yn ecuaciones involucrando derivadas hasta orden r, la correspon-diente ecuacion (sistema, si n > 1) puede representarse por la expresion

F

t,x,x, . . . , x(r)

=F

t, x1, . . . , xn, x1, . . . , x

n, . . . , x

(r)1 , . . . , x

(r)n

= 0,

(1.1)para una cierta funcion F(t, z1,1, . . . , z1,n, . . . , zr+1,1, . . . , zr+1,n) definida sobreun subconjunto de R (Rn)r+1 y tomando valores en Rn. Las ecuaciones dela forma anterior se denominan implcitas. El hecho de tomar la imagen de

F contenida en Rn

nos dice que tenemos tantas ecuaciones como funcionesaparecen en nuestro sistema, y siempre supondremos esto de aqu en adelante.Si la ecuacion aparece resuelta respecto de la derivada de mayor orden, es

decir, si se expresa como

x(r) =f

t,x,x, . . . , x(r1)

dondef esta definida sobre un subconjunto de R (Rn)r y tomando valores enRn, la llamaremos explcita.

Notad que, al menos de manera teorica, para pasar de una ecuacion (sistema)implcita como la dada en (1.1) a una ecuacion (sistema) explcita basta, porel teorema de la funcion implcita, que la funcion F = (F1, . . . , F n) cumpla la

condicion

F1zr+1,1

F1zr+1,n

......

Fnzr+1,1

Fnzr+1,n

= 0

en un entorno de algun punto.Para ecuaciones explcitas de orden uno, x = f(t, x), si fes una funcion

vectorial conn componentes,f = (f1, f2, . . . , f n), la ecuacion puede desglosarse


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como

x1= f1(t, x1, . . . , xn),x2= f2(t, x1, . . . , xn),

...

xn = fn(t, x1, . . . , xn),

y se corresponde con un sistema de ecuaciones diferenciales de orden uno. Cuan-do la ecuacion es de orden r >1 y la funcionf y la variable dependientex sonescalares (situacion correspondiente al caso n= 1) la ecuacion puede transfor-marse en un sistema der ecuaciones pero de orden uno. En efecto, sin m as quetomar

x1= x, x2= x, . . . , xr = x(r

1)

,la ecuacionx(r) =f(t,x,x, . . . , x(r1)) se convierte en el sistema derecuaciones

x1= x2,

x2= x3,...

xr1= xr,xr =f(t, x1, . . . , xr),

que es de orden uno. Hay que observar que cuando n >1 es posible efectuar latransformacion anterior, pero a cambio de una notacion mas sobrecargada. Portanto, omitimos los detalles.

De la posibilidad teorica de reducir ecuaciones implcitas a explcitas y delmecanismo descrito para transformar ecuaciones de orden r > 1 en otras deorden uno, podemos deducir que no se pierde generalidad al centrarnos, funda-mentalmente, en el estudio de ecuaciones del tipo x = f(t, x), con f definidaen un subconjunto de RRn y tomando valores en Rn.

Una vez que hemos definido la nocion generica de ecuacion diferencial yde algunos conceptos relacionados, estableceremos una definicion apropiada delconcepto de solucion de la ecuacion x= f(t, x).4

Definicion 1. Diremos que una funcion

: I Rn

es una solucion de la ecuacion x= f(t, x) en el intervalo Isi es derivable y(t) =f(t, (t)), t I.

La ecuacion diferencial mas sencilla que existe es, obviamente, de la formax = f(t), para una cierta funcion f. Es claro que si F es una primitiva de lafuncionf, el conjunto de soluciones viene dado por

x(t) =F(t) + C,

4Una definicion analoga puede darse para la ecuacion implcita F(t,x,x) = 0 con lasmodificaciones obvias.


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el problema de valores iniciales x= f(t) y x(t0) =x0, con t0 D. Ademas,

x(t) =x0+

tt0

f(s) ds, t D.

Veamos dos aplicaciones de este simple hecho.

1. El problema del quitanieves. Un da comenzo a nevar demanera abundante y regular. Una maquina quitanieves se puso afuncionar a medioda limpiando una carretera a ritmo constante, enterminos de cantidad de nieve retirada cada hora. Durante la primerahora limpio dos kilometros de carretera y durante la segunda uno

mas. A que hora comenzo a nevar?

Imagen de una maquina qui-tanieves que circulaba a me-diados de los anos cuarentaen el Pirineo aragones.

Por supuesto, para plantearnos una resolucion adecuada del problema debe-mos analizar el enunciado con cierto detalle.

Podemos considerar que la posicion en la carretera es una funcion del tiempo(medido en horas) x(t) definida para t >0 y supondremos t= 0 el instante enel que comenzo la nevada. La altura de la nieve en el instante t la expresaremospor h(t). Si denotamos por Vel volumen de nieve retirado por la maquinaquitanieves en un intervalo de tiempo t, suficientemente breve para poderconsiderar h(t) constante en el intervalo x, tendremos que V = hLx,siendoL la anchura de la pala de la quitanieves, y

V

t =hLx

t ,

o haciendo t 0,dV

dt =hL

dx

dt. (1.3)

La expresionlimpiando una carretera a ritmo constante, en terminos de cantidadde nieve retirada cada horanos indica que la variacion del volumen por unidadde tiempo de nieve retirado es constante, es decir dVdt = . As, de la ecuacion(1.3) concluimos que

dx

dt =

Lh;

es decir, la velocidad de la maquina quitanieves en el instantet es inversamente

proporcional a la altura de la nieve en ese instante. Puesto que nos dicen quenieva de manera regular podemos considerar que h(t) = ct y, por tanto, laecuacion diferencial que describe la posicion del quitanieves es

dx

dt =

A

t,

conA= Lc . Entonces, es claro que

x(t) =A log t + C.


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1.2. Dos ecuaciones de solucion elemental 7

Si es t = Tel tiempo que ha transcurrido desde que comenz o la nevadahasta que salio la maquina, tendremos quex(T) = 0. Lo que nos da la expresionx(t) = A log

tT

. Ademas, segun el enunciado propuesto, debe cumplirse que

x(T+ 1) = 2 yx(T+ 2) = 3 y esto implica la relaci onT+ 1

T

3=

T+ 2

T

2.

La ecuacion anterior es equivalente a

1 + T = 1

T,

cuyas races son T = (1 5)/2. Tomando la solucion positiva tenemos queT = 0.618 horas 37 minutos; por tanto, comenzo a nevar a las 11:23 a. m.

El problema del quitanieves se popularizo en la literatura sobre ecuacionesdiferenciales a raz de su inclusion en el libro Differential Equations de R. P.Agnew, publicado en 1942 por la editorial McGraw-Hill. De hecho, se puedenlocalizar recursos en Internet que lo denominan The snowplow problem, by R.P. Agnew. Sin embargo, resulta curioso observar que existe una version previa,que podramos denominar primitiva, del problema. En 1937, en la revista TheAmerican Mathematical Monthly se planteo, como Problema E 275 (pag. 245),resolver la siguiente cuestion: (por mantener la pureza copiamos la propuestaen ingles)

In a certain town it began snowing before noon and continue at aconstant rate until dark. At noon a crew of men set out along thehighway, clearing the snow from it as they went. They cleared twomiles in the first two hours, but only one mile in the next two hours.If the crew clears equal volumes of snow in equal times, at what timedid it begin to snow?

