Les médiatrices d’un triangle sont-elles concourantes…

en classe de cinquième?

DEJEAN Audrey, LOZE Delphine, MATHIEU Johan

∙ Analyse à priori∙ Analyse didactique∙ Evaluation∙ Développement

Sommaire

Activité proposée

1. Conjecturer que les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes

2. Rédiger un programme de construction

Objectifs

D1: Comprendre et reformuler le problème

Difficultés attendues

D2: Construction de médiatrices

D3: Les médiatrices obtenues ne sont pas concourantes

D4: Savoir conjecturer un résultat, une propriété

Organisation mathématique

T1 : construire un point à égale distance de trois points non alignés

t1 : construire un point à égale distance des trois points qui

modélisent les maisons

τ1 : construire les médiatrices de deux segments du triangle ABC  (ces deux droites sont sécantes en un point qui est solution du problème posé)

Ө1 : deux médiatrices d’un triangle sont sécantes en un point qui est

à égale distance des trois sommets du triangle

OM1 : [ T1 , t1 , τ1 , Ө1 ]

Organisation mathématique

OM2 : [ T2 , t2 , τ2 , Ө2 ]

T2 : démontrer que trois droites sont concourantes

t2 : démontrer que les trois médiatrices du triangle sont concourantes

τ2 : on trace deux médiatrices et on montre que le point

d’intersection de ces deux droites appartient à la troisième médiatrice

Ө2 : caractérisation de la médiatrice

Organisation didactique

∙ Moment de première rencontre

∙ Moment exploratoire

∙ Moment d’institutionnalisation

∙ Moment technologico-théorique

∙ Moment d’évaluation

∙ Moment du travail de l’OM

Evaluation de l’organisation mathématique

T1 : construire un point à égale distance de trois points non alignés

τ1 : construire les médiatrices de deux segments du triangle ABC  (ces deux droites sont sécantes en un point qui est solution du problème posé)

Ө1 : deux médiatrices d’un triangle sont sécantes en un point qui est

à égale distance des trois sommets du triangle

OM1 : [ T1 , t1 , τ1 , Ө1 ]

Evaluation de l’organisation mathématique

OM2 : [ T2 , t2 , τ2 , Ө2 ]

T2 : démontrer que trois droites sont concourantes

τ2 : on trace deux médiatrices et on montre que le point

d’intersection de ces deux droites appartient à la troisième médiatrice

Ө2 : caractérisation de la médiatrice

Evaluation de l’organisation didactique

1. Chronogenèse

2. Mésogenèse

3. Topogenèse

4. Dialectique du groupe et de l’individu

Chronogenèse

L’ organisation mathématique 1 :

• Moment de première rencontre

• Moment exploratoire

(reformulation de l’énoncé…)

(mise en commun…)

Chronogenèse

L’ organisation mathématique 1 (suite) :

• Moment technologico-théorique

• Moment d’institutionnalisation

• Moment du travail de l’OM

(programme de construction…)

Chronogenèse

La phase de démonstration a manqué de sens !

Absence de filiation entre l’OM1 et l’OM2

→ un moment de première rencontre réduit

→ un moment exploratoire trop bref, trop guidé

→ des moments de l’étude difficiles à distinguer

L’ organisation mathématique 2 :

Mésogenèse

Quels sont les moyens et les ressources didactiques nécessaires ou utiles à la

création de l’OM1 et de l’OM2 ?

Mésogenèse

1. Un point remarquable

2. Des phases d’expérimentations successives

3. Mise en commun

4. Une longue phase d’argumentation

lien entre expérimentation et déduction

OM1 :

5. Alternance des phases de déduction et d’expérimentation

Mésogenèse

OM2 :

→ dialogues avec le groupe classe

→ des traces écrites communes

→ des ébauches d’expérimentation

→ phases de déduction plus présentes

Topogenèse

OM1 :

▪ enrichissement du topos de l’élève

▪ rôle du prof. volontairement réduit

▪ forte réduction du topos de l’élève

▪ les moments de l’étude relèvent majoritairement du topos de l’enseignant

OM2 :

Dialectique du groupe et de l’individu

▪ enrichissement du topos d’une majorité de la classe

▪ aucun foyer d’inactivité… mais quelques lieux d’activités différents

Chacun, à sa mesure et à sa façon, a eu la possibilité concrète de contribuer au travail de la classe.

La classe a-t-elle été un outil efficaceau service de chacun de ses membres ?

Comment améliorernotre séance?

Gestion de la séance

La modélisation

La démonstration

Le logiciel de géométrie dynamique

La phase de modélisation

INDISPENSABLE!

La recherche personnelle de l’élève

L’élève:• rassemble son bagage mathématique• formule une conjecture

Le professeur:• a un aperçu du niveau de l’élève• est rassuré; le débat qui suit sera dense en propositions

à mettre au premier plan!

La gestion de la séance

Le professeur devient « porte-craie »

L’élève • apprend à s’exprimer clairement • s’entraine à argumenter

Le professeur• renvoie les questions à la classe• fait reformuler si nécessaire

Le premier débat

Et la démonstration?Le professeur doit donner le goût et l’envie de

démontrer à ses élèves

Comment?Nous devons la motiver, la rendre indispensable

S’appuyer sur des figures litigieuses et mener un débat qui ne trouverait pas d’issue

Comment mener la démonstration?

Deux temps forts:

1. La phase de recherche et de production d’une preuve

2.La mise en forme de la démonstration

1. La phase de recherche et de production d’une preuve

La recherche doit être libre

Il ne faut pas imposer une rédaction rigoureuse

L’élève apprend à organiser ses idées

L’élève doit trouver les grandes lignes de la démonstration

1. La phase de recherche et de production d’une preuve

2. La mise en forme de la démonstration

Réalisée en classe à partir de l’arbre de démonstration

Correction faite par le professeur pendant la séance

En devoir à la maison

Correction faite par un élève à la séance suivante

La synthèse de la séance ne pas l’oublier!

Le logiciel de géométrie dynamique est un atout

Se créer une image mentale

Vient conforter le résultat que l’on a démontré

Observer des cas particuliers

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