XVme Congrs Franais de Mcanique Nancy, 3 7 Septembre 2001

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ECOULEMENT LAMINAIRE AUTOUR D'UN CYLINDRE DE SECTION CARREE.

COMPARAISON CALCUL EXPERIENCE.

Damien CALLUAUD*, Laurent DAVID*, Sbastien ROUVREAU**, Pierre JOULAIN**

* Laboratoire d'tudes Arodynamiques (UMR 6609-CNRS) Boulevard Pierre et Marie Curie Tlport 2, B.P. 30179 86960 FUTUROSCOPE Cedex

** Laboratoire de Combustion et Dtonique (UPR 9028-CNRS) ENSMA 86960 FUTUROSCOPE Cedex

Rsum :

Lcoulement en rgime tabli autour dun cylindre carr dispos sur une plaque plane est examin par des visualisations, des mesures par vlocimtrie par imagerie de particules et des simulations numriques pour un nombre de Reynolds de 1000. La topologie de lcoulement, les lignes de sparation, le lchage tourbillonnaire sont mis en exergue par les diffrents outils. Lexistence dun horseshoe vortex , la prsence de tourbillons daxes verticaux et horizontaux montrent la complexit de cet coulement.

Abstract :

The flow around a square cylinder mounted on a flat plate is examinated by visualization, Particle Image Velocimetry measurements and numerical simulations for a Reynolds number of 1000. Flow topology, separation lines and vortex shedding are extracted by different tools. The existence of a horseshoe vortex , the presence of vortices with horizontal and vertical axis show the complex aspect of this flow.

Mots-cls :

Ecoulement laminaire, Cylindre carr, Topologie, Visualisation, Vlocimtrie par imagerie de particules, DNS3D

1 Introduction

Afin dtudier la combustion travers un poreux de section carre, de comprendre les mcanismes fondamentaux rgissant les interactions entre les deux coulements perpendiculaires et les zones propices au mlange, l'coulement autour d'un cylindre de section carre possdant une extrmit libre et une envergure limite est analys exprimentalement et numriquement. Ces coulements ont fait l'objet de nombreuses investigations pour des nombres de Reynolds levs en analogie avec le comportement de l'air autour d'un immeuble -Martunizzi et Tropea (1993), Shah et Ferziger (1997)- ou pour des obstacles de largeur illimite (marche montante, descendante) -Antoniou et Bergeles (1988)-. Ces travaux ont fait apparatre des topologies d'coulement trs complexes et des zones de rattachement l'aval de l'obstacle en relation avec la hauteur du profil.

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2 Dispositif exprimental et mthode numrique

Le dispositif exprimental utilis est une veine hydrodynamique de section 16 cm x 16 cm, fonctionnant pour une gamme de vitesse de 1 5 cm.s -1. Les dimensions caractristiques du profil sont sa hauteur H = 18 mm et son ct D = 60 mm (figure 1). Le nombre de Reynolds, calcul partir du ct D et de la vitesse uniforme U0, est de 1000. L'obstacle de section carre est plac 40 mm du bord d'attaque de la plaque sur laquelle il est situ. Diffrents plans de visualisations sont clairs par un laser Argon (Y/D = 0, 1/6, 1/3, 1/2 et Z/H = 0, 1/2, 1). L'ensemencement de l'coulement s'effectue au moyen de particules solides ou de traceurs lectro-chimiques. Les visualisations de lcoulement sont enregistres par un appareil photographique Nikon F4S ou par une camra CCD de rsolution 768 x 484. Les champs de vitesses, mesurs pour ces diffrentes sections, sont dtermins par vlocimtrie par imagerie de particules partir du logiciel Flowmap de la socit Dantec.

FIG. 1 : Configuration et dimensions de lobstacle.

