Decomposition en S´ erie de Fourier´ Principe et Propriet´ es´ · PDF...

Decomposition en Serie de FourierPrincipe et Proprietes

par Vincent Choqueuse, IUT GEII

1. Problematique

Problematique

• Contexte : Les signaux lies aux systemes physiques, electriques,acoustiques, ... peuvent presenter des comportements oscillatoireslocalement periodiques.

• Objectif : Developper un outil ”mathematique” permettant d’analyserefficacement ces oscillations.

1.8 1.82 1.84 1.86 1.88−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

temps(sec)

Fig.: Signal de parole

0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

temps(sec)

Fig.: Son de Vuvuzela

Vincent Choqueuse (IUT GEII) Decomposition en Serie de FourierPrincipe et Proprietes 2 / 21

1. Problematique

Problematique

• Dans le cadre de ses recherches sur la propagation de la chaleur, JosephFourier proposa en 1822 un outil de decomposition mathematique pourl’analyse des signaux periodiques. Cet outil porte aujourd’hui son nom : ladecomposition en serie de Fourier.

CV de Joseph Fourier- Naissance : 21/03/1768 a Auxerre.- Deces : 16/05/1830 a Paris.- Formation : Ecole Normale Superieure (ENS).- Profession : Prefet d’Isere, Enseignant a l’EcolePolytechnique,...- Inventions : Serie de Fourier/ Transformee de Fourier,...

• Les travaux de Fourier n’eurent un impact spectaculaire qu’a partir desannees 1960, avec le developpement d’algorithmes de calculs rapides(FFT).


2. Decomposition en serie de Fourier

Decomposition en serie de Fourier

Definition 2.1 (signal periodique)

Un signal periodique, s(t), de periode T0 satisfait la relation :

s(t) = s(t + αT0) (1)

ou α ∈ Z et ou f0 = 1T0

est la frequence fondamentale du signal (en Hz).

• Le plus souvent, l’expression de s(t) sera donnee sur une seule periode, lereste du signal s’obtenant simplement par translation.




Definition 2.2 (decomposition en serie de Fourier)

Soit s(t) un signal periodique de periode T0 = 1f0

. Sous certaines conditions (quel’on supposera le plus souvent verifies), le signal s(t) peut se decomposer sousla forme :

s(t) =∑n∈Z

cne2jπnf0t (2)

• ou les coefficients cn ∈ C, sont donnes par :

cn = 〈s(t), e2jπnf0t 〉 =1T0

∫(T0)

s(t)e−2jπnf0tdt (3)




• La decomposition en serie de Fourier peut etre vue comme la projection dusignal dans un espace compose d’exponentielles complexes.

Domaine temporel Domaine fréquentiel

Interets des fonctions exponentielles

• Fonctions simples a manipuler.

• Lien avec les fonctions sinus/cosinus.

• Espace plus proche de celui analyse parnotre systeme perceptif.

• Fonctions orthogonales.

• Les coefficients cn etant generalement complexes, on representera a la foisleur module, |cn |, et leur phase, φ(cn), en fonction de n.




• Exemple :

Soit s(t), un signal periodique de periode T0 = 2 defini sur [−1, 1] par :

∀t ∈ [−1, 1], s(t) = 1 − |t | (4)

En utilisant l’expression (2), on peut montrer que :

cn =

1/2 si n = 11−(−1)n

π2n2 si n ∈ Z∗(5)

−5 −3 −1 1 3 5

0

0.5

1

s(t)

temps (sec)

Fig.: Espace temporel

−10 −5 0 5 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

n

abs(

c n)

Fig.: Espace frequentiel (|cn |)

−10 −5 0 5 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

n

φ(c n)

Fig.: Espace frequentiel (φ(cn))




Corrolaire 2.1 (decomposition en sinus/cosinus)

En utilisant la definition 2.2, on peut montrer que s(t) se decompose egalementsous la forme suivante :

s(t) =a0

2+

∞∑n=1

ancos(2πnf0t) +∞∑

n=1

bnsin(2πnf0) (6)

• ou les coefficients an et bn sont donnes respectivement par :

an = cn + c−n (7)

bn = j(cn − c−n) (8)


3. Proprietes Linearite

Propriete de la decomposition

Propriete 3.1 (Linearite)

Soit x(t) et y(t) deux signaux periodiques de meme periode T0 et de coefficientsde decomposition respectifs c(x)

n et c(y)n . Le signal s(t) = αx(t) + βy(t), ou α ∈ R

et β ∈ R, a pour coefficients de decomposition :

cn = αc(x)n + βc(y)

n (9)

• Multiplier un signal par un gain α dans le domaine temporel revient amultiplier ses coefficients de decomposition par α dans le domainefrequentiel.

• Additionner deux signaux de meme periode dans le domaine temporelrevient a additionner leurs coefficients de decomposition dans le domainefrequentiel.


3. Proprietes Linearite


• Exemple :

Soit x(t), un signal periodique de periode T0 = 2 defini sur [−1, 1] par :

∀t ∈ [−1, 1], x(t) = 1 − |t | (10)

Les figures suivantes presentent le signal s(t) = αx(t) dans les domaines temporel etfrequentiel (α = 1.5).

