CTN-762_Cours05_H2010_v1 [Mode de compatibilité]
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1
COURS 5 :
HYDROLOGIE
STATISTIQUE
CTN-762 – Ressources hydriquesÉcole de technologie supérieure (Québec)2 février 2010
Marie Minville
- PARTIE 1 -
Objectifs
E pliq e l’ tilité et les conte tes d’application de l’h d ologie
OBJECTIF DU COURS 5
Expliquer l’utilité et les contextes d’application de l’hydrologie statistique par rapport à l’hydrologie déterministe
Choisir et utiliser différentes lois statistiques pour le calcul des fréquences (probabilités, périodes de retour) des variables hydro-climatiques
2
Références
Notes de cours Chapitre 2: Pages 2.1 à 2.21 (le reste du chapitre au cours 6)
Problèmes Chapitre 2: Numéros 1 à 6 (le numéro 7 pourra être complété après le cours 6).
2
Introduction à l’hydrologie statistique
PLAN DU COURS
Introduction à l hydrologie statistique
Concept de « Période de retour »
Analyse des fréquences
– Graphique
– Analytique
3
Inférence statistique
Ajustement des données
Synthèse
Observations météorologiques et
hydrométriques
Caractéristiques du bassin versant
Caractéristiques du système hydrique
INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUESTATISTIQUE EN RESSOURCES HYDRIQUES
Modèles hydrologiques
éModèles
Probabilistes Déterministes
Règles d Modèles deCaractéristiques de
4
Modèles hydrauliques
Débits
Niveaux
Modèles d’optimisation
de gestion
Modèles de simulation
Opérations des réservoirs:
déversements, production
hydroélectrique,…
Caractéristiques de la rivière
3
é é é é
INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEPROBABILISTE VS DÉTERMINISTE
Modèles hydrologiques
Données météos et de débits
Caractéristiques du bassin versant
Probabilistes Déterministes
Longues séries d’observations
hydro-climatiques
5
DébitsCombinaison de la statistique et de l’hydrologie déterministe
Répondre à des questions comme :
INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEÀ QUOI ÇA SERT?
– Quel débit dans la rivière Romaine est susceptible de survenir à chaque 2, 5, 10, 20, 50, 100, 1000 ans, etc ?
– Quel est la probabilité que le débit de la rivière Manicouagan soit supérieur à 1200, 2000, 5000 m3/s, etc ?
– Quelle est la précipitation maximale probable au site de construction du nouveau barrage Eastmain-Rupert?
6
Un exemple d’actualité: Royaume-Uni
– Sur un historique de 30 ans: 1980 à 2009– Moyenne des précipitations neigeuses journalières maximales = 3 cm
(avec un écart-type de 1,4 cm) – 2009 : Une précipitations neigeuses = 25 cm– Quelle est la probabilité, la période de retour de cet événement?
4
Déterministe Probabiliste (Ex.: Débits)
INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEPROBABILISTE VS DÉTERMINISTE
INFILTRATION ET PERTES
FONTE DE LA NEIGE
++ RUISSELLEMENT
== ++
7
==Probabilité que le débit soit:
supérieur à... inférieur à...
de période de retour de...
Sert à :
INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEUTILITÉ DE L’HYDROLOGIE STATISTIQUE
– Établir des critères de conception
– Vérifier la performance d’un ouvrage existant
Donc on s’intéresse :
– Aux valeurs de débits et de précipitations
l
8
• Maximales
• Moyennes
• Minimales
5
Ex.: Analyse statistique des débits maxima annuels
INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEUTILITÉ DE L’HYDROLOGIE STATISTIQUE
y q(résultant d’une pluie)
++ ==Probabilité que le débit
résultant d'une pluie soit:
supérieur à... inférieur à...
9
de période de retour de...
INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEUTILITÉ DE L’HYDROLOGIE STATISTIQUE
Ex.: Analyse statistique des débits maxima annuels (résultant de la fonte)
++ ==Probabilité que le débit
de crue printanière soit:
é à fé à
10
++ supérieur à... inférieur à...
de période de retour de...
