Cryptographie quantique - Une introduction élémentaire · Brèvehistoiredessciences...

Brve histoire des sciencesLre quantique

Cryptographie quantiqueUne introduction lmentaire

Dimitri Petritis

UFR de mathmatiquesUniversit de Rennes 1 et CNRS (UMR 6625)

Rennes, 13 septembre 2017

Master de cryptographie 20172018 Cryptographie quantique


Plan du coursFondements

1 Brve histoire des sciences.Informatique : de la machine de Babbage Xeon E3-1230.Physique : 1900, > 1900.Les enseignements de lhistoire.

2 Postulats de la mcanique classique.Modle statistique.Rductibilit de lala classique ; insuffisance de la descriptionclassique.

3 Postulats de la mcanique quantique.Illustration par modle simple.Le rle de lespace de Hilbert.

4 Quelques notions hilbertiennes.Classes doprateurs ; thorme spectral.Produit tensoriel ; trace partielle ; intrication ; marginales quantiques.Irrductibilit de lala quantique.Oprateurs compltement positifs ; PVP et mesures franches ; PVOPet mesures floues.



Plan du coursApplications

5 Principes de cryptographie quantique.tude dtaill du protocole BB84.Analyse des effets dintrusion ; gain dinformation / perturbation.Autres protocoles.

6 Communication quantique.Tlportation ; codage dense.Codes correcteurs derreur quantiques.

7 Calcul quantique.Portes quantiques et calcul rversible.Algorithme quantique de Shor pour la factorisation en premiers.Algorithmes quantiques pour des courbes elliptiques.



Linformatique de la machine de Babbage Xeon E3-1230Un peu de physiqueEffets quantiques

La position du problme

Des pans entiers de lactivit scientifique (et plus gnralementhumaine) reposent sur

lextraction,le traitement,la transmission etla protection

de linformation.On raisonne sur des catgories abstraites : portes logiques,oprations logiques, fonctions boolennes, etc. Car nous pouvons etpour quelque temps encore le faire !Mais toutes les oprations logiques sur substrat physique.Information vhicule par vecteur physique. Nous devons denouveau nous intresser au substrat physique.




La pr-histoireAvant la . . . rvolution ( 1946)

Charles Babbage (Londres 1791 Londres 1871) inventa la machine calculer et imprimer les valeurs des polynmes ; fonctionna avec des cartesperfores sur le modle des mtiers tisser de Joseph Marie Jacquard.

Figure: Charles Babbage et . . . sa source dinspiration : le mtier tisser deJacquard.




La pr-histoireLa machine analytique de Babbage

Figure: La machine analytique construite par Babbage et les cartes perforesncessaires pour sa programmation.




La pr-histoireLa programmation de la machine de Babbage

Augusta Ada King, comtesse de Lovelace, ne Ada Byron (Londres1815 Londres 1852) rdige mthode de calcul des nombres de Bernoulli(Bn)

Sm(n) =n

k=1

km =1

m + 1

mk=0

C km+1Bknm+1k .

Premier algorithme conu pour tre excut sur machine (de Babbage).


http://www.fourmilab.ch /babbage/sketch.html



La pr-histoireLes travaux de Turing

Alan Mathison Turing (Londres 1912 Cheshire 1954), mathmaticien,logicien, cryptanalyste et informaticien (avant lheure !) qui cassa le codede cryptage Enigma utilis par les sous-marins allemands pendant laguerre laide de la machine bombe .

Figure: Alan Turing et une denviron 200 rpliques de la bombe .




La proto-histoire (' 1946)Les travaux de von Neumann

Margittai Neumann Jnos Lajos Budapest 1903 John vonNeumann Princeton 1954, mathmaticien et physicien avec descontributions essentielles en mcanique quantique, analyse fonctionnelle,thorie des ensembles, informatique, sciences conomiques ainsi que dansbeaucoup dautres domaines des mathmatiques et de la physique. Il aparticip aux programmes militaires amricains.

Figure: John von Neumann et un schma de larchitecture qui porte son nom.




