Décomposition minimale des systèmes dynamiques p-adiques

Nombres p-adiques Minimalite Idees

Decomposition minimale des systemes dynamiquesp-adiques

Lingmin LIAO(en collaboration avec Ai-Hua Fan, Shi-Lei Fan et Yue-Fei Wang)

Universite Paris-Est Creteil

Nancy, le 13/11/2014

Seminaire de Theorie des nombres de Nancy-Metz, Nancy, le 13/11/2014 Decomposition minimale des systemes dynamiques p-adiques 1/42


Plan

1 Nombres p-adiques et systemes dynamiques p-adiques

2 Minimalite de systemes dynamiques polynomiaux sur Zp

3 Fonctions homographiques p-adiques

4 Fonctions rationnelles ayant bonne reduction

5 Idees et methodes



0. Une motivation : distribution de suite recurrente

Soit Fn la suite de Fibonacci : F1 = F2 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2(n ≥ 3).

Question : Etant donne un nombre primier p et un entier k ≥ 1, quelleest la frequence (existe ?) de :

limN→+∞

1

NCard{1 6 n < N : pk | Fn}?

En general, considerons la suite anc− b ou a, b, c sont entiers positifs.

Question : Etant donne un nombre primier p et un entier k ≥ 1, quelleest la frequence (existe ?) de :

limN→+∞

1

NCard{1 6 n < N : pk | (anc− b)}?



Nombres p-adiques

et systemes dynamiques p-adiques



I. Nombres p-adiquesEtant donne p ≥ 2 un nombre premier,

∀n ∈ N, n =∑Ni=0 aip

i (ai = 0, 1, · · · , p− 1)

Anneau des entiers p-adiques Zp :

Zp 3 x =∑∞i=0 aip

i.

Corps des nombres p-adiques Qp : le corps des fractions de ZpQp 3 x =

∑∞i=v(x) aip

i, (∃v(x) ∈ Z).

Valeur absolue : |x|p = p−v(x), metrique : d(x, y) = |x− y|p.

3Z3

1 + 3Z32 + 3Z3



II. Arithmetiques dans Qp

L’addition et la multiplication : similaires a celles de R.”Retenues” de gauche a droite.

Exemple : x = (p− 1) + (p− 1)× p+ (p− 1)× p2 + · · · , alors

x+ 1 = 0, d’ou,

−1 = (p− 1) + (p− 1)× p+ (p− 1)× p2 + · · · .

2x = (p− 2) + (p− 1)× p+ (p− 1)× p2 + · · · .→ On pourra aussi definir la soustraction et la division. Ces sont commeles quatre operations de deux series avec des retenues.

Donc on peut avoir des polynomes et des applications rationnelles.



III. Dynamique EquicontinueT : X → X est equicontinue si

∀ε > 0,∃δ > 0 s. t. d(Tnx, Tny) < ε (∀n ≥ 1,∀d(x, y) < δ).

Theoreme

Soient X un espace metrique compact et T : X → X une transformationequicontinue. Alors les assertions suivantes sont equivalentes :(1) T est minimale (toute orbite est dense).(2) T est uniquement ergodique (il existe une seule mesure invariante).(3) T est ergodique pour toute/certaine mesure invariante avec X commeson support.

Fait : Polynome f ∈ Zp[x] : Zp → Zp est 1-Lipschitzienne et doncest equicontinue.

Theoreme

Si la transformation continue T est uniquement ergodique (µ est la pro-babilite invariante unique), alors pour toute fonction contine g : X → R,uniformement,

1

n

n−1∑k=0

g(T k(x)) →∫gdµ.



IV. Recherches sur les systemes dynamiques p-adiques

Oselies et Zieschang 1975 : automorphismes d’anneau des entiersp-adiques

Herman et Yoccoz 1983 : systemes dynamiques p-adiques complexes

Volovich 1987 : theorie des cordes p-adiques

Dujardin, Favre, Li Hua-Chieh, Lubin, Rivera-Letelier, Silva ...

