Débits de crue et analyse hydrologique de petits bassins versants

129
DÉBITS DE CRUE ET ANALYSE HYDROLOGIQUE DE PETITS BASSINS VERSANTS Mémoire NESTOR RAUL ROCHA Maîtrise en génie agroalimentaire Maître ès sciences (M. Sc.) Québec, Canada © Nestor Raul Rocha, 2014

Transcript of Débits de crue et analyse hydrologique de petits bassins versants

DÉBITS DE CRUE ET ANALYSE HYDROLOGIQUE DE PETITS BASSINS VERSANTS

Mémoire

NESTOR RAUL ROCHA

Maîtrise en génie agroalimentaire

Maître ès sciences (M. Sc.)

Québec, Canada

© Nestor Raul Rocha, 2014

iii

RÉSUMÉ

Le design des ouvrages hydroagricoles nécessite la détermination des débits de crue et des

volumes de ruissellement. Les méthodes d'estimation utilisées au Québec n'ont pas été

validées sur des petits bassins versants agricoles.

Cette étude avait pour objectif de proposer et de valider une méthode d'estimation des

débits de crue et des volumes de ruissellement adaptée aux conditions agro-climatiques

québécoises. Elle s’est appuyée sur l’analyse, réalisée à l’aide du logiciel VisuHydro

(Lagacé, 2012b), de plus de 700 hydrogrammes provenant de douze petits bassins versants

(3 à 30 km2).

Les propriétés des hydrogrammes telles que la hauteur de ruissellement, les paramètres de

forme de l'hydrogramme, le temps de montée et les débits de pointe ont été déterminées et

comparées aux estimations des modèles utilisés présentement au Québec. Les méthodes

d'estimation des temps de concentration (Kirpich, SCS Lag, Mockus, Bansby-Williams) et

de la hauteur de ruissellement (SCS) se sont montrées non valides.

v

TABLE DES MATIÈRES

RÉSUMÉ ................................................................................................................... iii TABLE DES MATIÈRES ........................................................................................ v

LISTE DES TABLEAUX ....................................................................................... vii LISTE DES FIGURES ............................................................................................ ix

LISTE DES ANNEXES ........................................................................................... xi REMERCIEMENTS .............................................................................................. xiii 1 INTRODUCTION ............................................................................................. 1

1.1 Problématique du volet hydrologique ..................................................................... 1

2 REVUE BIBLIOGRAPHIQUE ....................................................................... 3 2.1 Le concept d’hydrogramme .................................................................................... 3 2.2 Le temps de concentration (tc) ................................................................................ 5

2.2.1 Méthode de Kirpich ............................................................................................ 6 2.2.2 Méthode de Mockus ............................................................................................ 6 2.2.3 Méthode de SCS-lag ........................................................................................... 7 2.2.4 Méthode de Bransby-Williams ........................................................................... 7

2.3 Volume de ruissellement ........................................................................................ 8 2.3.1 Méthode du SCS ................................................................................................. 8 2.3.2 Méthode de Monfet ............................................................................................. 9 2.3.3 Méthode des coefficients de ruissellement ....................................................... 10

2.4 Débit de pointe ...................................................................................................... 11 2.4.1 Méthode rationnelle .......................................................................................... 11 2.4.2 Méthode de l’hydrogramme triangulaire SCS .................................................. 12

2.5 Séparation de l`hydrogramme ............................................................................... 13 2.5.1 Méthodes de séparation des hydrogrammes ..................................................... 14

2.5.1.1 Méthodes linéaires .................................................................................... 14 2.5.1.2 Méthode de séparation constante-k ........................................................... 16

2.6 Dérivation des hydrogrammes .............................................................................. 18 2.6.1 Méthodes traditionnelles ................................................................................... 19 2.6.2 Méthodes basés sur des fonctions de distribution de probabilité (fdp) ............. 20

2.6.2.1 Fonction de densité de probabilité Beta .................................................... 20 2.6.2.2 Fonction de densité de probabilité de Weibull ......................................... 21 2.6.2.3 Fonction de densité de probabilité Log-normale ...................................... 22 2.6.2.4 Fonction de densité de probabilité Gamma à deux paramètres ................ 23 2.6.2.5 Méthode réévalué du NRCS ..................................................................... 24 2.6.2.6 Fonction de densité de probabilité Gamma à trois paramètres ................. 26

vi

2.7 Les paramètres de la distribution Gamma ............................................................ 28 2.8 Méthodes d'estimation des paramètres α, β et t0 dans une distribution Gamma .. 30

2.8.1 Méthode des moments ...................................................................................... 30 2.8.2 Méthode du maximum de vraisemblance ......................................................... 35 2.8.3 Méthode des moments modifiés ....................................................................... 37 2.8.4 Méthode de qp tp ............................................................................................... 38 2.8.5 Méthode des moindres carrés régression non linéaire ..................................... 39

2.9 Qualité d’ajustement ............................................................................................ 40 2.9.1 Erreur quadratique moyenne (EQM) ................................................................ 41 2.9.2 Coefficient d'efficacité de Nash-Sutcliffe (E) .................................................. 41 2.9.3 Coefficient de Détermination R2 ...................................................................... 42

3 HYPOTHÈSE ET OBJECTIFS DE RECHERCHE .................................... 43 3.1 Hypothèse de recherche ....................................................................................... 43 3.2 Objectifs de recherche .......................................................................................... 43

4 MÉTHODOLOGIE .......................................................................................... 45 4.1 Localisation des bassins versants à l’étude .......................................................... 45 4.2 Analyses hydrologiques ....................................................................................... 48 4.3 Séparation des hydrogrammes ............................................................................. 49 4.4 Calculs des données ............................................................................................. 50 4.5 Analyse des paramètres de l’hydrogramme ......................................................... 50

4.5.1 Temps de montée ............................................................................................. 51 4.5.2 Coefficient de forme de l'hydrogramme (Φ(α)) ............................................... 51 4.5.3 Hauteurs de ruissellement ................................................................................ 52 4.5.4 Validation des débits de crue ........................................................................... 52

5 RÉSULTATS ET ANALYSE .......................................................................... 55 5.1 Donnes analysées ................................................................................................. 55 5.2 Estimation de temps montée (tp) .......................................................................... 56 5.3 Estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)] ............................. 65 5.4 Estimation et prédiction des hauteurs de ruissellement ....................................... 71 5.5 Estimation du débit de crue (Qmax) .................................................................... 83

5.5.1 Concept de courbes enveloppes ....................................................................... 83

6 CONCLUSIONS ............................................................................................... 93

7 LISTE DES RÉFÉRENCES ............................................................................ 97

ANNEXES .............................................................................................................. 101

vii

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 1. Coefficients de ruissellement (adapté de Lagacé, 2012a). .................................. 10

Tableau 2. Relation entre α et PRF pour un HUA développé à partir de l’équation [35]. ... 25

Tableau 3. Moments observés et théoriques d’une distribution Gamma à trois paramètres.33

Tableau 4. Exemples de régressions linéaires ou non linéaires. ........................................... 40

Tableau 5. Bassins versants et configuration des bases de données utilisées. ...................... 47

Tableau 6. Stations et bases de données hydrométriques. .................................................... 47

Tableau 7. Stations et bases de données météorologiques. ................................................... 48

Tableau 8. Nombre d’hydrogrammes analysés par type d’hydrogramme. ........................... 55

Tableau 9. Sommaire des temps de montée tp (h). ............................................................... 57

Tableau 10. Sommaire de l’estimation des temps de concentration Tc (h). ......................... 59

Tableau 11. Sommaire des ratios entre les temps de montée observés et les temps de concentration estimés. ............................................................................................ 60

Tableau 12. Matrice des coefficients de corrélation des temps de montée (tp) observés avec les paramètres descriptifs des bassins versants. ...................................................... 61

Tableau 13. ANOVA - temps de montée observé (tp). ......................................................... 63

Tableau 14. Estimation du temps de montée avec les méthodes alternatives. ...................... 64

Tableau 15. Estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)]. ........................ 66

Tableau 16. ANOVA – effet du bassin versant sur le coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)]. ............................................................................................ 67

Tableau 17. Matrice des coefficients de corrélation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)] observé avec les paramètres descriptifs des bassins versants. ................................................................................................................................ 68

Tableau 18. ANOVA - coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α)). .............................. 68

Tableau 19. Estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)] avec les modèles φ(α)-M1 (équation [99]) et φ(α)-M2 (équation [100]). .......................................... 70

Tableau 20. Sommaire des hauteurs de précipitations et des hauteurs de ruissellement et des coefficients de ruissellement. ................................................................................. 72

Tableau 21. ANOVA - hauteur de ruissellement (Hru) considérant l’effet « Bassin ». ....... 73

Tableau 22. Paramètres déterminés par les modèles de régression Hru-M2 (équation [103]) pour l’estimation des hauteurs de ruissellement (Hru). .......................................... 80

Tableau 23. ANOVA - hauteur de ruissellent considérant l’effet CN. ................................. 81

Tableau 24. Hauteurs moyennes de ruissellement observées et prédites par les modèles Hru-M1 (équation [102]) et Hru-M2 (équation [103]). .......................................... 82

viii

Tableau 25. Séries annuelles des évènements de ruissellement retenus pour la validation de la prédiction des débits de pointe. .......................................................................... 90

Tableau 26. Paramètres observés pour les bassins versants mis à contribution dans la validation de la méthode de prédiction des débits de pointe. ............................................... 91

Tableau 27. Paramètres et débits de crue prédits et comparaison avec les débits observés. 91

ix

LISTE DES FIGURES

Figure 1. Composantes de l'hydrogramme de crue. ................................................................ 5

Figure 2. Hydrogramme triangulaire (adapté du NRSC, 2007). ........................................... 12

Figure 3. Séparation de l’hydrogramme de crue, réalisée dans le logiciel VisuHydro (Lagacé 2012b), selon une méthode linéaire. ......................................................... 13

Figure 4. Méthode de séparation linéaire des composantes de l’hydrogramme, (tirée de Blavoux, 1978). ...................................................................................................... 14

Figure 5. Détermination du point B lors de la séparation linéaire d’un hydrogramme (adaptée de Roche, 1967). ...................................................................................... 15

Figure 6. Méthode de la constante-k : détermination de k* et de la moyenne mobile de déplacement de 2 heures de k* (tirée de Blume, 2007). ......................................... 17

Figure 7. Méthode de la constante-k : détermination du gradient de k*(tirée de Blume, 2007). ...................................................................................................................... 18

Figure 8. Évolution de la distribution Gamma en fonction de la variation des paramètres (α), (β) et (t0). .......................................................................................................... 29

Figure 9. Localisation des bassins versants utilisés dans l’analyse hydrologique des crues. ................................................................................................................................ 46

Figure 10. Prédiction de tp par le modèle 𝑡𝑝-M4. ................................................................ 65

Figure 11. Prédiction de φ(α) par le modèle φ(α)-M2. ........................................................ 71

Figure 12. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Au Castor (CN = 78). ...................... 74

Figure 13. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Binet (CN = 73). .............................. 74

Figure 14. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Esturgeon Branche 21 (CN = 82). ... 75

Figure 15. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Ewing (CN = 78). ............................ 75

Figure 16. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Fourchette Amont (CN = 73). ......... 76

Figure 17. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Fourchette Aval (CN = 56) .............. 76

Figure 18. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant de la Petite rivière Savane (CN = 76). ................................................................................................................................ 77

Figure 19. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant du ruisseau Brook (CN = 65). .......... 77

x

Figure 20. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant du ruisseau Cass (CN = 63). ........... 78

Figure 21. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Turmel (CN = 73). .......................... 78

Figure 22. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Walbridge Amont (CN = 73). ......... 79

Figure 23. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Walbridge Aval (CN = 56). ............ 79

Figure 24. Coefficient de ruissellement (CR) en fonction du numéro de courbe (CN). ...... 82

Figure 25. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103]) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108]) pour le bassin Au Castor. ...................................................... 85

Figure 26. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Binet. ............................................... 86

Figure 27. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Ewing. .............................................. 86

Figure 28. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Fourchette Amont. ........................... 87

Figure 29. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Fourchette Aval. .............................. 87

Figure 30. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Turmel. ............................................ 88

Figure 31. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Walbridge Amont. ........................... 88

Figure 32. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Walbridge Aval. .............................. 89

xi

LISTE DES ANNEXES

Annexe 1. Développement mathématique du temps de montée. ........................................ 102

Annexe 2. Développement mathématique du débit de pointe. ........................................... 103

Annexe 3. Carte du bassin versant Au Castor. ................................................................... 104

Annexe 4. Carte du bassin versant Binet. ........................................................................... 105

Annexe 5. Carte du bassin versant Esturgeon Branche 21. ................................................ 106

Annexe 6. Carte du bassin versant Ewing. ......................................................................... 107

Annexe 7. Carte du bassin versant Fourchette Amont. ....................................................... 108

Annexe 8. Carte du bassin versant Fourchette Aval. .......................................................... 109

Annexe 9. Carte du bassin versant de la Petite rivière Savane. .......................................... 110

Annexe 10. Carte du bassin versant du ruisseau Cass. ....................................................... 111

Annexe 11. Carte du bassin versant du ruisseau Brook. ..................................................... 112

Annexe 12. Carte du bassin versant Turmel. ...................................................................... 113

Annexe 13. Carte du bassin versant Walbridge Amont. ..................................................... 114

Annexe 14. Carte du bassin versant Walbridge Aval. ........................................................ 115

xiii

REMERCIEMENTS

Je remercie Dieu tout puissant qui m'a donné la force et la volonté d'achever ce mémoire et

je lui rends grâce.

J'exprime mes profonds remerciements à mon directeur, M. Robert Lagacé sans qui jamais

ce mémoire n’aurait vu le jour. Je lui suis particulièrement reconnaissant pour la

disponibilité qu’il a consacrée à l'encadrement de ce projet, pour sa patience, pour ses

encouragements et pour les conseils précieux qu'il n'a cessé de me prodiguer tout au long

de ce travail.

Mes remerciements vont également à, M. Aubert Michaud, chercheur à l’Institut de

recherche et de développement en agroenvironnement inc. (IRDA) pour la codirection de

ce travail et pour m’avoir accompagné tout au long de ce parcours. Sa présence, ses

conseils et ses observations ont contribué à la réalisation de ce mémoire.

Je remercie également Mlle Ariane Drouin, professionnelle de recherche en géomatique et

télédétection à l’Institut de recherche et de développement en agroenvironnement inc.

(IRDA) pour son intérêt et sa collaboration, en fournissant les données géomatiques

nécessaires à ce projet.

Je tiens à remercier aussi tout le département des sols et de génie agroalimentaire de

l’Université Laval pour m’avoir bien accueilli, surtout madame Madeleine Roy,

technicienne en administration.

Un remerciement spécial pour ma conjointe, Sandra et mes enfants, Mathias et Gabriela

pour leur compréhension et leurs encouragements tout au long de ce projet.

1

1 INTRODUCTION

Les ouvrages hydroagricoles (cours d'eau, ponceaux, avaloirs, bassins de rétention, etc.)

sont conçus pour assurer l’évacuation des eaux excédentaires à l’intérieur d’une récurrence

donnée. Leur design demande la détermination de débits de crue et de volumes de

ruissellement généralement déterminés avec la méthode rationnelle, en utilisant l’intensité

de précipitation pour la récurrence choisie et la durée du temps de concentration.

Le sujet de ce travail « Débits de crue et analyse hydrologique de petits bassins versants »

s’insère dans l'un des cinq volets du projet « Mise à jour des normes et procédures de

conception d’ouvrages hydrauliques en milieu rural dans un contexte de changements

climatiques » , réalisé par le consortium sur la climatologie régionale et l’adaptation aux

changements climatiques (OURANOS) dans le cadre de la mesure 26 du Plan d’action sur

les changements climatiques 2006-2012 (PACC) du gouvernement du Québec en

collaboration avec le Ministère des Ressources Naturelles et de la Faune (MRNF), l’Institut

de recherche et de développement en agroenvironnement (IRDA), le Ministère de

l’Agriculture, des Pêcheries et de l’Alimentation du Québec (MAPAQ), l’Université Laval,

le Centre Eau Terre Environnement (INRS-ETE), le Ministère du Développement durable,

de l'Environnement et des Parcs (MDDEFP), Agriculture et Agroalimentaire Canada

(AAC), le Centre d'expertise hydrique du Québec (CEHQ), et le Ministère des Transports

du Québec (MTQ).

1.1 Problématique du volet hydrologique

Les méthodes utilisées présentement au Québec pour prédire les débits de crue et les

volumes de ruissellement en petits bassins versants (< 30 km2) proviennent des États-Unis,

datent des années 1980 et n'ont pas été validées au Québec sur de petits bassins versants

agricoles. Les équations utilisées ont été développées sous des conditions géographiques et

climatiques très différentes des conditions agro-climatiques québécoises.

2

Traditionnellement, les ouvrages hydro-agricoles sont conçus pour assurer l’évacuation des

eaux excédentaires à l’intérieur d’une récurrence donnée. Ils répondent à un débit de crue

généralement déterminé à partir de la méthode rationnelle. Cette dernière utilise les temps

de concentration dérivés de méthodes américaines développées dans les années 1960-1980,

de même que les estimateurs Intensité-Durée-Fréquence (IDF) pour la récurrence choisie,

lesquelles ont été développées au Québec dans les années 1970.

3

2 REVUE BIBLIOGRAPHIQUE

Le développement et la validation de méthodes de prédictions hydrologiques se font

généralement de façon empirique et s’appuient d’abord sur l’analyse de séries de données

de débits pour un ensemble de stations hydrométriques données. L’hydrogramme est la

représentation graphique du débit instantané d’un cours d’eau en fonction du temps tel que

mesuré à l’exutoire du bassin versant considéré. L’analyse hydrologique des hydrogrammes

permet d’en décrire les principales caractéristiques, lesquelles serviront de balises dans le

développement et la validation des outils de prédiction des crues. L’analyse hydrologique

des séries de données hydrométriques colligées aux exutoires de bassins versants

instrumentés est donc à la base de la définition des paramètres de conception des ouvrages

hydrauliques.

2.1 Le concept d’hydrogramme

L’hydrogramme est la représentation graphique du débit instantané d'un cours d'eau en

fonction du temps à l’exutoire d’un bassin versant (figure 1). Il constitue le concept de base

en hydrologie. Il est également utilisé pour montrer les effets sur l’hydrologie de projets

existants ou proposés ou de changements d'utilisation des terres (NRCS, 2007). Le NRCS

(2007) fait la classification suivante des hydrogrammes :

• Hydrogramme naturel (HN) : hydrogramme obtenu directement à partir des débits

mesurés d'une rivière ou d’un ruisseau;

• Hydrogramme synthétique (HS) : hydrogramme obtenu en utilisant les paramètres du

bassin versant et les caractéristiques de l’évènement pluvieux pour simuler un

hydrogramme naturel;

• Hydrogramme unitaire (HU) : hydrogramme de débit produit par un ruissellement

direct d’un pouce ou d’un millimètre, distribué uniformément sur la surface du bassin à

un taux uniforme durant une période de courte durée;

4

• Hydrogramme unitaire adimensionnel (HUA) : hydrogramme qui permet de

comparer les hydrogrammes unitaires de différents types d'averses. Il est déduit soit

d'un hydrogramme d'averse relevé pour une crue, soit d'un hydrogramme unitaire tracé

à l'aide des ratios du temps sur le temps de montée et du débit sur le débit de pointe. Il

est également appelé « hydrogramme indice ».

Les trois paramètres fondamentaux qui définissent entièrement l’hydrogramme (Bhunya,

2011) sont respectivement :

𝒕𝒑: Temps de montée : correspond à la durée de la partie montante (courbe de crue) ou le

temps que prend le débit depuis le début du ruissellement de surface pour atteindre son

maximum. Ce temps, qui représente une caractéristique de l'hydrogramme, peut être

mesuré lors de précipitations de relativement courte durée provoquant un hydrogramme

simple typique;

𝒕𝒃 : Temps de base : correspond à la durée totale de la courbe de montée (𝒕𝒑) et de la

partie à décroissance rapide, dite courbe de décrue. Ce qui est équivalent à l’intervalle de

temps que durent les contributions du ruissellement de surface et de l’écoulement

hypodermique;

𝒒𝒑 : Débit de pointe : Débit maximal instantané d'un hydrogramme donné.

La figure 1 illustre ces trois paramètres fondamentaux en lien avec les principales

composantes de l’hydrogramme, incluant :

Courbe de concentration : partie d'un hydrogramme correspondant à un débit croissant

vers un maximum et s'étendant du point où débute le ruissellement jusqu'au débit

maximum, lequel correspond au premier point d'inflexion de l'hydrogramme;

Courbe de décrue : représente l’apport des zones d’emmagasinement suivant la fin de la

pluie excédentaire. Cette partie de l'hydrogramme décrit la diminution naturelle du débit,

produite par le drainage de surface.

5

Courbe de tarissement, représente la décroissance plus lente du débit. Le débit est alors

associé à la vidange des nappes d'eau souterraines lorsque le ruissellement de surface a

cessé. La phase de tarissement résulte d'une absence de précipitations et elle intervient

après la phase de décrue. La décroissance du débit se fait de manière exponentielle de plus

en plus lentement.

Figure 1. Composantes de l'hydrogramme de crue.

2.2 Le temps de concentration (tc)

Le temps de concentration est le temps requis par le ruissellement pour se déplacer du point

hydrauliquement le plus éloigné du bassin versant jusqu’à l’exutoire de celui-ci. Ce point

est le départ du plus long temps de parcours jusqu’à l’exutoire, et ne correspond pas

nécessairement à la plus longue distance du parcours de l’eau (NRCS, 2010). Ce paramètre

est utilisé dans la plupart des méthodes de détermination des débits de pointe.

6

Le temps de montée et le temps de concentration sont intimement reliés au même concept

hydrologique de base. Les hydrologues utilisent le terme « temps de montée » alors que les

ingénieurs utilisent principalement le terme « temps de concentration ». Différentes

méthodes sont proposées pour mesurer le temps de concentration, certaines plus complexes

que d'autres, mais toutes reliées à l'hydrogramme et/ou au temps de montée.

Il existe plusieurs modèles de prédiction pour calculer le temps (𝒕𝒄) de concentration des

hydrogrammes de crue. Les principales méthodes utilisées au Québec sont : Kirpich,

Mockus, SCS-lag et Bransby-Williams.

