‘Gestion de données

La résolution de problèmes de proportionnalité est déjà travaillée depuis l’école. Elle se poursuit

avec des outils nouveaux.

Première partie : Lecture de tableaux et graphiques

Objectif général :

- s’initier à la lecture, à l’utilisation et à la production de représentations, de graphiques et à

l’utilisation d’un tableur

- acquérir quelques notions fondamentales de statistique descriptive

- faire une interprétation critique de l’information apportée par ces types de présentation des

données.

Objectif F1 : Lire, utiliser et interpréter des données à partir d'un tableau

CA p 52 – 53 – 54 – 55

Livre p 99 n° 6

Livre p 100 n° 10

Deuxième partie : Proportionnalité

Objectif général :

- développer la capacité à distinguer les problèmes qui relèvent de la proportionnalité de ceux

qui n’en relèvent pas

- mettre en œuvre les raisonnements qui en permettent la résolution

Objectif F2 : Reconnaître une situation qui relève de la proportionnalité et la traiter en

choisissant un moyen adapté: utilisation du coefficient de proportionnalité entier ou décimal ou

passage à l'unité

1) reconnaître une situation de proportionnalité ou non :

activité : la décoration

Un peintre a peint ces quatre figures différentes sur un mur, chacune avec une couche de

peinture de la même épaisseur.

Il a utilisé des pots de peinture de même grandeur :

18 pots de rouge pour une des figures,

21 pots de bleu pour une autre figure,

27 pots de jaune pour une autre figure

des pots de noir pour la figure qui reste.

A la fin de son travail, tous les pots étaient vides.

Indiquez la couleur de chaque figure.

Combien de pots de peinture noire a-t-il utilisés ?

Expliquez comment vous avez trouvé.

Identification des tâches attendues des élèves

Choisir une unité d’aire ;

Utiliser celle-ci pour calculer le nombre d’unités dans chacune des figures ;

Classer ces figures selon leur aire, en triangles (double carré = 12 ; octogone = 14 ; rectangle =

16 ; triangle = 18) ou en carrés (double carré = 6 ; octogone = 7 ; rectangle = 8 ; triangle = 9).

Mettre en relation ces deux ensembles de données numériques afin d’identifier les relations

numériques qui les lient :

o Etablir la correspondance entre les aires de figures et le nombre de pots de peinture (double

carré en rouge, octogone en bleu, rectangle en noir et triangle en jaune).

o Déterminer le nombre de pots de peinture noire (24).

Que faire si les élèves ne « rentrent » pas dans le problème ?

Dans cette activité, il y a deux grandeurs et plusieurs valeurs pour chacune :

- L’aire des figures avec les valeurs 6, 7, 8 et 9

- Le nombre de pots avec les valeurs 18, 21, 24 et 27.

On dira que « le nombre de pots utilisés est fonction de l’aire » ou « le nombre de pots de

peinture est proportionnel à l’aire à peindre»

3 s’appelle le coefficient de proportionnalité.

Représentation graphique :

- En abscisse (1° ligne du tableau) : l’aire (1 cm pour 1 cm²)

- En ordonnée (2° ligne du tableau) : le nombre de pots de peinture ( 1 cm pour 3 pots)

Questions : A l’aide du graphique, trouver:

1) Quelle aire peut-on peindre avec 3 pots de peinture ?

2) Combien de pots utilise-t-on pour peindre une aire de 5 carreaux ?

Retenons (chap 6)

Je reconnais une situation de proportionnalité :

- à travers une phrase : en faisant « le test du double »

- à travers un tableau : en divisant les nombres de la 2° ligne par ceux de la 1° ligne, j’obtiens

le même nombre (coefficient de proportionnalité)

- à travers un graphique : en plaçant les points dont les coordonnées sont dans le tableau, et en

les joignant, j’obtiens une droite qui passe par l’origine du repère.

CA p 46 n° 3

CA p 47 n° 4

2) reconnaître une situation de proportionnalité à travers une phrase

CA p 46 n°1 :

a) les 2 grandeurs en jeu sont « distance (km) » et « la consommation essence (l) ».

Oui il y a proportionnalité car si la distance double alors la consommation double aussi (test

du double)

b) c) non proportionnalité

d) les deux grandeurs : « masse (kg) » et «prix (€) ».

