De l’eau douce à l’eau salée, rude migration · était proche de l'eau douce. Nous avons...

De l’eau douce à l’eau salée : au secours, je fonds !


© Hugo Blanc, Claire Delorme, Quentin Guye, Mathias Roux - [email protected]

2012 ~ 2013

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Sommaire

Présentation ............................................................................................................................................ 3

Introduction ............................................................................................................................................. 4

I) Observation..................................................................................................................................... 5

1) Expérience préliminaire ..................................................................................................... 5

2) Expérience de vitesse de fonte........................................................................................... 6

II) Mesures et simulation .................................................................................................................... 8

1) Expériences de vitesses comparées .................................................................................... 8

2) Surface et volume en fonction du temps ............................................................................ 9

i) Expériences et pointage aviméca ............................................................................................ 9

ii) Simulation .............................................................................................................................. 10

iii) Critiques de la simulation ...................................................................................................... 13

III) Projets et remarques ................................................................................................................ 14

1) Le phénomène de retournement ..................................................................................... 14

2) Le phénomène de courant et de convections ................................................................... 14

3) L’apport calorifique de la lumière .................................................................................... 15

4) Remarques ...................................................................................................................... 15

IV) Conclusion ................................................................................................................................. 17

V) Remerciements ............................................................................................................................. 18

VI) Annexe ...................................................................................................................................... 19

1) Poids de la presse ............................................................................................................ 19

2) Complément au volume en fonction du temps ................................................................. 20

3) Mathlab : Simulation 1.0 ................................................................................................. 22



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Présentation

- Etablissement : Lycée René Cassin, à Tarare (69)

- Elèves du groupe : Hugo BLANC

Claire DELORME

Quentin GUYE

Mathias ROUX

Élèves de terminale scientifique, option sciences de l’ingénieur

- Professeur coordinateur : Mustapha ERRAMI

- Professeur collaborateur : Fabien BRUNO

- Partenaires : Rectorat de l’académie de Lyon

Conseil Régional de Rhône-Alpes

M. Roger DUFFAIT, Université Claude Bernard de Lyon

M. Romain VOLK, École Normale Supérieure de Lyon

M. Florent JOYET, École Centrale de Lyon

De gauche à droite, M.Mustapha ERRAMI, Quentin GUYE, Hugo BLANC, M. Romain VOLK, Matthias ROUX, M. Fabien BRUNO et Claire DELORME dans les couloirs de l’ENS de Lyon après une discussion enrichissante avec M.VOLK.



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Introduction

Au début de l'année scolaire, nous sommes tombés sur un article alarmiste

prophétisant la fin des icebergs d'ici 10 ans (c'est peu !). Nous nous sommes alors demandés si les sources n'étaient pas un ramassis de superstitions en tout genre qui prônait une apocalypse imminente. Bien entendu, il n'est pas question de se rendre au Pôle Nord et de faire nos mesures sur place, nous avons donc voulu reproduire un iceberg en laboratoire. Quoi de plus ressemblant à un glaçon qu'un autre glaçon ? C'est donc tout naturellement que l'on a voulu faire fondre un glaçon dans l'eau afin d'observer le phénomène de fusion du bloc de glace. Très vite, nous avons observé des volutes transparentes dans l'eau douce lors de la fonte du glaçon.

La question qui s'est alors posée est simple « D'où viennent ces volutes ? ». La réponse a entrainé à son tour les questions « Sont-elles toujours présents avec l'eau salée, comme dans l'océan ? » et « La température influe-t-elle dessus ? ». Mais surtout, « quelle est l'influence de ces mouvements sur la fusion de l'iceberg miniature ? »

Nous avons donc énoncé la problématique suivante : « Quels sont les vecteurs de la fonte des icebergs, peut-on les quantifier ? ».

Nous avons donc organisé notre travail en plusieurs étapes : tout d'abord les observations de l'expérience préliminaire telle que la fonte du glaçon en eau douce. C'est ainsi que nous avons détecté les mouvements cités auparavant. Pour les mettre en évidence, nous avons pensé à colorer ce glaçon. Pour pouvoir interpréter ces résultats, et ainsi se placer dans le contexte voulu qui est celui de l'iceberg, nous avons fait, dans une deuxième étape, varier les facteurs de salinité (à savoir, 31g/L dans l'océan et 311g/L pour une solution saturée à 20°) et de température. La troisième étape serait donc de tester dans les conditions de l'océan, en omettant plusieurs éléments tels que les courants marins et les vents.

