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Département d’Informatique THESE Présentée par : DAIKH Fatima Zohra Pour obtenir le Diplôme de DOCTORAT EN SCIENCES Spécialité : Informatique et Automatique Thème Contribution des approches de l’intelligence artificielle pour la stabilisation robuste des systèmes non linéaires Devant les membres du Jury : Président : ADLA Abdelkader Pr. Université d’Oran1 A. Ben Bella Rapporteur : KHELFI Med Fayçal Pr. Université d'Oran 1 A. Ben Bella Examinateur : HAFFAF Hafid Pr. Université d’Oran1 A. Ben Bella Examinateur : TAHOUR Ahmed Pr. Université de Mascara Examinateur : Examinateur : EL-BERRICHI Zakaria HACHEMI Khalid Pr. Université de Sidi-Bel-Abbès MCA Université d’Oran 2 M. Ben Ahmed - 2015-

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Département d’Informatique THESE

Présentée par :

DAIKH Fatima Zohra Pour obtenir le Diplôme de

DOCTORAT EN SCIENCES Spécialité : Informatique et Automatique

Thème

Contribution des approches de l’intelligence artificielle pour la

stabilisation robuste des systèmes non linéaires

Devant les membres du Jury :

Président : ADLA Abdelkader Pr. Université d’Oran1 A. Ben Bella

Rapporteur :

KHELFI Med Fayçal Pr. Université d'Oran 1 A. Ben Bella

Examinateur :

HAFFAF Hafid

Pr. Université d’Oran1 A. Ben Bella

Examinateur :

TAHOUR Ahmed

Pr. Université de Mascara

Examinateur :

Examinateur :

EL-BERRICHI Zakaria

HACHEMI Khalid

Pr. Université de Sidi-Bel-Abbès

MCA Université d’Oran 2 M. Ben Ahmed

- 2015-

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A ma fille M.Hiba errahmane Amon époux Ghrissi

A mes parents, A mon frère ’’H, A, Bachir’’,

A toute ma famille et ma belle famille, A mes amis,

A toute la famille khelfi ‘Adel, Nadjia ‘.

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Remerciements

Ecrire les remerciements peut paraître une tâche facile car à ce moment, l’essentiel du

travail d’écriture est déjà passé. Pourtant, c’est l’occasion, pour la première fois, de faire un

retour en arrière sur l’épopée qu’est l’écriture d’un tel ouvrage, qui correspond malgré les

difficultés à l’aboutissement de plus de quatre ans de thèse.

Je tiens à exprimer ma profonde gratitude et mes remerciements les plus sincères à

Monsieur KHELFI Mohamed Fayçal, Professeur à l’Université d’Oran 1 Ahmed Ben Bella et

directeur de ma thèse, pour la confiance qu’il m’a toujours témoignée. J’ai tout

particulièrement apprécié ses encouragements et ses conseils, surtout en fin de thèse. Notre

collaboration m’a permis de progresser et de me constituer de solides bases pour le futur.

Je tiens également à remercier :

Monsieur ADLA Abdelkader, Professeur à l’Université d’Oran 1 Ahmed Ben Bella, qui m’a

fait l’honneur de présider le jury,

Monsieur HAFFAF Hafid, Professeur à l’Université d’Oran 1 Ahmed Ben Bella, pour

l’intérêt qu’il a bien voulu porter à ce travail, en acceptant de l’examiner,

Monsieur EL-BERRICHI Zakaria, Professeur à Université de Sidi-Bel Abbès, d’avoir

accepté juger de ce travail,

Monsieur TAHOUR Ahmed, Professeur à l’Université de Mascara pour ses qualités humaines

et scientifiques, je n’ai jamais douté qu’il accepte de juger ce travail.

Monsieur HACHEMI Khalid, Maitre Conférence ‘ A ‘Université d’Oran 2 Ahmed Ben Bella,

pour l’honneur qu’ils m’ont fait en acceptant de juger ce modeste travail.

Je n’oublie pas d’adresser mes vifs remerciements à Monsieur Chaouch Djamel Eddine de

l’Université de Mascara qui ma aidé de près ou de loin pour tous les efforts, l'aide et les

encouragements.

Je remercie mes parent, mon fière et mon époux qui mon accompagner moralement tout au

long de ce parcours.

Par leurs encouragements et leur appui moral inconditionnel et permanent, ils ont permis à

ce travail d’arriver à son terme.

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I

Résumé

La présente thèse est dédiée à l'application des techniques de l'intelligence artificielle afin

de pallier aux limites de la commande robuste des systèmes non linéaires.

Dans le but de la résolution du problème de non linéarité, nous avons la commande

linearisante qui permet de transformer un système non linéaire en un système linéaire facile à

étudier. La sensibilité par rapport aux variations paramétriques et la stabilité de système font

introduire la commande par Mode Glissant et celle par Backstepping successivement pour

minimiser l’influences de ces problèmes. Le terme hybride va prendre une grande place dans

l’évolution des commandes non linéaires. D’une part, la stabilité et la robustesse par rapport

aux variations paramétriques est assurée simultanément par la commande hybride

Backstepping-Mode glissant.

Pour remédier aux problèmes de la commande hybride Backstepping-Mode Glissant à

savoir, la nécessité de connaitre à priori les paramètres du modèle, nous proposons d'utiliser

les systèmes neuro-flous approximateurs.

Le choix de système neuro-flou précisément STFIS (Self Tuning Fuzzy Inference System)

comme une technique de commande est motivé par le fait, qu’elle offre un grand potentiel

d’adaptabilité aux systèmes non linéaires.

On effectue une hybridation entre la commande hybride Backstepping-Mode Glissant et

STFIS, nous essayerons d’améliorer davantage les performances de contrôle des systèmes non

linéaires.

La commande proposée a été appliquée sur le pendule inversé. Les résultats obtenus sont

très satisfaisants même en présence des perturbations et incertitudes.

Mots clés :

L’intelligence artificielle, commande Mode Glissant, commande Backstepping, Neuro-

flou, contrôleur STFIS, commande hybride, système non linéaire.

Résumé

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Table des Matières

II

Table des Matières

Résumé ....................................................................................................................................... I Table des Matières .................................................................................................................. II Figures et Tableaux ................................................................................................................. V Liste des abréviations et symboles ........................................................................................ IX

Introduction Générale Introduction générale .................................................................................................................. 1

1. Généralité ........................................................................................................................... 1

2. Contexte et problématique.................................................................................................. 2

3. Objectifs et contributions ................................................................................................... 2

4. Organisation du mémoire ................................................................................................... 3

Chapitre I

Les Approches de l’Intelligence Artificielle 1. INTRODUCTION .................................................................................................................. 6 2. Généralité sur réseaux de neurones ........................................................................................ 7

2.1. Historique ........................................................................................................................ 8

2.2. Le neurone biologique ..................................................................................................... 9

2.3. Structure des réseaux de neurones artificiels ................................................................ 10

2.4. Architecture des réseaux ............................................................................................... 12

2.5. Apprentissage ................................................................................................................ 14

2.6. La rétro propagation du gradient de l’erreur ................................................................. 15

2.7. Le domaine des réseaux de neurones ............................................................................ 17

3. Généralité sur la logique floue ............................................................................................. 17

3.1. Variables linguistiques et ensembles flous .................................................................... 18

3. 2. Sous-ensembles flous ................................................................................................... 18

3.3. Fonction d’appartenance ............................................................................................... 19

3.4. Base de règles floues ..................................................................................................... 20

3.5. Le système d'inférence floue ......................................................................................... 20

3.6. Les contrôleurs flous ..................................................................................................... 23

3.7 Applications de la logique floue ..................................................................................... 24

4. les systèmes Neuro-Flous ..................................................................................................... 24 4.1. Objectif .......................................................................................................................... 25

4.2. Définition des Réseaux neuro-flous .............................................................................. 25

4.3. Principe de fonctionnement ........................................................................................... 26

4.4. Architecture des neuro-flous ........................................................................................ 27

Table des Matières

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Table des Matières

III

5. CONCLUSION .................................................................................................................... 30

Chapitre II

La Commande Robuste des Systèmes non Linéaires 1. INTRODUCTION ................................................................................................................ 31 2. Commande des systèmes non linéaires ................................................................................ 32

2.1. Représentation des systèmes non-linéaires ................................................................... 32

2.2. Commande des systèmes ............................................................................................... 32

2.3. Stabilisation d’un système ............................................................................................. 34

2.4 Exemple des systèmes non linéaires .............................................................................. 35

3. La commande en régime glissant ......................................................................................... 36

3.1. Conception de la commande par Mode Glissant ........................................................... 37

4. Principe de l’approche du Backstepping .............................................................................. 45 4.1. Conditions d'implantation ............................................................................................. 46

4.2. Approche non adaptative ............................................................................................... 47

5. Approche adaptative ......................................................................................................... 52

6. CONCLUSION .................................................................................................................... 59

Chapitre III

Contribution des Neuro-flous dans la commande

robuste

1. INTRODUCTION ................................................................................................................ 60 2. Les systèmes Neuro-flous .................................................................................................... 61

2.1. ANFIS (Adaptive Neural Fuzzy Inference System)...................................................... 61

2.2. STFIS (Self Tuning Fuzzy Inference System) .............................................................. 64

2.3. Applications .................................................................................................................. 69

3. Commande hybride de Mode Glissant et STFIS .................................................................. 77

3.1. Application de la commande hybride Mode Glissant et STFIS au pendule inversé ... 78

4. Synthèse de l'utilisation des approches Intelligences Artificielles pour la commande Mode

Glissant ..................................................................................................................................... 92 5. CONCLUSION .................................................................................................................... 94

Chapitre IV

Amélioration des performances de la commande

robuste par le STFIS 1. INTRODUCTION ................................................................................................................ 95 2. Commande hybride Backstepping-Mode Glissant ............................................................... 95

3. Synthèse de la commande hybride ....................................................................................... 96 3.1 Application de commande hybride sur pendule inversé ................................................ 97

4. La commande hybride basée sur Neuro-Flou .................................................................... 100 4.1 Application au pendule inversé .................................................................................... 100

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Table des Matières

IV

5. Etude comparative des commandes étudiées ..................................................................... 106 6. CONCLUSION .................................................................................................................. 108

Conclusion générale ............................................................................................................. 109 Bibliographie ......................................................................................................................... 110 Annexe A ............................................................................................................................... 110 Annexe B ............................................................................................................................... 110

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Figures et Tableaux

V

Figures et Tableaux

Figure 1 . Navigation à travers la thèse. ..................................................................................... 5

Figure. I. 1. Le neurone biologique. ......................................................................................... 10 Figure. I. 2.Modèle de base d’un neurone formel. .................................................................. 11 Figure. I. 3. Différents types de fonctions d’activation pour le neurone formel. ..................... 12 Figure. I. 4.Réseau Monocouche. ............................................................................................. 12

Figure. I. 5. Réseau multicouche. ............................................................................................. 13

Figure. I. 6. Réseau à connexion complète. ............................................................................. 13

Figure. I. 7. Réseau à connexions locales. ............................................................................... 14 Figure. I. 8.Partition floue forte de l'univers de discours de la variable linguistique

"Température". ......................................................................................................................... 19 Figure. I. 9. Structure interne d’un régulateur flou. ................................................................. 21

Figure. I. 10.Le système neuro-flou. ........................................................................................ 25 Figure. I. 11.Principe de fonctionnement du système neuro-flou. ........................................... 27

Figure. I. 12.Exemple d'association en série d'un réseau de neurone et d'un système. ............ 28 Figure. I. 13. Exemple d'association en parallèle d'un réseau de neurone et d'un système ...... 28

Figure. II. 1.Bloc de commande d'un système non linéaire. .................................................... 34 Figure. II. 2. Le pendule inversé. ............................................................................................ 35

Figure. II. 3.Pendule simple. .................................................................................................... 36 Figure. II. 4. Masse Ressort. ..................................................................................................... 36

Figure. II. 5. Différents modes de convergence pour la trajectoire d’état. ............................... 37 Figure. II. 6. Principe de commande structure variable. .......................................................... 40

Figure. II. 7. La commande discontinue uc. ............................................................................. 41 Figure. II. 8.La fonction de commutation de la commande par régime glissant à bande limite.

.................................................................................................................................................. 42 Figure. II. 9. Application de la commande par Mode Glissant au système pendule inversé

condition initiale 10/1 pix ................................................................................................... 44

Figure. II. 10. Application de la commande par Mode Glissant au système pendule inversé

condition initiale 01 x ............................................................................................................ 44

Figure. II. 11.Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale pour l’angle condition initiale 10/1 pix

. ................................................................................................................................................. 45

Figure. II. 12.Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale pour l’angle condition initiale 01 x . .. 45

Figure. II. 13. Schéma bloc du système du deuxième ordre. ................................................... 48 Figure. II. 14. Schéma illustratif de la commande par Backstepping. ..................................... 50 Figure. II. 15.Application de la commande Backstepping (approche non adaptative) au

pendule simple. ......................................................................................................................... 51

Figure. II. 16. Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale. ............................................................ 52 Figure. II. 17. Schéma de principe de la commande adaptative. .............................................. 53 Figure. II. 18. Application de la commande Backstepping (approche adaptative) au pendule

inversé. ..................................................................................................................................... 57

Liste des figures

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Figures et Tableaux

VI

Figure. II. 19. Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale. ............................................................ 57

Figure. II. 20. L’estimation de la fonction 𝑓(référence sinusoïdale, aléatoire). ....................... 58

Figure. II. 21.L’estimation de la fonction𝑔 (référence sinusoïdale, aléatoire)......................... 58

Figure. II. 22. La commande 𝑢. .............................................................................................. 58

Figure. III. 1. Structure d'un ANFIS......................................................................................... 62 Figure. III. 2. Partie défuzzification. ........................................................................................ 64 Figure. III. 3.Structure STFIS. ................................................................................................. 65

Figure. III. 4.Architecture JEAN. ............................................................................................. 68 Figure. III. 5.Architecture mini-JEAN. .................................................................................... 69 Figure. III. 6. Structure contrôleur. ......................................................................................... 69 Figure. III. 7.Commande directe par modèle inverse. .............................................................. 70 Figure. III. 8. Erreur prédiction du modèle inverse. ................................................................ 70

Figure. III. 9. Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale (Consigne yd). ...................................... 71 Figure. III. 10.Poursuite d’une trajectoire aléatoire (Consigne yd1). ........................................ 71 Figure. III. 11. Fonction d’appartenance. ................................................................................ 72

Figure. III. 12. Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale. ........................................................... 72 Figure. III. 13. Evolution des poids pour la trajectoire sinusoïdale. ........................................ 73 Figure. III. 14. Poursuite d’une trajectoire aléatoire. ............................................................... 73 Figure. III. 15. Comparaison entre STFIS et ANFIS. .............................................................. 74

Figure. III. 16. Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale. ........................................................... 74 Figure. III. 17. Evolution des poids pour trajectoire sinusoïdale. ............................................ 75

Figure. III. 18. Poursuite d’une trajectoire aléatoire. ............................................................... 75 Figure. III. 19.Commande hybride Mode Glissant avec STFIS. .............................................. 78

Figure. III. 20.Fonction d’appartenance du 𝑆, 𝑆. ...................................................................... 81 Figure. III. 21.Application de la commande hybride Mode Glissant et STFIS au système

pendule inversé. ........................................................................................................................ 82 Figure. III. 22.Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale pour l’angle. ........................................ 83

Figure. III. 23.Poursuite d’une trajectoire pour l’angle pour 10/1 pix . ............................... 84

Figure. III. 24.Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale pour l’angle pour 10/1 pix .............. 84

Figure. III. 25.Evolution des poids pour une référence sinusoïdale 01 x et 10/1 pix . ..... 85

Figure. III. 26.Poursuite d’une trajectoire pour une variation de massede chariot 0.5m kg .

.................................................................................................................................................. 85

Figure. III. 27.Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale pour une variation de massede chariot

0.5m kg . ................................................................................................................................... 86

Figure. III. 28.Poursuite d’une trajectoire pour une variation de langueur 1l m . .................... 86

Figure. III. 29.Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale pour une variation de langueur 1l m .

.................................................................................................................................................. 87 Figure. III. 30.Comparaison entre SMC et commande hybride SMC STFIS (consignes

sinusoïdale, aléatoire). .............................................................................................................. 88 Figure. III. 31. Commande hybride Mode Glissant avec STFIS. ............................................. 88

Figure. III. 32.Fonction d’appartenance de 𝑆1, 𝑆1. ................................................................. 89 Figure. III. 33.La position angulaire du pendule. ..................................................................... 90 Figure. III. 34.la position de chariot. ........................................................................................ 91 Figure. III. 35. La loi de commande. ........................................................................................ 91 Figure. III. 36. Evolution des poids. ......................................................................................... 91

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Figures et Tableaux

VII

Figure. IV. 1.Positions désirée et réelle du pendule inversé. ................................................... 98

Figure. IV. 2. Erreur de poursuite de la position angulaire. ..................................................... 98 Figure. IV. 3.Signal de commande pour le pendule inversé. ................................................... 99 Figure. IV. 4. Poursuite d’une trajectoire aléatoire. ................................................................. 99

Figure. IV. 5. La commande hybride basée sur Neuro-flou. .................................................. 100 Figure. IV. 6.Fonctions d’appartenances. .............................................................................. 101 Figure. IV. 7.Positions désirée et réelle du pendule inversé. ................................................. 103 Figure. IV. 8. Erreur de poursuite de la position angulaire. ................................................... 103 Figure. IV. 9. La commande robuste mode glissant, Backstepping et STFIS. ...................... 104

Figure. IV. 10.Poursuite d’une trajectoire aléatoire. .............................................................. 104 Figure. IV. 11. Les poids de STFIS1. .................................................................................... 105 Figure. IV. 12. Les poids de STFIS2 ...................................................................................... 105 Figure. IV. 13. Les erreurs. .................................................................................................... 107

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Figures et Tableaux

VIII

Liste des tableaux

Tableau. I. 1. Analogie entre le neurone biologique et le neurone formel. .............................. 10

Tableau. I. 2.Comparaison entre la logique floue et les réseaux de neurones. ........................ 26 Tableau. I. 3. Tableau récapitulatif de tous les modèles neuro-flous. ...................................... 29

Tableau. III. 1 . Les poids obtenus pour le déplacement sinusoïdal de masse ressort. ............ 76 Tableau. III. 2.Table linguistique déduite après traductions linguistiques (masse ressort). .... 76

Tableau. III. 3.Table de décision standard de Mac Vicar-Whelan à 5 ensembles flous. ......... 77 Tableau. III. 4.les paramètres optimisés. .................................................................................. 81 Tableau. III. 5.les paramètres de la commande. ....................................................................... 90 Tableau. III. 6. Synthèse des approches Mode Glissant avec l’IA. .......................................... 93

Tableau. IV. 1. Les paramètres de la commande hybride. ....................................................... 97 Tableau. IV. 2.les poids initiales. ........................................................................................... 102

Tableau. IV. 3. Les paramètres de commande. ...................................................................... 102 Tableau. IV. 4.Les poids obtenu pour le déplacement angulaire pour STFIS1, STFIS2. ....... 106 Tableau. IV. 5.Table linguistique déduite après traductions linguistiques pour STFIS1,

STFIS2. ................................................................................................................................... 106 Tableau. IV. 6.Comparaissant des commandes. ..................................................................... 107

Liste des tableaux

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IX

Liste des abréviations et symboles

. Fonction d’activation de neurone

ijw Poids de réseau de neurone

ix Entrées du neurone formel

kd La sortie désirée

L’erreur

][ s

ky La sortie de réseau

xU A Fonction d’appartenance d’une variable floue

SEF Les sous-ensembles flous

SIF Système d'inférence floue

i Degré de vérité

𝑥𝑑(𝑡) Consigne ou signal de référence

𝑦(𝑡) Signal de sortie ou réponse

𝑒(𝑡) Erreur de suivi

𝑢(𝑡) Signal de commande

𝑑(𝑡) Perturbations externes

)(xS Surf ace

Représente la pente de la surface

𝑉(𝑥) Fonction de Lyapunov

eu Commande équivalente

cu Commande discontinue

Liste des abréviations et symboles

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X

x(t) Vecteur d'état

SMC Sliding mode control « commande mode glissant »

BACK Commande Backstepping

ANFIS Adaptive Neural Fuzzy Inference System

STFIS Self-Tuning Fuzzy Inference System

𝐽 Fonction coût

𝐸 Une erreur quadratique

Constante de contrôle d’augmentation des paramètres

Gain d’optimisation

b Moment

n

i Terme de dérivée de la fonction coût

Coefficient du terme de weight decay

dy

Sortie désirée

Ge et Gde

Gains de normalisation de l’entrée et sa dérivée

Gc

Gains normalise la sortie

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INTRODUCTION GÈNÈRALE

1

Introduction générale

1. Généralité

Dans la commande des systèmes non linéaires ou ayant des paramètres non constants,

les lois de commande classiques peuvent être insuffisantes car elles sont non robustes surtout

lorsque les exigences sur la précision et autres caractéristiques dynamiques des systèmes sont

strictes.

On doit faire appel à des lois de commande insensibles aux variations des paramètres,

aux perturbations et aux non linéarités.

Dans cet objectif, plusieurs outils sont proposés dans la littérature, dont on cite la

commande à structure variable (VSC Variable Structure Control), Backstepping et la

commande basées sur l’intelligence artificielle. Ce sont toutes des commandes permettant

d’améliorer les performances de système non linéaire.

Parmi les techniques de l’intelligence artificielle, nous allons nous intéresser à des

systèmes neuro-flous. Cette méthodologie utilise une combinaison des réseaux de neurones

artificiels avec les approches de la logique floue dans des structures de contrôle des systèmes

non linéaires pour résoudre le problème de suivi de trajectoire, tout en assurant la stabilité, la

robustesse et améliorer les performances de contrôle.

Le choix de système neuro-flou comme une technique de commande est motivé par le

fait, qu’elle offre un grand potentiel d’adaptabilité aux systèmes non linéaires.

La commande par mode de glissement fait partie de la famille des contrôleurs à

structure variable, c.à.d. des commandes commutant entre plusieurs lois de commande

différentes. L’importance des contrôleurs par Mode Glissant réside dans : la grande précision,

la réponse dynamique rapide, la stabilité, la simplicité de la conception et l’implantation, et la

robustesse vis-à-vis la variation des paramètres internes ou externes [Slotine, 1991]

Le principe de la commande par modes glissants est de contraindre les trajectoires du

système à atteindre une surface donnée, surface de glissement, pour ensuite y rester.

Introduction Générale

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INTRODUCTION GÈNÈRALE

2

La méthode de Backstepping est une procédure récursive utilisant la théorie de

Lyapunov dans la recherche de la loi de commande et dans l’étude de la stabilité. Dans la

technique du Backstepping, il s'agit de choisir une fonction de l'état comme étant l'entrée d'un

sous-système et de procéder de la même manière récursivement jusqu'à obtenir la commande

à appliquer au système global. Cette procédure de conception comme son nom en anglais

"Backstepping" l’indique, veut dire marche arrière ou étape arrière ; puisque la procédure

commence à la sortie du système et fait des pas en arrière à travers des intégrateurs du

système en sélectionnant les valeurs désirées des composantes de l'état jusqu'à ce que l'entrée

actuelle de la commande soit atteinte.

2. Contexte et problématique

Dans le but de la résolution du problème de système non linéarité en un système

linéaire facile à étudier. La sensibilité par rapport aux variations paramétriques et la stabilité

de système fait introduire la commande par Mode Glissant et celle par Backstepping

successivement pour minimiser l’influences de ces problèmes. Le terme hybride va prendre

une grande place dans l’évolution des commandes non linéaires. D’une part la stabilité et la

robustesse par rapport aux variations paramétriques est assurée simultanément par la

commande hybride Backstepping-Mode Glissant.

L’analyse et la commande des systèmes ne sont pas, toujours, des tâches faciles. La

plupart des travaux existants dans la littérature proposent des approches qui sont,

généralement, limitées à des formes bien particulières de systèmes. De plus, les performances

assurées sont, souvent, au prix de la complexité du schéma de commande et du

développement théorique utilisé. La plupart des approches de commande non linéaires exigent

la disponibilité d’un modèle mathématique du système [Ouakka, 2009]. Les performances

assurées, seront directement liées à l’exactitude du modèle utilisé.