2.2.1 Méthode de Kirpich

Cette méthode est adaptée aux bassins versants dont la superficie varie entre 0,4 et 81 ha,

composés de sols argileux et avec une pente moyenne comprise entre 3 et 10 % (Kirpich,

1940). Le temps de concentration est calculé à partir de l’équation suivante :

(𝒕𝒄) Méthode de Kirpich 𝒕𝒄 =𝟕,𝟕𝟕𝟕𝟏𝟐𝟓 ∗ 𝐋𝟕,𝟕𝟕

𝑺𝟕,𝟏𝟖𝟓 [1]

- 𝑡𝑐 = temps de concentration (h)

- L = longueur maximale du parcours de l’eau dans le bassin versant (m)

- S = pente moyenne de l’écoulement (m/m)

2.2.2 Méthode de Mockus

Cette méthode publiée par Mockus (1961) est adaptée aux bassins versants de superficies

variant entre 4 et 1000 ha et qui sont caractérisés par une pente longitudinale moyenne

inférieure à 1 % et par des sols limoneux ou argileux. Cette méthode intègre le numéro de

courbe (CN) et l’équation s’écrit :

7

(𝒕𝒄) Méthode de Mockus 𝒕𝒄 =𝐋𝟕,𝟖 ∗ [(𝟏𝟕𝟕𝟕 𝑪𝑪) − 𝟐⁄ ]𝟏.𝟏𝟕

𝟐𝟕𝟖𝟏𝟕 ∗ 𝑺𝟕.𝟓 [2]

- 𝑡𝑐 = temps de concentration (h)

- L = longueur maximale du parcours de l’eau dans le bassin versant (m)

- S = pente moyenne de l’écoulement (m/m)

- CN = numéro de courbe moyen

2.2.3 Méthode de SCS-lag

Le Soil Conservation Service (SCS) du département d’agriculture des États-Unis (United

State Department of Agriculture - USDA) (SCS, 1972) a proposé une méthode pour

l’estimation du temps de concentration basée sur les travaux de Mockus et sur l’analyse

d’un grand nombre d’hydrogrammes :

(𝒕𝒄) Méthode de SCS-lag 𝒕𝒄 =𝐋𝟕,𝟖 ∗ [(𝟏𝟕𝟕𝟕 𝑪𝑪) − 𝟐⁄ ]𝟕,𝟕

𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝑺𝟕,𝟓 [3]

- 𝑡𝑐 = temps de concentration (h)

- L = longueur maximale du parcours de l’eau dans le bassin versant (m)

- S = pente moyenne de l’écoulement (m/m)

- CN = numéro de courbe moyen

2.2.4 Méthode de Bransby-Williams

Williams(1922) a développé une équation pour établir le temps de concentration :

(𝒕𝒄) Méthode de Bransby-Williams 𝒕𝒄 =𝟕,𝟕𝟕𝟕𝟐𝟓 ∗ 𝐋

(𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝑺)𝟕,𝟐 ∗ 𝑨𝟕,𝟏 [4]

8

- 𝑡𝑐 = temps de concentration (h)

- L = longueur maximale du parcours de l’eau dans le bassin versant (m)

- S = pente moyenne de l’écoulement (m/m)

- A = Surface du bassin versant (ha)

2.3 Volume de ruissellement

Le volume de ruissellement est le produit de la hauteur de ruissellement par la surface

auquel on applique un facteur d’unité:

(Vr) Volume de ruissellement 𝐕𝐫 = 𝟏𝟕 𝐇𝐫𝐮 ∗ 𝐀 [5]

- Vr = volume de ruissellement (m3)

- Hru = hauteur de ruissellement (mm)

- A = superficie du bassin versant (ha)

La hauteur de ruissellement peut être déterminée par plusieurs méthodes ici présentées.

2.3.1 Méthode du SCS

La méthode du SCS (Mockus, 1949) est la plus connue et est définie par l’équation

suivante :

(Hru) Hauteur de Ruissellement 𝐇𝐫𝐮 =(𝑷− 𝑰𝒂)𝟐

(𝑷 − 𝑰𝒂) + 𝑹𝒎 P ≥ Ia [6]

La rétention maximale « Rm » est estimée ainsi :

(Rm) Rétention Maximale 𝐑𝐦 =𝟐𝟓𝟕𝟕𝟕𝑪𝑪

− 𝟐𝟓𝟕 [7]

9

Puisque l’interception initiale « Ia » est estimé à 20 % de la rétention maximale, l’équation

[6] s’écrit :

(Hru) Hauteur de Ruissellement 𝐇𝐫𝐮 =(𝑷− 𝟕,𝟐 𝑹𝒎)𝟐

𝑷 + 𝟕,𝟖 𝑹𝒎 P ≥ 𝟕,𝟐 𝑹𝒎 [8]

- Hru = hauteur ou lame de ruissellement (mm)

- P = hauteur de pluie (mm)

- Ia = interception initiale (mm)

- Rm = rétention maximale (mm)

2.3.2 Méthode de Monfet

Monfet (1979) a réalisé une étude sur la Rive-Sud du fleuve Saint-Laurent, dans les régions

de l’Estrie et du Centre-du-Québec (à cette époque nommée région des Bois-Francs) sur 33

bassins versants à vocations agricole et forestière. Son étude avait pour but de vérifier si la

méthode développée par le SCS pour prédire le ruissellement était valide sous les

conditions climatiques et pédologiques québécoises.

À partir de l’analyse de 444 hydrogrammes, Monfet (1979) a proposé les équations

suivantes en tenant compte des valeurs du numéro de courbe pour estimer la lame de

ruissellement produite par une pluie :

CN entre 30 à 40 𝐇𝐫𝐮 = 𝟕,𝟐𝟖 ∗ 𝐏 − 𝟐,𝟕 [9]

CN entre 40 à 50 𝐇𝐫𝐮 = 𝟕,𝟏𝟏 ∗ 𝐏 − 𝟐,𝟕 [10]

CN entre 50 à 60 𝐇𝐫𝐮 = 𝟕,𝟏𝟐 ∗ 𝐏 − 𝟐,𝟕 [11]

CN entre 60 à 70 𝐇𝐫𝐮 = 𝟕,𝟕𝟐 ∗ 𝐏 − 𝟏,𝟏 [12]

CN entre 70 à 80 𝐇𝐫𝐮 = 𝟕,𝟕𝟓 ∗ 𝐏 − 𝟏,𝟏 [13]

CN entre 80 à 90 𝐇𝐫𝐮 = 𝟕,𝟕𝟐 ∗ 𝐏 − 𝟏,𝟕 [14]

- Hru = hauteur ou lame de ruissellement (mm)

- P = hauteur de pluie (mm)

10

2.3.3 Méthode des coefficients de ruissellement

Cette méthode proposée par Bernard (1935) suppose que le ruissellement est proportionnel

à la précipitation. Cette méthode est celle utilisée traditionnellement au Québec :

Coefficients de ruissellement 𝐇𝐫𝐮 = 𝐂 ∗ 𝐏𝐩𝐭 [15]

- Hru = hauteur ou lame de ruissellement (mm)

- C = coefficient de ruissellement

- P = hauteur de pluie (mm)

La méthode des coefficients de ruissellement est surtout utilisée avec la méthode rationnelle

d’estimation du débit de pointe. Le tableau 1 montre les différents coefficients de

ruissellement selon le type de végétation, la topographie et la texture du sol.

Tableau 1. Coefficients de ruissellement (adapté de Lagacé, 2012a).

Végétation Topographie Texture du sol

Sable Argile et limon

Argile compacte

Boisé

Plat (pente de 0 à 5 %) 0,10 0,30 0,40

Vallonné (pente de 5 à 10 %) 0,25 0,35 0,50

Montagneux (pente de 10 à 30 %) 0,30 0,50 0,60

Déboisé et friches

Plat (pente de 0 à 5 %) 0,10 0,30 0,40

Vallonné (pente de 5 à 10 %) 0,16 0,36 0,55

Montagneux (pente de 10 à -30 %) 0,22 0,42 0,60

Cultures drainées

Plat (pente de 0 à 5%) 0,30 0,50 0,60

Vallonné (pente de 5 à 10 %) 0,40 0,60 0,70

Montagneux (pente de 10 à 30 %) 0,52 0,72 0,82

Pour obtenir une moyenne par un bassin versant lorsque celui-ci a plusieurs utilisations du

sol et plusieurs types de sol différents, une moyenne pondérée par la superficie doit être

utilisée.

11

2.4 Débit de pointe

Le volume de ruissellement et le débit de crue représentent les éléments les plus importants

lors du dimensionnement d’ouvrages hydroagricoles (Lagacé, 2012a). Voici comment peut

être calculé le débit de pointe.

2.4.1 Méthode rationnelle

La méthode la plus ancienne d’estimation du débit de pointe à partir de la pluie est appelée

méthode rationnelle. Elle est considérée valide pour les superficies de moins de 800 ha.

Elle suppose que le débit maximum est obtenu lorsque toute la superficie du bassin versant

contribue au ruissellement à l’exutoire avec la plus grande intensité moyenne de

précipitation (Lagacé, 2012a). Cette plus grande intensité correspond à la plus grande

précipitation pour la durée du temps de concentration. Le débit de pointe s’exprime ainsi :

Méthode rationnelle 𝐐 =𝐂 𝐈 𝐀𝟏𝟏𝟕

= 𝐂 𝐏 𝐀𝟏𝟏𝟕 𝒕𝒄

= 𝐇𝐫𝐮 𝐀𝟏𝟏𝟕 𝒕𝒄

[16]

- Q = débit de pointe (m3/s)

- C = coefficient de ruissellement

- I = intensité de la précipitation (mm/h) = I (𝑡𝑐,T)

- A = superficie du bassin versant (ha)

- P = précipitation de durée 𝑡𝑐 et récurrence T

La valeur de l'intensité I est basée sur les courbes Intensité-Durée-Fréquence (IDF).

12

2.4.2 Méthode de l’hydrogramme triangulaire SCS

Le SCS (1957) a développé un système basé sur un hydrogramme triangulaire

adimensionnel. Cet hydrogramme résulte de l'observation du comportement d'un grand

nombre de bassins versants. La figure 2 illustre ce type d’hydrogramme.

Figure 2. Hydrogramme triangulaire (adapté du NRSC, 2007).

L’équation d’estimation du débit de pointe avec la méthode SCS est la suivante :

Méthode SCS

hydrogramme triangulaire 𝐐 =

(𝟕,𝟐𝟕𝟖 ∗ 𝐇𝐫𝐮 ∗ 𝐀)𝒕𝒑

[17]

- Qp : débit de pointe (m3/s)

- Hru : hauteur de ruissellement (mm)

- A : surface du bassin (km2)

- 𝒕𝒑 : temps de montée (h)

13

2.5 Séparation de l`hydrogramme

Pour un événement donné, l’hydrogramme de crue d’un cours d’eau est le résultat de la

combinaison de trois composantes principales qui sont : le ruissellement direct (fraction de

la pluie nette qui s’écoule en surface), le ruissellement hypodermique ou retardé (portion

des précipitations infiltrées dans le sol se rendant au cours d’eau, mais n’atteignant pas la

nappe), et l’écoulement souterrain (partie de l’écoulement provenant des aquifères).

En général, les hydrologues regroupent le ruissellement direct de surface avec l’écoulement

hypodermique pour les appeler tout simplement le ruissellement (Lagacé, 2012a). La figure

3 illustre ces composantes de l’hydrogramme.

Figure 3. Séparation de l’hydrogramme de crue, réalisée dans le logiciel VisuHydro

(Lagacé 2012b), selon une méthode linéaire.

14

2.5.1 Méthodes de séparation des hydrogrammes

L’objectif de la séparation des écoulements est d’identifier les différentes composantes de

l’écoulement total observé. Généralement, cela consiste en la séparation des écoulements

souterrains aussi appelés écoulements de base ou écoulements lents des écoulements directs

de surface ou écoulements rapides. Les écoulements souterrains sont observés de façon plus

ou moins continue dans les cours d’eau tandis que les écoulements directs de surface sont

observés irrégulièrement à l’occasion des précipitations. Conceptuellement, l’hydrogramme

de ruissellement est obtenu en soustrayant l’écoulement de base de l’hydrogramme global

(figure 3). Il existe plusieurs méthodes de séparation des hydrogrammes.

2.5.1.1 Méthodes linéaires

Basées sur l’hypothèse du regroupement des écoulements direct et hypodermique (appelé

simplement le ruissellement), les méthodes linéaires permettent de séparer le ruissellement

de l’écoulement de base suite à l’identification, directement sur l’hydrogramme, des points

de début et de fin du ruissellement.

La méthode la plus simple, laquelle est évoquée par Blavoux (1978), consiste à tracer une

droite horizontale du point (A) qui marque le début de la courbe de concentration jusqu’à

l’intersection (A’) avec la courbe de tarissement (figure 4).

Figure 4. Méthode de séparation linéaire des composantes de l’hydrogramme, (tirée

de Blavoux, 1978).

15

La deuxième méthode de séparation linéaire dite à « pente constante » décrite par Lapp

(1996) consiste à joindre par une ligne droite les points A et B (figure 4). Le point A

correspond au début de la phase de montée de l’hydrogramme et le point B correspond au

point d’inflexion de la phase de décrue. Ce point est déterminé par l'intersection formé

après avoir prolongé les courbes de décrue et de tarissement qui deviennent linéaires

lorsqu’une transformation logarithmique de l’axe des ordonnées est effectuée (figure 5).

La troisième méthode consiste à prolonger la courbe de ruissellement avant l’averse

jusqu’au point (C) (figure 4) situé sur la verticale de la pointe de crue, et de connecter le

point (C) avec le point (B) déterminé comme dans la méthode précédente.

Figure 5. Détermination du point B lors de la séparation linéaire d’un hydrogramme

(adaptée de Roche, 1967).

16

2.5.1.2 Méthode de séparation constante-k

La technique de séparation (méthode constante-k) développée par Blume et al (2007) a

pour avantages de permettre la détermination de la fin d’un événement à l’aide d’une

approche théorique et d’être applicable à des événements multi-pics.

La méthode constante-k est basée sur l'hypothèse que le stockage des eaux souterraines

(débit de base) est linéaire et que la courbe de tarissement devrait diminuer de façon

exponentielle conformément à l'équation différentielle présentée par Boussinesq (Blume,

2007).

Courbe de tarissement

Dupuit-Boussinesq 𝑸(𝒕) = 𝑸(𝟕) ∗ 𝒆(−𝒌𝒕) [18]

Où :

− Q(t) est le débit au temps t (m3/s),

− Q(0) est le débit au début du tarissement (m3/s),

− k est le coefficient de tarissement (min-1)

En différenciant l'équation [17] en fonction du temps (équation [18]), il est possible

d’obtenir les valeurs de k pour chacun des points de l'hydrogramme (équation [19]) et ainsi

identifier le point t(e) dans le temps, défini comme la fin d'un événement de ruissellement,

et où le coefficient k est approximativement constant.

Dérivée équation de

Dupuit-Boussinesq 𝒅𝑸(𝒕)

𝒅𝒕= −𝐤 ∗ 𝑸(𝒕) [19]

Et ensuite divisant par 𝑄(𝑡)

Coefficient de récession k 𝒌 = −𝒅𝑸(𝒕)

𝒅𝒕∗𝟏𝑸(𝒕)

[20]

Où :

− Q(t) est le débit au temps t (m3/s), et

− k est le coefficient de tarissement (min-1).

17

Pour des valeurs très faibles de débit (Q), c’est-à-dire près de zéro, le coefficient de

tarissement k devient très sensible aux petits changements de Q. Pour diminuer cette

sensibilité de k par rapport à la ligne de base de Q, tous les événements sont normalisés par

rapport à la valeur moyenne du débit annuel Q, qui correspond à leur ligne de base.

Dans l’étude réalisée par Blume (2007), la valeur du débit annuel moyen (0,4 m3/s) a été

choisie comme la valeur de ligne de base pour modifier tous les évènements.

En utilisant l’équation [19] avec cette nouvelle valeur modifiée de Q, un coefficient de

tarissement stabilisé (k*) est obtenu. Cette modification est convenable, car la valeur exacte

de k n’est pas d’intérêt ici, c’est plutôt sa progression au fil du temps qui est importante.

La figure 6 montre l’hydrogramme pour un événement, de même que les valeurs pour k* et

la moyenne mobile de déplacement de 2 heures de k*.Le gradient de la ligne de tarissement

stabilisé est ensuite déterminé pour chaque donnée au cours de la période des cinq heures

suivantes. La fin du ruissellement, t(e), est définie comme le point où le gradient de k* est

près de zéro (±7-10 min-2), c'est-à-dire le point où k* devient constant (figure 6).

Figure 6. Méthode de la constante-k : détermination de k* et de la moyenne mobile de

déplacement de 2 heures de k* (tirée de Blume, 2007).

18

La figure 7 présente les valeurs du gradient de k* sous forme négative pour une meilleure

visualisation des points de gradient zéro et du point correspondant à la fin du ruissellement,

soit t(e). Elle présente aussi l’hydrogramme de Q' modifié (0,4 m3/s pour tous les

événements).

Figure 7. Méthode de la constante-k : détermination du gradient de k*(tirée de Blume,

2007).

2.6 Dérivation des hydrogrammes

Les hydrogrammes et leurs composantes peuvent être représentés et décrits notamment au

moyen de la théorie de l'hydrogramme unitaire (HU) appelé à l'origine graphe unitaire.

L’hydrogramme unitaire a d'abord été présenté par Sherman (1932). Ce modèle théorique

suppose que le débit, à tout moment, est proportionnel au volume de ruissellement et que

les facteurs de temps qui affectent la forme de l’hydrogramme sont constants. Ce volume

unitaire est utilisé lorsqu’il y a 1 pouce de précipitations excédentaires sur l'ensemble du

bassin (NRCS, 2007).

Les méthodes traditionnelles de représentation des hydrogrammes unitaires synthétiques

(HUS) ont d’abord été basées sur des formules empiriques. Les méthodes traditionnelles les

19

plus connues sont celles de Snyder (1938) et du SCS (1957) (hydrogramme unitaire

triangulaire). Par la suite, des fonctions de distribution de probabilité (fdp) ont été utilisées

compte tenu de la similitude entre la forme des distributions statistiques et celles des

hydrogrammes observés. Les différentes fonctions de distribution utilisées pour la

dérivation des HUS sont, entre autres, les fonctions Beta, Gamma, Weibull, Chi-Square et

Log-normal (Bhunya, 2011).

2.6.1 Méthodes traditionnelles

Parmi les méthodes traditionnelles de dérivation développées avec le concept de HU, nous

retrouvons par exemple la méthode de Snyder (1938) qui établit des relations empiriques

entre les caractéristiques des bassins versants comme l’aire, la longueur du cours d'eau

principal, la distance entre l'exutoire et un point du cours d'eau situé le plus près du

barycentre du bassin versant et les trois paramètres de base nécessaires pour décrire la

forme de l’hydrogramme unitaire (le temps de montée (tp), le débit de pointe (qp) et le

temps de base (tb)) (Bhunya, 2011).

Le Soil Conservation Service (SCS) du U.S. Department of Agriculture (USDA) a

développé un hydrogramme unitaire moyen adimensionnel qui a été élaboré grâce à

l'analyse d'un grand nombre d'hydrogrammes unitaires naturels pour des bassins versants de

tailles et d'emplacements géographiques différents afin de synthétiser l'hydrogramme

unitaire (Jeng, 2006). Les valeurs de l'ordonnée de cet hydrogramme adimensionnel sont

exprimées sous forme du rapport adimensionnel 𝑞/𝑞𝑝 et les valeurs de l'abscisse sous

forme du rapport adimensionnel 𝑡/𝑡𝑝.

L’hydrogramme unitaire adimensionnel (HUA) décrit par le NRCS (2007) possède deux

paramètres clés : le temps de montée (𝑡𝑝) et le débit de pointe (𝑞𝑝), lesquels sont estimés à

partir de relations empiriques qui sont fonction de l’aire du bassin hydrographique et du

temps de concentration (𝑡𝑐). Afin de permettre la définition du temps de base (𝑡𝑏), selon le

temps de montée (𝑡𝑝), et le temps de concentration (𝑡𝑐), la méthode du (SCS) représente le

HUA comme un hydrogramme unitaire triangulaire, ce qui facilite le calcul du volume de

ruissellement (V) et du débit de pointe (𝑞𝑝) (Fang, 2005).

20

2.6.2 Méthodes basés sur des fonctions de distribution de probabilité (fdp)

En raison de la similitude entre la forme des distributions statistiques et la forme observée

des hydrogrammes, plusieurs tentatives ont été faites pour utiliser les fonctions de

distribution de probabilité (fdp) (Beta, Gamma, Weibull, Chi-square et Log-normal entre

autres) pour la dérivation de l'HUS (Bhunya, 2011).

Les fonctions Gamma et Beta sont les plus utilisées pour représenter la forme des HUS

(Koutsoyiannis et Xanthopoulos, 1989; Haktanir et Sezen, 1990; Bhunya et al., 2003, 2004;

Rai et al., 2009 ). De plus, la flexibilité de la fdp permet de produire différentes formes

d’hydrogrammes en changeant les valeurs des paramètres (Bhunya et al., 2008; Rai et al.,

2009; Pramanik, 2010).

2.6.2.1 Fonction de densité de probabilité Beta

La fdp Beta à deux paramètres a été développée par Johnson et Kotz (1970). La fonction

Beta 𝑩(𝜶,𝜷) est représentée par l’équation [4] où 𝛼 et 𝛽 sont les paramètres de forme; t et q

sont les termes sans dimensions de temps et de débit, respectivement. Les paramètres de

forme toujours des valeurs positives et les valeurs de t doivent être dans l'intervalle [0 1].

Fonction Beta 𝑩(𝜶,𝜷) = � 𝒕𝜶−𝟏 (𝟏 − 𝒕)𝜷−𝟏𝒅𝒕𝟏

𝟕 [21]

Où :

- 𝛼 et 𝛽 : sont les paramètres de forme,

- t : temps adimensionnel.

Au cours des dernières années, de nombreuses études ont été rapportées concernant

l'utilisation de la fdp Beta à deux et trois paramètres pour représenter l'HUS (Koutsoyiannis

et Xanthopoulos, 1989; Haktanir et Sezen, 1990; Bhunya et al., 2004; Rai et al, 2008,

2009). La forme de la fdp Beta dépend des valeurs de ses paramètres. Pour toute valeur de

21

α et β supérieure à l'unité, la forme de la courbe de la fdp devient concave et ressemble à la

forme de l'hydrogramme (Pramanik, 2010).

L'expression mathématique de l'hydrogramme utilisant la fdp Beta 𝒒(𝒕,𝜶,𝜷) à deux

paramètres et les caractéristiques du temps de montée 𝒕𝒑 et du débit de pointe 𝒒𝒑 sont

présentées par les équations [22] à [24] :

Débit, fdp Beta 𝒒(𝒕,𝜶,𝜷) = 𝟏

𝑩(𝜶,𝜷) 𝒕𝜶−𝟏 (𝟏 − 𝒕)𝜷−𝟏 [22]

Temps de montée 𝒕𝒑 = �𝜶 − 𝟏

𝜶 + 𝜷 − 𝟐� [23]

Débit de pointe 𝒒𝒑 = 𝟏

𝑩(𝜶,𝜷) �

𝜶 − 𝟏𝜶 + 𝜷 − 𝟐

�𝜶−𝟏

�𝜷 − 𝟏

𝜶 + 𝜷 − 𝟐�𝜷−𝟏

[24]

Où :

- q : débit adimensionnel

- 𝑡𝑝 : temps de montée

- 𝑞𝑝: débit de pointe adimensionnel

- 𝛼 et 𝛽 : paramètres de forme de la fonction beta

2.6.2.2 Fonction de densité de probabilité de Weibull

La fdp de Weibull à deux paramètres a été introduite par Rosin et Rammler (1933). Pour

certaines valeurs de ses paramètres, la fonction ressemble aux fonctions de distribution

normale et exponentielle.

L’expression mathématique de l'hydrogramme utilisant la fdp Weibull et les

caractéristiques du débit de pointe 𝒒𝒑 et du temps de montée 𝒕𝒑 sont présentées par les

équations [25] à [27]. Pour tout t > 0, 𝑘 et 𝜆 ont des valeurs positives et correspondent

respectivement aux paramètres de forme et d'échelle. L'équation de tp est valable pour tout

t > 1 (Pramanik, 2010).

22

fdp Weibull 𝒒(𝒕,𝒌,𝝀) =𝒌𝝀

�𝒕𝝀�𝒌−𝟏

𝒆−�𝒕𝝀�

𝒌

[25]

Débit de pointe 𝒒𝒑 =𝒌𝝀

�𝟏 −𝟏𝒌

�𝟏−𝟏 𝒌⁄

𝒆−�𝟏−𝟏𝒌 � [26]

Temps de montée 𝒕𝒑 = 𝝀 �𝒌 − 𝟏𝒌

�𝟏 𝒌⁄

[27]

Où,

- q : débit unitaire

- t : temps

- 𝒌 : paramètre de forme

- 𝝀 : paramètre d'échelle

- 𝑡𝑝 : temps de montée

- 𝑞𝑝: débit de pointe adimensionnel

2.6.2.3 Fonction de densité de probabilité Log-normale

Une variable est log-normalement distribuée si son logarithme naturel est normalement

distribué. Les paramètres de la distribution sont la moyenne (μ) et l’écart type (σ).