Oui il y a proportionnalité car si la masse de pommes double alors le prix double aussi.

e) les 2 grandeurs sont : « capacité (l) » et « temps (min) ».

Oui il y a proportionnalité car si le temps double alors la capacité double aussi.

Exercice 1 : Dans quels cas y a-t-il proportionnalité, et pourquoi :

1. le nombre de pommes et leur masse

2. le prix payé et le nombre de baguettes achetées

3. la masse de semoule et le nombre de personnes mangeant un couscous

4. le poids de la farine et le nombre de baguettes fabriquées

5. les kilomètres parcourus et le nombre de litres consommés

6. l’âge et la taille

7. les litres évacués par une pompe et le temps qu’elle y a passé

8. la masse d’un steak et son prix

9. la taille d’une personne et son poids

10. le nombre de CD empilés et la hauteur de la pile

11. le nombre de pièces de monnaie et l’argent que cela représente

12. le nombre de marches et la hauteur de l’escalier

13. les longueurs des côtés agrandis d’un triangle et les côtés du triangle initial

14. une distance en km entre deux villages et la distance représentée en cm sur une carte

routière

Exercice 2 :

On empile des planches les unes sur les autres. A quelle condition la hauteur de la pile est-elle

proportionnelle au nombre de planches ?

Exercice 3

Dans ce texte, la longueur d’un mot est-elle proportionnelle au nombre de lettres qui composent ce

mot ? Pourquoi ?

Exercice 4

Le périmètre d’un carré est-il proportionnel à la longueur de son côté ?

La circonférence d’un cercle est-elle proportionnelle à son rayon ?

CA p 46 n°1 : reconnaître les deux grandeurs dans chaque phrase et dire si elles sont

proportionnelles et pourquoi !

– reconnaître une situation de proportionnalité à travers un tableau et un graphique

Exercice 1 :

MAGASIN A

nombre de feutres 6 12 18 30

prix de la boîte de feutre (en F) 15 30 40 60

MAGASIN B

nombre de feutres 4 12 24 32

prix de la boîte de feutre (en F) 6 18 36 48

MAGASIN C

nombre de feutres 5 15 25 35

prix de la boîte de feutre (en F) 8 18 28 38

1°) Dans un de ces trois magasins, il y a proportionnalité entre le prix de la boîte de feutres et le nombre de

feutres. Lequel ? Justifier en posant les opérations

2°) Pour le tableau du magasin A, passe-t-on des nombres de la première ligne aux nombres de la seconde

ligne en multipliant toujours par le même nombre ? Reprendre cette question pour les deux autres

tableaux.

3°) Reproduire et continuer les deux graphiques ci-dessous associés à chacun des deux premiers tableaux :

Joindre, dans chaque cas, les quatre points et le point O. Faire des remarques.

- Compléter des tableaux de proportionnalité

1) Résoudre des problèmes de proportionnalité ou non …

Problème 1

Prix A

Nombre de feutres

6

Prix B

Nombre de feutres

4

Une moto roulant toujours à la même vitesse

met 6 min pour parcourir 9km.

Prévoir la distance parcourue en 30 min.

Prévoir le temps mis pour parcourir 54 km.

durée

(en min)

6 3O .....

distance

(en km)

9 ..... 54

Problème 2

Un paquet de 250 feuilles a une épaisseur de 3 cm.

Prévoir l’épaisseur d’un paquet de 750 feuilles.

Prévoir le nombre de feuilles d’un paquet de 4,5 cm

d’épaisseur.

Problème 3

......................................................................................

..........................................................................

......................................................................................

......................................................................................

....................

Problème 4

Trouve une recette de cuisine pour 4 personnes. Colle-la sur ton cahier et calcule les proportions

pour 8 personnes, 6 personnes et 9 personnes en utilisant un tableau.

Problème 5

Pour faire mon béton, j'ai mélangé 2 sacs de ciment avec 12 seaux de sable fin et 30 L d'eau.

Combien faudrait-il mettre de sable et d'eau si j'ai mis 6 sacs de ciment dans la bétonnière ?

Problème 6

J'ai 5 ans. Ma mère a 30 ans. Quel âge aura-t-elle lorsque j'aurais 20 ans ?