Le code numrique utilis pour cette campagne de simulations est une adaptation de la version DNS du code LES3D du NIST (National Institute of Standards and Technology) lorigine cr pour la simulation dincendies. Les aspects combustion et thermique de ce code, tant sans intrt pour cette tude, ont donc t omis. Le modle se rduit alors aux quations de Navier-Stokes pour un coulement incompressible isotherme de fluide visqueux. Le schma numrique utilis est un schma aux diffrences centres du second ordre en espace et un schma explicite du second ordre du type Runge kutta 2 en temps (Schma de McCormack). Le domaine de calcul a pour dimensions 30 cm x 20 cm x 10 cm. Lcoulement simul est un coulement de canal plan avec obstacle prenant en compte des frottements pour le profil et le plan qui le supporte. On impose, lentre du canal, une vitesse U0 de 1.8 cm.s-1 et un nombre de Reynolds de 1000 bas sur le diamtre D. La condition limite la sortie du canal est une condition de rservoir infini. La condition de paroi glissante a t impose sur les cts et au dessus de lespace de calcul. Les calculs ont t effectus sur un maillage cartsien non uniforme dun total de 2 millions de cellules avec un pas de temps de 0.01s. Des champs moyens sont calculs pour un temps de manipulation de 40 secondes en rgime tabli ce qui correspond la dure des acquisitions exprimentales par PIV.

3 Rgion amont lobstacle

Dans la rgion amont lobstacle, le fluide vient heurter le profil. Il tente ainsi de le contourner en passant par ses cts ou par dessus. Il apparat une inversion du gradient de pression qui s'tablit dans l'coulement interne la couche limite. Celle-ci engendre un dcollement tridimensionnel de la couche limite ce qui induit la formation d'un tourbillon en fer cheval (Horseshoe vortex), visualis figure 2-a et 2-b. Le fluide est dvi vers les cts ou au dessus d'un point d'arrt A1 (figure 3-a). En dessous de ce point, le horseshoe vortex s'est donc dvelopp, compos d'un systme stationnaire quatre tourbillons. Deux d'entre eux sont facilement dcelables alors que les tourbillons nots 3 et 4 sont tellement petits qu'il nous est impossible de les localiser prcisment.

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(a)

(b)

(a) (b) FIG. 2 : Visualisation la section Z/H=0 :

(a) visualisation par mission dtain, (b) lignes de courant dtermines

numriquement.

FIG. 3 : Visualisation la section Y/D=0: lignes de courant obtenues (a) exprimentalement et

(b) numriquement. Le calcul permet de retrouver ce systme (figure 3-b). Une analyse des points particuliers

la section Y/D = 0, nous permet de comparer la topologie de lcoulement obtenue par lexprience et par le calcul. Le tableau 1 recense les positions de ces points. Les rsultats numriques et exprimentaux sont sensiblement identiques. Numriquement, les altitudes de ces points sont plus faibles qu'exprimentalement et leurs abscisses sont plus leves. En ce qui concerne le point A1, nous notons une trs forte diffrence qui tend prouver que les tourbillons numriques, situs lamont de lobstacle restent confins proximit de la paroi.

Rsultats exprimentaux Rsultats numriques X/D Z/H X/D Z/H

Tourbillon 1 -0.114 0.333 -0.093 0.290 Tourbillon 2 -0.292 0.173 -0.249 0.158 Point A1 0 0.739 0 0.633 Point C -0.241 0.230 -0.196 0.233

TAB. 1: Comparaisons des points particuliers de la section Y/D=0.

La comparaison des profils de la composante horizontale des vitesses adimensionne par la vitesse de lcoulement libre U0 aboutit la mme constatation. De plus, lapproche numrique fait apparatre de trs fortes vitesses ngatives et positives. Les tourbillons dtermins numriquement ont donc une vitesse de rotation beaucoup plus leve que celle mesure exprimentalement.

4 Rgion au dessus du cube

La rgion centrale de lcoulement qui s'tend de la face amont la face aval du cube est un peu plus complexe. Tout d'abord, sur les cts du cube l'intrieur de la ligne de sparation du horseshoe vortex, un tourbillon ovalis d'axe vertical est situ contre les faces latrales (figures 2-a et 2-b). Celui-ci s'tend au 2/3 de la longueur de l'obstacle. Il est caus par le passage du horseshoe vortex au niveau des arrtes verticales amont du profil avec un angle dirig vers l'extrieur crant une dpression contre les faces latrales du cube. La zone de recirculation sur ces faces est confine, ferme, sans alimentation, ni chappement. Numriquement, ces tourbillons sont plus tendus et moins confins contre les faces latrales.

