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eau

Wa

29.81 /g m s=

DÉPARTEMENT DE GÉNIE MÉCANIQUE MEC1210 THERMODYNAMIQUE

Note : - L’examen est sur 100 points. - Il faut définir le système pour chaque application de la 1ère loi de la thermodynamique. - Les relations utiles et données thermodynamiques se trouvent sur les pages 6 à 8 . Question No. 1 (33 points) Le cylindre vertical rigide illustré sur la figure 1 est muni de butées, d’une hélice et d’un piston d’une masse de 3058.11 kg avec une aire de 0.3 m2. Le piston est connecté à l’extrémité inférieure du cylindre via un ressort linéaire, formant une cavité étanche qui contient 0.8 kg d’eau. Les parois du cylindre et le piston sont faits d’isolant thermique parfait. Initialement, l’eau est à 90°C avec un titre (x) de 0.15, le piston repose solidement sur les butées inférieures et le ressort est détendu. On fait alors tourner l’hélice pour brasser l’eau. Éventuellement, le piston quitte les butées inférieures et monte de façon quasi-statique, en étirant le ressort, jusqu’à ce qu’il effleure les butées supérieures (sans y exercer de force). L’eau est alors une vapeur saturée à 125°C. On continue de tourner l’hélice jusqu’à l’état final lorsque la pression de l’eau atteint 400 kPa forçant le piston contre les butées supérieures. La pression atmosphérique au-dessus du piston est constante à 100 kPa. On peut négliger la friction entre le piston et le cylindre et l’effet gravitationnel sur l’eau, ainsi que tout stockage d’énergie thermique dans les éléments solides. On demande de :

a) Déterminer la pression (en kPa) et la température (en °C) de l’eau lorsque le piston est sur le point de quitter les butées inférieures. (5 points)

b) Trouver la constante de raideur k du ressort (en kN/m). (7 points)

c) Déterminer la température (en °C) de l’eau à l’état final. (3 points)

d) Calculer le travail fait par l’hélice (Wa) (en kJ). (12 points)

e) Tracer qualitativement les états et évolutions de l’eau sur un diagramme P-v (avec dôme de saturation). (6 points)

CONTRÔLE PÉRIODIQUE Automne 2017

Figure 1 Patm = 100 kPa

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29.81 /g m s=

état initial

état final état initial

état final

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Question No. 2 (34 points)

On propose un dispositif sur la figure 2 pour lancer silencieusement une sonde munie de caméras panoramiques pesant 5 kg en altitude pour faire discrètement un repérage rapide des environs. Le dispositif de lancement est composé de deux cylindres verticaux rigides. Celui à gauche a l’extrémité supérieure fermée et contient un piston (piston A) de 500 kg avec une aire de 0.35 m2 alors que le cylindre à droite, dont le haut est muni de butées et ouvert à l’atmosphère, a un piston (piston B) de masse négligeable avec une aire de 0.055 m2 sur laquelle repose la sonde. L’extrémité inférieure du cylindre gauche contient un ressort linéaire avec une constante de raideur de 180 kN/m. Une conduite relie le fond des deux cylindres.

Initialement, la cavité au-dessus du piston A (bloqué en place avec un cran d’arrêt) contient 1 kg de vapeur d’eau à 1.6 MPa et 300 oC. Le piston B et la sonde sont au repos et en équilibre mécanique alors que le volume libre entre les deux pistons est occupé par 0.70 m3 d’argon à 25 oC.

On entame le lancement de la sonde en retirant le cran d’arrêt sur le piston A qui est poussé vers le bas par son propre poids et par la pression de l’eau. Ce mouvement est transféré au piston B via une compression de l’argon poussant le piston B (et la sonde) vers le haut. Le piston A est ensuite freiné par le ressort. À l’état final, la pression de l’eau est à 300 kPa et le piston A est en équilibre mécanique, ayant a descendu de 1.2776 m et comprimant le ressort de 29.85 cm. Le piston B a monté de 5 m et est arrêté par (et forcé contre) les butés alors que la sonde a quitté la surface du piston B et atteint son altitude maximal.

