Debruitage des signaux par

approche EMD : Multi-EMDSG

J.-C. Cexus, A.-O. Boudraa, S. Benramdane

Institut de Recherche de lEcole Navale, IRENav (EA 3634)

Ecole Navale, Lanveoc-Poulmic, BP 600, 29240 Brest-Armees, France.Tel: (33) (0)2 98 23 38 66 Fax: (33)(0) 2 98 23 38 57

jean-christophe.cexus@ensieta.fr; (boudra, benramdane)@ecole-navale.fr

Resume Le but de ce travail est de mettre en uvre la Decomposition Modale Empirique (EMD) [1] dans une problematique dedebruitage des signaux via une nouvelle approche appelee Multi-EMDSG, combinant lEMD et le filtre polynomial de Savitzky-Golay (SG) [2]. Pour cela, on exploite les caracteristiques des modes empiriques issus de lEMD pour etudier une nouvelleapproche de debruitage des signaux. On montre, sur la base de simulations intensives, que lapplication iterative du memeprocessus EMDSG propose dans [3] : (EMD debruitage par filtre de Savitzky-Golay (SG) reconstruction du signal) permetdameliorer sensiblement les resultats du debruitage. Ainsi, lEMD associee a un filtrage et appliquee dune maniere iterativepermet dameliorer le Rapport Signal a Bruit (RSB) compare a lapproche ondelettes. Linfluence de certains parametres sontetudies (taille de la fenetre de filtrage. . . ) aussi bien pour lapproche EMDSG que pour son extension Multi-EMDSG. Enfin,lapproche Multi-EMDSG est comparee aux approches EMDSG et ondelettes.Mots clefs : Decomposition Modale Empirique (EMD), Debruitage, Filtre de Savitzky-Golay (SG), Signaux a ModulationdAmplitude et Modulation de Frequence (AM-FM).

Abstract This paper introduces an extension of recently introduced signal denoising scheme called EMDSG [3] which combinesthe Empirical Mode Decomposition (EMD) [1] and the Savitzky-Golay (SG) filter [2]. We show based on extensive numericalsimulations that the iterative application of the EMDSG process, called Multi-EMDSG, improves the signal to noise ratio comparedto wavelet approach. Sensitivity of both EMDSG and Multi-EMDSG to parameters selection such as window size and polynomialorder of SG are examined. Multi-EMDSG scheme is tested on simulated data and results compared to wavelet approach and toEMDSG.

1 IntroductionLe traitement des donnees bruitees est un probleme clas-

sique en traitement des signaux. Particulierement dans lecas dun bruit blanc Gaussien et additif ou un certainnombre de methodes de filtrage ont ete proposees [4, 5].Les approches lineaires telles que le filtre de Wiener [4]sont en general utilisees en raison de leur simplicite de miseen uvre. Cependant, ces methodes ne sont pas efficacespour les signaux presentant des ruptures, ou encore pourles signaux non-stationnaires. Pour surmonter ces difficul-tes, des approches non-lineaires ont ete proposees tellesque les ondelettes [5, 6]. Cependant, une des limites delapproche par ondelettes est la necessite de predefinir lesfonctions de base necessaires a la decomposition du signal.Recemment Huang et al. ont introduit lEMD comme me-thode de decomposition en sous-bandes, locale et auto-adaptative pour lanalyse des signaux non-stationnaires[1]. LEMD est entierement pilotee par les donnees et,contrairement a la transformee de Fourier ou aux onde-lettes, cette decomposition ne repose sur aucune famillede fonctions (ondelette mere. . . ) definie a priori. Lavan-tage principal de lEMD est que les fonctions de base sontderivees du signal lui-meme [1]. Par consequent, lanalyseest adaptative contrairement aux methodes traditionnellesou les fonctions de base sont fixes. Ainsi lEMD permet dedecomposer un signal en une somme finie de composantes,

de type AM-FM, appelees IMF (Intrinsic Mode Function).Dans cet article, nous presentons une methode de debrui-tage basee sur lEMD. Le signal bruite est decompose demaniere adaptative en IMF issues de lalgorithme de tami-sage [1]. Le principe du debruitage est base sur la recons-truction iterative du signal a partir des IMF prealablementfiltrees [3]. Lidee fondamentale du debruitage propose re-pose dune part sur le pretraitement des IMF a laide dufiltre SG (EMDSG) et dautre part diterer lensemble duprocessus sur le signal reconstruit un certain nombre defois. Le debruitage est applique a des signaux AM-FMsimules avec differents niveaux de bruit et les resultatscompares aux ondelettes ainsi qua ceux obtenus avec uneautre approche basee sur lEMD : EMDSG [3].

