1èreS4 Pour le 26 janvier 2011

Devoir maison n̊ 4 Corrigé

Exercice 1 : On considère la fonction f définie par f(x) =x2 + 5x− 2

.

1) Déterminer l’ensemble de définition de f .

x /∈ Df ⇔ x− 2 = 0

⇔ x = 2

Par conséquent, Df = R\{2}.2) Sur quel ensemble f est-elle dérivable ?

Les fonctions u : x 7−→ x2 + 5 et v :7−→ x − 2 sont dé-rivables sur R (fonctions polynômes) et v s’annule en 2donc la fonction f est dérivabele sur R\{2}.

3) Donner le tableau de variation de f .Pour x 6= 2,

f ′(x) =u′(x)v(x) − u(x)v′(x)

v(x)2

=2x(x− 2)− (x2 + 5)× 1

(x− 2)2

=x2 − 4x− 5

(x − 2)2

f ′(x) a le même signe que x2 − 4x− 5 sur R\{2}. Le po-lynôme x2 − 4x − 5 admet −1 comme racine évidente etl’autre racine est 5 car le produit des racines est −5. Onobtient :x −∞ −1 2 5 +∞f ′(x) + 0 − − 0 +

f(x)��

��

−2@

@@R

@@

@R10

���

�

4) Quels sont les extremums locaux de f ?D’après le tableau de variation ci-dessus, on voit que f ′

s’annule et change de signe en −1 et en 5. On a doncdeux extremums : −2 est un minimum local (atteint pourx = −1) et 10 est un minimum local (atteint pour x = 5).

5) En déduire que f est minorée sur ]2; +∞[. Quel est le plusgrand des minorants sur ]2; +∞[ ?D’après le tableau de variation de f , pour tout x > 2,f(x) > 10 ainsi 10 es un minorant de f sur ]2; +∞[. Parconséquent, f est minorée sur ]2; +∞[. On voit clairementque 10 est le plus grand des minorants car 10 est un mi-norant et comme f(5) = 10 aucun nombre strictementsupérieur à 10 ne peut être un minorant.

Exercice 2 : On considère la fonction g : x 7−→ sin x − x2

définie sur [−π;π].

1) Prouver que la fonction g est impaire. Quel point est uncentre de symétrie de Cg ?D’une part, Dg = [−π;π] est symétrique par rapport à 0.Soit x ∈ [−π;π],

g(−x) = sin(−x)− −x2

= − sinx+x

2

= −(sinx− x2

)

= −g(x)

Par conséquent, la fonction g est impaire. On en déduitque l’origine 0 du repère est un centre de symétrie de Cg.

2) Prouver que g est dérivable sur [−π;π].La fonction u : x 7−→ sinx est dérivable sur [−π;π] (et

même sur R) et la fonction affine v : x 7−→ −x2

est aussi

dérivable sur [−π;π] donc f est dérivable sur [−π;π].

3) Déterminer g′ et donner le tableau de signe de g′ sur[−π;π].Soit x ∈ [−π;π], g′(x) = cosx− 1

2.

On a g′(x) > 0 lorsque cosx >12

soit cosx > cosπ

3

4) En déduire le tableau de variation de g.

x −π −π3

π

3π

g′(x) − 0 + 0 −

g(x)

π2

@@

@R−√

32

+π

6

���

�

√3

2− π

6@

@@Rπ2

5) Donner le tableau de valeur de g pour x compris entre −3et 3 avec un pas égal à 0.3.Il fallait donner les images de −3, −2.7, . . . ,2.7, 3 par lafonction g (il faut bien entendu régler sa calculatrice enradian).

6) A l’aide des questions précédentes tracer la représentationgraphique de la fonction g.On représentera les tangentes à Cg parallèles à l’axe desabscisses.

1

2

-1

-2

-3

1 2 3-1-2-3-4 x

y

Cg

0

b

b

Exercice 2 (feuille d’exercices 1 Etudier les variationsdes fonctions définies ci-dessous (on déterminera au préalablel’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité)

1) f : x 7−→ x− 3 +2x

,

2) g : x 7−→ −2x2 + 3x+ 22x− 1

.