La propuesta apareca firmada por J. A. Banner. La solucion se publico endiciembre del mismo ano (pags. 666667). Obviamente se trata del mismo pro-blema, con cambios sin importancia en los datos. En este caso la nevada habradado comienzo a las 10:45. A la propuesta le hemos anadido el calificativo deprimitivaya en ella se habla de hombres-quitanieves, y en la que ha alcanzadomas popularidad ya aparecen maquinas quitanieves. Teniendo en cuenta que elProblema E 274 de la revistaThe American Mathematical Monthly(es decir: elanterior a la versionprimitivadel problema del quitanieves) haba sido propues-to por R. P. Agnew y que aparecio publicado en la misma pagina de la revista,podemos asegurar (con poco margen de error) que Agnew conoca la propuestade Banner y que su aportacion fue actualizarla, cambiandohombres-quitanievespor maquinas quitanieves.

Mas adelante, en el captulo correspondiente a las ecuaciones lineales deprimer orden, analizaremos una propuesta debida a M. Klamkin en la que seplantea una interesante extension del problema del quitanieves.


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2. Propulsion a chorro. Un cohete de masa estructural m1 con-tiene una masa m2 de combustible. Se dispara en lnea recta haciaarriba, desde la superficie de la Tierra, quemando combustible auna tasa constante a (es decir, dmdt =a, donde m denota la ma-sa variable total del cohete) y expulsando los productos de escapehacia atras, a una velocidad constanteb, relativa al cohete. Si se des-precian todas las fuerzas exteriores, excepto una fuerza gravitatoriamg, dondeg se supone constante, encontrar la velocidad y la alturaalcanzada por el cohete en el momento en el que se agote el com-bustible, lo que habitualmente se denominan velocidad de apagadoy altura de apagado.

Antes de plantearnos la resolucion de este problema, creemos convenientehacer un breve recordatorio de las leyes de Newton. Estos principios fsicos seranla herramienta fundamental para resolver la cuestion que nos hemos propuestoy otras muchas que apareceran mas adelante.

Material complementario

Las leyes de Newton

Para resolver el problema que acabamos de plantear es necesario utilizar las

leyes de Newton. Enunciamos a continuacion las tres leyes ya que seran unafuente inagotable de ejemplos para los distintos tipos de ecuaciones que analiza-remos. Mayoritariamente, a lo largo de estas notas, haremos uso de la segundaley de Newton. Sin embargo, tendremos oportunidad de ilustrar distintas situa-

Texto de la version originalen latn de losPrincipia Mat-hematica en el que apare-cen las dos primeras leyes deNewton.

ciones teoricas con ejemplos en los que haremos uso de las restantes leyes.Primera ley. Un cuerpo permanece en estado de reposo, o de movimien-

to rectilneo uniforme (es decir, con velocidad constante) si no actuan fuerzasexternas sobre el.

Segunda ley. Para un cuerpo de masa m con velocidad v, el productop = mv suele denominarse momento lineal del cuerpo, entonces la suma delas fuerzas externas que actuan sobre el cuerpo, F, es igual a la derivada conrespecto del tiempo del momento lineal, es decir, F = dpdt . En particular, para

un cuerpo de masa constantem se satisface queF= mdvdt =ma, dondea es la

aceleracion del cuerpo.Tercera ley. Si un cuerpoAejerce una fuerzaFsobre un cuerpoB, entonces

el cuerpoB ejerce una fuerzaFsobreA.

Nuestro problema plantea la determinacion de los valores terminales parala altura y la velocidad de un cohete que se desplaza mediante la denominadapropulsion a chorro. Este mecanismo consiste esencialmente en una camara de


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1.2. Dos ecuaciones de solucion elemental 9

combustion, donde se quema el combustible, que dispone de unas aberturas otoberas situadas de la forma adecuada para dirigir los gases procedentes de lacombustion en la direccion deseada. Cuando se inicia la combustion, los gasessalen expelidos a gran velocidad, o sea, con un cierto momento linealhacia atras;y, en consecuencia, en virtud del principio de conservacion del momento lineal,5

el cohete adquiere un momento lineal igual hacia delante. Esto es el cohete espropulsado en una cierta direccion por la expulsion de una parte de su masa endireccion contraria. Si nos interesamos unicamente por el movimiento del coheteestaremos ante un problema mecanico de masa variable y tendremos que aplicarla segunda ley de Newton en terminos de momentos lineales.

La masa del cohete en cada instante de tiempo la denotaremos por m y suvelocidad en un instante t por v. La velocidad de los gases expulsados, vistadesde un sistema de referencia en Tierra, que es inercial,6 esv b. El momentodel cohete en el instante t + t sera al momento del cohete menos el momentode los gases expulsados, es decir,

p(t + t) = (m + m)(v+ v) m(v b),por tanto

p= p(t + t) p(t) = (m + m)(v+ v) m(v b) mv=mv+ bm + mv

ydp

dt =m

dv

dt + b

dm

dt.Finalmente, usando la segunda ley de Newton, la ecuaci on del movimiento delcohete es

mdv

dt + b

dm

dt = mg,

dondem = m1+ m2 at.Algunas manipulaciones elementales nos llevan a

dv

dt =

ab

m g= ab

m1+ m2 at g.

Por integracion elemental tendremos

v(t) = b log(m1+ m2 at) gt + C.Si suponemos que en el instante inicial el cuerpo esta en reposo, v(0) = 0,concluimos que

v(t) = b log

1 atm1+ m2

gt.

5Si sobre una partcula o un sistema de partculas no actua ninguna fuerza o la resultantede las fuerzas exteriores es nula, el momento lineal permanece constante.

6Recordar que un sistema de referencia inercial es aquel que no est a acelerado. Las leyes deNewton son validas para un observador estacionado en un sistema de referencia de este tipo.


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1.3. Interpretacion geometrica de la ecuacion x= f(t, x) 11

2 1 1 2 t

1

1

2

3

4

x

Figura 1.1: Campo de direcciones asociado a la ecuacionx = x t2 para (t, x)en (2, 2) (1, 4) y las isoclinas correspondientes a c =1 (en azul), c = 0(en rojo), c = 1 (en marron) y c = 2 (en naranja).

hierro esparcidas sobre un papel y atradas por los polos de un iman dejan verlas lneas del campo magnetico.

De especial interes en este sentido son las lneas isoclinas dadas por

f(t, x) =c, c R.El conocimiento de las isoclinas permite deducir un retrato aproximado de lassoluciones. La isoclina nula, asociada conc = 0, resulta de especial importanciaya que sobre ella se producen los cambios en la monotona de las solucionesx(t).

En la figura 1.1 se muestra el campo de direcciones asociado a la ecuaci onx = x t2 en el rectangulo (2, 2) (1, 4) y algunas isoclinas asociadas conesta ecuacion. En este ejemplo las isoclinas son parabolas simetricas respecto aleje vertical. La figura 1.2 representa el mismo campo de direcciones al que seha anadido algunas soluciones de la ecuacion con distintas condiciones iniciales.La curva que aparece en rojo corresponde a la isoclina nula x= t2. Se observaclaramente que es sobre esta isoclina sobre la que se producen los cambios decrecimiento en las curvas solucion.


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2 1 1 2 t

1

1

2

3

4

x

Figura 1.2: Campo de direcciones asociado a la ecuacion x= x t2 para (t, x)en (2, 2) (1, 4) junto a las soluciones asociadas con las condiciones inicialesx(0) = 0 (en azul), x(0) = 1/2 (en marron) yx(0) = 1 (en naranja). En rojo semuestra la isoclina nulax= t2.