3. Objectifs et contributions

Dans ce travail, on s’intéresse à l’étude de la commande robuste par l’application du

Backstepping et mode glissant qui sont des techniques relativement récentes pour les

systèmes non linéaires.

Pour remédier aux problèmes de la commande Backstepping et Mode Glissant à savoir, la

nécessité de connaitre à priori les paramètres du modèle, nous proposons d'utiliser les

systèmes neuro-flous approximateurs.

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INTRODUCTION GÈNÈRALE

3

Dans cette thèse, nous avons œuvré sur deux axes pour concevoir une commande assurant

la stabilité et la robustesse, le premier repose sur la commande hybride Backstepping et

Mode Glissant, tandis que le deuxième utilise les systèmes neuro-flous dans les commandes.

Dans ce volet, et afin d'implémenter la commande hybride Backstepping et mode glissant,

nous avons travaillé avec les deux commandes séparées ensuite, nous avons proposé une

amélioration des deux commandes avec le terme hybridation basée sur le principe de la notion

Lyapunov.

a) Nous avons appliqué la commande Backstepping et Mode Glissant sur un pendule

inversé. Les deux commandes ayant donné de bons résultats.

b) Pour avoir la stabilité et la robustesse, on a introduit une hybridation entre les

commandes.

Dans le deuxième volet, nous avons utilisé le système neuro-flou comme un contrôleur

dans la commande directe, ensuite avec d’autres commandes.

Pour remédier au problème d’estimation en ligne les paramètres du modèle, nous

utiliserons STFIS pour identifier les différentes fonctions𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) de la commande hybride

Backstepping-Mode Glissant.

4. Organisation du mémoire

Le présent mémoire s'articule autour de quatre chapitres (figure.1) :

Dans le premier chapitre, nous présenterons les notions essentielles des réseaux de

neurones artificiels utilisés dans le domaine de contrôle, leur type et les différentes

méthodes d’apprentissage employées, afin d’obtenir leur applications. Ensuite, nous

présenterons, les notions fondamentales et quelques propriétés structurelles des

ensembles flous et les principes de base de la théorie de la logique floue. A la fin

nous présentons une nouvelle technique d’optimisation basée sur les systèmes neuro-

flous. Nous citerons les différentes combinaisons de la logique floue et réseaux de

neurones.

Dans le deuxième chapitre, nous présentons une étude de la commande par Mode

Glissant et la commande Backstepping en donnant tous les aspects théoriques avec

leurs principes de fonctionnement nécessaire pour la conception et l’application au

pendule inversé.

Le troisième chapitre présente deux approches neuro-flous, Adaptive Neural Fuzzy

Inference System(ANFIS) et Self Tuning Fuzzy Inference System (STFIS) pour le

contrôle des systèmes non linéaires, ainsi la commande hybride de Mode Glissant et

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INTRODUCTION GÈNÈRALE

4

neuro-flou. Ensuite nous procéderons à l’application de deux commandes sur le

pendule inversé.

Le quatrième chapitre, concerne l’amélioration des performances des commandes non

linéaires, en utilisant la notion de la commande hybride. Il s’agit de combiner le

principe de deux commandes différentes Backstepping-Mode Glissant, et après une

intégration de système neuro-flou (STFIS) dans le but d’approximer des non linéarités

du modèle.

Enfin, dans le quatrième chapitre nous présentons des applications de déférentes

commandes étudiées sur pendule inversé.

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INTRODUCTION GÈNÈRALE

5

Figure 1 . Navigation à travers la thèse.

Chapitre. I Chapitre. II

La commande

Backstepping

La commande par Mode

Glissant

Les réseaux

neurones et la

logique floue

Le système

Neuro-flou

STFIS

Chapitre. III

Commande Mode

Glissant basée sur STFIS

Chapitre. IV

Commande

hybrideBackstepping

Mode Glissant

Commande hybride

Backstepping -Mode

Glissant avec STFIS

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

6

1. INTRODUCTION L’un des défis de l’homme aujourd’hui est de copier la nature et de reproduire des modes

de raisonnement et de comportement qui lui sont propres. Les réseaux de neurones, sont nés

de cette envie, ils constituent une famille de fonctions non linéaires paramétrées, utilisées

dans de nombreux domaines (physique, chimie, biologie, finance, etc.), notamment pour la

modélisation de processus et la synthèse de lois de commandes.

Les réseaux de neurones sont des composantes importantes dans le domaine de

l’intelligence artificielle. Les réseaux de neurones artificiels sont composés de neurones

artificiels simples, à petites fonctions mathématiques, qui permettent, montés en réseaux de

former des fonctions complexes très utiles.

Les réseaux de neurones, fabriqués de structures cellulaires artificielles, constituent une

approche permettant d’aborder sous des angles nouveaux les problèmes de perception, de

mémoire, d’apprentissage et de raisonnement. Ils s’avèrent être aussi des alternatives très

prometteuses pour contourner certaines des limitations des ordinateurs classiques. Grâce à

leur traitement parallèle de l’information et à leurs mécanismes inspirés des cellules

nerveuses (neurones), ils infèrent des propriétés émergentes permettant de solutionner des

problèmes jadis qualifiés de complexes [Parizeau, 2004].

Aujourd’hui, on retrouve les réseaux de neurones solidement implantés dans divers

domaines tels que l’Automatique, Traitement du signal, Diagnostic, dans les milieux

financiers, dans le domaine bancaire et la Défense.

Partie1 : Nous aborderons dans ce chapitre les principales architectures de réseaux de

neurones que l’on retrouve dans la littérature. Il ne s’agit pas de les étudier toutes, car elles

sont trop nombreuses, mais plutôt d’en comprendre les mécanismes internes fondamentaux et

de savoir comment et quand les utiliser.

Chapitre I

Les Approches de

l’Intelligence Artificielle

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

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Partie2 :Afin de mettre en œuvre des systèmes robustes, de faible coût et en adéquation

avec le monde réel, il a été éprouvé ces dernières années le besoin de formaliser des méthodes

empiriques, de généraliser les modes de raisonnement naturels et de construire des systèmes

artificiels modélisant les tâches habituellement prises en charges par les humains. Pour

répondre à ces besoins, plusieurs techniques dites modernes ou non conventionnelles

émergeant de l'intelligence artificielle ont été proposées et récemment regroupées par L. A.

Zadeh [Zadeh, 1965] au sein d'un unique concept le soft computing.

Initialement la logique floue a été appliquée dans des domaines non techniques, comme le

commerce, la médecine, dans le but de compléter les systèmes experts et leur donner une

aptitude de prise de décision. Les premières applications au niveau des systèmes de réglages

datent de la fin des années 70, puis à partir de 1985 environ, la logique floue a commencé à

être utilisée dans des produits industriels, en particulier au Japon, pour résoudre des

problèmes de réglage et de commande.

Partie3 : L’intégration des réseaux de neurones et des systèmes d’inférences floues

peuvent être formulés en trois catégories : modèles neuro-flous coopératif, concurrents et

hybrides. Nous présentons les systèmes neuro-flous hybrides capables d’apprendre les

paramètres des ensembles flous. Nous nous intéressons aux dispositifs des différents types de

ces modèles neuro-flous hybrides qui ont évolué pendant ces dernières années.

L’objectif de ce chapitre est de présenter les notions principales des réseaux de neurones,

théorie de la logique floue et les systèmes neuro-flou. D’abord, nous présentons quelques

concepts de réseaux de neurones, les différentes architectures ainsi que les types

d’apprentissage et leurs applications. Ensuite, des notions générales de base de la logique

floue ainsi les éléments de bases de structure de la logique floue, les différents types des

contrôleurs flous, ainsi que leurs applications et enfin les définitions de base de neuro-flou et

ces architectures.

2. Généralité sur réseaux de neurones L’origine des réseaux de neurones vient de l’essai de modélisation mathématique du

cerveau humain. Les premiers travaux datent de 1943, et sont l’œuvre de MM. Mac Culloch

et Pitts. Ils supposent que l’impulsion nerveuse est le résultat d’un calcul simple effectué par

chaque neurone et que la pensée née grâce à l’effet collectif d’un réseau de neurones

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

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interconnectés. Ils ont connu des débuts prometteurs vers la fin des années 50, mais le manque

d’approfondissement de la théorie a gelé ces travaux jusqu’aux années 80 [Chekroun, 2009].

Les réseaux de neurones forment une famille de fonctions non linéaires, permettant de

construire, par apprentissage, une très large classe de modèles et de contrôleurs. Un réseau de

neurones est un système d’opérateurs non linéaires interconnectés, recevant des signaux de

l’extérieur par ses entrées, et délivrant des signaux de sortie, qui sont en fait les activités de

certains neurones.

2.1. Historique [Chekroun, 2009]

1890 : W. James, célèbre psychologue américain introduit le concept de mémoire

associative, et propose ce qui deviendra une loi de fonctionnement pour

l’apprentissage sur les réseaux de neurone connu plus tard sous le nom de loi de Hebb.

1943 : J. Mc Culloch et W. Pitts laissent leurs noms à une modélisation du neurone

biologique (un neurone au comportement binaire). Ce sont les premiers à montrer que

des réseaux de neurones formels simples peuvent réaliser des fonctions logiques,

arithmétiques et symboliques complexes (tout au moins au niveau théorique).

1949 : D. Hebb, physiologiste américain explique le conditionnement chez l’animal

par les propriétés des neurones eux-mêmes. Ainsi, un conditionnement de type

pavlovien tel que, nourrir tous les jours à la même heure un chien, entraîne chez cet

animal la sécrétion de salive à cette heure précise même en absence de nourriture. La

loi de modification des propriétés des connexions entre neurones qu’il propose,

explique en partie ce type de résultats expérimentaux.

1957 : F. Rosenblatt développe le modèle du perceptron. Il construit le premier

neurone artificiel basé sur ce modèle et l’applique au domaine de la reconnaissance de

formes. Notons qu’à cette époque les moyens à sa disposition sont limités et c’est une

prouesse technologique que de réussir à faire fonctionner correctement la machine.

1960 : B. Widrow, un automaticien, développe le modèle Adaline (Adaptative Linear

Element). Dans sa structure, le modèle ressemble au Perceptron, cependant la loi

d’apprentissage est différente. Celle-ci est à l’origine de l’algorithme de rétro

propagation de gradient très utilisé aujourd’hui avec les perceptrons multicouches. Les

réseaux de type Adaline restent utilisés de nos jours pour certaines applications

particulières.

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

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1982 : J. J. Hopfield est un physicien reconnu à qui l’on doit le renouveau d’intérêt

pour les réseaux de neurones artificiels. Il présente une théorie du fonctionnement et

des possibilités des réseaux de neurones.

1983 : La machine de Boltzmann est le premier modèle connu apte à traiter de

manière satisfaisante les limitations recensées dans le cas du perceptron. Mais

l’utilisation pratique s’avère difficile, la convergence de l’algorithme étant

extrêmement longue (les temps de calcul sont considérables).

1985 : La rétro propagation de gradient apparaît. C’est un algorithme d‘apprentissage

adapté aux réseaux de neurones multicouches (aussi appelés perceptrons

multicouches). Sa découverte réalisée par trois groupes de chercheurs indépendants

indique que "la chose était dans l’air". Dès cette découverte, nous avons la possibilité

de réaliser une fonction non linéaire d’entrée/sortie sur un réseau en décomposant

cette fonction en une suite d’étapes linéairements séparables. De nos jours, les réseaux

multicouches et la rétro propagation de gradient restent le modèle le plus étudié et le

plus productif au niveau des applications [Touzet et Sarzeaud ,1992].

2.2. Le neurone biologique

Le neurone biologique est une cellule vivante spécialisée dans le traitement des signaux

électriques. Les neurones sont reliés entre eux par des liaisons appelées axones. Ces axones

vont eux-mêmes jouer un rôle important dans le comportement logique de l'ensemble, elles

conduisent les signaux électriques de la sortie d'un neurone vers l'entrée (synapse) d'un autre

neurone. Les neurones font une sommation des signaux reçus en entrée et en fonction du

résultat obtenu vont fournir un courant en sortie. La structure d’un neurone se compose de

quatre parties (figure. I.1) :

La somma: ou cellule d’activité nerveuse, au centre du neurone.

L’axone: attaché au somma qui est électriquement actif, ce dernier conduit l’impulsion

conduite par le neurone.

Dendrites: électriquement passives, elles reçoivent les impulsions d’autres neurones.

Synapses : C'est une jonction entre deux neurones et généralement entre l'axone d'un

neurone et une dendrite d'un autre neurone [Elliasmith, 2002].

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

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Figure. I. 1. Le neurone biologique.

2.3. Structure des réseaux de neurones artificiels

McCulloch et Pitts en 1943 ont implémenté un système de réseaux neuronaux artificiels,

qui est analogue aux neurones biologiques, fondés sur une structure complexe (tableau. I.1)

[McCulloch et Pitts, 1943].

Le système des RNA est considéré comme un arrangement d'éléments de structure

identique appelé neurones interconnectés par analogie avec les cellules du système nerveux

humain. Il est composé également d'une succession de couches connectées de manière à ce

que chaque neurone tient son entrée de la sortie du neurone précédant. Chaque neurone dans

ce cas fonctionne indépendamment par rapport aux autres afin que l'ensemble forme un

système compact. L'information est emmagasinée de façon répartie dans le réseau sous forme

de coefficients synaptiques. Le neurone formel calcule régulièrement un résultat qu'il transmet

ensuite aux neurones suivant, chaque calcul est associé à un poids qui définit la force de la

connexion [Hagan et al., 1995].

Neurone artificiel Neurone biologique

Poids de connexion Synapses

Signal de sortie Axones

Signal d’entrée Dendrite

Fonction d’activation Soma

Tableau. I. 1. Analogie entre le neurone biologique et le neurone formel.

Mathématiquement, tel qu'il est illustré par la figure. I.2, chaque neurone reçoit des

entrées sous forme vectorielle puis il calcule une somme pondérée de ses entrées pour que le

résultat passe ensuite par la fonction d'activation afin de créer une sortie.

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Figure. I. 2.Modèle de base d’un neurone formel.

Le modèle de la figure I.2 est composé [McCulloch et Pitts, 1943] :

- Des entrées du neurone formel ix i=1,2,…, n ;

- Des paramètres de pondération ijw ;

- De la fonction d’activation ou de seuillage (non linéaire, sigmoïde, etc.…) ;

Et d’une sortie du neurone formel.

La sortie ku du neurone formel est donnée par la relation (I.1) :

n

j

jjii xwu0

(I. 1)

A partir de cette valeur, une fonction d’activation calcule la valeur de sortie j du neurone.

C'est cette valeur qui sera transmise aux neurones avals :

ji uy (I. 2)

Il existe de nombreuses formes possibles pour la fonction d’activation. Les plus courantes

sont présentées sur la figure. I.3. On remarquera qu'à la différence des neurones biologiques

dont l'état est binaire, la plupart des fonctions d’activations sont continues, offrant une infinité

de valeurs possibles comprises dans l'intervalle [0, +1] (ou [-1, +1]).

Signaux

D’entrée

.

1x

2x

jx

nx

Sortie

iy

Fonction d’activation

iu

Unite de

Sommation

Biais

i Wi1

Wi2

Wij

Win

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Figure. I. 3. Différents types de fonctions d’activation pour le neurone formel.

a: fonction a seuil, b : linéaire par morceaux, c : sigmoïde.

Nous constatons que les équations qui décrivent le comportement des neurones formels

n'introduisent pas la notion de temps. En effet, et c'est le cas pour la plupart des modèles

actuels de réseaux de neurones, nous avons à faire à des modèles à temps discret, dont le

comportement des composants ne varie pas dans le temps.

2.4. Architecture des réseaux

a- Réseau monocouche

La structure d’un réseau monocouche est telle que des neurones organisés en entrée

soient entièrement connectés à d’autres neurones organisés en sortie par une couche

modifiable de poids (figure. I.4).

Figure. I. 4.Réseau Monocouche.

x=f(a)

a

+1

-1

+1

-1

b

x=f(a)

+1

-1

c

x=f(a)

Entrée W Sortie

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b- Réseau multicouche

Couche d’entrée, l'ensemble des neurones d'entrée, couche de sortie, l'ensemble des

neurones de sortie. Les couches intermédiaires n'ayant aucun contact avec l'extérieur sont

appelées couches cachées (figure. I.5).

Figure. I. 5. Réseau multicouche.

c- Réseau à connexion complète

C'est la structure d'interconnexion la plus générale. Chaque neurone est connecté à tous les

neurones du réseau (et à lui-même) (figure. I.6).

Figure. I. 6. Réseau à connexion complète.

d- Réseau à connexions locales

Il s'agit d'une structure multicouche, mais Chaque neurone entretient des relations avec un

nombre réduit et localisé de neurones de la couche avale. Les connexions sont donc moins

nombreuses que dans le cas d'un réseau multicouche classique (figure. I.7).

Entrée Couche cachée Sortie

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Figure. I. 7. Réseau à connexions locales.

2.5. Apprentissage

L’apprentissage et l’adaptation constituent deux caractéristiques essentielles des réseaux

de neurones. Le rôle de l’apprentissage est de définir le poids de chaque connexion. De

nombreuses règles existent pour modifier le poids des connexions et donc pour arriver à un

apprentissage correct. Lorsque la phase d’apprentissage est achevée, le réseau doit être

capable de faire les bonnes associations pour les vecteurs d’entrées qu’il n’aura pas appris

[Moody et Darken, 1995].

C’est l’une des propriétés importante dans les réseaux de neurones, car elle permet de

donner la capacité de reconnaître des formes ressemblantes et même dégradées des

prototypes, c’est la phase de reconnaissance.

Il existe deux types d'apprentissages principaux. Ce sont l'apprentissage Supervisé et

l'apprentissage non- supervisé.

Apprentissage supervisé

On parle d'apprentissage supervisé quand le réseau est alimenté avec la bonne réponse

pour les exemples d'entrées donnés. Le réseau a alors comme but d'approximer ces exemples

aussi bien que possible et de développer à la fois la bonne représentation mathématique qui lui

permet de généraliser ces exemples pour ensuite traiter des nouvelles situations (qui n'étaient

pas présentes dans les exemples).

Apprentissage non-supervisé

Dans le cas de l'apprentissage non-supervisé le réseau décide lui-même quelles sont les

bonnes sorties. Cette décision est guidée par un but interne au réseau qui exprime une

Entrée Couche cachée Sortie

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

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configuration idéale à atteindre par rapport aux exemples introduits. Les cartes auto

organisatrices de Kohonen sont un exemple de ce type de réseau [Hagan et al. 1995].

Autre la classification présentée ci-dessus, les méthodes d'apprentissage sont souvent

différenciées de par leur caractère hors ligne (off-line) ou en ligne (on-line) :

Apprentissage hors ligne

Ce mode d'apprentissage consiste à accumuler les erreurs instantanées consécutives, et à

n'effectuer l'adaptation des poids synaptiques que lorsque l'ensemble des données

d'apprentissage ont été présentées au réseau. Cette dernière méthode permet de mieux estimer

le gradient réel de la fonction coût, puisqu'il est à présent calculé à partir d'un ensemble

d'exemples, plutôt qu'à partir d'un seul.

Apprentissage en ligne

Il consiste à modifier les valeurs des poids synaptiques immédiatement après la

présentation d'un exemple. Dans ce cas, seul le gradient instantané de la fonction coût est

utilisé pour l'adaptation des paramètres du système. Sous la condition que les exemples soient

présentés au réseau de neurones de manière aléatoire, l'apprentissage enligne rend la

recherche du minimum de la fonction coût stochastique en nature, ce qui rend moins probable,

pour l'algorithme d'apprentissage, de tomber dans un minimum local.

L'efficacité relative des modes d'apprentissage enligne et hors-ligne dépend

essentiellement du problème considéré. L'apprentissage enligne présente cependant l'avantage

que, pour une seule présentation de l'ensemble de la base de données, il implique de multiples

phases d'adaptations des poids synaptiques lorsque des données similaires se représentent, ce

qui se produit fréquemment pour des bases de données très étendues [Hagan et al., 1995].

2.6. La rétro propagation du gradient de l’erreur

L’algorithme de rétro propagation du gradient de l’erreur à été créé en généralisant les

règles d’apprentissage de Widrow Hoff aux réseaux multicouches à fonction de transfert non

linéaire. C’est un algorithme utilisé avec des réseaux de types feedforward pour

l’apprentissage de fonction, la reconnaissance de forme et la classification [Chekroun, 2009].

1. Principe

La rétro propagation du gradient de l’erreur est utilisée pour ajuster les poids et les biais

du réseau afin de minimiser l’erreur quadratique entre la sortie du réseau et la sortie réelle. A

chaque couple entrée/sortie, une erreur est calculée, le gradient, ou pente de l’erreur est

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

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déterminé. Ensuite les poids et les biais sont modifiés en ligne sur le réseau. On réitère ces

calculs jusqu’à l’obtention du critère d’arrêt.

2. Algorithme

L’algorithme de la rétro propagation du gradient de l’erreur se résume aux étapes

suivantes :

1. Initialisation des poids ][qw à des petites valeurs aléatoires.

2. Présentation d’une entrée kx et de la sortie désirée kd .

3. Calcul de la sortie actuelle par propagation à travers les couches :

).( ]1[][][ i

q

i

q

ji

q

j ywFy (I. 3)

Où F est la fonction de transfert du neurone et [q] la qième

couche du réseau.

4. Accumulation des erreurs en sortie :

2][s

kk yd (I. 4)

Où kd est la sortie désirée associée au vecteur d’entrée kx . ][ s

ky est la sortie obtenue sur la dernière couche au temps t.

est l’erreur cumulée pour k présentations de couples kk dx ,

5. Rétro propagation du gradient de l’erreur depuis la dernière couche vers la première

couche :

- Pour chaque cellule de sortie :

][][][ . s

i

s

ii

s

i pFyd (I. 5)

-Pour chaque cellule cachée :

k

s

iki

q

k

q

i pFw ][]1[][ .. (I. 6)

6. Mise à jour des poids selon la règle :

)..( ][][][ q

i

q

i

q

ij xw (I. 7)

Où est le coefficient d’apprentissage compris dans l’intervalle [0,1].

7. Retour à 2 tant qu’il y a des couples à présenter.

3. Choix du critère à minimiser

Dans le cas de la rétro propagation de l’erreur, le critère à minimiser est une erreur

quadratique. L’application de l’algorithme du gradient nécessite la dérivabilité de la fonction

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

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de transfert [Ben Brahim et Kurosawa, 1993]. Le critère de minimisation d’erreur est le

suivant :

2][ )( s

kk yd (I. 8)

L’algorithme présenté ici est de type «on-line », c’est-à-dire que l’on met à jour les poids pour

chaque échantillon d’apprentissage présenté dans le réseau de neurones. Une autre méthode

est dite en « batch », c'est-à-dire que l’on calcule d’abord les erreurs pour tous les échantillons

sans mettre à jour les poids (on additionne les erreurs) et lorsque l’ensemble des données est

passé une fois dans le réseau, on applique la rétro propagation en utilisant l’erreur totale. Cette

façon de faire est préférée pour des raisons de rapidité et de convergence.

2.7. Les applications des réseaux de neurones

Les réseaux de neurones servent aujourd’hui à toutes sortes d’applications dans divers

domaines (informatique, électronique, science cognitive, neurobiologie et même philosophie).

L'étude des réseaux de neurones est une voie prometteuse de l'Intelligence Artificielle, qui a

des applications dans de nombreux domaines [Parizeau, 2004]:

• Industrie: contrôle qualité, diagnostic de panne, corrélations entre les données fournies

par différents capteurs, analyse de signature ou d'écriture manuscrite...

• Finance: prévision et modélisation du marché (cours de monnaies...), sélection

d'investissements, attribution de crédits...

• Télécommunications et informatique: analyse du signal, élimination du bruit,

reconnaissance de formes (bruits, images, paroles), compression de données...

