Daniel ALIBERT Ensembles, applications. Relations d'équivalence… · 2015. 9. 21. · Daniel...

Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 1 1

Daniel ALIBERT

Ensembles, applications. Relations d'équivalence. Lois de composition (groupes). Logique élémentaire.

Objectifs : Démontrer que deux ensembles sont égaux, maîtriser les opérations élémentaires ensemblistes (union, intersection, complémentaire), utiliser les applications (définition, image d'une partie, image réciproque), caractériser et utiliser l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité. Utiliser les relations d'équivalence, classes d'équivalence, compatibilité de structures avec une relation, passage au quotient. Utiliser la structure de groupe. Dans un énoncé mathématique, identifier les connecteurs 'ou' et 'et', les quantificateurs, savoir écrire une réciproque, la négation d'une proposition, une contraposée, savoir ce qu'est un contre-exemple, quel est son rôle.


Organisation, mode d'emploi

Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d'un usage pratique simple. Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l'assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes.


L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants. Ce livre comporte quatre parties. La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formé d'énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d'explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : () pour obtenir des indications pour résoudre la question, () lorsqu'une méthode plus générale est décrite, () renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie 3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui


souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension. Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires).


Table des matières

1 A Savoir ........................................................................ 9 1-1 Ensembles ..................................................... 9 1-2 Applications ................................................ 11 1-3 Relations d'équivalence ............................... 12 1-4 Lois de composition - structures ................. 14 1-5 Logique élémentaire .................................... 17

2 Pour Voir .................................................................... 25 2-1 Ensembles ................................................... 25 2-2 Applications ................................................ 31 2-3 Relations d'équivalence ............................... 41 2-4 Lois de composition - structures ................. 48 2-5 Logique élémentaire .................................... 58

3 Pour Comprendre et Utiliser ...................................... 61 3-1 Énoncés des exercices ................................. 61 3-2 Corrigés des exercices ................................. 81 3-3 Corrigés des questions complémentaires .. 127

4 Pour Chercher ........................................................... 141 4-1 Indications pour les exercices ................... 141 4-2 Méthodes ................................................... 147 4-3 Lexique ...................................................... 153


1 A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Seule la partie 1-5 (logique élémentaire), qui n'est pas toujours exposée dans les cours, a été un peu développée, avec un objectif utilitaire cependant. Vous trouverez des exemples dans la partie 2 * Pour Voir.

1-1 Ensembles

Définition

Un ensemble est défini en extension quand on donne la liste des éléments :

H = 1, 2, π, –12.

Définitions

Un ensemble est défini en compréhension quand on donne une propriété caractérisant les éléments : par exemple

A = x ∈ Q | il existe un réel α tel que α2 = x

A partir de deux ensembles, E et F, on peut définir un autre ensemble :


Le produit cartésien de E et F, noté E × F est l'ensemble des couples (x,y) formés d'un élément x de E et d'un élément y de F. Attention, un couple est ordonné : le couple (x, y) n'est pas le couple (y, x) (sauf si x = y). On définit plus généralement le produit cartésien d'une famille d'ensembles : E × F × G × H, par exemple, est le produit des 4 ensembles E, F, G, H. Égalité de deux ensembles : soient A et B des ensembles. Ils sont égaux s'ils ont les mêmes éléments. Inclusion d'un ensemble dans un autre : A ⊂ B si tout élément de A est élément de B.

Si A ⊂ B et B ⊂ A, alors A = B. Les opérations les plus courantes entre deux ensembles sont : L'intersection :

A ∩ B a pour éléments les éléments qui appartiennent à A et à B La réunion : A ∪ B a pour éléments les éléments qui appartiennent à A ou à B Le passage au complémentaire :

si E est un ensemble et si A ⊂ E, les éléments de CE(A) sont les éléments de E qui ne sont pas éléments de A Les sous-ensembles d'un ensemble E sont les éléments d'un nouvel ensemble, noté P(E), qui est l'ensemble des "parties de E".


Définition

Une relation d'un ensemble E dans un ensemble F est une propriété des éléments de E × F. Si la propriété est vraie pour le couple (x, y), on dit que "x est en relation avec y", et l'on écrit souvent "x R y". Dans le cas contraire, on dit que "x n'est pas en relation avec y". La lettre R désigne alors la relation et symbolise la phrase "est en relation avec" (une autre lettre que R peut évidemment être utilisée).

Le sous-ensemble de E × F formé des couples (x, y) vérifiant x R y est le graphe de la relation R.

1-2 Applications

Les applications sont des relations particulières, celles qui vérifient : "pour tout x de E il existe un unique y de F tel que

x est en relation avec y" Cet élément y de F est appelé l'image de x par l'application. Si f désigne cette application, on écrit :

y = f(x). L'application identique de E, notée IdE, est l'application de E dans E qui associe à tout x de E l'élément x lui-même. Si y = f(x), l'élément x est appelé un antécédent de y. Si f est une application de E dans F, et g une application de F dans G, on définit une application composée de f et g, notée gof, par :

gof (x) = g(f(x)).


Définition

Soit f une application de E dans F, et A une partie de E, A' une partie de F. On appelle image directe de A par f et l'on note f*(A) (ou f(A)) le

sous-ensemble de F défini par : f* (A) = y ∈ F | il existe x ∈ A tel que f(x) = y.

On appelle image réciproque de A' par f, et l'on note f*(A') (ou f -1(A')) le sous-ensemble de E défini par :

f*(A') = x ∈ E | f(x) ∈ A'.

Définition

Soit f : E --. F une application. On dit que f est injective si pour tout x et tout y de E on a l'implication :

f(x) = f(y) ⇒ x = y. On dit que f est surjective si pour tout x' de F, il existe au moins un x de E tel que :

f(x) = x'. On dit qu'une application f est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Si f est bijective, il existe une application réciproque de f, c'est-à-dire une application :

g : F --. E telle que gof = IdE , et fog = IdF.

L'application réciproque de f est généralement notée f -1.


1-3 Relations d'équivalence

Définition

Soit R une relation de E dans lui-même. 1- R est réflexive si pour tout x de E, x R x est vrai. 2- R est symétrique si pour tout x et tout y de E on a l'implication

x R y ⇒ y R x. 3- R est antisymétrique si pour tout x et tout y de E on a l'implication

(x R y et y R x) ⇒ x = y. 4- R est transitive si pour tout x, tout y, tout z de E on a l'implication

(x R y et y R z) ⇒ x R z. Une relation réflexive, symétrique et transitive est appelée une relation d'équivalence.

Définition

Soit E un ensemble, muni d'une relation d'équivalence R. Pour tout élément x de E, on appelle classe d'équivalence de x et l'on note C(x) le sous-ensemble de E formé des éléments y tels que x R y soit vrai. Ces éléments y sont dits équivalents à x.

Propriété

Si x et y sont équivalents, alors C(x) = C(y), et la réciproque est vraie.


Propriété

Les sous-ensembles C(x) forment une partition de E, ce qui signifie que :

a. C(x) ∩ C(y) est soit vide soit égal à C(x) et à C(y). b. La réunion des sous-ensembles C(x) est E. c. Aucune des parties C(x) n'est vide. Réciproquement, la donnée d'une partition de E définit une relation d'équivalence sur E.

Définition

L'ensemble des classes d'équivalence, sous-ensemble de l'ensemble P(E) des parties de E, est appelé l'ensemble quotient de E par la relation R. Il est souvent noté E/R. L'application de E dans E/R, qui à un élément x associe sa classe d'équivalence, est l'application canonique de passage au quotient. Cette application est surjective. Si β est une classe d'équivalence, tout élément de E dont la classe est β est appelé un représentant de β.

1-4 Lois de composition - structures

Parmi les applications, on distingue les lois de composition, ou opérations.

Définition

Soient E et F des ensembles, une loi de composition est une application :

F × E →. E.


Si E ≠ F, on dit que c'est une loi externe, ou encore que F opère sur E. Sinon on parle de loi interne. Pour des raisons de commodité dans les calculs, on note ce type d'application de la manière suivante :

(x, y) →. x T y, ou x × y … par analogie avec x + y par exemple.

Définitions

Soit E un ensemble et T une loi de composition interne dans E. On dit que T est associative si pour tout x, tout y, tout z de E on a l'égalité :

(x T y) T z = x T (y T z). On dit que T est commutative si pour tout x et tout y de E on a l'égalité :

x T y = y T x. Un élément neutre pour T est un élément, soit e, tel que pour tout x de E on a l'égalité :

e T x = x T e = x.

Propriété

Il ne peut y avoir qu'un élément neutre au plus pour une opération donnée. On l'appelle encore élément unité, ou zéro, selon la loi T.

Définition

Si T admet un élément neutre e, on dit qu'un élément x de E admet x' pour symétrique pour T si l'égalité suivante est vraie :

x T x' = x' T x = e.


Cet élément est alors unique, on le note souvent sym(x).

Définition

Si E admet une autre loi de composition interne, soit ⊗, on dit que la loi ⊗ est distributive sur la loi T (ou par rapport à la loi T) si pour tout x, tout y E on a les égalités :

x ⊗(y T z) = (x ⊗ y) T (x ⊗ z), et (y T z) ⊗ x = (y ⊗ x) T (z ⊗ x).

Définition

Soit (E, T) un ensemble muni d'une loi de composition interne. On dit que (E, T) est un groupe si : 1- T est associative, 2- T admet un élément neutre, 3- tout élément de E a un symétrique pour T.

Si de plus T est commutative, on dit que (E, T) est un groupe commutatif, ou abélien. Soit (G, T) un groupe et H une partie de G. On dit que H est stable par T si pour tout couple (x, y) d'éléments de H, x T y est un élément de H. Si H est stable par T, on dit que H est un sous-groupe de (G, T) si (H, T) est lui-même un groupe.

Propriété

Soit (G, T) un groupe, et H une partie de G. Pour que H soit un sous-groupe de (G, T), il faut et il suffit que les propriétés suivantes soient vérifiées : 1) H est non vide. 2) Pour tout x et tout y de H l'élément x T sym(y) appartient à H.


Définition

Soient (G, T), et (H, ⊥) des ensembles, munis de lois internes. On appelle homomorphisme de G vers H une application :

f : G →. H telle que pour tout x et tout y de G on ait :

f(x T y) = f(x) ⊥ f(y). On parlera en particulier d'homomorphisme de groupes.

Définition

Soit E un ensemble sur lequel sont définies à la foi une loi interne ⊗ et une relation d'équivalence R. On dit que R et ⊗ sont compatibles si pour tous les couples (x, y), (z, t) de E, la propriété suivante est vraie :

si x R y, et z R t, alors x ⊗ z R y ⊗ t.

Propriété

Dans la situation précédente, on peut définir une loi interne sur l'ensemble quotient E/R en posant pour des classes C(x), C(z) :

C(x) T C(z) = C(x ⊗ z). Si × est associative (resp. commutative) on vérifie facilement que T l'est également. Si (E, × ) est un groupe, (E/R, T) l'est également.

1-5 Logique élémentaire

La connaissance de quelques règles de base de logique aide à éviter les erreurs de raisonnement les plus grossières. Elle permet également


souvent de commencer la recherche d'une solution en étant capable d'attaquer un problème sous différents angles. Le premier point consiste à savoir lire avec précision un énoncé mathématique pour bien comprendre comment s'articulent les différentes hypothèses, conditions etc.

1-5-1 Énoncé universel, énoncé existentiel Un modèle fréquent d'énoncé est le suivant :

si "A", alors "B" schématisé par une implication :

A ⇒ B. Dans ce modèle, A représente une ou plusieurs conditions, ou hypothèses, éventuellement reliées par des connecteurs logiques (et, ou), B représente une ou plusieurs conclusions également reliées par des connecteurs. Par ailleurs, ces conditions portent sur des objets mathématiques (nombres, fonctions…) et décrivent des propriétés que ces objets peuvent satisfaire (ou non). L'énoncé :

si "A", alors "B" est alors vrai si pour tout objet x vérifiant l'hypothèse A, la conclusion B est également vérifiée : autrement dit, si on passe en revue les différents cas possibles (A(x) vrai ou faux, B(x) vrai ou faux) l'énoncé est vrai si et seulement si il n'y a pas de cas x où A(x) est vrai et B(x) faux.


Définition

S'il existe un cas x où A(x) est vrai et B(x) faux, on dit que x est un contre-exemple à l'énoncé :

si "A", alors "B". On appellera exemple de cet énoncé un cas x où A(x) est vrai et B(x) vrai, et non-exemple un cas où A(x) est faux, quelle que soit la valeur de B(x). Un énoncé vrai peut avoir des exemples ou des non-exemples mais pas de contre-exemple. L'énoncé :

si "A", alors "B" contient donc (souvent de manière implicite) une condition sur les cas possibles : dans tous les cas où A(x) est vrai, alors B(x) doit être vrai également. On dit que cet énoncé contient un quantificateur universel (tous les cas). On note ce quantificateur ∀ ("pour tout", ou "quel que soit"). On écrira par exemple :

∀x, A(x) ⇒ B(x). On lira "pour tout x, si A(x) est vrai alors B(x) est vrai" ou "quel que soit x, A(x) implique B(x)". Étant donnée une propriété P, on peut également vouloir exprimer qu'il y a au moins un cas où cette propriété est vraie (par exemple une équation a une solution au moins, une fonction est dérivable en un point au moins).


Cette affirmation utilise un quantificateur existentiel, noté ∃, "il existe" : ∃ x, P(x).

On lira "il existe au moins un x tel que P(x) est vrai". Il est indispensable, à la lecture d'un énoncé, d'identifier clairement s'il s'agit d'un énoncé universel, ou d'un énoncé existentiel. Les techniques à utiliser pour démontrer cet énoncé seront différentes.

1-5-2 Connecteurs. Négation. Tables de vérité Les conditions composées de plusieurs affirmations doivent être analysées pour savoir, en fonction de la vérité ou de la fausseté des différentes affirmations, dans quel cas elles sont vraies ou fausses. Un moyen simple est d'utiliser les tables de vérité : Pour "A ou B" :

A ou B A = V A = F B = V V V B = F V F

qui se lit : si A est vrai et B vrai, "A ou B" est vrai, si A est vrai et B est faux, "A ou B" est vrai etc.


Pour "A et B" :

A et B A = V A = F B = V V F B = F F F

Il est fréquent d'avoir à utiliser la négation d'un énoncé P : "P est faux", souvent écrit "non(P)" :

P = V P = F non(P) F V

Si la condition P est composée, il faut savoir écrire non(A et B), et non(A ou B). "non(A ou B)" :

non(A ou B) A = V A = F B = V F V B = F V V

On voit que cette table correspond à non(A) et non(B). Les conditions non(A ou B) et "non(A) et non(B)" sont donc vraies, ou fausses, dans les mêmes cas. On dit qu'elles sont équivalentes. De la même façon, on vérifie que "non(A et B)" et "non(A) ou non(B)" sont équivalentes.


La négation d'un énoncé universel :

pour tout x, P(x) , ou encore ∀ x, P(x) est un énoncé existentiel :

il existe x tel que non(P(x)), ou encore ∃ x, non(P(x)).

Inversement, si l'énoncé est existentiel : il existe x tel que P(x) ou encore ∃ x, P(x)

on écrira sa négation :

pour tout x, non(P(x)), ou encore ∀ x, non(P(x)).

Un cas rencontré fréquemment est celui de "pour tout x, A(x) implique B(x)". On écrira que cet énoncé est faux en écrivant qu'il admet un contre-exemple :

il existe un x tel que A(x) et non(B(x)). Enfin pour un énoncé où plusieurs propositions sont "enchâssées" les unes dans les autres, on procédera par paliers : Par exemple :

pour tout x, il existe y tel que P(x,y). On note Q(x) la propriété pour x : "il existe y tel que P(x, y)", et on écrit dans un premier temps la négation de "pour tout x, Q(x)", soit "il existe x tel que non(Q(x))". La négation de Q(x) est "pour tout y, non(P(x,y))". On obtient alors :


Il existe x tel que pour tout y, non(P(x, y)).

On verra des applications dans le volume consacré aux limites par exemple, ou sur les fonctions continues…

1-5-3 transformation de propositions A partir d'un énoncé "si A alors B", on peut écrire d'autres propositions : La réciproque de cet énoncé est "si B alors A". Sa vérité est indépendante de celle de "si A alors B". Les tables des exemples de ces énoncés sont :

A ⇒B A = V A = F

B = V E n-E B = F c-E n-E

B ⇒ A A = V A = F

B = V E c-E B = F n-E n-E

On voit bien que l'existence d'un contre-exemple pour l'un de ces énoncés n'entraîne rien de tel pour l'autre (échange n-E ↔ c-E). La contraposée de "si A alors B" est "si non(B) alors non(A)". Ces énoncés sont équivalents :

A ⇒ B A = V A = F

B = V E n-E


B = F c-E n-E

non(B) ⇒ non(A) A = V A = F

B = V n-E n-E B = F c-E E

Les contre-exemples correspondent aux mêmes cas pour ces deux énoncés (A vrai et B faux). Ils sont donc vrais, ou faux, simultanément, donc équivalents. On observera que bien des résultats se démontrent en passant par une démonstration de la contraposée. Du point de vue des tables de vérité :

A⇒ B A = V A = F

B = V V V B = F F V

B ⇒ A A = V A = F

B = V V F B = F V V

non(B) ⇒ non(A) A = V A = F

B = V V V B = F F V

On se gardera bien de confondre "implication" et "causalité".


Terminons par un mot sur le raisonnement par l'absurde : pour démontrer une proposition, on suppose que la conclusion est fausse. Si la conjonction de l'hypothèse et de la négation de la conclusion conduit à un résultat contradictoire avec certaines hypothèses, ou avec des faits mathématiques connus, on conclut que l'hypothèse auxiliaire niant la conclusion est fausse.


2 Pour Voir

Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très élémentaires pour vérifier votre compréhension. La correction de ces questions est donnée immédiatement.

2-1 Ensembles

"A partir de deux ensembles, E et F, on peut définir un autre ensemble, le produit

cartésien de E et F, noté E × F. C'est l'ensemble des couples (x,y) formés d'un élément

x de E et d'un élément y de F."

exemple 1

Soient a, b, c, d, τ, des nombres distincts, E = 1, 2, 3, F = a, b, c, E × F = (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c). Les éléments de E × F, dans 0, 1, 2, 3, 4 × a, b, c, d, τ, sont notés "X".

τ a b c d

0 1 X X X 2 X X X 3 X X X 4


exemple 2

(à traiter)

Soient a, b, c, d, e, des nombres distincts, et : A = a, b, d, e, B = b, c, d.

Les ensembles suivant sont-ils des sous-ensembles de A × B. P1 = (a, b), (b, a), (a, c), (b, c), P2 = (a, c), (b, c), (c, c)

P3 = (d, b), (e, b), (d, d), (e, d).

# réponse

Voici des graphiques pour mieux voir : l'ensemble A × B est repéré par des "X" (en gras) , les éléments de P1, P2, P3, sont des "X" (soulignés). Les éléments communs sont à la fois en gras et soulignés "X".

P1 a b c d e a X X X b X X X X c d X X X e X X X

P1 n'est pas une partie de A × B : (b, a) n'est pas dans A × B.

P2 a b c d e a X X X b X X X c X d X X X


e X X X P2 n'est pas une partie de A × B : (c, c) n'est pas dans A × B.

P3 a b c d e a X X X b X X X c d X X X e X X X

P3 est une partie de A × B.

exemple 3

Soient x, y, z, t, u des nombres distincts, et E = x, y, z, t, u. Soit F = x, z, u.

On voit facilement que F × F est une partie de E × E. x y z t u x X X X X X y X X X X X z X X X X X t X X X X X u X X X X X

Soit A = x, t, B = y, t, u. A × B est une partie de E × E.


x y z t u x X X X X X y X X X X X z X X X X X t X X X X X u X X X X X

exemple 4

(à traiter)

(x,x), (x,y), (x,u), (t,x), (t,y), (t,u), (x, z), (u, t)= G.