Thiran, Verstegen et Weyers 1989 ; Woodcock-Smart 1998 ;Fan-Liao-Wang-Zhou 2007 ; Benedetto-Briend-Perdry 2007 :polynomes chaotiques dans QpAnashin 1994 : transformation 1-lipschitzienne (series de Mahler)Anashin-Khrennikov-Yurova 2011, 2012 ; Jeong 2012 :transformation 1-lipschitzienne (series de Van der Put)

Coelho et Parry 2001 : ax et distribution des nombres de Fibonacci

Gundlach, Khrennikov et Lindahl 2001 : xn



Minimalite desystemes dynamiques

polynomiaux sur Zp



I. Systemes dynamiques polynomiaux sur Zp

Soit f ∈ Zp[x] un polynome a coefficients dans Zp.La transformation f : Zp → Zp definit un systeme dynamiquepolynomial sur Zp, note (Zp, f).

Decomposition minimale

Theoreme (Fan-L, 2011, decomposition minimale)

Soit f ∈ Zp[x] avec deg f ≥ 2. Nous avons la decomposition suivante :

Zp = P⊔M⊔B

ou

P est un ensemble fini et se compose de tous les points periodiques ;

M := ti∈IMi (I fini ou denombrable)→ Mi : union finie des boules,→ f : Mi → Mi est minimal ;

B est attire dans P tM.



II. Classes de conjugaisonEtant donnee une suite des entiers positifs (ps)s≥0 tels que ps|ps+1.Groupe profini : Z(ps) := lim

←Z/psZ.

Odometre : La transformation τ : x 7→ x+ 1 sur Z(ps).

Theoreme (Chabert-Fan-Fares 2007)

Soient E un ensemble compact dans Zp et f : E → E une transformation1-lipschitzienne. Si le systeme dynamique (E, f) est minimal, alors

(E, f) est conjugue a l’odometre (Z(ps), τ) ou (ps) est determineepar la structure de E.

Theoreme (Fan-L, 2011 : Structure des parties minimales)

Soient f ∈ Zp[X] un polynome, et O ⊂ Zp un compact ouvert, f(O) ⊂ O.Supposons que f : O → O est minimal.

Si p ≥ 3, alors, (O, f |O) est conjugue a l’odometre (Z(ps), τ) ou

(ps)s≥0 = (k, kd, kdp, kdp2, . . . ) (1 ≤ k ≤ p, d|(p− 1)).

Si p = 2, alors (O, f |O) est conjugue a (Z2, x+ 1).



III. Problemes

Probleme 1 : Sous quelle condition a-t-on A = C = ∅, et B admet uneseule partie ?(i.e., f : Zp → Zp est minimal ?)

Probleme 2 : Si (Zp, f) n’est pas minimal, comment trouve-t-on ladecomposition complete ?

Probleme 3 : La solution pour le cas deg f = 2 ? (Qu’est-ce qui se passepour les polynomes affines ?)



IV. Resultats connus - Minimal sur tout Zp

Theoreme (Larin 2002 + Knuth 1969 ; tout p, mais deg(f) ≤ 2)

Soit f(x) = ax2 + bx+ c avec a, b, c ∈ Zp. Alors f est minimal ssi

1 a ≡ 0 (mod p), b ≡ 1 (mod p), c 6≡ 0 (mod p), si p ≥ 5,

2 a ≡ 0 (mod 9), b ≡ 1 (mod 3), c 6≡ 0 (mod 3) ouac ≡ 6 (mod 9), b ≡ 1 (mod 3), c 6≡ 0 (mod 3), si p = 3.

3 a ≡ 0 (mod 2), a+ b ≡ 1 (mod 4) et c 6≡ 0 (mod 2), si p = 2.

Theoreme (Larin 2002 ; tout polynome, mais p = 2)

Soient p = 2, et f(x) =∑akx

k ∈ Z2[X] un polynome. Alors f estminimal ssi

a0 ≡ 1 (mod 2),

a1 ≡ 1 (mod 2),

2a2 ≡ a3 + a5 + · · · (mod 4),

a2 + a1 − 1 ≡ a4 + a6 + · · · (mod 4).



→ Tout polynome, mais avec p = 3

Soit f(x) =∑akx

k ∈ Z3[X]. On peut supposer a0 = 1 :

a0 ≡ 0 (mod 3) ⇒ f n’est pas minimal.

a0 6≡ 0 (mod 3) ⇒ f est conjugue a un polynome g avec a0 = 1.

Notons

A0 =∑

i∈2N,i6=0

ai, A1 =∑

i∈1+2Nai, D0 =

∑i∈2N,i6=0

iai, D1 =∑

i∈1+2Niai.