L'coulement dans la zone au dessus du cube rsulte de l'interaction de deux coulements. Le fluide qui est dvi par la face amont au dessus du profil est acclr et dcolle sur la largeur du cube. Lorsquil provient d'une zone amont suprieure Y/D = 1/3, il vient se rabattre sur le cube en enveloppant les arrtes latrales empchant l'chappement du fluide vers les cts. Une importante dpression est ainsi cre qui entrane le fluide situ l'aval remonter au dessus de l'obstacle jusqu' la face amont. En raison des forts cisaillements qui rgnent par interaction entre un courant de sens positif acclr et un courant de retour de sens

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oppos, il se forme rgulirement des tourbillons d'axes horizontaux se dplaant de l'amont et schappant vers le sillage (figures 4-a, 4-b et 4-c). Un tourbillon d'axe horizontal de petite taille est galement form par le courant de retour au niveau de la face aval du cube. Celui-ci a tendance se rapprocher de la face suprieure du profil et s'ovaliser au passage des tourbillons principaux au dessus de lui. Numriquement, nous observons la cration de tourbillons avec une frquence plus leve. De ce fait, le petit tourbillon calcul nest visible que trs pisodiquement avec un centre tourbillonnaire trs proche de la face suprieure du cube. Dautre part, le fluide provenant de l'aval engendre la formation de tourbillons ovaliss d'axes verticaux situ sur le cube symtriquement de part et d'autre de la section mdiane.

(a) (b) (c)

FIG. 4 : Visualisation la section Y/D=0 pour la zone centrale (a) Lignes de courants, (b) et (c) ensemencement de particules deux instants diffrents.

Afin de mettre en vidence lacclration du fluide impose par le contournement de

lobstacle et de caractriser la zone de formation des tourbillons, une cartographie de la norme de la vitesse est prsente figure 5. Nous pouvons noter que le fluide dcolle au dessus de l'obstacle avec un angle proche de 45 numriquement et un angle de 30 exprimentalement. Dans le cas exprimental, la norme de la vitesse atteint un maximum suprieur la norme extrieur de 28 % l'altitude Z/H = 1.571 et l'abscisse X/D = 0.267. Dans le cas numrique, ce maximum est suprieur la norme extrieure de 44% l'altitude Z/H = 1.792 et l'abscisse X/D = 0.211. Par le calcul, il en dcoule que la zone de formation des tourbillons d'axes verticaux au dessus du profil est nettement plus importante.

(a) (b)

FIG. 5 : Contour de la norme de la vitesse moyenne adimensionne par la norme de la vitesse extrieure la section Y/D = 0: rsultats (a) exprimentaux, (b). numriques.

La figure 6 prsente les profils de la composante horizontale des vitesses adimensionne

par la vitesse extrieure en diffrentes abscisses de la section mdiane. En X/D 1, nous notons des vitesses ngatives dans les deux cas traduisant le retour du fluide aval au dessus de l'obstacle. Exprimentalement, une lvation du point de vitesse nulle par rapport l'abscisse X/D 0.5 est la consquence du passage du tourbillon principal qui voit son centre s'lever afin de franchir le tourbillon de petite taille situ au niveau de la face aval du cube.

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Numriquement, l'altitude du point de vitesse nulle est plus basse que celle observe par rapport l'abscisse X/D 0.5 ce qui traduit labsence en moyenne du petit tourbillon.

FIG. 6 : Profils de la composante horizontale des vitesses moyennes adimensionne par la

vitesse extrieure la section Y/D=0.

5 Rgion aval lobstacle

Dans la rgion aval, nous retrouvons la continuit de la ligne de sparation du horseshoe vortex qui vient se refermer sur lui mme quelques centimtres l'aval du cube. A l'extrieur de cette ligne, le fluide est lgrement dvi puis repris par lcoulement extrieur. A l'intrieur, une zone dpressionnaire s'est forme crant ainsi des tourbillons d'axes verticaux (figures 2-a et 2-b). Numriquement, la mme topologie est observe ; les tourbillons daxes verticaux sont plus loigns de laxes mdian. Ceci est la consquence de la position et de la forme des tourbillons latraux calculs.

L'tude de la section Y/D = 0 permet de caractriser l'coulement de retour, proche de la plaque. Le fluide vient heurter la face aval du profil en se sparant de part et d'autre d'un point d'arrt A2 (figure 7-a), dont laltitude varie autour de la demi hauteur du cube entre les cotes Z/H = 0.453 et Z/H = 0.572. Par le calcul, la hauteur de ce point varie avec une plus grande amplitude. Au dessus de ce point darrt, le fluide longe la face aval puis dcolle au passage de l'arrte horizontale afin de remonter le long de la face suprieure du cube. Au dessous se cre un tourbillon la jonction plaque/cube. Numriquement, ce tourbillon est plus important avec un centre plus loign de la face aval de lobstacle.