La proto-histoire (' 1946)

Il fut un temps o lon devait se soucier du substrat physique !1946 : Electronic numerical integrator and computer (ENIAC)premier ordinateur universel construit par lingnieur John AdamPresper Eckert Jr. (Philadelphia, PA, 1919 Bryn Mawr, PA, 1995)et le physicien John William Mauchly (Cincinatti, OH, 1907 Ambler, PA, 1980).

19000 tubes cathodiquesmasse 30 tonnes72m2 demprise au solpuissance lectrique 140kWfrquence dhorloge 100kHz (330 multiplications par seconde).




1946 : ENIACUn aperu de la salle machine

Figure: La salle machine de lENIAC.




1946 : ENIACSon pouponnage

Figure: Un technicien en train de changer un des 19000 tubes de lENIAC.




1946 : ENIACSa programmation

Figure: Deux opratrices en train de . . . programmer lENIAC.




1946 : ENIACSa programmation est maintenant finie . . .

Figure: a y est, la programmation est maintenant finie !




Lhistoire1947

Dcembre 1947 : Invention du transistor par les physiciens WilliamBradford Shockley (Londres 1910 Palo Alto, CA 1989), WalterHouser Brattain (Amoy, Chine, 1902 Seattle, WA, 1987) et JohnBardeen (Madison, WI, 1908 Boston, MA, 1991) dans les laboratoiresde Bell Telephon.

Figure: Bardeen, Brattain et Shockley et un accident de laboratoire qui netardera tre utilis en informatique : le transistor !




Lhistoire19471950

Janvier 1948 : Wallace Eckert de chez IBM et son quipe terminentle SSEC (Selective Sequence Electronic Calculator).Juin 1948 : NewMan, Williams et leur quipe de luniversit deManchester terminent une machine prototype appele ManchesterMark I.Aot 1949 : P. Eckert et J. Mauchly, ayant form leur proprecompagnie, mettent au point le premier ordinateur bi-processeur : leBINAC pour lUS Navy. Les deux processeurs effectuaient les mmesoprations en parallle pour augmenter la fiabilit des calculs.1950 : Le calculateur de Konrad Zuse, le Z4 fabriqu pendant laguerre, est finalement remont lcole polytechnique de Zurich puismodifi pour pouvoir raliser des sauts et branchementsconditionnels.




Lhistoire19501952

1950 : Assembleur, invent par Maurice V. Wilkes de luniversit de Cambridge,remplace le binaire.

Janvier 1951 : Cration du premier ordinateur sovitique MESM sous la direction deSergei Alexeevich Lebedev lacadmie des Sciences dUkraine.

1951 : Mise au point du tambour de masse magntique ERA 1101. Premire mmoire demasse de 1 Mbit.

1951 : P. Eckert et J. Mauchly lancent lUNIVAC I (UNIversal Automatic Computer).Premier ordinateur commercial (750000$ de 1951 - soit 6311625$ de 2010 pourlordinateur et 185000$ de 1951 - 1556867$ de 2010 pour limprimante rapide). 8333additions ou 555 multiplications par seconde. 56 exemplaires vendus.

1952 : IBM produit lIBM 701 pour la dfense amricaine (19 exemplaires produits).

Mmoire tubes cathodiques de 2048 ou 4096 mots de 36 bits et 16000 additions ou

2200 multiplications par seconde. La premire machine sera installe Los Alamos pour

le projet de bombe thermo-nuclaire US.




Lhistoire19521955

1952 : Le premier ordinateur franais, le CUBA (CalculateurUniversel Binaire de lArmement), est construit par la socit SEA.Juillet 1953 : IBM premier ordinateur commercial en srie : lIBM650, conu pour tre compatible avec les machines de comptabilitmcanique cartes perfores de la marque.1955 : Premier rseau informatique but commercial : SABRE(Semi Automated Business Related Environment) ralis par IBM,relie 1200 tlscripteurs travers les tats-Unis pour la rservationdes vols de la compagnie American Airlines.1955 : IBM 704 dvelopp par Gene Amdahl. Premire machinecommerciale disposant dun coprocesseur mathmatique. Puissance :5 kflops (milliers doprations en virgule flottante par seconde).Machine trs . . . fiable ne tombant en panne quune fois par. . . semaine.