Theoreme (Durand-Paccaut 2009)

Le systeme (Z3, f) est minimal ssi f verifie A0 ∈ 3Z3, A1 ∈ 1 + 3Z3 etl’une des conditions suivantes :(1) D0 ≡ 0, D1 ≡ 2, a1 ≡ 1 [3] et A1 + 5 6≡ 0, 3a2 + 3

∑j>0 a5+6j [9] ;

(2) D0 ≡ 0, D1 ≡ 1, a1 ≡ 1 [3] et A0 + 6 6≡ 0, 6a2 + 3∑j>0 a2+6j [9] ;

(3) D0 ≡ 1, D1 ≡ 0, a1 ≡ 2 [3] et A1 + 5 6≡ 0, 6a2 + 3∑j>0 a5+6j [9] ;

(4) D0 ≡ 2, D1 ≡ 0, a1 ≡ 2 [3] et A0 + 6 6≡ 0, 3a2 + 3∑j>0 a2+6j [9].



V. Resultats connus - Decomp. minimale (polys affines)Soit Ta,bx = ax+ b (a, b ∈ Zp). Notons

U = {z ∈ Zp : |z| = 1}, V = {z ∈ U : ∃m ≥ 1, t.q. zm = 1}.Cas faciles :

1 a ∈ Zp \ U ⇒ un point fixe attractif b/(1− a).2 a = 1, b = 0 ⇒ tous les points sont fixes.3 a ∈ V \ {1} ⇒ tout point est dans une orbite de periode `, ou ` est

le plus petit entier > 1 tel que a` = 1.

Theoreme (AH. Fan, MT. Li, JY. Yao, D. Zhou 2007) Cas p ≥ 3 :

4 a ∈ (U \ V) ∪ {1}, vp(b) < vp(1− a) ⇒ pvp(b) parties minimales.

5 a ∈ U \ V, vp(b) ≥ vp(1− a) ⇒ (Zp, Ta,b) est conjugue a (Zp, ax).

Decomposition : Zp = {0} t tn≥1pnU.

(1) Un point fixe {0}.(2) Tous (pnU, ax)(n ≥ 0) sont conjugues a (U, ax)

Pour (U, ax) : pvp(a`−1)(p− 1)/` parties minimales, ou ` est le plus

petit entier, tel que a` ≡ 1(mod p).



Deux decompositions typiques de Zp

Tx = x+ 3, p = 3 Tx = 2x, p = 3



VI. La motivation mentionneeDistribution d’une suite recurrente.Proposition (Fan-Li-Yao-Zhou 2007)

Soit k > 1 un entier. Soient a, b, c trois entiers dans Z qui sont premiersavec p > 2. Notons sk le plus petit entier > 1 tel que ask ≡ 1

(mod pk

).

(a) Si b 6≡ ajc (mod pk) pour tout entier j (0 6 j < sk), alorspk - (anc− b), pour tout entier n > 0.

(b) Si b ≡ ajc (mod pk) pour certain entier j (0 6 j < sk), alors nousavons

limN→+∞

1

NCard{1 6 n < N : pk | (anc− b)} =

1

sk.

Remarque : Posons Tx = ax. Alors anc = Tn(c) et

pk | (anc− b)⇔ anc ∈ B(b, p−k)⇔ Tn(c) ∈ B(b, p−k).

Z. Coelho, W. Parry 2001 : Ergodicity of p -adic multiplications andthe distribution of Fibonacci numbers.



VII. Decomp. minimale pour polynomes quadratiquesFan–L 2011 : decomposition minimale pour tous les polynomesquadratiques et pour p = 2.

→ Decompositionde x2 + x 1 0 (mod 2)

0 2 (mod 22)

0 4 (mod 23)

0 8 4 12 (mod 24)

0 16 8 24 (mod 25)

8 40 24 56 (mod 26)



Fonctions homographiques

p-adiques



I. Droite projective sur Qp

Pour (x1, y1), (x2, y2) ∈ Q2p \ {(0, 0)}, on dit que (x1, y1) ∼ (x2, y2) si

∃λ ∈ Q∗p t.q.x1 = λx2 et y1 = λy2.

