Décomposer un nombre en facteurs premiers.

10 = 2 X 5

30 = 2 X 3 X 5

1 000 = 23 X 53

5 040 = 24 X 32 X 5 X 7

280 = 23 X 5 X 7

Décomposer un nombre en facteurs premiers est un procédé très utile en mathématique.

Il permet:

- d’additionner, de soustraire, de multiplier et de diviser des fractions;

- de simplifier des fractions;

- de déterminer les facteurs d’un nombre;

- de déterminer les PGCF et le PPCM de deux ou plusieurs nombres;

- d’opérer les fractions rationnelles;

- d’utiliser les lois sur les exposants;

- d’extraire les racines d’un nombre;

- etc.

Pour décomposer un nombre sous la forme de facteurs premiers, il faut connaître les notions suivantes:

- qu’est-ce qu’un nombre premier ?

- qu’est-ce qu’un facteur ?

- qu’est-ce qu’un exposant ?

- qu’est-ce qu’un facteur premier ?

Nombre premier

Un nombre premier est un nombre qui n'a que deux diviseurs: 1 et lui-même.

On pourrait aussi dire que c’est un nombre qu’on ne peut plus décomposer en entiers plus petits.

Exemple : 2 est un nombre premier car il n’a que deux diviseurs:

2 ÷ 1 = 2 2 ÷ 2 = 1

3 est un nombre premier car il n’a que deux diviseurs:

3 ÷ 1 = 3 3 ÷ 3 = 1

On peut remarquer qu’on ne pourrait pas décomposer 2 ou 3 en entiers plus petits.

6 n’est pas un nombre premier car il a plus que 2 diviseurs:

6 ÷ 6 = 1 6 ÷ 1 = 6 6 ÷ 2 = 3

6 n’est pas un nombre premier car on peut le décomposer en entiers plus petits:

2 et 3 car

et

et

6 ÷ 3 = 2

6 = 2 X 3

Il existe plusieurs nombres premiers:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Voici la liste des nombres premiers plus petits que 100 :

Voici un nombre premier très grand:

95 647 806 479 275 528 135 733 781 266 203 904 794 419 563 064 407.

43 112 609 2 - 1

Voici le plus grand nombre premier découvert jusqu’à aujourd’hui (2 008) :

Il faut 13 millions de chiffres pour l’écrire.

Heureusement, pour nos calculs, nous n’aurons pas besoin de tous les connaître !

Facteurs

La réponse d’une multiplication s’appelle : produit.

Exemple : 6 X 4 = 24

24 est le produit de 6 X 4

Les nombres multipliés ensemble s’appellent :

6 X 4 = 24

facteur facteur produitx =

facteurs.

24 peut être décomposé de plusieurs façons:

1 X 24 2 X 12 3 X 8 4 X 6

On dira que les facteurs de 24 sont : { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 , 24 }

Facteurs premiers

Un facteur premier est un nombre premier utilisé comme facteur.

Exemple: 2 X 3 = 6

facteur facteur

2 et 3 sont deux facteurs de 6 ;

Ce sont donc des facteurs premiers.

ils sont aussi des nombres premiers.

Décomposons 12 en facteurs premiers:

12 = 4 X 3

4 est un facteur mais il n’est pas premier;

alors décomposons encore.

12 = 4 X 3

2 X 2 2 est un nombre premier donc un facteur premier.

12 décomposé en facteurs premiers s’écrit: 2 X 2 X 3

12 = 2 X 2 X 3

3 est un nombre premier donc un facteur premier;

Remarque: On aurait pu commencer avec 12 = 2 X 6.

12 = 2 X 6

6 est un facteur mais il n’est pas premier;

alors décomposons encore.

12 = 2 X 6

2 X 3 3 est un nombre premier donc un facteur premier.

12 décomposé en facteurs premiers s’écrit: 2 X 2 X 3

12 = 2 X 2 X 3

Remarque: Peu importe par quels facteurs on commence la décomposition du nombre, on obtiendra toujours le même regroupement de facteurs premiers.

12 = 4 X 3 = 2 X 2 X 3

12 = 2 X 6 = 2 X 2 X 3

2 est un nombre premier donc un facteur premier;

Dans une multiplication, les facteurs peuvent être permutés

( on peut les changer de positions ).

12 = 2 X 2 X 3

12 = 3 X 2 X 2

12 = 2 X 3 X 2

Remarque:

Décompose 36 en facteurs premiers:

36 = 2 X 18

36 = 2 X 2 X 3 X 3

Remarque: de préférence, on écrit les facteurs premiers en ordre croissant.