• Environnement: évaluation des risques

3. Généralité sur la logique floue La logique floue (fuzzylogic) est une technique utilisée en intelligence artificielle. En

réalité, elle existait déjà depuis longtemps, ce sont les paradoxes logiques et les principes de

l'incertitude d'Heisenberg qui ont conduit au développement de la "logique à valeurs

multiples" dans les années 1920 et 1930. En 1937, le philosophe Max Black a appliqué la

logique continue, qui se base sur l'échelle des valeurs vraies {0, l/2 et 1}, pour classer les

éléments ou symboles. Les bases théoriques de la logique floue ont été formalisées en 1965

par le professeur Lotfi A. Zadeh de l’université de Californie de Berkeley [Zadeh, 1965]. A

cette époque, la théorie de la logique floue n'a pas été prise au sérieux. En effet, les

ordinateurs, avec leur fonctionnement exact par tout ou rien (1 ou 0), ont commencé à se

répandre sur une grande échelle. Par contre, la logique floue permettait de traiter des variables

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

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non exactes dont la valeur peut varier entre 1 et 0. Initialement, cette théorie était appliquée

dans des domaines non techniques, comme la médecine et le commerce. Mamdani a été le

premier à appliquer ce nouveau formalisme [Toufouti, 2008]. A partir de 1985, la logique

floue a été appliquée dans des domaines aussi variés que l'automatisme, la robotique, la

gestion de la circulation routière, le contrôle aérien, l'environnement (météorologie,

climatologie, sismologie).

Cette approche s'est d'abord concentrée sur la représentation et la manipulation des

connaissances imprécises: "La vitesse du robot est d'environ 25m/s", vagues: "la connaissance

de l'environnement est assez incomplète" et incertaine: "le robot est certainement sur la bonne

route". Le professeur Lotfi A. Zadeh a proposé d'associer à un concept imprécis (concepts

humains e.g. grand, chaud,...) une fonction d’appartenance à un ensemble. Cette fonction

d'appartenance définit le degré de représentation d'une instance vis-à-vis du concept.

Généralement c'est une fonction numérique continue qui exprime un point de vue subjectif

d'une personne sur la variabilité du concept. Il a été montré qu'une telle fonction est utile pour

représenter l'influence des modificateurs linguistiques, comme «très», «plus ou moins», «peu»

sur la signification des concepts.

3.1. Variables linguistiques et ensembles flous

La description imprécise d’une certaine situation, d’un phénomène ou d’une grandeur

physique ne peut se faire que par des expressions relatives ou floues à savoir: Quelque,

Beaucoup, Souvent, Chaud, Froid, Rapide, Lent, Grand, Petit, etc.

Ces différentes classes d’expressions floues dites ensembles flous forment ce qu’on

appelle des variables linguistiques. Afin de pouvoir traiter numériquement ces variables

linguistiques (normalisées généralement sur un intervalle bien déterminé appelé univers de

discours), il faut les soumettre à une définition mathématique à base de fonctions

d’appartenance qui montre le degré de vérification de ces variables linguistiques relativement

aux différents sous-ensembles flous de la même classe[Abraham,2001].

3. 2. Sous-ensembles flous

Les sous-ensembles flous (SEF) sont une classe d'objets où la transition entre

l'appartenance et la non appartenance à l'ensemble n'est pas abrupte mais graduelle.

Un sous-ensemble flou A, est défini par :

- Un intervalle convexe A de, auquel est associé un label linguistique (e.g. "Petit","Moyen",

"Grand").

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

19

- Une fonction réelle xU A à valeurs dans [0, l], qui donne le degré d'appartenance d'une

variable x au sous-ensemble flou xU A . La fonction d'appartenance modélise les situations

où un même élément peut être classé dans plusieurs catégories avec des degrés divers

[Maaref, 2002].

Figure. I. 8.Partition floue forte de l'univers de discours de la variable linguistique "Température".

3.3. Fonction d’appartenance

Afin de permettre un traitement numérique des variables linguistiques dans la prise de

décisions floues sur calculateur, une définition des variables linguistiques à l’aide de fonctions

d’appartenance s’impose. Dans ce contexte, nous associons à chaque valeur de la variable

linguistique une fonction d’appartenance désignée par )(xU A , qui sera désignée par le degré

ou le facteur d’appartenance. Il est à noter que l’ensemble des éléments de x pour lesquels

)(xU A > 0, est appelé «support de A». Le plus souvent, nous utilisons pour les fonctions

d’appartenance les fonctions suivantes [Alouani, 2006] :

Fonction triangulaire : Elle est définie par trois paramètres {a, b, c} qui déterminent les

coordonnées des trois sommets.

)0),,(min()(bc

xc

ab

axMaxxu

(I. 9)

Fonction trapézoïdale : Elle est définie par quatre paramètres {a, b, c, d} :

)0),,1,(min()(xd

xc

ab

axMaxxu

(I. 10)

)(xU

Petite Moyenne Grande

40 10 100

Termes

Linguistique

Température

1

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20

Fonction gaussienne : Elle est définie par deux paramètres { , m} :

)2

)(exp()(

2

2

mxxu

(I. 11)

Fonction sigmoïdale : Elle est définie par deux paramètres {a, c} :

))(exp(1

1)(

cxaxu

(I. 12)

3.4. Base de règles floues

On définit une règle floue comme une proposition floue correspondant à la mise en relation

de deux propositions floues par une implication [Abraham, 2001].

Une proposition floue est dite élémentaire, si elle n'est constituée que d'un prédicat de la

forme "X est A". La composition de deux ou plusieurs variables linguistiques constitue une

proposition floue.

L'expression linguistique générale d'une règle peut être formalisée de la manière suivante:

siV est A alorsW est B .

Où A et B sont des sous-ensembles flous etV etW sont des variables linguistiques.

On appelle prémisse, la partie prémisse de la règle (V est A ) et conclusion, la seconde partie

(W est B ).

D'une manière générale, on peut combiner des propositions floues de type "V est A " par

des opérateurs logiques de conjonction et de disjonction ("ET" et "OU"), mis en œuvre

respectivement par des t-normes et t-conormes. On peut alors construire des règles floues plus

complexes, dont la partie prémisse et la partie conclusion correspondent à une combinaison de

propositions, par exemple:

si 1V est 1A et 2V est 2A alors W est B .

3.5. Le système d'inférence floue

La figure. I.9 illustre la structure générale du cœur d'un système d'inférence floue (SIF) à

deux entrées et une sortie.

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

21

Figure. I. 9. Structure interne d’un régulateur flou.

On peut noter que le calcul de la commande xr s'effectue à partir de trois étapes

fondamentales:

une interface de fuzzification;

un mécanisme d’inférence (règles);

et une interface de défuzzification [Abraham, 2001].

1. La fuzzification

La fuzzification est la traduction des valeurs numériques relatives aux entrées du système

en termes d’appartenances à des sous-ensembles flous pour pouvoir appliquer les règles. A

une variable, on associe les degrés d’appartenances correspondant à chaque sous-ensemble

flou (ce qui dépend bien sur de la description floue adoptée) [Zemalache, 2006].

2. L’inférence floue

L’inférence floue est l’application de la caractérisation symbolique du système aux règles

floues et la déduction d’un certain nombre de résultats locaux ; également exprimés sous

forme symbolique concernant les variables de sortie du système. Le but de cette étape est

d’arriver à déterminer des sorties floues ; en partant d’entrées floues et en utilisant une base

de règles [Benreguieg, 1997].

Pour pouvoir utiliser cette base de règles, on a besoin de trois opérateurs, mathématiques,

pour réaliser la conjonction (ET), l’implication (Si ….Alors) et l’agrégation (Sinon). Par

exemple, dans le cas du contrôleur dit Mamdani :

Le ET (si ix est 1iA et nx est inA ) : l’opérateur associé est la t-norme Min ;

Commande par

logique floue

Fuzzification Mécanisme

D’ inference

Défuzzification 1x

2x

1x

2x

rx

rx

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

22

Le Si….Alors (si ix est 1iA et … nx est inA alors y est iB ) :l’opérateur utilisé est

l’opérateur Min (Mamdani);

Le Sinon qui sert à l’agrégation des solutions locales (si 1x est 1A et 2x est 2A alors y est 1B

sinon si 1x est 3A et 2x est 4A alors y est 2B ) : l’opérateur d’implication associe est la

t-conorme Max.

3. La défuzzification

Elle a pour but l’obtention d’une valeur numérique pour chaque variable de sortie à partir

des valeurs de sortie des différentes règles. Dans le cas de règles de type Takagi-Sugeno, le

calcul se fait simplement par une somme normalisée des valeurs associées aux règles. Dans le

cas de règles de type Mamdani, une valeur numérique doit être obtenue à partir de l’union des

sous-ensembles flous correspondant aux différentes conclusions. Parmi les nombreuses

possibilités pour réaliser cette étape, nous pouvons citer [Rajasekaran et Pai 2003] :

La méthode du centre de gravité : C’est la méthode de défuzzification la plus courante.

L’abscisse du centre de gravité de la fonction d’appartenance résultant de l’inférence

correspond à la valeur de sortie du régulateur.

n

i

ii

n

i

iii

yu

iyyu

y

0

1

0

(I. 13)

Il apparaît que plus la fonction d’appartenance résultante est compliquée, plus le processus de

défuzzification devient long et coûteux en temps de calcul [Wang, 1994].

La méthode du premier des maxima : elle prend en compte la plus petite des valeurs de

l’univers de sortie dont le degré d’appartenance est maximum. Le décodage retourne la valeur

singleton 0y telle que :

)(inf)( 0 yuSupyu YYyYyY (I. 14)

La méthode de la moyenne des maxima : les points iy ou la fonction d’appartenance

résultante atteint son maximum sont concernés que :

l

i

i

l

yy

0

0 (I. 15)

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23

3.6. Les contrôleurs flous

La commande floue est une application de la logique floue au contrôle des systèmes

dynamiques pour lesquels on ne possède pas de modèle satisfaisant. Son principe est simple :

il s'agit dans la plupart des cas d'imiter le comportement d'un opérateur humain dans la

régulation d'un processus complexe à l'aide de règles floues. Cette méthode de conduite de

processus est mise en œuvre grâce à un dispositif appelé usuellement "contrôleur flou".

Un contrôleur flou est un SIF employé dans la technique d'automatisation. Son but est de

trouver une valeur numérique à appliquer au système à partir d'un jeu de variables physiques.

Les principaux types de contrôleurs qui ont été développés portent le nom des chercheurs qui

les ont proposés, il s'agit du contrôleur de Mamdani et du contrôleur de Sugeno. Pour exposer

le principe de fonctionnement de chacun d’eux, on considère l’exemple d’une base de règles

de la forme [Wang, 1994]:

Règle i : si 1x est iA et 2x est iB Alors y est iC .

Où iA , iB et iC sont des sous-ensembles flous.

1. Méthode de Mamdani

La méthode de Mamdani est historiquement la première à avoir été proposée, elle repose

sur le raisonnement suivant [Mamdani et Assilian, 1975] :

-Calcul de la valeur de vérité de chaque règle :

21 , xUxUMinxii BAi

- Calcul de la contribution de chaque règle :

yUxMinyiCi ,

-L’agrégation des règles :

yMaxy i

- La défuzzification pour obtenir une conclusion « nette ».

2. Méthode de Takagi-Sugeno

Cette méthode a été proposée par Takagi-Sugeno, elle se caractérise par une sortie des

règles non floues [Takagi et Sugeno, 1985]. A chaque règle, on associe une sortie définie sous

forme numérique comme étant une combinaison linéaire des entrées. Les règles utilisées

d’ordre zéro sont du type :

Règle i : si 1x est iA et 2x est iB Alors y = iC .

Où les valeurs iC sont des valeurs réelles (non floues).

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24

Cette méthode se base sur le raisonnement suivant :

- Calcul de la valeur de vérité de chaque règle :

iii estBxestAxET 21 ,

- La conclusion de la règle i se calcule : ii C.

- Calcul de la sortie du SIF :

n

i

i

ii

n

i

C

y

1

1

(I. 16)

Les valeurs de i représenté ici le degré de vérité (force) de chaque règle. Les SIF de type

Sugeno permettent une meilleure représentation des fonctions numériques et des mécanismes

d'inférence plus rapides. Il a été montré expérimentalement que, pour un objectif de

commande de processus, la méthode de Sugeno donnait des résultats très voisins de celle de

Mamdani tout en permettant une réduction sensible du temps de calcul.

3.7 Applications de la logique floue

La commande floue a été appliquée avec succès à un grand nombre d'applications dont la

première application marquante est la régulation d'un four de cimenterie au Danemark,

opérationnel depuis 1982; le contrôle du métro de Sendai au Japon mis en service en 1986, le

contrôle du déplacement de la voiture de Sugeno, le contrôle d'incinération de déchets, le

contrôle de qualité d'eau, la conduite automatique de train, la transmission automobile, le

contrôle de température du moulage en plastique, ainsi que dans les domaines de la robotique,

la vision, la reconnaissance de formes, la reconnaissance de la parole, etc. En plus de

nombreuses applications "grand public", telles que réfrigérateurs, climatisation, machine à

laver, etc. D'ailleurs l'année 1990 a été baptisée au Japon "l'année de la logique floue".

4. les systèmes Neuro-Flous Pendant que les réseaux neuronaux sont intéressants pour reconnaître des modèles, ils ne

peuvent pas expliquer comment ils atteignent leurs décisions. De même pour les systèmes de

la logique floue qui peuvent raisonner avec l'information imprécise sont intéressants pour

expliquer leurs décisions mais ne peuvent pas automatiquement acquérir les règles qu’ils

utilisent pour prendre ces décisions. Pour cela, une approche a été développée qui est

principalement connue comme approche neuro-flou.

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25

Diverses combinaisons de ces deux méthodes ont été développées depuis 1988. Elles ont

donné naissance aux systèmes neuro-flous, qui sont le plus souvent orientés vers la

commande de système complexe et les problèmes de classification.

4.1. Objectif

Les réseaux neuro-flous sont nés de l’association des réseaux de neurones avec la

logique floue, de manière à tirer profit des avantages de chacune de ces deux

techniques.

La principale propriété des réseaux neuro-flous est leur capacité à traiter dans un

même outil des connaissances numériques et symboliques d’un système.

Ils permettent donc d’exploiter les capacités d’apprentissage des réseaux de

neurones d’une part et les capacités de raisonnement de la logique floue d’autre part.

4.2. Définition des Réseaux neuro-flous

Définition 1

Le système Neuro-flou est un système flou formé par un algorithme d’apprentissage

inspiré de la théorie des réseaux de neurones. La technique d’apprentissage opère en fonction

de l’information locale et produit uniquement des changements locaux dans le système flou

d’origine [Nauck, 1997].

Définition 2

Un système Neuro-Flou est un réseau de neurones qui est typologiquement équivalent

à la structure d’un système flou. Les entrées/sorties du réseau ainsi que les poids sont des

nombres réels, mais les noeuds implémentent des opérations spécifiques aux systèmes flous :

fuzzification, opérateurs flous (conjonction, disjonction), défuzzification [Nauck, 2000].

Figure. I. 10.Le système neuro-flou.

Réseaux de Neurones

Logique Floue

Neuro-Flou

Données

Numériques

Apprentissage

Données linguistique

Règles Floues

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

26

La figure. I.10 résume le principe du système neuro-flou qui représente l’intersection entre

la logique floue et les réseaux de neurones. Afin de résumer 1'apport du neuro-flou, le tableau

I.2 regroupe les avantages et les inconvénients de la logique floue et des réseaux de neurones

[Otilia, 2008].

Réseaux de Neurones Logique Floue

Avantage

Le modèle mathématique non requis ;

Aucune connaissance basée sur les

règles ;

Plusieurs algorithmes d’apprentissage

sont disponibles.

Le modèle mathématique non requis ;

La connaissance antérieure sur les

règles peut être utilisée ;

Une interprétation et une

implémentation simple

Inconvénients

Boite noire (manque de traçabilité) ;

L’adaptation aux environnements

différents est difficile et le

réapprentissage est souvent obligatoire

(sauf pour le RBF) ;

la connaissance antérieure ne peut pas

être employée (apprentissage à partir de

zéro) (sauf pour le RBF) ;

Aucune garantie sur la convergence de

l’apprentissage

Les règles doivent être disponibles ;

N'apprend pas;

Adaptation difficile au changement de

l’environnement ;

Aucunes méthodes formelles pour

l’ajustement ;

Tableau. I. 2.Comparaison entre la logique floue et les réseaux de neurones.

Les règles floues codées dans un système neuro-flou représentent les échantillons

imprécis et peuvent être vues en tant que prototypes imprécis des données d'apprentissage. Par

contre un système neuro-flou ne devrait pas être vu comme un système expert (flou), et il n'a

rien à voir avec la logique floue dans le sens strict du terme. On peut aussi noter que les

systèmes neuro-flous peuvent être utilisés comme des approximateurs universels [Otilia,

2008].

4.3. Principe de fonctionnement

Les réseaux de neuro-flous hybrides apprennent des rapports et des modèles en utilisant un

algorithme d’apprentissage supervisé qui examine les données dans un ensemble de la

formation qui consiste en exemples d'entrées et leurs sorties associées. Pendant la phase

d’apprentissage, un réseau neuro-flou hybride modifie sa structure interne pour refléter le

rapport entre les entrées et les sorties dans l'ensemble de base de connaissance. L'exactitude

d'un réseau neuro-flou est vérifiée après que le cycle d’apprentissage soit terminé en utilisant

un ensemble séparé d'entrées et de sorties appelé l'ensemble de la validation (figure. I.11).

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

27

Figure. I. 11.Principe de fonctionnement du système neuro-flou.

4.4. Architecture des neuro-flous

Il existe quatre grandes catégories de combinaisons des réseaux de neurones avec la

logique floue : réseau flou neuronal, système neuronal/flou simultanément, modèles neuro-

flous coopératifs et modèles neuro-flous hybrides [Nauck, 1997].

Réseau flou neuronal

Des techniques floues sont utilisées pour augmenter les possibilités d'apprentissage ou

l’exécution d'un réseau neuronal. Ce genre d'approche ne doit pas être confondu avec les

approches mixtes.

Système neuronal/flou simultanément

Le réseau neuronal et le système flou fonctionnent ensemble sur la même tâche, mais sans

s'influencer. Habituellement le réseau neuronal traite les entrées, ou post-traite les sorties du

système flou (voir figure. I.12).

Fuzzification Inférence Défuzzification

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

28

Figure. I. 12.Exemple d'association en série d'un réseau de neurone et d'un système.

Modèles neuro-flous coopératifs

Le réseau neuronal est employé pour déterminer les paramètres (les règles et les ensembles

flous) d'un système flou. Après la phase d’apprentissage, le système flou fonctionne sans le

réseau neuronal. C’est une forme simple des systèmes neuro-flous.

Figure. I. 13. Exemple d'association en parallèle d'un réseau de neurone et d'un système

flou.

Modèles Neuro-flous Hybrides

Les approches neuro-flous modernes sont de cette forme. Un réseau neuronal et un système

flou sont combinés dans une architecture homogène. Le système peut être interprété comme

un réseau neuronal spécial avec des paramètres flous, ou comme un système flou mis en

application sous une forme distribuée parallèle.

Le tableau. I.3 présente toutes les architectures du modèle neuro-flou.

Données

Tp

1

0

P M G

50m

Données Sortie

Réseau de neurones

Système d’inférence floue

Tp

1

0

P M G

50m

Sortie

Réseau de neurones

Système d’inférence floue Règles floues

Ensembles floues

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

29

Système hybride N°

couche

Type SIF Méthode d’apprentissage

ANFIS (Adaptive Neuro Fuzzy Inference

System) [Jang, 1992]

5 Sugeno-Tagaki Descente gradient+ méthode

moindre carrée

ATSMLP (Additive-Takagi-Sugeno-type

MultiLayer Perceptron)

4 Sugeno-Tagaki Levenberg-Marquardt (hors

ligne) + filtre de Kalman étendu

(en ligne)

SANFIS (Sigmoid Adaptive Network

based Fuzzy Inference System)

[Zhang et al., 2004]

5 Sugeno-Tagaki Levenberg-Marquardt (hors

ligne) + filtre de Kalman étendu

(en ligne)

RANFIS (Rough AdaptativeNeuro Fuzzy

Inference System)

[Chandana et Mayorgua, 2006]

5 Sugeno-Tagaki Descente gradient

GARIC(Generalized Approximate

Reasoning based Intelligent Control)

[Berenji et Khedkar, 1992]

5 Mamdani descente gradient +

renforcement

NEFCON (NEuro Fuzzy CONtrol) 3 Mamdani Descente gradient +

renforcement (incrémental)

NEFCLASS (NEuro-Fuzzy

CLASSification)

3 Mamdani Descente gradient +

renforcement (décrémental)

NEFPROX (NEuro Fuzzy

functionapPROXimation) [Nauck et

Kruse, 1999]

3 Mamdani Supervisé + Descente gradient

NOMURA [Nomura et al., 1991] 4 Sugeno-Tagaki Descente gradient

STFIS (Self Tuning Fuzzy Inference

System)

4 Sugeno-Tagaki Descente gradient

FALCON (Fuzzy Adaptive Learning

CONtrol Network) [Lin et Lee, 1991]

5 Mamdani Technique auto-organisée +

descente gradient

SONFIN (Self Constructing Neural Fuzzy

Inference Network)

6 Sugeno-Tagaki Clustering + méthode moindre

carrée + méthode moindre

carrée

récursive + Descente gradient

FUN (FUzzy Net) [Abraham, 2001] 5 Mamdani Recherche stochastique +

renforcement + descente

gradient

FINEST (Fuzzy INference Environment

Software with Tuning)

4 Mamdani Descente gradient

Tableau. I. 3.Tableau récapitulatif de tous les modèles neuro-flous.

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Chapitre I Les Approches de l’Intelligence Artificielle

30

5. CONCLUSION

Dans ce chapitre, nous avons rappelé les éléments de base relatifs aux réseaux de neurones,

la théorie de la logique floue et les systèmes neuro-flous. En effet, des définitions de base sur

les réseaux de neurones, les différents architectures et types d’apprentissage, ainsi que la

rétro propagation de gradient ont été présentés. Ensuite, nous avons élaboré des notions de

base sur les variables linguistiques, les sous-ensembles flous, le système d’inférence flou et

les types de contrôleurs et à la fin, nous citons des applications de la logique floue.

La dernière section de ce chapitre a été consacrée aux définitions de base de neuro-flou

etles différentes combinaisons de la logique floue et réseau de neurone, en suite, nous avons

présenté les différentes structures hybrides neuro-floue.

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

31

1. INTRODUCTION

Dans la formulation de n’importe quel problème de commande, il y a typiquement des

difficulté entre le système réel et le modèle mathématique développé pour la conception du

contrôle. Cette distinction peut être due à la variation des paramètres de la dynamique du

système ou à l’approximation du comportement complexe de système par un modèle. Ceci a

mené à un intérêt intense pour l’élaboration des méthodes de contrôle robustes qui cherchent à

résoudre ce problème [Fadhila, 2004]. Les algorithmes de commande classiques par exemple

à action proportionnelle intégrale dérivée, peuvent s’avérer suffisants si les exigences sur la

précision et les performances du système ne sont pas trop strictes. Néanmoins, dans le cas

contraire et particulièrement lorsque la partie commandée est soumise à de fortes non

linéarités et à des variations temporelles, il faut concevoir des algorithmes de commande

assurant la robustesse du comportement du processus vis-à-vis des incertitudes sur les

paramètres et leurs variations.

C'est pourquoi, depuis quelques années, beaucoup de recherche ont été effectuées dans le

domaine de la commande des systèmes non linéaires. Le Backstepping et le Mode Glissant

font partie de ces nouvelles méthodes de contrôle.

La méthodologie du Backstepping peut se définir comme une façon d'organiser un

système en plusieurs sous-systèmes en cascade. L'exploitation de la méthodologie de

conception sur un plan général aboutit à la mise en place d'une loi de commande par

rétroaction associée systématiquement à une fonction de Lyapunov.

Afin d’obtenir ce régime glissant, une loi de commande est requise pour avoir une nature

discontinue, c’est-à-dire que la structure du système a besoin d’être modifiée dans le temps.

Un tel système est appelé système à structure variable [Hajri, 1997]. La caractéristique

principale de ces systèmes est la commutation de leurs lois de commandes sur une surface

Chapitre II La commande

robuste des systèmes non

linéaires

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

32

choisie à priori, appelée surface de glissement, afin d'y maintenir sous certaines conditions, le

point représentatif de l'évolution du système.

Cette technique est basée sur le principe qu’il est plus facile de commander un système de

1er

ordre que de commander un système du nième

ordre, qu’il soit linéaire ou non. Le principe

de ce type de système à structure variable consiste à amener, quelles que soient les conditions

initiales, le point représentatif de l’évolution du système sur une hyper surface de l’espace de

phase (représentant un ensemble de relations, statiques, entre les variables d’état).