L'expression mathématique de l'hydrogramme utilisant cette fdp et les caractéristiques du

temps de montée 𝑡𝑝 et du débit de pointe 𝑞𝑝 sont présentées par les équations [28] à [30]

pour toute valeur de t et σ > 0 (Nadarajah, 2007, Rai et al., 2009).

fdp Log-normale 𝒒(𝒕,𝝁,𝝈) =𝟏

𝒕𝝈√𝟐𝝅𝒆−(𝐥𝐧(𝒕)−𝝁)𝟐 𝟐𝝈𝟐⁄ [28]

Débit de pointe 𝒒𝒑 =𝟏

√𝟐𝝅𝝈𝒆�𝝈

𝟐

𝟐 −𝝁� [29]

23

Temps de montée 𝒕𝒑 = 𝒆�𝝁−𝝈𝟐� [30]

Où :

- q : débit unitaire adimensionnel

- t : temps

- µ : moyenne

- σ : écart type

- 𝑡𝑝 : temps de montée

- 𝑞𝑝: débit de pointe adimensionnel.

2.6.2.4 Fonction de densité de probabilité Gamma à deux paramètres

La fdp Gamma à deux paramètres a été largement utilisée pour modéliser les formes de

l’hydrogramme (Haktanir et Sezen, 1990 ; Haan et al., 1994; Bhunya et al., 2003, 2007 et

2008 ; Nadarajah, 2007) (Pramanik, 2010).

Conformément au travail réalisé par (Bhunya et al., 2003), l'expression mathématique de

l'hydrogramme utilisant la fdp Gamma et les caractéristiques du temps de montée 𝒕𝒑 et du

débit de pointe 𝒒𝒑 sont présentées par les équations [31] à [33] pour t, α et β > 0 (Pramanik,

2010).

Débit fdp Gamma 𝒒(𝒕,𝜶,𝜷) = 𝒕𝜶−𝟏 𝒆−𝒕 𝜷⁄

𝜷𝜶 𝚪(𝛂) [31]

Débit de pointe 𝒒𝒑 =(𝜶 − 𝟏)𝜶𝒆(𝟏−𝜶)

𝚪(𝛂)𝜷(𝜶− 𝟏) [32]

Temps de montée 𝒕𝒑 = 𝜷(𝜶− 𝟏) [33]

24

Où :

- t : temps,

- Γ(α) : fonction Gamma

- α : paramètre de forme

- β : paramètre d'échelle

- q : débit unitaire adimensionnel

- 𝑡𝑝 : temps de montée

- 𝑞𝑝: débit de pointe adimensionnel.

2.6.2.5 Méthode réévalué du NRCS

Le NRCS a réévalué son ancienne procédure de définition de l’hydrogramme unitaire

adimensionnel (HUA) afin de pouvoir modifier la forme de l’hydrogramme adimensionnel

et de tenir compte de différents facteurs de débit de pointe (PRF). Le NRCS utilise la

fonction Gamma modifiée à deux paramètres pour modéliser les formes de l’hydrogramme,

en identifiant les relations entre le (PRF) et le paramètre α de la fonction Gamma (Fang,

2005).

La fdp Gamma représente assez bien la forme de l’hydrogramme unitaire adimensionnel

largement utilisé par le NRCS, lequel hydrogramme a été développé en utilisant des

techniques graphiques et non une équation mathématique. L'équation Gamma du NRCS a

la forme suivante (NRCS, 2007) :

Équation Gamma NRCS 𝑸𝑸𝑷

= 𝒆𝜶 ��𝒕𝒕𝒑�𝜶

� �𝒆�−𝜶� 𝒕𝒕𝒑

��� [34]

- QQP

: ratio du débit à un certain temps par rapport au débit de pointe de l'hydrogramme

- α : facteur de forme de l'équation Gamma

- 𝑡𝑡𝑝

: ratio entre les coordonnées de temps de la HUA et le temps de montée de la HUA

25

Le HUA habituel du NRCS peut être représenté par la fonction Gamma (équation [34]) a

un seul paramètre, α.Le paramètre α génère un HUA unique et donc un facteur unique de

débit de pointe PRF. Le NRCS calcule le PRF à partir des coordonnées HUA en utilisant

l’équation suivante :

Équation du NRCS 𝝓(𝜶) =𝑸𝒑𝒕𝒑𝑪𝒗 𝑨𝒂

=𝑷𝑹𝑭

𝟏𝟕𝟓.𝟏𝟏 [35]

Où :

- 𝑡𝑝 : temps de montée

- 𝑄𝑝: débit hydrogramme unitaire en ft3/s

- 𝜙(𝛼) : coefficient de forme de l’hydrogramme

- 𝐶𝑣 : 1,008 facteur de conversion d'unités

- 𝐴𝑎 : Aire de drainage en acres

- PRF : facteur de débit de pointe

- 645,33 : facteur de conversion des unités exigé pour un débit de 1 pouce sur 1 mile

carré dans 1 heure - unités de ((ft3/s)*h)/(mi2 *in)

L’équation Gamma peut être utilisée pour développer un HUA avec un facteur de débit de

pointe (PRF) désiré.

Le NRCS (2007) a trouvé une relation entre α et PRF pour un HUA développé à partir de la

fdp Gamma (équation [35]) (tableau 2).

Tableau 2. Relation entre α et PRF pour un HUA développé à partir de l’équation

[35].

Α 0,26 1 2 3 3,7 4 5

PRF 101 238 349 433 484 504 566

26

2.6.2.6 Fonction de densité de probabilité Gamma à trois paramètres

La fonction Gamma est une distribution appropriée pour modéliser le comportement de

variables aléatoires continues avec une asymétrie positive, c'est-à-dire des variables qui

présentent une plus grande densité d'événements à gauche de la moyenne qu'à la droite de

celle-ci. Dans son expression se trouvent trois paramètres, toujours positifs, (𝑡0), (α) et (β)

dont dépendent sa forme et sa portée à la droite, et la fonction Gamma (α), responsable de

la convergence de la distribution. La seule différence entre la fdp Gamma à trois paramètres

et celle à deux paramètres est que la distribution de la fdp à trois paramètres débute à 𝑡0

alors de celle à deux paramètres débute à 0. En pratique, la fonction de distribution Gamma

a été communément utilisée pour dériver l'hydrogramme unitaire.

La fonction de densité de probabilité de la distribution Gamma à trois paramètres est

représentée par l’équation [36] pour t > 𝑡0, α et β > 0. (Basak, 2011).

fdp Gamma à

trois paramètres 𝒇(𝒕;𝜶,𝜷, 𝒕𝟕) =

(𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏

𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒆�−(𝒕−𝒕𝟕)

𝜷 � [36]

Les fonctions du temps de montée 𝑡𝑝 et du débit de pointe 𝑞𝑝 sont représentées par les

équations [37] à [41] et leur développement mathématique est présenté dans les annexes 1

et 2 (Rai, 2009).

Temps de montée 𝒕𝒑 = (𝜶 − 𝟏) 𝜷 = (𝒕𝒎 − 𝒕𝟕) [37]

Débit de pointe 𝒒𝒑 =𝟏𝒕𝒑

(𝜶 − 𝟏)𝜶𝒆−(𝜶−𝟏)

𝜞(𝜶) = 𝝓(𝜶)

𝒕𝒑 [38]

Coefficient de forme 𝝓(𝜶) = (𝜶 − 𝟏)𝜶𝒆−(𝜶−𝟏)

𝜞(𝜶) [39]

27

Débit de pointe

𝒒𝒑 𝒕𝒑 = 𝝓(𝜶) [40]

𝒒𝒑 =(𝜶 − 𝟏)𝜶−𝟏𝒆(−𝜷(𝜶−𝟏))

𝜞(𝜶)𝜷𝟐−𝜶 [41]

Où,

- t : temps

- α : paramètre de forme

- β : paramètre d'échelle

- 𝑡0: paramètre de position, moment où débute le ruissellement

- 𝑡𝑚: temps au débit maximum

- 𝜙(𝛼) : coefficient de forme de l’hydrogramme

- Γ(𝛼): Fonction Gamma complète

Comme (𝑞𝑝) et (𝑡𝑝) peuvent être mesurés sur l’hydrogramme et 𝜙(𝛼) évalué directement,

(α) peut être déterminé par une méthode itérative après avoir déterminé 𝑞𝑝 et 𝑡𝑝. Cette

dernière expression est identique à celle déterminé par (Bhunya et al., 2003).

Plusieurs études ont permis de comparer différentes fonctions de distribution de probabilité

afin d'établir laquelle représentait le mieux l'hydrogramme observé. La fonction de

distribution Gamma a performé le mieux. Croley (1980), Singh (2000) et Bhunya et al.

(2003) ont utilisé une version simplifiée de la distribution Gamma à deux paramètres pour

dériver un hydrogramme unitaire synthétique avec davantage de précision que les méthodes

classiques de Snyder, SCS et Gray.

Rai et al. (2009) ont utilisé les distributions de probabilité Bêta, Exponentielle, Gamma,

Normale, Log-normale, Weibull, Logistique, Logistique généralisée et Pearson type III sur

13 bassins versants comportant différentes caractéristiques climatiques et

physiographiques. Ils ont obtenu la classification suivante représentant l'aptitude, en ordre

décroissant, des distributions utilisées: Gamma > Pearson Type 3 > Bêta > Logistique

généralisée > Log-normale > Weibull.

28

2.7 Les paramètres de la distribution Gamma

L’hydrogramme de ruissellement peut être représenté par la fonction de densité de

probabilité Gamma à trois paramètres (Équation [36]), où le paramètre de forme de la

distribution (α), situe l'intensité maximale de la probabilité. Les valeurs de (α) près de zéro

correspondent alors à une représentation graphique très similaire à la distribution

exponentielle. Pour les valeurs de (α) plus grandes, le centre de la distribution se déplace

vers la droite, s’apparentant à la forme d’une distribution de Gauss avec asymétrie positive.

Le paramètre (β) appelé paramètre d'échelle, détermine la portée de cette asymétrie

positive, déplaçant la densité de probabilité dans la queue de droite. Pour les valeurs

élevées de (β), la distribution a une plus forte densité de probabilité à l'extrémité droite de

la queue, allongeant ainsi beaucoup sa représentation et dispersant la probabilité tout au

long de l’axe. Après avoir dispersé la probabilité, la hauteur maximale de densité de

probabilité est déduite; ainsi des valeurs plus petites de (β) conduisent à une figure plus

symétrique et concentrée, avec un pic de densité de probabilité plus élevé.

Le paramètre de localisation (ou de position) (𝑡0) est un paramètre qui régit la position de la

fonction de densité de probabilité. En d'autres termes, lorsque la densité est tracée, le

paramètre de localisation détermine la position de l'origine : si (𝑡0) est positif, alors l'origine

est décalée à droite.

La fonction Gamma à trois paramètres permet de ne pas centrer le début de l’hydrogramme

à t=0, ce qui est particulièrement utile avec les données de débits qui sont bruitées. La

figure 8 permet d’apprécier l'évolution de la distribution Gamma lorsque les paramètres (α),

(β) et (𝑡0) varient. (A) montre comment se modifie la forme de l’hydrogramme lors de

l’augmentation des valeurs du paramètre (α); (B) renseigne sur la variation de l'échelle de

l'axe vertical à mesure que les valeurs du paramètre (β) augmentent; et (C) illustre comment

se déplace la position de l’origine (vers la droite) avec l’augmentation du paramètre (𝑡0)

(Chico, 2010).

29

(A)

(B)

(C)

Figure 8. Évolution de la distribution Gamma en fonction de la variation des

paramètres (α), (β) et (t0).

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0,2

0 10 20 30 40 50 60

q

t

β = 2, t0 =0

α = 2

α = 5

α = 10

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0,2

0 10 20 30 40 50 60

q

t

β = 2, α= 2

To= 0

To = 15

To = 30

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0 20 40 60

q

t

0

0,04

0,08

0,12

0,16

0,2

0 10 20 30 40 50 60

q

t

α = 2, t0 = 0

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0 10 20 30 40 50 60

q

t

30

2.8 Méthodes d'estimation des paramètres α, β et t0 dans une

distribution Gamma

Il existe plusieurs méthodes d'estimation ponctuelle qui permettent d'estimer les valeurs de

α, β et 𝑡0 pour une distribution Gamma selon différentes théories d’inférence statistique,

incluant la méthode des moments, la méthode des moments modifiée, la méthode du

maximum de vraisemblance, la méthode des moindres carrés, la méthode d’estimation

simple développée par Balakrishnan et Wang (2000). Les sections suivantes présentent les

différentes méthodes.

2.8.1 Méthode des moments

Cette méthode consiste à calculer les moments théoriques, puis à déterminer les paramètres

de la loi à partir des relations mathématiques qui lient les moments théoriques avec ces

paramètres. L'égalisation se justifie par la loi des grands nombres qui implique que l'on

peut « approcher » une espérance mathématique par une moyenne empirique (Chico, 2010).

Soit par exemple une loi 𝑓(𝑡,𝛼,𝛽, 𝑡0, … ) qu’on veut ajuster sur un échantillon. Les

moments théoriques dépendent des paramètres de cette loi, on écrit :

Moments

théoriques

𝝁𝟏 = �𝒕 𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕, … )𝒅𝒕 [42]

𝝁𝟐 = �(𝒕 − 𝝁)𝟐𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕, … )𝒅𝒕 [43]

𝝁𝒏 = �(𝒕 − 𝝁)𝒏𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕, … )𝒅𝒕 [44]

- 𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕, … ) est la fonction de densité de probabilité

- µn est le moment théorique d’ordre n

- t est la variable du temps

- (𝜶,𝜷, 𝒕𝟕) sont les paramètres de forme, d'échelle et de position de la fonction de

probabilité Gamma.

31

La moyenne (µ) est l’espérance mathématique d’une variable aléatoire, soit l’intégration du

produit de la variable par sa fonction de densité de probabilité :

Premier moment

Théorique

(𝝁) moyenne

𝝁 = 𝐄[𝒕𝟏] = �𝒕 𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕)𝒅𝒕 = 𝒕𝟕 + 𝛂𝛃 [45]

Où E[t] est le premier moment à partir de l’origine (point de référence à 0) de la variable

aléatoire, représentant ainsi une mesure de la tendance centrale de la distribution.

La variance σ2 est estimée par le deuxième moment autour de la moyenne et représente une

mesure de dispersion de la distribution :

Deuxième moment

théorique

(𝝈𝟐) variance

𝝈𝟐 = 𝐄[(𝒕 − 𝝁)𝟐] = 𝑬(𝒕𝟐) − 𝝁𝟐

[46]

𝝈𝟐 = �𝒕𝟐 𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕)𝒅𝒕 − 𝝁𝟐 = 𝜶𝜷𝟐 [47]

L’asymétrie d’une distribution (coefficient d’asymétrie) 𝛒 est décrite par le troisième

moment autour de la valeur moyenne :

Troisième moment

théorique (ρ)

coefficient

d’asymétrie

𝐄[(𝒕 − 𝝁)𝟏] = 𝑬(𝒕𝟏) − 𝟏𝝁 + 𝟐𝝁𝟏 [48]

𝐄(𝒕𝟏) = �𝒕𝟏𝒇(𝒕,𝜶,𝜷, 𝒕𝟕)𝒅𝒕 [49]

𝛒 =𝐄 [(𝒕 − 𝝁)𝟏]

𝝈𝟏 =

𝐄 [(𝒕 − 𝝁)𝟏](𝝈𝟐)𝟏 𝟐⁄ =

𝟐√𝜶

[50]

32

- E[t] est l'espérance mathématique, premier moment à partir de l’origine de la

variable

- t est la variable de temps

- f(t, α, β, t0) est la fonction de densité de probabilité

- (α, β, t0) sont les paramètres de forme, d'échelle et de position de la fonction de

probabilité Gamma

- µ est le premier moment théorique (la moyenne)

- σ2 est le deuxième moment théorique (la variance)

- ρ est le troisième moment théorique (coefficient d’asymétrie).

Lorsqu’il est requis de calculer n paramètres, les n premiers moments sont utilisés.

Toutefois, dans la réalité, l’ajustement d’une loi se fait sur une série d’observations finie

(tableau 3). Donc, les moments théoriques sont remplacés par des moments observés

(Basak, 2011) :

Moments observés 𝒒(𝒕) =𝑸(𝒕)𝑹

⇒ �𝒒(𝒕)𝒅𝒕 = 𝟏 𝒄𝒂𝒓 �

𝑸(𝒕)𝑹

𝒅𝒕 = 𝟏 [51]

- 𝑄(𝑡) = débit total

- R = hauteur de ruissellement

- 𝑞(𝑡) = débit unitaire

Premier moment

observé �̅� moyenne �̅� = 𝑬�(𝒕) = �𝒕 𝒒(𝒕)𝒅𝒕 [52]

Deuxième moment

observé 𝐬𝟐 variance 𝐬𝟐 = 𝑬�(𝒕𝟐) − �̅�𝟐 = �𝒕𝟐 𝒒(𝒕)𝒅𝒕 − 𝑬�𝟐(𝒕) [53]

33

Troisième moment

observé 𝓪�𝟏 coefficient

d’asymétrie

𝓪�𝟏 = 𝑬�(𝒕𝟏) − 𝟏𝑬�(𝒕) ∗ 𝑬�(𝒕𝟐) + 𝟐𝑬�𝟏(𝒕)

(𝑬�(𝒕𝟐) − 𝑬�𝟐(𝒕))𝟏 𝟐⁄ [54]

Comme les données sont discrètes, l’intégration se fait sous forme numérique.

Intégration

numérique

𝑬�(𝒕) = �𝒕𝒊 𝒒(𝒕𝒊) 𝚫𝒕 [55]

𝑬�(𝒕𝟐) = �𝒕𝒊𝟐 𝒒(𝒕𝒊) 𝚫𝒕 [56]

𝑬�(𝒕𝟏) = �𝒕𝒊𝟏 𝒒(𝒕𝒊) 𝚫𝒕 [57]

La solution s’effectue en égalisant les moments théoriques aux moments observés.

Tableau 3. Moments observés et théoriques d’une distribution Gamma à trois

paramètres.

Moments Moments observés Moments théoriques

m1 (moyenne) �̅� = 𝑬�(𝒕) = �𝒕𝒊 𝒒(𝒕𝒊) 𝚫𝒕 𝝁 = 𝐭𝟕 + 𝛂𝛃

m2 (variance) 𝐬𝟐 = 𝑬�(𝒕𝟐) − �̅�𝟐 𝝈𝟐 = 𝜶𝜷𝟐

m3 (coefficient

d’asymétrie) 𝓪�𝟏 =

𝑬�(𝒕𝟏) − 𝟏𝑬�(𝒕) ∗ 𝑬�(𝒕𝟐) + 𝟐𝑬�𝟏(𝒕)(𝑬�(𝒕𝟐) − 𝑬�𝟐(𝒕))𝟏 𝟐⁄ 𝝆 = 𝟐 √𝜶⁄

34

En égalisant les troisièmes moments (coefficients d’asymétrie observé et théorique) 𝒶�3 =

𝜌, nous obtenons la valeur de 𝛼 :

𝜶 = �𝟐𝓪�𝟏�𝟐

= 𝟕𝓪�𝟏

𝟐 [58]

En égalisant les deuxièmes moments (variances observé et théorique) 𝑠2 = 𝜎2 et en

remplaçant la valeur de 𝛼 (Équation [31]) nous obtenons la valeur de 𝛽 :

𝜶𝜷𝟐 = 𝒔𝟐 [59]

𝜷𝟐 =𝒔𝜶

𝟐= 𝒔𝟐 ∗

𝓪�𝟏𝟐

𝟕 [60]

𝜷 = �𝒔𝟐 ∗ 𝓪�𝟏𝟐

[61]

Et finalement, la valeur de t0 (Équation [64]) est obtenue après avoir égalé les premiers

moments (moyennes observé et théorique 𝑡̅ = 𝜇) et en remplaçant les valeurs obtenues de

𝛼 et 𝛽 :

𝒕𝟕 + 𝜶𝜷 = �̅� [62]

𝒕𝟕 = �̅� − 𝜶𝜷 = �̅� −

𝟕𝓪�𝟏

𝟐 ∗ �𝒔𝟐 ∗ 𝓪�𝟏𝟐

[63]

𝒕𝟕 = �̅� − 𝟐√𝒔𝟐

𝓪�𝟏 [64]

35

2.8.2 Méthode du maximum de vraisemblance

La vraisemblance d’un échantillon est définie comme la probabilité de l’observer et

correspond au produit des densités de probabilité des différentes valeurs. La méthode du

maximum de vraisemblance est basée sur la fonction de vraisemblance qui est maximisée

afin d’obtenir les estimateurs souhaités. Les estimations ainsi obtenues seront les valeurs

les plus vraisemblables pour les paramètres en fonction des données observées.

Le système d'équations suivant est proposé afin d'obtenir des estimateurs du maximum de

vraisemblance dans une distribution Gamma à trois paramètres :

Dérivée par rapport à 𝜶 𝝏𝝏𝜶

𝑳𝒏 (𝑳) = 𝟕 [65]

Dérivée par rapport à β 𝝏𝝏𝜷

𝑳𝒏 (𝑳) = 𝟕 [66]

Dérivée par rapport à 𝒕𝟕 𝝏𝝏𝒕𝟕

𝑳𝒏 (𝑳) = 𝟕 [67]

Où (L) est la fonction de vraisemblance correspondant à l'échantillon donné et aux

paramètres à estimer. La fonction de vraisemblance est :

(L) Fonction de

vraisemblance 𝑳�𝒕𝟏 ,𝒕𝟐 , … , 𝒕𝒏 ;𝜶,𝜷, 𝒕𝟕� = �𝒇(

𝒏

𝒊=𝟏

𝒕𝒊 ;𝜶,𝜷, 𝒕𝟕) [68]

Par conséquent, la fonction de vraisemblance pour un échantillon et pour les paramètres

d’une distribution Gamma sera :

𝑳�𝒕𝟏 ,𝒕𝟐 , … , 𝒕𝒏 ;𝜶,𝜷, 𝒕𝟕� = 𝜷−𝒏𝜶�𝚪(𝜶)�−𝒏

.�(𝒕𝒊 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏.𝒏

𝒊=𝟏

𝒆−𝟏𝜷 ∑ (𝒕𝒊𝒏

𝒊=𝟏 −𝒕𝟕) [69]

36

Il est souvent plus simple de maximiser le logarithme naturel de la fonction de

vraisemblance que la vraisemblance elle-même. L’une ou l'autre méthode conduit au même

maximum car la fonction logarithmique est une fonction monotone croissante.

La maximisation de la fonction est équivalente à maximiser son logarithme (Tzavelas,

2009):

𝑳𝒏 (𝑳) = (𝜶 − 𝟏)�𝒍𝒏 (𝒕𝒊 − 𝒕𝟕) − 𝒏 𝜶 𝒍𝒏 𝜷− 𝒏 𝒍𝒏 𝚪(𝜶) − 𝟏𝜷

� (𝒕𝒊 − 𝒕𝟕) 𝒏

𝒊=𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

[70]

En dérivant l’expression précédente par rapport à 𝛼, 𝛽 et 𝑡0 et en les égalant à zéro, on

obtient :

𝝏𝝏𝜶

𝑳𝒏 (𝑳) = 𝟕 → �𝒍𝒏 (𝒕𝒊 − 𝒕𝟕) − 𝒏 𝒍𝒏 𝜷− 𝒏

𝚪′(𝜶)𝚪(𝜶) = 𝟕

𝒏

𝒊=𝟏

[71]

𝝏𝝏𝜷

𝑳𝒏 (𝑳) = 𝟕 → �(𝒕𝒊 − 𝒕𝟕)

𝒏

𝒊=𝟏

− 𝒏𝜶𝜷 = 𝟕 [72]

𝝏𝝏𝒕𝟕

𝑳𝒏 (𝑳) = 𝟕 → 𝒏{𝜷(𝜶− 𝟏)}−𝟏 −�(𝒕𝒊 − 𝒕𝟕)−𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟕 [73]

La résolution de ce système d'équations permet d’évaluer les estimateurs des paramètres

d'intérêt. Ce système est valide pour des valeurs de 𝜶 >1 et il ne peut pas être résolu

analytiquement. Il est nécessaire pour cela d'utiliser une méthode numérique, comme par

exemple, la méthode de Newton-Raphson (Cohen, 1986). Lorsque α < 1, la fonction de

vraisemblance devient infinie et il n’y a pas de solutions possibles pour le système

d’équations (Basak, 2011).