1) x /∈ Df si et seulement si x = 0 donc Df = R\{0}. Les

fonctions u : x 7−→ x − 3 (fonction affine) et v : x 7−→ 1x

sont dérivables sur R\{0} donc la fonction f est dérivablesur R\{0}.Soit x 6= 0,

f ′(x) = 1− 2x2

=x2 − 2x2

f ′(x) a le même signe que x2 − 2 = (x +√2)(x −

√2). On obtient le tableau de signe :

x −∞ −√

2 0√

2 +∞f ′(x) + 0 − − 0 +

f(x)��

��

−3− 2√

2@

@@R

@@

@R−3 + 2√

2

���

�

2) Clairement, x /∈ Dg si et seulement si 2x − 1 = 0, soitx = 0.5. Donc, Dg = R\{0.5}.Les fonctions u : x 7−→ −2x2 + 3x+ 2 et v : x 7−→ 2x− 1sont dérivables sur R\{0.5} (fonctions polynômes) donc lafonction g est dérivable sur R\{0.5}.Soit x 6= 0.5,

g′(x) =u′(x)v(x) − u(x)v′(x)

v(x)2

=(−4x+ 3)(2x− 1)− (−2x2 + 3x+ 2)× 2

(2x− 1)2

=−8x2 + 4x+ 6x− 3 + 4x2 − 6x− 4

(2x− 1)2

=−4x2 + 4x− 7

(2x− 1)2

La dérivée g′(x) a le même signe que le polynôme −4x2 +4x− 7 sur R\{0.5}.On a ∆ = 42−4×(−4)×(−7) = 16−112 = −96 < 0. Parconséquent, ce polynôme ne s’annule est il est toujoursstrictement négatif (a = −4 < 0). On en déduit le tableaude variation :

2

x −∞ 0.5 +∞g′(x) − −

g(x)@

@@R

@@

@R

Exercice n̊ 4 (feuille exercice n̊ 1)

Une bouée ayant la forme d’un double cône doit êtreconstruite au moyen de deux secteurs circulaires plans mé-talliques, de rayon 3 dm (unité choisie le dm). On désignepar h la hauteur du cône et par r son rayon de base. Onfixe la longueur de sa génératrice à 3 dm.On se propose de déterminer ses dimensions pour que levolume de la bouée soit maximal.

a) Exprimer le volume V de la bouée en fonction de r etde h.La bouée correspond a deux cônes de révolution de

hauteur h et de rayon r donc V = 2× 13πr2h =

23πr2h.

b) Montrer que ce volume peut s’écrire sous la forme :V (h) = 2

3π(9h− h3) avec 0 ≤ h ≤ 3.

D’après le théorème de Pythagore, 9 = h2 + r2, ainsir2 = 9 − h2. Il suffit maintenant de remplacer r2 par9− h2 dans l’expression de V trouvée au 1).

Ainsi, V =23πr2h =

23π(9− h2)h =

23π(9h− h3)

c) Étudier les variations de la fonction V sur [0 ; 3]. Endéduire que V admet un maximum V0 pour un réel h0

dont on donnera la valeur exacte.On définit la fonction V : h 7−→ 2

3π(9h − h3) définie

sur [0; 3]. Cette fonction est dérivable sur [0; 3] (c’estun polynôme).Pour tout h ∈ [0; 3],

V ′(h) =23π(9− 3h2)

= 2(3− h2)

L’expression 3 − h2 est strictement positivesur [0;

√3] et strictement négative sur ]

√3; 3].

h 0√

3 3V ′(h) + 0 −

V (h) 0

���

�

4π√

3@

@@R

0

Par conséquent, le maximum est égal à V0 = 4π√

3atteint pour h0 =

√3.

d) Calculer le volume maximal de la bouée ; en donnerune valeur approchée, en dm3, à 10−3 près.Le volume maximal est V0 = 4π

√3 ≈ 21,766.

e) Soit r0 le rayon de base correspondant à ce maximum.Démontrer que r0 = h0

√2.

On a h0 =√

3, de plus nous avons h20

+ r20

= 9 doncr2

0= 9 − 3 = 6 et alors r0 =

√6 car r0 > 0. On en

déduit r0 =√

6 =√

3√

2 = h0

√2.

3