L'ensemble G est -il une partie de E × E ? Est-il le produit cartésien de deux sous-ensembles de E ?

# réponse

L'ensemble G est bien une partie de E × E. Pour savoir si G est un produit cartésien, il faut "projeter" G sur E par les deux projections (de E × E dans E) :

(a, b) → a (a, b) → b

ou encore considérer l'ensemble des "premières coordonnées", soit P et l'ensemble des "secondes coordonnées", soit S, et voir si G = P × S.

x y z t u x X X X X X y X X X X X


z X X X X X t X X X X X u X X X X X

P = x, t, u, et S = E. Si G est un produit cartésien, G = P × S. Ce n'est pas le cas, donc G n'est pas le produit cartésien de parties de E.

"Les sous-ensembles d'un ensemble E sont les éléments d'un nouvel ensemble, noté

P(E), qui est l'ensemble des parties de E."

exemple 5

E = 1, 2, 3. P(E) = ∅, 1, 2, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3 .

Ne pas oublier la partie vide, ni la partie pleine. L'ensemble E a trois éléments, l'ensemble P(E), 8 éléments.

exemple 6

(à traiter)

Soient a, b, c, d des éléments distincts. Ecrire P(a, b, c, d). Combien y a-t-il d'éléments ? Essayer de deviner une formule donnant le nombre de parties d'un ensemble qui a n éléments.

# réponse

Dans P(a, b, c, d), on a : une partie à zéro éléments, ∅,

quatre parties à un élément, a, b, c, d,


quatre parties à trois éléments, six parties à deux éléments, une partie à quatre éléments.

Nombre de parties : 1 + 4 + 4 + 6 + 1 = 16. Un ensemble à n éléments a 2n parties : on le vérifie par récurrence.

"Une relation d'un ensemble E dans un ensemble F est une propriété des éléments de

E × F."

exemple 7

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; R est la relation de A dans A définie par x R y si x + y est divisible par 3. Le graphe de R dans A × A est donné par le tableau (par convention, le premier terme figure dans la colonne de gauche, le second dans la ligne du haut). Par exemple 2R1 puisque 2 + 1 = 3, on a mis une X dans la ligne de 2, colonne de 1.

xOy 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 X X X 2 X X X 3 X X X 4 X X X 5 X X X


6 X X X 7 X X X 8 X X X 9 X X X

exemple 8

(à traiter)

Q = P(1, 2, 3). Ecrire le graphe de la relation R dans Q définie par : A R B si A ∩ B = Ø.

# réponse

AOB Ø 1 2 3 1,2 2,3 1,3 1,2,3

Ø X X X X X X X X 1 X X X X 2 X X X X 3 X X X X 1,2 X X 1,3 X X 2,3 X X 1,2,3 X


2-2 Applications

"Les applications sont des relations particulières, celles qui vérifient : pour tout x de E,

il existe un unique y de F tel que x soit en relation avec y."

exemple 9

Les relations présentées ci-dessus ne sont pas des applications. Avec les conventions utilisées dans ces tableaux, il faut vérifier que dans chaque ligne il y a un et un seul élément.

E = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. La relation de E dans E qui s'écrit x R y si :

x – y est divisible par 3 et y < 3 se représente dans le tableau suivant (x repère la ligne, y la colonne) :

xOy 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X


Il y a bien un et un seul terme dans chaque ligne. C'est une application de E dans E. On voit bien qu'il ne faut pas confondre "application" et "formule".

exemple 10

(à traiter)

F = – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. On utilise la même relation que ci-dessus :

x – y est divisible par 3 et y < 3. Représenter le graphe de cette relation. Est-ce une application ?

# réponse

Le graphe est représenté ci-contre.

xOy – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6

– 3 X X – 2 X X – 1 X X 0 X X 1 X X 2 X X 3 X X 4 X X 5 X X 6 X X

Ce n'est donc pas une application : il y a deux termes dans chaque ligne.


"Soit f une application de E dans F, et A une partie de E, A' une partie de F. On appelle image directe de A par f et on note f

*(A) le sous-ensemble de F défini par f

*(A) = y ∈

F | il existe x ∈ A tel que f(x) = y . On appelle image réciproque de A' par f, et on note

f*(A') (ou f -1(A')) le sous-ensemble de E défini par :

f*(A') = x ∈ E | f(x) ∈ A' ."

exemple 11

Sur le dessin suivant on figure l'image d'une partie de E, et l'image réciproque d'une partie de F. L'application de E dans F consiste à projeter orthogonalement. L'image réciproque de B est formée de tous les points "au-dessus de B". L'image de A est formée des points "au-dessous de A".


exemple 12

(à traiter)

Représenter sur un dessin analogue f*(f*(A)) et f*(f*(B)).

# réponse

Les points de f*(f

*(B)) sont les points de B "au-dessous" de points de

f*(B). Les points de f*(f*(A)) sont les points "au-dessus" d'un point de F

image d'un point de A. On voit clairement sur cet exemple un cas où B ≠ f*(f

*(B)) et A ≠ f*(f*(A)).


"Soit f : E --. F une application, On dit que f est injective si pour tout x et tout y de E on

a l'implication f(x) = f(y) x = y."

exemple 13

L'application schématisée à l'exemple précédent n'est, bien sûr, pas injective. La notion d'application injective est en étroite liaison avec la question de l'unicité des solutions d'une équation. Ainsi soit A = [1000 , 2000] un intervalle de N. On associe à un élément x de A un élément y de N : y est le reste de la division de x par 1234. Cette application de A dans N est injective : supposons que x et x' aient le même reste dans la division par 1234 :

x = 1234 × q + y x' = 1234 × q' + y

donc x – x' = 1234 × (q – q'), et a fortiori | x – x' | = 1234 × | q – q' |. Or | x – x' | est au plus égal à 1000, donc | q – q' | est un entier positif ou nul inférieur à 1, c'est-à-dire 0, donc x = x'.

exemple 14

(à traiter)

Soit b un réel strictement positif. On définit une application f de [0 , +∞[ dans R, par :

f(x) = x2 + bx – 1. Cette application est-elle injective ?

# réponse

On cherche si, étant donné un réel y, l'équation en x : x2 + bx – 1 = y


a une seule solution, ou aucune. Si x et x' sont des solutions : x'2 + bx' – 1 = y x2 + bx – 1 = y

soit : x'2 – x2 + b(x' – x) = 0.

Si x ≠ x', on peut simplifier par x – x', d'où : x + x' + b = 0.

Or x et x' sont positifs ou nuls, et b est strictement positif, donc cette égalité est fausse. Il n'est donc pas possible que x et x' soient distincts. L'application est injective. (NB : exemple de raisonnement par l'absurde.)

"On dit que f est surjective si pour tout x' de F il existe au moins un x de E tel que f(x) =

x'."

exemple 15

L'application de l'exemple 11 n'est pas surjective : certains points de F ne sont "au-dessous" d'aucun point de E. L'application de l'exemple 13 n'est pas surjective, puisque y est nécessairement inférieur à 1234. Il est clair que la surjectivité dépend du choix de l'ensemble où l'application prend ses valeurs. La surjectivité est étroitement liée à l'existence de solutions des équations : pour l'application f de l'exemple 14, il faut chercher pour quelles valeurs de y réelles l'équation en x :

x2 + bx – 1 = y a des solutions positives.


Le discriminant est b2 + 4 + 4y. Il y a au moins une solution réelle si :

y ≥ −1−b2

4.

La somme des racines étant –b, donc négative, il n'y a de solution positive ou nulle que si le produit est négatif ou nul (racines de signes opposés) soit si 1 + y ≥ 0. En résumé, il y a une solution positive ou nulle si et seulement si y ≥ – 1. On dira donc que si l'ensemble d'arrivée de l'application est [ – 1 , + ∞[ l'application est surjective. Si cet ensemble est R, elle n'est pas surjective.

"Soit R une relation de E dans lui-même ; R est réflexive si pour tout x de E, x R x est

vrai ; R est symétrique si pour tout x et tout y de E on a l'implication x R y ⇒ y R x ; R

est antisymétrique si pour tout x et tout y de E on a l'implication (x R y et y R x) ⇒ x =

y ; la relation R est transitive si pour tout x, tout y, tout z de E on a l'implication (x R y

et y R z) ⇒ x R z ."

exemple 16

E = a, b, c, d, e. On étudie la relation dont le graphe est :

a b c d e a X X b X X c X X X d X X e X X

Elle n'est pas réflexive : (c, c) n'est pas dans le graphe.


Elle n'est pas symétrique : (c, b) est dans le graphe mais pas (b, c). Enfin elle n'est pas transitive : (a, c) est dans le graphe, (c, e) aussi, mais pas (a, e). Si on veut compléter le graphe pour obtenir celui d'une relation réflexive, il faut adjoindre (c, c) (toute la diagonale de E × E, c'est-à-dire les éléments (z, z), z quelconque dans E, doit être contenue dans le graphe d'une relation pour qu'elle soit réflexive. On obtiendrait le tableau suivant (X pour le nouveau point) :

a b c d e a X X b X X c X X X X d X X e X X

Cette nouvelle relation n'est pas symétrique : (c, b) figure mais pas (b, c). Pour la compléter, il faut s'assurer que pour tout point figurant dans le graphe, le point symétrique par rapport à la diagonale figure également. On ajoute le point (X) au tableau :

a b c d e a X X b X X X c X X X X d X X


e X X Cette nouvelle relation n'est toujours pas transitive : (a, c) et (c, e) mais pas (a, e). Si on veut la compléter pour obtenir une relation d'équivalence, il faut remplir toutes les cases : (a, c), (c, b), (c, e), sont dans le graphe donc (a, b), (a, e) aussi. Comme (b, d) est dans le graphe, (a, d) aussi. On raisonne de même pour b, c, puis d, et e.

exemple 17

(à traiter)

La relation étudiée plus haut (exemple 10) : F = –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, et x R y si x – y est divisible par 3 et y < 3 est-elle une relation symétrique, réflexive, transitive ? Examiner aussi la "même" relation, sur G = –3, –2, –1, 0, 1, 2 : x R y si x – y est divisible par 3.

# réponse

Le graphe de R sur F est :

xOy –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

–3 X X –2 X X –1 X X 0 X X 1 X X


2 X X 3 X X 4 X X 5 X X 6 X X

Elle n'est pas réflexive : 3 R 3 n'est pas vrai, par exemple. Elle n'est pas symétrique : 3 R (– 3) par exemple, mais pas (– 3) R 3. Elle est transitive ; on peut le vérifier sur le graphe (mais c'est long) ou par un raisonnement.

Si x – y est divisible par 3 et y est inférieur à 3, et si y – z est divisible par 3 et z inférieur à 3, alors

x – z = (x – y) + (y – z) est divisible par 3 et z inférieur à 3. En restriction à G, on obtient le graphe en effaçant les quatre dernières lignes et colonnes :

xOy –3 –2 –1 0 1 2

–3 X X –2 X X –1 X X 0 X X 1 X X 2 X X

Cette relation est réflexive, et symétrique. Le raisonnement précédent subsiste, donc la relation est également transitive sur G.


C'est une relation d'équivalence sur G.

2-3 Relations d'équivalence

"Soit E un ensemble, muni d'une relation d'équivalence R. Pour tout élément x de E, on

appelle classe d'équivalence de x et on note C(x) le sous-ensemble de E formé des

éléments y tels que xRy soit vrai."

exemple 18

Construction de l'ensemble Z des entiers relatifs à partir de l'ensemble N des entiers naturels (voir plus loin, exemple 20). On utilise la relation suivante sur N × N :

(m, n) R (m', n') si m + n' = n + m'. C'est une relation d'équivalence ; elle est :

réflexive : (m, n) R (m, n) car m + n = n + m. symétrique : si (m, n) R (m', n') alors m + n' = n + m' donc

m' + n = n' + m ; donc (m', n') R (m, n).

transitive : si (m, n) R (m', n') et (m', n') R (m", n") m + n' = n + m'

m' + n" = n' + m" soit, par addition,


m + n' + m' + n" = n + m' + n' + m" et, par simplification, m + n" = n + m" ;

donc (m, n) R (m", n"). La classe d'équivalence de (0, 0) est formée de tous les couples (m, m). Plus généralement, la classe de (a, b), avec a > b, est formée des couples (m, n) vérifiant :

a + n = b + m, donc m = a – b + n ;

C((a,b))= (a – b + n, n), n N. De même si a < b :

C((a, b)) = (m, b – a + m), m N.

exemple 19

(à traiter)

Sur le produit Z × Z*, formé des couples d'entiers relatifs (p, q) avec q ≠ 0, on définit de manière analogue une relation R en posant :

(p, q) R (p', q') si pq' = p'q. Vérifier que c'est une relation d'équivalence. Expliciter quelques classes d'équivalences : par exemple C((0, 1)), C((1, 3)), C((2, 1)).

# réponse

Vérification :


réflexivité : (a, b) R (a, b) puisque ab = ab ; symétrie : si (a, b) R (c, d) alors ad = bc, donc cb = da, et :

(c, d) R (a, b) ; transitivité : si (a, b) R (c, d) et (c, d) R (e, f) alors :

ad = bc cf = de, donc, par multiplication,

adcf = bcde. Comme d n'est pas nul, on peut simplifier :

acf = bce. (1) Si c = 0, alors a = 0 puisque ad = bc et d ≠ 0 ; de même e = 0 donc :

af = be (= 0). (2) Si c ≠ 0, on simplifie acf = bce par c d'où af = be. Dans tous les cas la transitivité est vérifiée. On a bien défini une relation d'équivalence. C((0, 1)) : (a, b) R (0, 1) quand a = 0, b étant quelconque, non nul.

C((0, 1)) = (0, b), b Z* C((1, 3)) : (a, b) R (1, 3) quand b = 3a, a étant quelconque, non nul.

C((1, 3)) = (a, 3a), a Z* C((2, 1)) : (a, b) R (2, 1) quand a = 2b, b étant quelconque, non nul.

C((2, 1)) = (2b, b), b Z*


"L'ensemble des classes d'équivalence, sous-ensemble de l'ensemble P(E) des parties de

E, est appelé l'ensemble quotient de E par la relation R, souvent noté E/R."

exemple 20

Nous reprenons les deux exemples ci-dessus, pour reconnaître les ensembles quotients. En fait, nous allons reconnaître qu'il y a une bijection naturelle de ces ensembles quotients avec des ensembles connus. (NB : On peut adopter un autre point de vue et considérer que la définition des ensembles "connus" que nous allons mettre en évidence est justement d'être ces ensembles quotients : c'est ce que l'on fait lorsqu'on construit Z à partir de N, et Q à partir de Z.) Pour la relation (m, n) R (m', n') si m + n' = m' + n, on voit qu'il n'y a dans chaque classe qu'un point tel que m = 0. Ces points sont les entiers naturels n – m pour les classes C((m, n)), avec m < n, ce sont les entiers négatifs n – m pour les classes C((m, n)), si m > n. On obtient de cette manière une bijection entre l'ensemble des classes d'équivalence (ensemble quotient) et l'ensemble des entiers relatifs Z :

N × N/R→. Z

C((m, n)) → n – m. On voit que N se réalise comme une partie de Z en identifiant n avec C((0,n)). NB : on aurait pu choisir de prendre l'intersection des classes, prolongées en droites, avec l'axe des abscisses. Cela correspondrait à C((m, n)) → (m – n). C'est souvent ce choix qui est fait ; dans ce cas, on identifie n avec C((n, 0)).


exemple 21

(à traiter)

De manière analogue, établissez une bijection entre l'ensemble quotient de la deuxième relation et l'ensemble des rationnels.

# réponse

Pour Z × Z*, et la relation (p, q) R (p', q') si pq' = p'q, on peut chercher dans une classe donnée s'il y a un représentant de la forme (x, 1) :

(p, q) R (x, 1) si qx = p. Donc si q divise p, x est le quotient. Sinon, x n'existe pas. Par extension, même si q ne divise pas p, on fera correspondre à la classe

de (p, q) le rationnel p

q. C'est bien une application puisque quel que soit

le représentant d'une classe, le rationnel p

q est le même. Elle est bien

bijective. Graphiquement, on peut faire correspondre à une classe (points alignés avec (0, 0)) l'intersection de la droite avec la droite d'équation y = 1. Lorsque la classe correspond à un entier relatif, l'intersection a une abscisse entière, sinon, ce n'est pas un entier mais un rationnel non entier.

2-4 Lois de composition - structures

"Soit E un ensemble et T une loi de composition interne dans E. On dit que T est

associative si pour tout x, tout y, tout z de E on a l'égalité (x T y) T z = x T (y T z)."

exemple 22

Certaines opérations élémentaires ne sont pas associatives.


Elles demandent des précautions particulières dans l'utilisation des parenthèses, pour éviter les erreurs. Ainsi l'exponentiation (élévation à une puissance), dans N par exemple :

si n T m = nm, 2 T (3 T 4) = 281 (2 T 3) T 4 = 212.

exemple 23

(à traiter)

Examiner de ce point de vue les opérations suivantes : soustraction dans Z,

division dans R*.

# réponse

Ces deux opérations ne sont pas associatives. On trouve facilement des contre-exemples :

(1 – 2) – 3 = – 4, et 1 – (2 – 3) = 2,

12

3

=3

2, et

1

23

=1

6.


"Soit (E,T) un ensemble muni d'une loi de composition interne. On dit que (E,T) est un

groupe si 1- T est associative, 2- T admet un élément neutre, 3- Tout élément de E a un

symétrique pour T."

exemple 24

Vous avez déjà rencontré de nombreux groupes : (Z, +), (Q, +), (R, +),… Penser qu'il y a d'autres exemples que les ensembles de nombres : soit E l'ensemble des rotations de centre O (centre du pentagone) qui "conservent" le pentagone régulier, c'est-à-dire le transforment (globalement) en lui-même. Si T désigne la composition des applications, il est clair que (E, T) est un groupe : la composée de deux rotations conservant le pentagone le conserve, donc la loi est bien interne, la composition est associative, l'application identique conserve le pentagone, si une rotation conserve le pentagone, la rotation d'angle opposé le conserve également. Remarquer qu'il n'a pas été nécessaire de connaître les rotations qui appartiennent à E pour établir ce résultat.

exemple 25

(à traiter)

Soit A = 1, 2, 3. On appelle S3 l'ensemble des bijections de A dans A. On représente une telle bijection en écrivant (a, b, c) si a est l'image de 1, b l'image de 2 et c l'image de 3 (a, b, c = 1, 2, 3 bien entendu). Ecrire l'ensemble des éléments de S3, et vérifier que cet ensemble est bien un groupe pour la composition des applications.


# réponse

On établit la liste des éléments sans difficulté : la méthode employée est d'écrire d'abord l'application identique (3 éléments fixes), puis les bijections avec exactement 1 élément fixe (il n'y en a pas avec exactement 2 éléments fixes, bien entendu), puis celles sans élément fixe. Pour plus de facilité dans l'écriture de la table de composition, on leur donne des noms.

I = (1, 2, 3) t1 = (1, 3, 2) t2 = (3, 2, 1) t3 = (2, 1, 3) s = (2, 3, 1) u = (3, 1, 2)

Il n'y en a pas d'autre puisque 1 donne 1, 2, ou 3. S'il donne 1, alors 2 donne 2 (I) ou 3 (t1) ; s'il donne 2, alors 2 donne 1 (t3) ou 3 (s), s'il donne 3, alors 2 donne 2 (t2) ou 1 (u). On peut faire le même raisonnement que ci-dessus pour le pentagone. On peut aussi écrire une table de composition, analogue à une table de multiplication : dans la ligne correspondant à la bijection f, et dans la colonne correspondant à la bijection g, on figure la composée fog (attention : l'ordre compte).