1.1 Principe de lEMDLEMD repose sur la decomposition adaptative du si-

gnal, x(t), en une serie dIMF, au moyen du processus detamisage. Chacune des IMF peut etre consideree commeun niveau dechelle (de details) distinct les unes des autres[1]. Cette notion dechelle est locale et la decompositionest non-lineaire [1]. La decomposition decrit localementx(t) comme une succession de contributions doscillationsrapides (hautes frequences) sur des oscillations plus lentes(basses frequences). Ainsi, localement, chaque IMF contientles oscillations de plus basse frequence que celles extraites

Colloque GRETSI, 11-14 septembre 2007, Troyes 421

precedemment. En outre, contrairement aux ondelettes,lEMD nutilise aucun filtre ou fonction predeterminee. Anoter, que lEMD necessite toutefois le choix dune fonc-tion interpolatrice (classiquement spline cubique) afin des-timer les enveloppes superieures et inferieures du signalnecessaires a la reconstruction de lIMF [1]. Suite au pro-cede de tamisage, le signal x(t) peut alors secrire [1] :

x(t) =

Nj=1

IMFj(t) + rN (t), (N N) , (1)

avec IMFj(t), j {1, . . . , N} lensemble des IMF, rN (t) leresidu et N le nombre dIMF (profondeur de la decompo-sition).

1.2 Debruitage par EMD (EMDSG)

Lapproche consiste a reconstruire le signal avec toutesles IMF prealablement pre-traitees. La methode est vuecomme une technique de debruitage. Lidee du debruitageest de pre-filtrer ou de seuiller (au sens du debruitage parondelettes) chaque IMF separement [3]. Ainsi, si on consi-dere fj(t) un mode non bruite de longueur finie T et IMFjsa version bruitee par un bruit suppose blanc, Gaussien etadditif, bj(t), alors :

IMFj(t) = fj(t) + bj(t) , avec j = {1, . . . , N}. (2)

Nous definissons alors fj(t) une estimee de fj(t) basee sur

lobservation bruitee de IMFj(t). Lestimation de fj(t)est alors donnee par la relation :

fj(t) = [IMFj(t), j ] , (3)

avec [IMFj(t), j ] la fonction de pre-traitement definiepar le parametre j (taille de fenetre, valeur du seuil. . . ) etappliquee au signal IMFj(t). Le signal debruite (recons-truit) x(t) est donne par la relation :

x(t) =

Nj=1

fj(t) + rN (t) . (4)

Dans cet article, la fonction de pre-traitement est uneoperation de filtrage basee sur le filtre SG [2]. Ce filtreRIF est tres rapide et efficace pour le lissage des don-nees bruitees. En effet, contrairement aux filtres classiquesdont les proprietes sont definies dans le domaine frequen-tiel et ensuite formulees temporellement, ce filtre derivedirectement de la formulation dun probleme de lissage dedonnees dans lespace des temps. Ce filtre apparat doncinteressant dans le cadre de lEMD ou lon ne change pasdespace de representation. Ce filtre effectue localementune regression pour estimer la valeur de chaque point dusignal [2] :

fj(i) =

m=MDm=MG

m.IMFj(i+m) , (5)

avec i = . . . ,2,1, 0, 1, 2, . . ., et MG et MD le nombre depoints a gauche et a droite du point i. Lidee du filtre SGest de trouver les coefficients m (Eq. 5) qui conserventles moments dordres superieurs a linterieur de la fenetredanalyse. Les points IMFj(iMG), . . . , IMFj(i+MD)sont approximes par un polynome dordre p de la forme :0+1i

1+2i2+. . .+Li

p. Les coefficients m sont obte-nus par un lissage au sens des moindres carres, en utilisantune fenetre glissante. Dans ce qui suit, cette approche dedebruitage est appelee EMDSG.

1.3 Debruitage par Multi-EMD(Multi-EMDSG)

Dans la demarche proposee ci-dessus (EMDSG), le faitde traiter les IMF par la fonction conduit a des fonctionsfj(t) ne verifiant pas necessairement les conditions duneIMF au sens de Huang et al. [1]. Cela est dautant plusprejudiciable si lon souhaite estimer la Frequence Instan-tanee (FI) et lAmplitude Instantanee (AI) a laide de latransformee de Hilbert [1, 11] ou encore avec loperateurde Teager-Kaiser [8, 10]. Pour y remedier, lidee est alorsde reiterer le processus EMDSG sur le signal x(t) recons-truit a partir de lequation (Eq. 4) lors de literation prece-dente. Cette methode ou lon applique EMDSG un certainnombre de fois est appelee Multi-EMDSG (cf. Tab.1).

Entree : Signal bruite : y(t) ;Sortie : Signal reconstruit : y(t).Initialisation :

hk(t) y(t), (k, iteration pour boucle Multi-EMD) ;

Fixer FinIteration : nombre diterations maximum pour la

boucle Multi-EMD k FinIteration.

Etape A.