Problème 7

J'ai 8 ans. Je mesure 1,15 m. Quelle sera ma taille à 16 ans ?

Problème 8

4 serviettes de bain ont mis 2 h pour sécher au soleil. Combien de temps auraient mis à sécher

deux fois plus de serviettes ?

Problème 9

Si six scies scient six cent six saucisses, combien de saucisses scient six cent six scies ?

Problème 10

Un nénuphar double de taille chaque jour. En 30 jours, il a recouvert la moitié de l’étang. En

combien de jours aurait-il recouvert tout l’étang ?

..... ..... .....

..... ..... .....

distance

(en km)

150 500 .....

consommation

(en L)

12 ..... 30

Problème 11

5 poules pondent 5 œufs en 5 jours, combien d’œufs pondent 15 poules en 15 jours ?

Problème 12

2 pains de campagne m'ont coûté 8 €. Combien m'auraient coûté 6 pains de campagne ?

Problème 13

Un cercle de rayon 3 cm a une circonférence de 18,84 cm. Calculer la circonférence d’un cercle

de rayon 4 cm.

( traiter cette notion dans le cours)

Problème 14

L'Arc de Triomphe de Paris mesure 50 m de haut. Je l'ai dessiné sur mon cahier, il y mesure 5

cm. Je voudrais dessiner à côté la cathédrale Notre-Dame qui mesure 70 m de haut. De quelle

hauteur faut-il la faire sur mon cahier ?

Problème 15 (chgt d’unités de longueur, de temps)

Complète

Longueur

(m)

3 4,5 0,7

Longueur

(cm)

400 67

Longueur

(dm)

3 4,5 0,7

Longueur

(mm)

400 67

Longueur

(km)

3 4,5 0,7

Longueur

(m)

400 67

Longueur

(dam)

3 4,5 0,7

Longueur

(dm)

400 67

Temps

(h)

3 4,5 0,7

Temps

(min)

390 72

Temps

(h)

3 4,5 0,7

Temps

(s)

3600 72000

- CA p 48 n° 1 (en posant les opérations sur le cahier de math)

- CA p 48 n° 2

- CA p 48 n° 3 – 4

- CA p 49 n° 8 – 9 – 11

- Livre p 80 n° 10

Technique de la division de deux décimaux :Comment diviser deux décimaux ? L’objectif est de « transformer » les décimaux en nombres en entiers en multipliant chaque décimal par 10, 100, 1000 …pour obtenir un entier.

Ex : le dividende est entier et le diviseur est décimal 55/2,5 = 550/25 = 22 Ecrit fract. Fraction Une fraction est un quotient de deux entiers Division posée Ex : le dividende est décimal et le diviseur est entier 10,5 / 7 = 105/70=1,5 puis Poser la division Ex : le diviseur et le dividende sont décimaux -123,2 / 5,6 = 1232 / 56 = 22 puis Poser la division -5,8 /1,25 = 580 / 125 = 4,64 puis Poser la division -0,368/2,3=368/2300=0,16 puis Poser la division CA p 28 n° 1 – 3

CA p 32 n° 18 – 22 – 23

CA p 38 n° 5

2) Résoudre des problèmes de pourcentages

Q 1 : Ecris une phrase dans laquelle se trouve 8%, puis explique ce que représente 8%.

Q 2 : Explique ce que signifie « un gâteau contient 20% de sucre »

Problème 1 : (coloriage de % = notion de fraction)

Colorie 25% d’un disque de rayon 4 cm. Traduis ce pourcentage en fraction irréductible.

Colorie 75% d’un rectangle de 5 cm sur 3 cm. Traduis ce pourcentage en fraction irréductible

Colorie 50% d’un carré de 2,5 cm de côté. Traduis ce pourcentage en fraction irréductible

Colorie 10 % d’un segment de 10 cm. Traduis ce pourcentage en fraction irréductible.

Retenons :

100 % = …… 50 % = …….. 25 % = ……..

75 % = ……. 10 % = ………

Prendre 50% d’une quantité revient à diviser par 2.