La première partie présente le principe de la commande par Mode Glissant, ensuite nous

allons essayer de donner le détail nécessaire sur la conception des algorithmes des

commandes qui utilisent cette technique et enfin, l’application de la commande Mode

Glissant sur un pendule inversé. La deuxième partie est consacrée a introduit le principe de la

commande Backstepping avec les deux approches «non adaptative, adaptative », puis nous

présenterons leurs mises en œuvre sur les systèmes non linéaires.

2. Commande des systèmes non linéaires

2.1. Représentation des systèmes non-linéaires

Un phénomène est dit non linéaire lorsque ses grandeurs caractéristiques reliées entre elles

ne varient pas proportionnellement l'une par rapport à l'autre. Son comportement peut alors

être décrit par une expression, un modèle ou des équations faisant intervenir les variables

autrement qu'au premier degré [Slotine, 1991].

Aucun système physique n'est complètement linéaire, les méthodes linéaires ne sont donc

applicables que dans un domaine de fonctionnement restreint. Certains systèmes sont

impossibles à modéliser, même localement, à des systèmes linéaires [Slotine, 1991].

La représentation générale d'un système non linéaire est de la forme (II.1):

{�� = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢(𝑡)

𝑦 = ℎ(𝑥)

(II.1)

Où 𝑦 est la sortie du système, 𝑥 est le vecteur d'état et 𝑢 est le vecteur de commande.

𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) 𝑒𝑡 ℎ(𝑥)sont des fonctions non linéaires du vecteur d'état décrivant le système

[Lewis et al. 1993].

2.2. Commande des systèmes

La commande est l'ensemble des opérations qui amènent automatiquement un procédé

d'un état particulier à un autre état désiré 𝑦𝑑(𝑡)[Lewis et al. 1993].

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

33

Un système commandé est soumis à des perturbations et à des variations de paramètres, tel

que les frottements, vent, ou des bruits de mesure (figure II.1).

Les signaux utilisés dans la figure sont :

𝑦𝑑(𝑡) : consigne ou signal de référence (reference).

𝑦(𝑡): signal de sortie ou réponse (plant output).

𝑒(𝑡): erreur de suivi (controller input/trackingerror).

𝑢(𝑡): signal de commande (controller output)

𝑤𝑒(𝑡): perturbation de la commande (plant input disturbance).

𝑤𝑠(𝑡): perturbation de la sortie (plant output disturbance).

𝑛(𝑡): bruit de mesure (measurement noise).

Si la consigne 𝑦𝑑(𝑡)est constante dans le temps, nous parlerons de régulation sinon la

commande est un asservissement ou poursuite de trajectoires.

La commande d'un système a pour objectif d'atteindre les performances suivantes :

1. Stabilité

Nous disons d'un système qu'il est stable si à toute entrée bornée (en amplitude) il répond

par une sortie bornée [Slotine, 1991].

2. Robustesse

Elle est sans doute le paramètre le plus important et le plus délicat. Nous disons qu'un

système est robuste si la régulation fonctionne toujours même si le modèle change un peu. Un

régulateur doit être capable d'assurer sa tâche même avec ces changements afin de s'adapter à

des usages non prévus/testés (dérive de production, vieillissement mécanique, environnements

extrêmes) [Johnson et Moradi, 2005].

3. Rapidité

Elle dépend du temps de montée et du temps d'établissement du régime stationnaire.

Temps de réponse (Tr) : Théoriquement, le temps de réponse est le temps nécessaire

pour que le régime transitoire ait totalement disparu. Toutefois en pratique, nous

convenons, en fonction de la précision exigée que c'est le temps au bout duquel la

réponse du système pénètre dans le couloir de plus ou moins 5% de la valeur finale

sans en sortir [Johnson et Moradi, 2005].

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

34

Temps de montée (Tm) : Temps pour lequel la réponse atteint pour la première fois la

valeur finale. Il caractérise la vitesse de réaction du système aux premiers instants

[Johnson et Moradi, 2005].

4. Précision

Elle est caractérisée par :

Erreur statique (𝑒𝑠(𝑡)) : Elle est définit par l'écart entre la consigne et la sortie lorsque

le système est en régime stationnaire (𝑡 → ∞) [Johnson et Moradi, 2005].

𝑒𝑠(𝑡) = lim𝑡→∞

(𝑦(𝑡) − 𝑦𝑑(𝑡)) (II.2)

Dépassement (Omax) : en pratique il est recommandé pour avoir un système « agile »

un dépassement de 10% [Johnson et Moradi, 2005].

𝑂𝑚𝑎𝑥 =𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦∞

𝑦𝑚𝑎𝑥 (II.3)

Figure. II. 1.Bloc de commande d'un système non linéaire.

2.3. Stabilisation d’un système

Le problème de stabilisation consiste à maintenir le système près d’un état d’équilibre 𝑦∗.

Il s’agit de construire des lois de commande dites stabilisantes telles que 𝑦∗soit un équilibre

asymptotiquement stable du système soumis à ces lois de commande.

Le problème de suivi de trajectoire consiste à maintenir le système le long d’une

trajectoire désirée𝑦𝑑(𝑡)t > 0, c.à.d. de trouver un contrôle tel que pour toute condition initiale

dans une région D, l’erreur entre la sortie et la sortie désirée tend vers 0 quand 𝑡 → ∞, de plus

l’´etat reste borné [Isidori, 1995].

𝑒(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝑦𝑑(𝑡) (II.4)

∑ Système

𝑦𝑑(𝑡) 𝑒(𝑡) Commande

𝑦(𝑡)

𝑢(𝑡)

𝑤𝑒(𝑡) 𝑤𝑠(𝑡)

𝑛(𝑡)

+

-

-

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

35

Les techniques de commande permettant de construire des lois de contrôle pour la

stabilisation des systèmes sont nombreuses et variées, nous présentons dans la partie suivante

celles qui nous ont été les plus utiles.

2.4 Exemple des systèmes non linéaires

Dans cette section, nous allons donner quelques modèles des systèmes non linéaires utilisés

dans cette thèse. Ces exemples incluent le pendule inversé, le pendule simple et masse ressort.

1. Pendule Inversé

Le système pendule inversé à modéliser est représenté par la figure II.2. En exerçant une

force horizontale u(t) sur le chariot, celui-ci se déplace en translation de x mètres et

provoque une déviation du pendule de radians.

Figure. II. 2. Le pendule inversé.

La fonction dynamique de pendule inversé est [Chen Hung, 2006] :

)()()cos)(3/4(

cos

)cos)(3/4(

sincossin)(

1

2

1

1

2

11

2

21

2

21

tdtuxmmml

x

xmmml

xxmlxxgmmx

xx

c

c

c

(II.5)

)()()cos)(3/4.(3

4

)cos)(3/4

sincossin3/4

1

2

1

2

111

2

24

43

tdtuxmmm

xmmm

xxmgxmlxx

xx

c

c

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

36

3''' yyyyu

Ou 1x position angulaire, 2x vitesse angulaire, 3x position de chariot, 4x vitesse de chariot,

2/8.9 smg , cm est masse de la chariot et cm =1kg, m est lamasse de pendule kgm 1.0 ,

ml 5.0 est longueur du pendule centre de masse et d(t) est un bruit.

2. Pendule simple

Le modèle didactique d’un robot manipulateur à un seul degré de liberté dont le modèle

(II.6) est donné par Berghuis [Berghuis, 1993] :

Figure. II. 3.Pendule simple.

Le modèle dynamique peut s’écrire :

{

��1 = 𝑥2

��2 = −𝑔

𝑙sin 𝑥1 +

1

𝑚𝑙2𝑢

𝑦 = 𝑥1

(II.6)

3. Masse ressort

Le système non linéaire complexe masse ressort est présenté dans la figure II.4.

(II.7)

Figure. II. 4. Masse Ressort.

3. La commande en régime glissant

La commande par Mode Glissant (SMC) est une commande à structure variable

pouvant changer de structure et commutant entre deux valeurs suivant une logique de

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

37

commutation bien spécifique 𝑆(𝑥). Le principe de la commande par modes glissants est de

contraindre le système à atteindre une surface donnée appelée surface de glissement et d’y

demeurer jusqu’à l’équilibre. Cette commande se fait en deux étapes : la convergence vers la

surface et ensuite le glissement le long de celle-ci (figure II.5) [Slotine, 1991].

Figure. II. 5. Différents modes de convergence pour la trajectoire d’état.

3.1. Conception de la commande par Mode Glissant

Les avantages de la commande par Mode de Glissant sont importants et multiples, comme

la haute précision, la bonne stabilité, la simplicité, l’invariance et la robustesse. Ceci lui

permet d’être particulièrement adaptée pour les systèmes ayant un modèle imprécis.

Souvent, il est préférable de spécifier la dynamique du système durant le mode de

convergence. Dans ce cas, la structure d’un contrôleur comporte deux parties. Une première

continue représentant la dynamique du système durant le mode de glissement et une autre

discontinue représentante la dynamique du système durant le mode de convergence. Cette

deuxième est importante dans la commande non linéaire, car elle a pour rôle d’éliminer les

effets d’imprécision et de perturbation sur le modèle.

La conception de cette commande peut être divisée en trois étapes principales très

dépendantes, ces étapes concernent :

Choix de la surface ;

Etablissement des conditions d’existence de convergence ;

Détermination de la loi de commande.

1. Choix de la surface de glissement

Le choix de la surface de glissement concerne le nombre et la forme nécessaires. Ces deux

facteurs sont en fonction de l’application et de l’objectif visé.

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

38

La surface de glissement est une fonction scalaire telle que l’erreur sur la variable à régler

glisse sur cette surface et tend vers l’origine du plan de phase. Ainsi, la surface représente le

comportement dynamique désire [Hazzab, 2006]. Nous trouvons dans la littérature de

différentes formes de la surface, dont chacune donne de meilleures performances pour

certaines utilisations. Dans ce travail, nous nous intéressons à une surface de forme non

linéaire.

Slotine [Slotine, 1991] a proposé une forme générale qui consiste à définir une fonction

scalaire des surfaces de glissement dans le plan de phase dans le but d’assurer la convergence

d'une variable d'état x vers sa valeur de consigne xd cette fonction est donnée par l'équation:

)()(

1

xet

xS

r

x

(II.8)

Avec :

)(xe : L’écart sur la variable à régler

x : Une constante positive

r : Le degré relatif, qui représente le nombre de fois qu’il faut dériver la surface pour faire

apparaître la commande.

L’objectif de la commande est de garder la surface )(xS à zéro. Cette dernière est une

équation de la commande différentielle linéaire dont l’unique solution est 0)( xe , pour un

choix convenable du paramètre x .Ceci revient à un problème de poursuite de trajectoire, ce

qui est équivalent à une linéarisation exacte de l’écart, tout en respectant la condition de

convergence.

2. Condition de convergence

Pour réaliser la loi de la commutation, on peut appliquer la théorie de l’hyper stabilité de

Popov pour la synthèse des systèmes à structures variables, ou bien le principe d’optimisation

de Pontriagin ou comme dans notre cas la méthode de Lyapunov. Cette dernière est base sur

une fonction dite « fonction de Lyapunov » [Benaissa, 2006].

La condition de convergence permet au système de converger vers la surface de glissement.

Il s’agit alors de formuler une fonction scalaire positive V(x)>0 pour les variables d’états du

sys9tème qui est définie par la fonction de Lyapunov suivante:

(II. 9)

)(.2

1)( 2 xSxV

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

39

Pour que la fonction de Lyapunov décroisse, il suffit de s’assurer que sa dérivée soit

négative. Ceci est vérifié par la relation suivante [Slotine.1991]:

SSt

xV .)(2

1)( 2

(II. 10)

Ou 0

L’équation (II.10) explique que le carré de la distance vers la surface mesure par xS 2

diminue tout le temps, contraignant la trajectiore du système à se diriger vers la surface dans

les deux cotes. Cette condition suppose un rigime glissant idéal ou la fréquence de

commutation est infinie [Hazzab 2006].

Dans le cas d’une surface de glissement non autonome où le temps figure explicitement

0xS , la condition générale de glissement s’écrit également sous forme locale [Lopez,

2000]:

SHSSs

0

lim (II. 11)

H :est une fonction monotone ou une constante positive.

3. Calcul de la commande

Lorsque le régime glissant est atteint, la dynamique est indépendante de loi de commande

qui n’a pour but que de maintenir les conditions de glissement (l’attractivité de la surface).

C’est pourquoi la surface a pu être déterminée indépendamment de la commande, sur la base

du système et des performances désirées (la réciproque n’est pas vraie, et la commande va

dépendre de la surface de glissement). Il reste à déterminer la commande nécessaire pour

attirer la trajectoire d’état vers la surface et ensuite vers son point d’équilibre en maintenant

la condition d’existence du mode de glissement.

La structure d’un contrôleur comporte deux composantes, une première concernant la

linéarisation exacte ( eu ) et une deuxième stabilisante ( cu ) voir figure. II.6. Cette dernière est

très importante dans la technique de commande par mode de glissement, car elle est utilisée

pour éliminer les effets d’imprécision du modèle et de rejeter les perturbations extérieures. La

loi de commande par Mode Glissant est donnée par la formule suivante [Benaissa, 2006]:

ce uuu (II. 12)

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

40

Figure. II. 6. Principe de commande structure variable.

a. La commande équivalente

Si le régime glissant est parfait, le point de fonctionnement évolue sur la surface de

glissement )(xS = 0 et satisfait 0)( xS ; puisque la fonction S est alors constante. La

commande continue, déduite de 0/ dtdS , est appelée commande équivalente eu . La

composante équivalente peut être interprétée comme la valeur moyenne modulée.

Si l’on considère le système 2éme

ordre définie par :

(II. 13)

De plus, on supposera que les états x et x sont mesurables à l’aide de capteurs adéquats.

La surface de glissement peut être définie par :

eexS )( (II. 14)

Le calcul de loi commande équivalente est :

extuf

exxeexS

d

d

)(

)(

(II. 15)

(II. 16)

Pour avoir 0)( xS on doit choisir:

exftu de )( (II.17)

b. La commande discontinue

La composante non linéaire est déterminée pour garantir l’attractivité de la variable à

contrôler vers la surface de glissement et satisfaire la condition de convergence. L’évolution

du point de fonctionnement de la surface de glissement correspond à des variations de signe

pour la fonction S et par suite une commande de type discontinue. Ce caractère discontinu de

dx

(.)ksign

0.

dt

d

,..., xxf

cu

eu

+

+

+

Système à

Commander

u

x

Algorithme de commande à régime glissant

S

)(),,( tutxxfx

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

41

la commande correspond à la composante discontinue de la forme )(Sksign qui permet au

point de fonctionnement d’osciller autour de la surface de glissement avec une amplitude

d’autant plus petite et une fréquence d’autant plus élevée que le correcteur est bien calculé

(les paramètres de réglage sont alors optimaux) [Lopez, 2000].

La commande de la forme :

(II. 18)

(II. 19)

sign: est la fonction signe.

k: est une constante positive qui représente le gain de la commande discontinue.

La figure. II.7 représente la commande discontinue uc de l’équation (II.18) :

Figure. II. 7. La commande discontinue uc.

La loi de commande glissant est certes robuste vis-à-vis des perturbations paramétriques et

externes mais présente quelques inconvénients majeurs :

L’utilisation du terme sign(S) dans le signal de commutation provoque le phénomène de

broutement qui peut exciter les hautes fréquences et détériorer le système commandé. Une

méthode qui permet de réduire l’effet du broutement est de remplacer la fonction discontinue

par une fonction de saturation, qui consiste à déterminer une bande limite autour de la surface

de glissement ainsi assurant le lissage de la commande et le maintien de l’état du système

dans cette bande. La loi de commande devient alors :

(II. 20)

)(. ssignkuuuu ece

0si1

0si1)(

S

SSsign

)(.

ssatkuu e

cu

Ф

S

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42

(II. 21)

Où la largeur de la bande limite est égale à 2 , et peut être définie selon la précision ( )

désirée, sachant que :

1 n

(II. 22)

La figure II.8 représente le Mode Glissant avec bande limite.

Figure. II. 8.La fonction de commutation de la commande par régime glissant à bande limite.

La mise en œuvre du signal de commutation nécessite la détermination du constant k qui

dépend des perturbations paramétriques et externes, ce qui est difficile si ce n’est pas

impossible. En général, on prend une valeur très grande pour assurer la stabilité ce qui

augmente les sollicitations au niveau de l’actionneur et amplifie gravement le phénomène de

broutement. Parmi les solutions présentées dans la littérature. Il s’agit de remplacer le signal

de commutation par un système adaptatif, ce qui a permis de résoudre à la fois le problème du

gain k et celui du broutement. Cependant, la convergence de l’algorithme dépend du choix des

valeurs initiales ce qui rend son implémentation complexe dans le cas des systèmes rapides ou

asservis à de grandes variations paramétriques.

Le troisième inconvénient concerne la nécessité de disposer d’une connaissance même

partielle de la dynamique du système. Pour remédier à cet inconvénient, on peut approximer

la dynamique du système pour synthétiser la loi de commande.

ss

sssign

s

si/

si)(

)/(sat

Ф

ε

S

S=0

e

S

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

43

4. Application de la commande Mode Glissant

Considérant un système non linéaire (II.5) décrit par [Wang, 2009] :

(II.23)

Avec

f et g des fonctions non linéaires du vecteur d’état décrivant le système.

L’erreur de poursuite est définie par :

)()()( txtte d (II.24)

La surface de glissement :

)()()( tetets (II.25)

Où 0

La loi de commande par Mode Glissant est donnée par la formule suivante:

)(.)()()()( ssatktutututu ece (II.26)

0)()( tsts

)]()()(),([),()( 1 tetxtdtftgtu de

(II.27)

Les résultats de simulation

Pour évaluer les performances de la commande par Mode Glissant pour le pendule

inversé, nous avons procédé à une série de simulation sous environnement MATLAB

/Simulink.

Les simulations présentées dans cette section sont réalisées sur l’angle de pendule. Pour

réaliser cette simulation, nous avons pris des différentes trajectoires désirées, les paramètres

de la commande utilisés sont 10 , k 50.

Les figures. II.9, 10 présentent les résultats de simulation de la commande par Mode

Glissant de pendule inversé (angle). On remarque que nous avons une bonne poursuite de

trajectoire et aussi que l’erreur convergente vers zéro malgré le changement des conditions

initiales.

)()(),(),( tdtutgtf

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

44

Figure. II. 9. Application de la commande par Mode Glissant au système pendule inversé condition

initiale 10/1 pix

.

Figure. II. 10. Application de la commande par Mode Glissant au système pendule inversé condition

initiale .01 x

Pour la validation des résultats, nous avons pris une référence sinusoïdale. Les figures.

II.11, 12 présentent la position angulaire et la référence désirée, l’erreur de position converge

vers zéro malgré le changement de condition initiale.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps(s)

positio

n angula

ire

référence

position angulaire

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Temps(s)E

rreur

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Temps(s)

positio

n a

ngula

ire

référence

position angulaire

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Temps(s)

Err

eur

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

45

Figure. II. 11.Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale pour l’angle condition initiale .10/1 pix

Figure. II. 12.Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale pour l’angle condition initiale 01 x .

Performances de la robustesse sont satisfaisantes et le rejet des perturbations est rapide.

Nous remarquons que la loi de commande utilisée a permet la stabilisation et la poursuite

de trajectoire désirée.

4. Principe de l’approche du Backstepping La commande Backstepping, développée par Petar V. Kokotović, est généralement

reconnue plus intéressante que la commande par linéarisation du fait qu’elle évite le principe

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps(s)

positio

n a

ngula

ire

référence

position angulaire

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Temps(s)

Err

eur

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Temps(s)

Err

eur

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps(s)

positio

n a

ngula

ire

référence

position angulaire

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

46

d’annulation des non linéarités et repose sur l’utilisation d’autres concepts pouvant améliorer

les performances du régime transitoire[Belhani, 2007].

L’idée de base du Backstepping est de stabiliser au départ le premier sous système par une

fonction stabilisante connue via une fonction de Lyapunov choisie, ensuite d’ajouter à son

entrée un intégrateur [Bakhti, 2011]. On procède de même pour le prochain sous-système

augmenté et ainsi de suite pour les sous-systèmes successifs pour aboutir enfin à une fonction

de Lyapunov globale donnant la loi de commande globale qui stabilise le système [Chebbi

,2011].

La méthode consiste à fragmenter le système en un ensemble de sous-systèmes imbriqués

d'ordre décroissant. Le calcul de la fonction de Lyapunov s'effectue, ensuite, récursivement en

partant de l'intérieur de la boucle. À chaque étape, l'ordre du système est augmenté et la partie

non stabilisée lors de l'étape précédente est traitée. À la dernière étape, la loi de commande est

trouvée. Celle-ci permet de garantir, en tout temps, la stabilité globale du système compensé

tout en travaillant en poursuite et en régulation.

4.1. Conditions d'implantation

Comme la majorité des méthodes de commande des systèmes non linéaires, l'application

de la technique Backstepping est limitée à certaines classes de systèmes. Les systèmes dans ce

cas doivent être sous une certaine forme triangulaire. La forme générale du système à analyser

est donnée par :

��1 = 𝑥2 + 𝜑1(𝑥1)𝑇 . 𝜃

��2 = 𝑥3 + 𝜑2(𝑥1, 𝑥2)𝑇 . 𝜃

.

.

.

��𝑛−1 = 𝑥𝑛−2 + 𝜑𝑛−1(𝑥1, … , 𝑥𝑛−1)𝑇 . 𝜃

��𝑛 = 𝛽(𝑥). 𝑢 + 𝜑𝑛(𝑥)𝑇 . 𝜃

𝑦 = 𝑥1

(II. 28)

Ou chaque𝜑1: 𝑅𝑖 → 𝑅𝑝 est un vecteur de fonctions non linéaires, et 𝜃𝜖𝑅𝑝 est un vecteur

de coefficients constants. La commande u est multipliée par la fonction 𝛽(𝑥), avec 𝛽(𝑥) ≠

0. ∀𝑥 ∈ 𝑅𝑛. Si le but est d'atteindre la trajectoire désirée 𝑥𝑑en utilisant l'état𝑥𝑖, alors

l'algorithme du Backstepping peut être utilisé pour la stabilisation globale asymptotique de

l'erreur du système (on note l'erreur primaire par 𝑒 ∈ 𝑅𝑛

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

47

En général, l'algorithme de la commande Backstepping peut être utilisé pour atteindre la

stabilité globale et asymptotique de l'erreur du système si les étapes et les conditions suivantes

sont respectées :

Le système est introduit selon la forme (II.28) ;

Les fonctions non linéaires 𝜑𝑖 sont connues ;

La paramètrisation est linéaire ;

La fonction 𝛽(𝑥) satisfait la condition 𝛽(𝑥) ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅𝑛 ;

Chaque𝜑𝑖est continûment dérivable ;

Le signal de référence𝑥𝑑 est continu ;

Tous les états sont mesurables.

4.2. Approche non adaptative

a. Principe

Pour simplifier la présentation, nous commençons par développer un exemple de

commande non adaptative (figure. II.13) par la technique Backstepping dans le but d'atteindre

la convergence des erreurs afin de réaliser la stabilité et l'équilibre𝑦 = 𝑥1du système dont

𝑥𝑑est l'entrée de référence.

Considérons le système suivant:

��1 = 𝑥2 + 𝜑1(𝑥1)𝑇 . 𝜃1

��2 = 𝑢 𝑦 = 𝑥1

(II. 29)

Où :

𝑢 : L’entrée de commande,

𝜃1 : Vecteur paramétrique connu,

𝜑1(𝑥1) : Vecteur de fonction non linéaire (𝜑1(0) = 0),

y : La sortie du système.

Le schéma bloc du système est donné par la figure II.13.

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

48

Figure. II. 13. Schéma bloc du système du deuxième ordre.

L'objectif de la commande est d'atteindre la convergence des erreurs vers zéro réalisant

ainsi la stabilité et l'équilibre du système ce qui permet à sa sortie y de suivre une référence.

𝑥𝑑 = 𝑥𝑑(𝑡)

Le système étant du 2ème

ordre, la conception par le Backstepping est exécutée en deux

étapes.

