1 270 CHAPITRE 08 - La diffraction de la lumière

FIGURE 8.1 La figure de diffraction produite par un trombone éclairé par un laser

La diffraction est un phénomène ond_ulatoire q~i- se produit ,autant dans le

d S que dans celm de la lum1ere. Lorsqu une ond cas des on es sonore c • ~ e ren.

b I II Contourne l'obstacle, en plus de pouvou etre absorb. contre un o stac e, e e . . ee ou réfléchie par l'obstacle. La diffraction se prodmt aussi l_orsque la lumière Passe , . t . l'onde se déforme en passant a travers une ouvert a travers une ouver ure• , ure. L'effet de la diffraction est important lorsque la lon_gueur d on~le et la dimension

de l'obstacle sont du même ordre de grandeur. ~tant ~onne q~e la longueur d'onde de la lumière visible est plus petite que le m1crometre, la diffraction a des

effets très évidents seulement pour de très petites ouvertures.

Dans ce chapitre, nous allons étudier la diffractio~ de la _lumière lorsque celle­ci passe à travers une fente étroite. Pour faire une etude s1mp~e du phénomène, nous allons utiliser le principe de Huygens, en remplaçant un front d'onde plane par des petites sources d'ondes sphériques. Les ondes issues de ces sources pro­duisent une onde qui n'est plus une onde plane après la rencontre d 'un obstacle. De plus, ces ondes se superposent et produisent des interférences.

Au chapitre 6 , nous avons étudié les instruments d 'optique dans l'approxima­tion de l'optique géométrique, en supposant que la lumière se déplaçait en ligne droite. Le phénomène de diffraction produit des images déformées: les points­image sont en réalité des disques ayant une certa ine dimension. Ce fait influe sur la capacité d'un instrument à bien distinguer deux images rapprochées.

Le réseau de diffraction est une application t rès importante de la diffraction. En produisant un réseau qui contient un très grand nombre de petites fentes , il est possible de décomposer la lumière en spectre. En effet, la lumière qui passe à travers un réseau produit une intertërence const ructive à certains angles seulement, selon la longueur d 'onde de la lumièTe. O n peut obtenir le même résultat pour de la lumière réfléchie, comme on pt'Ut le voir sur la photographie en ouverture de chapitre: un disque Blu- ray e'., t com posé d 'un grand nombre de petites aspérités, ce qui permet de coder des i1 1ïormations. Ces aspérités sont très rapprochées. La lumière réfléchie subit une interférence constructive pour la lumière bleue à un certain angle et pour la iumièrc verte à un autre angle.

Da Les figures de diffraction La diffraction est causée par la déformation des fro nts d 'onde lorsque ceux-ci rencontrent un obstacle. En plaçant un écran derrière un trombone éclairé par un laser, on obtient la photographie de la figure 8.1. On remarque, tout près de la zone d 'ombre, une figure complexe de franges brillantes et de franges sombres , et non simplement une ombre bien définie. C'est une figure de diffrac­~ion. ~es fronts d'onde contournent l'objet et se superposent, ce qui produit des mterferences constructives et des interfë rences destructives.

Vous pouvez ?bserver des figures d_e diffraction lorsque vous être éblouis _par un~ forte lurmere. Dans cette situation, vous pouvez voir ce qui ressemble a de petits cheveux qui flottent dans votre champ de vision. Ces filaments , qu'on appelle des fl~~teurs, représentent des figures de diffraction qui apparaissent lorsque la lum1ere rencontre des dépôts cellulaires dans l'humeur aqueuse.

La fi_gure. ~e diffract~on qu'on obtient dépend de l'objet éclairé. Pour cette r~son, la d1ffract1on est utile dans différents clo . 1, 1 d'empreintes . . mames, comme ana yse .. d1g1tales et la mesure des dimensions des cell I L l rce de 1urn1ere , d , . , . , u es. orsque a sou t est p~es e l O~J~t e~laire, les fronts d'onde sont sphériques, et le résultat es une figure de diffraction complexe. C 'est le domaine de la diffraction de Fresnel,

8.2 - La diffraction par une fente étroite 271

d'après le physicien franç~is ~ugustin Fr~snel (voir la figure 8.2). Fresnel était un dent défenseur de la theone ondulatmre de la lumière; ses expériences sur la

ar ~- . . 1 diffraction, l'inteuerence amsi que a polarisation ont permis à cette théorie d'être

Ceptée au 19e siècle. ac

La figure de diffraction est plus simple lorsque l'objet est éloigné de la source et qu'on observe la figure de diffraction à un endroit éloigné de l'objet. C'est la diffraction de Fraunhofer. Dans ce cas, la lumière est une onde plane. Cette dési­gnation vient du physicien et opticien allemand Joseph von Fraunhofer (1787-1826), qui a inventé le spectroscope et qui a étudié les raies d'absorption du Soleil à l'aide de réseaux de diffraction. Dans ce volume, nous limitons notre étude à la diffraction de Fraunhofer.

m La diffraction par une fente étroite Pour commencer l'étude de la diffraction, on éclaire une fente rectangulaire dont la largeur est a avec une lumière monochromatique ayant une longueur d'onde À.