Droite projective sur Qp :

P1(Qp) := (Q2p \ {(0, 0)})/ ∼

Metrique spherique : pour P = [x1, y1], Q = [x2, y2] ∈ P1(Qp),definissons

ρ(P,Q) =|x1y2 − x2y1|p

max{|x1|p, |y1|p}max{|x2|p, |y2|p}

Regardant P1(Qp) comme Qp ∪ {∞}, on a pour z1, z2 ∈ Qp ∪ {∞}

ρ(z1, z2) =|z1 − z2|p

max{|z1|p, 1}max{|z2|p, 1}si z1, z2 ∈ Qp,

et

ρ(z,∞) =

{1, si |z|p ≤ 1 ;1/|z|p, si |z|p > 1.



Representations geometriques de P1(Q2) et P1(Q3)

1

1



II. Fonctions homographiquesSoit

φ(x) =ax+ b

cx+ davec a, b, c, d ∈ Qp, ad− bc 6= 0.

Alors φ definit une transformation (1-a-1) φ : P1(Qp)→ P1(Qp).

La dynamique de φ depend de ses points fixes qui sont les solutions de

ax+ b

cx+ d= x⇔ cx2 + (d− a)x− b = 0.

Discriminant : ∆ = (d− a)2 + 4bc.

Si ∆ = 0, alors φ a un seul point fixe x0 dans Qp et φ est conjuguea une translation x 7→ x+ α pour certain α ∈ Qp par g(x) = 1

x−x0.

Si ∆ 6= 0 et√

∆ ∈ Qp, alors φ a deux points fixes x1, x2 ∈ Qp etφ est conjugue a une multiplication x 7→ βx pour certain β ∈ Qp parg(x) = x−x2

x−x1.

Si ∆ 6= 0 et√

∆ /∈ Qp, alors φ a aucun point fixe dans Qp. Mais φ

a deux points fixes x1, x2 ∈ Qp(√

∆). Donc nous etudierons la

dynamique de φ sur P1(Qp(√

∆)) puis sa restriction sur P1(Qp).



III. Notations

K est une extension finie de Qp.

Notons encore | · |p la valeur absolue (la norme) de K.

Degre : d = [K : Qp]. Indice de ramification : e

Fonction de valuation : vp(x) := − logp(|x|p). Im(vp) = 1eZ.

OK := {x ∈ K : |x|p ≤ 1} : Anneau local de K,PK := {x ∈ K : |x|p < 1} : son ideal maximal.

Corps residuel : K = OK/PK . Alors K = Fpf , avec f = d/e.

→ K est dit non ramifie si e = 1, ramifie si e > 1 et totalement ramifie sie = d.

Extensions quadratiques :

7 extensions quadratiques de Q2 :

Q2(√−1), Q2(

√±2), Q2(

√±3), Q2(

√±6).

3 extensions quadratiques de Qp(p ≥ 3) :

Qp(√p), Qp(

√Np), Qp(

√pNp),

ou Np est le plus petit non-residu quadratique module p.



IV. Uniformisante et representationUn element π ∈ K est une uniformisante si vp(π) = 1/e.

Definssons vπ(x) := e · vp(x) pour x ∈ K. Alors Im(vπ) = Z, etvπ(π) = 1.

Soit C = {c0, c1, . . . , cpf−1} (pf elements) un systeme de representantsde PK dans OK . Alors tout x ∈ K admet une unique expansion π-adique de la forme

x =∞∑i=i0

aiπi,

ou i0 ∈ Z et ai ∈ C pour tout i ≥ i0.

Example : Pour Qp(√p) (p ≥ 3), posons π =

√p, alors

x = a0 + a1√p+ a2p+ a3p

3/2 + a4p2 + · · · .



V. Decomposition minimale (φ a aucun point fixe)

Theoreme (AH. Fan, SL. Fan, L, YF. Wang, 2014)

Supposons que φ a aucun point fixe dans P1(Qp) et φn 6= id pour toutn > 0. Alors

1 le systeme (P1(Qp), φ) se decompose en un nombre fini desous-systemes minimaux ;

2 ces sous-systemes minimaux sont topologiquement conjugues ;

3 le nombre de sous-systemes minimaux est determine par le nombre

λ :=(a+ d) +

√∆

(a+ d)−√

∆.

Notons

K = Qp(√

∆) : l’extension quadratique de Qp engendre par√

∆.

π : un uniformisante de K

K : le corps residuel de K.

` : l’ordre de λ dans le groupe multiplicatif K∗.