I t1 t2 t3 s u I I t1 t2 t3 s u t1 t1 I s u t2 t3 t2 t2 u I s t3 t1 t3 t3 s u I t1 t2


s s t3 t1 t2 u I u u t2 t3 t1 I s

Pour remplir ce tableau, on applique successivement deux bijections : par exemple t1ou (d'abord u, puis t1) est égal à t3.

(1, 2, 3) → (3, 1, 2) → (2, 1, 3) Sur cette table on vérifie que la loi est interne, qu'il y a un élément neutre (I), et que chaque élément a un symétrique (lui-même pour t1, t2, t3, u pour s et inversement). Pour l'associativité, il est bien préférable de revenir à un raisonnement général sur l'associativité de la composition.

exemple 26

(à traiter)

La même table peut être obtenue à partir d'un groupe de transformations géométriques : chercher quelles sont les transformations (isométries) qui conservent un triangle équilatéral, et voir qu'elles forment un groupe ayant la même table que S3 (on dit que ces groupes sont isomorphes). Identifier quelles transformations correspondent à t1, t2, t3, s, u.

# réponse

Les transformations du plan qui conservent ce triangle sont l'application identique (Id), les symétries par rapport aux trois hauteurs (s1, s2, s3), la

rotation R d'angle 2π3

, et la rotation R2 d'angle 4π3

.

On vérifie que, pour la composition des isométries du plan, cet ensemble de transformations a bien la même table que S3 ; on peut identifier les


symétries s1, s2, s3 aux bijections t1, t2, t3 (dans n'importe quel ordre), puis R à s (ou u) et R2 à u (ou à s) selon le premier choix : par exemple si s1 correspond à t1, s2 à t2, s3 à t3, et si s2os1 = R, on identifiera R à u, R2 à s. Une méthode facile consiste à nommer 1, 2, 3 les sommets du triangle et à observer comment chaque transformation géométrique permute l'ensemble 1, 2, 3.

exemple 27

(à traiter)

Un même ensemble peut être un groupe pour des opérations différentes. Par exemple, vérifier que Z est un groupe pour l'opération & :

p & q = p + q si p est pair, et p & q = p – q sinon. Est-ce un groupe commutatif ?

# réponse

associativité : p & (q & r) = p + (q & r) si p est pair, p & (q & r) = p + (q + r) si p et q sont pairs, dans ce cas, (p & q) & r = (p + q) & r = (p + q) + r puisque p + q est pair, p & (q & r) = p + (q – r) si p est pair et q impair, dans ce cas, (p & q) & r = (p + q) – r puisque p + q est impair, p & (q & r) = p – (q & r) si p est impair, p & (q & r) = p – (q + r) si p est impair et q pair, dans ce cas, (p & q) & r = (p – q) – r puisque p – q est impair. p & (q & r) = p – (q – r) si p et q sont impairs, dans ce cas, (p & q) & r = (p – q) + r puisque p – q est pair.


Dans tous les cas, l'associativité est vérifiée. élement neutre : p & 0 = p et 0 & p = p (0 est pair). symétrique : si p est pair, p & (– p) = 0 donc (– p) est le symétrique ; si p est impair, p & p = 0, donc p est le symétrique. Pour la commutativité, on trouve facilement un contre-exemple :

2 & 3 = 2 + 3, 3 & 2 = 3 – 2.

"Soit (G,T) un groupe et H une partie de G. On dit que (H,T) est un sous-groupe de

(G,T) si (H,T) est lui-même un groupe."

exemple 28

Les exemples vus ci-dessus sont des sous-groupes de quelques groupes généraux qu'il faut bien reconnaître car, dans de nombreux cas, les groupes utilisés sont des sous-groupes. exemple 24 : les groupes de nombres sont en général des sous-groupes de (C, +), ou (C*, ×). exemple 24, 25, 26 : l'ensemble des bijections d'un ensemble E dans lui-même est un groupe pour la composition. Les bijections qui "conservent" une partie A de l'ensemble E forment un sous-groupe (qu'on appelle le stabilisateur de A). Par contre, il existe des propriétés qui se conservent par composition (continuité, dérivabilité…) mais pas nécessairement par réciproque (dérivabilité). Un sous-ensemble formé de bijections ayant une telle propriété ne formera pas nécessairement un sous-groupe : on y reviendra.


exemple 29

(à traiter)

Reprendre l'exemple du groupe S3 (exemple 25). Chercher tous ses sous-groupes. Indication : un sous-groupe doit contenir au moins l'élément neutre, et s'il contient un autre élément, il contient son symétrique. Distinguer les cas en fonction du nombre d'éléments.

# réponse

Reproduisons la table du groupe.

I t1 t2 t3 s u I I t1 t2 t3 s u t1 t1 I s u t2 t3 t2 t2 u I s t3 t1 t3 t3 s u I t1 t2 s s t3 t1 t2 u I u u t2 t3 t1 I s

Sous-groupe à un élément : ce ne peut-être que I. Sous-groupe à deux éléments : I, et f égal à son symétrique I, t1, I, t2, I, t3. Sous-groupe à trois éléments : I, f et son symétrique, les composés de f doivent être également dans le sous-groupe ; I, s, u est un exemple. Si un sous-groupe contient deux éléments distincts de t1, t2, t3, il contient nécessairement u et s. Il n'y a donc pas d'autre possibilité.


Sous-groupe à quatre éléments : I, et trois parmi les cinq autres. Compte tenu de la table, s'il y a t1 et s ou u, il y a tous les éléments. Ce cas est impossible, de même pour cinq éléments. Sous-groupe à six éléments : S3 lui-même.

Ce groupe a donc six sous-groupes : I, I, t1, I, t2, I, t3, I, s, u, I, t1, t2, t3, s, u.

NB : la théorie montre que le nombre d'éléments d'un sous-groupe est un diviseur du nombre d'éléments du groupe. Il ne pouvait donc pas y avoir de sous-groupes à quatre ou à cinq éléments.

"Soit (G, T) un groupe, et H une partie de G. Pour que (H, T) soit un sous-groupe de

(G, T), il faut et il suffit que les propriétés suivantes soient vérifiées :1) H est non vide,

2) Pour tout x et tout y de H l'élément x T sym(y) appartient à H."

exemple 30

Soit H le sous-ensemble de (Z, +) formé de tous les multiples de 11 : 0 est dans H donc H n'est pas vide ;

si x et y sont des multiples de 11, x – y aussi. Conclusion : H est un sous-groupe de Z.

exemple 31

(à traiter)

Soit a un réel et Fa le sous-ensemble de (R3, +) défini par :

Fa = (x, y, z) | 2x – y + z = a .

Pour quelles valeurs de a ce sous-ensemble est-il un sous-groupe ?


# réponse

Pour tout a, Fa est non vide.

Si (x, y, z) est un point de ce plan, et (x', y', z') un autre point : 2x – y + z = a 2x' – y' + z' = a

d'où par soustraction : 2(x – x') – (y – y') + (z – z') = 0.

Il en résulte que la seule valeur qui convienne est a = 0. On pouvait le voir également en vérifiant que l'élément neutre (0, 0, 0) est un élément de Fa.

"Soient (G, T), et (H,⊥) des groupes. On appelle homomorphisme de groupes de G vers H une application f : G --. H telle que pour tout x et tout y de G on ait f(x T y) = f(x)

⊥ f(y)."

exemple 32

Les fonctions usuelles exponentielle et logarithme sont des homomorphismes de groupes, réciproques l'un de l'autre.

exp : (R, +) --. (R+*, x) exp(t1+t2) = exp(t1) x exp(t2)

Log : (R+*, x) --. (R, +) Log(a x b) = Log(a) + Log(b).

exemple 33

(à traiter)

Soit f : (Z, +) --. (Z, +) un homomorphisme de groupe.


On pose m = f(1). Calculer f(2), f(–1) ; démontrer que f est complètement défini par la donnée de f(1). Ecrire la forme générale des endomorphismes de (Z, +).

# réponse

f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1), f(2) = 2m.

On sait que l'image par un homomorphisme de groupes du symétrique d'un élément est le symétrique de l'image de cet élément.

f(– 1) = – f(1) f(– 1) = – m.

On vérifie par récurrence que pour tout n entier relatif, f(n) = nm : n ≥ 0 d'abord ;

f(0) = 0 = 0 × m. si on suppose vrai que f(n) = nm,

f(n + 1) = f(n) + f(1) f(n + 1) = nm + m

f(n + 1) = (n + 1)m. Pour n < 0, on utilise la remarque faite ci-dessus sur l'image du symétrique. La forme générale des endomorphismes de (Z, +) est donc f(x) = ax, a étant un entier relatif quelconque.


2-5 Logique élémentaire

"Énoncé universel, énoncé existentiel."

exemple 34

Considérons l'énoncé : "Il n'y a pas de plus grand élément dans N"

C'est une propriété des entiers naturels, valable pour tous les entiers, donc un énoncé universel :

"Pour tout élément de N, il y a un élément plus grand que cet élément" L'énoncé s'analyse donc comme un énoncé existentiel enchâssé dans un énoncé universel. En écriture symbolique :

∀n, n ∈ N, ∃ p, p ∈ N, p > n.

exemple 35

(à traiter)

Ecrire symboliquement, en reconnaissant énoncé existentiel et énoncé universel, la propriété :

"L'ensemble des nombres premiers a un plus petit élément"

# réponse

C'est d'abord un énoncé existentiel puisqu'il affirme l'existence d'un objet. Cet objet est caractérisé par une propriété en référence à un ensemble, donc valable pour tous les éléments de l'ensemble, c'est-à-dire une propriété universelle. On écrira (P désigne l'ensemble des nombres premiers) :


∃ m, m ∈ P, ∀x, x ∈ P, m ≤ x.

"Négation d'un énoncé universel, ou existentiel."

exemple 36

"Tout rationnel est un nombre décimal" Symboliquement, on écrit :

∀ x, x ∈ Q x ∈ D. La négation s'écrit :

∃ x, x ∈ Q et x ∉ D, soit ∃ x, x ∈ Q et ∀ y, y ∈ D, y ≠ x.

De manière plus détaillée, le premier énoncé s'écrit :

∀ (p, q), (p, q) ∈ Z × Z*, ∃ (m, n), (m, n) ∈ Z × N, p

q=

m

10n .

Sa négation :

∃ (p, q), (p, q) ∈Z × Z*, ∀(m, n), (m, n) ∈ Z × N, p

q≠

m

10n .

C'est, bien entendu, la négation qui est vraie : par exemple 1/3 n'est pas un décimal, puisque 3 n'est pas un diviseur de 10.

exemple 37

(à traiter)

Ecrire la négation de l'énoncé : "Les réels positifs ou nuls ont deux racines carrées réelles distinctes"


# réponse

L'énoncé s'écrit :

∀ x, x ∈ R+, ∃ (a, b), (a, b) ∈ R × R, a ≠ b, x = a2 et x = b2 . Sa négation :

∃ x, x ∈ R+, ∀(a, b), (a, b) ∈ R × R, a ≠ b, x ≠ a2 ou x ≠ b2 . "Certains réels positifs ou nuls n'ont pas deux racines carrées réelles distinctes". (cet énoncé est vrai, penser à x = 0).


indications pour résoudre - méthode - lexique

3 Pour Comprendre et Utiliser

3-1 Énoncés des exercices

Démontrer que deux ensembles sont égaux, maîtriser les opérations élémentaires ensemblistes (union, intersection, complémentaire), utiliser les applications (définition, image d'une partie, image réciproque), caractériser et utiliser l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité.

exercice 1

Soit E un ensemble. A toute partie A de E, on associe une application, notée 1A , de E dans 0, 1 :

si x ∈ A, 1A(x) = 1, sinon, 1A(x) = 0.

Cette application est la "fonction caractéristique" de A. Elle permet, inversement, de retrouver A :

A = 1A*(1).

1) Soient A et B des parties de E. Etablir les énoncés suivants : () si A ⊂ B, alors 1A ≤ 1B ;

si C = A ∩ B, alors 1C = 1A × 1B ;

si D = CE(A), alors 1D = 1 – 1A.



2) La réciproque () du premier énoncé est-elle vraie ? ()

3) Ecrire une relation entre la fonction caractéristique de l'union A ∪ B et les fonctions caractéristiques de A et de B. ( ) 4) A l'aide des fonctions caractéristiques, démontrer les égalités :

CE(A ∩ B) = CE(A) ∪ CE(B). Α ∩ (Β ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Examiner par cette méthode d'autres relations semblables. 5) La fonction (1A – 1B) est-elle la fonction caractéristique d'une partie de E ? Si oui, laquelle ? Mêmes questions pour |1A – 1B |.

exercice 2

Soit E un ensemble. A tout couple (A, B) de parties de E vérifiant A ⊂ B, on associe une application χA,B de E dans 0, 1, 2 par :

χA,B (x) = 0 si x ∉ B

χA,B (x) = 1 si x ∈ B et x ∉ A

χA,B (x) = 2 si x ∈ A. 1) Soit C une partie de E. On suppose que A ⊂ C et B ⊂ C. Etablir la relation () :

χA,B .χA,C = (χA,B∩C)2

2) Avec les mêmes hypothèses, calculer χA,B∪C. ()



3) Exprimer χC(B),C(A) en fonction de χA,B (C(X) désigne ici le complémentaire de X dans E).

4) Déduire de ce qui précède des expressions de χA∪A',B et χA∩A',B, si A et A' sont des parties de B ().

exercice 3

Soient E et F des ensembles et f une application de E dans F. (Cf. exercice 1 pour les notations.) 1) Soient B et B' des parties de F. Exprimer 1f*(B) à l'aide de 1B et de f ().

Quelle relation pouvez-vous en déduire entre f*(B∩ B') et f*(B) ∩ f*(B') ? 2) Soit A une partie de E, démontrer () :

1f(A) o f ≥ 1A

3) Soit A une partie de E. On étudie à quelle condition sur A il existe une partie B de F telle que :

1B o f = 1A.

Exemple : si E = Z, A = 2N, F = N, et f est définie par f(n) = n2. La partie B existe-t-elle () ?



Démontrer que si B existe, alors B ⊃ f*(A). Cette partie B est-elle

unique ? Démontrer que si B existe, alors A ⊃ f*(f*(A)), et réciproquement.

Pour conclure, démontrer que B existe si et seulement si A = f*(f*(A)).

exercice 4

Soit E un ensemble, P(E) l'ensemble des parties de E. 1) Si A est une partie de E, non vide, et distincte de E. Les applications suivantes de P(E) dans lui-même sont-elles injectives, surjectives () ? ()

u : X → A ∪ X, i : X → A ∩ X.

2) Soit f une application de E dans un ensemble F, on note :

P(f) : P(E) →. P(F), X → f*(X)

et Q(f) : P(F) →. P(E)

Y → f*(Y) les applications "image directe" et "image réciproque". Examiner à quelles conditions ces applications sont injectives, surjectives ().



exercice 5

Dans cet énoncé, on étudie une application f de l'ensemble N des entiers naturels, dans lui-même : l'application f associe à un entier p l'entier p2 + p. 1) Si B1 est le sous-ensemble de N formé des entiers impairs, f*(B1) est l'ensemble vide. Pourquoi () ? 2) Si B2 est le sous-ensemble formé des entiers pairs, f*(B2) est l'ensemble N. Pourquoi () ? 3) Écrire en extension ()() : a- f*(1, 2, 3, 5, 7, 11) ()

b- f*(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) () c- f*(f*(1, 2, 3, 5, 7, 11)

d- f*(f*(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14))

exercice 6

Dans cet exercice, on étudie une application f de l'ensemble R des nombres réels dans le segment [–1 , 1] ; l'application f associe à un réel x le nombre sin(x). 1) Vérifier les énoncés suivants ()() : Si A1 = [0 , π], alors f*(A1) = [0 , 1].

Si A2 = [0 , 3π4

[, alors f*(A2) = [0 , 1].



2) Y a-t-il des sous-ensembles de R ayant une infinité d'éléments dont l'image directe par f est un sous-ensemble ayant un seul élément ? () 3) Y-a-t-il des sous-ensembles de [–1 , 1] ayant une infinité d'éléments dont l'image réciproque par f est un sous-ensemble ayant un seul élément ?

exercice 7

1) A l'aide des exemples et exercices que vous avez étudiés (), discuter les conjectures () suivantes portant sur une application f : E →. F. a) Pour tout sous-ensemble A de E, f*(f*(A)) = A.

b) Pour tout sous-ensemble B de F, f*(f*(B)) = B.

2) Ces égalités correspondent à deux inclusions (). Dans chaque cas, prouver l'une des deux inclusions.

Donner un contre-exemple montrant que l'autre inclusion n'est pas toujours vérifiée. 3) Parmi les applications figurant dans les exemples proposés, citer une application injective. Vérifier que pour ce cas l'énoncé a) est vrai. Démontrer, de façon générale, que la conjecture a) est vraie pour toute application injective (). 4) Parmi les applications figurant dans les exemples proposés, citer une application surjective.



Vérifier que pour cet exemple l'énoncé b) est vrai. Démontrer, de façon générale, que la conjecture b) est vraie pour toute application surjective ().



Reconnaître un groupe. Caractériser un sous-groupe, utiliser un homomorphisme de groupes. Calculs dans un anneau, un corps.

exercice 8

Quelques propriétés élémentaires des groupes () : 1) Dans un groupe, il existe un unique élément neutre (), et pour un élément donné, un unique symétrique (). Rappeler la démonstration de ces deux résultats élémentaires (). 2) Dans un groupe, on peut simplifier membre à membre par un facteur commun. Pourquoi () ? 3) Dans un groupe (G, T), expliquer très précisément comment on peut résoudre une équation du premier degré (a et b sont donnés, x est l'inconnue) :

a T x = b. 4) Réciproquement, soit G un ensemble dans lequel on a défini une loi interne associative () notée T. On suppose que pour tout couple (a, b) de G, les équations en x :

a T x = b, et x T a = b ont une solution unique. Démontrer que (G, T) est un groupe ().



exercice 9

Soit (G, T) un groupe, dont l'élément neutre est noté e. On définit la puissance d'un élément du groupe par récurrence :

si g ∈ G, alors g0 = e, g(n+1) = gn T g pour n ≥ 0, et

gn = sym(g-n) pour n < 0. Attention, malgré la notation, il n'est pas sous-entendu que la loi T soit commutative. 1) Soit n un naturel. L'application g → gn est-elle un homomorphisme () de groupes () ? Donner un exemple, et le cas échéant un contre-exemple (). 2) On dit qu'un élément g de G est d'ordre fini s'il existe un naturel n strictement positif tel que gn = e. Si un élément n'est pas d'ordre fini, on dit qu'il est d'ordre infini. Si g est d'ordre fini, montrer qu'il existe une infinité d'exposants m tels que gm = e. On appelle alors "ordre de g" le plus petit naturel strictement positif p tel que gp = e.

3) Exemple 1 : G = z ∈ C | |z| = 1, la loi étant la multiplication. Chercher des éléments de G d'ordre 2, 3, 5. Dans chaque cas, quels sont les autres exposants m correspondant à gm = 1 () ?



4) On veut démontrer que si p est l'ordre de g, alors gm = e si et seulement si m est un multiple de p. Pour un tel exposant, soit m, m ≥ p, effectuer la division de m par p :

m = pq + r. Calculer gr. En déduire que r = 0 (). 5) Exemple 2 : Dans le plan on choisit une direction de droites. L'ensemble D est l'ensemble formé de l'application identique, des symétries par rapport à une droite de la direction choisie, et des translations perpendiculaires à cette direction. L'opération est la composition des applications. Vérifier qu'on a bien affaire à un groupe. Les éléments de ce groupe sont-ils d'ordre fini ? Si deux éléments sont d'ordre fini, leur composé est-il toujours d'ordre fini () ?