La premire rvolution1956-1970 : lre du transistor et la deuxime gnration

1956 : Premier ordinateur transistors par la Bell : le TRADIC quiamorce la seconde gnration dordinateurs.1958 : Lancement du premier ordinateur commercial entirementtransistoris, le CDC 1604, dvelopp par Seymour Cray.1959 : Dmonstration du premier circuit intgr cre par TexasInstruments.1961 : Le projet MAC (Multi Access Computer) du MIT dirig parJohn Mc Carthy. But : permettre plusieurs personnes de travaillersur un mme ordinateur.1970 : Premire puce mmoire cre par Intel et contenantlquivalent de 1024 tores de ferrite trs encombrants sur un carr de0.5mm de ct (capacit : 1kBit soit 128 octets).




La deuxime rvolution1971-aujourdhui : lre du microprocesseur et la troisime gnration

Novembre 1971 : Intel met en vente le premier microprocesseur Intel4004 conu par Marcian Hoff.

Processeur 4 bits tournant 108 KHz,Permet dadresser 640 octets de mmoire,60000 instructions par seconde,2300 transistors en technologie 10 microns,Prix : 200 $.




Les 46 glorieuses . . .. . . ou le temps bni un taux de croissance annuelle de 41%




Processor Transistor count Year Designer Area19711972 Intel19741974 Intel197419751976 Intel19761978 Motorola1978 Intel1979 Intel1979 Motorola1981 WDC1982 Intel1982 Intel19831984 Motorola1985 Intel

MultiTitan 1988 DEC WRL1989 Intel19911993 Intel1995 Acorn/DEC/Apple1995 Intel19961997 Intel1997 AMD1998 Intel1999 Intel1999 Intel2000 Intel2000 Intel2001 Intel2002 Intel2003 Intel2004 Intel2004 Intel

ProcessIntel 4004 2 300 Intel 10 000 nm 12 mmIntel 8008 3 500 10 000 nm 14 mmMotorola 6800 4 100 Motorola 6 000 nm 16 mmIntel 8080 4 500 6 000 nm 20 mmRCA 1802 5 000 RCA 5 000 nm 27 mmMOS Technology 6502 3 510 MOS Technology 8 000 nm 21 mmIntel 8085 6 500 3 000 nm 20 mmZilog Z80 8 500 Zilog 4 000 nm 18 mmMotorola 6809 9 000 5 000 nm 21 mmIntel 8086 29 000 3 000 nm 33 mmIntel 8088 29 000 3 000 nm 33 mmMotorola 68000 68 000 3 500 nm 44 mmWDC 65C02 11 500 3 000 nm 6 mmIntel 80186 55 000 3 000 nm 60 mmIntel 80286 134 000 1 500 nm 49 mmWDC 65C816 22 000 WDC 9 mmMotorola 68020 190 000 2 000 nm 85 mmIntel 80386 275 000 1 500 nm 104 mm

180 000 1 500 nm 61 mmIntel 80486 1 180 235 1 000 nm 173 mmR4000 1 350 000 MIPS 1 000 nm 213 mmPentium 3 100 000 800 nm 294 mmSA-110 2 500 000 350 nm 50 mmPentium Pro 5 500 000 500 nm 307 mmAMD K5 4 300 000 AMD 500 nm 251 mmPentium II Klamath 7 500 000 350 nm 195 mmAMD K6 8 800 000 350 nm 162 mmPentium II Deschutes 7 500 000 250 nm 113 mmPentium III Katmai 9 500 000 250 nm 128 mmPentium II Mobile Dixon 27 400 000 180 nm 180 mmPentium III Coppermine 21 000 000 180 nm 80 mmPentium 4 Willamette 42 000 000 180 nm 217 mmPentium III Tualatin 45 000 000 130 nm 81 mmPentium 4 Northwood 55 000 000 130 nm 145 mmItanium 2 Madison 6M 410 000 000 130 nm 374 mmPentium 4 Prescott 112 000 000 90 nm 110 mmItanium 2 with 9 MB cache 592 000 000 130 nm 432 mm




2005 Intel2005 Intel2006 Intel2006 Intel2007 Intel2007 AMD2007 IBM2008 Intel2008 Intel2008 AMD2009 AMD20102010 Intel2010 IBM2010 IBM2010 Intel2010 Intel2011 Intel2011 Intel2012 AMD2012 AMD2012 IBM2012 Intel2012 Intel2013 Apple2013 Intel2013 IBM20132014 Intel2014 Intel2014 Apple