Bien entendu, nous ne pouvons prétendre à sauver les icebergs du réchauffement climatique. D'autre part, certains phénomènes sont hors de notre contrôle tels que la température interne des blocs de glace, ou encore la température de la couche d'eau qui se forme autour du glaçon (d'un millimètre d'épaisseur) et qui est vraiment la zone d'échange de chaleur responsable de la fonte du glaçon, mais aussi l’énergie apportée par le flux lumineux.



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I) Observation

1) Expérience préliminaire

Figure 1 : Bloc de glace coloré fondant dans une cuve

La première expérience ayant piqué notre curiosité, nous avons retenté en colorant l'eau du glaçon afin de voir les volutes plutôt que de les deviner par transparence. Pour ne pas trop perturber l'expérience nous avons utilisé un colorant alimentaire dont la densité était proche de l'eau douce. Nous avons essayé quatre colorants différents et une cartouche d'encre effaçable. Élément frappant : si la cartouche d'encre a bien le pouvoir colorant le plus élevé lorsqu'on le mélange à l'eau, il suffit d'attendre une demi-heure pour que l'eau redevienne tout aussi incolore qu'elle l'était avant. Nous avons donc du renoncer à l'encre bleue. En revanche les colorants bleu et rouge nous montrent des filaments qui descendent du glaçon. Nous nous sommes placés dans des conditions de température proche de la température ambiante pour éviter toute fluctuation. Il vaut mieux être sur et précis, même si l'expérience est qualitative :

Reprenons : les filaments bleus sont assurément créés par la différence de densité entre l'eau à 20° et l'eau proche du glaçon de 0°, le colorant étant hors de cause car proche de la densité de l'eau.

En réitérant l'expérience en eau salée, on s'aperçoit qu'il y a une séparation de phase entre l'eau colorée froide en haut (une fine couche de 1 à 2mm d'épaisseur), et l'eau salée en bas. On en déduit que l'eau froide est de densité inférieure à l'eau salée à 20°. On remarque une autre séparation de phase en eau douce avec l’eau froide en bas et l’eau chaude en haut.



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Autre fait intéressant, on observe juste autour du glaçon une fine pellicule d'eau froide qui remonte le long du glaçon.

2) Expérience de vitesse de fonte

Hypothèse :

Au regard de la fine couche autour du glaçon en eau salée, nous avons émis la possibilité que la couche agisse comme un « isolant » au chaud et donc protège le glaçon d'une fonte accélérée. Nous avons donc relancé les deux expériences en mêmes conditions de volume de glaçon, de température, de quantité d'eau dans deux béchers côte à côte mais l'un contenant de l'eau douce, et l'autre une solution de plus de 200g/L de sel (NaCl).

Figure 4 : Filaments d'eau froide descendant

Figure 2 : Eau douce (phase froide d'eau douce en bas) Figure 3 : Eau salée (phase froide d'eau douce en haut)



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Observations :

Nous avons filmé les deux expériences en mettant les glaçons au même moment

dans l'eau, à peine sortis du congélateur dont la température est homogène. Conformément à l'hypothèse de départ, le glaçon en eau salée a fondu bien plus lentement comme l'atteste la vidéo et l’image prise à la fin de la fonte du glaçon en eau douce.

Figure 5 : Eau salée à gauche, douce à droite

Ces expériences nous ont permis de donner une direction à notre recherche : observer la forme des convections (les mouvements des volutes d'eau) en fonction de la température et de la salinité et observer où se situent les changements de salinité ainsi que de température lors de la fonte du bloc de glace.

Afin de pouvoir observer cela, il nous faut donc permettre des mesures.