6) Exemple 3 : Soit Μ l'ensemble des complexes z pour lesquels il existe un entier n non nul vérifiant zn = 1. (Ensemble des racines de l'unité.) Montrer que (M, ×) est un groupe. 7) On suppose que G est un ensemble fini ; soit n le nombre de ses éléments. On dit que n est l'ordre de G. Démontrer que, dans G, tout élément est d'ordre inférieur ou égal à n (). 8) Réciproquement, si dans un groupe tout élément est d'ordre fini, le groupe est-il d'ordre fini ?



exercice 10

Soit un groupe (G, T). Voici quelques exemples "standard" de sous-groupes de (G, T). 1) Soit H un sous-ensemble non vide, fini, stable (c'est-à-dire que si a ∈ H et b ∈ H, alors a T b ∈ H.) Démontrer que H est un sous-groupe de G. ()()

2) Soit a ∈ G et C(a) = an | n ∈ Z. Démontrer que C(a) est un sous-groupe de G. 3) Soit Z(G) = g ∈ G | ∀ h ∈ G, g T h = h T g. Démontrer que Z(G) est un sous-groupe de G. 4) Soit g ∈ G et S(g) = h ∈ G | g T h = h T g. Démontrer que S(g) est un sous-groupe de G.

exercice 11

Quelques propriétés élémentaires des homomorphismes (). 1) Soit f : (G, T) →. (H, × ) un homomorphisme de groupes. Vérifier que l'image de l'élément neutre () de G est l'élément neutre de H (). Soit a un élément de G, vérifier que l'image du symétrique de a par f est le symétrique de f(a). 2) Soit h : (G, T) →. (H, × ) un homomorphisme de groupes, bijectif.



Démontrer que h est un isomorphisme, c'est-à-dire que l'application réciproque g de h est également un homomorphisme (). 3) Soit (G, T) un groupe, et (H, × ) un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne (). On suppose qu'il existe une application u surjective () u : G→. H, telle que u(a T b) = u(a) × u(b), quels que soient a et b dans G. Démontrer que (H, × ) est un groupe ().

exercice 12

Sur la notion de noyau () d'un homomorphisme. Soit h : A →. B un homomorphisme de groupes. On note e à la fois l'élément neutre de A et celui de B, et par un point (".") l'opération de A et celle de B. On appelle H l'ensemble :

H = a ∈ A | h(a) = e. 1) Démontrer que H est un sous-groupe de A (). On l'appelle le "noyau" de h.

2) Soit u ∈ H, vérifier que si g ∈ A, alors g.u.g -1 ∈ H. 3) Démontrer que h est injectif si et seulement si son noyau ne contient que l'élément neutre (). 4) Soit b un élément de B. On suppose que l'équation :



h(x) = b a au moins une solution, soit a. Décrire l'ensemble des solutions à l'aide de a et de H. 5) Exemple : A est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle deux fois dérivables, à dérivées continues, muni de l'addition usuelle ; B est l'ensemble des fonctions continues, également muni de l'addition ; enfin, h est l'application qui à une fonction u associe la fonction u" – u' – u (ici, u' désigne la dérivée première et u" la dérivée seconde). Vérifier que h est un homomorphisme de groupes, et chercher son noyau, puis chercher les solutions de h(u) = –2.exp (fonction exponentielle). Retrouver ainsi une règle connue ().



Reconnaître une relation d'équivalence. Utiliser l'ensemble quotient.

exercice 13

Dans un groupe (G, × ), soit H un sous-ensemble. On définit une relation sur G par :

x R y si x × y -1 ∈ H. 1) Démontrer que R est une relation d'équivalence () si et seulement si H est un sous-groupe de G.() Cette relation est-elle compatible () avec × () ? On suppose maintenant que R est une relation d'équivalence. On note G/H l'ensemble quotient de G par la relation R. 2) Soit g ∈ G. On pose :

H × g = h × g | h ∈ H. Démontrer que H × g est la classe d'équivalence () de g pour la relation R (). 3) Soient g1 et g2 des éléments de G.

Vérifier que l'application u de G dans G :

x → x × g1 -1 × g2

est une bijection ()(), et que l'image de la classe de g1 par u est la classe de g2.



4) On suppose de plus que G est un groupe fini. Déduire de ce qui précède que le nombre d'éléments d'un sous-groupe quelconque de G est un diviseur du nombre d'éléments de G ().

exercice 14

Soit (G, ×) un groupe, et H un sous-groupe de G. On suppose que H vérifie la propriété :

∀g ∈ G, ∀h ∈ H, g -1 × h × g ∈ H. 1) Démontrer que la relation d'équivalence définie dans l'exercice 13 est compatible avec la loi × (). 2) Soit c : G →. G/H l'application qui associe à g sa classe d'équivalence. Démontrer que c est un homomorphisme de groupes (), et que H est le noyau de c (cf. 12-1).

exercice 15

On considère la relation suivante, définie sur R : a R b si il existe un entier relatif k vérifiant a – b = 2kπ.

1) Démontrer que R est une relation d'équivalence.

2) Montrer qu'il y a un seul représentant de chaque classe dans [0 , 2π[, puis établir une bijection () entre l'ensemble quotient et l'ensemble :



z ∈ C | |z| = 1, ensemble qu'on notera S1.

On notera p l'application qui en résulte entre R et S1 par composition avec l'application canonique de passage au quotient (). 3) Vérifier que les applications sin et cos se factorisent par p, c'est-à-dire qu'il existe des applications S et C de S1 dans R telles que :

sin = Sop, cos = Cop.

Démontrer que p est surjective. Les applications S et C sont-elles injectives ?

exercice 16

Soit E un ensemble. On appelle "préordre" sur E une relation sur E transitive et réflexive. On note ≤ un préordre sur E. 1) Soit R la relation sur E définie par :

x R y si (x ≤ y et y ≤ x). Démontrer que R est une relation d'équivalence. 2) Soient c(x) et c(y) des classes d'équivalence. Vérifier qu'on définit bien une relation sur E/R () en posant :

c(x) << c(y) si x ≤ y. () Démontrer que << est une relation réflexive, symétrique, et transitive (relation d'ordre ()). 3) Exemple 1 : Dans Z* = Z – 0, la relation p | q si q est un multiple entier de p est une relation de préordre (le vérifier). On lui associe comme ci-dessus une relation d'équivalence. Soit p un relatif. Ecrire les éléments de la classe d'équivalence c(p).



Etablir une bijection () entre l'ensemble quotient () et un ensemble connu (). 4) Exemple 2 : Dans C* = C – 0, la relation z t si ||z|| ≤ ||t|| est une relation de préordre. Soit z un complexe. Quels sont les complexes équivalents à z pour la relation associée au préordre ? Etablir une bijection entre l'ensemble quotient et un ensemble connu ().



Dans un énoncé mathématique, identifier les connecteurs, les quantificateurs. Transformer un énoncé : contraposée, réciproque. Négation d'un énoncé. Raisonnement par l'absurde.

exercice 17

Ecrire la négation () des énoncés suivants : P, Q, R … désignent des propositions mathématiques quelconques. Ecrire les réponses à l'aide de P, non(P), Q, non(Q), …, et, ou . On pourra d'abord transformer les énoncés proposés. () 1) Si non(P) alors non(Q). 2) Si P alors non(Q). 3) Si (P et Q) alors (R et S). 4) Si l'intersection de deux ensembles est vide, l'un des deux au moins est vide (). 5) ∀ (m, n) ∈ Z × Z, ∃ (u, v) ∈ Z × Z, mu + nv = 1. ()

exercice 18

Soient P et Q des propositions dépendant d'un objet x. Dans chaque cas, vérifier si les énoncés proposés sont équivalents () (). 1) () ∀ x, [P(x) ou Q(x)]. () [∀ x, P(x)] ou [∀ x, Q(x)].



2) () ∃ x tel que [P(x) ou Q(x)]. () [∃ x tel que P(x)] ou [∃ x tel que Q(x)]. 3) () ∀ x, non[P(x) ou Q(x)]. () [∀ x, non P(x)] ou [∀ x, non Q(x)]. 4) () ∃ x tel que non[P(x) ou Q(x)]. () [∃ x tel que non P(x)] ou [∃ x tel que non Q(x)].

exercice 19

Une relation transitive et symétrique est réflexive. Voici un raisonnement prouvant cet énoncé (faux !). Ecrire ce raisonnement en explicitant complètement les quantificateurs et trouver l'erreur de raisonnement ().

Soit E un ensemble, et R une relation transitive et symétrique. Pour un x de E, on a :

x R y ⇒ y R x (par symétrie) ; on a donc :

x R y et y R x d'où x R x (par transitivité).

exercice 20

Utiliser la contraposée : prouver les énoncés suivants, en les remplaçant par leur contraposée ().



1) Propriété d'un rationnel a :

[∀ h ∈ Q* , | a | ≤ h] ⇒ [a = 0]. 2) Propriété d'un couple de rationnels (a, b) :

[∀ n ∈ N*, a – 1

n≤ b ] ⇒ [a ≤ b].

3) Propriété d'un rationnel a. Si a > 0, alors, pour tout rationnel b > 0,

il existe un entier n tel que n x a > b.

exercice 21

Soit : f : 1, 2, 3 × 1, 2, 4, 5 →. N

définie par : f(x, y) = xy.

Examiner les énoncés suivants. Pour chaque énoncé de la forme "si A, alors B", on classera () l'ensemble des couples (x, y) de 1, 2, 3 × 1, 2, 4, 5 en "exemple", "contre-exemple", "non-exemple". Ensuite, on décidera s'il est vrai ou faux () . 1) Si x + y = 4 , alors f(x,y) = 4 . 2) Si f(x, y) = 1 , alors x = y . 3) Si f(x,y) = 8 , alors x = 2 . 4) Négation de (3) (préciser cet énoncé). 5) Contraposée de (2) (préciser cet énoncé).



6) Si f(x, y) = 4 et x > 1 , alors y = 2 . 7) Si f(x, y) = 1 et x ≠ 2 , alors y = 1 . 8) Négation de (7) (préciser cet énoncé). 9) Contraposée de (7) (préciser cet énoncé). 10) Si f(x, y) = 9, alors x + y = 2. 11) Si f(x, y) = 9, alors x + y = 20.

3-2 Corrigés des exercices

exercice 1-C

1) Les relations sont toutes simples à démontrer. Il s'agit de comparer des applications (). Démontrons complètement la première : Soit x dans E.

Si x ∈ A, 1A(x) = 1. Comme A ⊂ B, x ∈ B donc 1B(x) = 1.

Si x ∉ A, et x ∈ B, 1A(x) = 0, et 1B(x) = 1.

Enfin, si x ∉ B, alors x ∈ A donc 1A(x) = 1B(x) = 0.

Dans tous les cas, 1A(x) ≤ 1B(x).

2) La réciproque s'écrit :

si 1A ≤ 1B , alors A ⊂ B.

L'hypothèse signifie que pour tout x, 1A(x) ≤ 1B(x).

Soit en particulier x ∈ A. Il en résulte que 1A(x) = 1, et comme une fonction caractéristique ne prend que les valeurs 1 ou 0, on a également 1B(x) = 1, donc x ∈ B. La réciproque est bien vraie.



(QC-1) Examiner également les réciproques des autres énoncés. 3) Si A et B sont disjoints (), il est clair qu'on obtient une fonction égale à 0 en dehors de A et B, et à 1 dans A ou B, avec 1A + 1B.

Par contre si A et B ne sont pas disjoints, on voit que 1A + 1B prend la valeur 2 dans A ∩ B. Il faut donc retrancher 1A ∩ B . On trouve donc :

1A ≈ B = 1A + 1B – 1A . 1B .



4) Pour la relation :

CE(A ∩ B) = CE(A) ∪ CE(B),

les fonctions caractéristiques des deux membres s'écrivent : 1C(A ∩ B)= 1 – 1A ∩ B = 1 – 1A.1B ,

1C(A) ∪C(B) = 1C(A) + 1C(B) – 1C(A).1C(B),

= 1 – 1A + 1 – 1B – (1 – 1A)(1 – 1B),

= 2 – 1A – 1B – (1 – 1A – 1B + 1A.1B),



= 1 – 1A.1B.

Elles sont bien égales. On procède de même pour l'autre relation. On pourra faire de même pour les relations suivantes :

CE(A ∪ B) = CE(A) ∩ CE(B),

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ Β) ∩ (A ∪ C). 5) La fonction f = 1A – 1B prend les valeurs suivantes :

si x ∈ A et x ∉ B, f(x) = 1 ; si x ∈ B et x ∉ A, f(x) = –1 ;

si x ∈ A ∩ B, f(x) = 0 ;

si x ∉ A ∪ B, f(x) = 0. Bien entendu, certains de ces cas peuvent ne pas exister, selon les ensembles A et B. On voit que pour que f soit une fonction caractéristique, il faut que le deuxième cas n'existe pas, c'est-à-dire que B soit une partie de A. Si B ⊂ A, l'application 1A–1B est la fonction caractéristique du complémentaire de B dans A : considérer l'ensemble des points x pour lesquels la valeur est 1.

Pour |1A – 1B|, il n'y a pas de difficulté : les valeurs prises sont 1 et 0.

Il s'agit bien de la fonction caractéristique d'une partie de E :

C = x ∈ E | |1A – 1B|(x) = 1 .

On voit qu'il s'agit de l'ensemble des éléments de E qui appartiennent à A mais pas à B, ou à B mais pas à A. On appelle cette partie de E la "différence symétrique de A et B", elle s'écrit A ∆ B ; on voit que :



A ∆ B = CA ∪ B(A ∩ B).

(QC-2) Plus généralement, si F et G sont des parties de E, vérifiant F ⊂ G, écrire la fonction caractéristique de CG(F).

En remarquant qu'une fonction caractéristique est égale à son carré, retrouver le résultat précédent. (QC-3) Dans la situation où E est un ensemble fini, on peut compter les parties de E en comptant les applications de E dans 0, 1. Retrouver ainsi le résultat connu (cf. exemple 6).

exercice 2-C

1) Les hypothèses impliquent que A ⊂ B ∩ C.

Si x ∈ A alors χA,B(x) = 2 et χA,C(x) = 2 et χA,B∩C(x) = 2.

Si x ∉ A et x ∈ B ∩ C alors chaque valeur est 1. Si x ∉ A, x ∈ B et x ∉ C alors χA,B(x) = 1, χA,C(x) = 0, χA,B∩C(x) = 0.

Si x ∉ A, x ∉ B et x ∈ C alors χA,B(x) = 0, χA,C(x) = 1, χA,B∩C(x) = 0.

Si x ∉ B ∪ C alors χA,B(x) = 0, χA,C(x) = 0, χA,B∩C(x) = 0.

La relation est vérifiée pour chaque élément de E. 2) En représentant les valeurs correspondant à (A, B), (A, C), (A, B ∪ C), on observe que la somme χA,B + χA,C coïncide avec χA,B∪C sauf dans B ∩ C. La différence vaut 2 dans A et 1 dans B ∩ C. On en déduit la formule

χA,B∪C = χA,B + χA,C – χA,B∩C .

3) Par définition :



χC(B),C(A) (x) = 0 si x ∉ C(A), c'est-à-dire si x ∈ A,

χC(B),C(A) (x) = 1 si x ∉ C(B) et x ∈ C(A),

c'est-à-dire si x ∈ B et x ∉ A, χC(B),C(A) (x) = 2 si x ∈ C(B) soit x∉ B.

On voit immédiatement que χC(B),C(A) (x) = 2 – χA,B (x).

4) Calcul de χA∪A',B .

Par "passage au complémentaire", il suffit de connaître : χC(B),C(A∪A') = χC(B),C(A)∩C(A'). (χC(B),C(A)∩C(A'))2 = χC(B),C(A) . χC(B),C(A')

= (2 – χA,B).(2 – χA',B)

Donc, selon la relation de la première question,

χA≈A',B = 2– (2 − χA, B

).(2 − χA' ,B

).

Calcul de χA∩A',B . On procède de la même manière. Par passage au complémentaire : χC(B),C(A∩A') = χC(B),C(A)∪C(A')

= χC(B),C(A) + χC(B),C(A') – χC(B),C(A) ∩C(A')

= 2 – χA,B + 2 – χA',B – (2− χA,B

).(2 − χA' ,B

).

Donc :

χA∩A', B = χA,B + χA',B + (2 − χA,B

).(2 − χA' ,B

). – 2.



(QC-1) Si E est un ensemble fini, on peut donc compter les couples de parties (A, B) telles que A ⊂ B, en comptant les applications de E dans 0, 1, 2. Quel est le résultat ?

(QC-2) La fonction χA,B s'exprime à l'aide de 1A et 1B (voir exercice précédent). Trouver cette formule, et démontrer les relations proposées à partir de celles de l'exercice précédent ().

exercice 3-C

1) Soit x dans E. Si x ∈ f*(B), c'est-à-dire f(x) ∈ B, alors 1f*(B) (x) = 1 ; si f(x) ∉ B, alors 1f*(B) (x) = 0. Il en résulte que 1f*(B) (x) = 1B (f(x)) quel que soit x dans E. D'où la relation :

1f*(B) = 1B o f .

D'après l'exercice 1, et ce qui précède : 1f*(B) ∩f*(B') = 1f*(B) . 1f*(B') ,

= (1B o f) . (1B' o f),

= (1B . 1B') o f,

= 1B∩B' o f,

= 1f*(B ∩B').

D'où l'égalité :

f*(B) ∩ f*(B') = f*(B ∩ B'). 2) Il suffit de calculer :

Si x ∈ A, f(x) ∈ f(A) donc 1f(A) (f(x)) = 1, et 1f(A) o f (x) = 1A(x).

Si x ∉ A, 1A(x) = 0, donc l'inégalité est vraie.

(QC-1) Compte tenu de (exercice 1, 1-2)), (re)trouver une relation d'inclusion.



3) Pour l'exemple proposé, on voit que 1A(2) = 1 puisque 2 est un élément de A. Par contre 1A(– 2) = 0. Pourtant, comme f(2) = f(–2), si B existait, on aurait l'égalité :

1B(f(2)) = 1B(f(– 2)).

Pour cet exemple, B n'existe pas. Supposons que B existe, et soit y dans f*(A). Soit x dans A tel que

y = f(x). On a donc : 1B(y) = 1B(f(x)) = 1A(x) = 1

donc y est dans B, d'où l'inclusion. La relation ne caractérise pas B de façon unique, puisqu'elle ne porte que sur la valeur de 1B(y) pour y dans f*(A).

Supposons que B existe, et soit x' dans f*(f*(A)). Alors f(x') est dans

f*(A), donc dans B :

1B(f(x')) = 1

1A(x') = 1

donc x' est dans A, d'où l'inclusion.

Réciproquement, les mêmes calculs montrent que si f*(f*(A)) ⊂ A, alors

B existe, puisqu'il suffit de prendre B = f*(A) :

si x ∈ A, f(x) ∈ f*(A), si x ∈ A, x ∈ f*(f*(A)) donc f(x) ∈ f*(A).

Comme on a toujours l'inclusion A ⊂ f*(f*(A)), on voit que B existe si et

seulement si A = f*(f*(A)).



exercice 4-C

1) Pour l'application u : injectivité : Soit X et Y des parties de E, supposons :

u(X) = u(Y), c'est-à-dire que A ∪ X = A ∪ Y. Est-ce que cela entraîne l'égalité de X et Y () ? Etudions, par exemple, l'inclusion de X dans Y. Soit x un élément de X, il en résulte que x est un élément de A ∪X, donc de A ∪ Y, donc… On voit qu'on ne peut pas nécessairement conclure que x est un élément de Y, s'il est un élément de A. Ceci peut guider pour un contre-exemple :

E = N, A = 2N (nombres pairs), X = 2, 4, 7, Y = 2, 6, 7 Vérifier que ce cas montre que u n'est pas injective. (QC-1) Trouver une propriété des parties de E qui permet de conclure que si u(X) = u(Y) alors X = Y, pour X et Y ayant cette propriété (). surjectivité : Soit Y une partie de E. Existe-t-il une partie X telle que Y = u(X). On voit que ce sera vrai si et seulement si Y contient A. Conclusion : u n'est pas surjective. Pour l'application i : injectivité : On procède de même.

