CTE: conversion du taux d'échantillonnage systèmes multicadence: taux multiples d'échantillonnage

Filtrage numérique multicadence Filtrage numérique multicadence A. Thieltgen A. Thieltgen 05-06 05-06

11

CTE: conversion du taux d'échantillonnagesystèmes multicadence: taux multiples d'échantillonnage

CTE d'un signal discret: 2 méthodes * signal discret par CA/N puis filtrage et C N/A signal analogique au taux désiré *CTE en numérique (décrit ici)

Chapitre 7 – Eléments de filtrage multicadence.Chapitre 7 – Eléments de filtrage multicadence.


22

7.1 Introduction.7.1 Introduction.

CTE: filtrage linéaire

x(n) échantillonné à Fx=1/Tx et y(m) à Fy=1/Ty

en général: Fy/Fx=I/D rationnelfiltre linéaire temporellement variable de RI g(n, m)CTE: y(m) valeurs échantillonnées de x(n) décalage temporel: filtre linéaire à phase linéaire et réponse en amplitude plate2 taux différents: décalages variables dans le temps requis d'échantillons en échantillons

y(m)

taux Fy

x(n)

taux Fx

filtre linéaire g(n, m)


33

convertisseur de taux: filtres linéaires de mêmes réponses plate en amplitude avec retards temporels différents

réduction de taux: décimation ( D) par entier D (sous-échantillonnage par D)augmentation de taux: interpolation ( I)) par entier I (sur-échantillonnage par I)


44

7.2 Décimation par un facteur D.7.2 Décimation par un facteur D.

x(n): spectre X(jx)) non nul sur 0≤≤ sous-échantillonné par entier D (x: pulsation normée à Fx) D sortie: version déformée de x(n) avec repliement Fx/2D réduction de BP de x(n) à max=/D avant sous-échantillonnage par D

x(n)

taux Fx

h(n) y(m)

taux Fy

décimateur D


55

x(n) dans filtre LP RI h(n) de réponse en fréquence idéale

filtre linéaire invariant puis sous-échantillonnage traitement total de x(n) temporellement variable

D

élimineailleurs0

D/pour1)(H

D

0k)kn(x)k(h)n(v:filtredusortie

0k)kmD(x)k(h)mD(v)m(yD


66

caractéristiques fréquentielles de y(m) à partir de x(n):

ailleurs0

kDnpour)n(v)n('v

)Diracdepeigne(eD1

)n(pavec)n(p)n(v)n('v1D

0k

D

kn2j

-5

-4

-3

-2 -1

-6 -3 3

5

4

3

2 1

0

0

p(n)

v(n) -6

n

n


77

m

D

m

m

m

m

m z)m(vz)mD(vz)m(y)z(Y)mD(v)m(y

D

1

D

k2j1D

0k

D

1

D

k2j

DDzeXzeH

D1

)z(Y)z(X)z(H)z(V

spectre de y(m): évaluation de Y(z) évalué sur z=1taux de y(m): Fy

0≤x≤/D étiré à 0≤y≤ par sous-échantillonnage

xyx

xx

yy

yD

FF2

etD

FFavec

FF2

D

k2X

D

k2H

D1

)(Yspectre y1D

0k

yDy


88

filtre H() anti-repliement pour 0≤y≤

spectres des x(n), v(n) et y(m)

DX

D1

DX

DH

D1

)(Y yyyDy

x x

X(x) H(x)

V(x) Y(y)

x y

0 0

0 0

/D

/D

/D

/D


99

7.3 Interpolation par un facteur I.7.3 Interpolation par un facteur I.

augmentation de taux par entier I: (I-1) échantillons nuls placés entre les valeurs successives de x(n)

Fy=I Fx y=x/I X(x) et V(y)

)FIFtaux(ailleurs0

...I2,I,0mpour)Im

(x)m(vxy

)I(X)(V)z(Xz)m(x)z(Vyy

I

m

mI

x x

X(x) V(y)