VI. Le cas p ≥ 3

Theoreme (Fan-Fan-L-Wang, K = Qp(√Np) est non-ramifie)

Le systeme (P1(Qp), φ) se decompose en ((p + 1)pvp(λ`−1)−1)/` sous-

systemes minimaux. Chaque sous-systeme est topologiquement conjuguea l’odometer Z(ps) avec (ps) = (`, `p, `p2, · · · ).

Theoreme (Fan-Fan-L-Wang, K = Qp(√p),Qp(

√pNp) est ramifie)

(1) Si |a+ d|p > |√

∆|p, alors λ = 1 ( mod π). Le systeme (P1(Qp), φ)se decompose en 2p(vπ(λ

p−1)−3)/2 sous-systemes minimaux. Chaquesous-systeme est topologiquement conjugue a l’odometer Z(ps) avec(ps) = (1, p, p2, · · · ).

(2) Si |a+d|p < |√

∆|p, alors λ = −1 ( mod π). Le systeme (P1(Qp), φ)se decompose en p(vπ(λ

p+1)−3)/2 sous-systemes minimaux. Chaque sous-systeme est topologiquement conjugue a l’odometer Z(ps) avec (ps) =(2, 2p, 2p2, · · · ).



VII. Conditions minimales (ergodiques)

Corollaire (FFLW, cas p ≥ 3)

Le systeme (P1(Qp), φ) est minimal si et seulement si une des conditionssuivantes est verifiee :

(1) K = Qp(√

∆) est non-ramifie, ` = p+ 1 et vp(λ` − 1) = 1,

(2) K = Qp(√

∆) est ramifie et vπ(λp + 1) = 3.

Corollaire (FFLW, case p = 2)

Le systeme (P1(Q2), φ) est minimal si et seulement si une des conditionssuivantes est verifiee :

(1) K = Q2(√

∆) = Q2(√−3), ` = 3 et v2(λ2` − 1) = 2,

(2) K = Q2(√

∆) = Q2(√−1),Q2(

√3), |a+ b|2 = |

√∆|2 et

vπ(λ2 + 1) = 2.



Fonctions rationnelles

ayant bonne reduction



I. Fonctions rationnelles ayant bonne reductionSoit · : Zp → Z/pZ la reduction modulo p definie par a 7→ a ≡ a mod p.La reduction d’un polynome f(z) =

∑ni=0 aiz

i ∈ Zp[z] est

f(z) =

n∑i=0

aizi.

Une fonction rationnelle φ(z) ∈ Qp(z) peut s’ecrire comme un quotientdes polynomes f(z), g(z) ∈ Zp[z] n’ayant pas de facteurs en commen, telque au moins un coefficient de f ou de g a la valeur absolute 1. Lareduction de φ est

φ(z) =f(z)

g(z)∈ Fp(z).

Si deg φ = deg φ, on dit que φ a bonne reduction, et si deg φ < deg φ,on dit que φ a mauvaise reduction.

Theoreme (Livre de Silverman : The arithmetic of dynamical systems)

Une fonction rationnelle φ a bonne reduction si et seulement si φ est 1-lipschitzienne par rapport a la metrique spherique.



II. Decomposition minimale pour les fonctionsrationnelles ayant bonne reduction

Theorem (Fan-Fan-L-Wang, en preparation)

Soit φ ∈ Qp(z) une fonction rationnelle ayant bonne reduction avecdeg φ ≥ 2. Nous avons la decomposition suivante :

P1(Qp) = P tMt B,

ou

P est un ensemble fini et se compose de tous les points periodiques ;

M := ti∈IMi (I fini ou denombrable)→ Mi : union finie des boules,→ φ :Mi →Mi est minimal ;

B est attire dans P tM.



III. Structure dynamique de sous-systemes minimaux


Soit φ ∈ Qp(z) une fonction rationnelle ayant bonne reduction avecdeg φ ≥ 2. Si E ⊂ P1(Qp) est un ensemble ouvert-ferme et invariant parφ, alors φ : E → E est conjugue a l’odometre Z(ps), ou

(ps) = (k, kd, kdp, kdp2, · · · )

avec k et d entiers tels que 1 ≤ k ≤ p+ 1 et d | (p− 1).



IV. Conditions minimales pour des fonctionsrationnelles ayant bonne reductionSi φ a bonne reduction, alors φ definit une transformation equi-continuesur P1(Fp), ou P1(Fp) est la droite projective sur Fp


Soit φ : P1(Qp) 7→ P1(Qp) une fonction rationnelle ayant bonnereduction et deg φ ≥ 2. Alors le systeme dynamique (P1(Qp), φ) estminimal si et seulement les conditions suivantes sont verifiees :

(1) La reduction φ est transitive sur P1(Fp).