Programando con Mathematica

Es posible utilizarMathematicapara generar campos de direcciones como seha hecho en las figuras 1.1 y 1.2. En nuestro caso hemos utilizado Mathematica6.0y hemos procedido como se indica a continuacion. En primer lugar debemoscargar el paquete de Mathematicaque nos permite dibujar campos de vectores

Needs["VectorFieldPlots"]

El codigo que hemos usado para generar el grafico en la figura 1.1 ha sido

Show[VectorFieldPlot[{1, x - t^2}, {t, -2, 2}, {x, -1, 4},


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1.4. Cambios de coordenadas 13

PlotPoints -> 40, HeadLength -> 0,

ScaleFunction -> (0.5 &)],

Plot[{-1 + t^2, t^2, 1 + t^2, 2 + t^2}, {t, -2, 2}],

PlotRange -> {-1.1, 4.1}, AspectRatio -> Automatic,

AxesStyle -> Directive[Medium, Italic], AxesLabel -> {t,x}]

El comandoVectorFieldPlotes el encargado de generar el campo de vectores.La orden HeadLength se encarga de eliminar la flecha de los vectores yPlotdibuja las isoclinas. ConShowse muestran juntos ambos graficos. Para la figura1.2 hemos usado

Show[VectorFieldPlot[{1, x - t^2}, {t, -2, 2}, {x, -1, 4},

PlotPoints -> 40, HeadLength -> 0,

ScaleFunction -> (0.5 &)],

Plot[{t^2, 2 - 2*Exp[t] + 2*t + t^2,

(4 - 3*Exp[t] + 4*t + 2*t^2)/2,

2 - Exp[t] + 2*t + t^2},

{t, -2, 2}],

PlotRange -> {-1.1, 4.1}, AspectRatio -> Automatic,

AxesStyle -> Directive[Medium, Italic], AxesLabel -> {t,x}]

En este casoPlottraza las soluciones y la isoclina nula. Para obtener las solucio-nes de los problemas de valores iniciales asociados con la ecuacion que estamostratando hemos usado la orden DSolve que permite resolver ciertas ecuacionesdiferenciales.

Para generar el campo de direcciones asociado a una ecuacion de la formax = P(t,x)Q(t,x) sustituiremos {1, x - t^2} en VectorFieldPlot por el vectorcuyas componentes son (Q(t, x), P(t, x)).

1.4. Cambios de coordenadas

La solucion de un problema de matematicas, en general, puede obtenerse dediversas formas. Sin embargo, una eleccion apropiada del contexto en el que setrabaja puede simplificar la resolucion de manera importante.8 En el estudiode las ecuaciones diferenciales podemos usar una herramienta que va a resultarde gran importancia a la hora de abordar algunos tipos de ecuaciones. Nosreferimos a los cambios de coordenadas. Dados A y B, dos conjuntos abiertosen Rm, un cambio de coordenadas es un homeomorfismo g : B Acon g yg1de clase Cq , con q 0.

Supongamos que tenemos una ecuacion x = f(t, x), con f definida sobreun subconjunto abierto D de R Rn que contiene a las variables (t, x). Un

8Basta recordar cualquier problema de geometra analtica. En estos casos la eleccion deun sistema de referencia adecuado permite obtener, en muchas ocasiones, unas ecuacionessumamente simples que, de otro modo, podran resultar intratables.


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cambio de coordenadas que aplique un conjunto D, subconjunto de RRn quecontiene las nuevas coordenadas (s, u), en D mediante un homeomorfismo g,nos transformara la ecuacion dada en otra de la forma duds =h(s, u).

9 10 Esto esposible ya que la relacion x = x(t) induce una relacion de la forma u = u(s).Ademas, gracias a la regla de la cadena, podemos expresar la derivada x = dxdten terminos de duds . Supuesto que podamos resolver la ecuacion en las nuevascoordenadas (s, u), recuperaremos la solucion original invirtiendo el cambio decoordenadas.

Uno de los cambios de coordenadas que usaremos mas frecuentemente es eldenominado cambio a coordenadas polares en el plano. Podemos considerar losconjuntos abiertos

B= {(, r) : (0, 2), r (0, )} y E= R2

\ {(t, x): x= 0, t 0}.La aplicacion

g: B E(, r) (t, x) = (r cos , r sen )

es un homemomorfismo entre los conjuntos B y E. Geometricamente repre-senta el angulo formado por el vector de coordendas (t, x) con la horizontal(x= 0) y r es el modulo de dicho vector. Supuesto que r = r(), la situacion secorresponde con el esquema

t x

r

r

De esta forma

dx

dt =

dx

dr

dr

d+

dx

ddt

dr

dr

d+

dt

d

=sen

dr

d+ r cos

cos dr

d r sen

y la ecuacionx= f(t, x), confdefinida en un dominioD en RR, se convierteen

sen dr

d+ r cos

cos dr

dr sen

=f(r cos , r sen ),

que puede reescribirse comodr

d =h(r, )

para una cierta funcionh soportada en un conjunto D (0, ) (0, 2).9Para ser precisos, esta transformacion ocurre si g es de clase Cq, con q 1.

10Cuando solo se produzca un cambio en la variable independiente hablaremos de cambio devariable, si el cambio se produce en la variable dependiente diremos que se trata de un cambiode funcion y cuando se modifiquen ambas variables nos referiremos al cambio de coordenadascomo cambio de variable y funcion.


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1.5. Escarabajos, ecuaciones diferenciales y espirales logartmicas 15

1.5. Escarabajos, ecuaciones diferenciales y es-

pirales logartmicas

Veamos como es posible utilizar el cambio a coordenadas polares descrito enla seccion anterior para resolver un problema que en un principio puede parecercomplicado:

El problema de los escarabajos. Cuatro escarabajos se posanen las esquinas de una mesa cuadrada de lado a. Al mismo tiempo,comienzan a caminar con la misma velocidad, de tal modo que cadauno de ellos se desplaza constantemente hacia el que se encuentra

situado a su izquierda. Determinar la trayectoria y la distancia queha recorrido cada uno de los escarabajos antes de juntarse en elcentro de la mesa.

Por la simetra que presenta el problema basta con determinar la ecuacionde la trayectoria de uno de los escarabajos y obtener la de los restantes mediantegiros de amplitud/2 en torno al centro de la mesa. La situaci on se describe enla figura 1.3. Supongamos un sistema de coordenadas cartesianas con ejes en lasdiagonales del cuadrado y origen en el centro O del cuadrado. SiP = (x, y) es unpunto de la trayectoria del escarabajo que ha partido del verticeA situado en elsemiejeOX, teniendo en cuenta que siempre se desplaza hacia el escarabajo queha iniciado su recorrido en el vertice B, resulta sencillo comprobar que el anguloque forma el vectorOPcon la recta tangente a la trayectoria del escarabajo enel puntoP es = 3/4 y coincide con el formado por el lado AB del cuadradocon el semieje OX. La recta tangente a la trayectoria en el punto P tendra unapendiente igual a tan(+ ), donde es el angulo formado por el vector OPcon el semieje OX, y de esta forma se verificara la ecuacion

dy

dx= tan( + ).

Puesto que el lado derecho de la ecuacion depende del angulo parece na-tural considerar un cambio a coordenadas polares que incorpore dicho angulo.Tomandox = r cos ey= r sen , con r= r(), llegamos a que

dr

d

sen + r cos drdcos r sen = tan( + ).

Ahora, usando la expresion para la tangente del angulo suma, obtenemos laecuacion

rdrd

= 1,

que es equivalente adr

d = r.


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A

B

C

D

O

P

y

x

Figura 1.3: La figura ilustra el desplazamiento de los escarabajos a lo largo dela mesa.

La solucion general de esta ecuacion es la familia de funciones r = Ae co-mo justificaremos en el siguiente captulo.11 Ahora, teniendo en cuenta que(x(0), y(0)) = (a/

2, 0), llegamos a

x= a

2e cos e y =

a2

e sen ,

con R+, que son las ecuaciones parametricas de la trayectoria y se corres-ponden con una espiral logartmica. La figura 1.4 muestra como la curva trazada

11De todos modos, resulta sencillo comprobar por simple derivacion que las funciones de laforma Aekt son soluciones de la ecuacion x = kx. Incluso podemos ir un poco mas lejos yafirmar que cualquier solucion es de esa forma. Supongamos que f(t) es una cierta solucionde la ecuacion. Consideremos la funcion g (t) =ektf(t). Entonces, usando que f es solucionde x =kx, tendremos que

g(t) =ekt(f(t) kf(t)) = 0,lo que implica que g (t) =A, para una cierta constante A, y entonces f(t) =Aekt.