L’argon peut être considéré comme un gaz parfait à chaleurs massiques constantes avec R = 0.2081 kPa⋅m3/kg⋅K et cp = 0.5203 kJ/kg⋅K. Bien que le processus de lancement n’est pas quasi-statique, on peut supposer pour simplification que la pression sur la surface supérieure du piston B est constante en tout temps et égale à la pression atmosphérique qui est de 100 kPa.

Figure 2

Patm = 100 kPa

eau

argon

piston A

piston B ressort

sonde

1.2776 m

5 m

argon

cran d’arrêt rétractable

29.85 cm

butées

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Question No. 2 (suite) On peut supposer que toutes les surfaces solides (parois et pistons) sont des isolants

thermiques parfaits. On peut négliger la friction entre les pistons et cylindres, les pertes dues à la viscosité entre l’eau, l’argon et les parois des cylindres/conduite, tout stockage d’énergie thermique dans les éléments solides (incluant le ressort). On peut aussi négliger l’effet gravitationnel sur l’eau et l’argon, le volume du cran d’arrêt, la traînée de la sonde ainsi que toutes pertes associées au contact entre le piston A et le ressort et entre le piston B et les butées.

On demande de:

a) Déterminer la masse (en kg) de l’argon. (4 points)

b) Trouver la température de l’eau et celle de l’argon à l’état final (en oC). (9 points)

c) Calculer le travail (en kJ) fait par l’eau. (4 points)

d) Déterminer l’altitude maximale (en m) atteinte par la sonde. (13 points)

e) Calculer la vitesse de la sonde (en m/s) au moment où elle se sépare du piston B. (4 points)

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Question No. 3 (33 points)

Un moteur-fusée fournit de la poussée en accélérant les gaz chauds à haute pression produits dans la chambre combustion à travers une tuyère convergente-divergente (figure 3a). Comme la température initiale de ces gaz est très élevée, il faut généralement refroidir les parois de la tuyère. On propose le dispositif de refroidissement illustré sur la figure 3b qui est composé d’une chemise de refroidissement annulaire installée autour de la tuyère dans lequel circule de l’eau pressurisée via une pompe. La chaleur absorbée des parois de la tuyère permet de produire de la vapeur d’eau faisant fonctionner une turbine qui entraîne la pompe à eau tout en produisant une puissance nette. Cette puissance nette (puissance brute de la turbine moins la puissance consommée par la pompe) permet de faire fonctionner des accessoires du moteur-fusée.

Pour un certain puissant moteur-fusée muni de ce dispositif opérant en régime permanent, 126.28 m3/s de gaz chauds entre dans la tuyère à 10 MPa et 1927 oC avec une vitesse négligeable (état 1) pour en sortir à 100 kPa et 427 oC (état 2). La pompe comprime 0.014 kg/s d’eau à 100 kPa et 25 oC (état 3) pour la faire entrer dans la chemise de refroidissement à 3.5 MPa et 26 oC (état 4). L’eau sortante de la chemise entre dans la turbine à 350 oC (état 5) pour en sortir comme vapeur saturée à 100 kPa (état 6).

Figure 3b

Figure 3a

pompe turbine

2

3

1

4

5

gaz chauds

eau

eau

eau

6 eau

gaz chauds

chemise de refroidissement

tuyère convergente-divergente

Wpompe Wnette

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Question No. 3 (suite) Les gaz chauds peuvent être modélisés par de l’air comme gaz parfait à chaleurs massiques

variables avec R = 0.287 kPa⋅m3/kg⋅K. On peut négliger toute perte de pression de l’eau à travers la chemise de refroidissement ainsi que toute perte de chaleur à l’atmosphère par la tuyère et la chemise de refroidissement, la turbine et la pompe à eau. On peut aussi négliger les changements d’énergie cinétique de l’eau et tout changement d’énergie potentielle.

On demande de déterminer :

a) La puissance mécanique (en kW) consommée par la pompe. (5 points)

b) La puissance mécanique nette (en kW) produite. (7 points)

c) La vitesse de sortie (en m/s) des gaz chauds (état 2). (15 points)

d) Le rendement du dispositif (puissance mécanique nette / taux de chaleur absorbée par l’eau). (6 points)

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Énergie stockée dans un ressort =

Propriétés thermodynamiques de l’eau – tables de saturation

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Propriétés thermodynamiques de l’eau – tables de vapeur surchauffée

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Propriétés thermodynamiques de l’air comme gaz parfait

(suite)