Etape 1

Pour le premier sous-système (II.28.a), on choisit l’état 𝑥2comme étant l'entrée virtuelle de

l’état𝑥1, on définit l’erreur de poursuite 𝑒1tel que:

𝑒1 = 𝑥1 − 𝑥𝑑 (II. 30)

Et la fonction stabilisante suivante choisit de manière à éliminer la non linéarité du sous-

système:

𝛼1(𝑥1) = −𝑘1𝑒1 − 𝜑1(𝑥1). 𝜃1

= −𝑘1(𝑥1 − 𝑥𝑑) − 𝜑1(𝑥1). 𝜃1

(II. 31)

Où :

k1 gain >0.

Cette solution est conçue pour stabiliser le premier sous-système et puisque ce n’est pas le

cas. On définit la deuxième erreur par:

𝑒2 = 𝑥2 − 𝛼1(𝑥1) − ��𝑑 (II.32)

𝑒2 est la variable qui exprime la réalité que x2 n’est pas la commande exacte.

On choisit la première fonction de Lyapunov :

𝑉1 =1

2𝑒1

2 (II.33)

Sa dérivée est :

��1 = 𝑒1��1 (II.34)

∫ ∫

X

𝜃1

𝜑1𝑇(𝑥1)

��2 = 𝑢 𝑥2 ��1 𝑦 = 𝑥1 +

+

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

49

Par arrangement des équations (30), (31), (32), on obtient l’équation:

��1 = −𝑘1𝑒1 + 𝑒2 (II.35)

Et l’équation (II.34) devient:

��1 = −𝑘1𝑒12 + 𝑒1𝑒2 (II.36)

Le terme𝑒1𝑒2sera éliminé dans l'étape suivante ou on abordera le deuxième sous-système.

Etape 2

La dérivée de 𝑒2est exprimée par:

��2 = ��2 − ��1 − ��𝑑

= ��2 −𝜕𝛼1

𝜕𝑥1��1 −

𝜕𝛼1

𝜕𝑥𝑑��𝑑 − ��𝑑

= 𝑢 −𝜕𝛼1

𝜕𝑥1(𝑥2 + 𝜑1(𝑥1)𝑇𝜃1) −

𝜕𝛼1

𝜕𝑥𝑑��𝑑 − ��𝑑

(II. 37)

Prenons la fonction de Lyapunov suivante :

𝑉2 =1

2𝑒1

2 +1

2𝑒2

2 (II. 38)

La dérivée de 𝑉2est :

��2 = 𝑒1��1 + 𝑒2��2

= −𝑘1𝑒12 + 𝑒2 [𝑢 + 𝑒1 −

𝜕𝛼1

𝜕𝑥1(𝑥2 + 𝜑1(𝑥1)𝑇𝜃1) −

𝜕𝛼1

𝜕𝑥𝑑��𝑑 − ��𝑑]

(II. 39)

La commande u est choisie tel que ��2 < 0 (condition de stabilité de Lyapunov), nous

obtenons :

𝑢 = −𝑘2𝑒2 − 𝑒1 +𝜕𝛼1

𝜕𝑥1

(𝑥2 + 𝜑1(𝑥1)𝑇𝜃1) +𝜕𝛼1

𝜕𝑥𝑑��𝑑 + ��𝑑

=−𝑘2𝑒2 − 𝑒1 +𝜕𝛼1

𝜕𝑥1��1 +

𝜕𝛼1

𝜕𝑦𝑟��𝑑 + ��𝑑

(II. 40)

Avec gain 𝑘2 > 0

��2 = −𝑘1𝑒12 − 𝑘2𝑒2

2 (II. 41)

Ceci traduit la stabilité, en boucle fermée du système.

b. Procédure générale de conception

Dans cette partie, on essayera de généraliser l’application de l’approche du Backstepping

pour des systèmes d’ordre 𝑛 :

��1 = 𝑥2 + 𝜑1(𝑥1)𝑇𝜃1

��2 = 𝑥3 + 𝜑2(𝑥1,𝑥2)𝑇

𝜃2

��𝑛 = 𝜑𝑛(𝑥1,𝑥2, . . , 𝑥𝑛)𝑇

𝜃𝑛 + 𝑔(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑢

(II. 42)

.

.

.

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

50

Avec :𝑔(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ≠ 0

En général, la conception, par le principe du Backstepping, de la loi de commande u est

exécutée en n étapes. A l’ième

étape, un sous-système de l’ième

ordre est stabilisé par rapport à

une fonction de Lyapunov vi par la conception d’une fonction stabilisante𝛼𝑖. La loi de

commande est alors établie à l’étape finale [Choukchou, 2011].

L’algorithme global du Backstepping est donné par :

Par convention, on définit :

𝑒0 = 0, 𝛼0 = 0, 𝑒1 = 𝑥1 − 𝑥𝑑

𝑒𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝛼𝑖−1 − 𝑥𝑑(𝑖−1)

(II. 43)

𝛼𝑖 = −𝑒𝑖−1 − 𝑘𝑖𝑒𝑖 − 𝛽𝑖 (II. 44)

Ou :

𝛽1 = 𝑤1, 𝛽𝑖 = 𝑤𝑖 − ∑𝜕𝛼𝑖−1

𝜕𝑥𝑗𝑥𝑗+1 −

𝑖−1

𝑗=1

∑𝜕𝛼𝑖−1

𝜕𝑥𝑑(𝑗−1)

𝑥𝑑𝑗 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

𝑖−1

𝑗=1

(II. 45)

𝑤1 = 𝜑1𝑇𝜃1, 𝑤𝑖 = 𝜑𝑖

𝑇𝜃𝑖 − ∑𝜕𝛼𝑖−1

𝜕𝑥𝑗(𝜑𝑗

𝑇𝜃𝑗) 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

𝑖−1

𝑗=1

(II. 46)

𝑢 =1

𝑔(𝛼𝑛 + 𝑥𝑑

(𝑛))

(II. 47)

Le principe de la commande par Backstepping est donne par la figure. II.14 :

Figure. II. 14. Schéma illustratif de la commande par Backstepping.

4. 3.Application de la commande Backstepping « approche non adaptive »

Pour cette application, nous montrons comment le problème de la commande non

adaptative d’un pendule simple va être résolu en utilisant la technique de Backstepping en

Calcul

de 𝑥2𝑣

𝑥𝑑 𝑒1 𝑥2𝑣 𝑒2 Calcul

de 𝑥3𝑣

𝑥3𝑣 𝑥𝑛𝑣 𝑒𝑛 Calcul

de 𝑢

𝑢 Système 𝑥𝑛

𝑥1 = 𝑦 𝑥2

𝑥𝑛

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

51

supposant que tous les paramètres du système sont connus et prédéfinis. Le modèle

dynamique est présenté dans équation (II.6).

Pour atteindre une stabilité globale et asymptotique du pendule, on explicitera la loi de

commande u de telle manière qu’on obtient :��2 = −𝑘1𝑒12 − 𝑘2𝑒2

2 alors :

𝑢 = 𝑚𝑙2[−𝑒1 − 𝑘2𝑒2 +𝑔

𝑙sin 𝑥1 − 𝑘1𝑥2 + 𝑘1��𝑑 + ��1] (II. 48)

Résultat de simulation

Pour les paramètres de synthèse nous avons pris :

𝑙 = 1𝑚, m = 1kg , 𝑘1 = 100, 𝑘2 = 100.

Figure. II. 15.Application de la commande Backstepping (approche non adaptative) au pendule

simple.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Temps(s)

Position

Référence

Position

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5

0

5x 10

-3

Temps(s)

Erreur

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.5

0

0.5

1

Temps(s)

Position

Référence

Position

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Temps(s)

Erreur

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

52

Figure. II. 16. Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale.

A partir des résultats ci-dessus, nous pouvons constater que les performances de la

commande Backstepping sont satisfaisantes. Les figures II.15, 16 montrent la convergence

rapidement vers les références (aléatoire et sinusoïdale) avec les erreurs minimales. On

remarque que le suivi de la trajectoire désirée est réalisé après 1 seconde avec une erreur

presque nulle après 2 secondes.

Malheureusement, cette commande est valable sauf pour les systèmes connus avec

précision.

On suppose maintenant que les paramètres de pendule inversé ne sont pas connus, la

commande adaptative par Backstepping est appliquée pour résoudre ce problème.

5. Approche adaptative

Les modèles réels des systèmes physiques ne sont pas linéaires et habituellement

caractérises par des paramètres (masses, inductances, ......) qui sont peu connus ou dépendent

d'un petit changement d'environnement. Si ces paramètres varient dans un intervalle

important, il serait préférable d’employer une loi d'adaptation pour estimer les paramètres du

système. La figure II.17 donne le schéma de principe d’une commande adaptative.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Temps(s)

com

man

de u

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

53

Figure. II. 17. Schéma de principe de la commande adaptative.

Soit le système non linéaire régi par les équations [Elleuch, 2012]:

��1 = 𝑥2 + 𝜑1𝑇(𝑥1)𝜃 + 𝜂1(𝑥, 𝑤, 𝑡)

��2 = 𝑥3 + 𝜑2𝑇(𝑥1, 𝑥2)𝜃 + 𝜂2(𝑥, 𝑤, 𝑡)

��3 = 𝑥4 + 𝜑3𝑇(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝜃 + 𝜂3(𝑥, 𝑤, 𝑡)

.

.

.

��𝑛−1 = 𝑥𝑛 + 𝜑𝑛−1𝑇 (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛−1)𝜃 + 𝜂𝑛−1(𝑥, 𝑤, 𝑡)

��𝑛 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢 + 𝜑𝑛𝑇(𝑥)𝜃 + 𝜂𝑛(𝑥, 𝑤, 𝑡)

𝑦 = 𝑥1

(II.49)

Tel que 𝑥 = [𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛]est l’état de système, 𝑦 la sortie, 𝑢la commande et

𝜑𝑖(𝑥1, … , 𝑥𝑖) ∈ ℛ𝑝, 𝑖 = 1, … , 𝑛 sont des fonctions connues 𝜃 ∈ ℛ𝑝est le vecteur de

paramètres inconnus et 𝜂𝑖(𝑥, 𝑤, 𝑡), 𝑖 = 1, … , 𝑛 sont les fonctions scalaires non linéaires

inconnues, compris toutes les perturbations. 𝑤 est un paramètre variable dans le temps

incertain.

Les fonctions 𝜂𝑖(𝑥, 𝑤, 𝑡), 𝑖 = 1, … , 𝑛 sont délimitées par des fonctions

connuesℎ𝑖(𝑥1, … , 𝑥𝑖)c.à.d:|𝜂𝑖(𝑥, 𝑤, 𝑡)| ≤ ℎ𝑖(𝑥1, … , 𝑥𝑖), 𝑖 = 1, … , 𝑛

La conception par la méthode du Backstepping est exécutée en n étapes. Rappelons que

l’objectif de la commande dans ce cas, est de stabiliser le système non linéaire (II.49).

Etape 1

On choisit l’état 𝑥2comme une entrée virtuelle de commande au premier sous système.

D’où la première variable du Backstepping est choisie comme [Jafari et Zinober, 1999] :

Signal de

référence

Adaptation

des

paramètres

Commande Processus

Signal de

Commande

Sortie

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

54

𝑒1 = 𝑥1 − 𝑥𝑑 (II. 50)

La dynamique d’erreur est définie telle que

��1 = 𝑥2 + 𝜑1𝑇𝜃 + 𝜂1(𝑥, 𝑤, 𝑡) − ��𝑑 (II. 51)

À partir de (II.49) :

��1 = 𝑥2 + 𝑤1𝑇𝜃 + 𝜂1(𝑥, 𝑤, 𝑡) − ��𝑑 + 𝑤1

𝑇�� (II. 52)

Avec 𝑤1(𝑥1) = 𝜑1(𝑥1)et �� = 𝜃 − 𝜃 , ou 𝜃 est une estimation du paramètre inconnu 𝜃

La fonction de Lyapunov est :

𝑉1(𝑒1, 𝜃) =1

2𝑒1

2 +1

2��𝑇Γ−1��

(II. 53)

OùΓ définie une matrice positive. La dérivée de la fonction de Lyapunov est :

��1(𝑒1, 𝜃) = 𝑒1(𝑥2 + 𝑤1𝑇𝜃 + 𝜂1(𝑥, 𝑤, 𝑡) + 𝑤1

𝑇�� − ��𝑑) + ��𝑇Γ−1(Γ𝑤1𝑒1 − 𝜃) (II. 54)

Définie 𝜏1 = Γ𝑤1𝑧1 . Si�� = 𝜏1, l’estimation de ��est éliminé de��1.

On pose 𝑥2 commande virtuelle :

𝑥2 = 𝛼1(𝑥1, 𝜃, 𝑡) + ��𝑑 = −𝑤1𝑇𝜃 − ℎ1(𝑥1)𝑠𝑔𝑛(𝑒1) + ��𝑑 − 𝑘1𝑒1 (II. 55)

��1(𝑒1, 𝜃) = −𝑘1𝑒12 + 𝜂1(𝑥, 𝑤, 𝑡)𝑒1 − ℎ1 (𝑥1)|𝑒1| (II. 56)

Avec 𝑘1 > 0

Cependant, 𝑥2 n’est pas le contrôle réel.

Etape 2

Considérons l’erreur 𝑒2définie par l’équation:

𝑒2 = 𝑥2 − 𝛼1(𝑥1, 𝜃, 𝑡) − ��𝑑 = 𝑥2 + 𝑤1𝑇𝜃 + ℎ1(𝑥1)𝑠𝑔𝑛(𝑒1) − ��𝑑 + 𝑘1𝑒1 (II. 57)

La fonction de Lyapunov candidate est :

𝑉2(𝑒1, 𝑒2, 𝜃) = 𝑉1 +1

2𝑒2

2 (II. 58)

Sa dérivée :

��2 = −𝑘1𝑒12 + 𝜂1(𝑥, 𝑤, 𝑡)𝑒1 − ℎ1(𝑥1)|𝑒1|

+ 𝑒2 [𝑒1 + 𝑥3 + 𝑤2𝑇𝜃 + (𝜂2(𝑥, 𝑤, 𝑡) −

𝜕𝛼1

𝜕𝑥1𝜂1(𝑥, 𝑤, 𝑡)) −

𝜕𝛼1

𝜕𝑡−

𝜕𝛼1

𝜕𝑥1𝑥2

−𝜕𝛼1

𝜕𝜃�� − ��𝑑(𝑡)] + ��𝑇Γ−1(𝜏2 − ��)

(II. 59)

Avec

𝑤2 = 𝜑2𝑇(𝑥1, 𝑥2) −

𝜕𝛼1

𝜕𝑥1𝜑1

𝑇(𝑥1) 𝑒𝑡 𝜏2 = 𝜏1 + Γ𝑤2𝑒2 = Γ(𝑤1𝑒1 + 𝑤2𝑒2)

Etape n : Définie

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

55

𝑒𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼𝑛−1 − 𝑥𝑑(𝑛)

(II. 60)

La dynamique de la variable 𝑒𝑛

��𝑛 = 𝑓(𝑥) + (𝑥)𝑢 + 𝜂𝑛(𝑥, 𝑤, 𝑡) + 𝑤𝑛𝑇(𝑥, 𝑡)𝜃 − ∑

𝜕𝛼𝑛−1

𝜕𝑥𝑖𝑥𝑖+1 −

𝑛−1

𝑖=1

𝜕𝛼𝑛−1

𝜕𝜃�� +

𝜕𝛼𝑛−1

𝜕𝑡

+ 𝑤𝑛𝑇(𝑥, 𝑡)�� − 𝜉𝑛 − 𝑥𝑑

(𝑛)+ (∑ 𝑒𝑖+1

𝑛−2

𝑖=1

𝜕𝛼𝑛

𝜕𝜃)Γ𝑤𝑛

(II. 61)

On définie

𝑉𝑛 = 𝑉𝑛−1 +1

2𝑒𝑛

2 (II. 62)

La dérivée de 𝑉𝑛 est:

��𝑛 = − ∑ 𝑘𝑖𝑒𝑖2

𝑛−1

𝑖=1

+ ∑(𝜉𝑖 − 𝜁𝑖𝑠𝑔𝑛(𝑒𝑖))𝑒𝑖 + 𝑒𝑛[𝑒𝑛−1 + 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢 + 𝑤𝑛𝑇𝜃

𝑛−1

𝑖=1

− ∑𝜕𝛼𝑘−1

𝜕𝑥𝑖𝑥𝑖+1 −

𝜕𝛼𝑘−1

𝜕𝜃�� −

𝜕𝛼𝑘−1

𝜕𝑡+ 𝜉𝑛

𝑘−1

𝑖=1

+ (∑ 𝑒𝑖+1

𝜕𝛼𝑖

𝜕𝜃Γ𝑤𝑛) − 𝑥𝑑

(𝑛)−

𝜕𝛼𝑛−1

𝜕𝑡] + ��𝑇Γ−1(𝜏𝑛 − ��)

𝑛−2

𝑖=1

(II. 63)

Avec

1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1

𝛼𝑘 = −𝑒𝑘−1 − 𝑘𝑘𝑒𝑘 + 𝑤𝑘𝑇�� + ∑

𝜕𝛼𝑘−1

𝜕𝑥𝑖𝑥𝑖+1 +

𝜕𝛼𝑘−1

𝜕𝑡− 𝜁𝑘𝑠𝑔𝑛(𝑒𝑘) +

𝑘−1

𝑖=1

𝜕𝛼𝑘−1

𝜕��𝜏𝑘

+ (∑ 𝑒𝑖+1

𝜕𝛼𝑖

𝜕��)Γ𝑤𝑘

𝑘−2

𝑖=1

𝜏𝑛 = 𝜏𝑛−1 + Γ𝑤𝑘𝑇𝑒𝑛 = Γ ∑ 𝑤𝑖

𝑇𝑒𝑖

𝑛

𝑖=1

(II. 64)

(II. 65)

𝑤𝑛 = 𝜑𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛) − ∑𝜕𝛼𝑛−1

𝜕𝑥𝑖𝜑𝑖(𝑥1, … , 𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

𝜁𝑛 = ℎ𝑛(𝑥1, … , 𝑥𝑛) + ∑ |𝜕𝛼𝑛−1

𝜕𝑥𝑖|

𝑛−1

𝑖=1

ℎ𝑖(𝑥1, … , 𝑥𝑖)

𝜉𝑛 = 𝜂𝑛 − ∑𝜕𝛼𝑛−1

𝜕𝑥𝑖𝜂𝑖

𝑛−1

𝑖=1

(II. 66)

(II. 67)

(II. 68)

𝑘𝑛 > 0

Pour que le système soit globalement stable��𝑛 < 0 il faut que la loi de commande soit

comme suit :

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

56

𝑢 =1

𝑔(𝑥)[−𝑓(𝑥) − 𝑒𝑛−1 − 𝑘𝑛𝑒𝑛 − 𝑤𝑛

𝑇𝜃

+ ∑𝜕𝛼𝑘−1

𝜕𝑥𝑖𝑥𝑖+1 +

𝜕𝛼𝑘−1

𝜕𝜃�� −

𝜕𝛼𝑘−1

𝜕𝑡

𝑘−1

𝑖=1

+ (∑ 𝑒𝑖+1

𝜕𝛼𝑖

𝜕𝜃Γ𝑤𝑛) + 𝑥𝑑

(𝑛)− 𝜁𝑛𝑠𝑔𝑛(𝑒𝑛)]

𝑛−2

𝑖=1

(II. 69)

Avec

�� = 𝜏𝑛

5.1. Application de commande Backstepping « approche adaptive »

Dans ce qui suit, l'étude d’un système non linéaire sera présentée et l'implantation du

Backstepping sera introduite afin de réaliser une commande adaptative. Le problème

d'adaptation surgit à cause du vecteur paramétrique inconnu.

L'application du adaptative Backstepping à la commande de système second ordre est

effectuée en deux étapes [Rudra, 2012], voir Annexe (B). On prend le système non linéaire

pendule inversé (II.5).

La commande u pour atteindre la stabilité globale et asymptotique de position angulaire de

pendule inversé est :

𝑢 =1

��(−𝑓 − 𝑑 − 𝑒1 − 𝑘1��1 + ��𝑑 − 𝑘2𝑒2)𝑘1, 𝑘2 > 0

(II. 70)

Avec les lois d’adaptation sont :

𝑓 = Γ1𝑒2

�� = Γ2(−𝑓 − 𝑑 − 𝑒1 − 𝑘1��1 + ��𝑑 − 𝑘2𝑒2)𝑒2

(II. 71)

(II. 72)

Résultat de simulation

Les simulations présentées dans cette section sont réalisées sur l’angle de pendule (position

angulaire). Pour réaliser cette simulation, nous avons pris des différentes trajectoires désirées,

les paramètres de la commande utilisés sont𝑘1 = 100, 𝑘2 = 200.

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

57

Figure. II. 18. Application de la commande Backstepping (approche adaptative) au pendule inversé.

Figure. II. 19. Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale.

Les résultats de simulation donnés par les figures II.18, 19.Nous remarquons que la sortie

suit bien la référence avec un dépassement assez important caractéristique d’une commande

adaptative non linéaire.

Le problème de suivi de trajectoires a été appréhendé. Le suivi est très satisfaisant. Les

erreurs de suivi sont négligeables comme le montrent les figures. Les figures II.20, 21,22

représentent l’estimation des fonctions inconnue (f, g) et la commande 𝑢.

On peut conclure en considérant les résultats, que l’algorithme appliqué au pendule inversé

garante asymptotiquement la stabilité globale du système.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Temps

Position angulaire

Référence

Position angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5

0

5x 10

-3

Temps

Erreur

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1

0

1

2

Temps

Position angulaire

Référence

Position angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5

0

5x 10

-3

Temps

Erreur

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

58

Figure. II. 20. L’estimation de la fonction ��(référence sinusoïdale, aléatoire).

Figure. II. 21.L’estimation de la fonction �� (référence sinusoïdale, aléatoire).

Figure. II. 22. La commande 𝒖.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-10

-5

0

5

10

Temps(s)

f estim

ée

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-6

-4

-2

0

2

4

Temps(s)

f éstim

ée

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.5

1

1.5

2

Temps(s)

g éstim

ée

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Temps(s)

g éstim

ée

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Temps(s)

com

man

de u

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Chapitre II La commande robuste des systèmes non linéaires

59

6. CONCLUSION

L’objectif de ce chapitre était l’évaluation de la robustesse et les performances de la

commande non linéaire par Mode Glissant et par Backstepping des systèmes non linéaires.

Ce chapitre a été consacré dans un premier temps à une présentation générale des

concepts de base de la commande par Mode Glissant (condition d’existence, calcul de

commande, phénomène de Chattering…) et par la suite nous avons appliqué la commande

par Mode Glissant au pendule inversé.

Les résultats de la simulation montrent les avantages de la commande par Mode

Glissant se situent à la robustesse qu’elle offre vis-à-vis des perturbations extérieures.

On peut cependant noter que les performances du système peuvent être altérées à

cause des oscillations fortes de l’organe de commande. Ce phénomène, appelé broutement

(Chattering), a été réglé par la fonction de saturation.

En deuxième temps, nous avons fait une description de la technique Backstepping

ensuite les deux approches non adaptatives et adaptatives ont été présentées. L’application

de Backstepping aux systèmes du deuxième ordre puis, généralisée au système d’ordre n.

Etape par étape, une commande est conçue et une analyse de stabilité est établie. A

l’étape finale, une loi de commande globale assurant la stabilité en boucle fermée du système

est construite via une fonction de Lyapunov, les erreurs convergent vers zéro et la sortie du

système suit sa référence.

Pour valider cette technique, nous l’avons appliqué sur déférents systèmes non

linéaires, les résultats obtenus sont encourageants, les erreurs de suivi sont acceptables.

Les résultats obtenus par simulation mettent en relief la robustesse du réglage par

Mode Glissant et par Backstepping caractérisée par une insensibilité aux variations

paramétriques.

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Chapitre III Contribution des Neuro-flou dans la commande robuste

60

1. INTRODUCTION La commande d’un système non linéaire est une tâche difficile même quand le modèle

dynamique du système est disponible. Ce problème de commande est d’autant plus difficile si

le modèle dynamique est inconnu ou mal connu. Les progrès enregistrés ces deux dernières

décennies dans la théorie de la commande des systèmes non linéaires ont donné naissance à

certaines méthodes systématiques de synthèse de lois de commande non linéaires. Parmi ces

méthodes, on trouve la technique de linéarisation entrée sortie permettant l’analyse et la

synthèse de la commande pour une large classe de systèmes non linéaires [Slotine, 1991].