37

Johnson et Kotz (1970), Cohen (1986) et (Balakrishnan, 2000) soulignent la difficulté de

cette méthode lorsque le paramètre de forme α est près de 1 et ils recommandent

l'utilisation de la méthode du maximum de vraisemblance pour des valeurs de α > 2,5.

2.8.3 Méthode des moments modifiés

Cohen et Whitten (1982, 1986) ont proposé des estimateurs de moment modifiés qui sont

plus simples que les estimateurs du maximum de vraisemblance et qui ne montrent aucun

problème de convergence lorsque le paramètre de forme est petit (Balakrishnan, 2000).

La méthode des moments modifiée est basé sur les mêmes principes que la méthode des

moments mais, le troisième moment est remplacé par E[F(x1)] = f(x1) où F(.) est la fonction

de distribution cumulative, X1 est la statistique de premier ordre (pour une variable

aléatoire) et xi est sa valeur observé, tandis que E( ) désigne la valeur attendue.

Pour E[F(x1)] = 1 / (n + 1), les estimateurs des moments modifiées « MME » s’écrivent :

Premier moment 𝝁� = 𝒕𝟕� + 𝜶�𝜷� = �̅� [74]

Deuxième moment 𝜶�𝟐 = 𝜶�𝜷�𝟐 = 𝒔𝟐 [75]

Troisième moment 𝑭(𝒙𝟏) = 𝟏/(𝒏 + 𝟏) [76]

En standardisant la fdp Gamma (équation [36]) avec la transformation 𝑧 = (𝑥 − 𝜇)/𝛼, nous

obtenons :

Fdp transformé 𝑔(𝑧, 0,1,𝜌3) =(2 𝜌3⁄ )4 𝜌32⁄

Γ(4 𝜌32⁄ ) (𝑧 + 2 𝜌3)⁄ �4 𝜌32⁄ �−1 𝑒�−2𝜌3

(𝑧+2 𝜌3⁄ )� [77]

38

(−2 𝜌3)⁄ < 𝑧, zéro ailleurs, et la fonction de distribution standardisé devient :

Nouveau fdp standardisé 𝑮(𝒛;𝟕,𝟏,𝝆𝟏) = � 𝒈(𝒕;𝟕,𝟏,𝝆𝟏)𝒅𝒕𝒛

−𝟐 𝝆𝟏⁄ [78]

Avec �̂� = �̅� et 𝛼�2 = 𝑠2. On écrit (𝑥1 − �̅�)/𝑠, et puisque 𝐹(𝑥1) = 𝐺(𝑧1), les estimateurs de

(α, β et 𝑡0) deviennent :

𝒈(𝒛,𝟕,𝟏,𝝆�𝟏 ) = 𝟏/(𝒏 + 𝟏) [79]

𝜶� = 𝟕 𝝆�𝟏𝟐⁄ [80]

𝜷� = 𝒔 𝝆�𝟏/𝟐, [81]

𝒕𝟕� = �̅� − 𝟐𝒔 𝝆�𝟏⁄ [82]

Les estimations de 𝛽,� 𝑡0� et 𝛼� sont dérivées des équations [80] à [82] avec �̂� = �̅� et 𝛼�2 = 𝑠2

2.8.4 Méthode de qp tp

La méthode de 𝑞𝑝 𝑡𝑝 est basés sur la relation existante entre le coefficient de forma 𝜙(𝛼), le

débit de pointe 𝑞𝑝 et le temps de montée 𝑡𝑝 (équation [83]). Comme 𝑞𝑝 et 𝑡𝑝 peuvent être

mesurés directement sur l’hydrogramme, 𝛼 peut être déterminé par une méthode itérative

après la détermination de 𝜙(𝛼). Cette dernière expression est identique à celle déterminé par

(Bhunya et al., 2003).

Coefficient de forme 𝝓(𝜶) = 𝒒𝒑 𝒕𝒑 = (𝜶 − 𝟏)𝜶𝒆−(𝜶−𝟏)

𝜞(𝜶) [83]

39

Temps de montée 𝒕𝒑 = 𝜶 𝜷 [84]

Où,

- 𝜙(𝛼) = coefficient de forme de l’hydrogramme

- Γ(𝛼) = fonction Gamma complète

- 𝑡𝑝 = temps de montée

- 𝑞𝑝 = débit de pointe adimensionnel

- α = paramètre de forme

- β = paramètre d'échelle

- 𝑡0 = paramètre de position, moment au débute le ruissellement

La valeur de β peut être obtenue de l'équation [84] une fois la valeur de α établie.

2.8.5 Méthode des moindres carrés régression non linéaire

La méthode de régression linéaire minimisant la somme des résidus au carré peut être

utilisée pour estimer les paramètres d’une fonction lorsque les valeurs numériques

représentant la fonction sont connues. Les couples (𝑞(𝑡𝑖), 𝑡𝑖) sont la représentation de la

fonction numérisée, et la fdp représente la fonction à caler.

C'est à Legendre en 1806 que l'on doit la première étude théorique de la méthode des

moindres carrés à l'occasion de l'examen de la trajectoire des comètes. La fonction à ajuster

était alors une parabole. La méthode permet de comparer des données expérimentales,

généralement entachées d’erreurs de mesure, à un modèle mathématique censé décrire ces

données.

Connaissant les positions de n points (𝑥𝑖,𝑦𝑖), i = 1... n dans le plan, on s’intéresse à

déterminer la droite d’équation 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑚 ∙ 𝑥 qui passe «le mieux possible» par ces

points. Il s’agit alors de déterminer les valeurs des coefficients a et m qui correspondent à la

droite la plus appropriée, de telle sorte que la somme des carrés soit minimale:

40

𝑔(𝑎,𝑚) ∶= �(𝑓(𝑥𝑖) − 𝑦𝑖)2𝑛

𝑖=1

[85]

La somme des carrés des distances verticales entre les points et la droite doit être la plus

faible possible. C’est pour cette raison qu’elle est appelée méthode des moindres carrés.

Il est important de souligner que la fonction 𝑓𝑖(𝑥) peut être non linéaire. La linéarité fait

référence aux paramètres 𝑝𝑗. Le tableau 4 illustre quelques exemples de telles fonctions.

Tableau 4. Exemples de régressions linéaires ou non linéaires.

Type de fonctions Paramètres Régression Linéaire / non linéaire

y= a+mx a, m Linéaire

y=ax2 + bx + c a, b, c Linéaire

y=aecx a, c Non Linéaire

y=a sin(ωt +δ) a, ω, δ Non Linéaire

y=a cos(ωt) +b sin(ωt) a, b Linéaire

La méthode des moindres carrés peut aussi être utilisée pour déterminer les paramètres

𝛼,𝛽, 𝑡0 de la fdp Gamma à trois paramètres.

2.9 Qualité d’ajustement

De façon générale, la qualité d’ajustement d’un modèle se réfère à sa capacité à reproduire

les données. Dans le cas de la prédiction quantitative d’une variable Y, par exemple,

l’objectif est d’obtenir des valeurs prédites Y(p) qui s’ajustent le mieux possible aux valeurs

41

observées Y(o), pour i = 1. . , n, n étant le nombre d’observations. De même, dans l’optique

de la classification, les états prédits Y(p) doivent correspondre le plus souvent possible aux

vraies valeurs Y(o). Le taux d’erreur est dans ce cas un indicateur naturel de qualité

d’ajustement.

2.9.1 Erreur quadratique moyenne (EQM)

L'erreur quadratique moyenne (EQM) est définie par l'équation mathématique suivante :

Erreur quadratique

moyenne (EQM) 𝑬𝑸𝑴 = �

𝟏𝑪��𝒒(𝒐)𝒊 − 𝒒(𝒎)𝒊�

𝟐𝒏

𝒊=𝟏

[86]

- 𝑞(𝑜)𝑖 = nième valeur observée

- 𝑞(𝑚)𝑖 = nième valeur modelée

- N = nombre de points d'observation.

L'EQM est une mesure de l'erreur moyenne, pondérée par le carré de l'erreur. Elle permet

de répondre à la question, « quelle est la magnitude de l'erreur de la prévision », mais

n'indique pas la direction des erreurs. Parce qu'il s'agit d'une quantité au carré, l'EQM est

davantage influencée par les grandes erreurs que par les plus petites. Sa portée varie de 0 à

l'infini, un score de 0 étant un score parfait.

2.9.2 Coefficient d'efficacité de Nash-Sutcliffe (E)

Le Coefficient d'efficacité de Nash-Sutcliffe est utilisé pour évaluer la puissance prédictive des

modèles hydrologiques. Il est défini comme :

42

Coefficient d'efficacité de

Nash-Sutcliffe (E) 𝑬 = 𝟏 −

∑ �𝒒(𝒐)𝒕 − 𝒒(𝒎)𝒕�𝟐𝑻

𝒕=𝟏

∑ �𝒒(𝒐)𝒕 − 𝒒(𝒐)������𝟐𝑻

𝒕=𝟏

[87]

Où 𝑞(𝑜)𝑡 et 𝑞(𝑚)𝑡 sont les débits observé et modélisé au temps t, et 𝑞(𝑜)����� est la valeur moyenne

du débit observée.

Les efficacités de Nash-Sutcliffe peuvent s'étendre du -∞ à 1. Une efficacité de 1 (E = 1)

correspond à un accord parfait entre le débit modélisé et les données observées. Une efficacité

de 0 (E = 0) indique que les prévisions du modèle sont aussi précises que la moyenne des

données observées, tandis qu'une efficacité inférieure à zéro (-∞ < E < 0) se produit lorsque la

moyenne observée représente un meilleur estimateur que le modèle. Essentiellement, plus

l'efficacité du modèle est près de 1, meilleure elle est.

2.9.3 Coefficient de Détermination R2

Le coefficient de détermination (R²) est un indicateur qui permet de juger la qualité d’une

régression linéaire, simple ou multiple. À partir de valeurs comprises entre 0 et 1, il mesure

l’adéquation entre le modèle et les données observées. Certes, le R² a ses imperfections,

mais son utilité n’a d’égale que sa simplicité. Ses limites sont 0 ≤ R2 ≤ 1. Un R2 de 1

indique un ajustement parfait du modèle de régression et un R2 = 0 indique l’absence de

relation entre la variable dépendante et le régresseur.

Coefficient de

Détermination R2 𝑹𝟐 =

∑ ��𝒒(𝒐)𝒕 − 𝒒(𝒐)�������𝒒(𝒎)𝒕 − 𝒒(𝒎)��������𝑻𝒕

∑ ��𝒒(𝒐)𝒕 − 𝒒(𝒐)������𝟐�𝒒(𝒎)𝒕 − 𝒒(𝒎)�������

𝟐�𝟏/𝟐

𝑻𝒕

[88]

Où 𝑞(𝑜)𝑡et 𝑞(𝑚)𝑡 sont les débits observé et modélisés au temps t, et 𝑞(𝑜)����� est la valeur moyenne

du débit observé.

43

3 HYPOTHÈSE ET OBJECTIFS DE RECHERCHE

3.1 Hypothèse de recherche

L'hypothèse principale de ce projet est qu’une évaluation adéquate des différents

paramètres hydrologiques tels le temps de montée (tp), la hauteur de ruissellement (Hru) et

le coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α)) mesurés à partir d’observations

hydrométriques et météorologiques de petits bassins versants agricoles permettra de prédire

d’une façon valable les débits de crue (Qmax) et les volumes de ruissellement (Vr) adaptés

aux conditions agro-climatiques québécoises.

3.2 Objectifs de recherche

L’objectif principal de ce projet est de proposer et valider une méthode d'estimation des

débits de crue et des volumes de ruissellement adaptée aux conditions agro-climatiques

québécoises, à partir d’observations hydrométriques et météorologiques de petits bassins

versants agricoles.

Les objectifs spécifiques du projet sont les suivants :

Caractériser les réponses hydrologiques (hauteur de ruissellement, temps de montée

et coefficient de forme de l’hydrogramme) de bassins versants à vocation agricole

en fonction des hydrogrammes de ruissellement et des précipitations mesurées;

Identifier la meilleure méthode pour estimer les temps de montée, les volumes de ruissellement et les débits de crue.

45

4 MÉTHODOLOGIE

Le développement et la validation des modèles de prédiction hydrologique s’appuie, dans

un premier temps, sur une méthode semi-empirique mettant à profit les observations

hydrométriques de douze petits bassins versants répartis sur le territoire agricole québécois,

du Témiscouata jusqu’à l’ouest de la Montérégie. Dans un deuxième temps, les propriétés

propres à chacun des hydrogrammes, telles que la hauteur de ruissellement, les paramètres

de forme, le temps de montée ou les débits de pointe, ont été comparées aux diverses

méthodes de prédiction couramment utilisées en milieu de pratique ou dans la littérature.

4.1 Localisation des bassins versants à l’étude

Douze bassins versants instrumentés, situés dans diverses régions agricoles du Québec,

(figure 9) ont été retenus afin de faire l’analyse de leurs hydrogrammes de crue. Cette

sélection s’est appuyée sur les critères de taille (3 à 30 km²), d’occupation du sol (vocation

agricole) et de la disponibilité concordante des données de débits et de précipitations.

Conceptuellement, les douze bassins sont associés à deux classes physiographiques. Les

cinq bassins versants de la Montérégie ont un relief plat, une occupation du sol

presqu’exclusivement agricole et des systèmes culturaux dominés par les cultures

annuelles. Les sept autres bassins localisés en Estrie (2), en Beauce (4) et dans le Bas-Saint-

Laurent (1) sont associés à des paysages appalachiens, présentant un relief plus accentué

qu’en Montérégie. De façon générale, un plus grand pourcentage de la superficie des

bassins appalachiens est occupé par la forêt.

Le tableau 5 décrit les stations de jaugeage et météorologiques de chacun des bassins

versants à l’étude, ainsi que leur aire, leurs coordonnées géographiques et les périodes de

disponibilité des données.

46

Les banques de données hydrométriques et météorologiques mises à profit dans les

analyses hydrologiques des hydrogrammes de crue des douze bassins versants à l’étude

sont sommairement décrites aux tableaux 5 à 7. Dix de ces dispositifs et banques de

données hydrologiques ont été colligés par l’équipe de l’IRDA dans le cadre

d’accompagnements scientifiques d’actions concertées sur la qualité de l’eau en milieu

agricole (Michaud et al., 2009a, 2009b et 2012). Les observations des bassins versants du

ruisseau Turmel et du ruisseau Binet ont été gracieusement mises à la disposition de

l’équipe de projet par M. Jacques Gallichand (CART, 1998) professeur à l’Université

Laval.

Figure 9. Localisation des bassins versants utilisés dans l’analyse hydrologique des

crues.

47

Tableau 5. Bassins versants et configuration des bases de données utilisées.

# Bassin versant

Station jaugeage Aire (ha)

Localisation (degrés décimaux) Station

Météorologique

Données analysées

Latitude Longitude Début Fin Pas

(min) 1 Au Castor 1228 45,13 -73,05 Gagnon 01/09/22 06/06/20 15 2 Binet 483 46,42 -70,94 Binet 94/02/19 96/11/22 5

3 Esturgeon Branche 21 231 45,29 -73,64 Esturgeon 09/12/31 10/09/28 15 10/09/28 11/11/24 30

4 Ewing 2782 45,17 -73,09 Gagnon 01/11/02 06/06/20 15 5 Fourchette Amont 250 46,59 -71,08 St_Lambert 04/01/01 09/12/31 15 6 Fourchette Aval 192 46,63 -71,09 St_Lambert 04/01/01 06/12/31 15 7 Petite rivière Savane 1519 47,68 -69,01 Madawaska 09/10/29 11/09/28 15 8 Ruisseau Brook 618 45,16 -71,97 Tomifobia 10/06/16 11/10/03 15 9 Ruisseau Cass 714 45,07 -72,04 Tomifobia 10/06/16 11/10/03 15

10 Turmel 530 46,44 -70,91 Turmel 94/02/19 96/11/22 5 11 Walbridge Amont 631 45,19 -72,93 Gagnon 01/11/01 06/06/20 15 12 Walbridge Aval 794 45,19 -72,97 Gagnon 01/11/01 06/06/20 15

Tableau 6. Stations et bases de données hydrométriques.

# Station de jaugeage Localisation

(degrés décimaux) Données hydrométriques

Latitude Longitude Début Fin Pas (min) 1 Au Castor 45,11 -73,07 01/04/03 08/12/31 15 2 Binet 46,43 -70,94 94/02/19 96/11/22 5 3 Esturgeon Branche 21 45,28 -73,65 09/09/25 11/11/24 15 4 Ewing 45,13 -73,08 01/11/02 09/01/13 15 5 Fourchette Amont 46,60 -71,09 02/02/13 09/12/31 15 6 Fourchette Aval 46,63 -71,10 01/10/15 06/12/31 15 7 Petite rivière Savane 47,66 -68,98 09/11/03 11/09/28 15 8 Ruisseau Brook 45,17 -71,99 09/09/23 11/10/03 15 9 Ruisseau Cass 45,09 -72,06 09/09/22 11/10/03 15

10 Turmel 46,44 -70,90 94/02/19 96/11/22 5 11 Walbridge Amont 45,19 -72,94 01/11/01 06/11/05 15

12 Walbridge Aval 45,17 -72,98 01/11/01 02/02/04 30 02/02/04 06/11/02 15

48

Tableau 7. Stations et bases de données météorologiques.

# Station

météorologique

Localisation

(degrés décimaux) Données météo

Latitude Longitude Début Fin Pas (min)

1 Esturgeon 45,26 -73,7

09/12/31 10/08/11 15

10/08/22 10/09/28 5

10/09/28 11/12/31 30

2 Binet 46,42 -70,94 94/02/19 96/11/22 10

3 Gagnon 45,13 -73,06 01/09/22 06/06/20 15

4 Madawaska 47,65 -68,98 09/10/29 11/09/28 15

11/09/28 11/12/31 30

5 Lambert 46,61 -71,18 04/01/01 09/12/31 10

6 Tomifobia 45,09 -72,06 10/06/16 11/10/03 15

11/10/03 11/12/07 30

7 Turmel 46,44 -70,91 94/02/19 96/11/22 10

4.2 Analyses hydrologiques

Suivant la mise en forme des données hydrométriques et météorologiques pertinentes aux

douze bassins versants à l’étude, l’analyse hydrologique des crues a été réalisée à l’aide du

logiciel VisuHydro, développé spécifiquement dans le cadre du projet (Lagacé, 2012a).

Encodé en langage Python, le logiciel dispose d’une interface visuelle permettant le

marquage, la séparation et le calcul des propriétés individuelles des hydrogrammes.

VisuHydro permet d'une manière pratique la réalisation des tâches suivantes :

− Marquer le début et la fin de chacun des évènements qui ont produit un ruissellement

significatif;

− Classifier chacun des évènements en fonction du type d'hydrogramme (simple,

unitaire, multi pic, complexe ou non identifié), et du type de montée (régulier ou

irrégulier);

49

− Déterminer la hauteur de précipitation (𝑃𝑝𝑡), la durée de la précipitation et le débit

maximum (𝑞𝑚) de chaque évènement sélectionné;

− Séparer chaque hydrogramme en sa composante d'écoulement de base et

d'hydrogramme de ruissellement par la méthode de séparation linéaire à « pente

constante »;

− Déterminer à partir des hydrogrammes de ruissellement classés simples ou unitaires

avec montée régulière, les paramètres de temps de montée(𝑡𝑝), de débit de pointe(𝑞𝑝),

de temps de base(𝑡𝑏), ainsi que le coefficient de forme de l'hydrogramme (Φ𝛼) et la

hauteur de ruissellement (𝐻𝑟𝑢) ;

− Déterminer la hauteur de ruissellement (𝐻𝑟𝑢) pour tous les hydrogrammes;

− Réaliser des analyses statistiques (moyenne, écart type, minimum, maximum,

coefficient de variation) des paramètres hydrologiques générés par le logiciel pour

l’ensemble des hydrogrammes d’un bassin versant donné, incluant le coefficient

d'efficacité de Nash-Sutcliffe (E), l’erreur quadratique moyenne (EQM) et le

coefficient de détermination (R²) pour évaluer la puissance prédictive des modèles

hydrologiques.

Un hydrogramme a été classifié simple, si et uniquement si, sa forme est régulière, sa

montée est régulière et que la fin de la précipitation se produit avant le débit de pointe. Un

hydrogramme est classifié d'unitaire si la durée de la précipitation est inférieure à 25 % du

temps de montée.

4.3 Séparation des hydrogrammes

Le logiciel VisuHydro utilise la méthode de séparation linéaire à pente constante, discutée à

la section 2.5.1.1, pour effectuer les séparations du débit entre le ruissellement de surface

l’écoulement de base (figures 3, 4 et 5).

Dans VisuHydro, le début et la fin du ruissellement sont déterminés de façon visuelle et le

logiciel effectue automatiquement la séparation et les calculs.

50

4.4 Calculs des données

Suivant la séparation des hydrogrammes en leurs composantes d’écoulement de base et de

ruissellement, différents paramètres sont analysés statistiquement (moyenne, écart type,

coefficient de variation). Selon le type d’hydrogramme, les paramètres incluent :

− Hauteur de ruissellement (𝐻𝑟𝑢), temps de montée (𝑡𝑝), débit de pointe (𝑞𝑝), temps de

base (𝑡𝑏), et coefficient de forme de l'hydrogramme (Φ𝛼) pour les hydrogrammes de

ruissellement observés classées de type simple avec montée régulière;

− pour toutes les autres classifications des hydrogrammes sélectionnés, seule la hauteur

de ruissellement (𝐻𝑟𝑢) a été déterminée.

Les paramètres α, β et 𝑡0 de la fonction de densité de probabilité Gamma à trois paramètres

ont été estimés avec les méthodes des moments, 𝑞𝑝𝑡𝑝 et des moindre carrés LSQ_1tp et

LSQ_2tp par le logiciel VisuHydro. Pour la méthode

𝑞𝑝𝑡𝑝, les valeurs sont obtenues en utilisant les valeurs observés de 𝑞𝑝 et 𝑡𝑝 sur les

hydrogrammes (section 2.8.4). Pour la méthode LSQ_1tp, les valeurs sont obtenues en

lissant la fonction de probabilité Gamma par la méthode des moindres carrés du début du

ruissellement à 1 tp après le débit de pointe. Pour la méthode LSQ_2tp, quant à elle, les

valeurs sont obtenues en lissant la fonction de probabilité Gamma par la méthode des

moindres carrés du début du ruissellement à 2 tp après le débit de pointe.

4.5 Analyse des paramètres de l’hydrogramme

Les différents paramètres hydrologiques (𝑡𝑝,𝐻𝑟𝑢,Φ𝛼, 𝑞𝑝) estimés par VisuHydro à partir

des observations réelles (hydrogrammes) ont été comparés aux estimations des modèles

théoriques les plus couramment utilisés en milieu de pratique au Québec. Les sections

suivantes décrivent plus en détails les méthodes utilisées pour prédire les volumes de

ruissellement, les temps de montée ou de concentration, les paramètres de forme des

hydrogrammes et les débits de pointe.

51

4.5.1 Temps de montée

Dans cette étude le concept du temps de montée a été retenu car il est facilement observable

sur les hydrogrammes typiques et il est représentatif de la signature d'un bassin versant.

Dans cette étude, l'hypothèse que les temps de montée et de concentration convergent a

aussi été retenue. Il faut souligner que cette hypothèse est contestée par certains.

Comme les temps de montée (𝑡𝑝) et de concentration (𝑡𝑐) sont différents d'un bassin versant

à l'autre, les temps de montée (𝑡𝑝) observés ont été comparés par la méthode des ratios à

partir des temps de concentration (𝑡𝑐) obtenus par les méthodes classiques (Kirpich,

Bransby-William, Mockus avec CN de type II et de type III, SCS lag avec CN de type II et

de type III). La méthode « Aéroport », aussi utilisée en milieu de pratique, n'a pas été

utilisée dans le cadre de la présente étude, car elle requière en intrant le coefficient de

ruissellement qui est déterminé subjectivement. Les méthodes classiques nécessitent

certains paramètres topographiques des bassins versants (longueur, pente moyenne, CN

moyen, etc.).