6
INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEUTILITÉ DE L’HYDROLOGIE STATISTIQUE
++ == Probabilité que la pluie soit:
supérieure à inférieure à
Ex.: Analyse statistique des précipitations maximales estivales-automnales
11
++ == supérieure à... inférieure à...
de période de retour de...
Le « modèle », c’est la « loi statistique », aussi appelée
« distribution »
E C bi i d l’h d l i dét i i t t
C’est ce que vous faites dans votre
projet de session pour déterminer votre
débit de conception!
INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEUTILITÉ DE L’HYDROLOGIE STATISTIQUE
Ex.: Combinaison de l’hydrologie déterministe et de l’hydrologie statistique
++ ==
12
Traitement statistique d’une variable météorologique
Modélisation hydrologique déterministe
Débit résultant d’une précipitation d’une période
de retour quelconque
7
Vous avez déjà une expérience en h d l i t ti ti !
C’est ce que vous faites dans votre
projet de session pour déterminer votre
débit de conception!
INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEUTILITÉ DE L’HYDROLOGIE STATISTIQUE
hydrologie statistique! débit de conception!
Moyenne Écart-type
x k
k
13
x k
Données de base en hydrologie statistique
INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUEDONNÉES REQUISES
– Longues séries de données observées
• Homogènes, stationnaires et indépendantes
• Donc, attention aux facteurs suivants:
– Crues printanières vs estivales-automnales
– Relocalisation de stations de mesures
14
– Détournements de rivière
– Urbanisation
– Changements climatiques
– Débits journaliers
8
Facteurs déterminant pour le choix d’une méthode ( t ti ti dét i i t )
INTRODUCTION À L’HYDROLOGIE STATISTIQUECHOIX D’UNE MÉTHODE DE MODÉLISATION
(statistique ou déterministe)
• Objectifs de modélisation?
– Conception, prévision, projection
• Disponibilités des données observées?
– Nombre d’années de données disponibles (échantillon)
15
• Caractéristiques du bassin versant connues?
Introduction à l’hydrologie statistique
PLAN DU COURS
Introduction à l hydrologie statistique
Concept de « Période de retour »
Analyse des fréquences
– Graphique
– Analytique
16
Inférence statistique
Ajustement des données
Synthèse
9
Effet de la taille d’un bassin versant sur les périodes de eto (T) (p 5 2 des notes de co s)
CONCEPT DE PÉRIODE DE RETOURIMPACT DE LA TAILLE DU BASSIN VERSANT
PluieNeige
Pluie
Débit maximum
annuel Neige
Débit maximum
annuel
Grands bassins septentrionaux
retour (T) (p 5.2 des notes de cours)
Petits à moyens bassins septentrionaux
17
T (années)
2 500
T (années)
2 500
Utilité du concept de « période de retour »
CONCEPT DE PÉRIODE DE RETOURC’EST QUOI?
– Sert à caractériser la fréquence d’apparition d’un événement
– Ex. pour une pluie de 24 heures:
• À Rivière-du-Loup, une pluie de 64 mm est une pluie de période de retour de 10 ans. Une pluie supérieure à 64 mm se produit en moyenne à la fréquence d’une fois tous les 10 ans.
Définition de « période de retour » (T)
1Probabilité (Pluie > 64mm)=
10
18
– C’est la période moyenne (généralement en année(s)) qui sépare l’apparition d’événement X dont la magnitude est supérieure à une valeur donnée x
1T=
P(X>x)
On veut connaître la probabilité qu’une pluie de hauteur X soit supérieure à la
hauteur x = 64 mm Mais comment?!
10
Probabilité qu’un événement soit supérieur à un autre é énement
CONCEPT DE PÉRIODE DE RETOURCOMMENT ON LA CALCULE?