Supposons que i(X) = i(Y), c'est-à-dire que A ∩ X = A ∩ Y ; ceci ne permet pas de conclure que X = Y, bien entendu.



Un contre-exemple : E = N, A = 2N (nombres pairs), X = 2, 4, 7, Y = 2, 4, 5.

L'application i n'est pas injective. (QC-2) Trouver une propriété des parties de E qui permet de conclure que si i(X) = i(Y) alors X = Y, pour X et Y ayant cette propriété (). surjectivité : Soit Y une partie de E. Peut-on trouver une partie X telle que i(X) = Y, soit A ∩ X = Y ? Il est clair que cela exige que Y soit une partie de A. Puisque A ≠ E, l'équation i(X) = Y n'a pas toujours une solution, donc i n'est pas surjective. 2) Pour l'application P(f). injectivité : Soient A et B des parties de E. On suppose f*(A) = f*(B).

Est-ce que cela implique A = B ? On teste sur l'application de l'exemple 11. Il est évident sur que A peut être différent de B. Un contre-exemple numérique : E = N, F = N, f(n) est le reste de la division de n par 3.

A = 1, 2, 3, 4, B = 0, 1, 5, f*(A) = 1, 2, 0 = f*(B).

(QC-3) Quelle propriété de f permet de conclure à l'injectivité de P(f) ? surjectivité :



Soit Y une partie de F. Existe-t-il une partie X de E telle que f*(X) = Y ?

Comme f*(X) ⊂ f*(E), on voit qu'une condition nécessaire () est que

Y soit une partie de f*(E).

Ceci n'est pas toujours vérifié, donc P(f) n'est pas surjective, en général. (QC-4) A partir de cette remarque, donner une propriété de f qui entraîne que P(f) est surjective. Pour l'application Q(f), injectivité : Soient X et Y des parties de F telles que f*(X) = f*(Y). Peut-on en conclure que X = Y ? Le même exemple montre que non. Pour un contre-exemple numérique : E = N, F = N, f(n) est le reste de la division de n par 3, X = 1, 3, 4, 5,

Y = 1, 6, 7, et f*(X) = f*(Y) = 3m + 1 | m N . NB : 3, 4, 5, 6, 7 ne sont pas des restes de division par 3. Ils n'appartiennent pas à f*(N). L'application Q(f) n'est pas injective en

général (voir aussi l'exercice 7). surjectivité : Soit A une partie de E. Peut-on trouver une partie X de F vérifiant l'égalité :

f*(X) = A.



Sur l'exemple 12, on voit bien que les parties 'images réciproques" ont un "aspect" particulier. On peut donc penser que l'équation ci-dessus n'a pas de solution quel que soit A. Un contre-exemple numérique :

E = N, F = N, f(n) est le reste de la division de n par 3, A = 1. Si A = f*(X), A = t N | f(t) X,

en particulier, f(1) = 1 est un élément de X, donc 4, 7, …, 3n+1, pour tout n sont des éléments de f*(X), qui n'est donc pas égal à A. L'application Q(f) n'est pas surjective. (QC-5) On peut, comme pour P(f), réfléchir à des propriétés de f qui impliquent que Q(f) est injective, ou surjective.

exercice 5-C

1) Cela signifie que les équations f(x) = b n'ont pas de solution si b est impair. Il est équivalent de démontrer que l'application f ne prend que des valeurs paires. Or f(x) = x(x + 1) et si x est pair x(x + 1) est pair, si x est impair, x + 1 est pair donc x(x + 1) est pair. 2) Cela signifie que tout entier n est solution d'une équation f(x) = b, où b est un entier pair. Plus précisément, un entier n est solution de l'équation f(n) = b, pour b = n2 + n.



(QC-1) A-t-on démontré dans cette question que f est une bijection () de N sur l'ensemble des entiers pairs ?

(QC-2) Plus généralement, pour une application f : E → F, si B1 et B2 forment une partition () de F, alors f*(B1) et f*(B2) forment une partition de E. Pourquoi ? 3) f*(1, 2, 3, 5, 7, 11) = f(1), f(2), f(3), f(5), f(7), f(11)

= 2, 6, 12, 30, 56, 132. f*(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) : Résoudre x2 + x = b, b prenant les valeurs 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, et x étant entier positif ; on note que x et x+1 sont des diviseurs de b, l'un pair, l'autre impair, consécutifs. b = 2, x = 1 ; b = 4, pas de solution (pas de diviseur impair) ; b = 6, x = 2 ; b = 8, pas de solution ; b = 10, diviseurs 1, 2, 5, et 10 donc pas de solution ; b = 12, diviseurs 1, 2, 3, 4, 6, 12, x = 3 ; b = 14, diviseurs 1, 2, 7, 14 donc pas de solution.

f*(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14) = 1, 2, 3.

f*(f*(1, 2, 3, 5, 7, 11) : Résoudre x2 + x = b, b prenant les valeurs 2, 6,

12, 30, 56, 132, et x étant entier positif ; on sait qu'il y a toujours au moins une solution (ce sont des valeurs de f, voir ci-dessus) :

b = 2, x = 1 ;



b = 6, x = 2 ; b = 12, x = 3 ; b = 30, x = 5 ; b = 56, x = 7 ;

b = 132, x = 11. f*(f*(1, 2, 3, 5, 7, 11) = 1, 2, 3, 5, 7, 11.

(QC-3) Dans tous ces cas, on a constaté que l'équation x2 + x = b a une seule solution. Quelle propriété de f peut-on conjecturer à partir de ces cas ? Est-elle vraie () ?

f*(f*(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)) = f*(1, 2, 3) = f(1), f(2), f(3)

f*(f*(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)) = 2, 6, 12.

exercice 6-C

1) Par définition :

f*([0 , π]) = sin(t) | t ∈ [0 , π]

f*([0 , π]) = [0 , 1]

NB : ce résultat, bien connu, utilise la continuité de sin (théorème des valeurs intermédiaires).

De même, puisque [0 , π2

] ⊂ [0 , 3π4

], f*([0 , 3π4

]) = [0 , 1].

2) Oui car, en raison de la périodicité de sin, on a par exemple :

sin*(2kπ | k ∈ Z) = 0.



3) Même pour un seul élément, l'image réciproque est infinie, toujours en raison de la périodicité : si a ∈ [–1 , 1], soit θ un réel tel que sin(θ) = a :

sin*(a) = θ + 2kπ | k ∈ Z ≈ π – θ + 2kπ | k ∈ Z. La réponse à cette question est donc négative.

exercice 7-C

1) On examine ces conjectures à l'aide des applications vues dans l'exemple 11, dans l'exercice 5, et l'exercice 6. Dans l'exemple 11, les deux énoncés sont faux. Cela suffit, bien sûr, mais les autres cas peuvent suggérer des hypothèses supplémentaires portant sur f qui rendraient les énoncés vrais. Exercice 5 : on a vu un exemple où l'énoncé b est faux, et un exemple où l'énoncé a est vérifié. On sait que dans cet exercice l'application est injective. Exercice 6 : comme A1 ≠ A2 et f*(A1) = f*(A2), il est clair que a) est

faux. On a vu que l'image réciproque d'un ensemble a est de la forme :

θ + 2kπ | k ∈ Z ≈ π – θ + 2kπ | k ∈ Z ensemble dont l'image directe est a. L'énoncé b) est donc vrai pour cette application. Notons qu'elle est surjective. Conjecture a). Soit a ∈ A. Alors f(a) ∈ f*(A), donc a ∈ f*(f*(A)).

D'où l'inclusion : A ⊂ f*(f*(A)).

Dans ce raisonnement, on applique directement les définitions de l'image directe et de l'image réciproque ().



Réciproquement, si a' ∈ f*(f*(A)), alors f(a') ∈ f*(A), donc il existe

a" ∈ A tel que f(a') = f(a"). Sans hypothèse sur f, on ne peut poursuivre ce raisonnement. On ne peut donc pas démontrer que f*(f*(A)) ⊂ A.

Contre-exemple, exercice 6 :

sin*(sin*([0 , π])) ≠ [0 , π]

Conjecture b).

Soit b ∈ B. Pour qu'il appartienne à f*(f*(B)), il faut qu'il appartienne à

f*(E), ce qui n'est pas toujours vrai (contre-exemple = exercice 5).

Dans l'autre sens, soit b' ∈ f*(f*(B)). Il existe donc au moins un

antécédent de b' dans f*(B). Soit a' un tel antécédent :

f(a') = b', et f(a') ∈ B, donc b' ∈ B. On a donc établi l'inclusion :

f*(f*(B)) ⊂ B.

3) On a déjà vu le cas de l'exercice 5. De façon générale, supposons f injective. Soit a' ∈ f*(f*(A)).

L'image f(a') est un élément de f*(A), donc il existe a" dans A tel que

f(a") = f(a') ; soit a" un tel élément, comme f est injective, cela implique que a" = a'. En particulier a' est un élément de A. Dans le cas non injectif, on voit que pour passer de A à f*(f*(A)) il faut

"saturer" E en considérant tous les points ayant même image qu'un point de A. 4) On a vu un exemple d'application surjective, exercice 6. De façon générale, si f est surjective, soit b ∈ B. Comme f est surjective, il existe au moins un antécédent de b ; soit c un tel antécédent.



L'image () de c est dans B, donc c ∈ f*(B). Il en résulte que f(c) ∈ f*(f

*(B)). Comme b = f(c), on voit que b ∈ f*(f*(B)).

exercice 8-C

1) Soit (G, × ) un groupe, e et e' des éléments neutres. On calcule e × e' : e × e' = e' (e est élément neutre), e × e' = e (e' est élément neutre) ;

donc e' = e.

Soit x ∈ G, x' et x" des symétriques. On calcule x' × x × x" : x' × x × x" = e × x" = x", x' × x × x" = x' × e = x' ;

donc x" = x'. 2) Si on a une égalité dans le groupe (G, × ) :

a × x = a × y, on peut composer à gauche par le symétrique a' de a :

a' × (a × x) = a' × (a × y), (a' × a) × x = (a' × a) × y,

e × x = e × y, x = y.

3) On compose à gauche par le symétrique a' de a : a' T (a T x) = a' T b.

- Par associativité, on regroupe a' et a : (a' T a) T x = a' T b.

- On remplace a' T a par l'élément neutre : e T x = a' T b.



- e est élément neutre, d'où : x = a' T b.

Remarquons qu'on a utilisé exactement toutes les propriétés définissant un groupe : associativité, existence d'un élément neutre et d'un symétrique. 4) Elément neutre : Soit a un élément de G (il existe bien, puisque G ≠ Ø). On appelle e(a) l'unique solution de a T x = a, et e'(a) l'unique solution de x T a = a. On a les égalités :

a T (e'(a) T a) = a T a (a T e'(a)) T a = a T a

Posons v = a T a. Il existe un unique élément x tel que x T a = v, or on en connaît deux, (a T e'(a)) et a, donc a T e'(a) = a ; donc e'(a) = e(a) par unicité de la solution de a T x = a. Il faut maintenant établir que e(a) est indépendant de a. Soit b ∈ G :

(b T e(a)) T a = b T (e(a) T a), donc (b T e(a)) T a = b T a,

donc par unicité de la solution de x T a = c : b T e(a) = b,

donc e(a) = e(b) pour tout b. On note désormais e cet élément, qui est élément neutre. Soit a dans G. Les solutions des équations :

x T a = e, et a T x = e donnent un symétrique à gauche, soit a', et un symétrique à droite, soit a" pour a. Le raisonnement de 1) s'applique ici (en effet, ce raisonnement



n'utilise pas le fait que a' est symétrique de a à gauche et à droite, de même pour a"). Donc a' = a" est le symétrique de a.

exercice 9-C

1) Il s'agit de voir si pour tout g et tout g' d'un groupe, (gg')n = gn g'n. Le premier membre est gg'gg'…gg', le second gg…ggg'g'…g'g'. Il est donc clair que la difficulté est dans la non-commutativité éventuelle de G. Si G est commutatif, l'application est bien un homomorphisme de groupes. Donnons un contre-exemple si G n'est pas commutatif. On peut utiliser le groupe S3 de l'exemple 25. On voit par exemple :

t12 = I,

t22 = I,

t1t2 = s ,

s2 = u, donc

t12t22 ≠ (t1t2)2.

2) Comme ep = e pour tout entier p, on voit que si gn = e, alors pour tout p entier, gnp = e. 3) Il s'agit de trouver, dans C, les racines carrées, cubiques, cinquièmes, de 1. Les résultats sont connus : z2 = 1 si z = 1, ou z = –1

z3 = 1 si z = 1, z = j = −1

2+ i

3

2, ou z = j2



z5 = 1 si .1,,,, 5/85/65/45/2 ππππ iiii eeeez∈

Les exposants sont respectivement : si z = 1, tous les entiers, si z ≠ 1, les ensembles

2n | n ∈ Z, 3n | n ∈ Z, et 5n | n ∈ Z. Traitons le cas de 3 par exemple : si z = j, et jm = 1, l'argument de jm est

m.2π3

, et cet argument est de la forme 2kπ, soit :

m. 2π3

= 2kπ, ou encore m = 3k.

4) Dans G, soit g d'ordre p et m tel que gm = e, m ≥ p. Si l'égalité de la division s'écrit :

m = pq + r , avec 0 ≤ r < p, alors on peut calculer gr :

gr = gm–pq = gm (gp)–q gr = e (e)–q = e.

Or p est le plus petit entier strictement positif tel que gp = e, donc r ne peut pas être strictement positif ; donc r = 0 et m = pq. 5) On vérifie que D est bien un groupe. L'application identique est dans D par hypothèse, la composée de deux symétries par rapport à des droites parallèles est une translation perpendiculaire à ces droites ; la composée d'une translation et d'une symétrie dans ces conditions est une symétrie ; la composée de deux translations de D est une translation de D. Enfin ces applications sont bijectives et leurs réciproques sont encore des symétries ou des translations de D. L'application identique est d'ordre 1, les symétries sont d'ordre 2, par contre les translations ne sont pas d'ordre fini.



La composée de deux symétries distinctes est une translation, donc en composant des éléments d'ordre fini, on trouve dans ce cas un élément d'ordre infini.

(QC-1) Soit Ω l'ensemble formé des rotations du plan autour de l'origine et des symétries par rapport à une droite passant par l'origine. Vérifier que Ω est un groupe pour la composition, puis répondre aux mêmes questions. 6) Soit H l'ensemble des complexes racines de l'unité. Il faut vérifier que le produit de deux tels complexes (z1 et z2) est encore une racine de 1.

Ces nombres s'écrivent : z1 = e2ikπ/n et z2 = e2itπ/m, donc z1 × z2 = e2iπ(k/n+t/m).

Or k

n+

t

m est, évidemment, un rationnel, soit

a

b, d'où :

z1 × z2 = e2aiπ//b,

donc z1× z2 est bien une racine de 1.

7) Soit g un élément de G. Soit B = e, g, g2, …,gn. Comme G est un groupe et B est une partie de G, cette partie a au plus n éléments. Parmi ces (n+1) éléments de G, deux au moins sont égaux ; soit p et q tels que :

gp = gq ; et si p > q par exemple :

gp – q = e. L'ordre de g est au plus p – q, qui est au plus égal à n. 8) L'exemple 3 est un contre-exemple à cette propriété : tout élément de M est d'ordre fini, mais M est infini d'après la question précédente, puisqu'il contient des nombres d'ordre arbitrairement grand.



exercice 10-C

1) Compte-tenu de l'hypothèse de stabilité, il faut montrer que si un élément a est dans H, son symétrique est également dans H. Soit n le nombre d'éléments de H. Les puissances a, a2, …, an, a(n+1) sont également dans H. Ces (n+1) éléments ne sont donc pas distincts : il existe des entiers p, q tels que 1 ≤ p < q ≤ n + 1, et :

ap = aq, donc :

a(q–p) = e (élément neutre de T) d'où :

a(q–p–1) T a = e. Si q – p – 1 = 0, alors a = e, donc e ∈ H, son symétrique est e. Si q – p – 1 > 0, alors :

aT(q–p–1) ∈ H et cet élément est le symétrique de a. NB : comme q et p sont des entiers, avec q > p, on a bien q – p ≥ 1. On a donc montré que pour tout élément a de H, le symétrique est un élément de H. Donc H est un sous-groupe de G. (QC-1) Généraliser au cas d'un sous-ensemble non vide, stable, dont tous les éléments sont d'ordre fini. 2) C(a) est non vide, le composé de deux éléments de C(a), soient an et am est a(m+n), c'est donc bien un élément de C(a). Enfin le symétrique de an est a(–n), c'est encore un élément de C(a). Ce sous-groupe s'appelle le sous-groupe cyclique engendré par a.



(QC-2) Si a n'est pas d'ordre fini, trouver un isomorphisme () de groupes entre C(a) et Z. Si a est d'ordre p, trouver un isomorphisme de C(a) avec Z/pZ (). 3) Z(G) est l'ensemble des éléments de G qui "commutent" avec tout élément de G. On l'appelle le centre de G. Ce sous ensemble n'est pas vide puisque l'élément neutre, soit e, est dans Z(G). Si h et k sont dans Z(G), soit g ∈ G, :

g T (h T k) = (g T h) T k, = (h T g) T k, = h T (g T k), = h T (k T g), = (h T k) T g,

donc h T k est un élément de Z(G). Enfin, si h est dans le centre, pour tout g ∈ G : h T g = g T h, donc : sym(h) T h T g = sym(h) T g T h, g = sym(h) T g T h, g T sym(h) = sym(h) T g T h T sym(h), g T sym(h) = sym(h) T g, donc sym(h) est dans Z(G), qui est bien un sous-groupe de G. (QC-3) Dans S3, quel est le centre ? Et dans un groupe cyclique ?



4) La même démonstration s'applique. Le sous-groupe S(g) est un exemple d'une catégorie très importante de sous-groupes, les sous-groupes "stabilisateurs" dans une opération. (faire le lien avec l'exemple 24, sous-groupe stabilisant le pentagone). (QC-4) Quelle relation voyez-vous entre Z(G) et les sous-groupes S(g) ? Écrire les sous-groupes S(g) pour tous les éléments g de S3.

exercice 11-C

1) Ces vérifications sont élémentaires : soit eG (resp. eH) l'élément neutre de G (resp. de H). Soit a un élément quelconque de G. f(eG T a) = f(eG) × f(a)

f(eG T a) = f(a), d'où

f(a) = f(eG) × f(a), et par simplification dans H :

eH = f(eG).

Pour le symétrique : f(a T sym(a)) = f(a) × f(sym(a)), f(a T sym(a)) = f(eG), donc :

eH = f(a) × f(sym(a)),

f(a) × sym(f(a)) = f(a) × f(sym(a)), et par simplification : sym(f(a)) = f(sym(a)).

2) On note T l'opération de G, et × celle de H. Soit g la bijection réciproque de h :

g : H →. G. Il faut démontrer que pour tout x et tout y de H :



g(x × y) = g(x) T g(y). Comme h est injective (), il suffit de montrer que les images par h des deux membres sont égales ; or :

h(g(x × y)) = x × y, et h(g(x) T g(y)) = h(g(x)) × h(g(y))

= x × y .

(QC-1) Dans la démonstration ci-dessus, on utilise les propriétés suivantes : h est un homomorphisme injectif, hog = IdH

La conclusion est que g est un homomorphisme. Cet énoncé est-il plus général que celui de l'exercice (h bijectif, g = h -1)? (QC-2) Trouver pour démontrer que g est un homomorphisme de groupes, une autre démonstration utilisant les propriétés suivantes : h est un homomorphisme surjectif, goh = IdG.