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II) Mesures et simulation

Dans une optique de quantifier la vitesse de fonte des icebergs, nous avons ensuite fait des expériences sur la vitesse de fonte du glaçon dans des milieux de températures identiques mais de salinités différentes. C’est pour des raisons de commodités expérimentales que nous avons choisi de faire varier la salinité plutôt que la température. Nous avons élargi un peu le champ de mesure. Toutefois dans l’arctique, la température de l’eau ne varie que de quelques degrés entre 0 et 5 °C. La salinité par contre diminue avec la fonte des Icebergs puisque le milieu aqueux environnant gagne en eau douce sans gagner en sel en même temps. C’est l’autre raison qui nous a poussés à ne changer que la salinité.

1) Expériences de vitesses comparées

Pour des raisons de praticité encore, nous nous sommes placés à température ambiante de telle sorte que l’ensemble des solutions soit à même température. Ainsi nous avons pu obtenir une courbe du temps de fonte en fonction de la salinité. On remarquera une petite subtilité de la courbe assez étonnante (autant que les 4°C pour la température de la densité la plus élevée de l’eau liquide, voir annexe).

Reprenons : notre courbe, dans notre plage d’étude, atteint son maximum pour 17g/L. On peut supposer que sur les basses salinités la « couche protectrice » d’eau douce à la température du glaçon s’épaissit ou englobe parfaitement le glaçon. Or à partir d’un certain point (17 g/L), en augmentant la salinité, cette couche n’englobe plus totalement le glaçon et se concentre en haut du glaçon ce qui réduit le temps de fonte puisque le glaçon se retrouve en contact immédiat avec l’eau salée plus chaude. L’hypothèse est confirmée d’une part par une vidéo où l’on voit le glaçon fondre en cône, et d’autre part par une courbe avec le glaçon totalement immergé présentée en Annexe.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

200

400

600

800

1000

1200

Temps de fonte en fonction de la salinité

Ligne 7

Salinité (en g/L)

Tem

ps (e

n s)



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Figure 6 : Environnement Aviméca et glaçon conique

2) Surface et volume en fonction du temps

i) Expériences et pointage aviméca

On part de l’hypothèse que le glaçon sphérique au début le reste jusqu’à la fin. De fait, il existe une symétrie autour des axes diamètres de la sphère. On peut alors simplifier le problème en l’appliquant à un modèle en deux dimensions.

Grâce à la projection de l’éclairage en lumière parallèle, on peut déterminer le diamètre et le volume du glaçon. Comme dans l’expérience, le glaçon n’est pas parfaitement sphérique on mesure deux diamètres perpendiculaires dont on fera la moyenne pour obtenir le diamètre. En pointant à intervalles de temps réguliers, où tout du moins à des dates connues, on peut tracer une courbe du volume en fonction du temps. (Annexe).

Concrètement, ces mesures nous permettent d’estimer combien de temps notre glaçon va mettre pour fondre connaissant son volume.



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A 20°, la température ambiante, le volume du glaçon en fonction du temps décrit une

courbe exponentielle. Les valeurs inférieures n’ont pas été calculées car le glaçon ne semblait plus sphérique et son volume en devenait difficilement calculable. La salinité est de 15g/L. Une autre courbe a été faite à 31g/L, malheureusement, une simple goutte d’eau sur la paroi de la cuve a suffit à ne plus permettre la mesure puisqu’il est impossible de dissocier l’eau sur la paroi de la cuve du glaçon. Une seconde vidéo est en cours de traitement.

ii) Simulation

En même temps que les expériences, nous avons voulu modéliser le système et simuler la fonte en fonction de la salinité extérieure. La première étape est de simplifier le modèle.

On garde l’hypothèse précédente. On supprime aussi les convections. Le fluide autour peu donc être considéré immobile, ce qui n’est valable que si la salinité de l’eau est supérieure à 15g/L (suite à des expérimentation sur la recherche de la densité équivalente entre le volume d’eau douce à 0° C et celui d’eau salée à 20°C) et que l’eau douce et l’eau salée ne sont pas miscibles ou du moins peu. Ce qui est aussi le cas. On peut aussi au contraire simuler un fort courant en admettant que celui-ci chasse l’eau douce et garde le glaçon en contact avec une eau de température homogène.

On considère aussi que le glaçon est totalement immergé, ce qui n’est pas totalement exact mais le facteur d’erreur diminue avec la taille du glaçon.