événement
On doit faire l’analyse des fréquences
– 2 méthodes pour l’analyse des fréquences théoriques:
1T=
P(X>x)Probabilité
19
• Graphique
• Analytique
– Permet de déterminer les probabilités des événements et la fréquence des événements… donc indirectement leur période de retour
Introduction à l’hydrologie statistique
PLAN DU COURS
Introduction à l hydrologie statistique
Concept de « Période de retour »
Analyse des fréquences
– Analytique
– Graphique
20
Inférence statistique
Ajustement des données
Synthèse
11
2 méthodes pour faire une analyse de fréquence
ANALYSE DE FRÉQUENCEINTRODUCTION
– Graphique
Analytique
21
– Analytique
Loi Normale
Loi Log-Normale
Loi Pearson
Loi Gumbel
Loi Log-Pearson
Introduction à l’hydrologie statistique
PLAN DU COURS
Introduction à l hydrologie statistique
Concept de « Période de retour »
Analyse des fréquences
– Graphique
– analytique
22
Inférence statistique
Ajustement des données
Synthèse
12
Exemple pour la rivière Toupitchoune
ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE GRAPHIQUE
EXERCICEPRATIQUE 1
– L’entrepreneur pour lequel vous travaillez doit construire une digue aux abords de la rivière Toupitchoune pour éviter qu’une réserve des premières nations ne soit inondée.
• Quel est le critère de dimensionnement?
• Quel est le débit correspondant?
Vous disposez de 66 ans de données, de 1940 à 2005.
23
Vous disposez de 66 ans de données, de 1940 à 2005.
Vous supposez que les débits suivent une loi normale
Étapes pour l’analyse de fréquence graphique (p.2.11)
ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE GRAPHIQUE
– Étape 0.
• Extraire le débit maximum printanier à chaque année
– Étape 1.
• Classer les débits en ordre décroissant
– Étape 2.
24
• Calculer la fréquence expérimentale (appelée “de Weibull”) de chaque débit
ii
mf= [eq. 2.7]
n+1
13
Étapes pour l’analyse de fréquence graphique (suite)
ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE GRAPHIQUE
– Étape 3.
• Positionner les couples « fréquence expérimentale » fonction du « débit » correspondant sur le papier à probabilité
– Étape 4.
• Tracer la meilleure droite dans le nuage de points
– Étape 5
25
Étape 5.
• Interpoler ou extrapoler pour connaître:
– La fréquence d’une valeur de débit quelconque
– Le débit correspondant à une probabilité quelconque
Les informations à extraire du papier à probabilité
ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE GRAPHIQUE
– Probabilité au dépassement:
Probabilité qu’un débit X soit supérieur à une valeur de débit x
P(X>x)
26
– Probabilité au non-dépassement:
Probabilité qu’un débit X soit inférieur ou égal à une valeur de débit x
P(X x)
14
Les informations à extraire du papier à probabilité
ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE GRAPHIQUE
– Période de retour:
Période moyenne qui sépare l’apparition d’événement X dont la magnitude est supérieure à une valeur donnée x
1T=
P(X>x)
27
1T=
1-P(X x)
Une petite question supplémentaire…
ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE GRAPHIQUE
28
15
Avantages
ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE GRAPHIQUE
– Facile d’utilisation
– Évaluation visuelle de l’applicabilité d’une loi statistique
Inconvénients
– Manque de précision
– Papiers à probabilité seulement pour certaines lois statistiques
29
p p p q
Papiers à probabilité
Log-Normale
À télécharger sur le site web
du coursANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE GRAPHIQUE
Normale
Note: pour les problèmes 1 et 3,
30
Gumbel
vous devez résoudre la méthode graphique selon les lois log normale et normale respectivement, en plus de la méthode analytique pour toutes les lois demandées.