15-core Xeon Ivy Bridge-EX 2014 Intel2014 Intel

Quad-+ore i7 Skylake K 2015 Intel2015 Intel2015 IBM2015 IBM2016 Intel

Pentium 4 Prescott-2M 169 000 000 90 nm 143 mmPentium D Smithfield 228 000 000 90 nm 206 mmPentium 4 Cedar Mill 184 000 000 65 nm 90 mmPentium D Presler 362 000 000 65 nm 162 mmCore 2 Duo Wolfdale 411 000 000 45 nm 107 mmAMD K10 quad-core 2M L3 463 000 000 65 nm 283 mmPOWER6 789 000 000 65 nm 341 mmCore 2 Duo Wolfdale 3M 230 000 000 45 nm 83 mmCore i7 (Quad) 731 000 000 45 nm 263 mmAMD K10 quad-core 6M L3 758 000 000 45 nm 258 mmSix-core Opteron 2400 904 000 000 45 nm 346 mm16-core SPARC T3 1 000 000 000 Sun/Oracle 40 nm 377 mmSix-core Core i7 (Gulftown) 1 170 000 000 32 nm 240 mm8-core POWER7 32M L3 1 200 000 000 45 nm 567 mmQuad-core z196[20] 1 400 000 000 45 nm 512 mmQuad-core Itanium Tukwila 2 000 000 000 65 nm 699 mm8-core Xeon Nehalem-EX 2 300 000 000 45 nm 684 mmQuad-core + GPU Core i7 1 160 000 000 32 nm 216 mm10-core Xeon Westmere-EX 2 600 000 000 32 nm 512 mm8-core AMD Bulldozer 1 200 000 000 32 nm 315 mmQuad-core + GPU AMD Trinity 1 303 000 000 32 nm 246 mmSix-core zEC12 2 750 000 000 32 nm 597 mm8-core Itanium Poulson 3 100 000 000 32 nm 544 mm61-core Xeon Phi 5 000 000 000 22 nm 720 mmApple A7 (dual-core ARM64) 1 000 000 000 28 nm 102 mmSix-core Core i7 Ivy Bridge E 1 860 000 000 22 nm 256 mm12-core POWER8 4 200 000 000 22 nm 650 mmXbox One main SoC 5 000 000 000 Microsoft/AMD 28 nm 363 mmQuad-core Core i7 Haswell 1 400 000 000 22 nm 177 mm8-core Core i7 Haswell-E 2 600 000 000 22 nm 355 mmApple A8X (tri-core ARM64) 3 000 000 000 20 nm 128 mm

4 310 000 000 22 nm 541 mm18-core Xeon Haswell-E5 5 560 000 000 22 nm 661 mm

1 750 000 000 14 nm 122 mmDuo-Core i7 Broadwell-U 1 900 000 000 14 nm 133 mmIBM z13 3 990 000 000 22 nm 678 mmIBM z13 Storage Controller 7 100 000 000 22 nm 678 mm22-core Xeon Broadwell-E5 7 200 000 000 14 nm 456 mm




Trois prdictions dun gant 1959, 1981, 1986

Feynman 1, dans trois travaux pionniers et visionnaires, parus en 1959, 1981 et1986, lance plusieurs ides rvolutionnaires.

1959 : Theres plenty of room at the bottom. Une ode en faveur de laminiaturisation. Peut-on crire les 25000 pages delEncyclopedia Brittanica sur la tte dune pingle ? Germe dela conception du microprocesseur, des moteurs molculaires 2,etc. Prvoit apparition du mur quantique.

1981 : Simulating physics with computers. Tout calcul quantique excut surordinateur classique est complexit exponentielle.

1986 : Quantum mechanical computers. volutivit 3 polynomiale vs.complexit exponentielle.

1. Richard Phillips Feynman 19181988, prix Nobel de Physique (1965).2. Dcouverts par Jean-Pierre Sauvage, n en 1944, prix Nobel de Chimie (2016).3. Scalability.