Des analyses statistiques (détermination du nombre d'événements (N), moyenne (µ), écart

type (s), coefficient de variation (Cv) et coefficient de corrélation (R2)) ont aussi été

effectuées pour les temps de montée (𝑡𝑝) et les ratios (𝑡𝑐/𝑡𝑝) afin d’identifier les méthodes

qui prédisent le mieux le temps de montée avec la plus faible variance.

4.5.2 Coefficient de forme de l'hydrogramme (Φ(α))

La fonction de densité de probabilité Gamma à trois paramètres (équation [36]), telle que

présentée au cadre théorique de l’étude (section 2.6.2.6), a été retenue afin de caractériser

les paramètres des hydrogrammes et a été intégrée au logiciel d’analyse hydrologique

VisuHydro. Quatre méthodes ont été utilisées pour déterminer le coefficient de forme

(φ(α)) et les paramètres de la fonction de densité de probabilité Gamma, soit la méthode

directe ou 𝑞𝑝𝑡𝑝 (φ(α).= 𝑞𝑝𝑡𝑝), la méthode des moments et les méthodes des moindres

52

carrés LSQ_1tp et LSQ_2tp. Ces coefficients ont été déterminés pour les hydrogrammes de

type simple pour les douze bassins versants à l’étude.

Des analyses statistiques (détermination du nombre d'événements (N), moyenne (µ), écart

type (s), coefficient de variation (Cv) et coefficient de corrélation (R2)) pour le coefficient

de forme de l'hydrogramme (Φ(α)) ont été effectuées pour chacun des bassins versants. Une

analyse statistique ANOVA du coefficient de forme a aussi été effectuée pour détecter les

différences significatives potentielles entre les douze bassins versants.

4.5.3 Hauteurs de ruissellement

Les hauteurs de ruissellement (𝐻𝑟𝑢) et de précipitations (Ppt) déterminées pour chacun des

évènements à l’aide du logiciel VisuHydro ont été mises à profit dans l’étude de la relation

Hru-Ppt suivant une approche de régression s’inspirant de Monfet (1979) : 𝐻𝑟𝑢 = A + B*

Ppt. Cette approche est couramment utilisée en milieu de pratique au Québec dans le

dimensionnement des ouvrages hydrauliques en milieu rural. Dans le cadre de la présente

étude, l’analyse de la relation entre les hauteurs de ruissellement (𝐻𝑟𝑢) et les précipitations

observées (Ppt) pour l’ensemble des douze bassins versants à l’étude a été supportée par

une analyse de variance (ANOVA) de la hauteur de ruissellement (𝐻𝑟𝑢), en considérant

l’effet « Bassin », destinée à détecter les différences significatives entre les réponses

hydrologiques des douze bassins versants à l’étude. Les résultats ont aussi été comparés

aux méthodes de Monfet (1979) et du SCS.

4.5.4 Validation des débits de crue

Les débits annuels de crue (Qmax) observés, pour les récurrences de 2 et 5 ans ont été

comparés aux débits de crue prédits par l’équation suivante :

53

Débit de crue (Qmax) 𝐐𝐦𝐚𝐱 = 𝐇𝐫𝐮 ∗ 𝐀 ∗ 𝚽(𝛂)

𝟏𝟏𝟕 𝒕𝒑 [89]

Où :

- Qmax = débit de crue (m3/s);

- Hru = hauteur de ruissellement (mm)

- A = superficie du bassin versant (ha)

- 𝑡𝑝 = temps de montée du bassin versant (h)

- Φ(α) = coefficient de forme de l'hydrogramme

- 360 = facteur d'unité

La forme de l'équation précédente permet de représenter la très grande majorité des

méthodes d'estimation des débits de crue à l’exception de certains modèles de régression.

Les différences se trouvent au niveau du coefficient de forme (φ(α)), de la façon d'estimer

la hauteur de ruissellement (Ru) et du temps de montée ou de concentration. La méthode

rationnelle correspond à un coefficient de forme de 1, alors que la méthode de

l'hydrogramme triangulaire ou unitaire du SCS correspond à un coefficient de forme de

0,75. La méthode rationnelle s'accommode de différentes méthodes d'estimation du temps

de concentration et utilise une hauteur de ruissellement (Hru) proportionnelle à la

précipitation avec un coefficient de ruissellement. La méthode du SCS propose des

méthodes pour estimer la hauteur de ruissellement et le temps de concentration. Toutes ces

méthodes reposent sur l'hypothèse qu'une bonne estimation de la hauteur de ruissellement

et du temps de concentration produiront une bonne estimation du débit de crue.

Les prédictions des débits de crue font ainsi appel aux paramètres hydrologiques (𝐻𝑟𝑢, 𝑡𝑝,

Φ(α)) déterminés par les méthodes décrites précédemment. La validation repose sur

l'hypothèse que pour un bassin versant donné, la précipitation de récurrence associée à la

durée prédite du temps de montée d’un bassin versant, de même que la hauteur prédite de

ruissellement proposé sur la base des résultats de cette étude devraient permettre de prédire

le débit de pointe observé pour cette récurrence.

54

Pour cette validation, les bassins versants ayant plus de deux ans de données (huit bassins)

ont été retenus. Pour chaque bassin versant, les débits maximum observés (Qmax) de

ruissellement de chaque année ont été identifiés pour générer des séries annuelles. Pour

chaque série, les données ont été ordonnées, et les fréquences de dépassement, de même

que les récurrences ont été calculées. Par la suite, les débits maximum de deux et cinq ans

de récurrence ont été déterminés, en recourant au besoin à l’interpolation des débits

maximum pour des récurrences autres que 2 et 5 ans.

En support aux prédictions des débits de pointe, les courbes IDF des stations de Vallée-

Jonction (Fourchette, Binet et Turmel) et de Granby (Castor, Ewing et Walbridge) ont été

utilisées afin de générer les précipitations de récurrences de 2 et 5 ans pour les durées

prédites du temps de montée de chacun des bassins versants à l’étude.

De façon à mieux refléter les valeurs extrêmes de débits, les courbes enveloppes de la

hauteur de ruissellement ont été utilisées en remplacement des courbes moyennes dans le

modèle de prédiction de la hauteur de ruissellement

Les débits de crue prédits (Qmax prédits) ont été comparés par la méthode des ratios avec

les débits de crue observés (Qmax observés) et des analyses statistiques (détermination du

nombre d'événements (N), de la moyenne (µ), de l’écart type (s), du coefficient de variation

(Cv) et du coefficient de corrélation (R2)) ont également été effectuées avec les ratios

(Qmax predit Qmax observé)� afin d’identifier celles qui prédisent le mieux le débit de

crue avec variance la plus faible.

55

5 RÉSULTATS ET ANALYSE

Cette section traite successivement des résultats des analyses hydrologiques réalisées sur

les observations hydrométriques colligées aux exutoires des douze bassins versants à

l’étude de même que de la performance des différents modèles et approches retenus dans la

prédiction des hauteurs de ruissellement, des temps de montée, du paramètre de forme des

hydrogrammes et des débits de pointe.

5.1 Donnes analysées

L’analyse de plus de 784 hydrogrammes distincts a été supportée par le logiciel VisuHydro

développé spécifiquement pour les besoins du projet (Lagacé, 2012b). Le tableau 8 présente

un résumé du nombre d'hydrogrammes analysés selon leur type ainsi que la quantité

d'années de données analysées pour chacun des bassins versants à l’étude.

Tableau 8. Nombre d’hydrogrammes analysés par type d’hydrogramme.

Bassin versant Années

analysées

Type d’hydrogramme Total par

bassin Simple

R Simple

NR Unitaire Complexe Multi-pics Problème

Au Castor 4,7 31 10 35 26 6 108 Binet 2,8 36 0 11 8 4 59 Esturgeon Branche 21 1,9 18 0 13 13 1 45 Ewing 4,6 31 3 35 12 12 93 Fourchette Amont 6,0 32 3 37 24 2 98 Fourchette Aval 3,0 15 0 1 18 15 4 53 Petite rivière Savane 1,9 4 0 8 9 5 26 Ruisseau Brook 1,3 11 0 13 12 5 41 Ruisseau Cass 1,3 8 0 13 6 5 32 Turmel 2,8 27 1 14 5 5 52 Walbridge Amont 4,6 23 2 39 26 6 96 Walbridge Aval 4,6 19 1 31 22 8 81

Total 39,6 255 20 1 267 178 63 784

Simple R : type d’hydrogramme simple avec montée régulière

Simple NR : type d’hydrogramme simple avec montée non-régulière

56

Près de 39,6 années de données de débits et de précipitations ont été utilisées pour les

analyses hydrologiques, avec 1,3 années de données pour les bassins versants des ruisseaux

Brook et Cass et jusqu’à 6 années de données pour le bassin versant Fourchette Amont.

Un total 256 hydrogrammes (255 classifiés de type simple avec une montée régulière et 1

hydrogramme classifiée de type unitaire) ont été utilisés dans l'analyse des temps de montée

�𝑡𝑝� et du coefficient de forme de l’hydrogramme (Φ(α)). Un total 721 hydrogrammes

classifiés de types simple (275), unitaire (1), complexe (267) et multi-pics (178) avec des

montées régulière et non-régulières ont été utilisés dans l’estimation des hauteurs de

ruissellement (𝐻𝑟𝑢).

Les hydrogrammes en période de fonte des neiges ou ayant des périodes de temps sans

données de précipitations ou de débits, ainsi que les hydrogrammes avec un coefficient de

ruissellement supérieur à 1 (liés à la fonte des neiges) ont été classés comme ayant un

problème (63 hydrogrammes de type à problème au total), et n'ont pas été utilisés pour les

analyses hydrologiques.

5.2 Estimation de temps montée (tp)

L’étude des temps de montée (observés) et des temps de concentration (modélisés) s’est

appuyée sur l’analyse hydrologique de 256 hydrogrammes classifiés de types simple ou

unitaire avec une montée régulière, lesquels ont été colligés aux exutoires des douze bassins

versants à l’étude.

Le tableau 9 présente un sommaire des résultats des temps de montée observés, déduits

directement des hydrogrammes, de même que les valeurs calculées utilisant la fonction de

probabilité Gamma avec les méthodes des moments et des moindres carrés. Ces résultats

ont été obtenus à l’aide du logiciel VisuHydro.

Les valeurs moyennes des temps de montée observés varient de 2,81 heures à 10,32 heures

avec un coefficient de variation (Cv) variant de 0,21 à 0,68 (moyenne de 0,45). Compte

tenu que le temps de montée peut être influencé par de nombreux facteurs, un coefficient de

57

variation de l'ordre de 50% est jugé acceptable. Il est par ailleurs observé que le calcul des

temps de montée par la méthode des moments est généralement peu valide, produisant des

valeurs de plus du double par rapport aux valeurs observées. La méthode des moindres

carrés (LSQ) produit en moyenne des valeurs 2,5 % supérieures aux temps de montée

observés. Pour les besoins de cette étude, les observations directes des temps de montée

observés ont été retenues en support aux calculs de prédiction hydrologique abordés

subséquemment.

Tableau 9. Sommaire des temps de montée tp (h).

# Bassin versant N

𝒕𝒑 (h) - Méthodes d'estimation des paramètres

Observé Moments LSQ_1_tp LSQ_2_tp

µ σ Cv E µ σ Cv E µ σ Cv E µ σ Cv E

1 Au Castor 31 6,54 2,45 0,38 0,94 14,13 10,71 0,76 0,95 6,26 3,68 0,59 0,99 6,18 4,07 0,66 0,99

2 Binet 36 6,41 4,09 0,64 0,89 11,79 10,94 0,93 0,94 5,73 5,28 0,92 0,98 5,57 5,01 0,90 0,98

3 Esturgeon Branche 21 18 6,49 3,06 0,47 0,96 17,52 14,17 0,81 0,94 8,35 10,03 1,20 0,99 8,23 9,86 1,20 0,99

4 Ewing 31 9,53 4,52 0,47 0,95 20,29 14,99 0,74 0,97 10,24 6,80 0,66 0,99 10,01 6,37 0,64 0,99

5 Fourchette Amont 32 5,20 2,51 0,48 0,91 10,02 5,82 0,58 0,94 4,79 4,11 0,86 0,98 4,72 4,21 0,89 0,98

6 Fourchette Aval 16 2,81 1,48 0,53 0,90 6,95 6,53 0,94 0,94 2,81 1,95 0,69 0,98 2,76 2,02 0,73 0,98

7 Petite rivière Savane 4 7,93 5,35 0,68 0,93 15,94 10,53 0,66 0,91 8,17 5,49 0,67 0,98 7,85 5,23 0,67 0,98

8 Ruisseau Brook 11 4,64 2,39 0,52 0,92 11,31 5,50 0,49 0,91 4,27 2,58 0,61 0,98 4,23 2,47 0,58 0,98

9 Ruisseau Cass 8 9,19 1,90 0,21 0,95 28,81 9,43 0,33 0,96 12,54 4,39 0,35 0,98 12,55 4,27 0,34 0,98

10 Turmel 27 3,93 1,95 0,50 0,92 9,71 7,68 0,79 0,91 3,56 2,37 0,66 0,98 3,49 2,40 0,69 0,98

11 Walbridge Amont 23 7,04 2,13 0,30 0,94 14,51 6,84 0,47 0,96 6,92 3,62 0,52 0,99 6,73 3,47 0,52 0,99

12 Walbridge Aval 19 10,32 2,90 0,28 0,94 17,61 4,41 0,25 0,96 9,19 2,12 0,23 0,99 8,93 2,12 0,24 0,99

Moyenne 6,67 2,90 0,45 0,93 14,88 8,96 0,65 0,94 6,90 4,37 0,66 0,98 6,77 4,29 0,67 0,99

Valeur minimum 2,81 1,48 0,21 0,89 6,95 4,41 0,25 0,91 2,81 1,95 0,23 0,98 2,76 2,02 0,24 0,98

Valeur maximum 10,32 5,35 0,68 0,96 28,81 14,99 0,94 0,97 12,54 10,03 1,20 0,99 12,55 9,86 1,20 0,99

N = nombre d'événements

µ = moyenne

σ = écart type

Cv = coefficient de variation

E = coefficient d'efficacité de Nash-Sutcliffe

Moment : valeurs obtenues par la méthode des moments pour la fdp Gamma à trois paramètres

LSQ_1tp et LSQ_2tp: valeurs obtenues en lissant la fdp Gamma à trois paramètres par la méthode

des moindres carrés, du début du ruissellement à 1 (𝑡𝑝) et à 2 (𝑡𝑝) après le débit de pointe

respectivement.

58

La validation des méthodes prédictives des réponses hydrologiques dans le cadre de la

présente étude a nécessité la caractérisation spatiale de plusieurs propriétés des bassins

versants, incluant la division et la caractérisation des segments de cours d’eau en fonction

des confluences, du relief, du parcours d’écoulement, et des nœuds d’entrée et de sortie du

chevelu hydrographique. L’intersection spatiale des polygones représentatifs de l’utilisation

du sol et des groupes hydrologiques de sols ont permis la division du territoire des bassins

versants en unités de réponses hydrologiques (URH) distinctes. Un numéro de courbe (CN)

a par la suite été attribué à chacune des URH en fonction de la série de sol et de son

utilisation, témoignant conceptuellement de leur capacité d’infiltration de l’eau dans le sol.

Ce concept permet de lier les propriétés des bassins versants à leurs réponses

hydrologiques, notamment lors de la modélisation des temps de montée des hydrogrammes

ou des hauteurs de ruissellement.

La génération des données géospatiales pour l’ensemble des douze bassins versants a été

réalisée par l'institut de recherche et de développement en agroenvironnement IRDA à

l’aide d’un système d’information géographique (SIG) lequel a permis de définir les

différents tronçons (longueur, pente et tronçon receveur) du réseau d'écoulement, tel que

présenté aux annexes 3 à 14. Ces définitions permettent de calculer la longueur

d'écoulement et la pente moyenne de l'écoulement selon trois méthodes (pente simple, 85-

10 et hydraulique). Ces paramètres sont nécessaires lors du calcul du temps de montée ou

de concentration. Une moyenne pondérée des valeurs de CN en fonction des superficies des

URH a été calculée afin d’identifier un numéro de courbe moyen par bassin versant.

Aux fins de cette étude, les valeurs des paramètres de longueur d'écoulement (L) et de

pente d'écoulement (S) qui ont produit les plus grandes valeurs de temps de concentration

(𝑡𝐶) pour les différentes méthodes évaluées (Kirpich, Mockus, SCS-lag et Bransby-

Williams) ont été retenues, lesquelles ont généralement été obtenues par la méthode 85-10.

Pour chacun des bassins versants à l’étude, le tableau 10 présente les différents paramètres

requis: aire (A), longueur d'écoulement (L), pente moyenne (S), numéro de courbe (CN)

moyens de types II et III ainsi que les temps de concentration (𝑡𝑐) obtenus à partir des

diverses méthodes retenues dans l’étude, soit Kirpich, Mockus, SCS-lag et Bransby-

Williams. Les temps de montée observés sont aussi présentés.

59

Tableau 10. Sommaire de l’estimation des temps de concentration Tc (h).

# Bassin N Tp.Obs

(h) CN_2 CN_3 Aire (ha) L (m)

Pente (m/m)

Tc estimés (h)

BW Kirp Lag2 Lag3 Moc2 Moc3

1 Au Castor 31 6,54 78 90 1228 7418 0,0013 5,20 4,01 20,07 13,25 15,58 5,79

2 Binet 36 6,41 73 87 483 1892 0,0046 1,13 0,86 4,13 2,65 3,92 1,36

3 Esturgeon Branche 21 18 6,49 82 92 231 3977 0,0012 3,35 2,56 11,20 7,69 7,31 2,99

4 Ewing 31 9,53 78 90 278*2 12957 0,0014 8,25 5,99 30,22 19,95 23,46 8,71

5 Fourchette Amont 32 5,20 73 87 250 3973 0,0052 2,48 1,45 7,04 4,52 6,68 2,32

6 Fourchette Aval 16 2,81 56 75 192 2241 0,0066 1,37 0,85 6,16 3,73 10,81 3,28

7 Petite rivière Savane 4 7,93 76 89 1519 8133 0,0162 3,37 1,63 6,49 4,27 5,47 2,02

8 Ruisseau Brook 11 4,64 65 82 714 4328 0,0139 2,00 1,06 5,71 3,52 7,30 2,30

9 Ruisseau Cass 8 9,19 63 80 618 5072 0,0187 2,24 1,07 5,89 3,63 8,08 2,54

10 Turmel 27 3,93 73 87 530 3952 0,0203 1,74 0,86 3,55 2,28 3,37 1,17

11 Walbridge_ Amont 23 7,04 77 89 631 3361 0,0037 2,04 1,46 6,51 4,34 5,26 2,00

12 Walbridge Aval 19 10,32 79 90 794 6504 0,0026 4,15 2,78 12,39 8,43 9,22 3,68

Moyenne 6,67 73 87 831 5317 0,0080 3,11 2,05 9,95 6,52 8,87 3,18

Valeur minimum 2,81 56 75 192 1892 0,0012 1,13 0,85 3,55 2,28 3,37 1,17

Valeur maximum 10,32 82 92 2782 12957 0,0203 8,25 5,99 30,22 19,95 23,46 8,71

N = nombre d'événements

µ = moyenne

σ = écart type

Cv = coefficient de variation

L = longueur d’écoulement

CN_2 et CN_3 = numéro de courbe de types II et III

BW = méthode de Bransby-Williams

Kirp = méthode de Kirpich

Lag2 et Lag3 = méthode SCS Lag avec CN de types II et III

Moc2 et Moc3 = méthode de Mockus avec CN de types II et III

Puisque les temps de montée et de concentration sont différents d'un bassin versant à

l'autre, le tableau 11 présente le ratio 𝑡𝑐/𝑡𝑝 pour les différentes méthodes et chacun des

bassins versants. Un ratio se rapprochant de 1 signifie une bonne prédiction.

60

Tableau 11. Sommaire des ratios entre les temps de montée observés et les temps de

concentration estimés.

# Bassin versant Ratio 𝒕𝒄/𝒕𝒑

BW Kirp Lag2 Lag3 Moc2 Moc3

1 Au Castor 0,80 0,61 3,07 2,03 2,38 0,88

2 Binet 0,18 0,13 0,65 0,41 0,61 0,21

3 Esturgeon Branche 21 0,52 0,39 1,72 1,18 1,13 0,46

4 Ewing 0,87 0,63 3,17 2,09 2,46 0,91

5 Fourchette Amont 0,48 0,28 1,35 0,87 1,28 0,45

6 Fourchette Aval 0,49 0,30 2,19 1,33 3,84 1,16

7 Petite rivière Savane 0,43 0,21 0,82 0,54 0,69 0,25

8 Ruisseau Brook 0,43 0,23 1,23 0,76 1,57 0,50

9 Ruisseau Cass 0,24 0,12 0,64 0,39 0,88 0,28

10 Turmel 0,44 0,22 0,90 0,58 0,86 0,30

11 Walbridge Amont 0,29 0,21 0,92 0,62 0,75 0,28

12 Walbridge Aval 0,40 0,27 1,20 0,82 0,89 0,36

Moyenne 0,46 0,30 1,49 0,97 1,45 0,50

Écart type 0,20 0,17 0,88 0,58 0,98 0,31

Valeur maximum 0,87 0,63 3,17 2,09 3,84 1,16

Valeur minimum 0,18 0,12 0,64 0,39 0,61 0,21

Coefficient de variation 0,43 0,56 0,59 0,60 0,68 0,62

Coefficient de détermination R2 0,35 0,29 0,23 0,25 0,12 0,17

BW = méthode de Bransby-Williams

Kirp = méthode de Kirpich

Lag2 et Lag3 = méthode SCS Lag avec CN de types II et III

Moc2 et Moc3 = méthode de Mockus avec CN de types II et III

La méthode de SCS–Lag avec un CN de type III présente en moyenne le ratio le plus près

de l’unité (0,97), mais montre un très faible coefficient de détermination (R2 = 0,25). La

méthode de Bransby-Williams présente le meilleur coefficient de détermination (R2 = 0,35),

mais un ratio moyen de 0,46. Il faudrait donc multiplier le résultat de Bransby-Williams par

2,2 pour obtenir une bonne estimation du temps de montée. Globalement, aucune des

61

méthodes de détermination du temps de concentration étudiées ne permet d'estimer

correctement le temps de montée. Les corrélations (R2) entre les temps de montée observés

et les temps de concentration prédits par les différentes méthodes demeurent relativement

faibles. Les méthodes de Mockus et SCS Lag qui incluent un facteur d'utilisation du sol

(CN) offrent une performance en deçà des méthodes plus simples comme Kirpich et

Bransby-Williams. Il faut signaler que les calculs ont été effectués avec données

géospatiales et qu'aucun relevé sur le terrain n'a été effectué en ce qui concerne les

longueurs d'écoulement et des pentes. Les résultats sont donc fonction de la précision des

données geospatiales disponibles.

Devant ce constat, une approche de régression a été retenue dans la recherche d’une

méthode alternative de prédiction du temps de montée sur la base des descripteurs

physiques des bassins versants à l’étude. Le tableau 12 présente la matrice de corrélation de

Pearson établie entre les temps de montée observés et les différents paramètres

généralement considérés (longueur d'écoulement (L), numéro de courbe (CN), pente (S) et

aire du bassin versant (A)). Les paramètres de longueur d'écoulement, d’aire et les CN

démontrent une bonne corrélation avec le temps de montée. Ces paramètres montrent une

corrélation variant de 0,62 (longueur) à -0,28 (pente). Les CN de types II et III sont

fortement corrélés entre eux. Les CN de type II ont été retenus de préférence aux CN de

type III.

Tableau 12. Matrice des coefficients de corrélation des temps de montée (tp) observés

avec les paramètres descriptifs des bassins versants.