16
Introduction à l’hydrologie statistique
PLAN DU COURS
Introduction à l hydrologie statistique
Concept de « Période de retour »
Analyse des fréquences
– Graphique
– Analytique
31
Inférence statistique
Ajustement des données
Synthèse
k
ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE ANALYTIQUE
Loi Normale
Loi Pearson III
Loi Gumbel
L i L P III
x k
32
Loi Log-Normale
Loi Log-Pearson III
17
Est fondée sur les lois de probabilités
ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE ANALYTIQUE
– L’équation de base, valide peu importe la loi statistique utilisée:
x k
Variable d’une fréquence voulue(Ex. le débit de la rivière Toupitchoune
Écart-type de l’échantillon (Ex.: Écart-type des débits maxima
annuels printaniers de la rivière Toupitchoune de 1940 à 2005)
33
( ppour une période de retour 100 ans)
Moyenne de l’échantillon (Ex.: Moyenne des débits maxima annuels printaniers de la rivière Toupitchoune de 1940 à 2005)
Facteur de fréquence (Ex.: Facteur qui dépend de la loi
statistique et de la période de retour)
Pour un échantillon: xx x ks
Comment choisir un facteur de fréquence « k »
x k ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE ANALYTIQUE
– Ça dépend de la variable étudiée (tableau 2.1 p. 2.7)
Fonctions de densité
Variable hydrologique
Normale Log-normale
Précipitation annuelle, débits, stockage en réservoir Débit maximum annuel, précipitation journalière et annuelle, volume de ruissellement mensuel et annuel
CTN-762
34
Log-Pearson III Valeur extrême type 1 (Gumbel) Exponentielle Gamma
ruissellement mensuel et annuelMême que log-normale Débit maximum annuel Précipitation journalière, durée entre deux événements Précipitation journalière, mensuelle, annuelle, ruissellement annuel
18
Que nous permet de connaître le facteur de fréquence « k »?
x k ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE ANALYTIQUE
– Ex.: Table de la loi normale (tableau 2.3 p.2.14)
k
k
La probabilité « P » associée à un facteur de fréquence
« k = 1,32 » est P = 0,4066
35
Exemple pour d’autres lois statistiques
x k ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE ANALYTIQUE
– Loi Gumbel (p.2.16)
Taille de l’échantillon
Intervalle de récurrence (années)
5 10 15 20 25 50 75 100 1000
152025
0,9670,9190,888
1,7031,6251,575
2,1172,0231,963
2,4102,3122,235
2,6322,5172,444
3,3213,1793,088
3,7213,5633,463
4,0053,8363,729
6,2656,0065,842
303540
0,8660,8510,838
1,5411,5161,485
1,9221,8911,866
2,1882,1522,126
2,3932,3542,326
3,0262,9792,943
3,3933,3413,301
3,6533,5983,554
5,7275,576
45 0,829 1,478 1,847 2,104 2,303 2,913 3,268 3,520 5,478
Le facteur « k » associé à une
période de retour « T » fonction
36
5055
,0,8200,813
,1,4661,455
,1,8311,818
,2,0862,071
,2,2832,267
,2,8892,869
,3,2413,219
,3,4913,467
,
606570
0,8070,8010,797
1,4461,4371,430
1,8061,7961,788
2,0592,0482,038
2,2532,2412,230
2,8522,8372,824
3,2003,1833,169
3,4463,4293,413
5,359
758085
0,7920,7880,785
1,4231,4171,413
1,7801,7731,767
2,0292,0202,013
2,2202,2122,205
2,8122,8022,793
3,1553,1453,135
3,4003,3873,376
9095
100
0,7820,7800,779
1,4091,4051,401
1,7621,7571,752
2,0072,0021,998
2,1982,1932,187
2,7852,7772,770
3,1253,1163,109
3,3673,3573,349
5,261
« T », fonction de la taille de
l’échantillon « n »
19
Exemple pour d’autres lois statistiques
x k ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE ANALYTIQUE
– Atlas des fréquences utilise la loi de Gumbel
• Pour obtenir le k pour d’autres T (équation 2.15)
1lnln5572,07797,0
T
TK
37
Vous devez déterminer un orage de conception pour T=1000 dans votre projet de session
Exemple pour d’autres lois statistiques
x k ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE ANALYTIQUE
– Loi Pearson type III (tableaux 3.5 p.2.18 et 2.19)
Le facteur « k » associé à une
période de retour « T », fonction d’un coefficient
d’asymétrie « Cs »
38
Cs + Cs -
20
Le débit de conception de la rivière Toupitchoune selon la méthode anal tiq e
x k ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE ANALYTIQUE
EXERCICEPRATIQUE 2
méthode analytique
– La question était donc:
Quel est le débit correspondant à une période de retour 1:100 ans si les débits maxima annuel printaniers obéissent à une distribution normale?