Dans un second temps on partitionne le volume en cellules dont on pourra déterminer certaines caractéristiques, notamment, l’état et la température.



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Soit donc notre glaçon sphérique de rayon R, on divise le disque projeté par N disques. On divise de même le disque par M rayons. On prend i l’indice du plus petit disque contenant la cellule en prenant pour les cellules centrales i = 1 et n l’indice des cellules délimitées par les rayons par le sens trigonométrique avec n = 1 pour les cellules à gauche de l’axe vertical.

On obtient Ri = R * (i - ½ ) * N-1 et Θn = 2π * (n - ½) * M-1 pour coordonnées polaires du centre la cellule par rapport à l’axe vertical.

Enfin vient la mise en équation. D’après le premier principe de la thermodynamique,

où la variation d’énergie interne à la cellule ΔU est égale à la somme des échanges de chaleur Q avec les autres cellules. La loi de Fourrier de la chaleur permet de modéliser cette somme : Où représente le flux de chaleur par une unité de surface. Cette loi permet de modéliser le flux spontané de chaleur qui est proportionnel à la différence de température des deux points et inversement proportionnel à la distance les séparant. Le coefficient de conduction thermique λ est la conductivité thermique du milieu et augmente avec la capacité du milieu à transmettre sa chaleur.

Le flux de chaleur reçue par la cellule (i ; n) et donnée par la cellule (i-1 ; n) est donc :

De fait, au cours du temps ΔT la chaleur reçue est telle que :

Où R*N-1 * 2π*M-1 est la surface d’échange entre les deux cellules.

On obtient par simplification :

De même, la chaleur reçue par la cellule (i ; n) et donnée par la cellule (i+1 ; n) est :

∆U=∑Q

j=λ.T i−1; n−T i ;n

R / N

Q=λ.T i−1 ;n−T i ;n

R

N

.(i−1) .R

N.2π

M.∆ t

Q=λ. (T i−1 ;n−T i ; n) . (i−1 ).2π

M. ∆t

Q=λ. (T i+1; n−T i ;n ) . i.2πM

. ∆t



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Le flux de chaleur reçue par la cellule (i ; n) et donnée la cellule (i ; n-1). On assimile la distance entre les deux centres des deux cellules avec la longueur d’arc entre les deux centres des cellules :

Donc la chaleur reçue au court du temps est telle que :

soit

De même le flux de chaleur reçue par la cellule (i ; n) et donnée la cellule (i ; n+1) est :

On a aussi :

Ce qui nous permet de savoir l’énergie actuelle de la cellule en sachant l’énergie à l’étape précédente. Or, comme (avec V le volume de la cellule, C sa capacité calorifique volumique et T sa température) on peut déterminer la température de la cellule. On peut aussi déterminer son état suivant que la température soit inférieure ou supérieure à la température de fusion.

La suite appartient à MATHLAB. Le programme est montré en annexe.

j=λ.T i ;n−1−T i ;n

(i−1

2).R

N.2π

M

Q=λ.T i ; n−1−T i ;n

(i−1

2).R

N.2π

M

.R

N. ∆ t Q=λ.

T i ; n−1−T i ;n

(i−1

2 ).2π

M

.∆ t

Q=λ.T i ; n+1−T i ;n

(i−1

2).2π

M

. ∆ t

∆U=U i , n (t+∆ t )−U i ,n (t )=∑Q



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Figure 7 : Rendu Mathlab

iii) Critiques de la simulation

Une première critique pourrait être de ne pas avoir compté dans les calculs la partie émergée du glaçon. Celle-ci fond en effet plus lentement du fait que l’air a une conductance thermique très faible par rapport à l’eau (0,0262 pour l’air à 20°C et à 100kPa contre 0.6 pour l’eau en mêmes conditions). La simulation ne tient pas non plus compte pour l’instant des convections dues au glaçon ou simplement même du refroidissement extérieur de l’eau (l’écriture du code est en cours mais pas totalement aboutie). Troisième critique, on observe en Annexe, des courbes montrant que la proportion du volume influence la vitesse de fonte, or dans le cas de la simulation, on le considère totalement immergé.