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Figura 1.4: La grafica muestra como se generan las trayectorias espirales por elgiro del cuadrado al que se le va reduciendo convenientemente la longitud dellado.

por cada insecto va siendo generada por el giro del cuadrado inicial al que se le

Portada de julio de 1965 deScientific American con latrayectoria de los escaraba-jos.

va reduciendo el lado de acuerdo con el angulo girado. Finalmente, calcular ladistancia recorrida por cada escarabajo es sencillo:

L=

0

dx

d

2+

dy

d

2d

= a2

0e(cos + sen )2 + ( sen + cos )2 d

=a

0

e d= a.

El problema que acabamos de plantear y resolver cobro fama tras su publi-cacion, en julio de 1965, en la columna redactada por Martin Gardner Mathe-matical Games de la revista Scientific American. Una propuesta similar, concuatro perros, puede verse en el libro de Hugo Steinhaus Mathematical Snaps-hots, aparecido en 1939. Sin embargo, la primera aparicion de un enunciado


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analogo en la literatura matematica se debe al matematico frances EdouardLucas, quien en mayo de 1877 planteo, en la revista Nouvelle correspondancemathematique, el siguiente enunciado: Tres perros se encuentran sobre los verti-ces de un triangulo equilatero y cada uno de ellos comienza a correr tras otro.Que curva describe cada uno de ellos?La respuesta es, como en el caso quehemos analizado, una espiral logartmica. Una solucion debida a Henri Brocardse publico en el numero de agosto de la misma revista. De todos formas, todavaes posible encontrar una referencia anterior para esta cuestion: fue propuestaen los Cambridge University Mathematical Tripos Examination de enero de1871. En esta primera aparicion no se impona que fuera equilatero el triangulode partida y se preguntaba por la velocidad de cada uno de los animales paraque el triangulo formado por sus posiciones en cada instante fuese semejanteal inicial (obviamente, todos deben llevar la misma velocidad). En este tipo desituacion (es decir, s el triangulo inicial no es necesariamente equilatero) sepuede plantear otra cuestion interesante:Se encontraran en algun instante de-terminado tres perros situados en los vertices de un triangulo arbitrario, si cadauno de ellos comienza a correr tras otro a una misma velocidad?La respuestaes afirmativa no importa cual sea el triangulo de partida. Este problema apare-cio propuesto por Harry Bateman en su libro Differential equations (Londres,1918), donde lo atribuye a Frank Morley. Aunque el an alisis de este problemano resulta excesivamente complicado dejamos su estudio al interes del lector,pudiendose consultar al respecto el libro de P. J. Nahin, Chases and escapes(Princeton University Press, 2007).

x

y

Figura 1.5: Una espiral logartmica.


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Hemos dicho antes que nuestros escaraba jos describan espirales logartmi-cas. Las ecuaciones parametricas mas generales para este tipo de curvas son

x= ke cos e y= ke sen ,

donde el parametro R y y k son constantes reales. La figura 1.5 muestrauna representacion grafica en un caso particular.

Figura 1.6: Las imagenes de la fila superior muestran un nautilus y una seccionde su concha donde se observa la presencia de la espiral logartmica. En lasimagenes de la fila inferior se pueden observar las espirales logartmicas queaparecen en las borrascas y en las pinas de las conferas.

Como puede verse en la figura 1.6, es frecuente encontrar espirales logartmi-cas en la naturaleza. Por ejemplo, la concha del nautilus (Nautilius Pompilius),un molusco cefalopodo marino, crece arrollandose desde su centro y hacia elexterior adquiriendo esa forma. Igualmente se presenta en la distribuci on queadoptan las pipas en los girasoles, en las pinas de las conferas o (de maneraaproximada) en el patron que siguen las borrascas atmosfericas, los huracanes oincluso algunas galaxias. El origen del estudio matematico de esta espiral tieneque ver posiblemente con la navegacion. A lo largo de los siglos XVI y XVIImiles de barcos surcaban los oceanos. Los navegantes saban que sobre la su-perficie terrestre la distancia mas corta entre dos puntos es un arco de crculomaximo. Pero para seguir una trayectoria que encaje con este arco sera nece-sario realizar continuos cambios de rumbo. Por ello sustituan esta trayectoriaoptimo por otra en la que el angulo con el que se cortaban todos los meridia-nos que atravesaba se mantena constante. Las trayectorias de este tipo dibujan


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en la esfera terrestre una curva llamada loxodromica. Pero los navegantes notrabajaban sobre una esfera, sus mapas eran proyecciones planas de la esfera.Pues bien, la proyeccion estereografica de la esfera sobre un plano convierte ala loxodromica en una. . . espiral.

P

T

Si suponemos un sistema decoordenadas de forma que elorigen es el polo de una cier-ta espiral y que el punto Pdesde el que deseamos calcu-

lar la longitud se correspon-de con = 0, el resultadode Torricelli estable que lalongitud de la espiral com-prendida entre P y el po-lo es igual a la longitud delsegmento de la recta tangen-te a la espiral en P limitadopor los ejes coordenados; esdecir, coincide con la longi-tud del segmentoP Ten la fi-gura superior. Si hubiesemosrecordado antes este hecho,el calculo de la longitud delcamino seguido por los esca-rabajos lo habramos podi-do efectuar mas rapidamen-te, teniendo en cuenta queen ese caso el segmento P Tse corresponde con el ladodel cuadrado inicial de lon-gitud a.

Las ecuaciones parametricas para la espiral logartmica fueron obtenidas porRene Descartes en 1638 como solucion a un problema propuesto por Galileo Ga-lilei. Evangelista Torricelli, en 1645, determino la longitud de una espiral desdeun punto cualquiera hasta su polo (el punto donde tiende a acumularse la espi-ral). Sin embargo, fue Jacob Bernoulli quien, a finales del siglo XVII, estudio enprofundidad las propiedades de la espiral logartmica a la que denomino spiramirabilis(espiral maravillosa). Entre las propiedades que analizo Jacob Bernou-lli destaca el hecho de que la espiral logartmica es la unica curva que verificaque su evoluta, su involuta, su caustica y su podaria12 son, a su vez, espiraleslogartmicas (giradas un cierto angulo con respecto a la inicial). Este hecho leprovoco tal fascinacion que pidio que en su tumba, en el cementerio de Basilea,figurase la inscripcion Eadem mutata resurgo, que puede traducirse como Aunsiendo modificada, resurjo, y un grabado en piedra con una espiral logartmica.Sin embargo, sus ultimas voluntades no fueron cumplidas estrictamente. Comopodemos ver en la figura 1.7 lo que hay tallado en su tumba es una espiralarquimediana.13

Figura 1.7: A la izquierda, una imagen de Jacob Bernoulli (16541705) y, a laderecha, la espiral que aparece en su tumba en el cementerio de Basilea. Podemosafirmar que el cantero que realizo la sepultura no era un buen matematico puestallo una casi perfecta espiral arquimediana.

12La evoluta, la involuta, la caustica y la podaria son curvas asociadas a una dada. En lasiguiente seccion aparecera el concepto de evoluta y en el apartado de problemas definiremosla caustica.

13Las ecuaciones parametricas de una espiral arquimediana (de ecuacion en polaresr = a)son

x= a cos e y= a sen .

En este caso la separacion de dos puntos que se diferencan en un angulo de 2 es constante eindependiente del angulo inicial; para la espiral logartmica no ocurre as ya que en este casola separacion va aumentando de manera geometrica.