Quen est-il des prvisions de Feynman ?Celle de 1959

1959 : IBM 7000premier IBM transistoris

2016 : MacBookAir avecIntel Core i5 Regardez sur la table !

Mmes catgories logiques.Mme vecteur de transmission : courant lectrique.




Quest-ce le courant lectrique ?Un flux dlectrons

I =q

t=

nevdSt

t= nevdS ,

o n = densit dlectrons libres.Cble de cuivre : n ' 1029 lectrons/m3.Si I = 2 A et S = 1 mm2, alors vd = 0.11mm/s.Que se passerait-il si le vecteur tait llectron individuel ?Peut-on utiliser des vecteurs plus rapides ?




De la physiqueou de la vrit exprimentale

La physique est une science exprimentale

Exprience Phnomnologie

ModleThorie




Illustrationdu cycle incessant de la physique

Exemple : Un piston contenant un gaz parfait, quasiment isol du restedu monde.

Prparation prcise du systme : tat.Lexprience : Interaction avec appareils de mesure

manomtre (mesure lobservable p),thermomtre (mesure lobservable T ),rgle (mesure lobservable V ),

introduisant une perturbation ngligeable sur ltat.La phnomnologie : pV /T = const (loi de Boyle-Mariotte).Le modle (aprs beaucoup dautres expriences) : lathermodynamique des gaz parfaits.La thorie (explication microscopique) : thorie cintique des gaz.(Thorie plus complte : physique statistique.)

[Tableau : Boyle-Mariotte vs. thorie cintique des gaz. cf. Boltzmann1848 ]




Premiers enseignementsde la nature exprimentale de la Physique

Thories physiques ont temps de vie fini ; acceptes tant que noncontredites par exprience.Vrit physique base sur exprience :

prparation du systme dans un tat S prcis,interaction du systme avec appareil de mesure,enregistrement des rsultats de mesure dune observable X O,prenant des valeurs dans (X,X ).

Consquences de la nature exprimentale de la Physiqueerreurs statistiques mais rproductibilit statistique,perturbation induite par appareil de mesure peut devenir ngligeable,Exprience : modle statistique (S,O)

SO 3 (,X ) 7 X M1(X,X ).

Physique doit tre universelle. Dans qute duniversalit, laPhysique a un alli : les Mathmatiques.




Physique, Mathmatiques, Physique MathmatiqueHistoire dune osmose

Physique utilise Mathmatiques pour formuler concepts et faireprdictions quantitatives.Mathmatiques dveloppent nouveaux outils inspirs par problmesphysiques.Physique mathmatiqie est

Physique : affirmations doivent tre corrobores exprimentalement,Mathmatiques : affirmations doivent tre obtenues commethormes dcoulant dun petit nombre daxiomes (postulats).




Fausses certitudes . . .. . . et une bonne dose darrogance

Fin du 19e sicle : Physique termine en tant que sciencefondamentale ; quelques . . . problmes mineurs rsoudre.Il ne reste plus rien dcouvrir en Physique ; les jeunes conseills nepas perdre temps avec Physique mais sorienter vers . . . finance outechnologie.Mais attendons une minute !CM locale x = g x ; t = t g O(3)

complte x = x + a ; t = t + s groupe de GalileEM locale (t , x) = g (t, x) g O(1, 3)

complte (t , x) = (t, x) + (s, a) groupe de PoincarPourquoi 2 groupes dinvariance diffrents ?




Dbut du 20e sicleTout scroule 1

Le . . . petit problme : quations de Maxwell.

E =

0; E =

Bt

B = 0 ; B = 0(J + 0Et

)

Dans le vide : = 0 ; J = 0 ; c2 = 00.

E = Re(a exp(2i(z ct)/));B = a E; a =

cossin0

.

z

E

Bk





Exprience de Michelson-Moreley (1887, 19021905) : Lthernexiste pas !Becquerel (1896) dcouvre radioactivit : la matire nest pas stable !Boltzmann, Thomson, Einstein, Perrin (18971908) tablissentexistence de atomes : la matire nest pas continue !





Figure: Thorie classique (Rayleigh) de rayonnement du corps noir en dsaccordavec obervation exprimentale (source de la figure : wikipedia).