Question analogue sur la généralité. 3) Soit (x, y, z) un triplet d'éléments de H, et x', y', z' des antécédents de ces trois éléments par u.

(x × y) × z = (u(x') × u(y')) × u(z'), (x × y) × z = u(x' T y') × u(z'),

(x × y) × z = u((x' T y') T z'), soit :



(x × y) × z = u(x' T (y' T z')), = u(x') × u(y' T z'),

= u(x') × (u(y') × u(z')), (x × y) × z = x × (y × z)

L'opération × dans H est donc associative. Si e' est l'élément neutre de G, soit e = u(e'). Soit a un élément de H, a' un antécédent de a.

a × e = u(a') × u(e') = u(a' T e')

= u(a') × u(e') = a × e.

De plus a' T e' = a' donc : a × e = e × a = a.

L'élément e est neutre. Enfin, si a = u(a'), on vérifie que u(sym(a')) est symétrique de a.

exercice 12-C

1) H est un sous-groupe. Il suffit de vérifier () : a ∈ H et b ∈ H ⇒a.b -1 ∈ H

e ∈ H. Pour la première vérification :

h(a.b -1) = h(a).h(b) -1 = e.e -1 = e. Pour la seconde :

h(e) = e. 2) Soit u ∈ H, et g ∈ A :

h(g.u.g -1) = h(g).h(u).h(g) -1 = h(g).e.h(g) -1 = e.



Donc g.u.g -1∈ H. On dit qu'un sous-groupe K est un sous-groupe "distingué" si pour tout u dans K et tout v dans A, v.u.v –1 est dans K. Le sous-groupe H est distingué. 3) Si h est injectif, alors soit a ∈ H :

h(a) = e = h(e), donc : a = e, donc :

H = e. Réciproquement si H = e, soit a, b des éléments de A vérifiant : h(a) = h(b), d'où : h(a).h(b) -1 = e, h(a.b -1) = e,

a.b -1 ∈ H, donc : a.b -1 = e, a = b.

4) Soit c une solution quelconque de cette équation :

h(c) = b, h(a) = b,

donc par un calcul analogue au précédent, on conclut que : c.a -1 ∈ H, donc :

l'ensemble des solutions est :

H.a = t.a | t ∈ H .



5) On vérifie facilement que h est un homomorphisme de groupes. Le noyau de h est l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire :

u" – u' – 2u = 0. En passant par l'équation caractéristique :

r2 – r – 2 = 0, on trouve les deux exponentielles :

x a e2x et xa e−x.

comme solutions particulières, et le noyau est formé des fonctions de la forme :

x a λe2x + µe−x

avec λ et µ des réels quelconques. Une solution de h(u) = –2.exp est la fonction exponentielle elle-même. La loi du groupe est l'addition d'où l'ensemble des solutions :

x a −2ex + λe2x + µe−x.

On ajoute une solution particulière de l'équation avec second membre à la solution générale de l'équation sans second membre, selon la règle usuelle.

exercice 13-C

1) Supposons d'abord que R est une relation d'équivalence. R est réflexive donc e R e, donc :

e × e -1 ∈ H, autrement dit, e ∈ H. Un élément appartient à H si, et seulement si, il est en relation avec e. Soit x, y appartenant à H : x R e et y R e, donc, R étant symétrique :



x R e et e R y , donc, R étant transitive : x R y, soit :

x × y -1 ∈ H. Il en résulte que H est un sous-groupe de G. Réciproquement, supposons que H est un sous-groupe de G. Pour tout x de G :

x × x -1 = e ∈ H, donc : x R x ; la relation R est réflexive.

Soit x, y tels que x R y, c'est-à-dire tels que :

x × y -1 ∈ H. L'inverse de cet élément de H est un élément de H, c'est :

y × x -1, donc : y R x ; la relation est symétrique.

Soit x, y, z tels que x R y et y R z, soit : x × y -1 ∈ H y × z -1 ∈ H.

Le sous-groupe est stable pour × , donc :

(x × y -1) × (y × z -1) ∈ H, x × z -1 ∈ H,

x R z. La relation est bien transitive. Compatibilité avec × : Soit x, y, z, t de G tels que x R y et z R t. Est-il vrai que x × z R y × t ?

x × z × (y × t) -1 = x × z × t -1 × y -1. On sait que z × t -1 ∈ H mais cela n'implique pas que x × z × t -1 × y -1∈ H.



On ne peut donc pas conclure ici. (QC-1) Etudier cette question dans S3 (exemples 25, 29).

(QC-2) Trouver une propriété simple de × qui entraîne que, pour tout sous-groupe H, la relation R associée est compatible avec × . (NB : c'est une propriété que l'opération de S3 n'a pas, évidemment.)

2) Soit c(g) la classe d'équivalence d'un élément g de G. C'est l'ensemble des éléments h de G tels que g R h. On montre que c(g) = H × g par double inclusion (). Soit u équivalent à g :

u R g donc u × g -1 ∈ H. Soit h ∈ H tel que u × g -1 = h :

u = h × g, d'où : u ∈ H × g.

Soit u ∈ H × g : Il existe un h de H tel que u = h × g, donc :

u × g -1 = h, u × g -1 ∈ H, donc :

u R g, d'où : u ∈ c(g).

3) L'application : u : x → x × g1

-1 × g2

est bijective, et a pour application réciproque l'application : v : x → x × g2

-1 × g1

comme on le vérifie facilement.



Soit x ∈ H × g1 ; soit h dans H tel que x = h × g1 :

u(x) = h × g1 × g1 -1 × g2,

u(x) = h × g2, donc :

u(x) ∈ H × g2.

Réciproquement si y ∈ H × g2, v(y) ∈ H × g1.

4) Soit n le nombre d'éléments de G, et m celui de H. La relation d'équivalence R définit une partition () de G en classes d'équivalence ayant toutes le même nombre d'éléments, d'après la question précédente, il en résulte que n est un multiple de m. En utilisant la notation #A pour désigner le nombre d'éléments d'un ensemble fini A, on a la relation :

#G = #H x #(G/H). (Revenir à l'exemple 29.)

exercice 14-C

1) On reprend le calcul de l'exercice 13. Soit x, y, z, t de G tels que x R y et z R t. Est-il vrai que x × z R y × t ?

x × z × (y × t) -1 = x × z × t -1 × y -1.

D'après la propriété vérifiée par H, comme z × t -1 ∈ H, y × z × t -1 × y -1 ∈ H, soit h cet élément.

y × z × t -1 × y -1 = h, z × t -1 × y -1 = y -1 × h,

x × z × t -1 × y -1 = x × y -1 × h. Rappelons que x × y -1 est un élément de H. Il en résulte que :



x × z × (y × t) -1 = (x × y -1) × h est un élément de H, donc x × z R y × t. L'ensemble quotient G/H est donc un groupe, pour la loi quotient :

c(g) × c(h) = c(g × h).

2) Par définition, c est un homomorphisme de groupes. Son noyau est l'ensemble des éléments de G équivalents à l'élément neutre, soit H comme on l'a déjà vu. (Voir exercice 12, où l'on a vu qu'inversement un noyau est un sous-groupe distingué.) (QC-1) Démontrer que, dans un groupe, le centre () est un sous-groupe distingué. (QC-2) Faire la liste des sous-groupes distingués de S3 (voir exemple 29). (QC-3) Que peut-on en déduire sur les homomorphismes de groupes de S3 dans un groupe quelconque () ?

exercice 15-C

1) La vérification ne pose aucun problème. 2) Soit R/R le quotient, et c(a) la classe d'un réel a. Il existe un et un seul représentant de cette classe () dans l'intervalle [0 , 2π[. Existence d'un représentant : les éléments de la classe sont tous les réels de la forme a + 2kπ, k ∈ Z. Pour k négatif de valeur absolue assez grande, le nombre a + 2kπ est strictement négatif. Soit a + 2k0π le plus



grand de ces nombres. Il est clair que a + 2k0π + 2π est positif, et inférieur à 2π.

0 2π

a + 2k0π a + 2k0π + 2π a + 2k0π + 4π

Unicité du représentant : deux éléments distincts de la classe de a diffèrent, en valeur absolue, au moins de 2π, donc il n'y a qu'un représentant dans chaque intervalle de la forme [α , α + 2π[. On associe à c(a) le complexe z de module 1 et dont l'argument est l'unique représentant de c(a) dans [0 , 2π[. Cette correspondance est bien indépendante de a, et ne dépend que de la classe de a : l'argument de z est l'unique réel de l'intersection c(a) ∩ [0 , 2π[. On note A cette application :

A : R/R → S1.

L'application est injective : un complexe de module 1 a un unique argument entre 0 et 2π. L'application est surjective : tout complexe de module 1 a un argument déterminé dans [0 , 2π[. On peut, par l'intermédiaire de cette bijection, identifier R/R et S1.

Représentation graphique (Voir page suivante) : Imaginons R "enroulé" sur une hélice de pas 2π, on représente l'application de passage au quotient par une "projection". L'application p associe à un réel le point du



cercle trigonométrique correspondant à la classe de ce réel. Cette application est, par construction, surjective.



3) Soit : sin : R --. R

et : p : R --. S1 .

On dit que sin se factorise par p s'il existe une application S telle que Sop = sin. Cette application se définit par :

S(z) = sin(a), où a vérifie p(a) = z. Cet élément a n'est pas défini de manière unique, mais un autre élément b vérifiant p(b) = z est, par définition, équivalent à a, donc il existe un relatif k tel que b = a + 2kπ, d'où sin(b) = sin(a). La définition de S(z) ne dépend pas du choix de a. Bien entendu, on peut procéder de même pour cos, et pour toute application périodique de période 2π. L'application p est surjective par définition, comme on l'a déjà remarqué. Vérifions si S, par exemple, est injective : si S(z) = S(z'), cela signifie que pour a (resp a') vérifiant p(a) = z (resp p(a') = z'), on a sin(a) = sin(a'). Deux cas sont possibles :

il existe un relatif k tel que a = a' + 2kπ, il existe un relatif k tel que a = π – a' + 2kπ. Dans le premier cas, p(a) = p(a'), soit z = z'.



Dans le second cas, p(a) ≠ p(a'), sauf si a est de la forme π2

+ r.π , où

r ∈ Z. L'application S n'est pas injective. On montrerait de même que C n'est pas injective. (QC-1) Soit f : E --. F une application quelconque entre des ensembles non vides. On définit une relation R sur E par :

x R y si f(x) = f(y). Vérifier que R est bien une relation d'équivalence. Déduire que f se factorise par le quotient E/R, et qu'elle est la composée d'une application injective et d'une application surjective. Comparer ce cas à celui de f = sin, ci-dessus.

exercice 16-C

1) Pour la réflexivité : quel que soit x dans E : x ≤ x est vrai car ≤ est réflexive.

Pour la transitivité : si x, y, z sont dans E : si x ≤ y, et y ≤ z, alors x ≤ z, et

si y ≤ x, et z ≤ y, alors z ≤ x car ≤ est transitive.

Pour la symétrie : si x et y sont dans E : si (x ≤ y et y ≤ x) alors (y ≤ x et x ≤ y) (!).

La relation R est bien une relation d'équivalence.

2) Lorsqu'on "pose" c(x) << c(y) si x ≤ y, la question est de savoir si cela est bien indépendant du choix de x et y.



De manière plus explicite, il faudrait écrire plutôt : Propriété :

"Soient c1 et c2 des éléments de E/R. La relation x ≤ y est soit vraie quels que soient les représentants x de c1 et y de c2, soit fausse quels que soient ces représentants." Si cette propriété est vraie, on peut définir une relation << sur E/R par :

c1 << c2

si pour un représentant x de c1 et un représentant y de c2, on a x ≤ y.

Il faut maintenant prouver la propriété : soient x et x' des représentants de c1, et y et y' des représentants de c2.

Supposons que x ≤ y, et prouvons que x' ≤ y'. x ≤ y et (x ≤ x' et x' ≤ x) d'où x' ≤ y.

De plus, (y ≤ y' et y' ≤ y) d'où x' ≤ y'. On montre de même que si x' ≤ y', alors x ≤ y. La relation << étant bien définie, il faut prouver que c'est une relation d'ordre (). Réflexivité :

x ≤ x donc c(x) << c(x). Antisymétrie :

si c(x) << c(y), alors x ≤ y, si c(y) << c(x), alors y ≤ x.

Donc si (c(x) << c(y) et c(y) << c(x)) alors (x ≤ y et y ≤ x) donc x R y. Il en résulte que c(x) = c(y). Transitivité :



si c(x) << c(y) et c(y) << c(z), alors : x ≤ y et y ≤ z donc x ≤ z, d'où :

c(x) << c(z). 3) Réflexivité et transitivité sont faciles à établir pour la relation de divisibilité. Soit p, q des relatifs non nuls. Ils sont équivalents si p|q et q|p, donc s'il existe des relatifs m et n vérifiant :

p = mq, q = np, donc : p = mn p,

1 = mn, d'où : m = n = 1, ou m = n = –1.

La classe de p est donc p , –p. On peut définir une application entre Z*/R et N* :

f : Z*/R --. N* c(p) → |p|.

Si c(p) << c(p'), et si on prend les représentants positifs, alors p | p', donc cette application est croissante, si le quotient est muni de la relation << et N* de la relation de divisibilité. Si |p| = |p'| , alors p = p' ou p = – p', donc c(p) = c(p'), donc l'application est injective, et strictement croissante. Enfin pour tout entier non nul positif, n, f(c(n)) = n, donc f est surjective. On a bien défini une bijection croissante entre les deux ensembles. NB : la bijection réciproque est, évidemment, n → c(n). 4) La relation est rélexive : ||z|| ≤ ||z||, et transitive : si ||z|| ≤ ||t|| et ||t|| ≤ ||u|| alors ||z|| ≤ ||u||. C'est bien un préordre.



Deux complexes non nuls t et u sont équivalents si ||t|| ≤ ||u|| et ||u|| ≤ ||t|| donc ||t|| = ||u||. Ce qui caractérise une classe est donc un réel strictement positif, qui est le module de n'importe quel représentant de la classe. Cette remarque incite à définir une application :

f : C*/R --. R*+

c(t) → ||t||. On vérifie comme à la question précédente que c'est bien une bijection croissante.

exercice 17-C

1) Cet énoncé est équivalent à : non(Q) ou non(non(P)), soit encore non(Q) ou P.

La négation est équivalente à : non([non(Q) ou P]),

non(non(Q)) et non(P), Q et non(P).

2) Cet énoncé est équivalent à :

non(Q) ou non(P), Sa négation est donc équivalente à :

P et Q. 3) Cet énoncé est équivalent à :

(R et S) ou non(P et Q),



soit encore (R et S) ou (non(P) ou non(Q)). La négation est équivalente à :

non(R et S) et non(non(P) ou non(Q)) (non(R) ou non(S)) et P et Q.

4) Il y a deux quantificateurs "cachés" dans cet énoncé, qui porte sur tout couple d'ensembles :

∀ A , ∀ B, A ∩ B = ∅ ⇒ (A = ∅ ou B = ∅). La négation s'écrit en affirmant qu'il existe un contre-exemple :

∃ A, ∃ B, A ∩ B = ∅ et A ≠ ∅ et B ≠ ∅.

5) On écrit cet énoncé : ∀ (m, n) ∈ Z × Z, P(m, n),

avec P(m, n) = (∃ (u, v) ∈ Z × Z , mu + nv = 1). La négation s'écrit d'abord :

∃ (m, n) ∈ Z × Z, non(P(m, n)). La négation de P(m, n) s'écrit :

∀ (u, v) ∈ Z × Z, mu + nv ≠ 1. On obtient donc pour la négation de l'énoncé :

∃ (m, n) ∈ Z × Z, ∀ (u, v) ∈ Z × Z, mu + nv ≠ 1.

exercice 18-C

1) Raisonnons à partir des négations des énoncés : ()1 est faux s'il existe un cas x où [P(x) ou Q(x)] est faux c'est-à-dire où non(P(x)) et non(Q(x)).



()1 est faux si les deux énoncés sont faux : ∃ x tel que non(P(x)) et ∃ x tel que non(Q(x)). Mais, cela ne signifie pas qu'il existe un même x tel que P(x) et Q(x) soient faux tous les deux. Pour plus de clarté, on dira ∃ x1 tel que non(P(x1)) et ∃ x2 tel que non(P(x2)).

On voit que Non()1 ⇒ Non()1 mais la réciproque est en général fausse. Donc ()1 ⇒ ()1 mais la réciproque est en général fausse.

(QC-1) A l'aide de propriétés que vous connaissez, portant sur x réel par exemple, donner un exemple où ()1 ⇒ ()1 est faux, et un exemple où ()1 ⇒ ()1 est vrai.

2) Supposons ()2 vraie. Soit x1 tel que [P(x1) ou Q(x1)] soit vraie.

Si P(x1) est vraie, alors il existe un x tel que P(x) est vraie donc ()2 est vrai. Si Q(x1) est vraie, alors il existe un x tel que Q(x) est vraie donc ()2 est vrai.

En résumé, ()2 ⇒ ()2.

Réciproquement, si ()2 est vrai :

∃ x1, P(x1) est vraie, ou ∃ x2, Q(x2) est vraie.

Si, par exemple, ∃ x1, P(x1) est vraie, a fortiori ∃ x, [P(x) ou Q(x)] est vraie. Il en est de même si ∃ x2, Q(x2).



En résumé, ()2 ⇒ ()2.

Les deux énoncés sont équivalents. 3) non()3 est équivalente à :

∃ x, [P(x) ou Q(x)] c'est-à-dire l'affirmation ()2 .

non()3 est équivalente à :

∃ x1 tel que P(x1) et ∃ x2 tel que Q(x2).

Cette affirmation implique ()2 , qui est :

∃ x1 tel que P(x1) ou ∃ x2 tel que Q(x2).

Elle ne lui est pas équivalente en général. (QC-2) Donner un exemple où ()2 ⇒ non()3 est fausse.

On a les implications et équivalences : non()3 ⇒ ()2 ⇒ ()2 ⇒ non()3, donc

()3 ⇒ ()3

mais la réciproque est en général fausse. (QC-3) Donner un exemple où ()3 ⇒ ()3 est faux.

4) non()4 est équivalente à ()1 :

∀ x [P(x) ou Q(x)]. non()4 est équivalent à :

[∀ x, P(x)] et [∀ x, Q(x)].



Il est clair que ces deux énoncés ne sont pas équivalents en général. On a l'implication :

non()4 non()4, soit :

()4 ()4 .

(QC-4) Donner un exemple où ()4 ⇒ ()4 est faux.

exercice 19-C

La symétrie s'écrit : Pour tout x et tout y de E, si x R y alors y R x.

Un élément x étant choisi, ceci donne : "Tout y vérifiant x R y vérifie aussi y R x"

ou encore : "S'il existe y vérifiant x R y alors y vérifie aussi y R x."

Ceci ne sous-entend pas que y existe : il se peut que x ne soit en relation avec aucun élément de E. Dans ce cas, bien entendu, la relation n'est pas réflexive. (QC-1) A partir de ces remarques, donner des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une relation soit une relation d'équivalence, ne comportant pas l'hypothèse de réflexivité. (QC-2) Toujours à partir du raisonnement ci-dessus, expliquer comment on peut définir une relation d'équivalence par restriction d'une relation symétrique et transitive à un sous-ensemble.



exercice 20-C

1) La contraposée de :

[∀ h ∈ Q*, |a| < h] ⇒ [a = 0] est l'énoncé :

[a ≠ 0] ⇒ non[∀ h ∈ Q*, |a| < h], [a ≠ 0] ⇒ [∃ h ∈ Q*, |a| ≥ h].