Cette variable peut aussi suivre d’autres lois (p.2.7)
39
– S’ils obéissent à une distribution:
• Gumbel?
• Pearson III?
• log-normale?
• log-Pearson III?
Tableau comparatif
ANALYSE DE FRÉQUENCEMÉTHODE ANALYTIQUE
Loi Méthode graphique
Méthode analytique
Normale117 000 pi3/s 116 264 pi3/s
Gumbel Serait à évaluer 139 290 pi3/s
40
é a uePearson III
--- 117 479 pi3/s
Log-Normale Serait à évaluer
144 351 pi3/s (méthode 1)
131 926 pi3/s (méthode 2)
Log-Pearson III --- 147 967 pi3/s
(méthode 1) 134 592 pi3/s(méthode 2)
21
Les méthodes graphique et analytique impliquent que l’on é d’ l i d b bilité
ANALYSE DE FRÉQUENCESI ON RÉCAPITULE
présume d’une loi de probabilité
– La loi est choisie selon la variable à analyser
Il n’existe pas de solution pour choisir LA meilleure loi statistique
Toutefois, après avoir choisi une loi statistique en émettant l’hypothèse qu’elle était représentative des données, il est
41
possible d’accepter ou rejeter la loi initialement choisie
– Il s’agit de faire de l’inférence statistique
Introduction à l’hydrologie statistique
PLAN DU COURS
Introduction à l hydrologie statistique
Concept de « Période de retour »
Analyse des fréquences
– Analytique
– Graphique
42
Inférence statistique
Ajustement des données
Synthèse
22
Il n’existe pas de solution pour choisir LA meilleure loi statistiq e
INFÉRENCE STATISTIQUETEST DU KHI-CARRÉ
statistique
Il y a des tests statistiques pour rejeter ou accepter une loi statistique
– Test du Khi-Carré
Parallèle entre hydrologie déterministe et statistique:
– En hydrologie déterministe – Nash-Sutcliffe
CTN-762
43
En hydrologie déterministe Nash Sutcliffe
• Indication du degré de confiance qu’on peut avoir envers le modèle d’hydrologie déterministe
– En hydrologie statistique – Khi-Carré
• Indication du degré de confiance (rejet ou acceptation d’une loi) envers le modèle (la loi statistique)
C’est quoi?
INFÉRENCE STATISTIQUETEST DU KHI-CARRÉ
– Test qui permet d’accepter ou de rejeter une loi statistique.
Ex.: Est-ce que les débits de la rivières Toupitchoune obéissent à une loi normale?
2 composantes à vérifier:
2 2
Trouvée dans une table de statistique
(p.2.21)??
44
2c
21 ,v
Calculée à partir de l’échantillon de débits et la loi
statistique
??
Si oui, on rejette la loi statistique
23
2 21 ,c INFÉRENCE STATISTIQUE
TEST DU KHI-CARRÉ
45
La question est donc:
2 21 ,c INFÉRENCE STATISTIQUE
TEST DU KHI-CARRÉ
– Est-ce que les débits maxima printaniers de la rivière Toupitchoune obéissent à la loi normale?
Le test repose sur la comparaison des fréquences expérimentales (observations) et théoriques (lois de probabilités)
2n O E14
16
18
20
46
2
1
ni i
ci i
O E
E
Fréquences expérimentales
Fréquences théoriques
0
2
4
6
8
10
12
0-30000 30000-45000
45000-60000
60000-75000
75000-90000
90000-105000
105000-et+
24
Introduction à l’hydrologie statistique
PLAN DU COURS
Introduction à l hydrologie statistique
Concept de « Période de retour »
Analyse des fréquences
– Analytique
– Graphique
47
Inférence statistique
Ajustement des données
Synthèse
Les données utilisées pour les méthodes graphiques et l ti t êt i f it
AJUSTEMENT DES DONNÉESPOURQUOI AJUSTER LES DONNÉES?
analytiques peuvent être imparfaites
– Données manquantes – Données singulières
48
25
Que faire s’il y a des données manquantes?