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

temps (sec)

Signal x(t)Signal α x(t)


−10 −5 0 5 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

n

c n


Fig.: Espace frequentiel (module)

−10 −5 0 5 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

n

φ(c n)


Fig.: Espace frequentiel (phase)


3. Proprietes Translation temporelle


Propriete 3.2 (Translation temporelle)

Soit g(t) un signal periodique ayant pour coefficients de decomposition c(g)n . Le

signal s(t) = g(t + τ), obtenu en translatant le signal g(t) de τ, a pour coefficientde decomposition :

cn = c(g)n e2jπnf0τ (11)

• Avancer un signal dans le domaine temporel revient a multiplier cescoefficients de decomposition par une exponentielle complexe e2jπnf0τ dansle domaine frequentiel.

• L’information liee a la position temporelle du signal est contenue dans laphase.


3. Proprietes Translation temporelle


• Exemple :


∀t ∈ [−1, 1], x(t) = 1 − |t | (12)

Les figures suivantes presentent le signal s(t) = x(t + τ) dans les domaines temporel etfrequentiel (τ = 0.5).

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (sec)

Signal g(t)Signal g(t+τ)


−10 −5 0 5 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

n

|cn|



−10 −5 0 5 10−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

n

φ(c n)




3. Proprietes Moyenne du signal


Propriete 3.3 (Moyenne du signal)

Soit s(t) un signal periodique ayant pour coefficients de decomposition cn. Lavaleur moyenne du signal, M, est egale a :

M =1T0

∫(T0)

s(t)dt = c0 (13)

• La composante continue de s(t) correspond au coefficient c0 de ladecomposition en serie de Fourier

• Si s(t) a une moyenne nulle, alors c0 = 0.


3. Proprietes Moyenne du signal


• Exemple :


∀t ∈ [−1, 1], s(t) = 1 − |t | (14)

Les figures suivantes presentent le signal s(t) − 0.5 dans le domaine temporel et frequentiel.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−0.5

0

0.5

1

temps (sec)

Signal s(t)Signal s(t)−0.5


−10 −5 0 5 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

n

c n

Signal s(t)Signal s(t)−0.5


−10 −5 0 5 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

n

φ(c n)




3. Proprietes Energie du signal


Propriete 3.4 (Energie du signal)

Soit s(t) un signal periodique ayant pour coefficients de decomposition cn.L’energie du signal, E, est egale a :

E =1T0

∫(T0)|s(t)|2dt =

∑n∈Z

|cn |2 (15)

• L’energie du signal peut se calculer a partir du domaine temporel ou dudomaine frequentiel.


4. Signaux Particuliers Sinusoıde

Signaux Particuliers

Definition 4.1 (Sinusoıde)

Soit une sinusoıde d’amplitude A et de periode T0 defini par l’equation :

s(t) = A .sin(2πf0t) (16)

• En utilisant Euler et l’equation (2), on trouve directement par identification :

s(t) =A

(e2jπf0t − e−2jπf0t

)2j

(17)


4. Signaux Particuliers Sinusoıde


• Exemple :

Sinusoıde d’amplitude A = 1 et de periode T0 = 4.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

temps (sec)


−10 −5 0 5 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

n

|cn |


−10 −5 0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

n

φ(c n)



4. Signaux Particuliers Signal Carre


Definition 4.2 (Signal carre)

Soit un signal carre, s(t), d’amplitude A, de periode T0 et de moyenne nulle,defini sur une periode par :

s(t) =

{−A ∀t ∈ [−T0/2, 0[A ∀t ∈ [0,T0/2[

(18)

• En utilisant les equations (2) et (3), on peut montrer que :

s(t) = −2jAπ

∞∑q=−∞

1(2q + 1)

e2jπ(2q+1)f0t (19)


4. Signaux Particuliers Signal Carre


• Exemple :

Signal carre d’amplitude A = 1 et de periode T0 = 4.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

temps (sec)


−10 −5 0 5 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

n

|cn |


−10 −5 0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

n

φ(c n)


Reconstruction du signal s(t)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

temps (sec)

Fig.: n ∈ [−5, 5]

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

temps (sec)

Fig.: n ∈ [−10, 10]

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

temps (sec)

Fig.: n ∈ [−100, 100]


4. Signaux Particuliers Dent de scie


Definition 4.3 (Dent de scie)

Soit un signal en dent de scie, s(t), d’amplitude A, de periode T0 et de moyennenulle, defini sur une periode par :

∀t ∈ [−T0/2,T0/2[, s(t) =2AT0

t (20)

• En utilisant les equations (2) et (3), on peut montrer que :

s(t) =jAπ

∞∑n=−∞,n,0

(−1)n

ne2jπnf0t (21)


4. Signaux Particuliers Dent de scie


• Exemple :

Dent de scie d’amplitude A = 1 et de periode T0 = 4.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

−1

0

1

temps (sec)


−10 −5 0 5 10−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

n

|cn |


−10 −5 0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

n

φ(c n)


Reconstruction du signal s(t)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

temps (sec)

Fig.: n ∈ [−5, 5]

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

temps (sec)

Fig.: n ∈ [−10, 10]

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

temps (sec)

Fig.: n ∈ [−100, 100]


Decomposition en S´ erie de Fourier´ Principe et Propriet´ es´ · PDF...

Documents

Transcript of Decomposition en S´ erie de Fourier´ Principe et Propriet´ es´ · PDF...