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en caso de existencia. Sin embargo, puede ocurrir que las soluciones de estesistema no sean envolventes. En concreto, resulta sencillo comprobar que el lu-gar geometrico de los puntos singulares (aquellos para los que se cumple quet =

x = 0) de la familia de curvas tambien cumplira el sistema (1.6). Es por

esto que de manera general la curva definida por el sistema (1.6) se denominalnea discriminante. Por tanto, en cada ocasion deberemos comprobar que es loque representa la lnea discriminante.

Es un sencillo ejercicio comprobar que si la soluci on general de una ecuaciondiferencial ordinaria es una familia de curvas de la forma (1.2) (con n= 1), laenvolvente de esta familia sera una solucion singular de la ecuacion. Este tipode soluciones son singularesya que no se pueden obtener fijando el parametroCde la solucion general.

Ejemplo 1.Determinar la envolvente de la familia de circunferencias de radioR centradas en los puntos de una circunferencia de radio 2R.

Figura 1.8: En amarillo se muestran las circunferencias de radio R centradassobre la circunferencia de radio 2R(trazada en rojo); en verde aparece la envol-vente, formada por dos circunferencias de radios R y 3R concentricas con la decolor rojo.

La ecuacion de la familia de circunferencias es

(t 2R cos )2 + (x 2R sen )2 =R2.En este caso, el sistema (1.6) se transforma en


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1.6. Sobre envolventes 23

(t 2R cos )2 + (x 2R sen )2 =R2,t sen x cos = 0,

4Rx sen + 4Rt cos = t2 + x2 + 3R2,

t sen x cos = 0.

Usando la regla de Cramer tenemos que

sen =

t2 + x2 + 3R2 4Rt0 x

4Rx 4Rt

t

x =

x(t2 + x2 + 3R2)

4R(t2 + x2)

y

cos =

4Rx t2 + x2 + 3R2t 04Rx 4Rtt x

=

t(t2 + x2 + 3R2)

4R(t2 + x2) .

Finalmente, la relacion sen2 + cos2 = 1 nos da

16R2(t2 + x2) = (t2 + x2 + 3R2)2 (t2 + x2)2 10R2(t2 + x2) + 9R4 = 0 (t2 + x2 R2)(t2 + x2 9R2) = 0;

es decir, la envolvente esta formada por las circunferencias centradas en el origeny de radiosRy 3R. La figura 1.8 muestra la familia de curvas y la envolvente.

Ejemplo 2. Consideremos la familia de curvas

x4 x2 + (t )2 = 0.

La lnea discriminante en esta ocasion viene dada por las soluciones del sistemax4 x2 + (t )2 = 0,t= ,

es decir, esta formada por las rectasx= 0, x = 1 y x = 1. Las rectas x = 1 yx= 1 son la envolvente pero la recta x = 0 es una recta de puntos singulares,ya que cada punto de la forma (t, 0) es un punto doble de las curvas de la familia.La figura 1.9 ilustra la situacion.

Ejemplo 3. Consideremos una familia de rectas planas tales que el segmentode las mismas limitado por los ejes coordenados es de longitud constante L.Determinar la envolvente de la familia de rectas.


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x1

x0

x1

Figura 1.9: Las curvas de la familia x4

x2

+ (t)2

= 0 son los lazos verticalesque aparecen en la figura; se muestran en azul las rectas x = 1 y x =1 queforman la envolvente, y en verde la recta x = 0 de puntos dobles.

Los segmentos en cuestion estaran limitados por los puntos (L cos , 0) y(0, L sen ) para [0, 2) (vease la figura 1.10). Cada uno de estos segmentosse encuentra sobre la recta

t sen + x cos = L sen cos .

Lcos LcosLcos Lcost

Lsen

Lsen

Lsen

Lsen

x

Figura 1.10: Algunos segmentos de longitud constante L del Ejemplo 3.


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Figura 1.11: Algunas de las rectas de la familia t sen + x cos = L sen cos y su envolvente (en rojo), la astroide x2/3 + t2/3 =L2/3.

Para esta familia de rectas la lnea discriminante esta dada port sen + x cos = L sen cos ,

t cos x sen = L(cos2 sen2 ),

t= L cos3 ,

x= L sen3 ,

t2/3 + x2/3 =L2/3;es decir, la envolvente es una astroide. Algunas rectas de la familia y su envol-

vente se muestran en la figura 1.11.

Ejemplo 4.Determinar la envolvente de la familia de circunferencias centradassobre los puntos de una hiperbola equilatera y que pasan por el centro de dichahiperbola.14

14Para una hiperbola de la format C1

a

2

x C2b

2= 1,


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donde hemos usado la identidad cosh2 s+ senh2 s = cosh(2s). De esta formaconcluimos que la familia de circunferencias considerada tiene por ecuacion

(t a cosh s)2 + (x a senh s)2 =a2 cosh(2s), s R.

En esta ocasion el sistema (1.6) se convierte ent2 + x2 2a(t cosh s + x senh s) = 0,t senh s + x cosh s= 0,

de donde, usando la regla de Cramer, deducimos

cosh s= 1

2a(t2 x2)t2 + x2 2ax0 t

= t(t2 + x2)2a(t2 x2)y

senh s= 1

2a(t2 x2)2at t2 + x2x 0

= x(t2 + x2)2a(t2 x2) .Finalmente, usando la relacion cosh2 s senh2 s= 1, llegamos a la ecuacion dela envolvente:

1 = cosh2

s senh2

s= t(t2 + x2)

2a(t2 x2)2

x(t2 + x2)

2a(t2 x2)2

,

que puede reescribirse como

4a2(t2 x2) = (t2 + x2)2.

Se trata de la ecuacion de una lemniscata. En la figura 1.12 aparecen repre-sentadas la hiperbola lugar de los centros, la familia de circunferencias y lalemniscata.

Ejemplo 5. El siguiente ejemplo involucrara todas la conicas.

Una imagen, todas las conicas. Tomemos un trozo de papel, di-bujemos en el una circunferencia de radio uno, y fijemos un puntoP en el interior del crculo. Sea Q un punto cualquiera de la cir-cunferencia, y supongamos que doblamos el papel haciendo que Qcoincida conP(vease la figura 1.13). A continuacion, trazamos unalnea sobre la marca dejada por el pliegue en el papel. Si hacemosesto para cada uno de los puntos de la circunferencia aparecer a unaregion limitada por la familia de rectas. Que forma tiene esa region?


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1.7. El tiro parabolico 29

P P

Figura 1.14: La familia de rectas cat (x, y) = 0, en amarillo, y su envolvente Ea,en verde; a la izquierda el caso|a| 1.

Al variar el parametroa, la familia de conicas

C =

4

x a2

2+

4y2

1 a2 = 1 : a R

(entendiendo que para|a| = 1 degenera en la recta y = 0) esconde una ultimasorpresa. Su envolvente es la curva

(1 + x2 2y)(1 + x2 + 2y) = 0;

es decir, la pareja de parabolas y= 1x22

. La familia de conicasC y su envol-vente se muestran en la figura 1.15: una imagen, todas las c onicas.