(a) (b)

FIG. 7 : Visualisation la section Y/D=0 : (a) Lignes de courants, (b) Lchage tourbillonnaire visualis par mission dtain.

Le tourbillon provenant du dessus du cube se propage vers l'aval. Il grossit trs nettement

en passant au dessus de la face aval et son centre tourbillonnaire tend se rapprocher de la plaque dans un premier temps. Ensuite, il est entran par le fluide et est convect. Cette zone est donc le sige de lchage rgulier de tourbillons d'axes horizontaux qui prennent naissance proximit de la face amont du cube (figure 7-b). Exprimentalement, ces tourbillons sont lchs une frquence de 0.182 Hz.

L'tude des profils de la composante U de la vitesse pour la section Y/D = 0 permet d'observer une forte correspondance des rsultats numriques et exprimentaux. Les

A2

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tourbillons crs dans la zone centrale apparaissent dans cette zone aprs le passage de l'arrte aval du cube en se rapprochant de la plaque. La baisse de l'altitude des points de vitesses nulles traduit ce dplacement. Numriquement, aux diffrentes sections X/D tudies, les altitudes de ces points sont plus faibles que les donnes exprimentales. Cette diffrence est lie l'absence du petit tourbillon au dessus du cube qui n'implique pas l'lvation du tourbillon lch. La prsence d'une zone de vitesse ngative proximit de la paroi visible sur la figure 8-b labscisse X/D 1.171 traduit l'existence du tourbillon la jonction plaque/cube qui est plus important et ovalis par le calcul. En X/D 1.16 et 1.4, les allures des profils sont sensiblement identiques : une zone de vitesses ngatives allant de la plaque jusqu la hauteur du cube puis une zone de vitesses positives suprieures la vitesse extrieure de 25 %. Numriquement, nous notons la prsence de vitesses ngatives proximit de la paroi aux abscisses X/D = 1.677 et 1.933 (figure 8-b), difficilement comparable en raison du manque de donnes exprimentales cette altitude.

(a) (b) FIG. 8 : Profils de la composante horizontale des vitesses moyennes adimensionne par la

vitesse extrieure la section Y/D=0: rsultats (a) exprimentaux, (b) numriques.

6. Conclusion

Cette tude nous a permis de mettre en vidence et de caractriser la topologie de lcoulement laminaire autour dun cylindre de section carre. La comparaison calcul - exprience montre que les coulements simuls et mesurs possdent la mme dynamique et un comportement semblable. Quelques diffrences sont tout de mme noter : le calcul nous fait apparatre un systme stationnaire quatre tourbillons lamont de lobstacle plus confin. Cela engendre une zone de formation des tourbillons verticaux lchs au dessus du cube plus grande que par lexprience. Les comparaisons des vitesses obtenues nous indiquent que la simulation numrique a tendance surestimer les maxima.

Aprs avoir valider le code de calcul sur cet coulement, une tude comparative de linteraction entre deux coulements perpendiculaires sera prochainement dveloppe.

Rfrences

Antoniou J. et Bergeles G. 1988 Development of the reattached flow behind surface-mounted two dimensional prisms, J. Fluids Engineeing, 110, pp. 127-133. Martunizzi R.J. et Tropea C. 1993 The flow around surface-mounted, prismatic obstacles placed in a fully developed chanel, J. Fluid Engineering, 115, pp. 85-92. Shah K.B. et Ferziger J.H. 1997 A fluid mechanicians view of wind enginnering: Large eddy simulation of flow past a cubic obstacle, J. Wind Engineeing and Industrial Aerodynamics, 67 & 68, pp. 211-224.

-0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.500.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

Etude exprimentale X/D=1.163 Etude exprimentale X/D=1.439 Etude exprimentale X/D=1.670 Etude exprimentale X/D=1.899

Z/H

U/U0

-0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.500.0

0.5

1.0

1.5

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5.0

Etude numrique X/D=1.171 Etude numrique X/D=1.415 Etude numrique X/D=1.677 Etude numrique X/D=1.933

Z/H

U/U0

Ecoulement laminaire autour d'un cylindre de section carre.Comparaison calcul exprience.Rsum:Abstract:Mots-cls:1 Introduction2 Dispositif exprimental et mthode numrique3 Rgion amont lobstacle4 Rgion au dessus du cube5 Rgion aval lobstacle6. ConclusionRfrences