Cet énoncé est facile à prouver, on prend h = a

2 par exemple.

2) La contraposée de :

[∀ n ∈ N–0, a – 1

n < b] ⇒ [a ≤ b]

s'écrit :

[a > b] ⇒ [∃ n ∈ N–0, a – 1

n ≥ b]

ou encore a – b ≥ 1

n, ou (puisque a – b > 0) :

n ≥1

(a− b).

Il suffit de prendre pour n la partie entière de 1

(a− b) augmentée de 1.

3) La contraposée s'écrit :

[∃ b ∈ Q*+ , ∀ n ∈ Z , n a ≤ b] ⇒ a ≤ 0.

Soit b dans Q*+ tel que, quel que soit n entier, na ≤ b. Si a=m

r, et

b =p

q, avec p, q, r positifs, alors :



∀ n, nm

r≤

p

q,

∀ n, m≤pr

qn.

Or, si n tend vers l'infini, on sait que pr

qn tend vers 0, donc m ≤ 0 et a ≤ 0.

(QC-1) Essayer de démontrer ces énoncés directement. Réfléchir aux difficultés respectives des deux preuves.

exercice 21-C

En préliminaire, on écrit le tableau des valeurs de f(x, y) : les valeurs de x sont dans la première colonne, celles de y dans la première ligne.

xOy 1 2 4 5

1 1 2 4 5 2 2 4 8 10 3 3 6 12 15

1) Tableau des exemples : (1) 1 2 4 5 1 ne ne ne ne 2 ne e ne ne 3 ce ne ne ne

Il y a un contre-exemple, l'énoncé est faux. 2) Tableau des exemples



(2) 1 2 4 5 1 e ne ne ne 2 ne ne ne ne 3 ne ne ne ne

Il n'y a pas de contre-exemple, l'énoncé est vrai. 3) Tableau des exemples

(3) 1 2 4 5 1 ne ne ne ne 2 ne ne e ne 3 ne ne ne ne

Il n'y a pas de contre-exemple, l'énoncé est vrai. 4) La négation s'écrit en disant "il y a un contre-exemple", soit :

il existe un couple (x, y) tel que f(x, y) = 8 et x ≠ 2. Cet énoncé est faux. 5) La contraposée de 2) s'écrit : si x ≠ y, alors f(x, y) ≠ 1. Tableau des exemples

(5) 1 2 4 5 1 ne e e e 2 e ne e e 3 e e e e



Il n'y a pas de contre-exemple, l'énoncé est vrai. Ce n'est pas surprenant puisqu'il est équivalent à 2) : les contre-exemples sont les mêmes. 6) Tableau des exemples

(6) 1 2 4 5 1 ne ne ne ne 2 ne e ne ne 3 ne ne ne ne


(7) 1 2 4 5 1 e ne ne ne 2 ne ne ne ne 3 ne ne ne ne

Il n'y a pas de contre-exemple, l'énoncé est vrai. 8) La négation de 7) s'écrit :

il existe un couple (x, y) tel que f(x, y) = 1, x ≠ 2 et y ≠ 1. Cet énoncé est faux puisqu'il est la négation d'un énoncé vrai. 9) La contraposée de 7) s'écrit : si y ≠ 1, alors non[f(x, y) = 1 et x ≠ 2], si y ≠ 1, alors [f(x, y) ≠ 1 ou x = 2]. Cet énoncé est la contraposée d'un énoncé vrai, il est donc vrai ; on peut le vérifier à nouveau sur le tableau des exemples ci-contre.



(9) 1 2 4 5 1 ne e e e 2 ne e e e 3 ne e e e


(10) 1 2 4 5 1 ne ne ne ne 2 ne ne ne ne 3 ne ne ne ne

Il n'y a pas de contre-exemple. L'énoncé est vrai (même s'il n'a pas d'exemple.) 11) Tableau des exemples

(11) 1 2 4 5 1 ne ne ne ne 2 ne ne ne ne 3 ne ne ne ne

Il n'y a pas de contre-exemple. L'énoncé est vrai (même s'il n'a pas d'exemple, et si la conclusion n'est jamais vérifiée.)



3-3 Corrigés des questions complémentaires

exercice 1-QC

1) La fonction caractéristique "caractérise" la partie considérée, donc les réciproques des autres énoncés sont vraies (voir partie 1).

2) On a déjà vu que, si F ⊂ G, la fonction caractéristique du complémentaire de F dans G est 1G – 1F.

La fonction caractéristique de la différence symétrique, CA ∪B(A ∩ B) est donc :

1A ∪ B – 1A ∩ B, soit :

1A + 1B – 2 1A.1 B.

Une fonction caractéristique est égale à son carré, puisqu'elle ne prend comme valeurs que des entiers égaux à leur carré, donc on peut écrire la fonction caractéristique de la différence symétrique :

1A2 + 1B

2 – 2 1A.1B ,

(1A –1B)2,

ou, en utilisant à nouveau la même remarque : | 1A – 1B |.

3) Soit n le nombre d'éléments de E. Il s'agit de compter le nombre d'applications d'un ensemble à n éléments dans un ensemble à 2 éléments. Il est clair que pour chaque élément de E il y a deux choix pour la valeur de son image, d'où le résultat connu : il y a 2n applications de E dans 0, 1, et donc 2n sous-ensembles de E.



exercice 2-QC

1) On raisonne comme précédemment : le nombre d'applications d'un ensemble à n éléments dans un ensemble à 3 éléments est 3n. 2) Sur un dessin, on voit facilement que lorsque A ⊂ B, χA,B = 1A + 1B .

On retrouve par exemple la relation 1) à partir de cette remarque :

χA,B.χA,C = (1A + 1B)(1A+ 1C)

= 1A2 + 1A.1C + 1A.1B + 1B.1C.

(χA,B ↔ C)2 = (1A + 1B.1C)2

= 1A2 + 1B

2.1C2 + 2 1A.1B.1C .

Compte-tenu de la remarque sur le carré d'une fonction caractéristique (exercice 1), il suffit de vérifier que :

1A.1B + 1A.1C = 2 1A.1B.1C.

Ce n'est pas vrai en général, mais ici A est une partie de B et de C, donc :

A ∩ B = A ∩ C = A, les deux membres sont donc égaux à 2.1A.

exercice 3-QC

On a vu que les relations A ⊂ B et 1A ≤ 1B sont équivalentes, donc :

1f(A) o f ≥ 1A

entraîne :

A ⊂ f*(f*(A)).

exercice 4-QC

1) Un dessin.



On voit bien que si X, et Y, sont disjoints de A, alors u(X) = u(Y) implique X = Y. Par contre si X coupe A, on trouve toujours un Y différent de X, tel que u(X) = u(Y) : il suffit de prendre Y = CX(A ∩ X).



On peut donc conclure que la restriction de u à P(CE(A)) est injective.

2) On peut également faire un dessin : si X n'est pas contenu dans A, on trouve toujours une partie Y différente de X telle que X ∩ A = Y ∩ A : il suffit de prendre par exemple Y = X ∩ A :



Par contre, si X et Y sont des parties de A, il est évident que si X ∩ A est égal à Y ∩ A, alors X = Y. En conclusion, la restriction de i à P(A) est injective. 3) Sur le dessin de l'exemple 11, on voit bien que dès qu'il y a plus d'un point de E au-dessus d'un point de F, on peut trouver des parties de E ayant même image directe mais différentes : si f(a) = f(b), et a ≠ b, alors f*(a) = f *(b) et a ≠ b).

Une condition nécessaire pour que P(f) soit injective est que f soit injective. Supposons f injective. Supposons que des parties A et B de E vérifient f*(A) = f*(B).

Pour montrer que A = B, on montre que A ⊂ B, puis B ⊂ A ().



Soit x dans A. Alors f(x) ∈ f*(A), donc f(x) ∈ f*(B). Il existe alors un

élément x' de B tel que f(x) = f(x') ; soit x' un tel élément. Comme f est injective, on conclut que x = x', en particulier x ∈ B ; donc A ⊂ B. On montre de même que B ℘ A. 4) La remarque de la correction incite à supposer que toute partie de F est une partie de f*(E), autrement dit F = f*(E), c'est-à-dire f est surjective.

Voir la conjecture 2 de l'exercice 7. 5) Pour la surjectivité de Q(f), on se reportera à la conjecture 1 de l'exercice 7. Pour l'injectivité, on voit qu'une condition nécessaire est la surjectivité de f, puisque l'hypothèse porte sur f*(X) et f*(Y), ensembles qui ne dépendent que de X ∩ f*(E) et Y ∩ f*(E).

Si f est surjective, on utilisera le résultat de l'exercice 7.

exercice 5-QC

1) Non, on a seulement démontré que f est une surjection () de N sur l'ensemble des entiers pairs. 2) D'abord un dessin.



Raisonnement général : 1- Il faut démontrer f*(B1) ∪ f*(B2) = E et f*(B1) ∩ f*(B2) = Ø.

2- Pour l'union : soit x dans E. Son image f(x) est dans B1 ou B2, donc x est dans f*(B1) ou dans f*(B2). Donc f*(B1) ∪ f*(B2) = E.

3- Pour l'intersection : si elle n'est pas vide, soit b un élément de cette intersection. L'image f(b) devrait être à la fois dans B1 et dans B2, ce qui contredit B1 ∩ B2 = Ø.

Donc f*(B1) ∩ f*(B2) = Ø.

3) On sait que si f est injective, les équations f(x) = b ont au plus une solution. Est-ce le cas ? Résolution algébrique. Supposons que x et y soient des solutions :

x2 + x = b, y2 + y = b ;

donc : x2 + x = y2 + y,

(x – y)(x + y +1) = 0. Or x + y + 1 est un naturel strictement positif. Donc x = y.



Résolution analytique. La fonction f est la restriction d'une fonction dérivable, de R+ dans R, dont la dérivée est strictement positive sur R+. Elle est donc strictement croissante sur R+, et par suite injective.

exercice 9-QC

Il est évident que Ω ≠ Ø. On sait que si l'on compose deux rotations de même centre, on obtient une rotation également, de même centre que les deux composées, et d'angle somme. Si l'on compose deux symétries par rapport à des droites concourantes, on obtient une rotation autour du point d'intersection des droites. Enfin, en composant dans ces conditions une rotation et une symétrie, on obtient une symétrie. Ces applications sont bijectives, et leurs réciproques sont de même nature. Il s'agit bien d'un sous-groupe de l'ensemble des bijections du plan. Les symétries sont d'ordre 2 ; certaines rotations sont d'ordre fini, mais pas toutes : il faut et il suffit que l'angle de rotation soit un multiple rationnel de 2π. Par exemple, une rotation d'angle un radian n'est pas d'ordre fini, puisque 2π n'est pas rationnel. La composée de deux éléments d'ordre fini n'est pas nécessairement d'ordre fini : ainsi les symétries sont d'ordre 2 mais en composant les symétries par rapport à des droites faisant entre elles un angle de 0,5 radian, on obtient une rotation d'angle un radian, donc d'ordre infini.



exercice 10-QC

1) L'argument de la question 1) peut être utilisé pour prouver que le symétrique d'un élément du sous-ensemble est également dans ce sous-ensemble. 2) On peut, dans tous les cas, définir un homomorphisme de groupes :

Z → C(a), en associant à n l'élément an. Cet homomorphisme est surjectif par définition de C(a). 2-1) Si a n'est pas d'ordre fini, l'application est aussi injective :

am = an,

entraîne : am–n = e,

donc si a n'est pas d'ordre fini, c'est que m – n = 0, donc m = n. 2-2) Supposons maintenant a d'ordre fini p : cela signifie que an = e si et seulement si n est un multiple de p (exercice 9-4). Soit c(m) la classe de l'entier m dans Z/pZ. Quelque soit le représentant k de cette classe, la valeur de ak est la même : si k' est un autre représentant, il existe un entier r tel que k' = k + rp, donc tel que :

ak' = ak + rp = ak × arp = ak. On peut donc définir un homomorphisme de Z/pZ dans C(a) en associant à c(m) l'élément am (voir aussi l'exercice 6 pour une discussion analogue). Cet homomorphisme est surjectif, comme on a vu plus haut. Il est injectif également :

si am = an, alors am–n = e donc



il existe un entier q tel que m – n = qp, donc c(m) = c(n). Ces homomorphismes sont donc bijectifs. On se reportera à l'exercice suivant qui prouve que dans ce cas ce sont des isomorphismes. Il y a donc deux types standards de sous-groupes cycliques : infini, et alors isomorphe à Z, ou fini, et alors isomorphe à un quotient Z/pZ, où p est l'ordre du générateur a. 3) Centre de S3 : il suffit d'utiliser la table de l'exemple 25.

Un élément est dans le centre si la ligne et la colonne correspondant à cet élément sont identiques : c'est le cas pour I seulement. Le centre est I. Dans un groupe cyclique, dans un groupe G commutatif en général, le centre est G, bien entendu. 4) On voit, d'après les définitions, que Z(G) est l'intersection des sous-groupes S(g). Pour S3, on reprend la table :

S(I) = S3

S(t1) = I, t1

et de même pour t2 et t3 .

S(s) = I, s, u = S(u).

exercice 11-QC

1) Non car la seconde hypothèse implique que h est surjectif, donc bijectif. En effet, si t ∈ H, alors h(g(t)) = t, donc t a bien un antécédent par h. Dans ce cas, en composant l'égalité h o g = IdH par h -1, on trouve que g = h -1.



2) Sur la généralité de l'énoncé, la réponse est encore négative, car l'hypothèse g o h = IdG implique que h est injectif : si h(a) = h(b), alors g(h(a)) = g(h(b)) et donc a = b. L'application h est donc bijective, et g est son application réciproque. Une démonstration directe : soit (x, y) un couple de H, et x' = g(x), y'= g(y) ; on remarque que x' est un antécédent de x par h et de même pour y' et y :

g(x × y) = g(h(x') × h(y')), = g(h(x' T y')),

= (g o h)(x' T y'), = x' T y',

= g(x) T g(y).

exercice 13-QC

1) Dans S3, choisissons H = I, t1.

Pour z = t1 et t = I, z × t -1 = t1 ∈ H.

Pour x = s = t1 × t2 , et y = t2 , x × y -1 = t1 ∈ H. Mais x × z × t -1 × y -1 = t1 × t2 × t1 × t2 = s2 = u ∉ H. 2) Si × est une opération commutative :

x × z × t -1 × y -1 = x × y -1 × z × t -1 ∈ H.

exercice 14-QC

1) Les éléments du centre Z(G) du groupe commutent avec tout élément de G, donc si u ∈ Z(G), et g ∈ G :

g × u × g -1 = g × g -1 × u = u ∈ Z(G). 2) Pour les sous-groupes à deux éléments : I, t1 par exemple.



Soit g ∈ S3.

g -1 × t1 × g est-il égal à I ou t1 ? Ce ne peut être I, puisque t1 ≠ I.

g -1 × t1 × g = t1 signifie que g et t1 commutent pour tout g. C'est faux, bien entendu, comme on le voit dans la table. Aucun des sous-groupes à deux éléments n'est distingué. Pour le sous-groupe à trois éléments, H = I, s, u. Soit g ∈ S3 : si g ∈ H alors g–1 × s × g ∈ H, car H est un sous-groupe.

Si g ∈ t1, t2, t3alors g–1 × s × g = u. On voit que g–1 × s × g est dans H pour tout g de G. On fait facilement la même constatation pour u et I. Le sous-groupe à trois éléments est donc distingué. Le quotient S3/H a deux éléments, J, t, t étant la classe de t1, t2, t3, et J la classe de I, s, u. On a les relations : t2= J2 = J, t.J = J.t = t. Les sous-groupes I et S3 sont évidemment distingués.

3) Soit S3 → (G, ×) un homomorphisme de groupe. Son noyau K est un sous-groupe distingué : trois cas seulement sont possibles. K = I, si l'homomorphisme est injectif. K = S3, si l'homomorphisme est trivial (l'image de tout élément est l'élément neutre). K = H, si l'homomorphisme n'est ni injectif, ni trivial.

exercice 15-QC

On vérifie sans difficulté que R est une relation d'équivalence. On appelle les classes d'équivalence les "fibres" de f.



On note c : E → E/R l'application (surjective) qui associe à un élément de E sa classe d'équivalence (la fibre qui contient cet élément). On définit une application :

g : E/R → F en associant à la classe de a, soit c(a), l'élément f(a) de F. Cette application g est bien définie, puisque, pour un autre représentant de c(a), soit b :

f(b) = f(a) par définition de R. Bien entendu, par construction on a :

f = g o c. Il reste à vérifier que g est injective : si g(c(a)) = g(c(b)), alors f(a) = f(b), donc a R b, et c(a) = c(b).

exercice 18-QC

1) Pour x réel, soit P(x) la propriété x > 0, et Q(x) la propriété x ≤ 0. ()1 Pour tout x réel [x > 0 ou x ≤ 0]. Cette propriété est vraie.

()1 [Pour tout x réel, x > 0] et [Pour tout x réel, x ≤ 0] sont des propriétés fausses, donc ()1 est fausse.

Il en résulte que ()1 n'implique en général pas ()1.

Retenir : "quel que soit" n'est pas "distributif" par rapport à "ou"

Pour que ()1 ⇒ ()1 soit vraie, il suffit que ()1 soit fausse (par exemple on prendra pour P et Q les propriétés suivantes d'un réel x, x2 = – 1, x2 = – 2. 2) Par exemple considérer P et Q définies par : pour x réel, P(x) si x = 0, et Q(x) si x2 = – 1.



3) Notons P(x) la propriété x2 < 0, et Q(x) la propriété x2 ≥ 0. ()3 [∀ x , x2 < 0 est faux] ou [∀ x, x2 ≥ 0 est faux].

Cet énoncé est vrai puisque [∀ x , x2 < 0 est faux] est une propriété vraie.

()3 ∀ x, [x2 < 0 ou x2 ≥ 0] est faux.

Cet énoncé est faux puisque [x2 < 0 ou x2 ≥ 0] est vrai. Donc ()3 n'implique pas ()3 en général.

4) Notons pour un réel x, P(x) la propriété x ≤ 1, et Q(x) la propriété x >1. ()4 La propriété ∃ x, x > 1 (c'est-à-dire ∃ x, non(P(x))) est vraie donc

[∃ x, non(P(x))] ou [∃ x, non(Q(x))] est vraie. ()4 ∃ x, non[x ≤ 1 ou x > 1] est évidemment faux.

exercice 19-QC

1) Si R est une relation symétrique et transitive sur un ensemble E, telle que tout élément de E est en relation avec au moins un élément, alors R est une relation d'équivalence. La réciproque est vraie, bien entendu. On démontre cet énoncé par le raisonnement exposé dans l'exercice, qui est maintenant justifié : soit x dans E ; soit y dans E tel que x R y ; il existe au moins un tel y par hypothèse. Par symétrie, on a alors y R x donc par transitivité x R x. 2) Soit R une relation symétrique et transitive sur un ensemble E.

Posons E' = x ∈ E | ∃ y ∈ E , x R y. Par restriction de R à E' on obtient une relation d'équivalence.



exercice 20-QC

1) Soit a = p

q, avec q > 0. Prenons h =

1

q, on trouve :

| p | < 1, donc p = 0.

2) Posons a = p

q, b =

m

r, avec q et r positifs. L'hypothèse s'écrit :

∀ n, −1

n<

mq − pr

qr ;

en particulier pour n = qr : – 1 < mq – pr , 0 ≤ mq – pr, et 0 ≤ b – a.

3) Soit a = p

q, avec p et q strictement positifs. Soit b =

m

r, avec m et r

strictement positifs. Prenons n = qm, on obtient :

n a = pm ≥ m ≥ m

r = b.