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III) Projets et remarques

Nous avons découvert au fil de nos expériences des phénomènes particuliers qu’il serait intéressant de noter. Nous avons aussi dans l’optique d’automatiser les mesures de sorte à pouvoir les multiplier sans être surchargés de données car elles seraient traitées en temps réel et nous permettrait de traiter rapidement un plus grand nombre d’expériences semblables et ainsi augmenter notre précision. A ces fins nous avons créé quelques instruments qu’il n’apparaît toutefois pas nécessaire de vous présenter puisqu’encore en phase de conception.

1) Le phénomène de retournement

Dans l’eau les convections font fondre le glaçon plus rapidement par le bas et les côtés que par le haut. De ce fait, il se produit alors un retournement car le haut du glaçon devient alors plus lourd que le bas. L’on a alors émis l’hypothèse qu’il existe une fréquence de retournement. Il vient alors que la géométrie du glaçon devient préoccupante pour l’étude de mouvement, nous avons alors acheté, enfin plus précisément, M.Volk nous a prêté généreusement deux presses de tailles différentes formant des glaçons parfaitement sphériques dont il conviendrait peut-être de détailler le fonctionnement en quelques lignes tant le procédé est efficace. Ce que nous faisons d’abord, c’est un glaçon grossier dans un verre en plastique ou un moule à cannelés. Nous le démoulons et nous l’insérons dans la presse après l’avoir élevée à température ambiante. Le glaçon fond alors d’abord rapidement en récupérant de l’énergie calorifique de la presse qui tend à approcher la température du glaçon. Ainsi, quand la presse est totalement fermée autour du glaçon, elle est à une température tellement proche de celui-ci que le glaçon est alors parfaitement sphérique et ne fond plus. Pour ceux qui se demanderaient si le poids de la presse ne jouerait pas un rôle, nous avons détaillé nos calculs pour le savoir en Annexe.

2) Le phénomène de courant et de convections

C’est en fait le phénomène que l’on cherche à étudier. Très complexe, pour pouvoir l’observer visuellement, nous avons eu recours au colorant. Mais il faut noter que celui-ci apporte un élément supplémentaire aux expérimentations et qu’il serait difficile d’utiliser le colorant dans des mesures quantitatives. Nous avons donc pensé sous les conseils de M.Volk à utiliser un montage en lumière parallèle. Très simplement, nous plaçons une lampe sur un banc optique, devant une cuve dans laquelle fondra le glaçon, et entre les deux, toujours sur ce banc, nous plaçons une lentille pour changer la direction des rayons lumineux et les rendre parallèles. Ainsi, nous obtenons une projection sur une surface (le mur blanc du fond de la pièce dans notre cas) du glaçon et des mouvements de convections dus au changement d’indice de réfraction de l’eau chaude, de l’eau froide, et des bulles d’airs coincées dans le glaçon. L’image projetée ainsi est parfaitement nette et lisible, plus encore qu’avec du colorant.



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Figure 8 : Nous disposons d'une presse semblable qui forme des glaçon aussi parfaitement sphériques

3) L’apport calorifique de la lumière

Le soleil est une source de chaleur importante, et ce, plus précisément quand le

glaçon contient des bulles d’air. En effet, si celui-ci nous parait blanc plutôt que transparent, c’est qu’il renvoie de la lumière mais aussi en capte une légère partie. Et cette partie qu’il capte le fait fondre plus rapidement que dans le noir total dans les même autres conditions qu’un glaçon exposé au soleil. Sur ce point là, il est difficile d’établir avec précision une valeur. Nous supposerons que la valeur est constante, et nous ne l’étudierons pas ou peu car définir précisément la quantité d’énergie absorbée par le glaçon dépend de facteurs que nous ne pouvons mesurer. Notamment, les bulles qui se forment dans le glaçon sont aléatoires et fabriquer des glaçons sans aucune bulle est strictement impossible pour nous, faute d’outils et de technicité dans le maniement de ceux-ci. D’autre part, il faudrait mesurer en le lieu, la quantité de flux lumineux en lumen dispensé par le soleil, ce qui ferait intervenir des unités (unité d’angle solide,…) que l’on serait tout bonnement incapables de maîtriser en l’état actuel de nos connaissances. L’apport calorifique solaire et de la lampe seront donc totalement supprimés de nos calculs.