AJUSTEMENT DES DONNÉESDONNÉES MANQUANTES
– 2 situations
• L’acquisition des mesures par l’appareil a cessé en raison d’un événement extrême
– Remplacer les données manquantes
• Pour les précipitations: Méthodes vues au cours 3
49
• Pour les débits: Transposition au site non-jaugé (cours 6)
• Le propriétaire de l’appareil a cessé de prendre des mesures
– Ne rien faire
Que faire s’il y a des données singulières?
AJUSTEMENT DES DONNÉESVALEURS SINGULIÈRES
– C’est délicat…
• S’il est démontré que c’est un équipement qui est dysfonctionnel
– Remplacer les données singulières
• Pour les précipitations: Méthodes vues au cours 3
50
• Pour les débits: Transposition au site non-jaugé (cours 6)
• Sinon
– Conserver les données singulières pour les études statistiques
26
Introduction à l’hydrologie statistique
PLAN DU COURS
Introduction à l hydrologie statistique
Concept de « Période de retour »
Analyse des fréquences
– Analytique
– Graphique
51
Inférence statistique
Ajustement des données
Synthèse
En hydrologie statistique
SYNTHÈSE HYDROLOGIE STATISTIQUE EN BREF
– Plus l’échantillon utilisé est grand, meilleurs sont les résultats de l’analyse
– Une analyse des fréquences permet de déterminer par exemple:
• À quelle fréquence est susceptible de survenir un événement?
– 900 m3/s tous les 10 ans? tous les 20 ans?
Q ll l b bili é ’ é é i ?
52
• Quelle est la probabilité qu’un événement survienne?
– Probabilité d’observer un débit de 900 m3/s
– Utiliser surtout pour :
• Conception
• Vérification d’ouvrages existants
27
Limitations :
SYNTHÈSE LIMITATIONS DE L’HYDROLOGIE STATISTIQUE
– Extrapolation incertaine (surtout avec un historique relativement court)
– Ne permettent pas, entre autres, d’étudier les modifications du bassin ou les changements climatiques
53
54
28
P(X>x) en %P(X>x) en %
55
P(X x) en %
ANNEXE: INFÉRENCE STATISTIQUETEST DU KHI-CARRÉ
56
29
Étapes pour compléter le test du Khi-Carré
2
2
1
ni i
ci i
O E
E
INFÉRENCE STATISTIQUE
TEST DU KHI-CARRÉ
– Étape 1: Déterminer les fréquences expérimentales Oi
nbr de classes = 1 + 3,3 log(n)nbr de classes = 1 + 3,3 log(66) nbr de classes = 7
Intervalles Fréquence expérimentale Oi
<30000 2
[30000 45000[ 716
18
20
57
[30000; 45000[ 7
[45000; 60000[ 15
[60000; 75000[ 18
[75000; 90000[ 15
[90000; 105000[ 6
[105000; [ 3
Total: 66
0
2
4
6
8
10
12
14
0-30000 30000-45000
45000-60000
60000-75000
75000-90000
90000-105000
105000-et +
Étapes pour compléter le test du Khi-Carré
2
2
1
ni i
ci i
O E
E
INFÉRENCE STATISTIQUE
TEST DU KHI-CARRÉ
10
12
14
16
18
20
– Étape 2: Déterminer les fréquences théoriques Ei
Fréquence théorique de la 1ère
classe E1.C’est la probabilité que le débit
soit inférieur à 30000 pi3/s, multipliée par le nombre
d’années dans l’échantillon
Fréquence théorique de la 2ième
classe E2.C’est la probabilité que le débit
soit compris entre 30000 et 45000 pi3/s, multipliée par le nombre
d’années dans l’échantillon
58
0
2
4
6
8
10
0-30000 30000-45000
45000-60000
60000-75000
75000-90000
90000-105000