0 0 /I /I 3/I-3/I


1010

augmentation du taux spectre V(y) répétition I-périodique avec recouvrement de X(x)seules fréquences de x(n) dans 0≤y≤/I recherchées > y=/I: réjection par filtre LP idéal (C: facteur d'échelle)

C choisi tel que y(m)=x(m/I) en m=±kI

ailleurs0

I/0pourC)(H y

yI

ailleurs0

I/0pour)I(CX)(Y:sortiedespectre yy

y

IC)0(xIC

d)(X21

IC

)0(y:0menxx


1111

7.4 CTE par un facteur rationnel I/D.7.4 CTE par un facteur rationnel I/D.

CTE facteur I/D: cascade (I) - (D)

I puis D: préserve les caractéristiques spectrales désirées de x(n)2 filtres de RI hu(k) et hd(k) de même taux IFx → filtre LP unique de RI h(k)

y(m)

taux Fy=(I/D)Fx

x(n)

taux Fx filtre hi(k) filtre hd(k)

interpolateur

taux I Fx

décimateur

D

I


1212

H(v): inclut filtrage pour interpolation et décimation caractéristique idéale

w(l) v(k) y(m)

taux Fy=(I/D)Fx

x(n)

taux Fx

interpolateur I

décimateur D filtre LP h(l)

taux I Fx=Fv

ailleurs0

)I/,D/min(0pourI)(H v

v

ailleurs0

rIkpour)I/k(x)k(v)I(desortie:temporeldomaine


1313

y(m): sous-échantillonnage de w(k) par un facteur D

autre forme pour y(m) par changement de variable

r)r(x)rImD(h)mD(w)m(y

deentièrepartieavecn

ImD

r

n)n

ImD

(x)nIII

mDmD(h)m(y

n )I()n

ImD

(x)mDnI(h)m(y

rr)r(x)rIk(h)r(v)rk(h)k(w


1414

y(m): x(n) filtré par RI g(n, m)=h(nI+(mD)(I)) h(k): RI d'un filtre LP invariant opérant à IFx g(n, m+kI)= h(nI+(mD)(I))=g(n, m): I-périodiquesortie du filtre linéaire de RI h(k): spectre

spectre de y(m): décimation de v(n) par D

ailleurs0

)I/,D/min(0pour)I(XI)I(X)(H)(V vv

vvv

0r

yy

)D

r2(V

D1

)(Y

ailleurs0

)I/D,min(0pour)DI

(XDI

)(Y vyy


1515

7.5 Conception du filtre et implémentation d'une CTE.7.5 Conception du filtre et implémentation d'une CTE.

1. Structures RIF directes.

réalisation directe: la plus simple mais très peu efficace filtre LP à phase linéaire et ondulations en BP, atténuation en BA spécifiées

1M

0k

kz)k(h)z(HFTet)k(hRIdeRIFfiltre


1616

y(m)

x(n)

h(M-1)

h(M-2)

h(1)

h(2)

1 2 3 . . I

interpolateur

décimateur D

z-1

z-1

z-1

h(0)


1717

plus efficace:

y(m)

x(n)

h(M-1)

h(M-2)

h(1)

h(2)

z-1

z-1

z-1

h(0)

D

D

D

D

D


1818

produits et additions: taux Fx/Dréduction supplémentaire: exploitation des symétries de h(k)

y(m) x(n)

h(M-1)

h(M-2)

h(1)

h(2)

z-1

z-1

z-1

h(0)

D

D

D

D

D

z-1

D

D

D

D

D

z-1

z-1

z-1

z-1


1919

principal problème: calculs avec IFx amélioration:

y(m)

x(n)

h(M-1)

h(M-2)

h(1)

h(2)

h(0)