Cependant, cette technique ne peut être utilisée que pour les systèmes non linéaires dont le

modèle dynamique est connu avec exactitude. Pour pallier à ce problème, plusieurs approches

de commande ont été introduites.

Une des solutions pour pallier au problème consiste à introduire la commande par des

approches d’Intelligences Artificielles (les neuro-flous) permettant d'assurer la stabilité du

système à commander.

Dans notre travail, nous avons proposé une hybridation entre contrôleur neuro-flou et de

Mode Glissant pour améliorer les performances de contrôle de système non linéaire. La

commande par Mode Glissant (SMC) a largement prouvé son efficacité à travers les études

théoriques rapportées, ces principaux domaines d’application sont la robotique, et les moteurs

électriques. Sa dynamique est insensible aux perturbations extérieures et paramétriques tant

que les conditions de régime glissant sont assurées. Cependant le signal de commande

obtenue par SMC, présente des variations brusques dues au phénomène de broutement

(chattering), ce qui peut exciter les hautes fréquences et les non linéarités non modélisables.

Plusieurs travaux ont été présentés dans la littérature pour régler ces problèmes, il s'agit

d’effectuer une hybridation entre le Mode Glissant et des autres outils comme la logique floue

Chapitre III Contribution des

Neuro-flous dans la

commande robuste

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Chapitre III Contribution des Neuro-flou dans la commande robuste

61

[Wang, 2009], les réseaux de neurones [Hussain, 2009], les neuro-flous [Chen Hung, 2006],

etc.

Ce chapitre décrit une technique nouvelle neuro-floue qui sera introduite dans la

commande de système non linéaire. Nous callons décrire deux modèles de neuro-flou ANFIS,

STFIS. Ensuite, nous présenterons les applications de ces modèles sur des systèmes non

linéaires.

Enfin, on a proposera une hybridation entre contrôleur STFIS (Self Tuning Fuzzy Inference

System) et Mode Glissant. Le contrôleur STFIS génère la composante équivalente de loi de

commande par Mode Glissant. Apres avoir introduit le principe des approches proposées,

nous présenterons leurs mises en œuvre pour la commande de pendule inversé.

2. Les systèmes Neuro-flous Les systèmes Neuro-Flous sont créés afin de synthétiser les avantages et de surmonter les

inconvénients des réseaux neuronaux et des systèmes flous. De cette manière, les algorithmes

d’apprentissage peuvent être employés pour déterminer les paramètres des systèmes flous.

Ceci revient à créer ou améliorer un système flou de manière automatique, au moyen des

méthodes spécifiques aux réseaux neuronaux.

Diverses combinaisons de ces deux méthodes ont été développées depuis 1988. Elles ont

donné naissance aux systèmes neuro-flous, qui sont les plus souvent orientés vers la

commande de système complexe et les problèmes de classification [Chekroun, 2009]. Il existe

ainsi quatre méthodes Neuro-floues : réseau flou neuronal, coopérative, concurrente et

hybride.

2.1. ANFIS (Adaptive Neural Fuzzy Inference System)

Le réseau neuro-flou adaptatif (ANFIS : Adaptive Neural Fuzzy Inference System) est

composé d'un ensemble de neurones connectés entre eux par des connexions directes. Chaque

neurone modélise une fonction paramétrée; le changement des valeurs de ces paramètres

entraîne le changement de la fonction, de même que le comportement total du réseau

adaptatif. L'ensemble des paramètres d'un réseau adaptatif est distribué sur l'ensemble des

neurones. Cependant chaque neurone possède un ensemble de paramètres locaux; si cet

ensemble est vide alors le neurone associé est représenté par un cercle et sa fonction est fixe,

neurone fixe, sinon il est représenté par un carré et la fonction associée dépend des valeurs de

ces paramètres, neurone adaptatif.

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Chapitre III Contribution des Neuro-flou dans la commande robuste

62

Dans un ANFIS, les connexions entre neurones sont seulement utilisées pour spécifier le

sens de la propagation des stimulations provenant des autres neurones. La structure de ANFIS

est composée de cinq couches, deux types de fonctions d'appartenance (cloche ou gaussienne)

et les règles de type ’’si prémisse alors conséquent’’ [Jang, 1992].

Figure. III. 1. Structure d'un ANFIS.

La figure présente l'architecture d'un ANFIS formalisant le raisonnement de Sugeno

du premier ordre, à deux entrées, une sortie et une base de règles constituée de deux règles,

dont une règle est exprimée par:

Règle i : six1est Ai et x2est Bi alors iiii rxqxpy 21

Correspondant à l’architecture d’ANFIS qui se compose de cinq couches.

Couche. 1

Les neurones adaptatifs Ai (Bi) calculent les degrés d'appartenance, l'ensemble des

paramètres caractérisent les fonctions Ai (Bi). Les paramètres correspondant sont appelés

paramètres de la prémisse iii cba ,,

xOiAi 1

(III. 1)

Généralement xiA est choisi sous forme de cloche avec son maximum égal à 1 et le

minimum égal à 0.

x1

x2

1A

2A

1B

2B

N

N

1

iO

1

2

w

Oi

1

3

w

Oi 4

iO

11 fw

22 fw

x1 x2

x1 x2

2w 2w

y

Oi

5

Couche11

Couche2 Couche3 Couche5 Couche4

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Chapitre III Contribution des Neuro-flou dans la commande robuste

63

(III. 2)

Où la fonction gaussienne

2

exp)(i

iA

a

cxxU

i

(III.3)

Couche.2

Les neurones fixes modélisent l'opérateur "ET" et calculent la valeur de vérité de chaque

règle.

xxwii BAi

(III. 4)

Couche.3

Les neurones N sont des neurones fixes, ils effectuent la normalisation de la valeur de

vérité de la règle (poids).

2,1,21

iww

ww i

i

(III.5)

Couche.4

Chaque neurone de la couche 4 est un neurone adaptatif dont la fonction est:

iiiiiii rxqxpwfw 21

4 (III.6)

Les paramètres iii rqp ,, sont appelés paramètres de la conséquence.

Couche.5

Le neurone de la couche 5 est un neurone fixe, à une entrée donnée, il délivre la réponse du

réseau donnée par :

5

i i i

i

w f (III.7)

ii b

i

i

A

a

cx

x

2

1

1)(

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Chapitre III Contribution des Neuro-flou dans la commande robuste

64

Figure. III. 2.Partie défuzzification.

Les paramètres prémisses sont identifiés par la méthode de descente de gradient et les

paramètres conséquents sont reconnus par la méthode des moindres carrés. Les paramètres

conséquents ainsi identifiés sont optimaux à la condition que les paramètres prémisses soient

fixés [Abraham, 2001].

ANFIS est l’un des tous premiers systèmes neuro-flous qui existent. Il est très cité dans la

littérature, car il a prouvé son efficacité au fil du temps avec son algorithme d’apprentissage

simplifié : la méthode de descente de gradient et la méthode des moindres carrés.

2.2. STFIS (Self Tuning Fuzzy Inference System)

La méthode présente une analogie structurelle complète avec un système d’inférence floue

de type Takagi Sugeno d’ordre zéro. Ce SIF peut être schématisé sous la forme d’un réseau de

quatre couches (figure.III.3) :

La première couche reçoit les entrées; la seconde calcule les degrés d’appartenance de ces

entrées à leurs sous-ensemble flous; les poids du réseau entre la première couche et cette

couche correspondent aux paramètres définissant les fonctions d’appartenance ; la troisième

couche calcule les valeurs de vérité, les poids entre les deux couches cachées définissent

l’opérateur ET choisi.

La quatrième couche est la couche de sortie : les poids iw du réseau entre la troisième et la

quatrième couche correspondent aux parties conclusion des règles [Zemalache, 2006].

1A

2A

1B

2B

1x

2x

1w

2w

1f

2f Z

Z 21

2211

ww

fwfwy

2211 fwfw

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Chapitre III Contribution des Neuro-flou dans la commande robuste

65

Figure. III. 3.Structure STFIS.

a- Algorithme d’optimisation

Plusieurs algorithmes sont utilisables pour optimiser les paramètres ajustables du réseau.

Dans notre application, nous nous contenterons d’utiliser la méthode de rétro propagation de

gradient pour ajuster les poids de la dernière couche du réseau. Le principe général de cette

méthode peut être résumé comme : à chaque itération; on modifie les poids de la couche de

sortie, cette modification se fait dans le sens opposé du gradient de la fonction coût. On répète

le processus jusqu'à ce que les poids de la couche de sortie aient convergés, c’est-à-dire que

l’écart entre la sortie du réseau et la sortie désirée deviennent acceptable.

L’optimisation est effectuée entièrement en ligne en minimisant une fonction coût J

(intégrant une erreur quadratique et un terme de régression des paramètres) pour générer les

paramètres iw caractérisent la partie conclusion des règles et les ajuster. L’algorithme de

descente de gradient avec la régression des paramètres optimisant seulement la partie

conclusion des règles a été adopté pour satisfaire les objectifs fixes.

i

ii wu

1x

UA11

UA13

UA14

UA15

UA21

UA23

UA24

UA25

)( 11 xu A

min

min

min

min

2x

w

min

w1

w25

w4

UA22

min

min

min

min

UA12

Couche1 Couche2 Couche3 Couche4

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66

2

iwEJ (III.8)

2

2

1E

(III.9)

: constante de contrôle d’augmentation des paramètres.

: terme d’erreur.

iw : poids ou paramètre.

A l’aide de l’algorithme de rétro propagation du gradient, les paramètres sont modifiés

suivant la formule suivante :

)()1()( kwkwkw n

ij

n

ij

n

ij (III.10)

Aussi nous avons

)1()( 1 kwbkw n

ij

n

j

n

i

n

ij (III.11)

k : représente les itérations.

n

ijw : poids entre le ième

neurone de la couche jème

neurone de la couche n-1.

: gain d’optimisation (ou pas d’optimisation).mesurant la vitesse avec laquelle les poids

vont converger vers leur valeur finale.

b : moment : ce paramètre est compris entre 0 et 1 ; l’introduction du terme )1( kwb n

ij

permet d’éviter les minimas locaux en faisant intervenir les variations des poids.

1n

j : sortie du neurone de la couche n-1.

n

i : terme de dérivée de la fonction coût (ième

neurone de la couche n).

A l’aide de l’algorithme classique de rétro propagation du gradient, les paramètres sont

modifiés suivant la formule suivante :

w

Jkwkw )()1(

(III.12)

Cet algorithme intègre facilement l’effet du terme de régression dans la fonction coût. En

effet, il suffit de dériver la fonction coût par rapport à chaque paramètre iw et en posant

2 on obtient :

Avec :

: Coefficient du terme de weight decay ou de régression ;

En se limitant dans cette étude pour l’optimisation des conclusions des sorties, ainsi on

obtient [Zemalache, 2008] :

J

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67

34

1

34

1

34

1

4

1 /)1()1()( jjjjjj kwkwbkw (III.13)

j jde yy 34

1 / (III.14)

Où:

ey :valeur effective de sortie.

dy :sortie désirée.

Choisir détermine le poids dans la fonction coût du terme de régression par rapport à

celui de l’erreur quadratique. S’il est trop petit par rapport au gain, l’effet de la régression des

poids ne se fera pas sentir. En revanche, si est trop important, les poids restent proches de

zéro, car l’effet de diminution des poids sera trop important par rapport à l’augmentation due

à la rétro propagation normale. Dans ce cas, le SIF n’apprendra rien. Il est également

important que le terme de régression soit proportionnel au déclenchement de la règle. Si nous

n’introduisions pas ce coefficient, la valeur du paramètre iw baisserait quand la règle n’est

pas déclenchée. Donc si, par exemple, le système évoluait suffisamment longtemps sans

déclencher une règle, le paramètre correspondant tendrait vers 0, et on perdrait alors de

l’information. Classiquement le coefficient de régression est choisi par essais successifs.

b- Architecture de control ‘JEAN ’ et ‘mini-JEAN’

Dans le contrôle de processus dynamiques, le contrôleur doit reproduire la fonction de

transfert inverse du système pour déterminer la commande à fournir. Cela est aisé dans

certains cas simples, par exemple quand le système est modélisé sous une forme linéaire, mais

le plus souvent la structure du système est inconnue, et présente des non linéarités non

modélisables. Nous nous plaçons dans cette hypothèse c'est-à-dire qu’on suppose n’avoir

aucune connaissance à priori sur le processus à contrôler. Dans ce cas, Jordan propose la

méthode du ‘distal control’ sous le nom de JEAN (Jordan method Extended for Adaptive

Neuro-control). Cette architecture (figure.III.4) nécessite la présence de deux réseaux de

neurones :

-Un premier réseau pour identifier le processus (modèle).

-Un second réseau pour contrôler le processus (Contrôleur).

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68

Figure. III. 4.Architecture JEAN.

Cette méthode nécessite deux étapes successives : l’identification du processus par le

réseau modèle, puis l’optimisation du réseau contrôleur. L’ajustage des poids synaptiques (ou

des conclusions des règles), de ce dernier est effectué en ’’rétropropageant’’ à travers le

réseau la valeur u obtenue par rétro propagation à travers le modèle d’une fonction coût basée

sur l’erreur en sortie e=y-y*.

Souvent il n’est pas nécessaire de connaître précisément le modèle du processus (ou plus

exactement son Jacobien) pour obtenir un contrôle correct. En effet, un modèle imprécis du

système n’altère pas la minimisation de la fonction coût, il modifie seulement le trajet pris par

l’algorithme d’optimisation dans l’espace des actions : on ne suivra sans doute pas la plus

forte pente, mais on restera sur un chemin descendant. Le moyen consistant à utiliser

l’approximation du Jacobien par son signe est une approche viable pour la commande de

systèmes simples. Nous arrivons à une architecture ’’mini-JEAN’’ avec un seul réseau

contrôleur, dont l’optimisation s’effectue en rétro-propageant directement l’erreur de sortie.

L’architecture mini-JEAN sera comparé avec l’architecture JEAN, des performances

équivalentes ont été obtenues, tant pour la vitesse d’optimisation que pour l’erreur moyenne

en généralisation. Par contre, le temps de calcul est nettement en faveur de mini-JEAN. Ils ont

étendu ces résultats en remplaçant dans ces architectures le réseau de neurones par un SIF

dont certains paramètres sont à optimiser. Ils ont également observé que, malgré quelques

différences dans la conduite de l’optimisation et dans la commande fournie, le recours à la

version simplifiée n’induit pas de dégradation de performances sensibles. C’est pourquoi,

notre préférence va à cette méthode, efficace, rapide et facile à mètre en œuvre. Il est évident

néanmoins qu’elle ne peut s’appliquer qu’à des systèmes dans lesquels le signe du Jacobien

est constant dans le domaine de fonctionnent balayé [Zemalache, 2008].

Trajectoire

désirée STFIS

Contrôleur Système

STFIS

Modèle

+

-

e

de u

y

y*

y

u

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69

Figure. III. 5.Architecture mini-JEAN.

c- Gains du contrôleur

Les gains des entrées Ge et Gde ont un rôle de normalisation des variables

linguistiques en vue de leurs utilisations par le contrôleur STFIS. Ces gains affectent aussi les

performances de la réponse du système en régime transitoire.

Le gain de la sortie Gc normalise la sortie du contrôleur flou dans l’univers de discours de

la commande (voir la figure. III.6). De plus, il joue un rôle dans la stabilité du système et

l’élimination des erreurs en régime permanent.

Le choix de ces gains peut se faire d’une manière subjective (essais /erreurs) de

sorte à obtenir la meilleure performance possible.

Figure. III. 6. Structure contrôleur.

2.3. Applications

Pour évaluer les performances de la commande neuro-floue en control des systèmes non

linéaires, nous avons procédé à une série de simulation sous environnement

MATLAB/Simulink. Les simulations présentées dans cette section sont réalisées sur des

systèmes non linéaires. Nous avons utilisé les deux systèmes neuro-flous ANFIS, STFIS.

Les commandes par les deux contrôleurs ANFIS et STFIS sont réalisées sur un modèle

didactique d’un robot manipulateur à un seul degré de liberté dont le modèle (II. 6)

Commande par le contrôleur ANFIS

La littérature scientifique mentionne différentes architectures de commande neuro-flou.

Nous avons choisi la commande directe par le modèle inverse grâce à sa facilité et simplicité

e

STFIS Ge

Gde

Gc

de

+

-

e

de

u y

Trajectoire

désirée

STFIS

Contrôleur Système

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Chapitre III Contribution des Neuro-flou dans la commande robuste

70

d’implémentation, comme son nom l’indique, le modèle neuro-flou inverse placé en avant du

système, est utilisé comme contrôleur pour commander le système en boucle ouverte (voir la

figure.III.7).

En premier lieu, nous avons élaboré le modèle inverse du système ANFIS, ensuite nous

l’avons utilisé dans la structure de commande [Daikh et al., 2010].

Figure. III. 7.Commande directe par modèle inverse.

Notre ANFIS a comme entrées {y (k), y(k-1), y(k-2)} et a deux fonctions d’appartenance

de type cloche (III.2).

Pour générer les données d’apprentissage et de validation, nous avons excité le système

(II.6) par un signal u(k) qui est une séquence aléatoire dont l’amplitude est une distribution

uniforme pour avoir une entrée riche.

L’erreur entre les deux signaux, l’entrée de système u(k) et la sortie d’ANFIS inverse û (k)

est présentée dans (figure.III.8) avec un coût de310 . Le modèle ANFIS inverse est formé par un

apprentissage hors ligne.

Figure. III. 8.Erreur prédiction du modèle inverse.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

-3

Temps(s)

Err

eur

Système

y(k) r(k+1) u(k)

ANFIS

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71

Pour l’application du modèle inverse dans une commande directe, nous avons testé le

modèle pour deux consignes, l’une étant un signal sinusoïdal yd, l’autre un signal aléatoire

yd1.

L’erreur entre la consigne ydet la sortie du système commandé par modèle inverse est

présentée dans figure.III.9 et celle entre la consigne yd1 et la sortie du système figure.III.10.

Figure. III. 9. Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale (Consigne yd).

Figure. III. 10.Poursuite d’une trajectoire aléatoire (Consigne yd1).

Commande par le contrôleur STFIS

Nous utilisons le contrôleur STFIS pour la commande du système non linéaire précédent

(II.6).

L’architecture utilisée est mini-JEAN (voir la figure.III.5) avec deux entrées, l’erreur et sa

dérivée. Nous avons cinq fonctions d’appartenance (GN, PN, Z, PP, GP), les fonctions

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Temps(s)

Positio

n

Référence

position

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3

Temps(s)

Erreu

r

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

Temps(s)

Po

sitio

n

Référence

Position

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-5

0

5x 10

-3

Temps(s)

Erreur

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72

utilisées sont normalisées dans l’univers [-1,1] de type gaussien et sigmoïde voir la

figure.III.11.

Figure. III. 11. Fonction d’appartenance.

Les figures suivantes présentent les résultats du système ’’pendule simple (II.6) ‘‘. Les

paramètres de contrôleur STFIS sont : 3.0 , 9.0b , 00006.0 et les gains 13Ge ,

13eG et 3/1Gc .

Figure. III. 12. Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

GN

PN

Z

PP

GP

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps(s)

Positio

n a

ngula

ire

Référence

Position angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Temps(s)

Err

eur

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73

Figure. III. 13.Evolution des poids pour la trajectoire sinusoïdale.

Pour valider les performances de contrôleur STFIS, nous avons testé le modèle avec une

consigne aléatoire (figure. III.14).

Figure. III. 14. Poursuite d’une trajectoire aléatoire.

Suivant les résultats de la méthode STFIS, nous pouvons dire que cette méthode assure la

stabilité en ligne pour le système non linéaire avec une erreur très faible.

La figure. II.13 montre l’évolution des poids. La phase d’optimisation converge vers des

poids stables cette convergence est due à l’emploi de fonction coût regroupons une erreur

quadratique et un terme de régression.

Après la phase d'apprentissage de STFIS, le contrôleur STFIS est comparé avec la méthode

ANFIS voir figure.III.15.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-200

-100

0

100

200

300

400

Temps(s)

Poi

ds

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps(s)

Positio

n a

ngula

ire

Référence

Position angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Temps(s)

Err

eur

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74

Figure. III. 15. Comparaison entre STFIS et ANFIS.

Nous constatons que l'erreur est faible pour les deux contrôleurs. Le contrôleur STFIS

présente un avantage qui est la lisibilité des règles contrairement au contrôleur ANFIS qui est

une boite noire.

Suivant les performances de contrôleur STFIS, nous avons appliqué dans un autre système

non linéaire masse ressort. Les figures suivantes présentent les résultats de simulation de la

commande par le contrôleur STFIS pour un système masse ressort (II.7). Nous avons fait les

simulations pour deux consignes, l’une étant un signal sinusoïdal (figure.III.16.17), l’autre

un signal aléatoire (figure. III.18).

Figure. III. 16. Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale.

0 5 10 15 20 25-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Temps(s)

Err

eur

erreur STFIS

erreur ANFIS

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps(s)

Positio

n

Référence

Position

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Temps(s)

Err

eur

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75

Figure. III. 17. Evolution des poids pour trajectoire sinusoïdale.

Figure. III. 18.Poursuite d’une trajectoire aléatoire.

Le tableau montre respectivement la matrice des règles utilisées pour la commande de

système (II.7), pour cinq fonctions d'appartenance à chaque entrée. Les règles sont obtenus

après la convergence des poids (figure.III.17), présente un zéro central et une symétrie par

rapport à ce zéro.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Temps(s)

Poi

ds

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps(s)

Positio

n

Référence

Position

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Temps(s)

Err

eur

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76

e

e

GN PN Z PP GP

GN -225.8056 -67.0176 -6.0941 7.0599 47.9176

PN -150.0057 -115.4505 15.9152 46.9588 80.5731

Z -157.9521 -100.3763 -0.4347 140.5939 327.7071

PP -70.3638 -45.7109 7.5768 89.7944 126.6044

GP -44.6038 -9.9582 6.2386 93.3866 213.6461

Tableau. III. 1 . Les poids obtenus pour le déplacement sinusoïdal de masse ressort.

On peut donner maintenant une interprétation linguistique à la table. Il faut pour cela

convenir d'une échelle de traduction numérique-symbolique.

Nous convenons d'attribuer le concept GN (Grande Négative) aux valeurs numériques

comprises entre [-235 -100], le concept PN (Petite Négative) aux valeurs [-70 -6], le concept

Z(Zéro) aux valeurs [-0.43 0.43], le concept PP (Petite Positive) aux valeurs [6 80], le concept

GN (Grande Positive) aux valeurs [89 213].

Ces valeurs numériques sont représentées par une traduction symbolique dans le

tableau.III.2.

e

e

GN PN Z PP GP

GN GN PN PN PP PP

PN GN GN PP PP PP

Z GN GN Z GP GP

PP PN PN PP GP GP

GP PN PN PP GP GP

Tableau. III. 2.Table linguistique déduite après traductions linguistiques (masse ressort).

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77

D' habitude les experts utilisent la table standard diagonale de Mac Vicar-Whelan

présentée dans le tableau III.3 [Mac, 1976].

e

e

GN PN Z PP GP

GN GN GN PN PN Z

PN GN PN PN Z PP

Z PN PN Z PP PP

PP PN Z PP PP GP

GP Z PP PP GP GP

Tableau. III. 3.Table de décision standard de Mac Vicar-Whelan à 5 ensembles flous.

Nous avons comparé la table linguistique (tableau III.2) avec la table standard Mac Vicar-

Whelan. Nous observons alors que les conclusions des règles sont optimisées par le contrôleur

STFIS.

Suivant les résultats de simulation obtenus on peut dire que la commande par contrôleur

STFIS permet d’atteindre de bonnes performances.

Beaucoup de travaux ont utilisées le STFIS dans la commande des systèmes non linéaires.

[Zemalache et al., 2008], [Zemalache et Maaref, 2009a],[Zemalache et Maaref, 2009b]

[Maaref et Barret, 2001], [Daikh et al., 2011] ont appliqué, le contrôleur STFIS dans la

commande directe des systèmes non linéaires, en plus le STFIS est utilisé avec les autres

types de commande dans [Chaouch et Maaref, 2011], [Souilem et al., 2015], [Khelfi et

Daikh, 2013].