Fixer le critere darret du tamisage et appliquer lEMD

sur le signal hk(t) pour extraire les j IMF, j {1, . . . , N}

et le residu rN (t) ;

Etape B.

Debruiter chaque IMF, en utilisant les relations (Eq. 3)

et (Eq. 5) ;

Etape C.

Reconstruire le signal debruite hk(t) en utilisant la

relation (Eq. 4) ;

Etape D.

Repeter les etapes A.-C. tant que k < FinIterationet alors mettre hk(t) ( hk+1(t)) hk(t) (k

e iteration)

sinon y(t) hk(t).

Tab. 1 Pseudo-code de debruitage par Multi-EMDSG.

Le nombre maximum diterations (variable k) est noteFinIteration. Cette variable est determinee experimentale-ment. En fait, comme le montre letude sur un signal AM-FM (ci-dessous), il semble que celui-ci soit tributaire duncertain nombre de parametres tels que le choix de la taille(L) de la fenetre du filtre SG, le niveau du bruit(ou RSB),ou encore la frequence dechantillonnage (Fs) du signal.Enfin, a noter que lors de la premiere iteration (k = 1)dans lapproche Multi-EMDSG celle-ci correspond en faita la methode EMDSG.

1.4 ResultatsLapproche Multi-EMDSG est appliquee a un signal AM-

FM de la forme x(n) = a(n) cos[(n)] avec :

a(n) = 1 + cos(an) , (6)

(n) = cn+ (m/f ) sin(fn) , (7)

avec = 0.5,c = 0.5,a = 0.02,f = 0.03,m =0.2c. Un bruit blanc Gaussien et additif de RSB variantentre5dB et 20dB est utilise. Lensemble des simulationsrepresente (sauf mention contraire) des valeurs moyennes(pour chaque RSB, 5 realisations differentes ont ete si-mulees). La taille, L, de la fenetre danalyse du filtre SG

422

varie entre 7 et 31 et lordre du polynome est fixe a p = 3.Comme lEMD est tres sensible a lechantillonnage [7, 9],Fs est prise 8 fois plus grande que la frequence de Shan-non (sauf mention contraire). La methode est compareeaux ondelettes (Symlets8 sur 5 niveaux de decomposition,methode de seuillage basee sur le principe du risque nonbiaise de Stein) et au debruitage par EMDSG.Les Figs. 1 et 2 montrent levolution moyenne du RSBapres traitement en fonction de L pour des RSB de de-part respectivement egal a 3dB et 5dB pour les deux ap-proches EMDSG et Multi-EMDSG. Les RSB moyens (res-pectivement de 11, 2dB et 12, 6dB) obtenus a laide desondelettes sont superposes. Des regressions polynomialessont estimees pour les differentes courbes. On peut no-ter que Multi-EMDSG donne un RSB superieur a celuiEMDSG et ce pour des petites valeurs de L. Si L devienttrop grand alors on observe une chute du RSB et les deuxapproches Multi-EMDSG et EMDSG ont le meme compor-tement. Cela se retrouve dailleurs dans les Figs. 4 et 5.La Fig. 3 montre le nombre diterations moyen pour obte-nir le meilleur RSB par debruitage en fonction de la tailleL pour EMDSG et Multi-EMDSG. On peut noter que lemeilleur RSB est dependant de L. Plus L est grand plusle nombre diterations k est petit. La Fig. 6 permet dentirer les memes remarques.Les Figs. 4 et 5 montrent, pour des RSB initiaux va-riant de 5dB a 25dB, les resultats moyens de debrui-tage (en terme de RSB en echelle logarithmique) des troismethodes : ondelettes, EMDSG et Multi-EMDSG pour desvaleurs de L respectivement de 11 et 27 et pour des fre-quences Fs respectivement de 4 et 8. Dans les deux cas, legain en RSB avec Multi-EMDSG est superieure a celui deEMDSG. Pour Fs = 8, nous pouvons noter que la methodeEMDSG tant a converger vers la methode Multi-EMDSG.Notons que pour L = 11 lapproche Multi-EMDSG four-nit un RSB tres superieur a celui de EMDSG. Par rapportaux ondelettes, lapproche Multi-EMDSG semble plus per-tinente notamment pour Fs = 8. Pour Fs = 4, L = 11, etpour des petits RSB, les methodes Multi-EMDSG et on-delettes sont equivalentes mais pour des RSB plus grands,lapproche Multi-EMDSG devient plus interessante. A no-ter que pour L = 27, les deux approches Multi-EMDSGet EMDSG sont equivalentes sur toutes la plages de RSB.Cela sexplique par le choix dune valeur importante deL (cela a deja etait observe dans les figures precedentes).Nous observons aussi que les deux approches ont des gainsen RSB qui chutent fortement pour des signaux moinsbruites pour un Fs = 4 et L = 27.La Fig. 6 montre levolution du RSB pour la methodeMulti-EMDSG en fonction du nombre diterations maisaussi en fonction de la valeur de L. On peut noter queles resultats permettent de regrouper lensemble des re-marques faites precedemment. Ainsi, il apparat que le faitditerer (methode Multi-EMDSG) permet daboutir a desmeilleurs taux de RSB que lapproche EMDSG et detreequivalente a lapproche par ondelettes, voir mieux pourvuque la valeur de L soit correctement choisie.La Fig. 7 montre un exemple de debruitage dun signalAM-FM. Celle-ci montre que le Multi-EMDSG attenue for-tement le bruit tout en conservant les structures impor-

tantes du signal.

