7/24/2019 DEV1_2013

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Analyse M1-ENSM Ch. Menini

Devoir 1

A rendre au plus tard vendredi 15 fevrier

Le but de ce probleme est de montrer dans un premier temps que les sous-groupes additifs deRsont soit de la forme

aZ aveca reel, soit denses dansR. On appliquera ensuite ce resultat a la caracterisation de lirrationalite dun reelainsi qua une etude de la periodicite de fonctions continues.

Preambule

On dit quune partieA deR est dense dansR si pour tout element x deR il existe une suite(an) delements deAtelle que lim

n+an = x.

Montrer que A partie dense dans R equivaut a

(x, y) R2 : x < y , a A : x < a < y.

Partie 1 - Caracterisation des sous-groupes de R.

1.1Soit un reel, justifier que Zest un sous-groupe additif de R.

1.2Soit Hun sous-groupe additif deR

et un element de H, quel lien a-t-on entre H et Z

?Soient Hun sous-groupe additif de R que lon suppose non reduit a {0} et K=H R+.

1. 3 Justifier que Kadmet une borne inferieure a dans R+.1.4 Montrer que si a est strictement positif alors a est dans K (ind. : on pourra supposer a strictement positif etnetant pas dans Kpuis en deduire une contradiction).1.5Montrer que si a est strictement positif alors H=aZ.1.6On suppose maintenant que aest nul. Soient xet y deux reels tels que x < y.a.Justifier quil existe h dans Ktel que 0< h < yx.

b. En deduire quil existe un entier relatifn tel que x

h < n