On place un écran d'observation à une distance L. La figure 8.3 illustre le montage et la figure de diffraction. On observe sur l'écran une région centrale éclairée, qu'on appelle le pic central, et de chaque côté, des régions légère­ment éclairées, qu'on appelle les maximums secondaires. Entre les régions éclairées, on observe des franges sombres, qui représentent les minimums de diffraction. On observe que plus la fente est étroite, plus le pic central est large.

FIGURE 8.3

faisceau - - - - - - -3> incident 1-

1 1

1

1

fente

écran -- - -

La figure de diffraction par une fente rectangulaire

La figure 8.4 montre une vue en plongée du montage, avec une fente de lar­geur a éclairée avec une onde de longueur d'onde À. Comme dans le cas de

À ~-- fronts d 'onde

FIGURE B.ll

--, 1

1

fente de largeur a

L

écran ---

minimum p = 2

minimump = 1

maximum

minimum p = -1

minimum p = -2

figure de diffraction sur

l'écran

Une vue en plongée du montage de l'expérience sur la diffraction par une fente

FIGURE 8.2 Augustin Fresnel (1788-1827), physicien français

■

1 272 CHAPITRE 08 - La diffraction de la lumière

l'cxpérienc:e de Young, on dénote la position d 'un poin t p sur l'éc.:ran à l'a·ct , J e de

la pos ition angulaire 0,

y tan0 = L,

où !/ est la di stance entre le poin t P et le centre de la figu re cle cl iffrac:tion.

Pour ·rnalvscr la c.J iffraction on uti lise I.e principe clc Huygens : un front LI ' 1 ~ . · . , . on( e

est remplacé par c.l es petites sources d 'oncles sph~riq ues s~condaires. A la fi.

gurc 8.S. on a tracé huit sources d'ondes seconcla~ r_es. La fi gure de diffraction

ubscrvéc sur l'écra n est le résul tat de la superpos 1t1on de ces oncles, avec des

interférC" nccs constructives (le poin~ ~entrai et le~ _ :nax_imums secondai res) et

des interférences des truct ives (les minim ums de d1 ffract10n).

On commence pa r a nalyser le point P sur l'écran vis-à-v is du centre de la fente

c.:c qu i correspond il 0 = O. Pour ce point, les ondes seconda ires parcourcn;

aprrnximat ivemem la même di sta nce. co mme le montre la fi gure 8.6. Les ondes

:-.ccondnircs sont en phase lorsqu 'elles se superposent sur l'écran. L'interférence

est constructive à ce point, de tel le so rte qu'on o hticnt Ie maximu m central de

la lÏgurc de d iffraction :

fron t - - - ->­d 'onde - ,-

1

{/

sources - - - - " d'ondes J_. sphériques

FIGURE 8.5

0 = 0° (max imu m central) .

les ondelettes se superposent,

ce qui produit la figu re de diffraction

FIGURE 8 .6

(8 .2)

e = 0°

On remplace un front d'onde par huit

sources d 'onde sphériques. Pour 0 = 0°, les ondes secon ­

daires sont en phase, car la

différence de marche est nulle

MM:f;i;M@ Dans la figure 8.6, les rayons semblent parallèles car la distance

entre l'écran et la fen t t b ' . e es eaucoup plus orande que la largeur

de celle-ci En f · t 0

, , · ai , ces rayons convergent vers le point central de

1 1 ecrnn. Le même effet se produit aux figures 8 .7 et 8.8 , où les rayons

1 semblent paraIJ èles.

Pour les autres points s l'' asla A ct· u r ecran , les ondes secondai res ne parcourent p, . 1

meme 1stance II y a d , h O c:1.r

• · J , d·· b d 1

· . , un cp asage causé par la différence de marche. n , n1 c a or a d1ffcrence d h '1 et !J.

L d ·t·f". d e marc e entre les ondes issues des _sources d. a J c1 ence e marche se , 1 l , A

' , • nec l

Young E' ta t ·1 , . ca eu e de la meme façon que dans l expene d-n-;,. · • c n conne que la ct · t / 2 la 11 '

1 1s ance entre ces deux sources est de a '

rcncc c c marche est

A .1• a

0 1;; == 'l'.i:; - r, == 2 sin 0 .

7

8.2 - La diffraction par une fente étroite 273

On obtient u!~ minimum _lorsque le_s ondes sont en opposition de phase pour un point sur I ecran, ce qm se Prodmt quand la différence de marche est de Â.J2. On obtient alors

a . À -sm0=-2 2 asin0 =À.. (8.3)

La superposition de ces deux ondes produit donc une interférence destructive. Selon la figure 8.7, la différence de marche est la même entre les ondes issues des ondes 2 et 6, de même que pour les ondes issues des sources 3 et 7 et des ondes issues des sources 4 et 8. Les ondes s'annulent deux à deux lorsque l'angle 0 correspond à la condition 8.3. Ce point est le premier minimum de diffraction.

