Developpements_limites

7/23/2019 Developpements_limites

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Universite de Strasbourg Annee 2013/2014Licence Maths/Info-Maths/Eco Analyse S1

A. Quelques recettes pour le calcul de developpements limites

Soientfune fonction usuelle,IDfun intervalle ouvert eta I. On noteraDLn(a)pour un developpementlimite dordre n au point a. Comme nous lavons vu en cours, on peut calculer le developpement limite dunefonction usuelle en utilisant la formule de Taylor:

f(x) =n

k=0

f(k) (a)

k! (x a)k +o ((x a)n) .

Pour utiliser cette formule il faut calculer les derivees successives de fpuis il faut les evaluer au point a. Enutilisant cette formule on a obtenu une liste de DLn(0) usuels. Il est imperatif de connaitre cette listepar coeur. Nous rappelons que cette liste est constituee des DLn(0)de exp(x),ln(1+ x),(1 + x)

, 11x ,sin(x),cos(x), sh(x) et ch(x).

En general lutilisation de la formule de Taylor pour des fonctions plus complexes est laborieuse. On utiliseraplutot les regles suivantes qui permettent de determiner les DLn(a) dune fonction a partir des DLn(0) desfonctions usuelles precedentes.

A.1 Troncation dun Developpement limite.

Proposition A.1. Soientfune fonction usuelle, IDfun intervalle ouvert eta I. Sifadmet unDLn(a)de la forme :

f(x) =a0+a1(x a) +. . .+an(x a)n +o ((x a)n)

alors, pour toutm n, fadmet unDLm(a) sobtenant par troncatures :

f(x) =a0+a1(x a) +. . .+am(x a)m +o ((x a)m) .

Exemple A.2. SoitP(x) =a0+a1x+. . .+apxp une fonction polynomiale.

Pourn p, on aP(x) =a0+a1x+. . .+anxn +o(xn).

Pourn > p, on aP(x) =a0+a1x+. . .+apxp +o(xn).

A.2 Positionnement du probleme en 0

Pour determiner un developpement limite en a dune fonctionx f(x), on relocalise le probleme en0 via lechangement de variablex = a + h. On determine alors un developpement limite en0 de la fonctionh f(a + h)puis on transpose ce developpement limite en a en remplacanth par x a.

Exemple A.3. Determinons le DL2(1) deexp(x). On fait le changement de variablex = 1 + h. On a alors

ex

=e1+h

=e eh

. On en deduit que :

e1+h =e

1 +h+

h2

2 +o

h2

=e+eh+eh2

2 +o

h2

.

On obtient ainsi le developpement limite suivant au point1 :

ex =e+e(x 1) +e(x 1)2

2 +o

(x 1)2

.

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A.3 Developpements limites dun produit

Proposition A.4. Supposons quau voisinage de0 :

f(x) =a0+a1x+. . .+anxn +o (xn) ,

g(x) =b0+b1x+. . .+bnxn +o (xn) .

Alors leDLn(0) de la fonction usuellef g est donne par :

f(x)g(x) =a0b0+ (a0b1+a1b0) x+. . .+ (a0bn+. . .+anb0) xn +o(xn).

Remarque A.5. Il nest pas necessaire de connaitre par coeur cette formule. Pour obtenir le DLn(0) dunproduit il suffit de faire le produit desDLn(0) et de ne pas tenir compte des monomes dordre> n.

Exemple A.6. Determier leDL3(0) de ex

1x .

Il suffit pour cela decrire lesDL3(0) deex et de 11x . On obtient alors :

ex = 1 +x+x2

2! +

x3

3! +o(x3),

1

1 x= 1 +x+x2 +x3 +o(x3).

On en deduit que :

ex

1 x= 1 + (1 + 1) x+ (1 + 1 + 12) x2 +

1 + 1 +

1

2+

1

6

x3 +o(x3)

= 1 + 2x+5

2x2 +

8

3x3 +o(x3).

Exemple A.7. Determiner lesDL3(0) deln(1 +x)ex et deln(1 +x)cos(x).

A.4 Developpements limites dune composee

Soient f etg des fonctions usuelles. Supposons f(x)x

0

0 et supposons que g admet le DLn(0) suivant :

g(u) =a0+a1u+. . .+anun +o (un)

Ceci permet alors decrire :

g(f(x)) =a0+a1f(x) +. . .+anf(x)n +o (f(x)n)

Ainsi on a pu substituer f(x) a u dans le DLn(0) de g et cela a ete possible car f(x) x0

0. Si lon connat

alors un developpement limite de f, on peut en deduire un developpement limite de g(f(x)).

Exemple A.8. Determinons leDL3(0) def(x) =ex+x2 . LeDL3(0) dee

u est donne par :

eu = 1 +u+u2

2! +

u3

3! +o(u3)

En posantu= x+x2 on a bienu= x+x2 x0

0.

Commencons car calculer les developpement limites de puissances de u a la precisiono(x3) :

u= x+x2 =x+x2 +o(x3),

u2 = (x+x2)2 =x2 + 2x3 +o(x3),

u3 =x3 +o(x3),

2


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eto(u3) =o(x3). En effet, sig est une fonction usuelle telle queg(x) =o

x3

alors

g(x)

u3 =

g(x)

(x+x2)3 =

g(x)

x3 (1 +x)3x0

0.