3. Commande hybride de Mode Glissant et STFIS Afin de garantir la robustesse du système en boucle fermée et une réponse dynamique

rapide avec les meilleures performances possibles, nous proposons d’utiliser la combinaison

des deux contrôleurs précédemment définis, le Mode Glissant durant le régime transitoire, et

celui à base de neuro-flou (STFIS) lors du régime permanent. La première commande assure

la convergence du système vers son régime permanent avec insensibilité aux perturbations

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78

externes et structurelles et une dynamique rapide. Tandis que la seconde prend le relais

régime permanent afin d’assurer une commande plus lisse et une erreur statique pratiquement

nulle.

3.1. Application de la commande hybride Mode Glissant et STFIS au

pendule inversé

La commande hybride par Mode Glissant et STFIS combine les avantages des deux

techniques. La commande par STFIS est introduite ici afin d’améliorer les performances

dynamiques du système et permet de réduire les vibrations résiduelles en hautes fréquences.

Dans notre travail, nous présentons deux types d’applications ; application de la

commande hybride sur une partie pendule du pendule inversé et la deuxième application de

commande hybride sur un pendule inversé complet.

a. Commande hybride pour la position angulaire de pendule inversé

Sur la figure.III.19est représentée la commande hybride, utilisée pour commander l’angle

du pendule (𝜃) du système pendule inversé. La commande contient deux éléments, le

régulateur STFIS à deux entrées caractérisant la surface et sa variation et une sortie qui

caractérise la commande équivalente, le deuxième est la commande discontinue. La somme

des deux commandes, forme la commande globale qui stabilise le système [Daikh et Khelfi,

2015].

Figure. III. 19.Commande hybride Mode Glissant avec STFIS.

La loi de commande proposée est :

)(. ssatkuuuu STFIScSTFIS (III.15)

STFISu : la commande générée par le contrôleur STFIS;

1x

d/dt

Surface Pendule

Inversé

Ustfis

uc

u

e

e

𝑥𝑑

+

+

Commanded

iscontinue

STFIS

d/dt

t1

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79

cu : la commande discontinue.

La surface de glissement utilisée est ees avec un scalaire qui représente la pente de

la surface;

Le contrôleur STFIS défini avec deux entrées SS , et une base des règles sous la forme:

Règle i : si s est 1F A et s est 2F alors u est iw .

1. Synthèse de stabilité de la commande SMC et STFIS

La commande Mode Glissant est :

𝑢 = 𝑢𝑒 + 𝑢𝑐 (III.16)

Avec commande équivalente :

𝑢𝑒 =1

𝑔(−𝑓 − 𝑑 + ��𝑑 − 𝜆��)

(III.17)

La commande discontinue :

𝑢𝑐 = −𝑘𝑠𝑎𝑡(𝑆) (III.18)

Quand la dynamique du système est inconnue, le contrôleur STFIS remplace la commande

équivalente.

𝑢𝑆𝑇𝐹𝐼𝑆 =∑ 𝛼𝑖𝑤𝑖

𝑛𝑖=1

∑ 𝛼𝑖𝑛𝑖=1

= 𝑤𝑇𝜉𝑇 (III.19)

avec 𝑤 = [𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛], 𝜉 = [𝜉1, 𝜉2, … , 𝜉𝑛].

𝜉 =𝛼𝑖

∑ 𝛼𝑖𝑛𝑖=1

(III.20)

𝑢𝑒 = 𝑢𝑆𝑇𝐹𝐼𝑆 + 𝜀 (III.21)

où𝜀 est l’erreur satisfaite 𝜀 < 𝑘 .

��𝑆𝑇𝐹𝐼𝑆 = ��𝑆𝑇𝐹𝐼𝑆 − 𝑢𝑒 = ��𝑆𝑇𝐹𝐼𝑆 − 𝑢𝑆𝑇𝐹𝐼𝑆 − 𝜀 (III.22)

Nous posons

�� = �� − 𝑤 (III.23)

A partir de l’équation (III.22), nous avons

��𝑆𝑇𝐹𝐼𝑆 = ��𝑇𝜉 − 𝜀 (III.24)

La dynamique de surface de glissement :

�� = �� + 𝜆�� (III.25)

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80

𝑢𝑒 =1

𝑔(𝑔𝑢 − ��)

On obtient

(III.26)

�� = 𝑔(𝑢𝑆𝑇𝐹𝐼𝑆 + 𝑢𝑐 − 𝑢𝑒) (III.27)

�� = 𝑔(𝑢𝑐 − 𝜀 ) (III.28)

La fonction de Lyapunov choisie est définie :

𝑉 =1

2𝑆2 +

1

2Γ��𝑇��

(III.29)

Sa dérivé �� :

�� = 𝑆�� +��𝑇

Γ(Γ𝜉𝑆 − ��)

(III.30)

�� = 𝑆(𝑔(𝑢𝑐 − 𝜀)) +��𝑇

Γ(ΓξS − w)

(III.31)

�� = −𝑔𝑘|𝑆| − 𝜀𝑆𝑔 +��𝑇

Γ(ΓξS − w)

(III.32)

Pour que la fonction de Lyapunov décroisse, il suffit de s’assurer que sa dérivée soit

négative.

�� = −𝑔𝑘|𝑆| − 𝜀𝑆𝑔 ≤ 0 (III.33)

Avec �� = Γ𝜉𝑆

2. Résultat de simulation

Les simulations ont été réalisées sur le modèle dynamique du pendule inversé (équation.

II.5).

L’architecture de la commande appliquée est présentée dans la figure. III.19, utilisée pour

commander l’angle du pendule (thêta) du système pendule inversé.

Cinq fonctions d’appartenance seront définies pour les entrées de STFIS ts , )(ts .Grande

Négative (GN), Petite Négative (PN), Zéro (Z), Petite Positive (PP), Grande Positive (GP)

normalisé dans l’univers [-1 1] voir la figure. III.20.

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81

Figure. III. 20.Fonction d’appartenance du 𝑺, ��.

Pour tester la robustesse de la commande, le bruit a été injecté dans le système pendule

inversé dès le départ. Après des différents essais de simulation, les valeurs des gains ont

donné de bons résultats qui sont présentés dans le tableau qui suivra:

k b sG sG uG

10 50 0,00009 0,3 0,9 1/9 1/9 5

Tableau. III. 4.les paramètres optimisés.

Pour évaluer les performances du réglage, nous avons effectué des simulations pour

différentes consignes (aléatoire et sinusoïdale) voir les figures. III.21, 22. Des tests de

robustesse vis-à-vis des variations paramétriques ont été également effectués, les résultats

obtenus, sont représentés par les figures. III.23, 24, 25, 26, 27, 28,29.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

GN

PN

Z

PP

GP

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82

Figure. III. 21.Application de la commande hybride Mode Glissant et STFIS au système pendule

inversé.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Temps

Positio

n a

ngula

ire

Référence

Position angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

TempsE

rreur

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps(s)

positio

n a

ngula

ire

Référence

Position angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Temps(s)

Erreur

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83

Figure. III. 22.Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale pour l’angle.

Test de robustesse vis-à-vis du changement de condition initiale

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20

-10

0

10

20

30

40

50

Temps(s)

Com

mande

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps(s)

Positio

n a

ngula

ire

Référence

position angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Temps(s)

Err

eur

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84

Figure. III. 23.Poursuite d’une trajectoire pour l’angle pour 10/1 pix .

Figure. III. 24.Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale pour l’angle pour 10/1 pix .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Temps(s)

Com

man

de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps(s)

Positio

n a

ngula

ire

Référence

Position angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Temps(s)

Err

eur

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85

Figure. III. 25.Evolution des poids pour une référence sinusoïdale 01 x et 10/1 pix .

La figure. III.25 montre l’évolution des poids. Grâce à l'algorithme d’optimisation, elle

converge vers des poids stables.

Test de robustesse vis-à-vis des variations paramétriques

Figure. III. 26.Poursuite d’une trajectoire pour une variation de massede chariot 0.5m kg .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-20

-10

0

10

20

30

40

Temps(s)

Poin

d

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Temps(s)

Poid

s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Temps(s)

Positio

n a

ngula

ire

Référence

Position angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

Temps(s)

Err

eur

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86

9

Figure. III. 27.Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale pour une variation de massede chariot 0.5m kg .

Figure. III. 28.Poursuite d’une trajectoire pour unevariation de longueur 1l m .

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps(s)

Positio

n a

ngula

ire

Référence

Position angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Temps(s)

Err

eur

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Temps(s)

Positio

n a

ngula

ire

Référence

Position angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.035

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

Temps(s)

Err

eur

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87

Figure. III. 29.Poursuite d’une trajectoire sinusoïdale pour une variation de longueur 1l m .

A travers les résultats de simulation effectuée sur le modèle non linéaire du système, nous

pouvons constater que le régulateur STFIS synthétisé a généré la composante équivalente et la

commande hybride a permis de stabiliser le système aussi bien en régulation qu’on poursuite

de trajectoire. Cette stabilisation est atteinte en un temps très court. Dans la plupart des cas

elle ne dépasse pas les 3 secondes. Malgré les différentes perturbations appliquées sur le

système, par variations paramétriques ainsi que par le changement des conditions initiales, la

stabilisation reste toujours robuste.

Une comparaison entre les deux contrôleurs (SMC et hybride SMC-STFIS) a été faite pour

les deux consignes de trajectoire sinusoïdale et aléatoire.

Les figures suivantes montrent la comparaison entre les erreurs de commande, nous

constatons que le contrôleur hybride Mode Glissant et STFIS a de meilleurs résultats.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Temps(s)

Positio

n a

ngula

ire

Référence

Position angulaire

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Temps(s)

Err

eur

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88

Figure. III. 30.Comparaison entre SMC et commande hybride SMC STFIS (consignes sinusoïdale,

aléatoire).

En fait, le temps de calcul est plus important pour le contrôleur STFIS et cela est dû à la

phase d'optimisation. L'avantage de ce contrôleur est le fait qu'il ne nécessite pas un modèle

du système.

b. Commande hybride pour un pendule inversé complet

Puisqu'un STFIS est utilisé pour rapprocher la fonction non linéaire entre la variable

d'entrée glissante et la loi de contrôle. La structure de la commande hybride est montrée dans

la figure. III.31 [Daikh et Khelfi, 2015],[Khelfi et Daikh, 2013].

Basé sur le théorème universel d’approximation, le STFIS est capable d’approximer

uniformément n'importe quelle fonction non linéaire de la loi de commande u à n'importe

quel degré d’exactitude.

Figure. III. 31. Commande hybride Mode Glissant avec STFIS.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Temps(s)

Erreur

Erreur de commande SMC et STFIS

Erreur de SMC

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Temps(s)

Erreur

erreur de commande hybride SMC et STFIS

Erreur de SMC

S2

S1

STFIS

Commande

discontinue

Pendule

inversé

Inversé

-

+

+

+

+

+

dt

d

+

+

u

2x

1x

4x

3x

uSTFIS

uc

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89

La loi de commande proposée est:

)( 1sksatuuuu STFIScSTFIS (III.34)

STFISu : la commande générée par le contrôleur STFIS;

cu : la commande discontinue.

On définit les variables :

2111 xzxcs (III.35)

4322 xxcs ou 01 c , 02 c . (III.36)

et

10,.2

upperupperz

zzs

satz (III.37)

Résultat de simulation

Nous avons réalisé les simulations sur le modèle dynamique du pendule inversé (équation

II.5). L'architecture de commande utilisée est présentée dans la figure. III.31. L’objectif du

contrôleur STFIS est de générer la commande équivalente.

Les paramètres de STFIS choisis dans ce cas sont:

Les entrées de STFIS sont 1s et 1s ;

Cinq fonctions d’appartenance {GN, PN, Z, PP, GP} pour chaque entrée (voir la

figure. III.32).

Figure. III. 32.Fonction d’appartenance de 𝑺𝟏 , 𝑺𝟏.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

GN

PN

Z

PP

GP

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Chapitre III Contribution des Neuro-flou dans la commande robuste

90

Les paramètres de la commande sont présentés dans le tableau III.5.

1c 2c z upperz k initialx1 )(td b

sG S

G uG

10 0.5 15 0.94 50 3/ 08.0 0.0009 0.3 0.9 1/25 1/25 1

Tableau. III. 5.les paramètres de la commande.

L'objectif de la loi de commande hybride est de changer thêta de position initiale ( 3/ )

à la position zéro. Les résultats obtenus, sont représentés dans toutes les figures ci-dessous.

Figure. III. 33.La position angulaire du pendule.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps(s)

Pos

ition

ang

ulai

re

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Temps(s)

Pos

ition

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Chapitre III Contribution des Neuro-flou dans la commande robuste

91

Figure. III. 34.la position de chariot.

Figure. III. 35. La loi de commande.

Figure. III. 36.Evolution des poids.

Les résultats obtenus sont issus d’ensembles de simulations du système en boucle fermée

en utilisant une structure de commande hybride Mode Glissant et STFIS. A travers ces

résultats, on constate que la position et l’angle sont stabilisés malgré la présence des

perturbations. Ainsi l’évaluation des poids est stable ce que indique notre contrôleur STFIS

après la fonction non linéaire (composante équivalente) voir figure. III.36.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-50

0

50

100

150

200

Temps(s)

Com

man

de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-50

0

50

100

150

200

250

Temps(s)

Poi

ds

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Chapitre III Contribution des Neuro-flou dans la commande robuste

92

4. Synthèse de l'utilisation des approches Intelligences Artificielles

pour la commande Mode Glissant Les approches d’IA ont été beaucoup utilisées pour la commande Mode Glissant des

systèmes non linéaires, soit pour estimer les paramètres incertains du modèle, soit pour

estimer la partie corrective de la commande. Une autre application de ces réseaux est dans

l'estimation de la borne des incertitudes et perturbations d(t).

Nous avons essayé de réaliser une synthèse non exhaustive de quelques-unes de ces

applications dans le tableau.III.6 La comparaison se porte sur les critères suivants :

(A) Estimation de la commande Mode Glissant par IA.

(B) Estimation de la commande équivalente.

(C) Estimation de la commande corrective.

(D) Robustesse envers les incertitudes.

(E) Élimination du Chattering.

En analysant le tableau, nous pouvons ressortir avec les constatations suivantes :

Le recours de l’IA pour la commande Mode Glissant a connu un nouvel essor dans les

dernières années surtout pour la commande des nouveaux systèmes (Robotic Systems,

Inverted Pendulum, nonlinear systems).

Parmi les outils de l’IA, le SIF est le plus utilisé pour Mode Glissant et dans les

dernières années l’étude est orientée vers les neuro-flous.

La majorité des auteurs ont choisi d'appliquer l’IA pour calculer la commande

équivalente en estimant les paramètres du modèle.

La robustesse de la commande est garantie dans toutes les approches.

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93

Approche Type IA Contribution (A) (B) (C) (D) (E)

Effect of Rule Base on the Fuzzy-Based Tuning Fuzzy Sliding

Mode Controller: Applied to 2nd Order Nonlinear System,

[Piltan et al., 2012]

SIF Estimation de la commande 𝑢𝑒 - + - + +

Robust Adaptive Fuzzy Sliding Mode Control for A Class of

Uncertain Discrete-Time Nonlinear Systems, [Tsung-Chih et

al., 2012]

SIF Floue estime la commande SMC + - - - +

Sliding An Adaptive Fuzzy Sliding Mode Control Scheme for

Robotic Systems, [Sharkawy, Ali Salman, 2011]

SIF Estimation de la commande 𝑢𝑒 - + + + +

Adaptive Fuzzy Sliding Mode Control for

InvertedPendulum, [Wang, 2009]

SIF Estimation de la commande 𝑢𝑒 + + + + -

A Neuro-fuzzy-sliding Mode Controller Using Nonlinear

Sliding Surface Applied to the Coupled Tanks System,

[Boubakir et al., 2009]

NN+ SIF Estimation de la commande 𝑢𝑒𝑒𝑡𝑢𝑐 - + + + -

Designing Flexible Neuro-Fuzzy System Based on Sliding

Mode Controller for Magnetic Levitation Systems,

[Mohammadi et al, 2011]

FLEXNFIS Estimation de la commande 𝑢 + - - + +

Decoupled sliding-mode with fuzzy-neural network controller

for nonlinear systems, [Chen Hung, 2006]

Neuro- flou Estimation de la commande 𝑢𝑒 - + + + +

Adaptive neural network based fuzzy sliding mode control of

robot manipulator, [Ak and Cansever, 2006]

RBF 𝑢𝑒 estimée par RBF(N) et 𝑢𝑐

Foue

- + + + +

Sliding Mode with Neuro-Fuzzy Network Controller for

Invented Pendulem, [ Khelfi et Daikh, 2013]

STFIS Estimation de la commande 𝑢𝑒 - + - + +

Tableau. III. 6. Synthèse des approches Mode Glissant avec l’IA.

+ : Avantage, - : Inconvénient. (A) Estimation de la commande Mode Glissant par IA, (B) Estimation de la commande équivalente, (C) Estimation de la commande corrective, (D) Robustesse envers les incertitudes,

(E) Élimination du Chattering.

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Chapitre III Contribution des Neuro-flou dans la commande robuste

94

5. CONCLUSION Dans ce chapitre, nous avons exposé des techniques dites artificielles, les neuro-flous

pour améliorer certaines performances de la commande directe des systèmes non linéaires.

Dans la première partie, des définitions de différentes structures hybrides neuro-floues.

Nous avons utilisé les structures ANFIS et STFIS dans la commande des systèmes non

linéaires. Une comparaison entre le contrôleur STFIS et le contrôleur ANFIS, montre la

validité des deux méthodes pour la commande des systèmes non linéaires.

D’après les résultats, ANFIS est un bon contrôleur malgré son retard pour se stabiliser.

Cette architecture montre un autre défaut : elle ne fournit pas les détails des convergences de

ces paramètres, c’est une boite noire, ensuite STFIS montre la convergence satisfaisante avec

un algorithme d’apprentissage en ligne.

Dans la deuxième partie, nous avons proposé une commande appliquée à un système non

linéaire en utilisant un approximateur STFIS. La loi de commande synthétisée permet de

remédier aux inconvénients du Mode Glissant classique.

Un réseau STFIS pour estimer en ligne les paramètres du système non linéaire et ainsi

annuler l'influence des incertitudes et bruits externes.

Les différents résultats de la simulation obtenue montrent la haute performance et la

robustesse du contrôleur sur la présence de variation des paramètres et des perturbations

externes.

Enfin, une synthèse de la commande par Mode Glissant avec les approches d’IA a été

présentée en comparant quelques approches récentes.

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Chapitre IV Amélioration des performances de la Commande Robuste avec les Neuro-

flous

95

1. INTRODUCTION

La commande par Mode Glissant est une méthodologie de commande robuste pour les

systèmes non linéaires en raison de sa robustesse aux changements des paramètres et

perturbations externe. Pour la commande par Backstepping, on peut conclure à partir des

résultats de simulation que cette commande donne plusieurs avantages non seulement pour la

stabilité du système non linéaire mais aussi avec des performances remarquables « bonne

poursuite, erreurs nulles.. ».

Les commandes étudiées précédemment donnent des résultats acceptables mais provoquent

aussi des problèmes au sein du système. Alors pour améliorer la stabilité du système, on

utilise une méthode intéressante en terme de « COMMANDE HYBRIDE BACKSTEPPING-

MODE GLISSANT ».

Nous allons présenter une commande hybride Backstepping-Mode Glissant basée sur le

principe de la notion de Lyapunov.

Dans ce chapitre, nous proposons une commande hybride basée sur Intelligence

Artificielle. Ceci nous permet d’exploiter efficacement aussi bien les avantages du commande

hybride Backstepping-Mode Glissant que ceux système Neuro-flou. Ainsi, pour remédier a la

contrainte liée aux dynamiques inconnues, l’utilisation d’une Neuro-flou plus précisément le

STFIS serait une solution.

2. Commande hybride Backstepping-Mode Glissant

On introduit en premier lieu la commande hybride Backstepping-Mode Glissant en

essayant d’assurer la stabilité et la robustesse en même temps de notre système.

Chapitre IV Amélioration des

performances de la commande

robuste avec les Neuro-flous

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Chapitre IV Amélioration des performances de la Commande Robuste avec les Neuro-

flous

96

Parmi les avantages de la technique de Backstepping, c'est qu'on peut l'associer à d'autres

méthodes de l'automatique moderne dans l'objectif est d'améliorer les performances.

La commande par mode de glissement est l'une des méthodes qui s'associe à la technique de

Backstepping avec une procédure très simple.

La technique de Backstepping et du Mode Glissant sont deux méthodes qui exploitent la

notion de fonction de Lyapunov. Nous allons utiliser ce point commun pour élaborer une

nouvelle commande associant les deux techniques.

En effet les deux critères qui permettent aux dynamiques du système de converger vers la

surface du glissement sont

1) Celui proposé par [Utkin, 1993]:𝑆(𝑥) ∗ ��(𝑥) < 0 ;

2) Celui définit par la fonction de Lyapunov: V(x) < 0 ;

3. Synthèse de la commande hybride La loi de commande est générée selon deux séquences. Dans la première séquence, nous

utiliserons la technique du Backstepping pour calculer les contrôles virtuels et les fonctions de

stabilisation correspondantes. Dans la seconde séquence, nous mettrons en évidence la

technique du mode glissant pour calculer les contrôles réels dans l’étape finale du

Backstepping, afin d’assurer la convergence vers zéro des erreurs entre les contrôles virtuels

et leurs valeurs désirées. L’introduction de la commande glissante permet d’atténuer les effets

perturbateurs.

L’hybridation entre la commande Mode Glissant et Backstepping est effectuée par un

changement de variable dans la dernière étape. On remplace l’erreur par la surface de

glissement.

𝑆 = 𝜆1𝑒1 + 𝜆2𝑒2 + ⋯ + 𝑒𝑛 (IV.1)

Avec𝜆𝑖 > 0, 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 1.

Pour assurer la convergence de système, on a choisi la fonction de Lyapunov 𝑉𝑛 [Jafari et

Zinober, 1999] :

𝑉𝑛 =1

2∑ 𝑒𝑖

2

𝑛−1

𝑖=1

+1

2𝑆2 +

1

2��𝑇Γ−1��

(IV.2)

La loi de commande adaptive Mode Glissant et Backstepping est :

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flous

97

𝑢 =1

𝑔(𝑥)[−𝑓(𝑥) − 𝑒𝑛−1 − 𝑤𝑛

𝑇𝜃

+ ∑𝜕𝛼𝑘−1

𝜕𝑥𝑖𝑥𝑖+1 +

𝜕𝛼𝑘−1

𝜕𝜃�� −

𝜕𝛼𝑘−1

𝜕𝑡

𝑘−1

𝑖=1

+ (∑ 𝑒𝑖+1

𝜕𝛼𝑖

𝜕𝜃Γ𝑤𝑛) + 𝑥𝑑

(𝑛)− (𝐾 + 𝜁𝑛)𝑠𝑔𝑛(𝑆)]

𝑛−2

𝑖=1

(IV. 3)

3.1 Application de commande hybride sur pendule inversé

Nous allons présenter dans cette partie les résultats de simulation obtenus avec application

de la commande étudiée sur le système non linéaire « pendule inversé ».

A partir de (IV.3), la loi de commande hybride de pendule inversé est :

𝑢 =1

��(−𝑓 − 𝑑 − 𝑒1 − 𝑘1��1 + ��𝑑 − 𝐾𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑆)) 𝑘1, 𝐾 > 0

(IV. 4)

Avec les lois d’adaptation sont :

𝑓 = Γ1𝑆

�� = Γ2(−𝑓 − 𝑑 − 𝑘1��1 + ��𝑑 − 𝐾𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑆))𝑆

(IV.5)

(IV.6)

𝑆 = 𝜆𝑒1 + ��1 (IV.7)

Pour éviter le problème de Chattering du Mode Glissant, nous avons remplacé le sign avec

la fonction de saturation sat (Voir chapitre II).

L'objectif est de poursuivre la trajectoire sinusoïdale donnée en équation (IV.8) :

𝜃(𝑡) = 0.2sin (𝜋𝑡 +𝜋

2) (IV.8)

L'équation (IV.9) représente les perturbations externes additionnées au système pour tester

la robustesse de la commande utilisée.

𝑑(𝑡) = 0.01sin (𝑡) (IV.9)

Les paramètres de la commande hybride Mode Glissant et Backstepping sont présentés

dans le tableau. IV.1.

𝒌𝟏 100

𝑲 100

𝝀 50

𝚪𝟏 200

𝚪𝟐 150

Tableau. IV. 1. Les paramètres de la commande hybride.