(2) Pour p ≥ 5 : (φp+1)′(0) = 1 (mod p) et |φp+1(0)− 0|p = 1/p.

(3) Pour p = 2 ou 3 : (φp+1)′(0) = 1 (mod p), |φp+1(0)− 0|p = 1/p et|φ(p+1)p(0)− 0|p = 1/p2.



V. Version standarde pour une fonction rationnelleayant bonne reduction

Pour φ ∈ Qp(z) avec deg φ ≥ 2, il existe z0 ∈ Qp tel quez0, φ(z0), φ2(z0) sont distincts.

Prenons

g(z) =(z − z0)(φ2(z0)− φ(z0))

(z − φ(z0))(φ2(z0)− z0).

Alors g(z0) = 0, g(φ(z0)) =∞ et g(φ2(z0)) = 1.

Soit ψ = g ◦ φ ◦ g−1. Alors ψ(0) =∞ et ψ(∞) = 1. De plus, ψ s’ecritcomme

ψ(z) =a0 + a1z + · · ·+ an−1z

n−1 + zn

b1z + · · ·+ bn−1zn−1 + zn

avec n ≥ 2 et ai, bj ∈ Qp.

→ Sans perte de generalite, nous supposons que φ(0) =∞ et φ(∞) = 1.



VI. Conditions minimales (ergodiques) pour p = 2


Soit

φ(z) =a0 + a1z + · · ·+ an−1z

n−1 + zn

b1z + · · ·+ bn−1zn−1 + zn

avec n ≥ 2 et ai, bj ∈ Q2. Soit an = bn = 1. Posons Aφ :=∑i≥0 ai,

Bφ :=∑j≥1 bj , Aφ,1 :=

∑i≥0 a2i+1, Aφ,2 :=

∑i≥0 a4i+1 et

Aφ,3 :=∑i≥0 a4i+3. Alors φ a bonne reduction et (P1(Q2), φ) est

minimal si et seulement si

ai, bj ∈ Z2, pour 0 ≤ i ≤ n− 1 et 1 ≤ j ≤ n− 1,

a0 ≡ 1 mod 2, b1 ≡ 1 mod 2,

Aφ ≡ 2 mod 4, Aφ,1 ≡ 1 mod 2, Bφ ≡ 1 mod 2,

an−1 − bn−1 ≡ 1 mod 2,

a0b1(an−1 − bn−1)(Aφ,2 −Aφ,3)Bφ

+2(b2 − a1 + an−2 − bn−2 + bn−1 +Aφ,3) ≡ 1 mod 4.



VII. Corollaries

Corollary (Fan-Fan-L-Wang, en preparation)

Soit φ ∈ Q2(z) une fonction rationnelle ayant bonne reduction et dedegre 2 ou 3. Alors le systeme dynamique (P1(Q2), φ) n’est jamaisminimal.

Corollary (Fan-Fan-L-Wang, en preparation)

Nous trouvons toutes les fonctions rationnelles ayant bonne reduction etde degre 4 qui sont minimales sur P1(Q2).

Exemple 1 : Soit p = 3. Considerons φ(z) = − 2z2+2z+1z3−3z2+z+1 . Alors le

systeme dynamique (P1(Qp), φ) est minimal.

Exemple 2 : Soit p = 3. Considerons φ(z) = 2z+3(z−1)(z−2) . Alors le systeme

dynamique (P1(Qp), φ) n’est pas minimal. Nous avons la decompositionsuivante :

P1(Qp) = B1(0)⊔

(P1(Qp) \B1(0)),

ou B1(0) est use partie sur laquelle φ est minimal et les points dansP1(Qp) \B1(0) sont attires dans B1(0).



Idees et methodes



I. Global et localTheoreme (Anashin 1994, Chabert, Fan et Fares 2009)

Soit X ⊂ Zp un compact.T : X → X est minimal⇔ Tn : X/pnZp → X/pnZp est minimal pour tout n ≥ 1.

Pour a ∈ P1(Qp) et un entier n ≥ 1, notons

Bn(a) := {x ∈ P1(Qp) : ρ(x, a) ≤ p−n}.