4) Remarques

Nous avons quelques courbes indiquant la vitesse de la convection sous le glaçon qui

descend vers le fond, toutefois, il n’est pas utile de la noter, et la forme de la courbe dépend énormément de la salinité (alors que sur certaines nous avions des polynômes du second degré, pour d’autres, nous avions une progression parfaitement linéaire et croissante) n’apportant finalement que peu de choses au sujet, nous les avons mises de côté.



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Même s’il n’en est pas fait mention ailleurs, nous avons apporté un soin particulier à

la température interne des glaçons. Une plage de mesure ne peut se faire qu’avec des glaçons mis au congélateur à la même date et sortis ensemble ou avec suffisamment peu de décalage pour que le premier glaçon en expérimentation ne soit pas sorti moins froid que le suivant. Dans le même ordre d’idée, les températures de départ de chaque expérimentation d’une plage d’expérience sont uniformisées au dixième de degré près, d’où le fait que nous préférons nous placer à approximativement 20°C (suivant le jour) plutôt que les conditions arctiques de température.

De plus, même si nos mesures ont été faites dans la plus grande rigueur, la précision

que nous obtenons va rarement au-delà d’un chiffre significatif (nous ne pouvons estimer par exemple la fonte des glaçons qu’à la minutes près), il faudrait recommencer un nombre de fois très important nos expériences pour augmenter la précision, ce que nous n’avons pas pu faire malgré une très grande volonté générale (faire des glaçons prend au moins 3 jours, afin d’être sûrs que rien n’est liquide dans le glaçon et que le glaçon soit d’une température uniforme. Les faire fondre ensuite peu aller jusqu’à 15minutes). Ces précautions font suite aux premières expériences où nous nous sommes rendu compte de l’importance de ces paramètres et notre volonté à les rendre invariants.



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IV) Conclusion

Sommes toutes, nous avons passé entre début Novembre et milieu Décembre la

phase « préliminaire » du projet dans laquelle nous avons défini ce que nous pouvons chercher par nos moyens et organisé un planning de travail et de chose à réaliser dans des ordres précis pour pouvoir mener jusqu’au bout notre enquête sur la fonte des icebergs. C'est-à-dire, après avoir mené des observations nous permettant d’émettre des hypothèses simples, passer à l’étape de vérification par le calcul et la mesure.

Nous nous partageons nos tâches, pour une meilleure efficacité. Pendant que l’un

s’occupe de l’expérimentation, un autre s’occupe d’élaborer les dossiers, un troisième s’occupe de l’aspect théorique et le quatrième fait le lien et informe, en apportant son raisonnement, chacun de l’avancement des autres. Les tâches ne sont pas fixées, toutefois, avant d’entamer une session de travail, nous savons ce que nous avons à faire. Nous apprenons le partage des tâches.

Sur les deux derniers mois jusqu’à Février nous nous sommes appliqués à faire de

mesures de vitesse de fonte, des simulations et des expériences afin de vérifier si oui ou non, nous pouvions émettre quelques hypothèses simplificatrices quant à la simulation et à modéliser le comportement d’un glaçon suivant certains paramètres.

Nous sommes désormais capable d’estimer le temps que va mettre un Iceberg à

fondre dans l’eau arctique, à supposer qu’il ait une forme approximativement sphérique où du moins dont le rapport Volume/Surface s’approche de celui de la sphère, et qu’il soit compact (les icebergs qui ne subissent aucun choc sur un sol dur restent couverts de neige sur une large épaisseur ce qui a une forte tendance à accélérer le processus de fonte du fait que la neige fonde vite).