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flous

98

L'allure de la trajectoire désirée ainsi que la position réelle du pendule sont montrées dans

la figure. IV.1 et l'erreur de poursuite est dans la figure. IV.2.

L'erreur obtenue est très acceptable et le pendule converge rapidement vers la trajectoire

désirée avec un temps de réponse inférieur à 0.2𝑠 malgré l'existence d'un bruit externe et une

altération des paramètres du modèle.

Figure. IV. 1.Position désirée et réelle du pendule inversé.

Figure. IV. 2. Erreur de poursuite de la position angulaire.

Le signal de commande agissant sur le chariot est représenté dans la figure. IV.3. Nous

pouvons remarquer clairement l'absence des oscillations à hautes fréquences (Chattering)

contrairement aux résultats du chapitre II.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Temps(s)

Positio

n a

ngula

ire

Position désirée

Position réelle

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

Temps(s)

Err

eur

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flous

99

Figure. IV. 3.Signal de commande pour le pendule inversé.

Pour mieux valider les résultats, nous allons injecter une autre référence. La figure. IV.4

montre la convergente vers la trajectoire désirée.

Figure. IV. 4. Poursuite d’une trajectoire aléatoire.

La loi de commande proposée est stable malgré la présence de perturbation, l’erreur est

nulle et le suivi de la trajectoire est assuré. Nous pouvons voir aussi le changement de

trajectoire ne cause pas de problème vis- à- vis de la performance de la loi de commande,

cette dernière, stabilise asymptotiquement le système.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-50

0

50

100

Temps(s)

La c

om

mande u

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps(s)

Positio

n a

ngula

ire

Position désirée

Position réelle

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flous

100

4. La commande hybride basée sur Neuro-Flou La nature non linéaire des systèmes et la variation de ses paramètres rendent les fonctions

incertaines. Ceci peut avoir pour conséquence une détérioration des performances de

poursuite et éventuellement l’instabilité du système. Pour résoudre ce problème, nous

proposons dans ce qui suit d’utiliser un outil de l’Intelligence Artificielle ‘ Neuro-flou’ pour

les approximer tout en garantissant de bonnes performances de poursuite.

Dans cette section, une architecture fondée sur l'intelligence Artificielle est proposée pour

la commande hybride Mode Glissant et Backstepping. Cette architecture est basée sur

l'utilisation des systèmes Neuo-flou hybride (STFIS) dans l'approximation des paramètres du

système commandé dans la commande.

Après avoir les performances de STFIS dans la commande Mode Glissant pour

approximer la commande équivalente. On va utiliser STFIS pour remédier le problème en

estimant en ligne les paramètres du modèle et réagir en temps réel aux changements dûs à

l'environnement (frottement, bruit, ...). L’approximation des différentes fonctions 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥),

requière deux systèmes STFIS.

Rappelons les expressions de la commande globale données précédemment (IV.3). Le

schéma global de cette approche est donné dans la figure. IV.5.

Figure. IV. 5.La commande hybride basée sur Neuro-flou.

4.1 Application au pendule inversé

L'approche proposée a été utilisée pour la commande du pendule inversé donnée en

chapitre. II.

La commande hybride Backstepping-Mode Glissant avec STFIS pour un pendule inversé

est donnée par l'équation(IV.10).

La

commande

𝑆 = 𝜆𝑒 + �� STFIS

Système 𝑒

��

S

𝑥𝑑

𝑓(𝑥), ��(𝑥)

𝑦 u

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𝑢 =1

��(−𝑓 − 𝑑 − 𝑒1 − 𝑘1��1 + ��𝑑 − 𝐾𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑆)) 𝑘1, 𝐾 > 0

(IV.10)

Avec �� = 𝑆𝑇𝐹𝐼𝑆1et𝑓 = 𝑆𝑇𝐹𝐼𝑆2.

1. les paramètres du contrôleur STFIS

Les variables d'entrée des deux contrôleurs sont l’erreur 𝑒1 et son dérivé 𝑒 1.

Les variables linguistiques de l'entrée 𝑒1 𝑒𝑡 ��1 son :

GN : Grande Négative ;

PN : Petite Négative ;

Z : Zéro ;

PP : Petite Positive ;

GP : Grande Positive.

Les fonctions d’appartenances utilisées sont normalisées dans l’univers [-1,1] de type

gaussien et sigmoïde pour les contrôleurs STFIS1 et STFIS2 voir la figure. IV.6.

Figure. IV. 6.Fonctions d’appartenances.

L’algorithme d’optimisation fait en-ligne par l’optimisation de la fonction de cout1

2𝑒1

2. Les

paramètres des réseaux STFIS utilisés sont normalisés (Voir le chapitre III), seulement on

doit choisir les paramètres initiaux poids. Le tableau. IV.2 présenté les poids initiaux𝑤𝑖𝑗 pour

les deux réseaux.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

GN

PN

Z

PP

GP

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flous

102

e

e

GN PN Z PP GP

GN -0.05 -0.05 -0.05 -0.05 -0.05

PN -0.05 -0.05 -0.05 -0.05 0.05

Z -0.05 -0.05 0 0.05 0.05

PP -0.05 -0.05 0.05 0.05 0.05

GP -0.05 0.05 0.05 0.05 0.05

Tableau. IV. 2.les poids initiaux.

Afin de valider notre approche nous présenterons les paramètres de la commande

robuste dans le tableau suivant :

les paramètres de

𝑆𝑇𝐹𝐼𝑆1

𝑆𝑇𝐹𝐼𝑆2

0.3

0.00006

b 0.9

STFIS1 Ge ,

eG ,

Gc

0.1

0.1

10

STFIS2 Ge ,

eG ,

Gc

0.1

0.1

1

Les paramètres de

commande

𝜆 50

𝑘1 150

𝐾 100

Tableau9. IV. 3. Les paramètres de commande.

Afin de conclure sur les performances de l’utilisation d’une commande robuste mode

glissant et Backstepping avec STFIS, nous allons présenter les simulations réalisées sur

pendule inversé dans la figure IV.7.

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flous

103

Les résultats obtenus sont acceptable avec une bonne poursuite et la convergence vers la

trajectoire estimée0.2sin (πt +π

2). Une observation donnée par la figure. IV.8 montre que

l’approche développée arrive à maintenir l’erreur minimale malgré la présence de

perturbations.

Les deux réseaux STFIS ont approximé les deux composantes 𝑓 et 𝑔 du modèle avec

exactitude produisant une erreur d'estimation inférieure à 1e − 6et il est clair que le pendule

inversé convergent vers la trajectoire désirée avec une erreur statique presque nulle malgré les

perturbations externes et les incertitudes dans le modèle.

Figure. IV. 7.Position désirée et réelle du pendule inversé.

Figure. IV. 8. Erreur de poursuite de la position angulaire.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Temps(s)

Positio

n a

ngula

ire

Position désirée

Position réelle

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

Temps(s)

Err

eur

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flous

104

Figure. IV. 9. La commande robuste mode glissant, Backstepping et STFIS.

Pour mieux valider les résultats nous avons injecté une autre trajectoire désirée. La figure.

IV .10 montre la bonne réponse avec la convergence de sortie.

Figure. IV. 10.Poursuite d’une trajectoire aléatoire.

Notons aussi que les courbes des poids se stabilisent au même moment que la courbe

d’erreur (Voir figure IV. 11,12). Le tableau. IV. 4 représente les poids que nous pouvons

identifier de STFIS1 et STFIS2. Nous pouvons affirmer que STFIS répond bien au problème

d’identification.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-40

-20

0

20

40

60

80

Temps(s)

Com

mande S

MG

-BA

CK

-ST

FIS

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps(s)

Positio

n a

ngula

ire

Position désirée

Position réelle

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flous

105

On peut donner maintenant une interprétation linguistique à la table. Il faut pour cela

convenir d'une échelle de traduction numérique-symbolique.

Nous convenons d'attribuer le concept GN (Grande Négative) à la valeur numérique

comprise-0.05, le concept PN (Petite Négative) à la valeur -0.04, le concept Z(Zéro) aux

valeurs [0.1 0.001], le concept PP (Petite Positive) à la valeur0.05, le concept GN (Grande

Positive) aux valeurs [0.1 12].

Figure. IV. 11. Les poids de STFIS1.

Figure. IV. 12. Les poids de STFIS2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Temps(s)

Poid

s

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Temps(s)

Poid

s

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Chapitre IV Amélioration des performances de la Commande Robuste avec les Neuro-

flous

106

e

e

GN PN Z PP GP

GN -0.05 -0.05 -0.04 -0.04 -0.04

PN -0.05 0.001 0.03 0.03 -0.04

Z -0.05 0.1 0.001 0.15 0.06

PP -0.05 0.01 0.13 0.13 0.06

GP -0.05 0.05 0.05 0.05 12

Tableau. IV. 4.Les poids obtenus pour le déplacement angulaire pour STFIS1, STFIS2.

Ces valeurs numériques sont représentées par une traduction symbolique dans le tableau.

IV.5.

e

e

GN PN Z PP GP

GN GN GN PN PP PP

PN GN Z PP PP PN

Z GN GN Z GP PP

PP GN Z GP GP PP

GP GN PN PP PP GP

Tableau. IV. 5.Table linguistique déduite après traductions linguistiques pour STFIS1, STFIS2.

Suivant les résultats de simulation obtenus on peut dire que la commande par contrôleur

STFIS permet d’attendre de bonnes performances.

5. Etude comparative des commandes étudiées Pour examiner les différentes lois de commande développées pour le pendule inversé, nous

avons opté pour une comparaison entre les deux commandes. La figure. IV.13 montre

l’erreur de la commande hybride SMC, BACK et la commande SMC, BACK et STFIS.

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Chapitre IV Amélioration des performances de la Commande Robuste avec les Neuro-

flous

107

Figure. IV. 13. Les erreurs.

Le tableau sera le lieu d’une comparaison des commandes par rapport à plusieurs tests et

nous avons organisé suivant la notation suivante : ++ : Très bon, + : bon, - : mauvais.

Commande

Test

Commande hybride

Backstepping -Mode Glissant

Commande hybride avec

STFIS

Poursuite ++ ++

Changement de condition

initiale (𝑝𝑖/1 0)

++ ++

Changement de bruit

0.1sin (𝑡)

++ ++

Remplace la fonction sat(S)

avec sign(s) + +

La dynamique inconnue - ++

Tableau. IV. 6.Comparaison des commandes.

On note que les deux commandes donnent des résultats améliorés et de robustesse surtout

la commande Backstepping-Mode Glissant et STFIS au niveau de connaissance du modèle

dynamique.

Nous constatons que le contrôleur STFIS permet de générer la dynamique inconnue et

donne de meilleurs résultats voir figure IV.13.

0 5 10 15 20 20 30-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

Temps(s)

Err

eur

Erreur commande Robuste SMG,BACK et STFIS

Erreur commande hybride SMG,BACK

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Chapitre IV Amélioration des performances de la Commande Robuste avec les Neuro-

flous

108

6. CONCLUSION Dans le but d’améliorer les performances des commandes non linéaires, nous avons

introduit dans ce chapitre deux types de commandes, commande hybride Backstepping-

Mode Glissant et la commande hybride avec le système neuro-flou (STFIS).

Dans la première phase nous essayons d’établir la commande hybride Backstepping-Mode

Glissant commencée par une synthèse à base des équations mathématiques qui expliquent le

raccordement entre les deux commandes «Mode Glissant et Backstepping » avec une

application au pendule inversé. On peut conclure à partir des résultats de simulation que cette

commande donne plusieurs avantages non seulement pour la stabilité et la robustesse du

système non linéaire mais aussi avec des performances remarquables « bonne poursuite,

erreurs nulles.. ».

Malgré les bons résultats obtenus le problème de control restera, la dynamique inconnue

de système ou difficile à exprimer. Nous avons proposé une nouvelle approche utilisant des

neuro-flous pour approximer les dynamiques inconnues de la commande hybride.

L'approche a été appliquée sur un pendule inversé en donnant des résultats satisfaisante

même en présence des bruits et incertitudes.

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CONCLUSION GÈNÈRALE

109

Conclusion générale La complexité de commande des systèmes non linéaires conduit l’automaticien a utiliser

des modèles de commande non linéaires et multi-variables susceptibles de fournir de bonnes

performances. Le travail dans le cadre de cette thèse a permis d’élaborer une étude des

différentes commandes non linéaires faisant intervenir les techniques d’intelligence

artificielle tels que les systèmes neuro-flous avec la commande Mode Glissant et la

commande Backstepping.

Nous avons élaboré, dans le premier temps, la synthèse d’une loi de commande à structure

variable tel que le Mode Glissant. La commande Mode Glissant est une commande robuste

largement utilisée dans l'industrie pour commander les systèmes non linéaires. Ces systèmes

présentent souvent des incertitudes dans leurs modèles.

La commande Mode Glissant est composée de deux parties, la commande équivalente

utilise le modèle dynamique du système pour le ramener vers une surface de glissement, et la

commande corrective (commutative) pour garder le système sur la surface.

Une autre commande non linéaire à été proposé à savoir un régulateur de type

Backstepping. Ce régulateur est basé sur une récente méthodologie faisant appel à la fonction

de Lyapunov. La synthèse a conduit à un contrôleur non linéaire globalement

asymptotiquement stable. Cette technique a été appliquée avec succès pour concevoir des

algorithmes de commandes, qui assurent le déplacement du système non linéaire vers une

position d’équilibre désirée.

Une approche d’hybridation entre le Backstepping et le Mode Glissant a été présentée pour

augmenter davantage les performances de contrôleur.

La commande Mode Glissant et Backstepping souffre une limitation majeure, la dépendance

du modèle dynamique. Les techniques de l'intelligence Artificielle constituent des solutions

Conclusion Générale

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CONCLUSION GÈNÈRALE

110

possibles à ces limites. Ces techniques comportent les réseaux de neurones, la logique floue et

les systèmes neuro-flous.

La présente thèse a été dédiée à la résolution des limites de la commande Backstepping et

Mode Glissant par l'application des systèmes neuro-flous.

En effet, les systèmes neuro-flous par leurs capacités d’adaptation de la logique floue et

d’apprentissage de réseaux de neurone sont un outil performant pour estimer les paramètres

du modèle du système commandé.

En premier lieu, nous essayons d’utiliser les neuro-flous dans la commande directe des

systèmes non linéaires. Ensuite, une hybridation est réalisée entre neuro-flou et la commande

Mode Glissant pour générer la commande équivalente. Enfin, neuro-flou a été utilisé dans la

commande hybride Backstepping-Mode Glissant.

Afin d’aborder cette étude, il est nécessaire de consacrer le premier chapitre à la

présentation des principes de base sur les deux techniques d’intelligence artificielle, les

réseaux de neurones, la logique floue et les Neuro-flous.

Dans le deuxième chapitre, différentes approches de commande Mode Glissant et

Backstepping ont été présentées avec les étapes nécessaires pour leur développement. Des

résultats de simulations sur le pendule inversé ont permis de valider les approches.

La troisième partie de ce travail était la présentation des deux approches neuro-flous

ANFIS, STFIS et on a réalisé des commandes pour la poursuite de trajectoire en utilisant les

deux approches. Nous avons montré l’importance de la technique neuro-floue pour la

commande des systèmes non linéaires. Ensuite, nous avons présenté une commande hybride

Mode Glissant et STFIS pour le contrôle du pendule inversé. Les dynamiques inconnues sont

approximées par un réseau STFIS. Deux exemples de simulations ont été présentés pour

valider l’approche et montrer leur efficacité, le premier pour contrôler de la position angulaire

de pendule inversé et le deuxième pour le contrôle de système pendule inversé complet.

Nous avons étudié la robustesse de la commande hybride Mode Glissant et neuro-flou en

présence de perturbation et le changement de paramétrique. Les résultats de simulation

montrent un comportement satisfaisant du système.

Dans le chapitre IV on a exposé l’amélioration des commandes non linéaires par

l’utilisation du terme hybride. On trouve la commande Backstepping-Mode Glissant et la

commande hybride avec STFIS pour le but d’approximer le modèle dynamique du système

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CONCLUSION GÈNÈRALE

111

non linéaire. Les différents résultats de simulation obtenus assurent notre choix par les bonnes

performances.

Outre les perspectives de travail mentionnées dans les conclusions des différentes parties

de ce document, une extension des travaux effectués dans la cadre de cette thèse peut être

réalisée en considérant les points suivants :

Application de la commande proposée à des systèmes plus compliqué (drones, robot

manipulateur et autre systèmes sous actionnés)

Utilisation des autres outils de l’IA pour approximé les dynamiques inconnues et de

calculer les différents gains dans les commandes utilisés.

Les résultats obtenus dans cette thèse ont donné lieu à une communication et une

publication internationales, en l'occurrence :

CIAM 2011 pour appliquer le STFIS dans la commande directe des systèmes non

linéaires

IEEE ICIT 2013 pour l’amélioration de performance de la commande par Mode

Glissant en ajoutant le modèle STFIS pour approxime les dynamiques inconnues.

IJAAC 2015 pour la conception de la commande Mode Glissant basée sur Neuro-flou

(STFIS) et son application sur un pendule inversé complet.

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118

Annexe A

MODÉLISATION MATHÉMATIQUE DU PENDULE INVERSÉ

A. 1 Description du système

Le système pendule inversé à modéliser est représenté par la figure.A.1. En exerçant une

force horizontale F(t) sur le chariot, celui-ci se déplace en translation de x mètres et

provoque une déviation du pendule de radians.

Figure. A. 1. Le pendule inversé.

Avec :

M : masse du chariot.

m: masse de la barre.

l: distance séparant le pivot du centre de la barre.

I : moment d’inertie de la barre par rapport à son pivot.

x : position du chariot.

: angle d’inclinaison de la barre par rapport à la verticale.

F : force horizontale commandant les mouvements du chariot.

g: force de gravité.

G : centre de gravité de la barre.

A noter que ce système ayant une entrée F(t) et deux sorties x et répond aux hypothèses

suivantes :

Permettre une rotation du pendule de o360 afin de prendre en compte toutes les

conditions initiales possibles,

Annexe A

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Disposer d'une course de déplacement du chariot suffisante pour permettre au pendule

de se relever à partir des conditions initiales les plus défavorables.

Le pendule de longueur 2l et de masse m dont l'axe de suspension est lié au chariot de masse

M, peut se déplacer sur un axe horizontal. Initialement le système est au repos, les

frottements situés au niveau de l'axe de rotation sont négligés et ceux dus au déplacement du

chariot le sont aussi.

Pour établir les équations différentielles du ce système, on calcule le lagrangien et en applique

le formalisme d’Euler Lagrange.

Le lagrangien est :

UTL (A.1)

L’énergie cinétique du système (T) :

21 TTT (A.2)

1T : l’énergie cinétique de chariot.

2T : l’énergie cinétique de pendule.

Tel que :

2222

2

22

1

2

1

])2(12

1[2

1]))sin(())cos([(2

1

21

21

21

lmlxlmT

jmvT

xMT

(A.3)

(A.4)

Et donc l’énergie cinétique totale du système est :

22222 ])2(12

1[2

1]))sin(())cos([(2

12

1 lmlxlmxMT (A.5)

D’où :

22222 ]3

1[2

1]))sin(())cos([(2

12

1 mllxlmxMT (A.6)

L’énergie potentielle du système (U) :

mM UUU (A.7)

MU : L’énergie potentielle de chariot.

mU : L’énergie potentielle de pendule.

On n’a que les énergies gravitationnelles : 0MU (pas de déplacement sur l’axe vertical)

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)cos(

)sin(

);(; . 0

l

lxOG

GdOrdmgFrdFU m

(A.8)

D’où:

)1)(cos( mglU (A.9)

Le Lagrangien du système : UTL

Donc :

)1)(cos(])2(12

1[2

1]))sin(())cos([(2

12

1 22222 mgllmlxlmxML (A.10)

D’où

)1)(cos()cos(3

2)(2

1 222 mglxlmmlxMmL (A.11)

Les équations de mouvement du système :

Les équations de Lagrange de ce système sont :

2

22

1

11

)(

)(

Fqq

L

q

L

dt

d

Fqq

L

q

L

dt

d

(A.12)

(A.13)

On a : 0, , , 2121 FqFFqqxq

Donc

)sin()sin(

34)cos(

0

)cos()(

2

mgLxmlL

mlxmlL

x

L

mlxmMx

L

(A.14)

(A.15)

En conséquence, les équations de mouvement régissant ce système sont :

0))sin()(cos(3

4

))sin()(cos()( 2

gxmlml

FmlxmM

(A.16)

Ces équations constituent un modèle mathématique non linéaire pour le pendule inversé.

La première équation différentielle dynamique régit les variations de la position x du chariot

en mouvement. La deuxième équation différentielle nous permettons de déterminer

l’angle d’inclinaison de la barre suite à l’application d’une entrée de commande F .

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Annexe B

B.1.La condition de convergence de la commande mode glissant

Si l’on considère le système non linéaire 2ème

ordre définie par :

)()( tuxfx (B.1)

De plus, on supposera que l’état x est mesurable à l’aide de capteurs adéquats. La surface

de glissement peut être définie par :

)()( tetes (B.2)

Avec

)()()( txtxte d (B.3)

La loi de commande par mode glissant est donnée par la formule suivante :

( ) ( ) ( ) ( ) . ( )e c eu t u t u t u t k sign s (B.4)

Où 0k

( ) ( ) . ( )du t f x x e k sign s (B.5)

La fonction de Lyapunov choisie est définie :

21( ) .

2V x s

(B.6)

Pour que la fonction de Lyapunov décroisse, il suffit de s’assurer que sa dérivée soit

négative. Ceci est vérifié par la relation suivante:

21( ) ( ) 0

2V x s

t

(B.7)

Annexe B

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( ) ( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )

d

d d

V t ss s e e s f x e x su t

s e e s f x e x s f x e x ksign s s

k s o

(B.8)

B.2.La condition de convergence de la commande Backstepping

L'application du adaptative Backstepping à la commande de système second ordre est

effectuée en deux étapes :

Soit le système :

{��1 = 𝑥2

��2 = 𝑓 + 𝑔𝑢𝑦 = 𝑥1

(B. 9)

Avec f et g sont des paramètres inconnus .pour concevoir une commande adaptative dans cette

partie, on a :

𝑓 = 𝑓 − 𝑓

�� = 𝑔 − ��

Etape 1

Cette première étape consiste à identifier l’erreur et sa dynamique :

𝑒1 = 𝑥1 − 𝑥𝑑

��1 = 𝑥2 − ��𝑑

(B. 10)

Considérons la fonction de Lyapunov:

𝑉1 =1

2𝑒1

2 +1

2𝑓𝑇Γ1

−1𝑓 +1

2��𝑇Γ2

−1�� (B. 11)

Sa dérivée est :

��1 = 𝑒1��1 + 𝑓Γ1−1 (Γ1𝑤1𝑒1 − 𝑓) + ��Γ2

−1(Γ2𝑤2𝑒1 − ��) (B. 12)

On choisir 𝛼1 = −𝑘1𝑒1

��1 = −𝑘1𝑒12avec𝑘1 > 0 𝑤1 = 0 𝑤2 = 0

Etape 2

On considère la deuxième erreur de système et :

𝑒2 = 𝑥2 + 𝑘1𝑒1 − ��𝑑 (B. 13)

��2 = ��2 + 𝑘1��1 − ��𝑑 (B. 14)

La fonction de Lyapunov 𝑉2et sa dérivée ��2 sont :

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𝑉2 = 𝑉1 +1

2𝑒2

2 (B. 15)

��2 = −𝑘1𝑒12 + 𝑒2(𝑒1 + 𝑓 + ��𝑢 + 𝑑 + 𝑘1��1 − ��𝑑) + 𝑓𝛤1

−1(𝛤1𝑤1𝑒2

− 𝑓) + ��𝛤2−1(𝛤2𝑤2𝑒2 − ��)

(B. 16)

La loi de commande pour ��2 < 0 prend la forme suivante :

𝑢 =1

��(−𝑓 − 𝑑 − 𝑒1 − 𝑘1��1 + ��𝑑 − 𝑘2𝑒2)𝑘1, 𝑘2 > 0

(B. 17)

Avec les lois d’adaptation sont :

𝑓 = Γ1𝑒2

�� = Γ2(−𝑓 − 𝑑 − 𝑒1 − 𝑘1��1 + ��𝑑 − 𝑘2𝑒2)𝑒2

(B. 18)

(B. 19)