1.7. El tiro parabolico

La determinacion de la trayectoria de un proyectil lanzado desde la super-ficie de la tierra con una cierta velocidad y formando un angulo determinadocon la horizontal es una cuestion antigua. El primero que describe la trayectoriaparabolica de este movimiento es Galileo Galilei. A pesar de que sus prime-ros trabajos al respecto datan de finales del siglo XVI y comienzos del XVII,no es hasta 1638 cuando aparecen impresos sus resultados. Se trata del libroDiscorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze(la portadapuede verse en la figura 1.16 junto a un retrato de Galileo), donde recoge granparte de sus contribuciones a la fsica. En este trabajo en concreto describe laforma parabolica que sigue la trayectoria de un proyectil disparado horizontal-mente. Durante los ultimos anos de su vida Galileo estuvo asistido, en calidad


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de ayudante, por Evangelista Torricelli. Fue este ultimo quien determino la tra-yectoria parabolica para proyectiles disparados formando un angulo cualquieracon la horizontal. Ademas, Torricelli probo que, para una velocidad de disparofija, todas los posibles trayectorias quedaban encerradas bajo una parabola (queactualmente se denomina parabola de seguridadpuesto que cualquier objetivofuera de ella no puede ser alcanzado por ningun proyectil). Los resultados de To-rricelli aparecieron publicados en su libro Opera geometricapublicado en 1644.En este trabajo aparecen unas tablas de balstica que Torricelli obtuvo a partirde sus resultados sobre el tiro parabolico pero que, en la practica, resultaronser de escasa utilidad puesto que no se correspondan con los resultados expe-rimentales. Esto es razonable, ya que en el estudio de Galileo y de Torricelliunicamente se consideraba la accion de la fuerza de la gravedad, despreciandola fuerza de rozamiento del medio, lo que produce importantes modificacionesen las trayectorias.

Figura 1.17: Una imagen de E. Torricelli, la pagina de su libroOpera geometricadonde comienza el estudio de las trayectorias de proyectiles y una de las tablasde balstica del mismo.

Nuestro objetivo es obtener la trayectoria del tiro parabolico usando la se-gunda ley de Newton. Esta herramienta, as como la resolucion de una ecuaciondiferencial, era desconocida para Galileo y Torricelli, que obtuvieron las tra-yectorias utilizando argumentos geometricos de composicion de movientos. Dehecho, los trabajos de Galileo fueron pieza fundamental en la obtenci on porNewton de las celebres leyes del movimiento.

El problema que se plantea es exactamente este: determinar las posiblestrayectorias de un proyectil de masa m, lanzado desde un punto fijo O con unavelocidad inicial v0, como funcion del angulo , respecto a la horizontal, conel que se lanza. La figura 1.18 recoge un esquema de la situaci on. Usando lasegunda ley de Newton y teniendo en cuenta que la unica fuerza que actua esla de la gravedad en la direccion negativa de la componente y del movimiento,


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v02g v0

2g x

y

Figura 1.19: Algunas trayectorias de los proyectiles y su envolvente, la par abolade seguridad.

En esta situacion, el sistema (1.6) que determina la envolvente se convierte en

F(x,y,C) = 0,

CF(x,y,C) = 0

y= x

C (1 + C2)gx

2v20

,

x

1 Cgx

v20

= 0

y= g2v20

v20g

2 x2

.

Por tanto, la envolvente es otra parabola, la denominada parabola de seguridadque, como ya hemos comentado anteriormente, fue descrita por Torricelli y de-limita la region en la que es posible asegurar que cualquier objeto fuera de ellaqueda fuera de tiro. En la figura 1.19 se muestran algunas trayectorias posiblesde los proyectiles y la parabola de seguridad asociada a ellas.

La siguiente propiedad que comentaremos no deja de resultar sorprendente:los maximos de la familia de parabolas F(x,y,C) = 0 se encuentran sobre laelipse

x2v202g

2 +

y v20

4g

2

v204g

2 = 1.

Para probar este hecho basta considerar que los maximos de las parabolas sonlos puntos de coordenadas

(xmax, ymax) =

v20C

g(1 + C2),

v20C2

2g(1 + C2)

.

As,

4x2max+ 16

ymax v

20

4g

2=

2v20C

g(1 + C2)

2+

v20(C

2 1)2g(1 + C2)

2=

v20g

2,


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con lo que concluimos. La figura 1.20 muestra la familia de parabolas y la elipseque contiene los maximos.

v02g v0

2g x

y

Figura 1.20: En marron se muestra la elipse que contiene los maximos de todasla trayectorias parabolicas.


Deslizamiento sin rozamiento en tiempo constante. Un resultado re-

cproco de la ley de cuerdas de Galileo

Aunque sin ninguna relacion con las envolventes, nos gustara comentar unapequena joya de Galileo, contenida en su obraDiscorsi e dimostrazioni matema-tiche intorno a due nuove scienze, la denominadaley de cuerdas. Presentaremosen primer lugar una cuestion relativa al deslizamiento sin rozamiento, a lo largode una varilla, de una partcula en tiempo constante. Concluiremos viendo queen realidad se trata del resultado recproco de la ley de cuerdas de Galileo. Laidea de este comentario esta tomada de la nota Sliding down inclines with fixeddescent time: a converse of Galileos Law of Chords, de J. Babb, aparecido enCrux Mathematicorum, 34 2008, 481482.

Supongamos una varilla anclada a un punto fijo sobre el que puede

girar y de longitud variable. Si para cualquier posicion de la varillauna partcula de masam, que parte del reposo, se desliza sin roza-miento y por efecto de la gravedad, desde el extremo libre al fijo enun determinado tiempo constanteT, determinar el lugar geometricode los extremos libres de la varilla.

La situacion que acabamos de describir se ilustra en la figura 1.21. Resulta claroque el extremo libre de la varilla esta dado por (x, y) = (Lcos , Lsen ),dondeLes la longitud de la varilla cuando el angulo que forma con la horizontales . Si d(t) es la distancia recorrida desde el extremo libre por la partcula


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mgsen

x

y

Figura 1.21: Esquema para el deslizamiento de una partcula sobre la varilla.

hasta un determinado instante t, es claro que d(T) = L. Si v(t) y a(t) son,respectivamente, la velocidad y la aceleracion de la partcula, tenemos quev(t) =d(t) y a(t) = d(t). Obviamente en el instante inicial, t = 0, se tiene que

d(0) = 0 yv(0) = 0. Teniendo en cuenta que la unica fuerza que actua sobre elcuerpo es debida a la gravedad y de magnitudmg sen , por la segunda ley deNewton tendremos el problema de valores iniciales

d(t) =g sen ,

d(0) =d(0) = 0.

Obviamente la solucion de este problema es d(t) = t2

2g sen . Entonces L =

d(T) = T2

2 g sen y las coordenadas del extremo variable seran

x= T2

2 g sen cos e y=

T2

2 g sen sen .

Mediante sencillas manipulaciones algebraicas llegamos a que

x=T2

4 g sen(2) e y =

T2

4 g T

2

4 g cos(2),

ecuaciones parametricas de la circunferencia de centro

0, T2

4 g

y radio T2

4 g,

x2 +

y T

2

4 g

2=

T4

16g2.


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mg

C1

C2

C3

O

Figura 1.22: Segun la ley de cuerdas, el tiempo de descenso sobre cualquiera delas cuerdas OC1, OC2 o OC3 es constante.

La ley de cuerdas de Galileo afirma que el tiempo de descenso a lo largo deplanos inclinados apoyados sobre una circunferencia y con uno de sus extremosen comun es constante. Es decir, sobre las cuerdas de la circunferencia de lafigura 1.22 el tiempo de descenso es fijo. La demostracion dada por Galileoesta basada en argumentos de tipo geometrico, que requieren estar familiarizado

con los teoremas de Euclides.La cuestion sobre la palanca que acabamos de resolver es, evidentemente, un

inverso del resultado de Galileo, ya que nos dice que si el tiempo de descenso esconstante entonces el extremo de la varilla debe estar sobre una circunferencia.

Una pregunta: cual sera el lugar geometrico del extremo variable de lavarilla si suponemos que esta ejerce una fuerza de rozamiento sobre la partculaproporcional a la componente normal del peso?

1.8. Huygens y el pendulo cicloidal

El concepto de envolvente de una familia general de curvas se debe a Leibniz,que trabajo sobre el15 en una serie de artculos publicados entre 1692 y 1694 enla revistaActa Eruditorum. Sin embargo, la envolvente de familias de segmentosya se haba tratado en diversos trabajos anteriores de otros matematicos. Eneste sentido cabe destacar las aportaciones de Christiaan Huygens sobre lasevolutas.