Prendre 25 % d’une quantité revient à diviser par 4

Prendre 75% d’une quantité revient à diviser par 4 puis multiplier par 3

Prendre 10% d’une quantité revient à diviser par 1O

Calcul mental sur ces pourcentages …

1) 10 % de 200 €

2) 50 % de 18 m

3) 25 % de 40 cm

4) 100 % de 6 h

5) 50 % de 24 h

6) 10 % de 56 kg

7) 25 % de 28 €

8) 50 % de 56 dam

9) 25% de 400 élèves

10) 10 % de 78 dam

11) 10 % de 5,6 €

12) 25 % de 80 kg

13) 75 % de 80 kg

14) 25 % de 440 €

15) 75 % de 440 €

16) 100 % de 1 000 élèves

17) 200 % de 30 €

18) 300 % de 50 €

19) 75 % de 48 000 habitants

20) 75 % de 56 ml

Problème 2 : (appliquer un % en tant que coeff de prop + notion et calcul de fraction d’une

quantité)

« Dans un cake, il y a 12% de raisins secs. Quelle quantité de raisins secs y a-t-il dans

un cake de 300g ? de 150 g ? de 200 g ? de 145 g ? »

1) Recopie cet énoncé. Y a-t-il proportionnalité entre la masse du cake et la quantité de raisins

secs ? Justifie.

2) Dresse un tableau avec les quantités indiquées.

3) Par quel nombre faut-il multiplier la masse du cake pour obtenir la masse de raisins secs ?

Complète alors le tableau.

Complète la phrase « prendre 12% d’une quantité revient à …………………………………. la quantité par

….. »

4) Ecris le coefficient de proportionnalité en fraction décimale.

5) Ecris le détail du calcul 100

12de 300. Trouve trois façons différentes de calculer ce nombre.

Pour calculer

de 300, il y a trois façons :

- Diviser 12 par 100 puis multiplier par 300

- Multiplier 12 par 300 puis diviser par 100

- Diviser 300 par 100 puis multiplier par 12

Retenons

Complète les phrases :

Calculer 12% d’une quantité il y a deux façons :

- Multiplier la quantité par 0,12calculer

de la quantité. Et pour cette méthode il y

a trois façons.

Pour calculer la fraction

d’une quantité, il y a trois façons :

- diviser a par b puis multiplier par la quantité

- multiplier a par la quantité puis diviser par b

- diviser la quantité par b puis multiplier par a

CA p 40 n° 2 – 3 – 4

Livre p 85 n° 21- 27 – 28 : Vrai ou Faux ?

-45 % de 1000 c’est plus de 500 ?

-53 % de 400 c’est plus de 200 ?

-61 % de 5000 c’est moins de 2500 ?

-35 % de 700 c’est moins de 400 ? Calcule en détaillant votre méthode :

1) 35% de 200 2) 5/8 de 72

= =

= =

= =

= =

3) 32% de 50 4) 50% de 32

= =

= =

= =

= =

5) 28% de 7 6) 15 / 40 de 160

= =

= =

= =

= =

7) 19,6% de 500 8) 20 + 30% de 20

9) 60% de 1 500= 10) 25% de 8400=

Livre p 85 n° 21

Calcule avec les deux façons vues au dessus :

1) 3% de 100 étudiants

2) 90 % de 1000 habitants

3) 100 % des joueurs du Loto

4) 53 % de 400 litres

5) 61 % de 2 500 €

Problèmes variés …

Livre p 85 n° 27

Livre p 85 n° 28

1° façon en deux étapes - calcul de la hausse = 10% de 25 €= 25 : 10 = 2,5 €

- Nouveau prix = ancien prix + hausse

Nouveau prix = 25 + 2,5

Nouveau prix = 27,5 €

2° façon en une seule étape : Nouveau prix = ancien prix + hausse

Nouveau prix = 25 + 10% de 25

Nouveau prix = 25 + (25 : 10)

Nouveau prix = 25 + 2,5

Nouveau prix = 27,5 €

3° façon avec la proportionnalité Nouveau prix = (100% + 10%) de l’ancien prix

Nouveau prix = 110% de 25 €

Nouveau prix =

x 25

Nouveau prix = 1, 10 x 25

Nouveau prix = 27,5 €

1,1 est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer par multiplication de la grandeur

« ancien prix » à la grandeur « nouveau prix ».