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V) Remerciements

Nous adressons de sincères remerciements à nos professeurs :

M. Mustapha ERRAMI, notre professeur coordinateur, pour sa disponibilité et son enthousiasme à encadrer des projets. M. Fabien BRUNO, professeur agrégé de physique-chimie, pour son aide précieuse, et le temps passé avec nous. M. François PINAULT et M. Christian VALLON, professeurs des sciences de l’ingénieur, pour leurs conseils avisés. Et tout particulièrement pour l’aide sur les possibilités qu’offraient nos microcontrôleurs (non éprouvés dans ce dossier par manque d’intérêt sans montre de mesures) apportées par M. PINAULT. M. Roger DUFFAIT, maître de conférences à l’Université Claude Bernard qui a corrigé quelques imperfections de raisonnement et nous a donné un nouvel angle d’appréciation de nos expériences. M. Romain VOLK, maître de conférences à l’ENS de Lyon, qui nous a proposé l’expérience avec un montage en lumière parallèle, et nous a prêté chaleureusement la presse que nous utilisons pour fabriquer nos glaçons sphériques. Nous remercions aussi, bien qu’ils ne puissent ni le lire, ni l’entendre, les travaux de la famille Bernoulli, d’Euler, et d’autres grands Mathématiciens et Physiciens.



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VI) Annexe

1) Poids de la presse

Le questionnement avait été soulevé par des physiciens présents dans la salle lors de notre passage à Lyon.

Prenons notre presse. Elle a pour caractéristiques, la masse m de sa partie supérieure ainsi que le poids P correspondant et le diamètre d de l’alvéole contenant le glaçon. On se place dans le cas où la pression est la plus élevée sur le glaçon qui sera moulé.

On suppose que le glaçon est un cylindre de diamètre D = 55mm. Sa base a une aire de :

L’alvéole a pour aire du disque le traversant le plus grand :

On en déduit que la surface de contact S vaut :

Et donc on obtient une pression σ :

On observe rapidement que le glaçon reste dans la partie gauche du tableau, dans l’état solide, et ce même si l’on ajoute la pression atmosphérique de 100 kPa à Tarare (14 kPa étant à peine plus d’un dixième de la pression atmosphérique). Ce cas étant le cas de plus forte pression, on peut affirmer que le Poids de la presse n’influence en rien la vitesse de fabrication du glaçon.



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2) Complément au volume en fonction du temps

En parallèle de la courbe du temps de fonte du glaçon, nous avons édité une courbe du volume immergé par rapport au volume total. On observe une fonction affine quasiment parfaite de coefficient négatif relativement faible.

On peut aussi considérer la poussée d’Archimède de l’air car par calcul, la poussée d’Archimède de l’eau seule donne des valeurs très proches de celles expérimentales sans qu’on ait à lui additionner l’effet de la poussée d’Archimède de l’air.

Cette deuxième courbe nous permet de dissocier les effets causés par la couche protectrice en surface de la fonte causée par la salinité de l’eau en elle-même, le glaçon étant immergé 3cm en-dessous de la surface de l’eau.

0 10 20 30 40 50 60

86

87

88

89

90

91

92

f(x) = -0,07x + 91,6772727273

Pourcentage de Volume immergée en fonction de la salinité

salinité en g/L

Pou

rcen

tage

imm

ergé

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

f(x) = -5,1x + 505,43

Temps de fonte en fonction de la salinité (glaçon immergé)

salinité (en g/L)

tem

ps (

en s

)



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3) Complément sur la densité de l’eau

Cette courbe illustre la particularité de l’eau à avoir une densité plus élevée à 4° qu’à

toutes les autres températures (ainsi qu’en tant que solide car cette densité supérieure à 4° est due à une « mémoire » de l’organisation moléculaire du solide de l’eau).

Cette seconde image n’est certes pas en accord direct avec ce que nous faisons mais elle illustre parfaitement deux choses : la faible miscibilité de deux eaux à salinités différentes et le fait que le volume du liquide le plus lourd repousse le second vers le haut (poussée d’Archimède).