Corrélations 𝐭𝐩 obs L A CN_2 CN_3 S 𝒕𝒑 obs 1 L 0,620 1 A 0,577 0,932 1 CN_2 0,494 0,405 0,344 1 CN_3 0,486 0,412 0,357 0,997 1 S -0,284 -0,281 -0,258 -0,555 -0,518 1

𝒕𝒑 obs = temps de montée observé

L = longueur d’écoulement

A = aire bassin versant

CN_2 = numéro de courbe de type II

CN_3 = numéro de courbe de type III

S = pente d’écoulement

62

Considérant que les différents modèles de détermination du temps de concentration sont

généralement exprimés sous la forme suivante :

Temps de concentration 𝑻𝒄 = 𝑪𝒕𝒆 ∗ 𝑳𝒃 ∗ 𝑪𝑪𝒄 ∗ 𝑺𝒅 [90]

Quatre modèles de régression expliquant les temps de montée observés sur la base des

descripteurs physiques des bassins versants ont été évalués, nommément :

Modèle 𝒕𝒑-M1 𝒕𝒑 = 𝑪𝒕𝒆 ∗ 𝑳𝒃 [91]

Modèle 𝒕𝒑-M2 𝒕𝒑 = 𝑪𝒕𝒆 ∗ 𝑳𝒃 ∗ 𝑪𝑪𝒄 [92]

Modèle 𝒕𝒑-M3 𝒕𝒑 = 𝑪𝒕𝒆 ∗ 𝑳𝒃 ∗ 𝑪𝑪𝒄 ∗ 𝑺𝒅 [93]

Modèle 𝒕𝒑-M4 𝒕𝒑 = 𝑪𝒕𝒆 ∗ 𝑳𝒃 ∗ 𝑪𝑪𝒄 ∗ 𝑺𝒅 ∗ 𝑨𝒆 [94]

- 𝑡𝑝 = temps de montée (h)

- L = longueur d'écoulement (m)

- S = pente d'écoulement (m/m)

- CN = numéro de courbe

- A = aire du bassin versant

Le tableau 13 présente l’analyse d’ANOVA. La somme des carrés (SC) est de type 1 et elle

représente le gain de l’addition du paramètre.

Dans l’ensemble, les quatre paramètres descriptifs des bassins versants (longueur

d’écoulement (L), numéro de courbe (CN), pente d’écoulement (S) et aire du bassin versant

(A)) expliquent 60.% de la variation du temps de montée observé �𝑡𝑝�(prob < 0,05). La

longueur d'écoulement (L), le numéro de courbe (CN) et l’aire du bassin (A) ont démontré

le meilleur pouvoir explicatif statistique du temps de montée alors que la contribution de la

pente d'écoulement (S) n'est significative qu'au taux de probabilité de 5,5%. Les

coefficients de déterminations des modèles avec les temps de montée (tableau 14) sont tous

63

les quatre supérieurs à ceux établis avec les méthodes de prédiction initialement évaluées

(Kirpich, Mockus, SCS-lag et Bransby-Williams).

Tableau 13. ANOVA - temps de montée observé (tp).

Source de variation DL SC MC F Signification

de F

Signification

de F

Bassins versants 11 33,5891 3,0536 10,9717 2,0E-16 < 0,01

L 1 10,0534 10,0534 36,1228 6,7E-09 < 0,01

CN 1 6,9373 6,9373 24,9263 1,1E-06 < 0,01

S 1 1,0322 1,0322 3,7087 0,055 0,055

A 1 2,1463 2,1463 7,7117 5,9E-03 < 0,01

Non concordance 7 13,4199 1,9171 6,8884 1,8E-07 < 0,01

Résidu 244 67,9081 0,2783

DL = degrés de liberté

SC = somme de carrés

MC = moyenne des carrés

F = test de Ficher

L = longueur d’écoulement

CN = numéro de courbe de type II

S = pente d’écoulement

A = aire du bassin versant

Le tableau 13 illustre que la non concordance des modèles est significative, ce qui

démontre qu’une partie de la variation relative aux bassins versants n’est pas expliquée.

Les temps de montée prédits par les quatre nouveaux modèles de régression et les ratios

(𝑡𝑝 prédit /𝑡𝑝 observé) sont présentés au tableau 14. Le modèle de régression 𝑡𝑝-M4 est

retenu et proposé dans l’estimation du temps de montée en alternative aux méthodes

« traditionnelles », compte tenu de sa meilleure corrélation avec les temps de montée

observés (R2 = 0,46).

Modèle 𝒕𝒑-M1 𝒕𝒑 = −𝟏,𝟐𝟕𝟕 𝑳𝟕,𝟕𝟕𝟐 [95]

Modèle 𝒕𝒑-M2 𝒕𝒑 = −𝟏,𝟏𝟕𝟏 𝑳𝟕,𝟏𝟏𝟕𝑪𝑪𝟏,𝟏𝟕𝟏 [96]

Modèle 𝒕𝒑-M3 𝒕𝒑 = −𝟏,𝟕𝟕𝟕 𝑳𝟕,𝟏𝟏𝟏𝑪𝑪𝟏,𝟏𝟖𝟖 𝑺𝟕,𝟕𝟕𝟕 [97]

64

Modèle 𝒕𝒑-M4 𝒕𝒑 = −𝟓,𝟕𝟕𝟕 𝑳𝟕,𝟏𝟏𝟕 𝑪𝑪𝟏,𝟐𝟕𝟐 𝟏/𝑺𝑶,𝟕𝟏𝟏𝑨𝟕,𝟏𝟏𝟏 [98]

Où :

- 𝑡𝑝 = temps de montée (h)

- L = longueur d'écoulement (m)

- S = pente d'écoulement (m/m)

- CN = numéro de courbe

- A = aire du bassin versant

Tableau 14. Estimation du temps de montée avec les méthodes alternatives.

# Bassin N 𝒕𝒑

Obs (h)

CN Aire (ha) L (m) Pente

(m/m)

Prédiction de 𝒕𝒑 par les modèles M1 a M4

Ratio 𝒕𝒑 prédit/ 𝒕𝒑 observé

M1 M2 M3 M4 M1 M2 M3 M4

1 Au Castor 31 6,54 78 1228 7418 0,0013 7,71 8,04 7,99 8,29 1,18 1,23 1,22 1,27

2 Binet 36 6,41 73 483 1892 0,0046 4,21 4,77 4,77 5,42 0,66 0,75 0,75 0,85

3 Esturgeon Branche 21 18 6,49 82 231 3977 0,0012 5,85 7,06 7,02 6,22 0,90 1,09 1,08 0,96

4 Ewing 31 9,53 78 2782 12957 0,0014 9,87 9,60 9,53 10,16 1,04 1,01 1,00 1,07

5 Fourchette Amont 32 5,20 73 250 3973 0,0052 5,85 6,04 6,04 5,36 1,12 1,16 1,16 1,03

6 Fourchette Aval 16 2,81 56 192 2241 0,0066 4,54 3,52 3,49 3,42 1,61 1,25 1,24 1,21

7 Petite rivière Savane 4 7,93 76 1519 8133 0,0162 8,03 8,00 8,09 8,17 1,01 1,01 1,02 1,03

8 Ruisseau Brook 11 4,64 65 714 4328 0,0139 6,08 5,31 5,32 5,49 1,31 1,14 1,15 1,18

9 Ruisseau Cass 8 9,19 63 618 5072 0,0187 6,52 5,35 5,37 5,25 0,71 0,58 0,58 0,57

10 Turmel 27 3,93 73 530 3952 0,0203 5,84 6,03 6,09 5,96 1,49 1,53 1,55 1,52

11 Walbridge Amont 23 7,04 77 631 3361 0,0037 5,43 6,15 6,15 6,53 0,77 0,87 0,87 0,93

12 Walbridge Aval 19 10,32 79 794 6504 0,0026 7,28 7,85 7,84 7,66 0,71 0,76 0,76 0,74

Moyenne 6,67 72 831 5317,3 0,0080 6,43 6,48 6,48 6,50 1,04 1,03 1,03 1,03

Écart type 2,30 7,6 730 3070 0,0072 1,58 1,69 1,68 1,80 0,31 0,26 0,26 0,25

Maximum 10,32 82 2782 12957 0,0203 9,87 9,60 9,53 10,16 1,61 1,53 1,55 1,52

Minimum 2,81 56 192 1892 0,0012 4,21 3,52 3,49 3,42 0,66 0,58 0,58 0,57

Coefficient de variation 0,35 0,11 0,88 0,58 0,9038 0,25 0,26 0,26 0,28 0,30 0,25 0,26 0,24

Coefficient de détermination R2 0,42 0,45 0,45 0,46

Coefficient de corrélation r 0,64 0,67 0,67 0,68 N = nombre d'événements

𝒕𝒑 obs = temps de montée observé

CN = numéro de courbe de type II

A = aire du bassin versant

L = longueur d’écoulement

S = pente d’écoulement

65

La figure 10 montre la corrélation entre le temps de montée prédit et le temps de montée

observé pour le modèle de régression 𝑡𝑝-M4 (équation [98]).

5.3 Estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)]

Le tableau 15 présente un sommaire des coefficients de forme estimés dans le cadre du

présent projet pour les 256 hydrogrammes classifiés de type simple ou unitaire,

représentatifs des douze bassins versants étudiés. La méthode « directe ou 𝑞𝑝 𝑡𝑝 » (φ(α) =

𝑞𝑝 𝑡𝑝) utilisant les temps de montée (𝑡𝑝) et les débits unitaires de pointe (𝑞𝑝) observés et

qui est utilisée par Fang et al. (2005) a été retenue comme méthode d’estimation du

coefficient de forme, car elle utilise les temps de montée (𝑡𝑝) et des débits unitaires de

pointe (𝑞𝑝) observés sans nécessiter l’estimation des paramètres de la fonction Gamma.

Le coefficient de forme moyen est de 0,79 pour l’ensemble des hydrogrammes des bassins

versants à l’étude, avec un écart type de 0,21. La plus petite valeur est de 0,64 pour le

R² = 0,46

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

tp p

rédi

t

tp observé

Prédiction de tp

𝒕𝒑 = −𝟓,𝟕𝟕𝟕 𝑳𝟕 ,𝟏𝟏𝟕 𝑪𝑪𝟏,𝟐𝟕𝟐 𝟏/𝑺𝟕,𝟕𝟏𝟏𝑨𝟕,𝟏𝟏𝟏

Figure 10. Prédiction de tp par le modèle 𝒕𝒑-M4.

66

bassin Esturgeon Branche 21 et la plus grande valeur est de 0,95 pour le bassin du ruisseau

Cass.

Tableau 15. Estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)].

# Bassin versant N

Méthodes d'estimation des paramètres

Observé Moments LSQ_1_tp LSQ_2_tp

µ σ Cv E µ σ Cv E µ σ Cv E µ σ Cv E

1 Au Castor 31 0,70 0,11 0,16 0,94 1,39 0,59 0,42 0,95 0,64 0,18 0,29 0,99 0,62 0,19 0,31 0,99

2 Binet 36 0,80 0,25 0,31 0,89 1,29 0,59 0,46 0,94 0,65 0,31 0,47 0,98 0,63 0,29 0,46 0,98

3 Esturgeon Branche 21 18 0,64 0,17 0,26 0,96 1,66 0,97 0,58 0,94 0,75 0,55 0,74 0,99 0,73 0,54 0,74 0,99

4 Ewing 31 0,85 0,23 0,28 0,95 1,69 0,77 0,45 0,97 0,87 0,39 0,45 0,99 0,86 0,40 0,46 0,99

5 Fourchette Amont 32 0,88 0,22 0,25 0,91 1,59 0,74 0,46 0,94 0,76 0,56 0,74 0,98 0,74 0,55 0,74 0,98

6 Fourchette Aval 16 0,83 0,17 0,20 0,90 1,66 0,97 0,58 0,94 0,74 0,26 0,35 0,98 0,71 0,23 0,33 0,98

7 Petite rivière Savane 4 0,75 0,20 0,27 0,93 1,16 0,33 0,29 0,91 0,84 0,40 0,47 0,98 0,81 0,40 0,50 0,98

8 Ruisseau Brook 11 0,67 0,17 0,25 0,92 1,64 0,83 0,51 0,91 0,59 0,24 0,41 0,98 0,58 0,24 0,41 0,98

9 Ruisseau Cass 8 0,95 0,33 0,35 0,95 2,71 0,98 0,36 0,96 1,24 0,70 0,57 0,98 1,24 0,70 0,56 0,98

10 Turmel 27 0,67 0,22 0,32 0,92 1,45 0,85 0,59 0,91 0,56 0,25 0,44 0,98 0,54 0,25 0,46 0,98

11 Walbridge Amont 23 0,85 0,20 0,23 0,94 1,64 0,82 0,50 0,96 0,82 0,51 0,62 0,99 0,79 0,49 0,62 0,99

12 Walbridge Aval 19 0,86 0,19 0,22 0,94 1,40 0,35 0,25 0,96 0,76 0,20 0,27 0,99 0,74 0,21 0,28 0,99

Moyenne 0,79 0,21 0,26 0,93 1,61 0,73 0,46 0,94 0,77 0,38 0,48 0,98 0,75 0,37 0,49 0,99

Valeur minimum 0,64 0,11 0,16 0,89 1,16 0,33 0,25 0,91 0,56 0,18 0,27 0,98 0,54 0,19 0,28 0,98

Valeur maximum 0,95 0,33 0,35 0,96 2,71 0,98 0,59 0,97 1,24 0,70 0,74 0,99 1,24 0,70 0,74 0,99

N = Nombre d'événements

µ = Moyenne

σ = Écart type

Cv = Coefficient de variation

E = Coefficient d'efficacité de Nash-Sutcliffe

Observé : valeurs mesurées directement des hydrogrammes.

Moment : valeurs obtenues par la méthode des moments pour la fonction de probabilité Gamma.

LSQ_1tp et LSQ_2tp: valeurs obtenues en lissant la fonction de probabilité Gamma par la méthode

des moindres carrés du début du ruissellement à 1 𝑡𝑝et à 2 𝑡𝑝 après le débit de pointe

respectivement.

À titre de comparaison, Fang et al. (2005), dans une étude réalisée au Texas sur 90 bassins

versants avec 1600 évènements, ont déterminé un coefficient de forme de 0,57 avec un

67

écart type de 0,12. Ils n'ont cependant pas pu établir de relations avec les caractéristiques

des bassins versants à l’étude.

Il faut aussi savoir que la méthode rationnelle correspond à un coefficient de forme de 1,00

alors que la méthode de l'hydrogramme triangulaire ou unitaire du SCS correspond à un

coefficient de forme de 0,75. Théoriquement, les bassins versants avec une topographie

accidentée devraient avoir des coefficients de forme plus grands que les bassins versants

possédant une plaine inondable importante. Selon le NRCS (2007), le coefficient de forme

pourrait varier de 0,23 à 0,93.

Le tableau 16 montre l’effet significatif des bassins versants sur le coefficient de forme de

l’hydrogramme (φ(α)) (p < 0,001).

Tableau 16. ANOVA – effet du bassin versant sur le coefficient de forme de

l’hydrogramme [φ(α)].

Source de variation DL SC MC F Signification de F

Signification de F

Bassin versant 11 1,994 0,181 4,228 9,50E-06 < 0,001 Résidu 244 10,463 0,043

DL = degrés de liberté

SC = somme de carrés

MC = moyenne carrés

F = test de Ficher

Le tableau 17 présente la matrice de corrélation de Pearson établie entre les coefficients de

forme de l’hydrogramme et les descripteurs physiques des bassins versants à l’étude (temps

de montée (𝑡𝑝) observé, numéro de courbe (CN), aire du bassin versant (A), longueur

d'écoulement (L) et pente (S)). Le temps de montée (𝑡𝑝) observé, montre la meilleure

corrélation avec le coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α)). Les paramètres analysés

montrent une corrélation variant de 0,44 (𝑡𝑝) à -0,03 (S).

68

Tableau 17. Matrice des coefficients de corrélation du coefficient de forme de

l’hydrogramme [φ(α)] observé avec les paramètres descriptifs des bassins versants.

Corrélations φ(α) 𝒕𝒑 𝒐𝒃𝒔 CN A L S

φ(α) 1

𝑡𝑝 𝑜𝑏𝑠 0,440 1

CN -0,286 0,494 1

A 0,120 0,577 0,344 1

L 0,112 0,620 0,405 0,932 1

Pente -0,030 -0,284 -0,555 -0,258 -0,281 1

φ(α) : coefficient de forme de l’hydrogramme

𝒕𝒑 𝒐𝒃𝒔 : temps de montée

CN : numéro de courbe de type II

A : aire du bassin versant

L : longueur d'écoulement

S : pente de l'écoulement

Une régression a été par la suite effectuée entre le coefficient de forme de l’hydrogramme

(φ(α)) et les descripteurs physiques des bassins versants à l’étude (tableau 18).

Tableau 18. ANOVA - coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α)).

Source de variation DL SC MC F Signification de F

Signification de F

𝑡𝑝 observé 1 0,331 0,331 7,711 0,006 < 0,01 CN II 1 0,590 0,590 13,754 2,58E-04 < 0,01 S 1 0,095 0,095 2,217 0,138 A 1 0,041 0,041 0,950 0,331 L 1 0,001 0,001 0,030 0,863 Non concordance 6 0,937 0,156 3,640 0,002 < 0,01 Résiduel 244 10,463 0,043

DL = degrés de liberté

SC = somme de carrés

MC = moyenne carrés

F = test de Ficher

BV = bassin versant

𝒕𝒑 = temps de montée observé

L = longueur d’écoulement

CN = numéro de courbe de type II

S = pente

A = aire bassin versant

69

Dans l’ensemble, le temps de montée observé �𝑡𝑝� et le numéro de courbe (CN) expliquent

46 % de la variation du coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α)) (prob < 0,05). Une

partie de la variation relative aux bassins versant n’est pas expliquée et se reflète par une

non concordance significative.

Les coefficients de forme de l’hydrogramme (φ(α)) prédits par les deux nouveaux modèles

de régression (φ(α)-M1 et φ(α)-M2) et les ratios (φ(α) prédit / φ(α) observé) sont

présentés au tableau 19. Le modèle de régression φ(α)-M2 est retenu et proposé dans

l’estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme compte tenu de sa meilleure

corrélation avec le coefficient de forme de l’hydrogramme (R2 = 0,56) (figure 11).

Modèle 𝛗(𝛂)-M1 𝛗(𝛂) = 𝟕,𝟏𝟕𝟓 + 𝟕,𝟕𝟏𝟕 𝒕𝒑 [99]

Modèle 𝛗(𝛂)-M2 𝛗(𝛂) = 𝟏,𝟐𝟏𝟕 + 𝟕,𝟕𝟏𝟏 𝒕𝒑 − 𝟕,𝟕𝟕𝟐 𝑪𝑪 [100]

φ(α) = coefficient de forme de l’hydrogramme

𝑡𝑝 = temps de montée (h)

CN = numéro de courbe

70

Tableau 19. Estimation du coefficient de forme de l’hydrogramme [φ(α)] avec les

modèles φ(α)-M1 (équation [99]) et φ(α)-M2 (équation [100]).

# Bassin N Valeurs observés Prédiction de φ(α)

par les modèles

Ratio φ(α) prédit/φ(α)

observé φ(α) 𝒕𝒑 (h) CN M1 M2 M1 M2

1 Au Castor 31 0,70 6,54 78 0,79 0,75 1,13 1,07 2 Binet 36 0,80 6,41 73 0,79 0,79 0,98 0,99 3 Esturgeon Branche 21 18 0,64 6,49 82 0,79 0,71 1,23 1,11 4 Ewing 31 0,85 9,53 78 0,84 0,85 0,99 1,00 5 Fourchette Amont 32 0,88 5,2 73 0,76 0,75 0,87 0,85 6 Fourchette Aval 16 0,83 2,81 56 0,72 0,83 0,87 1,00 7 Petite rivière Savane 4 0,75 7,93 76 0,81 0,81 1,08 1,09 8 Ruisseau Brook 11 0,67 4,64 65 0,76 0,81 1,13 1,21 9 Ruisseau Cass 8 0,95 9,19 63 0,83 0,98 0,88 1,03

10 Turmel 27 0,67 3,93 73 0,74 0,71 1,11 1,06 11 Walbridge Amont 23 0,85 7,04 77 0,80 0,78 0,94 0,91 12 Walbridge Aval 19 0,86 10,32 79 0,85 0,87 0,99 1,01 Moyenne 0,80 6,71 72 0,79 0,81 1,01 1,03 Écart type 0,11 2,54 8,26 0,04 0,08 0,12 0,10 Coefficient de variation Cv 0,13 0,38 0,11 0,06 0,10 0,12 0,10 Coefficient de détermination R2 0,20 0,52 Coefficient de corrélation r 0,45 0,72

N = nombre d'événements

φ(α) = coefficient de forme de l’hydrogramme

𝒕𝒑 = temps de montée observé

CN = numéro de courbe de type II

M1 et M2 = modèles de prédiction de φ(α) (équations [99] et [100])

La figure 11 montre la corrélation entre le coefficient de forme prédit et le coefficient de

forme observé pour le nouveau modèle de régression φ(α)-M2 (équation [100]) déterminé.

71

R² = 0,52

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

φ(α

) pr

édit

φ(α) observe

Prédiction de φ(α)

Figure 11. Prédiction de φ(α) par le modèle 𝛗(𝛂)-M2.

5.4 Estimation et prédiction des hauteurs de ruissellement

L’étude des relations entre les précipitations (Ppt) et les hauteurs de ruissellement (Hru)

générés aux exutoires des douze bassins versants à l’étude découle de l’analyse des

hydrogrammes réalisée à l’aide du logiciel VisuHydro. L’analyse préliminaire de

l’ensemble des données a d’abord permis de cerner l’influence de la hauteur de

précipitation sur la relation Hru:Ppt. Le tableau 20 décrit la distribution des précipitions,

des hauteurs de ruissellement et des coefficients de ruissellement (Cru) des 721

hydrogrammes analysés individuellement pour chacun des bassins versants à l’étude.

L’analyse de la distribution de l’ensemble des observations Hru a mis en relief une

distribution non normale des observations car l’erreur est proportionnelle à la hauteur de

précipitation. Cette situation est problématique dans la réalisation des analyses d’ANOVA.

En effet, le postulat de l’homogénéité de la variance n’est alors pas respecté et les résidus

du modèle de prédiction sont mal distribués. Afin de mieux respecter le postulat

d’hétérocédasticité propre à l’ANOVA, les variables Hru et Ppt ont été transformées sur

72

une base logarithmique, générant ainsi une distribution normale des observations et des

résidus des prédictions. L’erreur est alors proportionnelle à la hauteur de précipitations.

Dans ce contexte, les modèles de régression auront la forme suivante :

𝐥𝐧 (𝐇𝐫𝐮) = 𝒂 𝒍𝒏(𝑷𝒑𝒕) + 𝒃 [101]

Ce qui correspond au modèle physique suivant :

Modèle Hru-M1 𝐇𝐫𝐮 = 𝒆𝒃 𝑷𝒑𝒕𝒂 [102]

Ainsi, la pente (« a ») du modèle de régression correspond à l’exposant de la précipitation

et l’ordonnée à l’origine du modèle de régression (la constante « b ») exprime le coefficient

de ruissellement (𝑒𝑏).

Tableau 20. Sommaire des hauteurs de précipitations et des hauteurs de ruissellement

et des coefficients de ruissellement.