15El terminoenvolventecomo tal no hace su aparicion hasta el ano 1795, cuando G. Mongelo introduce en su obra Application de lanalyse a la geometrie.


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1.8. Huygens y el pendulo cicloidal 37

Huygens, en su obra Horologium oscil latorium, publicada en 1673, desa-rrollo el concepto de evoluta en relacion con sus trabajos sobre el pendulo. Laevoluta de una curva es la envolvente de la familia de rectas normales a la curvadada en todos sus puntos. Apolonio de Perga (s. III a. C. aproximadamente) yadetermino en el Libro V de su obra Secciones conicas las evolutas de la parabo-la, la hiperbola y la elipse, aunque su enfoque para obtenerlas no guardabarelacion con el calculo de envolventes sino que estaba vinculado con lo que hoyconocemos como centros de curvatura, cuyo lugar geometrico es precisamentela evoluta.

La razon de Huygens para trabajar sobre las evolutas tiene su origen en suinteres en la construccion de un pendulo de precision. La busqueda de relojesseguros era una necesidad apremiante de su epoca tanto para la geografa yla navegacion cientfica como para la astronoma teorica. En el pendulo quedescribe trayectorias circulares el periodo de oscilacion depende de la amplitudde su trayectoria. En otras palabras, si a un pendulo de trayectoria circular sele modifica la amplitud de oscilacion, entonces deja de medir correctamente eltiempo, puesto que se altera tambien el periodo de su oscilacion. El interes dela comunidad cientfica de la epoca en la cicloide16 hizo que Huygens fijase suatencion sobre esta curva para resolver la cuestion construyendo un pendulocicloidal.

Christiaan Huygens (16291695) matematico y astrono-mo danes y la portada desu obra Horologium oscil la-

torium.

Figura 1.23: La cicloide trazada por un punto de una circunferencia que ruedasin deslizamiento sobre una recta.

La cicloide se define mecanicamente como la trayectoria de un punto fijode una circunferencia que rueda sin deslizamiento sobre una recta, tal y comose muestra en la figura 1.23. Tomando un sistema de referencia como el queaparece en la figura 1.24 y suponiendo que la circunferencia tiene radio a, essencillo deducir que las ecuaciones parametricas de la cicloide estan dadas por

x= a( sen ) e y = a(1 cos ).16La cicloide es llamada en muchas ocasiones la Helena de la geometrapor comparacion

con la mtica Helena de Troya. La comparacion se debe a que ambas fueron motivo de agriasdisputas: la segunda porque su rapto por parte de Paris dio lugar a la guerra entre Espartay Troya que se narra en la Ilada, la primera porque la prioridad sobre la demostraci on dealgunas de sus singulares propiedades fue motivo de discusion entre algunos matematicos delsiglo XVII. Una interesante descripcion de las disputas generadas por la cicloide puede verseen el artculo The Helen of Geometryde J. Martin, aparecido en The College MathematicsJournal, 41 (2010), pags. 1728.


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Para probar la propiedad tautocrona de la cicloide consideramos la cicloideinvertida respecto a como aparece en la figura 1.23, quedando tal y como se veen la figura 1.26, estando la parte positiva del eje OY hacia abajo.

s

a 2ax

2a

y

y0

y

Figura 1.26: Desplazamiento de una partcula a lo largo de una cicloide.

Por el principio de conservacion de la energa, sabemos que

Energa cinetica (Ec) + Energa potencial (Ep) = Constante (C).

La energa cinetica se describe en terminos de la velocidad v del cuerpo

Ec = 1

2mv2

y la energa potencial en funcion de su altura h

Ep = mgh,

dondeg es la aceleracion de la gravedad y m la masa. Teniendo en cuenta quenuestra partcula va a partir del reposo cuando h = 0, deducimos que C = 0.De este modo, si la partcula comienza a desplazarse desde un punto a alturay0, correspondiente a un valor 0 del parametro, tenemos que

0 =Ec+ Ep = m

1

2v2 + gh

=m

1

2v2 + g(y0 y)

.

Esta expresion puede reescribirse como

v2 = 2g(y y0) = 2ag(cos 0 cos ) = v=

2ag(cos 0 cos ).

Usando que v = dsdt , donde s es la longitud de la cicloide, y si suponemos que= (t) (de donde tenemos que s = s((t))), deducimos que

v=

dx

d

2+

dy

d

2d

dt =a

(1 cos )2 + (sen )2 d

dt = 2a sen

2

d

dt.

De esta manera llegamos a la identidad

2a sen

2

d

dt =

2ag(cos 0 cos )

2a

g

sen 2

cos 0 cos d

dt = 1.


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Figura 1.27: En rojo se muestra la cicloide inicial, en amarillo sus rectas normalesy en verde la evoluta que es otra cicloide.

SiT denota el tiempo necesario para alcanzar el punto mas bajo de la cicloide,

correspondiente a = , integramos respecto a t la ultima identidad en elintervalo [0, T], para obtener que

T =

2a

g

T0

sen 2

cos 0 cos d

dtdt

=

2a

g

0

sen 2cos 0 cos

d

=

a

g

0

sen 2

cos2 02 cos2 2d

=

a

g

0

sen 2

cos 02

d

1 cos 2cos 02 2

= 2

a

g arcsen

cos

2

cos 02

0

=

a

g,

valor constante independiente de 0 (es decir, de y0).Una vez probada la propiedad tautocrona de la cicloide, Huygens deba en-

contrar un procedimiento para que un pendulo describa un arco con esa forma.Esto iba a ser posible gracias a la siguiente propiedad de las cicloides: la evoluta


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de una cicloide es la misma cicloide pero trasladada por el vector ( a, 2a).Considerando la parametrizacion podemos probar que para cada la pen-

diente de la recta normal es tan 2

y, de este modo, la ecuacion de dicha rectaes

y a(1 cos ) = tan2

(x a( sen )),que puede reescribirse como

x sen

2+ y cos

2 =a sen

2.

Con esto, la ecuacion de la envolvente vendra dada por el sistema

x sen 2+ y cos 2 =a sen 2 ,x cos

2 y sen

2 = 2a sen

2+ a cos

2,

de donde resulta la parametrizacion para la envolvente

x= a(+ sen ) e y= a(cos 1),que con la traslacion en el parametro = + se transforma en

x= a + a( sen ) e y = 2a + a(1 cos )y se corresponde con la cicloide inicial pero trasladada por el vector (a, 2a).La cicloide, sus rectas normales y su evoluta pueden verse en la figura 1.27.

Pagina del Horologium osci-llatoriumque contiene el di-seno del pendulo cicloidal deHuygens.

De esta forma para construir el pendulo cicloidal basta tomar dos pestanas

con forma de medio arco de cicloide y colgar, en la uni on entre ambas, un pesoen una cuerda cuya longitud coincida con la de los arcos (por cierto; cu al esesa longitud?). La ligadura de la cuerda a las pestanas en la oscilacion haceque el peso colgante describa una cicloide y que, por lo tanto, su oscilaci on seatautocrona, independiente de la amplitud. El reloj de Huygens podatransportaren barco hasta America la hora de Amsterdam. En la figura 1.28 se puede ver eldesplazamiento de la cuerda y en el margen de esta pagina se muestra el disenorealizado por Huygens.

T T

Figura 1.28: La imagen muestra el funcionamiento del pendulo cicloidal.


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1.9. Problemas 43

5 5

5

5

Figura 1.29: Varios folium de Descartes, cuya ecuacion se da en el Problema 4.