Reciproquement sig(x) =o

u3

alors :

g(x)

x3 =

g(x)

u3

u3

x3x0

0 1 = 0.

Un developpement limite a lordre 3 deeu peut alors etre transforme en un developpement limite a lordre 3 enx comme suit :

ex+x2

= 1 +

x+x2

+

x+x2

22!

+

x+x2

33!

+o

x+x2

3

= 1 +x+3

2x2 +

7

6x3 +o

x3

.

Exemple A.9. Determinons leDL6(0) deln(1 +x2 +x3). On remarque queln(1 +x2 +x3) est de la forme

ln(1 +u) ouu= x2 +x3. Calculons les puissances successives deu :

u= x2 +x3 +o

x6

,

u2 =x4 + 2x5 +x6 +o

x6

,

u3 =x6 +o

x6

o

u3

= o

x6

.

On fait alors unDL3(0) deln(1 +u) :

ln(1 +u) =u 1

2u2 +

1

3u3 +o

u3

.

En remplacantu par son expression on obtient :

ln(1 +x2 +x3) =x2 +x3 1

2x4 x5

1

6x6 +o

x6

. (1)

Exemple A.10. Determiner leDL3(0) deln(1 + sin(x)), leDL2(0) de

cos(x) et leDL3(0) dee1

1+x .

Exercice A.11. Determiner leDL4(/2) de

ln(cos(x)).

A.5 Developpements limites dun inverse

Supposons que leDLn(0)de fest donne par f(x) =a0 + a1x + . . . + anxn + o(xn)aveca0 = 0. En ecrivant :

f(x) = 1

a0

1

1 + a1a0

x+. . .+ ana0

xn +o (xn)=

1

a0

1

1 +u, (2)

on peut determiner un DLn(0) de f en utilisant la technique presente dans la section precedente.

3


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Exemple A.12. Determinons leDL3(0) de 11+ex . On a :

1

1 +ex =

1

2

1 +x+ x2

2! + x3

3! +o (x3) =1

2

1

1 +u,

ouu= x+ x2

2! + x3

3! +o

x3x0

0. Puis

u2 =1

4

x2 +1

4

x3 +o x3 ,u3 =

1

8x3 +o

x3

,

o

u3

= o

x3

.

Ainsi

1

1 +u= 1 u+u2 u3 +o

u3

donne

1

1 +ex =

1

2

1

4x+

1

48x3 +o

x3

.

Exemple A.13. Determiner leDL4(0) de 1cos(x) et leDL5(0) de

1tan(x) .

A.6 Developpements limites delicats

Lors des calculs, des divisions peuvent reduire lordre dun developpement limite. En anticipant celles-ci, onpeut eviter de devoir reprendre un calcul initie avec des developpements trop courts.

Exemple A.14. Determinons leDL3(0) de(cos(x))1

x .Premierement,

(cos(x))1

x = exp

1

xln(cos(x))

Pour former le developpement limite voulu, on developpe a lordre3 lexpression

1

xln(cos(x)). Puisque la divisionpar x, reduit lordre dun developpement limite, nous allons former un developpement limite a lordre 4 deln(cos(x)). Premierement :

ln(cos(x)) = ln

1

1

2x2 +

1

24x4 +o

x4

(3)

= ln (1 +u) , (4)

avecu= 12x2 + 124x

4 +o

x4

. Par composition des developpements limites on obtient :

ln(cos(x)) =1

2x2

1

12x4 +o

x4

. (5)

On en deduit que

1x

ln (cos(x)) = 12

x 112

x3 +o

x3

.

Finalement (cos(x))1

x =eu avec

u=1

2x

1

12x3 +o

x3

.

Par composition de developpements limites, on obtient :

(cos(x))1

x = 1 1

2x+

1

8x2

5

48x3 +o

x3

.

4


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Exemple A.15. Determinons le developpement limite a lordre1 en0 de :

1

sin(x)

1

x.

Premierement,

sin(x) =x+o

x2

. (6)

On en deduit par passage a linverse que :

1

sin(x)=

1

x x3

3! +o (x4)

= 1

x

1 x2

3! +o (x3) = 1

x (1 +u),

avecu= x2

3! +o

x3

. On remarque alors que :

u= x2

3! +o

x3

= x2

3! +o

x2

(par troncation),

o (u) =o

x2

Puis,

1

1 +u = 1 u+o (u) .

On obtient alors

1

sin(x)=

1

x

1 +

x2

3! +o

x2

= 1

x+

x

3!+ o (x) .

Ainsi

1

sin(x)

1

x=

x

3!+ o (x) .

A.7 Exercices.

Exercice A.16. Determiner les developpements limites suivants :1. DL3(/4) desin(x).

2. DL4(1) de ln(x)x2

.

3. DL5(0) desh(x)ch(2x) ch(x).

Exercice A.17. Determiner les developpements limites suivants :

1. DL3(0) deln(1 +ex).

2. DL3(1) deln(2 + sin(x)).

3. DL3(0) de

3 + cos(x).

Exercice A.18. Determiner la limite en0 de :

ln(1 +x) xx2

.


sin(x) x

x3 .


(1 +x)1

x e

x .

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References.

Ces notes sont basees sur les notes de cours de David Delaunay disponible sur (lexcellent) site web :http ://mp.cpgedupuydelome.fr/

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