# Bassin N Ppt (mm) Hru (mm) Cru

µ σ Min Max µ σ Min Max µ σ Min Max 1 Au Castor 102 20,1 16,2 3,4 80,7 4,9 5,3 0,2 26,6 0,26 0,20 0,01 0,82 2 Binet 54 21,6 13,4 6,0 64,6 5,8 7,3 0,4 43,5 0,24 0,17 0,03 0,76 3 Esturgeon Branche 21 44 25,1 17,6 6,2 82,8 6,2 5,6 0,4 27,2 0,26 0,15 0,02 0,63 4 Ewing 81 21,2 18,7 0,6 80,8 6,8 7,4 0,1 38,6 0,34 0,23 0,05 0,98 5 Fourchette Amont 96 27,5 18,4 3,3 120,7 6,0 6,4 0,4 33,2 0,23 0,17 0,01 0,84 6 Fourchette Aval 49 28,5 22,4 1,8 120,7 4,4 5,4 0,2 22,9 0,15 0,12 0,02 0,47 7 Petite rivière Savane 21 26,6 16,6 4,4 70,2 4,5 5,6 0,0 26,4 0,16 0,11 0,01 0,38 8 Ruisseau Brook 35 24,9 20,7 1,0 96,2 5,1 5,6 0,5 27,7 0,21 0,12 0,02 0,54 9 Ruisseau Cass 29 33,2 27,3 7,8 113,0 3,6 4,1 0,4 18,6 0,10 0,07 0,02 0,23 10 Turmel 47 25,3 28,9 4,6 193,0 4,8 5,4 0,3 31,0 0,23 0,19 0,02 0,90 11 Walbridge Amont 90 21,6 16,4 1,7 78,5 4,5 4,7 0,3 33,7 0,23 0,16 0,01 0,65 12 Walbridge Aval 73 23,5 18,8 2,6 78,5 6,6 8,1 0,2 40,5 0,28 0,20 0,03 0,97

Moyenne 24,9 19,6 3,6 98,3 5,3 5,9 0,3 30,8 0,22 0,16 0,02 0,68 Valeur minimum 20,1 13,4 0,6 64,6 3,6 4,1 0,0 18,6 0,10 0,07 0,01 0,23 Valeur maximum 33,2 28,9 7,8 193,0 6,8 8,1 0,5 43,5 0,34 0,23 0,05 0,98

N = nombre d'événements

µ = moyenne

σ = écart type

Min = valeur minimum

Max = valeur maximum

Ppt = précipitation (mm)

Hru = hauteur de ruissellement (mm)

Cru = coefficient de ruissellement

73

Les analyses d’ANOVA ont été réalisées sur les jeux de données transformées. Le jeu final

de données utilisé dans les analyses d’ANOVA comprend 721 observations colligées aux

exutoires des douze bassins versants à l’étude, tous types d’hydrogrammes confondus

(simple, unitaire, multi-pics et complexe).

Le tableau 21 montre l’effet significatif des bassins versants (BV) et de la précipitation

(Ppt) sur les hauteurs de ruissellement (Hru) (p < 0,001) ainsi que l’absence d’interaction

entre les facteurs (BV) et la précipitation (test BV*ln(Ppt)) (p > 0,1). La précipitation (Ppt)

à elle seule explique le 84 % de la variation de la hauteur de ruissellement (Hru) (prob <

0,05).

Tableau 21. ANOVA - hauteur de ruissellement (Hru) considérant l’effet « Bassin ».

Source de variation DL SC MC F Signification de F

Signification de F

ln(Ppt) 1 294,39 294,39 426,21 3,0E-74 < 0,001 BV 11 48,11 4,37 6,33 4,9E-10 < 0,001 BV*ln(ppt) 11 9,67 0,88 1,27 2,4E-01 >0,1 Résidu 697 481,44 0,69

DL = degrés de liberté

SC = somme des carrés

MC = moyenne des carrés

F = test de Ficher

Ppt = précipitation totale (mm)

BV = bassin versant

Les figures 12 à 23 présentent, pour chacun des bassins versants, les observations, la

régression Hru M1 (équation [102]) et les prédictions des hauteurs de ruissellement selon

les modèles de Monfet (1979) et SCS (1986).

De façon générale, le modèle du SCS sous-estime grandement le ruissellement pour les

précipitations inférieures à 100 mm. Le modèle de Monfet (1979) se situe près de la valeur

moyenne ou légèrement au-dessus.

74

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Binet

Hru ObservéHru- Ppt - éq. 102SCSMonfet

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Au Castor

Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet

Figure 12. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de

Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Au Castor (CN = 78).

Figure 13. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de

Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Binet (CN = 73).

75

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Ewing

Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Esturgeon Branche 21

Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet

Figure 15. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de

Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Ewing (CN = 78).

Figure 14. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de

Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Esturgeon Branche 21 (CN = 82).

76

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Fourchette Amont

Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet

Figure 16. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de

Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Fourchette Amont (CN = 73).

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Fourchette Aval

Hru ObserveHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet

Figure 17. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de

Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Fourchette Aval (CN = 56)

77

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant du ruisseau Brook

Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant de la Petite rivière Savane Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet

Figure 18. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de

Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant de la Petite rivière Savane (CN =

76).

Figure 19. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de

Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant du ruisseau Brook (CN = 65).

78

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant du ruisseau Cass

Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Turmel

Hru ObservéHru-Ppt - éq 102SCSMonfet

Figure 21. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de

Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Turmel (CN = 73).

Figure 20. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de

Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant du ruisseau Cass (CN = 63).

79

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Walbridge Amont

Hru-Ppt ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Walbridge Aval

Hru ObservéHru-Ppt - éq. 102SCSMonfet

Figure 23. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de

Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Walbridge Aval (CN = 56).

Figure 22. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon les modèles de

Monfet (1979) et SCS (1986) pour le bassin versant Walbridge Amont (CN = 73).

80

Compte tenu de l’ANOVA (tableau 21), le modèle suivant peut-être retenu pour prédire la

hauteur de ruissellement (Hru) en fonction des précipitations (Ppt) pour chacun des bassins

versants à l’étude :

Modèle Hru-M2 𝐇𝐫𝐮 = 𝒆𝒂+𝒃𝒊 𝑩𝑽𝒊 𝑷𝒑𝒕𝒄 [103]

Les valeurs des coefficients a, b et c (équation [103]) déterminées par régression ainsi que

leurs écarts types sont présentés au tableau 22.

Tableau 22. Paramètres déterminés par les modèles de régression Hru-M2 (équation

[103]) pour l’estimation des hauteurs de ruissellement (Hru).

# Bassin versant Coefficients du modèle Hru-M2

b Se (b) (a+b) Se (a+b) c Se (c) 1 Au Castor -0,182 0,128 -1,453 0,283 0,904 0,042 2 Binet -0,102 0,150 -1,374 0,305 0,904 0,042 3 Esturgeon Branche21 -0,018 0,159 -1,289 0,315 0,904 0,042 4 Ewing 0,205 0,135 -1,066 0,290 0,904 0,042 5 Fourchette Amont -0,214 0,130 -1,485 0,285 0,904 0,042 6 Fourchette Aval -0,656 0,154 -1,928 0,310 0,904 0,042 7 Petite rivière Savane -0,640 0,206 -1,912 0,362 0,904 0,042 8 Ruisseau Brook -0,176 0,171 -1,448 0,327 0,904 0,042 9 Ruisseau Cass -0,947 0,184 -2,219 0,339 0,904 0,042 10 Turmel -0,304 0,156 -1,575 0,311 0,904 0,042 11 Walbridge Amont -0,201 0,131 -1,473 0,287 0,904 0,042 12 Walbridge Aval 0,000 0,000 -1,272 0,156 0,904 0,042

Se = écart type

a, b et c = coefficients provenant de l’équation [103]

Le tableau 23 montre la variation due aux bassins versants qui est expliquée en partie, mais

non dans sa totalité, par le CN. Cela se reflète dans la non concordance significative (p <

0,001).

81

Tableau 23. ANOVA - hauteur de ruissellent considérant l’effet CN.

Source de variation DL SC MC F Signification de F

Signification de F

ln(Ppt) 1 294,39 294,39 426,21 3,0E-74 < 0,001 ln(CN) 1 24,62 24,62 35,64 3,8E-09 < 0,001 Non Concordance 21 33,16 1,58 2,29 9,2E-04 < 0,001 Résidu 697 481,44 0,69

DL = degrés de liberté Ppt = précipitation total (mm) F = test de Ficher

SC = somme de carrés CN = numéro de courbe de type II

MC = moyenne des carrés BV = bassin versant

Sur la base de la cohérence entre les coefficients de ruissellement eCR (exprimé par la

constante « eb » dans l’équation [102]) et les CN moyens des bassins versants (figure 24), la

valeur de CN peut ainsi être intégrée à l’équation de prédiction des hauteurs de

ruissellement dérivée du modèle de régression, suivant l’approche suivante :

𝐂𝐑 =� 𝐛 = 𝒄 ∗ 𝑪𝑪 + 𝒅 [104]

En remplaçant la valeur de b (équation [104]) dans (l'équation [102]) :

𝐇𝐫𝐮 = 𝒆𝒄∗𝑪𝑪+𝒅 𝑷𝒑𝒕𝒂 [105]

- Hru = hauteur de ruissellement (mm)

- Ppt = précipitation (mm)

- CN = numéro de courbe de type II

- a = estimateur du paramètre de pente dans le modèle de régression Hru-M1

(équation [102])

- b = estimateur du paramètre d’ordonnée à l’origine dans le modèle de régression

Hru-M1 (équation [102])

- c et d = estimateurs du paramètre de pente et du paramètre d’ordonnée à

l’origine (équation [104])

Le tableau 24 illustre les valeurs moyennes observées et prédites des hauteurs de

ruissellement par les modèles Hru-M1 et Hru-M2.

82

Figure 24. Coefficient de ruissellement (CR) en fonction du numéro de courbe (CN).

Tableau 24. Hauteurs moyennes de ruissellement observées et prédites par les modèles

Hru-M1 (équation [102]) et Hru-M2 (équation [103]).

# Bassin versant N Hru Observé Hru Prédit Hru-M1 Hru-M2

1 Au Castor 102 4,86 4,14 3,45 2 Binet 54 5,81 4,46 4,02 3 Esturgeon Branche 21 44 6,16 5,08 4,24 4 Ewing 81 6,80 4,32 5,30 5 Fourchette Amont 96 6,01 5,53 4,47 6 Fourchette Aval 49 4,40 5,67 2,94 7 Petite rivière Savane 21 4,45 5,36 4,47 8 Ruisseau Brook 35 5,13 4,99 4,16 9 Ruisseau Cass 29 3,64 6,50 5,42 10 Turmel 47 4,83 5,05 3,73 11 Walbridge Amont 90 4,49 4,41 3,61 12 Walbridge Aval 73 6,60 4,41 3,61 Moyenne 5,26 4,99 4,12 Valeur minimum 3,64 4,14 2,94 Valeur maximum 6,80 6,50 5,42

N = nombre d’événements

Hru = hauteur de ruissellement (mm)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

50 55 60 65 70 75 80 85

Coef

ficie

nt d

e ru

isse

llem

ent (

eCR)

Numéro de courbe (CN)

Coefficient de ruissellement vs Numéro de courbe

83

5.5 Estimation du débit de crue (Qmax)

La méthode de prédiction du débit de crue (Qmax) est déterminée par l’équation [89] et elle

est présentée dans la section 4.5.4 Validation des débits de crue. Dans cette étude, les

paramètres 𝑡𝑝, φ(α) et Hru ont été déterminés par des méthodes indépendantes sur la base

d'études d'évènements s'étant produits sur l’ensemble des bassins versants à l’étude. La

prédiction du ruissellement a utilisé un grand nombre d'évènements (N = 721) alors que les

temps de montée et le facteur de forme ont plutôt utilisé un nombre restreint d'évènements

(N = 256) répondant à certaines caractéristiques des hydrogrammes. Fondamentalement, la

combinaison de ces facteurs validés individuellement devrait produire un résultat

satisfaisant.

Une validation objective exigerait normalement l'utilisation de bassins versants n'ayant pas

été utilisés lors de l'étude des différents facteurs. Compte tenu du nombre limité de bassins

versants mis à contribution dans le cadre de la présente étude, cette avenue n’était pas

possible. La validation a donc été réalisée suivant une approche plus faible. Celle-ci repose

sur l'hypothèse que pour un bassin versant donné, le recours à la précipitation de récurrence

associée au temps de montée prédit du bassin versant, de même que de la hauteur de

ruissellement prédite pour cette même précipitation, devrait prédire le débit observé pour

cette récurrence.

5.5.1 Concept de courbes enveloppes

Les équations de régressions de Hru développées dans le cadre de la présente étude

prédisent les hauteurs moyennes de ruissellement en réponse aux précipitations. Rappelons

ici que les débits de crue sont plutôt reliés aux hauteurs extrêmes de ruissellement. Ces

dernières peuvent être représentées par une courbe enveloppe définie en fonction d'une

probabilité de dépassement. Dans le cas de la régression linéaire d'une fonction 𝑦 = 𝑏 +

𝑎 𝑥, les limites de confiance sont définies par les limites de confiance des paramètres :

84

limites de confiance

des paramètres :

𝒂 ± 𝒕(𝜶/𝟐,𝒏 − 𝟐) 𝑺𝒆(𝒂)

𝒃 ± 𝒕(𝜶/𝟐,𝒏 − 𝟐) 𝑺𝒆(𝒃) [106]

- α = niveau de confiance

- t = valeur de la fonction de Student

- n = nombre d'observations

- Se(a) = écart type de l'estimateur de « a »

- Se(b) = écart type de l'estimateur de « b »

Et la courbe enveloppe se définit :

𝒚 ≊ 𝒃 + 𝒕(𝜶/𝟐,𝒏 − 𝟐) 𝑺𝒆(𝒃) + (𝒂 + 𝒕(𝜶/𝟐,𝒏 − 𝟐) 𝑺𝒆(𝒂)) 𝒙 [107]

Dans le cas des hauteurs de ruissellement (Hru), l'équation de régression en fonction de la

hauteur de la précipitation (Ppt) (équation [103]) peut être réécrite comme suit :

𝐇𝐫𝐮 = 𝒆𝒂+𝐭(𝛂/𝟐,𝐧−𝟐) 𝐒𝐞(𝐚) 𝒃+ 𝐭(𝛂/𝟐,𝐧−𝟐) 𝐒𝐞(𝐛) 𝑷𝒑𝒕𝒄+ 𝐭(𝛂/𝟐,𝐧−𝟐) 𝐒𝐞(𝐜) [108]

Comment peut-on définir le niveau de confiance « α » qui est normalement fonction de la

récurrence d'intérêt ? Pour les séries des maximums annuels utilisées lors de la définition

des évènements extrêmes, la probabilité de dépassement (𝑥 > 𝑥𝑎) est définie :

𝑷(𝒙 > 𝒙𝒂) = 𝟏 / 𝑻 [109]

- T = récurrence (an)

85

Dans cette étude, tous les évènements ayant produit du ruissellement (en moyenne 11 par

année) ont été retenus. Si 55 évènements se sont produits au cours d’une période de 5 ans, il

est vraisemblable de penser que l'évènement de récurrence de 5 ans sera le plus grand avec

une probabilité de dépassement de 1 / 55 + 1 et pour deux ans d'observation de 1 / 22 + 1.

Ainsi, la probabilité approximative peut être établie de la façon suivante :

𝑷(𝒙 > 𝒙𝒂) ≌ (𝟏 / 𝑻) (𝒅𝒖𝒓é𝒆 / 𝒏 + 𝟏) = 𝜶 / 𝟐 [110]

Cette probabilité correspond au niveau de confiance α / 2.

Les figures 25 à 32 présentent les hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le

modèle Hru-M2 (équation [103]) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence

2 et 5 ans (équation [108]) pour les huit bassins versants mis à contribution dans la

validation des projections des débits de pointe. Seuls les bassins versants ayant plus de

deux années de données ont été retenus pour cette étape.

Figure 25. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103]) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108]) pour le bassin Au Castor.

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Au Castor

(Hru-Ppt) ObservéHru-M2Ru 2 AnsRu 5 Ans

86

Figure 26. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Binet.

Figure 27. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Ewing.

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Binet

(Hru-Ppt) ObservéRu 2 AnsRu 5 AnsHru-M2

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Ewing

(Hru-Ppt) ObservéRu 2 AnsRu 5 AnsHru-M2

87

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Fourchette Aval

(Hru-Ppt) ObservéRu 2AnsRu 5 AnsHru-M2

Figure 28. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Fourchette Amont.

Figure 29. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Fourchette Aval.

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Fourchette Amont

(Hru-Ppt) ObservéRu 2 AnsRu 5 AnsHru-M2

88

Figure 30. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Turmel.

Figure 31. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Walbridge Amont.

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Turmel

(Hru-Ppt) ObservéRu 2 AnsRu 5 AnsHru-M2

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Walbridge Amont

(Hru-Ppt) ObservéRu 2 AnsRu 5 AnsHru-M2

89

Figure 32. Hauteurs de ruissellement observées et prédites selon le modèle Hru-M2 (équation [103])) avec les courbes enveloppes respectivement de récurrence 2 et 5 ans (équation [108])) pour le bassin versant Walbridge Aval.

Pour chacun des huit bassins versants retenus, les débits maximum observés (Qmax) de

ruissellement de chaque année ont été identifiés pour générer des séries annuelles. Pour

chaque série, les données ont été ordonnées et les fréquences de dépassement de même que

les récurrences ont été calculées (tableau 25). Par la suite, les débits maximum de deux ans

et cinq ans de récurrence ont été déterminés, en recourant au besoin à l’interpolation des

débits maximum pour des récurrences autres que 2 et 5 ans. Les débits de récurrence 2 ans

et 5 ans sont présentés au tableau 26. Par la suite, les débits prédits de deux ans et cinq ans

de récurrence ont été déterminés en suivant les étapes suivantes. Les temps de montée (𝑡𝑝)

ont été déterminés en utilisant le modèle 𝑡𝑝-M4 (équation [98]) (section 4.2). Les IDF des

stations de Vallée-Jonction (bassins versants : Fourchette, Binet et Turmel) et de Granby

(bassins versants : Au Castor, Ewing et Walbridge) ont été utilisées pour générer les

précipitations de récurrences de 2 ans et 5 ans associées aux durées du temps de montée

(𝑡𝑝) spécifiques à chaque bassin versant. Le ruissellement a été par la suite estimé par les

courbes enveloppes présentées ci-haut. Finalement, les débits prédits pour les récurrences

de 2 ans et 5 ans ont été calculées en utilisant les valeurs déterminés pour le facteur de

forme φ(α) (équation [100]) (section 4.3).

0,1

1

10

100

1 10 100

Hru

(mm

)

Ppt (mm)

Hauteur ruissellement (Hru) vs Precipitation (Ppt) Bassin versant Walbridge Aval

(Hru-Ppt) ObservéRu 2 AnsRu 5 AnsHru-M2

90

Tableau 25. Séries annuelles des évènements de ruissellement retenus pour la

validation de la prédiction des débits de pointe.

# Bassin versant Date Ppt Tot

(mm) Duree Ppt (h) tp (h) Hruis

(mm) Qmax Ru

(m3/s) Rang Prob Récurrence

1 Au Castor

05/10/13-11h 56,70 90,00 21,99 26,61 4,83 5 0,83 1,2 02/06/10-22h 78,50 34,25 8,56 24,22 4,84 4 0,67 1,5 03/06/13-07h 50,10 24,25 6,05 11,87 5,12 3 0,50 2,0 04/09/08-16h 50,10 38,50 14,34 12,14 5,14 2 0,33 3,0 06/01/17-17h 23,90 18,00 7,01 13,97 5,29 1 0,17 6,0

2 Binet 94/11/02-02h 31,00 11,83 4,45 9,32 1,86 3 0,75 1,3 96/07/19-06h 64,60 35,08 24,82 43,54 2,70 2 0,50 2,0 95/07/23-05h 64,60 12,42 6,17 24,36 4,26 1 0,25 4,0

3 Ewing

04/04/12-23h 21,60 31,25 8,04 7,36 5,67 5 0,83 1,2 05/10/07-04h 34,50 18,25 16,08 19,81 9,62 4 0,67 1,5 02/06/10-20h 78,50 34,25 13,70 30,00 12,31 3 0,50 2,0 03/08/11-22h 42,80 17,75 3,04 11,66 13,58 2 0,33 3,0 06/05/18-18h 74,60 47,25 16,28 38,60 18,71 1 0,17 6,0

4 Fourchette Amont

09/04/22-11h 34,29 14,83 11,50 13,90 0,79 6 0,86 1,2 07/10/26-19h 26,67 13,67 5,01 9,71 0,81 5 0,71 1,4 08/06/28-09h 32,77 18,33 2,54 11,34 1,17 4 0,57 1,8 04/09/03-14h 33,78 4,33 3,37 7,98 1,26 3 0,43 2,3 05/10/14-18h 90,42 47,17 8,25 21,05 1,55 2 0,29 3,5 06/10/20-14h 48,01 16,33 6,91 27,75 2,37 1 0,14 7,0

5 Fourchette Aval

05/09/25-12h 120,65 30,00 16,13 22,90 1,06 3 0,75 1,3 04/09/03-20h 33,78 4,33 0,94 5,92 2,26 2 0,50 2,0 06/10/20-14h 47,50 13,00 3,33 20,11 2,80 1 0,25 4,0

6 Turmel 96/07/18-19h 65,80 42,17 24,11 31,00 1,88 3 0,75 1,3 95/07/23-08h 70,60 13,00 3,42 15,73 2,23 2 0,50 2,0 94/08/14-00h 51,20 12,08 4,62 9,64 2,58 1 0,25 4,0

7 Walbridge Amont

04/12/22-10h 11,20 32,75 6,37 6,97 2,05 5 0,83 1,2 03/11/19-12h 34,40 18,75 9,62 11,84 2,08 4 0,67 1,5 02/07/17-08h 9,30 15,00 3,14 5,97 2,11 3 0,50 2,0 05/01/12-12h 25,10 44,00 20,38 11,51 2,12 2 0,33 3,0 06/05/18-15h 74,70 48,75 16,03 33,73 3,13 1 0,17 6,0

8 Walbridge Aval

05/04/02-06h 11,3 17,75 8,61 3,29 0,95 5 0,83 1,2 04/09/07-16h 62,1 81,25 21,91 12,50 1,13 4 0,67 1,5 03/11/19-12h 34,4 18,75 13,68 13,13 1,81 3 0,50 2,0 06/05/18-19h 74,7 48,75 35,95 37,75 2,87 2 0,33 3,0 02/05/29-23h 62,7 47,25 14,87 40,20 7,07 1 0,17 6,0

Ppt Tot (mm) = précipitation totale observée 𝒕𝒑 = temps de montée observé

Qmax (m3/s) = débit maximum (m3/s) observé Prob. = probabilité de dépassement

Hruis (mm) = hauteur de ruissellement observée

Duree Ppt (h) = durée de la précipitation

91

Les ratios entre les débits prédits et observés ont été calculés afin d’évaluer la performance

du modèle de prédiction proposé. Le tableau 26 présente les différents paramètres utilisés

comme intrants au modèle de prédiction des débits de crue et le tableau 27 expose les

résultats obtenus.

Tableau 26. Paramètres observés pour les bassins versants mis à contribution dans la

validation de la méthode de prédiction des débits de pointe.

# Bassin versant Valeurs observés

𝒕𝒑(h) φ(α) Qmax (m3/s) Longueur

(m) Pente (m/m)

Aire (ha) CN_II

2 ans 5 ans 1 Au Castor 6,54 0,70 5,0 5,3 7418 0,0013 1228 78 2 Binet 6,41 0,80 2,8 5,0 1892 0,0046 483 73 3 Ewing 9,53 0,85 11,4 18,3 12957 0,0014 2782 78 4 Fourchette Amont 5,20 0,88 1,2 2,0 3973 0,0052 250 73 5 Fourchette Aval 2,81 0,83 2,0 3,5 2241 0,0066 192 56 6 Turmel 3,93 0,67 2,2 2,8 3952 0,0203 530 73 7 Walbridge Amont 7,04 0,85 2,2 2,9 3361 0,0037 631 77 8 Walbridge Aval 10,32 0,86 2,5 6,1 6504 0,0026 794 79

𝒕𝒑 = temps de montée observé Qmax (m3/s) = débit maximum (m3/s) observé φ(α) = coefficient de forme observé CN_II = courbe numéro de type II

Tableau 27. Paramètres et débits de crue prédits et comparaison avec les débits

observés.