I

I

I

I

I

z-1

z-1

z-1

z-1


2020

2. Structures de filtres polyphasés.

calculs efficaces: filtre RIF longueur M → filtres de longueur inférieure K=M/I entierI précédent: seules K sorties parmi M entrées mémorisées multipliées par h(0), h(I), h(2I), .., h(M-I)instant suivant: x(n) ≠0 qui coïncident multipliés par h(1), h(I+1), h(2I+1), .., h(M-I+1) etc. filtres plus petits: filtres polyphasés de RI unitaires pk(n)=h(k+nI) réseau des I filtres polyphasés en parallèlesortie de chaque filtre sélectionnée par commutateur de rotation antihoraire en commençant par m=0


2121

filtres polyphasés: calculs à Fx et CTE par création de I échantillons de sortie h(k) décomposé en I sous-filtres de RI pk(n): cohérent avec x(n) dans filtre linéaire périodique temporellement variable de RI g(n, m)=h(nI+(mD)(I)) g(n, m) I-périodique autre ensemble de coefficients utilisé pour générer les I échantillons de y(m)

taux Fx

y(m)

taux Fy=I Fx

p0(n)

p1(n)

p2(n)

pI -1(n)

.

.

taux Fy=I Fx

x(n)

taux Fx


2222

caractéristiques des filtres polyphasés: pk(n) à partir de h(n) par décimation de I H() plat dans 0/I filtres polyphasés à réponse à peu près plate dans 0

filtre polyphasé: I filtres reliés à une ligne à retard k-ème filtre: décalage avance de (k/I)Tx par rapport à ordre 0ordre 0 à retard nul: réponse en fréquence d'ordre k pk()=exp[jk/I]

combinaison des deux méthodes sortie en décalage avant de (k+i/I)Tx par rapport celle précédente


2323

taux Fx

y(m)

taux Fy=Fx/D p1(n)

p2(n)

.

.

x(n)

p0(n)

pI -1(n)

RI des filtres polyphasés: pk(n)=h(k+nD)commutateur: sens antihoraire en débutant par p0(n)paire équivalente de de commutateurs pour rotation horaire de RI pk(n)=h(nI-k), k entre 0 et (I-1) (interpolateur)pk(n)=h(nD-k), k entre 0 et (D-1) (décimateur)


2424

3. Structures de filtres temporellement variables.

CTE (I/D): filtre linéaire temporellement variable de RI g(n, m)=h(nI-(mD)(I))h(n): RI d'un RIF LP de longueur M=KI

ensemble des g(n, m) I-périodiques de K éléments

calculs dans y(m): traitement des blocs de données de

longueur K par K filtres de coefficients

1K

0n)n

Im

(x)IIm

m,n(g)m(y

ailleurs0

)I/,D/min(0pourI)(H v

v

)IIm

m,n(g


2525

I ensembles de coefficientsbloc de I points de sortie bloc de D points d'entrée x(n)

x(n) mémoires de coefficients

1 2 3 . . K

y(m)

taux I/DFx

g(n, 1)

g(n, 2)

g(n, 0) registre d'entrée de longueur D

registre

de longueur

K

1 2 3 . . K g(n, I-1)

1K

0n

registre de sortie de

longueur I

n entre 0 et K-1


2626

décalage d'une mémoire d'entrée vers 2nde mémoire à un échantillon par période et (mD/I) incrémentée de 1 par période

chaque sortie y(k): échantillons de 2nde mémoire multipliés par coefficients du filtre g(n, k)

K produits accumulés y(k) I sorties pour cette opération répétée avec nouvel ensemble de D échantillons, etc.