4 Pour Chercher

4-1 Indications pour les exercices ()

exercice 1-I

3) Faire un dessin, représenter les valeurs des fonctions. Distinguer le cas où A et B sont disjoints ().

exercice 2-I

2) Représenter les valeurs sur un dessin, et comparer avec χA,B + χA,C.

4) Passer au complémentaire et utiliser 3). QC-2) Sur des dessins, représenter les valeurs de χA,B, 1A, 1B.

exercice 3-I

1) Calculer 1B(f(x)) pour x dans E.

3) Penser aux entiers négatifs.

exercice 4-I

2) Tester sur les applications vues en exemple, en particulier l'exemple 11. QC-1) & QC-2) Faire un dessin.


exercice 5-I

1 et 2) les nombres p et p+1 sont des entiers successifs. L'un des deux est pair. 3) Pour f*, il faut calculer les images des différents éléments. Pour f*, il

faut résoudre des équations.

exercice 6-I

1) Penser au tableau de variations de sinus. 2) Se rappeler que sinus est périodique.

exercice 7-I

1) Voir exemple 11, exercice 5, exercice 6. 3) et 4) Faites des dessins.

exercice 8-I

1) Si e et e' sont des éléments neutres, calculer e × e'. Si x' et x" sont des symétriques de x, calculer x' × x × x". 2) Penser à composer par un élément bien choisi. 4) Par exemple, une solution de a T x = a est un "élément neutre pour a, à droite". Voir que sa valeur est indépendante de a, puis qu'il est aussi élément neutre à gauche. Procéder de manière analogue pour trouver un symétrique à gauche ou à droite, puis un seul symétrique.


exercice 9-I

1) Essayer avec n = 2, puis tester sur des exemples de groupes connus de vous (par exemple S3).

3) Revoir ce que vous savez sur les racines de l'unité dans C. 4) Se rappeler précisément quelles conditions portent sur le reste de la division euclidienne. 5) Penser à la composée de deux symétries. 7) Énumérer les puissances d'un élément g. Peuvent-elles être toutes différentes, dans un ensemble fini ?

exercice 10-I

1) Le problème se pose pour le symétrique d'un élément de H. Utiliser une méthode analogue à celle indiquée au 7) de l'exercice 9, ci-dessus. QC-2) Étant donné un élément de C(a), il s'écrit ak. L'exposant k est-il défini de manière unique dans Z ?

exercice 11-I

1) Calculer f(eG T a). Simplifier.

2) Pour démontrer l'égalité g(x × y) = g(x) T g(y), il suffit de composer par une application injective ().

exercice 12-I

3) Transformer h(a) = h(b) en composant par h(b) –1. 5) Il s'agit de résoudre une équation différentielle linéaire.


exercice 13-I

1) La loi × n'est pas supposée commutative. 3) Trouver une application réciproque de u, du même type (). 4) S'il existe une bijection entre des ensembles finis, ils ont le même nombre d'éléments. Par ailleurs les classes d'équivalence forment une partition.

exercice 14-I

QC-3) Penser qu'un noyau est un sous-groupe distingué, et réciproquement (cf. exercices précédents).

exercice 15-I

2) L'application p s'obtient à partir de l'application canonique de passage au quotient.

exercice 16-I

2) Se rappeler que x et y ne sont pas en général définis de manière unique à partir de c(x) et c(y). Les définitions doivent être indépendantes du choix d'un représentant d'une classe d'équivalence. 3) & 4) Voir ce qui est "permanent" lorsqu'on passe d'un représentant à un autre dans la même classe d'équivalence.

exercice 17-I

1), 2) & 3) Noter que P ⇒ Q s'écrit aussi [Q ou non(P)]. Utiliser la négation des énoncés standards (A et B, A ou B, non(A)) (partie 1-5). 4) Écrire cet énoncé plus explicitement (avec quantificateurs).


5) Décomposer en plusieurs énoncés "enchâssés" (partie 1-5).

exercice 18-I

Dans certains cas, il est plus facile de raisonner sur la contraposée de l'implication à examiner. Vous pouvez aussi imaginer des exemples et vous faire une opinion, puis chercher à généraliser.

exercice 19-I

Ce n'est pas parce que l'on parle d'un élément qu'il existe !

exercice 20-I

Pour prouver qu'un objet existe, le plus direct est d'en donner un exemple. Avant de prouver un énoncé général portant sur un objet (le rationnel a par exemple dans 1), vous pouvez essayer de le vérifier sur un cas particulier, puis essayer de généraliser le raisonnement ou la construction particulier.

exercice 21-I

Commencer par écrire le tableau des valeurs de f(x, y). Procédez au classement systématique. Rappelez-vous qu'un énoncé de la forme :

∀ x (A(x) ⇒ B(x)) est vrai s'il n'a pas de contre-exemple (partie 1-5).


4-2 Méthodes ()

Mode d'emploi de cette partie : vous trouverez d'abord une liste de méthodes de résolution des types de questions présentées dans ce volume ; par commodité, on a précisé ensuite à propos de chaque exercice où une méthode a été indiquée par () le (ou les) numéro(s) de la méthode concernée. S'agissant d'un discours sur les mathématiques, et non d'un discours mathématique, on trouvera naturel qu'il utilise les abus de langage usuels, les raccourcis allusifs, et de façon générale qu'il se rapproche d'un discours oral qui pourrait être tenu devant les étudiants.

1- Démontrer une inclusion : A ⊂ B. Raisonner plutôt sur les éléments.

Prendre un élément quelconque de A, et vérifier qu'il est bien dans B. Généralement évident lorsque les ensembles sont définis en extension. Sinon (cas le plus fréquent) A est caractérisé par une propriété P, l'ensemble B par Q. Il faut démontrer que P ⇒ Q.

2- Prouver l'égalité de deux ensembles : en général on prouve l'égalité

de deux ensembles en passant par deux inclusions, que l'on prouve séparément. A = B équivaut à [A ⊂ B et B ⊂ A]. Cela revient en général à démontrer que deux propriétés sont équivalentes, en prouvant des implications entre ces propriétés dans les deux sens. Une méthode particulière consiste à montrer que les fonctions caractéristiques des deux ensembles sont égales.


3- Comparer des applications : pour comparer des applications, il faut comparer leurs valeurs pour une valeur quelconque de la variable, éventuellement en distinguant différents sous-ensembles du domaine de définition pour cette variable. On vérifiera auparavant que les ensembles de départ et d'arrivée des deux applications sont les mêmes.

4- Écrire l'image directe d'une partie : soit f : E→ F et A ⊂ E. Si A est

défini en extension (), on écrira f*(A) en extension en énumérant les images des éléments de A (cas où A est un ensemble fini). Dans les autres cas, on peut chercher, à partir d'une propriété caractéristique de A, une propriété caractéristique de f*(A). Enfin, il ne faut pas négliger de faire appel aux résultats connus sur les fonctions d'une variable réelle lorsqu'on est dans ce cas : ainsi l'image d'un intervalle par une application continue est un intervalle ; s'il s'agit d'une application monotone, et de l'image d'un segment, on n'aura besoin de calculer que les images des extrémités.

5- Ecrire l'image réciproque d'une partie : soit f : E → F et B ⊂ F. Il

s'agit d'un problème de résolution d'équations : x est dans f*(B) s'il est solution d'une équation f(x) = b, où b ∈ B. Si B est fini, on cherchera toutes les solutions de ces équations, et on écrira f*(B) en extension (). Sinon, à partir de propriétés caractérisant B dans F, il faut trouver des propriétés caractérisant f*(B) dans E.

6- Prouver qu'une application f est injective. Les méthodes sont

variées : Utiliser directement la définition : supposer f(x) = f(y), montrer

x = y.


Montrer que l'équation f(x) = b a au plus une solution. Si f est un homomorphisme () de groupes, calculer son noyau

(). Montrer que f est strictement monotone, en particulier s'il s'agit

d'une fonction dérivable, prouver que la dérivée a un signe constant. Le point précédent s'étend au cas où f est la restriction à un sous-

ensemble de R (à N par exemple) d'une fonction dérivable. 7- Prouver qu'une application f est surjective. Les méthodes sont

variées également : Utiliser la définition : tout élément de l'ensemble arrivée a un

antécédent au moins. Montrer que quel que soit b, l'équation f(x) = b a au moins une

solution : Par exemple parce que c'est une équation du second degré dont le

discriminant est positif ou nul, parce que c'est une équation polynomiale de degré impair qui a donc toujours une solution …

Si f est une fonction dérivable d'une variable réelle, on peut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (voir le volume sur les fonctions d'une variable réelle) ;

Dans le cas d'ensembles finis, l'injectivité peut entraîner la surjectivité (compter les éléments) ;

Cette méthode s'étend en algèbre linéaire dans le cadre de la dimension finie (voir le volume sur les espaces vectoriels).

8- Démontrer qu'un sous-ensemble est un sous-groupe : c'est un

problème qui fait l'objet d'un énoncé à connaître. Il suffit de montrer que le sous-ensemble n'est pas vide (en général, il est évident que


l'élément neutre () appartient au sous-ensemble), qu'il est stable par la loi interne () ainsi que par le passage au symétrique (). (Stable signifie que le résultat de l'opération décrite est dans le sous-ensemble si les données y sont). Dans certains cas, on peut reconnaître que le sous-ensemble est le noyau () d'un homomorphisme () de groupes, voire l'image réciproque () d'un sous-groupe, cela suffit pour conclure que c'est un sous-groupe.

9- Démontrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe : lorsque

cet ensemble n'est pas un sous-ensemble d'un groupe déjà connu, il faut vérifier tous les axiomes de la structure de groupe. Ne pas oublier (dans ce cas) de vérifier que l'on dispose bien d'une loi interne ().

10- Calculer dans un groupe : pour l'essentiel, procéder comme on le

ferait pour le groupe multiplicatif des réels, ou des complexes, non nuls. Une réserve très importante : la loi interne d'un groupe n'a aucune raison d'être commutative, ce qui intervient (par exemple) dans les calculs de puissances (exercice 9-1), mais également dans les calculs d'inverses (a -1b -1 n'est pas en général l'inverse de ab).

11- Définir une application à partir d'un ensemble quotient : en

général on devra définir une application de E/R dans F en décrivant l'image de la classe d'un élément a de E en fonction de a. Autrement dit, on ne disposera pas d'une autre description de E/R que celle d'ensemble quotient.

La difficulté est que la classe de a ne définit pas a de manière unique (en général). Si on procède sans précaution, il se pourrait que, partant de c(a), on obtienne différentes images selon le représentant de cette


classe utilisé. Or c'est la caractéristique première d'une application d'associer à une donnée une seule image.

Il est donc indispensable si on utilise une définition du type : "l'image de c(a) dans F est f(a)",

de démontrer que le résultat f(a) ne change pas si on remplace a par un autre représentant de la même classe.

12- Définir une relation sur un ensemble quotient : voir le point

précédent. La difficulté est en général la même : indépendance du choix des représentants.

13- Écrire la contraposée d'un énoncé : la difficulté est dans l'écriture de la négation de l'hypothèse et de la conclusion, d'où l'intérêt du travail sur la négation (qui sert également pour les raisonnements par l'absurde). Les règles de base sont :

d'abord écrire chaque énoncé très explicitement, très précisément ; en particulier expliciter les éventuels quantificateurs ;

ensuite décomposer un énoncé complexe en sous-énoncés, auxquels on donnera provisoirement un nom, pour aboutir à l'un des modèles les plus usuels : "P ou Q", "P et Q", "pour tout x, P(x)", "il existe un x tel que Q(x)" ;

enfin écrire la négation de proche en proche à travers les énoncés contenus les uns à l'intérieur des autres.

Les méthodes dans les exercices

Ex 1) n° 3 Ex 2) n° 3 Ex 3) n° 3 Ex 4) n° 4, 5, 6, 7 Ex 5) n° 4, 5 Ex 6) n° 4


Ex 7) n° 1, 2 Ex 8) n° 9, 10 Ex 9) n° 10 Ex 10) n° 8 Ex 11) n° 9 Ex 12) n° 8 Ex 13) n° 8, 10, 2 Ex 14) n° 10 Ex 15) n° 11 Ex 16) n° 12 Ex 17) n° 13 Ex 18) n° 13 Ex 20) n° 13


4-3 Lexique ()

A Antécédent : un élément x E est un antécédent de y F par

l'application f de E dans F si y = f(x). Application : une application d'un ensemble E dans un ensemble F est

une relation de E dans F telle que pour tout x de E il existe un unique y de F en relation avec x.

Associative (loi) : une loi interne () T, définie dans un ensemble E, est associative si pour tout x, tout y, tout z de E :

(x T y) T z = x T (y T z). B

Bijection (bijectif, bijective) : une application est une bijection si elle est injective () et surjective (). On dit qu'elle est bijective.

C Classe (d'équivalence) : si R est une relation d'équivalence () sur E, la

classe d'équivalence d'un élément a est l'ensemble des éléments x de E tels que a R x.

Centre (d'un groupe) : dans un groupe (G, × ), le centre Z est le sous-ensemble formé des éléments qui commutent avec tout élément de G, autrement dit, g ∈ Z si et seulement si pour tout h de G,

h × g = g × h. Commutatif : on dit qu'un groupe () (E, T) est commutatif si pour

tout x et tout y de E, on a l'égalité x T y = y T x.


Compatible (relation) : une relation () R définie sur un ensemble E est compatible avec une loi interne T () de cet ensemble si pour tout x, tout y, tout z, tout t de E, on a l'implication :

x R y et z R t implique (x T z) R (y T t). Compréhension : un ensemble est défini en compréhension lorsqu'on

donne une propriété caractérisant ses éléments. Condition nécessaire : une propriété P est une condition nécessaire pour

une propriété Q si Q implique P. Condition suffisante : une propriété P est une condition suffisante pour

une propriété Q si P implique Q. Conjecture : une conjecture est un énoncé mathématique dont on ignore

s'il est vrai ou faux. Croissante (application) : soit (E, ≤) et (F, ≤) des ensembles ordonnés

(). Une application f de E dans F est croissante si pour tout x et tout y de E,

x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y).

D Décroissante (application) : soit (E, ≤) et (F, ≤) des ensembles ordonnés

(). Une application f de E dans F est décroissante si pour tout x et tout y de E :

x ≤ y ⇒ f(x) ≥ f(y). Disjoints : deux sous-ensembles d'un ensemble E sont disjoints si leur

intersection () est vide. Distributive : soit (E, T, × ) un ensemble muni de deux lois internes

(). On dit que × est distributive par rapport à T si pour tout x, tout y, tout z de E on a les égalités : (x T y) × z = (x × z) T (y × z), et z × (x T y) = (z × x) T (z × y).


E Endomorphisme : c'est un homomorphisme d'un groupe dans lui-même. Equivalence : une relation d'un ensemble dans lui-même est une relation

d'équivalence si elle est réflexive (), symétrique (), transitive ().

Equivalentes (propriétés) : deux propriétés P, Q, sont équivalentes si l'énoncé P ⇒ Q est vrai ainsi que sa réciproque () Q ⇒ P.

Extension : un ensemble est défini en extension lorsqu'on énumère ses éléments.

F Fonction caractéristique : c'est l'application qui caractérise un sous-

ensemble A d'un ensemble E. Elle prend la valeur 1 dans A et 0 dans E – A.

G Graphe : le graphe C d'une relation () R d'un ensemble E dans un

ensemble F est la partie de E x F qui définit R : C = (x, y) ∈ E x F | x R y.

Groupe : soit (E, × ) un ensemble muni d'une loi interne () . On dit que c'est un groupe si × est associative (), s'il existe un élément neutre (), et si tout élément de E admet un symétrique ().

H Homomorphisme : Soient (E, T) et (F, × ) des groupes (). Une

application f de E dans F est un homomorphisme de groupes si pour tout x et tout y de E, f(x T y) = f(x) × f(y).


I Image (d'un élément) : si f : E → F est une application, l'image de a de E

par l'application f est f(a). Image directe : soit f : E → F une application. Soit E' une partie de E.

L'image directe de E' par f est la partie de F définie par : y ∈ F | ∃ x ∈ E', y = f(x).

Image réciproque : soit f : E --. F une application. Soit F' une partie de F. L'image réciproque de F' par f est la partie de E définie par x ∈ E | f(x) ∈ F'.

Injection (injectif, injective) : une application f est une injection si pour tout couple d'éléments x et y l'égalité f(x) = f(y) implique l'égalité x = y. On dit que f est injective.

Intersection : l'intersection d'une famille de sous-ensembles (A i)i∈I de l'ensemble E est le sous-ensemble B caractérisé par :

x ∈ B si et seulement si pour tout i ∈ I , x ∈ Ai. Isomorphisme : Soient (E, T) et (F, × ) des groupes (). Une application f de E dans F est un isomorphisme de groupes si f

est bijective (), est un homomorphisme de groupes () ainsi que son application réciproque ().

L Loi (de composition) interne : Soit E un ensemble. Une loi interne dans

E est une application du produit cartésien () E × E dans E. N

Neutre (élément) : Soit (E, × ) un ensemble muni d'une loi interne (). On dit qu'un élément e de E est un élément neutre pour × si pour tout x de E :

x × e = e × x = x.


Noyau : si f est un homomorphisme () de groupes, le noyau de f est l'ensemble des éléments dont l'image est égale à l'élément neutre ().

O Ordonné (ensemble) : soit E un ensemble. S'il existe une relation d'ordre

sur E, on dit que E est ordonné. Ordre : une relation () R d'un ensemble dans lui-même est une

relation d'ordre si elle est réflexive (), antisymétrique (), et transitive ().

P Partition d'un ensemble E : c'est un ensemble de sous-ensembles non

vides de E dont la réunion () est égale à E, et les intersections () deux à deux vides.

Produit cartésien : si E et F sont des ensembles, le produit cartésien de E et F est l'ensemble des couples (x, y) formés d'un premier élément de E, et d'un second élément de F.

On généralise à un nombre quelconque d'ensembles. Q

Quotient (ensemble) : si R est une relation d'équivalence () définie sur un ensemble E, l'ensemble des classes d'équivalences () de R dans E est appelé ensemble quotient. C'est un sous-ensemble de l'ensemble des parties de E.

R Réciproque (application) : si f : E → F est une application bijective

(), il existe une unique application g : F → E telle que f o g et g o f soient égale à l'application identique (de F et de E


respectivement). Cette application g est l'application réciproque de l'application f.

Réciproque (d'un énoncé) : la réciproque de l'énoncé "si P alors Q" ou "P implique Q" est l'énoncé "si Q alors P" ou "Q implique P".

Réflexive : soit R une relation sur E. Elle est réflexive si pour tout x de E, x R x.

Relation : soient E et F des ensembles. Une relation de E dans F est définie par une partie C du produit cartésien () E × F.

Si (x, y) ∈ C, on dit que x est "en relation avec" y. Réunion : la réunion d'une famille de sous-ensembles (Ai)i∈I de

l'ensemble E est le sous-ensemble B caractérisé par : x ∈ B si et seulement si, il existe i ∈ I tel que x ∈ Ai. On parle également de l'union de ces sous-ensembles.

S Surjection (surjectif, surjective) : une application f : E → F est une

surjection si tout élément de F a au moins un antécédent () par f. On dit que f est surjective.

Symétrique (élément) : Dans un ensemble E muni d'une loi interne (), soit T, pour laquelle existe un élément neutre () e, un symétrique d'un élément x est un élément x' tel que : x T x' = x' T x = e.

Symétrique (relation) : une relation R d'un ensemble E dans lui-même est symétrique si pour tout x et tout y de E on a l'implication :

x R y ⇒ y R x.

T Transitive (relation) : une relation R d'un ensemble E dans lui-même est

transitive si pour tout x, tout y, tout z de E , on a l'implication :


x R y et y R z ⇒ x R z.

U Union : voir Réunion.

Daniel ALIBERT Ensembles, applications. Relations d'équivalence… · 2015. 9. 21. · Daniel...

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