Exercice :

De la même façon, faire les trois exercices suivants :

a) ancien prix = 150 €. Hausse de 15%. Nouveau prix ?

b) ancien prix = 90 €. Baisse de 15 %. Nouveau prix ?

c) ancien prix = 1000 €. Hausse de 40 %. Nouveau prix ?

Retenons …

Quand un ancien prix subit une hausse (augmentation) de 10% par exemple, l’acheteur paie

alors 110% de l’ancien prix. Donc le nouveau prix est égal à 1,1 x ancien prix.

Ex : Une hausse de 20 % ……………… Nouveau prix = 1,2 x ancien prix

Une hausse de 5 % …………………. Nouveau prix =1,05 x ancien prix

Une hausse de 35 % ………………. Nouveau prix = 1,35 x ancien prix

Quand un ancien prix subit une baisse (réduction – solde) de 10% par exemple, l’acheteur

paie alors 90% de l’ancien prix. Donc le nouveau prix est égal à 0,9 x ancien prix.

Ex : Une baisse de 20 % ……………… Nouveau prix = 0,8 x ancien prix

Une baisse de 5 % …………………. Nouveau prix = 0,95 x ancien prix

Une baisse de 35 % ………………. Nouveau prix = 0,65 x ancien prix

Livre p 87 n° 42 (avec un tableau de proportionnalité)

Livre p 87 n° 48 (comme le n° 29 : troisième façon seulement) Un appareil photo coûte 150 €.

Le commerçant fait une remise de 20%. Quel est le nouveau prix de l’appareil

photo ?

Livre p 87 n° 49 : La superficie des terres émergées du globe est 150 millions de km². L’Europe

occupe 6,9 % des terres émergées. Quelle est la superficie de l’Europe ?

Livre p 87 n° 50 : Prix ordinateurs portables : 2 274,95 € + 200 € de remise

1 699,95 € + 200 € de remise

Après la remise de 200 €, le prix de ces ordinateurs portables aura-t-il baissé

de plus de 10 % ?

Livre p 88 n° 55 : Quel est le pourcentage de 2 000 qui vaut 2 ?

Livre p 87 n° 47 : Pour 13,08 €, Marc achète 6 kg de pêches. Combien coûtent 7 kg des mêmes

pêches ?

Livre p 88 n° 53 : Un litre de limonade contient 80 % d’eau. Quel pourcentage d’eau contient la

limonade avalée par quelqu’un qui en boit un demi-litre :

a) 30 % b) 40 % c) 50 % d) 80 % e) 100 %

Livre p 86 n° 35 a) Un train roule toujours à la même vitesse. Il parcourt 315 km en 1 h 30

min. Quelle distance parcourt-il en 4 h ?

Livre p 86 n° 33 d) Un pain pèse 400 g. Combien pèse

de ce pain ?

Livre p 87 n° 40 : Il faut ramasser 5 kg de feuilles de théier pour obtenir 1 kg de thé. Quelle

quantité de feuilles de théier faut-il ramasser pour obtenir 100 g de thé ?

Livre p 87 n° 45 : Parmi les nombres entiers de 1 à 20, il y a 40 % de multiples de 3. Vrai ou

faux ?

Livre p 85 n° 17 :

Livre p 84 n° 10 :

PB 1) Les trois-cinquièmes des 30 élèves d’une classe de 6° sont inscrits à l’association sportive.

Combien y a-t-il d’élèves inscrits ?

PB 2) [AB] est un segment de 12 cm. Place un point C du segment [AB] tel que AC soit les 5/6

de la longueur de [AB].

PB 3) Construis un triangle ABC tel que l’angle mesure 60° et l’angle mesure les 2/3

de l’angle .

PB 4) Trace un triangle. Partage-le en trois triangles de même aire.

PB 5) Trace un rectangle ABCD. Place sur le segment [AB] un point M tel que AM =

de AB.

Place sur le segment [BC] un point N tel que BN =

de BC. Place sur le segment [CD] un point P

tel que CP =

de CD. Place sur le segment [DA] un point Q tel que DQ =

de DA. Quel

quadrilatère MNPQ obtiens-tu ?

CA p 41 n° 15 - 16