1Ecoulements dans les milieux poreux Loi de DarcyProposition dexprience

Par E. Deleporte, le 21 mai 2003

Bibliographie!: Hydrodynamique physique, E. Guyon, CNRS Editions

Loi de Darcy!pour un coulement unidimensionnel basse vitesse!:

On sintresse des coulements o le milieu est satur (cest--dire rempli compltement)par une seule phase fluide.Si lcoulement se fait une vitesse assez faible pour que le nombre de Reynolds, dfini partir de la taille des pores et de la vitesse locale, soit trs infrieur lunit, on peut admettre,en coulement stationnaire, que les gradients de pression sont proportionnels la vitessedcoulement dans les pores (loi de Poiseuille applique chaque pore). Cette relation deproportionnalit, valable pour tous les pores individuellement, se conserve si on fait lamoyenne du dbit et des gradients de pression sur un volume grand devant la taille des pores.Pour un chantillon de longueur L et de section A, le dbit volumique Q vrifie donc!:

Q = Kh

A DPL

La constante de proportionnalit K est la permabilit, qui est une caractristique du milieuporeux. DP est la variation de pression entre les 2 extrmits de lchantillon (perte decharge), h est la viscosit dynamique du liquide qui scoule.

Evaluation de la permabilit dun milieu poreux modlis par un faisceau decapillaires parallles!:

On modlise le milieu poreux par un ensemble de capillaires rectilignes parallles dediamtres individuels d.

2Pour un capillaire unique, la relation entre la perte de charge et le dbit dQ est donne par larelation de Poiseuille!:

dQ = p128h

DPL

d4

Soit n le nombre de capillaires par unit de surface perpendiculaire au sens de lcoulement etK la permabilit pour les coulements dans cette direction. Le dbit total travers lensemblede la section A est donc donn par!:

Daprs la loi de Darcy, Q vrifie galement!:

QA

=Kh

DPL

Donc!:

K = n pd4

128

Dfinissons la porosit

comme!le rapport du volume des pores au volume total. Pour unmatriau homogne et isotrope,

est gal la fraction de surface occupe par les pores dansune section plane du matriau, ce qui mne !:

= n pd2

4On a alors!:

K = d2

32Ainsi, pour une porosit donne, la permabilit varie comme le carr du diamtre descanaux!: la chute de pression pour un dbit de fluide donn augmente (ou encore le dbit pourune chute de pression donne diminue) trs rapidement lorsque la taille des pores dcrotmme si le volume poreux total reste constant.

Manipulation propose!: Ecoulement du glycrol dans un milieu poreux form de billesde verre de dimensions calibres

Nous proposons une exprience dans laquelle le milieu poreux est install dans une colonnede verre (une colonne de chromatographie par exemple) maintenue verticalement. Dans ledispositif exprimental propos ci-dessous, la chute de pression est maintenue constante et ledbit volumique est mesur.

3Le liquide!: le glycrolQuelques proprits physiques du glycrol!:Densit volumique!: rgl = 1.26 103 kg.m-3Viscosit!dynamique!: hgl (20C) = 1.412 10-3 kg.m-1.s-1 hgl (30C) = 0.612 10-3 kg.m-1.s-1Viscosit cinmatique!: ngl (20C) = hgl (20C) / rgl = 1.12 10-6 m2.s-1 ngl (30C) = hgl (30C) / rgl = 4.85 10-7 m2.s-1(Attention, la viscosit du glycrol varie beaucoup avec la temprature).

Stocker du glycrol dans lampoule dcanter.Faire scouler le glycrol dans la colonne remplie dune hauteur L de billes (L de lordre de10 cm). Dans cette manipulation, on veut maintenir la chute de pression DP constante. Il fautalors que le niveau de glycrol reste constant pendant le temps de la manip!: rgler le dbit deglycrol sortant de lampoule de faon ce que le glycrol affleure le haut de la colonnependant tout le temps de la manip, le dbit volumique la sortie de lampoule est alors galau dbit volumique la sortie de la colonne. Ou alors on peut raccorder lampoule et lacolonne avec un bouchon en caoutchouc!: lampoule contient environ 150 ml de glycrol, onva prlever environ 10-20 ml pour mesurer le dbit, donc le niveau du glycrol danslampoule va peine baisser et on pourra le considrer comme constant.

4Sassurer que le milieu poreux est bien satur et quil ne reste pas de bulles dair dans lacolonne.Mesurer le dbit volumique de glycrol qui scoule de la colonne laide dune prouvettegradue et dun chronomtre.

Le milieu poreux!:Nous disposons de billes de verre de diamtres calibrs 2 mm et 3 mm, que nous empilonsdans la colonne sur une hauteur L.Pour avoir une ide de la porosit dun tel milieu, on peut chercher valuer la compacit Cde la structure (C= rapport du volume occup par les billes au volume total), sachant que

=1-C!. Pour un rseau cubique faces centres constitu de billes identiques de rayon R, onpeut calculer C (fraction de volume occupe par des sphres en contact)!: C = 0.74. La valeur0.74 de la compacit de la structure cubique faces centres est la plus leve que lonconnaisse pour des empilements de sphres de mme rayon R. En pratique, quand on remplitun rcipient avec des billes de mme rayon, cet empilement priodique ne se forme passpontanment, on construit en fait un empilement dsordonn de compacit comprise entre0.59 et 0.64, quel que soit le mode de remplissage. Donc

est typiquement compris entre0.36 et 0.41.Dans notre manip, on remplit la colonne dune hauteur L de billes. Pour maintenir les billesdans la colonne, on les calera avec un petit morceau dponge Scotch-Brite coinc au fond dela colonne. On vrifie que le dbit volumique de glycrol travers la colonne en labsence debilles nest pas modifi par la prsence de ce petit morceau de Scotch-Brite.