Pour obtenir le deuxième minimum, on doit de nouveau trouver une façon de regrouper les ondes de telle sorte qu'elles s'annulent deux à deux. Ceci est pos­sible lorsque l'angle 0 est tel que l'onde issue de la source 1 est en opposition de phase avec l'onde issue de la source 3, comme à la figure 8.8. Ces deux sources sont séparées par une distance d = a/4, et leur différence de marche est

Cette différence de marche produit une interférence destructive si elle est égale à une demi-longueur crcndc:

a . À -sm0=-4 2 asin0 = 2À. (8.4)

La même différence de man:he sépare les ondes issues des sources 2 et 4, de même qu'entre les sources 5 et 7 et les sources 6 et 8. Les ondes s'annulent deux à deux, de telle sorte que l'interférence est destructive lorsque l'angle 0 respecte la condition 8.4. C'est bien le deuxième minimum de diffraction.

On peut généraliser les équations 8.3 et 8.4 à n'importe quel minimum de diffraction :

a sin 0 = pÀ. (p= ± 1,± 2, ... ) ,

où P est un entier non nul, et -90° ~ 0 ~ 90°.

L'entier p = O correspond à 0 = 0, le centre de la figure de diffraction, où il y a le maximum de diffraction, et non un minimum.

(8.5)

Les maximums secondaires se trouvent approximativement à mi-chemin entre deux minimums de diffraction. Le pic central correspond à la région centrale de

l'écran où il y a de la lumière. Cette région s'étend entre le minimum p = -1 et P == 1. En insérant ces valeurs dans l'équation 8.5, on peut dire que le pic central est la région pour laquelle le sinus de l'angle 0 répond à la condition suivante:

-À < a sin 0 < À . (8.6)

T a/2 __L

è 1 - - - différence de

1 marche t.r15

FIGURE 8 .7 La différence de marche entre les ondes issues des sources 1 et 5

est 6r15 = i sine.

·~i~ 4 5 6 7 Sr---différence de

marche t.r13

FIGURE 8 .8 La différence de marche entre les ondes issues des sources 1 et 3

est 6r13 = ¼ sine.

Minimums de diffraction

11 1

274 CHAPITRE 08 - La diffraction de la lumière

@ Défi animé 8.1 De quelle façon la présence d'un

système à une fente modifie­t-elle l'intensité lumineuse

sur un écran?

On remarque avec cette inégalité, que plus la largeur a de la fente est f 'b ' . . . t d a1 le

Plus l'angle correspondant au premier mimmum es gran , ce qui proctu· ' 1 1 1 . lt Un

large pic central. De plus, si a< À, tous es anges pus petits que 900 respectent l'inégalité Ceci veut dire que le pic central prend tout l'espace. La fente est 1 . a~ équivalente à une source ponctuelle.

On a utilisé l'approximation des petits angles sin 0 ::::: tan 0 dans l'expérience de Young pour les franges près du centre. Pour la dif­fraction, cette approximation n'est pas toujours valable, même pour les faibles valeurs de p. En effet, lorsque a est faible, le premier mini­mum peut se produire à un angle 0 plus grand que 10°. Dans cer­taines situations, on peut poser l'hypothèse que l'angle est petit. II faut alors vérifier, à la fin du problème, si l'hypothèse est respectée et si l'approximation est valable.

l 1#-i1½M•11Si••MIMFJ§=iâ~~ii•i~•=ii On éclaire une fente rectangulaire avec une lumière rouge. On observe sur un écran la figure de diffraction, avec 1c pic central et les maximums secondaires. On remplace la lumière par une lumière verte, sans changer les autres paramètres de l'expérience.

a . Comment la largeur du pic centrai v~tie-t-2l1e ?

b. Comment les maximums seconda ires st:· dépiacent-ils?

•:f3§ef!l4•=1=•1 La diffraction par une fente

La lumière d'un laser à hélium-néon (À= 632 ,8 nrn) passe à travers une fen te rectangu­laire. On place un écran à une distance de 1,70 m de la fente. Le pic central a une largeur de 12,6 cm. Quelle est la largeur de la fente ?

SOLUTION Décortiquer le problème Le pic central est la région située entre les minimums de diffraction d'ordre p = 1 et p = -1.

Connues  = 632,8 nm

L = 1,70 m

y1 - y_1 = 0, 126 m

Inconnue a

La figure de diffraction est symétrique, ce qui implique que la distance entre le centre de la figure et le premier minimum est

y1

= O, 1!6 m = 0,0630 m. (i)

Identifier la clé

où 0 est relié à y par l'équation 8 .1:

tan0 = Jf_ . (iii) L

Résoudre le problème

Nous pouvons utiliser l'approximation des petits angles (tan 0::::: sin 0), étant donné que y est de l'ordre du centimètre et que L est de l'ordre du mètre. Nous obtenons alors, en insérant l'équation (iii) dans l'équation (ii) pour l'ordre p = 1,

sin 01 = i "" 1b_ a L

ÀL ⇒ a=-

Y1

632,8x10-9 mx170m a= '

0,0630 m

◄

La clé est l'équation 8.5, qui permet de calculer l'angle des minimums de diffraction:

asin0 = pÂ, (ii) a= 1,708 x 10-5 m = 17, 1 µm. (réponse) ~