Figure. Thorie classique nexplique pas ph-nomne photolectrique, dcouvert par Hertz(1837) (source de la figure : wikipedia).




Dbut du 20e sicleLa rvolution

Planck (1900) propose explication phnomnologique audacieuse durayonnement du corps noir : les niveaux dnergie sont discrets.

Einstein (1905) introduit relativit restreinte : unification de mcaniqueclassique et lectromagntisme . Deux principes simples :

Vitesse de la lumire c constante universelle, la mme dans tousrfrentiels.Lois de Physique invariantes dans tous rfrentiels inertiels.

Consquences : pas besoin dther mais espace et temps non absolus !

Bohr, Heisenberg, Pauli, Dirac, Schrdinger, von Neumann (19131932)considrent lide de Planck srieusement et introduisent Mcanique :lnergie nest pas continue mais quantifie .




Une thorie physique gnraledoit dcrire tout phnomne dans lunivers

Units de mesure introduites lors de la Rvolution pour que lesgrandeurs de tous les jours aient de valeurs numriques raisonnables,typiquement 103 103.Longueur l : 1015m (rayon du proton) 1026m (rayon de lunivers).Masse m : 1030kg (masse de llectron) 1050kg (masse delunivers).Temps t : 1023s (temps de traverse du noyau atomique) 1017s(ge de lunivers).




Thorie quantique des champs

Deux constantes physiques :constante de Planck ~ = 1034Js,vitesse de la lumire dans le vide c = 3 108m/s.

Moustique : m =2.5mg, v =1cm/s, A = 2.5 107Js= 2.5 1027~.Avion de chasse : v = Mach 2 = 680m/s= 2450km/h= 2.2 106c.

Thorie quantique des champs

Relativit restreinte

Mcanique classique

Mcanique quantique

c ~ 0

c ~ 0




Linvitable mur quantique

[Ordre de grandeur de laction = ~] = [phnomne quantique].

Partie mobile montre mcanique : m = 104kg, l = 104m, t = 1s.A = 1012kg m2 s1 = 1012J s = 1022~ classique.

Atome dhydrogne : nergie dionisation = E = 2 1018J. Pulsationmaximale du spectre : = 2 1016s1.A = E/ = 1034J s = 1~ quantique.

Mur quantique : Il doit se situer quelque part entre les deux . . .




Le cristal de silicium

Matriau extrait dune matirepremire abondante sur terre : le sable.Cristallisant en structure diamant .Rptition priodique dun cube dect a = 0.5431 nm.Distance interatomique

34 a = 0.2352 nm.




Comment fabrique-t-on un microprocesseur ?Procd photolithographique




Donnes techniques compares

Diamtre de cheveu humain 100 m= 105 nm.paisseur de trait photolithographique

1971 : 10 m= 10000 nm,2010 : 0.032 m= 32 nm,2013 : 0.022 m= 22 nm,2016 : 0.014 m= 14 nm.

paisseur de trait = 60 distances interatomiques.Vers une pnurie dun nouveau type : matire premire abondantemais pas assez datomes par unit de volume lmentaire.Production du microprocesseur Skylake (Intel) 14 nm initialement prvue 11 nm retarde dun an et paissie de 3 nm cause de phnomnes quantiques mal matriss.




Peut-on ignorer phnomnes quantiques ?

NON !




Quen est-il de la 2e prvision (celle de 1981) de Feynman ?

Simulation de phnomne quantique de taille N sur ordinateurclassique (machine de Turing classique) est de classe de complexitexp(N).




Quen est-il de la 3e prvision (celle de 1986) de Feynman ?1994

Adleman : Molecular computation of solutions to combinatorial problems.Rsout problme voyageur du commerce (NP-complet) par ordinateur en ADN. Travail passpresque inaperu, pourtant ralisation physique.

Shor : Algorithms for quantum computation : discrete logarithms and factoring.Dmontre la rsolution dun problme de factorisation entemps polynomial. Travail trs mdiatis, pourtantconception purement thorique : ordinateur universelquantique.