Soit Bn l’ensemble de (p+ 1)pn−1 boules disjointes de rayon p−n

contenus dans P1(Qp). Toute fonction 1-lipschitzienneφ : P1(Qp)→ P1(Qp) induit une transformation sur Bn. Notons φn latransformation induite de φ sur Bn, c’est-a-dire

φn(Bn(x)) = Bn(φ(x)), ∀x ∈ P1(Qp).

Proposition

Soit φ : P1(Qp)→ P1(Qp) une fonction 1-lipschitzienne. Alors le systeme(P1(Qp), φ) est minimal si et seulement si (Bn, φn) est minimal pour toutn > 0.



II. Prediction et linearisationPrevoir le comportement de Tn+1 par celui de Tn.→ Idees de Desjardins et Zieve 1994 (arXiv) et la these de Zieve (UCBerkeley, 1996).

Considerons un cycle (x1, . . . , xk) de Tn dans Zp/pnZp,

Chaque xi est leve a pf points {xi + tpn : t ∈ C} (avecC = {0, 1, . . . , p− 1}) dans Zp/pn+1Zp.

Linearisation : g := T k,

g(x1 + tpn) ≡ x1 + (ant+ bn)pn (mod pn+1)

avec an = g′(x1), bn = g(x1)−x1

pn .

Application lineaire Φ : C → C : Φ(t) = ant+ bn (mod p).



III. Comportements localsRelevements du cycle (x1, . . . , xk) :

Soit Xi = {xi + tpn : t ∈ C}. Alors, g : Xi → Xi.

1 an ≡ 1, bn 6≡ 0 mod p : Tn+1|Xi admet un seule cycle de longueurpk. On dit que σ pousse (grows).

2 an ≡ 1, bn ≡ 0 mod p : Tn+1|Xi admet p cycles de longueur k.On dit que σ se divise (splits).

3 an ≡ 0 mod p : Tn+1|Xi admet un seul cycle de longueur k et lesautres points de X sont envoyes a ce cycle par T k.On dit que σ pousse avec une queue (grow tails).

4 an 6≡ 0, 1 mod p : Tn+1|Xi admet un cycle de longueur k et(p− 1)/` cycles de longueur k`.On dit que σ se divise partiellement (partially splits).



Comportement de Tn+1 (p = 3)

Cas 1 Cas 2

Cas 3 Cas 4



IV. PrevoirProposition

Soit n ≥ 1. Soient σ un k-cycle of Tn et σ un de son relevement. On a1) si an ≡ 1 (mod p), alors an+1 ≡ 1 (mod p) ;2) si an ≡ 0 (mod p), alors an+1 ≡ 0 (mod p) ;3) si an 6≡ 0, 1 (mod p) et σ est de longueur k, alors an+1 6≡ 0, 1 (mod p) ;4) si an 6≡ 0, 1 (mod p) et σ est de longueur k` ou ` ≥ 2 est l’ordre de andans (Zp/pZp)∗, alors an+1 ≡ 1 (mod p).

Par ce resultat :1) Si σ pousse ou se divise, alors tout relevement σ pousse ou se divise.2) Si σ pousse avec une queue, alors le seule relevement σ pousse avecune queue.3) Si σ se divise partiellement, alors le relevement σ de la memelongueur que σ se divise partiellement, et les autres relevements quisont de longueur k` poussent ou se divisent.

Remarque : Sous certaines conditions, σ pousse, ⇒ σ pousse.



V. Conditions minimales jusqu’au niveaux finis

Proposition (Anashin, 1994)

Soit f ∈ Zp[x] un polynome. Alors le systeme dynamique (Zp, f) estminimal si et seulement si les conditions suivantes sont verifiees :

(1) le systeme (Z/p3Z, f3) est minimal pour p = 2 ou 3,

(2) le systeme (Z/p2Z, f2) est minimal pour p ≥ 5.

Proposition (Fan-Fan-L-Wang, en preparation)

Soit φ : P1(Qp) 7→ P1(Qp) une fonction rationnelle ayant bonne reductionet de degre deg φ ≥ 2. Alors le systeme dynamique (P1(Qp), φ) est minimalsi et seulement si les conditions suivantes sont verifiees :

(1) le systeme (B3, φ3) est minimal pour p = 2 ou 3,

(2) le systeme (B2, φ2) est minimal pour p ≥ 5.


Décomposition minimale des systèmes dynamiques p-adiques

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