2727

g(K-1, l)

g(2, l)

g(1, l)

x(]mD/I-2)

x(]mD/I-K+1)

x(]mD/I-1)

x(n)

taux Fx x(]mD/I)

y(m)

taux (I/D)Fx

g(0, l)

z-1

l entre 0 et I-1

D/I

z-1

z-1

D/I

D/I

D/I

autre méthode de calcul de la sortie du convertisseur de taux: filtre RIF à coefficients périodiquement variables


2828

x(n) dans registre à décalage à Fx de longueur K=M/Iéchantillonneur couplant les taux entrée Fx et sortie Fy=(I/D)Fx sortie d'échantillonneur aux instants mD/I

mD/I entier: entrée d'échantillonneur modifiée sortie: échantillonnage des nouvelles entréesK sorties: g(n, m-(m/I)(I)) et produits résultants y(m)taux de sortie des échantillonneurs: Fy=(I/D)Fx

CTE de I/D réalisable par filtre polyphasé avec I sous-filtresy(m) à partir du filtre k d'entrées x(n), x(n-1), .., x(n-K+1) dans ligne à retard: échantillon y(m+1) issu du sous-filtre im+1 avec décalage de rm+1 nouveaux échantillons dans ligne à retard avec im+1=(im+D)(I) et rm+1=(im+D)/I


2929

I et D >>1 (exemple: I/D=130/63) implémentation: réseau de 130 filtres polyphasés inefficace à cause des calculs

filtreIétagesL1IIparioninterpolatL

1i i

I1I2Fx I1 Fx

y(m)

Fy=I Fx

I1 h1(n) I2 IL hL(n) h2(n)

I1 Fx

y(m)

Fy=I Fx

x(n)

Fx

I1 h1(n) I2 IL hL(n) h2(n)

DfiltreétagesJDDpardécimation:similairemanièreJ

1ii

Fx/ D1D2 Fx/ D1

y(m)

Fx/D

D1 h1(n) D2 DJ hJ(n) h2(n)

étage 1 étage 2 étage J


3030

taux étage i: en sortie Fi-1/Di et en entrée F0=Fx

pas de repliements BP désirée et BT sur tout le décimateur:BP entre 0 et Fpe

BT entre Fpe et Fsc≤Fx/2D. bandes de fréquences de chaque étage du filtre:

BP entre 0 et Fpe

BT entre Fpe et (Fi-Fsc)BA entre (Fi-Fsc) et (Fi-1)/2

1er : F1=Fx/D1 filtre conçu pour les bandes suivantes:BP entre 0 et Fpe

BT entre Fpe et (F1-Fsc)BA entre (F1-Fsc) et F0/2


3131

décimation D1: recouvrement par composantes dans BTF>Fsc: aucun recouvrement entre 0 et Fsc filtres des étages suivants vérifiant les spécifications: aucun recouvrement dans la bande de base entre 0 et Fsc

7.7 CTE de signaux passe bande (SPB).7.7 CTE de signaux passe bande (SPB).

signal SPB: spectre à bande étroite de fréquencesfréquence centrale Fc>>BSPB: représentation LP équivalente par translation en fréquence du SPB


3232

bande passante du signal

bande équivalente passe bas du signal


3333

rappel: signal analogique BF:

x(t)=A(t) cos[2Fct+(t)]=uc(t) cos2Fct-us(t) sin2Fct=Re[u(t) exp(j2Fct)]

uc(t)=A(t) cos (t), us(t)=A(t) sin (t) avec u(t)= uc(t)+j us(t)

A(t): amplitude (enveloppe) de x(t)(t): phase de x(t)uc(t), us(t): composantes en quadrature de x(t)


3434

x(t) translaté vers BF: multiplication par porteuses en quadrature puis filtrage LP suppression composantes autour de 2Fc

information dans SPB préservée dans BF équivalent de x(t)

évident à partir de X(F)=[U(F-Fc)+U*(F-Fc)]/2

* F fréquence de la plus haute bande multiple de B (largeur de bande du SPB) : représentation unique par échantillons prélevés à taux de 2B échantillons/période * F non multiple de B: taux augmenté pour éviter recouvrement

tous les cas: taux du SPB limité entre 2B≤Fs≤4B


3535

1. Décimation et interpolation par conversion de fréquence.

équivalence entre SPB x(t) et représentation BF équivalente u(t): modification du taux d'échantillonnage du signal après échantillonnage du SPB à Fx conversion en BF puis CTE sur signal BF

us(n)

uc(n) filtre LP

filtre LP

oscillateur

cos 2fcn

sin 2fcn

x(n)