36 = 2 X 3 X 2 X 3

36 = 2 X 2 X 3 X 3

36 = 2 X 3 X 6

36 = 2 X 3 X 2 X 3

Exposant

Un exposant est un nombre qui indique combien de fois un facteur se multiplie par lui-même.

Exemple:

2 3

Ainsi

2 3= 2 X 2 X 2

3 5= 3 X 3 X 3 X 3 X 3

10 6= 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10

À l’inverse, 5 X 5 X 5 X 5 = 5 4

Remarque: Certaines calculatrices afficheront 5^4 au lieu de 5 .4

( On l’écrit plus petit et on le place en haut et à droite du facteur. )

5 1

= 5

Il existe plusieurs facteurs premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc.

Pour nos besoins de calcul, trois facteurs sont particulièrement intéressants :

2 3 5

Tous les nombres pairs se divisent par 2.

Tous les nombres se terminant par 5 et 10 se divisent par 5.

36 ÷ 2 = 18 18 ÷ 2 = 972 ÷ 2 = 36

125 ÷ 5 = 25 25 ÷ 5 = 5

100 ÷ 5 = 20 20 ÷ 5 = 4

Le facteur 3 est un peu spécial.

Si la somme des chiffres composant le nombre est un multiple de 3, alors le nombre se divise par 3.

Exemple : 126 est-il divisible par 3 ?

1 + 2 + 6 = 9 126 ÷ 3 = 42

42 est-il divisible par 3 ?

4 + 2 = 6 42 ÷ 3 = 14

14 est-il divisible par 3 ?

1 + 4 = 5 14 ÷ 2 = 7

donc oui

donc oui

non,

Remarque: Tu peux utiliser ta calculatrice pour décomposer !

mais par 2, oui

On peut maintenant commencer.

Décompose en facteurs premiers les nombres suivants.

36 = 2

3 6X

2 3X

36 =

X 18

36 = 2 X 2 X 3 X 3

36 = 22 X 32

225 = 5

5 9X

3 3X

225 =

X 45

225 = 3 X 3 X 5 X 5

225 = 32 X 52

100 = 2

5 10X

2 5X

100 =

X 50

100 = 2 X 2 X 5 X 5

100 = 22 X 52

140 = 2

2 35X

5 7X

140 =

X 70

140 = 22 X 5 X 7

210 = 2

5 21X

3 7X

210 =

X 105

210 = 2 X 3 X 5 X 7

260 = 2

2 65X

5 13X

260 =

X 130

260 = 22 X 5 X 13

Déterminer les facteurs d’un nombre.

Écrire un nombre en facteurs premiers permet de déterminer les différents facteurs d’un nombre.

Exemple: 24 = 2

2 6X

2 3X

24 =

X 12

En regroupant ces facteurs premiers de manières différentes, on obtient les différents facteurs de 24.

24 = ( 2 ) X ( 2 X 2 X 3 )

24 = 2 X 12

24 = 4 X 6

24 = ( 2 X 2 ) X ( 2 X 3 )

24 = 8 X 3

24 = ( 2 X 2 X 2 ) X 3

24 = 24

24 = ( 2 X 2 X 2 X 3 )

X 1

Les facteurs de 24 sont : { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 , 24 }

Donne les différents facteurs de 1 000.

1 000 =

2 5X

10 X 10 X 10

2 5X 2 5XX X

1 000 =

1 000 = 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5

{ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000 }

1 000 = 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5

1 000 = 2 X ( 2 X 2 X 5 X 5 X 5 )

1 000 = 2 X 500

1 000 = ( 2 X 2 ) X ( 2 X 5 X 5 X 5 )

1 000 = 4 X 250

1 000 = ( 2 X 2 X 2 ) X ( 5 X 5 X 5 )

1 000 = 8 X 125

1 000 = ( 2 X 2 X 2 X 5 ) X ( 5 X 5 )

1 000 = 40 X 25

1 000 = ( 2 X 2 X 2 X 5 X 5 ) X 5

1 000 = 200 X 5

1 000 = ( 2 X 5 ) X ( 2 X 2 X 5 X 5 )

1 000 = 10 X 100

1 000 = ( 2 X 2 X 5 ) X ( 2 X 5 X 5 )

1 000 = 20 X 50

1 000 = ( 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5 ) X 1

Facteurs de 1 000 :

1 000 = 1 000 X 1

Tu découvriras dans la poursuite de ta formation en mathématique que décomposer un nombre en facteurs premiers est un procédé utilisé dans plusieurs autres domaines.