Problema 6. Hagamos una n-version del problema de los escarabajos: supon-

gamos quen escarabajos se posan en las esquinas de una mesa n-gonal regularde lado a. Comienzan a caminar al mismo tiempo y con la misma velocidad,de tal modo que cado uno de ellos se desplaza constantemente hacia el que seencuentra situado a su izquierda. Determinar la trayectoria y la distancia queha recorrido cada uno de los escarabajos antes de juntarse todos en el centro dela mesa.

Problema 7. (Mas escarabajos.) Supongamos que n escarabajos se posan enlas esquinas de una mesa n-gonal regular de lado a. Comienzan a caminar almismo tiempo y con la misma velocidad, de tal modo que cado uno de ellosse desplaza constantemente hacia el que se encuentra situado k vertices a suizquierda, siendo k un entero mayor que uno. Determinar la trayectoria y ladistancia que ha recorrido cada uno de los escarabajos antes de juntarse todosen el centro de la mesa. (Obviamente el problema anterior es el caso k = 1 deeste.)

1.9.1. Problemas sobre envolventes

Problema 8. Determinar, si existe, la lnea discriminante de las familias decurvas (realizar algunos graficos con Mathematicaque ilustren la situacion):

a) (t C)2 + x2 = 1, b) (x C)2 =t3, c)x2(x + 1) = (t C)2.


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Problema 16. Consideremos la familia de rectas que cortan sobre los ejescoordenados segmentos cuya longitud tiene suma constante k. Determinar laenvolvente de dicha familia de rectas.

Problema 17. Calcular la envolvente de familias de segmentos de extremos(cos(pt), sen(pt)) y (cos(qt), sen(qt)), para valores p y q enteros distintos nonulos y t [0, 2/ mcd{p, q}).

Figura 1.32: Envolventes relacionadas con el Problema 17 para p y qpositivos.

La figura 1.32 muestra, de izquierda a derecha, la familia de segmentos y laenvolvente en los casos (p, q) = (2, 1), (8, 3) y (6, 2). La curva correspondiente alcaso (2, 1) se denominacardioidey la del caso (6, 2) (que sera la misma del caso

(3, 1), ya que la envolvente para (p, q) es igual que la del caso (p, q)/ mcd{p, q}) esconocida comonefroidey ambas son casos particulares de epicicloides. Cuando,por ejemplo, q < 0, la envolvente es una hipocicloide. En la figura 1.33 puedeverse, otra vez de izquierda a derecha, los casos (p, q) = (2, 1) y (7, 3). Lacurva correspondiente al caso (2, 1) tambien se conoce como deltoide. Algunasde las imagenes que se generan usando esta familia de segmentos nos recuerdana los rosetones de las catedrales goticas.

Figura 1.33: Envolventes relacionadas con el Problema 17 para p positivo y qnegativo.


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1.9. Problemas 47

Problema 18. Probar que si dos puntos A y B se desplazan sobre una elipsede centro21 O de tal forma que los segmentos OA y OB son perpendiculares,entonces los segmentos AB son tangentes a una circunferencia fija.

Como paso previo puede resultar interesante probar el siguiente hecho: laenvolvente de la familia de rectas que estan a una distancia r de un punto fijoP es la circunferencia de centro Py radio r .

Problema 19. Determinar las ecuaciones de las evolutas de las conicas y2 =

2px, x2

a2 +y2

b2 = 1 y x2

a2 y2

b2 = 1. En la figura 1.34 se muestran algunos ejemplos.

Figura 1.34: De izquierda a derecha una parabola y una hiperbola con las evo-lutas (en verde) solicitadas en el Problema 19.

Problema 20. Supongamos un foco de luz situado sobre un punto Py que losrayos de luz emanados de el se reflejan sobre un espejo (recordad que, segun laley de reflexion de la luz, el angulo de incidencia es igual al angulo de reflexion)que tiene la forma de una determinada curva C. La curva envolvente de los rayosreflejados se denomina caustica de la curva C.

a) Encontrar la caustica de una circunferencia si el foco de luz es un punto delinfinito (en tal caso se supone que todos los rayos de luz llegan paralelos).

b) Encontrar la caustica de una circunferencia si el foco de luz es un punto

de la propia circunferencia.

c) Encontrar la caustica de la curva y = log xcuando el foco es un punto delinfinito del ejeOY.

Problema 21. Determinar la evoluta de una espiral logartmica. Tambien parala espiral logaritmica, determinar la caustica cuando el foco de luz esta situadosobre el polo de la espiral. La evoluta se muestra en la figura 1.35.

21El centro de una elipse (o de una hiperbola) es el punto medio entre sus focos.


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Comprobar que el alcance se maximiza para un angulo tal que

cos(2) = gh

v2 + gh.

Indicacion:tomar un sistema de referencia con origen en el punto desde el quese realiza el disparo y el alcance sera la interseccion de la trayectoria con la rectay = h.

w

R

v0

Figura 1.37: La figura muestra el movimiento del paraguas del Problema 29.

Problema 29. Supongamos que tenemos un paraguas (que nos permitimosla licencia de considerar circular de radio R) mojado y que lo hacemos giraren un plano vertical, alrededor de su eje, con velocidad angular w. En esta

situacion, las gotas de agua saldran despedidas con una velocidad inicial v0 =wR, pero siguiendo direcciones diferentes. La direccion del vector velocidadinicial es tangente a la circunferencia exterior del paraguas, como se muestra enla figura 1.37. Suponiendo que la fuerza de la gravedad es la unica que actuasobre las gotas de agua, responder a las siguientes cuestiones:

a) Determinar la trayectoria de las gotas de agua.

b) Suponiendo que del paraguas salen gotas en todas las direcciones posibles,probar que la envolvente de la familia de trayectorias es una parabola.


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1.9. Problemas 51

c) Determinar los puntos de maxima altura alcanzada por cada una de lasgotas de agua y comprobar que para [/2, /2] los maximos seencuentran sobre la curva descrita por PR,v20/g(x, y) = 0, donde

Pa,b(x, y) =

b2

2ax2 +

2b2

a y2 by

a(3a2 + b2) + a(a2 + b2)

2 (a2 + b2 2by)3.


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54 Captulo 2. Ecuaciones de variables separadas

de variacion de una poblacion es proporcional a la poblacion. La forma de de-ducir este principio es la siguiente: si P(t) es la poblacion de una determinadacomunidad en un instante t y si P(t + h) es la poblacion en el instante t + hseverifica que

P(t + h) P(t) = numeros de nacimientos numero de fallecimientos.

Suponemos que

numero de nacimientos =ahP(t),

para una cierta constante positiva a, y

numero de fallecimientos = bhP(t),

para otra constante positiva b. Por tanto, la tasa de variacion, P(t+h)P(t)h ,satisface la expresion

P(t + h) P(t)h

= (a b)P(t) =kP(t)

para una cierta constante k. Si consideramos el lmite cuando h tiende haciacero tendremos que

dP

dt =kP.

Si a la ecuacion diferencial anterior le anadimos la condicion inicialP(t0) =P0

(la poblacion en un cierto instantet0 esP0), tendremos el problema de valoresiniciales

dP

dt =kP,

P(t0) =P0,

que modeliza el crecimiento de una poblacion. El modelo asume que la pobla-cion esta aislada y no sujeta a procesos migratorios. Aunque la funcionP toma,obviamente, valores en N la transformacion en ecuacion diferencial la convierteen una funcion con valores en R. Este hecho puede despreciarse si consideramospoblaciones grandes y tomamos los datos, por ejemplo, en millones de indivi-duos.

Mediante una comprobacion elemental, como ya hicimos en el captulo an-

terior, obtendremos que las soluciones de la ecuacion diferencial asociada alproblema de valores iniciales anterior son de la forma P(t) = C ekt. Usando lacondicion inicial llegamos a que

P(t) =P0ek(tt0)

La solucion es una funcion exponencial

Dialnet InstantaneasDiferenciales 528070 (2)

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