BP du signal


3636

décimation par D: filtre anti repliement devant D + filtre LP filtre unique approchant RI idéale

exemple: uniquement 0≤ ≤ B/2D dans x(n) D=B/2interpolation de I sur signal translaté: filtre éliminant images proches caractéristiques filtre LP filtre LP redondantCTE par I/D accomplie sur signal BF

ailleurs0

Dsi1)(H

D

D


3737

x(n)

SPB

translation de fréquence

I

filtre

D

uc(n)

us(n)

taux d'échantillonnage des composantes en quadrature du signal modifié par décimation ou interpolation (ou les deux) SPB régénéré par modulation d'amplitude des porteuses en quadrature coscn et sincn et somme des deux signaux avec min (B/2D, B/2I)≤c≤

2. Méthode sans modulation pour D et I.

restriction aux fréquence modifiables: suppression du processus de modulation de porteuse translation de fréquence


3838

décimation d'un SPB échantillonné de spectre (m entier positif)

filtre PB éliminant les fréquences hors du domaine désiré: décimation du SPB par D

-(m+1)/D -m/D (m+1)/D m+/D 0

m impair

m pair


3939

m impair: spectre inversé (annulation d'inversion possible) interpolation sans modulation par I d'un SPB:

sur-échantillonnage par insertion de zéros dans x(n) I images dans 0≤≤: image désirée sélectionnée par filtre PB

interpolation: translation de fréquence possible du spectreCTE sans modulation d'un SPB par I/D: décimateur + interpolateur dépendant de D et I


4040

7.8 Applications de traitement multicadence du signal.7.8 Applications de traitement multicadence du signal.

applications pratiques de traitement multicadence: - conception de déphaseurs - interfaçage de systèmes numériques à taux différents - implémentation de filtres LP à bande étroite (*) - implémentation de bancs de filtres numériques - codage sous-bande de signaux de parole (*) - filtres miroirs en quadrature - transmultiplexeurs (*) - sur-échantillonnage dans les CA/N et CN/A

(*): traités ici


4141

1. Implémentation de filtres LP à bandes étroites.

exemple: conception de filtre LP de spécifications:fréquence d'échantillonnage 8000 HzBP 0≤F≤75BT 75≤F≤80BA 80≤F≤4000ondulation en BP 1=10-2

atténuation en BA 2=10-4

conception par filtre RIF à phase linéaire à taux unique longueur avec fenêtre de Kaiser: M=5152


4242

filtre LP multicadence avec I=D=100 et 1 étage D - I:longueur M1=5480

filtres polyphasés: avec D et I à phase linéaire nombre des produits réduit par 100

avec 2 étages D et 2 étages I (exemple: D1=50, D2=2, I1=2 et I2=50) longueurs MD1177 et MI1233 M1=410 rapport total de réduction de longueur: 13,4

nouvelle réduction des produits avec filtres polyphasésréductions supplémentaires de 50 1er étage de décimation et de 10 pour le 2nd


4343

2. Codage sous-bande de signaux de parole.

majorité d'énergie dans parole dans les BF projet: codage bande BF avec plus de bits que bande HFcodage sous-bande: subdiviser le signal en sous-bandes avec encodage séparé de chaque bande

vers

le canal

filtre LP

filtre HP

filtre LP

filtre LP

encodeur

filtre HP

signal

de parole

vers

le canal

vers

le canal

vers

le canal

décimateur D=2

décimateur D=2

décimateur D=2

décimateur D=2

décimateur D=2

décimateur D=2

encodeur

encodeur

filtre HP

encodeur


4444

échantillonnage à Fx échantillons

1ère dichotomie → 2 segments: LP, 0≤F≤Fx/4 et HP, Fx/4≤F≤Fx/22nde dichotomie: LP 1ère étape → 0≤F≤Fx/8 et HP, Fx/8≤F≤Fx/4 3ème dichotomie: séparation LP 2éme étape en 2 signaux équibandes signal → 4 bandes de fréquence sur 3 octavesdécimation par 2 après subdivision de fréquence