1.5 ConclusionLes resultats de debruitage des signaux AM-FM avec

la methode proposee (EMDSG) semble tres prometteusepour la suite. Cette etude montre limportance du choixde la fenetre danalyse du filtre SG (ordre et taille de lafenetre danalyse). Dailleurs, des etudes sur le choix delordre du filtre sont en cours notamment sur le fait quelordre (p) du polynome doit evoluer (ou non) en fonctiondu rang de lIMF. Bien evidemment par la suite, il estnecessaire dappliquer cette methode sur une plus largeclasse de signaux simulees et reels ainsi quavec dautrestypes de bruits afin de valider un certain nombre de pointscomme par exemple la convergence ou encore le choix dufiltre (autre que SG) . . .

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5 10 15 20 25 30 35 407.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

12

12.5

13

(L) Taille de la fenetre SG

Gai

n S

NR

[dB

]

SNR OndeletteSNR EMD

SG

SNR MultiEMDSG

Regression (ordre 4) pour SNR EMDSG

Regression (ordre 4) pour SNR MultiEMDSG

Fig. 1 Gain en RSB apres traitement (RSB initial 3dB)

5 10 15 20 25 30 359.5

10

10.5

11

11.5

12

12.5

13

13.5

14

14.5

(L) Taille de la fenetre SG

Gai

n S

NR

[dB

]

SNR OndeletteRegression (ordre 4) pour SNR EMD

SG

Regression (ordre 4) pour SNR MultiEMDSG

SNR EMDSG

SNR MultiEMDSG

Fig. 2 Gain en RSB apres traitement (RSB initial 5dB)

10 15 20 25 30 3570

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

(L) Taille de la fenetre SG

Indi

ce it

rat

ion

pour

gai

n S

NR

opt

imum

Pour SNR initial de 3dBPour SNR initial de 5dB Pour SNR initial de 7dB

106 itrations pour un SNR de 12.6dB

91 itrations pour un gain SNR 14.3dB

74 itrations pour un gain SNR 16.2dB

5 itration; gain SNR 12.6dB (SNR initial 3dB)4 itration; gain SNR 14.5dB (SNR intital 5dB)3 itration; gain SNR 16.2dB (SNR initial 7dB)

Fig. 3 Iterations necessaires pour obtenir le meilleur RSBpar Multi-EMDSG

10 5 0 5 10 15 20 25

5

0

5

10

15

20

25

30

SNR initial [dB]

SN

R fi

nal [

dB] (

gain

apr

s tr

aite

men

t), E

chel

le L

og

10 8 6 4 2 0

5

0

5

10

15

20

Ondelette

EMDSG

, L=27

MultiEMDSG

, L=27

EMDSG

, L=11

MultiEMDSG

, L=11

Fig. 4 Gain en RSB pour Fs = 8

10 5 0 5 10 15 20 25

5

0

5

10

15

20

25

SNR initial [dB]

SN

R fi

nal [

dB] (

gain

apr

s tr

aite

men

t), E

chel

le L

og

OndeletteMultiEMD

SG, L=27

EMDSG

, L=27

EMDSG

, L=11

MultiEMDSG

, L=11

Fig. 5 Gain en RSB pour Fs = 4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

Nombre diteration

Gai

n S

NR

[dB

]

Gain SNR [dB] selon niveau iteration avec MultiEMDSG

pour un SNR initial de 5 [dB], fonction de la taille L

L = 11

L = 15

L = 17

L = 21

L = 27

SNR avec Ondelette

SNR avec EMDSG

iteration = 1

Fig. 6 RSB en fonction du nombre diterations pour plu-sieurs valeurs de L

2

0

2

Sig

nal

AM

FM

2

0

2

Bru

it

[SN

R=3

dB]

2

0

2

Ond

elet

te

[

11.

2dB

]

2

0

2

EM

DS

G

[ 7

.7dB

]

0 50 100 150 200 250 3002

0

2

Mul

tiE

MD

SG

Gai

n : [

12

.6dB

]

Temps [chantillons] (Zoom)

Fig. 7 Comparaison des differents approches (RSB initialde 3dD), L = 7, Fs = 8

424