Peut-on exploiter Mcanique quantique ?Oui dj

Yes, we can !1/3 de lconomie mondiale repose sur des applications dcoulant dephnomnes quantiques. Exemples :

Semiconducteurs : toute la technologie informatique.Laser : CD, DVD, communications par fibre optique, chirurgie,metallurgie, . . .Supraconductivit : champs magntiques intenses, effet Meissner etlvitation magnetique, . . .Effet tunnel : microscope effet de champs, applications ennanotechnologie, fullerenes, . . .Superfluidit : aimants supraconducteurs, pigeage de photons,cryognie, . . .Cryptographie et communications quantiques : distribution de la clde manire inviolable, tlportation dtats quantiques, codagesuperdense, gnration de vrais nombres alatoires . . .




Curiosits quantiques et leurs applications technologiquesEffet tunnel et microscopie

Un phnomne purement quantique.

[Tableau : effettunnel.mov]




Curiosits quantiques et leurs applications technologiquesEffet Meissner et trains lvitation magntique




Curiosits quantiques et leurs applicationsSuperfluidit de 4He et cryognie




Dautres curiosits quantiqueset leurs applications en information quantique

Interfrence quantique des tats indiscernables. Protocoles BB84 etB92 de QKD, signature, authentication, calcul quantique, etc.Rduction de ltat par la mesure physique. Dtection des intrusions.Intrication. Autres protocoles de QKD, calcul quantique, signature,authentication, etc.Multiplicativit des dimensions. Calcul massivement parallle.Effet tunnel. Ordinateurs quantiques ddis (D-wave), algorithmesdoptimisation.Dcohrence. Le phnomne qui empche le calcul quantique grande chelle.




La superposition des ondesCristianus Huygens (16291695), Augustin Fresnel (17881827)

Dispositif exprimentalYoung (1801) Intensit caclule Intensit observe




Lexprience de YoungSuperposition avec des lectrons : exprience de Tonomura

Expos de Feynman Exprience deTonomura


https://www.youtube.com/watch?v=2mIk3wBJDgEhttps://www.youtube.com/watch?v=jvO0P5-SMxkhttps://www.youtube.com/watch?v=jvO0P5-SMxk



Indiscernabilit superpositionUne autre interprtation de lexprience de deux fentes (avec des photons)

T 50%

R 50%

RR 25%

RT 25%

TT 25%

TR 25%RT ou TR 100%

RR ou TT 0%




Superposition(suite)

RT ou TR p

RR ou TT 1 p

La valeur p [0, 1] dpend de llongation du parcours

RT ou TR 1 ou 0

RR ou TT 0 ou 1




ApplicationProtocole Bennett-Brassard (1984)

Alice

Bernard

Alice

D1 1 ou 0

D2 0 ou 1

Choisir longation telle que si unilatre p = 1/2.Alice Bernard

E l l S0 0 0 D10 0 1 D1 ou D20 1 0 D1 ou D20 1 1 D11 0 0 D21 0 1 D1 ou D21 1 0 D1 ou D21 1 1 D2




IntrusionInformation mutuelle vs. taux derreur induite

Alice

Bernard

ve

D1

D2

I (A : E) en fonction du taux derreur sur les bits de Bernard




LintricationLexprience dOrsay et lirrductibilit de lala quantique

Thorme (Ingalit de Bell)

X1,X2,Y1,Y2 {0, 1} v.a. classiques sur (,F ,P).

P(X1 = Y1) P(X1 = Y2) + P(X2 = Y2) + P(X2 = Y1).

i

PM1

Dtection des concidences

PM2

j

Ca

Exprience et formalisme quantique : P(X = Y) = 12 sin2( ).

Si 1 = 0, 2 = /3, 1 = /2, 2 = /6, alors 1 1/4 + 1/4 + 1/4.




Lintrication quoi a sert ? faire du calcul quantique !

Dfinition

| H1 H2 intriqu si | 6= |1 |2 avec |i Hi , i = 1, 2.

Remarque

Intrication = phnomne purement quantique.

H

| u1

| u2

| v1

| v2

| 00 7 12(| 00 + | 11 ).




La dcohrence

Lorsque systme crot ou se rchauffe, comportement quantiquedisparat.Existence dinterfrences lexprience de double fentes = signaturedu caractre quantique.Neutrons, lectrons, photons prsentent interfrences.Chats [de Schrdinger], voitures etc. nen prsentent pas.