# Bassin versant

Valeurs prédites 𝐐𝐦𝐚𝐱𝒑𝒓é𝒅𝒊𝒕

𝐐𝐦𝐚𝐱𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗é

tp (h) φ(α) Hru (M2)

Ppt (mm) t(α/2,n-2) Ru (mm) Qmax (m3/s)

2 ans 5 ans 2 Ans 5 Ans 2 ans 5 ans 2 ans 5 ans 2 ans 5 ans 1 Au Castor 8,29 0,75 3,45 44 58 1,65 1,88 13,0 18,5 4,0 5,7 0,80 1,08 2 Binet 5,42 0,79 4,02 29 37 1,65 1,88 9,6 13,3 1,9 2,6 0,67 0,52 3 Ewing 10,16 0,85 5,30 48 63 1,65 1,88 21,0 29,9 13,6 19,3 1,19 1,05 4 Fourchette Amont 5,36 0,75 4,47 29 37 1,65 1,88 8,4 11,6 0,8 1,1 0,65 0,55 5 Fourchette Aval 3,42 0,83 2,94 37 49 1,65 1,88 7,0 10,1 0,9 1,3 0,47 0,37 6 Turmel 5,96 0,71 3,73 29 37 1,65 1,88 7,9 10,9 1,4 1,9 0,63 0,68 7 Walbridge Amont 6,53 0,78 3,61 42 54 1,65 1,88 12,2 17,0 2,5 3,5 1,13 1,22 8 Walbridge Aval 7,66 0,87 3,61 45 59 1,65 1,88 14,8 20,8 3,7 5,2 1,49 0,85

Moyenne 0,88 0,79 Ppt (mm) = précipitation estimée des récurrences de 2 et 5 ans Minimum 0,47 0,37

t(α/2,n-2) = limite de confiance des paramètres a, b et c (équation [106]) Maximum 1,49 1,22

Ru (mm) = ruissellement estimé de récurrences de 2 et 5 ans Écart type 0,35 0,31

Qmax (m3/s) = débits maximum prédits, récurrences de 2 et 5 ans CV 0,40 0,39

92

En utilisant les courbes enveloppes (équation [108]) avec les coefficients «a», «b» et «c» du

modèle de régression Hru-M2 (tableau 22), les ratios moyens de Qmax-prédit/Qmax-

observé (tableau 26) sont respectivement de 0,88 et 0,79 pour les récurrences de 2 ans et 5

ans, On dénote ainsi une sous-estimation moyenne du Qmax prédit par rapport au Qmax

observé de l'ordre de 12 % pour la récurrence de 2 ans et de 21 % pour la récurrence de 5

ans.

Les ratios plus faibles de Qmax-prédit/Qmax-observé réfère au bassin versant Fourchette

Aval avec des valeurs de 0,47 pour la récurrence de 2 ans et de 0,37 pour la récurrence de 5

ans, ce qui correspond à une sous-estimation de Qmax de l'ordre de 53 % pour la récurrence

de 2 ans et de 63 % pour la récurrence de 5 ans.

Les bassins Walbridge Aval et Walbridge Amont présentent les plus grandes valeurs du

ratio de Qmax-prédit/Qmax-observé avec des valeurs de 1,49 pour la récurrence de 2 ans

pour Walbridge Aval et 1,22 pour la récurrence de 5 ans pour Walbridge Amont, ce qui

correspond à une surestimation de Qmax de l'ordre de 49 % pour la récurrence de 2 ans et

de 22 % pour la récurrence de 5 ans.

La meilleure prédiction de Qmax pour la récurrence de 2 ans a été obtenue pour le bassin

Walbridge Amont avec un ratio de 1,13 (surestimation de Qmax de l'ordre de 13 %). Pour

la récurrence de 5 ans, la meilleure prédiction a été obtenue pour le bassin Ewing avec un

ratio de 1,05 (surestimation de Qmax de l'ordre de 5 %).

L’utilisation de huit bassins versants dans cette analyse ne permet pas de généraliser les

résultats. L’analyse d’un plus grand nombre de bassins versants serait nécessaire.

93

6 CONCLUSIONS

Le développement et la validation des méthodes d’estimation des paramètres hydrologiques

(temps de montée (𝑡𝑝), coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α), hauteur de

ruissellement (Hru), débit de crue (𝑞𝑝)) propres au dimensionnement des ouvrages hydro-

agricoles se sont appuyés sur la caractérisation des réponses hydrologiques de douze petits

bassins versants en milieu rural québécois d’une superficie variant de 1,9 km² pour le

bassin Fourchette Aval à 27,8 km² pour le bassin Ewing. Les longueurs d’écoulement

variaient de 1 892 m pour le bassin Binet à 12 957 m pour le bassin Ewing. Les pentes

variaient de 0,0012 m/m pour le bassin Esturgeon Branche 21 à 0,0203 m/m pour le bassin

Turmel, tandis que les numéros de courbe (CN) moyens de type II variaient de 56 pour le

bassin Fourchette Aval à 82 pour le bassin du ruisseau Brook.

L’analyse de 784 hydrogrammes individuels a été effectuée par le logiciel VisuHydro

spécialement développé à cette fin dans le cadre du projet. L’utilisation de ce logiciel a

permis de déterminer les principales propriétés des hydrogrammes analysés, incluant leur

forme, les temps de montée, les hauteurs de ruissellement et les débits de pointe. Les

résultats de ces analyses hydrologiques détaillées (observations) ont servi de bases au

développement et à la validation des diverses méthodes de prédiction de ces paramètres.

Les séparations des hydrogrammes mises à contribution dans le cadre de la présente étude

ont été réalisées sur une base manuelle, comportant donc une certaine part de subjectivité.

L’étude des temps de montée (𝑡𝑝) et des coefficients de forme (φ(α)) observés s’est

appuyée sur l’analyse hydrologique de 256 hydrogrammes de types simple et unitaire

colligés aux exutoires de 12 bassins versants du réseau d’étude. Les temps de concentration

ont été estimés par les différents modèles utilisés (Kirpich, Mockus, SCS-lag et Bransby-

Williams) au Québec en combinant les paramètres descriptifs des bassins versants (pente

du cours d'eau, longueur du parcours de l'eau, CN moyen). Aucune des méthodes étudiées

de détermination du temps de concentration (𝑡𝑐) n’a permis d'estimer correctement le

temps de montée (𝑡𝑝). Devant ce constat, une approche de régression a été retenue pour le

94

développement d’une méthode alternative de prédiction du temps de montée/concentration

(équation [98]).

Le coefficient de forme moyen obtenu est de 0,79 pour l’ensemble des hydrogrammes et

des bassins versants avec un écart type de 0,21. La plus petite valeur est de 0,64 pour le

bassin Esturgeon Branche 21 et la plus grande valeur est de 0,95 pour le bassin du ruisseau

Cass. Une analyse de variance montre que le coefficient de forme est affecté par un effet

bassin où le temps de montée (𝑡𝑝) et le numéro de courbe (CN) expliquent 46 % de la

variation du coefficient de forme de l’hydrogramme (φ(α)). Toutefois, une partie de la

variation relative aux bassins versants n’est expliquée par aucun paramètre, ce qui se reflète

par une non concordance significative. Une nouvelle équation de prédiction du coefficient

de forme de l’hydrogramme en fonction de (𝑡𝑝) et du numéro de courbe (CN) a été

proposée (équation [100]).

L’étude des hauteurs de ruissellement (Hru) s’est appuyée sur l’analyse hydrologique

individuelle de 721 hydrogrammes répartis dans l’ensemble des bassins versants à l’étude.

Les hauteurs de ruissellement (Hru) ont été comparées aux deux modèles utilisés (SCS et

Monfet) au Québec. De façon générale, le modèle du SCS sous-estime grandement le

ruissellement pour les précipitations inférieures à 100 mm tandis que le modèle de Monfet

(1979) se situe près de la valeur moyenne ou légèrement au-dessus. L’analyse de variance

montre l’effet significatif des bassins versants (BV) et de la précipitation (Ppt) sur les

hauteurs de ruissellement (Hru), où la précipitation (Ppt) à elle seule explique 84 % de la

variation de la hauteur de ruissellement (Hru). Le numéro de courbe (CN) explique

également une partie de l’effet bassin versant testé. Une partie de la variation due aux

bassins versants (BV) n’est cependant expliquée par aucun paramètre. Deux équations de

prédiction de la hauteur de ruissellement (Hru) sont proposées. La première est fonction de

la précipitation (Ppt) (équation [103]) tandis que la seconde est fonction à la fois de la

précipitation (Ppt) et du numéro de courbe (CN) (équation [105]).

En support aux prédictions des débits de pointe, les courbes IDF des stations de Vallée-

Jonction et de Granby ont été utilisées pour générer les précipitations de récurrences de 2 et

5 ans pour les durées prédites du temps de montée de chacun des huit bassins versants

95

retenus. Dans le modèle de prédiction de la hauteur de ruissellement, afin de déterminer les

valeurs extrêmes de débits, les courbes enveloppes de la hauteur de ruissellement ont été

utilisées plutôt que des courbes moyennes. Le ratio entre les débits prédits et observés ont

été calculés afin d’évaluer la performance du modèle de prédiction proposé. On dénote, par

rapport au Qmax observé, une sous-estimation moyenne de l'ordre de 12 % de la valeur du

débit maximum prédit (Qmax) pour la récurrence de 2 ans et de 21 % pour la récurrence de

5 ans. La meilleure prédiction de Qmax pour la récurrence de 2 ans a été obtenue pour le

bassin Walbridge Amont avec un ratio de 1,13 (surestimation de Qmax de l'ordre de 13 %).

Pour la récurrence de 5 ans, la meilleure prédiction a été obtenue pour le bassin Ewing avec

un ratio de 1,05 (surestimation de Qmax de l'ordre de 5 %).

L’analyse hydrologique des douze bassins versants à l’étude a fourni les premières balises

au développement et à la validation d’équations prédictives des paramètres hydrologiques

(ruissellement, temps de montée, paramètre de forme et débits de pointe) nécessaires au

dimensionnement des ouvrages hydrauliques. Il est toutefois reconnu que le nombre de

bassins versants mis à profit est relativement faible pour établir des modèles de prédiction

hydrologique. La méthodologie développée ici servira dans un second projet dans lequel

d’autres bassins versants seront étudiés afin de préciser les modèles de prédiction

hydrologique.

97

7 LISTE DES RÉFÉRENCES

Balakrishnan, N. & Wang, J. 2000. Simple efficient estimation for the three-parameter gamma distribution. Journal of Statistical Planning and Inference 85 (1-2): 115-126.

Basak, I. & Balakrishnan, N. 2011. Estimation for the three-parameter Gamma distribution based on progressively censored data. Statistical Methodology, 9(3): 305-319

Bernard, M. M. 1935. An approach to determinate stream flow. Trans. American Society of Civil Engineers 100: 347-395.

Bhunya, P. K., Berndtsson, R., Ojha, C. S. P. & Mishra, S. K. 2007. Suitability of Gamma, Chi-square, Weibull and Beta distributions as synthetic unit hydrographs. Journal of Hydrologic 334: 28-38.

Bhunya, P. K., Berndtsson, R., Singh, P. K. & Hubert, P. 2008. Comparison between Weibull and gamma distributions to derive synthetic unit hydrograph using Horton ratios. Water Resources Research 44: W04421.

Bhunya P. K., Mishra, S. K. & Berndtsson, R. 2003. Simplified two-parameter Gamma distribution for derivation of synthetic unit hydrograph. Journal of Hydrologic Engineering ASCE 8(4): 226-230.

Bhunya, P. K., Mishra, S. K. & Berndtsson, R. 2005. Closure to “simplified two-parameter Gamma distribution for derivation of synthetic unit hydrograph”. Journal of Hydrologic Engineering ASCE 10(6): 521-522.

Bhunya, P. K., Mishra, S. K., Ojha, C. S. P. & Berndtsson, R. 2004. Parameter estimation of beta- distribution for unit hydrograph derivation. Journal of Hydrologic Engineering 9(4): 325-332.

Bhunya P. K., Panda S. N. & Goel, M. K. 2011. Synthetic Unit Hydrograph Methods: A Critical Review. Open Hydrology Journal 5: 1-8.

Blavoux, B. 1978. Étude du cycle de l’eau au moyen de l’oxygène 18 et du tritium: possibilités et limites de la méthode des isotopes du milieu en hydrologie de la zone tempérée. Thèse de Doctorat d’État ès-Sciences Naturelles: Université Pierre et Marie Curie, Paris 6. 333 p.

Blume, T., Zehe, E. & Bronstert, A. 2007. Rainfall—runoff response, event-based runoff coefficients and hydrograph separation. Hydrological Sciences Journal, 52(5): 843-862.

Chico Bermejo, J. 2010. Estimación de los parámetros de forma y escala en una distribución Gamma, Escuela Politécnica Superior de Zamora Universidad de Salamanca,

98

Cohen, A. C. & Whitten, B. J. 1982. Modified moment and maximum likelihood estimators for parameters of the three-parameter gamma distribution. Communications in Statistics-Simulation and Computation 11(2): 197-216.

Cohen, A. C. & Whitten, B. J. 1986. Modified moment estimation for the three-parameter Gamma distribution. Journal of Quality Technology 18: 53-62

Corporation d’aménagement du ruisseau Turmel Inc. (CART), FSAA-Université Laval et BPR Ingénieurs conseils. 1998. Projet bassin versant Rivière Bélair (sous bassin ruisseau Turmel). Rapport final. Entente Canada-Québec sur le développement durable en Agriculture.

Croley, I. I. & Thomas, E. 1980. Gamma synthetic hydrographs. Journal of Hydrologic 47(1): 41–52

Fang, X., Prakash, K., Cleveland, T., Thompson, D. & Pradhan, P. 2005. Revisit of NRCS unit hydrograph procedures. In Proceeding of the ASCE, Texas, Section Spring Meeting, Austin, USA.

Gnouma, R. 2002. Étude du fonctionnement hydrologique du bassin versant de Grézieu-La- Varenne à l'aide de traceurs isotopiques (oxygène 18). Cemagref, DEA Hydrologie, Hydrogéologie, Géostatistique et Géochimie / ENGREF Paris.

Gray, D. M. 1961. Synthetic unit hydrographs for small watersheds. Journal of the Hydraulics Division, American Society of Civil Engineers, 87(4): 33−54.

Haan, C. T., Barfield, B. J. & Hayes, J. C. 1994. Design Hydrology and Sedimentology for Small Catchments. Academics Press: New York. 46-50.

Haktanir, T., Sezen, N. 1990. Suitability of two-parameter gamma and three-parameter Beta distribution as synthetic hydrographs in Anatolia. Hydrological Sciences Journal 35(2): 167–184.

Jeng, R. I., 2006. NRCS (SCS) Synthetic curvilinear dimensionless unit hydrograph. Journal of irrigation and drainage engineering 132(6): 627-631.

Johnson, N. L. & Kotz, S. 1970. Distributions in Statistics: Continuous Univariate Distributions 1, Houghton Mifflin Company, Boston.

Kirpich, Z. P. 1940. Time of concentration of small agricultural watersheds. Civil Engineering 10(6): 362.

Koutsoyiannis, D. & Xanthopoulos, T. 1989. On the parametric approach of unit hydrograph identification, Water Resources Management, 3(2): 107– 128.

Lagacé, R. 2012a. Notions d’hydrologie et d’hydraulique en aménagement des sols. Département de sols et génie agroalimentaire. Université Laval, Québec, Canada, 110 p.

99

Lagacé, R. 2012b. VisuHydro. Logiciel d’analyse hydrologique développé dans le cadre du projet de Mise à jour des normes et procédures de conception des ouvrages hydroagricoles dans un contexte de changements climatiques. Mesure 26 du Plan d’action sur les changements climatiques 2006-2012 (PACC) du gouvernement du Québec en collaboration avec Ressources naturelles Canada (ICAR).

Lapp, P. 1996. The Hydrology and Water Quality of an Intensive Agricultural Watershed in Quebec. M.S. thesis, Dept. of Agricultural Engineering, Mc Gill University, Montreal, Canada. 125 p.

Michaud, A., Desjardins, J., Grenier, M. & Lauzier, R. 2009a. Suivi de la qualité de l'eau des bassins versants expérimentaux Ewing et aux Castors - Dans le cadre du projet Lisière verte. Rapport final de projet. Institut de recherche et de développement en agroenvironnement (IRDA), Coopérative de solidarité du bassin versant de la rivière aux brochets, AAC (PASCAA) et MAPAQ, Québec, Québec, Canada, 27.

Michaud, A., Desjardins, J. & Grenier, M. 2009b. Réseau d'actions concertées en bassins versants agricoles. Rapport final de projet. Institut de recherche et de développement en agroenvironnement (IRDA). Fonds d’action québécois pour le développement durable, Conseil pour le développement de l’agriculture du Québec et Programme d’aide technique de Couverture végétale du Canada. Québec, Québec, Canada, 155.

Michaud, A., Desjardins, J., Coté, N., Beaudin, I., Drouin, A., Seydoux S. & Saint-Laurent, I. 2012. Rapport de l’Observatoire de la qualité de l’eau de surface en bassins versants agricoles. Rapport réalisé dans la cadre du projet Observatoire de la qualité de l’eau de surface en bassins versants agricoles Institut de recherche et de développement en agroenvironnement (IRDA), Ministère de l'Agriculture, des Pêcheries et de l'Alimentation du Québec (MAPAQ). Québec, Canada. 84 pages et annexes.

Mockus, V. 1949. Estimation of total (and peak rates of) surface runoff for individual storms. Exhibit A of Appendix B, Interim Survey Report, Grand (Neosho) River Watershed, USDA Soil Conservation Service. Washington, DC

Mockus, V. 1961. Watershed lag. U.S. Dept. of Agriculture, Soil Conservation Service, ES–1015, Washington, DC.

Monfet, J. 1979. Évaluation du coefficient de ruissellement à l’aide de la méthode SCS modifiée, Service de l'hydrométrie, Ministère de l’Environnement du Québec, Publication no. HP-51, Québec.

Nadarajah, S. 2007. Probability models for unit hydrograph derivation. Journal of Hydrology 344(3): 185–189.

Natural Resources Conservation Service (NRCS). 2007. National Engineering Handbook (NEH), Part 630, Chapter 16, Hydrographs, U.S. Department of Agriculture, Washington, DC.

100

Natural Resources Conservation Service (NRCS) 2010. National Engineering Handbook, Part 630, Chapter 15, Time of concentration. U.S. Department of Agriculture, Washington, DC.

Pramanik, N., Panda, R. K. & Sen, D. 2010. Development of design flood hydrographs using probability density functions. Hydrological Processes 24 (4): 415-428.

Rai, R. K., Sarkar, S. & Gundekar, H. G. 2008. Adequacy of two-parameter beta distribution for deriving the unit hydrograph. Hydrology Research 39(3): 201–208.

Rai, R. K., Sarkar, S. & Singh, V. P. 2009. Evaluation of the adequacy of statistical distribution functions for deriving unit hydrograph. Water resources management 23(5): 899–929.

Roche, M. 1967. Essai de définition d'un hydrogramme standard. Hydrological Sciences Journal 12(4): 19-33.

Rosin, P. & Rammler, B. 1933.The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal. Journal of the Institute of Fuel 7: 29–36.

Sherman, L. K. 1932. Streamflow from Rainfall by the Unit Graph Method. Engineering News Record 108: 501-505.

Singh, S. K. 2000. Transmuting synthetic unit hydrographs into gamma distribution. Journal of Hydrologic Engineering ASCE 5(4): 380–385.

Snyder, F. F. 1938. Synthetic unit hydrographs. Trans Am Geophysics Union 19: 447-54.

Soil Conservation Service (SCS). 1957. Use of storm and watershed characteristics in synthetic hydrograph analysis and application, U.S. Dept. of Agriculture, Washington, D.C.

Soil Conservation Service (SCS). 1972. National Engineering Handbook, Section 4, Hydrology, U.S. Department of Agriculture, Washington, D.C.

Soil Conservation Service (SCS). 1986. Urban hydrology for small watersheds, Tech. Rep. 55, Engineering Division, U.S. Department of Agriculture, Washington, D.C.

Tzavelas, G. 2009. Maximum likelihood parameter estimation in the three-parameter Gamma distribution with the use of Mathematica, Journal of Statistical Computation and Simulation 79(12): 1457-1466.

Williams, G. B. 1922. Flood discharge and the dimensions of spillways in India. Engineering (London) 134(9): 321-322.

101

ANNEXES

102

Annexe 1. Développement mathématique du temps de montée.

fdp Gamma à

trois paramètres 𝒇(𝒕;𝜶,𝜷, 𝒕𝟕) =

(𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏

𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒆�−(𝒕−𝒕𝟕)

𝜷 � [111]

Développement

mathématique

de temps de

montée

𝒅𝒅𝒕

�(𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏

𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒆�−(𝒕−𝒕𝟕)

𝜷 �� = 𝟕 [112]

𝟏

𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒅𝒅𝒕

�(𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏𝒆�−(𝒕−𝒕𝟕)

𝜷 �� = 𝟕 [113]

(𝜶 − 𝟏)(𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟐𝒆�

−(𝒕−𝒕𝟕)𝜷 � + 𝒆�

−(𝒕−𝒕𝟕)𝜷 � �−

𝟏𝜷� (𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏 = 𝟕 [114]

(𝜶 − 𝟏)(𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟐 = �−

𝟏𝜷� (𝒕 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏 [115]

(𝜶 − 𝟏) 𝜷 = (𝒕 − 𝒕𝟕) [116]

Avec 𝒕 = 𝒕𝒎 et 𝒕𝒑 = (𝒕𝒎 − 𝒕𝟕) [117]

Temps de

montée

𝒕𝒑 = (𝜶 − 𝟏) 𝜷 [118]

𝒕𝒎 = 𝒕𝟕 + (𝜶 − 𝟏) 𝜷 [119]

- t = temps

- α = paramètre de forme,

- β = paramètre d'échelle,

- 𝒕𝟕= paramètre de position, moment où débute le ruissellement

- 𝚪(𝜶)= Fonction Gamma complète

103

Annexe 2. Développement mathématique du débit de pointe.

développement mathématique

du débit de pointe

𝒒𝒑 =

(𝒕𝒎 − 𝒕𝟕)𝜶−𝟏

𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒆�−(𝒕𝒎−𝒕𝟕)

𝜷 � [120]

𝒒𝒑 =

𝒕𝒑𝜶−𝟏

𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒆�−𝒕𝒑𝜷 �

[121]

Comme 𝒕𝒑 = (𝜶− 𝟏) 𝜷 [122]

𝒒𝒑 =

[(𝜶− 𝟏) 𝜷] 𝜶−𝟏

𝜷𝜶𝚪(𝜶) 𝒆�−[(𝜶−𝟏) 𝜷]

𝜷 � [123]

𝒒𝒑 =

(𝜶 − 𝟏)𝜶−𝟏

𝚪(𝜶) 𝜷 𝒆−(𝜶−𝟏)

[124]

𝒒𝒑 =(𝜶 − 𝟏)𝜶

[(𝜶 − 𝟏) 𝜷] 𝒆−(𝜶−𝟏)

𝚪(𝜶) [125]

𝒒𝒑 =

(𝜶 − 𝟏)𝜶

𝒕𝒑 𝒆−(𝜶−𝟏)

𝚪(𝜶) [126]

𝒒𝒑 =

𝟏𝒕𝒑

(𝜶 − 𝟏)𝜶𝒆−(𝜶−𝟏)

𝚪(𝜶) [127]

Si

Coefficient de forme 𝝓(𝜶) = (𝜶 − 𝟏)𝜶𝒆−(𝜶−𝟏)

𝜞(𝜶) [128]

Débit de pointe 𝒒𝒑 =

𝟏𝒕𝒑

𝝓(𝜶) [129]

𝒒𝒑 𝒕𝒑 = 𝝓(𝜶) [130]

− t = temps

− α = paramètre de forme,

− β = paramètre d'échelle,

− 𝒕𝟕= paramètre de position, moment où débute le ruissellement

− 𝚪(𝜶)= Fonction Gamma complète

104

Annexe 3. Carte du bassin versant Au Castor.

105

Annexe 4. Carte du bassin versant Binet.

106

Annexe 5. Carte du bassin versant Esturgeon Branche 21.

107

Annexe 6. Carte du bassin versant Ewing.

108

Annexe 7. Carte du bassin versant Fourchette Amont.

109

Annexe 8. Carte du bassin versant Fourchette Aval.

110

Annexe 9. Carte du bassin versant de la Petite rivière Savane.

111

Annexe 10. Carte du bassin versant du ruisseau Cass.

112

Annexe 11. Carte du bassin versant du ruisseau Brook.

113

Annexe 12. Carte du bassin versant Turmel.

114

Annexe 13. Carte du bassin versant Walbridge Amont.

115

Annexe 14. Carte du bassin versant Walbridge Aval.