105000-et+
30
Étapes pour compléter le test du Khi-Carré
2
2
1
ni i
ci i
O E
E
INFÉRENCE STATISTIQUE
TEST DU KHI-CARRÉ
– Étape 2: Suite
Intervalles Fréquence théorique Ei
<30000 2,42
[30000; 45000[ 6,91
[45000; 60000[ 14,43 10
12
14
16
18
20
Oi
Ei
59
[60000; 75000[ 18,46
[75000; 90000[ 14,44
[90000; 105000[ 6,91
[105000; [ 2,43
Total: 66
0
2
4
6
8
0-30000 30000-45000 45000-60000 60000-75000 75000-90000 90000-105000 105000-et +
Étapes pour compléter le test du Khi-Carré
2
2
1
ni i
ci i
O E
E
INFÉRENCE STATISTIQUE
TEST DU KHI-CARRÉ
– Étape 3: Calcul du Khi-Carré calculéc2
Intervalles Fréquence théorique Ei
<30000 2,42
[30000; 45000[ 6,91
[45000; 60000[ 14,43
[60000; 75000[ 18 46
Fréquence expérimentale Oi
2
7
15
18
(Oi-Ei)2/Ei
0,0737
0,0013
0,0223
0 0112
60
[60000; 75000[ 18,46
[75000; 90000[ 14,44
[90000; 105000[ 6,91
[105000; [ 2,43
Total: 66
18
15
6
3
66
0,0112
0,0216
0,1208
0,1351
c2 = 0,3861
C’est une mesure de l’écart entre l’échantillon (expérimental) et la loi (théorique)
31
Étapes pour compléter le test du Khi-Carré
INFÉRENCE STATISTIQUETEST DU KHI-CARRÉ
– Étape 4: Comparaison du Khi-Carré calculé 2c avec
le Khi-Carré théorique 2 1-,
2 21 ,c
Seuil de confiance
Degré de liberté
61
Calculée à partir de l’échantillon de débits et la loi
statistique
Trouvée dans une table de statistique
(p.2.21)
Étapes pour compléter le test du Khi-Carré
2 21 ,c INFÉRENCE STATISTIQUE
TEST DU KHI-CARRÉ
– Étape 4c: Détermination Khi-Carré théorique 2 1- ,
62
32
Étapes pour compléter le test du Khi-Carré
2 21 ,c INFÉRENCE STATISTIQUE
TEST DU KHI-CARRÉ
– Étape 4a: Détermination du seuil de confiance
• En hydrologie, la valeur type du seuil de confiance (seuil de signification) est 5 %.
5%
1 95%
63
1 95%
Étapes pour compléter le test du Khi-Carré
2 21 ,c INFÉRENCE STATISTIQUE
TEST DU KHI-CARRÉ
– Étape 4b: Détermination du degré de liberté
1k c
Nbr de classes (7 dans Nbr de paramètres de la loi
64
(cet exemple)
p(2 pour la loi normale)
7 2 1
4
33
Étapes pour compléter le test du Khi-Carré
2 21 ,c INFÉRENCE STATISTIQUE
TEST DU KHI-CARRÉ
– Étape 4c: Détermination Khi-Carré théorique 2 1- ,
4 1 95%
65
Étapes pour compléter le test du Khi-Carré
2 21 ,c INFÉRENCE STATISTIQUE
TEST DU KHI-CARRÉ
– Étape 4d: Rejet ou acceptation de la loi normale comme étant représentative de l’échantillon de débits
é é à
2
21 ,
0,3861
9, 49
c
On ne rejette pas la loi normale 2 2
1 ,c
66
– L’échantillon de débits maxima annuels printaniers à la rivière Toupitchoune obéit à la loi normale
– S’ils n’avaient pas obéis:
• Choisir une autre loi statistique
• Recommencer l’analyse des fréquences
• Refaire le test du Khi-carré
34
Si on récapitule14
16
18
20
2
2
1
ni i
ci i
O E
E
INFÉRENCE STATISTIQUETEST DU KHI-CARRÉ
– Le test du Khi-Carré permet de rejeter ou accepter une loi statistique
2 21 ,c
6
8
10
12
14
Oi
Ei
Si rejet
67
– Si la loi est rejetée, c’est que l’échantillon (Q, P) n’obéit pas à cette loi.
0
2
4
0-30000 30000-45000 45000-60000 60000-75000 75000-90000 90000-105000 105000-et +