y = 7E-12x5 - 1E-09x4 + 1E-07x3 - 9E-06x2 + 7E-05x + 0,9998

R² = 1,0003 0,9988

0,999

0,9992

0,9994

0,9996

0,9998

1

1,0002

0 5 10 15 20

De

nsi

té

température °C



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3) Mathlab : Simulation 1.0

pi = 3.141569; Tab = 273.15; // Rayon du cylindre R = 2E-2; // Rayon du contenant Rc = 10E-2; // Nombre de division radiale N = 10; // Nombre de division angulaire M = 10; // température de l'eau ambiante Ta = 20; // température du glaçon Tg = -10; //Masse volumique de l'eau kg/m3 ro = 1000; //chaleur latente de changement d'état de l'eau (fusion) J/m3 Lv = 333E3*1.00E3; Lfus = Lv; Lsol = -Lv; //Pas de temps pour la simulation s dt = 5; //Coefficient de conductivité de l'eau J/m/K landa = 0.68; //capacité calorifique massique de l'eau J/m3/K c = 4180*10^3; //initialisation de la température du glaçon et de l'eau ambiante for i = 1:N for n = 1:M Ri = Rc/N*(i-0.5); tetai = 2*pi/M*(n-0.5); //Position de la cellule X(i,n)= Ri*sin(tetai); Y(i,n)= Ri*cos(tetai); //Volume de la cellule V(i,n) = (Rc/N)^2*(i^2-(i-1)^2)*2*pi/M; //Chaleur reçue par la cellule Q(i,n)=0; //On introduit une variable Etat : Etat == 1 : c'est de la glace ; Etat == 0 c'est du liquide. Dans le cas où il y a un changement d'état, Etat représente la proportion d'eau sous la forme liquide de la cellule. //Ri<R : :c'est le glaçon : sa température est de Tg if(Ri<R) T(i,n) = Tg ; Etat(i,n) = 1; else T(i,n) = Ta ; Etat(i,n) = 0; end; end; end; //initialisation de l'indice w=0; t=0; // Début de la boucle de la simulation



2012 ~ 2013

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for w = 1:500 t(w+1)=t(w)+dt; for i=1:N for n=1:M //intéraction de (i-1;n) avec (i;n) if(i==1) Q(i,n) = 0; else Q(i,n) = landa*(T(i-1,n)-T(i,n))*(i-1)*2*pi/M*dt; end //intéraction de (i+1;n) avec (i;n) if(i==N) else Q(i,n) = Q(i,n) + landa*(T(i+1,n)-T(i,n))*i*2*pi/M*dt; end //intéraction de (i;n-1) avec (i;n) if(n==1) Q(i,n) = Q(i,n) + landa*(T(i,M)-T(i,n))/(i-0.5)/(2*pi/M)*dt; else Q(i,n) = Q(i,n) + landa*(T(i,n-1)-T(i,n))/(i-0.5)/(2*pi/M)*dt; end //intéraction de (i;n+1) avec (i;n) if(n==M) Q(i,n) = Q(i,n) + landa*(T(i,1)-T(i,n))/(i-0.5)/(2*pi/M)*dt; else Q(i,n) = Q(i,n) + landa*(T(i,n+1)-T(i,n))/(i-0.5)/(2*pi/M)*dt; end end end //Variation de température T = T + Q./V/c; // Changement d'état ? // Etat == 1 : c'est de la glace ; Etat == 0 c'est du liquide. Dans le cas où il y a un changement d'état, Etat représente la proportion d'eau sous la forme liquide de la cellule. for i=1:N for n=1:M //Changement d'état si la température résultante est inférieur à 0°C et si toute la cellule n'est pas entièrement solide if((T(i,n)<0)*(Etat(i,n)< 1)) if(Q(i,n)<(Lsol*V(i,n)*(1-Etat(i,n)))) T(i,n)=(Lsol*V(i,n)*(1-Etat(i,n))-Q(i,n))/(c*V(i,n)); Etat(i,n)=1; else T(i,n)=0; Etat(i,n)= Etat(i,n) + Q(i,n)/(Lsol*V(i,n)); end; end; //Changement d'état si la température résultante est supérieur à 0°C et si toute la cellule n'est pas entiièrement liquide if((T(i,n)> 0)*(Etat(i,n)> 0)) if(Q(i,n)>(Lfus*V(i,n)*Etat(i,n))) T(i,n)=(Q(i,n)-Lfus*V(i,n)*Etat(i,n))/(c*V(i,n)); Etat(i,n)=0; else T(i,n)=0; Etat(i,n)= Etat(i,n) - Q(i,n)/(Lfus*V(i,n)); end; end; end; end; end;

//On trace la courbe surf(X,Y,T

De l’eau douce à l’eau salée, rude migration · était proche de l'eau douce. Nous avons...

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