/8 /4 /2

2 1

0

3 4


4545

nombres différents de bits par échantillon dans les 4 sous-bandes réduction du taux de bits du signal numériséconception du filtre importante pour bonnes performances dans codage sous-bandes recouvrements dans sous-bandes négligeablessolution: filtres miroirs à quadrature (FMQ)

/2

H1() H0() FMQ


4646

synthèse d'un signal encodé en sous-bandes: fondamentalement inverse de l'encodage signaux dans bandes de fréquences hautes et basses adjacentes interpolés, filtrés puis combinés

paire de FMQ pour chaque octave du signal

+ -

sortie

décodeur

décodeur

décodeur

décodeur

filtre

filtre

filtre

filtre

2

2

2

2

2

2


4747

autre utilisation de codage sous-bandes: compression de données en traitement d'imagecombinaison du codage en sous-bandes avec quantification vectorielle pour chaque signal en sous-bandes images codées avec 1/2 bit/pixel contre 8 bits/pixel pour image non codée

codage sous-bandes efficace pour compression de BP si énergie du signal concentrée dans région particulière de la bande de fréquence


4848

3. Transmultiplexeurs.

transmultiplexeurs: conversion de signaux multiplexés par division temporelle (TDM) en division fréquentielle (FDM)et vice-versaTDM-FDM: entrée x(n) signal multiplexé par division temporelle L signaux sélectionnés par commutateur L signaux modulés par porteuses différentes signal FDM

FDM-TDM: signal composite séparé par filtrage des L composantes multiplexées puis division temporelletéléphonie: transmission BLU avec canaux de largeur de 4 kHz 12 canaux réunis canal de base de 48 kHzFDM avec largeur de bande plus grande: translation en fréquence dans bandes de fréquence adjacentes de groupes multiples


4949

conversion FDM-TDM: signal analogique FDM dans CA/N

.

. . .

signaux

TDM s1(n)

signal

FDM

démodulateur BLU

décimateur

C A/N

démodulateur BLU

décimateur

démodulateur BLU

décimateur

s2(n)

sN(n)


5050

signal discret démodulé en bande de base par démodulateurs BLU sortie des démodulateurs: décimateur puis commutateur TDMFDM à 12 canaux échantillonnés à 96 kHz puis passés dans démodulateur à banc de filtresbloc de base du démodulateur FDM: convertisseur de fréquence + filtre LP + décimateur

cos(kn)

D

D

x(n)

-sin(kn)

filtre LP h(n)

filtre LP h(n)


5151

conversion efficace de fréquence: filtre LP+décimateur implémentés par réseau polyphasébase pour FDM-TDM: analyseur à banc de filtres

dans chaque canal: largeur de bande 4 kHz et taux de Nyquist 8 kHz sortie du filtre polyphasé divisée par 12 commutateur TDM à 12x8=96 kHz

conversion TDM-FDM: signal TDM sur 12 canaux démultiplexé en 12 signaux individuels signal dans chaque canal interpolé par 12 et fréquence convertie par un modulateur BLU


5252

sorties des 12 modulateurs BLU ajoutées puis CN/A signal FDM analogique transmissible

filtres modulation-interpolation: filtre polyphasétranslation de fréquence: banc de filtres numériques

signal

TDM

signal

FDM

modulateur BLU

.

.

.

CN/A

interpolateur

interpolateur

interpolateur

modulateur BLU

modulateur BLU

.

.

.

CTE: conversion du taux d'échantillonnage systèmes multicadence: taux multiples d'échantillonnage

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