Exemple de mesurse exprimentales!:Hauteur du milieu poreux!: 10 cmDiamtre du tube contenant le milieu poreux!: 2 cm.On trouve pour les billes de verre de diamtre 3mm un dbit Q1= 3 10-8 m3.s-1 (soit uncoulement de 22.7 ml en 12 minutes 26 secondes), pour les billes de diamtre 2 mm un dbitQ2=1.3 10-8 m3.s-1 (soit un coulement de 10 ml en 12 minutes 26 secondes).

DP, A, L et hgl restant constants dans la manip, on a donc

Q1Q2

=K1K2

Si on suppose que la porosit est du mme ordre de grandeur pour les 2 types de billes, K estalors proportionnel au carr du diamtre des pores, qui est lui-mme proportionnel au

diamtre des billes (voir remarque ci-dessous)!. On a alors!:

Q1Q2

=R1

2

R22

Or, pour les billes utilises ici!: (R1/R2)2 = (3/2)2 = 2.25Dautre part, on mesure!: Q1/Q2 = 2.3On obtient un bon accord quantitatif.

Remarque!: Le diamtre des pores est proportionnel au diamtre des billes.Pour fixer les ides, estimons la surface d'un pore individuel sur un systme 2 dimensions(c'est plus facile a apprhender avec un schma). Considrons un empilement triangulairecompact de disques de rayon R.

5Dans cette configuration, un motif unit (la maille lmentaire), qui rpt priodiquement,conduit au rseau triangulaire, est un losange (L) de surface

SL = 2R( ) 2R( ) 3 2 . A l'intrieurde cette surface, il y a exactement les lments d'un disque de surface

S = pR2 , donc le pore aune surface

SL - S = 2 3 - p( )R2 qui est bien proportionnelle a R2.On peut gnraliser ce genre de raisonnement gomtrique un systme 3 dimensions.

Une faon trs visuelle de prsenter la manip consiste monter en parallle deux colonnesidentiques remplies de la mme hauteur L de billes!: dans une colonne, on met les billes de 2mm, dans lautre les billes de 3mm. On dmarre en mme temps lcoulement des 2 colonneset on relve les volumes couls au bout de quelques minutes. On voit alors quuneprouvette est plus remplie que lautre et on peut faire les mesures quantitatives comme cela at prsent ci-dessus.

Il faut vrifier que le nombre de Reynolds Re est faible!:Q = U.A o U est la vitesse de lcoulement dans le milieu poreux.

Re = URn

(la taille des pores est typiquement de lordre de grandeur du rayon des billes). On

trouve que Re est de lordre de 0.06 pour les billes de diamtre 2 mm, 0.1 pour les billes dediamtre 3 mm. Donc Re est bien trs infrieur 1.

Remarque!: Ecoulement de leau dans du sable ou du gel de silice

Proprits physiques de leau!:Densit volumique!: reau = 103 kg.m-3Viscosit!dynamique!: heau = 10-3 kg.m-1.s-1Viscosit cinmatique!: neau = heau / reau = 10-6 m2.s-1

On peut faire la manip propose ci-dessus avec de leau, mais la viscosit de leau tant plusfaible que celle du glycrol 20C, il faut utiliser des matriaux poreux ayant des pores trspetits, de faon ce que le dbit soit suffisamment faible et assurer ainsi un nombre deReynolds infrieur 1. On prendra alors du sable ou du gel de silice comme milieu poreux.

Pour assurer DP constant, on remplacera lampoule dcanter par un grand rcipient du genrede celui qui est utilis pour lcoulement de Poiseuille. Ce rcipient sera raccord la colonne

6par un bouchon en caoutchouc (l aussi, attention aux bulles deau). Pour mesurer le dbit, onprlve typiquement 50 100 ml deau. Le grand rcipient contenant environ 2 litres deau, ceprlvement naffectera pas de faon sensible le niveau de leau.

Exemple de mesurse!exprimentalse!:Hauteur du milieu poreux!: 20 cmDiamtre du tube contenant le milieu poreux!: 2,5 cm.- Avec du sable mortier tamis!: on mesure Q1!= 4.8 10-7 m3s-1 (soit 80 ml en 2 minutes 26secondes). La taille des grains de sable varie typiquement entre 0.5 mm et 1 mm.- Avec du gel de silice!: on mesure Q2!= 8.1 10-8 m3s-1 (soit 80 ml en 16 minutes 30 secondes).La taille des grains de silice varie entre 70 et 230 microns.

Le nombre de Reynolds est de lordre de 0.6 pour le sable, 0.02 pour le gel de silice.

On trouve que Q1/Q2 vaut environ 6, ce qui est raisonnable vus les ordres de grandeur donnspour la taille des grains de sable et de silice. Mais on ne peut pas aller beaucoup plus loin dansle quantitatif.