La dcohrenceSeules particules subatomiques sont-elles quantiques ?

Fullerne C60 avec 60 atomes [Nairz, Arndt, Zeilinger (2003)]

Grosses molcules organiques avec jusqu 430 atomes [Gerlich et al(2011)]

Matriaux supraconducteurs (1023 atomes) mais trs froids 1mK 10K . Master de cryptographie 20172018 Cryptographie quantique


Ce que lon sait faireCe que lon pense pouvoir faire . . .

Ce que lon sait faire en informatique quantiqueDans un stade pr-industriel

Gnrateurs de nombres vraiment alatoires. Vous pouvez mme enacheter un!Distribution dune cl de cryptage travers

fibre optique de 307 km [Korzh et al (2015)] lair libre sur 144 km [Lo, Curty, Tamaki (2014)].

Signature.Authentification.Communication (codage dense, tlportation, . . . ).


http://www.idquantique.com/http://www.idquantique.com/



Ce que lon sait faire en informatique quantiqueDans le stade du prototype

crire (sur papier) quelques algorithmes (Grover, Shor) et des codescorrecteurs derreurs.Construire prototypes dordinateurs universels pour rsoudre desinstances simples de lalgorithme de Shor [Vandersypen et al (2001)15 = 3 5 avec 7 qubits par rsonance magntique nuclaire], (IBM5 qubits, mis disposition du public, factorisation).Corriger quelques erreurs.Construire ordinateur D-Wave 2000 qubits, prix catalogue 10 MUSD(ddi loptimisation par recuit par effet tunnel quantique). Lespremires annonces de la compagnie ont t trs controverses.


http://www.research.ibm.com/ibm-q/qx/https://www.dwavesys.com/d-wave-two-system



Et si on disposait dun calculateur quantique universel ?Factorisation de grands entiers avec deux facteurs premiers

p et q grands premiers, N = pq, n = logNDbuts protocole RSA (1978), = O(exp(n)).Lenstra-Lenstra (1997), = O(exp(n1/3(log n)2/3)).Shor (1994), si ordinateur quantique existait = O(n3).

Estimation grossire : 1 opration par nanoseconde, n = 1000

O(exp(n)) O(exp(n1/3(log n)2/3)) O(n3)10417 a 4 0.2 a 1 s

4. Pour mmoire : ge de lunivers 1.5 1010 aMaster de cryptographie 20172018 Cryptographie quantique



Un peu plus de dtailsImplmentations universelles

Shor : Pour factoriser entier N de k bits (avec algorithme de Shorcomplet) en temps O(k3), il faut [Beckman et al (1996)]

5k + 1 qubits,72k3 portes logiques quantiques.k = 4 : 21 qubits, 4608 portes,

k = 100 : 501 qubits, 7.2 107 portes,k = 4096 : 20481 qubits, 4.95 1012 portes.

15 = 3 5 (k = 4). Factoris avec 7 qubits.21 = 3 7 (k = 5). Factoris avec 10 qubits[Martin-Lpez et al. (2012)].

Optimisation : 143 = 11 13 (avec 4 qubits) et 56153 = 233 241(avec 4 qubits) [Xu et al (2012)].Possibilit de factorisation 291311 = 523 557 avec6 qubits [Dattani, Bryans (2014)]. Non encoreimplment.




Un peu plus de dtailsImplmentations sur D-Wave

Principes des recuits simul et quantique.

Nombres de Ramsey 5 : R(8, 2) = 8 avec 84 qubits (28 calcul et 56correction derreurs) en 270 ms. [Bian et al. (2013)].

Configurations optimales de protines : benchmarks avec 81 qubits[Perdomo-Ortz et al. (2012)].

5. R(s, t) = plus petit entier n t.q. tout coloriage rouge-bleu des artes de Kncontient un Ks rouge et un Kt bleu.




Ce que lon espre pouvoir faire . . .. . . un jour

Quand pensez-vous quun ordinateur quantique universel rellementutilisable (pour factoriser des nombres 100 bits par exemple) verra lejour ?

La prvision est difficile surtout . . . lorsquelle concerne lavenir. Pierre Dac

Cochez une case.Dans 5 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dans 10 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Pas durant ma vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Durant le 21e sicle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Jamais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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